Texto de estudio de MAtemática para Sexto año by juan albornoz

TEXTO DEL ESTUDIANTE

Autores: Natacha Astromujoff Licenciada en Ciencias con mención en Matemática, Universidad de Chile Eleamar Barrios Durán Profesor de Estado en Educación Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile Licenciado en Educación Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile Marcelo Casis Raposo Profesor de Educación General Básica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Magister (c) en Educación, Universidad de Santiago de Chile Paula Olivares Muñoz Profesora de Educación General Básica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Licenciada en Educación, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Matemática 6º Básico Texto del Estudiante Autores Natacha Astromujoff Eleamar Barrios Durán Marcelo Casis Raposo Paula Olivares Muñoz

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Es una marca registrada de MN Editorial Ltda. © MN Editorial Ltda. Avda. Eliodoro Yáñez 2416, Providencia, Santiago, Chile Teléfono: 233 5101 Fax: 234 4869 E-mail: promocion@mneditorial.cl www.mneditorial.cl Dirección editorial: Gloria Páez Herrera Edición: Daniel Catalán Navarrete Asistencia editorial: Deysma Coll Herrera Diseño: Equipo editorial Diagramación: Marcela Ojeda Ampuero, Williams Gálvez Baettig y Francisca Urzúa Provoste Ilustración: Margarita Valdés Ruiz Corrección de estilo: Norma Guerra González Archivos gráficos: MN Editorial Ltda. Nº de registro: 198.288 ISBN: 978-956-294-291-1 Impreso en Chile por Worldcolor Chile Se terminó de imprimir esta 1ª Edición de 254.500 ejemplares en el mes de diciembre de 2010.

Bienvenida El mundo actual te enfrenta diariamente a situaciones de diversa índole en las que, muchas veces, debes resolver problemas numéricos. Repartir equitativamente un paquete de galletas con tus hermanos y hermanas, revisar el vuelto tras una compra, calcular tus promedios de notas, en fin, desafíos que normalmente enfrentas echando mano a tu intuición y a los conocimientos matemáticos elementales que ya se han instalado en tu razonamiento. Sin embargo, estas herramientas no siempre serán suficientes; por el contrario, puede ocurrir que frente a problemas más complejos, en vez de ayudar, la intuición te lleve por un camino enredado y, finalmente, erróneo. A medida que creces, tu realidad se amplía y te pone frente a situaciones cada vez más complejas que, a su vez, debes resolver con creciente autonomía. El texto que ahora empiezas a descubrir es un instrumento útil en ese camino, pues te proporcionará nuevas y valiosas herramientas para conocer, analizar e interpretar el mundo del que formas parte. Te invitamos a trabajar con él, aprovechando todos los recursos que te ofrece para ampliar tu conocimiento matemático y usarlo para afrontar los muchos desafíos que se te presentarán en los tiempos por los que transitas.

Bienvenida

Estructura didáctica El Texto del Estudiante de 6° Básico de Matemática contiene 6 unidades didácticas. El cuerpo de cada unidad está conformado por páginas binarias de contenido que se articulan en torno a un tema que contextualiza los objetivos de aprendizaje de cada una de ellas. Al inicio de cada unidad existen páginas que contienen actividades introductorias y como cierre se plantea el uso de recursos tecnológicos, un resumen de la unidad y una evaluación sumativa final. Además, se incorpora cuando corresponde, el ícono que enlaza los contenidos del texto con las actividades multimediales del Hipertexto. La estructura detallada de cada unidad de este texto es la siguiente: Entrada de unidad Imagen alusiva al tema transversal de la unidad.

Actividad motivadora para iniciar el estudio de la unidad.

Red conceptual con los contenidos de la unidad.

Aprendizajes que se espera adquieras tras la revisión de la unidad.

Actividad inicial Historieta que te propone una situación que debes observar y analizar con detención.

Actividades que podrán ser utilizadas como evaluación diagnóstica de materias vistas en cursos anteriores y que servirán para la revisión de los temas de la unidad.

Páginas de contenido Ejemplo explicativo que contiene una situación problemática, que es resuelta paso a paso a modo de ejemplificación. Cuadro de definición de los contenidos fundamentales.

4 Estructura didáctica

Ejercicios individuales para que apliques lo que acabas de aprender en forma individual. Ejercicios grupales de análisis y reflexión o de carácter lúdico para que resuelvas con uno o más compañeros y compañeras. Problemas que plantean situaciones matemáticas contextualizadas en diferentes temas y que puedes resolver en forma individual o grupal.

Resolución de problemas

Problema modelo que te propone un método de cinco pasos para que lo apliques en la resolución de problemas de diversa índole.

Problemas propuestos que debes resolver aplicando el método.

Tecnología activa Ejemplificación del uso de herramientas tecnológicas para resolver actividades relacionadas con los temas vistos en la unidad.

Actividades propuestas para que apliques la herramienta tecnológica descrita.

Síntesis de la unidad

Evaluación Tres páginas en las que se evalúan los temas vistos en la unidad. Dos de ellas te proponen ejercicios de desarrollo y una ejercicios con alternativas.

Cuadros con las definiciones que resumen los contenidos tratados en la unidad.

Además, en las páginas del texto se incluyen cuatro tipos de apartados y el ícono de Hipertexto:

Indicación práctica o nota recordatoria para una mejor comprensión del tema tratado.

HIPERTEXTO

Matemática

Archívalo Definiciones y conceptos directamente ligados con los temas de la página.

Enlace con… Breve vinculación del tema tratado en la página con otras ramas del conocimiento.

Desafío

al ingenio

Actividades lúdicas que requieren del ingenio matemático para su realización.

Ícono que relaciona el Texto del Estudiante con las actividades del Hipertexto.

Estructura didáctica

Índice de contenidos Unidad

Números decimales

Entrada de unidad............................................ 8 y 9 Actividad inicial.............................................10 y 11 • Expresión fraccionaria de un número decimal finito...............................................12 y 13 • Expresión fraccionaria de números decimales periódicos y semiperiódicos......14 y 15 • Multiplicación de números decimales.........16 y 17 • División de números decimales..................18 y 19 • Análisis de factores y productos................ 20 y 21

• Números decimales: unidades de longitud.................................. 22 y 23 • Números decimales: unidades de masa...................................... 24 y 25 Resolución de problemas........................... 26 y 27 Tecnología activa......................................... 28 y 29 Síntesis de la unidad........................................... 30 Evaluación..................................................... 31 a 33

Unidad

Números fraccionarios, razones y porcentajes

Entrada de unidad........................................ 34 y 35 Actividad inicial............................................ 36 y 37 • Multiplicación de fracciones....................... 38 y 39 • División de fracciones.................................40 y 41 • Razones y equivalencias........................... 42 y 43 • Las proporciones y su propiedad fundamental............................................... 44 y 45 • Porcentajes................................................ 46 y 47

• Formas de expresar un porcentaje............ 48 y 49 • Operaciones con porcentajes.....................50 y 51 • Interpretación de información porcentual. . 52 y 53 Resolución de problemas........................... 54 y 55 Tecnología activa......................................... 56 y 57 Síntesis de la unidad........................................... 58 Evaluación..................................................... 59 a 61

Unidad

Potencias

Entrada de unidad........................................ 62 y 63 Actividad inicial............................................ 64 y 65 • Definición de potencia. .............................. 66 y 67 • Potencias de 10. ........................................ 68 y 69 • Multiplicación de potencias de 10...............70 y 71 • Multiplicación de un número natural por una potencia de 10............................... 72 y 73 • Multiplicación de un número decimal por una potencia de 10................................74 y 75 • Descomposición canónica de un número natural................................. 76 y 77

6 Índice de contenidos

• División de potencias de 10....................... 78 y 79 • División de un número natural por una potencia de 10............................... 80 y 81 • División de un número decimal por una potencia de 10............................... 82 y 83 Resolución de problemas........................... 84 y 85 Tecnología activa......................................... 86 y 87 Síntesis de la unidad........................................... 88 Evaluación..................................................... 89 a 91

Unidad

Ecuaciones de primer grado

Entrada de unidad........................................ 92 y 93 Actividad inicial............................................ 94 y 95 •. Términos semejantes................................. 96 y 97 •. Reducción de términos semejantes................................................. 98 y 99 •. Definición de ecuación de primer grado.......................................100 y 101 •. Resolución de ecuaciones de primer grado.......................................102 y 103

•. Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado.......................................104 y 105 •. Validación de la solución de una ecuación de primer grado...........106 y 107 Resolución de problemas........................108 y 109 Tecnología activa.......................................110 y 111 Síntesis de la unidad..........................................112 Evaluación.................................................. 113 a 115

Unidad

Ángulos

Entrada de unidad..................................... 116 y 117 Actividad inicial......................................... 118 y 119 •. Ángulos...................................................120 y 121 •. Medición de ángulos...............................122 y 123 •. Clasificación de ángulos.........................124 y 125 •. Ángulos opuestos por el vértice..............126 y 127 •. Ángulos entre paralelas..........................128 y 129

•. Ángulos en un triángulo..........................130 y 131 •. Ángulos en un cuadrilátero.....................132 y 133 Resolución de problemas........................134 y 135 Tecnología activa......................................136 y 137 Síntesis de la unidad......................................... 138 Evaluación..................................................139 a 141

Unidad

Información y azar

Entrada de unidad.....................................142 y 143 Actividad inicial.........................................144 y 145 •. Media aritmética...................................... 146 y 147 •. Mediana...................................................148 y 149 •. Moda.......................................................150 y 151 •. Lectura de gráficos circulares.................152 y 153 •. Construcción de gráficos circulares........154 y 155 •. Experimentos aleatorios..........................156 y 157

•. Resultados de un experimento aleatorio...................................................158 y 159 •. Estimación de la probabilidad de un suceso...........................................160 y 161 Resolución de problemas........................162 y 163 Tecnología activa......................................164 y 165 Síntesis de la unidad......................................... 166 Evaluación................................................. 167 a 169

Solucionario........................................................................................................................................170 a 173 Índice temático.............................................................................................................................................174 Bibliografía y páginas web..........................................................................................................................175 Evaluación modelo.......................................................................................................................................176 Índice de contenidos

Entrada de unidad

Unidad

Números decimales

Red conceptual Equivalencias con las fracciones

Multiplicaciones

determinadas usando

resueltas usando

Métodos similares a los usados para multiplicar y dividir en ℕ

Números decimales Divisiones

Contextualizaciones

Procedimientos numéricos

resueltas usando

relacionadas con

Unidades de medida: longitud, masa, etc.

¿Qué debemos comer para alimentarnos sanamente? Para llevar una dieta equilibrada y sana debemos consumir alimentos de los cinco grupos que conforman la pirámide nutricional. Estos grupos son: Nivel 1: grupo de pan, cereales, arroz y pastas. Nivel 2: grupo de verduras y frutas. Nivel 3: grupo de lácteos y grupo de carnes rojas, aves, pescados, frutos secos, huevos y nueces. Nivel 4: grupo de grasas, aceites y dulces. Cada grupo ocupa un compartimento que por su ubicación y tamaño sugiere la proporción en que deben ser ingeridos los alimentos que contiene. En particular, el segundo nivel corresponde al de frutas y verduras, valiosas por su contenido de fibra y por su aporte en vitaminas y antioxidantes. La Organización Mundial de la Salud (OMS) recomienda consumir diariamente 0,4 kg de vegetales para prevenir la aparición de una serie de enfermedades crónicas que deterioran la calidad de vida de las personas.

¿Consumes frutas y verduras diariamente? ¿Qué proporción de tu alimentación diaria corresponde a ellas?

¿Qué verduras son parte de tu dieta diaria?

¿Puedes resolver? Un hombre ha decidido comenzar a controlar su alimentación. Las cantidades diarias de alimentos que ha seleccionado son: 0,8 kg de verduras, 0,5 kg de frutas, 0,25 kg de pan, 0,2 kg de carnes y 0,22 kg de pastas; además de 5 L de agua y 0,5 L de leche. Los alimentos sólidos los distribuye en partes iguales en dos comidas diarias, una a medio día y la otra al caer la noche. ¿Cuántos kilogramos de alimentos sólidos consume el hombre en cada una de sus comidas diarias? Tras 7 días de mantener esta dieta, ¿cuáles son las cantidades de alimentos sólidos consumidos por el hombre? Si aumentara al doble las cantidades de alimento que consume diariamente, ¿cuánta carne y cuánta pasta consumiría en 5 días?

rás a:

En esta unidad aprende

eros decimales. ultiplicar y dividir núm M decimales. formación con números in ar es pr ex y r eta pr er nt I y no finitos a fracciones. s ito fin s ale cim de os er decimales. Convertir núm las que aparecen números en os ian tid co as lem ob Resolver pr

HIPERTEXTO

Motivación

Actividad inicial No siempre después del 2 viene el 3, pues hay muchas cosas que no pueden medirse solo con los números naturales. Si hay dos personas y llega otra, pasamos de un salto del 2 al 3, pero… ¿qué pasa si le preparas un café a tu mamá y ella te dice que le pongas una cucharada y un poquito más, pero no dos cucharadas?, ¿a qué número se refiere? Para estudiar los números decimales, te invitamos a realizar las siguientes actividades. 1. Formen grupos de tres personas, lean la historieta y respondan las preguntas de la página siguiente:

10 Unidad 1

Unidad a) ¿Qué volcán es más alto, el Lonquimay o el Villarrica? ¿Cómo lo saben? b) ¿Qué diferencia hay entre los números 6 y 7 y el número 6,9? c) ¿Saben cuáles son las partes que componen un número decimal? Indíquenlas

a continuación:

6 , 9 d) En la recta numérica se ha ubicado la parte entera de 6,9. Ubiquen en el lugar

asignado, el número entero que viene a continuación:

6 e) Entre el 6 y el 7 existen infinitos números. Por ejemplo, justo entre el 6 y

el 7 está el 6,5, que es un número decimal. Ubíquenlo en la recta numérica anterior. ¿Podrían ubicar también el 6,9? 2. A continuación, se presenta una tabla con las cifras de precipitación en distintas ciudades de Chile, indicando cuántos milímetros de agua caen en un año normal y cuántos cayeron el año 2004. Identifiquen si en cada una de ellas ese año llovió más o menos que en un año normal. Ciudad Arica

Precipitación anual (en mm) Año normal

Año 2004

1,1

0,0

1 222,9

1 132,4

La Serena

104,1

99,3

Juan Fernández

912,6

852,4

Curicó

718,9

546,3

Chillán

1 022,5

958,0

Puerto Montt

1 844,7

1 557,5

723,2

555,7

Isla de Pascua

Balmaceda

¿Llovió más o menos?

a) Ordenen las ciudades de la tabla de menor a mayor pluviosidad, considerando

los datos de un año normal. b) Calculen la diferencia de pluviosidad que se produjo en cada una de las ciudades entre un año normal y el 2004. 3. ¿En qué otras situaciones de la vida cotidiana encuentran números decimales? Mencionen al menos tres. HIPERTEXTO

Diagnóstico

Números decimales

Expresión fraccionaria de un número decimal finito Archívalo Las fracciones se clasifican en propias e impropias: Fracción propia:

2 5

Su valor es < 1. El numerador es menor que el denominador. Fracción impropia:

7 2

Su valor es > 1. El numerador es mayor que el denominador. Se pueden expresar como número mixto, en este caso: 7 1 =3 2 2

Una fracción se puede convertir en un número decimal y un número decimal se puede convertir en una fracción. Por ejemplo, si calculamos el cociente entre el numerador y el denominador de las siguientes fracciones obtendremos: 23 23 23 4 4 4 433433433 = 2,3 =o2,3 o =o 0,8 =o0,8 = 2,3 = 0,8 o o = 10,825 = 10,825 = 10,825 10 10 10 5 5 5 40 40 40 Como ves, en los tres casos anteriores los resultados son números que tienen una cantidad de cifras decimales finitas. A estos números se les llama decimales exactos o finitos. Las fracciones se caracterizan por tener un desarrollo decimal. Cuando dividimos el numerador de una fracción por el denominador obtenemos un número decimal, pero, ¿cómo expresamos fraccionariamente un número decimal finito? ff¿Cuál es la expresión fraccionaria de 52,262? Como puedes ver, 52,262 es un decimal finito. Para transformarlo en fracción anotamos el número sin la coma en el numerador y en el denominador, un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal. En este caso:

Cuando debas expresar un número decimal en forma fraccionaria es importante que elimines de la parte decimal todos los 0 que haya a la derecha. Por ejemplo, si el número decimal a transformar es el 2,603200; debes previamente, convertirlo en 2,6032.

12 Unidad 1

52,262 =

52 262 1 000

Como el número decimal posee tres dígitos decimales, el denominador de la fracción corresponde a un 1 seguido de tres ceros. Una vez obtenida la fracción podemos simplificarla a su mínima expre52 262 26 131 . sión. En este caso, podemos simplificarla por 2, obteniendo 1000 500 Para transformar una fracción en un número decimal simplemente debes dividir su numerador por su denominador. Es posible transformar un número decimal finito en una fracción a tal que: b a: número decimal sin la coma. b: un 1 seguido de tantos 0 como dígitos decimales tiene el número decimal.

Unidad

Ejercicios individuales a. Transforma las siguientes fracciones en números decimales e indica cuáles de ellos son finitos y cuáles infinitos:

Fracción

2 3 2 3 3 10

2 3 3 10 17 4

2 3 3 10 17 4 24 9

2 3 3 10 17 4 24 9 8 12

Expresión decimal

¿Finito o infinito?

2 3 17 24 8 19 18 2 1 6 3 10 4 9 12 100 9 8 4 24 3 17 24 8 19 18 2 1 6 1 10 4 9 12 100 9 8 4 24 8 17 24 8 19 18 2 1 6 1 1 4 9 12 100 9 8 4 24 8 10 24 8 19 18 2 1 6 1 1 9 12 100 9 8 4 24 8 10 8 19 18 2 1 6 1 1 12 100 9 8 4 24 8 10 19 18 2 1 6 1 1 100 9 8 4 24 8 10

1 1 8 10 1 10

b. Expresa los siguientes números decimales mediante fracciones. No olvides simplificar cada fracción hasta su expresión mínima:

Expresión decimal

Fracción

1,25 0,503 0,077 13,652 9,3710 148,0875

Ejercicios grupales a. En grupos de tres personas consideren las siguientes situaciones: 2 3 17 24 3 10 4 9

19 18 2 1 6 00 9 8 4 24

2 3 17 242 83 17 19 24 18 82 119 6 181 21 1 6 1 1 a) Un pan de pascua se dividió entre cuatro niños. El primero tocó , el segundo , el tercero 3 10 4 93 12 10 100 4 99 12 8 4 10024 98 8104 24 8 10 8 19 18 2 1 6 1 1 del total. ¿Cuál de ellos recibió el trozo mayor? ¿Y el menor? 0,25 y el cuarto 12 100 9 8 4 24 8 10 2 3 17 24 8 19 18 2 1 6 1 1 b) Los niños acompañan el pan de pascua con una bebida. Si el primero toma , el segundo 3 10 4 9 12 100 9 8 4 24 8 10 1 1 , el tercero 0,15 y el cuarto 0,32 del total de la bebida; ¿qué número decimal representa la 8 10 cantidad de bebida que queda en la botella respecto al total que había al principio? Números decimales

Expresión fraccionaria de números decimales periódicos y semiperiódicos

Archívalo Otro tipo de decimal es aquel que tiene una cantidad infinita de cifras después de la coma, pero en el que estas cifras no siguen un patrón de repetición. A estos números decimales se les llama infinitos no periódicos.

Muchas veces debes haber escuchado expresiones como: "un tercio de la torta es para tus tíos" o "para preparar el jugo tienes que poner un tercio de agua". En ambas situaciones un tercio representa la tercera parte de algo. En el caso de la torta, la dividiríamos en tres partes correspondiendo una de ellas a los tíos y en el caso del jugo, dividiríamos el recipiente en tres partes y una de ellas sería de agua.

Tíos

ff¿Qué número decimal representa la tercera parte de algo?

Basta dividir 1 por 3. Observa: 1 5 1 = 0,333333333… o = 1,666666666 o = 0,111 3 3 9 ¿Qué sucede con el valor de esta fracción? Podríamos seguir dividiendo indefinidamente, ya que el número decimal que se obtiene es infinito.

Desafío

al ingenio

¿Cuál es la expresión de7 cimal de la fracción ? 23

Los números decimales periódicos son aquellos en los que en su parte decimal se repite una cifra o un grupo de cifras infinitamente. Los números decimales periódicos tienen una parte entera y una parte decimal como cualquier número decimal, pero en su parte decimal, se designa como período a la cifra o conjunto de cifras que se repite indefinidamente. A veces, antes del período puede haber otra cifra o conjunto de cifras que no se repite y que se denomina anteperíodo. En este caso, hablamos de números decimales semiperiódicos. parte entera coma anteperíodo

período

6444447444448 6 6 6 6 6 6… = 0,16

7 = 7 : 4 2 = 0 , 1 42 7 0 ⇓ 2 8 0 La coma se pone una vez que el resto de la división 2 8 0 … es menor que el divisor. Para seguir dividiendo, multiplicamos el resto por 10.

14 Unidad 1

Unidad ff¿Cómo transformar un decimal periódico en fracción? En el numerador de la fracción debes colocar la resta entre el número formado por la parte entera seguida del período sin la coma, y el número de la parte entera. Para obtener el denominador debes escribir tantos nueves como dígitos componen el período. Ejemplos: 198 198 − 1− 1 197 197 5353 − 5− 5 4848 1,98 1,98 1,98 == == o o5,35,3 5,3 == == 9999 9999 99 99 ff¿Cómo transformar un decimal semiperiódico en fracción?

Los números decimales periódicos se escriben con una línea recta sobre el período. En algunos libros lo hacen también con una línea curva, como un paréntesis hacia abajo.

En el numerador de la fracción debes colocar la resta entre el número formado por la parte entera seguida del anteperíodo y del período sin la coma, y el número formado por la parte entera y el anteperíodo sin la coma. Para obtener el denominador debes escribir un número con tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo: 24,65235 24,65235 =

2 465 235 − 24 652 2 440 583 = 99 000 99 000

Ejercicios individuales a. Transforma en fracciones los siguientes números decimales describiendo explícitamente el procedimiento utilizado, como se muestra en el ejemplo: Número decimal 1,431 52,2

Operatoria

Fracción

1 431− 14 1 431− 1 41714 1 417 990 990 990 990

Número decimal

Fracción

5,57 12,2

3,23

6,392

0,01

0,42

2,314

9,9935

71,32

Operatoria

23,451

Números decimales

Multiplicación de números decimales Enlace con… La Salud

Cuando un adulto contrata un plan de salud es muy importante que pida la información detallada de lo que este incluye. Las Isapres cuentan con un informativo específico para cada plan donde figuran los distintos servicios ambulatorios y hospitalarios. Muchas veces en los planes el tope se expresa en UF.

Don Pedro necesita comprar lentes ópticos para su hijo. Su Isapre le cubre 5,5 UF. El valor de la UF el día de la compra es de $ 18 532,04. ff¿Qué debe hacer don Pedro para saber exactamente cuánto es lo máximo que la Isapre le cubre? Para averiguar la cobertura de su Isapre don Pedro debe multiplicar 18 532,04 por 5,5. A continuación mostraremos dos métodos para resolver esta operación: Método 1 1º Convertimos los factores en números enteros, multiplicándolos por un número compuesto por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene cada uno de ellos. Si uno de los factores es un número entero no se amplifica. En el caso del ejercicio que estamos resolviendo, las multiplicaciones son: 18 532,04 · 100 = 1 853 204 y 5,5 · 10 = 55 2º Multiplicamos los números naturales:

Recuerda que los términos de una multiplicación se llaman factores y el resultado, producto. 4

Factores

= 12 Producto

+ 9 1 0

1 9 2 1

8 2 6 9

5 6 6 2

3 6 0 6

2 0 2 2

0 4 · 5 5 2 0 0 2 0

3º En el producto, corremos la coma de derecha a izquierda tantos lugares como dígitos decimales tengan los factores en conjunto. En el ejemplo: 18 532,04 tiene 2 decimales y 5,5 tiene 1 decimal, por lo tanto, contamos 3 posiciones de derecha a izquierda en el resultado y allí colocamos la coma: 101 926,220. Por lo tanto, la Isapre cubre un máximo de $ 101 926,22 para la compra de los lentes ópticos. Método 2

El resultado de multiplicar dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

16 Unidad 1

Una forma de resolución equivalente a la anterior consiste en transformar la multiplicación de números decimales a una multiplicación de fracciones decimales. Observa: 11853 853 204204 204 11853 853 204204 204 ⋅ 55⋅ ⋅55 55 100100 100 10 10 101 853 55 55 551 853 532,04 18532,04 532,04 ⋅ ⋅ ⋅ n⋅ 5,5 ⋅5,5⋅ ⋅ = n== ⋅ ⋅ ⋅ = == = == d 18 18 · d⋅ ⋅5,5 100100 100 10 10 10 100100 100 10 10 10 100100 100 ⋅10⋅10 ⋅10 101101 101 926926 926 220220 220 = 101 ==101 926,22 926,22 101 926,22 1 000 11000 000

100 10 1 853 204 55 1 853 204 ⋅ 55 18 532,04 ⋅ ⋅ 5,5 ⋅ = ⋅ = = 100 10 100 10 100 ⋅10 101 926 220 = 101 926,22 1 000

Unidad

En la unidad siguiente verás detalladamente la multiplicación de fracciones.

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes operaciones multiplicando por medio de los dos métodos. Comprueba con una calculadora:

a) 348,69 · 6,7

b) 7 298,42 · 92,72

c) 1 628,33 · 55,55

d) 72,4 · 0,6

HIPERTEXTO

Desarrollo

Números decimales

División de números decimales Recuerda que los términos de una división se llaman dividendo y divisor y el resultado, cociente. Divisor 8

Dividendo

Cociente

Según la Academia Nacional de Ciencias de EE.UU., un niño o niña de 9 a 13 años debería consumir diariamente como mínimo 1,7 L de agua potable, distribuidos en un promedio de 7,5 vasos espaciados equitativamente a lo largo del día. ff¿Cuál es la cantidad de agua que debe contener cada vaso? Para saber la cantidad de agua que debe contener cada vaso, dividimos 1,7 L en 7,5 vasos y para esto utilizaremos el siguiente método: 1. Identificamos cuál de los dos términos de la división tiene más cifras en la parte decimal. En este caso, ambos números son decimales y los dos tienen la misma cantidad de dígitos en la parte decimal. 2. Amplificamos el dividendo y el divisor por un número compuesto por un 1 seguido de tantos ceros como dígitos decimales tenga el número que identificamos en el paso anterior. 1,7 · 10 = 17

7,5 · 10 = 75

3. Dividimos estos números naturales:

Desafío

al ingenio

Si 6 gatos cazan 6 ratones en 3 minutos, ¿cuánto tardan 100 gatos en cazar 100 ratones?

1 7 : 7 1 7 0 2 0 0 5 0 5

5 = 0 , 2 2 6 0 0 0 5 0 …

Hay casos en que el dividendo y el divisor no tienen la misma cantidad de dígitos en la parte decimal. En estos casos multiplicamos ambos términos de la división por un 1 seguido de tantos ceros como dígitos después de la coma tenga el número con más cifras decimales. Así habrás convertido tanto dividendo como divisor en números enteros y podrás resolverla sin problemas. Observa el ejemplo: Para multiplicar y dividir números decimales en una calculadora científica debes ocupar la tecla / para la división y * para la multiplicación. La coma decimal la encuentras generalmente como un punto, en la tecla ..

18 Unidad 1

8,4 : 2,25 En este caso el dividendo tiene 1 dígito decimal y el divisor 2, por lo tanto multiplicaremos ambos por 100. Al hacerlo transformamos la división de números decimales en una división de dos números naturales: 840 : 225 Esta división puedes resolverla como ya sabes.

Unidad

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes divisiones: a) 1 255 : 2,5 =

f) 761,25 : 9 =

b) 4 587 : 5,4 =

g) 25,69 : 2,3 =

c) 2 840 : 2,4 =

h) 345,82 : 46,3 =

d) 78,9 : 3 =

i) 105,3 : 3,9 =

e) 49,49 : 7 =

j) 248,33 : 2,5 =

b. Descubre la relación que existe entre los números de cada pirámide y completa los casilleros vacíos: a)

21,56 2 0,1

0,2 0,2

0,8

7,7 0,16

1,1

0,26

1,2

2,8

1,3 1,5 4,95

0,3 3,3

3 11

0,5 4

4 8

Números decimales

Análisis de factores y productos Los alimentos que consumes a diario contienen en mayor o menor cantidad determinados compuestos químicos que el organismo necesita. La carne es una fuente habitual de proteínas, grasas y sales minerales en la dieta humana. Entre los minerales que aporta al organismo se encuentran algunos como el hierro, el potasio y el fósforo.

Enlace con… La Salud

Muchas personas se abstienen de comer carne y pescado, basando su alimentación en el consumo de cereales, legumbres, frutas y vegetales. Esta dieta es conocida como vegetariana.

En la siguiente tabla presentamos la cantidad de miligramos (mg) de fósforo presentes en un gramo (g) de algunos tipos de carnes de consumo habitual: Carnes

Fósforo (mg por g de parte comestible)

Seso de vacuno

2,11

Chuleta de cerdo

0,87

Lomo vetado

0,95

Posta negra

1,05

ffSi una persona come 150 g de cada una de las carnes mencionadas en la tabla, ¿qué cantidad de fósforo está ingiriendo con cada una de ellas?, ¿y si comiera solo 0,7 g de cada una? Carnes

Desafío

al ingenio

Elije un número decimal. Réstale 0,3 y el resultado multiplícalo por 4. Suma 5,2 y el resultado multiplícalo por 0,25. Finalmente resta 1. ¿Qué número obtienes? Prueba con otros números decimales.

20 Unidad 1

mg de fósforo por g de carne

mg de fósforo en mg de fósforo en 150 g de carne 0,7 g de carne

Seso de vacuno

2,11

2,11 · 150 = 316,5

2,11 · 0,7 = 1,477

Chuleta de cerdo

0,87

0,87 · 150 = 130,5

0,87 · 0,7 = 0,609

Lomo vetado

0,95

0,95 · 150 = 142,5

0,95 · 0,7 = 0,665

Posta negra

1,05

1,05 · 150 = 157,5

1,05 · 0,7 = 0,735

Después de obtener el resultado solicitado en el problema anterior pongamos atención en los números y analicemos los datos obtenidos en la tabla: En verde tenemos la multiplicación de dos números mayores que 1; en azul la multiplicación de un número mayor que 1 y otro menor que 1 y en rojo se multiplican dos números menores que 1. ¿Qué ocurre con los productos? 2,11 · 150 = 316,5 1,05 · 0,7 = 0,735 0,95 · 0,7 = 0,665

Unidad

En la multiplicación de números decimales se obtienen productos que dependen de la naturaleza de los factores: • Cuando los factores son mayores que 1 –tanto si se trata de números naturales como decimales– el producto siempre es mayor que cualquiera de los factores. • Cuando uno de los factores es mayor que 1 –tanto si se trata de un número natural o decimal– y el otro es menor que 1, el producto es mayor que el factor menor que 1 y menor que el factor mayor que 1. • Cuando los factores son menores que 1, el producto siempre es menor que cualquiera de sus factores.

Ejercicios individuales a. Completa la siguiente tabla usando calculadora y responde las preguntas: Factores

Producto

Factores

Producto

Factores

18 · 2

1,7 · 100

0,3 · 12

18 · 1,5

1,7 · 10

0,3 · 4

18 · 1

1,7 · 1

0,3 · 1

18 · 0,5

1,7 · 0,1

0,3 · 0,4

18 · 0,25

1,7 · 0,01

0,3 · 0,1

Producto

a) ¿Por qué crees que el valor de los productos en todas las columnas va disminuyendo? b) Pinta de un color los casilleros en los que ambos factores son mayores que 1; de un segundo color, los casilleros en los que un factor es mayor que 1 y el otro es menor; y de un tercer color, los casilleros en los que ambos factores son menores que 1. ¿Se cumplen las tres reglas expuestas en el cuadro de definición que está más arriba?

Problemas 1. La longitud de la pista atlética de un colegio es de 400 m. a) Si ayer di 6,5 vueltas, ¿cuánto recorrí? b) Si hoy daré 8,75 vueltas, ¿cuántos kilómetros recorreré? c) ¿Cuántos metros más que ayer correré hoy? 2. El precio por kilogramo de plátanos es $ 340 y compré 750 g. ¿Cuánto pagué? 3. 0,250 kg de jamón cuestan $ 660. ¿Cuánto cuesta 1 kg?

Números decimales

Números decimales: unidades de longitud Archívalo Antiguamente se utilizaban diversas unidades de longitud. Incluso en algunos países siguen utilizándose algunas de ellas: Sistema francés antiguo y anglosajón

Sistema métrico decimal actual

Braza 1,8228 m Cable 185,19 m Legua francesa 4,44 km Legua de posta 4 km Legua marina 5,5555 km Línea 2,1167 mm Milla marina 1,8532 km (inglesa) Milla terrestre 1,8522 km (EE.UU.) Milla terrestre 1,6903 km Pie 32,48 cm Pie francés 32,40 cm Pulgada 2,5401 cm Toesa 1,949 m Yarda 0,9144 m

ff¿Qué significa la afirmación “Carla caminó 1,8 metros”? ff¿Es lo mismo que decir: “Carla caminó 1,8 centímetros”? De forma gráfica 1 metro equivale a 100 centímetros. Dividimos 1 metro en 100 partes iguales y cada una de esas partes corresponde a 1 centímetro. Considerando lo anterior, 1,8 metros se podría representar así:

En conclusión, 1,8 metros equivalen a 180 centímetros. De forma aritmética También se puede determinar la equivalencia de la siguiente forma: 8 décimas de 100 cm porque 1 m = 100 cm

8 décimas de 1 metro

8 décimas de 1 metro son 80 cm

8 8 800 ⋅1 m = ⋅100 cm = cm = 80 cm 10 10 10 8 8 800 Por lo tanto; 1,8 m es lo mismo que 1 m + ⋅1 mm = 100 80 cm = = cm + ⋅100 cm 10 10 10 = 180 cm. Hoy, excepto en unos pocos países, la unidad de longitud que se utiliza es el metro. Algunas de sus equivalencias son: Unidades de longitud y sus equivalencias

1 kilómetro (km) 1 hectómetro (hm) 1 decámetro (dam) 1 metro (m) 1 decímetro (dm) 1 centímetro (cm) 1 milímetro (mm)

22 Unidad 1

Kilómetro 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001

Hectómetro 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

Decámetro 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

Metro 1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Decímetro 10 000 1 000 100 10 1 0,1 0,01

Centímetro 100 000 10 000 1 000 100 10 1 0,1

Milímetro 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 1

Unidad

Ejercicios individuales a. El hombre más alto que se conoce fue Robert Pershing Wadlow, un estadounidense que nació en

1918 y murió en 1940. Medía 2,72 m de altura. Poseía las manos más grandes, con una longitud de 32,3 cm desde la muñeca hasta la punta del dedo medio, y los pies más grandes, que cubría con zapatos de 47 cm de longitud. a) ¿Cuántos centímetros medía Robert Pershing? b) ¿Cuántos metros medían los zapatos de Robert Pershing? c) ¿Cuántos milímetros medía la mano de Robert Pershing?

b. En Santiago, las cuadras antiguas medían 120 m. Actualmente las cuadras son de 100 m cada una. Además, salvo algunas excepciones, la numeración de las casas avanza 100 unidades por cuadra. a) ¿Cuántos kilómetros representan 120 m?

b) ¿Cuántos kilómetros tiene una calle actual cuya numeración va del 0 al 8 400?

c. Marca >, < o = según corresponda. Fíjate en la unidad de medida: a) 8,24 m

5,43 mm

c) 0,5 m

0,8 mm

e) 3,1 km

3 300 m

b) 13,6 km

13,6 cm

d) 24,15 dm

30,9 cm

f) 23,2 cm

0,0232 dm

Problemas 1. La directiva del centro deportivo de una municipalidad ha decidido embellecer la piscina municipal colocando por la orilla de los cuatro lados una franja de listeles con motivos mexicanos. La piscina tiene forma rectangular de 51 m de largo por 21 m de ancho. Si los listeles miden 30 centímetros de largo, ¿cuántos listeles se necesitan para cubrir toda la piscina? 2. La misma municipalidad cuenta con un terreno vacío de 100 m de frente por 45 m de fondo y el alcalde ha decidido construir allí un gimnasio para la comunidad. Piensen en posibles distribuciones y finalmente escojan una de ellas, teniendo en cuenta que en el gimnasio quieren construir una piscina de 35 m por 15 m, una multicancha techada de 40 m por 40 m y una zona de juegos y parque en el resto del terreno. Dibujen el plano en sus cuadernos utilizando la escala 1:1 000, esto quiere decir que 1 cm del dibujo representa 1 000 cm reales (10 metros), por lo que cada metro de gimnasio está representado por 0,1 cm en el papel.

Números decimales

Números decimales: unidades de masa

Archívalo La masa es una propiedad que indica la cantidad de materia que posee un cuerpo. Es independiente del lugar que ocupa el cuerpo en el espacio. El peso es la fuerza con que la Tierra –o cualquier otro cuerpo celeste– atrae a los cuerpos que están en sus cercanías. El peso de un objeto material es diferente dependiendo del cuerpo celeste en el que se encuentra, así por ejemplo, el peso de un objeto es mayor en la Tierra que en la Luna.

Supón que van a preparar un asado en tu casa. Tu mamá te pide que vayas a comprar el carbón y te dice que compres una bolsa de 2 500 gramos. Al llegar al supermercado, encuentras dos tipos de bolsas: unas de 2,5 kilogramos y otras de 4,2 kilogramos. ff¿De cuál de las bolsas tienes que comprar? De forma gráfica: Un kilogramo equivale a 1 000 gramos. Para saber, por ejemplo, a cuánto equivalen 0,5 kilogramos, dividimos 1 kilogramo en 10 partes. Cada una de esas partes tiene una masa de 100 gramos. 5 de 10 kilogramo, entonces, son 500 gramos. Observa el siguiente dibujo que muestra gráficamente la equivalencia en gramos de cada bolsa: 4 200 g

200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g 200 g

2 500 g

Como ves, 2,5 kilogramos equivalen a 2 500 gramos, mientras que 4,2 kilogramos equivalen a 4 200 gramos. Tendrías que comprar la bolsa de 2,5 kilogramos, ya que 2,5 kg = 2 500 g. De forma aritmética:

Enlace con… La Salud

La combustión del carbón produce benzopireno, un producto cancerígeno. En un kilogramo de carne a la parrilla hay tanto benzopireno proveniente del carbón como el que se encuentra en el humo de 600 cigarrillos.

24 Unidad 1

También podemos determinar lo que significa la parte decimal de cada número. Por ejemplo, para el 2,5: 5 décimas de 1 kg

5 décimas de 1 000 g porque 1 kg = 1 000 g

5 décimas de 1 kg son 500 g

5000 5 5 ⋅1 kg = ⋅1000 g = g = 500 g 10 10 10 Por lo tanto, 2,5 kg son 2,0 kg + 0,5 kg = 2 000 g + 500 g = 2 500 g.

Unidad

La unidad de masa básica establecida en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo y algunas de sus equivalencias son: Unidades de masa y sus equivalencias 1 kilogramo (kg) 1 hectogramo (hg) 1 decagramo (dag) 1 gramo (g) 1 decigramo (dg) 1 centigramo (cg) 1 miligramo (mg)

Kilogramo 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001

Hectogramo 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

Decagramo 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

Gramo 1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Decigramo 10 000 1 000 100 10 1 0,1 0,01

Centigramo 100 000 10 000 1 000 100 10 1 0,1

Miligramo 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 1

Ejercicios individuales a. Completa con >, < o = según corresponda: a) 1,2 kg

0,12 hg

d) 78,9 cg

7,89 dg

b) 360 g

0,36 kg

e) 45 dag

4,5 kg

c) 250 g

0,25 kg

f) 3,4 dg

34 g

Problemas 1. En un supermercado es posible encontrar los siguientes precios por kilogramo de cada producto: a) Si Anastasia compra 3,6 kg de manzanas, 500 g de tomates, 250 g de jamón pierna y 1 kg de duraznos, ¿cuánto dinero le costará la compra? b) Si Ana compra 2 kg de manzanas, 1,5 kg de zanahorias, 1,3 kg de papas, 300 g de queso, 1,8 kg de tomates y 150 g de jamón, ¿cuánto gastará en su compra? c) ¿Cuántos kg de queso y cuántos de pan puede comprar Natalia con $ 1 800 si quiere comprar la misma cantidad de cada uno?

Duraznos $ 640

Zanahorias $ 230

Manzanas $ 450

Tomates $ 730

Queso $ 3 900

Jamón pierna $ 3 500

Papas $ 300

Pan $ 600

Números decimales

Resolución de problemas Problema modelo Una pequeña industria del sector químico dedicado al rubro de fertilizantes agrícolas fabrica diariamente 5 420,3 kg de amoniaco y 4 653,7 kg de urea. El precio de venta por tonelada de producto en mercados internacionales es US$ 250,5 para el amoniaco y US$ 225,2 para la urea. a) ¿A cuánto asciende el dinero recaudado por las ventas de la producción diaria de amoniaco? b) ¿Cuánto es lo recaudado por las ventas diarias de urea? c) ¿A cuánto asciende el dinero recaudado por las ventas de la producción semanal de ambos productos? a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?

• Se conoce la cantidad de amoniaco y de urea producidos diariamente. • Se conocen los precios del amoniaco y de la urea expresados en dólares. b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?

• El producto de la producción diaria de amoniaco y su precio nos permitirá conocer los ingresos de dinero por ventas de amoniaco. • El producto de la producción diaria de urea y su precio nos permitirá conocer los ingresos de dinero por ventas de urea. • El producto entre la producción semanal (7 días) de amoniaco y su precio, sumado con el producto entre la producción semanal (7 días) de urea y su precio, nos permitirá conocer los ingresos semanales. c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

• Como los precios están expresados por tonelada de productos, debemos dividirlos por mil: 250,5 : 1 000 = 0,2505 US$ por kg 225,2 : 1 000 = 0,2252 US$ por kg • 5 420,3 · 0,2505 = US$ 1 357,78515 4 653,7 · 0,2252 = US$ 1 048,01324 • (5 420,3 · 7) · 0,2505 + (4 653,7 · 7) · 0,2252 = US$ 16 840,58873 d) Responde: Contesta las preguntas del problema

• Las ventas de la producción diaria de amoniaco corresponden a US$ 1 357,78515. • Las ventas de la producción diaria de urea corresponden a US$ 1 048,01324. • Las ventas de la producción semanal de ambos productos corresponden a US$ 16 840,58873. e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Para comprobar que los resultados fueron calculados correctamente es recomendable utilizar una calculadora. 26 Unidad 1

Unidad Problema 1 A Miguel le gustan mucho las frutas. En la feria compró 0,5 kg de moras; 0,75 kg de frutillas y 1,2 kg de frambuesas. Si las moras y las frutillas las compartió en cantidades iguales con su hermana, y las frambuesas las compartió con su hermana y su madre en partes iguales, responde: a) ¿Qué cantidad de frutillas le corresponden a Miguel? b) ¿Qué cantidad de moras le corresponden a Miguel? c) ¿Qué cantidad de frambuesas le corresponden a Miguel?

Problema 2 Una carretera se ha ido entregando en tramos iguales de 18,275 km. Si se entregaron un total de 7 tramos, responde: a) ¿Cuál era el largo de la carretera tras la entrega del cuarto tramo? b) ¿Cuál es el largo de la carretera construida completa?

Problema 3 En la Plaza de Armas de un pueblo hay muchos árboles. Uno de ellos crece 20,75 cm al año. a) ¿Cuántos metros medirá al cabo de 8 años si inicialmente media 2,6 m? b) ¿A cuánto corresponde esta altura si la aproximas a la centésima? ¿Y a la décima?

Problema 4 Un vehículo de transporte de turistas tiene una tara (masa sin carga) de 1 030,25 kg. La masa máxima autorizada para este tipo de vehículo es de 1 695 kg. Una mañana suben a él cinco pasajeros. La masa corporal de dos de ellos es de 71,3 kg y la de los otros tres de 78,5 kg. La masa corporal del chofer es de 67,5 kg. a) Una vez que los pasajeros están sobre el vehículo, ¿cuál es la masa máxima que puede cargar como equipaje? b) Si la masa del equipaje del grupo de turistas es de 309,5 kg, ¿cuántos kilogramos no podrán ser cargados en el vehículo? HIPERTEXTO

Desarrollo

Números decimales

Tecnología activa Transformando unidades Construiremos una tabla en Excel que permitirá expresar automáticamente las unidades metro (longitud), litro (volumen) y gramo (masa) en algunos de sus diferentes múltiplos (unidades mayores que la unidad básica) y submúltiplos (unidades menores que la unidad básica). 1. Creación de la hoja de cálculo. ›› Crea un nuevo libro o proyecto en Excel. Llámalo “Tabla de transformación de unidades”. ›› Copia los títulos: “Longitud” en la celda B1, “Volumen” en la C1 y “Masa” en la D1. ›› Copia las unidades de referencia: “Metro” en la celda B2, “Litro” en la C2 y “Gramo” en la D2. ›› En las celdas B3, C3 y D3 anota “1”. ›› En la columna A escribe los múltiplos y submúltiplos: Kilo, Hecto, Deca, Deci, Centi y Mili en las celdas A4, A5, A6, A7, A8 y A9. En la celda… Escribe… ›› A continuación escribiremos las equivalencias B4 =B3/1000 correspondientes para cada una de las unidades B5 =B3/100 de referencia: B6 =B3/10 ›› A continuación selecciona con el mouse las B7 =B3*10 celdas desde la B4 hasta la B9. B8 =B3*100 ›› Dirige el cursor al extremo inferior derecho de B9 =B3*1000 las celdas seleccionadas y cuando aparezca una cruz negra “+” arrástralo hasta la celda D9. ›› Tu hoja de cálculo debe verse como se muestra a continuación:

28 Unidad 1

Unidad ›› Ejemplificaremos el uso de la planilla que acabas de construir completando la siguiente

tabla de equivalencias: Valor

Kilo

Hecto

Deca

Deci

Centi

Mili

3,5 m 0,3 L 1,2 g

›› Incorporando los valores 3,5; 0,3 y 1,2 a la planilla en las celdas B3, C3 y D3 obtendre-

mos lo siguiente:

2. Aplicando lo aprendido. a) Incorpora los valores de la planilla a la tabla de arriba y responde las siguientes preguntas: ›› ¿A cuántos centímetros equivalen 3,5 metros? ›› ¿A cuántos hectolitros equivalen 30 centilitros? ›› ¿A cuántos kilogramos equivalen 1 200 miligramos? b) Utiliza la planilla recién creada para obtener los múltiplos y submúltiplos de los siguientes valores: - 0,1 m; 9,6 L y 1 245,75 g - 128,758 m; 0,045 L y 65 g Responde: ›› ¿A cuántos decímetros equivalen 12 875,8 centímetros? ›› ¿A cuántos mililitros equivalen 0,045 litros? ›› ¿A cuántos decagramos equivalen 12 457,5 decigramos? Números decimales

Síntesis de la unidad Ficha 1 Un número decimal finito se puede expresar a c e mediante la siguiente fracción: b d f Donde: a: número decimal sin la coma. b: un 1 seguido de tantos ceros como dígitos decimales posee el número decimal.

Ficha 2 Un número decimal infinito periódico se puede a c e expresar mediante la siguiente fracción: b d f Donde: c: resultado de la sustracción entre el número decimal sin la coma y el número formado por los dígitos que no pertenecen al período. d: número constituido por tantos 9 como dígitos tiene el período.

Ficha 3 Un número decimal infinito semiperiódico se a c e puede expresar mediante la siguiente fracción: b d f Donde: e: resultado de la sustracción entre el número decimal sin la coma y el número formado por los dígitos que no pertenecen al período sin la coma. f: número constituido por tantos 9 como dígitos hay en el período seguidos de tantos 0 como dígitos hay entre la coma y el período (semiperíodo).

Ficha 4 Para multiplicar números decimales se deben multiplicar los números sin sus comas y al resultado incorporar la coma de forma que determine tantos dígitos decimales en él como dígitos decimales tenían en su conjunto los factores.

Ficha 5 Para dividir dos números decimales se debe identificar cuál de ellos posee más dígitos decimales y luego multiplicar ambos –dividendo y divisor– por un múltiplo de 10 con tantos ceros como dígitos decimales posee el número identificado. Finalmente, se realiza la división de los dos números naturales obtenidos tras la multiplicación.

30 Unidad 1

Ficha 6 Los números decimales se utilizan para realizar la conversión de unidades. Así permiten obtener múltiplos y submúltiplos de las unidades de longitud y masa, entre otras. HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. Expresa los números decimales como fracciones. Comprueba usando calculadora: a) 0,5 =

e) 3,45 =

b) 0,05 =

f) 8,354 =

c) 0,65 =

g) 12,4435 =

d) 0,123 =

h) 121,0987 =

b. Desarrolla las siguientes adiciones y sustracciones de números decimales: a) 3,6578 + 7,9985 =

e) 23,0811 – 18,6188 =

b) 0,0546 + 2,59932 =

f) 14,654 – 13,775 =

c) 7,5347 + 18,6509 =

g) 0,8765 – 0,65399 =

d) 99,6547 + 0,7178 =

h) 101,765 – 37,8064 =

c. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números decimales: a) 3,2 · 0,9 =

e) 0,876 · 32,4673 =

b) 0,09 · 0,1 =

f) 1,46 · 9,354 =

c) 0,34 · 54,3 =

g) 13,68 · 0,7 =

d) 2,34 · 7,86 =

h) 0,0006 · 0,00054 =

Números decimales

d. Resuelve las siguientes divisiones de números decimales: a) 4,9 : 0,5 =

e) 0,6 : 3,2 =

b) 10,5 : 0,1 =

f) 6,4 : 0,2 =

c) 3,25 : 4,3 =

g) 23,09 : 0,2 =

d) 0,34 : 0,81 =

h) 0,008 : 0,4 =

e. Anota el producto de los siguientes pares de números redondeándolos previamente a la posición indicada:

Factores Número 1

Producto previo redondeo de los factores a la… Número 2

0,3546

2,465348

3,6657

2,9982

1,2511

9,8467

0,25563

Milésima

Centésima

Décima

13,8552

f. Une mediante una línea las expresiones de la columna izquierda con sus equivalentes de la columna derecha:

3,2 kg

0,2 h

2 005 ml

1 050 m

12 min

2,005 L

0,75 km

0,145 dag

75 hg

120 000 ml

1 200 dl

8 280 s

10,5 hm

320 000 cg

1 450 mg

750 m

2,3 h

75 000 dg

g. Juan compró 13 bolsas y media de harina. Si cada bolsa contiene 0,75 kilogramos; ¿cuánta harina compró?

h. Loreto ha dado 8 vueltas a una plaza trotando. Cuando llevaba la cuarta parte de la novena vuelta se detuvo a tomar agua. Si en cada vuelta recorrió 123,25 metros; ¿qué distancia llevaba trotando cuando se detuvo?

32 Unidad 1

Unidad II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a A un supermercado llegan cajas de conser-

e De una bolsa de arroz de 2,5 kg sacamos

b ¿Cuántas botellas de leche de 0,75 L se

f Si se aproxima por redondeo a la milésima

c Para realizar la instalación eléctrica de una

g El automóvil de Marcos consume 6,7 L de

d Un edificio de 8 pisos tiene una altura de

h Un recipiente contiene 0,75 L de jugo de

vas con 24 latas cada caja. Si la masa de una caja es de 12,734 kg, ¿cuál es la masa aproximado de cada lata? a) 0,53 g b) 5 530 g c) 0,56 kg d) 0,53 kg

pueden llenar con un bidón de 24,75 L? a) 24 b) 33 c) 36 d) 28

casa se necesitan 98,7 m de cable. Si cada rollo de cuatro metros y medio cuesta $ 360 y no se venden trozos de menor longitud, ¿cuál será el costo de la compra de cable para la instalación? a) $ 7 560 b) $ 7 920 c) $ 8 280 d) $ 7 200

29,52 m. Calcula la altura aproximada del cuarto piso si el primero tiene 3,96 m de altura y los otros 7 tienen cada uno la misma altura. a) 3,45 m b) 3,85 m c) 3,65 m d) 3,75 m

HIPERTEXTO

Evaluación

1,06 kg. Calcula cuánto queda en la bolsa. Si lo que queda en la bolsa lo repartimos en tres bolsas, ¿qué masa tendrá cada una? a) Quedan 0,9 kg y cada bolsa tendrá 0,3 kg. b) Quedan 1,44 kg y cada bolsa tendrá 0,48 kg. c) Quedan 0,9 kg y cada bolsa tendrá 0,03 kg. d) Quedan 1,44 kg y cada bolsa tendrá 0,048 kg.

el número 0,56365 queda: a) 0,56 b) 0,563 c) 0,564 d) 0,5637

bencina cada día laboral, mientras que en todo el fin de semana consume 17,4 L. Si el litro de bencina cuesta $ 685,5, ¿cuánto dinero aproximadamente gasta Marcos en gasolina en una semana? a) $ 34 892 b) $ 32 654 c) $ 39 051 d) $ 33 980

naranja. Si el jugo se reparte en forma equitativa a tres niños, ¿cuántos mililitros corresponden a cada uno? a) 0,25 ml b) 2,5 ml c) 25 ml d) 250 ml

Números decimales

Entrada de unidad

Unidad

NĂşmeros fraccionarios, razones y porcentajes

Red conceptual

Fracciones, razones y porcentajes

Fracciones

para resolver

Razones

usadas en

Multiplicaciones Divisiones Proporciones Propiedad fundamental GrĂĄficamente

Porcentajes

expresadas

Como fracciones o decimales Como razones

¿Qué es el IPC? Durante la primera semana de cada mes el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) llama a la prensa para dar a conocer el valor que ha alcanzado el IPC (Índice de Precios al Consumidor). Esta se encarga de difundirlo a la población, ya que es un número que a todos les interesa conocer. De su valor dependen cosas tan importantes como el aumento que tenga la UF (en la que se expresan, por ejemplo, las deudas de vivienda) o los aumentos que tengan los sueldos que hayan sido pactados teniendo en cuenta este valor. El IPC representa el valor del costo de la vida, ya que es un índice que recoge la variación que han tenido cada mes los precios de los bienes y servicios consumidos por los hogares chilenos. De esta forma, si un conjunto de productos o servicios aumenta de precio, la misma cantidad de dinero no alcanzará para comprarlos. A través del IPC se refleja el cambio –normalmente la disminución– en el poder adquisitivo del dinero.

Has escuchado hablar del IPC? ¿ Cuánto varió el IPC este mes? ¿ ¿Cómo se expresa la variación del IPC?

¿Puedes resolver? Entre los meses de enero y febrero los precios de algunos productos aumentaron como se muestra en la tabla: Producto [1 kg]

Precio en enero [$]

Precio en febrero [$]

Azúcar

570

580

Porotos

990

1 090

Pan

660

700

Tomates

640

690

¿ En qué porcentaje aumentó aproximadamente cada uno de los precios de los productos de la tabla entre enero y febrero? Si el aumento porcentual fuera el mismo en el período febrero-marzo, ¿cual sería aproximadamente el precio de cada producto en el mes de marzo?

rás a:

En esta unidad aprende

s. s y divisiones de fraccione ne cociente. io ac lic tip ul m er olv es R magnitudes utilizando su s do tre en n ció ra pa m co mo la oblemas. Interpretar una razón co s para resolver diversos pr ne cio or op pr las de tal en am cimal. Utilizar la propiedad fund a fracción o un número de un te ian ed m e taj en rc po Expresar un comunicar información. Emplear porcentajes para HIPERTEXTO

Motivación

Actividad inicial En muchas oportunidades es necesario que dividamos o fraccionemos cantidades, ya sea para repartirlas entre varias personas, para distribuir nuestro tiempo convenientemente entre todas las labores que deseamos realizar, etc. Por ejemplo, si hacemos una tarea dada en un determinado tiempo, podemos estimar que realizaremos la mitad de la tarea en la mitad del tiempo, la cuarta parte de la tarea en la cuarta parte del tiempo y que seremos capaces de realizar dos tareas similares en el doble del tiempo que demoramos en cada una. 1. Lean la historieta y respondan las preguntas de la pรกgina siguiente: Fernanda, Camila, Gustavo y Felipe decidieron ayudar a mamรก preparando galletas para su negocio.

36 Unidad 2

Unidad a) ¿Cuál de los cuatro niños y niñas hizo más docenas de galletas por hora? b) Calculen los minutos promedio que cada uno empleó en hacer una docena

de galletas. Guíense por el ejemplo: Fernanda Escribe cuántas docenas de galletas hizo:

Gustavo

Camila

Felipe

Transforma en minutos las horas empleadas:

1 · 60 = 60

Divide la cantidad de minutos por el número de docenas:

60 : 3 = 20

El tiempo promedio utilizado en hacer una docena de galletas es:

20 minutos

2. Identifiquen los minutos correspondientes a las siguientes fracciones de hora: 1 1 1 1 de hora = de hora = de hora = de hora = 6 8 3 4 a) ¿Cuántos tercios de hora se demoraron por docena Fernanda y Gustavo? b) ¿Cuántos sextos de hora se demoraron Fernanda y Gustavo? c) ¿Cuántos cuartos de hora se demoró Camila? d) ¿Cuántos octavos de hora se demoró Felipe? Grafiquen sus respuestas, achurando las fracciones correspondientes: Fernanda y Gustavo 11

Tercios de hora por docena

Camila 12

Sextos de hora por docena

Felipe

Cuartos de hora por docena

Octavos de hora por docena

3. ¿Cuáles de estas fracciones son equivalentes? ¿Cuál de las cuatro es mayor? 1 1 ya ? 3 4 5. ¿En qué relojes pintaron las mismas porciones? ¿Qué pueden concluir? 4. ¿Qué otras fracciones son equivalentes a

HIPERTEXTO

Diagnóstico

Números fraccionarios, razones y porcentajes

Multiplicación de fracciones

La señora María tiene en su casa una microempresa de preparación 2 de 123 2 123 ⋅ 2 246destina 246 : 6 41 1 1 de dulces. Cada semana, de los 30 3 kg azúcar ⋅ = que compra, = = = 4 3 4 3 4 ⋅3 12 12 : 6 2 2 8 : 6 41 1 1 3 2 a123 2 123 ⋅ 2de tortas, 246 246 1 2 2 1 30 ⋅ 4 + 3 la confección reservando ⋅ = = = =el resto⋅ 2para = ⋅los =berlines. = 4 3 4 3 4 ⋅3 12 12 : 6 2 2 8 8 1 8 4 4 ff¿Qué cantidad de azúcar utiliza cada semana la señora María en la preparación de tortas?

Archívalo

El arte y oficio de elaborar pasteles y dulces recibe el nombre 123 ⋅de 2 repostería. 246 246 : 6

2 123 2 ⋅ = = 3 4 3 4 ⋅3 12

Antes que nada transformemos el número mixto a fracción:

123 123 ⋅ 2 2 246 41 1 1 1 2 2 3 12 30 ⋅ 4 +323 2=123 123246 ⋅ 2 : 6246412461: 61 41 1 1 ⋅ = = ⋅ 2 = ⋅ =30 = = ⋅== = = = =⋅ 2 = = 12 : 6 2 2 8 8 1 8 4 43 44 43 3 4 4⋅ 3 3 124 ⋅ 312 : 612 2 12 2: 68 2 8 2 Para averiguar cuál es la cantidad de azúcar destinada a las tortas debemos realizar una multiplicación de fracciones, observa: =

3 2 123 2 123 ⋅ 2 246 246 : 6 41 1 1 1 2 2 ⋅ = = = = ⋅2 = ⋅ = = 4 3 4 3 4 ⋅3 12 12 : 6 2 2 8 8 1 8 Para calcular la fracción de una cantidad debemos realizar el producto de esa cantidad por la fracción.

El resultado de la multiplicación de dos fracciones es una nueva fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores y el denominador es el producto de sus denominadores: a c a ⋅c ⋅ = b d b⋅d

3 señora 2 123María 2 123 ⋅ 2 246 kg 246de: 6azúcar 41 en1 las 1 tortas. 1 2 2 1 30 ⋅ 4 + 3 La ⋅ = emplea= = = ⋅ 2 = ⋅ Transfor= = 4 3 4 3 4 ⋅3 12 12 : 6 2 2 8 8 1 8 4 4 mando esta fracción impropia a número mixto podremos hacernos una idea más concreta de la cantidad de kilogramos que esto representa. Para escribir fracciones Primero simplificamos la fracción por 6 y luego convertimos en y números mixtos en una número mixto: calculadora debes ocupar :: 66 : 41 6 41 2 123 2 2123 123 ⋅ 2 ⋅ 2246 246 246 246 1 ⋅ 430+⋅34 + 3 1 11 1 1 21 22 21 30 la tecla [. Por ejemplo,3 23 123 ⋅ =⋅ = = = = == 20= ⋅ 2 =⋅ 2 ⋅= =⋅ == = 2 66 : 62 22 82 8 8 18 18 84 4 4 4 para escribir debes es-4 34 3 4 43 3 4 ⋅ 3 4 ⋅ 3 12 1212 ::12 3 cribir 2, presionar 3 la2 tecla 123 2 123 ⋅ 2 246 246 : 6 4120 1 kg, 1 es decir, 1 2 2 1 30 ⋅ 4 +y 3medio La señora = María emplea ⋅ 2 = ⋅ =20 kilogramos = = = 3; y ⋅ = [ y luego escribir 4 33 4 3 4 ⋅3 12 12 : 6 2 2 8 8 1 8 4 4 para escribir 4 debes de azúcar a la semana en la preparación de tortas. 5 escribir 4, presionar [, Otra microempresaria del rubro es la señora Raquel, a la que le escribir 3, presionar nueencargaron una docena de pasteles para una casa particular. Para 6 vamente [ y, finalmente, 246 246 : 6 41 1 1 1 2 2 1 30 ⋅ 4 + 3 escribir 5. 3 2 123 2 123 ⋅ 2

4 3 38 Unidad 2

la= señora Raquel ⋅ pasteles = = emplea = ⋅kg 2 =de mantequilla. ⋅ = = 3 4 ⋅3 12 12 : 6 2 2 8 8 1 8 4

Unidad ff¿Qué cantidad de mantequilla necesitará para preparar una docena de pasteles? Para responder, primero debemos determinar en cuánto aumentó la receta. Si la receta inicial era para 6 pasteles y ahora es para 12 pasteles, entonces, aumentó al doble y debemos multiplicar los ingredientes por 2. Para la mantequilla tenemos: 2 123 ⋅ 2 246 246 : 6 41 1 1 1 2 2 1 30 ⋅ 4 + 3 ⋅ = = = = ⋅2 = ⋅ = = 3 4 ⋅3 12 12 : 6 2 2 8 4 8 1 8 4 3 2 123 2 123 ⋅ 2 12246 246 : 6 41 1Raquel 30 ⋅de 4+3 1 1 2 2 1 kg Para ⋅ preparar = = pasteles la =señora = ⋅ 2 = necesitará ⋅ = = 4 3 mantequilla. 4 3 4 ⋅3 12 12 : 6 2 2 8 4 8 1 8 4

Recuerda que la simplificación se hace siempre entre un numerador y un denominador, entonces puedes simplificar en forma cruzada: 1

1· 7 7 3 7 · = = 5 · 4 20 5 12 4

Para multiplicar una fracción por un número natural debes convertir el número natural en fracción. Esta fracción queda constituida por el número natural como numerador y un 1 como denominador. Luego se multiplican ambas fracciones.

Ejercicios individuales a. Encuentra los productos y exprésalos como fracción irreductible: a)

4 3 · = 5 7

5 1 · = 9 2

2 4 · = 3 5

7 f) 3 · = 4 10

3 4 · = 4 7

1 7 · = 9 13

6 15 · = 5 2

10 6 · = 3 10

b. Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifica en forma cruzada antes de resolver: a)

3 5 · = 8 21

15 4 · = 18 5

5 2 · = 8 10

4 3 · = 9 16

3 2 · = 4 3

2 5 · = 5 2

c. Calcula el producto, luego exprésalo como fracción irreductible: a) 5 ·

5 = 20

c) 5 ·

6 = 10

9 · 4 = 44

b) 4 ·

5 = 20

d) 4 ·

7 = 4

3 · 6 = 42

HIPERTEXTO

Desarrollo

Números fraccionarios, razones y porcentajes

División de fracciones Archívalo Se dice que la fracción a b b a es recíproca de la fraca b . 7 11 ción b a 11 7 Por ejemplo, la fracción a de ab b7 es 711 11 . El recíproca b ba a11 117 7 producto de una fracción y su recíproca es siempre 1.

El método ocupado para dividir fracciones se basa en la relación inversa existente entre las operaciones de multiplicación y división.

Para multiplicar y dividir fracciones y números mixtos en una calculadora científica debes ocupar la tecla / para la división y * para la multiplicación. La línea de fracción está en la tecla [

El estanque principal de una empresa de bebidas debe distribuir su contenido en 1 3 380 ⋅ 4 + 3 1 523 2 ⋅ 2 + 1 5 botellas de 2 L. El nivel del estanque 7 11 2 4 1 34 380 ⋅ 44+ 3 1 523 2 2 2⋅ 2 + 1 5 11 7 indica que quedan 380 L. 1 523 5 1532 2 1 523 2 1 523 ⋅1 1 523 3 4⋅ = 2 2= ⋅4 = : 2 =4 4 12 523 45 51532 42 15 523 22⋅ 5 1 52310 1 523 3 ⋅1 10 ff¿Cuántas botellas es posible llenar? = ⋅ = ⋅ = : = 10 10 2⋅5 5 4 4 5 2 4 La cantidad de botellas que se pueden llenar se calcula dividiendo la cantidad de litros de bebida que contiene el estanque por la capacidad de cada botella: 1 3 3801 ⋅ 43+ 380 3 1 ⋅523 4 + 32 ⋅12523 + 1 25 ⋅ 2 + 1 5 380 :2

2 4 2 44 44 24 2 2 2 1 523 1 5232 ⋅1 1 523 ⋅1 1 523los 1 523 2 2números 15325 2 1532 523 5 1transformamos 523 Para resolver esta división 1primero = ⋅ ⋅= = ⋅ = = : = : ⋅= = mixtos en fracciones: 210 ⋅5 1 2 4 4 2 5 4 4 5 5 4 2 ⋅5 4 1 1313380 3380 380 ⋅ 4⋅ +4⋅3+4 3+13523 1 523 1 523 2 ⋅22⋅2+2⋅1+2 1+515 5 380 = = 2 2424 4 4 4 4 444 222222 1 523 1 523 1 523 333 1 523 1 523 ⋅1⋅1⋅1 2 2 21 523 1 523 1 523 2 2 21 523 1532 1532 5 5 51532 1 523 1 523 1 523 ⋅ +=1= 5 = = = = ⋅ 2⋅ ⋅ 2= =⋅22=⋅ +2⋅ 41+⋅ +15⋅3=5⋅ =1 523 :3 =:2380 1 13 3380 380 ⋅ 4⋅ +4 3+ 31 523 1:523 424 42= 2 2 4 4 45= 5 5 4 4 4 5 5 5 2 ⋅25⋅25⋅ 5 101010101010 2 24 4 44 24 44 2 24 2 2 4 2 2 1 523 1 523 ⋅11⋅1523 1 2523 2 3 13523 ⋅1 1 523 3 2 1 523 1 523 1 523 1532 15322112523 5 21532 5división 11523 Por lo1 523 tanto 3: 5la:380 = = : 2 ⋅⋅=2⋅ +=1=5⋅ = = = ⋅ = ⋅ =523 = =⋅ 4 + 3⋅ queda: 10 10 10 10 10 10 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5 5 5 5 4 4 4 5 5 5 4 4 4 2 2 2 4 4 4 2 4 4 4 2 2 1

1 523 5 1532 2 1 523 2 1 523 ⋅1 1 523 3 : = ⋅ = ⋅ = = 2⋅5 10 10 4 ⋅ 42 + 3 41 5235 2 ⋅ 24+ 1 55 1 3 380 2 ⋅44 + 3 14 523 2 ⋅ 42 + 1 522 2 1 3 380 1 523 5 1532 2 1 523 2 1 523 ⋅1 1 523 3 2 4Esta fracción 4 : = expresada 4 ⋅ = 2 como 2 ⋅número = mixto=es 152 , es decir, 21⋅ 5523 310 10 5 4 5 4 2 4 1 523 5 1532 2 1 523 2 1 523 1 3⋅1 380 ⋅ 4 + 3 1 523 2 ⋅ 2 + 1 5 = 2 L y=sobran ⋅ de = botellas : = llenar⋅ 152 es posible de litro. 10 22⋅ 54 5 4 4 5 2 4 4 10 4 2 2 1 523 5 1532 2 1 523 2 1 523 ⋅1 1 52 = ⋅ = ⋅ = : = 10 2⋅5 5 4 4 5 2 4 Una forma práctica de dividir dos fracciones consiste en multiplicar la primera fracción (dividendo) por la segunda fracción (divisor) invertida: a c a d a ⋅d : = ⋅ = b d b c b⋅c

40 Unidad 2

Unidad

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes divisiones:

7 2 5 1 4 71 2125 3 1 84 5 19121 318 8 6 5 450 3 3 6 450 100 90 1000 13 177 32 3 9 1 90 18 1000 13 17 100 : = : : = : : :23 : 1 12 : : :: : :: : : :: :g) : : : 2 : 1 12 2 3 6 2 2 24 35 6 32 32 6 4 3 53 3213 7 6 10 5 5 7 1010120 100 1910 000 12 198 55 5 3 3120 21 100 000 12 7 2 51 31 247312412589 3 17 7 3 2 3 7 2 90 1000 42 5137 9 12 91 21 318 90 161000 450 13 171003 13 1 31398 4 1 89 33 18891 65 7450 1 2 100 = : : 2 : 1 :12 2: 3 : 1 12 : 3 :b) : = : : : :2 12 : : 2 :: 27 12 : : 2: h) 7 : : 2 3 6 5 12 5 19 8 5 5 5 8 5 10 000 2410322 6428 355 3443 21 38 76 83 120 21 87100 10 000 100 12 19 2 42 2222435 564 23 10 51053 4 5 10 5120 7 2 51 731 24 351 41 12189 2 4 33 1928 12 813 518 17 133 173 3 7 3 2 7 1000 13100 357439 89 9 91 671450 11823 690450 1 1000 1902 100 = :: 1 2 : : 2 12 : 1: 3 12 : 3 : : c) : : : = : : :2 : 12 : : 2 :2: 7 12 : 2 7: i) : 2 3 6 5 10 000 32 264 525242 43 4 213 2154120 000 12 7 810100 19 125 195 5 8 5 5 8 2 242 2 10 23 5268 533 3 434 610 8 783 510 5120 510100 77 22 55 77 22 18 12 1289 450 90 11000 1000 100 13 13 17 17 33 33 450 100 1 1 31 4 24 3111 43 2 333 9884 55 89 7 99 9113 18 7 166 3 1 21 90 2 j) :: = 22 ::11 12 12 ::33 :: :: :: d) :: = ::2 12 :: 2 2 ::127 2 :: 7 :: 22 33 66 88 55 21 44 5455 24 33210 335 6648 3310334 21 1205 100 100 10000 000 12 12 19 19 55 55 10 2 2 42 22 22 8 877 410 51058120 5 5 5111 1334 422131312 450 12 1000 100 3893 8989 5 5 9779 1 118 100 1313 1717 3 3 3 3 7 7 2 2 4 4 89 3318 6116 450 11 229090 1000 12 12 : 3: 3 : :: :: : : e) : : 22 = : 12 :: : :k) 22 : 1: 1 = 12 2:2: 77 : : 6 6222 2442 2224242 5555 3443 310 100 1010000 3 6 6 3883 3 3 4 0001212 1919 5 5 5 5 8 8 5 5 21 10 421 7887 1010 55 5120 5120 100 12124312 12 13 173 3 3 7 72 2 8 39598 975719 18 90 10001000 100 100 13 17 314 43 8989 313 618 1 450 1 6 1450 12 2 90 = 2 : 77 : : :2 1l) :12 1 12 : 3 : = 3 : : : : : : 2:2f) :2 :2 : 12 : : 12 7 5 510 10 000 12 195 5 5 8 85 5 310 6 3 38683 3 21 120 100 100 10 000 12 19 24222 5 245 5354 43 10 434 721 8 810 5 5 120 894 989 97 73 31 1 2 1 2 2 12 2 b. 122Indica 2 7 si 7la fracción de la primera columna aumenta, mantiene igual o disminuye su valor tras la 45 104 10 8 84 4 8 85 5 5de5cada una de las divisiones señaladas: realización 7 2 5 1 4 1 7122 35 8 1 54 9 1 171218 351 2 3568 1450 2 35681450 4 9 190112 3 68 450 54 9 190 5100 171218 1000 1000 1318 17 : : : : : : : : : : : : : : : : :2: : : : : : :: : : : Divisor Divisor 2 3 6 2 2 4 Divisor 25 3 36 32 62 34 325 21 56 3 3673 210 3100 673210 4 32 521 4 312 5 21 3Divisor 3 73 10 62 3120 62000 3120 10 10 100 19 Dividendo 7 2 5 1 4 1 121 33 82 53 94 89 2 1 18 13 19 36 27450 3 4390 89 11000 19 31 272 100 3 43 89 11917 31 272 33 433 89 1 7 12 97: 312 72 12 3 : :1 2 : : : : : : 2 12: 2 7 2 : 12 2 : 7 2 2 12 2 3 6 2 2 4 5 2 34 32 62 35 34 21 5 5 8 7 10 120 100 10 000 12 19 210 4 28 2 54 4 8210 45 2 85 2 54 4 821045 285 2 54 4 810 5 5 85 4 7 2 5 1 14 3 1 2123 3 3 3 7 2 8 5 9 1 18 6 450 90 1000 100 13 17 4 89 9 7 3 1 1 2 2 : 1 12 : 3 : : : : : : : 2: 12 : 2 7: 2 3 6 2 22 44 2 52 3 8 5 5 34 6103 3 8 21 47 10 8 51205 100 10 000 12 19 5 5 1 3 2 3 4 89 9 7 3 1 1 2 2 12 2 7 2 4 2 2 5 4 10 8 4 8 5 5 a)

23 7

7 2 5 1 4 1 12 3 8 5 9 1 18 6 450 90 1000 100 13 17 2 : : : : : : : : : : 2 3 6 2 2 4 5 3 3 6 3 3 21 7 10 120 100 10 000 12 19 7 1 23 52 13 44 1 6 450 90 1000 100 13 17 3 89 129 : 3 78 : 5 39 : 11 18 1 2 : vertiendo : : sobre : 2 : : : 1. Doña Ester riega sus plantas ellas L de 2 12 2 7 2 2 34 62 22 25 44 510 3 83 6 43 38 215 7 5 10 120 100 10 000 12 19 5 1 3 2 3 4 89 9 7 3 1 1 2 agua al día. Si cada riego consiste en un recipiente 2 12de 2 L7 2 5 90 4 10 4 8 5 5 3 3 7 2 5 1 4 1 12 3 8 5 9 1 2184 62 450 7 2 10008 100 13 17 2 : 1 12 : 3 : : lleno, : ¿cuántas : : :al día riega : : plantas doña : Ester? : veces sus 8 5 4 5903 1000 3 6 3 100 3 21137 17 10 3 120 3 100 7 10 2 000 12 19 5 5 8 5 29 31 6182 62 450 2 1 12 3 : : : 1 :3 2 3 : 4 89 :9 : : 7 100 3 101000 1122 19 5 en 5 trozos 8 iguales 5 3 6 3 3 21 7 10 corta 120 de 2. Javier 2 una 12vara2de 7 m de largo 2 4 2 2 5 4 10 8 4 8 5 5 3 1 1 2 m. ¿Cuántos trozos obtiene tras los cortes? 12 2 7 4 8 5 5

Problemas

3 3

7 8

Números fraccionarios, razones y porcentajes

Razones y equivalencias Camila compró una docena de huevos para preparar una tortilla de acelgas. Cuando llegó a casa 3 de los huevos estaban rotos. ff¿Cómo se puede describir matemáticamente esta situación ocupando comparaciones entre los números involucrados?

Una razón puede contener más de dos términos. Por ejemplo, podemos decir que la razón entre las alturas de cuatro árboles es: 2:3:5:8

A partir del enunciado podemos efectuar diversas comparaciones entre las cantidades que allí se mencionan. Algunas de ellas son: • De un total de 12 huevos, 3 llegaron rotos. • De un total de 12 huevos, 9 llegaron enteros. • Por cada 1 huevo que llegó roto, 3 llegaron enteros. • El cociente entre la cantidad de huevos rotos y enteros es 0,3. Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar a son a y b, la razón entre ellas se escribe como a : b, a/b ó y se b lee “a es a b”. El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente. El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón.

En el caso de Camila, la razón entre huevos rotos y huevos totales es: 3 1 = 12 4 3 : 33 1 1 = == 34 4 12 :12 Esto quiere decir que de cada 4 huevos comprados 1 llegó roto. ff¿Cuál es el valor de esta razón? Simplificando esta fracción:

Simplemente dividimos el numerador y el denominador: 1 : 4 = 0,25 3 1 El valor de la razón= es 0,25. 12 4 42 Unidad 2

Unidad Una semana después, Camila compra dos docenas de huevos, al llegar a casa encontró que nuevamente había quebrado algunos en el camino. Los huevos rotos eran 6 esta vez. ff¿Cuál es la razón de la cantidad de huevos que llegaron rotos respecto al total de huevos comprados? Enlace con… La razón es 6 : 24, o sea,“6 es a 24”. La Salud 3 1 6 6 2 2Los huevos 1 de ave son parte ff¿Qué relación podemos establecer entre las razones= y ? = habitual = de la alimentación 12 4 24 24 8 8humana 4 y animal debido a su importante contenido en Simplifiquemos la fracción que representa a la segunda razón: proteínas y lípidos. Los de 6 : 366 12 2 1 gallinas son los más con=== = sumidos, aunque también 624 48 8 4 24 :12 son comestibles los de pato, Como hemos comprobado, ambas razones son iguales o equivalentes, codorniz y avestruz. ya que las fracciones que las representan tienen el mismo valor. Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.

Ejercicios individuales a. Escribe cómo se leen las siguientes razones e idea una situación que se pueda representar matemáticamente por cada una de ellas:

Razón

Se lee…

Situación

1 3 5 2 3 2 7 6 5 2 1 3 5 2 3 2 7 6 5 2 1 3 5 2 3 2 7 6 5 2 1 3 5 2 3 2 7 6 5 2 1 3 5 2 3 2 7 6 5 2

b. Escribe una razón que se pueda extraer de cada una se las siguientes situaciones: Situación

Razón

En la sala de clases hay 15 mujeres y 20 hombres. Cada 2 litros de agua tienes que poner 3 cucharadas de sal. El automóvil recorrió 200 km en 2 horas. Números fraccionarios, razones y porcentajes

Las proporciones y su propiedad fundamental Archívalo Las razones y proporciones tienen aplicaciones en diversas disciplinas; por ejemplo, en ingeniería se emplean en las escalas para realizar planos; en el área contable, para realizar movimientos financieros; y en la vida diaria, para efectuar operaciones aritméticas.

En su botillería recién inaugurada don Mauricio vende paquetes de 6 botellas de bebidas a $ 9 600 cada uno. ff¿Cuál es el precio de 2 de estas botellas de bebida? Una forma de encontrar la solución a este problema es plantear las razones correspondientes y establecer un vínculo entre ellas: 2 botellas 6 botellas = x pesos 9600 pesos Esta igualdad nos indica que el valor de la razón existente entre el número de botellas vendidas y su costo es siempre la misma. La relación se lee: “6 botellas son a $ 9 600 como 2 botellas son a $ x” y corresponde a una proporción. En ella, la x representa el costo de 2 botellas y es el valor desconocido que debemos encontrar. Una proporción es una igualdad entre dos razones. Si las razones a : b y c : d forman una proporción, entonces esta se escribe como sigue: a:b=c:d (“a es a b como c es a d”) Si expresamos esta proporción en forma fraccionaria queda: a c b⋅c a ⋅d a ⋅d b⋅c = a= b= c= d= c b a b d d A a y d se les llama extremos y a b y c, medios. Dos razones forman una proporción, solamente si el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios: a c b⋅c a ⋅d a ⋅d b⋅c (con b y dd diferentes de 0) = si a =y solo siba=· d = b · c = = b d d c b a La igualdad anterior puede ser expresada de cuatro formas análogas: a c b⋅c a ⋅d a ⋅d b⋅c = a= b= c= d= b d d c b a Esta relación matemática es conocida como la propiedad fundamental de las proporciones.

Para encontrar el valor de x, aplicamos la propiedad fundamental: Botellas $ 44 Unidad 2

Razón 1 6 9 600 (costo de 6 botellas)

Razón 2 2 x (no sabemos el costo de 2 botellas)

Unidad En amarillo se indican los extremos de la proporción y en celeste sus medios. Como el término desconocido (incógnita) está en la posición de la d del cuadro de definición, aplicamos la cuarta forma de expresar la propiedad fundamental: 2 9600 ⋅ 2 19 200 6 = = = = 3200 6 6 9600 3200 En consecuencia 2 bebidas cuestan $ 3 200. x=

Para comprobar que nuestro ejercicio está correcto, podemos sustituir el valor de x por 3 200 y calcular el valor de cada una de las razones que forman la proporción. Estos valores deben ser iguales. x=

6 19 200 9600 ⋅ 2 2 = 3200 = = = 0,000625 9600 3200 6 6

Ejercicios individuales a. Aplica la propiedad fundamental para encontrar el valor de x en las siguientes proporciones: a)

x 7 5 25 5 20 x 2 7 5 25 5 20 xx 2 = = = = = = = c) = 10 70 x 10 5000 x 4 20 10 70 x 10 5000 x 4 20

x 2 7 5 25 5 20 xx 7 5 25 2 5 20 x = = b) = = = = = = d) 10 70 x 10 5000 x 4 10 20 70 x 10 5000 x 4 20

Problemas 1. Un pintor ha sido contratado para pintar una pandereta de 3 m2. Ha comprado 2 galones de pintura y le ha alcanzado justo. Al ver su trabajo, los vecinos de ambos lados le han pedido que trabaje para ellos. El vecino de la izquierda le ha encargado un muro de 9 m2 y el vecino de la derecha le ha pedido que pinte la entrada de la casa, que tiene una superficie de 4 m2, y el muro del patio, que mide 8 m2: a) ¿Cuántos galones de pintura debe comprar para realizar el trabajo que le encargó el vecino de la izquierda? b) ¿Cuántos galones necesita para hacer el trabajo al vecino de la derecha? c) ¿Para cuál de los dos trabajos necesita más galones de pintura?

Números fraccionarios, razones y porcentajes

Porcentajes Al final del semestre, el Departamento de Matemática de un colegio pone en su diario mural la siguiente información:

Un porcentaje puede ser un número mayor que 100, es decir, 150%, 200% o más. Este tipo de porcentaje se presenta principalmente cuando se quiere describir el incremento de algo. Por ejemplo, si una semana un museo recibió 80 visitas y a la semana siguiente recibió 160 visitas, puede decirse que recibió el 200% de visitas en relación a la semana anterior. Si se quiere describir solo el aumento, se indica la diferencia, es decir: “esta semana las visitas al museo se incrementaron en un 100%”. ¡Claro! Porque 80 es el 100% de 80 y las visitas aumentaron justamente en 80 personas.

El 80% de los estudiantes de 6º año básico obtuvo nota sobre 5 en la última prueba de nivel.

ff¿Qué información entrega el valor 80%? La expresión 80% quiere decir que 80 de cada 100 estudiantes obtuvo nota sobre 5 en la prueba. 80 80 de cada 100   80% 100 Un porcentaje es una fracción decimal que expresa el número de partes que se consideran de un total de 100. Al expresarse como porcentaje es posible comparar diferentes cantidades en relación a un todo, que es 100.

ff¿Cuál es el porcentaje si 60 de cada 100 estudiantes obtuvieron nota sobre 6? 60 60 de cada 100   60% 100 Si una cantidad se divide en 100 partes, es fácil describirla mediante porcentajes. Observa:

46 Unidad 2

1 10 = 10 100

10%

1 = 25 4 100 25%

1 = 50 2 100 50%

3 = 75 4 100 75%

Unidad

Ejercicios individuales a. Señala el porcentaje que representa la zona sombreada de cada figura: a)

b. Encierra cada fracción decimal que sea mayor que 50%: 56 100

23 100

5 100

80 100

45 100

98 100

c. Escribe el porcentaje y el número decimal que representa cada afirmación: a) 23 de cada 100 personas prefiere los helados de frutilla que de otros sabores.



b) 50 de cada 100 personas encuestadas considera el inglés como un idioma muy importante.



c) 84 de cada 100 niños prefiere el fútbol sobre otros deportes.



d) 3 de cada 100 personas encuestadas conoce Europa.



Problemas 1. Dos teatros que quedan en la misma cuadra estrenaron una obra esta semana. Al de la esquina norte asistieron 30 personas y al de la esquina sur asistieron 112 personas. Ambos se llenaron en un 50%. ¿Cuál es la capacidad de cada teatro? 2. Dos amigas que estudian en distintos colegios compararon los resultados obtenidos en una prueba. Juana tenía una prueba de 60 puntos y Dominga, una prueba de 40 puntos. En ambas pruebas, las niñas obtuvieron un 100% de rendimiento. ¿Qué puntaje obtuvo cada una?

Números fraccionarios, razones y porcentajes

Formas de expresar un porcentaje Martín en su trabajo gana $ 450 000 al mes. El 30% lo destina al pago del arriendo de su vivienda. ff¿Cuánto paga de arriendo? Archívalo Arrendar consiste en ceder o adquirir el uso o aprovechamiento temporal de cosas, obras o servicios, a cambio de un monto de dinero y de su devolución en perfecto estado tras la extinción del contrato de arrendamiento.

Existen varias maneras de resolver este problema ya que un porcentaje puede interpretarse de muchas formas. Veamos algunas de ellas: Forma gráfica:

En esta representación, de las 100 partes en que está dividida la figura sombreamos 30. Si cada una de estas partes vale $ 4 500 (resultado de dividir $ 450 000 en 100 partes iguales) y 30 de ellas están sombreadas, entonces el 30% equivale a 30 · 4 500 = $ 135 000. Como fracción o decimal:

Para calcular el porcentaje de un número debes multiplicar el porcentaje –expresado en forma decimal o fraccionaria– por el número.

El porcentaje se puede expresar como una fracción y como un decimal. Si analizamos que el 30% se puede interpretar como 30 partes de 100, entonces podemos decir que: 30 ⋅ 450 000 x 30 x 30 = x= = 30%  100 100 100 100 450 000 Si calculamos el valor de la fracción decimal tendremos una forma decimal de expresar el porcentaje. 30%  0,3 Ocupando cualquiera de estas formas podemos calcular mediante una multiplicación que el 30% de 450 000 es: 30 ⋅ 450 000 13500 000 x 30 x 30 = 135000 x = = 135 000 = · 450 000 = 0,3 · 450 000 100 100 100 100 100 450 000 Como razón: Anteriormente estudiamos que una razón es la comparación entre dos cantidades y si pensamos que el porcentaje representa una determinada cantidad de partes de un total que es 100, entonces vemos que el porcentaje se puede representar como la razón: “x es a 100”, es 30 ⋅ 450 000 13500 000 x 30 x 30 = 135000 = x= = decir, x : 100 ó . 100 100 100 100 100 450 000

48 Unidad 2

Unidad Una proporción es la igualdad entre dos razones, por lo que un problema de porcentajes puede siempre resolverse ocupando la propiedad fundamental de las proporciones. En este caso la proporción es “30 es a 100 como x es a 450 000” o, matemáticamente: x 30 ⋅ 450 000 13500 000 30 x 30 = 135000 = = x= 100 100 100 100 100 450 000 Resolviendo: 30 ⋅ 450 000 13500 000 x 30 x 30 x= = = = 135000 100 100 100 100 100 450 000 Martín paga de arriendo $ 135 000. El porcentaje se puede expresar de diferentes formas: • Forma gráfica: como una determinada parte de un conjunto de 100 elementos. • Fracción: como una fracción cuyo denominador es 100. • Número decimal: como el valor de la fracción que representa al porcentaje. • Razón: como una razón utilizando siempre 100 como consecuente.

Ejercicios individuales a. Expresa los siguientes porcentajes en las tres formas indicadas. Básate en el ejemplo: Porcentaje Fracción Decimal Razón

15% 15 100

20%

38%

42%

67%

100%

110%

3 20

0,15 15 : 100

b. Representa gráficamente los porcentajes que se señalan: a)

33,3%

25%

Números fraccionarios, razones y porcentajes

Operaciones con porcentajes Álvaro y sus papás fueron de compras. Como era época de liquidación encontraron ofertas con diferentes porcentajes de descuento. Álvaro compró unos guantes de arquero que costaban $ 9 000, ahora con un 8% de descuento. El papá compró una raqueta de tenis que costaba $ 18 000, ahora con un 25% de descuento. La mamá pagó $ 12 000 por un buzo que costaba $ 15 000 antes del descuento. ff¿A cuánto dinero corresponden los descuentos aplicados a los productos de Álvaro y su papá? ff¿Cuál es el porcentaje de descuento aplicado al buzo? Para responder la primera pregunta tenemos que calcular la cantidad de dinero que representa, en cada caso, el porcentaje de descuento. En el caso de los guantes, el 8% de 9 000 es: 8 25 1 x 3000 100 ⋅ 3000 300 000 = 0,08 100 100 4 100 15000 15000 15000 8% de 9 000 = 0,08 · 9 000 = 720 8% 

Al precio de los guantes se deben descontar $ 720. En el caso de la raqueta de tenis, el 25% de 18 000 es: 8 8 2525 1 1 x x 3000 3000 100 100 ⋅ 3000 ⋅ 3000300 300 000 000 25%  = = 0,25 100 100100 1004 4100 10015000 15000 15000 15000 15000 15000 25% de 18 000  0,25 · 18 000 = 4 500

Desafío

al ingenio

Un producto de importación pasa por cinco intermediarios, cada uno de ellos lo vende añadiendo un 10% al precio que paga por él. ¿En qué porcentaje se verá incrementado el precio final cuando llegue al consumidor?

Al precio de la raqueta de tenis se deben descontar $ 4 500. En el caso del buzo, el x% de 15 000 debe equivaler a 3 000, ya que es el monto descontado (15 000 – 12 000 = 3 000). 8 25 1 x 3000 100 ⋅ 3000 300 000 x%  100 100 4 100 15000 15000 15000 8 8 2525 1 1 x x 3000 3000 100 100⋅ 3000 ⋅ 3000300 300 000 000 Resolveremos utilizando una proporción: = 100 100100 1004 4100 10015000 15000 15000 15000 15000 15000 Aplicando la propiedad fundamental: 8 8 2525 1 1 x x 3000 3000 100 100 ⋅ 3000 ⋅ 3000300 300 000 000 = = 20 x= 100 100100 1004 4100 10015000 15000 15000 15000 15000 15000 Al precio del buzo se le aplicó un 20% de descuento.

50 Unidad 2

Unidad ff¿Cuánto pagaron por los tres productos? Para saber cuánto pagaron por los tres productos, solo habría que restar al precio de los guantes y de la raqueta de tenis los descuentos y al resultado sumarle los $ 12 000 que costó el buzo. Observa la siguiente tabla en la que se han destacado con rojo las cantidades calculadas: Producto

Precio [$]

Guantes

% descuento

9 000

Cantidad pagada [$]

9 000 – 720 = 9 280

Raqueta de tenis

18 000

18 000 – 4 500 = 13 500

Buzo

15 000

15 000 – 3 000 = 12 000

TOTAL A PAGAR

Un porcentaje de descuento se puede indicar anteponiéndole un signo negativo. Por ejemplo, un 18% de descuento lo podemos representar por -18%. Análogamente, un interés lo podemos representar anteponiendo un signo positivo al porcentaje.

34 780

Ejercicios individuales a. Calcula el valor de los siguientes porcentajes: a) 10% de 5 000 =

d) 15% de 10 000 =

b) 50% de 40 000 =

e) 20% de 57 860 =

c) 25% de 98 260 =

f) 63% de 150 000 =

Ejercicios grupales a. Formen un grupo de 4 personas y pónganse en esta situación: se les asigna un presupuesto

de $ 100 000 para ir de compras. Seleccionen dentro de los siguientes productos lo que van a comprar, considerando el descuento aplicado a cada uno y el presupuesto del que disponen (pueden comprar varias unidades de un mismo producto). Armen su canasta de compras y preséntenla al curso: - MP3: $ 38 500 (–50%) - Pelotas de tenis: $ 5 000 (–18%) - DVD El hombre araña 3: $ 12 000 (–30%) - Zapatillas: $ 25 000 (–15%)

Problemas 1. En una ciudad de 98 000 habitantes, el 27% anda en bicicleta. a) ¿Que fracción representa a los habitantes que usan bicicleta? b) ¿Cuántos habitantes no andan en bicicleta? 2. Una familia tiene un presupuesto de $ 200 000 mensuales para el supermercado. El 10% lo destina a golosinas, el 27% a artículos de aseo y el 52% a alimentos. a) ¿Cuánto dinero destina la familia para artículos de aseo? b) ¿Cuánto dinero destina la familia para golosinas y alimentos? HIPERTEXTO

Desarrollo

Números fraccionarios, razones y porcentajes

Interpretación de información porcentual

Desafío

al ingenio

Debes comprar una calculadora científica que cuesta $ 18 000. La tienda que la ofrece le aplica un descuento del 15%. Sin embargo, también debe incorporarle el IVA que incrementa su valor en un 5%. ¿Qué opción es preferible para adquirirla a un valor menor, que se le aplique el IVA antes del descuento o después de él?

Una cadena de tiendas realiza rebajas en algunas de sus áreas de productos: en perfumería un 20% de descuento, en juguetería un 30% y en electrónica un 15%. ff¿Qué significa para nosotros esta información? Cuando hablamos de porcentaje de descuento o porcentaje de aumento, debemos tener en cuenta que este porcentaje se calcula respecto al precio del producto. Por ejemplo, el aplicar un 30% de descuento a juguetería no significa que del precio de cada uno se descuente la misma cantidad de dinero. Esta cantidad es variable y depende del precio de cada juguete. ffSi un juego de azar cuesta $ 10 000 y un autito cuesta $ 5 000, ¿cuánto debemos pagar por estos productos? Calculamos el 30% del precio de cada uno de ellos y esta cantidad de dinero es la que debemos descontar del precio original de cada producto. Observa: Juguete Juego de azar Autito

Archívalo El Servicio Nacional de Turismo SERNATUR es un organismo público encargado de promover y difundir el desarrollo de la actividad turística de Chile. La Dirección Nacional está ubicada en la ciudad de Santiago y tiene representación en todas las regiones del país a través de las Direcciones Regionales de Turismo.

Precio

30% del precio

Lo que pagaremos

$ 10 000

0,3 · 10 000 = 3 000

10 000 – 3 000 = 7 000

$ 5 000

0,3 · 5 000 = 1 500

5 000 – 1 500 = 3 500

A menudo encontramos en diarios o revistas informaciones en términos porcentuales y es importante saber interpretarlas de manera correcta. En un diario encontramos una noticia que dice: Sernatur celebró el rumbo que ha mostrado el turismo en el 2008 Las proyecciones sobre el número de turistas que llegarían al país indicaban aproximadamente 700 000 visitantes para los dos primeros meses del 2008. Sin embargo se registró el ingreso de más de 750 000 personas, lo que significa un 13,6% más de visitas que en el 2007. Se informó también que Santiago y sus alrededores fue el lugar más visitado con un 46,8% del total de turistas.

ffAproximadamente, ¿cuántos turistas vinieron al país los dos primeros meses del 2007? ff¿Cómo interpretas el porcentaje de visitantes que tuvo Santiago? Identifiquemos los datos contenidos en la información:

52 Unidad 2

Unidad x es la cantidad de personas que vino el 2007  100% 750 000 son las personas que vinieron el 2008  113,6% (100% + 13,6%) Estos datos los podemos escribir como una proporción: 113,6 750 000 100 ⋅ 750 000 = x 100 113,6 Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: 113,6 750 000 100 ⋅ 750 000 = = 660 211,2676 x= x 113,6 100 Es decir, aproximadamente 660 211 turistas visitaron Chile durante los primeros dos meses del 2007. La información también nos indica que el 46,8% de los turistas prefirió Santiago como destino. En otras palabras podemos afirmar que casi la mitad de los visitantes eligió como destino turístico nuestra capital: 0,468 · 750 000 = 351 000 De los 750 000 turistas que visitaron Chile durante los dos primeros meses del 2008, 351 000 eligieron como destino Santiago y sus alrededores.

Ejercicios individuales a. Ocupando el porcentaje de descuento a artículos de perfumería mencionado en la página anterior completa la siguiente tabla: Artículo

Precio [$]

Descuento [%]

Perfume de naranja

8 000

Colonia inglesa

3 500

Talco

2 800

Gel

2 100

Crema para manos

2 400

880

Jabón

Precio con descuento [$]

b. Imagina que un supermercado ha realizado un aumento del 5% en los precios de las bebidas. Luego, completa la siguiente tabla: Bebida

Precio [$]

Aumento [%]

Medio litro

420

Un litro

560

Un litro y medio

840

Dos litros

1 100

Dos litros y medio

1 440

Tres litros

1 680

HIPERTEXTO

Desarrollo

Precio con el aumento [$]

Números fraccionarios, razones y porcentajes

Resolución de problemas Problema modelo El precio normal de una chaqueta es de $ 15 000. En época de rebajas la misma chaqueta cuesta $ 12 000. a) ¿Cuál es la rebaja porcentual de la chaqueta? b) Si la rebaja fuera del 30%, ¿cuál sería el nuevo precio? c) Si al valor calculado en la parte anterior se le aplica un IVA del 8%, ¿cuánto costará la chaqueta? a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?

• El precio antes y después de la rebaja. • El porcentaje de rebaja para la segunda situación. • El aumento porcentual del precio debido a la aplicación del IVA. b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?

• Calcular el porcentaje que representa 12 000 de 15 000 y por sustracción con el 100% el porcentaje de descuento. • Calcular el 30% de 15 000 y restar este valor a 15 000 para responder a la parte b). • Calcular el 8% de la cantidad calculada en b) y sumarla a ella. c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

000 000 ⋅100 15 0001512 12 00012 000 00012 ⋅100 = 80  100% – 80% = 20% = x= = x x 100 10015 00015 000 • 0,3 · 15 000 = 4 500  15 000 – 4 500 = 10 500 • 0,08 · 10 500 = 840  10 500 + 840 = 11 340 •

d) Responde: Contesta las preguntas del problema

• La rebaja porcentual de la chaqueta corresponde al 20%. • Tras la rebaja del 30% el precio de $ 15 000 se reduce a $ 10 500. • El valor de la chaqueta tras aplicarle una rebaja del 30% y luego un incremento en el precio por la aplicación de un IVA del 8%, se transforma en $ 11 340. e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Para comprobar la parte a) se puede restar 12 000 de 15 000 y calcular qué porcentaje representa este número de 15 000. • En la parte b) se puede confirmar que 10 500 es el 70% de 15 000. • En la parte c) se puede calcular el 108% de 10 500 para confirmar que es 11 340. 54 Unidad 2

Unidad Problema 1 Un día muy frío de junio Samuel se dirige a un almacén a comprar combustible para su estufa. Allí encuentra que el precio de 1 L de parafina es de $ 850. Samuel dispone de dos bidones, uno pequeño de 3 5 capacidad L y uno grande de capacidad 4 L. 4 2 a) ¿Cuánto dinero gastará en llenar el bidón pequeño? b) ¿Cuánto dinero gastará en llenar el bidón grande hasta un 80% de su capacidad? c) ¿Cuánto dinero gastará si pide que le llenen ambos bidones?

Problema 2 Al cabo de 2 años de constantes sequías el precio del arroz se multiplica por 2,35. a) ¿Cuál ha sido el aumento expresado porcentualmente? b) Si el precio inicial del kilogramo de arroz era de $ 320, ¿cuál será su precio dos años después?

Problema 3 La masa de 28 sacos de harina es de 994 kg. a) ¿Cuál es la masa de 12 sacos? b) Si un panadero carga 1 171,5 kg de harina en su camioneta, ¿cuántos sacos ha comprado? c) ¿Cuál es la masa de medio saco de harina?

Problema 4 Camila quiere comprarse un MP3 que cuesta $ 35 400. Su amiga Verónica ofrece prestarle los $ 35 400 con la condición que le devuelva el préstamo con un 12% de recarga. Josefina, otra amiga de Camila, ofrece prestarle $ 20 000 con un 5% de recarga y otros $ 15 400 con un 7% de recarga. a) ¿Cuánto debería devolver a Verónica si acepta su préstamo? b) ¿Cuánto debería devolver a Josefina si acepta su oferta? c) ¿A quién debe pedir el préstamo si desea pagar el mínimo de interés? Números fraccionarios, razones y porcentajes

Tecnología activa Trabajando con porcentajes A continuación podrás elaborar una planilla en Excel que te permitirá calcular los precios finales de diferentes productos, tras aplicar un descuento porcentual al precio normal. El dueño de una tostaduría aplica un descuento del 10% a sus productos para celebrar con sus clientes el primer aniversario del negocio. Algunos de los productos que ofrece y sus precios por kilogramo se indican en la siguiente tabla. A partir de ellos encuentra los precios finales una vez aplicado el descuento. Producto

Avena

Alpiste

Harina

Maravilla

Mijo

Trigo

Precio por kg [$]

1 100

1 200

900

850

1 150

1 250

1. Creación de la hoja de cálculo. ›› Crea un proyecto: “Cálculo de porcentajes”. ›› En B1 escribe "Precio por kg [$]". ›› Traspasa los datos de la tabla. En la columna A, a partir de la celda A2, anota los nombres de los productos. En la columna B, a partir de la celda B2 anota los precios normales por kilogramo de producto. ›› Tu planilla debe verse como se indica a continuación:

›› En la celda C2 anota el porcentaje de descuento. En este caso anota 10. ›› En la celda C3 escribe “=C2”. Luego, dirige el cursor al extremo inferior derecho de la

celda C3 y cuando aparezca una cruz negra + arrastra el mouse hasta la celda C7. Tendrás en las celdas de la C2 a la C7 el número 10. 56 Unidad 2

Unidad ›› En la celda D2 anota “=B2-(C2/100)*B2”. Haz enter y te aparecerá el precio de la avena

tras aplicar un descuento del 10%. ›› Acerca el cursor al extremo inferior derecho de la celda D2 y cuando aparezca la cruz negra arrastra el mouse hasta la celda D7. Te aparecerán cada uno de los precios con descuento de los productos. Tu hoja de cálculo debe verse como se indica a continuación.

Si deseas variar el porcentaje de descuento basta que en la celda C2 escribas el nuevo porcentaje y hagas enter. Automáticamente aparecerán los nuevos precios.

2. Aplicando lo aprendido.

Completa las tablas considerando los descuentos aplicados en cada caso. Utiliza la planilla que acabas de confeccionar: a) Descuento de un 12% Producto

Avena

Alpiste

Harina

Maravilla

Mijo

Trigo

Alpiste

Harina

Maravilla

Mijo

Trigo

Alpiste

Harina

Maravilla

Mijo

Trigo

Alpiste

Harina

Maravilla

Mijo

Trigo

Precio final [$]

b) Descuento de un 15% Producto

Avena

Precio final [$]

c) Descuento de un 20% Producto

Avena

Precio final [$]

d) Descuento de un 25% Producto

Avena

Precio final [$] Números fraccionarios, razones y porcentajes

Síntesis de la unidad Ficha 1 Una fracción es una expresión matemática que indica una parte de un total. Se expresa mediante la a a c a ⋅c división de dos números a y b: . ⋅ = b b d b ⋅d

Ficha 2 El resultado de la multiplicación de dos fracaciones c acorresponde d a ⋅d a a cuna nueva fracción cuyo : = ⋅ =es el producto = numerador de sus numeradob d b c b ⋅c b d res y cuyo denominador es el producto de sus denominadores: a a c a ⋅c a c a d a ⋅d a c ⋅ = = : = ⋅ = b b d b ⋅d b d b c b ⋅c b d

Ficha 3 La división de dos fracciones puede desarrollarse multiplicando la primera fracción (dividendo) por la fracción recíproca de la segunda (divisor): a a c a ⋅c a c a d a ⋅d a c : = ⋅ = ⋅ = = b b d b ⋅d b d b c b ⋅c b d

Ficha 4 Una razón es una expresión matemática que permite comparar dos o más cantidades mediante su cociente. Si los términos a comparar son a y b la razón se a a c a ⋅c a c a d a ⋅d a c escribe a : b o . En de la= : antecedente = ⋅ = ⋅ ellas = a es el b b d b ⋅d b d b c b ⋅c b d razón y b el consecuente.

Dos razones equivalentes son aquellas que tienen el a a c a ⋅c a c a d a ⋅d aa a cc a ⋅c a c y= ⋅ = mismo valor. A la⋅ igualdad entre dos⋅razones = : = = : = b b d b ⋅d b d b c b ⋅c b b b dd b ⋅d b d se le llama proporción y se anota:

Ficha 5

a a c a ⋅c a c a d a ⋅d a c = ⋅ = : = ⋅ = b b d b ⋅d b d b c b ⋅c b d

Un porcentaje es una fracción decimal que indica la cantidad de partes que se consideran de un total de 100 partes en que se divide un total. Si se consideran x partes de 100, entonces se habla del x%.

La propiedad fundamental de las proporciones aplicada a la anterior proporción indica la siguiente igualdad: a·d=b·c

Para calcular el porcentaje de un número se multiplica el porcentaje expresado como fracción o decimal por el número.

58 Unidad 2

HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. Desarrolla las siguientes multiplicaciones: 12 3 1 2 6 3 200 152 14 122 3 1 d) 2 6 3 = 200 a) 2 ⋅ 1 = ⋅ 15 9 4 ⋅ 12 ⋅ ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅9 ⋅ 1 ⋅ 7 ⋅ 3 4 11 7 3 5 3 6 30 43 49 115 7 3 5 3 6 30 4 9 5 3 4 3 6 7146 3 42 30 4 3 4 3 6 7 6 2 4 14 3 4 30 12 : 2 : : : 6 :: 3 12 : 2 : : 6 :3 : : 4 13 4 8 69 7 7 11 9 7 5 8 5 8 17 4 13 4 8 6 7 11 17 4 12 3 x 7 49 1 x 11 4 108 12 x6 73 200 49 115 x 411 2108 x 3 2 b) 1 12= 3 = 1 =2 6 3 = 200 15=2 14 12==2 3 31x =2 3 = e) = ⋅ 1= ⋅ 7 ⋅ ⋅ = 9 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅9 ⋅ 1 ⋅ 7 ⋅ ⋅ = 5 7x 12 70 643 34911 5 3 4 11 3 5 43 x6 30 115 7x 12 36 5 243 x6 70 30 6 4 3 911 5 x 6 2 14 3 4 30 12 3 : 2 4 3 : 6 714: 6: 36 42 :: 30 3 412 3 : 2 4 3 : 6 7 : 6 6 2 : 3 4 : : 4 13 4 8 69 7 7 11 9 7 5 8 5 8 17 4 13 4 8 6 7 11 17 4 312 13 2 6x 37 200 49 215 1 1 x12 12 x 6 3x3 7 49 11 108 x 3 2 1 12 4 11432 108 1 23 15 1 =4x 2 ==⋅ 200 = ⋅ f) c) 9 3⋅ 111== x 6 = 2 ⋅ ⋅= 7 ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ =9 ⋅⋅1 ==7 ⋅ 5 x 12 4 x 70 6 3 11 5 x 12 6 2 4 x 70 6 3 4 11 7 3 5 3 6 30 34 4 11 9 75 3 5 3 6 30 4 9 5 3 4 3 6147 36 4 230 4 3 4 3 6 7 6 2 4 14 3 4 30 12 : 2 : :: 6 : : 312 : 2 : : 6 :3 : : 4 13 4 8 96 77 5 118 17 4 13 4 8 6 7 11 17 9 7 5 8 4 12 3 x 7 49 1 x 411 121083 x x 37 49 1 x 11 108 x 3 2 =1 15 1 2= 6 3 200 15 = 4 2 = = 2 1 12 = 3 =1 2 =6 =3 200 =12 3 =4 2 = ⋅ siguientes ⋅ 70 ⋅71 6⋅ 3 ⋅ 11 x⋅ 6 9 2⋅ 1 5 b. x 12 4⋅ x las 70 67 3⋅ 511 ⋅divisiones: x x12⋅ 6⋅ 4 2x9 Desarrolla 3 4 11 7 3 5 3 6 30 3 4 411 79 3 5 5 3 6 30 4 9 5 4 3 6 7 6 2 4 14 3 4 30 : = : 12 3 : 2 4 314: 6: 3 74: 6: 306 212: 33 :42 d) : = : 6 : 3 a) 4 13 49 87 6 5 7 8 11 4 17 13 4 8 6 7 11 17 9 7 5 8 49 1 12 4 x43 12 112 1 3108 49 115 x 411 2108 x 3 2 1 124 =3 12 132= 6x 37 = 200 2 115 2 x6x73 3200 = ⋅ ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅⋅ =9=⋅ ⋅ 17= ⋅ = ⋅ == ⋅ = 9 ⋅ 1= 5 x 12 4 x 70 6 5 3 x 11 12 x 4 6 x 2 70 64 3 911 5 x 6 2 3 4 11 7 3 5 3 6 303 44 11 97 53 5 3 6 30 6 37 46 302 34 4 3 6 7 6 14 3 4 30 : 12 3 : 2 4 314 : = 6 2 :3 4 : : : : 6 12 :3 :2 : : b) = e) 4 13 4 98 7 6 57 811 4 17 13 4 8 6 7 11 17 9 7 5 8 4 12 3 x 7 49 1 4 x 11 12 108 3 x x 7 49 115 x 411 2108 x 3 2 1 12 =3 1 2= 6 3 = 2002 15 1 124 3 2 1 =2 6 =33= 200 = 7 ⋅ ⋅ =9 =⋅ ⋅ 1 = ⋅ = 9 ⋅ 1= ⋅ ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 703 4 64 5 39 11 3 4 115 7 x 3125 34 6x 30 11 7x 5 12 3x 5 463 x62 70 30 64 3 911 5 x 6 2 3 4 3 14 6 73 64 30 2 6 2 4 14 3 4 30 3 43 : 2 4 3 : 6 7 f) : 6 :3 : : c) 12 : 2 = : : : 6: : 12 = 4 13 4 89 67 75 11 174 13 4 8 6 7 11 17 9 7 5 8 8 3 xx 73 49 1 x 11 108 x 3 4 12 3 x 7 49 1 x4 1112 108 = = = = = = = = = = = = 5 x 12 4 x 70 6 35 11x 12 x 64 x2 70 6 3 11 x 6 2

c. Señala la razón que representa cada situación planteada: a) José tiene 14 años, 3 más que su hermana Josefina.

Razón de las edades de los niños.

b) Hoy Miguel corrió 12 km, el triple que ayer.

Razón entre lo que corrió Miguel ayer y hoy.

c) El litro de gasolina ayer costaba $ 640. Hoy compré 3 L en $ 1 770.

Razón del precio del litro de gasolina hoy y ayer.

Números fraccionarios, razones y porcentajes

d. Calcula el valor de las siguientes razones: a) 2 : 5 =

c) 12 : 24 =

b) 13 : 4 =

d) 50 : 54 =

e. Enlaza las razones de la columna izquierda con sus equivalentes a la derecha: 2:3 3:5 40 : 50 7:7 3 : 36 4:6 3:3 8 : 10 2 1 12 3 1 2 6 3 200 2 15 1 12 43 2 1 2 6 3 200 15 4 2 9 ⋅ ⋅ 17 ⋅ 9 ⋅ 11 :12 ⋅ ⋅ ⋅ 67 : 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 4 11 7 3 5 3 6 303 44 11 97 5 3 5 3 6 30 4 9 5 41 312 2 4 3 14 2306 3 3 14 41 23026 3 34200 4153 64 7 2 6 2 1Calcula 12143 : el 200 46 3: 732 : 6 : 22⋅ 15 :⋅3 : 2 ⋅ fundamental : 3 proporciones: :⋅ 6 la 12 f. término desconocido propiedad las 9: 8 ⋅61 : 7 6de ⋅ ⋅9 7 ⋅ : 8 ⋅12 ⋅ 49:9aplicando ⋅ ⋅ 1677 7 4 13 8 11 17 4 13 4 11 17 7 5 5 8 3 4 11 7 3 5 3 6 30 3 44 119 7 5 3 5 3 6 30 4 9 5 12 x 3 x 7 49 1 x 11 108 x 3 4 4 12 3 x 7 49 1 4 12 3= 43 6 73 642 =630 2 3= 200 4 =34d) 6 27 = 6 112=x 108 4 x 3 3 14 230 14 =2 x:2 = 115 2 1 12143 : a) 3 3 200 15= 6: 11 312x43=: ⋅2 :70⋅ 17:261: =⋅ 5 : 12 :⋅ 1 6 : 3 611 : 3=x 6 = 2 : = 6x⋅12 12 4 x 3 6 2 5 x 4 x 70 9 9 ⋅ ⋅ ⋅9 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4 9789 657 4 413 49 8 56 7 11 17 8 6 17 3 4 11 7 7 35 5 83 6 430 3 13 44 11 3 755 311 30 49 108 12 33 x 4 7 314 73 6497 16 x 211 4108 x 3 6 371 4=6 x430=11 212 343 =x4x = 3 14 3 44 30 x= 1212 :=24 x =x :=70 6 : 3= :=3 12 : 2 64 x2 := 70 :6 =e) : : = b) : 6: :356 1112 x 5 x x 4 13 4 98 76 57 811 417 13 4 8 6 7 31111 17x 6 2 9 7 5 8 108 xx 7 3 49 1 x 11 108 x 3 4 12 3 x 7 49 1 4x 11 12 3 = == = =c) = = = f) =x == = = x= 5 x 12 4 x 70 6 53 11 x 12x 46 x 2 70 6 3 11 x 6 2

g. Completa la siguiente tabla con precios de artículos a los que se les aplican porcentajes de descuento (signo –) o de recarga (signo +): Precio inicial [$] 750

Descuento o recarga + 20%

440

374 + 30%

180 600

Precio final [$]

49 140

- 7%

h. Completa con los números que corresponda: a) Tras la aplicación de un 15% de impuesto el kilogramo de trigo me costó $ 759. El precio antes del impuesto era de $ _____. b) El precio de una acción quedó en $ 571,33 tras caer sucesivamente en un _____% y en un 5%. El precio inicial de la acción era de $ 620.

i. En una tienda de telas solo queda un rollo de tela cuadriculada verde. Cada rollo consiste en 125,3 m de tela. a) Si llegan 4 compradoras y se reparten en partes iguales el rollo de tela verde, ¿cuánto le corresponde a cada una? b) Si llegan 5 compradoras y una de ellas compra 22 m del rollo de tela verde y las restantes 4 se reparten de manera equitativa el resto, ¿cuántos metros adquirirá cada una?

60 Unidad 2

Unidad II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a Un comerciante compró una guitarra clásica

e El 15% de los asistentes a un congreso de

b Cuatro pasteles de lúcuma contienen 200 g

f Patricia comió la misma cantidad de dos

en $ 28 440 y la vendió a $ 41 238. ¿Cuál fue su porcentaje de ganancia? a) 35% b) 40% c) 45% d) 50%

de azúcar en total. ¿Cuántos gramos de azúcar contienen 12 pasteles semejantes a los anteriores? a) 500 g b) 600 g c) 700 g d) 800 g

Filosofía son extranjeros. De estos, el 25% proceden de Europa. Si el congreso consiguió reunir 640 participantes, ¿cuántos de los extranjeros no proceden de Europa? a) 72 b) 65 c) 60 d) 56 tortas del mismo tamaño que preparó su 3 4 3 4 3 3 4 1 madre. De la de merengue se comió . 4 6 6 12 12 5 12 3 Si la torta de piña se dividió en 15 partes iguales, ¿cuántas de ellas se comió? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

g Un padre repartió $ 12 000 entre sus tres 3 4 3 4 3 3 4 1 de sus dulces en partes 3 4 3 4 3 3 4 1 3 4 3 4 3 3 4 1 4 6 6 12 12 5 12 3 hijos. Las partes las dio al mayor, las iguales entre sus 3 hermanos. ¿Qué fracción 4 6 6 12 12 5 12 3 4 6 6 12 12 5 12 3 al del medio y el resto al menor. ¿Cuánto de los dulces tocó cada uno? dinero recibió este último? 3 4 3 4 3 3 4 1 a) a) $ 800 4 6 6 12 12 5 12 3 b) $ 900 3 4 3 4 3 3 4 1 b) 4 6 6 12 12 5 12 3 c) $ 1 200 3 4 3 4 3 3 4 1 d) $ 4 000 c) 4 6 6 12 12 5 12 3 3 4 3 4 3 3 4 1 d) 4 6 6 12 12 5 12 3 c Laura repartió

d El equipo de fútbol femenino de nuestro país

jugó 24 partidos el año anterior, consiguiendo 8 triunfos y 10 derrotas. ¿Qué porcentaje de los partidos empató? a) 15% b) 25% c) 30% d) 35%

HIPERTEXTO

Evaluación

h El número de habitantes de una comuna era

de 128 562 y en 30 años aumentó a 321 405. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento? a) 250% b) 220% c) 180% d) 150%

Números fraccionarios, razones y porcentajes

Entrada de unidad

3 Unidad

Potencias

Red conceptual

Base Definición

identificando

Exponente Multiplicación Potencias

Potencia de 10 y potencia de 10 entre

División

Aplicaciones

Potencia de 10 y número natural Potencia de 10 y número decimal

tales como

Descomposición canónica

¿Qué es internet? Los constantes avances que se producen cada año en todas las ramas del conocimiento, principalmente en lo referente al desarrollo de nuevas tecnologías de información, nos obligan a permanecer actualizados y atentos para no quedar ajenos a estos cambios. Internet –con sus virtudes y defectos– es una herramienta fundamental que permite a la población comunicarse, intercambiar ideas, compartir opiniones y difundir información. Estas y otras actividades pueden ser realizadas entre personas de una misma ciudad, de un mismo país e incluso entre personas que se encuentran en lugares del planeta muy alejados entre sí. Además de la comunicación a distancia, otra ventaja de internet es la velocidad a la que permite esta interacción. Es así que se habla de instantaneidad en la comunicación, ya que la información no demora más que unos pocos segundos en ser recepcionada por nuestro interlocutor o interlocutores.

Tienes correo electrónico? ¿ Utilizas internet para comunicarte con personas de otros países? ¿ ¿Qué sitios de la red visitas habitualmente?

¿Puedes resolver? Una niña Noruega desea denunciar la matanza de focas y otros animales árticos que ha ocurrido y sigue ocurriendo en algunos lugares del mundo. Para conseguir esto ha enviado un e-mail con imágenes e información a dos amigos que viven en otros continentes y le ha pedido a cada uno que lo reenvíe a otros dos amigos de diferentes partes del mundo, incluyendo la misma petición. Ella calcula que leer el e-mail toma 9 minutos y reenviarlo, 1 minuto. Si cada receptor cumple con la petición de reenvío, ¿cuántos minutos después de que la niña envía el mensaje a sus dos amigos lo recibirán al mismo tiempo 16 personas? Si la cantidad de personas que han recibido el e-mail en una etapa es n, ¿cuántas personas lo recibirán en la siguiente etapa?

rás a:

En esta unidad aprende

o. rada de un mismo númer ite re n ió ac lic tip ul m la o com 10. Interpretar una potencia de 10 por otra potencia de cia ten po a un r di vi di y Multiplicar por una potencia de 10. al cim de o l ra tu na o er m nú tural. Multiplicar y dividir un canónica de un número na n ió sic po om sc de la en Emplear potencias de 10 . solver diversos problemas Aplicar potencias para re

HIPERTEXTO

Motivación

Actividad inicial Diferentes situaciones tales como el daño medioambiental que provoca el acelerado desarrollo industrial o las tensiones que existen entre algunos gobiernos que amenazan la pacífica convivencia de los pueblos, son motivo de preocupación para todos los ciudadanos de nuestro planeta. Es por esto que organismos internacionales realizan permanentemente jornadas de recolección de firmas en favor de campañas por la vida y el cuidado de la naturaleza en países de todos los continentes. Reúnanse en grupos de tres personas y realicen las actividades que a continuación se presentan. 1. Lean la historieta y respondan las preguntas que están en la página siguiente:

64 Unidad 3

Unidad a) ¿A cuántas personas avisa del encuentro la niña en la segunda viñeta de la

historieta? b) ¿Cuántas personas reciben la invitación telefónica en la tercera viñeta? ¿Cómo se relaciona la cantidad obtenida en a) y la que acabas de calcular o contar? c) ¿Cuántas personas serán avisadas si las que recibieron la invitación en la tercera viñeta llaman a su vez a tres amigos o amigas? d) ¿Cuál es la regularidad que notan en cada uno de los cálculos anteriores? 2. Consideren como 1er llamado el que realiza 2do el que realizan independientemente

en la segunda viñeta, como ,

, etc.

Observen el siguiente esquema de árbol que permite calcular el número de personas que recibirán las llamadas de invitación:

a) ¿Creen que esta representación ayuda a calcular la cantidad de personas que

reciben las llamadas de invitación? ¿Por qué? b) Si conocen la cantidad de personas que reciben el 4to llamado, ¿qué operación matemática les permite calcular las que reciben el 5to llamado? c) Si la cantidad de personas que recibió el llamado en un determinado momento se representa por x, ¿cómo expresarían el número de personas que serán avisadas por estas x personas? HIPERTEXTO

Diagnóstico

Potencias

Definición de potencia

Enlace con… La Alimentación

Las algas pardas –vegetales muy sencillos que viven en el agua– son fuentes de alginato, macromolécula utilizada en odontología, en medicina y en las industrias papelera, textil, farmacéutica y de alimentos. Además, actualmente se utiliza para la alimentación del abalón, molusco comestible que Chile exporta principalmente a Japón.

Un país sudamericano ha firmado un convenio comercial para exportar algas pardas a China. El país enviará mensualmente 4 barcos, cada uno con 4 contenedores. Si cada contenedor lleva 4 toneladas de algas, entonces: ff¿Cuántas toneladas de algas serán exportadas a China el primer mes gracias a este convenio de intercambio? Ilustremos la situación (ton: toneladas de algas, cont.: contenedores):

En 1 contenedor hay 4 toneladas de algas. 1 cont. = 4 ton

En 1 barco hay 4 contenedores y en 4 contenedores hay 4 · 4 = 16 toneladas de algas. 1 barco = 4 cont. = 4 · 4 ton = 16 ton

En 4 barcos hay 4 · 4 = 16 contenedores y en 16 contenedores hay 16 · 4 = 4 · 4 · 4 = 64 toneladas de algas. 4 barcos = 4 · 4 cont. = 4 · 4 · 4 ton = 64 ton Como puedes ver en los esquemas anteriores, el primer mes se enviarán 64 toneladas, número que se ha calculado multiplicando 3 veces el número 4. Esta multiplicación sucesiva de un mismo número puede expresarse utilizando la notación de potencias: 43, donde 4 es la base y 3 el exponente. 66 Unidad 3

Unidad

Potencia es una expresión matemática que permite expresar la multiplicación reiterada de un número por sí mismo. Una potencia está compuesta por: Base: número que se multiplica reiteradamente. Exponente: cantidad de veces que aparece la base en la multiplicación reiterada. base exponente

43 = 4 · 4 · 4 = 64 Esto se lee “cuatro elevado a tres es 64”.

Ejercicios individuales a. Indica la base, el exponente, el desarrollo y el valor de las siguientes potencias. Guíate por el ejemplo y usa una calculadora cuando sea necesario: Potencia

Base

Exponente

Desarrollo

Valor

2 2

2·2

1 12

4 4

5 8

56 1

14 3

b. Escribe usando la notación de potencias las siguientes multiplicaciones reiteradas y calcula el resultado con una calculadora: a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =

c) 11 · 11 · 11 · 11 · 11 =

e) 14 · 14 · 14 · 14 =

b) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 =

d) 21 · 21 =

f) 101 · 101 · 101 =

Problemas 1. Una empresa internacional dedicada a la generación de energía limpia selecciona 3 países de Asia, 3 de América y 3 de África para construir en cada uno de ellos 3 centrales solares experimentales, cada una de 3 MW de potencia. (MW: unidad de energía producida en 1 segundo). a) ¿Cuántas centrales solares construirá la empresa? b) ¿Cuántos MW producirá en cada país seleccionado? c) ¿Cuántos MW producirá con todas las centrales proyectadas en funcionamiento?

Potencias

Potencias de 10

Archívalo Algunos elementos del sistema sexagesimal desarrollado en Babilonia han perdurado hasta nuestros días. Por ejemplo, en la medición de ángulos se ocupa un sistema sexagesimal al igual que en la división del tiempo, donde 1 hora equivale a 60 minutos y 1 minuto a 60 segundos.

El 10 tiene un rol fundamental en el sistema de numeración que ocupamos en la actualidad. En la historia de la humanidad, muchas culturas basaron su forma de contar en otros números. Así, la cultura babilónica desarrolló un sistema sexagesimal (basado en el 60) y la maya uno vigesimal (basado en el 20). Sin embargo, la numeración decimal creada en la India y llevada a Europa por los árabes es la que se impuso y aún hoy nos acompaña. ff¿Cómo escribimos los números 10, 1 000 y 1 000 000 usando notación de potencias? Los tres números presentados arriba están constituidos por un 1 seguido por uno, tres y seis ceros, respectivamente. Diremos que los tres son potencias de 10 ya que pueden escribirse como una potencia cuya base es 10 y cuyo exponente corresponde al número de ceros que acompañan al 1. Por lo tanto:

10 (1 cero)

1 000 (3 ceros) = 103

1 000 000 000 se lee “mil millones” en la mayoría de los países europeos y todos los de habla hispana. Sin embargo, en Estados Unidos y otros países de habla inglesa se lee como “un billón”.

= 101

1 000 000 (6 ceros) = 106 ff¿A qué números corresponden, entonces, las potencias 105 y 1012? Los números representados se obtienen escribiendo un 1 seguido de tantos ceros como indica el exponente de la potencia de 10. Por lo tanto:

105 =

1012 = 1 000 000 000 000

100 000

Una potencia de 10 es aquella cuya base es el número 10 y cuyo exponente es un número cualquiera. Fácilmente puedes reconocer una potencia de 10, ya que se escribe como un 1 seguido de una determinada cantidad de ceros. Las primeras diez potencias de 10 con exponente natural son: 10 0 = 101 102 103 104

68 Unidad 3

1 (uno)

105 =

100 000

(cien mil)

10 (diez)

106

1 000 000

100 (cien)

107

10 000 000

(diez millones)

= 1 000 (mil)

108

= 100 000 000

(cien millones)

= 10 000 (diez mil)

109

= 1 000 000 000

(mil millones)

= =

(un millón)

Unidad

Ejercicios individuales a. Identifica cuáles de los siguientes números son potencias de 10 marcando Sí o No junto a ellos: a) 2 000

e) 1 000 000 000 000

b) 10 000

f) 1 000 100 100

c) 10 000 001

g) 10 101 010

d) 100 010

h) 100 000 000

b. Expresa cada uno de los siguientes números como potencia: a) 10 000 000 000 =

d) 1 000 000 000 000 000 =

b) 1 000 000 000 000 =

e) 1 000 000 000 000 000 000 000 =

c) 100 000 000 000 =

f) 10 000 000 =

c. Escribe el desarrollo y el valor de las siguientes potencias de 10: a) 104 =

d) 1020 =

b) 108 =

e) 107 =

c) 1013 =

f) 1024 =

Ejercicios grupales a. El Sistema Internacional de Unidades dispone de una serie de prefijos que se anteponen a las

unidades de medida y que indican numéricamente potencias de 10. Agrupados en parejas investiguen a qué potencia de 10 hace referencia cada uno de los prefijos de la tabla y escriban situaciones que involucren estas unidades:

Prefijo

Potencia de 10

Prefijo

Deca

Tera

Hecto

Peta

Kilo

Exa

Mega

Zetta

Giga

Yotta

Potencia de 10

b. En la tabla que se muestra a continuación se describen diferentes vistas del Sistema Solar a determinadas distancias. Escriban estas últimas como potencias de 10:

Distancia (km de altura) 10 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000

Vista

Potencia de 10

Hemisferio terrestre Órbita de la Luna en torno a la Tierra Parte de la órbita de la Tierra Órbitas de la Tierra, Venus y Marte Órbitas de Mercurio, Tierra, Venus, Marte y Júpiter Potencias

Multiplicación de potencias de 10

Enlace con… La Arquitectura

El Eurotúnel tiene una longitud de 50 km, 39 de ellos submarinos, lo que lo convierte en uno de los túneles submarinos más largos del mundo. Al 2008 solo es superado por el túnel Seikan (Japón), cuya longitud es de 53 km. El Eurotúnel fue inaugurado el 6 de mayo de 1994 y se estima que el costo de su construcción superó los 16 000 millones de euros.

Por el Eurotúnel, que une Inglaterra con Francia a través del Canal de la Mancha, circulan durante una noche 10 vehículos cada 1 minuto. Considera que la masa de cada uno de los vehículos es de 1 000 kg, entonces: ff¿Cuántos vehículos pasarán por el Eurotúnel en 100 minutos? ff¿Cuántos kilogramos medirá en total una Central de Pesaje que se encuentra en el interior del Eurotúnel en 100 minutos? Como en 1 minuto circulan 10 vehículos, entonces en 100 minutos lo harán 10 · 100 vehículos y como la masa de cada vehículo es de 1 000 kg, entonces la Central de Pesaje medirá 10 · 100 · 1 000 kg. Esta multiplicación indica 1 000 000 de kilogramos. Mostraremos a continuación dos formas sencillas de llegar al resultado anterior. Primero sumando los ceros que componen los factores y luego ocupando la notación de potencias. Primera forma: El producto corresponde a un 1 seguido de la cantidad de ceros que existen en todos los factores presentes en la multiplicación. • 10 · 100 = 1 000 vehículos. (Hay tres ceros, uno en el primer factor y dos en el segundo). • 10 · 100 · 1 000 = 1 000 000 kg. (Hay seis ceros, uno en el primer factor, dos en el segundo y tres en el tercero). Segunda forma: Escribimos los factores en forma de potencias con base 10 y el producto lo obtenemos escribiendo un 1 con tantos ceros como indique la suma de los exponentes de estas potencias. • 101 · 102 = 1 000 vehículos = 103 vehículos. (La suma de los exponentes es 3). • 101 · 102 · 103 = 1 000 000 kg = 106 kg. (La suma de los exponentes es 6). El producto de potencias de 10 lo obtienes escribiendo un 1 seguido de la misma cantidad de ceros que poseen los factores en conjunto. Otra forma es expresar cada uno de los factores en forma de potencia de 10 y luego escribir un 1 seguido de tantos ceros como te indique el resultado de la adición de los exponentes de estas potencias.

70 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes multiplicaciones y expresa el resultado final en las formas que se te indican:

Multiplicación

Número

Potencia

10 · 10 · 10 1 000 · 1 · 100 102 · 10 · 102 · 103 10 000 · 10 · 10 000 000 103 · 104 · 106 10 000 · 10 000 · 100

b. Expresa las siguientes potencias de 10 como una multiplicación con dos y tres factores: Potencia de 10

Dos factores

Tres factores

100 102 107 109 1014 1017 1020

Problemas 1. 10 enciclopedias de 10 tomos cada una llegaron a una librería. La directora pidió con urgencia a un empleado que calculara cuántas páginas contienen estas 10 enciclopedias si cada tomo está compuesto por 1 000 páginas. ¿Cómo pueden hacer este cálculo rápidamente? 2. Un camión transporta 100 bolsas con 1 000 bolitas de plumavit de 10 g de masa cada una. Cada día parten 10 camiones cargados. Responde: a) ¿Cuántas bolitas se transportan en un día? b) ¿Cuántas en 10 días? c) ¿Cuál es la carga de plumavit transportada en un día? Exprésala en gramos. d) ¿Cuál en 10 días?

HIPERTEXTO

Desarrollo

Potencias

Multiplicación de un número natural por una potencia de 10

Enlace con… La Historia

A partir del siglo VII a. de C. los diversos feudos que existían en los territorios de la actual China construyeron murallas defensivas para protegerse de las constantes invasiones de los Hunos–belicosa tribu nómade del norte–. En el siglo III a. de C. el primer emperador chino Qin Shi Huang unificó estas murallas aisladas para conformar la Gran Muralla china.

En 2007 la Gran Muralla china fue designada como una de las Siete Maravillas del Mundo Moderno y es, sin duda, un lugar turístico de visita obligatoria para los viajeros que acuden al gigante asiático. Su longitud, sin contar ramificaciones, se acerca a los 6 400 kilómetros y su altura varía entre los 7 y 10 metros. ff¿Cuál es la longitud total de la Gran Muralla china expresada en metros? ff¿Cuál es la longitud total de la gran muralla china expresada en centímetros y en milímetros? Primero debemos recordar las equivalencias entre las unidades de longitud mencionados: 1 kilómetro = 1 000 metros 1 metro = 100 centímetros 1 centímetro = 10 milímetros Para realizar las transformaciones debemos multiplicar sucesivamente por las potencias de 10 anteriores. En metros: 6 400 · 1 000 = 6 400 000 m o, en forma equivalente, 6 400 · 103 = 6 400 000 m En centímetros:

La principal importancia de las potencias de 10 radica en que son la base del sistema de numeración que ocupamos actualmente: el sistema decimal.

6 400 · 1 000 · 100 = 640 000 000 cm o, en forma equivalente, 6 400 · 103 · 102 = 6 400 · 105 = 640 000 000 cm En milímetros: 6 400 · 1 000 · 100 · 10 = 6 400 000 000 mm o, en forma equivalente, 6 400 · 103 · 102 · 101 = 6 400 · 106 = 6 400 000 000 mm Para multiplicar un número natural por una o varias potencias de 10 debes escribir el número natural seguido de la misma cantidad de ceros que tienen los otros factores en conjunto. Si estos factores están escritos en forma de potencia debes escribir el número natural seguido de tantos ceros como te indique el resultado de la adición de los exponentes de estas potencias.

72 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Completa la tabla multiplicando los números de la primera columna por las potencias de 10 que se indican en las columnas siguientes:

Número

10 0

101

102

103

104

105

106

1 2 9 27 48 1 332 14 480

b. Resuelve mentalmente las multiplicaciones: a) 6 · 1 000 · 10 000 =

d) 74 320 · 10 000 · 10 =

b) 13 · 10 · 1 000 · 100 =

e) 1 098 702 · 100 · 1 000 =

c) 200 · 100 · 100 =

f) 832 000 · 10 · 1 · 100 =

Problemas 1. La luz viaja aproximadamente 300 000 km en un segundo. a) ¿Cuántos metros recorre en un segundo? b) ¿Cuántos centímetros recorre en 10 segundos? 2. La torre de Pisa tiene una masa de 14 700 toneladas. a) ¿Cuál es su masa expresada en kilogramos? b) ¿Cuál es su masa expresada en miligramos? 3. Entre las ciudades Chillán y Arauco hay una distancia aproximada de 177 km. a) ¿Cuántos metros separan ambas ciudades? b) ¿Cuántos milímetros separan ambas ciudades? 4. El Titanic fue registrado con un peso bruto de 46 328 toneladas. ¿Cuál era la masa del Titanic expresada en kilogramos? 5. La Carretera Panamericana, es un sistema de carreteras de 25 800 km que comunica de norte (Alaska) a sur (Patagonia) el continente americano. a) ¿Cuántos metros mide la Carretera Panamericana? b) ¿Cuántos centímetros mide?

Potencias

Multiplicación de un número decimal por una potencia de 10 Enlace con… La Globalización

El Euro (€) fue introducido en los 11 países miembros de la Unión Europea como moneda virtual el 1 de enero de 1999 y en forma física el 1 de enero del 2002. Al 2008 son 15 los países que han adoptado el Euro como moneda oficial. La existencia de una moneda única en Europa ha permitido una mayor cooperación e integración económica entre los estados, facilitando las transacciones comerciales y el traslado de las personas.

Ximena estuvo becada estudiando en España y contó que le había salido muy caro el arriendo. Cada día una habitación en Barcelona le costaba 20,5 € y como la beca solo cubría la matrícula, el arancel y otros gastos menores, debió trabajar durante los fines de semana para financiar su estadía. ffSi estuvo 100 días en Barcelona, ¿cuánto gastó en arriendo? Es necesario resolver la multiplicación entre un número decimal (20,5) y un número natural que es potencia de 10 (100 = 102): 20, 5 · 100 = 20,5 · 102 Evidentemente no podemos agregar ceros a continuación del número decimal pues este posee una coma. ¿Qué hacer? Uno de los ceros de la potencia de 10 lo ocupamos para mover la coma hacia la derecha del número y el otro lo agregamos a continuación del número sin coma. Observa:

Primer 0

20,5

Segundo 0

205

2 050

Por lo tanto, Ximena gastó en arriendo durante los 100 días que estuvo estudiando en España 2 050 €. Al multiplicar un número decimal por una potencia de 10 podemos diferenciar tres casos que se explican y ejemplifican a continuación: • Cantidad de dígitos tras la coma es menor que cantidad de ceros en potencia de 10: los 0 de la potencia de 10 se ocupan primero para mover la coma hacia la derecha del número decimal y los que sobran se agregan a continuación del número natural así obtenido. 71,29 · 10 000 = 712 900 • Cantidad de dígitos tras la coma es igual que cantidad de ceros en potencia de 10: el resultado es el número natural que se obtiene al eliminar la coma del número decimal original. 14,345 · 1 000 = 14 345 • Cantidad de dígitos tras la coma es mayor que cantidad de ceros en potencia de 10: el resultado es un número decimal con la coma desplazada hacia la derecha –respecto al número decimal original– en igual cantidad de posiciones como ceros hay en la potencia de 10. 47,3428 · 100 = 4 734,28

74 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Multiplica los siguientes números decimales por 10, 100, 1 000 y 10 000. Antes de obtener el producto, intenta predecir si el resultado será un número decimal o un número natural: · 10

· 100

· 1 000

· 10 000

a) 0,53 b) 1,763 c) 7,001 d) 19,24 e) 1 098,702 f) 767,6435 g) 299,923492 h) 5,74648

b. Resuelve mentalmente las siguientes multiplicaciones: a) 0,95 · 103 =

d) 172,5379 · 102 ·101 =

b) 3,6212 · 102 =

e) 2 054,00442 · 105 · 102 =

c) 73, 254 · 100 · 105 =

f) 74 923,744001 · 101 · 103 · 104 =

Ejercicios grupales a. Descubran en grupos de dos o más personas el valor desconocido y escríbanlo en el recuadro correspondiente: a)

· 102 = 654,2

· 102 = 1 400,436

· 101 = 0,043

· 103 = 93 540,1

· 104 = 206 500

· 107 = 673 490 000

Problemas 1. El monte Everest, ubicado en la cadena montañosa Himalaya (Asia), es la montaña más alta del planeta Tierra, con 8,848 km sobre el nivel del mar. En contraste, la mayor profundidad de la corteza terrestre la constituye la fosa de Las Marianas, ubicada en el Pacífico norte y cuya profundidad es de 11,03 km. a) ¿Cuántos metros de altura mide el monte Everest? b) ¿Cuántos centímetros de profundidad mide la fosa de Las Marianas? Potencias

Descomposición canónica de un número natural Desafío

al ingenio

En un dado común de seis caras las caras opuestas suman siempre 7. Considera un dado de seis caras con los números del 1 al 6 escritos en cada una de ellas. Este dado es especial, pues dos caras opuestas suman 9 y otras dos 8. ¿Cuánto suman las restantes caras opuestas?

El sistema de numeración ocupado en la actualidad es el sistema decimal cuya base es el número 10. Este sistema permite escribir cualquier número ocupando diferentes potencias de 10. ff¿Cómo expresamos canónicamente el número 37 ocupando potencias de 10? ff¿Cómo expresamos canónicamente el número 1 285 ocupando potencias de 10? Para expresar cualquier número utilizando potencias de 10 debemos realizar la respectiva descomposición canónica, indicando el valor posicional que cada dígito tiene dentro del número. En el caso del 37, estos valores son: Decena

Unidad

37 Cada valor posicional lo podemos hacer corresponder con una potencia de 10. Observa algunas de estas correspondencias:

Archívalo La notación científica utiliza potencias de 10 para expresar números muy grandes y números muy pequeños. Por ejemplo, la distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente 150 000 000 km, que en notación científica se escribe 1,5 · 108 km. Una cantidad expresada en notación científica consiste en un número mayor o igual que 1 y menor que 10 multiplicado por una potencia de 10.

Cmi

Dmi

Umi

108

107

106

105

104

103

102

101

100

Una vez que identificamos el valor posicional de cada dígito escribimos la descomposición canónica utilizando las potencias de 10 que leemos desde la tabla. 37 = 3D + 7U = 3 · 101 + 7 · 100 Llevando a cabo el mismo procedimiento para el 1 285:

Centena Unidad de mil

Decena

1 285

Unidad

Por lo tanto la descomposición canónica del 1 285 es: 1 285 = 1UM + 2C + 8D + 5U = 1 · 103 + 2 · 102 + 8 · 101 + 5 · 100 La descomposición canónica de un número natural usando potencias de 10 se consigue efectuando la adición de los productos entre cada uno de los dígitos que componen el número y la potencia de 10 que le corresponde a su valor posicional.

76 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Efectúa la descomposición canónica de los siguientes números naturales: a) 8 = b) 49 = c) 8 604 = d) 71 447 = e) 549 007 = f) 2 009 341 = g) 65 449 100 = h) 380 000 792 =

b. Encuentra el número natural que ha sido descompuesto canónicamente en cada una de las siguientes expresiones: a) 100 = b) 1 · 102 + 4 · 101 = c) 2 · 103 + 2 · 102 + 101 = d) 7 · 103 + 9 · 102 + 6 · 101 + 4 · 104 = e) 2 · 101 + 5 · 104 + 103 + 5 · 102 = f) 3 · 100 + 4 · 102 + 7 · 101 + 8 · 104 = g) 106 + 3 · 104 + 9 · 101 = h) 9 · 103 + 2 · 105 + 4 · 106 + 7 · 101 + 2 · 102 + 2 · 107 =

Ejercicios grupales a. Encuentren, reunidos en grupos de 2 o más personas, el número natural a partir de las siguientes descomposiciones canónicas. Para ello agrupen y sumen los dígitos que acompañan a las potencias de 10 de igual exponente: a) 3 · 103 + 2 · 102 + 7 · 103 + 9 · 101 + 4 · 102 + 2 · 102 = b) 6 · 101 + 2 · 100 + 3 · 102 + 6 · 100 + 100 + 1 · 101 = c) 2 · 104 + 6 · 102 + 5 · 107 + 6 · 101 + 4 · 102 + 2 · 107 = d) 5 · 103 + 3 · 103 + 4 · 101 + 8 · 100 + 2 · 102 + 2 · 101 = e) 2 · 104 + 1 · 104 + 5 · 102 + 2 · 102 + 10 = Potencias

División de potencias de 10 La empresa Salmonex, ubicada en la Décima Región del país enviará una partida de 100 000 unidades de salmón congelado a Japón. Dentro de los acuerdos firmados con este país asiático, la empresa chilena se ha comprometido a enviar el pescado en contenedores de 1 000 unidades refrigerados a veinte grados Celsius bajo cero, para la conservación óptima del alimento. ff¿Cuántos contenedores debe encargar la salmonera a su abastecedor para enviar la partida?

Enlace con… El Comercio

Los primeros salmones (cohos o plateados) llegaron Chile a partir de 1921, gracias a la labor del Instituto de Fomento Pesquero (IFOP). En el año 1973, el Instituto logró implementar tecnologías pioneras para el cultivo de distintas especies acuícolas.

Este problema se resuelve dividiendo el total de unidades de salmón a exportar entre las unidades que es posible empacar en uno de los contenedores. Observa: 100 000 unidades totales 100 000 105 1000 unidades por contenedor 1000 103 Esta división la puedes resolver de dos formas. Primera forma: Eliminar un cero del numerador por cada cero del denominador y luego dividir. Si el numerador posee igual o mayor cantidad de ceros que el denominador –como en nuestro ejercicio– el resultado o cociente es mayor o igual que 1. Si el numerador posee menos ceros que el denominador, el resultado es un número ubicado entre 0 y 1.

100 000 unidades totales 100 000 105 = 100 contenedores 1000 unidades por contenedor 1000 103 Segunda forma: Escribir dividendo y divisor en forma potencial y escribir el resultado como una potencia con base 10 y cuyo exponente es la resta entre los exponentes del numerador y el denominador. 100 000 unidades totales 100 000 105 = 105 – 3 = 102 = 100 contenedores 1000 unidades por contenedor 1000 103 Una división de potencias de 10 la resuelves eliminando la misma cantidad de ceros tanto del dividendo como del divisor. Otra forma es escribir los términos de la división en forma potencial y expresar el resultado como una potencia cuya base es 10 y cuyo exponente es el resultado de la resta entre los exponentes de ambas potencias.

78 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Resuelve mentalmente las siguientes divisiones de potencias de 10: a)

10 100000 10000 10000 1000000 100000000 100000000 1010 100 100 100 1001000000 103 103 1035 1037 1065 100000 107 106 10 = g) = 14 2 1 22 3 2 4 3 5 10 10 10 10 10 10 10 101000 105 1000 10 100 1010 100 100 10 1000000 100 1000000

10 10000 100000000 100000 10000 1000000 100000000 103 103 1053 1073 10 1010 100 100 100 1001000000 1065 100000 107 106 10 b) = h) = 4 5 102 101 102 10 1041 10 1032 10 103 101000 105 1000000 1000 10 100 1010 100 100 10 100 1000000 10 100000000 100000 10000 10000 1000000 100000000 103 103 1053 1073 10 1010 100 100 100 1001000000 1065 100000 107 106 10 c) = i) = 4 5 102 101 102 10 1041 10 1032 10 103 101000 105 1000000 1000 10 100 1010 100 100 10 100 1000000 3 7 3 6 100000 6 10100000 1000000 10000100000000 1000000 100000000 103 103 1051010 10 1010 100 100 10000 100 100 1010 105 107 10 d) = j) = 2 2 4 1 3 2 3 5 10 101 1021010 1010 10 1000 104 1010 1000 105 10 100 10 10 100100 10 1000000 100 1000000

3 3 6 100000 10000 1000000 100000000 10710 106 100000 1010 0 10000 1000000 100 100 100000000 103 10 105 1071010 103 105 10 e) = 2 k) = 1 2 3 10 101000000 102 1041010 1011000 102 10 1045 103 1000 105 0 10 10100100 1000000 10 100

3 5 10000 100000000 0 10 100 10 107 1000000 106 100000 1010 103 103 105 107 106 100000 1010 f) = l) = 1 3 10 10210104 10100 105 102 101 102 104 103 1000 105 10001000000 100

b. Enlaza la división de la columna de la izquierda con su resultado expresado en forma de potencia de la columna de la derecha:

1 000 1 000 000 000 1 000 000 000 1 000 7 10 1 000 000 100 1 000 10 1 000 1 000 000 000 1 000 000 000 1 000 100 1 000 10 1 000 000 1 000 1 000 000 000 1 000 000 000 1 000 10 1 000 000 100 1 000 1 000 1 000 000 000 1 000 000 000 1 000 10 1 000 000 100 1 000

100 102 103

Problemas 1. La nueva impresora de nuestro colegio es de alta velocidad y puede imprimir 1 000 páginas en 10 minutos. ¿Cuántas páginas puede imprimir en 1 minuto? 2. Mi padre adquirió una deuda de $ 1 000 000 y debe cancelarla en 10 cuotas mensuales. ¿Cuál es la suma que debe pagar cada mes? 3. Una nave espacial recorre 10 000 000 km en 100 días. ¿Cuántos kilómetros recorre cada día?

Potencias

División de un número natural por una potencia de 10 Enlace con… La Tecnología

La concepción y construcción de la Estación Espacial Internacional fue posible gracias a la participación y colaboración de Rusia, Estados Unidos, Canadá, Japón y la Comunidad Europea. La Estación demora cerca de 92 minutos en dar una vuelta a la Tierra a la velocidad de 26 000 km/h y su masa es de casi 500 toneladas.

En 1998 comenzó el armado y puesta en marcha de la Estación Espacial Internacional, megaproyecto que ha permitido la presencia humana permanente en el espacio y que ha servido de laboratorio para muchos experimentos relacionados con muchas ramas del conocimiento. ffSi esta estación se encuentra orbitando a 360 000 metros de la superficie terrestre, ¿cuántos kilómetros la separan de la Tierra? Como ya sabes 1 kilómetro consta de 1 000 metros, por lo que este problema de transformación de unidades se puede resolver agrupando en grupos de a 1 000 los 360 000 metros de separación. Esto, matemáticamente equivale a dividir 360 000 por 1 000: 360 000 1000 Eliminando tres ceros del dividendo con tres ceros del divisor llegamos rápidamente a la respuesta, que es: 360 kilómetros. Para dividir un número natural por una potencia de 10 debes distinguir tres casos: • No hay ceros en el dividendo o están en cantidad menor que la cantidad de ceros en la potencia de 10: en el caso de un número natural sin ceros se debe mover la coma hacia la izquierda tantas posiciones como ceros tiene la potencia de 10. El resultado es un número decimal. Ejemplo: 27 432 : 10 000 = 2,7432 Si el número natural tiene ceros se elimina un cero del dividendo por cada cero de la potencia de 10. Por cada cero que queda sin eliminar de la potencia de 10 se mueve la coma del dividendo una posición a la izquierda. El resultado es un número decimal. Ejemplo: 734 500 : 1 000 = 734,5 • Cantidad de ceros en el dividendo es igual a la cantidad de ceros en la potencia de 10: el resultado corresponde al dividendo sin sus ceros. Ejemplo: 174 000 : 1 000 = 174 • Cantidad de ceros en el dividendo es mayor que cantidad de ceros en la potencia de 10: se eliminan del dividendo tantos ceros como ceros tiene la potencia de 10. El resultado es siempre un número natural. Ejemplo: 18 000 : 100 = 180

80 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Resuelve mentalmente las divisiones: a) 350 000 : 1 000 =

d) 80 000 : 101 =

b) 9 058 000 : 100 =

e) 6 900 000 000 : 107 =

c) 774 000 000 : 100 000 =

f) 309 000 000 : 103 =

b. Divide: a) 256 800 : 100 =

c) 71 000 : 103 =

b) 3 300 000 : 100 000 =

d) 55 700 000 : 105 =

c. Divide: a) 342 : 10 =

d) 59 199 : 105 =

b) 866 000 : 100 000 =

e) 778 900 : 106 =

c) 181 218 : 10 000 =

f) 42 987 175 : 1010 =

Problemas 1. Una industria exportadora de manzanas dispone de bandejas cuadradas de 10 unidades por lado para transportarlas al puerto. Para este traslado posee una flotilla de camionetas, cada una de las cuales puede contener 10 bandejas. La producción de un día consistió en 13 456 manzanas. a) ¿Cuántas bandejas se requieren para trasladar las manzanas? ¿Cuántas manzanas sobran? b) ¿Cuántas camionetas se necesitan para el traslado de las bandejas? ¿Cuántas bandejas sobran? 2. El dueño de una empresa de informática desea repartir un porcentaje de las utilidades del año anterior entre sus 100 empleados. El reparto debe ser equitativo, ya que todos los trabajadores se esforzaron por igual. El monto a repartir asciende a $ 28 677 043. a) ¿Cuánto recibirá cada empleado? ¿Cuánto sobrará? b) Si el jefe de la empresa pide en el banco que el monto se lo entreguen solo en billetes de $ 1 000, ¿cuántos billetes recibirá? ¿Cuánto deberán darle en monedas?

Potencias

División de un número decimal por una potencia de 10

Enlace con… La Historia

El sistema de numeración decimal que ocupamos en la actualidad –basado en las potencias de 10– tuvo su origen en la India y fue transmitido por los matemáticos árabes hacia Occidente durante la expansión de la civilización islámica a Europa, que se inicia a partir del siglo VII d. de C.

Marta se acaba de cambiar a un departamento y aún no tiene acceso a internet, por ello para comunicarse con sus amigos y amigas debe ir a la casa de sus padres que, según un mapa de la ciudad, viven a 35 523,65 m. ff¿Cuántos kilómetros separan el departamento de Marta de la casa de sus padres? Para resolver este problema, lo primero que debemos hacer es convertir los metros que separan el departamento de Marta de la casa de sus padres a kilómetros y, para ello, debemos recordar que 1 km = 1 000 m = 103 m. Para dividir un número decimal por una potencia de 10 podemos primeramente multiplicar el dividendo y el divisor por una potencia de 10 que permita convertir el decimal en un entero, en este caso multiplicamos por 100 y luego dividimos: (35 523,65 · 100) : (1 000 · 100) = 3 552 365 : 100 000 Utiliza el método de división aprendido en clases anteriores y resuelve la división; luego comprueba con tu calculadora para no incurrir en errores. 3 552 365 : 100 000 = 35 523,65 : 1 000 = 35, 52365 La distancia que separa el departamento de Marta de la casa de sus padres es de 35,52365 km.

Un número natural se puede interpretar como aquel número cuya parte decimal es nula, es decir, podemos escribir: 7 = 7,0000… 184 = 184,0000…

82 Unidad 3

Para dividir un número decimal por una potencia de 10 debes distinguir dos casos: • Cantidad de dígitos de la parte entera en dividendo es mayor que cantidad de ceros en potencia de 10: se mueve la coma hacia la izquierda del dividendo tantas veces como ceros tiene la potencia de 10. Ejemplo: 432,12 : 10 = 43,212 • Cantidad de dígitos de la parte entera en dividendo es menor o igual que cantidad de 0 en la potencia de 10: se mueve la coma hacia la izquierda del dividendo tantas veces como ceros tiene la potencia de 10. Cuando se acaba la parte entera se deben agregar todos los 0 que sean necesarios a la izquierda de ella para poder mover la coma la cantidad de posiciones señaladas. Ejemplo: 72,43 : 10 000 = 0,007243

Unidad

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes divisiones: a) 5 463,42 : 10 =

e) 99,34 : 1 000 =

b) 934,53 : 10 000 =

f) 9934,2 : 10 =

c) 73,425 : 1 000 =

g) 8,34 : 100 =

d) 0,231 : 100 =

h) 0,21 : 1 000 =

Ejercicios grupales a. Reúnete con dos compañeros o compañeras y comprueba los resultados de las divisiones que se plantean en los Ejercicios individuales. Analicen los resultados y resuman en el cuadro que se muestra a continuación las regularidades que se observan en las multiplicaciones y divisiones de números decimales por potencias de 10.

Operaciones Multiplicación por potencias de 10. División por potencias de 10.

Problemas 1. Fernando tiene un terreno de 526,5 m2 dividido en 100 partes iguales para sembrar en cada una de las partes 5 árboles de palta. ¿Cuántos metros cuadrados tiene cada parte? ¿Cuántos paltos sembrará?

Potencias

Resolución de problemas Problema modelo Una empresa del sur del país dedicada a la exportación de madera obtuvo durante los 10 primeros meses del año 2005 ganancias del orden de los $ 1 000 000 000. a) ¿Cómo expresarías utilizando potencias de 10 las ganancias de la empresa? b) ¿Cuánto dinero obtuvo cada uno de los 10 meses considerados si las ganancias se distribuyeron en partes iguales cada mes? c) ¿A cuántos billetes de $ 10 000 corresponden las ganancias de la empresa? a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?

• Las ganancias totales de la empresa expresadas en pesos. • El período de tiempo en el que se obtuvo esta ganancia. b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?

• Expresamos las ganancias en notación científica. • Para calcular las ganancias de un mes dividimos las ganancias totales por 10. • Para calcular el número de billetes de $ 10 000 equivalente a las ganancias totales de la empresa dividimos 1 000 000 000 por 10 000. c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

• El número 1 000 000 000 tiene 9 ceros, por lo tanto, se puede expresar en notación científica como un 1 multiplicado por una potencia de 10 cuyo exponente es 9, es decir, 1 · 109. 1 000 000 000 1 000 000 000 = 100 000 000 = 100 000 • 10 10 000 1 000 000 000 100 000 000 = 100 000 • 10 000 d) Responde: Contesta las preguntas del problema

• 1 000 000 000 escrito como potencia de 10 es 109. • En un mes la empresa forestal ganó $ 100 000 000. • La ganancia total equivale a 100 000 billetes de $ 10 000. e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

Los resultados de las preguntas b) y c) se pueden comprobar rehaciendo los cálculos pero con los números expresados como potencia y restando los exponentes de dividendo y divisor: • 109 : 101 = 109-1 = 108 = 100 000 000 • 109 : 104 = 109-4 = 105 = 100 000 84 Unidad 3

Unidad Problema 1 Marte es el cuarto planeta del Sistema Solar contando desde los más cercanos al Sol hasta los más lejanos. Su masa se estima en 6,4191 · 1020 toneladas. a) Si dividiéramos Marte en 10 trozos de igual masa, ¿qué masa tendría cada trozo? b) Si estallara en 1 000 pedazos de igual masa, ¿cuál sería esta masa? c) En un sistema estelar cercano se ha detectado un planeta llamado 341-XL, cuya masa equivale a 100 veces la de Marte, ¿cuál es la masa de 341-XL?

Problema 2 Don Javier tiene en su terreno 10 bosques de 1 000 árboles cada uno. La masa de cada árbol es aproximadamente de 100 kg. Responde: a) ¿Cuántos árboles tiene en su terreno don Javier? b) ¿Cuál es la masa aproximada de los árboles que existen en uno de los bosques de don Javier? c) ¿Cuál es la masa total de los árboles que tiene en sus bosques don Javier?

Problema 3 Un tren de 10 vagones transporta carbón desde una mina hacia una industria que lo ocupa como combustible. Cada vagón contiene 10 compartimentos con 100 kg de mineral cada uno. a) ¿Cuánto carbón transporta el tren en un viaje? b) ¿Cuánto carbón diario transporta si realiza 10 viajes hacia la industria por jornada? c) A este ritmo, ¿cuánto carbón trasportaría en 10 días de trabajo?

Problema 4 Un astrónomo aficionado ha descubierto un misterioso cuerpo moviéndose por el espacio con rapidez constante y con una trayectoria directa de colisión con la Tierra . El astrónomo ha calculado que recorre 4 166,6 kilómetros cada hora. a) ¿Qué distancia recorre el cuerpo en 10 días? b) ¿Qué distancia recorre el cuerpo en 100 días? c) Si se encuentra a 1 000 000 000 de kilómetros de nuestro planeta, ¿en cuántos días llegará a nuestro planeta? HIPERTEXTO

Desarrollo

Potencias

Tecnología activa Construyendo gráfico de líneas para una potencia de base 2 Una de las características de las potencias de base natural y exponente natural es el rápido crecimiento que experimenta el valor de la potencia al ir aumentando de uno en uno el exponente. Ilustraremos esto graficando en Excel los valores que asume la potencia 2x, donde x toma los valores 0, 1, 2, etc. Estos valores se muestran en la siguiente tabla: Exponente

Valor de 2x

1. Creación de la hoja de cálculo. ›› Crea un nuevo libro. Llámalo “Gráfico de una potencia”. ›› Traslada la información de la tabla a las columnas A y B: 0, 1, 2, 3, 4 y 5 a las celdas A2, A3, A4, A5, A6 y A7; y 1, 2, 4, 8, 16, 32 a las celdas B2, B3, B4, B5, B6 y B7, respectivamente. Tu planilla, hasta el momento, debe verse así:

›› Selecciona el ícono

. En el menú que te aparece selecciona el de Líneas y luego

presiona Siguiente > . Elige Series y, a continuación, presiona Quitar dos veces hasta que te quede limpia la pantalla. ›› Presiona Agregar. En Nombre, escribe “Gráfico de potencia”. En Valores presiona

selecciona con el mouse la columna B desde B2 hasta B7 y vuelve a presionar

86 Unidad 3

y .

Unidad ›› En Rótulos eje de categorías (X), presiona ›› ›› ›› ›› ››

y selecciona la columna A desde A2 hasta A7 . Luego, presiona Siguiente > . y vuelve a presionar En Título del gráfico, escribe "Gráfico de potencias". En Eje de valores (Y), escribe "Valor de la potencia". Presiona Leyenda y borra el visto. Finalmente presiona Terminar . Haz clic en el eje horizontal, selecciona Escala y borra el visto que aparece. El gráfico se verá como sigue:

2. Aplicando lo aprendido. a) Grafica en una hoja de cálculo de Excel la siguiente tabla con los valores de la potencia 3x cuando x asume diferentes valores: Exponente

243

Valor de

b) Grafica los valores de la potencia 4x cuando x adquiere los valores x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5

a partir de la siguiente tabla: Exponente

256

1 024

Valor de

c) Compara los valores y los gráficos de las tres potencias (2x, 3x y 4x) e indica cuál de

ellas crece más rápido.

Potencias

Síntesis de la unidad Ficha1 Una potencia es una expresión matemática que expresa la multiplicación reiterada de un número por sí mismo. Está compuesta por dos términos, una base y un exponente:

E veces

644474448

BE = B · B ·…..· B y se lee “B elevado a E”.

Ficha 2 Una potencia de 10 es aquella cuya base es 10. Por ejemplo: 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000

Ficha 3 El producto de potencias de 10 corresponde a un 1 seguido de la misma cantidad de ceros que tienen los factores en su conjunto. El cociente entre dos potencias de 10 corresponde a un 1 seguido de la diferencia entre la cantidad de ceros del dividendo y la cantidad de ceros del divisor.

Ficha 4 El producto entre un número natural o decimal y una potencia de 10 corresponde al número natural o decimal con la coma trasladada tantas posiciones a la derecha como ceros tiene la potencia de 10.

Ficha 4 La descomposición canónica de un número natural ocupando potencias de 10 permite comprender la estructura del sistema de numeración decimal que ocupamos en Matemática. Consiste en la asignación de una potencia de 10 específica a cada valor posicional existente dentro de un número. Por ejemplo, la descomposición del 63 702 es:

El cociente entre un número natural o decimal y una potencia de 10 corresponde al número natural o decimal con la coma trasladada hacia la izquierda tantas posiciones como ceros tiene la potencia de 10.

63 702 = 6 · 104 + 3 · 103 + 7 · 102 + 2 · 100

88 Unidad 3

HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. Escribe la potencia y su valor a partir de la información que se entrega: a) Base: 6

Exponente: 3

Potencia:

Valor:

b) Base: 3

Exponente: 0

Potencia:

Valor:

c) Base: 1

Exponente: 12

Potencia:

Valor:

d) Base: 9

Exponente: 5

Potencia:

Valor:

e) Base: 11

Exponente: 1

Potencia:

Valor:

f) Base: 13

Exponente: 4

Potencia:

Valor:

2. Expresa como potencia las siguientes multiplicaciones y calcula su valor con una calculadora: a) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

Potencia:

Valor:

b) 4 · 4 · 4 · 4

Potencia:

Valor:

c) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

Potencia:

Valor:

d) 9 · 9

Potencia:

Valor:

e) 12 · 12 · 12

Potencia:

Valor:

f) 21 · 21 · 21 · 21 · 21

Potencia:

Valor:

3. Escribe como potencia los siguientes números naturales: a) 1 000 =

c) 1 000 000 000 000 000 =

b) 10 =

d) 100 000 =

4. Multiplica las potencias de 10. Escribe el resultado como número natural y como potencia: a) 100 · 10 · 1 000

= Número

Potencia

b) 1 000 000 · 10 000 · 1 000 = Número

Potencia

c) 105 · 103 · 107 · 10

= Número

Potencia

d) 109 · 10 · 105 · 10 · 104

= Número

Potencia

5. Escribe la siguiente información como la multiplicación de un número entre 1 y 9 y una potencia de 10:

a) Velocidad de la luz: 300 000 km/s b) Radio terrestre: 6 370 000 metros c) Edad de la Tierra: 4 500 000 000 años d) Radio de la Luna: 1 700 000 metros Potencias

6. Multiplica mentalmente los siguientes números: a) 1 000 · 234 =

d) 1,02 · 105 =

b) 0,36 · 100 =

e) 37 · 107 =

c) 34,67 · 10 000 =

f) 100 000 · 0,00901 =

7. Divide mentalmente los siguientes números: a) 23 : 10 =

d) 1012 : 107 =

b) 34,78 : 1 000 =

e) 0,345 : 100 =

c) 1 000 000 : 1 000 =

f) 3 456 : 100 =

8. Descompón canónicamente los números utilizando potencias de 10: a) 14 = b) 23 086 = c) 9 003 = d) 689 052 =

9. Calcula el área de las siguientes figuras y exprésala ocupando potencias de 10: a)

b) 10 cm

1 000 km 100 cm

10 000 km

. Un nuevo edificio en el centro de una metrópolis mide 278,45 m de altura. a) ¿Cuál es la altura del edificio expresada en milímetros? b) Si el edificio posee 100 pisos de la misma altura, ¿cuánto mide cada piso?

90 Unidad 3

Unidad II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a Se estima que los dinosaurios –enormes

f Una caja contiene diez atados de diez

b El resultado de 104 – 103 es:

g La multiplicación 1 000 · 100 000 equivale a:

reptiles que habitaron nuestro planeta– se extinguieron hace unos 65 000 000 de años. ¿Cómo se expresa este número usando notación científica? a) 65 · 106 b) 0,65 · 106 c) 6,5 · 107 d) 65 · 107 100

a) b) 101 c) 107 d) Ninguna de las anteriores.

cuadernos cada uno. ¿Cuántos cuadernos podemos hallar en diez cajas como las anteriores? a) 100 b) 1 000 c) 10 000 d) 100 000

a) b) c) d)

105 · 104 108 · 108 107 · 102 108 · 100

c Fernanda va al banco a cobrar un cheque por

h La edad de nuestro Universo se estima

d Un torneo de tenis de eliminación simple

i La multiplicación 0,0345 · 1 000 tiene por

e José debe dividir los 18,25 kg que quedan

j 10 troncos de 2,35 m de largo se unen uno

$ 2 765 000. Si pide que le den solo billetes de $ 1 000, ¿cuántos billetes debieran darle? a) 2 765 b) 27 650 c) 276,5 d) 276 500

comienza su primera ronda con 16 participantes. ¿Cuántos jugadores quedan en la competición tras 2 rondas? Expresa este resultado en forma de potencia. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 de harina tostada en 10 bolsas de igual contenido. ¿Cuánto debe contener cada una de las bolsas? a) 1,825 g b) 18,25 g c) 182,5 g d) 1 825 g

HIPERTEXTO

Evaluación

en unos 1,37 · 1010 años. ¿A qué número corresponde esta expresión? a) 13 700 000 b) 137 000 000 c) 13 700 000 000 d) 1 370 000 000 000 resultado: a) Un número decimal. b) Una potencia de 10. c) Un número natural. d) Ninguna de la anteriores.

después del otro para construir un improvisado puente. ¿Cuál es la longitud de este puente? a) 23,5 cm b) 235 cm c) 2 350 cm d) 23 500 cm Potencias

Entrada de unidad

4 Unidad

Ecuaciones de primer grado

Red conceptual

Ecuaciones de primer grado

Definición

como

Igualdades entre expresiones algebraicas

Resolución

aplicando

Propiedades de números

Validación

mediante

Sustitución de la solución

Aplicaciones

relacionadas con

La ciencia y la vida cotidiana

¿Cuidas las playas? Las playas suelen ser el destino predilecto para ir de vacaciones. La comunión entre el sol, el mar y los bellos paisajes, seduce a todos. Pero, ¿damos a las playas el cuidado que requieren? ¿Respetamos la naturaleza costera como deberíamos? Muchas playas de nuestro país presentan gran cantidad de basura y desperdicios, tanto en el agua como en la arena. Buena parte de los desechos son arrojados por los visitantes, mientras que el resto es arrastrado por el viento o por los ríos que desembocan en ellas. La presencia de basura en las playas chilenas no solo afecta la belleza de los paisajes, sino que provoca efectos medioambientalmente fatales, como el ahogo de animales marinos que confunden la basura con alimentos, la muerte de especies por heridas provocadas por vidrios u otros objetos cortantes y la proliferación de roedores, malos olores e infecciones que pueden provocar enfermedades a los seres humanos.

Qué playa es la que más te gusta? ¿ La consideras una playa limpia? ¿Por qué crees que está así? ¿ ¿Qué consejos darías a otras personas para contribuir al cuidado y conservación de las playas en nuestro país?

¿Puedes resolver? Un grupo de voluntarios se desplegó por el país para censar la basura en la jornada de Limpieza Internacional de Costas que se realizó en el año 2007. En total fueron analizadas 112 playas. En un solo día de recolección se recogieron 95 toneladas de basura. Si nos dijeran que de ellas, 11 toneladas fueron de papel y cartón, 5 toneladas de vidrio, 3 toneladas de plumavit, 3 toneladas de metal y el resto de plásticos: ¿Cuántas toneladas de plásticos se recogieron? ¿Cómo puedes representar algebraicamente este problema?

rás a:

En esta unidad aprende

a expresión algebraica. un de r lo va el ar in rm ete D ntes. Reducir términos semeja er grado. iones Definir ecuación de prim propiedades de las operac o nd za ili ut o ad gr er im Resolver ecuaciones de pr numéricas. o. ecuaciones de primer grad o nd za ili ut as lem ob pr Resolver HIPERTEXTO

Motivación

Actividad inicial Una manera efectiva de contribuir a la protección del medioambiente se consigue mediante el reciclaje. Este consiste en procesar los distintos elementos que conforman la basura para volverlos a utilizar. Algunos componentes reciclables de la basura son: los metales, el vidrio, el papel, los plásticos y la materia orgánica. El reciclaje nos permite disminuir la cantidad de desperdicios que arrojamos al entorno y cuidar los recursos naturales al reutilizar las materias primas que nos proporcionan. Pero, ¿cómo podemos incentivar a la población a reciclar? Formen grupos de tres personas y realicen las actividades que se presentan a continuación. 1. Lean la historieta y respondan las preguntas de la página siguiente:

94 Unidad 4

Unidad a) Si en el tarro de metales de un curso hay x kg de aluminio y un alumno lanza

una lata de 35 g, ¿cómo representas la masa que contiene ahora el tarro? b) Si la masa del contenido del tarro de papeles es y kg y un tercio de ella corresponde a papel blanco, ¿cómo expresas los kilogramos de papel blanco?, ¿y los de papel de color? c) La masa del tarro de materia orgánica es de w kg. Si la masa de este tarro y su contenido es de z kg, ¿cuál es la masa de materia orgánica que contiene? 2. Un miércoles, en el tarro de metales de un curso hay a kg de aluminio, b kg de cobre y c kg de hierro. a) ¿Cuántos kilogramos de metales contiene el tarro? ¿Cuántos gramos? b) Si al viernes la cantidad de aluminio se triplica y la de hierro se duplica, ¿cuántos kilogramos hay ahora en el tarro? 3. Por error, un curso vació todos sus basureros en el contenedor de vidrio. Tras ello, este contenedor contiene 65 kg de basura que se distribuyen de la siguiente manera:

a) Expresen algebraicamente cómo calcular la masa de cada tipo de desperdicio

existente en el contenedor ocupando las cantidades del resto de las basuras y la masa total de basura. Metales: Vidrio: Papel: Plásticos: Materia orgánica: Otros:

b) ¿Cuánto vale A + B + C + D + E + F? c) ¿Cómo pueden expresar la masa de vidrio que se arrojó? Consideren que la masa

de vidrio antes de la incorporación del resto de las basuras era de 32 kg. HIPERTEXTO

Diagnóstico

Ecuaciones de primer grado

Términos semejantes Observa detenidamente la siguiente expresión algebraica: Un término algebraico está formado por un número –llamado coeficiente numérico– y por una o más letras –llamada parte literal–. Parte literal

7ab 

Coeficiente numérico

3x + 6y + 7z + 2x – 3y + 3z – 4x + 5y – 4z ff¿Qué característica especial notas en ella? Es posible advertir que cada una de las letras x, y y z aparecen en tres de los términos de la expresión. Destaquémoslas con un color diferente para que las distingas con mayor facilidad: 3x + 6y + 7z + 2x – 3y + 3z – 4x + 5y – 4z Una vez identificados, reunamos aquellos términos que están emparentados por el mismo color: Azul: 3x + 2x – 4x Verde: 6y – 3y + 5y Fucsia: 7z + 3z – 4z Los términos cuya parte literal es del mismo color se dice que son términos semejantes y poseen las misma características unos con otros, representando la misma magnitud. Por ejemplo si x es el número de galletas que tienes, entonces los términos 3x, 2x y 4x hacen referencia a ellas: 3x  triple del número de galletas 2x  doble del número de galletas 4x  cuádruplo del número de galletas

Recuerda que en la multiplicación de un número por una letra o de dos letras no es necesario escribir el signo correspondiente. Por ejemplo: 3 · x = 3x a · b = ab

Considera esta nueva expresión algebraica: 3ab + abc + 5bc + 2ac + ab + 7ac + 2bc + 6abc ff¿Cuáles términos son semejantes entre sí? Aunque las letras presentes en la expresión algebraica son solo tres: a, b y c; existen cuatro tipos de términos semejantes: Parte literal ab

 3ab y ab

Parte literal ac

 2ac y 7ac

Parte literal bc

 5bc y 2bc

Parte literal abc  abc y 6abc Términos semejantes se les llama a aquellos términos algebraicos que tienen la misma parte literal, poseen las mismas características y son de la misma naturaleza.

96 Unidad 4

Unidad

Ejercicios individuales a. Encierra en círculos de diferente color los términos que son semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:

a) 2y + 5x – y + z – 2x + 10y + 7z b) 5n + 3ñ + 4n + 8m + 10ñ + 3n + m c) 7xy + 4x + 6y + 5yx + 7x – 3y + 8xy + 9y d) 3a + 2b + 3a + 4c + 10b + 9c + 11a e) 3x + 7y + 9z + 8xy + 10xz + 2y + 15 xy + 8z + 7xz f) 7a + 6ab + 5bc + 8a + 12bc + 20ab + 3a + 7bc + 8ab g) p + 2q + 7p + 10r + 4q + 5p + 3r + 8p + 9r h) 10x + 25y – 11x + 35z + 22y + 34x + 19z

b. Indica las expresiones literales diferentes que puedes formar ocupando las letras que están a continuación (sin que se repita una misma letra en cada expresión): a) a y b b) a, b y c c) a, b, c y d

c. Une con una línea cada término algebraico de la izquierda con su término semejante de la derecha:

Término

7abcd

4dcbe

12bdce

32ab

4abe

9bea

11cde

2bcad

6aebc

2dce

3ba

18ceab

Ecuaciones de primer grado

Reducción de términos semejantes

Enlace con… La Historia

La sandía es originaria de la parte norte de África. Se han encontrado vestigios que sugieren que ya se cosechaba en el antiguo Egipto. De allí pasó a los países ubicados en los alrededores del mar Mediterráneo, siendo traída al continente americano por los conquistadores españoles y portugueses.

Don Remigio cosecha sandías y melones en un terreno que es de su propiedad. Todas las mañanas va a vender sus frutos al mercado del pueblo. Las sandías las vende a $ S y los melones a $ M. Un viernes vendió 14 sandías y 18 melones, el día siguiente 18 sandías y 21 melones y el domingo 16 sandías y 11 melones.

ff¿Qué expresión indica el dinero que recaudó en total por las ventas? ff¿Qué expresión indica el dinero que recaudó en los tres días por la venta de sandías? ff¿Qué expresión indica el dinero que recaudó en los tres días por la venta de melones? Separemos lo que recaudó cada día: Viernes:

14S + 18M

Sábado:

18S + 21M

Domingo:

16S + 11M

Para calcular el dinero total debemos sumar lo recaudado en los tres días: El valor de una expresión algebraica se obtiene sustituyendo su parte literal por números y resolviendo las operaciones que relacionan estos números. Por ejemplo, el valor de 3x + 4xy para x = 2 e y = 5 es: 3 · 2 + 4 · 2 · 5 = 46

14S + 18M + 18S + 21M + 16S + 11M Resolvemos reuniendo los términos que representan la ganancia por venta de sandías (parte literal S) y de melones (parte literal M): Sandías:

14S + 18S + 16S = (14 + 18 + 16) · S = 48S

Melones:

18M + 21M + 11M = (18 + 21 + 11) · M = 50M

Como ves, hemos sumado los coeficientes numéricos y mantenido la letra correspondiente. ff¿Qué valor adquieren las expresiones anteriores si don Remigio vende las sandías a $ 1 200 y los melones a $ 400? Sustituyendo S por 1 200 y M por 400, tenemos: Ganancia por venta de sandías = 48S = 48 · $ 1 200 = $ 57 600 Ganancia por venta de melones = 50M = 50 · $ 400 = $ 20 000 Ganancia total = 48S + 50M = 48 · $ 1 200 + 50 · $ 400 = $ 77 600

98 Unidad 4

Unidad ffSi don Remigio paga diariamente por el derecho a ocupar un lugar en el mercado lo equivalente al costo de 3 sandías, ¿cuánto ganó realmente? Para realizar este cálculo debemos restar de la expresión 48S + 50M el dinero equivalente a 9 sandías (3 sandías por cada uno de los tres días). 48S + 50M – 9S

Como los términos 6x y 7y no son semejantes, las siguientes operaciones no se pueden resolver sin conocer los valores de x e y: 6x + 7y 6x – 7y

Nuevamente reunimos los términos semejantes y realizamos las operaciones correspondientes: Sandías: 48S – 9S = (48 – 9) · S = 39S Melones: 50M Entonces la ganancia real de don Remigio fue: 39S + 50M = 39 · $ 1 200 + 50 · $ 400 = $ 66 800 Se llama reducción de términos semejantes a la acción de sumar o restar los coeficientes numéricos de las expresiones cuya parte literal es similar. Tras resolver las operaciones se agrega al resultado la parte literal común. Si dos términos no son semejantes no pueden ni sumarse ni restarse.

Ejercicios individuales a. En las siguientes expresiones algebraicas agrupa los términos semejantes y redúcelos: a) 2 x + 5y + 9z + 3x + 2y – 6z – 4x – 7y + 2z = b) 7ab + 6bc + 5ac + 5bc + 7ac + 6ab + 2bc + 3ab + 8ac = c) 5x + 2y + 3z + 6y + 7x + 7z + 3x + 2z + 5y = d) 11ax + 10cz + 9by + 3by + 4ax + 7cz + 6by + 4cz + 14ax = e) 7xb + 4yz + 15za – 5xb + 2yz – 8za – 5yz – xb – 3za = f) 18ñ + 10m + 3n + 20m – 15ñ + 18n + 3ñ – 15m – 7n = g) 5ef + 8tp + 4oq + 4ef + 9tp + 7oq – 3ef – 7tp – 2oq + tp + 2oq = h) 7abcd + 3adc + 5abc + 9abcd + 3abc + 6adc = i) 5k + 3g + 7d + 10k + 8d + 2g + 14d + 7g = j) 9f + 4ef + 2f + 7fe – 2f – 11ef + 4e – 2e – 9f – 2e = k) 21ij + 27jk – 8ij + 4jk – ij – 4jk =

Ecuaciones de primer grado

Definición de ecuación de primer grado

Archívalo La ornitología es la rama de la zoología que se dedica al estudio de las aves: clasificación, hábitos, canto y vuelo. Esta ciencia posee muchos aficionados que promueven la protección y conservación de las aves.

En un centro de investigaciones biológicas se adiestra a un grupo de profesionales para monitorear una población de aves que se encuentran en peligro de extinción. ffSi en total son 18 investigadores, de los cuales 12 son hombres, ¿cuántas mujeres hay en el equipo? Para resolver algebraicamente este problema lo primero que haremos será extraer la información que nos ofrecen: Total de investigadores: 18 Cantidad de hombres: 12 Cantidad de mujeres : x (valor desconocido) A continuación, planteamos el problema mediante lenguaje algebraico: 12 + x = 18 Nos encontramos ante una igualdad en la cual hay una incógnita x, que en este caso, representa el número de mujeres. Un ejemplo claro de igualdad es una balanza de platos, cuyos platos se equilibran cuando los pesos que contienen son iguales. Si colocamos la igualdad anterior en una balanza constataremos lo siguiente:

Se designa como incógnita dentro de una expresión algebraica a la parte literal desconocida de alguno de los términos. Para determinar el valor de una incógnita se utilizan las ecuaciones. En la ecuación 2x + 4 = 10, la incógnita es x. Resolver la ecuación es encontrar el valor de la x que permita que se cumpla la igualdad.

Para saber la cantidad de mujeres que hay en el equipo tenemos que encontrar un valor para x, de manera que al sumarlo con 12 se obtenga 18, permitiendo que la balanza continúe en equilibrio. 100 Unidad 4

Unidad ff¿Cuál es el número que sumado a 12 nos da 18? Evidentemente 6, ya que 12 + 6 = 18. Por lo tanto, x = 6 y podemos decir que en el equipo de investigadores hay 6 mujeres y 12 hombres. Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solo se verifica para un valor específico de una incógnita, generalmente llamada x.

Ejercicios individuales a. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + 2 = 4 x= b) x + 3 = 5 x= c) x + 2 = 6 x= d) x + 1 = 4 x= e) x + 4 = 4 x=

f) x + 5 = 7 x= g) x + 5 = 9 x= h) x + 5 = 11 x= i) x + 2 = 14 x= j) x + 12 = 14 x=

k) x + 3 = 6 x= l) x + 7 = 7 x= m) x + 2 = 11 x= n) x + 1 = 10 x= ñ) x + x = 20 x=

Problemas 1. El número de especies de reptiles amenazadas o en peligro de extinción es alarmante. En una determinada zona protegida existen x especies de reptiles y en otra ubicada a 300 km hay 3 especies más que en la primera. Si entre las dos zonas protegidas suman 17 especies, ¿cuántas especies protegidas hay en la primera? 2. El doble del dinero que cuesta una entrada del cine es 2 000 pesos. ¿Cuánto cuesta una entrada al cine? HIPERTEXTO

Desarrollo

Ecuaciones de primer grado

101

Resolución de ecuaciones de primer grado Aplicando lo aprendido podemos resolver una amplia variedad de ecuaciones de primer grado. ff¿Cuál es el valor de la incógnita en la ecuación 10x + 5 – 4x = 10 + x? 1º Aplicamos propiedad conmutativa al lado izquierdo: 5 + 10x – 4x = 10 + x 2º Reducimos los términos semejantes del lado izquierdo: 5 + 6x = 10 + x Cuando resuelves una ecuación debes preocuparte de restar a ambos lados el menor de los números que están sumando los lados de la igualdad. Si el término a restar contiene la incógnita debes restar aquel que posea el menor coeficiente. Por ejemplo, a continuación se destacan los términos que deben ser restados: 7x + 4 = 19 + 2x

3º Restamos 5 a ambos lados de la igualdad. Esto equivale a trasladar el 5 que está sumando en el lado izquierdo, al lado derecho restando:

4º Restamos x a ambos lados de la igualdad. Esto equivale a trasladar la x que está sumando en el lado derecho, al lado izquierdo restando: 6x – x = 5 5x = 5

5º Dividimos ambos lados de la igualdad por 5. Esto equivale a trasladar el 5 que multiplica en el lado izquierdo, al lado derecho dividiendo: 5 10 x= 5 5 x=1 Resolver una ecuación de primer grado consiste en encontrar el valor de la incógnita que ella contiene. Esto se consigue realizando las operaciones necesarias que permitan despejar o aislar la incógnita en un lado de la igualdad, obteniéndose en el otro, su valor.

Desafío

al ingenio

Ayer preguntaron a Penélope por su edad y ella contestó: “Anteayer tenía 10 años y el año próximo cumpliré 13.” ¿Es esto posible? ¿Cómo? ¿Qué día es hoy?

6x = 10 – 5 + x 6x = 5 + x

ff¿Cuál es el valor de la incógnita en la ecuación 8x + 3 – x = 13 + 2x? Aplicaremos los pasos uno por uno: 1º 2º 3º 4º 5º

102 Unidad 4

3 + 8x – x = 13 + 2x 3 + 7x = 13 + 2x 7x = 10 + 2x 5x = 10 5 10 x= 5 5 x=2

Unidad

Ejercicios individuales a. En cada uno de los siguientes ejercicios se ha planteado una ecuación, pero se desconoce su enunciado. Elabora un enunciado para cada ecuación y luego resuélvela:

Ecuación x + 7 = 13

Enunciado

Resultado

A un número desconocido le agregamos 7 y nos da 13.

x=6

x + 11 = 19 x – 13 = 15 18 + x = 51 x–5=5 2x + 5 = 7 7 + 2x = 17 3x + 8 = 11 4x – 15= 1 4x – 22 = 6

b. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 4x + 2 = 3x + 9 x= b) 7 + 7x = 9x – 13 x= c) 3x + 4 + 2x = 6x x=

d) 5x + 2 – 3x = 7 – 3x x= e) 12 + 3x – 9 – x = 14x – 21 x= f) x + 11x + 7x = 0 x=

c. Expresa los siguientes enunciados mediante ecuaciones de primer grado, resuélvelas e indica el valor del número incógnito: a) El cuádruplo de un número menos ocho equivale al doble del número más seis.

Ecuación

Valor de la incógnita

b) Un número más el doble del número más el triple del número equivale a treinta y seis.

Ecuación

Valor de la incógnita

c) El doble del triple de un número más el triple del doble del número equivale a ciento veinte.

Ecuación

Valor de la incógnita

d) La mitad de un número es diecisiete.

Ecuación

Valor de la incógnita

e) La tercera parte de un número es treinta.

Ecuación

Valor de la incógnita

f) Catorce más el doble de un número equivale a catorce.

Ecuación

Valor de la incógnita Ecuaciones de primer grado

103

Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado Desafío

al ingenio

Raúl guarda sus camisas en su closet. Todas sus camisas son blancas menos dos, todas son azules menos dos y todas son rojas menos dos. ¿Cuántas camisas tiene de cada color?

El grado de una ecuación algebraica corresponde al mayor exponente de la o las incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x3 + 7x2 – 4x + 7 = 12, es de tercer grado con una incógnita. También existen ecuaciones con 2 y más incógnitas, pero las estudiarás más adelante. Por ahora, estamos estudiando las ecuaciones de primer grado con una incógnita, es decir, del tipo: 7x – 4 = 17

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es encontrar solución a problemas, tanto de los de compleja naturaleza científica como de los de la vida cotidiana. Muchas de las metodologías que ocupamos para calcular algunas magnitudes ya estudiadas con anterioridad como el área y el perímetro, tienen su base en ecuaciones de primer grado. ffEl perímetro de un parque rectangular es 54 km. Si el lado mayor mide 11 km más que el menor, ¿cuánto miden los lados del parque? Lo primero que debemos hacer para encontrar la solución de este problema es separar la información útil que nos ofrecen, en este caso nos dicen que el perímetro del parque es 54 km y que el lado mayor mide 11 km más que el menor. Partamos escribiendo la fórmula general del perímetro para un cuadrilátero: P = a + b + c + d = 54 km Si los lados son a, b, c y d, donde a = c y b = d y si determinamos que a y c son los lados mayores, entonces: b=d=x a = c = x + 11 Si dibujamos el jardín rectangular: c = x + 11 b=x

d=x a = x + 11 a+b+c+d=P Sustituyendo en la fórmula de perímetro:

x + 11 + x + x + 11 + x = 54 Agrupando términos semejantes: x + x + x + x + 11 + 11 = 54 Reduciendo términos semejantes: 4x + 22 = 54 104 Unidad 4

Unidad Dejando el término con la x de un lado:

4x = 54 – 22

4x = 32 Despejando x:

Desafío

al ingenio

32 4 x=8 x=

Teniendo el valor de x podemos decir que los lados más pequeños del rectángulo que forman el parque miden cada uno 8 km y si nos dijeron al inicio que los lados mayores tienen 11 km más que los menores, entonces:

Ana tiene el triple de pasteles que Carlos. Diego tiene la mitad que Carlos. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno?

a = c = x + 11 a = c = 8 + 11 a = c = 19 km Entonces, concluimos que los lados más pequeños del parque miden cada uno 8 km y los lados mayores miden 19 km cada uno.

Problemas 1. En la segunda fase de un juego gané 14 fichas, por lo que en total acumulé 57. ¿Cuántas fichas había ganado en la primera fase? 2. Andrés tiene 27 años más que su hijo. La edad de Andrés es 41 años. ¿Qué edad tiene su hijo? 3. Necesito saber cuántas preguntas tiene la última guía de matemática, y lo único que sé es que Margarita contestó 12 y le faltan 8. ¿Cuántas preguntas son en total? 4. Del dinero que tengo, debo pagar $ 5 600 y me quedarán $ 3 400. ¿Cuánto dinero tengo? 5. Si un hombre gastó $ 14 250 y le quedaron $ 7 800 en el bolsillo, ¿cuánto tenía antes del gasto? 6. Un trozo de madera medía 3,7 m. Si le cortaron un pedazo y redujo su longitud a 3,25 m, ¿cuánto le cortaron? 7. Cuando Ximena tenga el doble de mi edad más 5 años, tendrá 47. ¿Cuántos años tengo?

Ecuaciones de primer grado

105

Validación de la solución de una ecuación de primer grado Enlace con… La Industria

Con el papel reciclado se producen 200 mil toneladas anuales de papeles de embalaje. Las principales materias primas ocupadas son cajas de cartón corrugado y diarios viejos. También son fabricados con papel reciclado los papeles tissue, algunas cartulinas, algunos papeles de impresión y escritura y papeles de envolver.

En un colegio se toma como iniciativa realizar una campaña de reciclaje. Tomás, Ignacio y Marcos colectaron papel y cartón en sus casas para contribuir con ella. Tomás reunió 3 kg más que Marcos e Ignacio 2 kg menos que Marcos. ffSi entre los tres amigos entregaron 13 kg, ¿cuántos kilogramos reunió cada uno? Extraemos la información útil: Marcos: x Tomás: x + 3 Ignacio: x – 2 Entre los tres amigos: 13 kg Planteamos la ecuación: x + x + 3 + x – 2 = 13 Agrupamos términos semejantes: x + x + x + 3 – 2 = 13 Reducimos términos semejantes: 3x + 1 = 13 Despejamos la incógnita: 3x + 1 = 13 3x = 12 x=4

Desafío

al ingenio

Un abuelo tiene el triple de la edad de su hijo y este, a su vez, el triple de la edad de su hijo. Si entre las tres edades suman 130 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

Marcos: x = 4 Tomás: x + 3 = 4 + 3 = 7 Ignacio: x – 2 = 4 – 2 = 2 Por lo tanto, Marcos reunió 4 kg, Tomás 7 kg e Ignacio 2 kg. ff¿Cómo validamos la solución de esta ecuación? Validar o comprobar la solución de una ecuación consiste en comprobar que el valor encontrado para la incógnita es el correcto, es decir, que al sustituir este valor en la ecuación inicial se verifica la igualdad.

Validemos la solución para x = 4. La ecuación inicial es: x + x + 3 + x – 2 = 13 Sustituimos el valor de x en la ecuación: 4 + 4 + 3 + 4 – 2 = 13 Operamos: 13 = 13 106 Unidad 4

Unidad Al sustituir en la ecuación inicial el valor obtenido para x se cumple la igualdad, ya que en ambos lados se llegó al mismo número. Cada vez que resolvemos una ecuación debemos validar la respuesta para estar seguros de que el resultado hallado es el correcto.

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba cada uno de tus resultados: a) x + 7 = 13

e) 3 + 2 x + 2 = 4x – 1

b) x – 18 = 1

f) 6x + 9 = 3x + 21

c) 27 + x = 34

g) 4x – 3 – x + 5 = x + 3x

d) x + 5 = 19

h) 12 x + 12 = 12 + 11x

b. Para cada enunciado plantea una ecuación, resuélvela y comprueba tu resultado: a) Un número desconocido más 37 unidades es igual a 92. ¿Cuál es el número? b) Si al número 28 le sumo una cantidad desconocida obtengo 39. ¿Cuál es la cantidad desconocida? c) ¿A qué número debo restarle 50 para obtener 34? d) El perímetro de un triángulo es 24 cm. Los dos lados más grandes suman 18 cm. ¿Cuánto mide el lado menor? e) El perímetro de un cuadrilátero es 35 cm. La suma de tres de sus lados es igual a 28 cm. ¿Cuánto mide el cuarto lado? f) Si al quíntuplo de la edad de Sofía le agregamos 16 años, obtendremos la edad del padre que es 31 años. ¿Cuál es la edad de Sofía?

Problemas 1. Un campesino calcula la cantidad de kilogramos de alimento para ave que debe comprar al mes mediante una expresión algebraica. La incógnita x representa el número de aves que hay en el momento de la compra. La expresión es: 3x + 5 a) ¿Cuántas aves tiene un mes en que compra 41 kg de alimento? b) ¿Cuántas aves tiene un mes en que compra 50 kg de alimento? c) ¿Cuántas aves tiene un mes en que compra 65 kg de alimento? d) Si un mes compró 56 kg de alimento, ¿cuántas aves tenía ese mes? e) Si la máxima cantidad de kilogramos que puede comprar al mes es 119, ¿cuántas aves puede tener como máximo? HIPERTEXTO

Desarrollo

Ecuaciones de primer grado

107

Resolución de problemas Problema modelo Un grupo de excursionistas debe recorrer 32 km en 4 días. El segundo día recorre el doble que el primer día, el tercer día recorre 1 km más que el día anterior y el último día andan los 6 km restantes. ¿Cuánto caminaron cada día? a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?

• La información que nos permitirá resolver el problema es: km en el día 1

km en el día 2

km en el día 3

km en el día 4

Total

2x + 1

b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?

• Sabemos la distancia que recorrieron los excursionistas en los 4 días, y nos dan las distancias que recorren referidas a lo caminado el primer día. • Con estos datos, podemos plantear una ecuación de primer grado: x + 2x + 2x + 1 + 6 = 32 • Despejando x tendremos la distancia recorrida el primer día. Con este dato calculamos el valor de las expresiones que representan los kilómetros recorridos cada día. c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

• x + 2x + 2x + 1 + 6 = 32 Reducimos términos semejantes. 5x + 7 = 32 Restamos 7 de ambos lados de la igualdad. 5x = 32 – 7 Calculamos. 5x = 25 Dividimos por 5 ambos lados de la igualdad. 25 x= = 5 Calculamos. 5 • Por lo tanto, el primer día recorrieron 5 km. • Sustituyendo en las expresiones algebraicas: Día 2: 2x = 2 · 5 = 10 km Día 3: 2x + 1 = (2 · 5) + 1 = 10 + 1 = 11 km d) Responde: Contesta las preguntas del problema

• El primer día caminaron 5 km, el segundo día 10 km y el tercer día 11 km. e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Para comprobar sustituimos el valor obtenido en la ecuación original: x + 2x + 2x + 1 + 6 = 32 (5) + (2 · 5) + (2 · 5) + 1 + 6 = 32 5 + 10 + 10 + 1 + 6 = 32 32 = 32 108 Unidad 4

Unidad Problema 1 En una plantación existen 748 flores. Las hay de tres tipos: claveles, crisantemos y lilium. Los claveles duplican a los crisantemos y estos superan a los lilium en 80 unidades. a) ¿Cuántos lilium hay en la plantación? b) ¿Cuántos crisantemos hay en la plantación? c) ¿Cuántos claveles hay en la plantación?

Problema 2 Un taxista recorrió el martes 3 km más que el lunes, el miércoles 2 km más que el lunes y el jueves el doble de lo que recorrió el martes. El hombre observó que en los cuatro días su tablero de kilometraje había avanzado 136 km. a) ¿Cuántos kilómetros recorrió el taxista el día lunes? b) ¿Cuántos kilómetros recorrió el jueves?

Problema 3 En un torneo de básquetbol al ganador de un partido se le asignan 2 puntos y al perdedor 1. El equipo de la Asociación Norte participó sin mucho éxito, terminando como colista. La cantidad de partidos que perdió equivalen al cuádruplo de los que ganó. Este equipo totalizó 30 puntos al finalizar la competición. a) ¿Cuántos partidos ganó y perdió el equipo de la Asociación Norte? b) Si el quipo que ganó el campeonato fue el de la Asociación Sur, consiguiendo 28 triunfos y 2 derrotas, ¿cuál fue su puntaje final?

Problema 4 Una empresa que utiliza materias primas provenientes del reciclaje de papeles, vidrios y plásticos produjo M artículos el miércoles, J el jueves, V el viernes y S el sábado. Cada día elaboró el doble de unidades que el día anterior. a) Expresa el valor de J, V y S ocupando el valor de M. b) Si en los cuatro días considerados se fabricaron un total de 3 195 artículos, ¿cuántos se fabricaron cada uno de los días?

Ecuaciones de primer grado

109

Tecnología activa Obteniendo el valor de una expresión algebraica Para calcular el precio X del litro de un combustible se incluyen cuatro factores: A, B, C y D. Estos factores están relacionados con el proceso de extracción y refinamiento, impuestos específicos y los precios de otros combustibles u otras fuentes de energía. La expresión algebraica que permite determinar X es la siguiente:

X = 3A – 2B – C + 4D + 120 Observa los valores que adquirieron los factores durante el primer semestre de un año: Factor

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

108

115

123

154

145

119

116

100

Calcula el precio X del litro de combustible para los meses considerados en la tabla anterior. 1. Creación de la hoja de cálculo. ›› Crea un Libro nuevo. Llámalo “Valor de una expresión algebraica”. ›› Traslada los datos de la tabla a la planilla ocupando las columnas A, B, C, D, E, F y G. Guíate por la siguiente planilla:

110 Unidad 4

Unidad ›› Escribe en la celda A7 “X” (precio del litro de combustible). En la celda B7 anota

“=3*B2–2*B3–B4+4*B5+120”, que corresponde a la expresión algebraica que permite calcular X. Te aparecerá el número 651 e indica que el precio del combustible en enero fue de $ 651. ›› Acerca el cursor al extremo inferior derecho de la celda B7 y cuando aparezca una cruz negra arrastra el mouse hasta la celda G7. Te aparecerán los valores del litro de combustible para los restantes meses del semestre. Estos valores los puedes ver en la planilla:

2. Aplicando lo aprendido. El segundo semestre del mismo año los factores adquirieron los siguientes valores: Factor

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

110

123

127

126

131

133

115

109

106

103

105

106

102

108

a) Ocupa estos valores para los factores A, B, C y D en tu planilla y completa la siguiente

tabla con los nuevos valores de X: Meses

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

X [$]

b) ¿En qué mes del año el precio del combustible adquirió su mayor valor? Indica este

valor. c) ¿En qué mes del año el precio del combustible adquirió su menor valor? Indica este valor. Ecuaciones de primer grado

111

Síntesis de la unidad Ficha 1 Un término algebraico está constituido por números y letras multiplicados entre sí. A la parte numérica se le llama coeficiente del término y a la conformada por letras, parte literal. Por ejemplo: 7xy. En este término, 7 es el coeficiente y xy la parte literal.

Ficha 2 Una expresión algebraica es una expresión matemática que contiene números y letras unidos por operaciones aritméticas. Por ejemplo: 2x + 4y + 5. El valor de una expresión algebraica corresponde al resultado numérico que se obtiene tras sustituir las letras por números específicos y realizar las operaciones correspondientes.

Ficha 3 Términos semejantes en una expresión algebraica son aquellos cuya parte literal es similar. Por ejemplo, los términos x, 4x, 7x y 12x son semejantes, ya que la parte literal de todos es x. Los términos semejantes pueden reducirse, es decir, sumarse o restarse.

Ficha 4 Una ecuación de primer grado corresponde a la igualdad de dos expresiones algebraicas en las que existe una incógnita, es decir, un término literal desconocido. Por ejemplo: x + 4 = 4x – 2.

Ficha 5 Resolver una ecuación de primer grado consiste en hallar el valor de la incógnita que satisface la igualdad existente. Para comprobar o validar el resultado obtenido se debe sustituir la incógnita por este valor en la ecuación original y verificar que la igualdad se satisface.

Ficha 6 Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan una serie de propiedades y relaciones: conmutatividad y asociatividad de la adición, y la relación inversa existente entre las operaciones de adición y sustracción y de multiplicación y división.

112 Unidad 4

HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. Completa la siguiente tabla con el valor de las expresiones algebraicas para los valores de x e y que se señalan:

Expresión

x=1

y=2

x=4

y=3

x=9

y=5

x = 11

y=7

2xy x+y+2 3xy – 2 88 – xy 4x – y xy – y

b. Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica tu resultado: a) 9x + 4 + 3x = 13x x= b) 21y + 32 = 10y + 20y – y y= c) z + z + 1 + z + 2 + z + 3 = 58 z= d) 3x + 14 = 2x + 15 x=

e) 7y + 7 = 7 y= f) 32z + 9 = 16z + 57 z= g) 6x – 3 – 2x = x + 9 x= h) 16 + 4y + 4 = 18 + 6y y=

c. Resuelve los siguientes problemas planteando la ecuación correspondiente, resolviéndola y comprobando tu resultado: a) En un juego de cartas Ignacio obtuvo 47 puntos en la segunda partida y 39 en la tercera. Si en las primeras tres partidas ha acumulado 128 puntos, ¿cuántos ganó en la primera partida?

b) Loreto está participando en una ultramaratón de 220 km. El primer día corrió 57 km, el segundo 45 km y desea repartir la distancia que resta en partes iguales en los 2 días que le quedan para terminar el recorrido. ¿Qué distancia deberá recorrer cada uno de los días que le quedan de competencia?

Ecuaciones de primer grado

113

c) Remigio lleva trabajando 17 horas seguidas. Si su turno normal es de 9 horas, ¿en cuántas horas ha excedido su horario de trabajo normal?

d) El viaje directo a Caracas demora x minutos. Debido a dos escalas realizadas en Perú y Ecuador, de 35 min y 50 min respectivamente, el vuelo tardó 445 min. ¿Cuál es el valor de x? ¿Cuántas horas demora el viaje directo a Caracas?

d. Una empresa importa una determinada cantidad de gas dependiendo del trimestre del año que se

realice la compra. La cantidad de litros que se encargan se calcula considerando tres factores: A, B y C. El factor A tiene que ver con los costos de traslado del gas nacional, el B da cuenta de la demanda interna y el C, del precio internacional del dólar. La siguiente tabla muestra la expresión algebraica que determina la cantidad de gas a importar cada trimestre: Trimestre

Primero

Segundo

Tercero

Cuarto

Expresión algebraica

10B – 2A – 4C

12B – 2A – 3C

15B – A – 2C

11B – 2A – 3C

a) Determina la cantidad de litros de gas a comprar en el mes de julio si los valores de los parámetros son: A = 12 000, B = 20 500 y C = 8 500. b) Considera los mismos parámetros anteriores, pero aplicados al mes de febrero. ¿Cuál es la diferencia en la cantidad de litros de gas que será necesario importar este mes respecto al mes de julio? c) Considera los siguientes valores para los parámetros: A = 8 500, B = 22 000 y C = 12 200. Calcula la cantidad de litros de gas a importar los meses de enero, abril, agosto y noviembre. ¿En qué mes será necesario importar la mayor cantidad de gas? ¿En qué mes la menor cantidad?

e. Rosario trabaja medio tiempo en una tienda de mascotas. Si ganara el triple de lo que le pagan mensualmente podría arrendar un departamento de $ 120 000 de alquiler mensual. Además podría gastar $ 110 000 en el supermercado y aún le quedarían $ 140 620.

a) ¿Cuál es el salario mensual de Rosario? b) ¿Cuánto debiera ganar para que le quedaran $ 22 450 tras los gastos en arriendo y en compras en el supermercado?

f. Mónica fue a comprar huevos al mercado. Su madre le encargó de tres tipos: blancos pequeños, blancos grandes y de color. “Tráeme el doble de blancos grandes que de pequeños, y estos últimos deben superar en 4 unidades a los de color” –dijo. En total Mónica debe comprar dos docenas. Responde: a) ¿Cuántos huevos blancos grandes tiene que comprar? b) ¿Cuántos huevos blancos pequeños debe comprar? c) ¿Cuántos huevos de color tiene que comprar?

114 Unidad 4

Unidad II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a El precio de un producto se calcula en fun-

5 Un camión lleva dos acoplados. El primer

b ¿Por qué número se debe reemplazar z

6 Micaela demora y horas en llegar a la casa

c El doble de la cantidad de galletas que tiene

7 La masa de un caballo equivale al séptuplo

d Un CD de música de 23 minutos de duración

8 En un torneo de fútbol un triunfo permite

ción del costo de sus materias primas. La expresión que permite realizar este cálculo es: 2A + 3B – C + 5. Si A = $ 80, B = $ 110 y C es la mitad de A, ¿cuál es el precio del producto? a) $ 350 b) $ 400 c) $ 455 d) $ 500 para que la ecuación 2z + 9 = 2z + 9 se satisfaga? a) 2 b) 9 c) Cualquiera. d) Ninguno.

Ernesto equivalen al triple de los que tiene Marcela. ¿Cuántas galletas tiene Marcela si Ernesto tiene 12? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 contiene 4 canciones. La segunda dura 3 minutos más que la primera, la tercera el doble que la cuarta y esta, lo mismo que la primera. ¿Cuál es la duración de la segunda canción? a) 4 min b) 6 min c) 7 min d) 8 min

HIPERTEXTO

Evaluación

acoplado mide 2 m más que el segundo y este mide el triple que la cabina delantera. Si el camión mide en total 23 m de largo, ¿cuál es la longitud del segundo acoplado? a) 9 m b) 10 m c) 11 m d) 12 m

de sus abuelos viajando en bus. Este bus realiza 2 paradas, una de 15 minutos y otra de 25 minutos. ¿Cuántos minutos demoraría el viaje si no hubiera detenciones? a) 30y – 40 b) 30y + 40 c) 60y – 40 d) 60y + 40

de la de un perro, y la de este, al quíntuplo de la de un gato. ¿Cuál es la masa corporal del caballo si la del gato es de 6 kg? a) 180 kg b) 190 kg c) 200 kg d) 210 kg obtener 3 puntos, un empate 1 punto y una derrota 0 puntos. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la cantidad de puntos obtenidos por un equipo que consiguió T triunfos, E empates y D derrotas? a) T + E b) 2T + E + 3D c) 3T + 2E + D d) 3T + E

Ecuaciones de primer grado

115

Entrada de unidad

5 Unidad

Red conceptual

Ángulos

Definición

como

Figuras formadas por dos rayos

Medición

usando

Transportador

Clasificación

según

Medida en grados sexagesimales

Ángulos

Paralelas cortadas por transversal Relaciones

116

Triángulos y cuadriláteros

¿Sabes cómo surgieron las señales del tránsito? A partir de la necesidad de dar solución a los problemas que se presentaban al querer trasladar objetos de manera rápida y efectiva, es que aparece en Asia, hace más de 4 000 años, la rueda. Siglos más tarde surge la idea de crear, a partir de la rueda, un instrumento con un habitáculo central que permitiera el traslado de personas. De esta manera nace el concepto de vehículo como medio de transporte para seres humanos. A medida que se fueron masificando los medios de transporte, comenzaron a surgir problemas que en su mayor parte provenían de las preferencias de paso y de la mayor o menor habilidad de algunos conductores. Esta fue posiblemente una de las razones por las que hace aproximadamente dos milenios, en la antigua China, se estableció que las clases más altas de la sociedad, para obtener sus títulos, debían demostrar sus habilidades en la conducción de carruajes y, con el fin de preparar a los candidatos, se crearon escuelas especializadas que podrían ser consideradas como las precursoras de las actuales escuelas de automovilismo. Los romanos, a partir del siglo IV a. de C., comenzaron la construcción de una gigantesca red vial de miles de kilómetros de extensión –conocida como calzada– que unía los territorios conquistados por Roma. Esta red permitía el traslado de gran parte de la población, por lo que se hizo necesario controlar y supervisar que el tráfico en dichos caminos fuera ordenado, cómodo y rápido. Para esto, el gobierno romano estableció el primer código de señales de tránsito de la historia.

Qué señales de tránsito conoces? ¿ Qué indican las señales de tránsito que aparecen en la foto? ¿

¿Puedes resolver? Una manzana urbana típica es un cuadrado cuyos lados corresponden a cuadras de 100 metros. Si trazamos una diagonal, la manzana queda dividida en dos triángulos. ¿Cómo clasificarías los triángulos que se forman? ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?

rás a:

En esta unidad aprende

etría. nceptos básicos de geom anejar y aplicar los co M ir ángulos. s paralelas. Nombrar, clasificar y med a recta interseca dos recta un do an cu an rm fo se e teriores de Relacionar los ángulos qu s ángulos interiores y ex lo de a id ed m la tre en s Determinar las relacione lución de problemas. so re la a las ar lic ap y os polígon HIPERTEXTO

Motivación

117

Actividad inicial Respetar las señales de tránsito te garantiza mayor seguridad al caminar por las calles, por ejemplo, cuando te diriges todos los días al colegio o cuando regresas a tu casa. ¿Te has fijado con qué señales de tránsito te encuentras a diario? Júntense en grupos de tres personas y realicen las actividades que se proponen. 1. Lean la siguiente historieta y luego respondan las preguntas:

118 Unidad 5

Unidad a) De acuerdo al mapa, ¿se intersecan Av. Los Poetas con Vicente Huidobro?

¿Y qué sucede con las calles Gabriela Mistral y Pablo Neruda? b) Si tenemos dos rectas en un plano, ¿se tienen que intersecar? ¿Pueden intersecarse en dos o más puntos? c) En términos de las posibles intersecciones, ¿cuántas posibilidades existen si dibujas tres rectas en el plano? d) ¿Qué ocurre con las calles Gabriela Mistral, Pablo de Rokha y Av. Los Poetas? ¿Se intersecan entre sí? 2. Dibuja un mapa del camino que debes recorrer para llegar a tu colegio. Si vives muy lejos incluye solo las principales calles por donde transitas, y si vives en alguna zona rural, incluye solamente las intersecciones con los caminos más importantes. Luego describe tu recorrido. a) ¿Cuántas rectas paralelas puedes contar? b) ¿Cuántos puntos de intersección existen en tu mapa? 3. Copia la siguiente tabla y complétala en tu cuaderno. Para la columna "Calles representativas" básate en el mapa que aparece en la página anterior: Descripción

Dibujo esquemático

Calles representativas

Las tres son paralelas.

Vicente Huidobro, Gabriela Mistral y Av. Pablo de Rokha.

Las tres se intersecan en un único punto.

4. Dibuja los siguientes esquemas e indica cuántos ángulos puedes identificar en cada uno de ellos: a)

HIPERTEXTO

Diagnóstico

Ángulos

119

Ángulos Catalina sale a andar en bicicleta por su calle, pero cada vez que llega a la esquina tiene un problema: hay una señal de Ceda el paso y desde la esquina no se puede ver si vienen autos por la derecha.

Enlace con… La Vialidad

Cuando dos vehículos –automóvil, bicicleta u otro– tienen que pasar por un mismo sitio, normalmente un cruce, rotonda o un paso habilitado para peatones o animales, se crea lo que se llama una “preferencia de paso”, pues uno de los vehículos tiene derecho a pasar y otro debe detenerse y esperar. En tales intersecciones existen señales de tránsito tales como el semáforo, el disco Pare o el Ceda el paso, que informan quién tiene la preferencia de paso. En caso de no existir alguna señal que indique prioridad de paso, esta la tendrá el vehículo que se aproxime por nuestra derecha.

Catalina

Catalina dibuja este mapa y lo envía al municipio junto a una carta, señalando que en la esquina resulta muy difícil mirar a la derecha, pues ambas calles forman un ángulo muy cerrado. Catalina ha asociado el concepto de ángulo con el de esquina, pues en ambos casos se trata de dos líneas que tienen un punto en común. Un ángulo es la figura formada por la unión de dos rayos que tienen un vértice común, como el que se observa a continuación:

ff¿Cómo puede Catalina identificar el ángulo al que se refiere en su carta? Para nombrar el ángulo Catalina debe identificar con una letra tres puntos que pertenezcan al ángulo. De las tres, la letra que va al medio corresponde al origen común de los dos rayos que forman el ángulo. Otra forma es usar una letra griega –tales como α, β y γ– que indique la abertura entre los rayos. También pueden usarse otras letras o números. Observa: El nombre de este ángulo puede ser:

 α (que se lee alfa) O

120 Unidad 5

 ] AOB (que se lee ángulo AOB)  ] BOA (que se lee ángulo BOA)

Unidad

Ejercicios individuales a. Identifica cada ﾃ｡ngulo de las tres maneras posibles: M

g b

b. En las siguientes imﾃ｡genes encuentra y marca con colores al menos tres ﾃ｡ngulos presentes en cada una:

ﾃ］gulos

121

Medición de ángulos En la siguiente figura vemos un mapa del metro de Santiago de Chile del año 2008: Algunos ejemplos de ángulos son: A 35°

B ]AOB = 35°

P 90° Q

R ]PQR = 90°

ff¿Puedes medir el ángulo definido por las estaciones de la línea 5, Baquedano, Parque Bustamante y Ñuble?

X 150° Y ]ZYX = 150°

Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un grado corresponde a la medida del ángulo que se forma cuando una circunferencia se divide en 360 partes iguales. Los grados indican la separación de los lados del ángulo. Mientras más separados están los rayos que forman el ángulo, mayor es la cantidad de grados que este mide.

Midamos con un transportador el ángulo formado por las estaciones mencionadas siguiendo el siguiente procedimiento: a El centro del transportador b La línea que va del centro a c El otro lado indica la medida se pone sobre el vértice del ángulo.

122 Unidad 5

la marca de 0°, se pone sobre uno de los lados.

del ángulo. En este caso es cercano a 135°.

Unidad

Ejercicios individuales a. Con la ayuda de un transportador mide los siguientes ángulos y anota sus medidas aproximadas: a)

a a:

b. Con ayuda de un transportador dibuja ángulos de las siguientes medidas: 30°

60°

90°

180°

270°

360°

Ejercicios grupales a. En las siguientes imágenes mide con un transportador los ángulos que se señalan. Aproxima tus mediciones a valores enteros: a) b)

α b

g α b

]a =

]b =

]g =

]g = Ángulos

123

Clasificación de ángulos Enrique y Rodolfo están diseñando estuches para sus bicicletas. Estos se amarrarán al marco de la bicicleta como muestra la figura:

Enlace con… La Vialidad

Andar en bicicleta es sano y entretenido, pero además una manera rápida, silenciosa y no contaminante de desplazarse por la ciudad. Solo en Santiago, en días hábiles, se realizan como promedio más de 300 mil viajes diarios ocupando este medio de transporte.

Todo los ángulos definidos en esta página son convexos. Además de ellos, existen también los ángulos cóncavos y se definen como aquellos mayores que 180° y menores que 360°.

Enrique dice que, para calzar exactamente, el estuche debe poseer un ángulo recto, pero Rodolfo argumenta que el marco no forma un ángulo recto, sino uno agudo. ffAyuda a los amigos a resolver el dilema midiendo el ángulo que forma el marco de la bicicleta. ¿Quién tiene la razón? Un ángulo se clasifica según su medida, pudiendo ser: • Agudo: 0°  α  90°

• Recto: α = 90°

α • Obtuso: 90°  α  180°

• Extendido: α = 180°

α Los ángulos rectos son los más comunes en nuestro entorno, principalmente en la arquitectura. Observa a tu alrededor y lo comprobarás.

• Completo: α = 360°

Como pudiste comprobar, el ángulo del marco es recto, pues mide 90°. ff¿Cuántos grados mide el ángulo que se forma hacia arriba del marco de la bicicleta? Es un ángulo recto también. La suma de ambos ángulos es 180º, por lo tanto, se trata de ángulos suplementarios. ff¿Qué otro tipo de relación puede existir entre dos ángulos?

124 Unidad 5

Unidad

Ángulos complementarios son aquellos que suman 90°. Ángulos suplementarios son aquellos que suman 180°. Ángulos adyacentes son suplementarios y tienen un lado común.

α β

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos adyacentes

Ejercicios individuales a. Clasifica los siguientes ángulos según su medida: a)

b) A

R O

P N

b. Escribe el ángulo complementario de cada uno de los siguientes ángulos: a) 20°

c) 0°

e) 51°

g) 105°

b) 88°

d) 63°

f) 90°

h) 45°

c. Escribe el ángulo suplementario de cada uno de los siguientes ángulos: a) 20°

c) 30°

e) 154°

g) 0°

b) 45°

d) 180°

f) 121,5°

h) 170°

d. Clasifica los siguientes pares de ángulos en complementarios (C), suplementarios (S) o ninguno de los anteriores (N): a) 35° y 55°

c) 90° y 1°

e) 45° y 45°

b) 100° y 180°

d) 179° y 1°

f) 90° y 90°

e. En cada uno de los siguientes ejercicios indica el par de ángulos que son adyacentes: a)

T Ángulos

125

Ángulos opuestos por el vértice Observa la siguiente figura: 1

Recuerda que dos ángulos son adyacentes si son suplementarios y tienen un lado en común.

2 4

Al intersecarse dos rectas en un plano puedes ver que se forman cuatro ángulos. Todos estos ángulos tienen el mismo vértice en común. Si observas detenidamente la figura te darás cuenta de que los lados del ángulo 1 son la prolongación de los lados del ángulo 4. A estos ángulos se les llama ángulos opuestos por el vértice. A su vez, para los ángulos 3 y 2 también se cumple lo mismo, es decir, los lados del ángulo 3 son la prolongación de los lados del ángulo 2. 1 3

Enlace con…

La Historia

Los griegos antiguos desarrollaron muchos de los principales conceptos matemáticos con los que trabajamos hoy. Uno de los problemas clásicos de la Antigüedad no resuelto por ellos fue el de trisectar un ángulo, es decir, dividir un ángulo en otros tres iguales usando solo regla y compás. Se han intentado muchos métodos pero ninguno ha resultado posible.

Supongamos que el ángulo 1 mide 150°. ff¿Cuánto mide el ángulo 2?

150° 3 4

El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes, es decir la suma de sus amplitudes es 180°. Por lo tanto: 150° + ]2 = 180° ]2 = 180° – 150° ff¿Cuánto mide el ángulo 4?

]2 = 30°

El ángulo 2 y el ángulo 4 son adyacentes, por lo tanto: 30° + ]4 = 180°

]4 = 180° – 30°

]4 = 150°

De la misma forma puedes concluir que ]3 = 30°. Si te fijas ]1 = ]4 y ]3 = ]2, es decir, los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida. Puedes darle otras medidas al ángulo 1 y te darás cuenta de que esta relación siempre se cumplirá. Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno son la prolongación de los lados del otro y siempre tienen la misma medida.

126 Unidad 5

Unidad

Ejercicios individuales a. Determina en cada una de las siguientes figuras el valor de los ángulos desconocidos: a)

135° a

a= b= d=

90°

50°

a= b= d=

b. Dibuja dos rectas que se intersequen. Con un transportador mide cada uno de sus ángulos y comprueba que los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida.

Ejercicios grupales a. Júntate con un compañero o compañera y discute la veracidad o falsedad de las afirmaciones basadas en la siguiente figura:

4 5

a) ]3 = ]6 b) ]4 = ]2 c) ]2 + ]1 = ]4 + ]5 d) ]2 + ]3 + ]4 = 180° e) ]1 + ]2 + ]4 = 180°

Ángulos

127

Ángulos entre paralelas Un automóvil hace el siguiente recorrido: C

Enlace con… La Historia

En 1541 los conquistadores españoles planearon la construcción de la ciudad de Santiago utilizando planos fundacionales. Partiendo de la Plaza Mayor, también llamada de Armas, fueron marcando sobre el propio terreno manzanas y calles. El trazado se asemejaba a un tablero de ajedrez, reservando escaques para la capilla, el ayuntamiento y los almacenes, y repartiendo el resto entre los expedicionarios.

A B

ff¿Cuántos giros realiza el auto? ff¿Qué relación existe entre los dos ángulos de giro si las calles A y B son paralelas entre sí? Como observas en la figura, el automóvil hace dos giros. Como A y B son paralelas y la calle C las cruza a ambas, diremos que los ángulos de giro realizados por el automóvil son alternos internos y, por lo tanto, congruentes. Observa: 3

Se dice que dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma medida. La congruencia se indica con el signo b.

1 2 4

5 6 8

Cuando dos paralelas son cortadas por una recta transversal es posible identificar 8 ángulos. Algunas relaciones entre ellos son: • Los ángulos correspondientes son congruentes: ]1 b ]5, ]2 b ]6 , ]3 b ]7, ]4 b ]8 • Los ángulos alternos internos son congruentes: ]3 b ]6, ]4 b ]5 • Los ángulos alternos externos son congruentes: ]1 b ]8, ]2 b ]7 • Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes: ]1 b ]4, ]2 b ]3, ]5 b ]8, ]6 b ]7

128 Unidad 5

Unidad

Ejercicios individuales a. En cada uno de los ejercicios siguientes, determina el valor del ángulo desconocido. En todos los casos, las rectas L cortadas por la transversal son paralelas: a)

L2 145°

α L1

β L2

α β

L1 L2

95°

135°

160°

α=

Problemas 1. Después de clases, Adrián decidió dar unas vueltas antes de regresar a casa. El recorrido que hizo está representado en el siguiente mapa: Los pájaros

Los cisnes

Los patos

Las garzas

Las águilas

Adrián

Si la esquina donde queda la casa de Adrián forma un ángulo de 112° y las calles Los pájaros y Los cisnes son paralelas entre sí, al igual que Los patos, Las garzas y Las águilas, ¿cuántos grados mide cada giro que realizó Adrián hasta llegar a su casa? HIPERTEXTO

Desarrollo

Ángulos

129

Ángulos en un triángulo Enlace con… La Vialidad

La señal Ceda el paso indica que los vehículos de una vía deben permitir el paso a los vehículos que circulan por la otra vía, que interseca a la primera, bajando la velocidad o deteniéndose si es necesario. El disco Pare, en cambio, obliga a detenerse –aún cuando no venga ningún vehículo por la otra vía–, mirar y no reemprender la marcha hasta haberse asegurado completamente de que no viene vehículo alguno.

Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos. Según sus lados: Equilátero: tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales. Escaleno: tres lados diferentes. Según sus ángulos: Acutángulo: tres ángulos agudos. Rectángulo: un ángulo recto. Obtusángulo: un ángulo obtuso.

130 Unidad 5

Tamara tiene que hacer una tarea para el colegio. Le han pedido elegir y describir una señal de tránsito, para luego explicar su significado al curso. La señal elegida por Tamara fue:

ff¿Qué sabes de esta figura? ¿Existe alguna relación entre sus ángulos? Tamara describe la señal como un triángulo equilátero. Los triángulos son polígonos de 3 lados y 3 ángulos interiores. Entre los ángulos de los triángulos existe una estrecha relación, veamos: ] internos ] externos

Los triángulos tienen dos tipos de ángulos, los ángulos interiores que se encuentran en el interior de la figura y los ángulos exteriores, producto de las prolongaciones de los lados. En el triángulo ABC, si extendemos el lado AC hasta el punto P y el lado BC hasta el punto O y trazamos una recta FG paralela a AB, entonces:

O F

]ACB = ]OCP (opuestos por el vértice) ]ABC = ]FCO (correspondientes) ]CAB = ]PCG (correspondientes) ]FCO + ]OCP + ]PCG = 180°

A partir de la demostración anterior podemos decir que los ángulos interiores de un triángulo suman 180° y si además determinamos que ]ACF = ]PCG por ser opuestos por el vértice, podemos decir que un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes, es decir, ]CAB + ]ABC = ]ACO.

Unidad Si hacemos la misma operación en todos los vértices del triángulo y tenemos en cuenta todos los ángulos que son correspondientes y los que son opuestos por el vértice, tenemos:

De a cuerdo a su clasificación, los triángulos deben ser descritos con dos adjetivos, por ejemplo: el triángulo rectángulo escaleno tiene sus tres lados diferentes y un ángulo recto.

Dejemos marcados solo los colores de los ángulos que conforman cada uno de los ángulos exteriores. Nos damos cuenta, entonces, de que la suma de los ángulos exteriores puede calcularse: (] + ] + ]) + (] + ] + ]) = 180° + 180° = 360°

A partir de la demostración anterior, podemos decir que los ángulos exteriores de un triángulo suman 360º.

Ejercicios individuales a. Dados los siguientes triángulos determina la medida de los ángulos desconocidos: a)

e) 60°

2 20°

35° 1 2

]1 = b)

70°

]2= 1 2

]1 = 70° 3

d) 150° 3

]1 = ]2= ]3=

50°

]1 = ]2= ]3=

2 60°

]2= 2

]1 = f)

]2= 40°

70° 1

]1 = ]2= ]3=

80°

3 60°

Ángulos

131

Ángulos en un cuadrilátero Archívalo Se denomina manzana o cuadra a un espacio urbano delimitado por calles por todos los lados. En muchas ocasiones hace referencia a un lado de la manzana, es decir la distancia que hay de una esquina a la siguiente. Puede estar edificada o destinada a la edificación.

Archívalo La suma de los ángulos exteriores de un polígono de n lados es 360º. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados se calcula mediante la fórmula: 180º · (n – 2) Por ejemplo, en un pentágono (5 lados), la suma de los ángulos interiores es: 180º · (5 – 2) = 540º

132 Unidad 5

Las ciudades contienen calles que a su vez forman manzanas. Estas manzanas, muchas veces tienen forma de cuadrado, donde cada lado mide 100 metros, pero esto no se cumple siempre y a veces sus dimensiones son variables, de manera que forman cuadriláteros con diferentes características. ff¿Qué es un cuadrilátero? Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los cuadriláteros pueden ser clasificados según la relación entre la longitud de sus lados y si estos son o no paralelos. Dos cuadriláteros son el cuadrado, con los cuatro lados iguales y todos sus ángulos rectos; y el rectángulo, con dos pares de lados iguales y todos sus ángulos rectos.

Los cuadriláteros se clasifican en: • Paralelogramos: tienen dos pares de lados paralelos. Entre ellos están el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide. • Trapecios: tienen un solo par de lados paralelos. Entre ellos están los trapecios isósceles (lados no paralelos iguales), los trapecios escalenos (todos los lados diferentes) y los trapecios rectángulos (tienen un ángulo recto). • Trapezoides: no tienen lados paralelos. Entre ellos se encuentran los trapezoides simétricos (dos pares de lados consecutivos iguales) y el asimétrico (todos los lados diferentes). Al igual que en el caso de los triángulos, en los cuadriláteros también existe una relación numérica entre sus ángulos interiores y exteriores. Los cuadriláteros al igual que los triángulos tienen ángulos interiores que se forman en el interior de la figura por la unión de dos lados y ángulos exteriores, que se forman en el exterior producto de la prolongación de los lados.

] interiores ] exteriores

Unidad Los cuadriláteros pueden ser descompuestos en dos triángulos y como ya sabemos que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, entonces la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es:

(] + ] + ]) = 180°

180° · 2 = 360°

(] + ] + ]) = 180°

A partir de la conclusión anterior podemos deducir también una relación numérica entre los ángulos exteriores. Los ángulos A y A' , D y D' son suplementarios (suman 180°).

D' D

A' = D y D' = A porque son alternos internos entre paralelas.

C C'

El desarrollo aplicado ha ocupado un cuadrilátero con dos lados paralelos, sin embargo, las relaciones halladas para los ángulos internos y externos son aplicables a cualquier cuadrilátero, tenga lados paralelos o no.

B B'

A' A

Si realizamos el mismo análisis del otro lado del cuadrilátero tenemos que cada uno de los ángulos exteriores es igual a uno de los interiores. Por lo tanto, la suma de los cuatro ángulos exteriores de un cuadrilátero también es 360°. En los cuadriláteros se cumple que tanto los ángulos interiores como los exteriores suman 360°.

Ejercicios individuales a. Determina en tu cuaderno la medida de los ángulos desconocidos que se señalan en los siguientes cuadriláteros: a)

b) 80°

1 60°

2 135°

120°

60°

]1 = ]2= HIPERTEXTO

Desarrollo

80° 2

]1 = ]2=

95°

]1 = ]2= Ángulos

133

Arturo Prat Plaza de Armas

Libertad

Los Olivos

Resolución de problemas Nu ev

or k aY

Maipú 70° Parque sas Ro

Problema modelo La figura muestra el mapa del centro de una ciudad de Chile. Como puedes ver, la Plaza de Armas tiene la forma de un rectángulo y todas sus calles son rectas. Se sabe que el ángulo de la esquina del parque donde se cruzan las calles Nueva York y Maipú mide 70°. a) ¿Cuáles calles son paralelas entre sí? ¿Cuáles perpendiculares? b) ¿Cuál es la medida de los ángulos del parque si forma un triángulo rectángulo?

a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?

• El parque forma un triángulo rectángulo (uno de sus ángulos mide 90°). • La Plaza de Armas tiene forma rectangular. • El ángulo de la esquina del parque donde se cruzan las calles Nueva York y Maipú mide 70°. b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?

• Como la Plaza de Armas es un rectángulo y las calles son líneas rectas podremos determinar las calles que son paralelas y las que son perpendiculres. • La medida del ángulo formado por las calles Maipú y Rosas en la esquina del Parque lo calculamos recordando que la suma de ángulos interiores de un triángulo es 180°. c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

• Como la Plaza de Armas es un rectángulo, las calles Arturo Prat y Maipú son paralelas. Por la misma razón, las calles Los Olivos y Libertad también son paralelas. • Debido a que la Plaza de Armas tiene forma rectangular, las calles Los Olivos y Maipú son perpendiculares, al igual que Los Olivos y Arturo Prat, Libertad y Arturo Prat, y Libertad y Maipú. • Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, y sabemos que uno de los ángulos del parque mide 70° y el otro 90°, entonces: 70° + 90° + x = 180° ⇒ x = 20°. d) Responde: Contesta las preguntas del problema

• Calles paralelas: A. Prat - Maipú y Los Olivos - Libertad

• Calles perpendiculares: • Los ángulos del triángulo Los Olivos - Maipú, Los Oli- que forma el parque miden: vos - A. Prat, Libertad - A. 90°, 70° y 20°. Prat y Libertad - Maipú.

e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Utiliza una escuadra para comprobar la perpendicularidad o paralelismo de las rectas. • Para comprobar la medida de los ángulos dibuja un triángulo rectángulo donde uno de los ángulos mida 70° y luego, utilizando un transportador, mide el ángulo restante. 134 Unidad 5

Unidad Problema 1 Enrique dibujó un esquema de la fachada de su casa. Este esquema se muestra a un costado: a) Identifica con una letra mayúscula cada vértice que encuentres en el esquema. b) Señala las líneas paralelas y perpendiculares. c) Nombra los polígonos que encuentres y clasifícalos según el número de sus lados, la medida de sus ángulos, la medida de sus lados y si sus lados son paralelos o no. d) Nombra los ángulos que encuentres en la figura y clasifícalos según su medida.

Problema 2 Todos los días don Pedro va a trotar a un parque que está cerca de su casa. Este parque tiene la forma de un rectángulo. El recorrido que hace es primero ir de A a B, luego de B a D, después de D a C y, por último, vuelve al punto de partida. a) Dibuja la trayectoria que sigue don Pedro. b) ¿Qué polígonos encuentras en la trayectoria de don Pedro? Clasifícalos según sus lados y sus ángulos. c) ¿Cuánto miden los ángulos de cada giro que hace?

Problema 3 El cuadrilátero de la figura es un cuadrado y el triángulo es rectángulo. a) ¿Cuánto mide el ángulo alfa? b) ¿Cuánto mide el ángulo beta? c) ¿Cuánto mide el ángulo gamma?

60°

40° b

Problema 4 Doña Patricia tiene un terreno cerrado formado por cinco líneas rectas. En él siembra tomates, porotos y choclos. Al medir los cinco lados de su terreno, descubrió que cada uno de ellos mide 124 metros. a) ¿Cuál es el valor de la suma de todos los ángulos interiores del terreno de doña Patricia? b) ¿Cuál es el valor de la suma de todos los ángulos exteriores del terreno de doña Patricia? c) ¿Cuánto mide el ángulo mayor formado por la intersección de dos lados contiguos del terreno? Ángulos

135

Tecnología activa Calculando la suma de ángulos interiores y exteriores de polígonos Usando el programa Cabri II es posible verificar algunos de los teoremas de los ángulos interiores y exteriores de polígonos. Mostraremos a continuación que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º y los exteriores 360°. 1. Creación de la hoja de trabajo. ❯❯ Abre el Cabri II haciendo doble clic sobre

. Una vez abierto el programa selecciona

de Líneas y elige en él la opción Triángulo. A en la barra de herramientas el ícono continuación haz clic en tres puntos del área de trabajo que no estén alineados. Estos puntos serán los vértices del triángulo.

de Medida y en él selecciona la opción Medida de ángulo. Pincha con el mouse sobre un lado del triángulo, luego sobre el vértice y luego sobre un punto del lado contiguo. Te aparecerá la medida del ángulo interior. Haz lo mismo con los tres ángulos interiores. Finalmente, suma estos ángulos y comprobarás que este valor es 180°. ❯❯ En nuestro ejemplo, los ángulos interiores se muestran a continuación: ❯❯ Busca en la barra de herramientas el ícono

136 Unidad 5

Unidad

69,7°

61,4°

48,9°

❯❯ Para los ángulos exteriores necesitamos trazar rectas que pasen sobre los lados del

triángulo. Para esto haz clic en el ícono y selecciona la opción Recta. Pincha los vértices de dos en dos y te aparecerán las rectas correspondientes. A continuación, mide los ángulos exteriores igual como lo hiciste para los interiores. Comprobarás que la suma de ellos es 360°.

110,3° 69,7°

61,4° 118,6°

48,9°

131,1°

2. Aplicando lo aprendido. a) Construye un cuadrilátero y comprueba que los ángulos interiores suman 360° al igual que los ángulos exteriores. b) Haz lo mismo para un pentágono y comprueba que la suma de los ángulos interiores es 540° y la de los ángulos exteriores es 360°. Ángulos

137

Síntesis de la unidad Ficha 1

Ficha 2

Un ángulo es la figura geométrica formada por dos rayos que coinciden en su punto de origen.

Ficha 3 Los ángulos se clasifican de acuerdo a su medida en: ángulos agudos, aquellos que miden menos de 90°; ángulos rectos, aquellos que miden 90°; ángulos obtusos, aquellos que miden más de 90° y menos de 180°; ángulos extendidos que miden 180° y ángulos completos que miden 360°.

Los ángulos se miden en una unidad llamada grado sexagesimal. Un grado sexagesimal resulta de la división de una circunferencia en 360 partes iguales.

Ficha 4

Ficha 5

Si dos rectas no se intersecan en ningún punto se dice que son rectas paralelas. Si dos rectas al intersecarse forman ángulos rectos se dice que son rectas perpendiculares.

Si dos rectas se intersecan se forman cuatro ángulos. Se llaman ángulos opuestos por el vértice a aquellos cuyos lados son la prolongación de los lados del otro. La medida de esta clase de ángulos es la misma.

Ficha 6 Si dos rectas paralelas son intersecadas por una recta se forman ocho ángulos y se producen las siguientes relaciones entre ellos: Los Ángulos correspondientes son congruentes: 1 2 ]1 b]5, ]2 b6, ]3 b]7, ]4 b]8. Los Ángulos alternos internos son congruentes: 3 4 ]3 b]6, ]4 b]5. 5 Los Ángulos alternos externos son congruentes: 6 ]1 b]8, ]2 b]7. Los Ángulos opuestos por el vértice son congruentes: 7 8 ]1 b]4, ]2 b]3, ]5 b]8, ]6 b]7.

Ficha 7 Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos rectos llamados lados.

138 Unidad 5

Ficha 8 Un polígono que tiene tres lados y tres ángulos se llama triángulo. La suma de sus ángulos interiores es igual a 180° y la de sus ángulos exteriores 360°.

Ficha 9 Un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos se llama cuadrilátero. Los cuadriláteros se clasifican según la longitud y el paralelismo de sus lados. La suma de sus ángulos interiores es igual a 360° y la de sus ángulos exteriores también es 360°. HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. Mide con un transportador los siguientes ángulos, coloca debajo de cada uno el valor obtenido y clasifícalos de acuerdo a este valor: a)

Medida:

Clasificación:

Medida:

Clasificación:

b. Escribe en el recuadro rojo el ángulo suplementario y en el azul el complementario de cada uno de los siguientes ángulos:

a) 30°

d) 0,32°

b) 70°

e) 100,5°

c) 95°

f) 58°

c. Dadas las siguientes rectas paralelas cortadas por una recta transversal identifica los ángulos que tienen la misma amplitud y justifica tu respuesta:

5 8

4 7

Ángulos

139

d. Dibuja dos rectas paralelas y dos perpendiculares, escribe los instrumentos que utilizaste y describe los pasos que seguiste: Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

Instrumentos:

Pasos:

e. Determina la medida del ángulo señalado: a) D

g a=

30°

50° 98° A

g= B

E d

b= 45° E

40°

45° A

51° 60°

140 Unidad 5

AB // CD CD // EF EF // GH

35°

C d=

Unidad II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a Un pentágono está formado por: a) b) c) d)

5 En la figura las rectas L1 y L2 son paralelas. ¿Cuánto mide el ángulo alfa? a) 30° 120° b) 90° c) 120° a d) 60°

5 lados. 5 vértices. 5 ángulos. Todas las anteriores.

L 1 L 2

b El rectángulo es una figura geométrica que

6 Respecto de un ángulo recto podemos decir

c Un ángulo de 65° es suplementario con un

7 Si en la figura las rectas L1 y L2 son perpen-

se clasifica dentro de: a) Los polígonos. b) Los paralelogramos. c) Los cuadriláteros. d) Todas las anteriores.

ángulo que mida: a) 25° b) 65° c) 115° d) 180°

que: a) Es un ángulo que mide más de 90°. b) Mide exactamente 90°. c) Se forma al cortarse dos rectas perpendicularmente. d) b) y c)

diculares y el ángulo alfa mide 20°. ¿Cuánto mide el ángulo beta? a) 70° b) 90° a c) 20° d) Ninguna de las b anteriores. L 2 L 1

d Observa el triángulo. ¿Cuánto mide el ]ABC? a) 40° b) 30° c) 50° d) 130°

C 20°

30° A

HIPERTEXTO

Evaluación

L 3

8 En la figura L1 y L2 son: a) Dos rectas perpendiculares. b) Dos rectas paralelas. c) Dos rectas que forman ángulos opuestos por el vértice. d) a) y c) son ciertas.

L 1 L 2

Ángulos

141

Entrada de unidad

6 Unidad

Información

y azar

Red conceptual

Media aritmética Medidas de tendencia central

como

Mediana Moda

Información y azar

142

Lectura Gráficos circulares

realizar

Experimentos aleatorios

para estimar

Construcción

Probabilidades

¿Cómo surgieron los derechos de los niños y las niñas? La Convención sobre los Derechos del Niño y de la Niña es un documento de las Naciones Unidas que establece cuáles son los derechos que tienen todos los niños y niñas del mundo, además de las normas básicas para su bienestar en diferentes etapas de su desarrollo. Este documento entró en vigor en 1990.

Cuáles derechos de los niños y las niñas conoces? ¿ Crees que estos derechos se respetan en Chile? ¿

¿Puedes resolver? En el mes de junio del año 2006 el Servicio Nacional de Menores llevó a cabo en Chile la 2ª Consulta Nacional “Mi Opinión Cuenta”, en la que 49 100 niños de 120 comunas del país entregaron su percepción acerca del nivel de respeto de sus derechos. Te invitamos a responder las preguntas de esta encuesta: indica con un signo + el derecho que crees que más respetan los adultos y con un signo –, el que menos respetan. Marca solo un derecho en cada caso. 1. Derecho a vivir con mi familia. 2. Derecho a ser bien cuidado/a por un adulto responsable. 3. Derecho a asistir a la escuela y a recibir educación. 4. Derecho a ver a mis papás, si es que no vivo con ellos. 5. Derecho a ser bien tratado/a física y sicológicamente. 6. Derecho a alimentarme, vestirme y vivir en una casa. 7. Derecho a ser escuchado en asuntos que me afectan. 8. Derecho a vivir en un medioambiente no contaminado. 9. Derecho a tener una buena atención de salud. 10. Derecho a la recreación.

Organiza los datos de todo el curso en una tabla de frecuencias y, a partir de ella, confecciona un gráfico circular con el porcentaje de estudiantes que marcó cada derecho. ¿Cuál es el derecho más respetado? ¿Y el menos respetado? ¿Qué medida de tendencia central es útil para interpretar estos datos? ¿Por qué?

rás a:

En esta unidad aprende

tivos. tos cuantitativos y cualita da tre en r ui ng sti di y tes media, mediana y moda. s: Identificar datos relevan to da de o up gr un de l dencia centra Calcular medidas de ten áficos circulares. Interpretar y construir gr enos aleatorios. ilidad Definir y analizar fenóm mo medida de la probab co rio ato ale to en rim pe un ex Utilizar los resultados de de un suceso. HIPERTEXTO

Motivación

143

Actividad inicial En muchas ocasiones nos enfrentamos con información estadística. Este tipo de información la encontramos, por ejemplo, cuando en los medios de comunicación se dan a conocer los resultados de diversas encuestas de opinión, realizadas por instituciones tanto públicas como privadas. En ellas vemos los datos ordenados y tipificados en tablas y gráficos que permiten que la población receptora pueda comprender claramente la información relevante comunicada. En grupos de tres personas realicen las actividades que se presentan a continuación. 1. Lean la historieta y enseguida respondan las preguntas de la página siguiente:

144 Unidad 6

Unidad a) ¿Cuál intervalo de gastos es el más común entre los padres y madres encues-

tados? b) ¿Cuál intervalo de gastos es el menos común entre los padres y madres encuestados? c) ¿Qué porcentaje de apoderados no paga mensualidad? d) ¿Qué porcentaje de apoderados paga $ 10 000 o menos? e) ¿Qué porcentaje de apoderados paga más de $ 50 000? f) Aproximadamente, ¿cuántos apoderados no pagan mensualidad? g) Aproximadamente, ¿cuántos apoderados pagan entre $ 10 001 y $ 20 000? h) Con la información proporcionada en el gráfico circular, ¿es posible obtener alguna medida de tendencia central (media, mediana y moda)? ¿Cuál? i) Discutan si la información proporcionada entrega una estimación acertada de la realidad del país o se requieren más datos para ello. En caso de ser así, ¿qué datos serían estos? 2. Interpreten los siguientes gráficos y comparen los resultados obtenidos por Chile y Finlandia en la prueba PISA 2006, área Lectura: Prueba PISA Nivel de comprensión lectora alumnos y alumnas de 15 años

Resultados Chile 17%

5% 1%

20%

Resultados Finlandia or debajo P del Nivel 1

18%

2% 5%

or debajo P del Nivel 1

14%

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

29%

28%

Nivel 4

Nivel 3

32%

Nivel 5

29%

Nivel 4 Nivel 5

El Nivel 5 es el de mejor desempeño.

a) ¿Cuál de los dos países obtuvo un mejor resultado en la prueba? b) Escriban, al menos, cinco conclusiones que puedan extraer a partir de ambos

gráficos. 3. Calcule, cada integrante del grupo, el promedio aritmético de todas las notas que ha obtenido en Matemática hasta este momento. Luego, calculen el promedio entre todos estos promedios y comparen con los otros grupos. HIPERTEXTO

Diagnóstico

Información y azar

145

Media aritmética Los datos de las estaturas de los integrantes de dos familias se indican en las siguientes tablas: Familia Bustamante

Estatura [m]

Familia Silva

Estatura [m]

Adrián (padre)

1,72

César (padre)

1,87

Silvia (madre)

1,58

Patricia (madre)

1,76

Jorge (hijo mayor)

1,75

Camila (hija única)

1,65

Ignacio (hijo del medio)

1,45

María José (hija menor)

1,20

ffAparentemente, ¿qué familia es más alta? ff¿Cómo podemos comparar las estaturas de ambas familias?

Enlace con…

Las Ciencias Sociales

Según los niños y niñas encuestados en la 2ª Consulta Nacional “Mi Opinión Cuenta”, el derecho que más se les respeta es el derecho a vivir en familia. Este derecho obtuvo un 31,2% de las preferencias válidamente emitidas. En segundo lugar estuvo el derecho a la educación y en tercer lugar, el derecho a ser bien cuidados por los padres u otro adulto responsable.

Para obtener la nota final de un ramo, los profesores y profesoras calculan la media aritmética de todas las notas obtenidas por cada estudiante en el ramo correspondiente.

Tras una primera revisión de los datos encontramos que las estaturas de César Silva y su esposa Patricia son mayores a las de todos los integrantes de la familia Bustamante, mientras que la estatura de Camila Silva solo es menor a las de Adrián y Jorge Bustamante. Estas consideraciones nos indican que la estatura promedio de la familia Silva es mayor que la estatura promedio de la familia Bustamante. Sin embargo, necesitamos una forma más rigurosa de precisar esta idea intuitiva. Si sumamos las estaturas de cada familia obtenemos: Familia Bustamante: 7,7 m

Estas cantidades no tienen en cuenta el número de integrantes de las familias, por lo que dividiremos cada suma por el número de personas que componen la respectiva familia: 7,7 5,28 7,7 5,28 = 1,54 m Familia Silva: = 1,76 m 5 3 5 3 Estos valores confirman que, en promedio, la familia Silva es más alta que la Bustamante. Familia Bustamante:

Dado un grupo o colección de datos cuantitativos, la media aritmética o promedio aritmético de ellos se representa por x y se calcula como la suma de los datos dividida por el número total de datos. Si tenemos los números a, b, c, d, e y f; su media aritmética es: x=

146 Unidad 6

Familia Silva: 5,28 m

a+b+c+d+e+ f 6

Unidad

Ejercicios individuales a. Calcula el promedio de los promedios de las estaturas de las familias Bustamante y Silva. b. Calcula la media aritmética de las estaturas de las ocho personas que integran las dos familias. c. Calcula la media aritmética de los siguientes conjuntos de números: a) "0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7 , b) "1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 17 ,

x + xC 4 6 c) ) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 3x A = B =1 =3 4 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 d) "18,2; 11,1; 13,2; 10,0; 12,9 ,

Ejercicios grupales a. Discutan en grupos de dos o más personas las siguientes afirmaciones

e indiquen si son verdaderas o falsas. En el primer caso señalen un ejemplo y en el segundo, un contraejemplo: a) La media aritmética de un grupo de números naturales es siempre un número natural. b) La media aritmética de un grupo de números fraccionarios (no aparentes) puede ser un número natural. c) Considerando los conjuntos de números:

B = "2, 8, 11, C = "13, 17 , x + xC 4 1 2 3 4 5 6 7 8 6 =1 =3 , , , , A.x A = B , , del , conjunto Con: x A: media aritmética de los números 4 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 xB: media aritmética de los números del conjunto B. xC: media aritmética de los números del conjunto C.

x + xC 4 1 2 3 4 5 6 7 8 6 . =1 Entonces, =3 , , , que , xAA == B , ,se, cumple 4 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3

A = "2, 8, 11, 13, 17 ,

Recuerda que un número fraccionario aparente es aquel que puede escribirse como número natural, dividiendo el numerador por el denominador. Por ejemplo, son fracciones aparentes las siguientes:

Problemas 1. La tabla indica la edad y la estatura de los integrantes de un equipo de fútbol profesional del país. a) Calcula la media aritmética de las edades de los jugadores. b) Calcula la media aritmética de las estaturas. c) Calcula las medias aritméticas de las edades y estaturas de los integrantes de cada uno de los bloques del equipo.

24 =8 3

Bloque

Jugador

Edad

Estatura

Arquero

Nicolás

29 años

1,83 m

Defensa

Cristian

28 años

1,77 m

Juan

32 años

1,82 m

Carlos

29 años

1,80 m

Boris

22 años

1,85 m

Diego

29 años

1,78 m

Braulio

26 años

1,73 m

Miguel

32 años

1,74 m

Carlos

21 años

1,73 m

Franco

19 años

1,93 m

Leo

30 años

1,77 m

Mediocampo

Delantera

Información y azar

147

24 =8 3

Mediana Un grupo de niños y niñas de diferentes edades sale de excursión a cargo de dos instructores: Pablo y Ronaldo. Estos deciden dividir al grupo en dos, de modo que en uno vayan los chicos y en el otro, los grandes. Las edades de los niños y niñas son: Nombre

Ana

Boris

Carlos

Daniel

Elisa

Franco

Gema

Hugo

Inés

Edad

6 años

8 años

11 años

6 años

9 años

6 años

7 años

5 años

10 años

ffOrdena las edades en orden creciente, es decir, de menor a mayor. ff¿Qué edad se ubica al centro de la lista ordenada? Las edades ordenadas de menor a mayor son:

Desafío

al ingenio

El promedio de las edades de Soledad, Stefania, Ximena y Tamara es 20 años. Stefania es 8 años mayor que Soledad y 15 mayor que Ximena. La suma de las edades de Soledad y Ximena es 31 años. ¿Cuál es la edad de Tamara?

Edades menores a 7

Edades mayores a 7

La edad de 7 años corresponde a la edad de Gema y queda justo en el medio de la lista de datos, es decir, hay igual cantidad de niños y niñas menores que Gema como mayores. Para que los dos grupos tengan cantidades semejantes de niños y niñas los instructores pueden ocupar este valor como punto de división. Así, los grupos estarán conformados de la siguiente manera: Grupo de niños y niñas pequeños: Hugo, Ana, Daniel y Franco. Grupo de niños y niñas grandes: Boris, Elisa, Inés y Carlos. Gema puede ir en uno u otro grupo.

La mediana, al igual que la media, se utiliza como valor representativo de un grupo de números. Sin embargo, la mediana a veces puede conducir a error al no representar correctamente los datos. Por ejemplo, la mediana de los datos 2, 2, 2, 20 y 24 es 2, número que no considera que hay valores que son mucho mayores que 2.

148 Unidad 6

Dada una colección de datos cuantitativos, se llama mediana (Me) al dato central, es decir, al dato que queda en el medio luego de haberlos ordenado en orden creciente o decreciente. Si la cantidad de datos es impar la mediana corresponde a uno de los datos de la colección. Si la cantidad de datos es par no existe un único dato central, sino dos; en este caso la mediana se define como el promedio aritmético de estos dos valores. Por ejemplo, si tenemos los datos a, b, c, d y e ordenados de menor a mayor, entonces, la mediana es c. Si agregamos un nuevo valor f mayor que e, entonces, los números ordenados de menor a mayor c+d . quedan a, b, c, d, e y f ; y la mediana es 2

Unidad

Ejercicios individuales a. En el ejemplo de la excursión, calcula el promedio de las edades. Compara con la mediana. ¿Son iguales la mediana y el promedio? Escribe una colección de datos en la que ambos parámetros coincidan.

b. Considera las siguientes colecciones de datos. En cada caso, ordénalas de menor a mayor y obtén la mediana y la media: a) 12, 9, 1, 14 y 8

Me =

b) 2,0; 6,0; 5,5; 6,5; 4,5 y 7,0

Me =

c) 3, 1, 2, 0, 1, 0, 3, 5, 6, 0, 4, 2, 5 y 3

Me =

c. Agrega un dato a las siguientes colecciones, de modo que la mediana sea el valor indicado en cada caso. Recuerda ordenar los datos.

a) 4, 6, 10, 11, b) 12, 27, 1,

; Me = 10 , 22, 15, 5; Me = 15

c) 3, 7, 9,

, 12, 25; Me = 9,5

d) 20, 70, 30, 80, 40,

; Me = 50

¿En cuál o cuáles de los casos anteriores el valor desconocido es único y en cuál o cuáles servirían varios valores distintos?

Ejercicios grupales a. Formen grupos de cinco personas. Anoten la cantidad de hermanos que posee cada integrante del grupo. Luego calculen la mediana y el promedio de esta colección de datos. Comparen con otros grupos.

b. En la fiesta del Sexto B se ha invitado también a jóvenes de otros cursos. En la fiesta hay tres

invitados de 11 años, diez de 12, dieciséis de 13 años, cuatro de 14, cuatro de 15 y dos de 16 años. ¿Cuál es la mediana de las edades de los invitados de otros cursos?

Problemas 1. En una colecta, algunas personas donan $ 100 y otras $ 1 000. a) Supón que hay 10 personas que aportan $ 100 y 11 que aportan $ 1 000. ¿Cuál es la mediana y el promedio aritmético de los aportes? b) Supón ahora que se agregan dos personas que aportan $ 100. ¿Cuál es ahora la mediana y el promedio aritmético de los aportes? c) ¿Cuál de las dos cantidades (mediana o promedio aritmético) sufrió un mayor cambio con el aporte de las dos nuevas personas?

Información y azar

149

Moda Loreto ha elaborado una tabla con las ciudades de origen de las integrantes de su grupo de danza. La tabla es la siguiente: Nombre

Paz

Sofía

Loreto

Ignacia

Rebeca

Laura

Mónica

Ciudad natal

Talca

Santiago

Talca

Santiago

Osorno

Arica

ff¿Es posible calcular el promedio o la mediana de los datos contenidos en la tabla? ff¿Qué puede decirse acerca de la cantidad de integrantes nacidas en Talca con respecto a la cantidad de integrantes nacidas en las otras ciudades?

Archívalo Datos cuantitativos son aquellos que se expresan con números y que señalan una característica que puede ser cuantificada. Algunos ejemplos son la masa corporal y la cantidad de letras que conforman una palabra. Datos cualitativos son aquellos que señalan una característica no numérica. Algunos ejemplos son el color de ojos y el tipo de sangre.

Cuando tenemos datos como los de la tabla no es posible calcular ni el promedio ni la mediana, pues para ello se necesita hacer sumas o divisiones y ordenar los datos en orden creciente o decreciente. En este caso, como los datos son cualitativos, no podemos sumarlos ni tampoco decir, por ejemplo, que “Arica es mayor o menor que Osorno”. Sin embargo, podemos notar que la mayoría de las integrantes del grupo de danza nació en Talca. El dato que más se repite en una colección se dice que es su moda. La moda es un parámetro útil tanto para datos cualitativos como cuantitativos. Sin embargo, en ocasiones, datos cuantitativos como, por ejemplo, la masa corporal de un grupo de alumnos y alumnas, se expresan mediante números decimales que muy difícilmente se repiten. En estos casos es conveniente agrupar los datos en intervalos definidos y evaluar el número de datos que caen en cada intervalo. Al intervalo que contiene más datos se le llama intervalo modal de la colección de datos en estudio. Dada una colección de datos cualitativos o cuantitativos, la moda es el dato que más se repite. Por ejemplo, si los datos son 4, 5, 4, 5, 7, 3 y 5, la moda es 5, pues se repite tres veces. En este caso hablamos de datos unimodales. Si son dos los datos que más se repiten, como por ejemplo en la colección 3, 7, 3, 4, 7 y 6, donde los números 3 y 7 se repiten dos veces cada uno, entonces existen dos modas y hablamos de datos bimodales. Si son tres los valores que más se repiten la colección es trimodal y si hay más de tres, decimos que la colección de datos es multimodal. Si ningún dato se repite no hay moda.

150 Unidad 6

Unidad

Ejercicios individuales a. De los amigos de José; Pedro y Matías dicen que la asignatura que más les gusta del colegio es Educación Física. Tomás dice que prefiere Música; Alberto, Matemática. Jorge también se inclina por Educación Física, mientras que a Ramón le gusta Historia. Si a José le gusta Música, ¿cuál es la moda de los ramos preferidos por José y sus amigos?

b. Se midió la estatura de un grupo de niños, obteniéndose los siguientes resultados: Nombre

Paulo

Leo

Felipe

José

Juan

Silvio

Pedro

Estatura

1,65

1,58

1,70

1,64

1,55

1,61

1,71

a) Subdivide los datos en tres intervalos: 1,50 - 1,59; 1,60 - 1,69 y 1,70 - 1,79 e indica el número de datos que se incluyen en cada uno. b) ¿Cuál es el intervalo modal?

Ejercicios grupales 1 La siguiente actividad debe realizarla todo el curso. Obtengan una colección de datos respecto a los siguientes temas:

a) Edad (en años).

c) Asignatura favorita.

b) Equipo de fútbol chileno favorito.

d) Masa corporal aproximada en kilogramos.

Ahora, calculen cuando sea posible, el promedio, la mediana y la moda de cada una de las colecciones de datos.

Problemas 1. De los alumnos y alumnas de un cierto curso, a 12 de los niños les gusta el fútbol y los 6 niños restantes prefieren el tenis. Por otro lado, 6 de las niñas declaran su predilección por el tenis, otras 6 niñas dicen preferir el fútbol, 4 prefieren el voleibol y a las 2 niñas restantes no les gusta ningún deporte. a) ¿Cuál es la moda de los deportes favoritos del curso? b) ¿Cuál es la moda entre los niños? c) ¿Cuál es la moda entre las niñas? d) ¿Cuál es el mínimo de alumos y alumnas que debe cambiar su preferencia de fútbol por tenis para que este último sea la única moda? e) ¿Cuál es el mínimo de alumos y alumnas que debe cambiar su preferencia de fútbol a voleibol para que este último sea la única moda del curso?

Información y azar

151

Lectura de gráficos circulares Archívalo Cuando realizamos una encuesta o un estudio estadístico debemos distinguir entre población y muestra. La población es el conjunto de elementos sobre el que se desea realizar el estudio, y la muestra es un subconjunto de casos o individuos de la población de interés.

Ayer se realizó la elección de presidente de curso en el Sexto A. Se presentaron cuatro candidatos, dos niños y dos niñas. La votación fue muy reñida y los resultados se muestran en el siguiente gráfico: Elecciones 6º A 5%

15% María Patricia Guillermo

39%

Roberto 41%

Un gráfico circular también recibe el nombre de gráfico de torta.

Archívalo Si en un gráfico circular mides los ángulos que se forman en el centro del círculo, comprobarás que al sumarlos obtienes 360º.

b ag

α + β + γ = 360°

152 Unidad 6

ffSi el ganador se decidiera por un sistema de mayoría simple, ¿cuál de los candidatos sería el próximo presidente o presidenta de curso? ffSi Patricia y Roberto conforman la lista A, mientras que María y Guillermo conforman la B, ¿cuál de las listas ha ganado la elección y quién ha obtenido más votos dentro de esta lista y será el futuro presidente o presidenta de curso? Observando el gráfico circular vemos que los sectores rojo y amarillo son los de mayor tamaño, por lo que los candidatos representados por estos sectores son los que han obtenido más votos. Para dirimir el ganador o ganadora en un sistema de mayoría simple comparamos los porcentajes de cada sector. Estos indican : Patricia (sector circular rojo) = 41% de los votos. Guillermo (sector amarillo) = 39% de los votos. Por lo tanto, la ganadora sería Patricia. Sin embargo, si consideramos las alianzas existentes concluimos que la lista B, ha obtenido el 54% (39% de Guillermo más el 15% de María), por lo que el presidente de curso será Guillermo. Un gráfico circular consiste en una representación de porcentajes o fracciones sobre un círculo que permite comparar una parte de los datos con el total de datos. El tamaño de los sectores circulares nos entrega una idea acerca de la abundancia relativa de los datos de interés.

Unidad

Ejercicios individuales a. Una industria fabrica 5 tipos de artículos. El siguiente gráfico circular indica el porcentaje que representa cada artículo respecto de la producción total diaria: Producción total 8%

13%

22% 37%

A B C D E

A partir de la información entregada responde lo siguiente: a) ¿Cuál de los artículos se fabrica en mayor cantidad? b) ¿Cuál de los artículos se fabrica en menor cantidad? c) Si un día la industria fabrica 1 000 artículos, ¿cuántos de ellos son del tipo C? d) Si otro día, la producción total es un 40% superior que la señalada en la parte c), ¿cuántos artículos son del tipo A? e) Si los artículos C y E se exportan a Asia y el resto se destina al mercado nacional, ¿qué fracción del total representa la producción que se vende en el extranjero?

b. A continuación se indica la cantidad de medallas de oro, plata y bronce obtenidas por una universidad en un encuentro deportivo sudamericano:

Medallas Bronce: 26

Oro: 21

Plata: 17

a) ¿Cuántas medallas obtuvo la universidad? b) Calcula el porcentaje del total de medallas obtenidas que representan las medallas de oro, las de plata y las de bronce. c) Si se repartieron 625 medallas de cada tipo, ¿qué porcentaje de medallas de oro, plata y bronce respecto del total entregado en el encuentro deportivo obtuvo la universidad? HIPERTEXTO

Desarrollo

Información y azar

153

Construcción de gráficos circulares Archívalo Existen muchos programas computacionales que permiten construir gráficos circulares. Uno de ellos es Excel que, tras el ingreso de la información necesaria, genera gráficos circulares, pero también de barras y de líneas.

Se preguntó a un grupo de alumnos y alumnas por la carrera universitaria que quieren estudiar una vez que terminen el colegio. Los resultados se indican a continuación: Carrera profesional de interés Derecho

10%

Ingeniería

30%

Arte

10%

Medicina

50%

ff¿Cómo representamos estos datos en un gráfico circular? Para elaborar un gráfico circular con los porcentajes obtenidos por cada una de las preferencias del alumnado, debes seguir los pasos siguientes: 1º Escribe los porcentajes en forma de fracciones decimales: 3

10% =

10 10 10

1 3 5 50% = 10 10 10

2º Con ayuda de un transportador o un compás confecciona un círculo y representa en él las fracciones recién escritas. Para ello basta dividir la circunferencia en 10 partes iguales y luego marcar la cantidad de partes que indica el numerador de cada fracción.

Ingeniería A r te

1 3 5 30% = 10 10 10

echo Der

Un círculo contiene 360 grados sexagesimales. Si lo deseas dividir en 10 partes iguales debes dividir 360 : 10 = 36º. A continuación, con el transportador marcas 10 ángulos de 36º y tendrás las diez divisiones.

M e d i c ina

3º Pinta los sectores correspondientes a cada categoría de diferentes colores y escribe el nombre de la categoría a un costado.

Derecho Ingeniería Arte Medicina

154 Unidad 6

10% =

Unidad

Ejercicios individuales a. Un nuevo zoológico expone seis tipos de animales. Observa la siguiente tabla y elabora un gráfico circular que represente la información que contiene. Ocupa el círculo que está más abajo: Animal

Porcentaje respecto al total de animales

Mono

25%

Elefante

Pingüino

20%

Oso

Jirafa

10%

Vicuña

35%

b. Un crucero ha reunido 300 pasajeros. Sus nacionalidades se muestran en la tabla: Nacionalidad

Alemania

Chile

China

Finlandia

Japón

Inglaterra

Nº de turistas

102

a) Confecciona un gráfico circular (A) que señale los porcentajes de pasajeros que pertenecen a cada una de las naciones. b) Confecciona un gráfico circular (B) que señale los porcentajes que pertenecen a los continentes americano, asiático y europeo. A

Información y azar

155

Experimentos aleatorios Un estudiante posee dos monedas y realiza los siguientes experimentos:

Archívalo El grado de conocimiento que tenemos sobre los posibles resultados de un experimento nos permite clasificarlo en: Determinista: su resultado está predeterminado y es posible de predecir antes de realizarlo. Ejemplo: poner una esfera maciza de acero en agua y observar si flota o se hunde. Aleatorio: no es posible predecir el resultado del experimento aunque sí pueden conocerse los resultados posibles. Ejemplo: elegir con los ojos cerrados una carta desde un mazo bien revuelto y observar su color.

156 Unidad 6

Experimento A: arrojar una de ellas al suelo y observar la disposición en que queda (cara o sello). Experimento B: arrojar las dos al suelo y observar la disposición en que quedan (cara o sello). ff¿Puede el estudiante saber previamente la disposición de la o las monedas en cada una de las experiencias, es decir, conocer el resultado del experimento? En los experimentos del tipo A y B no es posible predecir el resultado, ya que interviene el azar y las configuraciones finales son desconocidas antes de realizar los experimentos. Analizando el experimento A descubrimos que es posible que ocurra uno de dos eventos: cara o sello. Sin embargo, no podemos establecer con absoluta certeza cuál de los dos se verificará. Resultado posible: cara

Resultado posible: sello

Para el experimento B existen 4 posibles resultados: ambas monedas cara, ambas sello, la primera cara y la segunda sello o la primera sello y la segunda cara. Resultado posible: ambas cara

Resultado posible: cara y sello

Resultado posible: ambas sello

Resultado posible: sello y cara

Unidad

Un experimento o fenómeno aleatorio es aquel que puede dar lugar a varios resultados, sin que sea posible enunciar con certeza cuál de estos va a verificarse tras la realización del experimento, ya que está regido por el azar.

Ejercicios individuales a. Dibuja en los siguientes recuadros las posibles disposiciones en que pueden caer las monedas tras la realización del experimento aleatorio de arrojar tres monedas y observar la marca que indican sus caras superiores (cara o sello):

Resultado 1

Resultado 3

Resultado 5

Resultado 7

Resultado 2

Resultado 4

Resultado 6

Resultado 8

Ejercicios grupales a. Determinen en grupos de 2 o más personas cuáles de los siguientes experimentos son deterministas y cuáles aleatorios: a) Arrojar un dado de seis caras y observar el número de su cara superior.

b) Dejar caer desde 1 metro de altura una esfera de acero y una pluma de ave en el patio de tu casa y observar cuál llega al piso primero. c) Si un número natural es par, observar si el consecutivo es par o impar. d) Arrojar una bola en la ruleta y observar el número obtenido. e) Dejar caer desde la misma altura una esfera de acero y una pluma de ave en un asteroide sin atmósfera (no existe resistencia del aire) y observar cuál llega al suelo primero. f) Sacar, con los ojos cerrados, una bola desde una caja que contiene 6 bolas idénticas excepto por el color: 2 son rojas, 2 verdes y 2 blancas, y observar el color de la bola extraída. Información y azar

157

Resultados de un experimento aleatorio Enlace con… La Ciencia

Tradicionalmente, la aleatoriedad asume un significado operacional en la ciencia natural: un fenómeno es aparentemente aleatorio si su causa no puede ser determinada o controlada. A partir de fines del siglo XIX nuevas teorías científicas indican que, aparentemente, el comportamiento del universo es esencialmente aleatorio.

Un estudiante lleva tres monedas al colegio y pregunta a su profesora: ffSi arrojo las tres monedas al piso y observo si cada una indica cara o sello, ¿cuántos posibles resultados existen para este experimento? Ya hemos visto los resultados para el experimento aleatorio de arrojar una moneda y dos monedas. Estos resultados los podemos escribir de manera más compacta definiendo el espacio muestral E o conjunto de resultados posibles y ocupando la siguiente notación (C: cara, S: sello): Experimento A: lanzar 1 moneda. Resultados posibles: cara o sello. Espacio muestral E 1: "C, S, Experimento B: lanzar 2 monedas. Resultados posibles: doble cara, doble sello, cara y sello o sello y cara. Espacio muestral E 2: "CC, SS, CS, SC,

En el experimento aleatorio de arrojar 3 monedas, el aumento de monedas provoca que la cantidad de resultados posibles se incremente en forma importante, existiendo 8 elementos en el espacio muestral.

La regularidad hallada se puede formalizar mediante la fórmula: Ab Donde: A: nº de resultados posibles para 1 moneda. b: nº de monedas arrojadas.

Experimento C: lanzar 3 monedas. Espacio muestral E 3: "CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS,

Como conocemos el número de resultados posibles de los experimentos anteriores y sabemos que para cada moneda existen 2 resultados posibles, utilizando potencias podemos advertir la siguiente regularidad: Resultados posibles para 1 moneda

Cantidad de monedas

Experimento A: 2 elementos en el espacio muestral  21 Resultados posibles para 1 moneda

Cantidad de monedas

Experimento B: 4 elementos en el espacio muestral  22 Resultados posibles para 1 moneda

Experimento C: 8 elementos en el espacio muestral  23

158 Unidad 6

Cantidad de monedas

Unidad

Al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral y se representa como E. E: "resultados posibles de un experimento aleatorio, A cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio se le llama evento o suceso. Por ejemplo, si arrojamos un dado de seis caras, el espacio muestral está constituido por seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6; es decir, E: "1, 2, 3, 4, 5, 6,.

Ejercicios individuales a. Determina, cuando sea posible, el espacio muestral de los experimentos aleatorios e indica la cantidad de elementos que lo conforman: a) Arrojar 4 monedas.

N° elementos de E =

b) Arrojar 5 monedas.

N° elementos de E =

c) Arrojar 6 monedas.

N° elementos de E =

d) Arrojar n monedas.

N° elementos de E =

e) Arrojar 1 dado de seis caras.

N° elementos de E =

f) Arrojar 2 dados de seis caras.

N° elementos de E =

g) Arrojar 3 dados de seis caras.

N° elementos de E =

h) Arrojar n dados de seis caras.

N° elementos de E =

Ejercicios grupales a. Establezcan en grupos de dos o más integrantes el espacio muestral de los siguientes experimen-

tos aleatorios independientes, indicando, en cada caso, la cantidad de elementos que posee: a) Extraer una bola desde una caja que contiene cuatro bolas de diferentes colores –rojo, verde, blanco y azul– y observar su color. b) Extraer dos bolas desde la misma caja anterior y observar sus colores. c) Extraer tres bolas desde la misma caja y observar sus colores.

b. Establezcan todos los elementos del espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios y determinen cuántos y cuáles de ellos cumplen la condición del evento que se señala: a) Experimento aleatorio: arrojar 1 dado de seis caras y observar el número de su cara superior. Suceso: el número obtenido es menor o igual que 2. b) Experimento aleatorio: arrojar 2 dados de seis caras y observar los números de sus caras superiores. Suceso 1: la suma de los números es 7. Suceso 2: la suma de los números es mayor que 10. Suceso 3: la resta de los números es 2. Información y azar

159

Estimación de la probabilidad de un suceso Pablo y Daniel juegan a los dados. El ganador será aquel que más veces obtenga un 5 al lanzar un dado. En la tabla están los resultados que obtuvo Pablo en los 36 lanzamientos que realizó: Archívalo La probabilidad estimada o empírica es aquella que se calcula a partir del número de veces en que se produce un evento al realizar reiteradamente un experimento aleatorio. A mayor cantidad de repeticiones del experimento la probabilidad estimada se acerca más y más al valor real de la probabilidad.

Desafío

al ingenio

Sabemos que al lanzar un dado las posibilidades de obtener 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 son las mismas. Imagina que un hombre ha lanzado un dado cinco veces y en todas ha salido 6. Acto seguido el hombre afirma: “Hay menos posibilidades de que en la siguiente tirada salga 6 que las que había antes de la primera tirada, ya que ya han salido demasiados 6”. ¿Es correcta esta afirmación o no?

160 Unidad 6

4 6 5

5 4 2

1 2 5

5 6 3

4 5 5

3 2 3

1 1 3

1 1 2

6 4 6

6 2 4

2 6 3

3 1 2

ff¿Cómo podemos estimar la probabilidad de obtener 5 al lanzar un dado de seis caras? Calculemos el valor de la siguiente razón: Razón =

Cantidad de veces que salió 5 6 1 = = Cantidad de lanzamientos 36 6

Cuando realizamos experimentos aleatorios debemos asignar una probabilidad a los resultados posibles de él (eventos). Como no podemos realizar indefinidamente el experimento nos debemos conformar con utilizar el valor de esta razón como una estimación de la probabilidad del resultado que nos interesa. 1 Entonces, diremos que es una estimación de la probabilidad de 6 obtener 5 al lanzar 36 veces un dado de seis caras. ff¿Cómo estimamos la probabilidad de obtener un número par al lanzar 36 veces un dado de seis caras? Para hacer esta estimación calculemos el valor de la razón correspondiente ocupando los números de la tabla que está más arriba: Razón =

Cantidad de veces que salió un número par 18 1 = = Cantidad de lanzamientos 36 2

Para estimar la probabilidad de un evento particular al realizar experimento aleatorio podemos ocupar la razón entre la cantidad de veces que se produce el evento y la cantidad de veces que se realizó el experimento: Número de veces en que ocurre A Número de realizaciones del experimento Esta aproximación será mejor en la medida que realicemos más veces el experimento aleatorio. P (A) ≈ Razón (A) =

Unidad

Ejercicios individuales a. Estima la probabilidad de ocurrencia de los siguientes sucesos al lanzar un dado de seis caras. Utiliza la tabla con los resultados que obtuvo Pablo en sus 36 lanzamientos: a) Obtener un 1.

P→

b) Obtener un número mayor que 4.

P→

c) No obtener un 6.

P→

d) Obtener un múltiplo de 3.

P→

e) Obtener un número menor o igual a 4.

P→

f) Obtener un número entre 1 y 6.

P→

Ejercicios grupales a. En grupos de cinco integrantes consigan varios dados de 6 caras y láncenlos repetidamente. Anoten en la siguiente tabla los resultados de las tiradas de cada uno: Nombre

a) Calculen las probabilidades de los sucesos que se mencionan en el ejercicio individual para cada uno de los participantes por separado. b) Comparen los resultados obtenidos por cada uno. Discutan con su profesor o profesora las diferencias y semejanzas que hayan encontrado. c) Determinen las probabilidades calculadas tomando en cuenta ahora los resultados obtenidos por todos en conjunto.

b. Consigan 3 monedas. Primero lancen una sola moneda 12 veces y anoten los resultados (indicando si sale cara o sello). Después lancen dos monedas juntas y anoten también los resultados. Lanzamiento

1 moneda 2 monedas

a) Estimen la probabilidad de obtener cara al lanzar una sola moneda una vez. b) Estimen la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda seis veces. c) Estimen la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda doce veces. d) Estimen la probabilidad de obtener dos sello al mismo tiempo al lanzar dos monedas doce veces. HIPERTEXTO

Desarrollo

Información y azar

161

Resolución de problemas Problema modelo Un curso va de paseo a la playa dividido en 4 grupos: el primer grupo, de 5 estudiantes y 1 adulto, llega a destino a las 12:00; el segundo grupo, de 10 estudiantes y 1 adulto, llega 15 minutos después; el tercer grupo, de 11 estudiantes y 1 adulto, llega 30 minutos después del primer grupo; y el último grupo, de 12 estudiantes y 1 adulto, llega 60 minutos después del primer grupo. ¿Cuál fue la hora promedio de llegada de los estudiantes? a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?

• Los estudiantes viajan en 4 grupos y conocemos la cantidad de estudiantes por grupo. • Conocemos la hora de llegada de cada grupo. b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?

• Fijemos la “hora cero” a las 12:00, hora de llegada del primer grupo. Así, el primer grupo llegó a los 0 minutos, el segundo a los 15 minutos, el tercero a los 30 minutos y el último a los 60 minutos. • Si multiplicas la cantidad de estudiantes de un grupo por los minutos de llegada respecto a la "hora cero", obtendrás el tiempo total de viaje que suman los estudiantes de ese grupo. • Si sumas los cuatro cálculos anteriores, obtendrás el tiempo total de viaje de todos los estudiantes en conjunto. Al dividir por el número de estudiantes, obtendrás el promedio buscado. c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

• Tiempo total grupo 1 = (Número de niños grupo 1) · (tiempo grupo 1) = 5 · 0 = 0 Análogamente: TT Grupo 2 = 10 · 15 = 150; TT Grupo 3 = 11 · 30 = 330; TT Grupo 4 = 12 · 60 = 720 0 +150 + 330 + 720 1 200 = = 31, 579 • Promedio buscado = 38 5 +10 +11 +12 d) Responde: Contesta las preguntas del problema

• En promedio, los niños llegaron 31,579 minutos después de la "hora cero", es decir, a las 12 horas, 31 minutos y 35 segundos, aproximadamente. e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Puedes resolver el problema de otro modo o cambiando algún parámetro. Por ejemplo, puedes considerar la “hora cero” como las 11:00. Al rehacer los cálculos, debes obtener el mismo resultado anterior. 162 Unidad 6

Unidad Problema 1 Las siguientes tablas contienen el número de personas que reciben los sueldos que se indican en dos empresas A y B: Empresa A Sueldo [$]

140 000

300 000

500 000

800 000

1 500 000

N° de empleados

Empresa B Sueldo [$]

140 000

300 000

500 000

800 000

1 500 000

N° de empleados

a) ¿En cuál de las empresas el sueldo promedio es mayor? b) ¿Cuáles son la mediana y la moda de los sueldos en cada empresa? c) ¿Cuál es la amplitud en los datos de ambas empresas? Problema 2 El gráfico circular muestra el tipo de programa televisivo favorito de un grupo de 200 niños y niñas de entre 10 y 12 años. Léelo y contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué porcentaje prefiere los programas científicos? ¿A cuántos niños y niñas corresponde este porcentaje? b) ¿Qué tipo de programa televisivo es el más visto por los encuestados?, ¿qué porcentaje lo prefiere y a cuántos niños y niñas corresponde este porcentaje? c) ¿Qué tipo de programa televisivo es el menos visto por los encuestados, qué porcentaje lo prefiere y a cuántos niños y niñas corresponde este porcentaje?

Programas científicos

Películas 15% 35%

25% 10% Teleseries

15%

Series de acción

Dibujos animados

Problema 3 Paz colecciona dados. Una mañana recibió de su padre un dado de 4 caras y por la tarde comenzó a arrojarlo sobre su escritorio y registró los datos en una tabla como la siguiente: 1

Considera los siguientes sucesos: S1: sale 1 S2: sale 2 S3: sale 3 S4: sale 4 a) Calcula el valor de la razón entre el número de veces que se verifica cada suceso y el número de lanzamientos. b) Estima la probabilidad de cada suceso.

Información y azar

163

Tecnología activa Obteniendo parámetros estadísticos con Excel Si dispones de una lista extensa con valores cuantitativos y deseas obtener la media aritmética, la mediana y la moda puedes hacerlo en forma práctica ocupando el programa Excel y sus planillas de cálculo. Considera las notas de una prueba sorpresa de matemática realizada el año pasado: 5, 2, 5, 4, 5, 6, 3, 1, 2, 7, 4, 6, 1, 3, 7, 3, 7, 1 y 5 1. Creación de la hoja de cálculo, ›› Crea un Libro en Excel, llámalo “Cálculo de media, mediana y moda de un grupo de notas”. ›› En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1 escribe, respectivamente, “Datos”, “Media”, “Mediana” y “Moda”. ›› En la columna A de Datos ingresa los números de la lista. ›› Escribe en la celda B2 “=promedio(A2:A20)”, en la celda C2 “=mediana(A2:A20)” y en la celda D2 “=moda(A2:A20). En cada una de estas celdas aparecerán los parámetros de interés. ›› La hoja de cálculo debe verse así:

2. Aplicando lo aprendido. Ocupa lo aprendido para determinar la media, la mediana y la moda de la siguiente lista de números: 4, 14, 6, 4, 8, 2, 12, 14, 10, 6, 6, 10, 8, 6, 2, 8, 12, 2, 12 y 6 164 Unidad 6

Unidad

Construyendo un gráfico circular En un museo hay 900 piezas, de las cuales 360 son pinturas, 252 son grabados, 180 son esculturas y 108 son tapices. Confeccionaremos un gráfico circular con los porcentajes que representan a cada tipo de pieza artística respecto del total existente en el museo. 1. Creación de la hoja de cálculo. ›› Crea un Libro, llámalo “Distribución porcentual de piezas artísticas en Museo”. ›› En las celdas A2, A3, A4, A5 y A6 escribe, respectivamente “Total”, “Pinturas”, “Grabados”, “Esculturas” y “Tapices”. En la columna B, junto a cada categoría escribe la cantidad de artículos existentes. ›› En la columna C calcularemos el valor de la fracción que representa cada tipo de pieza del total de piezas existentes. Para ello en la celda C3 escribe “=B3/B2”, en C4 “=B4/B2”, en C5 “=B5/B2” y en C6 “=B6/B2”. ›› En la columna D calcularemos el porcentaje que representa a cada tipo de pieza del museo. Para ello en la celda D3 escribe “=C3*100”. Te aparecerá 40%, que corresponde al porcentaje de pinturas del museo. A continuación, ubica el cursor en el vértice inferior izquierdo de la celda D3 y una vez que aparezca una cruz negra (+) arrástralo hasta la celda D6. Aparecerán los porcentajes 28%, 20% y 12%. ›› Haz clic en la tecla

. Selecciona en el menú que aparece la opción Gráfico Circular. Presiona Siguiente > . Selecciona la opción Serie y presiona Agregar . Donde te pide Nombre del gráfico escribe “% de piezas en el museo”. Donde te pide Valores, presiona la tecla , selecciona la columna D con los cuatro porcentajes y presiona nuevamente . En Rótulo de categorías (X) presiona , selecciona la columna A con los cuatro tipos de piezas artísticas y presiona nueva. Presiona Siguiente > . mente ›› Quita el visto que aparece haciendo clic en Mostrar leyenda (Opcional). Haz clic en Rótulos de datos y % de piezas en el museo marca la opción Mostrar rótulos y Esculturas Grabados 20% 28% porcentajes. Tapices ›› Finalmente presiona Terminar . La 12% hoja de cálculo debe verse así:

Pinturas 40%

2. Aplicando lo aprendido. Confecciona un gráfico circular con la distribución porcentual de las preferencias de los 50 estudiantes del taller de música del colegio por aprender a tocar un instrumento específico. Instrumento

Guitarra

Piano

Violín

Flauta

Arpa

Nº de niños

Información y azar

165

Síntesis de la unidad Ficha1 La media aritmética o promedio permite representar un grupo de datos cuantitativos. Se anota como x. Para los datos a, b, c, d, e, f, g, h la media aritmética se calcula mediante la fórmula: x=

a+ b+ c+ d + e+ f + g+ h 8

Ficha 2 La mediana corresponde al valor que queda al centro de la lista de datos cuantitativos ordenados de menor a mayor o viceversa. Si la cantidad de datos es par, la mediana se calcula como el promedio de los dos valores centrales.

Ficha 3 La moda es el dato que más se repite dentro de una colección de datos. A diferencia de la media y la mediana, la moda puede determinarse tanto a partir de datos cuantitativos como cualitativos. Puede existir más de una moda, en cuyo caso se habla de datos bimodales, trimodales o multimodales.

Ficha 4 Un gráfico circular corresponde a una representación de porcentajes o fracciones sobre un círculo y que permite comparar la abundancia relativa de los datos. Como un círculo mide 360 grados sexagesimales, para construir un gráfico circular se multiplica el porcentaje de abundancia de un dato –expresado como número decimal o fracción– por 360 y con ayuda de un transportador se mide un ángulo de amplitud igual al resultado de esta multiplicación, para finalmente colorear el sector circular determinado.

Ficha 5 En un experimento aleatorio interviene el azar, por lo que no es posible saber su resultado. Normalmente se pueden predecir todos los resultados que podrían darse para una realización particular, pero se desconoce cuál de ellos se verificará en esa oportunidad. El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos sus posibles resultados y un evento o suceso es cualquier subconjunto de él.

166 Unidad 6

Ficha 6 Cuando un experimento aleatorio se realiza muchas veces tiende a mantenerse constante el valor de la razón entre el número de veces que se obtiene un resultado en particular y el número de realizaciones del experimento. Este valor corresponde a la probabilidad de que se produzca el resultado estudiado. HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. De acuerdo a la siguiente tabla que informa sobre la cantidad de personas que viven en cada departamento de un condominio ubicado en el centro de la ciudad, responde lo que se te pide a continuación:

N° de personas

Departamentos

a) b) c) d)

¿Cuántos departamentos hay en el condominio? ¿Cuántas personas viven en el condominio? En promedio, ¿cuántas personas viven por departamento? ¿Cuáles son la moda y la mediana del número de personas que vive por departamento?

b. La siguiente tabla contiene algunas notas de Química obtenidas por tres alumnos durante el primer trimestre: Nombre

Prueba 1

Prueba 2

Prueba 3

Prueba 4

Rolando

5,5

6,0

6,9

4,0

Sebastián

5,7

6,2

5,6

Tomás

7,0

6,4

6,0

2,6

a) b) c) d)

Calcula el promedio de las notas de cada alumno. ¿Qué alumno tuvo el mejor promedio? ¿Qué alumno tuvo el peor promedio? ¿Qué nota tendría que obtener Tomás en su quinta prueba para que la moda de sus notas fuera 6,0?

c. Los ingresos y egresos de una empresa (en millones de pesos) durante el primer semestre del año se muestran en la siguiente tabla: Mes

Enero

Frebrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Ingresos

324,5

335,0

285,5

271,5

180,0

121,5

Egresos

173,0

178,5

155,5

148,0

98,5

71,5

Ganancias

a) b) c) d) e)

Completa la fila inferior con las ganancias de la empresa (ingresos – egresos). Calcula el promedio de los ingresos durante el período considerado. Calcula el promedio de los egresos durante el período considerado. Calcula el promedio de las ganancias de la empresa durante el primer semestre. Si calculamos la “ganancia promedio” como la diferencia entre el promedio de los ingresos y el de los egresos, ¿coincide su valor con el calculado en la pregunta d)? ¿Qué condiciones deben existir para que coincidan estos dos valores? Información y azar

167

d. Un joven practicante debe llevar a cabo un control de calidad de los tornillos fabricados por una

industria metalmecánica. Para esto dispone de la siguiente tabla con los tamaños de un grupo representativo del producto terminado: Largo [mm]

N° de tornillos

a) ¿Cuál es el promedio del largo de los tornillos de la muestra revisada? b) ¿Cuáles son la moda y la mediana de la muestra? c) Si el tamaño admisible de los tornillos es 9 ± 1 mm, ¿qué porcentaje de los tornillos muestreados es inadmisible o defectuoso? ¿Está el promedio dentro del rango de admisibilidad?

e. El gráfico contiene la distribución porcentual (aproximada) de títulos obtenidos por algunas se-

lecciones de fútbol en los 19 primeros campeonatos realizados (considerados hasta el Mundial de Sudáfrica 2010). Países campeones mundiales de fútbol Argentina 11%

Alemania 16%

Uruguay 11% Francia 5%

Italia 21%

Inglaterra 5% España 5% Brasil 26%

a) ¿Qué país ha sido más veces campeón? b) Indica cuántos títulos tiene cada país. Aproxima tus resultados al número natural más cercano.

f. Considera el experimento aleatorio de lanzar un dado de 12 caras. Determina el espacio muestral y el número de elementos de él que pertenecen a cada uno de los sucesos planteados: a) Suceso A: sale 1 ó 2. b) Suceso B: sale un número mayor o igual que 8. c) Suceso C: sale un número par.

g. Indica cuál de los siguientes sucesos tiene una mayor probabilidad estimada de ocurrencia: ›› Suceso A: sacar 1 ó 2 en un dado de seis caras. ›› Suceso B: sacar 1, 2, ó 3 en un dado de ocho caras. ›› Suceso C: sacar 1, 2, 3 ó 4 en un dado de doce caras. ›› Suceso D: sacar 1, 2, 3, 4 ó 5 en un dado de veinte caras. 168 Unidad 6

Unidad II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a ¿Cuál de los siguientes datos es cuantitativo? a) b) c) d)

e Señala cuál de las siguientes colecciones de datos es bimodal: a) 1, 3, 5, 4, 3, 3, 2, 4, 1, 2 b) 12, 12, 13, 14, 12, 13, 12, 13, 12 c) a, b, a, d, c, b, a, d, b, c, a, c, a, a, b, b, b d) Rojo, azul, verde, amarillo, café, negro

El RUT de tu carné de identidad. Tu grupo de sangre. Tu estatura. El curso al que asistes.

b Si se realiza el experimento aleatorio de

arrojar dos dados de 4 caras. Indica cuántos elementos constituyen el espacio muestral y cuántos de ellos pertenecen al suceso “la suma de las caras es 4”. a) 8 y 2 b) 16 y 2 c) 16 y 3 d) 8 y 1

c El experimento: “arrojar un dado de seis ca-

ras, cinco de las cuales tienen un 1 pintado y una un 6” se puede clasificar como: a) Determinístico, ya que casi con seguridad saldrá 1. b) Arreglado, ya que nosotros definiremos previamente el resultado. c) Aleatorio ya que se desconoce el número que saldrá. d) Ninguno de los anteriores.

d Observa el gráfico e indica cuál debe ser el valor porcentual del sector desconocido: a) 14% b) 17% c) 19% d) 21% 21%

17% 43%

HIPERTEXTO

Evaluación

f Indica el promedio y la mediana de la siguiente colección de datos:

1, 1, 1, 7, 1, 1, 7, 7 a) b) c) d)

4y1 3,5 y 1 3,25 y 1 3,25 y 7

g Si arrojo muchas veces 4 monedas, ¿cuál

3 8 3 5 8 16

es el valor de la razón entre el número de veces que salen al menos 3 sellos y el número total de lanzamientos? 3 5 4 4 a) = 0,3750 8 16 12 14 3 5 4 4 b) = 0,3125 8 16 12 14 5 4 4 c) = 0,3333 16 12 14 4 4 d) = 0,2875 12 14

h El primer trimestre del año una empresa

metalmecánica fabricó 14 000 jarros de aluminio. El gráfico indica porcentualmente las cantidades producidas cada uno de los meses considerados. Con esta información indica cuántos jarros se fabricaron en marzo: a) 4 340 42% febrero b) 5 880 27% c) 6 250 enero 31% d) 3 780 marzo

Información y azar

169

170 Solucionario

6. 3,2 kg = 320 000 cg; 2 005 ml = 2,005 L; 12 min = 0,2 h; 0,75 km = 750 m; 75 hg = 75 000 dg; 1 200 dl = 120 000 ml; 10,5 hm = 1 050 m; 1 450 mg = 0,145 dag; 2,3 h = 8 280 s. 7. 10,125 kg. 8. 1 016,8125 m. II. Ejercicios con alternativas. 1. d 2. b 3. b 4. c 5. b 6. c 7. a 8. d. Desafío al ingenio Página 14: 0,304347826086956521. Página 18: 3 minutos.

Unidad 1

Página 9 Entrada de unidad • 0,985 kg. • 13,79 kg. • 2 kg de carne y 2,2 kg de pasta. Página 11 Actividad inicial 1. a) Lonquimay: 2,855 > 2,840; b) 6 y 7 son números naturales y 6,9 es un número decimal; c) Parte entera, coma decimal, parte decimal; d) 7. 2. En todas las ciudades llovió menos en el año 2004 que en un año normal; a) Puerto Montt, Isla de Pascua, Chillán, Juan Fernández, Balmaceda, Curicó, La Serena, Arica; b) 1,1; 90,5; 4,8; 60,2; 172,6; 64,5; 287,2; 167,5. Página 13 Ejercicios individuales. 1. 0,666… infinito; 0,3 finito; 4,25 finito; 2,666… infinito, 0,6666… infinito, 0,19 finito. 2. 5/4, 503/1 000, 77/1 000, 3 413/250, 9 371/1 000, 11 847/80. Ejercicios grupales. 1. a) A todos les tocó la misma cantidad, 0,25; b) 0,305. Página 15 Ejercicios individuales. 1. 470/9, 291/90, 1/90, 2 312/999, 7 061/99, 502/90, 110/9, 6 329/990, 38/90, 98 936/9 900, 23 428/999. Página 17 Ejercicios individuales. 1. a) 2 336,223; b) 676 709,5024; c) 90 453,7315; d) 43,44. Página 19 Ejercicios individuales. 1. a) 502; b) 849,4; c) 1 183,3; d) 26,3; e) 7,07; f) 84,583; g) 11,169565; h) 7,469114; i) 27; j) 99,332. 2. De arriba a abajo: a) 0,025 – 2 – 0,05 – 4; b) 5 – 1,95 – 9,6525; c) 72,4416 – 3,36 – 0,4; d) 6 – 0,125 – 12 – 2. Página 21 Ejercicios individuales. 1. 36; 27; 18; 9; 4,5 / 170; 17; 1,7; 0,17; 0,017 / 3,6; 1,2; 0,3; 0,12; 0,03. Problemas. 1. a) 2 600 m; b) 3,5 km; c) 900 m. 2. $ 255. 3. $ 2 640. Página 23 Ejercicios individuales. 1. a) 272 cm; b) 0,47 m; c) 323 mm. 2. a) 0,12 km; b) 8,4 km. 3. a) 8,24 m > 5,43 m; b) 13,6 km > 13,6 cm; c) 0,5m > 0,8 mm; d) 24,15 dm > 30,9 cm; e) 3,1 km < 3 300 m; f) 23,2 cm > 0,0232 dm. Problemas. 1. 480 listeles. Página 25 Ejercicios individuales. 1. a) 1,2 kg > 0,12 hg; b) 360 g = 0,36 kg; c) 250 g = 0,25 kg; d) 78,9 cg = 7,89 dg; e) 45 dag < 4,5 kg; f) 3,4 dg < 34 g. Problemas. 1. a) $ 3 500; b) $ 4 644; c) 0,4 kg. Página 27 Resolución de problemas Problema 1. a) 0,375 kg; b) 0,25 kg; c) 0,4 kg. Problema 2. a) 73,1 km; b) 127,925 km. Problema 3. a) 4,26 m; b) 4,26 m/4,3 m. Problema 4. a) 219,15 kg; b) 90,35 kg. Página 29 Tecnología activa. 2. a) 350 cm – 0,003 hl – 0,0012 kg; b) 1 287,58 dm – 45 ml – 124,575 dag. Páginas 31 a 33 Evaluación I. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 5/9; b) 5/90; c) 13/20; d) 111/900; e) 114/33; f) 8 271/990; g) 24 887/2 000; h) 199 813/1 650. 2. a) 11,6563; b) 2,65392; c) 26,1856; d) 100,3725; e) 4,4623; f) 0,879; g) 0,22251; h) 63,9586. 3. a) 2,88; b) 0,009; c) 18,462; d) 18,3924; e) 28,441354…; f) 13,65684; g) 9,576; h) 0,000000324. 4. a) 9,8; b) 105; c) 0,755813…; d) 0,419753…; e) 0,1875; f) 32; g) 115,45; h) 0,02. 5. 0,875075 / 0,8645 / 1; 10,994334 / 11,01 / 11,1; 12,318597 / 12,3125 / 12,74; 3,547136 / 3,6036 / 4,17.

Página 35 Entrada de unidad • Azúcar: 1,75%. Porotos: 10,10%. Pan: 6,06%. Tomates: 7,81% • Azúcar: $ 590. Porotos: $ 1 200. Pan: $ 742. Tomates: $ 744. Página 37 Actividad inicial 1. a) Felipe; b) Gustavo: 20 minutos, Camila: 30 minutos, Felipe: 15 minutos. 2. 1/6 de hora = 10 min, 1/3 de hora = 20 min, 1/4 de hora = 15 min, 1/8 de hora = 7,5 min. a) 1 tercio; b) 2 sextos; c) 2 cuartos; d) 2 octavos. 3. a) 1/3 = 2/6, 1/3. 4. 1/3 = 3/9; 1/4 = 2/8 5. En las dos primeras. Página 39 Ejercicios individuales. 1. a) 12/35; b) 8/15; c) 3/7; d) 9; e) 5/18; f) 21/40; g) 7/117; h) 2. 2. a) 5/56; b) 1/12; c) 2/3; d) 1/2; e)1/8; f) 1. 3. a) 5/4; b) 1; c) 3; d) 7; e) 9/11; f) 3/7. Página 41 Ejercicios individuales. 1. a) 21/4; b) 5/3; c) 8; d) 12/5; e) 16/5; f) 9; g) 1; h) 60; i) 1 000; j) 247/204; k) 13/8; l) 515/136. 2. 1/2 ⇒ 1; 2/3; 1/2; 1/3 – 4/5 ⇒ 8/5; 16/15; 4/5; 8/15 – 23/7 ⇒ 46/7; 92/21; 23/7; 46/21. Problemas. 1. 6 veces. 2. 18 trozos. Página 43 Ejercicios individuales. 1. 1/2 ⇒ 1 es a 2; 3/7 ⇒ 3 es a 7; 5/6 ⇒ 5 es a 6; 2/5 ⇒ 2 es a 5; 3/2 ⇒ 3 es a 2. Página 45 Ejercicios individuales. 1. a) x = 1; b) x = 2; c) x = 12 500; d) x = 100. Problemas. 1. a) 6 galones; b) 8 galones; c) Para el vecino de la derecha. Página 47 Ejercicios individuales. 1. a) 50%; b) 100%; c) 70%; d) 72%. 2. 56/100; 80/100; 98/100. 3. a) 23%, 0,23; b) 50%, 0,5; c) 84%, 0,84; d) 3%, 0,03. Problemas. 1. Esquina norte: 60 personas. Esquina sur: 224 personas. 2. Juana: 60 puntos, Dominga: 40 puntos. Página 49 Ejercicios individuales. 1. 20% → 1/5 → 0,2 → 20:100; 38% → 19/50 → 0,38 → 38:100; 42% → 21/50 → 0,42 → 42:100; 67% → 67/100 → 0,67 → 67:100; 100% → 1/1 → 1 → 1:1; 110% → 11/10 → 1,1 → 110:100. Página 51 Ejercicios individuales. 1. a) 500; b) 20 000; c) 24 565; d) 1 500; e) 11 572; f) 94 500. Problemas. 1. a) 27/100; b) 71 540. 2. a) $ 54 000; b) $ 124 000. Página 53 Ejercicios individuales. 1. Perfume de naranja: $ 6 400; Colonia inglesa: $ 2 800; Talco: $ 2 240; Gel: $ 1 680; Crema de manos: $ 1 920; Jabón: $ 704. 2. Medio litro: $ 441; Un litro: $ 588; Un litro y medio: $ 882; Dos litros: $ 1 155; Dos litros y medio: $ 1 512; Tres litros: $ 1 764. Página 55 Resolución de problemas Problema 1. a) $ 2 125; b) $ 3 230; c) $ 6 162,5.

Unidad 2

Unidad 1

Solucionario

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Página 63 Entrada de unidad • 30 minutos. • 2n. Página 65 Actividad inicial 1. a) A tres personas; b) Nueve personas; c) Veintisiete personas. 2. a) Sí; b) Multiplicar el número de personas del cuarto llamado por 3; c) 3x. Página 67 Ejercicios individuales. 1. 1/12/1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1/1; 4/4/4·4·4·4/256; 5/8/5·5·5·5·5·5·5·5/390 625; 56/1/56/56; 14/3/14·14·14/2 744. 2. a) 36 = 729; b) 76 = 117 649; c) 115 = 161 051. d) 212 = 441; e) 144 = 38 416; f) 1013 = 1 030 301. Problemas. 1. a) 33; b) 32 MW; c) 34 MW. Página 69 Ejercicios individuales.1. Son potencias de 10 b), e) y h). 2. a) 1010; b) 1012; c) 1011; d) 1015; e) 1021; f) 107; 3. a) 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000; b) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000 000; c) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000 000 000; d) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000 000 000 000 000 000; e) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000; f) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 ·10 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000. Ejercicios grupales. 1. (deca)101, (hecto) 102, (kilo) 10 3, (mega) 106, (giga) 109, (tera) 1012, (peta) 1015, (exa) 1018, (zetta) 1021, (yotta) 1024. 2. 104; 106; 107; 108; 109. Página 71 Ejercicios individuales. 1. 1 000 / 103; 100 000 / 105; 100 000 000 / 108; 1 000 000 000 000 / 1012; 10 000 000 000 000 / 1013; 10 000 000 000 / 1010. Problemas. 1. Elevando 10 a 5 (105). 2. a) En un día se transportan 1 000 000 de bolitas; b) En diez días se transportan 10 000 000 de bolitas; c) En un día se transportan 10 000 000 de gramos de plumavit; d) En diez días se transportan 100 000 000 de gramos de plumavit.

Página 73 Ejercicios individuales. 1. 1 / 10 / 100 / 1 000 / 10 000 / 100 000 / 1 000 000; 2 / 20 / 200 / 2 000 / 20 000 / 200 000 / 2 000 000; 9 / 90 / 900 / 9 000 / 90 000 / 900 000 / 9 000 000; 27 / 270 / 2 700 / 27 000 / 270 000 / 2 700 000 / 27 000 000; 48 / 480 / 4 800 / 48 000 / 480 000 / 4 800 000 / 48 000 000; 1 332 / 13 320 / 133 200 / 1 332 000 / 13 320 000 / 133 200 000 / 1 332 000 000; 14 480 / 144 800 / 1 448 000 / 14 480 000 / 144 800 000 / 1 448 000 000 / 14 480 000 000. 2. a) 60 000 000; b) 13 000 000; c) 2 000 000; d) 7 432 000 000; e) 109 870 200 000; f) 832 000 000. Problemas.1. a) 300 000 000 metros; b) 300 000 000 000 de centímetros. 2. a) 14 700 000 kilogramos; b) 14 700 000 000 miligramos. 3. a) 177 000 metros; b) 177 000 000 milímetros. 4. 46 328 000 kilogramos. 5. a) 25 800 000 metros; b) 2 580 000 000 centímetros. Página 75 Ejercicios individuales. 1. a) 5,3 / 53 / 530 / 5 300; b) 17,63 / 176,3 / 1 763 / 17 630; c) 70,01 / 700,1 / 7 001 / 70 010; d) 192,4 / 1 924 / 19 240 / 192 400; e) 10 987,02 / 109 870,2 / 1 098 702 / 10 987 020; f) 7 676,435 / 76 764,35 / 767 643,5 / 7 676 435; g) 2 999,23492 / 29 992,3492 / 299 923,492 / 2 999 234,92; h) 57,4648 / 574,648 / 5 746,48 / 57 464,8. 2. a) 950; b) 362,12; c) 7 325 400; d) 172 537,9; e) 20 540 044 200; f) 7 492 374 400 100. Ejercicios grupales. 1. a) 6,542; b) 0,0043; c) 20,65; d) 14,00436; e) 93,5401; f) 67,349. Problemas. 1. a) 8 848 metros; b) 1 103 000 centímetros. Página 77 Ejercicios individuales. 1. a) 8 · 10 0; b) 4 · 101 + 9 · 10 0; c) 8 · 103 + 6 · 102 + 4 · 100; d) 7 · 104 + 1 · 103 + 4 · 102 + 4 · 101 + 7 · 100; e) 5 · 105 + 4 · 104 + 9 · 103 + 7 · 100; f) 2 · 106 + 9 · 103 + 3 · 102 + 4 · 101 + 1 · 100; g) 6 · 107 + 5 · 106 + 4 · 105 + 4 · 104 + 9 · 103 + 1 · 102; h) 3 · 108 + 8 · 107 + 7 · 102 + 9 · 101 + 2 · 100. 2. a) 1; b) 140; c) 2 210; d) 47 960; e) 51 520; f) 80 473; g) 1 030 090; h) 24 209 270. Ejercicios grupales. 1. a) 10 890; b) 379; c) 70 021 060; d) 8 268; e) 30 710. Página 79 Ejercicios individuales. 1. a) 10; b) 1 c) 1 000; d) 10 000; e) 100; f) 100; g) 101; h) 102; i) 103; j) 103; k) 103; l) 105. 2. 1 000/10 = 10 2 ; 1 000 000 000/1 000 000 = 10 3 ; 1 000 000 000/100 = 107; 1 000/1 000 = 100. Problemas. 1. 100 Páginas. 2. 100 000 pesos mensuales. 3. 100 000 kilómetros por día. Página 81 Ejercicios individuales. 1. a) 350; b) 90 580; c) 7 740; d) 8 000; e) 690; f) 309 000. 2. a) 2 568; b) 33; c) 71; d) 557. 3. a) 34,2; b) 8,66; c) 18,1218; d) 0,59199; e) 0,7789; f) 0,0042987175. Problemas. 1. a) 134 bandejas. Sobran 56 manzanas; b) Se necesitan 13 camionetas. Sobran 4 bandejas. 2. a) $ 286 770, sobrarán $ 43; b) 28 677 billetes de $ 1 000. Recibirá $ 43 en monedas. Página 83 Ejercicios individuales 1. a) 546,342; b) 0,093453; c) 0,073425; d) 0,00231; e) 0,09934; f) 993,42; g) 0,0834; h) 0,00021. Problema. 1. Cada parte tiene 5,265 m 2, sembrará 500 paltos. Página 85 Resolución de problemas Problema 1. a) 6,4191 · 1019 t; b) 6,4191 · 1017 t; c) 6,4191 · 1022 t. Problema 2. a) 10 000 árboles; b) 100 000 kilogramos; c) 1 000 000 de kilogramos. Problema 3. a) 10 000 kilogramos;

Unidad 3

Unidad 2 Unidad 3

Problema 2. a) Aumenta un 135%; b) $ 752. Problema 3. a) 426 kg; b) 33 sacos; c) 17,75 kg. Problema 4. a) $ 39 648; b) $ 37 478; c) A Josefina. Página 57 Tecnología activa. 2. a) Avena: $ 968; Alpiste: $ 1 056; Harina: $ 792; Maravilla: $ 748; Mijo: $ 1 012; Trigo: $ 1 100; b) Avena: $ 935; Alpiste: $ 1 020; Harina: $ 765; Maravilla: $ 722,5; Mijo: $ 977,5; Trigo: $ 1 062,5; c) Avena: $ 880; Alpiste: $ 960; Harina: $ 720; Maravilla: $ 680; Mijo: $ 920; Trigo: $ 1 000; d) Avena: $ 825; Alpiste: $ 900; Harina: $ 675; Maravilla: $ 637,5; Mijo: $ 862,5; Trigo: $ 937,5. Páginas 59 a 61 Evaluación I. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 1/6; b) 36/77; c) 44/15; d) 1; e) 25; f) 119/9. 2. a) 98/27; b) 16/75; c) 221/40; d) 1; e) 49/36; f) 1 156/605. 3. a) 14 : 11; b) 4 : 12; c) 590 : 640. 4. a) 0,4; b) 3,25; c) 0,5; d) 0,925. 5. 2 : 3 = 4 : 6; 40 : 50 = 8 : 10; 3 : 36 = 1 : 12; 3 : 3 = 7 : 7; 6 : 10 = 3 : 5. 6. a) x = 15; b) x = 1; c) x = 10; d) x = 0,5; e) x = 108; f) x = 9. 7. $ 900; –15%; $ 37 800; $ 167 958. 8. a) $ 660; b) 3%. 9. a) 31,325 m; b) 25,825 m. II. Ejercicios con alternativas. 1. c 2. b 3. d 4. b 5. a 6. c 7. a 8. d. Desafío al ingenio Página 50: 61,051%. Página 52: Ambas opciones son iguales.

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Solucionario

171

Página 93 Entrada de unidad • 73 toneladas de plástico. • 11 + 5 + 3 + 3 + x = 95 Página 95 Actividad inicial 1. a) m = x + 0,035; b) Masa de cartón = y/3, Masa de papel = 2y/3; c) Masa de materia orgánica = z – w. 2. a) Masa en kilogramos = a + b + c y Masa en gramos = (a + b + c)·(1 000); b) Masa en kilogramos = 3a + 2c + b. 3. a) A = 65 – B – C – D – E – F, B = 65 – A – C – D – E – F, C = 65 – A – B – D – E – F, D = 65 – A – B – C – E – F, E = 65 – A – B – C – D – F, F = 65 – A – B – C – D – E; b) 65 kg; c) Masa de vidrio arrojada = B – 32. Página 97 Ejercicios individuales. 2. a); a, b, ab; b) a, b, c, ab, ac, bc, abc; c) a, b, c, d, ab, ac, ad, bc, bd, cd, abc, abd, acd, bcd, abcd. 3. 7abcd → 2bcad; 12bdce → 4dcbe; 4abe → 9bea; 11cde → 2dce; 6aebc → 18ceab; 3ba → 32ab. Página 99 Ejercicios individuales. 1. a) x + 5z; b) 16ab + 13bc + 20ac; c) 15x + 13y + 12z; d) 29ax + 21cz + 18by; e) xb + yz + 4za; f) 15 m – 10ñ + 14n; g) 6ef + 11tp + 11oq; h) 16abcd + 9adc + 8abc; i) 15k + 12g + 29d; j) 0; k) 12ij + 27jk. Página 101 Ejercicios individuales. 1. a) 2; b) 2; c) 4; d) 3; e) 0; f) 2; g) 4; h) 6; i) 12; j) 2; k) 3; l) 0; m) 9; n) 9; ñ) 10. Problemas. 1. 7 especies. 2. 1 000 pesos. Página 103 Ejercicios individuales. 2. a) 7; b) 10; c) 4; d) 1; e) 2; f) 0. 3. a) 4x – 8 = 2x + 6. x = 7; b) x + 2x + 3x = 36. x = 6; c) 2(3x) + 3(2x) = 120. x = 10; d) x/2 = 17. x = 34; e) x/3 = 30. x = 90; f) 14 + 2x = 14. x = 0. Página 105 Problemas. 1. 43 fichas. 2. 14 años. 3. 20 preguntas. 4. 9 000 pesos. 5. 22 050 pesos. 6. 0,45 metros. 7. 21 años. Página 107 Ejercicios individuales. 1. a) 6; b) 19; c) 7; d) 14; e) 3; f) 4; g) 2; h) 0. 2. a) x + 37 = 92, x = 55; b) 28 + x = 39, x = 11; c) x – 50 = 34, x = 84; d) 18 + x = 24, x = 6 cm; e) 28 + x = 35, x = 7 cm; f) 5x + 16 = 31, x = 3 años. Problemas. 1. a) 12 aves; b) 15 aves; c) 20 aves; d) 17 aves; e) 38 aves.

172 Solucionario

Expresión x = 1

y=2

x=4

y=3

x=9

Unidad 4

Página 109 Resolución de problemas Problema 1. a) 127; b) 207; c) 414. Problema 2. a) 25 kilómetros; b) 56 kilómetros. Problema 3. a) Ganó 5 partidos y perdió 20 partidos; b) 58 puntos. Problema 4. a) J = 2M, V = 4M, S = 8M; b) M + 2M + 4M + 8M = 3 195 → M = 213, J = 426, V = 852, S = 1 704. Página 111 Tecnología activa. 2. a) Julio: $ 699, Agosto: $ 730, Septiembre: $ 751, Octubre: $ 765, Noviembre: $ 798, Diciembre: $ 825; b) En diciembre ($ 825); c) En abril ($ 524). Páginas 113 a 115 Evaluación I. Ejercicios de desarrollo. 1. y = 5 x = 11 y = 7

2xy

154

x+y+2

3xy – 2

133

229

88 –xy

4x – y

xy – y

2. a) 4; b) 4; c) 13; d) 1; e) 0; f) 3; g) 4; h) 1. 3. a) x + 47 + 39 = 128, x = 42 puntos; b) 57 + 45 + 2x = 220, x = 59 km; c) x + 9 = 17, x = 8 horas; d) x = 445 – 35 – 50, x = 360 minutos = 6 horas. 4. a) 278 500 litros; b) Febrero = 147 000 litros. Diferencia = 131 500 litros; c) Enero = 154 200 litros, Abril = 210 400 litros, Agosto = 297 100 litros, Noviembre = 188 400 litros. 5. a) 123 540 pesos; b) 252 450 pesos. 6. a) 14 huevos blancos grandes; b) 7 huevos blancos pequeños; c) 3 huevos de color. II. Ejercicios con alternativas. 1. c 2. c 3. b 4. c 5. a 6. c 7. d 8. d. Desafío al ingenio Página 102: Sí es posible, el día es 1 de enero. Página 104: Tiene una camisa de cada color. Página 106: Nieto → 10 años; Hijo → 30 años; Abuelo → 90 años.

Página 117 Entrada de unidad • Triángulos rectángulos. • 45°, 45°, 90°. Página 119 Actividad inicial 1. a) Av. Los poetas se interseca con Vicente Huidobro, y Gabriela Mistral y Pablo Neruda son paralelas; b) No; c) Las tres paralelas y, por lo tanto, no se intersecan; dos paralelas y una no y, en ese caso, la no paralela interseca a las paralelas; las tres rectas se intersecan en un solo punto; o que ninguna de las tres sea paralela, por lo tanto, cada una es intersecada dos veces; d) Se intersecan entre sí. Página 121 Ejercicios individuales. 1. a) ]MON, ]NOM, α; b) ]TSR, ]RST, β; c) ]XPZ, ]ZPX, γ. Página 123 Ejercicios individuales. 1. a) 30°; b) 150°. Ejercicios grupales. 1. a) 128°, 90°, 53°; b) 141°, 20°, 90°; c) 40°, 135°, 160°.

Unidad 5

Unidad 3 Unidad 4

b) 100 000 kilogramos; c) 1 000 000 kilogramos. Problema 4. a) 1 000 000 km; b) 10 000 000 km; c) 10 000 días. Páginas 89 a 91 Evaluación I. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 63 = 216; b) 30 = 1; c) 112 = 1; d) 95 = 59 049; e) 111 = 11; f) 134 = 28 561. 2. a) 27 = 128; b) 44 = 256; c) 510 = 9 765 625; d) 92 = 81; e) 123 = 1 728; f) 215 = 4 084 101. 3. a) 103; b) 101; c) 1015; d) 105. 4. a) 1 000 000 = 106; b) 10 000 000 000 000 = 1013; c) 10 000 000 000 000 000 = 1016; d) 100 000 000 000 000 000 000 = 1020. 5. a) 3 · 105 km/s; b) 6,37 · 10 6 metros; c) 4,5 · 109 años; d) 1,7 · 10 6 metros. 6. a) 234 000; b) 36; c) 346 700; d) 102 000; e) 370 000 000; f) 901. 7. a) 2,3; b) 0,03478; c) 1 000; d) 105; e) 0,00345; f) 34,56. 8. a) 1 · 101 + 4 · 100; b) 2 · 104 + 3 · 103 + 8 · 101 + 6 · 100; c) 9 · 103 + 3 · 100; d) 6 · 105 + 8 · 104 + 9 · 103 + 5 · 101 + 2 · 100. 9. a) 1 000 cm2 = 103 cm2; b) 10 000 000 km2 = 107 km2. 10. a) 278 450 milímetros; b) 2,7845 metros. II. Ejercicios con alternativas. 1. c 2. d 3. a 4. b 5. d 6. b 7. d 8. c 9. a 10. c. Desafío al ingenio Página 76: Suman 4.

➠

Página 153 Ejercicios individuales. 1. a) C; b) D; c) 370; d) 308; e) 1/2. 2. a) 64; b) Oro: 32,81%, Plata: 26,56%, Bronce: 40,62%; c) Oro: 3,36%, Plata: 2,72%, Bronce: 4,16%.

25%

Jirafa 10%

Alemania

27%

19%

Japón

Elefante 5%

Inglaterra

Oso

Chile

12%

Vicuña 35%

Finlandia 5%

Unidad 6

Unidad 5 Unidad 6

20%

Mono

2. a)

→ →

Página 145 Actividad inicial 1. a) El de la opción nada; b) El de la opción más de $ 50 000; c) 35%; d) 61%; e) 8%; f) 527; g) 151. 2. a) Finlandia. Página 147 Ejercicios individuales. 1. 1,65 m. 2. 1,6225 m. 3. a) 3; b) 3; c) 3/2; d) 13,08. Ejercicios grupales. 1. a) F; b) V; c) F. Problemas. 1. a) 27 años; b) 1,7954 m; c) Defensa: Edad = 27,75 años, Estatura = 1,81 m; Mediocampo: Edad = 27 años, Estatura = 1,745 m; Delantera: Edad = 24,5 años, Estatura = 1,85 m. Página 149 Ejercicios individuales. 1. Promedio = 7,5; mediana = 7. 2. a) Me = 9, x = 8,8; b) Me = 5,75, x = 5,25; c) Me = 2,5, x = 2,5. 3. a) Número ≥ 10; b) Número ≥ 15; c) 10; d) 60. Ejercicios grupales. 2. 13 años. Problemas. 1. a) Me = $ 1 000, x ≈ $ 571,43; b) Me = $ 100, x ≈ 530,43; c) La mediana. Página 151 Ejercicios individuales. 1. Educación física. 2. a) [1,50 – 1,59] → 2 datos; [1,60 – 1,69] → 3 datos; [1,70 – 1,79] → 2 datos; b) [1,60 – 1,69]. Problemas. 1. a) Fútbol; b) Fútbol; c) Fútbol y tenis; d) 4; e) 8.

Página 155 Ejercicios individuales. 1. Pingüino

→ →

Página 125 Ejercicios individuales. 1. a) Obtuso; b) Agudo; c) Recto; d) Extendido. 2. a) 70°; b) 2°; c) 90°; d) 27°; e) 39°; f) 0°, g) No existe; h) 45°. 3. a) 160°; b) 135°; c) 150°; d) 0°; e) 26°; f) 58,5°; g) 180°; h) 10°. 4. a) C; b) N; c) N; d) S; e) C; f) S. 5. a) ]POS y ]SOT; b) ]VOW y ]WOU; c) ] ZOX y ]XOY. Página 127 Ejercicios individuales. 1. a) α = 45°; β = 45°; δ = 135°; b) α = 130°; β = 50°; δ = 130°; c) α = 90°; β = 90°; δ = 90°. Ejercicios grupales. 1. a) V; b) F; c) V; d) V; e) F. Página 129 Ejercicios individuales. 1. a) α = 145°, β = 145°; b) α = 135°, β = 135°; c) α = 85°, β = 95°; d) α = 20°, β = 20°. Problemas. 1. 112°, 68°, 68°, 112°, 112°, 68°. Página 131 Ejercicios individuales. 1. a) ]1 = 70°, ]2 = 110°; b) ]1 = 120°, ]2 = 60°, ]3 = 110°; c) ]1 = 75°, 2 = 145°; d) ]1 = 110°, 2 = 80°, ]3 = 30°; e) ]1 = 60°, ]2 = 120°; f) ]1 = 40°, ]2 = 20°, ]3 = 120°. Página 133 Ejercicios individuales. 1. a) ]1 = 100°, ]2 = 80; b) ]1 = 100°, ]2 = 100°; c) ]1 = 120°, ]2 = 70°. Página 135 Resolución de problemas Problema 3. a) 20°; b) 50°; c) g = 130°. Problema 4. a) 540°; b) 360°; c) 108°. Páginas 139 a 141 Evaluación I. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 120°, obtuso; b) 360°, completo; c) 90°, recto; d) 180°, extendido; e) 30°, agudo; f) 45°, agudo. 2. a) S = 150°, C = 60°; b) S = 110°, C = 20°; c) S = 85; d) S = 179,68, C = 89,68°; e) S = 79,5; f) S = 122°, C = 32°. 5. a) 42°; b) 25°; c) 30°; d) 50°. II. Ejercicios con alternativas. 1. d 2. d 3. c 4. d 5. d 6. d 7. a 8. b.

34%

China 3%

b) América 34%

Europa 51%

Asia

15%

Página 157 Ejercicios grupales. 1. a) Aleatorio; b) Determinista; c) Determinista; d) Aleatorio; e) Determinista; f) Aleatorio. Página 159 Ejercicios individuales. 1. a) E = 24 = 16; b) E = 25 = 32; c) E = 26 = 64; d) E = 2 n; e) E = 61 = 6; f) E = 62 = 36; g) E = 63 = 216; h) E = 6 n. Ejercicios grupales. 1. a) E = {R, V, B, A}; b) E = {RV, RB, RA, VB, VA, BA}; c) E = {RVB, RVA, RBA, VBA}. 2. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Suceso = {1, 2} → 2 elementos; b) E → 36 resultados posibles, Suceso 1 → 6 resultados, Suceso 2 → 3 resultados, Suceso 3 → 8 resultados. Página 161 Ejercicios individuales. 1. a) 0,16; b) 0,3; c) 0,83; d) 0,3; e) 0,6; f) 1. Página 163 Resolución de problemas Problema 1. a) B; b) A: Me = $ 500 000, Mo = $ 500 000; B: Me = $ 500 000, Mo = $ 140 000 y $ 800 000; c) $ 1 360 000. Problema 2. a) 15% = 30 niños y niñas; b) Películas, 35% = 70 niños y niñas; c) Teleseries, 10% = 20 niñas y niños. Problema 3. a) S1 = 0,25; S2 = 0,35; S3 = 0,2; S4 = 0,2; b) S1 = S2 = S3 = S4 = 0,25. Página 164 Tecnología activa. 2. x = 7,6; Me = 7; Mo = 6. Páginas 167 a 169 Evaluación I. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 128 departamentos; b) 464 personas; c) 3,625 personas; d) Mo: 4 personas, Me: 4 personas. 2. a) Rolando: 5,6 – Sebastián: 5,8 – Tomás: 5,5; b) Sebastián; c) Tomás, d) Cualquier nota menor o igual a 6,0. 3. a) 151,5 – 156,5 – 130 – 123,5 – 81,5 – 50; b) 253; c) 137,5; d) 115,5; e)115,5 → Coinciden. 4. a) 9,5 mm; b) Mo: 9 cm, Me: 9 cm; c) 19%. Sí está dentro del promedio. 5. a) Brasil; b) Brasil: 5 – Italia: 4 – Alemania: 3 – Argentina: 2 – Uruguay: 2 – Francia: 1 – Inglaterra: 1 – España: 1. 6. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; a) SA: 2 elementos; b) 5 elementos; c) 6 elementos. 7. Suceso B es el más probable. II. Ejercicios con alternativas. 1. c 2. c 3. c 4. c 5. c 6. c 7. b 8. a. Desafío al ingenio Página 148: 22 años. Página 160: Es incorrecta, ya que la probabilidad de sacar 6 en cada lanzamiento es la misma.

Solucionario

173

Índice temático Pág. Ángulo...................................................................... 120 Ángulos correspondientes....................................... 128 Ángulos en un cuadrilátero...................................... 132 Ángulos en un triángulo.......................................... 130 Ángulos externos..................................................... 128 Ángulos internos...................................................... 128 Ángulos opuestos por el vértice............................... 128 Antecedente de una razón........................................ 42 Base de una potencia............................................... 67 Calculadora científica......................................... 18 y 40 Clasificación de ángulos................................ 124 y 125 Consecuente de una razón....................................... 42 Construcción de gráficos circulares......................... 154 Conversión de fracción en número mixto............ 38 y 40 Conversión de número mixto en fracción............. 38 y 40 Cuadriláteros............................................................ 132 Datos bimodales...................................................... 150 Datos cuantitativos................................................... 150 Datos cualitativos..................................................... 150 Datos multimodales.................................................. 150 Datos unimodales.................................................... 150 Decimales infinitos no periódicos.............................. 14 Decimales semiperiódicos......................................... 14 Decimales periódicos................................................. 14 Descomposición canónica........................................ 76 División de dos fracciones........................................ 40 División de números decimales................................. 18 División de potencias de 10...................................... 78 División de un decimal por una potencia de 10........ 82 División de un natural por una potencia de 10............. 80 Ecuación con dos o más incógnitas....................... 104 Ecuación de primer grado....................................... 100 Equivalencias entre unidades de longitud................ 22 Equivalencias entre unidades de masa..............24 y 25 Espacio muestral...................................................... 150 Evento o suceso....................................................... 159 Exponente de una potencia...................................... 67 Expresión decimal de una fracción............................ 12 Expresión fraccionaria de decimales finitos.............. 12 Expresión fraccionaria de decimales periódicos........................................................... 14 y 15 Expresión fraccionaria de decimales semiperiódicos................................................... 14 y 15 Fenómenos aleatorios.................................... 156 y 157 Fenómenos deterministas........................................ 156 Formas de expresar un porcentaje.................... 48 y 49 Fracción de una cantidad.......................................... 38 Fracciones recíprocas............................................... 40 Fracciones y números mixtos en calculadora............... 38 Fracción impropia....................................................... 12 Fracción propia.......................................................... 12

174 Índice temático

Pág. Grado de una ecuación algebraica......................... 104 Grados sexagesimales............................................. 122. Gráfico circular......................................................... 152 Incógnita.................................................................. 100 Información porcentual.............................................. 52 Masa.......................................................................... 24 Media aritmética....................................................... 146 Mediana.................................................................... 148 Medición de ángulos................................................ 122 Moda........................................................................ 150 Multiplicación con factores menores que uno.... 20 y 21 Multiplicación con un factor mayor que uno....... 20 y 21 Multiplicación de factores mayores que uno...... 20 y 21 Multiplicación de fracciones.............................. 38 y 40 Multiplicación de números decimales........................ 16 Multiplicación de potencias de 10............................. 70 Multiplicación de un decimal por una potencia de 10... 74 Multiplicación de un natural por una potencia de 10... 72 Multiplicación de una fracción por un natural........... 39 Operaciones con porcentajes................................... 50 Paralelogramo.......................................................... 132 Peso.......................................................................... 24 Porcentajes............................................................... 46 Potencia............................................................. 66 y 67 Potencias de 10......................................................... 68 Probabilidad de un evento o suceso....................... 160 Probabilidad empírica............................................. 160 Propiedad fundamental de las proporciones...... 44 y 45 Proporciones..................................................... 44 y 45 Razón................................................................. 42 y 44 Razones equivalentes............................................... 43 Reducción de términos semejantes.................. 98 y 99 Resolución de ecuaciones de primer grado........... 102 Resultados de un experimento aleatorio....... 158 y 159 Sistema decimal........................................................ 76 Términos de la división............................................... 18 Unidades de longitud................................................ 22 Unidades de masa............................................. 24 y 25 Suma de ángulos en un cuadrilátero....................... 133 Suma de ángulos en un triángulo........................... 130 Términos algebraicos................................................ 96 Términos semejantes................................................ 96 Trapecio.................................................................... 132 Trapezoide................................................................ 132 Triángulo acutángulo............................................... 130 Triángulo equilátero................................................. 130 Triángulo escaleno.................................................. 130 Triángulo isósceles.................................................. 130 Triángulo obtusángulo.............................................. 130 Triángulo rectángulo................................................ 130 Validación de la solución de una ecuación............. 106

Bibliografía y páginas web Bibliografía 1. Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales: Diccionario esencial de las ciencias. Madrid: Editorial Espasa Calpe, S.A., 2002. 2. Valiente Barderas, Santiago: Diccionario de Matemáticas. México D.F.: Editorial Alhambra mexicana, S.A., 1988. 3. Chapin, Suzanne: Middle Grade Math. New Jersey: Editorial Prentice Hall, 1997.

Páginas web 1. http://www.mineduc.cl Sitio oficial del Ministerio de Educación de Chile. 2. http://www.minsal.cl Sitio oficial del Ministerio de Salud de Chile. 3. http://www.conama.cl Sitio de la CONAMA, Comisión Nacional del Medio Ambiente. 4. http://www.educarchile.cl Portal de la educación chilena. 5. http://www.asrm.cl Sitio de la Secretaría Regional Ministerial de Salud de la región Metropolitana de Chile. 6. http://www.ine.cl Sitio del Instituto Nacional de Estadísticas de Chile. 7. http://www.eduteka.org Sitio de tecnologías de información y comunicaciones para la enseñanza básica y media. 8. http://www.monumentos.cl Sitio del Consejo de Monumentos Nacionales del gobierno de Chile. 9. http://www.icarito.cl Sitio educativo chileno. 10. http://www.monografías.com Sitio con información educativa. 11. http://www.mensa.es/juegosmensa Sitio con colección de juegos de ingenio matemático.

Bibliografía y páginas web

175

Evaluación modelo

I. Alternativas

a Una hoja de papel tiene 0,012 cm de espesor.

5 n es un número. Si n es multiplicado por 7 y des-

De las siguientes opciones, ¿cuál sería la altura de un montón de 400 hojas de este papel?

pués se le suma 6, el resultado es 41. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes representa esta relación?

a) 0,048 cm

c) 4,8 cm

a) 7n + 6 = 41

c) 7n · 6 = 41

b) 0,48 cm

d) 48 cm

b) 7n – 6 = 41

d) 7 · (n + 6) = 41

(Timss 1999)

b Para obtener una pintura de un cierto color Ana

(Timss 1999)

6 Si se estira la cuerda del diagrama, ¿cuál de estas

mezcla 5 litros de pintura roja, 2 litros de pintura azul y 2 litros de pintura amarilla. ¿Cuál es la proporción de pintura roja en el total de la mezcla? a) 5

c) 5

b) 9

60 a 75 pesos, ¿qué porcentaje de aumento ha habido en el precio? c) 25%

b) 20%

d) 30%

c) 7 cm

b) 6 cm

d) 8 cm

Cuerda

9 10 11

(Timss 1999)

c Si el precio de una lata de guisantes sube de a) 15%

a) 5 cm

d) 5

opciones es la más cercana a su longitud?

(Timss 1999)

7 Si 4 veces un número es 48, ¿cuánto es 1 3

ese número? a) 4

c) 12

b) 8

d) 16

(Timss 1999)

d En un cuadrilátero, dos ángulos tienen una medida

8 Un pintor tenía 25 litros de pintura. Él usó 2,5

de 115° cada uno. Si la medida de un tercer ángulo es 70°, ¿cuál es la medida del ángulo restante?

litros de pintura cada hora. Terminó su trabajo en 5,5 horas. ¿Cuánta pintura le sobró?

a) 60°

c) 130°

a) 10,25 litros

c) 12,75 litros

b) 70°

d) 140°

b) 11,25 litros

d) 13,75 litros

(Timss 1999)

II. Desarrollo 1. Encuentra el valor de x, si 12x – 10 = 6x + 32.

Respuesta:

(Timss 1999)

2._ En el colegio de Irene, su profesora de ciencias les hace exámenes que se puntúan de 0 a 100. Irene tiene una media de 60 puntos en sus primeros cuatro exámenes de ciencias. En el quinto examen sacó 80 puntos. ¿Cuál es la media aritmética de las notas de Irene en (Pisa 2003) ciencias tras los cinco exámenes? Media: 3. 4 , 25, 5 . Estas tres fracciones son equivalentes. Escribe dos fracciones que sean equiva8 50 10 lentes a ellas. a)

Respuestas: I. Alternativas 1. C 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B II. Desarrollo 1. X = 7 2. X = 64.

176 Evaluación modelo

(NAEP 2007)