Ley Senos y Ley de Cosenos

Institución Educativa Técnica Comercial José Eustasio Rivera Resolución de Triángulos Obliguángulos

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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que se verán seguidamente.

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ángulos rectos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos.

Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo

Se utilizan tres propiedades: Suma de los ángulos interiores de un triángulo

A + B + C = 180º

Teorema del seno a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B

Teorema del coseno

c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C

Casos de resolución Existen cuatro casos de resolución de triángulos oblicuángulos según los datos que conozcamos: Caso I.- Conocidos un lado y dos ángulos adyacentes a él (LAA).

En primer lugar, se calcula fácilmente el ángulo C.

ˆ = 180 º Aˆ + Bˆ + C

⇒

ˆ C

A continuación, se aplica el teorema de los senos y se calculan los ángulos A y B.

c ˆ sen C

=

b sen Bˆ

⇒

b

c ˆ sen C

=

a sen Aˆ

⇒

a

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Resolución de Triángulos Obliguángulos Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido (LAL).

En primer lugar calculamos b aplicando el teorema del coseno.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 . b . c . cos Bˆ

⇒

a

Seguidamente, aplicando el teorema del seno, calculamos los ángulos B y C.

a sen Aˆ

=

b sen Bˆ

⇒

a

Bˆ

sen Aˆ

=

c ˆ sen C

⇒

ˆ C

Caso III.- Conocidos los tres lados (LLL).

Aplicamos tres veces el teorema del coseno.

b2 + c 2 − a2 cos Aˆ = ⇒ Aˆ 2b c

a2 + c 2 − b2 cos Bˆ = ⇒ Bˆ 2ac

2 2 2 ˆ = a +b −c ⇒ C ˆ cos C 2ab

Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).

Supongamos conocidos los lados a y c y el ángulo A; quedarían como incógnitas el lado b y los ángulos B y C. En primer lugar se aplica el teorema del seno.

a sen Aˆ

=

c ˆ sen C

⇒

ˆ C

Ya estamos en condiciones de conocer el ángulo que falta, B.

ˆ = 180 º Aˆ + Bˆ + C

⇒

Bˆ

Por último volvemos a aplicar el teorema del seno y calculamos el lado b.

a sen Aˆ

=

b sen Bˆ

⇒

b

Pues bien, se nos pueden dar, en este último caso, las siguientes posibilidades:

•

•

a < c.sen A, con lo cual el triángulo no existe.

a = c.sen A, con lo cual el triángulo es rectángulo.

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Resolución de Triángulos Obliguángulos ¨ Ejemplos

Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de observación en Phoenix y Los Ángeles, apartadas 340 millas. En un instante cuando el satélite está entre estas dos estaciones, su ángulo de elevación es observado de manera simultánea como 60° en Phoenix y 75° en Los Ángeles. ¿Qué tan lejos está el satélite de Los Ángeles?

Rta. 416 millas

Se construirá un túnel por una montaña. Para estimar la longitud de un túnel, un topógrafo hace las mediciones mostradas en la figura. Use los datos del topógrafo para aproximar la longitud del túnel.

Rta. 417 pies

Navegación: dirección y rumbo En navegación una dirección se da con frecuencia como un rumbo, es decir, como un ángulo agudo medido a partir del norte o del sur. El rumbo N 30º S, por ejemplo, indica una dirección que apunta 30º al este del norte.

¨ Ejemplo

Navegación. Dos botes salen del mismo puesto a la misma hora. Uno viaja a una velocidad de 30 millas/h en la dirección N 50º E y el otro viaja a una velocidad de 26 millas/h en una dirección S 70º E. ¿Qué tan separados están los botes después de una hora?

Rta. 28,2 millas

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios, aplicando la ley de cosenos: A) ∠ C = 35°, a = 75, b = 185°, calcular el lado c B) ∠ A = 116°, c = 12, b = 18, calcular el lado a C) a = 13, b = 15, c = 17, calcular el ángulo A D) a = 130, b = 220, ∠ C = 28°, calcular el lado c E) ∠ A = 60°, b = 25, c = 18, calcular el lado a F) ∠ C = 45°, a = 6, b = 9, calcular el lado c

Problemas:

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A) Un biólogo coloca un dispositivo localizador a un halcón para una investigación. En un momento dado, el halcón vuela 25 km con dirección sur, después cambia su vuelo con una dirección 75° al oeste. Si voló 35 km, ¿a qué distancia se encuentra del punto de partida?

B) Se colocará un arenero en forma de triángulo. Dos de sus ángulos miden respectivamente 85° y 45°, y el lado entre los dos ángulos mide 6 metros de largo.

Si en su perímetro se colocará un cordón de concreto, ¿cuál es la longitud del cordón del arenero?

C) Para evitar que se caiga un poste que se encuentra con una inclinación de 75° con relación al suelo, se colocó una viga de acero con una inclinación de 55°, con respecto al suelo. Si la columna mide 3.4 m, ¿cuánto mide la viga?

D) En un parque se requiere construir, además, una plataforma triangular para presentación de grupos musicales cuyos lados midan 34, 40 y 28 m. Para trazarlo los albañiles necesitan conocer los ángulos interiores, ¿cuáles son?

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios aplicando la ley de senos: a) b) c) d) e) f)

∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠

A = 43°, a = 20, ∠ B = 112°, calcular el lado b A = 28°, a = 21, ∠ B = 15.56°, calcular el lado b C = 74.39°, c = 12, ∠ B = 58.18°, calcular el lado b B = 102°, b = 22, ∠ C = 51.61°, calcular el lado c A = 21°, a = 840, b = 485, calcular el ángulo B B = 45°, a = 804, ∠ C = 35°, calcular el lado c

Problemas: A) Un asta está situada en la parte superior de un edificio de 115 pie de altura. Desde un

punto en el mismo plano horizontal de la base del edificio los ángulos de elevación de los extremos superior en inferior del asta son 63.2 ° y 58.6°, respectivamente. ¿Cuál es la longitud del asta?

B)

Para determinar la distancia a través de un río recto, un topógrafo elige los puntos P y Q en la rivera, donde la distancia entre P y Q es 200m. En cada uno de los puntos se observa el punto R en la rivera opuesta. El ángulo que tiene lados PQ y PR mide 63.1° y el ángulo cuyos lados son PQ y QR mide 80.4°. ¿Cuál es la distancia a través del río?

Institución Educativa Técnica Comercial José Eustasio Rivera Resolución de Triángulos Obliguángulos C)

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Una parcela triangular con vértices R, S y T se delimita por una cerca, pero se advierte la ausencia de la marca del lindero en S. Del título de propiedad, se sabe que la distancia de T a R es 324 m, la distancia de T a S es 506 m y el ángulo en R del triángulo mide 125.4°.

Determine la ubicación de S calculando la distancia de R a S. T 506 m 324 m 125,4°

R

S

D)

Una rampa está inclinada en un ángulo de 41.3° con respecto del suelo. Un extremo de una tabla de 20.6 pie de longitud se localiza en el suelo en un punto P que está a 12.2 pie de la base Q de la rampa, y el otro extremo reposa sobre la rampa en un Punto R. Determine la distancia desde el punto Q hacia arriba de la rampa hasta el punto R.

E)

En un momento determinado cuando un avión voló sobre un camino recto que une a dos ciudades pequeñas, los ángulos de depresión de ambas fueron de 10.2° y 8.7°: a) Determine las distancias rectas desde el avión a cada una de las ciudades en ese momento si la separación entre ambas es de 8.45 Km. b) determine la altura del avión en ese momento.

F)

Un punto P está a 1.4 Km. de la orilla de un lago y 2.2 Km. de la otra orilla. Si en P el lago subtiende un ángulo de 54°, ¿Cuál es la longitud del lago?

G)

Dos caminos rectos se cortan en un punto P y ahí forman un ángulo de 42. 6°. En un punto R sobre un camino está un edificio a 368m de P y en un punto S, en el otro camino está un edificio a 426 m de P. Determine la distancia directa de R a S.