Las ecuaciones paramétricas de la recta AB son:
⎧x = 2 + λ ⎪ r : ⎨ y = 6 − 3λ ⎪z = −3 + λ ⎩ Para los puntos de ella que tengan al menos una coordenada nula probaremos (x, y, 0), (x, 0, z), (0, y, z), (x, 0, 0), (0, y, 0) , (0, 0, z) y (0, 0, 0) determinando el valor de
λ
(si existe) en cada caso.
Para (x, y, 0)
2+λ = x ⎫ ⎪ 6 − 3λ = y ⎬ − 3 + λ = 0⎪⎭ , de la última se obtiene que λ =3, valor que sustituido en las otras dos nos da: x=5; y= -3 y el punto buscado es (5, -3, 0) Para (x, 0, z)
2+λ = x ⎫ ⎪ 6 − 3λ = 0 ⎬ − 3 + λ = z ⎪⎭ , de la segunda λ =2, y en las otras dos x=4; z=-1 siendo el punto (4, 0, -1) Para (0, y, z)
2+λ =0 ⎫ ⎪ 6 − 3λ = y ⎬ − 3 + λ = z ⎪⎭ , de la primera λ =-2, entonces y=12; z=-5 siendo el punto (0, 12, -5) Para (x, 0, 0)
2+λ = x ⎫ ⎪ 6 − 3λ = 0 ⎬ − 3 + λ = 0⎪⎭
de la 2ª,
λ =2 y de la 3ª λ =3, no existe tal punto
Para (0, y, 0)
2+λ =0 ⎫ ⎪ 6 − 3λ = y ⎬ − 3 + λ = 0⎪⎭ , de la 1ª λ =-2, de la 3ª λ =3, no existe tal punto Para (0, 0, z)
2+λ =0 ⎫ ⎪ 6 − 3λ = 0 ⎬ − 3 + λ = z ⎪⎭ , de la 1ª λ =-2, de la 2ª λ =2, no existe tal punto Para (0, 0, 0)
2+λ =0 ⎫ ⎪ 6 − 3λ = 0 ⎬ − 3 + λ = 0⎪⎭ , de la 1ª λ =-2, de la 2ª λ =2 y de la 3ª λ =3, no existe tal punto. Los únicos puntos que se ajustan al problema son A(5, -3, 0), B(4, 0, -1), C(0, 12, -5) que son respectivamente los puntos en los que la recta r corta a los planos XY, XZ e YZ