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Años 2009 y 2010

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TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

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6º Educación Básica

31/10/08

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑOS 2009 y 2010

MATEMÁTICA

MATEMATICA 6

Javiera Setz Mena


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O I R E T S I N I M


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El material didáctico Matemática 6°, para Sexto Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DEL PROYECTO: Eugenia Águila Garay COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: Viviana López Fuster EDICIÓN: Viviana López Fuster AUTORA: Javiera Setz Mena CORRECCIÓN DE ESTILO: Isabel Spoerer Varela Astrid Fernández Bravo DOCUMENTACIÓN: Paulina Novoa Venturino Juan Carlos Reyes Llanos La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: Carlota Godoy Bustos COORDINACIÓN LICITACIÓN: Xenia Venegas Zevallos DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN: Mariela Pineda Gálvez Macarena Cruz Rencoret ILUSTRACIONES: Martín Oyarce Gallardo FOTOGRAFÍAS: Archivo Santillana CUBIERTA: Xenia Venegas Zevallos PRODUCCIÓN: Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World S.A. ISBN: Inscripción N° www.santillana.cl


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JAVIERA SETZ MENA LICENCIADA PROFESORA

EN

MATEMÁTICA,

DE MATEMÁTICA,

EDUCACIÓN

MEDIA,

LICENCIADA EN EDUCACIÓN

PONTIFICIA UNIVERSIDAD

CATÓLICA DE CHILE


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Presentación del Texto Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El texto Matemática 6 te invita a comprender que la matemática es parte del mundo que te rodea. A través de sus 7 unidades te enfrentarás a diversas situaciones en las que podrás explorar, aprender y construir conceptos relacionados con los números y las operaciones, geometría, álgebra, datos y azar. En ellas encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio • CONVERSEMOS DE...

Sección que te plantea preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la unidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias.

• EN ESTA UNIDAD PODRÁS...

En esta sección conocerás los principales objetivos que se espera que logres con el desarrollo de la unidad.

• ¿CUÁNTO SABES?

Podrás resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a recordar conocimientos que serán la base para el desarrollo de la unidad.

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Matemática 6

• ¿QUÉ DEBES RECORDAR?

Encontrarás el resumen de los principales conceptos trabajados en años anteriores y que te servirán como apoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la unidad.


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Páginas de desarrollo En estas páginas podrás explorar y construir nuevos conceptos y aplicarlos para resolver diversas situaciones, actividades y problemas.

• PARA DISCUTIR

Por medio de preguntas, explorarás el contenido matemático que aprenderás, pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

• EN TU CUADERNO

• NO OLVIDES QUE...

Encontrarás explicaciones, descripciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo.

Resolverás variadas actividades para ir descubriendo los conceptos y reforzar así tu aprendizaje.

• AYUDA

Te recuerda un contenido o procedimiento. • EN EQUIPO

Desarrollarás en grupo entretenidas e interesantes actividades que te permitirán progresar en tu aprendizaje.

Presentación del Texto

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• MI PROGRESO

Resolverás actividades que te permitirán evaluar tu progreso en el logro de los aprendizajes.

• HERRAMIENTAS

TECNOLÓGICAS Aprenderás a ocupar la calculadora para resolver diversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programas computacionales.

• ESTRATEGIA MENTAL

Encontrarás diversas estrategias de cálculo mental e imaginación espacial.

• BUSCANDO ESTRATEGIAS

Observarás un problema resuelto paso a paso a través de una determinada estrategia. Podrás aprender y practicar la estrategia utilizada y buscar otras que te permitan encontrar la solución.

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Matemática 6


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Páginas de cierre

• CONEXIONES

A partir de una noticia o tema, desarrollarás en equipo una actividad que te permitirá aplicar lo que aprendiste en la unidad. Además, te invitamos a evaluar tu actitud y la de cada integrante del grupo para que puedas mejorar tu forma de trabajar.

• SÍNTESIS

Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando un organizador gráfico. Además, aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre estos y sus relaciones.

• ¿QUÉ APRENDÍ?

En estas dos páginas responderás preguntas de selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluar lo que has aprendido en la unidad.

• ¿QUÉ LOGRÉ?

Evaluarás y reflexionarás sobre los aprendizajes que adquiriste en esta unidad.

Presentación del Texto

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Índice UNIDAD 1: Números

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UNIDAD 3: Ángulos

¿Cuánto sabes?

12

¿Cuánto sabes?

66

Ángulos opuestos por el vértice Ángulos entre paralelas Medida de los ángulos de un triángulo Medida de los ángulos de un cuadrilátero Mi progreso Ángulos en polígonos Polígonos regulares Mi progreso

68 70 74 76 77 78 80 83

Buscando estrategias Conexiones Síntesis ¿Qué aprendí?

84 86 87 88

Multiplicación de una fracción por un número natural Multiplicación de fracciones División de fracciones Operaciones combinadas Mi progreso Interpretación de números decimales Multiplicación de números decimales División de números decimales Aproximación en operaciones con números decimales Mi progreso

14 16 18 20 23 24 26 28 30 31

64

Buscando estrategias Conexiones Síntesis ¿Qué aprendí?

32 34 35 36

UNIDAD 2: Potencias

38

UNIDAD 4: Porcentajes

90

¿Cuánto sabes?

40

¿Cuánto sabes?

92

Concepto de potencia Diagrama de árbol Propiedades de las potencias Potencias de exponente 2 y áreas Potencias de base 10 y descomposición de números Mi progreso Potencias de base 10 y grandes números Multiplicación de un número natural o decimal por una potencia de base División de un número natural o decimal por una potencia con base Mi progreso

42 44 46 48

Razones Porcentajes y razones Interpretación de porcentaje Cálculo del 10%, 25% y 50% Cálculo de porcentajes Mi progreso Aplicaciones del porcentaje: Intereses e impuestos Descuentos y rebajas Gráfico circular Mi progreso

94 96 98 100 102 103

Buscando estrategias Conexiones Síntesis ¿Qué aprendí?

58 60 61 62

Buscando estrategias Conexiones Síntesis ¿Qué aprendí?

112 114 115 116

8

Matemática 6

50 51 52 54 56 57

104 106 108 110


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UNIDAD 5: Ecuaciones

118

¿Cuánto sabes?

120

Lenguaje algebraico Igualdades y ecuaciones Ecuaciones con adición y sustracción Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones Ecuaciones con incógnitas a ambos lados Estudio de las soluciones Mi progreso

122 124 126 128 130 132 133

Buscando estrategias Conexiones Síntesis ¿Qué aprendí?

134 136 137 138

UNIDAD 6: Datos y azar

140

¿Cuánto sabes?

142

Población, muestras y variables Medidas de tendencia central: media aritmética Mediana y moda Mi progreso Análisis de la información Experimentos aleatorios Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Probabilidad Mi progreso

144

Buscando estrategias Conexiones Síntesis ¿Qué aprendí?

162 164 165 166

146 148 151 152 154 156 158 160 161

SOLUCIONARIO

168

BIBLIOGRAFÍA

180

ICONOS

¿QUÉ DEBES RECORDAR?

NO OLVIDES QUE…

TRABAJA EN GRUPO

Índice

9


UNIDAD 1 (10-25)

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UNIDAD

1

Números

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Efectuar multiplicaciones y divisiones de fracciones positivas utilizando diversos procedimientos. • Efectuar multiplicaciones y divisiones de números decimales positivos utilizando diversos procedimientos. • Estimar resultados de multiplicaciones y divisiones con números decimales. • Redondear cifras decimales y evaluar la pertinencia de las aproximaciones según el contexto. • Resolver problemas en contextos diversos aplicando las operaciones con fracciones positivas y números decimales positivos.

10 Unidad 1


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CONVERSEMOS DE... El Índice de Masa Corporal se utiliza como indicador nutricional desde principios de 1980 y es el método más práctico para evaluar el grado de riesgo asociado con la obesidad. En adultos, se considera saludable cuando el valor del IMC está entre 18 y 25. En los niños y niñas, este valor depende de su edad y sexo. En la tabla se destaca la columna que se considera saludable. Niños

Normal

Sobrepeso

Obesidad

11 años Menos de 15,0

15,1 a 20,2

20,3 a 21,2

Más de 21,3

12 años Menos de 15,4

15,5 a 21,0

21,1 a 22,1

Más de 22,2

13 años Menos de 16,0

16,1 a 21,8

21,9 a 23,0

Más de 23,1

Normal

Sobrepeso

Obesidad

11 años Menos de 14,9

15,0 a 20,8

20,9 a 22,0

Más de 22,1

12 años Menos de 15,4

15,5 a 21,8

21,9 a 22,9

Más de 23,0

13 años Menos de 15,9

16,0 a 22,5

22,6 a 23,9

Más de 24,0

Niñas

Bajo Peso

Bajo Peso

Descripción de IMC: Wikipedia, tabla de IMC adolescentes: www.inta.cl

Observa las tablas y responde, considerando que el IMC se calcula utilizando la siguiente fórmula: peso (kg) IMC = altura (m2) 1. María tiene 12 años y su IMC es 17,5. ¿Podrías decir que su estado es saludable?, ¿por qué? 2. Juan tiene 13 años y su IMC es 22,4. ¿Podrías decir que su estado es saludable?, ¿por qué? 3. ¿Cuál es tu IMC? 4. ¿Qué debes hacer para tener un estado saludable según el cálculo del IMC?

Números

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Simplifica las fracciones hasta que sean irreductibles. a)

145 105

c)

44 99

e)

32 1 024

b)

128 48

d)

42 96

f)

49 147

e)

3

7 9

f)

1

99 101

2. Transforma cada número mixto a fracción impropia. a)

4

6 7

c)

8

4 5

b)

2

3 5

d)

1 11 15

3. Escribe en tu cuaderno cómo se leen los siguientes números decimales: a) 8,15 b) 42,8

c) 3,007 d) 2,1208

e) 6,214 f) 0,05

4. Escribe las siguientes fracciones decimales como números decimales. a)

1 10

c)

28 10 000

e)

b)

104 10

d)

39 100

f)

107 1 000 49 10

5. Escribe como fracción decimal los números que aparecen en cada oración. a) b) c) d) e) f)

La temperatura máxima fue de 26,8 ºC La estatura de mi hermano es 1,72 m Un atleta corrió 32,5 km El promedio general de un curso es 5,5 El valor del dólar es $ 534,7 El nivel de agua caída las últimas 24 horas es 5,8 mm

6. Completa con el signo <, > o =, según corresponda. a) 1,25 b) 9,27

12 Unidad 1

2,71 9,162

c) 35,8 d) 7,2

3,58 7,20

e) 8,01 f) 0,99

8,001 0,909


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7. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de números decimales: a) 0,2; 1,3; 0,006; 0,8 b) 0,5; 0,05; 1,005; 1,00 c) 1,25; 0,25; 2,05; 0,75 8. Resuelve las siguientes operaciones: a) b) c) d) e) f)

0,78 + 0,789 + 34 + 42,8 500 – 56,89 – 36,008 + 24,9 45,3 – 12,5 0,6 + 0,8 + 0,06 – 0,006 476,25 + 12,879 – 200,05 300 – 193,65 + 52,08

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Para sumar o restar fracciones, se buscan fracciones equivalentes que tengan igual denominador, de modo de sumar o restar los numeradores. • Para ordenar fracciones puedes utilizar la relación: a c b < d si y solo si ad = bc • Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, luego, la parte decimal. • Para ordenar números decimales debes comparar, primero, la parte entera y, luego, uno a uno los dígitos decimales correspondientes a cada posición en la parte decimal. • Para sumar y restar números decimales debes ordenar los números de manera que la coma decimal quede en la misma posición. Luego, sumar o restar como si fueran números naturales y en el resultado escribir la coma donde corresponde.

Números

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Multiplicación de una fracción por un número natural ¡Observa esta gran diferencia! Número mixto

3

Multiplicación de fracciones

Tres tartas de frutas se partieron en 16 partes iguales cada una. Los siguientes diagramas representan las tartas, y la parte pintada, el pedazo que se comió Emilio de cada una. Observa. 1era tarta

1 = 3• 1 16 16 49 = 16

2da tarta

3era tarta

3 16

PARA DISCUTIR • ¿A qué fracción de una tarta corresponde cada pedazo que se comió Emilio? • ¿Qué fracción representa el total que se comió Emilio?, ¿cómo lo calculaste? • Si multiplicas la cantidad de pedazos de tarta que se comió Emilio por la fracción de la tarta que representa cada uno, ¿obtienes el mismo resultado?

Una forma de multiplicar un número natural por una fracción es multiplicar este número por el numerador de la fracción, conservando el denominador. Por ejemplo: 4•

3 4 • 3 12 = = 7 7 7

NO OLVIDES QUE... Al multiplicar un número natural (n) por una fracción

( ba ), se obtiene como producto

otra fracción que mantiene el denominador y cuyo numerador corresponde al producto entre el número natural y el numerador de la fracción. En general: a n•a n• = b b

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Unidad 1


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Unidad 1

EN TU CUADERNO 1. Calcula y expresa el resultado como fracción irreductible o número mixto, según corresponda. a) 2 •

1 3

c) 7 •

b) 5 • 2 6

3 7

e) 8 •

d) 4 • 1 12

f) 5 9

4 5

g)

18

h) 7 8

1

1 4 •

10

2

2. Completa para que se cumpla cada igualdad. a)

7 18

=

7 9

b)

27 3

= 36

c) 8 •

=

2 3

3. Resuelve las siguientes situaciones y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste. 1 1 1 a) Para hacer una torta se necesita: 1 taza de azúcar, 3 tazas de harina, 1 kg de 2 2 4 1 crema y kg de manjar. ¿Cuánto necesitas para hacer 3 tortas iguales a la anterior? 2 1 b) Marcela utilizó 2 paquetes, de 6 panes cada uno, para preparar completos. 3 ¿Cuántos panes utilizó en total? 3 kg de fruta para su casa. Si al otro día tuvo que comprar nuevamente 4 esta misma cantidad de fruta, ¿cuánto compró en total?

c) Lucía compró

d) Mónica ha multiplicado la fracción un noveno por un número natural y el resultado es una fracción igual a dos unidades. ¿Por qué número natural ha multiplicado Mónica? e) Un cuarto de hora equivale a 15 minutos. ¿A cuántos minutos equivalen tres cuartos de hora? 1 de una pizza grande. 8 Si Daniel compra doce porciones para compartir con su familia, ¿cuánta pizza compró?

f) En la pizzería de Manuel, cada porción de pizza corresponde a

3 de 8 kilogramo. Si le regaló a su nieta siete frascos, ¿cuánta mermelada en total recibió su nieta?

g) Doña Ursula prepara mermelada todos los veranos y la guarda en frascos de

h) Enrique lleva dos botellas de bebida, de

2

1 litros cada una, para celebrar el cumpleaños 2

de su primo. ¿Cuánta bebida lleva?

Números

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Multiplicación de fracciones En una parcela, la mitad del terreno está sembrado. De esta parte, están sembradas 3 con maíz. Observa el diagrama que representa 4 esta situación.

Azul terreno sembrado Morado terreno sembrado con maíz 1 2

3 4

PARA DISCUTIR • Si la mitad del terreno se divide en cuatro partes iguales, ¿qué fracción del terreno del terreno representa la parte que ocupa el maíz? • Entonces, tres de estas partes, ¿a qué fracción del terreno corresponde? ¿Cómo se relacionan estas fracciones?

Como puedes ver, del terreno está ocupado por maíz. Esto se puede calcular mediante el siguiente procedimiento: 1 2

3 1•3 3 = = 4 2•4 8

Por lo tanto, el sembrado de maíz ocupa las 3 partes del terreno 8 total.

NO OLVIDES QUE... El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador corresponde al producto de los denominadores, y el numerador es el producto de sus numeradores. En general: a c a •c • = b d b •d

16 Unidad 1


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Unidad 1

EN TU CUADERNO 1. Calcula el valor de los siguientes productos. Observa el ejemplo: 15 8

4 15 = 5 8

a)

3 2

10 9

c)

3 11

b)

3 4

8 3

d)

7 3

4 3•1 3 = = = 5 2•1 2

1

2

2 10 6 11

3 28

1 2 e)

7 3

f)

19 7

6 11 14 3

45 5 21 2

2. Transforma los números mixtos a fracción impropia y, luego, multiplica. 5 • 1 • 1 2 4 27 7 36 1 3 b) 3 5 • d) 5 •1 f) •4 • 3 36 145 6 3 1 3. La familia de Margarita gasta de sus ingresos en alimentación. De esta parte, se utiliza 5 2 para los almuerzos del fin de semana. a)

2

3 4

3 11 1 46

2

c)

2 5 3 8

2

3 6 9 43

e)

7

a) ¿Qué fracción del ingreso familiar se utiliza para los almuerzos de fines de semana? b) Si el ingreso familiar es $ 240 000, ¿cuánto dinero se destina para estos almuerzos?

ESTRATEGIA MENTAL Para multiplicar fracciones, en ocasiones, es más fácil simplificar los factores antes de calcular la multiplicación. Observa: 8 16

5 1 = 25 2

1 1 = 5 10

Es decir, cada fracción se simplifica antes de multiplicar.

Otras veces, se pueden utilizar las propiedades de los números y, luego, simplificar. Observa: 21 33

21 • 10 21 • 10 10 21 = = = 42 • 33 33 • 42 42 42

10 1 = 33 2

10 10 = 33 66

Utiliza la estrategia anterior y calcula mentalmente las siguientes multiplicaciones: 14 25

45 = 21

16 27

33 = 24

36 23

46 = 66

28 55

15 = 56

12 30

40 = 16

Números

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División de fracciones Un carpintero tiene una tabla de 6 m de largo para hacer una repisa

Este año utilizaremos el concepto de “recíproco” de un número. Ejemplo: 3 4 5 1 7 3

su recíproco es su recíproco es su recíproco es

y desea cortarla en pedazos de

4 3 1 5 3 7

3 m. Observa cómo lo calculó. 4

1er pedazo 2o pedazo 3o pedazo 4o pedazo 5o pedazo 6o pedazo 7o pedazo 8o pedazo 1m dividido en 4 partes iguales

0

2m

3m

4m

5m

PARA DISCUTIR • ¿Cuántos pedazos obtuvo? • ¿De qué otra manera podrías resolver esta situación?

Un procedimiento para resolver esta situación es el siguiente: 6: 3 =6• 4 = 6•4 = 3 =8 4 3 3 8 recíproco

NO OLVIDES QUE... Uno de los procedimientos para: • dividir un número natural por una fracción es multiplicar el número natural por el recíproco de la fracción. 4 2 3 8•3 4•3 Ejemplo: 8: =8• = = = 12 3 2 2 1 1

• dividir una fracción por otra fracción es multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. 4 5 7 5 8 5•8 20 : = • = = Ejemplo: 6 8 6 7 6•7 21 3

18 Unidad 1

6m


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Unidad 1

EN TU CUADERNO 1. Determina el recíproco de las siguientes fracciones: a)

5 6

b)

8 9

c)

1 2

d)

2 5

e) 3

f)

1 8

2. Calcula las siguientes divisiones: a) 4:

4 = 3

d) 16 :

8 = 3

b) 5:

10 = 3

e) 10 :

10 = 7

c) 8 :

9 = 11

f)

4 :8= 5

g)

1 1 : = 7 14

8 9 : = 9 8 45 15 i) : = 13 26 h)

j)

2

1 5 : = 3 6

17 6 :3 = 20 15 1 1 l) 4 :2 = 3 3 k)

3. Resuelve y explica cómo lo calculaste en cada caso. 1 3 hay en ? 5 10 1 b) ¿Cuántos hay en 9? 3

3 hay en 12? 4 3 d) ¿Cuántos hay en 3? 8

a) ¿Cuántos

c) ¿Cuántos

4. Lee atentamente y resuelve. a) ¿Cuántos cuartos de hora hay en medio día?, ¿cómo lo calculaste? b) Si se corta un alambre de 2 m de longitud en pedazos de

1 m, ¿cuántos pedazos se cortaron? 8

c) En un campamento scout los jefes reparten los alimentos en forma equitativa. Si el primer 1 día se repartieron 24 sandías divididas en pedazos de , sin que sobrara nada, ¿cuántas 8 personas había en el campamento? d) Si el cociente de una división es e) Si el divisor de una división es

2 4 y el dividendo es , ¿cuál es el divisor? 3 9

2 y el cociente es 4, ¿cuál es el dividendo? 15

f) Si una fracción se divide por sí misma, ¿qué resultado se obtiene? Verifícalo con 3 ejemplos.

Números

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Operaciones combinadas Laura y Manuel tienen que resolver el siguiente ejercicio: 2 3

4 2 + 5 15

Observa cómo lo calculan. Lo hace de dos maneras distintas, ¿cuál es la correcta? La prioridad de las operaciones es la misma usada para los números naturales.

Laura lo hace así: 2 3

2 3

2 3

Manuel lo hace así:

4 2 + = 5 15

2 3

12 + 2 15 15

8 15

14 15

4 2 + = 5 15

+

2 15

10 2 = 15 3

28 45

PARA DISCUTIR • ¿Cuál de los dos procedimientos es el correcto?, ¿por qué? • ¿De qué otra manera podrías resolver esta situación?

NO OLVIDES QUE... • Para resolver ejercicios donde hay más de una operación involucrada, debemos respetar la siguiente prioridad en las operaciones: 1o Paréntesis (si los hay). 2o Multiplicación y división. 3o Adición y sustracción. • Si en un ejercicio aparecen operaciones que tengan la misma prioridad, estas se resuelven de izquierda a derecha o según el orden en que aparezcan.

20 Unidad 1


UNIDAD 1 (10-25)

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Unidad 1

EN TU CUADERNO 1. Calcula. Recuerda simplificar cada vez que sea posible. a)

(

b) 1 + 4 c) 4 • 5 d)

)

1 3 1 + – = 3 2 3 2 – 3 = 5 10 3 : 2 = 7 7

( ) 4 : 7 – 5 = 5 (3 4)

e) 3 – 5 + 7 = 4 8 12 f)

7 + 5 : 4 = 12 9 24

h) 2 3

9 + 2 = 10 3

(2 35 – 45 ) ( 105 + 12 ) = n) (7 – 4 1 ) + (3 1 – 2 ) = 12 4 3

i)

1 2

(6 15 – 25 ) =

ñ) 8 – 1 2

j)

4

g)

( 34 – 12 ) : 165 =

1 + 2 3 5

(3 12

1 = 5

)

–2 1 •1 1 = 3 4 3 1 3 l) – + = 4 5 20

k)

m)

1 : 2 + 2 = 13 3 4 o) 15 – 5 – 2 • 2 = 9 3 6 •

(

)

( 45 : 63 ) 2 34 = 3 5 9 –4 = q) 3 : 7 10 ( 6 10 )

p)

2. Resuelve los siguientes problemas. 3 1 de su tarea y Andrea solo hizo de lo que hizo Verónica. ¿Qué parte de la 5 3 tarea realizó Andrea?

a) Verónica hizo

1 b) De los 150 CD de música que tiene Mauricio, se los prestó a su amiga Daniela. 2 1 Pero Daniela perdió de esos CD, ¿cuántos CD le pudo devolver Daniela a Mauricio? 3 c) En un cumpleaños había tres tortas. Cada una de ellas se dividió en 16 partes iguales. Si en 1 total se comieron 2 tortas, ¿cuántos pedazos sobraron? 4 1 de su capacidad, pero si le agregamos 126 L el agua 5 llega hasta la mitad. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

d) Un estanque contiene agua hasta

e) Pedro y Pablo son conductores de bus y hoy han ido de Santiago a Puerto Montt. En el viaje 3 de ida, Pedro manejó del camino y Pablo el resto. En el viaje de vuelta, en cambio, ambos 7 manejaron durante la mitad del camino. • En total, ¿qué fracción del camino manejó cada uno? • Si un viaje a Puerto Montt dura, en promedio, 14 horas, ¿cuántas horas manejó Pedro?, ¿cuántas horas manejó Pablo?

Números

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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Usando una planilla de cálculo, resuelve multiplicaciones y divisiones de fracciones. Sigue las instrucciones. 1o En A1 escribe “Fracción 1”, en B1 “Fracción 2”, en C1 “Operación” y en D1 “Resultado”. En las celdas A2 y B2 anota 2/5 y 10/21, respectivamente. 2o Para que las fracciones anotadas aparezcan como fracción propia o número mixto, selecciona todas las celdas (A2 a D3), haz clic con el botón derecho y elige Formato de celdas. Luego elige Fracción, y Hasta tres dígitos. 3o En las celdas correspondientes a “Operación” escribe la operación que se realizará. Para esto observa la pantalla. Ejemplo: producto de fracción 1 y fracción 2. 4o Luego, marca la celda D2, haz doble clic en ella y anota =A2*B2. Presiona enter. Así aparecerá el producto de la “Fracción 1” con la “Fracción 2”. 5o En D3 escribe =A2/B2. Esto te arrojará el valor del entre la “Fracción 1” y la “Fracción 2”.

1. Escribe una fracción en A2 y otra en B2 y observa los resultados que obtienes. 2. Remplaza distintos valores en cada caso, y a partir de los resultados obtenidos, determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a) El producto de dos fracciones impropias es una fracción impropia. b) Al dividir una fracción propia por una impropia, el cociente es una fracción impropia. c) El cociente entre dos fracciones propias puede ser una fracción impropia.

22 Unidad 1


UNIDAD 1 (10-25)

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Unidad 1

MI PROGRESO Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 y 2. 1. El valor de 2 + 1 3 7 A. 9 4

(

21 es: 4 B. 1

C.

3 2

D.

17 12

)

2. El resultado de 2 – 1 : 7 es: 5 3 10 1 2 A. B. 15 21

5 3 D. 7 7 1 1 kg de harina en bolsas de kg. 3. En el almacén de don Jorge necesitan guardar 3 3 4 C.

a) ¿Cuántas bolsas necesitan como mínimo? 1 b) Si las bolsas fueran de 8 kg, ¿cuántas bolsas llenarían? 4. Florencia ayuda a su mamá a cocinar, ella le pidió que mezclara con una cuchara harina y chocolate para preparar un queque. 3 1 kg de harina y kg de chocolate en polvo y lo mezcló muy 4 4 bien. Si luego le sacó la mitad la mezcla, ¿cuántos kilogramos de chocolate en polvo quedó en el bol? 1 b) Su mamá le dijo que le faltaba harina, entonces agregó al resto kg de 4 harina, y mezcló. Al sacar 1 de lo que ahora tiene, ¿cuánto chocolate quedó 5 ahora en el bol? a) En un bol puso

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla:

no

Respuesta correcta

3

Resolver un problema, planteando y calculando multiplicaciones de fracciones.

4

tu

Resolver un problema, planteando y calculando divisiones de fracciones.

cu ad er

1y2

en

Calcular operaciones combinadas con fracciones.

Preguntas

re sp on de

Criterio

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste.

Números

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UNIDAD 1 (10-25)

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Interpretación de números decimales Lee las siguientes afirmaciones y fíjate en los datos numéricos que allí aparecen: • Según el último censo, en Chile viven, aproximadamente, 7,6 millones de mujeres (consultado en www.ine.cl). • Las ciudades de La Serena y Coquimbo se encuentran a una distancia de 10,3 km (consultado en www.vialidad.cl). • El monito del monte, uno de los mamíferos más pequeños de Chile, mide entre 22,8 cm y 24,5 cm.

PARA DISCUTIR • • • •

¿Qué representa cada uno de estos números decimales? ¿A qué equivale 6 décimos de un millón? ¿Cuánto es 10,3 km, expresados en metros?, ¿cómo lo calculaste? ¿Cómo se interpretan los valores decimales en la altura del monito del monte? • ¿Puedes comparar la cantidad de mujeres que hay en Chile con la distancia entre La Serena y Coquimbo?, ¿por qué? • ¿Cuándo crees que es útil escribir medidas expresadas en números decimales? Justifica.

NO OLVIDES QUE... • La interpretación de un número decimal depende de la unidad de medida asociada a él.

EN TU CUADERNO 1. El Estadio Nacional tiene capacidad, máxima para 65 mil personas. En cambio, el Estadio Monumental tiene una capacidad máxima para 0,045 millones de personas. a) Al leer estas cantidades, ¿puedes visualizar fácilmente a cuántas personas corresponden? b) ¿Cómo las expresarías para solucionar esto?

24 Unidad 1


UNIDAD 1 (10-25)

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Unidad 1 2. Para realizar una extensión eléctrica, José compró 6 metros de cable. Al llegar a su casa se dio cuenta de que solo necesitaba 4 metros y 30 centímetros. a) ¿Cuánto cable le sobró? b) Si 1 metro de cable le costó $ 650, ¿cuánto pagó por el cable que compró? c) ¿Cuánto dinero habría ahorrado si hubiese comprado solo lo que necesitaba? 3. El último año en que ocurrió el fenómeno del Niño, el promedio de agua caída en Santiago fue 709,3 mm, siendo el promedio normal de 312,5 mm. En cambio, al año siguiente, nos afectó el fenómeno de la Niña, registrándose solo 89,3 mm en Santiago (consultado en www.meteochile.cl). a) ¿Cuántos milímetros representa el dígito 3 en cada promedio de agua caída? b) ¿Puedes saber en qué año llovió más?, ¿cómo? 4. Observa el ejemplo y luego escribe en tu cuaderno una equivalencia. 2,3 kilogramos a) 6,8 kilogramos b) 10,3 toneladas c) 4,2 centímetros

2 kilogramos

y

300 gramos

d) 20,5 años e) 27,3 metros f) 0,25 años

5. Considerando que 1 hora es equivalente a 60 minutos y 1 minuto es equivalente a 60 segundos, observa el ejemplo y escribe una equivalencia para cada caso. 2,6 horas a) 3,2 horas b) 0,25 horas c) 10,4 minutos

2 horas

y

35 minutos

d) 250 minutos e) 11,6 horas f) 150 segundos

6. Considerando que un metro equivale a 100 cm y 1 cm equivale a 10 mm, decide qué medida es mayor en cada caso. a) b) c) d) e) f)

35 cm 140 mm 6,7 cm 0,04 m 22,5 mm 4,8 m

0,3 m 0,2 m 65,9 mm 4 cm 2,27 cm 475,8 mm

Números

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Multiplicación de números decimales Uno de los principales indicadores económicos es la UF (unidad de fomento), la cual se reajusta según la variación del IPC (índice de precios al consumidor). Carolina y Javier deben pagar el dividendo de su departamento, que corresponde a 4,6 UF. El valor de cada UF es de $ 21 007,16 (al 3 de octubre de 2008). Observa cómo calculó cada uno cuánto dinero tenían que pagar. Carolina lo calculó así:

Expresando los decimales como fracción 2 100 716 100

46 10

2 100 716 • 46 1000

Javier lo calculó así:

Multiplicando como números reales 2 100 7,16 12604296 + 8402864

4,6

96 632,936

96 632 936 1000 96 632,936

A

PARA DISCUTIR yuda

Recuerda que nuestra moneda nacional, el peso, solo considera valores enteros, por lo tanto debemos aproximar.

• Si multiplicamos 21 007 por 4, ¿corresponde al valor total en pesos del dividendo que deben pagar?, ¿por qué? • Considerando el valor de la UF dado, ¿cuánto deben pagar, en pesos?, ¿cuánto pagarían hoy? • ¿Cuál de las estrategias consideras más sencilla?, ¿por qué?

NO OLVIDES QUE... Para multiplicar dos números decimales puedes utilizar alguno de estos procedimientos: • Transformar los números decimales a fracción, multiplicar y, finalmente, escribir el producto como número decimal. • Multiplicar como si fueran números naturales y en el producto escribir la coma según la cantidad de cifras decimales que tengan en total ambos factores. 26 Unidad 1


UNIDAD 1 (26-37)

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Unidad 1

EN TU CUADERNO 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando los dos procedimientos anteriores. a) b) c) d) e) f)

2,26 • 4 = 4,5 • 2,3 = 0,05 • 0,2 = 0,125 • 8 = 14,2 • 5,21 = 11,36 • 1,16 =

g) h) i) j) k) l)

14,3 • 10 = 25,68 • 4,26 = 4,12 • 0,15 = 46,05 • 100 = 84,015 • 2,1 = 42,5 • 1,12 =

m) n) ñ) o) p) q)

125 • 0,1 = 42,5 • 0,1 = 214 • 0,01 = 58,2 • 0,01 = 512 • 0,001 = 413,05 • 0,001 =

2. Resuelve las siguientes situaciones. a) Si una caja pesa 67,5 kilogramos, ¿cuánto pesan 100 cajas iguales a la anterior? b) Marco recorre en bicicleta 18,9 km en una hora. ¿Cuánto recorrerá en 4 horas? c) Un litro de aceite tiene una masa de 0,92 kg. ¿Cuál es la masa de 8 bidones de 10 litros cada uno? d) El precio de un barril de petróleo es US$ 69,86. Si una empresa compra 35 barriles, ¿cuántos dólares se deben cancelar? Si un dólar equivale a $ 538, ¿cuántos pesos se deben pagar? e) Pablo está calculando cuánto deberá pagar cada mes por un crédito de consumo a 10 meses, de 28,97 UF en total (incluido los intereses). Todas las cuotas deben ser del mismo valor. ¿Cuánto es el monto aproximado de cada cuota? Averigua el valor actual de la UF y resuelve.

EN EQUIPO En esta actividad van a practicar un procedimiento para calcular mentalmente multiplicaciones con números decimales. Formen grupos de 4 integrantes y sigan las instrucciones: 1. Observen y obtengan un procedimiento para multiplicar mentalmente los siguiente números: 12 • 0,25 = 12 • 1 : 4 = 12 : 4 = 3 16 • 0,75 = 16 • 3 : 4 = 48 : 4 = 12 2. Confeccionen un dado que tenga escrito en sus caras los números 0,25; 0,5; 0,75; 1,25; 1,5; 1,75. 3. Elaboren 8 tarjetas con los siguientes números: 4, 10, 16, 20, 32, 50, 100 y 1000. 4. Cada integrante, por turno: 1º Saca una tarjeta. 2º Lanza el dado. 3º Calcula lo más rápido posible el resultado del producto entre el número que está en la tarjeta con el número obtenido en el dado. 4º Si responde correctamente recibe 1 punto; si no, pierde un punto. 5. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos. Números

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División de números decimales Al dividir dos números decimales se pueden presentar los siguientes casos: • El dividendo es un número decimal y el divisor es un número entero. Ejemplo: 51,4 : 4 = 12,85 11 34 20 0

o bien,

514 : 4 514 1 514 = = = 12,85 · 10 1 10 4 40

• El dividendo es un número entero y el divisor es un número decimal. Ejemplo: multiplico ambos números por 10, pues 1,6 tiene una cifra decimal 420 : 1,6 = 4200 : 16 = 262,5 o bien, 100 40 80 0

420 : 16 420 10 4 200 = = = 262,5 · 1 10 16 16

• El dividendo y el divisor son números decimales. Ejemplo: multiplico ambos números por 100, pues 1,25 tiene dos cifras decimales 10,5 : 1,25 105 : 12 = 8,75 90 60 0

10 5000 o bien, 1050 : 125 1050 100 = = = 8,4 · 10 100 100 125 12 500

PARA DISCUTIR • ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más simple?, ¿por qué?

NO OLVIDES QUE... Al multiplicar el dividendo y el divisor de una división por una misma potencia de 10, obtienes una división equivalente a la original, la cual tendrá el mismo cociente. 28 Unidad 1


UNIDAD 1 (26-37)

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Unidad 1

EN TU CUADERNO 1. Calcula las siguientes divisiones y comprueba multiplicando. Observa el ejemplo. 23,4 : 0,2 = 117, luego, 117 • 0,2 = 23,4 a) b) c) d)

254 : 5 = 180,48 : 3,76 = 4,53 : 0,04 = 129,6 : 36 =

e) f) g) h)

0,036 : 0,03 = 2,675 : 0,5 = 104,4 : 75 = 67,44 : 5,62 =

i) j) k) l)

0,869 : 5 = 371,2 : 100 = 8,208 : 1,71 = 2,2 : 1000 =

2. Resuelve y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste. a) Un trozo de cartulina que mide 49 cm de largo y 3 cm de ancho, se usa para confeccionar tarjetas de 3,5 cm de largo por 3 cm de ancho cada una. ¿Cuántas tarjetas del tamaño indicado se pueden obtener si se utiliza al máximo la cartulina? b) Repite la actividad anterior considerando las medidas dadas en la tabla.

Medidas de las tarjetas Medidas de la cartulina Largo

Ancho

Largo

1,75 cm

3 cm

49 cm

2,5 cm

3 cm

49 cm

2,5 cm

3 cm

30 cm

Cantidad de tarjetas que se obtienen o rn de a u uc t n ee d n po res

3. Alberto lleva en su camión una caja de 75 ladrillos iguales. El peso total de la caja es de 172,5 kg. ¿Cuál es el peso de un ladrillo? 4. Fernanda tiene un rollo de cable de 445,5 m y lo tiene que partir en 15 trozos iguales. ¿Cuántos metros medirá cada trozo? 5. Un depósito contiene 225,5 litros de agua y se echa en partes iguales en 5 recipientes. ¿Cuántos litros de agua se echan en cada recipiente? 6. Observa lo que ha recibido Pablo en su tienda y luego responde. • 15 sacos iguales de arroz 382,5 kg • 8 sacos iguales de azúcar 158,4 kg • 35 cajas iguales de naranjas 1 606,5 kg • 42 cajas iguales de tomates 1 486,8 kg a) b) c) d)

¿Cuánto pesa un saco de arroz? ¿Cuánto pesa un saco de azúcar? ¿Cuánto pesarán 2 cajas de naranjas? ¿Cuánto pesarán 3 cajas de tomates? Números

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UNIDAD 1 (26-37)

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Aproximación en operaciones con números decimales Pamela obtuvo promedio 6,74 en Sociedad y Andrea, 6,68. Al ver sus resultados finales en la libreta de notas, se dieron cuenta de que su profesora había aproximado las notas por redondeo a los décimos.

PARA DISCUTIR • ¿Qué diferencia habría en el promedio final de un alumno con promedio 5,96 si se aproxima por redondeo o truncamiento? Aproxima y compara los resultados. • ¿Qué alumna obtuvo mejor promedio, originalmente? • Después de aproximar, ¿cómo cambiaron los promedios de las alumnas?, ¿por qué? • ¿Qué diferencia hay entre redondear y truncar? • ¿Por qué es necesario aproximar cuando trabajas con cifras decimales? • ¿En qué situaciones crees que es más práctico aproximar?

Ahora, observa cómo aproximar por redondeo: Al décimo

Estrategia

Al centésimo

4,237

1. Ubicar el valor del dígito a aproximar.

4,237

4,237

2. Fijarse en el dígito que está a su derecha. 3. Si este es mayor o igual que 5, sumas 1 al dígito anterior. Si es menor que 5, no cambia. 4. Eliminas todos los dígitos de su derecha.

4,237

4,237 4,2

4,237 4,24

Y por truncamiento: eliminamos las cifras decimales para trabajar con el número entero o con menor cantidad de cifras decimales. Número truncado Número

Al décimo

Al centésimo

Al milésimo

23,3456

23,3

23,34

23,345

NO OLVIDES QUE... La aproximación por redondeo o truncamiento nos permite estimar cálculos con números decimales, antes de realizar los cálculos exactos. La estrategia más adecuada dependerá de la situación y de los números involucrados. 30 Unidad 1


UNIDAD 1 (26-37)

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Unidad 1

EN TU CUADERNO 1. Aproxima cada número redondeando a las unidades y luego calcula el producto o cociente según corresponda. a) 4,32 • 8,25 = b) 7,58 • 4,06 =

c) 8,25 : 5,1 = d) 6,54 : 2,4 =

e) 10,86 • 11,3 = f) 14,72 : 1,6 =

• Usa una calculadora para comprobar cómo estuvieron tus aproximaciones. 2. El valor de la UF el día 27 de septiembre de 2008 fue de $ 20 969,55. En cada caso, aproxima para estimar el resultado y luego verifica con una calculadora. a) Javier tenía $ 300 000 y realizó un depósito en UF ese día, ¿cuántas UF pudo depositar? b) Paulina está postulando a un subsidio para comprar una casa. Si este subsidio corresponde a 150 UF, ¿cuál será la cantidad, en pesos? c) Un casa cuesta 1 500 UF. Si se paga en 20 años, en total se cancela 2,25 veces su valor. Aproximadamente, ¿cuántas UF se pagarían en esa cantidad de años?

MI PROGRESO Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 y 2. 1. El valor de 3,12 • 0,13 es: A. 0,4056 B. 0,04056 C. 4,056 D. 40,5616.

2. Al redondear a los décimos el número 7,6857 se obtiene: A. 7,6 B. 7,7 C. 7,68 D. 7,69

3. El automóvil de Víctor tiene un rendimiento de 20,3 km por cada litro de bencina, y el precio de la bencina es de $ 815,51 el litro. a) Si el estanque tiene una capacidad de 30,5 litros, ¿cuánto debe pagar para llenarlo? b) Si decide viajar fuera de la ciudad, y el recorrido total fue de 613,45 km, ¿Cuántos litros de bencina consumió? ¿Cuánto dinero gastó en bencina en este viaje? Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla: Indicador

Preguntas

Calcular el producto de dos números decimales.

1

Aproximar un número decimal por redondeo

2

Resolver un problema, planteando y calculando una multiplicación de números decimales.

3a

Resolver un problema, planteando y calculando multiplicaciones y divisiones de números decimales.

3b

Respuestas correctas

e nd o sp re

en

tu

o rn e ad cu

Números

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

El perro de Matías tiene alergia a las pulgas. El veterinario le recetó un medicamento. La receta decía:

Pulguix de 4,5 mg 2,5 mL cada 4 horas por 5 días

1. Si los frascos del medicamento traen 20 mL, ¿le alcanza para el tratamiento completo o tiene que comprar más de un frasco? 2. ¿Cuánto medicamento debe darle diariamente? Comprender • ¿Qué sabes del problema? La cantidad de medicamento indicado en la receta: 2,5 mL cada 4 horas por 5 días. La cantidad que contiene cada frasco: 20 mL • ¿Qué debes encontrar? La cantidad de medicamento que le da en un día. La cantidad total de medicamento que necesita para los 5 días. Cuántos frascos de medicamento necesita comprar. Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Para obtener la cantidad de medicamento al día, divide las horas del día por el número de horas entre cada dosis, y luego multiplícalo la dosis. Y para obtener la cantidad total del medicamento, multiplica la cantidad de días, por la cantidad de medicamento al día. Luego divide el total por la cantidad de medicamento que hay en un frasco, para saber cuántos frascos necesita comprar. Resolver • 24 : 4 = 6 Debe darle 6 veces en el día el medicamento. • 2,5 • 6 = 15 mL Matías debe darle a su gato 15 mL de medicamento por día. • 5 • 15 = 75 mL necesita para los cinco días. • 75 : 20 = 3,75 Responder • Debe comprar 4 frascos de medicamento en total, ya que debe tomar 15 mL de medicamentos por día. Revisar • Busca junto a tus compañeros y compañeras otra forma de resolver el problema y verifiquen sus resultados.

32 Unidad 1


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1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones: a) Patricia enfermó de gripe. Su médico le recetó 7 mL de un medicamento que debe tomar 4 veces al día durante 7 días. Si el envase del medicamento contiene 50 mL. • ¿Cuántos mL de medicamento debe tomar por día? • ¿Cuántos frascos debe comprar? ¿Cuántos mL le sobran? b) Joaquín celebrará su cumpleaños. Para cada uno de sus invitados, su mamá repartió bebida de 1 1 Ly kg de chocolate, además de todas las golosinas que había para servirse. Si Joaquín 4 8 invitó a 24 amigos: 1 • La cantidad de bebidas de L que compró su mamá, ¿a cuántas bebidas de 1,5 L son 4 equivalentes? • Si la mamá de Joaquín compró 3,5 kg de chocolate para repartir, ¿cuánto le sobró? 1 • Si cada bebida de L le costó $ 200 y cada kilogramo de chocolate le costó $ 1 750, 4 ¿cuánto gastó en total? 2. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Para una celebración han comprado bebidas de 2

1 1 L. Si se sirvieron vasos de L, 2 4

¿cuántos vasos alcanzaron? b) Un paquete de galletas contiene 13,4 gramos de grasa por cada 100 gramos de galletas. Si el paquete de galletas tiene una masa de 500 gramos, ¿cuántos gramos de grasa contiene el paquete? c) Un sitio tiene 20 metros de largo y 12 metros de ancho. Se construye una casa que ocupa 2 3 del ancho y del largo. Con esta información responde: 3 4 • ¿Qué fracción del terreno ocupa la casa? • ¿Qué fracción queda de patio? • ¿Cuántos metros cuadrados tienen el sitio, la casa y el patio? d) El rendimiento de una motocicleta es de 23,8 kilómetros por cada litro de bencina. Si el estanque puede contener 7,5 litros de bencina, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer sin abastecerse de combustible?

Números

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CONEXIONES NACIONAL Una notable alza mostró este viernes 12 de septiembre el precio del cobre en la Bolsa de Metales de Londres, al cerrar las operaciones en 321,869 centavos de dólar la libra.

Según informó la Comisión Chilena del Cobre (Cochilco), el jueves, el metal se transó en 312,979 centavos de dólar. En el mercado de futuro a tres meses, la principal exportación chilena se vendió a 320,055 centavos de dólar, mientras que el jueves fue de 311,437 centavos de dólar El promedio mensual llegó a 323,067 centavos de dólar y el anual a 364,649 centavos. Fuente: www.adnradio.cl/nota.aspx?id=669748 (consultado en septiembre de 2008).

1. Si el 12 de septiembre se vendió 4 532,25 libras de cobre a una fábrica extranjera, ¿cuánto pagó, según el precio del cobre ese día? 2. Si en cambio, lo hubiera comprado el jueves 11, ¿cuánto habría pagado? 3. ¿Cuánto es la diferencia entre el valor obtenido en ambos días? 4. Don Eduardo tiene 1 000 dólares y quiere comprar cobre, ¿para cuántas libras le alcanzaría (al valor del 12 de septiembre)? 5. Averigüen el precio de la libra de cobre de hoy, ¿ha aumentado o disminuido respecto de los valores de septiembre? 6. Considerando una venta de 3 200 libras, ¿sería más rentable vender hoy o en septiembre? 7. Don Eduardo quiere vender hoy las libras que compró. a) ¿Cuánto le pagarían (en dólares)? b) ¿Cuánto ganó o perdió con la operación (en dólares)? c) Averigüen el precio del dólar de hoy, ¿cuánto le pagarían (en pesos)?

EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego comparen y comenten sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respeté las opiniones de los demás integrantes. Cumplí con las tareas que se comprometió. Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

e ond resp

rno ade u c u en t

2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

34 Unidad 1


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Unidad 1

SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema, llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos. Números

Números decimales

Fracciones Interpretación

Aproximación

Redondeo

Truncamiento

Multiplicación

División

Operaciones combinadas

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Cómo multiplicas y divides fracciones? Explícalo a través de ejemplos. 2. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada? 3. ¿De qué dependerá el significado que se dé a una cifra decimal en informaciones numéricas? 4. ¿Qué relación hay entre los factores y el producto, cuando al menos uno de los factores es menor que uno? 5. ¿Qué relación hay entre el dividendo y el divisor, si el cociente es menor que uno? 6. ¿Qué ventajas y desventajas tiene aproximar números decimales por redondeo?, ¿y por truncamiento? 7. ¿Existe alguna regla para descomponer un número entero como una suma de productos entre dígitos y potencias de 10? ¿Puedes crear una con tus palabras?

Números

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UNIDAD 1 (26-37)

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8.

1. El número 543,7689 redondeado a las décimas corresponde a: A. B. C. D.

543,8 543,77 543,769 543,768

2. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene el mayor producto? A. B. C. D.

0,1 • 1 0,2 • 0,2 0,7 • 0,3 0,8 • 0,1

5. Cuatro séptimos de catorce quintos es equivalente a: A.

2 5

B.

5 2

C.

5 8

D.

8 5

6. El resultado de 2 A.

13 4

B.

13 9

C.

11 9

D.

13 6

3. Al multiplicar 0,2 • 0,05 se obtiene: A. B. C. D.

0,001 0,01 0,1 1

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. El número de cifras decimales de un producto depende de las cifras decimales de los factores. B. Para resolver divisiones con números decimales los podemos transformar a fracción. C. En todas las operaciones con decimales se debe considerar la ubicación de la coma decimal. D. El número de cifras decimales de un cociente depende de las cifras decimales del dividendo y del divisor.

36 Unidad 1

1 3 : es 6 2

7. La expresión 2,048 • 0,01 es equivalente a: A. B. C. D.

20,48 • 0,1 204,8 • 1,0 0,2048 • 0,1 0,2048 • 1 000

8. El número decimal que se obtiene al truncar 65,034712 a la milésima es: A. B. C. D.

65,034 65,0347 65,035 65,0357


UNIDAD 1 (26-37)

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Unidad 1

9. Miguel ha multiplicado la fracción tres séptimos por un número natural menor que 10 y el resultado es una fracción menor que la unidad. ¿Cuál o cuáles son los números naturales por el que ha multiplicado Miguel? 1 de su terreno destinado a siembra de verduras. Del 5 3 terreno destinado corresponden a lechugas. ¿Qué fracción del terreno tiene 10 lechugas?

10. Un campesino tiene

11. En una casa se consume, mensualmente, 18,2 m3 de agua potable. ¿Cuántos metros cúbicos se consumen en un año? Si el precio del metro cúbico de agua es $ 230, ¿cuánto se debe cancelar mensualmente?

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación. No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Multiplicación de fracciones División de fracciones Multiplicación de decimales División de decimales Operaciones combinadas

o ern d ua uc t en de n po res

Resolución de problemas 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 10 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Números

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UNIDAD 2 (38-51)

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UNIDAD

2

Potencias

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Interpretar potencias como multiplicación iterada. • Escribir multiplicaciones como potencias. • Calcular potencias de base y exponente natural. • Multiplicar y dividir por potencias de 10. • Utilizar las potencias de 10 en la escritura de grandes números.

38 Unidad 2


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CONVERSEMOS DE... Calcular y expresar cantidades tan grandes como las aproximadamente 120 000 000 000 de estrellas de la Vía Láctea, los 348 000 km que nos separan de la luna, los 6 cuatrillones de kilogramos de la tierra o los 14,7 billones de dólares del presupuesto de Chile sería extremadamente complicado sin la ayuda de una importante herramienta de la matemática: las potencias, que nos permiten escribir en forma abreviada estos números. 1. ¿Qué es una estrella? ¿Sabes el nombre de alguna? 2. ¿Cómo crees que se podrían expresar las cantidades anteriores de manera más simple? 3. Averigua otras unidades de medida que se usen para medir las distancias en el Universo.

Potencias

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Escribe el número que corresponde a cada una de las siguientes descomposiciones. a) 90 000 000 + 4 000 000 + 700 000 + 80 000 + 5 000 + 400 + 20 + 6 b) 9 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 c) 40 000 000 + 30 000 + 20 + 1 d) 7 000 + 3 000 000 + 3 e) 100 000 + 6 000 000 + 30 000 000 + 60 000 f) 40 + 500 + 7 000 000 + 100 000 000 + 70 000 + 9

2. Escribe en tu cuaderno la descomposición aditiva correspondiente a los siguientes números. a) 7 987 675

d) 123 456 789

g) 35 909 909

b) 89 890 890

e) 12 323 090

h) 784 231 123

c) 9 345 567

f) 560 670 000

i) 909 990 099

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) 12 560 • 13

d) 45 390 • 25

g) 112 003 • 32

b) 11 • 234 500

e) 54 • 13 987

h) 65 • 240 070

c) 125 • 1351

f) 98 700 • 345

i) 111 111 • 1111

4. Calcula las siguientes divisiones.

40 Unidad 2

a) 124 : 4 =

d) 324 : 6 =

g) 380 : 2 =

b) 258 : 3 =

e) 120 : 5 =

h) 2 550 : 10 =

c) 100 : 5 =

f) 1 250 : 5 =

i) 10 000 : 10 =


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5. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones. a) 3 • 25 – 40 + 6 • 50 = b) (121 : 11 + 12) • 2 – 5 • 5 = c) 80 • 40 + 140 + 16 • 3 = d) (12 • 12 : 4) : (24 : 4) = e) 150 : 50 + 240 : 60 + 250 = f) 85 : 5 + 4 • 6 + 3 • 8 – 16 : 4 + 8 : 8 = g) 930 – 125 + 80 : 4 = h) 14 • (45 + 12) • (26 – 5 –1) – 4 • 10 = i) (18 + 52) – (2 + 17) – 1 + 25 • 4 = j) (4 • 8 – 6) • 4 – 96 : 24 = k) (1 025 – 8 • 125) : 5 = l) 2 420 + (624 • 3 – 36 • 2) • 2 = 6. Escribe como multiplicación y resuelve. Observa el ejemplo. 2+2+2+2=4•2=8 a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = b) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = c) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 d) (0,2) + (0,2) + (0,2) + (0,2) Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Una de las formas de descomponer aditivamente un número consiste en ¨separar¨ cada uno de sus dígitos según su valor posicional, luego obtener su equivalencia a unidades para relacionarlas a través de la adición. • Para resolver problemas que tengan más de una operación aritmética, debemos seguir el siguiente orden: 1o Se resuelven las operaciones que están entre paréntesis. 2o Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3o Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha. Potencias

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UNIDAD 2 (38-51)

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Concepto de potencia Tu nombre

mamá

abuelo

abuela

papá

abuelo

Un árbol genealógico es una representación gráfica que muestra los integrantes de una familia, de forma ordenada. Puede mostrar los antepasados de una persona o bien, mostrar los descendientes de una persona. Completa, en tu cuaderno, un árbol genealógico como el siguiente con los nombres de tus parientes más cercanos.

abuela Todos tenemos un padre y una madre, que son 2 personas. Como cada padre tuvo a su vez un padre y una madre y cada abuelo tuvo a su vez un padre y una madre, entonces calculemos: 2•2•2=8 Luego, todos tenemos ocho bisabuelos. Observa que la multiplicación anterior tiene el mismo factor (2) tres veces, luego se puede escribir en forma abreviada como 23. 2 • 2 • 2 = 23 Esta forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales se denomina potencia.

PARA DISCUTIR • ¿Cuántas personas fueron abuelos de tus abuelos? • ¿Qué indica cada número en una potencia?

NO OLVIDES QUE... Una potencia es la multiplicación de un factor repetidas veces por sí mismo. Al factor repetido le llamamos base y al número de veces que se repite, exponente. Ejemplo: 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 base

exponente 3 4 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 n veces

valor de la potencia

Para leer una potencia: se nombra la base, se dice ”elevado a” y luego el exponente. Así, la potencia del ejemplo sería “tres elevado a cuatro”. Por convención, el valor de una potencia de exponente 1 es igual a su base.

42 Unidad 2


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Unidad 2

EN TU CUADERNO 1. Escribe cada multiplicación como una potencia. Luego, calcula su valor. Puedes usar calculadora. a) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 b) 10 • 10 • 10 • 10

c) 12 • 12 • 12 d) 5 • 5 • 5 • 5 • 5

e) 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 f) 10 • 10 • 10 • 10 • 10

2. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor. a) 25

b) 92

c) 181

d) 37

e) 103

f) 44

3. Escribe la potencia que corresponde y calcula su valor. a) 3 elevado a 4

b) 2 elevado a 7

c) 5 elevado a 3

d) 12 elevado a 2

4. Andrés lleva, para su campamento, 3 cajas con 3 paquetes de 3 velas cada uno. a) ¿Cuántas velas lleva en total? b) Si Claudia y Gonzalo también llevan esa cantidad de velas, ¿cuántas velas llevan entre los tres? 5. Imagina que organizas una campaña solidaria con el fin de recolectar dinero para un hogar de niños. Para ello, le pides a 6 de tus compañeros $ 100 y, a su vez, los comprometes a que cada uno de ellos le pida $ 100 a otras 6 personas diferentes, y así sucesivamente. ¿Cuánto dinero se recauda al finalizar el cuarto día, sabiendo que cada día se le pidió dinero a 6 personas?, ¿cómo lo calculaste?

EN EQUIPO En grupos de 2 personas, cada uno calcule el valor de las potencias de la tabla. Luego comparen sus respuestas y respondan las preguntas.

Potencias 101

201

301

102

202

302

103

203

303

104

204

304

1. Escriban todas las características comunes que tienen las potencias de la tabla. 2. Observen los resultados obtenidos para cada columna de la tabla, ¿qué regularidad observan? Expliquen. 3. Escriban una regla que les permita calcular rápidamente las potencias de múltiplos de 10.

Potencias

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Diagrama de árbol En nuestro organismo hay un tipo de bacterias que se caracteriza porque cada una de ellas se divide y forman 2 bacterias hijas idénticas. Estas, a su vez, también forman 2 bacterias hijas idénticas, y así sucesivamente. Si se comienza con 1 bacteria y dichas divisiones se producen cada 1 minuto, ¿cuántas bacterias habrá después de 3 minutos? Observa cómo podemos representar gráficamente esta situación.

Minuto 0

Después de 1 minuto Después de 2 minutos Después de 3 minutos 22 = 4 23 = 8 21 = 2

PARA DISCUTIR • ¿Por qué podemos calcular la cantidad de bacterias con potencias de 2? • Si las bacterias se dividieran en 3 bacterias hijas idénticas cada vez, ¿cuál sería la base de las potencias?, ¿por qué? • ¿Cómo sería el diagrama de árbol en ese caso?, ¿cuántas ramas nacerían de cada bacteria?

En la situación anterior, como a partir de cada bacteria nacen 2 bacterias hijas idénticas, entonces la cantidad de bacterias que hay después de cada división corresponde a una potencia de 2. Así, en este caso, después de 3 minutos hay 23 bacterias, es decir, 8 bacterias.

NO OLVIDES QUE... Un diagrama de árbol es un tipo de representación gráfica que nos permite visualizar distintas situaciones que se resuelven mediante potencias.

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Unidad 2

EN TU CUADERNO 1. Dibuja un diagrama de árbol para resolver cada una de las siguientes situaciones. a) Vicente envió un correo electrónico a dos de sus amigos contándoles acerca de un nuevo juego de estrategias. Al día siguiente, cada uno de ellos envió el correo a otros dos amigos distintos comunicándoles esta noticia. Si esto se repite sucesivamente todos los días, ¿a cuántos niños les llega el correo el décimo día? b) En un restaurante se ofrece un menú a elección: un plato de fondo, un agregado, un postre y algo para beber. Considerando las alternativas que se muestran en la ilustración, ¿cuántos menús diferentes se pueden escoger?

MENÚ Plato de fondo Agregado Postre Para beber

: Carne, pollo o pescado. : Arroz, puré o ensalada. : Helado, gelatina o fruta. : Vino, jugo o bebida.

c) En un almacén se venden dos tipos de leche: las que contienen extra calcio y las que no. Estas además pueden tener bajo contenido de grasa o un porcentaje normal. ¿Cuántas variedades puede ofrecer cada tipo de leche, si además pueden ser con y sin sabor? d) Un juego didáctico para niños trae los siguientes cuerpos: Cada cuerpo tiene 4 tamaños y 4 colores. ¿Cuántas piezas en total tiene el juego? Expresa el resultado en potencia.

EN EQUIPO En esta actividad deberán utilizar un diagrama de árbol para representar una cadena de amistad. Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones. 1. Elaboren una carta con frases acerca de la importancia de la amistad. 2. Cada uno la copia y la envía a tres amigos o amigas (sin repetirlos). Y le pide a cada uno que no corte la cadena y que se la envíe a otros tres amigos o amigas. Pueden enviar la carta por correo electrónico o entregarla por mano. 3. Elaboren un diagrama de árbol que muestre la forma en que se distribuyeron las cartas los primeros 4 días. 4. Comenten, considerando que las personas que recibieron las cartas son distintas y todos siguieron la cadena de la amistad: • ¿Cuántas personas recibieron las cartas el segundo, tercer y cuarto día? • ¿Cuántas la recibirían el décimo día?

Potencias

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Propiedades de las potencias Observar y descubrir propiedades y regularidades de los objetos matemáticos que estudiamos nos permite conocerlos más y, por lo tanto, trabajar de mejor manera. Te invitamos a descubrir algunas regularidades de las potencias. Desarrolla las siguientes potencias, completa la tabla y observa lo que sucede con los resultados: Potencias de base 2 21 = 2

2

2

2 =2•2

4

3

2 =2•2•2

8

Potencias de base 3 31 = 3 2

3 =3•3 3

3 =3•3•3

3 9 27

Potencias de base 6 61 = 6

6

2

36

3

216

6 =6•6 6 =6•6•6

24 =

34 =

64 =

25 =

35 =

65 =

26 =

36 =

66 =

PARA DISCUTIR • ¿Cómo son los resultados de las potencias de base 2?, ¿pares o impares? • ¿Y los resultados de las potencias de base 3?, ¿y base 6? • ¿Qué puedes concluir cuando la base de una potencia es par? • ¿Qué puedes concluir cuando la base de una potencia es impar?

NO OLVIDES QUE... • El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí misma tantas veces como lo indica el exponente, es decir:

base

exponente a n = a • a • a •… • a = b n veces

valor de la potencia

• Si la base de una potencia es par, el valor de la potencia, para cualquier exponente, es par. • Si la base de una potencia es impar, el valor de la potencia, para cualquier exponente, es impar. 46 Unidad 2


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Unidad 2

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Utilizando una planilla de cálculo puedes generar la secuencia de potencias de base 2, 4 y 8, por ejemplo. Para ello realiza los siguientes pasos. 1o En una hoja de ese programa, en A1 ingresa el número 1. 2o Luego, con el mouse haz doble clic en A2 y anota “=2*A1”. Así, te calculará el doble del número anotado en la celda anterior. 3o Con el mouse, selecciona la celda A2, anda a su vértice inferior derecho y, cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda A20. Así, deberían aparecer todas las potencias de base 2 hasta el exponente 19. o 4 Repite de manera similar los pasos anteriores pero para calcular las potencias sucesivas de base 4 y 8. Utiliza las columnas B y C, respectivamente. En estos casos, en la segunda celda de cada columna debes anotar “=4*B1” y “8*C1”, donde B1 y C1 corresponden al número 1. Deberías obtener: A

B

C

D

1

1

1

1

2

2

4

8

3

4

16

64

4

8

64

512

5

16

256

4 096

6

32

1 024

32 768

7

64

4 096

262 144

8

128

16 384

2 097 152

9

256

65 536

16 777 216

10

512

262 144

134 217 728

11

1 024

1 048 576

1 073 741 824

12

2 048

4 194 304

8 589 934 592

13

4 096

16 777 216

6,8719E + 10

14

res res po po nd nd ee ee nt nt uc uc ua ua de de rn rn o o

<>

5o Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde 1. ¿Por qué hay números que se repiten en dos o en las tres columnas, como por ejemplo, 4 096? 2. Explica lo anterior escribiendo esos números como potencias. Por ejemplo: 4 096 = 84 = 46 = 212

Potencias

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Potencias de exponente 2 y áreas Observa los siguientes cuadrados, formados a partir de cuadraditos de lados 1 unidad.

De ellos, se obtiene la siguiente tabla:

Lado del cuadrado

Total de cuadraditos que lo forman

Expresión numérica asociada

1

1

1•1

2

4

2•2

3

9

3•3

4

16

4•4

PARA DISCUTIR • ¿A qué medida geométrica corresponde el total de cuadraditos que forman cada cuadrado formado? • ¿Cómo puedes expresar dicha medida con potencias?

Como puedes ver, el total de cuadraditos que forman un cuadrado corresponde al área de dicho cuadrado. Así, por ejemplo, el cuadrado de lados 2 unidades tiene área 4 u2. Por otro lado, sabemos que el área del cuadrado se calcula multiplicando la medida de su lado por sí misma, lo que podemos anotar usando potencias. 2 • 2 = 22 = 4 Luego, las expresiones 12, 22, 32, 42, etc., se pueden representar geométricamente como el área de un cuadrado de lados 1, 2, 3, 4, etc., respectivamente.

48 Unidad 2


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Unidad 2

EN TU CUADERNO 1. Determina el cuadrado más grande que se puede formar con un número dado de cuadraditos. Además, indica cuántos cuadraditos por lado tendría el cuadrado y cuántos cuadraditos sobran. Ejemplo: 82 cuadraditos: 81, son 9 cuadraditos por lado y sobra 1 a) 39 cuadraditos

c) 2 600 cuadraditos

b) 12 cuadraditos

d) 445 cuadraditos

2. Lee la definición de un número cuadrado perfecto y responde.“Al valor que se obtiene al elevar un número al cuadrado se le denomina cuadrado perfecto. Por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto, pues 52 = 25”. Escribe todos los números naturales cuadrados perfectos menores que 200. ¿Cuántos son? 3. Resuelve en cada caso. a) Si el área de un cuadrado es 25 cm2, ¿cuánto mide uno de sus lados? b) Si quieren colocar en un salón 10 filas de 10 sillas cada una, ¿cuántas sillas se necesitarán? c) Si el lado de un cuadrado mide 3 cm, ¿qué pasará con el área del cuadrado si el lado se duplica? d) Si el lado de un cuadrado mide 2 cm, ¿qué pasará con el área del cuadrado si el lado se triplica?

NO OLVIDES QUE... Las potencias de exponente 2 se asocian al área de un cuadrado, donde: • La base de la potencia corresponde a la medida del lado del cuadrado. • El exponente 2 se asocia a las dos dimensiones del cuadrado: largo y ancho. Por esta razón, se dice que la base está elevada al cuadrado. Por ejemplo, 3 elevado a 2 se dice “3 al cuadrado”.

ESTRATEGIA MENTAL Ciertas regularidades matemáticas nos ayudan a calcular fácilmente algunas potencias. Para calcular el cuadrado de un número terminado en 5, sigue los siguientes pasos: • Multiplica el dígito de las decenas por su sucesor. • Al resultado de esta operación, colócale el 25 al final del número. Ejemplo:

352 652

3 • 4 = 12 6 • 7 = 42

352 = 1 225 652 = 4 225

Potencias

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Potencias de base 10 y descomposición de números En años anteriores aprendiste a descomponer números de manera multiplicativa. Así, por ejemplo, al descomponer 452 876 se obtiene: 452 876 = 400 000 + 50 000 + 2 000 + 800 + 70 + 6 452 876 = 4 • 100 000 + 5 • 10 000 + 2 • 1000 + 8 • 100 + 7 • 10 + 6 • 1 Como puedes ver, hemos descompuesto el número en términos de 100 000, 10 000, 1000, 100, 10 y 1, los cuales corresponden a potencias de 10. Así, podemos escribir la descomposición como: 452 876 = 4 • 105 + 5 • 104 + 2 • 103 + 8 • 102 + 7 • 101 + 6 • 100

NO OLVIDES QUE... Todo número natural se puede descomponer utilizando dígitos y potencias de 10. Por ejemplo: 2 405 = 2 • 103 + 4 • 102 + 0 • 101 + 5 • 100 2 405 = 2 • 103 + 4 • 102 + 5 • 100

EN TU CUADERNO 1. Descompón los siguientes números utilizando potencias de 10. a) 25 532

c) 470 042 000

e) 26 190 000

b) 5 050 100

d) 33 350

f) 1 000 300 200

2. Completa en tu cuaderno con el número correspondiente a cada descomposición. a) 2 • 103 + 5 • 101

e) 2 • 109 + 1 • 108 + 2 • 106 + 4 • 105

b) 1 • 105 + 2 • 103 + 1 • 101 + 8 • 100

f) 1 • 109 + 3 • 107 + 1 • 106 + 6 • 103

c) 5 • 107 + 2 • 105 + 8 • 104 + 5 • 103

g) 4 • 108 + 5 • 106 + 3 • 105 + 5 • 103

d) 5 • 107 + 5 • 105 + 2 • 102 + 4 • 101

h) 2 • 105 + 1 • 104 + 2 • 103 + 1 • 101

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Unidad 2

MI PROGRESO 1. El triple de 37 es: A. 311

B. 97

C. 38

D. 321

2. ¿A qué número corresponde 3 • 104 + 5 • 102 + 7 • 105 + 4 • 103 + 6 • 101? A. 374 560

B. 743 065

C. 357 460

D. 734 560

3. Mi tía Eliana tenía una planta muy especial. Primero era solo el tallo. Al año siguiente, del tallo brotaron 4 ramitas, cada una con una flor. Un año después, de cada una de estas ramitas brotaron otras cuatro ramitas, cada una con una flor, y así, sucesivamente. ¿Cuántas flores hubo el séptimo año? 4. Francisca está planificando construir el mosaico cuadrado más grande que pueda, con las 250 baldositas que ha reunido. a) ¿Cuál es el mosaico cuadrado más grande que puede hacer? b) ¿Cuántas baldositas sobran? Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla:

2

Resolver un problema, planteando y calculando una potencia con base natural.

3

no

Reconocer un número expresado utilizando descomposición canónica.

cu ad er

1

re sp on de

Interpretar el concepto de potencia

Respuesta correcta

tu

Preguntas

en

Criterio

Resolver un problema, reconociendo el mayor cuadrado perfecto menor que un 4 ¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo número dado. lo resolviste. Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí. • ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué? • ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómo puedes aprenderlo de manera más sencilla.

Potencias

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Potencias de base 10 y grandes números Pon atención a los siguientes datos: • La masa de la tierra es de 6 cuatrillones de kilogramos, es decir, 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. • La distancia que nos separa de la nebulosa Andrómeda es aproximadamente 95 000 000 000 000 000 000 km, es decir 95 trillones de km. • La distancia a los confines observables del universo es, aproximadamente, 460 000 000 000 000 000 000 000 000 m, lo que se puede escribir como 4,6 • 1026 m.

PARA DISCUTIR • ¿Cómo se podría expresar la masa de la Tierra en gramos? • ¿Cuántos metros nos separan de la nebulosa Andrómeda? • ¿Cómo podríamos escribir más fácilmente números muy grandes como estos? • ¿Nos ayuda en este caso utilizar las potencias de 10? ¿por qué? Por ejemplo, escribamos el número 21 000 000 usando potencias de 10: 21 000 000 = 21 • 106 Como puedes ver, las potencias de base 10 nos ayudan a escribir de manera abreviada grandes cantidades.

NO OLVIDES QUE... Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Ejemplo: 108 = 100 000 000 Esto nos permite expresar grandes cantidades como un producto de un número natural y una potencia de diez. Ejemplo: 74 300 000 000 = 743 • 100 000 000 = 743 • 108

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Unidad 2

EN TU CUADERNO 1. Escribe los siguientes números utilizando potencias de base 10. a) 650 000 000 000

d) 4 000 000 000 000

b) 300 000 000

e) 68 000 000 000 000 000

c) 520 000 000 000

f) 7 240 000 000 000 000

2. Expresa sin utilizar potencias a) 4 • 105

c) 8 • 105

e) 543 • 106

b) 34 • 107

d) 1010

f) 25 • 108

3. Compara los resultados en cada caso y completa, en tu cuaderno, con <, > o =, según corresponda. a) 467 • 1021

467 • 1021

b) 38 • 1014

38 • 1012 3 • 10

c) 300 000 000 d) 525 • 1015

98 • 106

e) 98 000 000 000 f) 12 • 104

8

g) 67 • 10

5 250 • 1016

22

h) 423 • 1012

12 567 6 700 • 1019 4 • 1015

4. Ordena de menor a mayor a) 4 • 106, 4 • 108, 4 • 105, 4 • 107

d) 5 250 • 1016, 25 • 1017, 55 • 1018

b) 678 • 109, 6 834 • 109, 6 721 • 109

e) 473 • 1024, 48 • 1023, 47 • 1 025

c) 23 • 105, 214 • 104, 2 • 106, 22 • 105

f) 98 • 106, 89 • 107, 89 • 106

5. Averigua el significado de los prefijos usados en el sistema métrico decimal. Luego, completa la siguiente tabla. Prefijo

Número

Potencia de 10

Exa (E)

1 000 000 000 000 000 000

1018

Peta (P) Tera (T) Giga (G) Mega (M) Miria (Ma) Kilo (K) Hecta (H) Deca (D)

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Multiplicación de un número natural o decimal por una potencia con base 10 Joaquín ha hecho un pedido de 10 paquetes de caramelos de anís, 100 paquetes de caramelos de miel y 1 000 paquetes de caramelos de frutas. Cada paquete de caramelos cuesta $ 234. También ha solicitado 10 sobres de 0,25 kg de coco rallado, 100 bolsas de 0,125 kg de chocolate en polvo y 1 000 sobres de 0,015 kg de canela molida.

PARA DISCUTIR • ¿Cuánto paga Joaquín por los caramelos de anís?, ¿cuánto paga por los de miel?, ¿y por los de frutas? • En total, ¿cuántos kilogramos de coco rallado obtiene?, ¿cuántos kilogramos de chocolate en polvo?, ¿y cuántos de canela molida? • Si quisiera pedir 106 sobres de canela molida, ¿a cuántos kilogramos corresponde? • ¿Existe un procedimiento rápido para multiplicar un número por una potencia con base 10? Explícalo, paso a paso.

NO OLVIDES QUE... Para multiplicar una potencia con base 10: • por un número natural, se agrega al número tantos ceros a la derecha como indique el exponente de la potencia. • por un número decimal, se desplaza la coma tantos lugares a la derecha como indique el exponente de la potencia. Si no hay cifras suficientes, se agregan ceros.

EN TU CUADERNO 1. Calcula. a) 457 • 100 =

h) 100 • 105 =

b) 1 249 • 10 000 =

i) 7,3 • 1 000 =

c) 3 • 100 000 =

j) 15,29 • 10 000 =

d) 10 000 • 1 000 =

k) 0,053 • 100 000 =

e) 542 • 104 =

l) 14,328 • 104 =

f) 32 • 106 =

m) 5,7902 • 106 =

g) 963 • 103 =

n) 6,8211 • 103 =

54 Unidad 2


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Unidad 2 2. Observa las figuras y completa en tu cuaderno. a)

b)

10 • 10 = 102 =

10 • 10 • 10 = 103 =

3. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado, en cada caso. Verifica tus resultados con tu calculadora.

10

Criterio

Criterio

Criterio

10

4

Criterio

Criterio

Criterio

10

5

550

Criterio

Criterio

Criterio

10

3

1 430

Criterio

Criterio

Criterio

10

3

3,2

10

6

0,49

10

7

5,5

10

6

1,43

10

5

14,3

Criterio Criterio Criterio Criterio Criterio

Criterio Criterio Criterio Criterio Criterio

res pon de en tu

49

res pon de en tu

32

cua der no

b•a

cua der no

a•b

2

cua der no

b2

b

res pon de en tu

a

Criterio Criterio Criterio Criterio Criterio

• ¿Qué observas?

Potencias

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División de un número natural o decimal por una potencia con base 10 Ignacia compró un rollo de cordón rojo, de 65 m, otro de cordón verde, de 82 m y otro de cordón amarillo, de 94 m. El cordón rojo lo corta en 10 trozos iguales, el verde en 100 trozos iguales y el amarillo en 1 000 trozos iguales.

PARA DISCUTIR • • • •

¿Cuánto medirá cada trozo de cordón rojo? ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón verde? ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón amarillo? Si quisiera cortar el cordón amarillo en 105 trozos iguales, ¿cuánto medirá cada trozo? • ¿Existe un procedimiento rápido para dividir un número por una potencia con base 10?, ¿lo puedes explicar?

EN TU CUADERNO 1. Calcula. a) 2 457 : 100 =

i) 1 000 : 105 =

b) 623 : 1 000 =

j) 2,47 : 100 =

c) 18 249 : 100 000 =

k) 9,3 : 1 000 =

d) 5 : 10 000 =

l) 25,49 : 10 000 =

e) 1 000 000 : 1 000 =

m) 0,073 : 100 000 =

4

f) 732 : 10 =

n) 24,358 : 104 =

g) 971 : 106 =

ñ) 4,8902 : 106 =

h) 4 902 : 103 =

o) 7,825: 103 =

NO OLVIDES QUE... Para dividir un número natural o decimal por una potencia con base 10, se desplaza la coma tantos lugares a la izquierda como indique el exponente de la potencia. Si no hay cifras suficientes, se agregan ceros. 56 Unidad 2


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Unidad 2

MI PROGRESO 1. El número 325 700 000 escrito utilizando potencias de base 10 es: A. B. C. D.

3 257 • 105 3 257 • 108 3,257 • 108 32,57 • 105

2. Al dividir 3,6 · 1024 por 108, se obtiene: A. B. C. D.

3,6 • 103 3,6 • 1016 3,6 • 1032 3,6 • 1012

3. La luz viaja a una velocidad extraordinaria: recorre unos 3 · 105 km en un segundo. ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en 1 año? Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla:

1

Dividir un número natural por una potencia con base 10.

2

Resolver un problema, dividiendo un número natural por una potencia con base 10.

3

en

tu

Representar un número natural en notación científica.

Respuestas correctas cu ad er no

Preguntas

re sp on de

Criterio

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste. Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí. • ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué? • ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómo puedes aprenderlo de manera más sencilla.

Potencias

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

La distancia de Urano al Sol es de 3 • 1012 m y la distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km. • ¿Cuál es la menor distancia posible entre Urano y la Tierra, en kilómetros? • ¿Y cuál es la mayor distancia posible? Comprender • ¿Qué sabes del problema? La distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km. La distancia de Urano al Sol es de 3 • 1012 m La mayor distancia posible se produce cuando el Sol está entre los dos planetas, con los tres cuerpos celestes alineados. La menor distancia posible se produce cuando están alineados los dos planetas y el Sol, pero la Tierra se encuentra entre Urano y el Sol. • ¿Qué debes encontrar? La mayor distancia posible entre Urano y la Tierra, en kilómetros. La menor distancia posible entre Urano y la Tierra, en kilómetros. Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Para poder restar o sumar magnitudes, estas deben estar en la misma unidad, luego primero divide por 1 000 la distancia entre Urano y el Sol, así queda expresada en kilómetros. Expresa ambos números como un producto de un número natural y una potencia de 10, con el mismo exponente, el mayor posible. Expresados los números de esta manera, si la potencia con base 10 es la misma, por distribuitividad, basta sumar o restar los números que acompañan a las potencias con base 10. Finalmente, el resultado se expresa de la mnera más simple posible. Resolver 3 • 1012 : 1 000 = 3 • 109 150 000 000 =15 • 107 Pero 3 • 109 = 3 • 100 • 107 = 300 • 107 Entonces, 300 · 107 + 15 • 107 = (300 + 15) • 107 = 315 • 107 300 · 107 – 15 • 107 = (300 – 15) • 107 = 285 • 107 Responder • La mayor distancia posible entre Urano y la Tierra es 315 • 107 km. • La menor distancia posible entre Urano y la Tierra es 285 • 107 km.

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1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones: a) En Estados Unidos se producen anualmente 1 485 • 108 kg de basura. Si se reciclara, se cree que la cantidad total de basura producida sería 87 • 104 toneladas de basura. Al reciclar, ¿cuántas toneladas de basura dejan de producirse anualmente? b) En un año reciente, el departamento del Tesoro de Estados Unidos informó de la impresión de las siguientes cantidades de billetes en las denominaciones especificadas: 3 500 000 000 billetes de US$ 1; 64 000 000 billetes de US$ 10; y 3 200 000 en billetes de US$ 100. Utiliza potencias de 10 para determinar cuánto dinero, en dólares, fue impreso. c) La Luna está a unos 3 782 • 102 kilómetros de la Tierra. Un satélite orbita alrededor de la Tierra, a una altitud de 3 • 104 m. Cuando están alineados los tres, con el satélite entre la Tierra y la Luna, ¿cuál es la menor distancia entre el satélite y la Luna? 2. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones: a) Si se estima la edad de la Tierra en 45 • 108 años y la desaparición de los dinosaurios se estima que ocurrió hace 65 • 106 años, ¿Cuál era la edad de la Tierra al momento de la desaparición de los dinosaurios? b) Si la masa de los primeros cuatro planetas del Sistema Solar corresponde a: masa de Mercurio: 33 • 1022 kg, masa de Venus: 487 • 1022 kg, masa de Marte: 642 • 1021 kg, masa de la Tierra: 5 983 • 1021 kg, ¿cuánto sería la masa de los cuatro planetas juntos? c) El Sol es la estrella que tenemos más cerca y está a unos 150 millones de kilómetros. Para expresar distancias tan grandes, el kilómetro resulta incómodo, por eso los astrónomos trabajan con otra unidad de longitud mucho mayor: el año luz. Se llama así a la distancia que recorre la luz en un año. La luz viaja a una velocidad extraordinaria: recorre unos 3 • 105 kilómetros en un segundo, y en un año, aproximadamente 946 • 1010 km. • ¿Un año luz es mayor que diez millones de millones de kilómetros o es menor?, ¿por qué? • ¿9 billones de kilómetros es mayor o menor que un año luz?

Potencias

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CONEXIONES TECNOLOGÍA

Google y googol Los creadores del popular sitio de búsqueda en Internet querían un nombre para su creación e inspirándose en la historia de la Matemática, lo hallaron en la palabra googol, creada en 1938, cuando el matemático Edward Kasner le preguntó a su sobrino Milton Sirotta que cómo llamaría al número 1 seguido de cien ceros, a lo que el niño de nueve años respondió googol. Un googol es un número muy largo. No existe un googol de

nada en el universo, ni de estrellas, ni de partículas de polvo, ni de átomos. La empresa Google confirma que su nombre se inspira en el googol y precisa que refleja la misión de la compañía de organizar la inmensa cantidad de información disponible en la web y en el mundo. La leyenda cuenta que se llama Google y no Googol, por un error de ortografía al momento de inscribir el nombre.

Fuente: http://unmundobinario.wordpress.com/2008/03/13/el-origen-de-google-en-binario/

Junto a un compañero o compañera: 1. Escriban en su cuaderno un googol. 2. ¿Cómo se escribiría utilizando potencias de 10? Comenten. 3. Averigüen si le han puesto nombres a algún número más grande que un googol. 4. Averigüen cuál es el nombre de un googol, según los prefijos griegos habituales (kilo, hecta, mega, etc.) 5. ¿Cómo relacionarían un googol con el infinito? Comenten con su curso.

EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego comparen y comenten sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respeté las opiniones de los demás integrantes. rno ade u c tu Cumplí con las tareas que se comprometió. e en d n o Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo. resp 2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

60 Unidad 2


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Unidad 2

SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema, llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Potencias

Multiplicación

Representación gráfica

Aplicaciones

Potencias de 10 Base

varias veces

Diagrama de árbol

Grandes números

Problemas

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde. • ¿Qué ventajas tiene el uso de potencias? • ¿Para qué nos sirve el diagrama de árbol? • ¿Qué utilidad tienen las potencias de 10 para representar grandes números? • ¿Cómo multiplicas y divides por potencias con base 10? • ¿Se puede descomponer cualquier número natural como una suma de productos entre dígitos y potencias con base 10?

Potencias

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8.

1. En una bodega hay 5 torres de 5 cajas que contienen cada una 5 filas con 5 frascos de miel. ¿Cuántos frascos de miel hay en total? A. B. C. D.

25 125 53 54

2. Cierta bacteria se duplica cada 10 minutos. Si en un comienzo había 3 bacterias, ¿cuántas hay al cabo de 30 minutos? A. B. C. D.

24 12 8 6

3. El número 10 000 000 expresado como una potencia con base 10 es: A. B. C. D.

105 106 107 108

4. El número 45 600 000 000 escrito usando potencias de 10 es: A. B. C. D.

45,6 • 108 456 • 108 4,56 • 109 456 • 107

62 Unidad 2

5. ¿A qué número corresponde 8 • 104 + 6 • 106 + 2 • 105 + 3 • 103 + 1 • 101? A. B. C. D.

628 310 6 283 010 86 231 862 010

6. Decide cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: A. Las potencias de exponente 3 y base par, siempre dan como resultado un número impar. B. El valor de las potencias de exponente impar no siempre es un número impar. C. Si la base de una potencia es par, el valor de la potencia, para cualquier exponente, es par. D. Si la exponente de una potencia es par, el valor de la potencia, para cualquier base, es impar. 7. El resultado de 23,85 • 104 es: A. B. C. D.

95,4 • 10? 23 850 0,2385 238 500

8. El resultado de 485 000 : 104 es: A. B. C. D.

4 850 000 000 48,5 4 850 121 250


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Unidad 2

9. En una fábrica de bandejas para comida se venden bandejas de aluminio, madera y plástico. Las bandejas pueden ser chicas, medianas o grandes y, además, hay de forma rectangular, cuadrada o redonda. a) Confecciona un diagrama de árbol que muestre todos los tipos de bandejas posibles de fabricar. b) Indica, como producto, la cantidad total de ramas del árbol. 10. Al lado de mi casa hay 2 edificios que tienen 2 pisos de alto cada uno. Cada piso tiene 2 balcones y de la baranda de cada balcón cuelgan 2 maceteros, uno tiene plantas con flores y el otro no. a) ¿cuántas plantas hay en total? b) Si se tratara de 3 edificios de 3 pisos, con 3 balcones por piso y 3 maceteros con plantas en cada balcón, ¿cuántas plantas hay en total?

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación. No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Concepto de potencia. Diagrama de árbol. Propiedades de las potencias. Potencias de 10 y grandes números. Multiplicación y división por una potencia de 10.

tu en e nd po s re

o ern d a cu

Resolución de problemas. 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 38 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Potencias

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UNIDAD

3

Ángulos

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Reconocer y obtener la medida de ángulos opuestos por el vértice. • Reconocer y obtener la medida de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal. • Comprender y obtener la medida de los ángulos interiores y exteriores en un triángulo. • Conjeturar y comprobar propiedades respecto de la suma de las medidas de ángulos interiores y exteriores, en triángulos, cuadriláteros y polígonos. • Distinguir los polígonos regulares e irregulares. • Comprender y obtener la medida de los ángulos interiores y exteriores en un polígono regular.

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CONVERSEMOS DE... En el arte del siglo XX, varios artistas han hecho uso del conocimiento de la geometría para pintar sus cuadros. Salvador Dalí, pintor español, tenía una gran biblioteca con libros de matemática y su conocimiento de la geometría se refleja en sus cuadros. Picasso hizo uso de la simetría en muchas de sus obras. Entre los pintores chilenos, Roberto Matta también utiliza la geometría en sus cuadros y en la pintura de Matilde Pérez encontramos figuras geométricas plenas de significado. • ¿Qué figuras geométricas reconoces? • ¿Qué tipos de ángulos distingues en este cuadro?

Matilde Pérez, Collage en madera, 1971.

UNIDAD 3 (64-77)

Ángulos

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Explica con tus palabras lo que entiendes por cada uno de los siguientes conceptos. Luego, haz un dibujo como ejemplo. a) b) c) d) e)

Una línea recta. Líneas paralelas. Líneas perpendiculares. Un ángulo. Un polígono.

2. Copia en tu cuaderno los siguientes polígonos y marca con color azul los lados, con rojo los vértices y con amarillo los ángulos interiores.

3. Escribe el nombre de los siguientes tipos de ángulos. a) b) c) d)

Ángulos iguales a 90º. Ángulos menores a 90º. Ángulos iguales a 180º. Ángulos mayores que 90º y menores que 180º.

4. Con la ayuda de un transportador, mide los siguientes ángulos.

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a)

c)

e)

b)

d)

f)


UNIDAD 3 (64-77)

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5. Dibuja en tu cuaderno los siguientes polígonos. a) b) c) d)

Triángulo. Hexágono. Cuadrado. Romboide.

6. Dibuja en tu cuaderno: a) Un ángulo recto. b) Un ángulo agudo. c) Un ángulo obtuso. Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Se dice que dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.

• Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al intersecarse forman cuatro ángulos iguales.

• Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados, que tienen un origen común, llamado vértice. • Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. • Un triángulo es un polígono de tres lados. • Según la medida de sus ángulos interiores, un triángulo se puede clasificar en: • Acutángulo: sus tres ángulos son agudos. • Obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso. • Rectángulo: uno de sus ángulos es recto.

Ángulos

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Ángulos opuestos por el vértice EN EQUIPO En esta actividad deberán conjeturar y comprobar la relación entre las medidas de los ángulos que se forman por dos rectas secantes. Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones.

Materiales: • Hojas de papel lustre de 10 x 10 cm • Lápiz • Regla

1. Cada uno traza un línea recta en una hoja de papel lustre, de modo que se divida en dos partes de similar tamaño. 2. Luego, trazan otra línea recta, de modo que interseque a la anterior. 3. Plieguen la hoja de papel justo por la intersección de las rectas, de modo de hacer coincidir los lados de alguno de los cuatro ángulos formados por las dos rectas. 4. Observen y comparen los resultados obtenidos.

A

PARA DISCUTIR yuda

Un ángulo puede nombrarse con un trío de letras mayúsculas, que se refieren a tres puntos del ángulo; el primero, perteneciente a un lado, el segundo, su vértice, y el tercero, perteneciente al otro lado.

• Al coincidir un par de lados, ¿qué ocurre con el otro par de lados? • Si se fijan en los ángulos, ¿cómo son entre ellos? • ¿Ocurrirá siempre así? Repitan el procedimiento en otra hoja de papel y verifiquen sus respuestas. • ¿Y si las rectas forman ángulos más agudos, también se cumple?, ¿y en el caso de rectas perpendiculares? • Compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras. ¿Qué pueden concluir?

Observa la figura. ¿Cómo se puede demostrar que los ángulos 1 y 3 tienen igual medida? 2

2

3

4

Considera el ángulo formado por los ángulos 1 y 2. Mide 180º, por que los ángulos 1 y 2 son adyacentes y los lados que no tienen en común forman una línea recta. De igual forma, el ángulo formado por los ángulos 2 y 3, también mide 180º. Entonces:

ⱔ1 + ⱔ2 = ⱔ2 + ⱔ3

Pero como el ángulo 2 es el mismo, se obtiene que ⱔ1 = ⱔ3 68 Unidad 3


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Unidad 3

NO OLVIDES QUE... • Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen un vértice en común y sus lados están en un par de rectas que se cortan en este vértice, pero no poseen ningún punto interior común. • Dos ángulos opuestos por el vértice tiene igual medida.

EN TU CUADERNO 1. Copia la cerca y marca en ella los pares de ángulos opuestos por el vértice.

2. Determina 10 pares de ángulos opuestos por el vértice presentes en la siguiente figura. Luego, responde. A

B G

C

D F

H E

I N

M

L

K

J

a) Los ángulos BGA y MGI , ¿son opuestos por el vértice? Justifica. b) Si el ángulo FEJ mide 67º, ¿cuánto mide el ángulo IED?

Ángulos

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Ángulos entre paralelas La siguiente imagen representa un cruce de líneas férreas. Observa los ángulos que se forman.

2

1

3

4

6

5 9

8

7 10

13

11

14

12 15 16

PARA DISCUTIR

A

yuda

Si dos ángulos tienen un vértice y un lado en común y los otros lados forman una recta, entonces se llaman ángulos adyacentes. ⱔ m+ ⱔ n = 180°

n

m

• ¿Qué tienen en común los ángulos 1 y 6?, ¿y el 2 y el 5? ¿Cómo se llaman estos pares de ángulos? • Si el ángulo 1 mide 65º, entonces ¿cuánto mide el ángulo 2?, ¿cómo lo sabes? • ¿Qué tienen en común los ángulos 5 y 10?, ¿y los ángulos 1 y 14? • Con el transportador mide los ángulos 2 y 10. ¿Qué relación hay entre ellos?, ¿ocurrirá lo mismo en el caso de los ángulos 5 y 13? • Ahora, mide con el transportador los ángulos 6 y 9. ¿Qué relación hay entre ellos?, ¿por qué crees que se cumple esto? Justifica. • ¿Qué relación existe entre el ángulo 1 y el ángulo 2?, ¿ocurrirá lo mismo en el caso de los ángulos 15 y 16?, ¿por qué crees que ocurre esto?

NO OLVIDES QUE... Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta (transversal), se forman ocho ángulos, los cuales reciben nombres según su posición. Los ángulos que están marcados con el mismo color, en cada caso, son:

Ángulos correspondientes (tienen igual medida).

70 Unidad 3


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Unidad 3

NO OLVIDES QUE... Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta (transversal), se forman ocho ángulos, los cuales reciben nombres según su posición. Los ángulos que están marcados con el mismo color, en cada caso, son:

Ángulos alternos externos (tienen igual medida).

Ángulos alternos internos (tienen igual medida).

EN TU CUADERNO 1. Marca en cada letra un par de ángulos que tengan igual medida. a)

b)

c)

2. Considerando que L1 // L2 // L3, escribe todos los pares de ángulos pedidos en cada caso. a) b) c) d)

Ángulos alternos internos Ángulos correspondientes Ángulos adyacentes Ángulos alternos externos

L1

3 1

L4

L2

7

2

9

L3

4

5

6

11

12

10

8

Ángulos

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3. Cuando una persona sigue una trayectoria, su cambio de dirección se puede relacionar con el ángulo de giro. Por ejemplo: si una persona camina hacia el este por la Alameda y dobla hacia la Avenida Libertad, el ángulo de giro es α en sentido noreste.

Lib ert ad

N O

E

α

Alameda

S

Avenida Neptuno

Sargento Rebolledo

Observa el siguiente plano y luego resuelve. Las calles Sargento Rebolledo y Avenida Neptuno son paralelas. Ambas interceptan a la Avenida Pajaritos. Dos personas que caminan hacia el oeste por Avenida Pajaritos, doblan hacia el norte.

N Avenida Pajaritos

O

E S

a) ¿Cuál es el ángulo de giro que representa a cada una de las personas al doblar? Indica la medida de cada uno de esos ángulos. b) ¿Qué relación existe entre este par de ángulos? c) Copia la imagen en tu cuaderno y marca con distintos colores las parejas de ángulos correspondientes. 4. Observa la siguiente ilustración, luego responde. El pasaje Río Frío y la calle Lago Cochrane son paralelas y ambas interceptan la calle Lago Yelcho. Leo y Claudia se van a sus casas caminando por Lago Yelcho en direcciones contrarias.

Lago Yelcho

Lag oC och rane

Pas aje Río Frío

N O

E

S

a) ¿Cuánto mide el ángulo de giro que representa cada uno de los recorridos hechos por Leo y Claudia? b) ¿Qué tipo de ángulo entre paralelas representan los ángulos anteriores? c) Copia la imagen en tu cuaderno, marca con distintos lápices de colores las parejas de ángulos alternos externos y alternos internos formados por la intersección de las calles. d) Mide cada uno de los ángulos anteriores y comprueba que tienen igual medida.

72 Unidad 3


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Unidad 3 5. Encuentra la medida de cada ángulo indicado. a)

e)

L4

L1

L2

L3 y

x

110°

L2

L1

y

L4

L3

x

128° z

L1 // L2 // L3

L1 // L2 y L3 // L4

b)

L3

f) z

L1 55°

L1

L2

73°

L2

y

L3

L1 // L2

L1 // L2

c)

L3

g) L3 n L1

148°

L1

80° x

L2

L2

L1 // L2

L1 // L2

d)

L4

z

L1

h)

128º

L2

x 55º

L3

y

y

35º

L2 L1

L1 // L2 // L3

L4

x L3

L1 // L2

Ángulos

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Medida de los ángulos de un triángulo En una cartulina dibuja un triángulo acutángulo, uno rectángulo y uno obtusángulo. Luego realiza con cada uno de ellos lo que se observa en la siguiente secuencia: 1

2

3

4

PARA DISCUTIR • ¿Qué ángulo forma la unión de los tres ángulos interiores del triángulo? • ¿Qué puedes concluir acerca de las medidas de los ángulos interiores de cada triángulo? • ¿Se cumple esta propiedad en todo tipo de triángulos?

NO OLVIDES QUE... En todo triángulo, la suma de la medida de los ángulos interiores es 180º.

EN TU CUADERNO 1. Completa la siguiente tabla. Medida de los ángulos interiores 45º

90º

90º

76º

24º

80º

120º

23º

100º

74 Unidad 3

¿Es posible construir un triángulo? rno uade c u t n nde e respo


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Unidad 3 2. Piensa, comenta y responde. a) ¿Se puede construir un triángulo ubicando adecuadamente dos ángulos rectos?, ¿por qué? b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos obtusos? Explica. c) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos agudos? Da un ejemplo. 3. Copia en una hoja la siguiente figura. γ’ γ

α

β

β’

α’ α, β, γ,

Ángulos interiores.

α’, β’, γ’

Ángulos exteriores.

a) Recorta los ángulos exteriores. b) Pégalos en tu cuaderno, como si fuesen ángulos adyacentes. c) ¿Qué puedes concluir respecto de la suma de los ángulos exteriores de este polígono?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? d) Repite la actividad para tres triángulos diferentes y verifícalo. Luego, compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras. 4. Completa el valor que debe tener el tercer ángulo, según sea el caso. Ángulos interiores de un triángulo 20º

60º

55º

25º

101º

12º

Ángulos exteriores de un triángulo 120º

150º

140º

170º

161º

90º

50º

NO OLVIDES QUE... La suma de la medida de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º.

Ángulos

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Medidas de los ángulos de un cuadrilátero Observa los siguientes cuadriláteros:

cuadrado

rectángulo

trapecio

trapezoide

PARA DISCUTIR • ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un cuadrado? • ¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrado?, ¿y de un rectángulo? • Y para los demás cuadriláteros, ¿se cumple lo mismo?, ¿por qué? • ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos exteriores de un rectángulo? • ¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un rectángulo?, ¿y de un cuadrado? • Y para los demás cuadriláteros, ¿se cumple lo mismo?, ¿por qué?

En el caso del trapecio, podemos ver que se cumple la misma relación utilizando las propiedades de los ángulos entre paralelas. Observa. Ya que los ángulos alternos internos tiene igual medida, podemos “trasladar” los ángulos interiores de la parte superior a sus respectivos ángulos en la parte inferior. De esta manera, lo que tenemos son dos ángulos extendidos, es decir, la suma de las medidas de los ángulos interiores de un trapecio es 360º. En el caso del trapezoide, puedes comprobar que se cumple la misma relación dibujando un trapezoide en una hoja de papel y luego separando sus ángulos interiores para ordenarlos, tal como lo hiciste con los triángulos, en la página 74.

NO OLVIDES QUE... • La suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º. • La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es 360º. 76 Unidad 3


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Unidad 3

MI PROGRESO 1. ¿Cuál es la medida del ángulo x? A. B. C. D.

33º 47º 80º 100º

y

L1

33°

L2 x L3

α

47° L2 // L3

2. ¿Cuál de los siguientes tríos de ángulos no pueden ser las medidas de los ángulos interiores de un triángulo? A. B. C. D.

27°, 80°, 75°, 28°,

35°, 118° 60°, 40° 75°, 30° 49°, 102°

3. ¿Cuántos grados debe variar la recta BC para que sea paralela a la recta AD? 115º A

120º D

80º B C

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla: Criterio Calcular ángulos

Preguntas

Respuestas correctas

1

Reconocer un trío de medidas de ángulos que no satisface la condición de que su suma sea 180º

2

Resolver problemas, aplicando propiedades de ángulos entre paralelas.

3

u nt e e nd o p res

o ern d a cu

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste. Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí. • ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué? • ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómo puedes aprenderlo de manera más sencilla. Ángulos

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Ángulos en polígonos Observa el polígono y los ángulos que se han marcado en él.

1 2

5

3 4

PARA DISCUTIR • Sin utilizar el transportador, ¿puedes calcular la suma de los ángulos interiores del pentágono de la figura? • En la segunda figura se trazaron las diagonales desde uno de sus vértices. Ahora, ¿puedes calcular la suma de los ángulos interiores de este pentágono?, ¿cómo lo harías? a

Si tomas un vértice cualquiera y lo unes con los otros vértices puedes observar que se forman 3 triángulos.

b c

d

Entonces, la suma de los ángulos se transforma en:

A

i h

e f

ⱔ1 + ⱔ2 + ⱔ3 + ⱔ4 + ⱔ5 = ⱔa + ⱔb + ⱔc + ⱔd + ⱔe + ⱔf + ⱔg + ⱔh + ⱔi

yuda

Desde un vértice cualquiera de un polígono de n lados, se pueden trazar ( n – 3 ) diagonales. Un polígono de n lados se puede dividir en ( n – 2 ) triángulos.

Pero si los agrupamos por los triángulos obtenemos: ⱔa + ⱔb + ⱔi + ⱔc + ⱔd + ⱔh + ⱔe + ⱔf + ⱔg 180º 180º 180º Podemos ver que la suma de los ángulos interiores de ese pentágono es 3 • 180º = 540º.

EN TU CUADERNO 1. Sigue la misma estrategia para determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono y completa la siguiente tabla. Polígono

Número Número de triángulos Suma de los ángulos de lados en los que se subdividió interiores del polígono

Triángulo

3

1

1 • 180 = 180º

Cuadrilátero

4

2

2 • 180 = 360º

Pentágono Hexágono Heptágono Octágono 78 Unidad 3

g

e en d n o resp

rno ade u c tu


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Unidad 3 2. También se puede conocer la suma de los ángulos exteriores de un polígono. Considerando que la suma de todos los ángulos exteriores y los interiores de un polígono de n lados es n veces 180º, calcula la diferencia entre este valor y la correspondiente suma de ángulos interiores y completa la siguiente tabla.

Polígono

Suma de ángulos interiores

Suma de ángulos exteriores

Triángulo

180º

3 • 180º – 180º = 360º

Cuadrado

360º

Pentágono tu en e nd po s re

Hexágono Heptágono Octágono

o ern d a cu

¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un polígono cualquiera? Justifica. 3. Calcula el valor de x en cada caso. a)

x

b)

c)

110º x

158º

100º

130º 100º

20º

x

130º

110º 120º

4. Calcula la suma de los ángulos interiores de cada figura. a)

b)

c)

d)

NO OLVIDES QUE... • En todo polígono de n lados, la suma de los ángulos interiores está dada por la expresión: (n – 2) • 180°. • La suma de los ángulos interiores más los ángulos exteriores es siempre igual a n • 180° (n: número de lados del polígono).

Ángulos

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Polígonos regulares Observa los siguientes polígonos:

A

yuda

Los polígonos se nombran usando los prefijos griegos según el número de lados que tengan, por ejemplo: Nº de lados Nombre del polígono 5 lados Pentágono 6 lados Hexágono 7 lados Heptágono 8 lados Octágono 9 lados Eneágono 10 lados Decágono La suma de un ángulo exterior e interior de un polígono forma un ángulo de 180º, es decir son suplementarios.

PARA DISCUTIR • Mide los lados de cada polígono, ¿qué diferencia hay entre los polígonos ubicados a la derecha y los ubicados a la izquierda? • Ahora mide los ángulos de cada polígono, ¿qué diferencia hay entre los polígonos ubicados a la derecha y los ubicados a la izquierda? • En los polígonos ubicados a la derecha, ¿también se cumplen las propiedades respecto a la suma de sus ángulos? Justifica. • Sin dibujarlo, ¿puedes calcular la medida de los ángulos interiores y exteriores de un polígono de ocho lados iguales? Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.

NO OLVIDES QUE... • Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida de sus lados, reciben el nombre de polígono regular. • Si esto no se cumple, reciben el nombre de polígono irregular.

EN TU CUADERNO 1. Mide con regla y transportador y determina cuál o cuáles de los siguientes polígonos son regulares. a)

c)

e)

b)

d)

f)

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Unidad 3 2. Completa la siguiente tabla. Puedes apoyarte en los valores obtenidos en la tabla de la página 79. Polígono regular

Número de lados iguales

Medida del ángulo interior

Medida del ángulo exterior

Triángulo equilátero

3

60º

120º

Cuadrado

4

90º

Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Eneágono Decágono

de n o sp re

en

tu

no er d a cu de n o sp re

en

tu

no er d a cu de n o sp re

en

tu

no er d a cu

¿Cuánto mide un ángulo interior de un polígono regular de n lados?, ¿y un ángulo exterior? Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.

A NO OLVIDES QUE... • Cada ángulo interior de un polígono regular de n lados mide: (n – 2) • 180º n • Cada ángulo exterior de un polígono regular de n lados mide:

yuda

En el siguiente polígono se muestran sus ángulos exteriores.

360º n • Para dibujar un polígono regular, dibuja primero una circunferencia. • Ubica en ella los n vértices del polígono, midiendo desde el centro de la circunferencia el ángulo correspondiente 360º (que mide ). n • Luego, une todos los vértices del polígono.

Ángulos

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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Ingresa a la página http://car-regla-y-compas.uptodown.com/, encontrarás el programa Regla y Compás para realizar la construcción de un pentágono regular. (Puedes consultar el manual de este programa en la misma página). 1o Construye un segmento cualquiera, utilizando el icono . o 2 Usando el icono , construye una circunferencia con centro en uno de los puntos que forma el segmento y cuyo radio sea la medida del segmento anterior. o 3 Para poder construir los cinco vértices del pentágono, utiliza el icono , para medir los ángulos con vértice en el centro de la circunferencia circunscrita. Luego de utilizar el icono anterior, debes escribir la medida del ángulo del centro. En este caso, 72°. o 4 Luego, debes unir los cinco vértices encontrados para formar el pentágono regular. Para poder ver de mejor manera el pentágono y su circunferencia circunscrita, ocultaremos algunos elementos geométricos que antes construimos, utilizando el icono . o 5 Por último, medimos cada uno de los ángulos interiores del pentágono para comprobar que la suma de sus ángulos interiores es igual a 540°, usando el icono . 1. Intenta construir un hexágono regular, creando tu propio procedimiento y midiendo los ángulos interiores. 2. Construye un cuadrilátero cualquiera. Mide sus ángulos interiores. ¿Puedes medir sus ángulos exteriores? 3. Intenta construir dos polígonos más, uno regular y otro irregular. Mide sus ángulos interiores.

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Unidad 3

MI PROGRESO 1. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1 080º. ¿De qué polígono se trata? A. Pentágono. B. Hexágono.

C. Heptágono. D. Octágono.

2. Si la medida de cada ángulo exterior de un polígono es 45º. ¿De qué polígono se trata? A. Pentágono. B. Hexágono.

C. Heptágono. D. Octágono.

3. ¿Cuánto mide el ángulo z?

80º

140º

160º

110º z

4. ¿Cuánto mide el ángulo x? 90º

85º

50º x

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla: Preguntas 1

Reconocer la relación entre el número de lados de un polígono regular y la medida de sus ángulos exteriores.

2

Calcular un ángulo interior de polígono, aplicando la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono.

3y4

tu

cu ad er

no

Reconocer la relación entre el número de lados de un polígono regular y la suma de sus ángulos interiores.

Respuestas correctas

re sp on de en

Criterio

Ángulos

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

Supongamos que tenemos un polígono regular de 8 lados, es decir, un octógono regular. ¿Cuántas diagonales tiene este polígono? Comprender • ¿Qué sabes del problema? La diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono. Un octógono regular tiene ocho lados. • ¿Qué debes encontrar? La cantidad de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices. La cantidad total de diagonales que tiene el polígono. Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Primero se debe calcular cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice, para cualquier polígono. Luego, se puede calcular la cantidad total de diagonales que hay en otros polígonos regulares, para así buscar la regularidad. Resolver • Observando las figuras, se completa la tabla: Polígono regular

Número de vértices

Número de diagonales desde un vértice

Triángulo equilátero

3

0

Cuadrado

4

1

Pentágono

5

2

Hexágono

6

3

Dibujar los siguientes polígonos con sus diagonales:

Luego, en cada vértice de un polígono de n lados se pueden construir n – 3 diagonales. Además, se tienen n vértices, entonces puedo dibujar n • (n – 3) diagonales. Sin embargo, cada vez que se dibujan todas las diagonales posibles desde todos los vértices, se repite dos veces cada diagonal.

84 Unidad 3


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Entonces, la cantidad de diagonales de un polígono de n lados está dada por la expresión n • (n – 3) 2 Para el caso de un polígono de 8 lados tenemos: 8 • (8 – 3) = 40 = 20 2 2 Responder • Por lo tanto, un octógono regular tiene 20 diagonales. Revisar • Comprueba el resultado obtenido, dibujando en tu cuaderno un octógono y todas sus diagonales.

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones. a) ¿En cuántos triángulos se puede dividir un hexadecágono regular, es decir, un polígono regular de 16 lados? ¿Qué pasa en el caso de un tridecágono regular (13 lados)? b) Calcula la cantidad de diagonales totales de un decágono regular (10 lados) y de un heptadecágono regular (17 lados). Si estos no fueran polígonos regulares, ¿tendrían la misma cantidad de diagonales? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Busca una regularidad que te permita saber la cantidad de cuadriláteros en los que se puede dividir un polígono con una cantidad par de lados. b) Busca una regularidad que te permita saber la cantidad de cuadriláteros en los que se puede dividir un polígono que tenga un número impar de lados.

Ángulos

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CONEXIONES TECNOLOGÍA

Lectura instantánea de ángulos en una amplia pantalla de LCD Varios fabricantes fabricante de herramientas eléctricas portátiles, añade el nuevo medidor de ángulos digital a su gama de herramientas de medición inteligente. Con el este nuevo instrumento puede medir una amplia escala de ángulos, de 0° a 220°. Lo único que se necesita es abrir la pata desplegable hasta la posición deseada y el ángulo correspondiente aparece al instante en la pantalla de LCD. Esta pata puede ser usada también como regla. Para una nivelación convencional, ya sea vertical u horizontal, la herramienta viene equipada con dos burbujas de nivel.

Fuente: www.construnario.com/notiweb/titulares_resultado.asp?regi=18159, (consultado el 12 de octubre de 2008).

1. ¿En qué situaciones medir con un medidor de ángulos digital es de utilidad?, ¿por qué? 2. ¿En que situaciones un transportador es más útil que este medidor de ángulos?, ¿por qué? 3. ¿Para qué profesiones u oficios este medidor de ángulos es una herramienta de trabajo?, ¿por qué?

EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego comparen y comenten sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respeté las opiniones de los demás integrantes. Cumplí con las tareas que se comprometió. Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

n de e n o p res

erno d a u tu c

2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

86 Unidad 3


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Unidad 3

SÍNTESIS A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos estudiados en la unidad. Completa con los términos que correspondan.

Ángulos

entre

Opuestos por el vértice

Suma de las medidas de ángulos exteriores

Suma de las medidas de ángulos interiores

pueden ser

Correspondientes

Alternos

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Cómo probarías que un par de ángulos alternos internos tienen igual medida, sin utilizar instrumentos de medición? Compara tu respuesta con la de tus compañeros y compañeras. 2. ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de 7 lados? 3. ¿Cuántos lados tiene un decágono regular? ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores?, ¿y cada uno de sus ángulos exteriores?

Ángulos

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 6. 1. Si AB // ED, entonces el ⱔα mide:

4. En el paralelogramo de la figura, las medidas de los ángulos δ y γ cumplen la propiedad:

B D

α

A

α

45º

γ

β

E

A. B. C. D.

δ

35º 145º 135º Falta información.

A. B. C. D.

2. Considera AB // CD y L1 // L2 // L3. ¿Cuánto miden x e y?

Suman 90º. Son iguales. Suman 180º. Ninguna de las anteriores.

5. La medida del ángulo EDC es:

B

D

65º

C

B 150º

88º

108º

A

L1 L2

110º

x 40º

L3

y

A

C

A. B. C. D.

E

D

x = 115º, y = 65º x = 40º, y = 40º x = 105º, y = 65º x = 115º, y = 40º

A. B. C. D.

540º 456º 92º 84º

6. ¿Cuál es la medida del ángulo x? 45°

3. Si ABCD es un rectángulo, entonces ⱔx e ⱔy miden: D C

120° x

x 50° 75º A

A. B. C. D.

x = 75; y = 150 x = 105; y = 75 x = 75; y = 105 x = 15; y = 105

88 Unidad 3

y B

A. B. C. D.

65° 185° 245° 425°

80°


UNIDAD 3 (78-89)

10/30/08

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Unidad 3

7. Encuentra la medida de los ángulos, sabiendo que L1 // L2.

72° 64° x

y

L1 L2

z

65°

L3

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación. No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Ángulos opuestos por el vértice Ángulos entre paralelas Medidas de los ángulos en un triángulo Medidas de los ángulos en un polígono Polígonos regulares

u nt e de on p res

o ern d a cu

Resolución de problemas 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 64 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Ángulos

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6to basico santillana parte 1 - alumno  

Javiera Setz Mena MIN ISTE RIO I LUSTRACIONES : Martín Oyarce Gallardo D OCUMENTACIÓN : Paulina Novoa Venturino Juan Carlos Reyes Llanos F O...

6to basico santillana parte 1 - alumno  

Javiera Setz Mena MIN ISTE RIO I LUSTRACIONES : Martín Oyarce Gallardo D OCUMENTACIÓN : Paulina Novoa Venturino Juan Carlos Reyes Llanos F O...

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