10.3. システム量─観測量の原型
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システム量─観測量の原型
古典力学において, 「観測量」という語は，通常は状態空間 Ω 上の実数値連続 関数 (すなわち，物理量) の意味で使われる．観測量は物理量 (測定理論では，シ ステム量と呼ぶ) の一般化である．以下に，このことを説明しよう． 例 10.10. [システム量] 基本代数 L∞ (Ω, ν) を考える．実数値連続関数 fe : Ω → R
( 一般には，実数値可測関数 fe : Ω → Rn でよい) を，Ω 上のシステム量と呼ぶ． 基本代数 L∞ (Ω, ν) 内の射影観測量 O = (R, BR , F ) を次のように定義する： e−1 1 ω ∈ f (Ξ) のとき [F (Ξ)](ω) = (∀Ξ ∈ BR ) −1 e 0 ω∈ / f (Ξ) のとき ここで， N ∑ 2
fe(ω) = lim
N →∞
n=−N 2
[ ] ∫ ( n n+1 ) n λ[F (dλ)](ω) F [ , ) (ω) = N N N R
であることに注意して，次の同一視:
fe (Ω 上のシステム量)
←→
O = (R, BR , F ) (L∞ (Ω, ν) 内の射影観測量)
(10.2)
を得る．この O をシステム量 fe の観測量表示と呼ぶ．したがって，
(a) 同一視 (10.2) の下で，システム量を射影観測量と見なすことができる．す なわち，観測量は，実数値連続関数 ( すなわち，システム量) fe : Ω → R の一般化で，システム量の拡張概念である． また，同一視 (10.2) の量子力学版は，同一視 (3.2) であることを再確認せよ． 例 10.11. [位置観測量，運動量観測量，エネルギー観測量] 基本代数 L∞ (Ω, ν) 内で，ニュートン力学を考える．簡単のために，2 次元空間を考えて，
Ω = Rq × Rp ={(q, p) = (位置, 運動量) | q, p ∈ R}