MatemĂĄticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Aplicaciones de la derivada. Problemas de optimizaciĂłn. 1. Una empresa de compra y venta de automĂłviles ha hecho un estudio sobre sus beneficios en miles de euros, a lo largo de los Ăşltimos (t) y ha comprobado que se ajustan a: đ??ľ(đ?‘Ľ) = đ?‘Ą 3 − 18đ?‘Ą 2 + 81đ?‘Ą − 3 a) b) c) d)
0 ≤ � ≤ 10
En quĂŠ aĂąos se dan los valores mĂĄximos y mĂnimos de B(x). Sus periodos de crecimiento y decrecimiento. ÂżCuĂĄles son sus beneficios mĂĄximos? ÂżQuĂŠ resultados obtuvo la empresa en el Ăşltimo aĂąo?
2. Se sabe que los costes totales de fabricar x unidades de un determinado producto vienen dados por la siguiente expresiĂłn: đ??ś(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 − 27đ?‘Ľ + 108 a) ÂżCuĂĄntas unidades hay que producir para minimizar el coste medio por unidad
đ??ś(đ?‘Ľ) ? đ?‘Ľ
b) ÂżCuĂĄn es el valor del coste medio?
3. La cotizaciĂłn de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los dĂas de un mes de 30 dĂas, responde a la siguiente funciĂłn, con x el nĂşmero de dĂas. đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 − 45đ?‘Ľ 2 + 243đ?‘Ľ + 30000 a) ÂżCuĂĄn ha sido la cotizaciĂłn en Bolsa el dĂa 2? b) Determina los dĂas en que alcanza las cotizaciones mĂĄxima y mĂnima c) Calcula esas cotizaciones mĂĄxima y mĂnima. 4. En el mar hay una mancha producida por una erupciĂłn submarina. La superficie afectada, en km2, viene dada por la funciĂłn f(t), siento t, el tiempo transcurrido desde que empezaron a observarla. đ?‘“(đ?‘Ą) =
11đ?‘Ą + 20 đ?‘Ą+2
a) ÂżCuĂĄl es la superficie afectada inicialmente? b) Estudia si la mancha crece o decrece con el tiempo. c) ÂżTiene algĂşn lĂmite la extensiĂłn de la mancha? 5. Los ingresos y costes anuales, en miles de euros, de una fĂĄbrica de mochilas vienen dados, respectivamente por las funciones. đ??ź(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ − 9 a) b) c) d)
đ??ś(đ?‘Ľ) = 0,01đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ
Calcula la funciĂłn de beneficios. ÂżCuĂĄnto debe ser el precio de venta x para que el beneficio sea mĂĄximo? Determina las zonas de crecimiento y decrecimiento. ÂżPara quĂŠ precios de venta la empresa tendrĂa pĂŠrdidas?