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TEXTO DEL ESTUDIANTE

Matemática

Educación Media

ÁNGELA ROSSANA BAEZA PEÑA PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MARCIA ROMINA VILLENA RAMÍREZ PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. PABLO ALFONSO JORQUERA ROZBACZYLO PROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. JAVIERA SETZ MENA LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, LICENCIADA EN EDUCACIÓN, PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.


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El Texto del Estudiante Matemática 4, para Cuarto Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DE PROYECTO: Eugenia Águila Garay COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: Viviana López Fuster EDICIÓN: Javiera Setz Mena AUTORES: Ángela Baeza Peña Marcia Villena Ramírez Pablo Jorquera Rozbaczylo Javiera Setz Mena CORRECCIÓN DE ESPECIALISTAS: Sergio Muñoz Venegas Florencia Darrigrandi Navarro CORRECCIÓN DE ESTILO: Isabel Spoerer Varela Gabriela Precht Rojas DOCUMENTACIÓN: Paulina Novoa Venturino La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: Carlota Godoy Bustos COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN: Xenia Venegas Zevallos JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA: Mariela Pineda Gálvez DIAGRAMACIÓN: Mariela Pineda Gálvez ILUSTRACIONES: Antonio Ahumada Mora FOTOGRAFÍAS: Archivo Santillana CUBIERTA: La Práctica S.P.A. PRODUCCIÓN: Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por WorldColor Chile S.A. ISBN: 978-956-15-1760- 8 Inscripción N°: 197.993 Se terminó de imprimir esta 1a edición de 203.600 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010. www.santillana.cl

Referencias del Texto Educación Matemática 4, Educación Media y del Texto Matemática 4, Educación Media, Mineduc, de los autores: Marcela Guerra Noguera, Patricia Urzúa Figueroa, Rodrigo Hernández Reyes, Alejandro Pedreros Matta, Ángela Baeza Peña, Marcia Villena Ramírez, Pablo Jorquera Rozbaczylo, Gabriel Moreno Rioseco. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005 y 2010.


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Presentación A los alumnos y alumnas: El Texto Matemática Cuarto Año Medio ha sido creado y diseñado pensando en la culminación de tu proceso escolar. En cada una de las Unidades te invitamos a profundizar nuevos contenidos matemáticos, relacionando e integrando a través de una mirada retrospectiva, los conocimientos adquiridos en años anteriores. La construcción de modelos matemáticos, que ya has estudiado, se amplía al conocimiento de otro tipo de funciones que, entre otros aprendizajes, te facilitarán la comprensión de fenómenos sociales, naturales, químicos y físicos. En el estudio de la Geometría, podrás dejar usar toda tu imaginación para profundizar en modelos vectoriales, relacionados con el movimiento y la trayectoria que describe una figura y con la generación de cuerpos geométricos mediante traslación y rotación, aplicando así tu creatividad y habilidad en la resolución de problemas. Te presentamos dos Unidades de Estadística cuyo estudio te aportará conceptos para el análisis e interpretación de la información entregada por los medios de comunicación y para manejar recursos objetivos para fundamentar tus opiniones.

Presentación

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Estructura del Texto Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo con este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera en el mundo que te rodea, y te invita a comprender que la Matemática es parte de él. A través de sus seis Unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender, construir y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio

Conversemos de...

• Mediante un esquema, conocerás los contenidos y su vinculación con los principales aprendizajes que se espera que logres con el desarrollo de la Unidad.

A través de una introducción al tema de la Unidad conectamos elementos e imágenes de la vida diaria con el contenido que trabajarás. Además, encontrarás preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la Unidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias.

¿Cuánto sabes? En esta sección te invitamos a resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a evaluar tus conocimientos y a recordar lo que aprendiste en años anteriores y que serán la base para el desarrollo de la Unidad.

4 | Matemática 4º Medio

¿Qué debes recordar? Podrás activar tus conocimientos previos a través de un resumen que incluye los principales conceptos trabajados en años anteriores y que te servirán como apoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la Unidad.


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Páginas de desarrollo

Analicemos... Por medio de preguntas, trabajarás el razonamiento, explorarás el contenido matemático que aprenderás, pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

En resumen Encontrarás explicaciones, formalizaciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo.

Recuerda que... Te recordará un contenido o procedimiento ya aprendido y necesario para lograr tus nuevos aprendizajes.

Actividades Resolverás variadas actividades para ir construyendo los conceptos y reforzando así tu aprendizaje.

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Pon atención Glosario Te presentará nuevos términos matemáticos relacionados con el contenido que se está desarrollando.

Herramientas tecnológicas Aprenderás a utilizar planillas de cálculo y programas computacionales.

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Te recordará que debes revisar tus procedimientos, analizar la pertinencia y consistencia de las soluciones, entre otras.


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Páginas de cierre

Organizando lo aprendido Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando un mapa conceptual. Además, aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre ellos y sus relaciones.

Mi progreso Resolverás actividades que te permitirán evaluar tu progreso en el logro de los aprendizajes.

Cómo resolverlo En estas dos páginas observarás un problema resuelto paso a paso a través de una determinada estrategia y, luego, podrás practicar la estrategia utilizada o aplicar otras que te permitan encontrar la solución. Eso sí, en Matemática siempre hay más de un camino para resolver un problema.

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En terreno A partir de una situación desarrollada en un contexto real o laboral, desarrollarás (primero individualmente y luego en equipo) actividades que te permitirán aplicar lo que aprendiste en la Unidad.

SÍntesis de la Unidad Este es un espacio para que construyas tu mapa conceptual de todo lo trabajado en la Unidad a partir de algunos conceptos fundamentales. También responderás preguntas conceptuales para evaluar lo que has aprendido en la Unidad.

Evaluación En estas tres páginas podrás autoevaluar los aprendizajes que lograste en la Unidad. Incluye preguntas de verdadero o falso y actividades de desarrollo. Tomando en cuenta que una de las alternativas al egresar de la Educación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo de esta prueba.

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Índice

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Función potencia y logarítmica ¿Cuánto sabes? Funciones Función inversa Función potencia Herramientas tecnológicas Traslaciones verticales y horizontales Organizando lo aprendido Mi progreso Logaritmos Propiedades de los logaritmos Propiedades de las operaciones de los logaritmos Demostraciones aplicando logaritmos

2

Índice

12 14 16 18 20 23 24 26 27 28 32 34 36

Organizando lo aprendido Mi progreso Función logarítmica Herramientas tecnológicas Ecuaciones logarítmicas Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas Organizando lo aprendido Mi progreso Cómo resolverlo En terreno Síntesis de la Unidad Evaluación

Función exponencial ¿Cuánto sabes? Función exponencial Herramientas tecnológicas Función exponencial y logarítmica Aproximándonos al número e Organizando lo aprendido Mi progreso Ecuaciones exponenciales Ecuaciones exponenciales con base e

38 39 40 44 46 50 52 53 54 56 58 59

62 64 66 70 72 74 76 77 78 80

Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales Organizando lo aprendido Mi progreso Cómo resolverlo En terreno Síntesis de la Unidad Evaluación

Índice

82 84 86 88 89 90 92 94 95

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Vectores ¿Cuánto sabes? Vectores Operatoria con vectores Vectores en el plano cartesiano Traslación de figuras planas Producto por un escalar Homotecia Herramientas tecnológicas Organizando lo aprendido Mi progreso Producto punto Ecuación vectorial de la recta en el plano Ecuación vectorial de una recta y su ecuación cartesiana Producto cruz y vectores en el espacio

4

98

100 102 104 106 108 110 112 115 116 117 118 120 123 126

Organizando lo aprendido Mi progreso Ecuación vectorial de la recta en el espacio Rectas y planos Ecuación vectorial y ecuación cartesiana de un plano en el espacio Posición relativa entre planos Intersección de una recta y un plano, y entre dos planos Organizando lo aprendido Mi progreso Cómo resolverlo En terreno Síntesis de la Unidad Evaluación

Áreas y volúmenes ¿Cuánto sabes? Área y volumen Proyecciones en el plano Área de prismas y pirámides Cuerpos generados por traslación Volumen de un prisma Volumen de pirámides Organizando lo aprendido Mi progreso Cuerpos generados por rotación Área de cilindros y conos

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130 131 132 134 136 140 142 146 147 148 150 152 153

156

158 160 162 164 166 168 170 172 173 174 176

Volumen de cilindros Herramientas tecnológicas Volumen de conos Volumen y área de la esfera Organizando lo aprendido Mi progreso Cómo resolverlo En terreno Síntesis de la Unidad Evaluación

178 179 180 182 184 185 186 188 190 191


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Índice

5

Estadística I ¿Cuánto sabes? Orígenes de la Estadística Población y muestra Ordenando la información Análisis de gráficos Medidas de tendencia central Herramientas tecnológicas

6

194

196 198 200 202 204 208 212

Organizando lo aprendido Mi progreso Cómo resolverlo En terreno Síntesis de la Unidad Evaluación

214 215 216 218 220 221

Estadística II ¿Cuánto sabes? Medidas de dispersión Correlación Diagrama de tallo y hojas Muestras al azar Distribución normal Organizando lo aprendido Mi progreso Medidas de posición

224

226 228 232 234 236 240 244 245 246

Herramientas tecnológicas Aplicaciones de la Estadística Organizando lo aprendido Mi progreso Cómo resolverlo En terreno Síntesis de la Unidad Evaluación

250 251 254 255 256 258 260 261

Solucionario

264

Índice temático

284

Bibliografía

287

Índice

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Función potencia y logarítmica

TRABAJANDO CON:

APRENDERÁS A:

Funciones

Caracterizar las funciones: dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento.

Función inversa Obtener funciones inversas.

Función potencia

Logaritmos

Función logarítmica

Propiedades de los logaritmos

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Analizar sus gráficas según las variaciones de sus coeficientes.

Usar programas computacionales para graficar funciones.

Resolver ecuaciones logarítmicas.

Resolver problemas en los que se utiliza logaritmos.


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Conversemos de... La contaminación acústica afecta negativamente la calidad de vida de los individuos que están expuestos a ella. Un informe de la Organización Mundial de la Salud (OMS) considera los 50 decibeles (dB) como el límite superior de ruido tolerable. Los decibeles son la unidad de medida del nivel de ⎛ I ⎞ intensidad β de un sonido, que se calcula usando la expresión: β = 10 log ⎜ ⎟ , donde log es la ⎝ I0 ⎠ función logaritmo, I0 es la intensidad de referencia (el mínimo sonido que el oído humano puede detectar corresponde a 10–12 W/m2) e I es la intensidad del sonido dado, medida también en W/m2. Por ejemplo, el nivel de intensidad del estruendo de una explosión, como la de la imagen, es de 130 dB. ¿Cuál es la diferencia entre sonido y ruido?, ¿cuándo un sonido se transforma en ruido? ¿Cuáles son los ruidos cotidianos que más te molestan?, ¿por qué? ¿Qué es la contaminación acústica? ¿Qué problemas y trastornos puede provocar la contaminación acústica? ¿Qué fuentes de contaminación acústica hay en el entorno de tu escuela?, ¿se podrían evitar? Comenta con tus compañeros y compañeras.

Latinstock

1. 2. 3. 4. 5.

Función potencia y logarítmica

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¿Cuánto sabes? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.

1. Grafica las siguientes funciones. a. g ( x ) = 8x – 3

d. m ( x ) = 9 + 4x

g. h ( x ) = –7x

b. h ( x ) = –2x 2 + 1

e. k ( x ) = 3x2

h. q ( x ) = x + 6 − 2

c. f ( x ) = − x + 4

f. g ( x ) = 5

i. h ( x ) = 6 – 5x 2

2. Determina para qué valores no están definidas las siguientes funciones reales. Explica cómo lo hiciste. a. f ( x ) =

2 2 x –1

b. m( x ) = 4x 2 – (2x)2 + 5 c. h ( x ) = 6 +

3 x −1

f. p ( x ) =

1 – x2 x +1

g. i ( x ) =

4 x +1

h. q ( x ) =

x +2 x + 10x + 25 2

d. g ( x ) = (x – 3) (x + 8)

i. k ( x ) =

x −a

e. n ( x ) = x 2 + 2ax + a2

j. u ( x ) =

1 x −b

2

3. Determina los intervalos para los cuales las siguientes funciones son crecientes y decrecientes. Explica el procedimiento que utilizaste. a. u ( x ) = – ( x + 5)2

c. w ( x ) = 3 + (10 – x)2

b. v ( x ) = 2 −

d. t ( x ) = 3x – 9

x+4

I

I

4. Una fábrica de botellas modeló el ingreso utilizando una función cuadrática. Si venden x unidades, el precio debe ser 21 – x, por unidad. a. Encuentra el ingreso como una función de las ventas. b. ¿Cuándo los ingresos empiezan a decaer? c. ¿Cuál es el ingreso máximo de la industria por las ventas de este artículo? ¿Cuántas unidades de este artículo se deben producir para tener el ingreso máximo?

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Unidad 1

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5. Completa el siguiente cuadro, indicando a qué intervalo debe pertenecer x para que la función sea negativa, cero o positiva.

f (x) < 0 f (x) =

f (x) > 0

f (x) = 0

1 1 – x x –3

f ( x ) = x 2 – 10 f ( x ) = |x – 5| f ( x ) = 1 – 4x 2 f (x) =

x +7

f ( x ) = 11 − x Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

��Qué debes recordar? •

Para los números racionales a, n y m, con a  0, se cumplen las siguientes propiedades de las potencias y las raíces:

am · an = am + n • (am)n = am · n m n m am • am : an = n = am – n • a = a n , con n  0 a • Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f ( x ) de un conjunto B. •

Una función f ( x ) es: •

creciente en un intervalo ]a, b[ si dados x e y cualesquiera en ]a, b[, se cumple siempre que x < y ⇒ f ( x ) < f ( y ).

decreciente en un intervalo ]a, b[ si dados x e y cualesquiera en ]a, b[, se cumple siempre que x < y ⇒ f ( x ) > f ( y ).

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Funciones En la mayoría de los países, la escala de temperatura usada corresponde a la escala Celsius, en la cual el agua se congela a los 0 ºC y hierve a los 100 ºC. Sin embargo, en Estados Unidos, por ejemplo, se emplea la escala de temperatura Fahrenheit, en la cual el agua se congela a los 32 ºF y hierve a los 212 ºF.

Analicemos... • • • •

La temperatura normal del ser humano es 37 ºC. ¿A cuántos grados Fahrenheit (ºF) corresponden?, ¿cómo lo calculaste? ¿Existe una expresión que permita convertir grados Celsius (ºC) a grados Fahrenheit (ºF)? Explica. Si así fuera, esta expresión (u otra equivalente) ¿correspondería a una función?, ¿por qué? ¿Qué distingue a una función de una expresión algebraica? Justifica.

Los grados Fahrenheit y Celsius se pueden relacionar por la siguiente expresión: 9C = 5 (F – 32), asumiendo que esta relación es lineal. Pero si se considera C como la variable independiente y F como la variable dependiente, es equivalente a la función lineal: 9 f ( x ) = x + 32. Observa su gráfica, que se muestra a la izquierda. 5 Así, por ejemplo, si queremos saber a cuántos grados Fahrenheit equivalen 0 ºC, basta con remplazar este valor en la función lineal dada.

f (0) =

9 · 0 + 32 = 32 5

Luego, 0 ºC equivalen a 32 ºF. De la misma forma, se puede obtener que –15 ºC equivalen a 5 ºF. Observa que para esta función siempre se puede calcular el valor correspondiente de f ( x ) para algún valor de x, o, dicho de otro modo, no existe valor de x tal que no se pueda calcular su correspondiente f ( x ). En casos como este, se dice que el dominio de f es R.

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En cambio, si en una función existieran valores para los cuales no se

Pon atención No siempre una expresión algebraica es función. Gráficamente, se puede saber si una expresión es función o no trazando rectas imaginarias paralelas al eje Y. Si alguna de ellas interseca a la gráfica en dos o más puntos, entonces no es función.

puede calcular el valor de la función, estos valores deben excluirse de 1 su dominio. Por ejemplo, en la función g ( x ) = , al intentar (x – 2) calcular g (2) se obtiene 0 en el denominador; luego, la función g (x ) no está definida para x = 2. Entonces, se dice que dom ( g ) = IR – {2}. De manera similar, se puede calcular el recorrido de la función, es decir, el conjunto de valores que la función puede tomar. Generalmente, es más fácil observar los valores que la función no puede tomar y no considerarlos en el recorrido. Por ejemplo, en la función f ( x ) = x 2, por definición de x 2, los valores de f ( x ) no pueden ser + negativos, luego rec ( f ) = IR0.

En resumen •

Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento y de un conjunto B, donde A se conoce como dominio dom( f ), de la función y B es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido, rec ( f ). No siempre se cumple que el codominio y el recorrido de una función sean iguales.

Actividades 1. Determina cuál o cuáles de las siguientes representaciones gráficas es función. Justifica. a.

b.

c.

2. Si x es un número natural, se define f ( x ) de la siguiente manera: Si x = 1 o x = 2, entonces f ( x ) = 1. Si x > 2, entonces f ( x ) = f (x – 1) + f ( x – 2). a. Calcula: f (1), f (2), f (3), f (4), f (5) y f (6). b. Determina el dominio de la función. 3. Determina el dominio y recorrido de cada función. Explica cómo lo hiciste. x 1 b. f ( x ) = 2 c. f ( x ) = x + 2 d. f ( x ) = a. f ( x ) = x–1 x +1

x +1 x −1

Función potencia y logarítmica

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Función inversa Antonio estaba revisando noticias en Internet y se distrajo con el informe del tiempo. El pronóstico para ese día era de 91 ºF, la temperatura máxima y 68 ºF, la temperatura mínima. ¿Qué?, ¿hay 91 grados de temperatura ambiente en Nueva York? Ah… entonces, ¿cuál es la temperatura en Nueva York, en grados Celsius?

Analicemos... • • • •

¿En qué unidad está dada la temperatura que encontró Antonio en Internet? 9 Si se aplica la función f ( x ) = x + 32, ¿cuáles son las tempera5 turas publicadas para Nueva York medidas en grados Celsius? ¿Cómo se podría obtener una función que permita convertir grados Fahrenheit a grados Celsius? Explica. ¿Qué relación hay entre esta última función y la anterior, 9 f ( x ) = x + 32? Justifica. 5

y = f (x) =

y – 32 =

9 x + 32 5

como x corresponde a grados Celsius, se despeja en la ecuación

9 x 5

5 (y – 32) = x 9

Pon atención No todas las funciones tienen inversa. Gráficamente, se puede saber si una función tiene o no tiene inversa trazando rectas imaginarias paralelas al eje X. Si alguna de ellas interseca a la función en dos o más puntos, entonces la función no tiene inversa.

La expresión obtenida en el procedimiento anterior se conoce como la función inversa de f ( x ) y se escribe como f –1( x ). 5 En este caso, f –1( x ) = (x – 32). Observa que siempre se representa 9 en términos de x. 5 (–4 – 32) = –20. Luego, se tiene por ejemplo: f –1(–4) = 9 9 (–20) + 32 = –4. Además, f (–20) = 5 Entonces, f ( f –1(–4)) = –4.

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Unidad 1

Si la función inversa existe, esto siempre se cumple, es decir, para todo x perteneciente a dom ( f ), se tiene que f –1 [ f ( x )] = x, así como f [f –1( x )] = x. Observa la gráfica de f –1( x ) y compárala con la gráfica de la función f ( x ) presentada en la página 16. ¿Qué puedes concluir?

En resumen •

Dada una función f ( x ), se dice que f –1( x ) es su función inversa si cuando f ( a ) = b, entonces se tiene que f –1( b) = a para todos los valores a del dom ( f ).

Para determinar la representación algebraica de f –1( x ), dada una función f ( x ), se despeja de esta expresión la variable x, y luego se intercambian los nombres de las variables.

En un mismo gráfico, las gráficas de f ( x ) y f –1( x ) son simétricas respecto de la recta y = x.

Actividades 1. Determina, a partir de cada gráfico, cuál o cuáles de las siguientes funciones tienen inversa. Explica tu decisión. a.

c.

b.

2. Encuentra la función inversa, si existe, para: a. f ( x ) =

3x − 5 10

b. g ( x ) = 3 +

x−4

c. h ( x ) = x + d. p ( x ) =

3. Encuentra la función inversa de f ( x ) = a. ¿Cuál es el dominio de f –1?

1 2

1 x +1

e. q ( x ) = 4 + 7x

f. g ( x ) =

x −5 5

x – 1 , con x  3. Explica cómo lo hiciste. x –3 b. ¿Cuál es el recorrido de f –1?

Función potencia y logarítmica

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Función potencia Observa los siguientes gráficos de la función f ( x ) = axn, con a > 0.

Analicemos... • • • •

A partir de las gráficas, en cada caso, ¿cuál es el valor de f ( x ) para x = –2?, ¿para x = 0? Y ¿para x = 1? ¿Se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en qué punto?, ¿por qué? ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función, en cada caso?, ¿qué puedes concluir? Justifica. ¿En qué se parecen las gráficas de las funciones?, ¿en qué se diferencian?, ¿qué puedes concluir?

Glosario función potencia: toda función de la forma f ( x ) = axn, con a  0, n 僆 IN – {1}, a 僆 IR, x 僆 IR.

Recuerda que... Sea x un número real: • Si n es par, el valor de x n es siempre positivo. • Si n es impar, el signo de x n es igual al signo de x.

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Los gráficos anteriores son ejemplos de la función potencia. Observa que no hay restricciones para los valores que puede tomar x en la función potencia, es decir, la función está definida para todo R, luego: dom ( f ) = R. En cambio, para determinar el recorrido de la función, es necesario distinguir qué sucede en los casos de n par y n impar. Observa. Los valores de y correspondientes a la función f ( x ) = ax n, para n par, con a > 0, por propiedades de las potencias y según el signo de a, + son siempre positivos o cero. Luego: rec ( f ) = R0 .


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Pero en el caso de f ( x ) = axn, para n impar, con a > 0, los valores de y correspondientes dependen del signo de x, es decir, cuando x > 0, se tiene y > 0; cuando x = 0, y = 0, y cuando x < 0, se tiene y < 0, por propiedades de las potencias. Luego: rec ( f ) = IR. En cuanto a las gráficas, se observa que, cuando n es par, tienen forma similar a la función cuadrática se encuentran en el primer y segundo cuadrante, y su vértice corresponde al punto más bajo de la curva, aunque, en rigor, no son parábolas si n  2. Por otra parte, si n es impar, cuando a > 0, las gráficas son siempre crecientes y se encuentran en el primer y tercer cuadrante. En cada cuadrante, su forma es similar a la mitad de una parábola, pero no son parábolas.

Glosario vértice: punto de una curva en que la curvatura tiene un máximo o un mínimo. cuadrante: cuarta parte del plano cartesiano comprendida entre los dos ejes perpendiculares. Se numeran desde el eje X positivo y en dirección antihoraria. Y

II

I

III

IV X

Observa ahora qué sucede en la función f ( x ) = ax n, para n par, si el valor de a es negativo.

f ( x ) = –x 2

f ( x ) = –x 4

f ( x ) = –x 6

En estos casos, la gráfica de la función f ( x ) tiene su vértice en el punto más alto de la curva y está en el tercer y cuarto cuadrante. Observa que tanto si a > 0 como cuando a < 0 la gráfica de la función f ( x ) = ax n para n par es simétrica respecto del eje Y. Si a < 0 en la función y = axn, para n impar. 3 y = –3x 5 y = – x3 2

y=–

1 7 x 2

En estos casos, la gráfica de la función f ( x ) = axn, para n impar, a < 0, se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante. Función potencia y logarítmica

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Unidad 1

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Actividades 1. Dibuja en un mismo gráfico las funciones f ( x ) = x 2, g ( x ) = 4x 2 y h ( x ) = 4x 2 – 2. Luego, responde: a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de f ( x ) y g ( x )?, ¿cuáles son sus diferencias? b. ¿Y entre las gráficas de g ( x ) y h ( x )?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias? c. ¿Qué puedes concluir? 2. Dibuja en un mismo gráfico las funciones p ( x ) = x 3, q ( x ) = –2x 3 y r ( x ) = –2x 3 + 4. Luego, responde: a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de p ( x ) y q ( x )?, ¿cuáles son sus diferencias? b. ¿Y entre las gráficas de q ( x ) y r ( x )?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias? c. ¿Qué puedes concluir?

En resumen •

Una función potencia es una función de la forma f ( x ) = ax n, donde a es un número real, distinto de cero, y n es un número natural, distinto de uno.

El dominio de una función potencia es IR.

El recorrido de la función f ( x ) = ax n, con n par, es R0+ ; en cambio, si es n impar, su recorrido es R.

La gráfica de la función f ( x ) = ax n depende de si n es par o impar y del signo de a.

a>0

n impar

n par

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a<0


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GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte, es un sistema de geometría interactiva, en el que se pueden construir puntos, vectores, rectas y funciones, y luego modificarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadas directamente y obtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar gráficas de diversas funciones. Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, y luego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sin tener la necesidad de instalarlo en tu computador. •

Para graficar una función, se escribe directamente en la celda Entrada, ubicada en la parte inferior de la ventana. Si la función tiene potencias, los exponentes se anotan a continuación del símbolo ^. Por ejemplo, para graficar f ( x ) = x 3 se escribe f ( x ) = x^3 y se presiona enter.

1. Utilizando GeoGebra, o bien un papel milimetrado o cuadriculado, grafica las siguientes funciones y responde. a. y = x 4 • •

b. y = x 6

c. y = x 8

d. y = x 10

Las funciones dadas, ¿son simétricas?, ¿por qué? A medida que el exponente aumenta, ¿qué puedes observar en las gráficas de las funciones?

2. Grafica las siguientes funciones y contesta: a. y = 0,05x 4 b. y = x 4 • •

c. y = 3x 4 d. y = 5x 4

e. y = 0,8x 3 f. y = x 3

g. y = 7x 3 h. y = 10x 3

¿Qué sucede a medida que a crece? ¿Ocurrirá lo mismo para a < 0?, ¿cómo lo sabes?

Función potencia y logarítmica

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Unidad 1

Herramientas tecnológicas


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Traslaciones verticales y horizontales Observa los gráficos que se muestran a continuación, con f ( x ) = x 3: 3

g(x) = x 3 – 4 = f (x) – 4

1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ h ( x ) = x 3 + 3 = f ( x ) + 3 p ( x ) = ⎜ x + ⎟ = f ⎜ x + ⎟ q ( x ) = (x – 2)3 = f ( x – 2) ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠

Analicemos... • • •

Si observamos la representación algebraica de las funciones anteriores, ¿en qué se parecen?, ¿en qué se diferencian? ¿Qué semejanzas y diferencias tienen las gráficas de cada función? ¿Cómo se relaciona el desplazamiento de la gráfica en el plano cartesiano con la diferencia en las expresiones algebraicas que las representan?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir?

Glosario función polinomial: aquella que se puede formar sumando múltiplos de potencias de x con exponentes enteros positivos o cero; por ejemplo: • f ( x ) = 2x 4 + 6x 3 + x – 7. • g ( x ) = (x – 1)2 = x 2 – 2x + 1.

Pon atención Para nombrar funciones se utilizan distintas letras para funciones diferentes. Por ejemplo, f ( x ), g ( x ) y h ( x ).

24 | Unidad 1

En cada caso, la forma de la gráfica de la función polinomial es la misma que la de la función potencia f ( x ) = x 3, pero está trasladada con relación a ella. Observa. Sea (a, a3) un punto de la gráfica de f ( x ) = x 3. El punto (a + 2, a3) pertenece a la gráfica de q ( x ) = (x – 2)3, ya que para cualquier valor de a, se cumple que [(a + 2) − 2]3 = a3. Observa que tal como el punto (a + 2, a3) está dos unidades a la derecha de (a, a3), se cumple que toda la gráfica de q ( x ) = (x – 2)3 se desplaza dos unidades a la derecha respecto de la gráfica de f ( x ) = x 3. 3 1⎞ ⎛ De manera similar, la gráfica de p ( x ) = ⎜ x + ⎟ se desplaza media ⎝ 2⎠ unidad a la izquierda respecto de la gráfica de f ( x ) = x 3. Por otra parte, el punto (a, a 3 + 3) pertenece a la gráfica de h ( x ) = x 3 + 3. Observa que el punto (a, a3 + 3) está tres unidades arriba de (a, a3); entonces, toda la gráfica de h ( x ) = x 3 + 3 también se desplaza tres unidades arriba respecto de la gráfica de f ( x ) = x 3. De manera similar, la gráfica de g ( x ) = x 3 − 4 se desplaza cuatro unidades hacia abajo respecto de la gráfica de f ( x ) = x 3.


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Si f ( x ) = axn, entonces: •

la gráfica de g ( x ) = a(x + c)n es idéntica a la de f, pero trasladada en 冟 c 冟 unidades hacia la izquierda si c > 0, o bien hacia la derecha si c < 0.

la gráfica de h( x ) = axn + c es idéntica a la de f, pero trasladada en 冟 c 冟 unidades hacia arriba si c > 0, o bien trasladada hacia abajo si c < 0.

Actividades 1. Grafica las siguientes funciones. a. f ( x ) = x 4 b. g ( x ) = (x + 2)4 c. h ( x ) = (x – 2)4

d. p ( x ) = 2x 3 e. q ( x ) = 2(x – 1)3 f. r ( x ) = 2(x + 1)3

2. A partir de la gráfica de la función g ( x ) = x 5, dibuja la gráfica de las siguientes funciones y responde. a. t ( x ) = g ( x )+ 4 b. v ( x ) = g (x + 1)

c. u ( x ) = g ( x ) – 3 d. w ( x ) = g (x – 2) + 5

• ¿Qué semejanzas encuentras? • ¿En qué se diferencian las gráficas? Explica. 3. ¿Cómo se obtiene una función trasladada verticalmente con respecto a f ( x ) = –3x 2? 4. Construye una función polinomial que corresponda a una traslación horizontal y una que corresponda a una traslación vertical de su gráfica en cada caso. Dibuja sus gráficas. a. f ( x ) = –3x 3

b. g ( x ) = 5x 4

c. h ( x ) = –5x 5

• ¿Cualquier función polinomial se puede escribir de modo que corresponda a una traslación de una función potencia?, ¿por qué?

Función potencia y logarítmica

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Unidad 1

En resumen


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Página 26

Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

FUNCIÓN POTENCIA su

su

se denota por

DOMINIO

RECORRIDO

f ( x ) = ax n

es

es

donde

n ES EL EXPONENTE

R +

R0

R

cuando

cuando

n PAR

n IMPAR

tiene

VÉRTICE

si a > 0 es una

si a > 0 es

si a < 0 es

MÍNIMO

MÁXIMO

FUNCIÓN CRECIENTE

si a < 0 es una

FUNCIÓN DECRECIENTE

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué es el dominio de una función?, ¿y el recorrido? 3. ¿Cuál es la diferencia entre una función potencia de exponente par y una de exponente impar? Explica. 4. ¿Qué características tiene la gráfica de una función potencia f ( x ) = xn, si n es impar? 5. La función potencia f ( x ) = xn, si n es par, ¿es simétrica?, ¿por qué? 6. ¿En qué casos una función potencia tiene un valor máximo?, ¿por qué? 7. ¿Qué es el vértice de una función potencia?, ¿siempre existe? Explica. 8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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Unidad 1

Mi progreso 1. Determina el dominio y el recorrido de cada función. Explica el procedimiento que usaste. a. f ( x ) = x 2 + 2

c. h ( x ) = 冟 3x – 6 冟

b. g ( x ) = 7x – 5

2. Calcula la función inversa para: a. p ( x ) =

5x – 5 7

b. q ( x ) =

4 1− x

c. r ( x ) =

3–x x+4

3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a. b. c. d.

La función potencia f ( x ) = axn, con n impar, es siempre creciente. El recorrido de una función potencia f ( x ) = ax n es R. El vértice de una función potencia f ( x ) = ax n es el punto más bajo de la curva. La gráfica de la función potencia f ( x ) = ax n, con n impar, a < 0, se halla en el segundo y cuarto cuadrante.

4. La gráfica de g ( x ) = x 3 + 5 se encuentra, respecto de la gráfica de f ( x ) = x 3, trasladada: A. B. C. D. E.

5 unidades hacia la izquierda. 5 unidades hacia la derecha. 5 unidades hacia abajo. 5 unidades hacia arriba. Ninguna de las anteriores.

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEM

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Determinar el dominio y recorrido de una función.

1

16 a 19

Calcular la función inversa de una función.

2

18 y 19

Reconocer características de la función potencia.

3

20 a 23

Relacionar el desplazamiento de la gráfica de una función potencia con la función polinomial asociada.

4

24 y 25

Función potencia y logarítmica

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Logaritmos Hasta hace casi 400 años, la tarea de un calculador podía ser agotadora. Imagina calcular multiplicaciones, divisiones, potencias, o sacar raíces, no solo de números enteros sino también de fracciones y números decimales sin tener una calculadora. Observa las siguientes multiplicaciones: 16 · 128

81 · 2187

256 · 16 384

625 · 78 125

Analicemos... •

• •

Calcula los productos de las multiplicaciones anteriores sin usar calculadora y compara los resultados en tu curso. ¿Existen diferencias?, ¿por qué? ¿Hay alguna forma de simplificar estos cálculos sin calculadora? Explica. Observa la siguiente tabla. ¿Reconoces en ella algunos de los factores anteriores?, ¿y algunos de tus resultados?, ¿qué tienen en común? n

28 | Unidad 1

2n

3n

4n

5n

1

2

3

4

5

2

4

9

16

25

3

8

27

64

125

4

16

81

256

625

5

32

243

1024

3125

6

64

729

4096

15 625

7

128

2187

16 384

78 125

8

256

6561

65 536

390 625

9

512

19 683

262 144

1 953 125

10

1024

59 049

1 048 576

9 765 625

11

2048

177 147

4 194 304

48 828 125

12

4096

531 441

16 777 216

244 140 625

Escribe los factores y el resultado, en cada caso, en forma de potencias. ¿Qué puedes concluir?


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Unidad 1

Observa que todos los resultados conseguidos en la tabla anterior se ubican en la fila correspondiente a n = 11. Es decir, 11 es el exponente al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, o el 3 para lograr 177 147, por ejemplo.

Glosario Para referirnos al cálculo de este exponente, por ejemplo, al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, decimos que el logaritmo de 2048, en base 2, es 11 y lo denotamos:

log2 2048 = 11, pues 211 = 2048

logaritmo: exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado.

o que el logaritmo de 177 147, en base 3, es 11 y lo denotamos: log3 177 147 = 11, pues 311 = 177 147 Y así sucesivamente. Veamos ahora cómo se simplifica el cálculo de 625 · 78 125 utilizando la tabla. Se ubican en la tabla cada uno de los factores y se expresan como potencias con igual base: 625 · 78 125 = 54 · 57 = 511. Entonces, se busca en la tabla, en la columna que corresponde a 5n, su valor para n = 11. Este valor es 48 828 125, tal como cuando resolviste la multiplicación mediante el algoritmo habitual.

Recuerda que... • •

an · am = an + m an n – m =a con a  0, am n, m 僆 ⺡

De manera similar, podríamos efectuar otras operaciones, como divisiones; por ejemplo: 244 140 625 512 = 8 = 54 = 625 390 625 5 logc B , con la que se puede logc b determinar el resultado de log27 19 683. Además, existe una propiedad logb B =

A partir de la tabla se observa que 19 683 y 27 son ambos potencias de 3; luego, se pueden escribir utilizando los logaritmos en base 3 y ubicar los valores en la tabla. Observa.

log27 19 683 =

log3 19 683 log3 27

=

9 = 3. Es decir, 273 = 19 683. 3

Pon atención

De esta manera, las multiplicaciones se pueden convertir en sumas, las divisiones en restas y las raíces en divisiones, con lo que se facilita notablemente el cálculo, más aún cuando los números implicados son grandes y se cuenta, obviamente, con tablas apropiadas.

A diferencia de la tabla de la página anterior, las tablas de logaritmos muestran los valores de n a partir de los valores de an.

Función potencia y logarítmica

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Glosario argumento: número o expresión al que se le aplica logaritmo. Por ejemplo, en la expresión logb a, el argumento es a.

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Volvamos a la definición de logaritmo: “Exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado”. Si se escribiera como ecuación, logb a, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos, corresponde a resolver bx = a. Por ejemplo, calcular log2 16 equivale a resolver la ecuación 2x = 16, ya que la base del logaritmo es 2, el exponente no se conoce y 16 es el argumento, que corresponde al valor de la potencia. Y como 16 es una potencia de 2, de hecho, 24, esto equivale a 2x = 24; luego, igualando los exponentes, se obtiene que x = 4. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Calcula el valor de log7 343. log7 343 = x 7x = 343 = 73 Luego, log7 343 = 3.

x=3

Determina el valor de log 2 8 . 1

1

3

log 2 8 = x ⇒ 2x = 8 2 ⇒ 2x = (23) 2 = 2 2 3 Luego, log 2 8 = . 2 Al igual que en el caso de las raíces, no todos los logaritmos se pueden calcular. Esta es la razón de la condición de valores positivos para a y b. Observa. Ejemplo 3:

Determina el valor de log8 –512. log8 –512 = x ⇒ 8x = –512

Pero ¿la potencia de un número positivo puede ser negativa? No, en ningún caso. Luego, log8 –512 no existe. Ejemplo 4:

Calcula el valor de log(–2) 8. log(–2) 8 = x ⇒ (–2)x = 8 = 23

En este caso, la base de la potencia es negativa y su exponente es impar; luego, el valor de la potencia debiera ser negativo también. Como esto no se cumple, no existe log(–2) 8. Ejemplo 5:

¿Cuánto resulta log1 5? log1 5 = x ⇒ 1x = 5

Ya que toda potencia de 1 es 1, no existe un valor de x, tal que 1x sea igual a 5.

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UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1

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Unidad 1

Considerando situaciones como estas, es que se ha definido que el valor de la base y el argumento del logaritmo deben ser positivos. En particular, la base tiene que ser distinta de 1. En un mundo sin calculadoras, los logaritmos fueron utilizados como la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Gracias a su uso se ahorró un increíble esfuerzo, pues se pudo trabajar con los pesados cálculos necesarios en las aplicaciones a la agrimensura, la astronomía y, particularmente, la navegación. Además, permitió realizar otros cálculos matemáticos que sin su invención no hubieran sido posibles.

Pon atención Las calculadoras tienen teclas para calcular el logaritmo en base 10 (log) y el logaritmo natural (ln), pero no el logaritmo en una base cualquiera. En ese caso, se puede calcular usando la fórmula de cambio de base.

Las tablas de logaritmos y las reglas de cálculo eran imprescindibles en cualquier centro de cálculo, hasta la aparición de las calculadoras y computadores. Actualmente, los logaritmos ya no son necesarios para lo que fueron concebidos. Sin embargo, son fundamentales en la modelación matemática y en ciencias, por lo que han sobrevivido al desarrollo de las calculadoras electrónicas.

En resumen •

Por definición, x = logb a ⇒ bx = a, entonces se puede decir que el logaritmo es el exponente de la potencia en base b cuyo valor es a.

La expresión logb a se lee como: “logaritmo de a en base b”.

El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a 僆 R+ y b 僆 R+ – {1}.

Actividades 1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. g. loga

8

a. log9 243

d. log0,7 0,343

b. log2 128

e. loga a9

a 1 h. log6 36

c. log5 625

f. log12 1

i. log4 1024

j. log 3 2

9 4

m. log16 8 5 2

k. log8 16

n. loga a

l. log8 0,125

o. log27 9

• Verifica con la calculadora los resultados obtenidos. 2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x. Explica cómo lo hiciste. a. log2 x = 6

b. log 3 x = –2 4

c. log0,3 x = 3

d. log0,004 x = –3

Función potencia y logarítmica

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Propiedades de los logaritmos Tomás, a partir de la definición y luego de comprobarlo con algunos valores, determinó las siguientes relaciones entre los valores de a, b y c, con b  1:

logb a = c

bc = a

b=

c

a

Analicemos... • • •

¿Están correctas las relaciones que estableció Tomás? Compruébalas remplazando con los valores correspondientes en cada caso. Tal como existen propiedades para las potencias y para las raíces, ¿se pueden establecer propiedades para los logaritmos? Justifica. Por ejemplo, en el caso de logb bn, ¿existe alguna propiedad que simplifique los cálculos? Explica.

Las propiedades que se cumplen para los logaritmos, para cualquier valor adecuado de la base b, se pueden establecer y demostrar a partir de las propiedades de las potencias. Observa. •

Logaritmo de la unidad:

logb 1 = x

⇔ bx = 1 ⇔ b x = b0, ya que b > 0, b  1 ⇒x = 0

Por propiedades de potencias, ya que el valor de la potencia es 1 cuando el exponente de la potencia es cero (pues la base es positiva y distinta de 1). Luego, logb 1 = 0, con b  1. Ejemplo: log5 1 = 0. •

Logaritmo de la base del sistema: ⇔ b x = b ⇔ b x = b1 ⇒ x = 1. Luego, logb b = 1, con b  1. Ejemplo: log3 3 = 1.

logb b = x

Logaritmo de una potencia con igual base:

logb ba = x

⇔ b x = ba ⇒ x = a

Luego, logb ba = a, con b  1, con a, número real. Ejemplo: log6 63 = 3.

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Página 33

Pon atención

Cambio de base

logb B = x ⇔ bx = B logc b x = logc B x · logcb = logc B

Los logaritmos de base diez, es decir, log10 x, son llamados logaritmos decimales y en este texto los denotaremos como log x.

se aplican logaritmos en una base c por propiedad de logaritmos que se trabajará en la página 35.

logc B logc b log B Por lo tanto, logb B = c para todo b, c, B > 0; b, c  1. logc b log 5 0,69897 Ejemplo: log2 5 = = = 2,32192. log 2 0,30103 x=

En resumen Los logaritmos cumplen, ya que la base b es positiva y distinta de 1, que: •

Logaritmo de la unidad: logb 1 = 0.

Logaritmo de la base del sistema: logb b = 1.

Logaritmo de una potencia con igual base: logb ba = a, con a 僆 IR. log B Cambio de base: logb B = c para todo b, c, B > 0; b, c  1. logc b

Actividades 1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste. a. log2 64

d. log5 1

g. log16 128

b. log27 243

e. log3 3

h. log128 1

c. log0,7 0,49

7

f. log5 5

16 3 9 k. log 1 128 j. log 4 2

3

i. log6 6

l. log5

1 25

2. Utilizando una calculadora, encuentra el valor de las siguientes expresiones. a. log2 5

b. log6 7

c. log7 9

d. log6 11

3. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones. a. log4 64 + log 1000 + log5 125

d. 3 log 1 32 + 7 log 1 125 – 6 log 1 243

b. log 2 4 – log 5 125 + log 10 000 3 9 6 216

e. 4 log 5

c. 2 log5 25 – 3 log7 49 + 4 log8 4096

f. 2 log 100 000 – 2 log4 256 + 4 log2 32

4

7

5

3

25 8 216 + 2 log 2 – 5 log 6 5 125 7 343 49

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Propiedades de las operaciones de los logaritmos Al igual que para las potencias y las raíces, para los logaritmos también existen propiedades que permiten simplificar los cálculos. Para demostrarlas, los logaritmos se pueden escribir en forma exponencial y aplicar algunas de las propiedades de las potencias. Por ejemplo, el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Es decir,

logb (a · c) = logb a + logb c.

Analicemos... • • •

Considera valores positivos para a, b y c, con b  1, y remplázalos en la expresión. ¿Efectivamente se satisface? Justifica. ¿Crees que también se cumpla logb (a · c) = logb a · logb c? Justifica. A partir de esta propiedad, ¿se pueden obtener otras? Explica.

Para comprobar con un ejemplo que esta propiedad se satisface, se puede resolver un logaritmo de dos maneras distintas: directamente y aplicando el logaritmo del producto. Observa:

log2 128 = x

⇔ 2x = 128 ⇔ 2x = 27, luego x = 7.

Por otra parte, log2 128 = log2 (4 · 32) = log2 4 + log2 32 = 2 + 5 = 7. Pero no basta con comprobar con un ejemplo para justificar que la propiedad está correcta. Es necesario demostrar que se cumple para cualquier valor positivo de a, b o c, con b  1. Considera que

logb a = y logb c = z logb (a · c) = x

bx = by · bz bx = by + z ⇒ x = y + z logb (a · c) = logb a + logb c

⇔ by = a ⇔ bz = c ⇔ bx = a · c remplazando a · c por propiedad de potencias remplazando

De manera similar se pueden demostrar las siguientes propiedades: • El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y el divisor. ⎛ a⎞ logb ⎜ ⎟ = logb a – logb c ⎝c⎠ ⎛ 81 ⎞ Ejemplo: log3 ⎜ = log3 81 – log3 243 = 4 – 5 = – 1. ⎝ 243 ⎟⎠

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El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente de dicha potencia por el logaritmo de su base.

logb ac = c · logb a Ejemplo: log2 43 = 3 · log2 4 = 3 · 2 = 6. •

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical, dividido por el índice de la raíz. logb

Ejemplo: log4

6

n

a =

Pon atención En relación con las propiedades de los logaritmos se debe tener presente que se cumple en general: • logb (p · q)  logb p · logb q • logb (p + q)  logb p + logb q • logb (p – q)  logb p – logb q •

logb a

logb p p ≠ logb q q

n 1 1 1 · log4 16 = ·2= . 16 = 6 3 6

En resumen Sean a, b, c números racionales y positivos, con la base b distinta de 1: • • • •

Logaritmo de un producto: logb (a · c) = logb a + logb c. a Logaritmo de un cociente: logb = logb a – logb c. c Logaritmo de una potencia: logb ac = c · logb a. log a n Logaritmo de una raíz: logb a = b . n

()

Actividades 1. Si A = log6 2, B = log6 3 y C = log6 5, expresa en términos de A, B y C los siguientes logaritmos. a. log6 5400

b. log6 90

c. log6

216

d. log6

1080 32 400

2. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo. a. b. c. d.

logm a – 2 logm b + logm c – 3 logm d logb (x 2 + 1) + logb (x + 1) + logb(x – 1) logp (x + y + z) – 4 logp (x – y – z) logp (x + 3) – 4 logp (x – 2)

e. f. g. h.

2 logb 3 + 3 logb 2 logb c – 6 logb a logb a – logb c – logb d + logb e logb c + logb a – 1

3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando las propiedades. a. logb (x 2 – 9x – 22) 8

7

c. logb (x 3 + y3)2 6

b. logb (100x – 80x + 16x )

8 3

2 4 5

d. log p

ab c d

2

Función potencia y logarítmica

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Unidad 1

UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1


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Demostraciones aplicando logaritmos Frecuentemente, en Matemática es necesario expresar la relación entre dos o más variables de diferentes formas. Por ejemplo, demuestra que si se cumple

u3 – v · w 5v = uv entonces también se cumple: v log

+5

· w 3v,

(wu) = log u.

Analicemos... • •

¿Siempre se cumple la primera igualdad?, ¿y la segunda? Explica. ¿Los valores positivos de u, v y w que satisfacen la primera igualdad también lo hacen con la segunda? Explica.

Suponiendo que la primera igualdad se cumple para valores positivos, observa cómo se demuestra que es equivalente a la segunda.

u 3 – v · w 5v = uv + 5 · w 3v

se aplican logaritmos

(3 – v) log u + 5v log w = (v + 5) log u + 3v log w 3 log u – v log u + 5v log w = v log u + 5 log u + 3v log w 3 log u – v log u – v log u – 5 log u = 3v log w – 5v log w se reducen términos semejantes

–2v log u – 2 log u = –2v log w –2 log u = –2v log w + 2v log u

log u = v log w – v log u

dividiendo por –2

log u = v (log w – log u)

factorizando

log u = v log

w u

queda demostrado

Como se observa en este ejemplo, una de las ventajas de los logaritmos es que permiten transformar multiplicaciones en sumas, divisiones en restas y potencias en productos, con lo que se facilitan mucho los cálculos y también las demostraciones. Ejemplo 1 Considera la siguiente figura:

h

Demuestra que logh q + logh p = 2. p

36 | Unidad 1

q


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Unidad 1

Solución A partir de la figura, se puede aplicar claramente el teorema de Euclides:

p · q = h2 se aplican logaritmos 2 log (p · q) = log h log p + log q = 2 log h log p + log q =2 log h log p log q + =2 log h log h

se realizan los cambios de base: y

.

Luego, logh q + logh p = 2, que es lo que se quería demostrar. Ejemplo 2 2 5 3 log a en función de p. log a = p Si , calcula Solución log 3 a = p 1

log a 3 = p ⇒

Recuerda que

.

1 log a = p ⇒ log a = 3p 3 2 5

2 Por otro lado, la expresión log a puede ser escrita como log a. 5 Luego, remplazando se tiene: 2 2 2 6 6 log a = · 3p = p. Entonces, log a 5 = p. 5 5 5 5

Actividades 1. Demuestra las siguientes propiedades, para a, b y x positivos y b  1. a. a = b

logb a

()

b. logb 1 + logb a = 0 a

2. Determina si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas con a > 0, a  1. Justifica en cada caso. u c. loga au = 1 + loga u a. loga u = loga v + loga v loga u u = loga b. d. loga u = loga u loga v v 3. Demuestra que: loga b · logb c · logc d · … · logm n · logn a = 1, para los números positivos a, b, c,…, n, distintos de 1.

Función potencia y logarítmica

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Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

LOGARITMOS se denotan por

logb a = c

cuyos componentes son

se corresponden con

hay propiedades para

LOGARITMO DE LA UNIDAD

BASE: b POTENCIAS

y

RAÍCES ENÉSIMAS LOGARITMO DE LA BASE

ARGUMENTO: a permiten resolver

ECUACIONES

bc = a

b=ca

LOGARITMO DE UN PRODUCTO LOGARITMO DE UN COCIENTE LOGARITMO DE UNA POTENCIA CAMBIO DE BASE

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿Cuál es la definición de logaritmo? ¿Cómo se relacionan los logaritmos con las potencias y las raíces enésimas? Explica. ¿Cuál es la diferencia entre un logaritmo de base 2 y uno de base 10? ¿Qué tipo de ecuaciones se pueden resolver utilizando logaritmos?, ¿por qué? ¿En qué casos el logaritmo de 1 es 0? Justifica. ¿Se puede afirmar que el logaritmo de una suma corresponde a la suma de los logaritmos?, ¿por qué? 8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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Unidad 1

Mi progreso 1. Utilizando la tabla de la página 28, calcula los siguientes logaritmos. a. log4 16 384

b. log5 1 953 125

c. log16 1 048 576

d. log8 2048

2. Calcula los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste. a. log6 216

b. log2 1024

c. log16 16

d. log9 1

3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando propiedades. 2 3

a. logb

pq s

r

4

b. logb

3

2

p −q

2

4. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo. a. loga d – 3 loga b + loga 5 – 3 loga c 2

b. 2 · logb (x – 9) + logb (x – 3) – logb (x + 3)

c. logc (x + 2y – z) – 3 logc (x – y + 4z) d. 6 logb 5 + 4 logb 15

5. Decide si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a. loga (u + v) = loga uv

b. (loga b)(logb a) = 1

6. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es falsa. Justifica tu decisión. A. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo de la base de la potencia. B. El valor del logaritmo cuya base es igual al argumento es siempre igual a 1. C. La base de un logaritmo es un número real positivo. D. Dos logaritmos en la misma base son iguales si y solo si sus argumentos son iguales. E. Ninguna de las anteriores.

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEMS

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Calcular logaritmos utilizando tablas de potencias.

1

28 y 29

Calcular logaritmos.

2

30 a 33

Aplicar propiedades de los logaritmos.

3y4

32 a 35

Reconocer y demostrar propiedades de los logaritmos.

5y6

30 a 37

Función potencia y logarítmica

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Función logarítmica Observa las siguientes gráficas: Caso I

Caso II

x

1 3

1

3

9

27

x

9

3

1

1 3

1 27

y

–1

0

1

2

3

y

–2

–1

0

1

3

Analicemos... • • • • • •

A partir de las gráficas, en cada caso, ¿cuál es el valor de y para x = 3?, ¿para x = 1? Y ¿para x = 0? En cada caso, ¿qué sucede a medida que x aumenta?, ¿y a medida que x se acerca a 0? Explica. En cada caso, ¿cuál parece ser el dominio de la función?, ¿y recorrido? ¿Se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en qué punto? Estas gráficas, ¿se parecen a las gráficas de alguna función que conozcas?, ¿por qué? ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre estas gráficas?

Glosario función logarítmica: toda función cuya variable se encuentra en el argumento de un logaritmo, por ejemplo, de la forma f (x) = logb x, con b > 0, b  1, x > 0.

Las gráficas anteriores son ejemplos de la función logarítmica. Un método posible para determinar la expresión algebraica que representa a una función conocida, a partir de la gráfica, es utilizar su tabla de valores. Observa que en la tabla correspondiente al caso I, los valores de x son potencias de 3, cuyos exponentes son los valores asociados de y. Es decir, x = 3y, lo que equivale a y = log3 x. Entonces, la expresión algebraica que representa a la función dada en la primera gráfica es f ( x ) = log3 x, con x 僆 IR. En cambio, la expresión algebraica que representa a la función dada en la segunda gráfica es f ( x ) = log 1 x, con x 僆 IR. 3

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Unidad 1

Observa ahora las siguientes gráficas para determinar las características de la función logarítmica. Caso I: Función logarítmica: f ( x ) = logb x, con b > 1. En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes funciones: f1( x ) = log2 x , f2 ( x ) = log3 x , f3 ( x ) = log4 x , f4 ( x ) = log5 x .

Recuerda que... En estas gráficas se observa: • • • •

La curva asociada a la función logarítmica interseca al eje X en el punto (1, 0). El dominio de la función son los números reales positivos: R+. La función es creciente para todo su dominio, es decir, logb x < logb y cuando 0 < x < y. El recorrido de la función son todos los números reales: IR.

Una función es creciente si x1 < x2; entonces f (x1) < f (x2) para todos los valores x1, x2 del dominio de la función. En cambio, si cuando x1 < x2 se tiene que f (x1) > f (x2), la función es decreciente.

Caso II: Función logarítmica f ( x ) = logb ( x ), con 0 < b < 1. En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes funciones: f1( x ) = log0,2 x , f2 ( x ) = log0,5 x , f3 ( x ) = log0,6 x, f4 ( x ) = log0,75 x . En estas gráficas se observa: • • • •

La curva asociada a la función logarítmica interseca al eje X en el punto (1, 0). El dominio de la función son los números reales positivos: IR+. La función es decreciente para todo su dominio, es decir, logb x > logb y cuando 0 < x < y. El recorrido de la función son todos los números reales: IR.

¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos?

Función potencia y logarítmica

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Observa ahora distintas gráficas de la función logarítmica: A partir de la función f ( x ) = logb x , con b > 0, analizaremos distintas gráficas según sea el caso.

Pon atención Para evitar confusiones, observa que log x + y corresponde a (log x) + y, no a log(x + y).

Caso I. Función logarítmica f ( x ) = a logb x , con a 僆 IR, a  0.

a>0 f1 ( x ) = logb x f 2 ( x ) = 2 logb x f 3 ( x ) = 4 logb x f 4 ( x ) = 0, 5 logb x

a<0 f5 ( x ) = −3 logb x f 6 ( x ) = −5 logb x f 7 ( x ) = −0, 3 logb x

Caso II

Se observa en las gráficas anteriores, dada la función f ( x ) = a logb x , con b > 1, que: • Si a > 0, la gráfica de la función será siempre creciente. • Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente. ¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores? Caso II. Sea f ( x ) = logb (x + a), con a 僆 IR, b > 1. f1( x ) = logb x

f2 ( x ) = logb ( x − 1)

f3 ( x ) = logb ( x + 1)

Caso III Caso III. Sea f ( x ) = logb x + a, con a 僆 IR, b > 1. f1( x ) = logb x

f2 ( x ) = logb x + 2

f3 ( x ) = logb x − 2

En el caso II observamos que las gráficas corresponden a traslaciones horizontales de la función f 1( x ) = log x y según sea el valor de a, positivo o negativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha, respectivamente. En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajo o hacia arriba, según sea el valor positivo o negativo de a.

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Unidad 1

Actividades 1. Dada la función logarítmica f ( x ) = log2 x , determina: a. f (4)

⎛ 1⎞ c. f ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠

⎛ 1⎞ e. 2f (2) – 6f ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠

b. f (16)

⎛ 1⎞ d. f ⎜ ⎟ ⎝ 64 ⎠

⎛ 1⎞ f. 2f (4) + 3f (32) – f ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠

2. Respecto de las siguientes funciones, sin graficar, indica qué tipo de transformación presentan sus gráficas en relación con la función f ( x ) = log x . a. f ( x ) = log x + 4

b. f ( x ) = log (x – 5)

c. f ( x ) = –log (x + 1)

3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones y responde. a. f ( x ) = log x y f 1( x ) = –log x b. m ( x ) = log (x – 4) y m1( x ) = –log (x – 4) • ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones de a?, ¿y de b? • En las funciones dadas en a y b, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X? • ¿Cuál es el dominio de las funciones dadas en a y b?

En resumen La función logarítmica f ( x ) = logb x tiene las siguientes características: •

El dominio de la función son los números reales positivos.

El recorrido de la función son los números reales.

La gráfica de la función interseca al eje de las abscisas en el punto (1, 0).

Si b > 1, entonces la función es creciente.

Si 0 < b < 1, entonces la función es decreciente.

Función potencia y logarítmica

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UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1

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Herramientas tecnológicas La utilización de programas computacionales resulta muy útil para el análisis de funciones. En estas páginas aprenderás a usar el programa Graphmatica para construir y analizar gráficas de funciones. Para bajar este programa ingresa a www.graphmatica.com/espanol. Al abrir el programa, la interfase presenta el siguiente aspecto: Sobre la cuadrícula hay una barra en blanco que permite escribir funciones usando las variables x e y. Una vez ingresada la función, presiona el botón dibujar gráfica o simplemente presiona enter. A continuación aparecerá en la cuadrícula la gráfica de la función.

Se puede cambiar la escala de la gráfica de la función y el aspecto de la cuadrícula de la siguiente forma: • Para cambiar la escala haz clic en el menú Ver y selecciona Rango de la cuadrícula. Aquí se puede modificar el rango horizontal (opciones izquierda y derecha) y el rango vertical (opciones arriba y abajo). • Para cambiar los colores del plano cartesiano o de la gráfica de la función, en el menú Opciones selecciona papel gráfico para modificar el color de las gráficas y el color de fondo, así como etiquetar los ejes, etcétera. Para obtener la gráfica de varias funciones se debe escribir cada ecuación en la barra en blanco sobre la cuadrícula y presionar enter antes de anotar la siguiente. Obtendrás en pantalla una o más gráficas, tal como se muestra en la imagen de la derecha: Para modificar las gráficas sin empezar todo de nuevo se puede utilizar: • Presiona el botón y el botón

para ocultar la última gráfica

para ocultarlas todas.

• Para borrar las gráficas selecciona la función que deseas borrar y utiliza el botón

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.


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Unidad 1

UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1

Utilizando Graphmatica, realiza lo siguiente: 1. Grafica las siguientes funciones y determina si tienen o no inversa. Explica cómo lo supiste. 1 x–1 1 b. f ( x ) = x2

d. f ( x ) =

c. f ( x ) = |x – 2|

f. f ( x ) = 4 – x 2

a. f ( x ) =

1 1 + x x −1

e. f ( x ) = x 3 – x 2 – 2x

2. Grafica las siguientes funciones de la forma y = ax 5. Luego, responde. a. y = –0,05x 5 • •

b. y = –2x 5

c. y = –7x 5

¿Qué sucede a medida que el valor de a crece? ¿Ocurrirá lo mismo para a > 0?

3. A partir de la gráfica de la función g ( x ) = x 7, dibuja la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde. a. p ( x ) = g ( x ) + 10 b. q ( x ) = g (x + 3) • •

c. r ( x ) = g ( x ) – 6 d. s ( x ) = g (x – 4) + 8

¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones? En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?, ¿por qué?

4. A partir de la gráfica de la función f ( x ) = log4 x, dibuja la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde. a. p ( x ) = f ( x ) + 4 b. q ( x ) = f (x + 2) • •

c. r ( x ) = f ( x ) – 1 d. s ( x ) = f (x – 3) + 5

¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones? En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?, ¿por qué?

5. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones y luego responde. a. f ( x ) = log x y f1( x ) = log (–x ) b. g ( x ) = log2 x y g1( x ) = log4 x c. m ( x ) = log (x + 5) y m1( x ) = –log (x – 5) • •

¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones del ítem a?, ¿del b?, ¿y del c? En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?

Función potencia y logarítmica

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UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1

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Ecuaciones logarítmicas Una escala utilizada para medir la cantidad de energía liberada por un sismo es la escala de Richter, representada por la ecuación: log E = 1,5 · R + 11,8, donde E: energía liberada, medida en ergios, y R: magnitud del sismo, medida en grados de la escala de Richter. Por ejemplo, el terremoto del 13 de junio de 2005 en Huara, provincia de Iquique, tuvo una magnitud de 7,8.

Hombre removiendo escombros provocados por el terremoto de Huara. Gentileza: Ministerio de Interior.

Analicemos... • •

¿Cuánta energía fue liberada en esa ocasión?, ¿cómo lo calculaste? ¿Cuánta energía más liberaría un terremoto de magnitud 8,5 en la escala de Richter? Explica.

Glosario ecuación logarítmica: igualdad en la que intervienen logaritmos y donde la incógnita forma parte del argumento de, al menos, uno de ellos.

La ecuación logarítmica que permite responder la situación presentada es log x = 1,5 · 7,8 + 11,8, ya que R, en este caso, es igual a 7,8. Luego, para calcular cuál es el valor de x, se aplican potencias de 10. Observa.

log x = 1,5 · 7,8 + 11,8 log x = 23,5 log 10 x

10

= 10

23,5

log 10 x

, pero 10

= x , por definición de logaritmos.

23

x = 3,162 · 10

Luego, la energía liberada en el terremoto del 13 de junio de 2005 fue de 3,162 · 1023 ergios. En general, para resolver una ecuación logarítmica con una incógnita, se debe manipular la ecuación, de modo de escribirla de la forma logb f ( x ) = logb g ( x ), donde f ( x ) y/o g( x ) son expresiones que contienen la incógnita. Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien siempre decreciente, entonces: logb f ( x ) = logb g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ). Lo anterior, junto con las propiedades de los logaritmos, nos permitirá resolver una ecuación.

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Ejemplo 1 log (x + 4) = log 2 + log (x + 1) log (x + 4) = log (2 · (x + 1)) log (x + 4) = log (2x + 2) x + 4 = 2x + 2 x=2

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Unidad 1

UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1

aplicando propiedades de los logaritmos se igualan los argumentos

Se verifica la solución, remplazando x = 2 en la ecuación: log (2 + 4) = log 2 + log (2 + 1) log 6 = log (2 · 3) Por lo que x = 2 satisface la ecuación. Ejemplo 2 log (x 2 – 18) = log 3 + log x

log (x 2 – 18) = log (3x)

se aplican propiedades de los logaritmos

x 2 – 18 = 3x x 2 – 3x – 18 = 0

igualando el argumento de ambos logaritmos

(x – 6) (x + 3) = 0

x = 6 y x = –3

al resolver esta ecuación de segundo grado se obtienen dos soluciones

Pon atención

Al remplazar x = 6 se obtiene: log (62 – 18) = log 3 · 6. Por lo tanto, satisface la ecuación logarítmica. Por otra parte, con x = –3 se obtiene log –9 = log 3 + log –3, pero la función logarítmica no está definida para un número negativo. Por lo tanto, x = –3 no es una solución de la ecuación.

Las soluciones de una ecuación logarítmica deben comprobarse siempre, ya que la función logarítmica solo admite valores positivos en sus argumentos, y podría ocurrir que con el valor de x encontrado no se satisfaga esta condición.

Ejemplo 3 log (x 2 – 1) = log (x – 1)

x2 – 1 = x – 1

igualando el argumento de

x2 – x = 0

ambos logaritmos

x (x – 1) = 0

se resuelve la ecuación de segundo grado

x=0yx=1 Para x = 0 se obtiene log (–1), que no está definido. Para x = 1 se obtiene log (0), que tampoco está definido. Por lo tanto, esta ecuación logarítmica no tiene solución real, aunque algebraicamente se determinaron valores. De aquí la importancia de comprobar siempre los resultados. Función potencia y logarítmica

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UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1

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Ejemplo 4 log2 [log2 (5x + 6)] = 2 log2 [log2 (5x + 6)] = log2 22

Ya que a = logb ba

log2 (5x + 6) = 4 log2 (5x + 6) = log2 24

Igualando los argumentos. Ya que a = logb ba

5x + 6 = 24 5x + 6 = 16

Igualando el argumento de ambos logaritmos.

5x = 10, luego x = 2. Comprobando, log2 [log2 (5 · 2 + 6)] = log2 [log2 16] = log2 4 = 2.

En resumen •

Una ecuación logarítmica es una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde la incógnita forma parte de al menos uno de sus argumentos.

Para resolver una ecuación logarítmica se debe manipular la ecuación, de modo de escribirla de la forma logb f ( x ) = logb g ( x ), donde f ( x ) y/o g ( x ) son expresiones positivas que contienen la incógnita. Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien siempre decreciente, entonces:

logb f ( x ) = logb g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ). Luego, ahora se resuelve f ( x ) = g ( x ). •

Las soluciones de una ecuación logarítmica se deben comprobar siempre, ya que los logaritmos solo se definen para valores positivos y podría ocurrir que el valor encontrado, al remplazarlo en la ecuación, presente logaritmos de un número negativo o cero, es decir, en logb f ( x ) = logb g ( x ) se tenga f ( x )  0 o g ( x )  0.

Actividades 1. Obtén el valor de x en los siguientes casos. 1 2

a. log2 128 = x

e. logx 100 =

b. log 343 7 = x

f. log2 322 = x

c. log3 [log3 (5x + 2)] = 1

g. log3 {log3 [log3 (x + 25)]} = 0

d. log2 {log2 [log2 (2x – 8)]} = 0

h. log5 (5x – 4) – log5 (2x – 7) = 2

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Unidad 1

UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1

2. Determina el valor de x en cada caso. Explica el procedimiento que utilizaste. a.

(

2

log3 x + 3

)=2

d. log3 (3x – 2) = 2

log3 ( x – 2)

b. log2 x + log2 6 = log2 30 – log2 5 c. log 7

x + 1 = log 7 x

e. log2 x 2 + 3log2 x = 10 f. log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = log2 8

3. Verifica si se cumplen las igualdades para cada valor de x. a. log (x + 3) + log (x – 5) = 2 log (x – 6)

Para x = 8, x = 6,5, x = 7,5

b. log (3x – 4) – log x + log 5 = log (15x + 2) – log (x + 2)

Para x = 3, x = 5, x = 7

c. log (6x + 5) + log (2x + 7) = log (3x + 4) + log (x + 5)

Para x = –

d.

1 1 1 log (x + 7) – log (x + 5) = log (x 2 + 10x + 25) 2 2 2

e. log x + 2 log x + log x 3 – 5 log x = 2

3 , x = –3, x = 2 6

Para x = 5, x = 0, x = –5 Para x = 20, x = 50, x = 100

4. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidos satisfacen la ecuación. a. log x – log 2 = 3

g. 2 log (2x – 1) – 2 = –2 log (3x – 4)

b. log x + log 7 = log 4

h. log

c. 6 log x = log 64 + log

x 4

⎛ 3 − x2 ⎞ d. log ⎜ ⎟ =1 ⎝ 2x + 10 ⎠ e.

1 log (x + 5) = log 2 4

f. log (x – 4) + log x = log 5

( ) ()

i. log

9 9 − x = log − log x 2 2 x + 3 + log

x − 5 = log 3

j. log (x + 3) – log (2x – 1) = 0

k. log x 3 –

l. log x

–1

1 5 log x = 2 2 + (log x) – 1 = –

3 2

Función potencia y logarítmica

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Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas El pH es la escala de medida que diferencia el grado de acidez o de alcalinidad de una solución. Los químicos calculan el pH de una solución (condición de ácido o base) mediante la expresión: pH = –log [H+], donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro.

Analicemos... Medidor de pH digital.

• • •

Determina el pH aproximado de la sangre si tiene [H+] = 3,98 · 10–8. Si el huevo tiene un pH = 7,79, determina [H+]. ¿Cómo lo calculaste? Muchas soluciones tienen un valor de pH que fluctúa entre 1 y 14. ¿Qué valores de [H+] están asociados a esos valores extremos?

Para calcular el pH de la sangre, basta remplazar el valor de [H+] en la expresión. Observa. pH = –log (3,98 · 10–8) 艐 7,4 En cambio, para determinar el valor de [H+] del huevo, se debe resolver la siguiente ecuación logarítmica: –log x = 7,79 log x = –7,79 x = 10–7,79 艐 1,62 · 10–8 Entonces, la concentración de iones de hidrógeno del huevo es 1,62 · 10–8.

Actividades 1. Encuentra [H+] aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH, aplicando la estrategia anterior. a. b. c. d. e.

Bebida cola, pH = 2,5 Vinagre, pH = 2,9 Manzana, pH = 3,0 Leche, pH = 6,5 Jabón de manos, pH = 10

2. La lluvia más ácida que se ha medido ocurrió en Escocia, en 1974; su pH era 2,4. Determina la concentración de iones de hidrógeno.

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3. Los valores de pH para los vinos varían desde 2,8 a 3,8. Determina el rango correspondiente en concentraciones de iones de hidrógeno. 4. Una famosa escala para medir la cantidad de energía liberada por un sismo es la escala de Richter, representada por la ecuación: log E = 1,5 · R + 11,8 donde E: energía liberada, medida en ergios; R: magnitud del sismo, en grados de la escala Richter. a. El terremoto de mayor magnitud registrado corresponde al ocurrido en 1960 en la ciudad de Valdivia, el cual alcanzó una magnitud de 9,5 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberó por este sismo? b. El terremoto acontecido el 3 de marzo de 1985, en San Antonio, fue de 7,8 grados Richter. ¿Cuántas veces más energía liberó el terremoto de Valdivia que el de San Antonio? c. Averigua acerca de otros terremotos ocurridos en nuestro país y compara su magnitud con el terremoto de Valdivia (busca información en la página web del Servicio Sismológico de la Universidad de Chile http://ssn.dgf.uchile.cl/). 5. El nivel de decibeles del sonido (dB) se puede calcular mediante la siguiente fórmula: D = 10 log (I · 1012), donde I corresponde a la intensidad del sonido medido en W/m2. a. Si se duplica la intensidad del sonido, ¿cómo cambia el nivel de decibeles del sonido? b. El umbral auditivo es la mínima intensidad de sonido que podemos oír, y corresponde a 10–12 W/m2. Demuestra que el nivel de decibeles del umbral auditivo es cero. c. En una multitienda se vende un equipo musical que tiene 1000 W/m2 de salida. ¿A qué nivel de decibeles corresponde esta intensidad? d. Si en la misma tienda se ofrece otro equipo musical cuya intensidad es de 2000 W/m2, ¿corresponde al doble del nivel de decibeles del equipo anterior?, ¿por qué? 6. Completa la siguiente tabla. Fuente

Intensidad

Susurro

10–10

Tráfico callejero

10–5

Posible daño auditivo

10–3,5

Decibeles

Cercano a un trueno

120

Umbral del dolor

130

Perforación instantánea del tímpano

160

Concierto de rock

101

• ¿Qué medidas implementarías para disminuir la contaminación acústica? Discútelo con tus compañeros y compañeras.

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Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

se denotan por

APLICACIONES

f (x) = logb x si su base es 10

ECUACIÓN LOGARÍTMICA

ESCALAS LOGARÍTMICAS

cuando la

por ejemplo

f (x) = log x

INCÓGNITA MAGNITUD está en el

pH

DE UN SISMO

ARGUMENTO DE UN LOGARITMO

NIVEL DE INTENSIDAD DEL SONIDO

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿Qué características tiene la gráfica de una función logarítmica f ( x ) = logb x? ¿Qué características tiene el dominio de una función logarítmica?, ¿y el recorrido? ¿En qué casos una función logarítmica es positiva?, ¿por qué? ¿Cuál es la diferencia entre una escala lineal y una escala logarítmica? ¿Cómo se puede resolver una ecuación logarítmica? Explica. ¿Una ecuación logarítmica siempre tiene solución?, ¿por qué? ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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Mi progreso 1. Sin graficar, indica qué tipo de transformación presentan las gráficas en relación con la función f ( x ) = log x, en cada caso. a. f (x) = log x – 7 b. f (x) = log (x + 2)

c. f (x) = –log (x – 1) d. f (x) = 2 log x

2. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Comprueba, en cada caso, que los valores obtenidos satisfagan la ecuación. 2 log4 x + 8 1 c. =2 a. log8 x – log8 3 – log8 7 = 3 log4 ( x + 3)

(

b. log2 (x 2 – 9x + 8) – log2 (x – 8) = 3

d. log

)

x + 3 + log

x − 5 = log 3

3. El nivel de intensidad del sonido de un tren del Metro se midió en 98 dB. Determina la intensidad del sonido correspondiente en W/m2. 4. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera. Justifica tu decisión. A. B. C. D. E.

La función logarítmica es siempre creciente. Las ecuaciones logarítmicas siempre tienen solución. El dominio de una función logarítmica son todos los números reales. La gráfica de las funciones logarítmicas intersecan al eje X en el punto (1, 0). Ninguna de las anteriores.

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

ÍTEM

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Relacionar gráficas de funciones logarítmicas.

1

40 a 45

Resolver ecuaciones logarítmicas.

2

46 a 48

Resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas.

3

50 y 51

Reconocer propiedades de las funciones logarítmicas.

4

40 a 49

CRITERIO

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Cómo resolverlo Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. La intensidad del sonido depende de la distancia a la fuente sonora. Los niveles de decibeles β1 y β2 a las distancias d1 y d2 de una fuente sonora están relacionados por la ecuación: d β 2 = β 1 + 20log 1 d2 Concierto de rock.

Si el nivel de intensidad de un concierto de rock es de 120 dB a una distancia de 2 m de los altavoces, determina: a. a qué distancia de los altavoces el nivel de intensidad es de 106 dB. b. el nivel de intensidad a 50 m de los altavoces. Solución a. Remplazando los datos en la ecuación, se obtiene: 106 = 120 + 20 · log

2 x

se despeja log

2

x

2 –0,7 = log x se aplican propiedades de logaritmos

–0,7 = log 2 – log x

se remplaza log 2 艐 0,3

–1 艐 – log x

log x 艐 1 x 艐 10

ya que la base de log x es 10

Luego, aproximadamente a 10 m de distancia de los altavoces, el nivel de intensidad es de 106 dB. b. En este caso, al remplazar se obtiene:

x = 120 + 20 · log

2 50

(

pero

)

2

( )

2 4 2 = = 50 100 10

2 10 x = 120 + 40 · (log 2 – log 10)

aplicando propiedades de logaritmos

x 艐 120 + 40 · (0,3 – 1)

se remplaza log 2

x = 120 + 20 · 2 log

0,3

x 艐 120 + 40 · (–0,7) = 120 – 28 = 96 Luego, a 50 m de distancia de los altavoces, aproximadamente el nivel de intensidad es de 96 dB.

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Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. Si el nivel de intensidad de una sirena de bomberos es de 100 dB a una distancia de 5 m del cuartel, determina a qué distancia de este el nivel de intensidad es de 68 dB. b. Si la conversación entre dos amigos situados a 2 m entre sí es de 60 dB, calcula a qué distancia el nivel de intensidad de su conversación baja a 40 dB. c. Si el nivel de intensidad de un avión despegando es de 130 dB a una distancia de 20 m de la pista de aterrizaje, determina a qué distancia de la pista el nivel de intensidad es de 96 dB. d. Si el ruido de un secador de pelo funcionando a 50 cm es de 70 dB, calcula a qué distancia el nivel de intensidad de su sonido baja a 46 dB. 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas aplicando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedimiento que utilizaste en cada caso con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Los astrónomos utilizan la siguiente fórmula para determinar el diámetro d, en kilómetros, de los asteroides: log d = 3,7 – 0,2 · g, donde g es una cantidad llamada magnitud absoluta del asteroide. • Determina el diámetro de un asteroide si su magnitud absoluta es 20. • Calcula el diámetro de un asteroide si su magnitud absoluta es 30. ¿Qué puedes concluir? • Determina la magnitud absoluta de un asteroide cuyo diámetro mide 5,8 kilómetros. b. Felipe acaba de terminar un curso de física. Se estima que el porcentaje del curso que él recordará dentro de t meses se puede calcular mediante la función R(t) = 94 – 46,8 · log (t + 1), para 0  t  48. • Determina el porcentaje del curso que Felipe recordará dentro de 12 meses. • Calcula dentro de cuánto tiempo Felipe recordará solo el 50% de los contenidos del curso. • Determina dentro de cuánto tiempo Felipe recordará solo el 25% de los contenidos del curso. ¿Qué puedes concluir?

Función potencia y logarítmica

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En terreno rior tsunami e t s o p y r e t h grados Ric Sismo de 8,8 r de Chile u -s ro t n e c a n en la zo

27 de adrugada del m la ó tr is g re horas y de Richter se rrió a las 3:34 os en la escala d cu o ra g o 8 sm 8, si e l d E . ur del país región del Un terremoto zona centro-s uenes, en la q la u a a C o d e n d a e ct st fe e febrero, a tros al suro e Chile. ó a 63 kilóme tu si se o tr Universidad d n la e e d o ic su epic g ló smo ó el Servicio Si a intensidad Maule, inform sismo tuvo un el , i) em n (O a ci raual de Emergen l Biobío y la A n e d io s ac e N n a io n g ci re fi O rnardo ercalli en las Según indicó la ador Gral. Be la escala de M rt e n e b s Li o l d e d ra , g a s. En las tropolitan máxima de IX la región Me so y de Los Río n aí e ar s p o al d V ra e g d I n II canía; de V I en la regió tres minutos. , y de grado V ngó por hasta le lo au ro M p el se d co y ri s O’Higgin ovimiento telú tensidad, el m in r de las reo ay m e d tros de costa zonas e m ó il k 0 0 3 unte Iloca, Constit proximadame . a to e o d m o e rr ch e te tr l a, un ado por e eron Pero, sin dud e el más afect uchas más, fu fu m y ío , b o io n a B u y h a le lc au sumar Dichato y Ta giones del M ades hay que Cobquecura, lid , e ca ip lo n s ra ta u es C , A e terremoto. ción, Pelluhu i que siguió al am n u ts el r o p arrasados ndez. en Juan Ferná r a il m ritar que si ia d e e empezó a g una trag u q lo r o p s, a las marejad ando aviso olina advirtió rde costero d o M b l to e n e ió rg rr sa co l re aron En Iloca, e ctores altos y , no se registr se n s ió lo cc a ru ci st a e h d iera una gran la gente corr en Iloca hubo e u q n u A . o n fo rabineros. con un megá cción de los ca a a n u rt o p o cias a la fallecidos gra

10. , marzo de 20 Retén de Iloca

.emol.com, Mercurio, www El io ar Di , m de 2010. rcera.co rcera, www.late tados en marzo ul Te ns La co io l, ar i.c Di m s: Fuente ia, www.one l de Emergenc Oficina Naciona

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Actividades 1. Considerando la expresión log E = 1,5 · R + 11,8, donde E: energía liberada, medida en ergios y R: magnitud del sismo, en grados de la escala Richter, calcula la energía liberada en el sismo del 27 de febrero de 2010. 2. Calcula la cantidad de energía liberada en un sismo de grado 6 y en uno de grado 7. ¿Qué relación numérica existe entre ambos valores? 3. ¿Qué aumento representa en la cantidad de energía liberada el incremento de un grado en la escala Richter? Si el aumento fuera de dos grados, ¿cómo se incrementa la energía liberada?, ¿qué puedes concluir?

Investiguemos... Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas y respondan: 1. La escala de Richter es logarítmica, ¿por qué?, ¿cuándo se dice que una escala es logarítmica? 2. ¿Qué otras situaciones o fenómenos se han modelado mediante una escala logarítmica? 3. Averigüen cuál es la diferencia entre la escala de Richter y la escala de Mercalli. ¿Por qué un mismo temblor puede tener distintos grados en la escala de Mercalli?, ¿ocurre lo mismo en el caso de la escala de Richter? 4. ¿Cuál es la diferencia entre un temblor y un terremoto? 5. ¿Cuáles han sido los terremotos más dañinos en Chile?, ¿y en tu región?, ¿por qué? 6. Realicen una encuesta en el curso o en el colegio preguntando, al menos: a. b. c. d.

¿Sintieron el terremoto del 27 de febrero?, ¿dónde se encontraban? ¿Qué es lo primero que hacen cuando tiembla? ¿Cuál es el lugar más seguro de la casa (o de la escuela)? ¿Qué medidas de prevención se pueden tomar para evitar los daños que produce un temblor fuerte o un terremoto?

7. Escriban un informe con todas sus conclusiones y preparen una presentación con sus resultados y una propuesta con las medidas de prevención que podrían tomar en sus familias para disminuir los posibles daños que provocaría un terremoto.

Evaluemos nuestro trabajo • ¿Qué aprendieron acerca de los terremotos? • ¿Cuál de los resultados de la encuesta les llamó más la atención?, ¿por qué? • Comparen sus conclusiones y su propuesta con las de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿qué les faltó?

Función potencia y logarítmica

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Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA FUNCIÓN INVERSA

DOMINIO RECORRIDO

BASE

FUNCIÓN POTENCIA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LOGARITMO CAMBIO DE BASE ECUACIÓN LOGARÍTMICA

ESCALA LOGARÍTMICA EXPONENTE

A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cuáles son las principales características de la representación gráfica de la función potencia cuando el exponente es impar? 3. ¿Cuándo existe la función inversa de una función? Justifica. 4. ¿Qué estrategias se pueden aplicar para resolver una ecuación logarítmica? Explica. 5. ¿En qué casos una solución que se ha obtenido algebraicamente no corresponde a la solución de una ecuación logarítmica?, ¿por qué? 6. ¿En qué situaciones o fenómenos sociales o naturales se utilizan escalas logarítmicas? 7. ¿Cómo se define el logaritmo en base b de un número? 8. ¿En qué casos se debe realizar un cambio de base? Explica. 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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I.

Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Los logaritmos son siempre positivos. No existen logaritmos de números negativos. Los logaritmos están definidos para bases positivas. Las potencias de un número positivo son todas positivas. loga x + logb x = logab x para todo valor de x, siendo a y b positivos. La función f ( x ) = log x es creciente. La gráfica de la función f ( x ) = log3 x pasa por el punto (2, 9). Una función logarítmica es decreciente para valores negativos de x. Una función potencia es siempre creciente. La gráfica de una función logarítmica es siempre simétrica con respecto al eje de las abscisas. El punto (1, 0) pertenece a la gráfica de cualquier función logarítmica.

II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. Expresa en la forma más reducida posible. a. log 13 + log 13 − 13

d. logb (a2 – a + 1) + logb (a + 1)

b. − 1 log ab + log a + log b 2

e. logb (a3 + b3) – 2 logb (a + b)

1 c. log b + log a − ab 2

f.

1 1 logb (a2 + 4a + 4) – logb a6 2 3

2. Calcula, en cada caso, el dominio de f ( x ). Explica el procedimiento que utilizaste. a. f ( x ) = log (log x) b.

f ( x ) = (log x ) 2 − 5log x + 6

c. f ( x ) = log x + log (– x) d. f ( x ) = log (100 – x 2)

3. Calcula el valor de x1 · x2, considerando que x1 y x2 son dos números reales positivos tales que: ⎛ x ⋅x ⎞ 1 log ⎜ 1 2 ⎟ = (log x1 + log x 2 ) ⎝ 3 ⎠ 2 4. Resuelve la siguiente ecuación. Explica, paso a paso, cómo la resolviste. 2 log (2x + 1) – 2 = –2 log (3x – 4)

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Evaluación


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III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso. 1. La función inversa de g ( x ) = x3 + 1 es: A. 3 x − 1 B.

5. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la siguiente gráfica?

x+3x

C. 3 x − 1 D. 3 ( x − 1)3 E. 3 ( x + 1)3

2. Si k ( x ) = 3x3 – 4, entonces k–1 (20) es: A. B. C. D. E.

1 2 4 8 Ninguna de las anteriores.

3. Si f ( x ) = 2x + 3, entonces f A. B. C. D. E.

–1

(33) es:

A. B. C. D. E.

f ( x ) = 2x 3 f ( x ) = x 3– 2 f ( x ) = (x – 2)3 f ( x ) = (x + 2)3 Ninguna de las anteriores.

6. Si logb 3 = –

1 , entonces el valor de b es: 3

A. 3–1 1 B. 27

15 18 30 69 70

C. 9 D. 12 E. 27 2

4. El recorrido de f ( x ) = 2x + 5 es el conjunto: A. B. C. D. E.

[5, + [ ]5, + [ IR+ IR– IR+0

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7. Si pH = –log [H+], determina [H+] si el pH de una sustancia es 6,8. A. B. C. D. E.

1,58 · 10–7 6,8 · 10–7 –6,8 1,58 · 107 6,8 · 107


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8. Si logb 16 = –2, entonces el valor de b es:

1 4 1 1 B. y– 4 4 C. 4 A.

D. 2 E. 4 y – 4

9. La solución de la ecuación log 3 3 A. B. C. D. E.

x

2

= 1 es:

10 1 1 y –1 3 Todos los reales.

10. Encuentra el valor de x en la ecuación log2 x + log2 x = 2 A. B. C. D. E.

x=0 x=3 x=1 x = 2,5 x=2

12. La siguiente fórmula relaciona los decibeles según la intensidad de un amplificador D = 10 · log (I · 1012) (con I : intensidad). Si en un amplificador de sonido se triplica la intensidad, ¿en cuánto aumentan los decibeles? A. B. C. D. E.

Aproximadamente 4 unidades. Aproximadamente 5 unidades. Aproximadamente 10 unidades. Aproximadamente 12 unidades. Ninguna de las anteriores.

13. Si en el mismo amplificador se aumenta de I a 5I, ¿cuántos decibeles, aproximadamente, aumenta D? A. B. C. D. E.

5 15 7 70 10

14. Una expresión equivalente a 1 · (3 loga x – 5 loga y – 30 loga z) es: 2 A. loga

11. Al aplicar la definición de logaritmo a la expresión log3 5 = a, resulta: A. B. C. D. E.

a3 = 5 a5 = 3 53 = a 35 = a 3a = 5

3x 5y + 30z 3

B.

x loga 5 30 y +z

C.

loga

3x 5y + 30z 3

x D. loga 5 30 y +z E. Ninguna de las anteriores.

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Función potencia y logarítmica

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Unidad 1

UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1


UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1

2

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Función exponencial

TRABAJANDO CON:

APRENDERÁS A: Analizar el crecimiento y decrecimiento de funciones exponenciales.

Crecimiento y decrecimiento exponencial

Función exponencial y su gráfica

Número e

Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función exponencial.

Utilizar la función exponencial para modelar situaciones o fenómenos naturales o sociales y resolver problemas.

Logaritmos y sus propiedades

Resolver ecuaciones exponenciales.

Función inversa

Reconocer las funciones exponenciales y logarítmicas una como inversa de la otra.

62 | Unidad 2


UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1

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Conversemos de... Los biólogos han observado que, aunque una especie se reproduzca naturalmente, factores como la existencia de predadores o la escasez de alimentos limitan el crecimiento de su población. Así, para asegurar su preservación, algunas especies producen numerosos descendientes, pero con una alta mortalidad. En cambio, otras producen pocos descendientes con una mayor probabilidad de supervivencia. Y, de hecho, muchas especies se basan en una estrategia intermedia. Por ejemplo, la tortuga verde de mar que se observa en la imagen deposita entre 100 a 200 huevos en la arena, pero cuando las crías van rumbo al agua, depredadores como las gaviotas o los cangrejos atrapan muchas de ellas. Actualmente, es una especie declarada en peligro de extinción, por lo que es ilegal importar, exportar, matar, capturar o perturbar esta especie de tortugas. La ecuación rt K ⋅ P0 ⋅ e P (t ) = permite estimar la población de una especie a lo largo del tiempo, donde rt K ⋅ P0 ⋅ (e − 1)

P0 es su población inicial, K es su capacidad de persistencia y r, su tasa de crecimiento. ¿Cuál es la variable independiente en esta función?, ¿cuál es la variable dependiente? ¿Podrías calcular P (t), dados los valores de K, r y P0 correspondientes?, ¿por qué? ¿Qué representa e en la ecuación?, ¿cuál es el valor de e? Busca tres ejemplos de animales que manifiesten las estrategias descritas, en cada caso.

Latinstock

1. 2. 3. 4.

Función exponencial

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¿Cuánto sabes? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. 1. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones reales: 2 a. f ( x ) = 2 x −1

c. h ( x ) =

2x b. g ( x ) = 2 x −4

d. i ( x ) =

4 x− x 2

x − 16 + 4

2. A partir de las siguientes gráficas, escribe una posible representación algebraica de esas funciones y determina su dominio y recorrido, en cada caso. a.

c.

b.

d.

3. Grafica las siguientes funciones. c. h ( x ) =

b. g ( x ) =

d. i ( x ) = 25 – x 2

2

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x− x

a. f ( x ) = x − 16x + 6 x −1+ 4

4x

2


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Unidad 2

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4. Escribe la ecuación igualando las bases y determina el valor de x, en cada caso. 2x −1

a. 5

= 25

2x +3

b. 2 c.

1 2x

9

= (0,5)3x + 2 1

= 12 3

d.

1− a

e.

⎛ 1⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ 4

2

x −5x − 84

3− 2x

2

f.

2x

=8

−2x +14x − 6

3

=0

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

2

x − 2x + 4

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? •

• • •

Una función es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f (x ) de un conjunto B, donde A se conoce como dominio (dom ( f )) de la función y B es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido (rec ( f )). Una función f es creciente en el intervalo ]a, b[ con a, b  R, si dados x e y cualesquiera en ese intervalo, se tiene x < y ⇒ f ( x) < f ( y). Una función f es decreciente en el intervalo ]a, b[ con a, b  R, si dados x e y cualesquiera en ese intervalo, se tiene x < y ⇒ f ( x) > f ( y). La representación gráfica de una función permite observar algunas de sus características, como su crecimiento o decrecimiento, el dominio y recorrido, las intersecciones con los ejes, etc. Por ejemplo: Función afín: y = ax + b

Función cuadrática: y = ax 2 + bx + c

Función logarítmica: y = log x

Para resolver una ecuación exponencial se pueden igualar las bases de las potencias y, luego, resolver la ecuación que se obtiene de igualar los exponentes.

Función exponencial

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Función exponencial Observa las siguientes gráficas: A

x

y

–1

1 2

0

1

1

2

2

4

3

8

B

x –2 –1

y 4 2

0

1

1

1 2

2

1 4

Analicemos... • • • • • •

A partir de la gráfica, en cada caso, ¿cuál es el valor de y para x = –2?, ¿para x = 0?, ¿y para x = 1? En cada caso, ¿qué sucede con el valor de y a medida que x aumenta?, ¿y a medida que disminuye? Explica. ¿Cuál podría ser el dominio y recorrido de cada función? Según la gráfica, ¿se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en qué puntos? ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre las gráficas? Estas gráficas, ¿se parecen a las gráficas de alguna función que conozcas?, ¿por qué?

Glosario función exponencial: toda función cuya variable se encuentre solo en el exponente de una potencia. Su representación algebraica es x f ( x ) = a con x  IR y a > 0, a  1.

Las gráficas anteriores son ejemplos de la función exponencial. Un método posible para determinar la expresión algebraica que representa a una función conocida, a partir de la gráfica, es utilizar su tabla de valores. Observa que en la tabla correspondiente al gráfico A, los valores de y son exactamente potencias de 2, cuyos exponentes son los correspondientes valores de x. Es decir, y = 2x. Luego, la expresión la expresión algebraica que representa a la función del gráfico A x es f ( x ) = 2 con x  IR. Y la expresión algebraica que representa a la función del gráfico B 1 x es f ( x ) = , con x  IR. 2

()

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Unidad 2

Observa ahora las siguientes gráficas para determinar las características de la función exponencial. Caso I: Función exponencial f ( x ) = a , con a > 1. En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes funciones: x

f1( x ) = 2, f2 ( x ) = 4 , f3 ( x ) = 9 , f 4 ( x ) = 100 x

x

x

x

Las gráficas sugieren que: • • • •

El dominio de la función exponencial f ( x ) = a , para los distintos valores de a > 1, son todos los números reales. Su recorrido son los números reales positivos. La función es creciente para todo valor de x, es decir ax < ay cuando x < y. La gráfica de la función interseca al eje Y siempre en el punto (0, 1). En cambio, es asintótica al eje X. x

Caso II: Función exponencial f ( x ) = a , con 0 < a < 1. En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes funciones: x

x

x

1 1 1 1 ⎞ f1( x ) = ⎛ ⎞ , f2 ( x ) = ⎛ ⎞ , f3 ( x ) = ⎛ ⎞ , f 4 ( x ) = ⎛ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 9⎠ ⎝ 100 ⎠

x

Glosario asintótica: dicho de una curva, que se acerca continuamente a una recta sin llegar nunca a intersecarla.

Recuerda que... Una función se dice creciente si x1 < x2 , entonces f (x1 ) < f (x2 ). En cambio, si cuando x1 < x2 , se tiene que f (x1) > f (x2), la función es decreciente.

Las gráficas sugieren que: •

• •

El dominio de la función exponencial f ( x ) = a , con 0 < a < 1, son todos los números reales; y el recorrido, los números reales positivos. La función es decreciente para todo valor de x, es decir ax > ay cuando x < y. La gráfica de la función interseca al eje Y en el punto (0, 1). En cambio, es asintótica al eje X. x

Comparando los dos casos, ¿qué puedes concluir? Función exponencial

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Actividades 1. Sin construir las tablas de valores ni las gráficas, indica cuáles de las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. Justifica. a. f ( x ) = 675

c. f ( x ) = ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⎝ 5⎠

x

b. f ( x ) = 0, 001

x

x

e. f ( x ) =

d. f ( x ) = 2, 01

x

x

() 7 4

f. f ( x ) = (1,2)x

2. Determina, en cada caso, la función exponencial f ( x ) = ax que pasa por los siguientes puntos. a. (3, 216) b. (–1, 5) c. (4, 4096)

d. (3, 343) e. (–4, 0,0625) f. (m, 5m )

g. (–3, 8) h. (2, 0,16) i. (7, 128)

x

⎛ 1⎞ x 3. Grafica las funciones f ( x ) = 3 y g ( x ) = ⎜ ⎟ en el mismo plano cartesiano, y determina en el ⎝ 4⎠ gráfico el valor aproximado, en cada caso, para: a. x1 = 0, 5

b. x 2 =

4 5

c. x3 = −2, 5

4. Dada la función exponencial f ( x ) = ( 0, 09 ) , indica cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son correctas. Justifica. x

a.

f ( −m ) = f (m )

−1

b.

f (n + m ) = f (n ) ⋅ f (m )

5. Grafica las siguientes funciones. Luego, determina su dominio, recorrido, si es creciente o decreciente y su punto de intersección con el eje Y. a.

f (x) = 5

b.

f (x) =

c.

x

1 4

x

f (x) = 2

x

d.

f (x) = 2

e.

f (x) = 3

f.

f (x) = 3 − 3

x +1

x +2

x

−9 −x

• Explica el procedimiento que utilizaste para realizar esta actividad. 6. Grafica f ( x ) = 1x. a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas, respecto de las funciones anteriores? b. Respecto de los ejes de coordenadas, ¿qué tipo de gráfica es?

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⎛ 1⎞ x 7. Grafica en un mismo sistema de coordenadas f ( x ) = 2 y g ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ a. Determina, en cada caso, su dominio y recorrido. b. Indica si estas funciones son crecientes o decrecientes. Justifica. c. Observa sus gráficas. ¿Qué puedes observar?

x

−x

=2 .

Unidad 2

UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1

En resumen La función exponencial, f ( x ) = ax, con a  IR+ – {1} y x  IR, posee las siguientes características: •

El dominio de la función son los números reales.

El recorrido de la función son los números reales positivos.

La curva asociada a la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). Si a > 1, la función es creciente.

Si 0 < a < 1, la función es decreciente.

Caso particular: f ( x ) = 1 , es decir: x

f ( x ) = a x, con a = 1. Se observa que para todo valor real de x se tiene que f ( x ) = 1 , que corresponde a una función constante, por lo que no se habla de una función exponencial.

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Herramientas tecnológicas GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte, es un sistema de geometría interactiva, en el que se pueden construir puntos, vectores y rectas, y luego modificarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadas directamente y obtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar gráficas de diversas funciones. Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, y luego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sin tener la necesidad de instalarlo en tu computador. •

Para graficar una función, se debe escribir directamente en la celda Entrada, ubicada en la parte inferior de la ventana. Si la función tiene potencias, los exponentes se escriben usando el símbolo ^. x

Por ejemplo, para graficar f ( x ) = 2 se escribe 2 x y se presiona enter.

Si la función tiene base fraccionaria, se debe escribir el número entre paréntesis y usar / ∧ para escribir la fracción, por ejemplo: (1 2) x . ( x −1) Si la función tiene un polinomio en el exponente, como por ejemplo: f ( x ) = 2 , se debe ∧ escribir este exponente entre paréntesis, así: 2 ( x − 1).

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Unidad 2

UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1

1. Utilizando GeoGebra, grafica las siguientes funciones. −x

a.

f (x) = 2

e.

f (x) = 5

b.

f (x) = 2

f.

f (x) = 4

c.

f (x) = 4 ⋅3

g.

f ( x ) = 1− 2

d.

f ( x ) = −3

h.

⎛ 1⎞ f (x) = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

x

2x x

x

x −1 x

x

2. Observa las gráficas de las funciones. Luego, responde. a. ¿Cuál es el dominio de cada función?, ¿cuál es el recorrido? b. ¿Es creciente o decreciente? c. ¿En qué punto intersecan al eje de las ordenadas?

3. Utilizando GeoGebra, grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones. a.

⎛ 1⎞ x f (x) = 5 , g(x) = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

b.

x

e.

f (x) = 3 · 2 , g(x) = 2 · 2

⎛ 1⎞ x f (x) = ⎜ ⎟ , g(x) = 7 ⎝ 7⎠

f.

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ f (x) = 2 · ⎜ ⎟ , g(x) = 3 · ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

c.

f (x) = 3 , g(x) = 3

g. f ( x ) = 2

d.

f ( x ) = −2 , g ( x ) = 2

−x

x

x

x

x

x

x

x

x+1

⎛ 1⎞ h. f ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

x

x–1

, g (x ) = 2

x −1

⎛ 1⎞ , g(x) = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

x +1

4. Observa las gráficas de las funciones. Luego, responde en cada caso. a. b. c. d.

¿Cuál es el dominio y recorrido de las funciones? ¿En qué punto se intersecan con los ejes de coordenadas? ¿En qué punto se intersecan ambas curvas? En relación a las primeras cuatro funciones, observa las gráficas en cada caso, ¿existe alguna simetría entre ellas? Si la hay, identifica el eje de simetría. e. De las segundas cuatro funciones, ¿qué puedes concluir respecto de sus gráficas?

Función exponencial

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Función exponencial y función logarítmica Observa las gráficas de la función exponencial y la función logarítmica, para cada caso: Caso I: Si b > 1

Caso II: Si 0 < b < 1 f (x) = bx

f (x) = bx

g(x) = logb x

y=x

y=x

g(x) = logb x

Analicemos... •

• •

Recuerda que... Función inversa: la función inversa de f ( x ) = y corresponde a la función g que al evaluar el elemento y se obtiene a x de tal forma que g ( f ( x )) = x. Siempre y cuando se cumpla: • Rec f = Dom g • Dom f = Rec g • f ( x ) = f ( y) si y solo si x = y Esta función g usualmente se −1 representa por f ( x ) .

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En el primer caso, en relación a la gráfica de y = x, ¿qué puedes concluir respecto de las gráficas de f ( x ) y g ( x )?, ¿ocurrirá lo mismo para cualquier valor de b > 1? Explica. En el segundo caso, ¿también ocurre lo mismo? Explica. ¿La función exponencial y la función logarítmica son funciones inversas? Justifica.

En las gráficas anteriores, se puede observar que: • •

Ambas funciones son simétricas entre sí con respecto a la recta y = x. El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales positivos, lo cual corresponde al recorrido de la función exponencial. El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los números reales y corresponde al dominio de la función exponencial.

Para justificar el hecho de que son funciones inversas, se calcula la función inversa de la función exponencial y se compara con la función logarítmica. Observa.


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Recuerda que...

x

Dada y = a , con a > 0, a  1, se determina la función inversa, para esto se puede despejar x en términos de y. y =a

se aplica logaritmo ya que y y a son números positivos

x

log y = loga

x

log y = x ·loga x=

ya que a  1

log y loga

utilizando la propiedad de cambio de base, se tiene que

x = loga y

Para determinar la función inversa de una función, se puede despejar la variable independiente en términos de la variable dependiente y, luego, se intercambian las variables x e y en la expresión resultante. Sin embargo, hay funciones para las que este procedimiento no es útil, como la función cuadrática, por ejemplo.

Para escribir la función inversa, se remplaza x por y. Luego, −1 y = loga x .

En resumen •

Sea y = a x una función exponencial, su función inversa está dada por y

−1

= loga x .

Actividades 1. Aplicando el procedimiento anterior, determina la función inversa de las siguientes funciones. x

e. y = log6 x

x

f. y = log9 x

a. y = 2

b. y = 3 x ⎛ 5⎞ y = c. ⎜⎝ ⎟⎠ 4 ⎛ 15 ⎞ d. y = ⎜⎝ ⎟⎠ 7

g. y = log 2 x 5

x

h. y = log 3 x 4 x

2. Dada la función y = 4 , determina su función inversa y grafícalas en un mismo sistema cartesiano. 3. Dadas las funciones exponencial f ( x ) = 3 y logarítmica g ( x ) = log3 x . x

a. Represéntalas en un mismo sistema de coordenadas. b. Determina su dominio, recorrido, intersección con los ejes de coordenadas, y si son crecientes o decrecientes, en cada caso. c. Observa sus gráficas, ¿qué puedes concluir?

Función exponencial

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Unidad 2

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Aproximándonos al número e Glosario interés compuesto: se refiere a la ganancia del capital a una tasa de interés durante un cierto período de tiempo, en el cual los intereses obtenidos al final de cada período no se retiran, sino que se añaden al capital. Por lo tanto, los intereses se reinvierten.

Considera la situación siguiente, en la que se aplica un interés compuesto: Si se invierte, por ejemplo, $ 1 000 000 con un interés del 100% anual y se liquida al terminar el año, se obtendrán, en total, $ 2 000 000. Ahora, si se pagaran intereses cada seis meses, pero dividiendo el interés anual en dos partes, la cantidad obtenida corresponde a aplicar un 50% de interés al capital, de $ 1 000 000, y al resultado de esto, aplicar nuevamente un 50% de interés, es decir: 2

1 1000 000 ⋅ ⎛ 1 + ⎞ = 2 250 000 ⎝ 2⎠ Y si se dividiera el año en cuatro períodos (cada uno de tres meses), al igual que la tasa de interés, se aplica al capital cuatro veces el interés de 25%, sucesivamente, y se obtiene: 4

1 1000 000 ⋅ ⎛ 1 + ⎞ = 2 441406 ⎝ 4⎠

Analicemos... • • •

Si el interés se aplicara ahora cada dos meses, ¿a cuánto asciende el monto obtenido?, ¿y si se aplicara cada mes? ¿Cuánto se obtiene aplicando el interés cada semana?, ¿y cada día? Si el interés se pudiera aplicar en fracciones de tiempo más pequeñas aún, ¿se alcanza a obtener $ 3 000 000 en un año?, ¿por qué?

De igual forma, en el caso de pagos mensuales, el monto obtenido 1 corresponde a 1000 000 ⋅ ⎛ 1 + ⎞ ⎝ 12 ⎠

12

= 2 613 035.

Y, en general, la función que representa el factor por el cual se mulx 1 tiplica el monto inicial, está dada por f ( x ) = ⎛ 1 + ⎞ . Utilizando ⎝ x⎠ una calculadora o una planilla de cálculo, observa que, a medida que el valor de x aumenta, el valor de f ( x ) se aproxima a 2,71828... esto es, al número e. f (x)

El número e se define como el valor al que se aproxima la expresión x ⎛ 1 + 1 ⎞ cuando x toma valores muy grandes. Es un número irracional, ⎝ x⎠ cuya expresión decimal es, aproximadamente, 2,7182818284. Entonces, en la situación inicial, aunque se pudiera dividir infinitamente el interés aplicado en un año, el monto obtenido nunca superaría los $ 2 718 281.

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Unidad 2

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La función exponencial más utilizada, por sus características y sus x diversas aplicaciones científicas, es f ( x ) = e , cuya base es el número e, llamado número de Euler. Observa que conserva las características de las funciones exponenciales: • • •

El dominio de la función son los números reales. El recorrido son los números reales positivos. La gráfica de la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).

A partir de y = e x, para obtener la función inversa de f ( x ) = e podemos despejar la variable x. Siguiendo el mismo desarrollo que en el caso de y = a x, se obtiene x = loge y , que, por notación, se escribe como x = ln y . x

Por lo tanto, f

−1

( x ) = ln x.

En resumen •

A medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes, el valor de la función x 1 f ( x ) = ⎛ 1 + ⎞ se aproxima crecientemente al número e = 2,71828182845. ⎝ x⎠ x La función inversa de la función exponencial natural y = e , es la función logarítmica natural, f ( x ) = ln x.

Actividades 1. Dadas las siguientes funciones, determina su dominio y recorrido, la intersección con los ejes de coordenadas y si son crecientes o decrecientes, en cada caso. a. f ( x ) = e x + 1

b. f ( x ) = –e x + 1

c. f ( x ) = e 2x

d. f ( x ) = e –2x

2. Justifica las siguientes identidades: a. ax = ex ln a, con a > 0.

b. loga x =

ln x ln a

3. En un mismo sistema de coordenadas, grafica las funciones f ( x ) = ln x, g ( x ) = e x. a. Indica los puntos de intersección con los ejes. b. Determina el dominio y recorrido de cada función. c. ¿Sus gráficas son simétricas? Explica.

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Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

FUNCIÓN EXPONENCIAL se denota por

f ( x ) = ax según el valor de a si con caso particular

f ( x ) = ex

0<a<1

a>1

es una

es una

llamada

FUNCIÓN DECRECIENTE

FUNCIÓN CRECIENTE

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

en ambos casos su

cuya base es el

FUNCIÓN INVERSA

NÚMERO e

es la

FUNCIÓN LOGARÍTMICA •

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿En qué casos una función exponencial es creciente? ¿Cómo se define el número e?, ¿cuál es su valor? ¿Qué características tiene la gráfica de una función exponencial? Explica. ¿Cuál es la función inversa de la función exponencial?, ¿cómo se puede determinar? ¿Cómo se relacionan las gráficas de las funciones inversas, en general? ¿Cuál es la diferencia en la función f ( x ) = ax, según si a > 1 ó 0 < a < 1? ¿En qué punto la función exponencial interseca al eje Y ?, ¿y al eje X? ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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Unidad 2

Mi progreso 1. Indica el dominio, recorrido y el punto de intersección con cada eje, de las siguientes funciones. a. f ( x ) = 3

−x

b. f ( x ) =

c. f ( x ) = 4

1 6

x

x

2. Determina la función inversa de las siguientes funciones. 2x

a. y = 5

c. y = ln 4x

b. y = log 8 x

3. En cada uno de los siguientes puntos, la gráfica de una función exponencial f ( x ) = a x pasa por el punto dado. Determina la función f. 2 ⎛ − ⎞ 1⎞ ⎛ 9 ⎜ 3 a. ⎜ –1, ⎟ b. 3, e c. ⎝ 2, e ⎟⎠ ⎝ 9⎠

(

)

4. Clasifica las siguientes funciones en crecientes o decrecientes, según su representación algebraica. Además, determina su dominio y recorrido. a. f ( x ) = 5

x

b. f ( x ) = (0, 6)

⎛ 1⎞ c. f ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

x

x

5. En relación a la función f ( x ) = 3 x − 2 , determina cuál de las siguientes alternativas es verdadera. A. B. C. D. E.

El dominio de f ( x ) son los números reales positivos. f ( x ) es siempre decreciente. El recorrido de f ( x ) son los números reales. El valor de f (5) = 324 La gráfica de f ( x ) pasa por el punto (3, 3).

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEMS

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

1, 4 y 5

66 a 69

2

72 a 75

Reconocer la representación algebraica de la función exponencial, cuya gráfica pasa por un punto dado.

3y5

66 a 69

Clasificar funciones exponenciales según si son crecientes o decrecientes.

4y5

66 a 69

Identificar el dominio y recorrido de una función exponencial. Calcular la función inversa de una función exponencial dada.

Función exponencial

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Ecuaciones exponenciales Para recuperarse, la dosis inicial que ingiere Carla es de 10 mg a las 8:00 horas. Luego, el medicamento es eliminado paulatinamente del cuerpo por medio de la orina. La cantidad que queda en el cuerpo t horas después está dada por C( t ) = 10 · 0,8 t. Para que el medicamento haga efecto, el cuerpo debe tener al menos 2 mg.

Analicemos... • •

¿Cuánto tiempo estimas que el medicamento sigue haciendo efecto?, ¿dos horas, seis, doce?, ¿por qué? ¿A qué hora (aproximadamente) dejará de hacer efecto el medicamento?, ¿cómo lo supiste?

Glosario ecuación exponencial: igualdad en la que intervienen potencias, en uno o en ambos lados de la ecuación, y en la que la incógnita se encuentra en al menos uno de sus exponentes.

La ecuación exponencial que permite responder la situación presentada es 10 · 0,8t = 2. Para resolverla, una posibilidad es intentar igualar las bases y resolver la ecuación correspondiente a sus exponentes. Cuando esto no es posible, como en este caso, se pueden aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación, para así obtener una ecuación lineal. 10 · 0,8t = 2 0,8t = 0,2 t · log 0,8 = log 0,2 log 0, 2 ≈7 t= log 0, 8

se aplica log, ya que 0,8 y 0,2 son positivos

Como y = 10 · 0,8t es una función decreciente, ya que 0 < 0,8 < 1, el medicamento dejará de hacer efecto después de 7 horas, aproximadamente, ya que, después de las 15:00 horas, Carla tendrá menos de 2 mg en el organismo. Ejemplo 1 Resuelve la siguiente ecuación exponencial: a x + 3 = b 2 x + 5, con a y b positivos y, en este caso, a  b 2.

a x + 3 = b 2x + 5

Pon atención Antes de aplicar logaritmos a una ecuación, se debe comprobar que las expresiones a cada lado de la igualdad son necesariamente positivas (para cualquier valor de la incógnita).

78 | Unidad 2

( x + 3) ⋅ loga = ( 2x + 5) ⋅ log b

se aplica logaritmo y sus propiedades, ya que ax + 3 y b 2x + 5 son expresiones positivas

x ⋅ loga + 3 ⋅ loga = 2x ⋅ log b + 5 ⋅ log b

utilizando propiedad distributiva

x ⋅ (loga − 2 ⋅ log b ) = 5 ⋅ log b − 3 ⋅ loga x=

5 ⋅ log b − 3 ⋅ loga loga − 2 ⋅ log b

agrupando y factorizando los términos de la incógnita ya que, en este caso, a  b2, se tiene que log a – 2 · log b  0


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Unidad 2

Ejemplo 2 2 Resuelve la ecuación 16x – 4x – 1 = 32 Aplicando logaritmo, ya que ambos lados de la igualdad son positivos, (x 2 – 4x – 1) log 16 = log 32 log 32 5 x 2 – 4x – 1 = = log16 32 = 4 log 16 5 Luego, x 2 – 4x – 1 = 4

Pon atención

2

4x – 16x – 9 = 0 16 ± 16 − 4 ⋅ 4 ⋅ ( −9) 16 ± 400 = 2⋅ 4 8 2

x=

aplicando la ecuación cuadrática

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son x1 =

9 1 y x2 = – 2 2

Siempre se debe remplazar el valor obtenido como solución en la ecuación original, para comprobar que realmente la satisface, y verificar que es pertinente al contexto del problema.

Actividades 1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, igualando las bases. a. 83x + 1= 32x

b. 81x

2

= 27– (7 – 5x )

–1

c. 8– 3x · 2x + 1 = 4x + 2

2. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, mediante logaritmos. a. 22x + 1 = 3x + 5 b. 4x c.

2

x 2 3

d. 5 · 23x = 9

g. 3x + 5 – 3x + 2 + 3x = 506

–1

e. 4x + 2 = 93x – 4

h. 22( x + 3) + 22(5 + x) = 3264

= 768

f. a 3x + 4 = b 2x – 3

i. (2401)x

= 154

2

– 2x

= 16 807

En resumen •

Una ecuación exponencial es una ecuación en la que intervienen potencias, en uno o en ambos lados de la igualdad, y en la que la incógnita se encuentra en al menos uno de sus exponentes.

Para resolver una ecuación exponencial, si no es posible igualar las bases, se debe aplicar logaritmos y sus propiedades para obtener una ecuación no exponencial. En este caso, hay que comprobar previamente que las expresiones son siempre positivas, ya que el logaritmo de un número negativo no existe.

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Ecuaciones exponenciales con base e El señor Molina fue encontrado muerto en su oficina. Cuando la Policía llegó al lugar, a las 12:00, la temperatura del cadáver era de 29 °C y la de la oficina era de 23 °C. Más tarde, a las 13:30, la temperatura del cuerpo bajó a 27 °C. La Policía estimó la hora de muerte del señor Molina, aplicando la ley de enfriamiento de Newton, que se expresa algebraicamente −kt por: T (t ) = T0 + Δ ⋅ e , donde t es el tiempo transcurrido, k > 0 es una constante y Δ es la diferencia de temperatura entre el estado inicial y la del ambiente T0.

Analicemos... • • •

¿A qué hora estimas que falleció el señor Molina? Según estos datos, ¿cuál es el valor de la constante k, en este caso? Si la temperatura normal del cuerpo humano es 36,5 °C, ¿a qué hora ocurrió el deceso? Explica.

Para resolver esta situación, se puede aplicar la ley de enfriamiento de Newton. Remplazando los datos T0 = 23 y Δ = 29 – 23 = 6, se tiene:

Glosario ley de enfriamiento de Newton: relaciona la temperatura de un objeto, según el tiempo transcurrido, y la temperatura del medio en el que se encuentra, y que se puede enunciar como: “La rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo rodea”.

T (t ) = 23 + 6 ⋅ e 27 = 23 + 6 ⋅ e ln

−kt

−k ⋅ 1,5

() ( ) −1,5k 2 = ln e 3

una hora y media después, la temperatura del cadáver era de 27 °C, es decir, t = 1,5 y T(1,5) = 27 como la base es e, en este caso, se aplica logaritmo natural

y se obtiene: k = 0,27031. Luego, la función es T (t ) = 23 + 6 ⋅ e

−0,27031 t

Ahora, para calcular cuánto tiempo ha transcurrido desde su muerte, se remplaza el valor de la temperatura normal, 36,5: 36,5 = 23 + 6 ⋅ e

−0,27031 t

, que es equivalente a 2,25 = e

−0,27031 t

Al resolver esta ecuación, se obtiene t = –3, con lo que se concluye que el deceso ocurrió 3 horas antes de que llegara la Policía, es decir, a las 9 de la mañana.

Pon atención Cuando se aplica un cambio de variable, luego de resolver la ecuación se debe remplazar la variable, de modo que la solución se entregue en la variable original.

80 | Unidad 2

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación e 2x + 5 · e x – 14 = 0 2

u + 5 ⋅ u − 14 = 0

realizando un cambio de variable: u = e x

(u – 2) (u + 7) = 0

luego, u = 2 o bien u = –7


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Ahora, se remplaza en la expresión correspondiente al cambio de variable: e x = 2, o bien e x = –7. Al resolver e x = 2, se obtiene x = ln 2. En cambio, e x = –7 no tiene solución. Por lo tanto, la solución de e 2x + 5 · e x – 14 = 0 es x = ln 2. Ejemplo 2 2 x x x Resuelve la ecuación x ⋅ e − 5e + 4x ⋅ e = 0 . Como la incógnita x está como factor y también en el exponente, es necesario reescribir la ecuación antes de igualar exponentes o aplicar logaritmos.

( x 2 − 5 + 4x ) ⋅ e x = 0

Pon atención Todo logaritmo y toda exponencial se pueden escribir en función de logaritmo natural y exponencial con base e, mediante las identidades: ln x logb x = , y bx = ex ln b ln b Por esto, y por otras propiedades matemáticas, muchas situaciones se modelan utilizando logaritmo naturales y/o exponencial con base e, aunque puedan expresarse con una base distinta de e.

factorizando

( x + 5)( x − 1) ⋅ e x = 0 Por propiedades de la multiplicación, si el producto de dos o más números es igual a cero, entonces por lo menos uno de los factores es igual a cero. Esto permite separar la ecuación en tres ecuaciones, en este caso.

x+5=0

x–1=0

e x = 0.

Pero, por definición, e x  0, entonces las soluciones son x = –5 o bien x = 1.

Actividades 1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 2ex + 5 = 3e–x b. ex – 20e–x – 1 = 0

c. 3x2ex + x3ex = 0 d. 4x3e–3x + 3x4e–3x = 0

e. x · e 2x

f. e

2x

– 9 xe

2x

=0

x

+ 5e – 20 = –6

2. Al consumir cierto medicamento, este queda en el organismo una cierta cantidad de tiempo, dado por la expresión: m (h ) = 10 e

−0,2h

, donde m representa los miligramos del medicamento

y h el tiempo en horas. a. Si en un organismo se encuentran 0,407 miligramos de este medicamento, ¿cuánto tiempo ha transcurrido desde que se ingirió? b. Si la cantidad de medicamento no puede ser menor a 2 miligramos, ¿cada cuánto tiempo se debe tomar el remedio?, ¿qué podría ocurrir si no se respetan los horarios de ingesta de medicamentos? Comenta.

Función exponencial

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Crecimiento exponencial El día de Año Nuevo del año 2009 la población del mundo era de aproximadamente 6750 millones de personas. Si el ritmo de crecimiento de la población mundial se analiza desde una perspectiva histórica, se observa que después de la Segunda Guerra Mundial se produce una explosión demográfica sin precedentes. Una forma de percibir este efecto es observar cómo ha ido disminuyendo el tiempo transcurrido para que la población mundial se duplique. Infantes nacidos el año 2009.

Año

Población mundial

600

500 millones

1800

1000 millones

1930

2000 millones

1976

4000 millones

1200 años 130 años 46 años

Tiempo transcurrido para duplicarse

Fuentes: U.S. Census Bureau. www.census.gov/ipc/www/popclockworld.html, Universidad Nacional de Cuyo. www.cricyt.edu.ar/enciclopedia/terminos/PoblacMund.htm. Consultados en julio de 2009.

Analicemos... •

• •

Actualmente, la tasa de crecimiento de la población mundial observada es de 1,2% anual. Si la población sigue creciendo así, ¿en cuánto tiempo alcanzará a 8 mil millones de personas?, ¿Cuándo la población alcanzará el doble de habitantes que en 2009?, ¿cómo lo supiste? ¿Cómo es la gráfica que representa esta situación? Explica.

A partir de los datos, se tiene: • •

Población P0 del mundo en 2009: 6750 millones Tasa de crecimiento anual (r ) 1,2% = 0,012

La ecuación que se puede utilizar para determinar en cuánto tiempo t habrá una población P (t ) de 8000 millones de habitantes es: 8000 = 6750 · e 0,012 · t. Observa su resolución: 8000 0,012 ⋅ t =e 6750

Pon atención Antes de aplicar log o ln a una ecuación, se debe verificar que las expresiones, a ambos lados de la igualdad, son siempre positivos.

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⎛ 8000 ⎞ 0,012 ⋅ t ) ln ⎜ = ln (e ⎟ ⎝ 6750 ⎠ 0169899 , = 0, 012 ⋅ t

aplicando logaritmo natural ya que ln e x = x

14158 , =t Por lo tanto, en algo más de 14 años la población mundial alcanzará 8 mil millones de habitantes, aproximadamente. Lo que corresponde al año 2023.


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Si el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la función f ( x ) = c · a x , con c > 0, a > 1, se dice que crecen exponencialmente, o bien que presentan un crecimiento exponencial. Su gráfica es de la forma:

En particular, el crecimiento de una población de organismos puede describirse, aproximadamente, por P ( t) = P0 · e rt, donde P0 es el tamaño inicial de una población, P ( t ) es la población en el tiempo t y r es la tasa de crecimiento relativo expresada como un número decimal.

Unidad 2

En resumen

Actividades 1. El número de una determinada especie de pez está dada por la fórmula P ( t ) = 15 · e 0,015 · t, donde t se mide en años y P ( t ) se mide en millones. a. ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de la población de peces? Exprésala como porcentaje. b. ¿Cuál será la población de peces después de 8 años?, ¿cómo lo calculaste? c. ¿Dentro de cuántos años el número de peces llegará a la cifra de 45 millones? 2. Generalmente, el crecimiento de las poblaciones de seres vivos comienza acorde a una función exponencial, pero luego se ve frenado por condiciones medioambientales. En estos casos, la función L logística f ( t) = , donde L es el valor máximo al que crece esta población, k y a son 1 + k · e–at constantes por determinar y t el tiempo transcurrido en días, permite representar esta situación. 500 La siguiente función corresponde a una población de mosquitos: f ( t) = donde f ( t) 1 + 499 · e–0,02t corresponde a miles de mosquitos en una cantidad t de días. ¿Cuál es la población en 50 días?, ¿y en 300 días?, ¿y en 800 días? 3. El crecimiento de organismos en ambientes limitados sigue otro tipo de fórmula o modelo. Por ejemplo, para predecir el número de estudiantes de una universidad que tiene planes de expansión t limitada, el modelo usado es: P ( t ) = 1500 · (0,5)0,4 , donde t es el número de años después de abierta la universidad. a. ¿Qué cantidad de estudiantes había cuando abrió la universidad? b. Después de 2 años de funcionamiento, ¿cuántos estudiantes tiene? c. ¿A qué valor máximo se aproxima P ?, ¿por qué?

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Decrecimiento exponencial Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones de manera espontánea. Existe una medida de tiempo llamada vida media, que es el tiempo que transcurre hasta que se desintegra la mitad de la masa de dicha sustancia radiactiva. Usando esta información es posible hallar la edad aproximada de − rt objetos de edad desconocida. La función m (t ) = m0 e permite determinar la masa m(t ) que queda en el tiempo t, donde r es la tasa de desintegración expresada como una proporción de la masa y m0 es la masa inicial. Contador de Geiger.

Glosario radio-266: elemento químico radiactivo. Metal raro en la corteza terrestre, se encuentra acompañando a los minerales de uranio, elemento del que procede por desintegración. Se usa en la industria nuclear y en la fabricación de pinturas fosforesRa. centes. Se simboliza como 266 88

Analicemos... • •

Para una vida media dada h, ¿se puede obtener la tasa r de desintegración?, ¿cómo? Si la vida media del radio-226 es de 1600 años y tenemos una muestra de 22 mg, ¿cuánto quedará de la muestra después de 4000 años? ¿Cuál es la gráfica que representa esta situación?

Si h es la vida media, entonces la masa de 1 unidad se convertirá 1 en unidad cuando t = h. Sustituyendo lo anterior en 2 − rt m (t ) = m0 e , queda: 1 −r ⋅ h =1⋅ e 2 1 ln = −r ⋅ h ⋅ lne 2

()

ln ( 2

aplicando logaritmos,

) = −r ⋅ h

−1

−ln 2 = −r h r=

despejando la incógnita

ln 2 h

por lo tanto,

es la tasa

de desintegración

Luego, considerando que la vida media del radio-226 es h = 1600, ln 2 entonces r = ≈ 0, 0004332 . Como m0 = 22, utilizando la función 1600 de la desintegración radiactiva, se obtiene: m ( 4000 ) = 22 ⋅ e

−0,0004332 ⋅ 4000

≈ 3, 8894 .

Así, quedarán aproximadamente 3,9 mg de radio-226 después de 4000 años.

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Si el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante la función f ( x ) = c · a r x, con c > 0, a > 1 y r < 0, se dice que decrecen exponencialmente, o bien que presentan un decrecimiento exponencial. Su gráfica es de la forma:

En particular, la expresión que describe la masa m ( t ), que queda al tiempo t de una sustancia radiactiva, está dada por m ( t ) = m 0 e –rt, donde m0 es la masa inicial.

Unidad 2

En resumen

Si h es la vida media de dicha sustancia, se tiene que r =

ln 2 . h

Actividades 1. Se dispone de 500 mg de carbono-14 de un organismo muerto. Si la cantidad que queda después de x años está dada por P( x ) = 500 · e–0,000115 · x mg: a. b. c. d. e.

expresa x en términos de P. Indica el dominio y recorrido de la función. ¿Qué cantidad es posible encontrar en 1000 años más? ¿Cuántos años deben transcurrir para que solo sea posible hallar 1 mg? Según este modelo, determina la vida media del carbono-14

2. El polonio-210 tiene una vida media de 140 días. Si una muestra de esta sustancia tiene una masa de 300 mg: a. determina la fórmula para la cantidad de la muestra que queda al tiempo t. b. Determina la masa que queda después de 2 años (considera 1 año = 365 días). c. ¿Cuánto tardará para que la muestra se desintegre hasta tener una masa de 150 mg? 3. La masa m ( t ) que queda después de t días de una muestra de 40 mg de torio-234 está dada por:

m( x ) = 40 · e–0,0277 · t a. ¿Cuánto quedará de la muestra después de 50 días? b. ¿Después de cuántos días solo quedarán 8 mg de la muestra? c. Determina la vida media del torio-234.

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Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales Una persona deposita en un banco $ 2 000 000 al 12% anual de interés compuesto. ¿En cuánto tiempo su capital ascenderá a $ 3 500 000?

Analicemos... • • • •

¿A cuánto asciende su capital después de transcurrido el primer año?, ¿cómo lo calculaste? Entonces, ¿cuánto estimas que demorará en obtener $ 3 500 000?, ¿por qué? ¿Qué es el interés compuesto? Explica. Escribe la ecuación correspondiente a esta situación. ¿Aplicar logaritmos te permite resolver esta ecuación? Justifica.

La expresión que permite calcular el capital final Cf que se obtiene

(

)

t n a partir de cierto capital inicial Ci es: C f = Ci ⋅ 1 + , donde t es 100 la tasa de interés compuesto que se aplica y n, el número de períodos de tiempo. Como, en este caso, la incógnita es el valor de n, se trata de una ecuación exponencial. Como no se pueden igualar las bases, se aplican logaritmos y sus propiedades:

(

)

⎡ t n⎤ log C f = log ⎢Ci 1 + ⎥ 100 ⎦ ⎣

(

log C f = log Ci + log 1 +

(

log C f − log Ci = n ⋅ log 1 + n=

t 100

)

se despeja el valor de n

log C f − log Ci t log 1 + 100

(

)

Finalmente, se remplaza:

(

Además, como t = 12: log 1 + luego, n =

)

t n 100

log Ci = log 2 000 000 = 6,30103, log Cf = log 3 500 000 = 6,54407

) (

)

t 12 = log 1 + = log 112 , = 0, 04922 100 100

6,54712 − 6, 30103 ≈5 0, 04922

Entonces, su capital final será de $ 3 500 000 al cabo de 5 años.

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Actividades 1. Calcula la tasa de interés compuesto anual al que se invierten $ 10 000 000, si al cabo de 2 años produjeron 2 millones de pesos. Verifica tu respuesta utilizando una calculadora científica. 2. Una persona invierte $ 50 000, a una tasa de interés compuesto del 9% anual. Utilizando una calculadora científica, calcula: a. ¿cuál es el monto final del capital después de 6 años? b. ¿Después de cuánto tiempo su capital ascenderá a $ 118 368? 3. Según los resultados del censo de 2002, la población de Chile es de 15 116 435 habitantes y la tasa de crecimiento, entre el censo de 1982 y el censo de 1992, fue de 1,6% anual. Si la tasa de crecimiento se mantiene en los siguientes 30 años: a. ¿cuál será la población en el año 2012? b. ¿En cuánto tiempo se habrá duplicado la población? c. ¿En qué año la población será de 24 millones de habitantes? 4. Determina una fórmula que describa el crecimiento exponencial de una población que aumenta el 12% cada 5 años, considerando una cantidad inicial de 55 millones de personas. ¿Cuál será la población en 40 años más? 5. El número de bacterias de un cultivo está dado por la fórmula B( t ) = 600 · e0,55 · t donde t se mide en horas. a. ¿Cuál es el número inicial de bacterias? b. ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de esta población de bacterias expresada como un porcentaje? c. ¿Cuántas bacterias hay en el cultivo después de 3 horas? d. ¿Después de cuántas horas la población será de 15 000 bacterias? 6. Al momento de morir, un organismo contiene 50 miligramos de átomos de carbono-14 radioactivo. La cantidad de carbono-14, x años después, se ajusta a la función P( x ) = 50 · e–0,000119 · x miligramos. ¿Después de cuánto tiempo de su fecha de muerte le quedarán 0,8 miligramos de carbono-14? 7. Después de x semanas del brote de influenza en una región del país, la cantidad de personas 22 (en cientos) que había contraído el virus se podía modelar mediante la función: f ( x ) = −1,12x 1 + 21e a. ¿Cuántas personas padecían la enfermedad cuando se comenzó a hablar de brote? b. Después de cuatro semanas y si las condiciones siguen igual, ¿cuántas personas tendrán influenza? c. Si no se ataca el brote en su momento, ¿en cuánto tiempo es posible esperar mil infectados?; ¿qué medidas consideras se debieran tomar en una situación similar?

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Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

FUNCIÓN EXPONENCIAL modela

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

se relacionan con

ECUACIONES EXPONENCIALES se resuelven mediante

IGUALACIÓN DE BASES

LOGARITMOS

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿En qué casos se dice que una ecuación es exponencial?, ¿cómo se resuelve? 3. ¿Qué características tiene una situación que implica crecimiento exponencial?, ¿y en el caso de decrecimiento exponencial? 4. ¿Cómo es la gráfica de una situación que implica crecimiento exponencial?, ¿y en el caso de decrecimiento exponencial? 5. Menciona dos ejemplos de situaciones que impliquen crecimiento exponencial y dos para decrecimiento exponencial. 6. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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Mi progreso 1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales 1

a. 2x + 4 = 3 · 4x – 3

d. p2x + 4 = q 0,75x – 1

b. 3 · 22x + 1 = 5

e. 0,1252(x + 1) – 0,253(x + 2) = 189

1

1

c. a3x + 3 = c 3 x + 1

f. (216)x

2

+x

= (7776)x

+1

t

⎛ 3⎞ 2 2. La población de un continente, en millones de habitantes, está dada por la función: P( t ) = 10 · ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ Si t se mide en años, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que la población de este continente se cuadruplique?

3. La medida de la presión atmosférica P en milibares a una altitud de x kilómetros sobre el nivel del mar, está dada por la ecuación P( x ) = 1035 · e–0,12x. a. Si la presión en la cima de la montaña es de 449 milibares, determina la altura de la montaña. b. ¿Cuál es la presión atmosférica en la cima del Everest? (Altura 8000 metros). 4. Si la cantidad inicial del isótopo del polonio es de 50 mg y se sabe que la cantidad restante a los t días es A(t ) = 50 · e–0,00495 t, ¿cuántos días han transcurrido, si ahora hay 34,32 mg del isótopo del polonio? A. B. C. D. E.

95 días. 76 días. 365 días. 65 días. 150 días.

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEMS

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Resolver ecuaciones exponenciales.

1a4

78 a 81

2, 3 y 4

78 a 81

Resolver problemas asociados a crecimiento y/o decrecimiento exponencial.

Función exponencial

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Cómo resolverlo Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. El contenido de una taza de café tiene una temperatura de 90 ºC y se coloca en una habitación cuya temperatura es de 21 ºC. Después de diez minutos, la temperatura del café es de 65 ºC.

Taza de café caliente.

a. Determina la función para la temperatura del café en términos del tiempo t. b. Calcula la temperatura del café después de treinta minutos. c. ¿En cuánto tiempo se habrá enfriado el café hasta la mitad de su temperatura inicial?, ¿cómo lo calculaste? Solución Para resolver la situación planteada, se puede aplicar la ley de enfria−kt . miento de Newton, cuya expresión algebraica es: T (t ) = T0 + Δ ⋅ e

Recuerda que... −kt

, donde T (t ) = T0 + Δ ⋅ e t es el tiempo transcurrido, k > 0 es una constante y Δ es la diferencia de temperatura entre el estado inicial y la del ambiente T0.

a. Al remplazar los datos T0 = 21 y Δ = 90 – 21 = 69 en la función, se tiene que: 65 = 21 + 69 ⋅ e

diez minutos después, la temperatura del café era de 65 °C, es decir, t = 10 y T (10) = 65

−k ⋅ 10

44 −k ⋅ 10 =e 69

ln

( ) ( )

como la base es e, se aplica logaritmo natural

−10 k 44 = ln e 69

luego, la función en este caso,

k = 0,045

es T (t ) = T0 + Δ ⋅ e

−0,045 t

b. Los datos iniciales se mantienen, esto es, T0 = 21 y Δ = 90 – 21 = 69, pero ahora se remplazan en la función ya obtenida, con t = 30: T (t ) = 21 + 69 ⋅ e

−0,045 ⋅ 30

≈ 38, 9. Es decir, después de treinta minutos,

la temperatura del café es de 38,9 ºC. c. La temperatura inicial del café era de 90 ºC, luego, la mitad corresponde a 45 ºC. Entonces, ahora T (t) = 45, y la incógnita es t. 45 = 21 + 69 ⋅ e 24 −0,045 ⋅ t =e 69

( ) (

−0,045 ⋅ t

)

−0,045 t 24 = ln e y se obtiene: t = 23,5. Es decir, la temperatura 69 del café era de 45 ºC después de veintitrés minutos y medio.

ln

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Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. En un hervidor, el agua alcanza los 100 ºC. Si la temperatura de la habitación es de 25 ºC y transcurridos dieciocho minutos la temperatura del agua se reduce a 70 ºC, ¿cuál es su temperatura después de media hora? b. El motor de un automóvil opera a una temperatura de 88 ºC. Cuando se apaga el motor, se enfría de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton, con una constante k = 0,341. ¿Cuál es el tiempo necesario para que el motor se enfríe a 32 ºC, si la temperatura del ambiente es de 16 ºC? c. Un plato de lentejas con temperatura de 80 ºC se pone en la mesa de un comedor que está a 22 ºC. Su temperatura después de x minutos está dada por la función f ( x ) = 22 + 58 · e –0,051x. ¿Cuánto tarda este plato de lentejas en enfriarse hasta llegar a una temperatura de 37 ºC? 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Se vacunó a la población para tratar el virus de la influenza. Se espera que la cantidad de contagiados disminuya según el siguiente modelo: f ( x ) = 150 · e –0,472 · x, donde x representa los días transcurridos. • ¿Cuál es el número de contagiados luego de 2 días? • ¿Cuál es el número de contagiados después de una semana? • ¿Cuánto tiempo se debe esperar para que la cantidad de contagiados disminuya a la cuarta parte? Explica. b. Si se invierten P0 pesos a una tasa de interés anual R y el interés se capitaliza continuamente, después de t años se dispone de P ( t ) = P0 · e Rt pesos. • Si se invierten dos millones de pesos a una tasa de interés anual del 6,9%, calcula el monto obtenido después de seis años, si el interés se capitaliza continuamente. • ¿Después de cuánto tiempo se duplicará un capital, si se invierte a una tasa de interés anual del 7,1% con capitalización continua? • El dinero depositado en una financiera se duplica cada doce años. Esta financiera capitaliza el interés en forma continua. ¿Cuál es su tasa de interés?

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UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1


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En terreno trónicos, Residuos elec el siglo XXI d a r u s a b a v e la nu s electrónilares, agenda lu ce s, re o d puta nan en los ¿Cuántos com tos se amonto le so b o s o ic n ó a vez ectr ensado algun cas y juegos el p s a ¿H ? e il h cinas de C servía, hogares y ofi or que ya no d a rg ca se e a parar adónde fue lular? ó tu primer ce adónde qued

en Chile Telefonía Móvil Miles de Año abonados 10

1990

36

1991

64

1992

85

1993

116

1994 1995 1996 1997 1998 1999 so. dores en desu o de computa ad lm co r do ne Conte

eciente tribuido a la cr n co a h o ic g ló ce tecno z de menor El rápido avan nicos, cada ve ó tr ec el s o at apar soletos. producción de po quedan ob em ti r o en m en tamaño y que onas de 10 mil pers a rc ce 90 19 Chile, en 08 los Por ejemplo, en y a fines del 20 l, vi ó m o n fo un telé millones. contaban con rdeaban los 16 o b ya s o ip u tos eq ta la actuausuarios de es del noventa has a ad éc d la e d ya des aratos estarían Se calcula que ap s to es e d es 13 millon o, correslidad, más de 200 g cada un e d io ed m ro p peso nica. obsoletos, a un basura electró e d s a d la e n 0 to ponden a 260

2000 2001 2002 2003 2004

197 319 410 964 2261 3402 5101 6244 7268 9261

2005

10 570

2006

12 451

2007

13 955

2008

15 880

Fuentes: l cle-38368.htm a.cl/rm/568/arti am . on df .c .p w 08 w w 20 , ile biente onomiaCh nal del Medioam . 09 studios/2008/Ec 20 s/E de vo hi lio rc ju Comisión Nacio _A IBLIOTECA nsultados en l/B Co .c fa fo .so w w mento Fabril, w Sociedad de Fo

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Actividades 1. 2. 3. 4.

Construye un gráfico a partir de los datos de la tabla. ¿Qué puedes concluir? Si se pudiera asociar una función a estos valores, ¿a qué tipo de función corresponde?, ¿por qué? Según estos datos, ¿cuántos abonados a la telefonía móvil habrá en el año 2015? Justifica. ¿Crees que se mantenga el ritmo de crecimiento de estos datos?, ¿por qué?

Investiguemos... Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas: 1. Comparen las estimaciones del número de abonados a la telefonía móvil para el año 2015 que hizo cada uno. ¿Qué pueden concluir? 2. Averigüen las proyecciones de población en Chile para los próximos años y compárenlos con la proyección sobre la cantidad de celulares, ¿existe alguna concordancia?, ¿por qué? 3. Realicen una encuesta en el curso o en el colegio preguntando, al menos: a. b. c. d.

¿cuántos teléfonos celulares están en uso actualmente en tu familia? ¿cuántos celulares ya se han desechado en tu familia? en promedio, ¿cuánto tiempo han tenido cada uno de estos aparatos?, ¿por qué los desecharon? ¿qué han hecho con los teléfonos celulares obsoletos?

4. Comenten los resultados de la encuesta y calculen la cantidad de basura electrónica correspondiente al total de familias encuestadas. ¿Qué pueden concluir? 5. ¿Qué otros aparatos electrónicos forman parte de la basura electrónica?, ¿cuáles de estos aparatos se renuevan más rápidamente en la actualidad?, ¿por qué? 6. Comenten si los teléfonos celulares se pueden reciclar, averiguando, por ejemplo: a. b. c. d.

¿qué materiales se pueden obtener de ellos? ¿Cuáles son las ventajas de reciclar? ¿Qué materiales peligrosos contienen, que no debieran mezclarse con la basura domiciliaria? ¿Qué se hace en Chile actualmente con la basura electrónica?

7. Escriban un informe con todas sus conclusiones y preparen una presentación con sus resultados y una propuesta de cómo podrían disminuir la basura electrónica generada en sus familias.

Evaluemos nuestro trabajo • ¿Qué aprendieron acerca de la basura electrónica? • ¿Cuál de los resultados de la encuesta les llamó más la atención?, ¿por qué? • Comparen sus conclusiones y su propuesta con las de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿qué les faltó?

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Unidad 2

UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1


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Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

FUNCIÓN EXPONENCIAL ECUACIÓN EXPONENCIAL

NÚMERO e CRECIMIENTO EXPONENCIAL

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

DECRECIMIENTO EXPONENCIAL INTERÉS COMPUESTO

DOMINIO

FUNCIÓN INVERSA

RECORRIDO

A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué estrategias se pueden aplicar para resolver una ecuación exponencial? Explica. 3. ¿En qué casos una solución que se ha obtenido algebraicamente no corresponde a la solución de una ecuación exponencial?, ¿por qué? 4. ¿Qué situaciones o fenómenos sociales o naturales se pueden modelar mediante el crecimiento exponencial? 5. ¿Cuáles son las principales características de la representación gráfica de la función exponencial? 6. ¿Cuál es la función inversa de la función exponencial? Justifica. 7. ¿Cuáles son las principales aplicaciones del decrecimiento exponencial? 8. ¿Cómo se define el número e? 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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I.

Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 1. Si la función y = a x es creciente, entonces y = loga x es decreciente. 2. Las gráficas de las funciones f ( x ) = 10x, g ( x ) = log x son simétricas con respecto a la recta y = 10x. 3. La función p ( z ) = 2z pasa por el origen cuando z = 0. 4. El recorrido de la función exponencial natural son los números reales. 5. La función f ( x ) = e x – 1 es decreciente. 6. La intersección de la función f ( x ) = 52 – x con el eje de las ordenadas es en el punto (–2, 0). ⎛ 7. La función exponencial que pasa por el punto ⎜ 3, ⎝

x

⎛ 1⎞ 1⎞ ⎟⎠ es f ( x ) = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ . 8

II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. La población de ranas en un pequeño estanque crece exponencialmente. La población actual es de 75 ranas, y la tasa de crecimiento relativo es de 16% anual. a. Determina una función f ( t ) para la población después de t años. b. Determina la población proyectada después de 2 años, y después de 5 años. c. Determina el número de años necesarios para que la población de ranas alcance a las 800 ranas. 2. El número de bacterias en un cultivo, está dado por la relación f ( t ) = B · 2kt , con t medido en horas. Si al cabo de 8 horas, el número de bacterias es 16 2 veces lo que había al principio, ¿cuál es el valor de k? 3. Si se añaden 10 gramos de sal a una cierta cantidad de agua, la cantidad c(x ) que no se disuelve x

⎛ 4⎞ después de x minutos está dada por c ( x ) = 10 · ⎜ ⎟ . ⎝ 5⎠ a. ¿Cuántos gramos de sal no se disuelven al cabo de 8 minutos? b. ¿Después de cuántos minutos quedan 5,12 gramos de sal? 4. Un automóvil que se compra hoy en D dólares, se estima que su valor comercial v(t ) al cabo de

t años está dado por v ( t ) = 0,88 · D · 0,85t – 1. a. Si el costo original es de 10 000 dólares, ¿cuál será su valor comercial después de 3 años? b. ¿Cuántos años han transcurrido desde que se compró, si actualmente cuesta 3905 dólares?

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Unidad 2

Evaluación


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III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.

1. Si A = log x, B = log (1 – x) y C = log (x – x 2) con 0 < x < 1, entonces se cumple: A. B. C. D. E.

A–B=C A–B+C=0 A+B=C B+C=A Ninguna de las anteriores.

2. El valor de x en e A. B. C. D. E.

ln (5x – 5)

A. B. C. D. E.

90 minutos. 163 minutos. 180 minutos. 205 minutos. 227 minutos.

= 5 es:

x=0 x=e x = 2 y x = –2 x=2 x=5

3. La solución de ln e–4x + 5 = 21 es: A. B. C. D. E.

5. Un cultivo de bacterias tiene 300 bacterias en un principio y después de una hora hay 450 bacterias. Según este crecimiento, ¿en cuánto tiempo el número de bacterias se triplica?

x = –4 x=4 x = 4 y x = –4 x=e Ninguna de las anteriores.

6. Cuando x toma un valor muy grande, f ( x ) = 2 + 3 · 10 –x se acerca a: A. B. C. D. E.

2 3 5 6 Falta información.

7. Al despejar la variable x en la ecuación 1 y = ln (x – 1) se obtiene: 2 A. x = e 2y + 1 B. x = e 2y + 1

4. Una población de bacterias duplica su tamaño cada 21 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en incrementarse el número de organismos de 106 a 109 bacterias? A. B. C. D. E.

63 minutos. 126 minutos. 200 minutos. 209 minutos. Ninguna de las anteriores.

C. x = e 2y D. x = 2 ln (y – 1) E. x = ln (y – 1) 8. El valor de log2 (3x + 3x + 1) es igual a: A. xlog 3 + 2 B. xlog2 3 + 2 C. log2 3x + log2 3x + 1 D. log2 32x + 1 E. 32x + 1

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9. El valor de 3x + 3x + 1 es igual a: A. B. C. D. E.

3 · 3x + 1 2 · 32x + 1 4 · 3x 32x + 1 Otro valor.

10. Al simplificar ln e x + e lnx + 1 se obtiene: A. B. C. D. E.

1 x+1 2x + 1 ln (e x + 1) Otro valor.

13. Al resolver la ecuación ln (5 – 2x) = –2, el valor de x es: A. 5 – e–2 B.

5 – e–2 2

e –2 10 5 D. 2 C.

E. Ninguna de las anteriores.

14. Al resolver la ecuación 2x · 42x – 1 = 84 – 2x el valor que se obtiene para x es: A. 10

11. ¿Cuál de las siguientes relaciones son verdaderas para la función exponencial f ( x ) = ax con a > 0 y a  1? I. El dominio de f ( x ) es R. II. Si a > 1, entonces f ( x ) es creciente. III. a x = a z ⇔ x = z A. B. C. D. E.

Solo I Solo II I y III II y III I, II y III

4 500 12. Sea la función exponencial f (t ) = . t ¿Cuál es el valor de f ( 4 )? 64 12 A. B. C. D. E.

15 25 60 1125 9000

B.

14 11

C.

1 2

D. – 4 E. 27 15. Un pollo asado se saca del horno cuando su temperatura ha alcanzado 70 ºC y se coloca sobre la mesa de un comedor donde la temperatura es de 26 ºC. Si la temperatura del pollo es de 50 ºC después de quince minutos, ¿cuál será su temperatura después de media hora? A. B. C. D. E.

30 ºC 39 ºC 24 ºC 54 ºC 52 ºC

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Función exponencial

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:Maquetaciรณn 1

3

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Pรกgina 98

Vectores

TRABAJANDO CON:

APRENDERรS A:

Vectores

Conocer y utilizar la operatoria con vectores.

Traslaciones

Realizar traslaciones y homotecias de figuras.

Homotecias Reconocer vectores en el plano y en el espacio. Coordenadas cartesianas en el plano y el espacio Identificar y describir puntos, rectas y planos en el espacio. Rectas y planos en el espacio

Ecuaciones cartesianas

Ecuaciones vectoriales

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Escribir la ecuaciรณn de la recta, vectorial y cartesiana.

Escribir la ecuaciรณn del plano, vectorial y cartesiana.


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Conversemos de... El lanzamiento del martillo es una competición de atletismo donde se lanza una bola de metal unida a una empuñadura mediante un cable de acero, denominado martillo. Gana quien lo arroja a una mayor distancia. Esta prueba requiere tanto de fuerza como de destreza y velocidad, ya que el o la atleta debe balancear el martillo y, luego, girar con él para lanzarlo con la mayor velocidad posible. Se incorporó para hombres en el año 1900 en los Juegos Olímpicos de París y para mujeres en el año 2000, en Sidney.

Latinstock

1. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras el atleta gira con él antes del lanzamiento?, ¿cómo las representarías? 2. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras está en el aire?, ¿podrías señalarlas en la imagen? ¿Cómo las representaste?, ¿por qué?

Vectores|

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¿Cuánto sabes? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. 1. Completa las siguientes afirmaciones. a. Si la abscisa y la ordenada tienen el mismo signo, el punto (x, y) se encuentra en el ___________ cuadrante. b. Si la ordenada es negativa y la abscisa es positiva, el punto (x, y) se encuentra en el ___________ cuadrante. c. Las coordenadas del punto, que está 4 unidades a la izquierda del eje de las ordenadas y a 3 unidades por encima del eje de las abscisas, son _________. 2. Verifica que los puntos A, B, C y D indicados en la figura son vértices de un paralelogramo. Justifica. Y

B(2, 10)

C(20, 14)

D(14, 6) A(–4, 2) O

X

3. Escoge cuatro puntos, de tal manera que sean los vértices de un cuadrado, y cada punto pertenezca a un único cuadrante. Explica cómo lo hiciste. 4. Grafica las siguientes ecuaciones de la recta. a. y = 2 b. y =

1 x+7 2

c. y = –3x + 3 1 d. y = – x + 2 4

5. Comprueba la falsedad de las siguientes proposiciones, dando un contraejemplo. Guíate por el ejemplo.

Glosario contraejemplo: ejemplo que contradice una afirmación.

Afirmación: La suma de dos números primos siempre es otro número primo. Contraejemplo: Los números 3 y 7 son primos, pero su suma es 10, y este número no es un número primo. Por lo tanto, la proposición es falsa. a. El producto de un número impar por otro par es siempre impar. b. Todo número natural al cuadrado es siempre un número par. c. El producto de dos fracciones es siempre menor que 1.

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6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y analiza sus soluciones. 1 1 a. 3x + 2y = 14 b. x + y = 42 c. x– y=3 2 4 x – y = 28 2x + 2y = 24 4x – 2y = 24

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? •

El plano cartesiano está formado por dos líneas rectas (ejes) perpendiculares entre sí. La representación en coordenadas de los cuadrantes es la siguiente: Primer cuadrante (x, y) Segundo cuadrante (–x, y) Tercer cuadrante (–x, –y) Cuarto cuadrante (x, –y) (Considerando x > 0, y > 0).

Y II

I O

III

IV

X

El eje horizontal se llama eje de abscisas o también eje X; el eje vertical se llama eje de las ordenadas o eje Y, y el punto O se llama origen de coordenadas. •

Las transformaciones del plano modifican los puntos del plano siguiendo una regla o condición dada. Las transformaciones isométricas conservan la forma y el tamaño de las figuras, de modo que la figura resultante es congruente con la figura inicial. Se clasifican en traslación, reflexión y rotación.

Todo sistema de dos ecuaciones lineales presenta tres posibilidades en cuanto a sus soluciones. • Si una de las ecuaciones • Si ambas rectas tienen • Si se tiene que las rectas de la recta es una amplifiigual valor de la pendienno son coincidentes ni cación de la otra, el siste y no son coincidentes, paralelas, el sistema tiene tema tiene infinitas soluel sistema no tiene soluuna única solución, ya que ciones, ya que las rectas ción, ya que sus rectas sus rectas son secantes. son coincidentes. son paralelas.

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Vectores Como ya lo mencionamos, en el desarrollo de la prueba olímpica del lanzamiento del martillo se manifiestan diversas fuerzas. Observa el dibujo donde se ha representado la fuerza centrípeta y la velocidad tangencial que interviene en la velocidad final del martillo.

Analicemos... • • •

¿Se puede decir que dos fuerzas son iguales, si las flechas que las representan tienen igual longitud?, ¿por qué? ¿Se pueden aplicar dos fuerzas distintas, de modo que la fuerza resultante sea nula? Justifica. ¿De qué depende la longitud de la flecha, en cada caso?, ¿y su dirección? Explica.

Una forma de observar cuáles son las fuerzas de que depende la velocidad final del martillo, es utilizar un diagrama en el que se representa la fuerza que actúa sobre él y su velocidad tangencial mediante flechas, lo que permite visualizar cuál es la fuerza resultante y cómo afecta, en este caso, a su velocidad de lanzamiento. Cuando se representa una fuerza, no basta con señalar su magnitud. Una fuerza tiene también dirección, ya que cuando se aplica en direcciones diferentes provocará distintos efectos. Es así como toda fuerza se puede representar sobre un diagrama utilizando flechas. La dirección de la flecha será la dirección en que se ejerce la fuerza y su longitud debe ser proporcional a la magnitud de esta.

Glosario vector: toda magnitud en la que, además de la cantidad, hay que considerar la dirección y el sentido.

B →

AB A

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La fuerza, tal como la velocidad y el desplazamiento, es un vector. Un vector se caracteriza por su: • módulo: es el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representa gráficamente por la longitud de la flecha. • dirección: está dada por la orientación en el plano o en el espacio de la recta que lo contiene. • sentido: se muestra mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. El vector se representa por un segmento orientado con origen en → A y extremo en B, se representa por el símbolo AB . La distancia → entre A y B representa gráficamente el módulo del vector AB .


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Unidad 3

Dos segmentos orientados representan al mismo vector si son paralelos, tienen el mismo sentido y la misma magnitud o módulo sin importar dónde está ubicado su origen. Si alguna de estas condiciones no se cumple, se dice que son distintos. Se dice que dos vectores son opuestos si tienen igual módulo y dirección, pero sentido contrario.

En resumen •

Un vector es un objeto matemático caracterizable mediante una magnitud o módulo, una dirección y un sentido.

Dos vectores son iguales solo si son, a la vez, paralelos, con igual sentido y con la misma magnitud o módulo.

El vector 0 corresponde a un vector, pero de magnitud 0, y sin dirección ni sentido.

Actividades 1. Determina si los siguientes vectores son iguales, opuestos o distintos, en cada caso. Justifica. a.

b.

c.

2. La figura ABCDEF es un hexágono regular. Determina:

A

B

a. dos parejas de vectores con igual sentido, dirección y módulo. b. Una pareja de vectores de distinta dirección pero con igual módulo. F c. Una pareja de vectores con distinto módulo pero con igual dirección.

C

E

D

3. Determina cuáles de los siguientes vectores tienen igual módulo, en cada caso. Justifica. a.

b.

Vectores

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UNIDAD 3 (98-155)C

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Operatoria con vectores Glosario trayectoria: línea descrita en el plano o en el espacio por un cuerpo que se mueve. desplazamiento: cambio de la posición de un cuerpo.

Observa el siguiente mapa y sigue las trayectorias que han hecho Pablo y Andrea, desde la Plaza de la Independencia. Pablo caminó por Aníbal Pinto hasta Chacabuco, y dobló hacia su derecha hasta Colo-Colo. Andrea se fue por O’Higgins hasta llegar a Tucapel.

Plaza Perú ns iggi O´H olo lo-C Co nto l Pi íba An

l ape Tuc

Plaza de la Independencia

uco cab a h C

Analicemos... →

• •

a

b

¿Quién recorrió más?, ¿por qué? Ahora, dibuja una flecha que indique el desplazamiento de cada uno. ¿Quién se desplazó más? Justifica. Más tarde, Pablo y Andrea se reunieron en la Plaza Perú. ¿Cómo se representa el desplazamiento de cada uno?, ¿cuál es su desplazamiento total, en cada caso?

a

b

s=a+b

Recuerda que... Una diagonal de un paralelogramo es la recta que pasa por dos vértices opuestos. →

a

a+b

0 →

b

104 | Unidad 3

a

Una forma de calcular el vector suma s = a + b es dibujar uno de → → ellos, por ejemplo a , y luego representar el vector b colocando el → → origen de b en el extremo de a . El vector resultante tiene su ori→ → gen en el origen de a y su extremo, en el extremo de b . → →

b

Al igual que la fuerza, el desplazamiento es un vector, ya que es la diferencia entre una posición inicial y una posición final; luego tiene magnitud y también dirección y sentido. En cambio, la trayectoria tiene magnitud, pero no dirección. Para sumar dos o más trayectorias, basta sumar sus magnitudes. Pero, para sumar desplazamientos, su suma depende de la dirección de los desplazamientos. Observa.

Otra forma de realizar la suma de a y b es dibujar dos representantes de ambos vectores con un mismo origen, O, y completar el paralelo→ → gramo. El vector suma a + b es la diagonal de origen O de dicho para→ → lelogramo. Observa que para realizar la suma de b + a , el paralelogramo correspondiente es el mismo; luego su vector suma también.


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Pon atención

La adición de vectores cumple las siguientes propiedades: →

• • • •

Conmutativa: a + b = b + a . → → → → → → Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c . → → → → → Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . El módulo del vector resultante es menor o igual que la suma de los módulos de los vectores. Es igual solo cuando los sumandos tienen la misma dirección y el mismo sentido. → → • Dado un vector a , existe un vector opuesto –a , de igual módulo y dirección, pero sentido contrario, de forma que al sumarlos se → → → → obtiene el vector 0 o nulo. Esto es, a + (–a ) = 0 .

• El resultado de la adición y la sustracción de vectores es siempre un vector. • La representación de la diagonal, → → → → como a – b o b – a , dependerá del punto de aplicación del vector y de su extremo.

Al igual que en el caso de los números, la sustracción de vectores es la operación inversa de la adición de vectores. Restar dos vectores consiste en sumarle al primero el vector opuesto del segundo: → → → → w – v = w + –v . Gráficamente, si se emplea el método del paralelogramo para la sustracción, la diagonal del paralelogramo obtenido que une los puntos extremos de los vectores representa la resta de los dos vectores.

v +w

w –v →

w

v

En resumen •

La suma de dos o más vectores es un vector. La adición de vectores es asociativa, conmutativa, tiene un elemento neutro y elemento inverso para cada vector.

La resta de vectores, a – b , consiste en sumar a a el vector opuesto de b .

Para representar la suma o resta de vectores, se pueden utilizar las diagonales de un paralelogramo como representación de ellas.

Actividades 1. Resuelve los siguientes problemas. a. El minutero de un reloj mide 5 cm. Si el minutero parte desde 0, representa gráficamente el vector desplazamiento de su punta después de quince minutos, media hora, tres cuartos de hora y después de una hora. b. Dos vectores de desplazamiento centrados en el origen tienen módulos iguales a 6 m y 8 m. ¿Cuál debe ser la dirección y sentido de cada uno de estos vectores para que la resultante tenga un módulo igual a 14 m, 2 m y 6 m? Representa gráficamente cada uno de los casos pedidos.

Vectores

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Unidad 3

UNIDAD 3 (98-155)C


UNIDAD 3 (98-155)C

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Vectores en el plano cartesiano Recuerda que en cursos anteriores conociste el plano cartesiano, que permite representar la ubicación de puntos en el plano mediante sus coordenadas. Observa ahora la siguiente figura, en la que el → origen y extremo de un vector a en el plano cartesiano corresponden a los puntos P (2, 3) y Q (12, 9), respectivamente.

Y Q

9

a

3

P 2

12 X

Analicemos... • • • •

Pon atención • Existen diversas formas de representar analíticamente un vector, en este Texto utilizaremos la notación  x, y . → • Se utiliza || v || para simbolizar → el módulo de v .

Cuando el punto de aplicación de un vector está en el origen de un sistema de coordenadas, su extremo coincidirá con un punto del → plano y se representa utilizando este punto, por ejemplo v = x, y . En este caso se puede determinar su módulo utilizando el teorema de Pitágoras. Entonces || v

||2 = x 2 + y 2, o bien || v || =

y →

v

2

x

X

Recuerda que... Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.

Es decir, si v tiene su origen en el punto P2(x2 , y2) y su extremo en → el punto P1(x1, y1), se puede calcular v = x1 – x2 , y1 – y2. Por ejem→ plo, si el origen de a corresponde al punto (–5, 2) y su extremo → al punto (7, 3), entonces a = 7 – (–5), 3 – 2 = 12, 1. Y para determinar su módulo, se puede calcular la distancia entre el origen y el extremo del Y vector. Observa. Dado que el punto E tiene coordeP1(x1, y1) B nadas (x1, y2), la medida de los lados estaría dada por: C A P2E = (x1 – x2) y EP1 = (y1 – y2). O

P2(x2, y2)

106 | Unidad 3

2

x +y .

Por otra parte, cuando el origen del vector no coincide con el origen del sistema de coordenadas, se puede calcular la diferencia, componente a componente, entre el extremo y el origen del vector para obtener la representación cartesiana del vector.

Y

O

Si a se trasladara de modo que su origen se situara en (0, 0), ¿en qué punto se ubicaría su extremo? → ¿Cómo se representa con números el vector a ?, ¿por qué? → ¿Cómo se puede calcular el módulo de a ? Explica. En general, ¿cómo se representa un vector, si se conocen las coordenadas de su origen y su extremo? Justifica.

D

X

E


UNIDAD 3 (98-155)C

:Maquetación 1

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P1 P2 =

( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

Unidad 3

Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene que ||P1P2||2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2, de donde

Glosario

La adición de vectores en forma analítica se efectúa a través de sus coordenadas cartesianas, sumando componente a componente. → → Por ejemplo, al sumar los vectores a = 2, 3 y b = –1, 2, el vector resultante es: 2, 3 + –1, 2 = 2 + –1, 3 + 2 = 1, 5.

forma analítica: se dice de los vectores cuando están representados utilizando sus coordenadas cartesianas, para distinguirlos de su representación geométrica.

En resumen •

Un vector OP que va desde el origen del plano cartesiano al → punto P, se denomina vector posición y se representa por p . → Las componentes de p coinciden con las coordenadas del → punto P (px , py ), dado que p =  px – 0, py – 0 =  px , py . →

Si el origen y extremo de un vector a en el plano cartesiano corresponden a los puntos P (x1, y1) y Q (x2, y2), respectivamente, entonces la forma analítica de ese vector está determinada por: → → a = PQ =  x2 – x1 , y2 – y1.

Y Q

y2

y2 – y1

a

y1

P

x2 – x1

x1

x2 X

El módulo de un vector, que corresponde a su longitud o tamaño, se puede calcular mediante →

la expresión: || v

|| =

2

2

x + y , si v =  x, y.

Actividades 1. Dibuja y, luego, calcula el módulo de los siguientes vectores centrados en el origen del plano y cuyo extremo es el punto: a. A(3, 4) b. B (–7, 12)

c. C (–9, –12) d. D (–13, 12) →

e. E (–1, 0) f. F (0, –4) →

→ →

2. Si a = –4, 5, b = 6, –3 y c = –2, –2, grafica y determina v de modo que v = a + b – c . Luego, calcula su módulo. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste. →

3. Dados los vectores a = 3, –2, b = –1, 5 y c = 4, 6, determina: →

a. a − b + c → → b. b − c

c. a − b − c → → → d. a + b − c →

e. a + b + c → → f. a + c →

4. Sobre un cuerpo actúan las fuerzas f1 = 6, 8, f2 = –15, 20, f3 = –4, –16. Calcula: a. la magnitud del vector resultante.

b. la dirección del vector resultante.

Vectores

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:Maquetación 1

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Página 108

Traslación de figuras planas Observa la siguiente figura: C C´ B D

D´ A A´

Analicemos... •

Recuerda que... Una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura en igual magnitud, dirección y sentido.

imagen bajo una transformación: elemento (punto, segmento o figura) obtenido, a partir de otro similar, mediante una transformación del plano.

C´ 7

A´ A

La traslación anterior se denota como T 2, 1 de los puntos del ΔABC. En la imagen se muestra la traslación del triángulo ABC.

B´ 2 1 –4

–2

108 | Unidad 3

Para obtener la imagen bajo una transformación de una figura (la imagen de una figura bajo la traslación), basta con sumar el vector de traslación, en este caso, a cada uno de los vértices de la figura, coordenada a coordenada. Por ejemplo, la traslación del triángulo cuyos vértices son A(–4, 4), B (–2, 2) y C (–3, 6), dada por el → vector v = 2, 1, es:

A’: (–4, 4) + (2, 1) = (–2, 5) B’: (–2, 2) + (2, 1) = (0, 3) C’: (–3, 6) + (2, 1) = (–1, 7)

6

B

A una figura dada se le puede aplicar una traslación, que desplaza todos los puntos de una figura en igual magnitud, dirección y sentido. Luego, tal como las fuerzas y los desplazamientos, se puede utilizar un vector para representarla, el que se suma a los vectores posición de cada punto.

Glosario

C

• •

Compara las medidas y la dirección de los trazos AA´, BB´, CC´ y DD´. ¿Qué puedes concluir? ¿Corresponde a una transformación isométrica? Justifica. ¿Esta transformación se puede representar utilizando vectores?, ¿por qué? Si se conocen las coordenadas de la figura ABCD, ¿cómo se pueden obtener las coordenadas de A´B´C´D´? Explica.

v

2

4


:Maquetación 1

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Composición de traslaciones Si al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, se habla de composición de traslaciones. Observa la figura:

4 2

Como se puede observar, ΔA’B’C’ se obtiene aplicando → T 1 10, 2 a los vértices del ΔABC. En cambio, ΔA’’B’’C’’ → se obtiene aplicando T 2 1, –6 a los vértices del ΔA’B’C’.

–6

T1

–4 C –2

2 –2

A

–4

4 A´

C´ 6

8

T2

10 B´

C´´

B –6 –8

B´´

calcula la composición de las traslaciones; esto es, si T 1  x1, y1 y →

T 2  x2, y2, entonces T 2 º T 1 =  x1 + x2, y1 + y2. →

En este caso, T 2

composición: de transformaciones, → → dadas dos transformaciones S , T , → → es otra transformación, T º S , que resulta de aplicar sucesivamente las anteriores. Esto es: → → → → (T º S )  x, y = T (S  x, y). → Observa que primero se aplica S y → a su imagen se aplica T .

A´´

Entonces, para representar la traslación del ΔABC al ΔA’’B’’C’’, se →

Glosario

º T 1 = 10 + 1, 2 + –6 = 11, –4 representa la

Pon atención Al igual que en el caso de las funciones, la inversa de una traslación → T es aquella traslación que deshace → las transformaciones que realiza T .

traslación del ΔABC al ΔA’’B’’C’’.

En resumen •

La traslación de una figura en el plano cartesiano da origen a una nueva figura, que es congruente con la anterior; es decir, mantiene la misma forma y medidas.

Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otra traslación ya realizada.

Si T  x, y es una traslación en el plano cartesiano, entonces T –1  x, y es su traslación inversa, y corresponde a la trasformación que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido → → contrario. O sea, T –1 x, y = T –x, –y.

Actividades 1. Los vértices de un cuadrilátero son (1, 0), (0, 2), (–3, 0), (0, –1). ¿Cuáles serán los vértices del cuadrilátero si se aplica una traslación de vector 3, –2? 2. Considera dos circunferencias de igual radio, una con centro O (–2, 3) y la otra con centro A (–1, 1). Determina el vector que permite trasladar la circunferencia de centro O a la posición con centro en A. Luego, determina el vector de la traslación opuesta a la realizada. ¿Qué puedes concluir? 3. Determina las traslaciones inversas de cada una de las siguientes traslaciones: →

a. T 1 2, 3

b. T 2 –3, 4

c. T 3 –6, –7

d. T 4 0, –4

Vectores

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Unidad 3

UNIDAD 3 (98-155)C


UNIDAD 3 (98-155)C

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Página 110

Producto por un escalar Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas, una se representa mediante → → el vector f = 2, –3, y la otra por el vector g = –6, 9.

Analicemos... • • •

→ →

Dibuja un plano cartesiano y traza los vectores f y g , partiendo del origen. ¿Qué tienen en común? Explica. Representa en el mismo plano una fuerza que sea el triple de la → fuerza f . ¿Cuál es su representación algebraica?, ¿por qué? → → ¿Cuál es el valor de λ tal que se cumpla g = λ · f ? Justifica. → →

Al dibujar en un plano cartesiano los vectores f y g seguramente pudiste observar que tienen la misma dirección, aunque no tienen el mismo sentido ni la misma magnitud. →

Además, para calcular el triple de la fuerza f , se calcula el triple de cada una de las coordenadas. → Esto es: 3 · f = 3 · 2, –3 = 3 · 2, 3 · –3 = 6, –9

Glosario producto por un escalar: aplicado a → un vector a , es otro vector cuya magnitud es el producto del escalar → por la magnitud de a , cuya direc→ ción es la de a y cuyo sentido es el mismo u opuesto, según el escalar sea positivo o negativo. escalar: elemento de un conjunto numérico; se usa, en particular, cuando se le quiere distinguir claramente de los vectores.

Es decir, tanto gráfica como algebraicamente, el vector resultante aumenta al triple su módulo, manteniendo su dirección y sentido. En general, cuando se calcula el producto por un escalar de un vector, se obtiene un nuevo vector, que conserva la dirección del vector original, pero cuya magnitud y sentido cambian según el valor por el cual fue multiplicado. Observa. Para graficar el mismo vector, pero

Y

multiplicado por –1, se puede calcular

f

–1 f = –1 · 2, –3 = –1 · 2, –1 · –3 = –2, 3

–f

Observa la imagen donde se represen→

X

taron f y –f

Propiedades del producto por un escalar →

Dados los escalares λ y μ, y los vectores a y b , se cumplen las siguientes propiedades: →

1. λ (a + b ) = λa + μ b →

2. (λ + μ)a = λa + μa →

3. λ (μa ) = (λμ)a

asociatividad

4. 1a = a

elemento neutro

5. 0a = 0

110 | Unidad 3

distributividad

propiedad absorbente del cero


:Maquetación 1

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15:43

Página 111

Ejemplo → → → → Dados los vectores a = 具–6, 2典 y b = 具3, –4典, ¿cuánto resulta 5(a + b )? →

5(a + b ) = 5a + 5b = 5具–6, 2典 + 5具3, –4典 = 具–30, 10典 + 具15, –20典 = 具–30 + 15, 10 + –20典 = 具–15, –10典

Recuerda que... | λ | se refiere al valor absoluto de un número real. → || a || se refiere al módulo de un vector.

En resumen →

El producto de un escalar λ por un vector a , de coordenadas 具 x, y典, es otro vector dado por → → → → λ a , y se define como: λ a = λ具 x, y典 = 具λx, λy典. Se dice que λ a es un vector ponderado de a .

Observa que dos vectores paralelos se pueden expresar uno como ponderado del otro: → → → → a = λb o bien b = μa .

El vector ponderado λ a tiene las siguientes características:

• • • •

b

Mantiene la dirección de a . → → || λ · a || = | λ | · || a ||. → Si λ > 0, el vector mantiene el sentido de a . Si λ < 0, el vector cambia de sentido. → → Si λ = 0, entonces λa = 0 (vector nulo).

b

a

a

→ → a = λb

Actividades → →

1. Copia en tu cuaderno los vectores u , v y w . Luego, representa: →

a. u + v → b. 3u → → c. 2u – v

d. v + 2w → → → e. 2u – v – w

u

v

w

2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones: c. 具5, –2典 – 具3, 1典 + 2具6, 0典 d. 5具3, –2典 – 4具–1, 0典 + 2具–1, –3典

a. 3具2, –1典 – 3具2, 3典 b. –2具7, –3典 + 5具0, 5典 →

3. Dado el producto de μa , con a ⫽ 0, ¿qué características cumple el producto, en cada caso? Justifica tu respuesta con la representación gráfica correspondiente. a. ¿si μ > 1? b. ¿si μ = 1? c. ¿si 0 < μ < 1?

d. ¿si μ = 0? e. ¿si μ = –1? f. ¿si μ < –1?

Vectores

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Unidad 3

UNIDAD 3 (98-155)C


UNIDAD 3 (98-155)C

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Página 112

Homotecia En cursos anteriores aprendiste que las transformaciones isométricas son transformaciones geométricas que preservan la forma y el tamaño de las figuras; sin embargo, no todas las transformaciones geométricas son así. Por ejemplo, en la siguiente figura se puede observar el cuadrilátero KLMN, de vértices K(10, –2), L(4, –8), M(12, –12) y N(14, –6), y sus respectivas imágenes: el cuadrilátero K1L1M1N1 y el cuadrilátero K2L2M2N2. Y M1 L1

N1 K1

O

K2

X

K N2

L2

N L M2 M

Analicemos... •

Recuerda que... La imagen bajo una transformación es un elemento (punto, segmento o figura) obtenido, a partir de otro similar, mediante una transformación del plano.

• • •

¿Cómo describirías los cuadriláteros obtenidos, respecto del original? Explica. ¿Corresponde, en cada caso, a la imagen bajo una transformación isométrica?, ¿por qué? Determina los pares ordenados correspondientes a los vértices de cada cuadrilátero. ¿Qué puedes concluir? Calcula la medida de los lados de cada cuadrilátero. ¿Existe una proporción entre ellos? Explica.

En la figura anterior puedes observar que las imágenes bajo la transformación tienen la misma forma original, las medidas de sus ángulos se mantienen, pero no así las medidas de sus lados; es decir, son semejantes, ya sean de menor o mayor tamaño. En cada caso, la imagen resultante se puede construir con ayuda de rectas que pasan por el mismo punto O. Observa que al comparar → → → los vectores correspondientes (por ejemplo, OM con OM1, OL con → OL 1, etc.) se obtiene que la razón de sus módulos es una constante.

112 | Unidad 3


:Maquetación 1

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Cuando esto ocurre, se dice que una de las figuras es la imagen de la otra bajo una homotecia. La homotecia está definida por el punto O, que es el centro de la homotecia, y un número k, que es la razón entre el módulo de los vectores correspondientes en esa transformación. Se representa como H (O, k). El número k es distinto de cero, ya sea positivo o negativo. Si la homotecia tiene una razón k, se puede concluir que la magni→ tud del vector OA´ es | k | veces igual a la magnitud del correspon→ diente vector OA .

Glosario homotecia: transformación en el plano con respecto a un centro O, que permite obtener una figura semejante a otra figura dada. homotético(a): elemento (punto, segmento o figura) que es imagen de otro similar bajo una homotecia.

En caso que la homotecia tenga razón negativa, (k < 0), el vector OA´

está en la misma dirección, pero en sentido contrario al vector OA . Ejemplo Considera el ΔABC, de coordenadas A (2, –4), B (0, –2) y C (6, 3), y el origen O (0, 0). Encuentra su imagen bajo la homotecia H (O, –2). Para aplicar una homotecia es necesario determinar primero los vectores desde el centro de homotecia O a cada uno de los puntos. En este caso, ya que el centro de la homotecia está en el origen → → → O (0, 0), los vectores son OA = 2, –4, OB = 0, –2, OC = 6, 3. →

A estos vectores se les aplica la homotecia; luego, OA´ = –4, 8,

→ → OB = 0, 4, OC = –12, –6.

Entonces, su imagen es el ΔA’B’C’ de coordenadas A’(–4, 8), B’(0, 4), C’(–12, –6). Observa que la proporción que existe entre los triángulos corresponde a la razón de homotecia. Se puede verificar que dos figuras son homotéticas si, al unir mediante rectas los puntos o vértices correspondientes de ellas, estas rectas concurren en un único punto que es el centro de homotecia O.

Pon atención Cuando la homotecia tiene centro en el origen de coordenadas, dado un punto A(x, y) y su homotético A’(x’, y’), se cumple que la relación que hay entre ellos es la siguiente: x’ = kx e y’ = ky, donde k es la razón de la homotecia.

Composición de homotecias Al igual que con las traslaciones, se puede realizar una composición de homotecias; es decir, se puede aplicar una homotecia a la imagen de la homotecia de una figura. La composición de homotecias, cuando su centro de homotecia es el mismo, es una homotecia con igual centro, y cuya razón corresponde al producto de las razones de las homotecias originales.

Vectores

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Unidad 3

UNIDAD 3 (98-155)C


UNIDAD 3 (98-155)C

:Maquetación 1

A´´

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Ejemplo Dado los puntos A(3, 7) y O(2, 5) y las homotecias H1(O, –2) y H2(O, –1,5), determina el homotético de A respecto de la composición de homotecias H2 º H1.

→ →

A

• Se obtiene el vector OA : OA = 3 – 2, 7 – 5 = 1, 2. • Se aplica primero la homotecia H1; luego,

OA O

→ OA’ = –2 · 1, 2 = –2, –4. → • Se aplica la homotecia H2 al vector OA’ ; luego, → OA’’ = –1,5 · –2, –4 = 3, 6. → → Luego, A’’ se obtiene de O + OA’’ = 2, 5 + 3, 6 = 5, 11. Es decir, el homotético de A es el punto (5, 11).

OA´ A´

En resumen •

Una homotecia es una transformación geométrica que no afecta la forma de la figura, pero sí puede cambiar su tamaño y orientación.

Una homotecia de centro O y razón k, con k ⫽ O transforma un vector OP en un vector OP’,

tal que OP’ = k · OP . Se escribe H (O, k). Algunas de sus características son: • • • •

las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras originales. los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos. si la razón es positiva, la homotecia preserva el sentido de las figuras. Si la razón es negativa, la homotecia invierte las figuras.

La composición de dos homotecias de centro C es otra homotecia de centro C, y su razón corresponde al producto de las razones; esto es, si H’ (C, k’ ) y H (C, k), H´ º H = H1, donde H1 (C, k · k’ ).

Actividades 1. Considera un cuadrilátero ABCD de coordenadas A (3, –3), B (6 , –6), C (10, 1) y D (4, 3) y el origen O (0, 0). Encuentra su figura homotética, respecto de: 3 a. H (O, –1) b. H O, 2

( )

2. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es E. Haz el dibujo en tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotéticas: 1 3 b. H3 º H4, con H3(A, 2) y H4 A, – a. H1 º H2, con H1(E, 3) y H2 E, 2 2

( )

(

)

3. Verifica si el área de una figura homotética es igual al producto del área de la figura original por el cuadrado de la razón de homotecia.

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UNIDAD 3 (98-155)C

:Maquetación 1

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Página 115

Usando el programa Regla y Compás, aprenderás a analizar gráficamente el concepto de homotecia. Ingresa al sitio web: www.educacionmedia.cl/web, escribe el código 11m4115 y pulsa la flecha verde. Al hacerlo, se abrirá una nueva página. Haz clic en el botón Descarga y Webstart que está ubicado en el costado izquierdo de la pantalla. Luego selecciona el sistema operativo que tiene tu computador y presiona Download. De este modo habrás descargado el software. Instálalo y luego realiza las siguientes actividades: • • • •

Con el comando vector construye tres o cuatro vectores cuyo punto de origen sea el mismo para todos ellos. A continuación, selecciona del menú Macros, la opción Vectores y luego Vect. mult. por un real (dlog). Selecciona uno de los vectores, y después marca el punto de origen del vector. Escribe la razón de homotecia en un cuadro que aparecerá más abajo (no muy grande, por ejemplo 2,0 o 2,5), y presiona enter. Aparecerá en pantalla un segundo vector con el mismo origen y dirección que el primero. Repite el paso anterior para cada uno de los demás vectores, cuidando de multiplicar todos los vectores por el mismo factor. La razón de homotecia será el factor de multiplicación, ya que al indicar el origen del vector, el segundo vector toma como origen este mismo punto. Finalmente, presiona el botón mover, o selecciona esta opción del menú Edición. Puedes mover tanto el centro de homotecia (el origen de los vectores que construiste) como los puntos finales de los vectores. Obtendrás algo como lo que se muestra en la siguiente imagen:

Utilizando Regla y Compás, desarrolla las siguientes actividades: 1. Comprueba que la razón de homotecia se mantiene, independientemente de mover el origen o cualquiera de los puntos de la figura original. 2. Considera ahora una homotecia con un factor k negativo, ¿qué características tiene la imagen resultante respecto de la original? Explica.

Vectores

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Unidad 3

Herramientas tecnológicas


UNIDAD 3 (98-155)C

:Maquetación 1

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Página 116

Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

VECTORES su

su

tiene

DEFINICIÓN

REPRESENTACIÓN

APLICACIONES

requiere de

puede ser

en

MAGNITUD ANALÍTICA

GRÁFICA

GEOMETRÍA

FÍSICA

para representar

para representar

DIRECCIÓN permite realizar

SENTIDO

OPERATORIA

TRASLACIÓN

HOMOTECIA

FUERZA VELOCIDAD

tales como

DESPLAZAMIENTO ADICIÓN

SUSTRACCIÓN

PRODUCTO POR UN ESCALAR

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿Qué es la magnitud de un vector?, ¿y el sentido? ¿Cuál es la diferencia entre una traslación y una homotecia? ¿Cómo se suman dos vectores cuando están representados gráficamente? Explica. ¿Qué características tiene una homotecia si k > 1? El producto por un escalar, ¿mantiene el sentido del vector?, ¿por qué? ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

116 | Unidad 3


UNIDAD 3 (98-155)C

:Maquetación 1

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1. Utilizando los vectores que determinan los vértices y el centro del hexágono regular de la figura, halla los vectores solución de las siguientes operaciones: →

E

D

a. AB + OC b. FA + ED →

c. AO + AB →

F

C

O

d. AO – OC

A

B

2. Dados los vectores a = 3, –2 y b = –1, 5, determina: →

a. 3a – 2b

b. –a – b

c. 5a + 2b

d.

|| → a + 3b ||

3. Dado el triángulo ABC de vértices A(4, 2), B(7, 2) y C(7, 5), determina su imagen si se aplica: →

a. una traslación T –3, 1.

b. una homotecia H (O, –2).

4. Los vectores de la figura tienen su origen en el centro de un cuadrado y el extremo en un vértice o en el punto medio de uno de los lados del cuadrado. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta? Explica tu decisión en cada caso. →

A. a – b = –2 c

B. a + b = 2 d C.

|| a

–d

|| = || b + c ||

E.

|| c

+a

→ b →

a

D. c – d = b →

→ →

→ →

c

d

|| = || b + d ||

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEMS

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Operar con vectores representados gráficamente.

1y4

102 a 105

Operar con vectores representados analíticamente.

2

106, 107, 110 y 111

Aplicar traslaciones y homotecias a una figura.

3

108, 109, 112 a 114

Vectores

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Unidad 3

Mi progreso


UNIDAD 3 (98-155)C

:Maquetación 1

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Producto punto En Física, se define el trabajo mecánico como el producto entre la fuerza aplicada a un cuerpo y su desplazamiento. Mientras mayor sea la fuerza aplicada y/o el desplazamiento logrado, mayor será también el trabajo realizado. Ya que tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores, el trabajo depende de las direcciones en que se aplica la fuerza y en que se produce el desplazamiento; en particular, depende del ángulo que se forma entre estos vectores, y se calcula mediante la expresión: →

W = || F

|| · || d || · cos(α)

Analicemos... • •

Glosario producto punto: se dice de dos → → vectores, a y b , al número real → → igual a || a || · || b || · cos(α), donde α es el ángulo (entre 0 y 180º) que forman.

b

α →

a

Considerando la expresión que define el trabajo mecánico, ¿W corresponde a un valor numérico o a un vector?, ¿por qué? Dada una fuerza aplicada a un cuerpo y su correspondiente desplazamiento, ¿qué condiciones deben cumplirse para que el trabajo realizado sea máximo? Explica. ¿Es posible que se aplique fuerza a un cuerpo y este cuerpo se desplace, pero que el trabajo sea nulo? Justifica.

La operación que permite obtener el trabajo mecánico W a partir → → de la fuerza F y el desplazamiento d , se conoce como producto punto o producto escalar. El producto punto de dos vectores es un número y dicho producto será un número positivo, nulo o negativo, según si el ángulo formado por los dos vectores es agudo, recto u obtuso (0 ⱕ α ⱕ 180º). También el producto punto es nulo si alguno de los factores es nulo. Si aplicamos esto a la definición de trabajo mecánico, el trabajo obtenido es: máximo cuando la fuerza aplicada y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido, positivo si el ángulo α (que forman sus vectores) cumple que 0 < α < 90º, nulo cuando sus vectores son perpendiculares, y negativo si el ángulo α cumple que 90º < α ⱕ 180º. Ejemplo → → Calcula el producto punto de los vectores si || a || = 3, || b || = 8 y α = 60º. → →

a · b = || a

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|| · || b || · cos(α) = 3 · 8 · cos(60º) = 12.


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Unidad 3

En cambio, si dos vectores en el plano están representados en → → forma analítica, digamos a =  a1, a2 y b =  b1, b2, el producto punto se calcula multiplicando las coordenadas de ambos vectores, componente a componente, y sumando sus resultados, es decir: → → a · b =  a 1, a 2 ·  b 1, b 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2. Ejemplo → → → → → → Dados a = 2, –1 y b = 3, 4, calcula a · b y b · a . ¿Qué puedes concluir? → →

• a · b = 2, –1 · 3, 4 = 2 · 3 + (–1) · 4 = 6 – 4 = 2. → →

• b · a = 3, 4 · 2, –1 = 3 · 2 + 4 · (–1) = 6 – 4 = 2.

→ → → →

En general, el producto punto es conmutativo, es decir: a · b = b · a .

En resumen → →

El producto punto de dos vectores está dado por la expresión a · b = || a || · || b || · cos(α), con α: ángulo comprendido entre ambos vectores.

O bien, si a =  a1, a2 y b =  b1, b2, el producto punto se calcula: → → a · b =  a1, a2 ·  b1, b2 = a1 b1 + a2 b2.

Para todos los vectores a , b , se cumple que: | a · b | ⱕ || b

Si a y b son perpendiculares, a · b = 0.

→→

→ →

→ →

|| · || a ||.

→ →

Actividades 1. Calcula el producto punto de los vectores, considerando los datos dados. a. b.

|| u || = 5; || v || = 7; α = 30º → → || u || = 7; || v || = 7; α = 90º

c. d.

3

→ →

|| u || = 5 ; || v || = 1; α = 45º → → || u || = 10; || v || = 3; α = 180º

2. Para cada par de vectores siguientes, calcula || a ||, || b || y | a · b |. Luego, verifica que se cumple que → →

→ →

| a · b | ⱕ || b || · || a ||, en cada caso. ¿Qué debe ocurrir para que se cumpla | a · b | = || b || · || a ||? →

a. a = 3, 2 y b = 5, 1 b. a = 4, 7 y b = 3, –1

c. a = –2, 0 y b = 8, 2 → 1 2 → d. a = , y b = –2, 3 2 3 → →

 

3. Analiza qué ocurre con el producto punto de a y b si: →

a. a aumenta y b se mantiene constante. → → b. a y b aumentan.

→ →

c. a y b son perpendiculares. → → d. a y b son paralelos.

Vectores

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Ecuación vectorial de la recta en el plano Viviana representó en su cuaderno los siguientes vectores en un sistema de coordenadas: –2, 1; 2, –1; 0, 1; 4, –2; 1, –0,5; 3, 1,5 Sebastián observó que, en algunos casos, parecía que los vectores estuvieran sobre una misma recta.

Analicemos... • •

Recuerda que... La colinealidad de puntos se puede expresar y verificar vectorialmente por medio de la ponderación. Si M, N y P son tres puntos colineales, entonces existe algún número real → → λ, tal que MP = λ · MN .

• •

Dibuja los vectores anteriores en tu cuaderno. ¿Se cumple lo que dice Sebastián?, ¿por qué? Determina cuáles de ellos pueden representarse uno como vector ponderado del otro. Luego, decide si se cumple la frase: “Si uno o más vectores pueden escribirse uno como vector ponderado de otro, entonces pertenecen a la misma recta”. Justifica tu respuesta. ¿Se pueden representar rectas en el plano, utilizando vectores en su forma analítica?, ¿por qué? ¿Cómo es la ecuación vectorial de la recta que contiene a un vector dado? Explica.

N

Para analizar si lo que observó Sebastián es correcto, podemos utilizar nuestros conocimientos. Sabemos que dos puntos determinan una recta en el plano. Si se considera que uno de estos puntos es el origen, y el otro es el correspondiente al extremo del vector, entonces basta un vector para determinar una recta, que tiene la misma dirección del vector y pasa por el origen.

vector director: se dice de un vector que es paralelo a otro elemento, como una recta o un plano, de modo que indica su dirección.

En un plano cartesiano se puede representar una recta L, que pasa → por el origen O (0, 0) y con vector director d =  d1, d2 paralelo a la recta L. Si P es un punto que pertenece a la recta L, por ejemplo P (x, y), entonces siempre existe un número real λ, tal que → → OP = λ · d . Observa:

P

M

Glosario

L

P → d

Pon atención • Dados dos puntos distintos, se puede obtener una única recta que pase por los dos puntos. • Todo punto en el plano cartesiano tiene coordenadas (x, y).

120 | Unidad 3

O

Luego la ecuación vectorial de la recta L, expresada en coordenadas, es  x, y = λ d1, d2.


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Unidad 3

Ahora, cuando la recta no pasa por el origen, además del vector director es necesario determinar un vector que indique la ubicación de la recta en el plano. →

En este caso, para representar la recta L con vector director d , pero que pasa por el punto P0(x0, y0), se considera que si P es un punto cualquiera de la recta, de coordenadas P(x, y), existe un número →

real λ, tal que P0P = λ · d , y por lo tanto: OP = OP0 + λ · d . →

Utilizando el vector posición p0 de P0 y considerando el vector p →

de P, resulta: p = p0 + λ · d .

Glosario vector posición: se dice del vector que indica la posición de otro elemento, como una recta o un plano.

Y P0 →

p0

P

d

p

O

X →

Además, si d1 y d2 son las componentes del vector d , la ecuación vectorial de la recta, expresada en coordenadas es:  x, y =  x0, y0 + λ  d1, d2. Ejemplo Dados los puntos A (2, 3) y B (5, 2), determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos.

Pon atención Una recta que no pasa por el ori→ → → gen, L: p = p 0 + λ d , es una → traslación en el vector p0 de la recta → → p = λ d.

Se utiliza el vector b como vector posición de la recta. Luego, se →

calcula su vector director d , que corresponde al vector AB , → → →

d = a – b = 2, 3 – 5, 2 = –3, 1. De esa manera, se puede escribir la ecuación vectorial de la recta como:  x, y = 5, 2 + λ–3, 1. O bien, como:  x, y = 5 – 3λ, 2 + λ → con λ 僆 IR. También se puede usar a como vector posición. 1 . Al remplazar en la ecuación: 2 1 10 − 3 4 + 1 3 7 5 x , y = 5 – 3λ , 2 + λ = 5 – , 2 + = , = , 2 2 2 2 2 2

Veamos ahora qué sucede si λ =

Observa que, por otra parte, el punto medio del segmento AB ⎛ 2 + 5 3 + 2⎞ ⎛ 7 5 ⎞ , = , , lo que coincide con el punto está dado por: ⎜ ⎝ 2 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ 1 correspondiente a λ = . 2

Recuerda que... El punto medio de un segmento, cuyos extremos son (a, b) y (c, d) está dado por: ⎛ a⎛ a+ +c c b, b+ +d d⎞ ⎞ ⎜⎝ ⎜⎝ 2 2 , 2 2 ⎟⎠ ⎟⎠

Vectores

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Glosario parámetro: variable que puede tomar diferentes valores, condicionando así los del resto de las variables.

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Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta es poder obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro λ. Por ejemplo, la ecuación x, y = 2, –1 + λ1, 2, con 1 ⱕ λ ⱕ 3 describe el segmento de recta que une los puntos (3, 1) y (5, 5) (obtenidos al remplazar por el mínimo y el máximo valor del parámetro λ).

En resumen •

La expresión p = p0 + λ d recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta o ecuación de la → recta en la forma vectorial. p0 es el vector posición de la recta, cuando no pasa por el origen → → (que no es un vector ponderado de d ), d es el vector director, paralelo a la recta, y λ es un parámetro que, al tomar diferentes valores, nos entrega distintos puntos que forman la recta.

Actividades 1. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B (4, –2). 2. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? En caso afirmativo, ¿cuál es su ecuación vectorial? 3. Dado el punto P(2, –2) y el punto Q(–4, 4), ¿cuál es el punto medio del segmento PQ? 4. Dada la ecuación vectorial de la recta x, y = 1, 2 + λ4, 8, determina tres puntos que pertenezcan a la recta. 5. ¿A qué recta pertenecen los puntos A(–1, –4), B(1, 1) y C(0, 5)? Justifica. A. B. C. D. E.

L:  x, y = 1 + 2λ, –1 + 3λ L:  x, y = –1 + 2λ, 3 – 2λ L:  x, y = 2 – λ, –1 + 2λ L:  x, y= –2 – λ, –3 + 2λ Ninguna de las anteriores.

6. Determina la ecuación vectorial de una recta paralela a  x, y = 2, –5 + λ1, –4; luego, grafica ambas rectas.

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Unidad 3

Ecuación vectorial de una recta y su ecuación cartesiana Como ya sabemos, la ecuación vectorial de la recta está determinada por un punto y una dirección; por consiguiente, por un punto de la recta y un vector paralelo a ella. →

Considera una recta L en el plano, cuyo vector director es d = 6, 4 y A (5, 7) un punto perteneciente a ella.

Analicemos... • • • • •

¿Cuál es la ecuación vectorial de L? Explica. ¿Cómo se obtiene un punto B que pertenezca a la recta L? Justifica. ¿Cómo se obtiene la ecuación cartesiana de la recta L? Explica. Conocidos los puntos A y B, ¿se puede graficar la recta L?, ¿por qué? En general, ¿cómo se grafica una recta en el plano, a partir de su ecuación vectorial?

Remplazando valores en la ecuación vectorial, se pueden ubicar en el plano cartesiano dos puntos pertenecientes a la recta y, luego, graficarla. Observa: Primer paso: determinar la ecuación vectorial de la recta. Ya que la recta L pasa por el punto A, este es el vector posición:  x, y = 5, 7 + λ6, 4 con λ, número real.

Recuerda que... La ecuación cartesiana de la recta, dada su pendiente m y un punto de ella (x0, y0) es: y – y0 = m · (x – x0)

Segundo paso: para determinar un punto B se asigna un valor cualquiera a λ y se remplaza en la ecuación. Por ejemplo, si λ = 2, el punto B resultante es:

B = (5, 7) + 2 · (6, 4) = (5, 7) + (12, 8) = (17, 15) Tercer paso: se grafican los puntos A y B y se traza la línea que pasa por ellos para obtener la recta L.

16

B

14 12

Cuarto paso: se calcula la ecuación cartesiana de la recta dados un

L

10

punto de ella y su pendiente. La pendiente m se calcula a partir de d las coordenadas del vector director d1, d2 como m = 2 . d1 4 y – 7 = · (x – 5). 6 Ordenando, se obtiene 2x – 3y + 11 = 0.

8

A

6 4 2 –2

–2

→ d 2

4

6

8

10 12 14 16 18

Vectores

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Ejemplo 1 Dada la ecuación vectorial de la recta:  x, y = 5, 2 + λ 3, 1, determina la correspondiente ecuación cartesiana. Otra forma de obtener la ecuación cartesiana correspondiente es igualar componente a componente y despejar el parámetro λ en cada una de estas ecuaciones: x–5 x = 5 + 3λ ⇒ λ = 3 y = 2 + λ ⇒λ = y – 2 Luego, se igualan ambos parámetros y se despeja y: x–5 =y–2 3 x – 5 = 3y – 6 1 1 y = x + (Ecuación cartesiana de la recta) 3 3 1 Observa que la recta tiene pendiente ; mientras que su vector di3 rector es 3, 1.

Recuerda que... • La ecuación cartesiana de la recta está dada por ax + by + c = 0, o bien y = mx + n. • Dos rectas son paralelas si tienen igual pendiente. • Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes satisfacen m1 · m2 = –1.

Ejemplo 2 Dada la ecuación cartesiana de la recta: 4x + 3y + 7 = 0, determina la correspondiente ecuación vectorial. Primer paso: para obtener el vector posición se requiere determinar un punto que pertenezca a la recta. Por ejemplo, se puede calcular el valor de y remplazando en la ecuación de la recta un valor para x. Si x = –1, 4 · (–1) + 3y + 7 = 0 3y + 3 = 0 y = –1 Entonces, el vector posición es –1, –1. Segundo paso: para obtener el vector director se puede calcular d la pendiente de la recta m = 2 y, luego, escribir el vector director d1 como d1, d2. 4x + 3y + 7 = 0 3y = –4x – 7 4 7 4 y = – x – , es decir, m = – . 3 3 3 Luego un vector director es 3, –4. Por lo tanto, una ecuación vectorial de la recta es:  x, y = –1, –1 + λ3, –4.

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La ecuación de la recta en el plano se puede representar mediante: • •

la ecuación cartesiana de la recta: ax + by + c = 0. → → → la ecuación vectorial de la recta: x, y = p0 + λ d = x0, y0 +λd1, d2, donde d es el vector →

director de la recta, p0  x0, y0 es el vector posición y λ es su parámetro. •

Si d es un vector director cuyas coordenadas son  d1, d2, la pendiente m de la recta d correspondiente está dada por m = 2 . d1

Actividades 1. Dada la ecuación vectorial de la recta  x, y = 1, 2 + λ4, 8, determina la ecuación cartesiana correspondiente. 2. Encuentra la ecuación cartesiana correspondiente a la recta que pasa por el punto (5, –2) y es → paralela al vector d = –2, 3. 3. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (–3, 2) y es paralela a la recta y = 3x – 2. 4. Decide si los puntos (0, 0), (0, 11) y (–3, 0) pertenecen a la recta anterior. Justifica tu decisión. 5. Determina la ecuación vectorial para cada recta. 4x + 2 = 3y – 3

2x – 5y + 1 = 0

6. Indica cuál es la posición relativa entre las rectas dadas. Explica.

L1: x – y – 2 = 0, L2:  x, y = 1, 2 + λ2, 2 7. De la recta  x, y = 2, –3 + λ1, 2 y el punto P(2, 1), obtén la ecuación de la recta: a. paralela a la dada que pasa por P.

b. perpendicular a la dada que pasa por P.

8. Obtén la recta que pasa por el punto A(2, –1) y tiene la misma pendiente que: a.  x, y) = 0, 3 + λ1, 1

b. 2x – 3y = 6

Vectores

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Unidad 3

En resumen


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Producto cruz y vectores en el espacio Sergio intentó abrir una puerta batiente empujando en el centro de la puerta. Aunque finalmente lo consiguió, tuvo que aplicar más fuerza de la que pensaba. Andrea, en cambio, la empujó lo más afuera posible.

Analicemos... • • •

Glosario torque: magnitud resultante del producto del valor de una fuerza por su distancia a un punto de referencia.

¿Crees que Andrea tuvo que aplicar la misma fuerza que Sergio para abrir la puerta?, ¿por qué? Si se aplicara la misma fuerza en distintos puntos de la puerta, ¿se obtendría el mismo movimiento en torno a su eje? Explica. Si se aplica una fuerza, ¿en qué posición se obtiene el máximo giro?, ¿en qué posición se obtiene un giro nulo? Comenta con tus compañeros y compañeras.

En la situación presentada podíamos observar que Sergio y Andrea aplicaban una fuerza sobre una puerta. Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, la puerta en este caso, y producto de esta acción el cuerpo gira, se dice que se ha producido un torque sobre el cuerpo. Otro ejemplo es la fuerza que se aplica al pedal de la bicicleta que permite que gire el plato, y con él la cadena de la bicicleta. El torque sobre el cuerpo se puede calcular como el producto cruz entre la fuerza aplicada y la posición del punto de aplicación de la → → → fuerza respecto del eje de giro del cuerpo: τ = r × F → →

El producto cruz o vectorial a × b entre dos vectores en el espacio →

→ →

se define como un tercer vector p , perpendicular a ambos, a y b . →

El módulo de p = a × b corresponde al área del paralelogramo

Pon atención • El producto punto entre dos vec→ → tores a y b tiene como resultado un valor numérico (escalar); en cambio, el resultado del producto cruz es un nuevo vector. • El producto cruz se define solo para vectores en el espacio. No tiene sentido para vectores en el plano.

126 | Unidad 3

→ →

formado por a y b ; luego, || p

donde α || = || a || · || b ||→· sen(α), →

es el ángulo agudo formado por los vectores a y b . → a

α

→ b

→ p

→ p → a

α

→ b

→ → → p =a Xb

→ b

II→ b II sen(α)

α

→ → → p = b Xa

→ a → → II p II = II → a II · II b II sen(α)


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Para calcular el producto cruz de dos vectores, utilizando sus coordenadas cartesianas, es indispensable considerarlos en el espacio cartesiano, es decir, con sus tres coordenadas. Por ejemplo, si se considera el plano cartesiano como el piso de la sala, la tercera coordenada va a representar la altura que tiene el vector. Así, en el gráfico siguiente está representado el punto C = (1, 4, 6). Z

Pon atención Si colocas los dedos de tu mano derecha de modo que apunten en → la dirección y sentido del vector a y, luego, doblas los dedos apun→ tando hacia b , la dirección y sen→ → tido de a × b están dados por el dedo pulgar extendido. Esto se conoce como la regla de la mano derecha.

7 6 5 4 3 2 1

X

4 3

2 1

1 2

3 4

5

6 Y

Una forma de calcular el producto cruz entre dos vectores es representando cada vector mediante los vectores unitarios cartesianos. Los vectores unitarios asociados con las direcciones de los ejes coorde^ ^ ^ nados cartesianos X, Y, Z, se designan por i , j , k , respectivamente. Permiten expresar los vectores por medio de sus componentes ^ ^ ^ cartesianas. Así, i = 1, 0, 0, j = 0, 1, 0, k = 0, 0, 1.

^

^

j

k

Glosario

^

i

Ejemplo → Observa la siguiente imagen en que se muestra c = 1, 4, 6. Z

7 6 5 4 3 → c

2 1

^

j

^

3 X 4

2 1

vectores unitarios: vectores cuya magnitud o módulo es igual a la unidad. Definen las coordenadas de un vector respecto del origen del plano cartesiano.

k

^

i

1 2

3 4

5

6 Y

De esta manera, el vector c se puede representar como: → ^ ^ ^ c = 1, 4, 6 = i + 4j + 6k . Vectores

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Unidad 3

UNIDAD 3 (98-155)C


UNIDAD 3 (98-155)C

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Pon atención ^ ^

^

• Por definición, i , j y k son vectores perpendiculares entre sí; es decir: ^ ^ ^ ^ ^ ^ i j , j k, k i .

芯 芯

• Aplicando la regla de la mano derecha, se cumple que: ^

^

^

^

^

^

^

^

^

i ×j =k ^ ^ ^ i × k = –j

i ×i =0

j × i = –k ^ ^ ^ j ×k =i

^

j ×j =0

^

k×k=0

^

^

k×i =j ^ ^ ^ k × j = –i

^

^

16:50

Página 128

Observa cómo se calcula el producto cruz entre dos vectores, utilizando sus coordenadas cartesianas y los vectores unitarios. → → Sean dos vectores A =  a, b, c y V =  u, v, w →

^

^

^

^

^

^

A × V = (ai + bj + ck ) × (ui + vj + wk ) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ = au (i × i ) + av (i × j ) + aw (i × k ) + bu ( j × i ) + bv ( j × j ) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ + bw ( j × k ) + cu (k × i ) + cv (k × j ) + cw (k × k ) ^ ^ ^ ^ ^ ^ = av k – aw j – bu k + bw i + cu j – cv i ^ ^ ^ = (bw – cv) i + (cu – aw) j + (av – bu) k Ejemplos → → Sean dos vectores A = 3, 4, –1 y V = 2, –5, 6: →

^

^

^

^

^

^

1. A × V = (3i + 4 j – k ) × (2i – 5j + 6k ) ^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

= 6 (i × i ) + –15 (i × j ) + 18 (i × k) + 8 ( j × i ) + –20 ( j × j ) ^

^

^

^

^

^

^

^

+ 24 ( j × k ) + –2 (k × i ) + 5 (k × j ) + –6 (k × k ) ^

^

^

^

^

^

= –15 k + 18 (–j ) + 8 (–k ) + 24 i + –2 j + 5 ( –i ) ^

^

^

= 19 i – 20 j – 23 k ^

^

^

^

^

^

2. A × A = (3i + 4 j – k ) × (3i + 4 j – k ) ^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

= 9 (i × i ) + 12 (i × j ) + –3 (i × k) + 12 ( j × i ) + 16 ( j × j ) ^

^

^

^

^

^

^

^

+ –4 ( j × k ) + –3 (k × i ) + –4 (k × j ) + 1 (k × k ) ^

^

^

^

^

^

= 12 k + –3 (–j ) + 12 (–k ) + –4 i + –3 j + –4 ( –i ) ^

^

^

= 0i+0j +0k=0

El producto cruz cumple con las siguientes propiedades: • es distributivo respecto de la suma de vectores. → → → → → → → Es decir, a × (b + c ) = (a × b ) + (a × c ). → → → → → → • a × (λb ) = λ (a × b ) = (λa ) × b . • el producto cruz de un vector con uno de sus ponderados es → → → nulo. Es decir, a × λa = 0 . → → → → • no es conmutativo, ya que a × b = –(b × a ).

En resumen •

Para representar vectores unitarios que están en los ejes X, Y y Z, en sentido positivo, ^ ^ ^ utilizamos las letras i , j y k , respectivamente.

El producto cruz, de dos vectores u × v , es un vector de módulo | u | · | v | · sen(α), con → → dirección perpendicular al plano determinado por u y v , y cuyo sentido se puede determinar mediante la regla de la mano derecha.

128 | Unidad 3


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→ →→

^

Unidad 3

Actividades ^

1. Expresa los vectores a , b , c y d en términos de los vectores unitarios i y j . Y

4

–4

4

X

–4

2. Expresa los siguientes vectores, utilizando los vectores unitarios cartesianos, y grafícalos. →

a. s = –1, 2, 3



b. t = –3, –



1 ,0 3

c. u = –4, 0, 2

d. v = 0, 5, –6

3. Considera un cubo de 4 unidades de arista y los posibles vectores que se pueden formar. Completa, en cada caso, con el vector que resulta. →

a. AB × AD

H

b. CD × CB

G D

c. EA × EF d. BF × BC

C E F

A B

→ →

→→

4. Calcula u × v para los siguientes vectores u , v , en cada caso. a. b. c.

u = –1, 5, 3 y v = 1, 0, 2 → → u = –2, 2, 0 y v = 6, –1, 1 → → u = –1, –1, 3 y v = 0, 6, 2

d. e. f.

u = –3, –3, –3 y v = –2, –2, –2 → → u = 8, 0, 1 y v = –7, 6, 4 → → u = –6, 6, 6 y v = –4, –4, 4

5. Demuestra algebraicamente que el producto cruz: a. no es conmutativo. b. es distributivo, respecto de la suma de vectores. c. de un vector por sí mismo es el vector nulo.

Vectores

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UNIDAD 3 (98-155)C

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Página 130

Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

VECTORES

permiten representar

su

UNA RECTA EN

OPERATORIA

EL PLANO

considera también mediante

ECUACIÓN

ECUACIÓN

VECTORIAL

CARTESIANA

a partir de

VECTOR

VECTOR

POSICIÓN

DIRECTOR

PRODUCTO

PRODUCTO

PUNTO

CRUZ

cuando es cero son

para calcular

solo para

para calcular

VECTORES

TRABAJO

VECTORES EN

TORQUE

PERPENDICULARES

MECÁNICO

EL ESPACIO

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿Qué indica el vector posición de una ecuación de la recta?, ¿y el vector director? ¿Cuál es la diferencia entre la ecuación vectorial de una recta y la ecuación cartesiana? ¿Cómo se calcula el producto cruz de dos vectores?, ¿para qué se utiliza la regla de la mano derecha? ¿En qué casos el producto cruz de dos vectores es cero?, ¿por qué? ¿Se puede calcular el producto cruz entre dos vectores del plano cartesiano?, ¿por qué? ¿Cómo se calcula el producto punto entre dos vectores? Explica. ¿En qué casos el producto punto entre dos vectores es cero?, ¿por qué? ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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1. Obtén el producto punto de los siguientes pares de vectores: →

a. u = 3, 2 y v = 0, 4 →

b. u = –2, 1 y v = 4, 6

c. u = 5, –2 y v = –1, 7

2. Dados los vectores u =  x, 2 y v = 3, 1, determina el valor de x para que: a. sean paralelos.

b. sean perpendiculares. →

3. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P y tiene vector director d , en cada caso. Luego, obtén otros tres puntos de cada recta. →

a. P (2, 1) y d = –2, 6

b. P (–1, 4) y d = 3, 8

c. P (0, 5) y d = 4, –7

4. Determina la ecuación vectorial correspondiente, en cada caso. a. 4x – 5 = 2y + 3 b. 3x – 4y + 7 = 0 → →→ →

5. Los vectores a , b , c y d de módulo 4 forman un cuadrado. El producto a × b es: A. B. C. D. E.

módulo 4, perpendicular hacia afuera. → módulo 16, paralelo a b . módulo 16, perpendicular hacia afuera. módulo 4, perpendicular hacia dentro. módulo 16, perpendicular hacia dentro.

c

b

d

a

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste algunas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEMS

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Calcular y aplicar el producto punto de dos vectores.

1y2

118 y 119

Determinar la ecuación vectorial de la recta.

3y4

120 a 125

5

126 a 129

Calcular el producto cruz de dos vectores.

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Unidad 3

Mi progreso


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Ecuación vectorial de la recta en el espacio Z

Q

d

L

P →

q

p

O

Y

Anteriormente vimos que para escribir la ecuación vectorial de la recta en el plano es necesario determinar su vector posición y su vector director. Ahora veremos cómo se puede calcular la ecuación vectorial de la recta L en el espacio. Para ello, considera los puntos P (3, –3, 5) y Q (1, 4, 6) y observa la imagen.

Analicemos...

X

• • •

¿Existe una recta que pase por P y Q?, ¿existe más de una?, ¿cómo lo sabes? Además de los vectores posición y director, ¿se necesita un nuevo vector para identificar una recta en el espacio?, ¿por qué? Si la recta L pasa por P y Q, ¿cómo se calcula su vector director? Justifica. Luego, escribe la ecuación vectorial de la recta L.

Observa que en el espacio se requiere de tres coordenadas para ubicar los puntos correctamente, pero esto no significa que se necesiten tres vectores para representar una recta. En cambio, se puede indicar su vector posición y su vector director, tal como en el plano, solo que ahora estos vectores tienen tres coordenadas. →

En este caso, el vector director está dado por d = PQ = –2, 7, 1, luego la ecuación de L es  x, y, z = 3, –3, –5 + λ–2, 7, 1. La ecuación vectorial de una recta en el espacio, se escribe como la de una recta en el plano, extendiéndola a tres coordenadas. Es → decir, dado un punto P (x0, y0, z0 ) y un vector d =  d1, d2, d3, la → ecuación vectorial de la recta que pasa por P y tiene dirección d es:  x, y, z =  x0, y0, z0 + λ d1, d2, d3, con λ 僆 IR. O también  x, y, z =  x0 + λd1, y0+ λd2, z0+ λd3, con λ 僆 IR.

Recuerda que... →

• Dos vectores v y w son paralelos si existe un número real λ, → → tal que v = λw . → → • Dos vectores v y w son perpen→ → diculares si v · w = 0, donde a, b, c · d, e, f  = ad + be + cf, tal como en el plano.

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Ejemplo Determina si los puntos P (1, 1, 1), Q (0, 1, –1) y R (2, 1, 3) son colineales. Si lo fueran, escribe la ecuación vectorial de la recta que los contiene. →

Primero, se verifica si PQ y QR son paralelos: →

PQ = 0 –1, 1 –1,–1 –1 = –1, 0, –2 y QR = 2 – 0, 1 –1, 3 – –1 = 2, 0, 4. →

Para esto, se determina si existe un número real λ, tal que QR = λPQ . En efecto, 2, 0, 4 = λ–1, 0, –2 ⇒ 2 = –λ y 4 = –2λ, de donde se infiere que λ = –2. Por lo tanto, los puntos P, Q y R son colineales.


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Z

Luego si se utiliza el vector p y el vector QR , la recta que contiene a P, Q y R se puede representar con la ecuación:

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 x, y, z =  x0, y0, z0 + λ d1, d2, d3.  x, y, z = 1, 1, 1 + λ2, 0, 4 →

Ahora, si se utiliza el vector r y el vector PQ , se obtiene una ecuación diferente,  x, y, z = 2, 1, 3 + λ1–1, 0, –2, pero que representa la misma recta.

R P Y

Una misma recta puede representarse mediante distintas ecuaciones vectoriales. Esto sucede porque, por ejemplo, los vectores 2, 0, 4 y –1, 0, –2 representan la misma dirección. Por otra parte, cualquiera de los puntos que pertenecen a la recta puede utilizarse como vector posición. Para verificar que un punto pertenece a una recta, se puede determinar cuál es el valor de λ de modo que se satisfaga la ecuación vectorial correspondiente. Observa. 2, 1, 3 pertenece a la recta de ecuación x, y, z = 1, 1, 1 + λ2, 0, 4 1 porque al remplazar λ = se satisface la igualdad: 2 1 2, 1, 3 = 1, 1, 1 + · 2, 0, 4 2

Q

X

Pon atención →

Sean L1: p = p0 + λv y → → → L2: q = q0 + μw, entonces L1 // L2 → → solo si v es paralelo a w. → Del mismo modo, L1 ⊥ L2 solo si v → es perpendicular a w.

En resumen •

La ecuación vectorial de la recta en el espacio está dada por la expresión →

 x, y, z = p0 + λd = x0, y0, z0 + λd1, d2, d3, donde d : vector director de la recta; →

p0 x0, y0, z0: vector posición de la recta; λ: parámetro.

Actividades 1. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que pasa por P(12, –5, 7) y Q(0, 6, –3). 2. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial correspondiente. a. P (1, 0, 2), Q (–1, 1, 1) y R (3, –1, 1) b. P (–1, –1, –1), Q (–1, 0, 1) y R (–1, –2, –3)

c. P (0, –1, –2), Q (0, 2, 4) y R (0, 1, 2) d. P (4, 2, 1), Q (3, 7, 3) y R (1, –5, –2)

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Rectas y planos Observa los planos representados en la siguiente imagen. Considera que las rectas y los puntos pertenecen a los planos correspondientes, en cada caso.

A

L1 L2

C

L1 L

L2

B

A

Π2

Π1

C

Π3

B

Π4

Analicemos... Pon atención

Los planos se simbolizan utilizando la letra Π.

• • •

• •

Dada una recta cualquiera, ¿siempre está contenida en algún plano? Si es así, ¿es el único que la contiene?, ¿por qué? Dadas dos rectas paralelas, como en el plano Π1, ¿existe un plano que contenga a ambas rectas? Si existe, ¿es único? Explica. Si dos rectas no son paralelas, ¿existe un plano que las contenga?, ¿alguno de los planos muestra este caso? Justifica. Si se tiene una recta y un punto que no pertenece a esta recta, como en el plano Π2, ¿siempre existe un plano que contenga a esa recta y pase por ese punto?, ¿por qué? Los puntos A, B y C pertenecen al plano Π4. ¿Existe un plano distinto a él que también los contenga?, ¿por qué? Si dos puntos distintos definen una única recta que pasa por esos puntos, ¿cuántos puntos definen un único plano que pasa por ellos? Explica.

Un plano posee solo dos dimensiones, es ilimitado y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales, junto con el punto y la recta. Se considera un concepto primitivo, que no puede definirse; solamente puede ser descrito en relación a otros elementos geométricos similares.

Recuerda que... • Tres puntos son colineales si pertenecen a una misma recta. • Si la intersección de dos rectas o de dos planos es no vacía, se dice que son secantes.

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Tal como dos puntos distintos definen una única recta que pasa por esos puntos, se puede determinar el plano que contiene algunos puntos y/o rectas, cuando cumplen ciertas condiciones: • tres puntos no colineales: tres puntos no colineales determinan un único plano. • dos rectas que se intersecan: dos rectas secantes y distintas determinan un único plano.


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Glosario

• dos rectas paralelas: dos rectas paralelas y distintas determinan un único plano. • una recta y un punto exterior a ella: una recta y un punto exterior a ella determinan un único plano.

alabeadas: se dice de dos rectas que están contenidas en planos distintos y no se intersecan. coplanarios: se dice de puntos u otros elementos que pertenecen al mismo plano.

En resumen •

Un plano posee solo dos dimensiones, es ilimitado y contiene infinitos puntos y rectas. Se le considera un concepto primitivo, que no puede definirse.

Se puede determinar un único plano a partir, en cada caso, de: • tres puntos no colineales. • dos rectas secantes y distintas. • dos rectas paralelas y distintas. • una recta y un punto exterior a ella.

Actividades 1. Indica ejemplos de modelos físicos en que se observen, en cada caso: a. rectas: secantes, paralelas y alabeadas. b. puntos no colineales. c. rectas y planos: secantes, paralelos y coincidentes. 2. De acuerdo con la figura, ABCDEF es un octaedro, en el cual los puntos A, B, C, D y G son coplanarios, indica en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa, según corresponda. Justifica tu decisión. a. b. c. d. e. f.

Los puntos A, E y F son colineales. Los puntos B, C, E y F son coplanarios. El segmento AC se interseca con BD. El segmento AC se interseca con DF. Los puntos A, C y F son coplanarios. Los puntos B, D, F y G son coplanarios.

E

D A G

C

B

F

3. Construye un contraejemplo para cada una de las siguientes proposiciones: a. Si dos rectas diferentes se intersecan, existen solo dos planos que las contienen. b. Dados tres puntos colineales, existe un único plano que los contiene.

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Ecuación vectorial y ecuación cartesiana de un plano en el espacio Anteriormente vimos cómo se determina la ecuación de la recta en el espacio. Ahora veremos cómo se puede calcular la ecuación vectorial de un plano en el espacio. Para ello, considera los vectores → → → OA = 3, 1, 6, OB = 0, 2, 4 y OC = 2, 5, 8.

Z C

A B

Analicemos... • • Y

• •

X

Pon atención Un vector director de una recta o de un plano es un vector paralelo a dicha recta o plano.

¿Los puntos A, B y C son colineales?, ¿son coplanarios? Justifica. → → Determina los vectores AB y AC . ¿El punto D = (–5, 10, 2) se → → puede representar a partir de los vectores AB y AC ? Explica. ¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que contiene a los puntos A, B y C? Explica. ¿El punto D pertenece al plano que contiene a los puntos A, B y C?, ¿por qué?

Recuerda que para determinar la ecuación de la recta en general, se puede calcular a partir de dos puntos dados, o bien de un punto y su dirección, ya sea que se indique vectorialmente o mediante la pendiente de la recta. De manera similar, para determinar la ecuación de un plano, se puede calcular a partir de tres puntos no colineales o de puntos y rectas que estén contenidas en él. En general, un plano en el espacio Π puede quedar determinado por un punto A (a1, a2, a3) y dos vectores directores no paralelos → → entre sí, r =  r1, r2, r3 y s =  s1, s2, s3. A partir de la figura, observa que para un punto P (x, y, z) cualquiera →

del plano Π, se cumple lo siguiente: OP = OA + AP . →

→→

Por lo que AP es un vector paralelo al plano Π, es decir, r , s y λr + μs (con λ, μ 僆 IR), son paralelos al mismo plano, luego →

Π

s

O A

OP = OA + λr + μs .

Z

r

X

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Y P

Entonces, la ecuación vectorial del plano Π se escribe:  x, y, z =  a1, a2, a3 + λ r1, r2, r3 + μ s1, s2, s3. Luego, se pueden igualar, componente a componente, para determinar las ecuaciones x = a1 + λr1 + μs1; y = a2 + λr2 + μs2; z = a3 + λr3 + μs3. Estas ecuaciones se pueden reescribir como un sistema de ecuaciones, para eliminar los parámetros λ y μ, y así obtener la ecuación general o cartesiana de un plano, cuya forma general es: Ax + By + Cz + D = 0


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Ejemplo 1 Dado un plano Π que pasa por los puntos P (1, 1, 1), Q (2, 1, 2) y R (0, 2, –1), ¿cuál es la ecuación vectorial del plano?, ¿cuál es su ecuación cartesiana? Para obtener la ecuación vectorial pedida, primero se determinan los vectores directores. →

QP = p – q = 1 – 2, 1 – 1, 1 – 2 = –1, 0, –1 → → → RP = p – r = 1 – 0, 1 – 2, 1 + 1 = 1, –1, 2

Recuerda que...

Luego, la ecuación vectorial del plano es: Π :  x, y, z = 1, 1, 1 + λ–1, 0, –1 + μ1, –1, 2 Igualando componente a componente, se obtienen las ecuaciones:

x = 1 + –1 · λ + 1 · μ y = 1 + 0 · λ + –1 · μ z = 1 + –1 · λ + 2 · μ

x – z = –μ y=1–μ

x – y – z = –1

• Si P y Q son puntos que pertenecen a una recta o plano, un → vector director posible es QP . • Cualquier punto de un plano o recta se puede utilizar como vector posición.

se elimina μ se elimina λ

Z

Por lo tanto, la correspondiente ecuación cartesiana es: x – y – z = –1. Observa que P, Q y R satisfacen esta ecuación. Ejemplo 2 Dados tres puntos, P (0, 0, –1), Q (2, 1, 1) y R (4, 1, 4), no colineales. • •

Determina la ecuación vectorial del plano Π que pasa por los puntos P, Q y R. Determina un punto T, tal que el cuadrilátero PQRT sea un paralelogramo. ¿El punto T pertenece al plano Π? Justifica.

La ecuación del plano que pasa por los puntos P, Q y R es: →

 x, y, z = p + λ PQ + μ PR , con λ, μ 僆 IR.  x, y, z = 0, 0, –1 + λ 2, 1, 2 + μ 4, 1, 5 Se obtiene T de la siguiente manera: →

R Q Y P

X

Pon atención Ya que PQRT debe ser un paralelo→ gramo, t se obtiene de sumar el → → vector posición p y el vector QR , que representa la dirección y me→ dida del lado QR . Observa.

→ → →

Z

t = p + QR = p + (r – q ) = p + r – q → t = 0 + 4 – 2, 0 + 1 – 1, –1 + 4 – 1 = 2, 0, 2

R T

X

Q P

Y

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Pon atención Planos destacados en el espacio tridimensional:

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Para comprobar que el punto T (2, 0, 2) pertenece al plano, se deben determinar los valores de λ y μ en la siguiente ecuación: 具2, 0, 2典 = 具0, 0, –1典 + λ 具2, 1, 2典 + μ 具4, 1, 5典

• Plano horizontal XY ecuación z = 0.

Esto equivale a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Z

Y X

0=λ+μ 0=1–μ

2 = 2λ + 4μ 0=λ+μ 2 = –1 + 2λ + 5μ

λ = –1 μ=1

restando

Como este sistema tiene solución (los valores de λ y μ satisfacen las tres ecuaciones), el punto T pertenece al plano y, además, conforma un paralelogramo originado a partir de los puntos P, Q y R.

• Plano vertical YZ ecuación x = 0. Z

Observa ahora cómo graficar un plano en el espacio. Y X

• Plano vertical XZ ecuación y = 0. Z

. Y X

Ejemplo 1 Grafica el plano Π: 5x + 2y + 4z = 20 Primer paso: se determinan los puntos en que el plano corta a los ejes coordenados. Observa. Intersección con el eje X: se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 5x = 20 ⇒ x = 4. Se obtiene (4, 0, 0). Intersección con el eje Y: se remplaza x = 0 y z = 0, entonces 2y = 20 ⇒ y = 10. Se obtiene (0, 10, 0). Intersección con el eje Z: se remplaza x = 0 e y = 0, entonces 4z = 20 ⇒ z = 5. Se obtiene (0, 0, 5). Segundo paso: se ubican estos puntos en los ejes coordenados y, luego, se trazan los segmentos que los unen y se grafica el plano. Z 5

X

10 Y 4

Ejemplo 2 Grafica el plano cuya ecuación cartesiana es 3x + 4y = 12. Primer paso: determina los puntos en que el plano corta a los ejes coordenados. Intersección eje X : se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 3x = 12 ⇒ x = 4. Se obtiene (4, 0, 0).

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Z

Segundo paso: como no hay un punto común al eje Z, el plano que se graficará es paralelo a ese eje, y pasa por los puntos (4, 0, 0) y (0, 3, 0).

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Intersección eje Y: se remplaza x = 0 y z = 0, entonces 4y = 12 ⇒ y = 3. Se obtiene (0, 3, 0). Intersección eje Z: se remplaza x = 0 e y = 0, entonces 0 = 12 ⇒ falso. Como esto no es cierto, significa que no existe un punto de intersección en el eje Z.

3

4

Y

X

En resumen •

La ecuación vectorial del plano en el espacio está dada por: →

Π:  x, y, z =  x0, y0, z0 + λ d1, d2, d3 + μ v1, v2, v3, con d y v vectores directores del plano, →

no paralelos entre sí; p0 x0, y0, z0: vector posición, λ, μ: parámetros. •

La ecuación general o cartesiana de un plano en el espacio está dada por: Ax + By + Cz + D = 0.

Actividades →

1. Dados A(2, –2, 1), r = 1, 0, –1 y s = –2, 3, 2, determina la ecuación vectorial del plano. 2. Caracteriza el plano formado por los puntos de la forma λ2, 2, 0 + μ0, 0, 1, con λ y μ 僆 IR. 3. Sitúa un cubo de arista 5 con un vértice en el origen, de modo que algunas aristas se ubiquen sobre los ejes X, Y, Z. Determina la ecuación vectorial y cartesiana de los planos portadores de sus caras y las ecuaciones vectoriales de las rectas formadas por la prolongación de sus aristas. 4. La ecuación vectorial de un plano es  x, y, z = 0, 0, 2 + λ 2, 4, 4 + μ 2, 6, 7, con λ, μ 僆 IR. Determina si es paralelo a alguno de los ejes X, Y o Z. 5. Grafica el plano que pasa por el punto (1, 6, 1) y es paralelo al plano XZ. 6. Determina la ecuación cartesiana y el gráfico de un plano, dada la ecuación: x, y, z = λ, 3μ, μ con λ, μ números reales. →

7. Analiza la suma λv + μ0, 0, 1 para cualquier valor de los parámetros λ y μ, con v un vector en el espacio tridimensional. ¿Qué se obtiene?

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Posición relativa entre planos Observa las siguientes figuras, donde se representan las posibles posiciones entre dos planos en el espacio.

Π1

Π1

Π1

B

Π2

Π2

A

C

Figura 1

Figura 2

Π2

Figura 3

Analicemos... • •

Pon atención Una recta contenida en un plano lo divide en dos semiplanos.

Las figuras presentadas nos muestran las posibles posiciones entre dos planos en el espacio, que se pueden describir como: • •

Glosario ángulo diedro: porción de espacio comprendida entre dos semiplanos que tienen un borde (recta) común y están situados en planos distintos.

Arista

Cara

Ángulo diedro

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Cara

Si se tiene una recta cualquiera, ¿el plano que contiene a esa recta es único?, ¿por qué? Dados dos planos distintos, ¿existe una recta que pertenezca a ambos planos?, ¿en cuál de las figuras anteriores se representa esta situación? Explica. Si se tienen tres planos distintos, ¿existe un punto que pertenezca a los tres planos? Justifica.

planos paralelos: cuando no tienen puntos de intersección. planos secantes: cuando su intersección determina una recta y, por ende, posee infinitos puntos de intersección: todos los puntos que pertenecen a esa recta. planos coincidentes: cuando tienen todos sus puntos en común.

Observa que la intersección de dos planos da origen a distintos semiplanos que se intersecan. El ángulo de intersección entre dos semiplanos se denomina ángulo diedro. En la figura, se observa que P se ubica en una cara y Q en la otra (cada cara corresponde a un semiplano). Mientras, los puntos A y B se ubican en la arista del diedro (recta común a los dos semiplanos).

P A Q B

Π2 Π1


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Los ángulos diedros se simbolizan de la siguiente manera: ⬏(P, AB, Q), donde P y Q representan puntos de cada semiplano, respectivamente, y AB representa la recta común a ambos semiplanos. Dado el nombre de cada semiplano, un ángulo diedro también se puede representar por: ⬏(Π1, AB, Π2). Veamos ahora cómo conocer la medida del ángulo diedro. Observa que el ángulo diedro es igual al ángulo formado por dos rectas contenidas cada una en un semiplano, de manera tal que ambas sean perpendiculares a la intersección de los semiplanos, AB, en un mismo punto de ella. En la figura, la medida del ángulo diedro es igual a la medida de ⬏POQ.

Π2

A

Q

O P Π1

B

En resumen •

Posiciones relativas entre dos planos: las posibles posiciones entre dos planos en el espacio se pueden describir como paralelos, secantes o coincidentes.

El ángulo diedro entre dos planos es la porción de espacio comprendida entre dos semiplanos que tienen una recta común y están situados en planos distintos.

Actividades 1. Representa gráficamente las siguientes situaciones: a. El plano Π1 tiene origen a partir de la recta Lβ y un punto Z exterior a ella. b. El plano Π1 es secante con Π2, dando origen a la recta L1, que es perpendicular a la recta L2, que pertenece a Π2. c. El plano Π1 es perpendicular con π2, dando origen a la recta L1, que es paralela a la recta L2, que pertenece a Π1. d. Dados los planos Π1, Π2 y Π3, cada uno de ellos interseca a los otros dos planos. ¿Cuántos semiplanos se forman en esta representación gráfica? 2. Dados dos semiplanos Π1 y Π2 que se intersecan en una recta L, y un punto P1 en Π1, un punto P2 en Π2 y un punto Q en L, ¿qué medidas puede tener el ángulo (no diedro) formado por P1, Q y P2, cuyo vértice es Q? Explica.

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Unidad 3

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Intersección de una recta y un plano, y entre dos planos En años anteriores vimos que dos rectas paralelas y distintas no se intersecan y dos rectas secantes se intersecan en un solo punto. Como un plano contiene infinitas rectas, estas relaciones se pueden extender al analizar una recta y un plano. Observa las siguientes figuras, donde se representan las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano en el espacio. L L

L Π

Π

Figura 1

Figura 2

P Π

Figura 3

Analicemos... • •

¿En qué casos la recta no se interseca con el plano?, ¿en cuál de las figuras anteriores se representa esta situación? Explica. Si se tiene una recta y un plano, ¿puede ser que la intersección entre ellos tenga infinitas soluciones?, ¿por qué? ¿En cuál de las figuras anteriores se representa esta situación? Explica. ¿Puede ocurrir que la intersección entre una recta y un plano tenga más de una solución, pero no infinitas? Justifica.

Si todos los puntos de una recta dada pertenecen a un plano dado, se dice que la recta está contenida en el plano. En cambio, si ningún punto de esta recta pertenece al plano, se dice que la recta y el plano son paralelos. Por último, cuando la recta no está contenida ni es paralela al plano, lo interseca en un solo punto. En este caso, se dice que son secantes. En las figuras anteriores se representaron las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano en el espacio. Pero esto no solo se puede ver gráficamente. También se puede determinar analíticamente; es decir, a partir de sus respectivas ecuaciones. Observa. Ejemplo ¿Cuál es la intersección de la recta L: x, y, z = 4, 6, –2 +λ2, 3, 0 y el plano Π: 4x + 3y – z = 2? Sea  x0, y0, z0 el punto que pertenece al plano y a la recta.

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Unidad 3

Entonces, se tiene: 4x0 + 3y0 – z0 = 2  x0, y0, z0 = 4 + 2λ0, 6 + 3λ0, –2, para algún valor λ0. Para resolverlo se pueden remplazar las ecuaciones de cada coordenada, en la ecuación del plano y, luego, obtener el valor de λ0. 4(4 + 2λ0) + 3(6 + 3λ0) – (–2) = 2 16 + 8λ0 + 18 + 9λ0 + 2 = 2 λ0 = –2 Por lo tanto, al remplazar λ0 = –2 en la ecuación de la recta: x0 = 4 + 2 · –2 = 0; y0 = 6 + 3 · –2 = 0; z0 = –2. El punto obtenido es (0, 0, –2). Este único punto satisface la ecuación del plano y la de la recta; por lo tanto, en este caso, la recta es secante al plano.

Planos y sistemas de ecuaciones Las representaciones gráficas de planos en el espacio permiten visualizar las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales, de tres ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplos Siempre que tres planos se intersequen en una misma recta, se puede inferir que el sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tiene infinitas soluciones, ya que una línea recta está constituida por infinitos puntos. Si dos planos paralelos son secantes a un tercer plano, se puede inferir que el sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica no tiene solución, ya que ningún punto pertenece a los tres planos. Si tres planos son coincidentes, el sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tiene infinitas soluciones, ya que todos los puntos del plano pertenecen también a los otros dos planos. Cuando tres planos se intersecan en un único punto, la solución del sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica también es única.

Π3

Π2 Π1

Π1 Π2

Π3

Π1

B A C

Π2 Π3

Π3

Π2 Π1

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Recuerda que... Dados dos planos en el espacio, estos pueden ser paralelos (y distintos), secantes (y distintos) o coincidentes.

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Por otra parte, la intersección entre dos planos puede corresponder a infinitas soluciones, ya sea porque corresponden al mismo plano o a una recta que pertenece a ambos planos, o bien a ninguna solución, cuando estos planos son paralelos. Ejemplo Determina a qué corresponde la intersección entre los siguientes planos y escribe su ecuación vectorial. Π1: 4x + 3y + z = 6 Π2: 3x + 4y + 4z = 12 Para decidir si existe la intersección entre estos planos, primero se pueden graficar los planos, remplazando por 0 las coordenadas correspondientes para determinar los puntos de intersección en cada eje. Observa.

Z 6

P Q 4

X

Π2 3 2

Eje Y

Eje Z

Π1

( 32 , 0, 0)

(0, 2 , 0)

(0, 0, 6)

Π2

(4, 0, 0)

(0, 3, 0)

(0, 0, 3)

Se pueden ubicar estos seis puntos en el sistema de coordenadas y, luego, trazar los segmentos que unen los puntos para cada plano, para visualizar si existe intersección. Observa en la gráfica que P y Q son puntos de intersección de ambos planos. Gráficamente, la intersección de estos planos es una recta. Pero es necesario justificarlo algebraicamente.

Π1 3

3 2

Eje X

Y

Observa que el punto P se ubica en el plano XZ, por lo que su segunda coordenada es cero. Remplazando este valor en las ecuaciones, se pueden determinar sus coordenadas. 4x + z = 6 12 30 y=0 x= ,z= 3x + 4z = 12 13 13 30 ⎞ ⎛ 12 Luego, P tiene coordenadas ⎜ , 0, ⎟ . Como este punto P existe, ⎝ 13 13 ⎠ se concluye que los planos Π1 y Π2 no son paralelos, ya que P pertenece a ambos planos. Ahora, el punto Q se ubica en el plano YZ, por lo que su primera coordenada es cero. Remplazando este valor en las ecuaciones, se pueden determinar sus coordenadas. 3y + z = 6 3 x=0 y=z= 4y + 4z = 12 2

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Luego Q tiene coordenadas ⎛ 0, 3 , 3 ⎞ . Entonces, los planos tienen ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ dos puntos de intersección, P y Q. Esto significa que pueden ser secantes, o bien coincidentes. Falta justificar por qué no son coincidentes. Si fueran coincidentes, todo punto de Π1 sería también un punto de Π2. En cambio, si existe un punto que pertenezca a un plano, pero no al otro, los planos serían secantes. Por ejemplo, R (1, 1, –1) pertenece a Π1, pero al remplazarlo en la ecuación del plano Π2 se obtiene 4 · 1 + 3 · 1 + 4 · –1 = 3, como 3 ⫽ 12, luego R no pertenece al plano Π2, y los planos son secantes. Para determinar la ecuación vectorial de la recta correspondiente a la intersección, observa que la recta pasa por el punto P y tiene → 12 3 21 dirección PQ = – , , – . 13 2 26





Entonces, la ecuación vectorial de la recta es: 12 30 12 3 21  x, y, z = , 0, +λ – , ,– . 13 13 13 2 26



 



Si quisiéramos escribir su ecuación cartesiana, la recta en el espacio se representa como la intersección de dos planos que la contienen. Es decir, las ecuaciones cartesianas de la recta, que deben considerarse simultáneamente, son, en este caso: 4x + 3y + z = 6 3x + 4y + 4z = 12 Porque corresponden a los planos Π1 y Π2 que contienen a la recta.

En resumen •

Las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano son: • la recta está contenida en el plano, si todos los puntos de la recta pertenecen al plano. • paralelos (y distintos), si ningún punto de esta recta pertenece al plano. • secantes, si la recta interseca al plano en un solo punto.

Las posibles posiciones relativas entre dos planos en el espacio son: • coincidentes, si tienen todos los puntos en común. • paralelos (y distintos), si no tienen ningún punto en común. • secantes, si los planos se intersecan en una sola recta.

La recta en el espacio se representa como la intersección de dos planos distintos que la contienen. Se les llama las ecuaciones cartesianas de la recta, y deben considerarse simultáneamente.

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Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

cuya

se relaciona con

cuya

REPRESENTACIÓN

SISTEMAS DE

POSICIÓN RELATIVA

ALGEBRAICA

ECUACIONES LINEALES

entre puede ser

ECUACIÓN

ECUACIÓN

CARTESIANA

VECTORIAL

depende de

VECTOR

VECTOR

POSICIÓN

DIRECTOR

UNA RECTA Y UN PLANO

DOS PLANOS

pueden ser

pueden ser

PARALELOS

PARALELOS

CONTENIDA

COINCIDENTES

SECANTES

SECANTES forman

ÁNGULO DIEDRO •

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Por qué se necesitan dos vectores directores para escribir la ecuación vectorial del plano? 3. ¿Cuál es la diferencia entre el vector director y el vector posición? Justifica. 4. ¿Cómo se relaciona la posición relativa de dos o más planos en el espacio con la cantidad de soluciones del correspondiente sistema de ecuaciones lineales? Explica. 5. ¿Cuál es la ventaja de la ecuación vectorial del plano en comparación con su correspondiente ecuación cartesiana? Justifica. 6. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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Unidad 3 3 Unidad

Mi progreso 1. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial correspondiente. a. P (1, 0, 2), Q (–1, 1, 1) y R (3, –1, 1) b. P (–1, –1, –1), Q (–1, 0, 1) y R (–1, –2, –3)

c. P (2, 5, 1), Q (–6, –15, –3), R (4, 20, 2) d. P (1, 2, 1), Q (4, 5, 4), R (–2, –1, –2)

2. Grafica el plano 6x + 4z = 24. ¿A qué eje es paralelo? 3. Determina la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto A (1, 3, 2) y es paralelo a los vec→ → tores v = 2, 5, 1 y u = –3, 4, –1. 4. Determina la posición relativa entre los siguientes planos, en cada caso, y escribe la ecuación vectorial de la recta correspondiente a su intersección, si existe. a. b. c. d.

Π1: 2x + 3y – z – 4 = 0 y Π2: x – y + z – 4 = 0. Π1: 3x + 4y – 2z + 7 = 0 y Π2: x – y – 3z + 3 = 0. Π1: x + 2y – z = 1 y Π2: 10x + 10y + 1 = 0 Π1: y = 1 y Π2: x + y + z = 0

5. ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta correspondiente a la intersección de Π1: x – y + 2z = 8 y Π2: x + 2y + 8z = 20? A. B. C. D. E.

x, y, z = 1, –1, 2 + λ1, 2, 8 x, y, z = 0, –2, 3 + λ4, –2, –1 x, y, z = 0, –2, 3 + λ4, 2, –1 x, y, z = 0, –2, –3 + λ4, 2, 1 x, y, z = 4, 2, –1 + λ0, –2, 3

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEMS

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Determinar si tres puntos son colineales y escribir la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos.

1

132 y 133

Graficar planos dadas sus ecuaciones.

2

134 a 139

Determinar la ecuación cartesiana del plano.

3

136 y 137

4y5

140 a 145

Determinar la posición relativa y la intersección entre dos planos.

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Cómo resolverlo Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices: A (1, –2), B (6, 1) y D (–6, 3). a. Calcula el cuarto vértice C. b. Determina el punto medio M del segmento AC. c. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que contiene a la diagonal BD. d. Determina si los puntos M, B y D son colineales. Solución Para facilitar la resolución del problema, lo representaremos gráficamente. →

a. Observa que c está dado por la suma de b y BC , es decir, C

7 6 4

en un paralelogramo, los lados paralelos corresponden a un mismo vector, por lo → → tanto: BC = AD →

c = b + (d – a ) = (6, 1) + (–6, 3) – (1, –2) = (–1, 6)

2 1

–2

c = b + AD

3

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

c = b + BC

5

D

B

Entonces, el vértice C tiene coordenadas (–1, 6).

1 2 3 4 5 6

b. El punto medio se calcula componente a componente, por lo tanto: A

⎛ 1 – 1 –2 + 6 ⎞ M =⎜ , = ( 0 , 2) ⎝ 2 2 ⎟⎠ c. Se escribe la ecuación vectorial de la recta L que contiene a la diagonal BD.

Recuerda que... El punto medio entre (a, b) y (d, c) está dado por ⎛a + d b + c⎞ ⎜⎝ 2 , 2 ⎟⎠ .

Para el vector posición se puede considerar tanto b como d . Y el → vector director está dado por BD . →

→ →

L = b + λ · BD = b + λ ( d – b ) L = 6, 1 + λ (–6, 3 – 6, 1) = 6, 1 + λ –12, 2 d. Por último, determinar que M, B y D sean colineales equivale a establecer si el punto M pertenece a la recta L, que contiene a la diagonal BD. Es decir, ¿existe λ tal que 0, 2 = 6, 1 + λ –12, 2? 1 Remplazando λ = se obtiene la igualdad, luego M pertenece 2 a la recta L.

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Unidad 3

Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices: A (2, 1), B (6, 4) y D (5, 5). • Calcula el cuarto vértice C. • Escribe la ecuación vectorial de la recta L1, que contiene a la diagonal AC, y la de la recta L2, que contiene a la diagonal BD. • Determina el punto de intersección de las diagonales AC y BD. • Demuestra que las diagonales AC y BD son perpendiculares. • Decide y justifica si el paralelogramo ABCD es un rombo. 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Determina si los siguientes puntos son colineales, en cada caso. • • • •

A (–1, –1, –1), B (–1, 1, 0) y C (–1, 0, 1) D (7, 0, 1), E (1, 1, 0) y F (0, 5, 2) M (0, 2, 1), N (0, –2, –1) y O (0, –4, 0) P (1, 2, 3), Q (2, 3, 4) y R (4, 5, 6)

Escribe la ecuación vectorial correspondiente para cada trío de puntos colineales encontrados anteriormente. b. Comprueba si el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A (–1, –2), B (8, 4), C (5, 5) y D (2, 3), es un trapecio. Justifica. c. La recta que pasa por los puntos A (–3, 1) y B (2, 4), ¿es perpendicular a la recta que pasa por los puntos C (–1, 3) y D (1, 1)? Explica. d. Dados los puntos A (1, 2, 3), B (2, 5, 1) y C (3, 0, –4), determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto C y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B. e. Una araña está en un vértice de una sala cuyas dimensiones son 7 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de alto, y desea ir al vértice diametralmente opuesto. Determina la distancia mínima que recorrería y el vector desplazamiento que realizaría.

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En terreno iento Global m a n io ic s o P Sistema de

. Receptor GPS

a puesto por un m co y s o id n U tanpor Estados 200 km de dis desarrollado r 0 a 2 it s il o n m u a a m a e st or de la Tierr ier lugar El GPS es un si ón en cualqu giran alreded ci e si u o q p s a te n li u té r determina red de 24 sa que permiten S, P G s re to p cia, y rece sitivo GPS del planeta. lites. El dispo té sa o tr a cu or triangumo mínimo se utilizan co stos datos y p e to n n o u C p s. n o u ll r e a de ite a Para ubic a, el GPS perm s de cada uno se ra o O h . s a la tr n y e s ale sica del donde se encu recibe las señ ué posición fí en el mundo q n n ó e ci r si e o b p sa , la del mundo lación calcula alquier lugar cu n e , a n o rs e cualquier p ento. á en ese mom st e stencia o e u q á rr ejemplo, la exi r globo te o p ; ís a p ro n rápida y nes en nuest ió la ubicació adas aplicacio it ri rm va e e p n e S, ti P a G peradores Este sistem orario, vía ubicado por o e l de Control H a fu n s o u ci b a l E N s. a o m cid pilla. del Siste o por descono destino a Meli íd n ra co st , /h su s m u k b 8 n su persobre los 12 oportuna de u strucciones a aron que iba in ic d so in u s p e is n d ie y u , e la situación del sistema, q do respecto d a rt le a e fu s vehículo. Carabinero peración del cu re y n ó ci a ubic anal13.cl, sonal para la tp://teletrece.c

ce Internet, ht .emol.com/ Fuente: Teletre rio, http://www Diario El Mercu

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Actividades 1. Averigua qué es el GPS y qué datos se pueden obtener si se cuenta con un receptor de GPS. 2. ¿Para qué situaciones puede ser útil contar con un receptor de GPS?, ¿en qué casos se vuelve indispensable? Explica. 3. ¿Cómo se localiza un punto cualquiera de la Tierra utilizando las coordenadas geográficas? Por ejemplo, ¿cómo podrías indicar exactamente la ubicación de tu casa? 4. ¿Cuáles son las coordenadas geográficas de tu ciudad o localidad?, ¿cuál es la diferencia con las coordenadas de la capital de tu región?, ¿cómo se puede calcular la distancia entre tu localidad y la capital regional usando estos datos? Explica.

Investiguemos... 1. ¿En qué consisten las coordenadas geográficas?, ¿cómo se asignan los valores de la latitud y la longitud? ¿En qué lugar se encuentra la latitud 0º?, ¿y la longitud 0º? 2. ¿A qué distancia en la superficie terrestre corresponde la diferencia de un grado de latitud?, ¿y en el caso de un grado de longitud? 3. Analicen las semejanzas y diferencias entre las coordenadas geográficas y las coordenadas esféricas. ¿Por qué las coordenadas geográficas consideran solo dos valores, aunque se utilizan para localizar un punto en el espacio? 4. En general, ¿cómo se representa un vector cualquiera en coordenadas esféricas (en el espacio) o polares (en el plano)?, ¿cuál es la diferencia respecto de las coordenadas cartesianas? 5. ¿Cómo funciona el GPS?, ¿en qué consiste el proceso de triangulación? Expliquen. Comenten sobre las aplicaciones más importantes del GPS actualmente. 6. En la página de MundiVideo – Coordenadas decimales, sexagesimales y UTM, disponible en el sitio web http://www.mundivideo.com/coordenadas.htm, pueden observar las coordenadas geográficas de cualquier punto de la Tierra. a. Ingresen la dirección de su escuela, por ejemplo, y observen los datos de su latitud y longitud. Si no reconocen el lugar, prueben con el nombre de la localidad o de un pueblo cercano. b. Localicen en el mapa otro punto de interés; por ejemplo, la casa de alguno de ustedes, y hagan clic sobre él. Comparen estos datos con los anteriores y calculen la distancia entre ellos. ¿Corresponde a la distancia real?, ¿por qué?

Evaluemos nuestro trabajo • ¿Qué aprendieron acerca de las coordenadas geográficas? • ¿Qué aprendieron respecto del funcionamiento y utilidad del GPS? • Comenten con sus compañeros y compañeras. ¿Qué pueden concluir?

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Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

VECTORES DIRECCIÓN

SENTIDO MAGNITUD

RECTA

PRODUCTO PUNTO

PLANO ÁNGULO DIEDRO

ESPACIO VECTOR POSICIÓN VECTOR DIRECTOR

ECUACIÓN VECTORIAL

ECUACIÓN CARTESIANA

A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. 2. 3. 4. 5.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿Cuáles son los elementos que definen un vector? ¿Cuál es la diferencia entre vector posición y vector dirección? Explica. Dados dos planos distintos, ¿cuáles son las posibles posiciones relativas entre ellos? Justifica. La intersección entre un plano y una recta en el espacio, ¿cuántas posibles soluciones tiene? Explica. 6. ¿En qué se diferencia la ecuación vectorial de un plano y su ecuación cartesiana? Explica. 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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Evaluación Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

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I.

1. Un vector se define por su módulo y su dirección. 2. El resultado del producto punto entre dos vectores en el espacio también es un vector. 3. El producto cruz de dos vectores en el plano cartesiano no se puede calcular. 4. La imagen de una figura bajo una homotecia es semejante a la figura original. 5. Para representar una recta mediante su ecuación vectorial, solo se necesita conocer su vector posición. 6. La intersección entre dos planos siempre es una recta en el espacio. 7. La ecuación vectorial de una recta en el espacio es similar a la de la recta en el plano; en el espacio los vectores tienen tres coordenadas. 8. Existen casos en que la intersección entre una recta y un plano no existe.

II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. Determina si los planos Π1: x + y + z = 2 y Π2: x + 3y + z = 5 son secantes. 2. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es G. Haz el dibujo en tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotéticas: a. H1 º H2, con H1(A, 3) y H2(A, –2)

b. H3 º H4, con H3(G, –1) y H4(G, 2)

3. Dadas las siguientes parejas de puntos: ubícalas en el plano cartesiano; calcula los componentes → del vector AB y calcula su módulo en cada caso. a. A (1, 3); B (–4, 5)

b. A (4, 0); B (–1, –5)

c. A (2, 3); B (–1, 4)

d. A (0, 6); B (–3, 7)

4. En el pizarrón se dibuja un vector horizontal de 12 unidades y otro de 10 unidades que forma un ángulo de 30º con el anterior. a. b. c. d.

→ →

¿Cuál es la dirección del producto de a × b ? ¿Cuál es el sentido de este vector? ¿Cuál es el módulo de este producto cruz? ¿Cuál es el área del paralelogramo que se forma con estos vectores?

5. Determina el valor que debe tomar x para que los siguientes vectores sean perpendiculares: a. 1, –2 y  x, 3

b. 0, 5 y 2, x

c. 0, 3 y  x, 2

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III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.

1. Los vectores de la figura tienen la misma → → → → magnitud. Si r = 2a – b + c , entonces el vector que mejor representa la dirección de → r es: → a

→ c

→ b

4. La ponderación entre λ = 5 y a = 1, 5 es: A. B. C. D. E.

5 25 1, 5 5, 25 Ninguna de las anteriores.

A. →

B.

A. B. C. D. E.

C. D. E. → → →

2. Los módulos de los vectores a , b , c son 4, 3 y 2 unidades, respectivamente. → → → → Si r = 2a – 2b – 3c , entonces el módulo → de r es: → a

A. B. C. D. E.

→ →

5. Si a = 2, 1; b = 0, 1, entonces a · b =

4 unidades. 8 unidades. 14 unidades. 16 unidades. 18 unidades.

→ b → c

3. Los vértices de un hexágono regular definen los vectores de la figura. ¿Cuál de las siguientes relaciones es incorrecta?

1 2 3 2, 1 0, 1 →

6. Sean a = 2, 3 y b = 7, 2, entonces → → →

a · b + b es: A. B. C. D. E.

29 21, 8 27, 22 27 No se puede determinar.

7. Los vectores de la figura forman un cuadrilátero. ¿Cuál de las siguientes relaciones entre ellos es correcta? → →

→ → → →

B. a – c = b – d → → → a +b +c =0 → → → → e +d =b –a → → → e –c =a → → → d + a = –2c → → →

A. B. C. D. E. e – d = 3c

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→ d

→ a

→ e → c

→ c

→ →

A. a + d = b + c → →

→ →

→ d

C. a + d = c – b D. a + c = d – b

→ b

→ → → →

E. a + b = c + d → b

→ a


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→ →

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8. Si los vectores a , b y c se encuentran en un plano cartesiano, ¿cuál o cuáles de las siguientes relaciones es o son correctas? I. II. III.

→ ^ ^ a = –5i – 2j → ^ ^ b = –3i – 4j → ^ ^

Y → a

c = 3i – 3j

→ b → c

A. B. C. D. E.

X

Solo I Solo II Solo III I, II y III Ninguna de las anteriores.

11. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la misma recta que la ecuación vectorial  x, y = 1, 1 + λ–1, 1? A. B. C. D. E.

y–x–2=0 y+x–2=0 y+x+2=0 –y – x – 2 = 0 –y + x – 2 = 0

12. La ecuación analítica y la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A(–2, 1) y es paralela a la recta y = 2x + 3 es: A. y = 2x + 5λ ; L = λ

^

^

^

^

9. Si a = 8i – 11j y b = – 5i + 7j , ¿cuál es el vector → → → → c tal que a + b + c = 0? A. B. C. D. E.

^

^

3i – 4j ^ ^ 13i –18j ^ ^ –3i + 4j ^ ^ –3i – 4j Ninguna de las anteriores.

10. Si P es un punto de la recta MN y Q es un punto que no pertenece a esta recta, entonces es falso que: A. hay una recta perpendicular a MN que pasa por Q. B. hay un plano que contiene MN. C. P, Q y M son colineales. D. P, M y N son colineales. E. hay un solo plano que pasa por Q, M y N.

1 5 , 1 + – ,0 2 2

B. y = 2x – 1 ; L = λ1, 2 + –5, 0 C. y = 2x + 5 ; L = λ1, 2 + –5, 0

1 5 , 1 + – ,0 2 2 1 5 E. y = 2x + 5 ; L = λ , 1 + – ,0 2 2

D. y = 2x – 1 ; L = λ

13. (Demre, 2003) ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación x = a? A. La recta paralela al eje X que pasa por punto (0, a). B. La recta paralela al eje X que pasa por punto (a, 0). C. La recta paralela al eje Y que pasa por punto (0, a). D. La recta paralela al eje Y que pasa por punto (a, 0). E. La recta que pasa por el origen y por punto (a, a).

el el el el el

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Vectores

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Unidad 3

UNIDAD 3 (98-155)C


UNIDAD 4 (156-193)C

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4

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Áreas y volúmenes

TRABAJANDO CON:

APRENDERÁS A:

Prismas y pirámides

Formular y verificar conjeturas respecto de los cuerpos generados a partir de traslaciones o rotaciones de figuras planas.

Cilindros y conos

Esfera y cuerpos de revolución

Principio de Cavalieri

Resolver problemas sobre área y volumen de cuerpos geométricos.

Unidades de medida de área y volumen

Dibujar las proyecciones de un cuerpo en el plano.

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Conversemos de... Para crear piezas de cerámica, algunos alfareros utilizan el torno, que es una máquina consistente en una superficie redonda y plana, llamada platina, unida a un eje que se hace girar a una velocidad que varía de 30 a 120 revoluciones por minuto (rpm) aproximadamente. Sobre la platina, el alfarero modela con las dos manos mojadas –una en la parte externa y la otra en el interior– una porción de arcilla o greda. Debido a su naturaleza, los trabajos realizados mediante el empleo del torno son casi exclusivamente piezas con simetría radial respecto de un eje vertical.

Latinstock

1. ¿Qué es la simetría radial? Explica. 2. ¿Cómo se puede estimar el volumen de una vasija como la de la imagen? Comenta con tus compañeros y compañeras qué estrategias podrían utilizar. 3. Si supieras la medida de su sección longitudinal, ¿podrías calcular el volumen de la vasija?, ¿por qué? 4. Si la medida de la sección longitudinal de dos vasijas fuera la misma, ¿tendrían el mismo volumen? Justifica.

Áreas y volúmenes |

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¿Cuánto sabes? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. 1. Completa las siguientes equivalencias: a. 4,51 m = ____ cm

e. 0,0079 cm2 = ____ m2

b. 3 600 000 dm = ____ m

f. 5000 dm2 = ____ m2

c. 9350 cm2 = ____ dm2

g. 5,606 cm3 = ____ m3

d. 8400 dm2 = ____ cm2

h. 4,0009 m3 = ____ cm3

2. Calcula el área y perímetro de los siguientes polígonos regulares: a. b. c. d. e.

Un pentágono de lado 1 cm y apotema 0,69 cm. Un hexágono cuyo lado mide 2 cm y su apotema 1,73 cm. Un octógono cuyo lado mide 2 cm y su apotema 2,41 cm. Un decágono de lado 4 cm y apotema 6,16 cm. Un dodecágono cuyo lado mide 6 cm y su apotema 11,2 cm.

3. Calcula el área coloreada de las siguientes figuras, considerando la unidad de medida indicada, en cada caso.

15 m

a. A =

7,5 m

dm2

3m

2m

b. A =

m2

c. A =

cm2

4. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 4 2 cm.

5. El área de un cuadrado circunscrito a una circunferencia es 144 m2. Calcula el área del círculo correspondiente.

6. Escribe la expresión para representar el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia, en función de su radio.

7. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 8 cm.

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:Maquetación 1

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Unidad 4

UNIDAD 4 (156-193)C

8. Determina el área de un triángulo cuya base y altura son respectivamente el lado del triángulo equilátero y el lado del cuadrado, ambos inscritos en una circunferencia de radio 4 2 cm.

h

h b b

D

C

A

B

9. En la figura, el cuadrado ABCD está inscrito en una circunferencia y circunscrito a otra. Si el lado del cuadrado mide 10 m, calcula la razón entre el área de ambos círculos. Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? • • • •

• • • • •

Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Se llama polígono regular a todo polígono cuyos lados son de igual medida y sus ángulos son congruentes. El apotema es la distancia entre el centro de un polígono regular y uno cualquiera de sus lados. El área de un polígono regular se puede calcular mediante la expresión ap P · ap l A= , donde P es el perímetro del polígono y ap es su apotema. 2 Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a ella. Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a ella. Un ángulo mide un radián si su arco tiene igual longitud que el radio. Utilizando esta unidad de medida, un ángulo puede tomar valores entre 0 y 2π radianes. El perímetro y el área de un círculo de radio r se pueden calcular mediante las expresiones P = 2πr y A = πr 2, respectivamente. Algunas equivalencias en las unidades de medida son: • 1 m = 10 dm = 100 cm • 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 • 1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3

Áreas y volúmenes

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UNIDAD 4 (156-193)C

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Área y volumen Para indicar el tamaño de una caja de cartón, lo común es señalar sus dimensiones, es decir, las medidas de su largo, ancho y alto. Pero para otros envases, como los frascos, por ejemplo, referirse a sus dimensiones puede no ser muy útil. Observa.

Analicemos... Frascos con agua.

• • • •

Glosario

¿Cómo puedes describir el tamaño de los frascos de la imagen? ¿Cuál de los frascos contiene más agua?, ¿por qué? ¿Para cuál de ellos fue necesario utilizar más vidrio en su fabricación? Explica. ¿Qué unidad de medida es adecuada para describir el tamaño de un envase?, ¿por qué?

Para responder a las preguntas planteadas podemos considerar que el tamaño de un envase, en general, puede describirse según la cantidad de espacio que ocupa, lo que no depende de la forma del envase y puede ser más claro que señalar cada una de sus dimensiones.

volumen: medida del espacio que ocupa un cuerpo. cuerpo: objeto material en que pueden apreciarse las tres dimensiones principales, longitud, anchura y altura. litro: unidad de capacidad que equivale al volumen de un decímetro cúbico. Es decir, 1000 litros corresponden a un metro cúbico. capacidad: medida del volumen que puede contener un cuerpo.

Para calcular el volumen de un cuerpo, se compara con un cubo de una unidad de arista. En el sistema métrico decimal, la unidad de volumen es el metro cúbico (correspondiente al volumen de un cubo de un metro de arista), aunque frecuentemente se utilizan sus submúltiplos, y, especialmente en el caso de líquidos y gases, el litro.

Recuerda que...

En cambio, si se requiere saber cuánto material se utilizó en la fabricación del envase, es necesario conocer su forma, es decir, a qué cuerpo geométrico se parece y sus medidas. El área es la medida de una superficie; el área de un cuerpo será entonces la suma de las medidas de la superficie de cada una de sus caras. El área se mide en unidades tales como centímetros cuadrados, metros cuadrados, etcétera.

Una idea intuitiva de superficie se refiere a aquellas formas que caracterizan a un cuerpo. Una superficie puede ser plana, como es el caso de las caras de prismas, pirámides y poliedros, entre otros, o bien, curvas, como las del cono, cilindro y esfera.

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1m


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Ejemplo Cada uno de los siguientes cuerpos está formado por cubitos de 1 cm de arista.

2

8

2 2

2

4

1 1 1

Observa que todos tienen igual volumen, 8 cm3, pues están formados por ocho cubitos de igual medida; en cambio, tienen diferente área, sus superficies miden 24 cm2, 28 cm2 y 34 cm2, respectivamente.

Pon atención • A pesar de que volumen no es lo mismo que capacidad, para calcular la capacidad se suelen utilizar las mismas expresiones que para el volumen. • Es común asignar al concepto de superficie y área el mismo significado; sin embargo, debemos diferenciar ambos términos. La superficie es una extensión en que solo se consideran dos dimensiones. El área es la medida de la superficie.

Actividades 1. ¿Qué sucede con el volumen de un cubo si su lado aumenta al doble?, ¿y con el área? Explica. 2. Estima en qué razón están los volúmenes de dos cilindros de igual altura, si el radio de uno de ellos es el doble de la medida del radio del otro. Explica. 2r

r

3. Demuestra que el plano trazado que contiene a las aristas opuestas de un paralelepípedo oblicuo divide a este cuerpo en dos prismas triangulares equivalentes en volumen.

H

G

E F D A

C B

4. Si entre dos cuerpos semejantes, el cociente de sus longitudes (ya sea referido a aristas, diagonales, etcétera) es k, ¿cuál es el cociente entre sus volúmenes? Justifica.

En resumen •

El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa.

El área de un cuerpo es la suma de las medidas de la superficie de cada una de sus caras.

La unidad de medida del volumen en el sistema métrico decimal es el metro cúbico, que equivale a 1000 litros.

Áreas y volúmenes

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Unidad 4

UNIDAD 4 (156-193)C


UNIDAD 4 (156-193)C

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Proyecciones en el plano En variadas ocasiones, las personas requieren plasmar en una hoja de papel un objeto o un cuerpo geométrico que, al tener tres dimensiones, su representación no es inmediata. Observa.

Analicemos... •

Glosario proyecciones en el plano: figuras que resultan, en una superficie, de proyectar en ella todos los puntos de un sólido u otra figura, desde distintas perspectivas.

Si miraras este cuerpo de frente, ¿qué figuras puedes observar?; ¿y al mirarlo de perfil?, ¿y al mirarlo desde arriba? Dibuja todas las figuras en tu cuaderno. ¿Crees que estas figuras son una adecuada representación de este cuerpo?, ¿por qué?

Disciplinas como el dibujo y la pintura resuelven la representación de un cuerpo en el plano mediante el color y la aplicación de luces y sombras; en cambio, otras disciplinas, como el dibujo técnico y la arquitectura, lo resuelven realizando las proyecciones en el plano correspondientes. En la figura siguiente, este cuerpo está representado en tres planos por medio de proyecciones perpendiculares a los planos.

A partir de las proyecciones de un sólido se puede obtener un modelo de él en tres dimensiones. Este principio es usado en algunos programas computacionales para representar el volumen de un cuerpo que se muestra en una pantalla.

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Así, las proyecciones ortogonales originan tres vistas del objeto: la planta, el alzado y el perfil, términos muy utilizados por profesionales de la arquitectura y el diseño. Observa. Perfil Alzado

Perfil Alzado

Glosario planta: proyección de un cuerpo visto desde arriba. alzado: proyección de un cuerpo visto desde el frente. perfil: proyección de un cuerpo visto desde uno de sus lados.

Objeto Planta Planta

Actividades 1. Dibuja la planta, el alzado y el perfil de los siguientes cuerpos. a.

b.

2. Dibuja el cuerpo correspondiente a cada una de las siguientes proyecciones. a.

c.

b.

d.

En resumen •

Las proyecciones en el plano son figuras que resultan de proyectar en una superficie todos los puntos de un sólido o cuerpo, desde distintas perspectivas.

Las proyecciones ortogonales originan tres vistas del cuerpo: la planta, el alzado y el perfil.

Áreas y volúmenes

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Unidad 4

UNIDAD 4 (156-193)C


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Área de prismas y pirámides Recuerda que... • Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más regiones poligonales no coplanares. Estas regiones poligonales se llaman caras del poliedro, los lados de las caras reciben el nombre de aristas y concurren en un punto llamado vértice. • La red de un poliedro u otro cuerpo geométrico es la figura que se obtiene al extenderlo sobre un plano. • El área basal corresponde al área del o los polígonos que forman la base.

Observa los siguientes prismas.

Analicemos... • • • •

Pon atención • El número de caras laterales de un prisma o de una pirámide depende siempre del número de lados de la base. • Las caras laterales son siempre paralelogramos, en el caso de los prismas, y triángulos, en el caso de las pirámides.

¿Cuántos polígonos conforman la red del prisma, en cada caso?, ¿cuáles polígonos son, en cada caso? Explica. ¿Para calcular el área total de un prisma es suficiente con saber el área de la base y la medida de su altura?, ¿por qué? ¿Qué medidas necesitas conocer para calcular el área de un prisma?, ¿cómo lo calcularías? En el caso de una pirámide, ¿cómo calcularías su área? Justifica.

A partir de la red de un prisma, se puede determinar la forma y el número de caras que tiene el prisma y, luego, calcular su área. En general, el área total de un cuerpo geométrico equivale a la suma de las áreas de cada una de sus caras, tanto de la o las bases como de sus caras laterales. ap

b

En resumen •

El área total de un cuerpo geométrico equivale a la suma de las áreas de cada una de sus caras, tanto de la o las bases como de sus caras laterales.

El área de un prisma es A = AL + 2 · AB, donde A: área total; AL: área lateral; AB: área basal.

El área de una pirámide es A = AL + AB, donde A: área total; AL: área lateral; AB: área basal.

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Unidad 4

Actividades 1. Calcula el área de un paralelepípedo recto de 6,4 y 9,5 cm de base y 16,5 cm de altura. 2. Calcula el área de un prisma regular, de base hexagonal con arista 8 cm, y altura 10 cm. 3. El área total de un paralelepípedo recto es igual a la de un cubo. Si las medidas de las aristas que concurren a un vértice del paralelepípedo miden 3, 5 y 7 cm, respectivamente, ¿cuánto mide la diagonal del cubo? 4. ¿Qué cantidad de cartón se utilizará para hacer una caja de forma de paralelepípedo recto de dimensiones 1,2 m de largo, 1,4 m de ancho y 2 m de fondo?, ¿cómo lo supiste? 5. En un envase con forma de prisma de base cuadrada, la altura es el doble de la medida del lado de la base y el área total es 250 m2. Calcula las dimensiones del envase. 6. Calcula el área de los siguientes prismas. Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. a.

8 cm

b.

c.

10 cm

d.

4 cm

4 cm

4 cm 10 cm 5 cm

4,3 cm

12 cm

4 cm 4 cm

5 cm

6 cm

7. El techo de una casa tiene forma de pirámide cuya base es un cuadrado de 12 m de lado y 8 m de altura. Determina los metros cuadrados de tejas necesarios para cubrir todo el techo. 8. Dibuja la red correspondiente a una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Calcula su área total. 9. Los siguientes son juguetes de madera que serán pintados del mismo color. Sobre cada uno se indica cuántos se van a fabricar. Calcula la cantidad de pintura necesaria para tal labor, considerando que un litro de pintura rinde aproximadamente 3 m2. 15

22

30 15 cm

10 cm 5 cm 10 cm

15 cm

4 cm

3 cm

12 cm

Áreas y volúmenes

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Cuerpos generados por traslación Al realizar la traslación de un polígono, en cada caso, se puede considerar que se está formando un cuerpo geométrico. Observa.

→ T1

Analicemos... B → T2

• • •

B

Glosario generatriz: dicho de una línea o de una figura, que por su movimiento genera una figura o un sólido geométrico, respectivamente.

En cada caso, ¿qué cuerpo geométrico se forma?, ¿por qué? Si la generatriz fuera un círculo, ¿qué cuerpo geométrico se forma al aplicar una traslación? Justifica. Comenta con tus compañeros y compañeras y decidan cuál o cuáles de los cuerpos geométricos que conocen se pueden formar mediante la traslación de una figura. Justifiquen en cada caso.

En la imagen, mediante la traslación de un rectángulo se obtiene un paralelepípedo, y mediante la traslación de un hexágono, un prisma de base hexagonal. Observa que para que se genere efectivamente un cuerpo, el vector de traslación no puede ser paralelo al plano que contiene la generatriz. En general, se dice que un cuerpo es generado por traslación si se puede formar mediante la traslación de una figura plana. Otros ejemplos son los cubos y los cilindros.

En resumen •

Se llama generatriz a la figura plana que por su movimiento engendra un sólido geométrico. Cuerpos generados por traslación Un paralelepípedo es generado por la traslación de un paralelogramo.

Un prisma es generado por la traslación de un polígono.

Un cilindro es generado por la traslación de un círculo.

Actividades 1. Supón que un cuadrado tiene uno de sus vértices en el origen, con uno de sus lados sobre el eje X y el otro sobre el eje Y y cuyo lado mide 4 unidades de longitud. a. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar este cuadrado por el vector (0, 0, 4)? b. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo?, ¿por qué? c. ¿Cuál es el área total del cuerpo generado? Justifica.

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Principio de Cavalieri Unidad 4

Jorge estaba preparando el almuerzo y trozó una berenjena en rodajas y, luego, Gabriel, su nieto, tomó las rodajas e intentó ordenar los trozos como se muestra en la imagen. Observa.

Analicemos... • •

¿La berenjena tiene el mismo volumen que antes de partirla?, ¿por qué? Ahora, considera un cubo y un prisma de base triangular que tienen igual altura y además sus bases tienen igual área, ¿tienen igual volumen? Justifica.

En la situación anterior, la berenjena que Gabriel apiló así tiene igual volumen que antes de cortarla, porque si ordenáramos las rodajas, una a una, podríamos reconstituir la forma de la berenjena.

Berenjena trozada.

Esta idea también puede aplicarse para comparar el volumen de dos o más cuerpos, aunque sean distintos. Por ejemplo, supón que un prisma y un paralelepípedo tienen igual altura. Si sus bases tienen igual área, aunque no tengan la misma forma, entonces también tienen igual volumen. Observa. A2 A1

Si A1 = A2, entonces V1 = V2.

V2 V1

En general, es posible afirmar que si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, entonces poseen igual volumen. Esto se conoce como el principio de Cavalieri.

Glosario sección plana: figura que resulta de la intersección de un cuerpo o sólido con un plano.

En resumen •

Principio de Cavalieri: si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases el área de las secciones es la misma, ambos tienen el mismo volumen.

Áreas y volúmenes

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

4/11/10

16:51

Página 168

Volumen de un prisma Considera que los cuerpos de la siguiente imagen tienen igual altura y sus bases tienen la misma área. Observa.

h

h B

h B

B

Analicemos... • • •

Recuerda que... El volumen de un paralelepípedo recto se puede calcular multiplicando las medidas de su largo, ancho y altura.

Glosario oblicuo: se dice de un prisma cuando sus aristas laterales no son perpendiculares a la base del prisma.

¿Cómo se calcula el volumen de un paralelepípedo? Explica. ¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?, ¿por qué? ¿El volumen de un prisma depende de su inclinación?, ¿por qué?, ¿y de su altura? Justifica.

Como se puede observar, todos los cuerpos de la imagen anterior tienen la misma altura y sus bases tienen igual área. Según el principio de Cavalieri, como sus secciones planas son iguales, los volúmenes también lo son; por tanto, se puede calcular el volumen tal como en el caso del paralelepípedo, esto es, como el producto entre el área de la base y la altura. Por consiguiente, depende del área del polígono que corresponde a la base del prisma. Observa que el volumen no cambia si se compara un prisma recto con uno oblicuo; de hecho, no depende de la inclinación del prisma, sino del área de la base y de su altura. Esto también se explica por el principio de Cavalieri.

En resumen •

El volumen de un prisma está dado por la expresión: V = B · h, donde B es el área de la base y h la altura del prisma.

En particular, el volumen de un prisma oblicuo no depende de su ángulo de inclinación, sino de su altura y área basal.

168 | Unidad 4


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

4/11/10

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Página 169

Unidad 4

Actividades 1. Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm. Justifica. 2. Calcula el volumen de un prisma triangular, de altura 6 cm y base un triángulo equilátero, cuyo lado mide 10 cm. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste. 3. Calcula el volumen de los siguientes prismas. En ambos casos, la arista de la base mide 3 cm, la altura 4 cm y sus bases son polígonos regulares.

4. Las aristas de un paralelepípedo recto están en la razón 2 : 3 : 4 y su diagonal principal mide 4 29 cm. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. 5. El volumen de un prisma recto de base hexagonal es 120 3 m3 y su altura mide 5 cm. ¿Cuál es la medida de los lados del hexágono? 6. Calcula el área total de un prisma recto de base hexagonal regular, cuya arista basal mide 4 cm y la arista lateral 16 cm. 7. Si el volumen del prisma de la figura es 340 cm3, calcula el área de una sección transversal que se obtiene mediante el corte con un plano paralelo a las bases.

12 cm

8. Se tiene un cubo cuya arista es de 4 cm y está constituido por pequeños cubos independientes con aristas de 1 cm. Se desea construir con ellos un paralelepípedo. ¿Qué dimensiones tiene el paralelepípedo de menor área que se puede formar?, ¿y el de mayor área? 9. De un cubo sólido de arista a unidades se extrajo un cubo de arista b unidades, tal como se muestra en la figura. Calcula el volumen del cuerpo resultante, teniendo en cuenta los siguientes datos: • (a – b)3 = 27 • a2b = 50 • ab2 = 20 10. En el caso de un prisma oblicuo, ¿se puede calcular el volumen si se conoce el área de la base y la medida de la arista lateral?, ¿por qué?

Áreas y volúmenes

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 170

Volumen de pirámides F

E

D

Considera el siguiente prisma de base triangular de bases ΔABC y ΔDEF. Si se realizan dos cortes desde el punto D, uno de ellos hasta la arista BC y el otro hasta la diagonal EC, como se muestra en las figuras, el prisma se descompone en tres pirámides: P1(ABDC), P2(DEBC) y P3(DEFC).

C

Analicemos... A

B F

E

D

C

A

B F

Observa que los triángulos ABD y EDB son congruentes, ya que DB es la diagonal del rectángulo DEBA. Como puede verse en la primera figura, si se consideran como bases los triángulos de color, en cada caso, la arista común BC es la altura de las pirámides P1 y P2. Luego, por principio de Cavalieri, P1 y P2 tienen igual volumen.

E

D

C

A

• •

Dibuja en tu cuaderno cada una de las pirámides y observa las pirámides P1 y P2; considera que C es su cúspide. ¿Sus bases son congruentes?, ¿por qué?, ¿P1 y P2 tienen el mismo volumen? Explica. En la segunda figura, observa las pirámides P2 y P3; considera que D es la cúspide ahora. ¿Sus bases tienen igual medida?, ¿por qué?, ¿P2 y P3 tienen igual volumen? ¿Cómo se puede calcular el volumen de una pirámide? Explica. Comenta con tus compañeros y compañeras si esta relación depende o no de las características del triángulo de la base.

B

Recuerda que... • Una pirámide es un cuerpo que tiene por base un polígono cualquiera y cuyas caras, tantas en número como los lados del polígono, son triángulos que concurren en un solo punto, llamado cúspide o vértice de la pirámide. • La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.

170 | Unidad 4

De igual modo, los triángulos EBC y EFC son congruentes, ya que EC es la diagonal del rectángulo EFCB. Como puede verse en la segunda figura, si se consideran como bases los triángulos de color, en cada caso, la arista común DE es la altura de las pirámides P2 y P3. Luego, por principio de Cavalieri, P2 y P3 tienen igual volumen. En t��rminos de su volumen, P1 = P2 y P2 = P3, luego, necesariamente, P1 = P3. Es decir, el volumen de las tres pirámides son iguales. Como las tres juntas forman el prisma, podemos afirmar que el volumen de cada pirámide es un tercio del volumen del prisma. Observa que la argumentación descrita no depende del tipo de triángulo que forma la base, es decir, no se supone que este triángulo sea, por ejemplo, equilátero o isósceles. Para todo prisma de base triangular, esta conclusión es igualmente válida. Tampoco depende de si el prisma es recto u oblicuo.


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 171

Unidad 4

Además, ya que todo polígono se puede dividir en dos o más triángulos, una pirámide de base poligonal también se puede descomponer en dos o más pirámides de base triangular. Como hemos visto, el volumen de cada una de estas pirámides es un tercio del volumen del correspondiente prisma triangular; por lo tanto, el volumen de la pirámide de base poligonal es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura, sin importar cuál sea el polígono de la base.

En resumen •

El volumen de una pirámide equivale a un tercio del volumen de un prisma de igual área basal e igual altura, es decir, 1 1 Vpirámide = · Vprisma = · B · h (B: área de la base; h: altura). 3 3

Actividades 1. Calcula, en cada caso, el volumen del prisma y de la pirámide. a. 7 cm

b. 6 cm

8 cm

7 cm 4 cm 3 cm

12 cm

12 cm

4 cm

3 cm

6 cm

8 cm

2. Calcula el área y el volumen de cada una de las siguientes pirámides, si sus bases son polígonos regulares. a.

b.

h = 24 cm

c. 7 cm

5 cm 1,15 cm 4,13 cm 14 cm

6 cm

4 cm

Áreas y volúmenes

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 172

Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

se calcula

se calcula

ÁREA

VOLUMEN

se pueden representar por aplicando

PROYECCIONES de

de

de

PRINCIPIO DE CAVALIERI

EN EL PLANO

llamadas

CILINDROS

PRISMAS

PIRÁMIDES PLANTA

ALZADO

PERFIL

corresponden a

CUERPOS GENERADOS POR TRASLACIÓN

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. Dos prismas de igual base e igual altura, ¿tienen igual volumen?, ¿por qué? ¿Cuál es la diferencia entre una pirámide y un prisma? ¿Cómo se calcula el volumen de una pirámide? ¿Qué características tiene un cuerpo generado por traslación? Explica. ¿Qué condiciones deben cumplir dos o más cuerpos de igual altura para concluir que tienen igual volumen? Justifica. Si se conocen dos proyecciones de un sólido, ¿se puede determinar su forma?, ¿por qué? Dos pirámides de igual altura e igual área basal, ¿tienen igual volumen? Si se duplica la altura de un prisma, ¿cuánto aumenta su volumen? ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

172 | Unidad 4


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 173

1. Calcula el volumen y el área total de una pirámide hexagonal regular, sabiendo que el lado de la base mide 8 cm y su altura es cinco veces la longitud del apotema de la base de la pirámide. 2. Calcula el volumen de una pirámide cuadrada recta si su altura mide 12 cm y la altura de una de sus caras laterales mide 13 cm. 3. Calcula la altura de una pirámide de volumen 10 000 cm3, cuya base es un triángulo equilátero de 100 cm de lado. 4. Obtén el alzado, perfil y planta de las figuras. a.

b.

5. El área total de un prisma recto, cuya base es un hexágono regular de 53 cm de apotema y 12 cm de altura, es aproximadamente: A. B. C. D. E.

18 412 cm2 45 023 cm2 35 096,2 cm2 23 895,83 cm2 No se puede determinar.

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEMS

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

1

168 y 169

Calcular el área de un prisma y de una pirámide.

1y5

164 y 165

Calcular el volumen de una pirámide, dada su altura y viceversa.

2y3

170 y 171

4

162 y 163

Calcular el volumen de un prisma.

Determinar las proyecciones de un cuerpo geométrico.

Áreas y volúmenes

| 173

Unidad 4

Mi progreso


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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16:52

Página 174

Cuerpos generados por rotación Observa qué sucede al girar una circunferencia de papel inserta en un lápiz, es decir, una circunferencia que gira en torno a su diámetro, en este caso.

Analicemos... • •

• •

¿Qué cuerpo geométrico puedes observar que se forma? Si en lugar de una circunferencia, se girara un semicírculo en torno a su diámetro, ¿qué se observaría?, ¿por qué?, ¿y en el caso de que fuese un rectángulo? ¿Qué otros cuerpos geométricos que conoces se podrían observar de esta forma?, ¿qué figuras se necesitan, en cada caso? ¿Qué objetos corresponden a cuerpos de este tipo?

Tal como se puede apreciar en las imágenes, al girar una circunferencia en torno a su diámetro, se observa una esfera. De manera similar, si se gira un rectángulo en torno a uno de sus lados, se puede observar un cilindro, mientras que si se gira un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos, se puede observar un cono. En general, se denominan cuerpos de revolución aquellos que pueden obtenerse mediante la rotación de una curva o una figura plana (la generatriz) alrededor de un eje. Otro ejemplo de cuerpo de revolución es el tronco de un cono o cono truncado. Este se genera mediante la rotación del trapecio rectángulo ABCD cuyo eje corresponde al lado BC, como muestra la figura.

174 | Unidad 4

A

D

B

C


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Se dice que un cuerpo es generado por rotación o que es un cuerpo de revolución si se puede obtener mediante la rotación de una curva o una figura plana en torno a un eje. • • •

Cilindro: generado por la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Cono: generado por la rotación de un triángulo rectángulo respecto de uno de sus catetos. Esfera: generado por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro. Cilindro

Cono

Esfera

A C

C

A

M

A

M

B

B D

D

B

N

N

A

C

B C

B

Actividades 1. Dibuja el cuerpo que se genera al rotar las siguientes figuras alrededor del eje indicado. a.

b.

2. Dibuja las generatrices de los siguientes cuerpos por rotación, incluyendo los ejes correspondientes. a.

b.

3. De los cuerpos geométricos estudiados a lo largo de esta Unidad, ¿cuáles se pueden generar mediante rotaciones?, ¿qué tipo de rotaciones?

Áreas y volúmenes

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Unidad 4

En resumen


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 176

Área de cilindros y conos Observa el siguiente cilindro y cono.

g r

g r

Analicemos... • • • •

Recuerda que... El área de un círculo se puede calcular mediante la expresión π · r 2. (r: radio).

Pon atención La base del rectángulo coincide con el perímetro del círculo.

¿Qué figuras conforman la red de un cilindro?, ¿y las de un cono? Justifica. Si se conoce solo la longitud de la generatriz y del radio de la base, ¿se puede calcular el área del cilindro? Explica. ¿Qué medidas necesitas conocer para calcular el área de un cono?, ¿por qué? Si se trata de un cilindro oblicuo, ¿qué figuras conforman su red?, ¿su área depende de su inclinación?, ¿por qué?

En la siguiente imagen, que representa la red de un cilindro, se puede observar que la superficie lateral del cilindro está formada por un rectángulo, mientras que sus bases corresponden a círculos.

r g r

Observa que el ancho del rectángulo corresponde a la altura del cilindro, y su largo, al perímetro de la base. Luego, el área del cilindro está determinada por:

Acilindro = 2 · Acírculo + Arectángulo = 2 · πr 2 + 2πr · g = 2πr · (r + g) Donde g: generatriz o altura del cilindro; r : radio del círculo de la base. g r

Sector circular

176 | Unidad 4

α

En cambio, un cono está formado por un círculo (base) y por un sector circular. El arco del sector circular tiene longitud 2 · π · r (porque corresponde a la longitud de la circunferencia de la base). Por consiguiente, el área lateral de un cono es igual al área del sector circular. S·r 2·π·r·g Asc = = =π·r·g 2 2


El área de la base corresponde al área de un círculo, es decir, π · r 2, entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante la siguiente expresión: Acono = π · r · g + π · r 2 = π · r (g + r) El área de un cono truncado corresponde a la suma de las áreas de las bases del tronco del cono y el área lateral.

Recuerda que... El área de un sector circular está S·r dada por la expresión Asc = , 2 donde S es la longitud del arco de circunferencia y r es el radio del sector circular.

El área lateral se puede calcular como la diferencia entre el área lateral del cono, si estuviera completo, y la del cono menor que lo complementa, es decir: ALTronco de cono = π · R · (g + h) – π · r · g Utilizando el teorema de Thales, se puede demostrar que el área lateral del tronco de cono está dado por la expresión: ALTronco de cono = π · (R + r) · g Luego, junto con el área de cada una de las bases, el área del tronco de cono se puede calcular como: ATronco de cono = π · [(R + r) · g + R 2 + r 2]

R

g

g

g

En resumen •

El área de un cilindro se determina de la siguiente forma: Acilindro = 2 · π · r (r + g)

El área de un cono está dada por la expresión: Acono = π · r (r + g)

El área de un tronco de cono está dada por la fórmula: ATronco de cono = π [(R + r) · g + R 2 + r 2] (r : radio, R: radio de la otra base, g: generatriz).

Actividades 1. Un tarro tiene un diámetro de 10 cm y altura 30 cm. Calcula la cantidad de aluminio necesario para fabricarlo. 2. ¿En qué razón están las áreas de dos cilindros rectos de igual altura, si sus radios son uno el doble del otro? 3. El radio de la base de un cilindro y de un cono mide 6 cm. La altura del cono mide 8 cm. Determina cuál debe ser la altura del cilindro para que ambos tengan: a. la misma área lateral.

b. la misma área total.

Áreas y volúmenes

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Unidad 4

Página 177

R

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r

:Maquetación 1

UNIDAD 4 (156-193)C


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Volumen de cilindros Observa la siguiente ilustración:

h r

Analicemos... • • •

Recuerda que... El área de un círculo está dada por la expresión π · r 2 (r : radio).

Si las bases del prisma y del cilindro tienen igual área, ¿estos cuerpos tienen igual volumen?, ¿por qué? Si se conoce el área de la base del cilindro, ¿cómo se calcula su volumen? Explica. ¿El volumen de un cilindro depende de si es recto u oblicuo?, ¿por qué?, ¿y de su altura? Justifica.

Como se puede observar en la imagen, los cuerpos tienen igual altura, y si sus secciones planas tienen igual área, se puede aplicar el principio de Cavalieri; por lo tanto, el volumen del cilindro depende de la altura y del área de la base, al igual que en el caso del volumen del prisma, luego se tiene que:

Vcilindro = h · B (B: área de la base) 2 Vcilindro = h · π · r

En resumen •

El volumen de un cilindro se puede calcular mediante la siguiente expresión: V = h · π · r 2 , donde r es el radio del círculo de la base y h es la altura del cilindro.

Actividades 1. Un cilindro tiene 112π cm2 de área. Su altura es de 10 cm. a. Determina el diámetro de la base.

b. Calcula el volumen del cilindro.

2. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su altura se duplica? 3. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su radio se duplica?

178 | Unidad 4


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Para observar otros ejemplos de cuerpos generados por rotación, puedes abrir el applet que está disponible en la página web www.educacionmedia.cl/links/11M4179.html En la pestaña Sup. de revolución podrás observar cómo se generan una esfera, un cono y un cilindro, a partir de sus correspondientes generatrices. En la pestaña Torno podrás modificar un cilindro y así crear variados cuerpos generados por rotación: • En el recuadro Edición mueve los puntos rojos para modificar la generatriz, lo que inmediatamente transforma el correspondiente cuerpo y las demás vistas que se presentan. • Puedes cerrar la superficie completamente moviendo hacia el lado derecho el punto rojo que está bajo la palabra ABRIR. Obtendrás algo como lo que se muestra en la siguiente imagen:

Utilizando este applet, desarrolla las siguientes actividades: 1. Modifica los puntos rojos de modo que el cuerpo generado corresponda a un cilindro. Después, mueve los puntos de modo que el radio del cilindro sea aproximadamente el doble del anterior. ¿Qué puedes concluir respecto de sus volúmenes? 2. Luego, modifica los puntos para generar un cuerpo cuya generatriz sea un polígono, como el que se observa en la imagen. ¿Cómo se podría calcular el volumen de este cuerpo? Comenta con tus compañeros y compañeras.

Áreas y volúmenes

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Unidad 4

Herramientas tecnológicas


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Volumen de conos Así como se puede relacionar el volumen de un prisma con el de un cilindro de igual altura, también podemos relacionar el volumen de una pirámide con el de un cono de igual altura. Observa.

h

Analicemos... • • •

Recuerda que... Los conos son cuerpos generados por rotación de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus catetos. C C

Generatriz (g)

Si la base de la pirámide y la del cono tienen igual área, ¿se puede afirmar que estos cuerpos tienen igual volumen?, ¿por qué? ¿En este caso también se aplica el principio de Cavalieri? Justifica. Si se conoce el radio de la base y la altura del cono, ¿qué expresión se puede utilizar para calcular su volumen? Explica.

La pirámide y el cono de la imagen anterior tienen la misma altura y sus bases tienen igual área. Según el principio de Cavalieri, si sus secciones planas a la misma altura son iguales, los volúmenes también lo son; por tanto, se puede calcular el volumen a partir del volumen de la pirámide. 1 Vpirámide = Vcono = h · B (B: área de la base) 3 Luego,

A

B

B r

Vcono =

1 h · π · r2 3

Del mismo modo que en otros cuerpos, la expresión para calcular el volumen del cono no cambia si se trata de un cono recto u oblicuo; de hecho, no depende de su inclinación, sino de su altura. Esto también se explica por el principio de Cavalieri. En el caso de un tronco de cono, el volumen se puede calcular como la diferencia entre el volumen del H cono, si estuviera completo, y el cono menor que lo complementa, es decir: 1 1 VTronco de cono = πHR 2 – πar 2 3 3

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a r h R

R


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Unidad 4

Utilizando el teorema de Thales, se puede demostrar que el volumen del tronco del cono está dado por la expresión: 1 VTronco de cono = πh(r 2 + R 2 + r · R), donde R y r son los radios de 3 las bases y h es la altura del tronco de cono. Observa que esta expresión depende solo de la altura y del radio de cada base. Ejemplo Calcula el volumen de un tronco de cono cuyos radios basales miden 10 y 6 cm, y cuya generatriz mide 8 cm. Se puede aplicar el teorema de Pitágoras para obtener la altura del tronco. Observa. 2

2

h = 8 − 4 = 48

6 cm

8 cm

utilizamos las medidas del triángulo formado por la generatriz, la altura y la diferencia entre los radios

Luego, se remplazan los valores correspondientes en la expresión del volumen. 1 V = π 48 (102 + 62 + 10 · 6) = 48 π · 196  1422 cm3. 3 3

10 cm

En resumen • •

1 El volumen de un cono está dado por la expresión V = π · r 2 · h donde r es el radio de la 3 base del cono y h es su altura. El volumen de un tronco de cono está dado por la expresión: 1 VTronco de cono = πh(r 2 + R 2 + r · R), donde R y r son los radios de las bases y h es su altura. 3

Actividades 1. Calcula el área de un cono recto cuya generatriz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm. 2. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros con forma similar a un cono de dimensiones 40 m de radio y 10 m de altura. Si el salitre acumulado debe ser transportado en un camión con capacidad de carga de 300 m3, ¿cuántos viajes debería realizar el camión?, ¿cómo lo supiste? 3. Considera el tronco de cono generado por la rotación de un trapecio recto cuyas bases miden 11 y 6 cm y cuya generatriz mide 13 cm. Calcula y explica, paso a paso, cómo lo calculaste: a. la altura del tronco de cono. b. el volumen del tronco de cono que se genera.

Áreas y volúmenes

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 182

Volumen y área de la esfera Uno de los hallazgos más apreciados del matemático griego Arquímedes fue determinar cómo calcular el volumen de la esfera. El procedimiento que utilizó consistió en relacionar las secciones planas de una semiesfera, un cilindro y un cono, todos de altura R y radio R, generadas al intersecar estos cuerpos por un plano paralelo a las bases a una distancia h del punto O. Observa. O h

r1

O h

R

R R

O h r P 2

Q R

Sección de la semiesfera (A1)

Sección del cilindro (A2)

Sección del cono (A3)

Analicemos... • • • •

¿Cuál es el área de la sección del cilindro?, ¿por qué? ¿Cuál es el área de la sección del cono?, ¿se puede representar en términos de la distancia h? Justifica. ¿Cuál es el área de la sección de la semiesfera?, ¿cómo se puede representar en términos de R y h? Explica. Aplicando el principio de Cavalieri, ¿se puede calcular el volumen de la esfera?, ¿por qué?

Arquímedes observó que cuando se corta la semiesfera, el cilindro y el cono por un plano paralelo a las bases, las áreas de las secciones producidas en la semiesfera (A1), en el cilindro (A2) y en el cono (A3) verifican la siguiente relación: A1 = A2 – A3 En la imagen de la situación inicial se puede observar que:

A1 = πr 12 = π · (R 2 – h2) = πR 2 – πh 2 = A2 – A3

aplicando el teorema de Pitágoras por distributividad ya que, en este cono, h = r2

Entonces, se puede aplicar el principio de Cavalieri para calcular el volumen de la semiesfera, si se considera el cilindro y el cono. Como estos cuerpos tienen la misma área basal y la misma altura, se tiene que Vsemiesfera = Vcilindro – Vcono

Pon atención R es la altura del cilindro y del cono.

Vsemiesfera = π · R 2 · R –

1 1 2 · πR 2 · R, = πR 3 – · πR 3 = · πR 3 3 3 3

Finalmente, el volumen de la esfera es claramente el doble del de 4 la semiesfera, esto es: Vesfera = · πR 3. 3

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 183

Unidad 4

A diferencia de los poliedros, del cono y del cilindro, en el caso de la esfera no es posible dibujar su red, por lo que para calcular el área de la esfera nos apoyaremos en el cálculo de su volumen. El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volúmenes de muchas pirámides triangulares iguales, cuyas bases están inscritas en la esfera y cuyos vértices están en el centro de la esfera, como se muestra en la siguiente imagen:

El volumen de la esfera equivale a la suma de los volúmenes de todas las pirámides (supongamos n pirámides). Se obtiene: 1 1 1 1 Vesfera = B · h + B2 · h + ... + B ·h= (B1 + B2 + ... + Bn) · h 3 1 3 3 n 3 Observa que la suma de las bases de las pirámides B1 + B2 + ... + Bn equivale al área total de la esfera, y h, en este caso, es igual a r, el radio de la esfera; entonces: 1 4 Vesfera = Aesfera · r = πr 3, luego, despejando, Aesfera = 4πr 2. 3 3

Pon atención • B1, B2, ..., Bn corresponden al área de la base de cada pirámide. • La forma de aproximar por “infinitos infinitesimales” mostrada aquí es habitual en Matemática, en niveles superiores, aunque requiere mucho cuidado y rigurosidad.

En resumen • •

4 · πr 3 3 El área de la esfera de radio r es Aesfera = 4πr 2 El volumen de la esfera de radio r es V =

Actividades 1. Calcula el volumen y el área de una esfera de 6 cm de radio. 2. Una esfera, un cilindro y un cono tienen igual radio. La suma de los volúmenes del cilindro y del cono, ¿puede ser equivalente al volumen de la esfera? Justifica. 3. Una esfera está inscrita en un cubo de 6 cm de arista, es decir, las caras son tangentes a la esfera. Calcula el volumen y el área de la esfera.

Áreas y volúmenes

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 184

Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

CUERPOS REDONDOS

se calcula su

son generados por

ROTACIÓN DE UNA VOLUMEN

ÁREA

mediante

mediante

PRINCIPIO DE CAVALIERI

su

pueden ser

ESFERA

SUPERFICIE GENERATRIZ

CILINDRO CONO APROXIMACIONES RED

PIRAMIDALES

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿Cuándo se dice que un cuerpo es generado por rotación? Justifica. ¿Cuál es la diferencia entre cono y cilindro? ¿Cómo se relaciona el volumen de un cilindro con el de un cono?, ¿y con el de una semiesfera? Explica. ¿Qué características tiene un tronco de cono? ¿Cómo se relaciona el volumen de un cono truncado con el volumen del cono en general? Explica. ¿Qué relación hay entre el volumen del cono y el volumen del cilindro, si tienen iguales bases y alturas? Justifica. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

184 | Unidad 4


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 185

Unidad 4

Mi progreso 1. Dibuja los cuerpos generados por rotación que se obtienen al girar las siguientes figuras alrededor del eje, en cada caso.

2. Determina el radio de la base de un cilindro sabiendo que su área lateral es 1507,2 cm2 y la generatriz mide 40 cm. ¿Cuál es su volumen?, ¿cómo lo calculaste? 3. Un cubo y una esfera tienen la misma área: 216 cm2. ¿Cuál tiene mayor volumen?, ¿por qué? 4. El radio de la base de un cilindro y de un cono mide 8 cm. La altura del cilindro es de 10 cm. Averigua cuál debe ser la generatriz del cono para que ambos tengan: a. la misma área lateral. b. la misma área total. c. igual volumen. 5. Un cono generado por rotación de 6 cm de radio y 8 cm de altura es cortado por un plano paralelo a la base en el punto medio de su altura. Determina el área del tronco de cono resultante. 6. La superficie de una esfera es 100π cm2. Entonces, su volumen mide: A. B. C. D. E.

72π cm3 144π cm3 188π cm3 288π cm3 Ninguna de las anteriores.

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEMS

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Determinar cuerpos generados por rotación a partir de su generatriz.

1

174 y 175

Determinar el área y volumen de un cilindro.

2y4

176, 177 y 180

Determinar el área y volumen de un cono.

4y5

177, 180 y 181

Determinar el volumen de una esfera.

3y6

182 y 183

Áreas y volúmenes

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UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 186

Cómo resolverlo Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. Una empresa que fabrica bolas de cristal las envasa dentro de una caja cúbica de cartón, como se muestra en la figura.

Recuerda que... Se dice que un cuerpo está inscrito en otro si se ha trazado dentro de él, de manera que tienen puntos comunes, sin cortarse.

25 cm 12,5 cm

a. Determina el volumen comprendido entre el cubo y la bola, si está inscrita en él. b. Si ahora el envase es un cilindro de radio 13 cm y altura 25 cm, ¿qué volumen hay entre el envase y la bola? c. ¿Cuál de las dos opciones es mejor para la empresa si quisiera ahorrar en el material que utiliza como relleno entre el envase y la bola? Solución a. Para calcular el volumen, se calcula la diferencia entre el volumen del cubo y el de la esfera correspondiente a la bola de cristal.

Vcubo = 253 = 15 625 cm3 4 15 625 Vesfera = π · (12,5)3 = π  8181 cm3 3 6 Vespacio = 15 625 – 8181 = 7444 cm3 b. Ahora, se calcula el volumen del cilindro.

Vcilindro = π · 132 · 25 = 4225π  13273 cm3 Vespacio = 13 273 – 8181 = 5092 cm3 c. En el caso del cubo, el espacio restante mide 7444 cm3; en cambio, utilizando un cilindro, el espacio es de 5092 cm3. Luego, el envase cilíndrico es mejor para la empresa.

186 | Unidad 4


:Maquetación 1

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Página 187

Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. Un cubo está inscrito en un cilindro cuya base tiene 8 cm de radio. Calcular el volumen que hay entre el cilindro y el cubo. 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedimiento que utilizaste en cada caso con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Una pirámide de base hexagonal, cuya arista basal mide 9 cm y su altura 12 cm, está inscrita en un cilindro. Determina el volumen que hay entre el cilindro y la pirámide. b. En una esfera con radio de 15 cm se inscribe un cilindro circular recto con un diámetro igual al radio de la esfera. Calcula el área lateral de este cilindro. c. Un cilindro de 8 cm de altura está inscrito en un cono cuya generatriz mide 15 cm y su altura 12 cm. Calcula el área y el volumen del cilindro.

d. Observa la siguiente figura: representa una pieza industrial, un paralelepípedo recto en que se ha taladrado un cilindro de 3 cm de radio.

9 cm

9 cm 20 cm

• Calcula su volumen y, luego, exprésalo en metros cúbicos. • Calcula su área total. e. Calcula el volumen de una pirámide, su altura es la diagonal de un cubo de 1 m de lado, y su área basal es igual al área total de un cilindro inscrito en otro cubo de 2 m de arista.

Áreas y volúmenes

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Unidad 4

UNIDAD 4 (156-193)C


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Página 188

En terreno vases Diseño de en

r, disger, manipula te ro p r, e n te n para con ctivo, de tes que sirve roceso produ n p ie p su ci e re d n a p so rtón, entre Los envases cualquier eta lástico o de ca roductos, en p p r e d ta , n o ri se d re vi p tribuir y ede ser de . El envase pu ta n ve o n ó ci distribu les. plo aceite, otros materia como por ejem s, o id u q lí s o esuct otro envase o nte para prod n e e lm o rt ra e se n e in g r a liza l pro. Puede est El vidrio se uti n presentar e ié entos, etcétera b m m a ic ta d y e o m rl s, e ón de proteg bebidas, licore mple la funci cu e u q n ó rt ciales clientes. tuche de ca ara los poten p a iv ct a tr a era genio para ducto de man eatividad e in cr n co n a ñ e is d ue se da producto q es de cartón se ca ch e u u st q e s ya lo , , o vo debe del product Por este moti r otra parte, se ara la compra o p P . e a ch ci n n a te g e n p e amplia com encarezca que sirvan de enta con una para que no cu se o d va a n e rc l e e m l n ofrece en e l utilizado e d de materia a d ti n ca la r considera l. el precio fina excesivamente

eite. Botellas con ac

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:Maquetación 1

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Página 189

Actividades 1. Observa las botellas de la fotografía de la página anterior. Supón que te han encargado diseñar un envase de cartón para cada una de ellas, ¿qué forma podría tener el envase, en cada caso?, ¿por qué? 2. ¿Cuáles son las dimensiones relevantes en cada caso?, ¿qué otras características son importantes de considerar? Explica. 3. Planifica un estudio comparativo que permita decidir cuál es la forma más adecuada para el diseño de envases de cartón para estas botellas. ¿Con cuál de ellas se utilizaría menor cantidad de cartón en su fabricación? Justifica.

Investiguemos... 1. Forma un equipo con dos compañeros o compañeras más. Analicen las propuestas de envases ideadas por cada uno, compárenlas, y determinen cuál de ellas cumple con las condiciones de proteger adecuadamente el envase de vidrio, con la menor cantidad de cartón utilizado. 2. Busquen en sus hogares un frasco o botella de forma irregular, como por ejemplo una alcuza, un frasco de colonia o una botella decorativa. Midan sus dimensiones y detallen si tienen otras características relevantes para el diseño. 3. Diseñen tres envases de cartón para la botella que escogieron. Utilicen distintos cuerpos geométricos para cada uno. a. Dibujen cada uno de los envases detalladamente, registrando todas las medidas. b. Dibujen la correspondiente red del envase y calculen su área. c. Según las características de la botella, diseñen una marca para su producto y la decoración que podría tener el envase. d. Construyan con cartón o cartulina un ejemplo de cada envase. 4. Realicen una encuesta a veinte personas o más, para determinar cuál de los envases que crearon tiene más aceptación entre los potenciales clientes. Luego, elaboren un resumen de la encuesta, que incluya sus gráficos, y presenten sus conclusiones.

Evaluemos nuestro trabajo • ¿El estudio comparativo realizado les permitió determinar cuál de los envases utilizaba más cartón en su construcción? • ¿Lograron determinar las dimensiones necesarias y las características específicas que deben tener los envases? • Comparen sus resultados con los de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron algo distinto, que tu grupo no consideró?, ¿qué pueden concluir?

Áreas y volúmenes

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Unidad 4

UNIDAD 4 (156-193)C


UNIDAD 4 (156-193)C

:Maquetación 1

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Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

ÁREAS Y VOLÚMENES

ÁREA

VOLUMEN

PRISMAS

PIRÁMIDES CONOS

ESFERAS CILINDROS

PROYECCIONES EN EL PLANO

PRINCIPIO DE CAVALIERI CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN

CUERPOS GENERADOS POR TRASLACIÓN

A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. 2. 3. 4. 5.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿Qué medidas es necesario conocer para calcular el volumen de un tronco de cono?, ¿por qué? ¿En qué consisten las proyecciones en el plano? Explica. ¿El volumen de un cuerpo geométrico depende de su inclinación?, ¿por qué?, ¿y de su área? Justifica. ¿Dos cuerpos podrían tener igual altura, pero distinta base y aun así tener igual volumen? Explica mediante dos ejemplos distintos. 6. ¿Cuál es la diferencia entre los cuerpos generados por rotación y por traslación? Explica. 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

190 | Unidad 4


UNIDAD 4 (156-193)C

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I.

Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Se conoce como alzado a la proyección del plano vista desde uno de los lados. El volumen de un cilindro es el doble del volumen de un cono de igual base e igual altura. Las proyecciones del plano se conocen como planta, alzado y perfil. El principio de Cavalieri se puede aplicar a dos cuerpos geométricos cualesquiera. El volumen de un prisma es el triple del volumen de una pirámide de igual base e igual altura. El área de un cuerpo geométrico no incluye el área de la o las bases.

II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. Imagina que un rectángulo de lados 4 cm y 6 cm gira en torno a su lado menor. a. Dibuja el sólido que se genera. b. Calcula el volumen del sólido. c. Compara el volumen del sólido anterior con el que se generaría si la rotación fuera respecto al lado mayor. d. ¿Qué condiciones debe satisfacer el rectángulo para que el volumen del sólido generado por la rotación en torno a uno de sus lados sea igual al doble del volumen del sólido generado por una rotación en torno al otro lado? Justifica. 2. La siguiente lata de conservas tiene un diámetro de 8 cm y una altura de 13 cm. a. ¿Cuál es el área total de sus bases? b. Calcula el área de la etiqueta de papel que cubre la lata. c. Calcula el volumen de la lata.

3. El radio de la Tierra es de 6370 km y el de la Luna 1738 km. ¿Cuántas veces mayor es el volumen de la Tierra? 4. Una empresa que vende jugo de fruta en envases con forma de paralelepípedo recto, de medidas 11, 6 y 15 cm, decide cambiar dichos envases por otros en los que disminuye un 10% el área de la base y aumenta un 10% la altura. a. El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o menor que el del antiguo? b. Si mantienen el mismo precio, ¿es positivo para los consumidores? 5. En una habitación de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura se requiere almacenar cajas de 1 m de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de altura. ¿Cuántas cajas se pueden almacenar en esta habitación?

Áreas y volúmenes

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Unidad 4

Evaluación


UNIDAD 4 (156-193)C

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III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.

1. Si la medida de cada una de las aristas de un cubo aumenta en un 20%, entonces su volumen aumenta en: A. B. C. D. E.

10% 21% 30% 60% 72,8%

2

E. R = a

3

5. En la figura se representa la mitad de un anillo circular. El volumen generado al girar este anillo en torno al eje indicado es: 16 π cm3 3 B. 128π cm3

A.

2. Una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 2a unidades tiene el mismo volumen que un prisma cuya base es un cuadrado de lado a. ¿En qué razón están las alturas de la pirámide y del prisma? A. B. C. D. E.

D. R = a

1:4 3:4 4:3 a:3 3:2

C. 32π cm3

2

224 π cm3 3 E. 208π cm3 D.

6. En la imagen está representado un cuerpo generado por una revolución de alguna figura plana. Indica la o las posibles figuras generadoras. 2a

2a

a

3. La medida de la altura de un cono recto es igual al triple del radio basal. Su volumen es: 1 π r3 3 B. πr 3

A.

C. 3π r

2

I

3

D. 9π r 3 E. Ninguna de las anteriores. 4. Un cubo de arista a está inscrito en una esfera de radio R. Entonces se cumple: A. a = 2R B. 2R = a

2

C. 2R = a

3

192 | Unidad 4

A. B. C. D. E.

Solo I Solo III Solo II I y II I y III

II

III


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7. (Ensayo PSU, 2004) En la figura, se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si OT = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es: T A. B. C. D. E.

9π cm3 π cm3 36π cm3 27π cm3 18π cm3

D. 5 cm E. Ninguna de las anteriores.

8. El volumen de la pirámide de base cuadrada es 96 cm3. ¿Cuál es el volumen de la pirámide superior si su altura es la mitad de la pirámide mayor? 96 cm3 64 cm3 48 cm3 36 cm3 12 cm3

12. El volumen de un prisma hexagonal de base 5 cm2 y altura 10 cm es:

A. B. C. D. E.

6 cm

9. El volumen de un tronco de cono cuyas medidas son r = 6 cm; R = 10 cm; h = 4,8 cm, es: A. B. C. D. E.

3 cm 5 5 B. cm 3 A.

C. 3 cm

O

A. B. C. D. E.

11. La altura de un cono mide 12 cm. Para que su volumen sea 100π cm3, su radio basal debe medir:

3

900 cm 908,5 cm3 985,2 cm3 890 cm3 Ninguna de las anteriores.

738 cm3 821 cm3 785 cm3 10 cm 684 cm3 Ninguna de las anteriores.

10 cm 10 cm

10 cm

13. Se construye un molde para elaborar barras de metal. Para ello, a un prisma recto de base triangular se le quita la parte que se indica en la figura. ¿Cuánto es el volumen del molde?

10. ¿Cuál es el volumen comprendido entre el cubo y el cono de la figura? A. B. C. D. E.

15 cm3 50 cm3 10 cm3 150 cm3 210 cm3

10 cm

A. B. C. D. E.

26 cm

100,62 m3 1000 m3 1050,2 m3 1062,75 m3 No se puede determinar.

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Áreas y volúmenes

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Unidad 4

UNIDAD 4 (156-193)C


UNIDAD 5 (194-223)C

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5

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Estadística I

TRABAJANDO CON:

APRENDERÁS A:

Antecedentes históricos

Conocer algunos hitos en el desarrollo de la Estadística.

Datos

Ordenar y organizar la información.

Población

Muestra

Identificar una muestra representativa.

Medidas de tendencia central

Determinar valores representativos.

Tablas

Analizar gráficos.

Gráficos

Usar el computador para representar la información.

194 | Unidad 5


UNIDAD 5 (194-223)C

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Conversemos de... Investigadores de diversas áreas enfrentan, en algún momento, el problema de analizar y comprender un conjunto de datos relevantes para su estudio. Si la información se refiere a una muestra o población, será necesario organizar e interpretar los datos para obtener de ellos la información que se requiere. Por ejemplo, hoy en día no se entendería una campaña publicitaria para lanzar un nuevo producto al mercado sin los estudios previos basados en la información que aporta la Estadística. En general, la mayoría de las empresas tienen su departamento de estudios estadísticos que se encarga de recopilar, organizar y analizar los datos referentes a un determinado producto.

Latinstock

1. ¿Cómo se pueden ordenar estos datos? 2. ¿Cuál es la utilidad de una tabla de datos?, ¿y de un gráfico? 3. ¿Qué tipos de gráficos puedes observar en la imagen?, ¿por qué se utilizan distintos tipos de gráficos?, ¿cuál es la ventaja de cada uno? 4. En el caso de un estudio de mercado para diseñar una nueva mochila, si se realizara una encuesta, ¿qué información se podría preguntar?, ¿qué conclusiones se pueden obtener al analizar sus respuestas? Explica.

Estadística I|

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UNIDAD 5 (194-223)C

:Maquetación 1

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¿Cuánto sabes? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. 1. En la siguiente tabla se muestra el número de alumnos y alumnas que hay en 4º Medio en un colegio, agrupados por curso y por sexo. Niñas

Niños

4º A

20

25

4º B

22

23

Escribe la razón entre: a. el número de niñas y el número de niños del 4º A. b. el número de mujeres y el número de hombres. c. los estudiantes del 4º A y del 4º B. 2. Completa la siguiente tabla: Porcentaje

Fracción

Fracción irreductible

Expresión decimal

75%

75 100

3 4

0,75

62 100 1 50 0,3333... 90%

3. Indica qué números enteros están contenidos en los siguientes intervalos: a. [2, 9]

b. ]–3, 3[

c. ]0, 1[

d. [–1, 10]

4. Encuentra un intervalo de números reales que cumpla con lo pedido. 1 1 ,0y– . 2 3 b. Un intervalo que contenga todos los números mayores que 5. a. Un intervalo abierto que contenga a

c. Un intervalo que no contenga números positivos. d. Un intervalo semiabierto que no contenga ni al 8,3 ni al

196 | Unidad 5

7 . 10


:Maquetación 1

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Unidad 5

UNIDAD 5 (194-223)C

5. En la siguiente tabla se muestra la población por grupos de edad del censo de 2002. Completa los recuadros de la tabla con la frecuencia acumulada. Grupos de edad

Habitantes

0-14

3 890 126

15-24

2 481 515

25-39

3 627 915

40-49

2 036 424

50-64

1 862 879

65 y más

1 217 576

Frecuencia acumulada

6 . Redondea los siguientes números decimales a la centésima: a. 4,5656 b. 8,77779

c. 63,3532 d. 0,9876

e. 234,1222 f. 1,00494

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? a . 100 34 17 Ejemplo: 34% se representa por . Su fracción irreductible es y la expresión decimal 100 50 equivalente es 0,34.

El a% de un número se puede representar con la fracción

[a, b] es la representación del intervalo cerrado que contiene a a y a b y a todos los números comprendidos entre ellos. ]a, b[ es la representación del intervalo abierto que solo contiene a aquellos números que están comprendidos entre a y b. [a, b[ o ]a, b] son representaciones de un intervalo semiabierto que contiene a a o b, según sea el caso y a los valores comprendidos entre a y b. Frecuencia: es la cantidad de veces que ocurre un suceso. Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias observadas hasta un cierto valor.

• • • •

Estadística I

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UNIDAD 5 (194-223)C

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Orígenes de la Estadística En 1662 John Graunt (1620-1674), un mercader inglés, publicó un estudio titulado “Observations made upon the bills of mortality” (Comentarios sobre las partidas de defunción). Graunt anotó las siguientes conclusiones: de 100 bebés que nacían el mismo día, el número esperado de supervivientes, según pasaban los años, se refleja así: Edad en años

Muertos

Supervivientes

6

36

64

16

24

40

26

15

25

36

9

16

46

6

10

56

4

6

66

3

3

76

2

1

86

1

0

Analicemos... • • • •

¿Qué tipo de datos tuvo que observar Graunt para elaborar esta tabla? ¿Sería suficiente con analizar los datos correspondientes a un día específico?, ¿por qué? Justifica. Observando la tabla anterior, ¿qué puedes concluir? Comenta tus conclusiones con tus compañeros y compañeras. Antes del estudio de Graunt, ¿qué situaciones conocidas de la Historia corresponden a estudios estadísticos? Averigua y comenta.

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de recopilar datos, pues se utilizaban representaciones gráficas en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas, para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a. C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola, en tanto los egipcios realizaban un censo de población y riqueza mucho antes de construir las pirámides. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. C. Los griegos, hacia el año 594 a. C., realizaban censos cuya información se utilizaba para cobrar impuestos.

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UNIDAD 5 (194-223)C

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En América, los incas disponían de un medio de información basado en los quipus. Se podía conocer cuántos hombres vivían en determinada región, sexo, cronología, estado civil, jerarquía, número de animales, alimentos, etc. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 John Graunt, como se mencionó anteriormente, publicó el primer estudio estadístico de población. El estudio contenía, por primera vez, conclusiones acerca de algunos aspectos relacionados con estos datos. Esta obra es considerada como el punto de partida de la Estadística moderna.

Unidad 5

El Imperio Romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Cada cinco años realizaban un censo de la población, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matrimonios eran esenciales para estudiar los avances del Imperio.

Glosario quipu: cuerdas o varas de las que pendían conjuntos de cuerdas de diferentes largos y colores que se ataban con nudos de formas diversas. Se empleaban también como apoyo para contar historias.

En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos, para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la Estadística tiene importancia para presentar, relacionar y analizar información relacionada con datos de diversas áreas. El trabajo de un estadístico ya no consiste solo en reunir y tabular los datos, sino en analizar e interpretar correctamente esa información, para inferir y predecir lo que podría ocurrir según ciertas tendencias y así orientar mejor la toma de decisiones.

Actividades 1. Averigua en qué parte del libro “Números”, del Antiguo Testamento, se hace referencia a censos o recuentos estadísticos. ¿Qué semejanzas hay con los censos actuales? 2. Junto con un compañero o compañera, averigua sobre cuatro áreas distintas en las cuales se utilice la Estadística como herramienta de investigación. Justifica. 3. En tu vida diaria, ¿qué información de la que recibes involucra la Estadística?, ¿en qué situaciones la Estadística te puede servir para tomar decisiones? 4. ¿Por qué crees tú que la Estadística demoró tanto tiempo en desarrollarse?

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UNIDAD 5 (194-223)C

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Población y muestra Gabriel y Valentina preparaban una disertación sobre la tenencia responsable de mascotas y decidieron realizar una encuesta a todos los alumnos y alumnas del colegio, preguntando: ¿tienes una mascota en tu casa? y, después, ¿qué mascota tienes?, ¿qué cuidados le brindas? Pero, luego, supieron que en el colegio había casi 2000 estudiantes, y reconocieron que se enfrentaban a una tarea lenta y compleja. Entonces, Gabriel propuso encuestar solo a 200 estudiantes.

Veterinario atendiendo a una mascota.

Analicemos... • •

• •

Glosario muestra: subconjunto o subgrupo de la población. población: totalidad de los individuos, objetos u observaciones que poseen al menos una característica en común.

Si se demoraran, en promedio, dos minutos en realizar la encuesta, ¿a cuántos estudiantes podrían encuestar en una hora? Si cada uno destinara dos horas diarias a realizar la encuesta, ¿alcanzarían a encuestar a todos los alumnos y alumnas del colegio en una semana?, ¿por qué? La propuesta de Gabriel, ¿les permitirá obtener resultados similares que si los encuestaran efectivamente a todos? Justifica. ¿Cómo deberían escoger a los y las estudiantes para asegurarse que el grupo escogido va a representar fielmente a los alumnos y alumnas del colegio? Explica.

En muchas ocasiones, para llevar a cabo un estudio se hacen encuestas, las cuales son dirigidas a una muestra representativa de la población. Una vez realizado el estudio, se asume que se obtendrían los mismos resultados si se hubiese encuestado a todos los individuos de la población total. Es por ello que es muy importante que esta muestra debe ser de tal forma que represente a la población. Al hablar de representatividad de una muestra, lo que se quiere decir es que se espera que este subgrupo sea una especie de copia pequeña de la población total. En la situación de Gabriel, la población corresponde a todos los alumnos y las alumnas del colegio. Luego, ¿qué ocurriría si Gabriel considera alguna de las siguientes muestras?: • • •

200 | Unidad 5

solo los alumnos de Quinto y Sexto Año Básico. solo las alumnas de Tercero y Cuarto Año Medio. solo los alumnos y las alumnas de Primer Año Básico.


UNIDAD 5 (194-223)C

:Maquetación 1

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Unidad 5

Como puedes ver, en todos los casos anteriores, Gabriel estaría excluyendo a una parte de la población, por lo que ninguna de estas muestras es representativa. En cambio, si Gabriel encuesta solo a ocho o nueve alumnos y alumnas al azar por cada curso, esta muestra sí representa a la población del estudio, ya que de esta manera obtiene información de alumnos de distintas edades. Ahora, si la población correspondiera a 2000 estudiantes, pero todos fueran alumnos de Cuarto Año Medio, quizás sería suficiente con encuestar a 100 estudiantes, ya que tienen características similares. Si los individuos que componen la población son muy distintos entre ellos, es necesario tomar una muestra de tamaño más grande que en el caso de que los individuos que componen la población sean similares.

Actividades 1. Clasifica lo que representa cada proposición según los conceptos de Estadística, dado un estudio referido a los hábitos de comida en Chile. a. Todos los chilenos. b. Las personas encuestadas.

c. La edad de las personas encuestadas. d. El sexo de las personas encuestadas.

2. Determina cuáles de las siguientes muestras son representativas. Justifica. a. Se aplicó una encuesta durante la campaña para la elección de senadores de una región. El muestreo se realizó seleccionando 2000 personas al azar, a las cuales se las llamó por teléfono. Para la selección se usó la guía de la región. b. En un hospital se hace una encuesta acerca de los hábitos alimenticios de los pacientes; para ello, cada médico debe encuestar a tres pacientes en una semana; la selección debe ser al azar. c. En un club social y deportivo quieren saber qué deportes nuevos les interesan a sus asociados; para ello encuestaron a los asistentes a un bingo un día sábado.

En resumen •

Población corresponde a la totalidad de personas, eventos o cosas de las cuales se desea hacer un estudio, y tienen una característica en común que se quiere medir.

Una muestra es un subconjunto o subgrupo de la población. La representatividad de la muestra no tiene que ver necesariamente con su tamaño, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.

Estadística I

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UNIDAD 5 (194-223)C

:Maquetación 1

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Página 202

Ordenando la información Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes a las estaturas de ochenta estudiantes de Cuarto Año de Educación Media. 1,62

1,72

1,81

1,72

1,70

1,83

1,80

1,88

1,68

1,75

1,80

1,86

1,70

1,84

1,82

1,83

1,81

1,77

1,73

1,75

1,73

1,77

1,62

1,83

1,80

1,72

1,71

1,85

1,80

1,69

1,82

1,69

1,75

1,81

1,64

1,76

1,70

1,80

1,75

1,84

1,81

1,80

1,72

1,80

1,72

1,88

1,75

1,79

1,82

1,79

1,72

1,67

1,70

1,75

1,72

1,77

1,72

1,73

1,83

1,76

1,83

1,77

1,72

1,77

1,75

1,84

1,83

1,79

1,82

1,76

1,71

1,76

1,74

1,88

1,64

1,80

1,72

1,75

1,79

1,77

Estudiantes de Cuarto Año Medio.

Analicemos... • •

¿Cuántos alumnos y alumnas miden más de 1,60 m?, ¿cuántos de ellos miden más de 1,80 m? ¿Cómo organizarías estos datos para analizar mejor las estaturas de los y las estudiantes? Explica.

Para organizar datos muy numerosos, es usual agruparlos en clases o categorías. Al determinar cuántos datos pertenecen a cada clase, se puede establecer la frecuencia. Así, se construye una tabla de datos llamada tabla de frecuencias. En ocasiones, el agrupar los datos en intervalos para construir una tabla de frecuencias, nos puede ayudar para realizar un mejor análisis de ellos. Observa.

Recuerda que... El rango está dado por la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de una variable.

202 | Unidad 5

Estatura mayor: 1,88 m; estatura menor: 1,62 m; rango: 1,88 – 1,62 = 0,26. Luego, el rango es de 26 cm. Se forman seis intervalos. Para calcular el tamaño de cada uno, podemos calcular 26 : 6 = 4,3333… , lo que nos indica que el tamaño de cada intervalo puede ser 5 cm, o bien 0,05 m.


:Maquetación 1

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Página 203

Pon atención

Se obtiene la siguiente tabla: Intervalo

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa porcentual

[1,60, 1,65[

4

4 80

5%

[1,65, 1,70[

4

4 80

5%

[1,70, 1,75[

20

20 80

25%

[1,75, 1,80[

22

22 80

27,5%

[1,80, 1,85[

24

24 80

30%

[1,85, 1,90[

6

6 80

A veces, por efecto de las aproximaciones, es posible que la suma de las frecuencias relativas porcentuales no sea exactamente 100%.

Recuerda que...

7,5%

Variable estadística: característica o atributo que se observa en cada uno de los individuos u objetos. Son cuantitativas, si se relacionan con características numéricas, o cualitativas, si se relacionan con características que representan una cualidad.

En resumen •

La frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que forma dicha clase, mientras que la frecuencia relativa corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos, la cual también se puede expresar mediante el uso de porcentajes.

Para construir una tabla de frecuencias para datos agrupados, se determina el tamaño de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desea obtener. Se recomienda tomar como longitud de los intervalos un valor entero que sea mayor o igual al cociente obtenido.

Actividades 1. Los siguientes datos corresponden a la duración en horas, de uso continuo, de cuarenta dispositivos electrónicos iguales, sometidos a un control de calidad. 480 775 890 830 886

496 712 590 452 714

724 683 750 810 676

780 830 489 720 760

801 560 725 680 880

570 826 666 680 570

802 560 746 660 895

795 794 668 490 660

Construye una tabla de distribución de frecuencias agrupadas que considere las columnas: intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia relativa.

Estadística I

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Unidad 5

UNIDAD 5 (194-223)C


UNIDAD 5 (194-223)C

:Maquetación 1

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16:54

Página 204

Análisis de gráficos Observa los siguientes gráficos, que representan la frecuencia de accidentes de tránsito, según la hora del día en que ocurren. 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

0

04

:0

:0

00

02

0

a0

1: 5 a0 9 :0 3:59 0 06 a 05 :0 0 :59 08 a 07 :0 0 :59 10 a 09 : :0 0 59 12 a 11 :0 0 :59 14 a 13 :0 :5 0 9 16 a 15 :0 : 5 0 9 18 a 17 :0 0 :59 20 a 19 :0 0 :59 22 a 21 :0 0 :59 a2 3: 59

0

00:00 a 01:59 02:00 a 03:59 04:00 a 05:59 06:00 a 07:59 08:00 a 09:59 10:00 a 11:59 12:00 a 13:59 14:00 a 15:59 16:00 a 17:59 18:00 a 19:59 20:00 a 21:59 22:00 a 23:59

Fuente: Carabineros de Chile, Anuario estadístico de tránsito. Santiago, 2006, www.carabinerosdechile.cl

Analicemos... • • • •

¿Qué puedes concluir de la información presentada, en cada caso? ¿Cómo se llaman los gráficos anteriores?, ¿cuáles son sus características, en cada caso? ¿Cuál de los gráficos anteriores te parece que representa mejor la información?, ¿por qué? ¿Existe alguna información o dato que se aprecie claramente en uno de los gráficos, pero que sea imposible de deducir en el otro? Justifica.

Los gráficos se utilizan para ilustrar y presentar un conjunto de datos relacionados entre sí, de manera que se facilite su comprensión, comparación y análisis. Según sus características y la cantidad de datos, conviene utilizar uno u otro gráfico. Por ejemplo, los gráficos circulares no se recomiendan cuando las variables tienen muchos valores posibles, mientras que los histogramas no se recomiendan cuando la variable es cualitativa, ya que se utiliza agrupando los datos en intervalos de valores. En el caso de los gráficos presentados sobre la frecuencia de accidentes de tránsito, el histograma permite dimensionar la cantidad de accidentes según la hora en que ocurren y es más fácil interpretar el paso de las horas y reconocer, por ejemplo, que el atardecer es la hora en que se producen más accidentes. El gráfico circular, en cambio, es muy útil para analizar los datos cuando están asociados a porcentajes, pero no permite cuantificar la frecuencia, a menos que se indique el total de la población o de la muestra representada en el gráfico.

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Gráfico 1

Gráfico de barras y pictogramas

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6 000 000

Un gráfico de barras (gráfico 1) está compuesto por barras separadas, donde la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia. Es útil para comparar las frecuencias de los valores.

5 000 000 4 000 000 3 000 000

En un pictograma (gráfico 2), en lugar de las barras, se dibuja una figura proporcional (por su tamaño, o bien por su cantidad) a la frecuencia. Se puede analizar de manera similar a un gráfico de barras y permite asociar rápidamente los datos presentados en el pictograma con la o las variables, cuando se presentan dos o más variables simultáneamente. Por ejemplo, el informe anual de estadísticas agropecuarias, realizado por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), arrojó información relacionada con la producción de trigo, por región, en el período 2007-2008, que se muestra en el gráfico de barras (gráfico 1) y en el pictograma (gráfico 2).

2 000 000 1 000 000 0 VI

VII VIII

IX

X

XIV Resto del país

Gráfico 2 6 000 000 5 000 000 4 000 000 3 000 000

Gráfico de dispersión

2 000 000

Masa (kg)

En la gráfica se observan datos de masa y estatura obtenidos de 40 alumnos y 40 alumnas de Cuarto Año Medio. Se puede observar que, en general, las mujeres 90 son más bajas que sus com80 70 pañeros y que la relación masa60 estatura es más homogénea en 50 40 el caso de los varones. 30 20 10 0 1,4

1 000 000 0 VI

VII VIII

IX

X

XIV Resto del país

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), “Informe anual de estadísticas agropecuarias”, Santiago, 2007. www.ine.cl

Mujeres Hombres 1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

Estatura (m)

En resumen Utilidad de diversos tipos de gráficos. •

Gráfico de barras: facilita la comparación entre las frecuencias de las variables.

Pictograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística.

Gráfico circular: es útil cuando se necesita representar porcentajes.

Histograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados.

Gráfico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos.

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Actividades 1. El gráfico muestra los resultados obtenidos en el censo de 2002 sobre el número de familias chilenas según el tipo de hogar que constituyen. a. Comenta con tus compañeros y compañeras los tipos de familias descritos en el gráfico. ¿Cuál de ellos corresponde a tu familia?, ¿por qué? b. ¿Cuál es la diferencia entre una familia extensa y una compuesta? Explica. c. En general, ¿hay más familias con hijos o sin hijos? d. Estima la proporción de familias chilenas monoparentales. e. ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir del gráfico? Número de familias chilenas según el tipo de hogar que constituyen Nuclear monoparental sin hijos Nuclear monoparental con hijos Nuclear biparental con hijos Nuclear biparental sin hijos Extensa biparental Extensa monoparental Compuesta Sin núcleo familiar Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), XVII Censo Nacional de Población y VI de Vivienda, Santiago, 2002. www.ine.cl

2. El siguiente gráfico nos presenta la información obtenida de 300 encuestados por la Fundación Futuro (2008), acerca de la pregunta: ¿qué nota colocas a lo bueno en el deporte chileno? a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada?, ¿tú también la hubieras evaluado con esa nota?, ¿por qué? b. ¿Qué área del deporte tiene el mejor promedio: el tenis o el fútbol? c. ¿Qué puedes concluir? ¿Qué nota colocas a lo bueno en el deporte chileno? 6,6

7

6,5

6,4

6,3

6

5,9

5

4,5

4 3 2 1 Medalla de plata de Fernando González en Beijing

Natalia Ducó campeona del mundo en bala a nivel juvenil

Triunfo de la Selección Chilena de Fútbol frente a Argentina

David Dubo campeón mundial de kárate

Chile sede del Mundial Femenino de Fútbol

Retiro de Marcelo Salas del fútbol

Fuente: Fundación Futuro. Encuesta “Lo bueno, lo malo y lo feo del 2008”. Santiago, diciembre 2008. www.fundacionfuturo.cl.

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3. Los siguientes gráficos piramidales muestran la distribución poblacional de Chile en tres años diferentes. Observa y, luego, responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuántos hombres aproximadamente comprende el intervalo [10, 24[ en cada uno de los años mostrados en los gráficos? b. ¿En qué año la población masculina comprendida en el intervalo [10, 24[ presentó una mayor diferencia por tramos de edad? c. ¿Qué consecuencias geográficas podrían derivarse de la pirámide poblacional proyectada para el año 2025? Chile: Población estimada al 30 de junio Edad (años)

1950

2000

2025

80 y más 75–79 70–74 65–69 60–64 55–59 50–54 45–49 40–44 35–39 30–34 25–29 20–24 15–19 10–14 5–9 0–4

500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500

800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800

800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200300 400500 600 700 800

Miles de personas

Miles de personas

Miles de personas Hombres

Mujeres

Fuente: Proyecciones de población INE-CELADE

4. El gráfico siguiente representa el consumo promedio de agua, en metros cúbicos, durante un mes, en una familia de cinco integrantes, según un estudio de Aguas Andinas:

Metros cúbicos

a. ¿A qué crees que se deba el incremento del consumo de agua en verano? b. Divide cada uno de los valores dados en el gráfico por 5; luego, construye un gráfico circular que muestre estos valores, en cada caso. Consumo promedio de agua en un mes ¿Qué resultados nos entrega 400 este gráfico? 350 c. Discute con tus compañeros 300 y compañeras acerca de la escasez del agua y su mal uso. 250 d. ¿Qué medidas podrías tomar 200 para cuidar este recurso? Si todos 150 siguieran estas medidas, ¿cuánto 100 estimas que se ahorraría una 50 familia de cinco integrantes cada mes? Comenta con tus 0 Aseo en Descarga en Comida y Duchas Lavado Riego compañeros y compañeras. lavatorios

Fuente: Grupo Aguas, www.aguasandinas.cl. Consultado en febrero de 2010.

Invierno

WC

lavado de vajilla

general

Verano

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Medidas de tendencia central Susana se encuentra trabajando como voluntaria en el Campeonato Nacional de Natación. Su responsabilidad es llevar el registro de los tiempos realizados por las nadadoras en las distintas pruebas. Luego de la primera prueba, 50 m libres damas, registró los siguientes resultados:

Nadadoras de 50 m libres.

Camila

31 s

Javiera

39 s

Marisol

44 s

Florencia

35 s

Isabel

41 s

Viviana

46 s

Antonia

36 s

Andrea

35 s

María Paz

35 s

Analicemos... •

• • • •

¿Qué nadadora ganó?, ¿cuál llegó última?, ¿qué nadadora llegó en la mitad, entre la primera y la última?, ¿cómo se puede interpretar esta información? En general, ¿cuánto demoran en recorrer los 50 m de la prueba? ¿Hay algún tiempo de llegada que se repita? ¿Cómo se pueden describir los resultados de esta prueba?, ¿qué puedes concluir? En general, ¿qué información es importante cuando se analiza un conjunto de datos?

Susana está analizando los datos y los ordena de menor a mayor: 31, 35, 35, 35, 36, 39, 41, 44 y 46

Glosario moda: elemento que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos. mediana: elemento de una serie ordenada de valores crecientes de forma que la divide en dos partes iguales, superiores e inferiores a él.

Primero observa que el valor que más se repite es 35. Este valor es conocido como moda. La moda se denota por Mo. Luego, observa que el dato que se encuentra justo en la mitad es 36 s. Esto quiere decir que el 50% de las nadadoras se demoraron a lo más 36 s en la prueba de 50 m libres; o, también, que el 50% de las nadadoras se demoraron al menos 36 s en la prueba de 50 m libres. Este valor es conocido como la mediana, pues corresponde al valor que divide en dos partes iguales a un conjunto de datos. A veces no existe un valor tal que, por debajo de él, se encuentre exactamente el 50% de las observaciones; en este caso se debe tomar el primer valor bajo el cual se encuentre, al menos, el 50% de las observaciones. La mediana se denota por Md.

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Media aritmética La media aritmética de n datos numéricos que expresan cantidades es el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos. x + x2 + x3 + x4 + … + xn Es decir, x = 1 n En el caso de las nadadoras,

x=

31 + 35 + 35 + 35 + 36 + 39 + 41 + 44 + 46 = 38. 9

Pon atención • Al realizar cálculos que involucren valores con unidades de medición asociadas, el resultado también debe tener la unidad de medición asociada correspondiente. • Siempre es importante dar una respuesta completa cuando estés haciendo algún cálculo.

O sea, en promedio, ellas demoraron 38 segundos en llegar a la meta. Observa que en este caso el promedio no coincide con ninguno de los valores dados en la tabla. Si los datos se encuentran ordenados por intervalos, también se puede calcular su media aritmética, utilizando la marca de clase como representante del intervalo. Observa. La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de los puntajes obtenidos por cincuenta estudiantes en una prueba de Matemática.

Intervalo

Frecuencia absoluta ( fi )

Marca de clase (xi )

fi · xi

60-64

5

62

310

65-69

5

67

335

70-74

8

72

576

75-79

12

77

924

80-84

16

82

1312

85-89

4

87

348

Total

50

Glosario marca de clase: valor representativo de cada intervalo, que corresponde a su punto medio y se calcula sumando cada extremo del intervalo y dividiéndolo en dos.

3805

La media aritmética de los valores está dada por el cociente entre la suma de los valores fi · xi y el número total de observaciones, 3805 esto es: x = = 76,1. 50

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Actividades 1. Pablo obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: 4,8; 2,5; 6,0; 3,9 y una quinta nota que no recuerda. Si su promedio fue 4,6, calcula la nota que falta. 2. Carlos y Alejandra obtuvieron el mismo promedio semestral de notas. ¿Significa que tuvieron las mismas notas? Justifica numéricamente tu respuesta. 3. En una muestra de control se midieron 10 clavos de una bolsa, con los siguientes resultados: 5 de 2,00”; 3 de 1,99” y 2 de 2,05”. Calcula la longitud media de la muestra. 4. La siguiente tabla muestra los resultados de la prueba SIMCE (Sistema de Medición de la Calidad de la Educación), año 2008, de 4º Año Básico. Lenguaje y Comunicación

Educación Matemática

Comprensión del Medio Social y Cultural

Arica y Parinacota

260

246

244

Tarapacá

253

240

241

Antofagasta

255

240

240

Atacama

250

236

239

Coquimbo

260

245

248

Valparaíso

258

245

248

Lib. Gral. Bernardo O´Higgins

258

243

248

Maule

260

246

249

Biobío

261

247

249

La Araucanía

257

238

243

Los Ríos

264

244

248

Los Lagos

263

245

247

Aysén del Gral. Carlos Ibáñez del Campo

265

249

253

Magallanes y Antártica Chilena

266

252

252

Región Metropolitana

263

252

255

Región

a. ¿Cuál es el valor de la media aritmética, la moda y la mediana, en cada área? b. ¿En qué área se obtuvieron mejores resultados? Justifica. c. ¿Qué región obtuvo el puntaje más bajo en cada área?, ¿coinciden estos puntajes con la misma región? d. ¿Qué región obtuvo el mejor promedio al considerar las tres áreas?, ¿a qué crees que se deba esto? Fuente: Ministerio de Educación (Mineduc). Prueba SIMCE, 4º Año Educación Básica (2008), www.mineduc.cl, julio 2009.

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5. Los datos de la tabla muestran las estaturas de 40 alumnos y alumnas. Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de estos datos. Estatura

fi

1,50-1,54

3

1,55-1,59

6

1,60-1,64

9

1,65-1,69

10

1,70-1,74

7

1,75-1,79

5

6. La siguiente tabla de frecuencias muestra la cantidad de colesterol total de un grupo de pacientes cuya edad es de 50 a 60 años. Colesterol total (mg/dl)

Frecuencia

170-179

4

180-189

7

190-199

12

200-209

16

210-219

35

220-229

37

230-239

11

240-249

8

a. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Qué puedes concluir? b. Se considera un nivel deseable de colesterol bajo 200 mg/dl. ¿Cuántos de los pacientes se encuentran dentro de los niveles deseables? c. Construye un histograma para comparar la frecuencia de cada intervalo. ¿Qué puedes concluir?

En resumen •

Las medidas de tendencia central nos dan una idea acerca del comportamiento de los datos a los que se refieren. Se puede decir que expresan el grado de centralización de los datos que representan.

La mediana de un conjunto de datos numéricos, ordenados en forma creciente o decreciente, es el dato que se encuentra al centro de dicha ordenación, o la media aritmética de los datos centrales (en caso de que la muestra tenga un número de datos pares).

La moda de un conjunto de datos es aquel que tiene la mayor frecuencia.

La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos.

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Herramientas tecnológicas Las planillas de cálculo como Excel permiten ahorrar gran cantidad de tiempo, tanto para realizar estudios estadísticos como para graficar un conjunto de datos. La siguiente tabla muestra las hectáreas afectadas en el período 2005-2006 por incendios forestales. Observa cómo se grafica utilizando una planilla de cálculo. • • • • • •

Construye una tabla de valores, selecciónala y, luego, pulsa Asistente de gráficos. Selecciona, presionando con el mouse, desde la celda A2 hasta la celda B14. En la barra de menú selecciona Insertar y, luego, Gráfico (en el submenú). Elige Tipo de gráfico, en este caso gráfico de barras. Finaliza el gráfico en Terminar. Para personalizar el gráfico, haz clic sobre él; por ejemplo, para cambiar los colores. También, para poner nombre a los ejes y al gráfico, selecciona Título.

Utilizando los datos anteriores, desarrolla las siguientes actividades: 1. Ingresa la tabla anterior en una planilla de cálculo. a. Realiza un pictograma y otro circular. ¿Qué ventaja tiene la utilización de cada tipo de gráfico? b. ¿En qué regiones se observa mayor cantidad de hectáreas afectadas por incendios forestales?, ¿a qué crees que se debe? c. Está comprobado que la mayor cantidad de incendios forestales es causada, directa o indirectamente, por el ser humano. ¿Qué medidas tomarías para proteger nuestros bosques?

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2. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de agua (en miles de metros cúbicos) por persona en 1950 y en 2000. a. Construye un gráfico de barras que permita comparar la disponibilidad de agua durante ambos períodos. b. Calcula el porcentaje de descenso para cada lugar. Construye un gráfico circular que muestre la diferencia de disponibilidad de agua en el año 2000. ¿Qué puedes concluir?, ¿a qué se debe la diferencia? c. ¿Qué crees que sucederá con la disponibilidad de agua en cincuenta años más?

1950

2000

17,8

4,8

Asia

7,6

2,9

Europa

5,9

4,5

América del Norte

32,4

17,6

América Latina

72,1

22,8

Ex URSS

24,1

14,8

Oceanía

159,5

65,6

África

Fuente: Food and Agriculture, Organization of the United Nations (FAO), www.fao.org, consultado en febrero de 2010.

3. Uno de los problemas más complejos que debe abordar nuestra sociedad es la pobreza; un país que quiere surgir debe eliminar este problema. En la tabla se ven las quince comunas más pobres del país; en la mayoría de ellas vive población mayoritariamente mapuche, que no ha podido salir del círculo de la pobreza. a. ¿Qué gráfico representaría mejor la información dada en la tabla?, ¿por qué? b. Construye un gráfico que muestre esta información. c. ¿Qué factores culturales crees tú que afectan al pueblo mapuche y le impiden salir de la pobreza?, ¿qué factores de nuestra sociedad impiden a los mapuches vivir como ellos desean? d. Comenta con tus compañeros y compañeras qué soluciones ven al problema.

Fuente: Ministerio de Planificación (Mideplan). Encuesta de Caracterización Socioeconómica (CASEN), Santiago, 2006, www.mideplan.cl, consultado en febrero de 2010.

Comunas

Más pobres (%)

Colchane

50,9

El Carmen

38,2

Los Alamos

37,9

Lebu

37,5

Tirúa

36,1

Alto Biobío

35,8

Galvarino

35,7

San Ignacio

35,6

Saavedra

35,1

Los Sauces

34,9

San Fabián

34,4

Ercilla

34,0

Curacautín

33,6

Ninhue

33,5

Collipulli

33,2

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Organizando lo aprendido •

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

ESTADÍSTICA interpreta

DATOS

que proviene de una

MUESTRA

representa a la

se distinguen

se pueden

se pueden

VARIABLES

ORGANIZAR

REPRESENTAR

que se clasifican en

en

mediante

TABLAS

GRÁFICOS

y calcular su

tales como

CUALITATIVA

CUANTITATIVA se pueden aplicar

FRECUENCIA ABSOLUTA

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

y

tales como

FRECUENCIA

MEDIANA

DE BARRAS CIRCULAR HISTOGRAMA

RELATIVA

MEDIA

POBLACIÓN

MODA

DE DISPERSIÓN PICTOGRAMA

ARITMÉTICA

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿Qué es una variable?, ¿cuándo se dice que es cualitativa? ¿Cuál es la diferencia entre un gráfico de barras y un pictograma? ¿Cómo se organiza un conjunto de datos? Explica. ¿Qué características tiene un gráfico circular? ¿Cuál es la relación entre población y muestra? Justifica. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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Mi progreso 1. Señala en cada caso si es más conveniente estudiar la población o una muestra. a. b. c. d.

La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera ininterrumpida. La estatura de todos los visitantes extranjeros en un año en Chile. La masa de un grupo de cinco amigos. Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.

2. En un jamboree, un grupo de scouts realizó una encuesta a jóvenes de otros grupos, obteniendo las respuestas que se detallan a continuación. • ¿Qué edad tienes? 9, 15, 11, 16, 13, 14, 15, 16, 10, 14, 14, 9, 13, 15, 16, 17, 11, 12, 13, 15, 12, 13, 16, 14, 15 • ¿Cuántos días al año sales de campamento? 15, 25, 36, 32, 44, 35, 22, 31, 40, 29, 33, 31, 30, 28, 36, 24, 18, 31, 19, 24, 26, 23, 24, 30, 29 a. Organiza los datos en un tabla, en cada caso. b. Calcula la media, la mediana y la moda en cada una de las preguntas anteriores. 3. En un colegio se ha encuestado a sus 1200 alumnos. Se les preguntó si estaban a favor o no de colocar casilleros en las salas de clases. Según los resultados que se observan en el siguiente gráfico circular, ¿cuántas personas no están de acuerdo? A. B. C. D. E.

40 120 480 600 720

Uso de casilleros en las salas de clases 50% sí 10% no contesta 40% no

¿Cómo voy? •

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

CRITERIO

ÍTEM

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Determinar si corresponde estudiar la población o una muestra.

1

200 y 201

Ordenar y organizar la información.

2a

202 y 203

Calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos.

2b

208 a 211

Analizar gráficos.

3

204 a 207

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Cómo resolverlo Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. El siguiente gráfico muestra la distribución de personas de 60 años o más, según estado civil en Chile. Determina el porcentaje correspondiente a cada categoría y el ángulo central aproximado asociado. Luego, construye su gráfico circular. Distribución de personas de 60 años o más, según estado civil en Chile 800 000 700 000 600 000 500 000 400 000 300 000 200 000 100 000 0

684 590

364 120 150 833 65 142

40 872

Casado Conviviente Soltero

Viudo

Anulado o separado

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). www.ine.cl, julio 2005.

Recuerda que... La frecuencia relativa es el cociente, en cada caso, entre la frecuencia absoluta de la categoría y el total de datos. Es un número entre 0 y 1.

Solución A partir de los datos del gráfico, se puede calcular la frecuencia relativa de cada categoría y, luego, para obtener el correspondiente porcentaje, se puede multiplicar por 100. Frecuencia relativa

Porcentaje (%)

Ángulo (grados)

684 590

0,524

52,4

188,64

40 872

0,031

3,1

11,16

Soltero

150 833

0,115

11,5

41,40

Viudo

364 120

0,28

28,0

100,80

65 142

0,05

5,0

18,00

1 305 557

1,00

100,0

360,00

Categoría Casado Conviviente

Anulado o separado Distribución de personas de 60 años o más, según estado civil en Chile. Casado Conviviente Soltero Viudo Anulado o separado

Total

Frecuencia absoluta

Luego de calcular los porcentajes de cada categoría, se puede determinar el ángulo central correspondiente en cada caso. Sabemos que los 360º del círculo representan la frecuencia relativa porcentual acumulada, es decir, 100%; por lo tanto, cada 1% corresponderá a 3,6º. Para obtener el ángulo correspondiente, basta con multiplicar cada porcentaje por 3,6.

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Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. El gráfico presentado a continuación, representa la distribución porcentual de defunciones en Chile, por grupos de edad, en dos períodos: 1974-1975 y 2003-2004 • Compara la distribución porcentual de las defunciones en los dos períodos señalados. ¿Qué puedes concluir? • ¿A qué crees que se deban las diferencias que se aprecian entre los períodos? Justifica. • Construye un gráfico circular, para cada uno de los períodos, que represente esta información.

Distribución porcentual de defunciones por grupos de edad Porcentajes de defunciones 50

1974-1975

2003-2004

40 30 20 10 0

Menores de 1 año

1-4

5-14

15-24 25-44 45-59 Grupo de edad

60-74 75 años o más

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Adulto Mayor. Vulnerabilidad al Riesgo de Muerte. 2002-2010. Febrero 2007.

2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Los histogramas siguientes representan el porcentaje de hogares monoparentales y biparentales, según la edad de los niños y niñas que viven en las familias, en cada caso. • En el tramo de edad de 14 a 17 años, ¿la mayoría de los niños y niñas viven en hogares monoparentales o biparentales? Justifica. • ¿A qué crees que se deban las diferencias que se aprecian entre los hogares monoparentales y biparentales? Justifica. • ¿Qué otro gráfico podrías construir que represente esta información?

Hogares monoparentales, según edad de los niños y niñas. Censo 2002 Porcentaje 20,0

19,2

18,0 16,0 14,0

16,1 14,0

14,3

Hogares biparentales, según edad de los niños y niñas. Censo 2002 Porcentaje 80,0 78,0 76,0 74,0

12,0

72,0

10,0

70,0 0a2

3 a 5 6 a 13 14 a 17 Tramos de edad

0a2

3 a 5 6 a 13 14 a 17 Tramos de edad

Fuente: Censo 2002, www.ine.cl, consultado en febrero de 2007.

Estadística I

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Unidad 5

UNIDAD 5 (194-223)C


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En terreno a IPC Nueva canast

yunonómico de co ec y al ci so r o po del ) es un indicad largo del tiem nsumidor (IPC lo o a C s o al d s io ta n ec e Pr ios experim adquieren. El Índice de edir los camb e los hogares m u q ra o a p m o su n id co ru e tura, const n país. servicios d eflación) de u os de bienes y ci (d re n p ó e ci d a fl al in er la nivel gen eterminar los modeutiliza para d se , te n e lm es y servicios, a n u ie b e Habit d a st a ra de una ctualiza la can ntido, se mig se a 10 años se a e d st ca e , n te E n e s. m Histórica y operativo ductos. nes y 368 pro conceptuales io s, is o iv ic d g 2 ló 1 o e d d to a los me ductos a un s de audio pos y 482 pro ru g 8 e d a el ron, equipo st an tr cana en cu en ingresan se omo el penroductos que magnéticos (c p s o es ld al a p sp ci n re ri e p d ano es Entre los transporte urb igital, unidad d s, n ta ó e si cl re ci p to im o til, eléctricas, m y video portá os. icios, mantas rc je e e d der), entre otr s ín a (k in r u la q á o sc m e ), re drive ios educación p reservativos, ido a los camb p l, eb a d d , o ta im as lt n u ca m necer a la son el dejan de perte nos ejemplos u e u lg q A s o a. ic ct g u d ló o pro riendo scencia tecn También hay as de coser, ar in , o bien obsole u o m áq su m n r, co so e n d nción de asce s contribuen las pautas de foto, mante automóvil y la s e d llo ro te s, en te at se p la , no martini, ca ; por lo tanto El dividendo, . te n ó en st m ve va e ti d ec hura erencias, resp de video, hec iones y transf rs ve in an er d ciones se consi . nsumo. enero de 2009 a gastos en co C”. Santiago, en IP d o n ev o p Nu : es ico rr co díst . “Enfoque esta tadísticas (INE) Nacional de Es to itu st In : te Fuen www.ine.cl

bre de 2008 sta base diciem na ca ) la de s Ponderación (% Ponderacione 17,87253 División licas 2,10142 bidas no alcohó Alimentos y be 5,07003 licas y tabaco Bebidas alcohó 12,73319 stir y calzado stibles bu m co Prendas de ve s ro ot , gas y ua, electricidad 7,21683 Alojamiento, ag conservación la ra pa y r ga ulos para el ho Muebles, artíc 5,52446 gar ordinaria del ho 18,73769 Salud 4,00767 Transporte 9,22545 s Comunicacione 6,19300 ltura Recreación y cu 5,92649 n ió ac Educ 5,39064 teles ho y es nt ra au Rest 100,00000 s diversos io ic rv se y es Bien TOTAL

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Actividades 1. Determina, para cada división, al menos cinco ejemplos. 2. ¿Qué opinas respecto de los productos que ingresan a la canasta del IPC?, ¿cómo afectan el presupuesto familiar, en general? 3. ¿Qué opinas respecto de los productos que dejan de pertenecer a la canasta del IPC?, ¿por qué crees que sucede esto? 4. Considera los bienes y servicios que se consumen en tu casa. ¿Cuáles son los cuatro ítems que más afectan al presupuesto de tu familia?, ¿cuáles son los tres que menos lo afectan? Explica. 5. Diseña tu propia canasta de bienes y servicios, basado en el consumo de tu familia. Considera los 30 ítems más importantes.

Investiguemos... Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas y respondan: 1. Comparen la canasta de bienes y servicios que cada uno diseñó, según el consumo de su familia. ¿Cuáles son sus semejanzas y diferencias? Expliquen. 2. Analicen las ponderaciones de la canasta de bienes y servicios. ¿Les parece que es adecuada? Justifiquen su respuesta. 3. Averigüen los valores del IPC de los últimos tres meses. ¿A qué productos corresponden las mayores alzas y las mayores bajas?, ¿estos valores reflejan una tendencia? Expliquen. 4. Averigüen los valores del IPC de los mismos meses, pero del año pasado. ¿Son similares o distintos?, ¿con qué hechos o situaciones se puede relacionar esto?, ¿qué pueden concluir? 5. Comenten con sus compañeros y compañeras qué efectos tiene un alza importante del IPC en el presupuesto familiar, ¿y en la economía nacional?

Evaluemos nuestro trabajo • ¿Qué aprendieron acerca del IPC? Expliquen. • ¿Cuál de los resultados de la comparación entre las canastas que cada uno diseñó les llamó más la atención?, ¿por qué? • Comparen sus conclusiones con las de sus demás compañeros y compañeras. ¿Obtuvieron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿por qué?

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Unidad 5

UNIDAD 5 (194-223)C


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Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

ESTADÍSTICA

MUESTRA

POBLACIÓN

CLASE

VARIABLES FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA INTERVALOS

MEDIA ARITMÉTICA

MEDIANA GRÁFICO DE BARRAS

PICTOGRAMA

A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. 2. 3. 4.

¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. ¿Cuáles son las características que definen una muestra? ¿Cuál es la diferencia entre frecuencia absoluta y frecuencia relativa? Explica. Dados dos conjuntos de datos distintos que tienen la misma media aritmética, ¿se podría afirmar que son iguales? Justifica. 5. Para una población en estudio, ¿cuántas posibles muestras se pueden escoger? Explica. 6. ¿Cuál es la ventaja de utilizar un gráfico circular en lugar de un histograma? Justifica. ¿Cuándo se usa uno u otro? 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

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I.

Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 1. Dada una población que se necesita estudiar, existe una única muestra representativa de ella. 2. Las variables pueden ser cuantitativas y cualitativas, simultáneamente. 3. En América no se desarrollaron conocimientos relacionados con la Estadística antes de la llegada de los españoles. 4. Para representar porcentajes, es útil el gráfico de dispersión. 5. El histograma se utiliza para graficar datos que están agrupados. 6. La media aritmética y la mediana son siempre iguales. 7. Se puede calcular la media aritmética de un conjunto de datos, aunque los datos estén agrupados.

II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. En el año 2003, y también el 2008, el INE realizó un estudio, que arrojó los siguientes resultados respecto a la pregunta: ¿Qué tan seguro se siente caminando solo en su barrio cuando ya está oscuro? ¿Qué tan seguro se siente caminando solo en su barrio cuando ya está oscuro? 40 35

Porcentaje

30 25 2003 2008

20 15 10 5 0 Muy seguro

Medianamente seguro

Un poco inseguro

Muy inseguro

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). “Quinta Encuesta Nacional de Seguridad Ciudadana”. Santiago, mayo 2009.

a. Observa el gráfico de barras que muestra las diferencias entre los dos estudios. ¿A qué crees que se deba esta diferencia? b. ¿Cómo interpretas el cambio de opinión de las personas que contestaron la encuesta?, ¿crees que fue un cambio radical en todos los casos? c. La encuesta fue realizada cara a cara. ¿Cómo influye este hecho en los resultados de la encuesta? Discútelo con tus compañeros y compañeras. d. ¿Qué medidas implementarías para mejorar los problemas relacionados con la seguridad?

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Unidad 5

Evaluación


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III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.

1. De las siguientes afirmaciones, son correctas: I.

los chinos hacían censos desde hace miles de años. II. los incas utilizaban quipus para organizar la información. III. La obra de Graunt es considerada el origen de la Estadística. A. B. C. D. E.

Solo I I y III I y II II y III I, II y III.

2. En un análisis estadístico, el conjunto de todos los elementos que conforman el objeto de estudio se llama: A. B. C. D. E.

rango. marca de clase. muestra. población. datos.

3. La estatura de un grupo de personas, empleada para un estudio estadístico, es una variable: I. cuantitativa. II. continua. III. discreta. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II I y III

222 | Unidad 5

4. El tipo de muestra que es adecuado escoger para un estudio estadístico, es: A. B. C. D. E.

una muy pequeña. una proporcional a la población. una representativa de la población. una igual a la población. según sea el caso.

5. La siguiente tabla de frecuencias muestra las calificaciones de un examen de Matemática. ¿Cuál es la proposición falsa? Calificaciones

Cantidad de estudiantes

7,0

3

6,0-6,9

6

5,0-5,9

5

4,0-4,9

13

3,0-3,9

10

2,0-2,9

3

A. Hay 6 estudiantes que tienen una calificación entre 6,0 y 6,9. B. Hay 14 estudiantes que tienen una calificación mayor a 4,9. C. El total de la muestra es de 40 estudiantes. D. Hay 13 estudiantes que obtuvieron nota insuficiente. E. Hay 11 estudiantes que calificaron con nota inferior a 7,0 y superior a 6,0.


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6. ¿En qué conjunto de datos coinciden la media, mediana y moda? A. B. C. D. E.

Dado el siguiente gráfico, contesta las preguntas 9 y 10. fi

3, 4, 5, 9, 10, 11 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 6, 3, 4, 6, 8, 9, 6 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9

20 15 10 5 30

7. El parámetro que coincide siempre con un dato es: A. B. C. D. E.

la media. la moda. la mediana. la desviación típica. Ninguna de las anteriores.

40

50

60

70

9. El gráfico corresponde a un: A. B. C. D. E.

gráfico circular. histograma. gráfico de barras. pictograma. gráfico de dispersión.

10. El gráfico anterior nos sirve para: 8. La tabla muestra las edades de los jóvenes de un grupo de una parroquia. Con respecto a la información de la tabla, es falso que:

A. B. C. D. E.

Edad

fi

14

6

15

8

16

12

17

6

Total

32

el 25% tiene 15 años. la moda es 16 años. la media es alrededor de 15 años. el 35,7% tiene más de 16 años. la mediana es 16 años.

A. B. C. D.

expresar información de datos agrupados. comparar frecuencias de los valores. representar porcentajes. estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de datos. E. representar variables cualitativas. 11. (Ensayo PSU, 2004). La distribución del número de horas que duraron encendidas 200 ampolletas está dada en el gráfico siguiente. La duración promedio de una ampolleta en horas, aproximadamente, es: A. B. C. D. E.

1 380 400 480 580

Nº de ampolletas 100

50

0

200

400

600

800 horas

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Estadística I

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Unidad 5

UNIDAD 5 (194-223)C


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Estadística II

TRABAJANDO CON:

APRENDERÁS A:

Rango

Calcular e interpretar medidas de dispersión.

Desviación media Calcular e interpretar medidas de posición. Desviación estándar

Cuartiles, deciles y percentiles

Niveles de confianza

Muestras

Distribución normal

224 | Unidad 6

Conocer y trabajar con muestras, identificando niveles de confianza y margen de errores.

Evaluar críticamente información estadística extraída de medios de comunicación.

Estimar intervalos de confianza para la media de una población, a partir de una muestra dada.


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Conversemos de... Las medidas de tendencia central no siempre son suficientes para describir las características de una población o de una muestra, porque no entregan información sobre la variedad de valores posibles al interior de la muestra. Por este motivo, se calculan algunos valores que permiten comprender la dispersión de los datos. Por otra parte, se hace necesario reconocer si un dato particular se identifica con la media de la población, o corresponde a valores menores o mayores que la media.

Latinstock

1. Considerando que estos jóvenes tienen entre 17 y 18 años y que la que viste polera blanca mide 1,80 m, ¿son altos para su edad?, ¿están dentro del promedio? Explica. 2. Asígnale un nombre a cada uno y, luego, ordénalos del más bajo al más alto. ¿Quiénes están en el tercio inferior, considerando su estatura? 3. Si ahora tomamos en cuenta toda la población de jóvenes chilenos de 17 y 18 años, ¿ellos siguen perteneciendo a este tercio inferior? Justifica.

Estadística II |

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UNIDAD 6 (224-263)C

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¿Cuánto sabes? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. 1. Calcula los siguientes porcentajes. a. 10% de 457 b. 25% de 398

c. 99% de 1246 d. 5,7% de 45 980

e. 18% de 310 000 f. 60% de 94 327

2. Completa. a. 281,49 representa el ____% de 853. b. 38 000 representa el ____% de 95 000. c. 13 891,5 representa el ____% de 18 522. d. 2809,8 representa el ____% de 46 830. e. 652 representa el ____% de 65 200.

3. En una empresa se ha entregado la planilla de sueldos correspondiente al mes de julio. Complétala para poder saber cuánto dinero recibe cada persona al cobrar su sueldo. Descuentos legales Nombre

Sueldo Fonasa o (imponible) Isapre (7% del imponible)

Daniel

$ 165 249

Carolina

$ 237 860

Andrea

$ 251 925

Sebastián

$ 318 004

AFP (13% del imponible)

Sueldo líquido

4. Los siguientes datos corresponden al contenido de nicotina, en miligramos, de doce cigarrillos: 1,09 1,74 1,58 2,1 1,64 1,79 1,37 1,75 1,92 2,03 1,47 1,72 a. Calcula la media del contenido de nicotina. b. Calcula la mediana del contenido de nicotina.

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Unidad 6

UNIDAD 6 (224-263)C

5. La siguiente tabla de frecuencias nos muestra la cantidad de estudiantes por curso en una escuela. Cantidad de estudiantes

40

41

42

43

44

45

Frecuencia

4

2

2

5

4

10

Determina si cada proposición es verdadera o falsa. Justifica tu decisión en cada caso. a. La mediana es 42,5 alumnos, correspondiente al valor intermedio entre 42 y 43. b. La moda es 4, porque es el mayor valor que se repite. c. La media aritmética es aproximadamente 43; por lo tanto, en promedio los cursos tienen 43 alumnos. Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? •

• • • • •

Para calcular el a% de un número b cualquiera, se puede aplicar el siguiente procedimiento: a · b. O calcular x · b, donde x es la expresión decimal que representa el a%. 100 Sean a, b dos números reales cualesquiera, para calcular a qué porcentaje corresponde a de b, se puede aplicar el siguiente procedimiento: a · 100 Si x es el porcentaje, entonces x = . b Población: es un conjunto de personas, situaciones o cosas de las que se desea hacer un estudio y las cuales tienen una característica en común. Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población. Media aritmética: cociente entre la suma de todos los valores de un conjunto de datos y la frecuencia total de estos. Mediana: dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados según su magnitud (decreciente o creciente). Moda: es el valor que presenta una mayor frecuencia en un conjunto de datos.

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UNIDAD 6 (224-263)C

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Medidas de dispersión Cecilia, la directora de un colegio, debe inscribir a dos alumnas en la prueba de 400 metros planos de un campeonato de atletismo. Para decidir a quién enviar, mide y compara los tiempos, en segundos, obtenidos por las alumnas de la selección del colegio. Observa. Carolina

83

79

81

79

80

81

80

79

80

77

Javiera

83

77

75

82

83

81

80

79

82

77

Isabel

79

78

81

81

85

79

86

79

77

74

Andrea

80

79

80

79

80

81

80

79

80

81

Analicemos... Campeonato de atletismo.

• • •

Basándose en estos datos, ¿cómo podría Cecilia tomar su decisión? Calcula el promedio de los tiempos, para cada una. ¿A quién escogerías tú?, ¿por qué? Además del promedio, ¿qué otros elementos podrías considerar de los datos anteriores que permitan tomar una decisión? Explica.

En la situación anterior, si Cecilia calcula la media aritmética de los tiempos de cada una, no puede tomar una decisión, ya que todas tienen el mismo tiempo promedio. Anteriormente, utilizamos el rango para indicar el tamaño de cada intervalo en una tabla de frecuencias. En general, se calcula como la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. Aunque no es muy significativo, el rango nos indica cuán dispersos se encuentran los datos entre los valores de los extremos. Observa.

Rango

Carolina

Javiera

Isabel

Andrea

4

8

12

2

Como el valor del rango de los tiempos de Andrea es menor que el de Isabel, se puede decir que sus tiempos son menos dispersos. Por lo tanto, sería más apta para participar en el campeonato. Pero el rango no es suficiente para que Cecilia tome una decisión.

Glosario desviación: diferencia entre la medida de una magnitud y el valor de referencia.

228 | Unidad 6

La media aritmética de los tiempos de las alumnas es de 79,9. Al calcular la diferencia de cada tiempo con respecto a la media aritmética, se obtiene la desviación del tiempo con respecto a x. Observa las desviaciones medias de cada uno de los tiempos en la tabla siguiente.


:Maquetación 1

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Carolina

3,1 –0,9

Javiera

3,1 –2,9 –4,9

1,1 –0,9

Página 229

0,1

1,1

0,1

–0,9

0,1 –2,9

2,1

3,1

1,1

0,1

–0,9

2,1 –2,9

1,1

5,1 –0,9

6,1

–0,9 –2,9 –5,9

0,1

0,1

Isabel

–0,9 –1,9

1,1

Andrea

0,1

0,1 –0,9

–0,9

16:56

1,1

0,1 –0,9

Unidad 6

UNIDAD 6 (224-263)C

1,1

Como puedes ver, la suma de las desviaciones medias en cada caso resulta 0, por lo que no es útil para resumir estos datos. En cambio, se pueden sumar los valores absolutos de la desviación, en cada caso, lo que nos indica cuán cercano o lejano está de la media aritmética.

Desviación absoluta

Carolina

Javiera

Isabel

Andrea

Pon atención

11,2

23,2

26,8

5,4

• La idea de desviación representa el mayor o menor alejamiento de un dato con respecto a x. • La desviación se puede calcular con respecto a cualquier valor, no solo a la media aritmética. Esta puede ser positiva, cero o negativa.

La desviación absoluta de cada una corresponde a la suma de los valores absolutos de todas las desviaciones medias. Como el valor de la desviación absoluta de Carolina y Andrea es menor, entonces su rendimiento es más estable que el de Isabel y Javiera. Con esto, Cecilia ya podría tomar una decisión. Continuando con el análisis de quién representará al colegio en el campeonato, observa los valores siguientes, que son los cuadrados de cada desviación, en cada caso. La raíz cuadrada de la suma de estos valores, para cada una, es la desviación estándar.

Carolina

9,61 0,81

Javiera

9,61 8,41 24,01 4,41

Isabel

0,81 3,61

1,21 1,21 26,01 0,81 37,21 0,81 8,41 34,81

Andrea

0,01 0,81

0,01 0,81

Desviación estándar

1,21 0,81

0,01 1,21 0,01 0,81 0,01

8,41

9,61 1,21

8,41

0,01 1,21

0,01 0,81 4,41

0,01 0,01 0,81

1,21

Carolina

Javiera

Isabel

Andrea

2,3927

4,2101

5,3596

1,1068

Observa que los valores de la desviación estándar de los tiempos de Carolina y Andrea son los menores; entonces, podemos decir que sus tiempos están más cercanos a la media, y son menos dispersos. Por lo tanto, se confirma que son las más indicadas para representar al colegio.

Glosario desviación estándar: medida usada para cuantificar la desviación de las distintas observaciones de un conjunto de datos respecto de su media.

Pon atención • La desviación estándar es muy sensible a pequeñas variaciones que se producen respecto a la media. • La desviación estándar s es un valor de la misma naturaleza que los datos con que se calcula. Si el valor de s en un conjunto de tiempos es s = 1,8, el número 1,8 se refiere al tiempo, en segundos, en este caso.

Estadística II

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UNIDAD 6 (224-263)C

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Página 230

Desviación estándar para datos agrupados Considera la siguiente tabla, que indica el tiempo de espera de los pacientes en un consultorio.

Recuerda que... La marca de clase representa los datos pertenecientes a una clase. Se calcula como la media entre el valor inferior y el valor superior del intervalo o clase.

Tiempo (minutos)

Frecuencia

Marca de clase

[0, 15[

6

7,5

[15, 30[

21

22,5

[30, 45[

15

37,5

[45, 60]

10

52,5

Observa cómo se puede calcular la media aritmética si los datos están agrupados.

x=

6 · 7,5 + 21 · 22,5 + 15 · 37,5 + 10 · 52,5 1605 = = 30,87 6 + 21 + 15 + 10 52

Es decir, el tiempo de espera es, en promedio, de casi 31 minutos. Para calcular la desviación estándar, se siguen los pasos siguientes: 1º Calcular la desviación entre la media aritmética y la marca de clase, en cada caso. 2º Elevar este resultado al cuadrado. 3º Multiplicar cada valor por la frecuencia correspondiente. 4º Sumar todos estos valores, y dividir este resultado por el total de datos. 5º Calcular la raíz cuadrada de este cociente. Tiempo (minutos)

Paso 1

Paso 2

Paso 3

[0, 15[

30,87 – 7,5 = 23,37

546,1569

3276,9414

[15, 30[

30,87 – 22,5 = 8,37

70,0569

1471,1949

[30, 45[

30,87 – 37,5 = –6,63

43,9569

659,3535

[45, 60]

30,87 – 52,5 = –21,63

467,8569

4678,5690

Paso 4:

10 086,0588 = 193,9627 52

Paso 5: 193, 96 = 13,9270 Es decir, la desviación estándar de los tiempos de espera es de aproximadamente 14 minutos. Las medidas de dispersión como el rango, la desviación con respecto a la media y la desviación estándar, determinan cuán cercanos o lejanos están los datos en relación a la media aritmética y también indican el grado de variabilidad de los datos, lo que nos permite realizar un análisis más completo.

230 | Unidad 6


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:Maquetación 1

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La desviación de una variable x con respecto a la media aritmética x está dada por: d = x – x.

La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a su media aritmética es cero.

La desviación media es la media aritmética de las desviaciones absolutas respecto a la media.

La desviación estándar expresa el grado de dispersión de los datos con respecto a la media aritmética. Se puede calcular de las siguientes formas: •

s=

( x1 − x )2 + ( x2 − x )2 + ( x3 − x )2 + ... + ( xn − x )2 , para datos no agrupados.

n 2 2 2 f1· ( x1 − x ) + f2· ( x 2 − x ) + f3· ( x 3 − x ) + ... + fn · ( xn − x ) , para datos agrupados. s= n En este caso, xk corresponde a la respectiva marca de clase. 2

Actividades 1. El análisis de las notas de un curso señala que en ambos semestres el promedio en Matemática es 5,1. Además, la nota máxima es 7,0 y la mínima es 3,2. Sin embargo, los estudiantes tienen la sensación de que obtuvieron mejores resultados en un semestre que en otro. Primer semestre

7,0 5,4 4,1

6,9 5,2 4,1

6,5 4,8 3,2

5,8 4,8 7,0

5,6 4,3 6,8

5,6 4,3 6,3

5,7 4,5 5,2

5,6 4,3 4,8

5,4 4,1 3,2

5,2 4,1 3,2

Segundo semestre

7,0 5,2 4,7

6,1 5,1 4,5

5,7 5,0 3,2

5,4 5,0 6,4

5,3 5,0 6,0

5,3 4,7 5,5

5,3 5,0 5,0

5,3 4,9 5,0

5,2 4,1 4,5

5,2 4,6 3,2

Responde las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el valor del rango en cada semestre?, ¿qué semestre presenta calificaciones más dispersas, en relación al promedio? b. ¿Cuánto es el valor de la desviación media en cada semestre? c. Según la situación, ¿cómo interpretarías el valor de la desviación media? ¿Corrobora la “sensación” de los estudiantes? 2. Agrupa las notas de la actividad anterior en intervalos, para cada semestre. a. Calcula la desviación estándar de la distribución. b. Compara los valores obtenidos a partir de los datos concretos con los obtenidos a partir de los datos agrupados. ¿Qué puedes concluir?

Estadística II

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Unidad 6

En resumen


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:Maquetación 1

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Correlación Al analizar algunos gráficos de dispersión se puede advertir, por ejemplo, si existe o no alguna asociación entre las variables. Observa. Gráfico I

Recuerda que... El gráfico de dispersión se realiza trazando puntos en un plano coordenado de acuerdo con los pares de valores observados para mostrar la relación entre dos variables.

correlación: relación estadística entre dos variables.

Gráfico III

Analicemos... • • • •

Glosario

Gráfico II

¿En cuál o cuáles de los gráficos anteriores existe una asociación entre las variables?, ¿por qué? ¿Qué puedes concluir acerca de los datos representados en el gráfico III? Explica. ¿Cuál de los gráficos anteriores podría representar los datos de masa y estatura de un grupo de estudiantes?, ¿por qué? ¿Cuál de ellos podría representar la relación entre la edad de una persona y los años que le quedan para jubilar? Justifica.

Muchas veces se necesita analizar los valores de dos variables estadísticas distintas sobre una misma población, con el fin de determinar si existe alguna relación entre ellas; esto es, si los cambios en una de ellas influyen en los valores de la otra. Si es así, se dice que hay correlación entre las variables. En general, al observar un gráfico de dispersión, se puede apreciar si los puntos se agrupan cerca de alguna curva. Si esta curva es creciente, se dice que la correlación es positiva: al aumentar una variable, la otra tiene también tendencia a aumentar. Si la curva es decreciente, la correlación es negativa: al aumentar una variable, la otra tiene tendencia a disminuir. Si no existe relación, se dice que su correlación es nula. Además de observarla en el gráfico, se puede medir la correlación usando el coeficiente de correlación lineal de Pearson r, que se puede calcular mediante la expresión x1 ⋅ y1 + x 2 ⋅ y2 + ... + xn ⋅ yn − x⋅y n r = sx ⋅ sy donde sx es la desviación estándar de la variable x y sy es la desviación estándar de la variable y.

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El valor de r varía entre –1 y 1, de modo que: • r cercano a 1, indica correlación positiva. • r cercano a –1, indica correlación negativa. • r cercano a cero, indica correlación nula. Por ejemplo, en el siguiente gráfico se observan datos de masa y estatura obtenidos de nueve alumnas de Cuarto Año Medio. Se observa una correlación positiva entre las variables. De hecho, en este caso, la correlación para estos datos es 0,671.

Unidad 6

:Maquetación 1

90 80 70

Masa (kg)

UNIDAD 6 (224-263)C

60 50 40 30 20 10 0 1,6

1,65

1,7

1,75

1,8

1,85

Estatura (m)

En resumen •

La correlación de dos variables corresponde al grado de asociación que existe entre ellas. La correlación puede ser: • • •

positiva: si están directamente relacionadas. negativa: si se relacionan de manera inversa. nula: si no existe relación entre ellas.

La correlación se puede medir usando el coeficiente de correlación lineal de Pearson. Este coeficiente varía entre –1 y 1.

Actividades 1. En las siguientes situaciones, señala si la correlación debiera ser positiva, negativa o nula. a. b. c. d. e.

Cantidad de hijos de una familia y dinero gastado por esa familia en alimentación. Longitud de la mano y longitud del pie. Nivel de endeudamiento y la renta de una persona. Edad de una persona y cantidad de libros que ha leído. Número de trabajadores y tiempo de demora en realizar un trabajo.

2. Si el coeficiente de correlación de Pearson de dos variables es cero, ¿es correcto afirmar que las variables no están relacionadas? Explica. 3. Al estudiar la relación entre la masa y la edad de los niños y niñas de un jardín infantil, se obtuvo que el coeficiente de correlación de Pearson era de 0,85. Por otra parte, en una casa de reposo para ancianos se hizo el mismo estudio, y se obtuvo como coeficiente de correlación 0,345. ¿Existe un grado de asociación entre la edad y la masa de una persona?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir? Justifica.

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Diagrama de tallo y hojas Se registró la presión sistólica (en mmHg) de 40 pacientes y se obtuvieron los siguientes datos: 121, 143, 156, 162, 134, 122, 119, 136, 148, 160, 146, 154, 132, 116, 153, 121, 143, 154, 127, 118, 128, 120, 163, 156, 117, 128, 149, 135, 143, 167, 115, 163, 157, 138, 129, 143, 143, 129, 139, 122

Analicemos... • •

Médico tomando la presión sistólica.

Glosario diagrama de tallo y hojas: diagrama que permite resumir u ordenar un conjunto de datos, de modo de conocer intuitivamente la forma de su distribución. Se utiliza para estudiar la dispersión de los valores de una muestra.

¿En qué intervalo de valores se concentran los datos presentados?, ¿para qué valores se presentan menos casos? Explica. ¿Crees que este conjunto de datos es poco variable o muy variable?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir?

Si observas los datos anteriores, podrás apreciar que los datos se encuentran entre 110 y 170, así como que varios de ellos están entre 110 y 119, otros están entre 120 y 129, y así sucesivamente. Basados en esta idea, se puede construir un diagrama de tallo y hojas, que nos permite organizar los datos. Observa. Se divide cada número en dos partes: un tallo, por ejemplo, en este caso, 12 ó 14, y una hoja, tal como 2 ó 3. Por ejemplo, el primer valor, 121, se separa en 12 y 1. Luego, se escribe la hoja, 1, en la fila correspondiente al tallo, 12. 11 12 13 14 15 16

Pon atención En este caso, el tallo representa la cifra de las decenas, y las hojas, las unidades.

5 0 2 3 3 0

6 1 4 3 4 2

7 1 5 3 4 3

8 2 6 3 6 3

9 2 8 3 6 7

7 8 8 9 9 9 6 8 9 7

Con el diagrama anterior podemos visualizar que, en este grupo, la mayoría de los pacientes registra una presión sanguínea que bordea los 130 mmHg. Además, es muy fácil determinar el menor valor observado, 115, y el mayor, 167.

En resumen •

Otra forma de organizar la información es utilizando el diagrama de tallo y hojas, que nos sirve para analizar la variabilidad de los datos, o bien para comparar dos grupos diferentes.

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:Maquetación 1

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Actividades 1. Dibuja un diagrama de tallo y hojas para el siguiente conjunto de datos. Luego, responde. 50 35 37 43 45

28 33 39 48 50

25 22 34 40 60

68 27 43 42 41

62 51 27 57 53

57 55 32 40 45

58 43 49 46 48

37 40 70 53 53

a. ¿Cuál es la mediana de los datos? b. ¿Cuál es el rango de los datos? c. ¿Cómo es la dispersión de los datos? 2. A continuación se presentan los resultados de dos cursos en una prueba. 4ºA 3,2 5,8 4,6

3,5 3,9 4,4

4,9 3,6 3,8

5,0 4,2 3,6

3,1 4,6 4,5

4,1 1,9 4,1

2,9 2,8 4,1

2,8 2,9 4,3

3,8 3,3 4,3

4,5 3,9 4,2

3,5 5,1 5,4

2,9 4,3 4,2

1,3 5,3 4,4

1,7 3,2 4,3

3,6 2,8 1,6

5,6 2,6 2,9

2,8 5,5 4,1

5,2 5,4 3,9

5,3 4,8

4,1 4,9

4ºB

a. Construye un diagrama de tallo y hojas para cada curso. b. ¿Cuál de los dos cursos tuvo un rendimiento más homogéneo?, ¿por qué? 3. Los siguientes datos corresponden a la tasa bruta de natalidad y mortalidad infantil de algunos países de Latinoamérica.

27

20

Natalidad (niños nacidos vivos en un año, por cada 1000 habitantes): 20 21 21 16 19 15 24 15

18

17

Mortalidad (número de muertes al año por cada 1000 habitantes, niños menores de cinco años): 21

57

20

22

20

19

28

14

29

9

16

22

Fuente: Organización Panamericana de la Salud. 2009. http://new.paho.org

a. Construye un diagrama de tallo y hojas para los datos anteriores. b. Se afirma que la tasa de mortalidad infantil correspondiente a países africanos es de aproximadamente 180. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre países latinoamericanos y africanos? c. ¿A qué problemas puede conllevar la diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad?

Estadística II

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Unidad 6

UNIDAD 6 (224-263)C


UNIDAD 6 (224-263)C

:Maquetación 1

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Muestras al azar Eduardo y Antonia llegaron al Parque Nacional Pan de Azúcar a estudiar la fauna del lugar. Para calcular la población total de una colonia de pingüinos Humboldt que habita en el parque, siguieron el siguiente procedimiento: durante cuatro días capturaron 120 pingüinos, a los cuales marcaron con una cinta. Una semana después, en diversos sitios del parque, capturaron 160 pingüinos, de los cuales 30 estaban marcados. Pingüinos de Humboldt.

Analicemos... • • •

Recuerda que... Una muestra representativa es un subconjunto o subgrupo de la población que tiene la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.

A partir de esta información, ¿cuál es la población total de pingüinos? Explica. Si capturaran nuevamente 160 pingüinos, ¿obtendrían el mismo resultado?, ¿por qué? ¿Esta muestra es representativa? Justifica.

En ocasiones, se necesita obtener el número de elementos que tiene una población. Para este fin, se toma una muestra, se marca y se devuelve a la población originaria. Luego, se toma una segunda muestra, y con los elementos marcados de esta muestra, se forma una razón con su total, entregando así un valor aproximado del tamaño de la población. En el caso presentado, el tamaño de la población de pingüinos se calcula: 120 30 = N 160

N=

160 ·120 = 640 30

Es decir, 640 pingüinos habitan en el Parque Nacional Pan de Azúcar. El cálculo anterior no es más que una estimación de la cantidad de población, ya que dependerá de lo representativa que sea la muestra escogida. La estimación en la práctica es muy difícil, por esta razón se toman varias muestras para mejorarla.

Glosario muestreo: forma de seleccionar a un individuo de la población para una muestra. Algunos tipos de muestreo son: aleatorio, sistemático, estratificado, entre otros.

236 | Unidad 6

Para que la muestra sea representativa se deben considerar varios aspectos; uno de ellos es el tamaño de la muestra: mientras mayor sea su tamaño, mayor será su confiabilidad, pero a su vez más costoso será el estudio. Otro aspecto que se relaciona con el muestreo, es que todos los integrantes de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados para conformar la muestra; por este motivo, la selección debe ser al azar. En este caso se dice que la muestra es una muestra aleatoria.


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Si se desea conocer la media aritmética de una población, a partir de los datos de la muestra, se puede obtener un intervalo de confianza, de modo que se pueda asegurar que la media se encuentra dentro del intervalo, con un nivel de confianza dado. La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza: ⎡ x − k ⋅ s , x + k ⋅ s ⎤ ,donde x–: media muestral. ⎢⎣ n n ⎥⎦ k: coeficiente asociado al nivel de confianza. s: desviación estándar de la muestra. n: número de elementos de la muestra. El margen de error depende del nivel de confianza y del tamaño s de la muestra, ya que el error corresponde a E = k ⋅ . n Ejemplo Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión). 2

5

6

8

8

9

9

10

11

11

11

13

13

14

14

14

14

14

14

15

15

16

16

16

16

16

16

16

16

17

17

17

18

18

18

19

19

19

19

19

19

19

19

20

20

Para determinar un intervalo de confianza para el puntaje promedio de la población, se puede remplazar en la expresión la media muestral, x– = 14,5, la desviación estándar muestral, s = 4,3, y el valor de k = 1,96, que corresponde a un nivel de confianza de 95%. Luego, un intervalo de confianza aproximado es: ⎡14, 5 − 1, 96 ⋅ 4, 3 , 14, 5 + 1, 96 ⋅ 4, 3 ⎤ = 13, 2, 15, 8 [ ] ⎣⎢ 45 45 ⎦⎥

Glosario intervalo de confianza: intervalo en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro que se está estimando, con una probabilidad determinada. nivel de confianza: es la probabilidad de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro.

Recuerda que... Un parámetro es una característica numérica de una población. Corresponde a una constante fija para cada estudio particular; por ejemplo, la media aritmética de la población.

Pon atención El coeficiente k se obtiene de la siguiente tabla: Nivel de confianza (%)

Coeficiente k

68

0,99

75

1,15

80

1,28

90

1,64

95

1,96

96

2,05

97

2,17

98

2,32

99

2,58

Es decir, el puntaje promedio de la población se encuentra entre 13,2 y 15,8, con un nivel de confianza de un 95%.

Estadística II

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Unidad 6

UNIDAD 6 (224-263)C


UNIDAD 6 (224-263)C

:Maquetación 1

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Glosario tamaño de la muestra: corresponde al número mínimo de datos o sujetos que se necesitan para conformar una muestra n que asegure un error estándar menor que un valor determinado, fijado por el investigador, dada la población N.

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En ocasiones, cuando se está planificando un estudio, los investigadores necesitan estimar el tamaño de la muestra que les entregaría un nivel de confianza adecuado a sus requerimientos. En estos casos, la expresión para el intervalo de confianza se puede utilizar para estimar cuál sería el tamaño de la muestra necesario para obtener un nivel de confianza dado. Observa. El tamaño de la muestra se puede calcular de la siguiente forma: k ⋅σ ⎞ n=⎛ ⎝ E ⎠

2

donde k: nivel de confianza σ: desviación estándar de la población E: margen de error

Pon atención x: s: μ: σ:

media muestral. desviación estándar muestral. media poblacional. desviación estándar poblacional.

Ejemplo En un colegio de 1600 alumnos y alumnas se está estudiando la relación entre la estatura de los niños y niñas al nacer y otras variables. Se sabe que la desviación estándar de la población es de 1,5 cm y se desea estimar la media con un 99% de confianza y con un error máximo de 0,5 cm. 2

⎛ 2, 58 ⋅ 1, 5 ⎞ n=⎜ = 59, 9076 ≈ 60 ⎝ 0, 5 ⎟⎠ Entonces, se debe tomar una muestra de al menos 60 estudiantes.

Actividades 1. Una marca de artículos deportivos está interesada en conocer el promedio de edad de sus clientes. Una muestra aleatoria de 25 clientes arrojó una edad promedio de 19 años, con una desviación estándar de 3 años. Determinar el intervalo de confianza para la edad promedio de los clientes y su amplitud, con un nivel de confianza de 95%. 2. Una muestra aleatoria de 81 televisores reportó que el intervalo de confianza para el tiempo promedio de presentación de fallas técnicas (en años) fue de [2,113, 2,287]. Considerando que la desviación estándar es de 0,4 años, ¿cuál es el nivel de confianza de este intervalo?

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:Maquetación 1

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Página 239

3. Uno de los objetivos de un estudio acerca de los hábitos deportivos es conocer la proporción de jóvenes que corren diariamente durante dos o más horas. a. Para realizar la estimación al 95% de confianza con un margen de error máximo de 0,01 y un desviación estándar de 0,5, ¿cuál es el tamaño necesario para la muestra? b. ¿Qué ocurre con el tamaño muestral si se aumenta el nivel de confianza a un 99%, manteniendo el margen de error? Justifica tu respuesta. c. ¿Qué sucede con la amplitud del intervalo en el caso anterior?, ¿por qué piensas que ocurre esto? 4. Para estimar la cantidad de salmones en un lago se realizaron las siguientes acciones: I. Se capturó una muestra al azar, se les marcó y fueron devueltos al agua. II. Poco tiempo después, se obtuvo una nueva muestra, se registró la proporción de salmones marcados versus el total de especies de la muestra. Si en el primer proceso se capturaron y marcaron 100 salmones, y posteriormente se capturaron 80, de los cuales 20 están marcados, ¿cuántos salmones hay aproximadamente en el lago?

En resumen •

La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza: ⎡ x − k ⋅ s , x + k ⋅ s ⎤ , donde x : ⎢⎣ n n ⎥⎦ k: s: n:

media muestral. coeficiente asociado al nivel de confianza. desviación estándar de la muestra. número de elementos de la muestra. s . n

El margen de error corresponde a E = k ⋅

El tamaño de la muestra se puede calcular de la siguiente forma: 2 k ⋅σ ⎞ , donde k: nivel de confianza. n=⎛ ⎝ E ⎠ σ: desviación estándar de la población. E: margen de error.

Se puede estimar el tamaño de la población realizando dos muestras sucesivas y, luego, despejando N de la ecuación: n1 m = , donde n1: tamaño de la primera muestra. N n2 n2: tamaño de la segunda muestra. m: número de individuos marcados en la segunda muestra. N: tamaño de la población.

Estadística II

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Unidad 6

UNIDAD 6 (224-263)C


UNIDAD 6 (224-263)C

:Maquetación 1

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Página 240

Distribución normal Matilda y Emiliano conjeturan acerca de cuáles son los resultados posibles de la suma de los puntos obtenidos al lanzar tres dados. Matilda cree que es más probable que sumen 10 puntos o menos, mientras Emiliano piensa que es más probable que sumen 11 puntos o más. Para comprobar sus conjeturas, decidieron lanzar 220 veces tres dados y, luego, anotar las sumas de sus puntos, en cada caso. Después, organizaron los valores obtenidos en la siguiente tabla: Suma

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Frecuencia 2

3

6 10 15 21 25 28 27 25 20 16 11 7

3

1

Analicemos... • • •

Glosario distribución normal: una de las distribuciones de probabilidad de variable continua, cuyos parámetros son μ, la media aritmética, y σ, la desviación estándar. Se le llama normal porque es la que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. campana de Gauss:

μ

240 | Unidad 6

¿Cuáles son los valores menos frecuentes?, ¿cuáles son los más frecuentes?, ¿por qué crees que ocurre esto? Si decidieran lanzar los dados 100 veces más, ¿se mantendría esta tendencia? Justifica. Según los datos, ¿se comprueba la conjetura de Matilda o la de Emiliano?, ¿por qué?

Como se puede observar en la tabla de la situación anterior, los valores centrales, del 8 al 13 en este caso, presentan las mayores frecuencias, mientras que los valores extremos, 3, 4, 17 y 18, en este caso, son los menos frecuentes. En general, si se repite una experiencia un gran número de veces, los resultados tienden a agruparse simétricamente en torno a un valor medio. Cuantas más veces se repita la experiencia, más se acercan los resultados a una curva ideal correspondiente a una distribución normal. Al observar las características de la curva, llamada campana de Gauss, se puede ver que es simétrica con respecto a la media, tiene un vértice, y que sus dos extremos se extienden indefinidamente, acercándose a 0.


UNIDAD 6 (224-263)C

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Página 241

Unidad 6

La distribución de probabilidad normal ocupa un lugar importante en la Estadística, porque en general se ajusta a las distribuciones de frecuencia reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas (peso, estatura, CI, etc.) y resultados de procesos físicos (dimensiones y rendimientos). Cuando se conocen los valores de μ y σ de un conjunto de datos, mediante la distribución normal se puede estimar el porcentaje de individuos asociados a un intervalo de valores. En el caso de los datos obtenidos por Matilda y Emiliano, μ = 10,5 y σ = 3,0, se puede decir que el 68,3% de los datos obtenidos se encuentran