Brochura - Geometria Analítica do Espaço

ESCOLA SECUNDÁRIA DE SANTA MARIA MAIOR

EXERCÍCIOS

GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO 10.º ANO

2021/2022

Prefácio

Este projeto foi realizado pelos alunos das turmas B, C, J e K do 10.º ano de escolaridade.

Em que consistiu este projeto?

As turmas foram divididas em grupos e a cada grupo foi atribuída uma figura de um sólido representado num referencial do espaço. Com base na figura tinham de construir um enunciado e, pelo menos, quatro questões que envolvessem os conceitos já estudados na disciplina.

Cada grupo irá implementar o seu trabalho aos restantes grupos e, face às dúvidas que possam surgir, prestar os devidos esclarecimentos. Todo este processo permitirá ao professor recolher informações significativas sobre as aprendizagens dos alunos nos domínios da disciplina.

Quais eram os objetivos do projeto?

• • • • • •

Incentivar o trabalho e espírito do trabalho em equipa; Promover o pensamento matemático; Promover a comunicação matemática; Promover a resolução de problemas; Consolidar as aprendizagens essenciais relacionadas com o tema “Geometria Analítica do Espaço”; Construir uma brochura com os trabalhos dos diferentes grupos.

Esta brochura constitui uma ferramenta de estudo e de trabalho para que os alunos possam consolidar as aprendizagens essenciais definidas para o 10.º ano relativas à Geometria Analítica do Espaço.

Face ao desafio proposto pelo professor, houve uma resposta significada de empenho, trabalho e dedicação de todos os alunos.

Por fim, um agradecimento às professoras Teresa Pimentel, Helena Moreira e Fátima Lima pelo seu contributo na revisão científica dos trabalhos realizados.

P á g i n a 2 | 38

10.ºB

A turma é constituída por 23 alunos do curso Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias.

P á g i n a 3 | 38

Autores: Danilo Rocha | Leonardo Rego | Mª Rita Sousa

1.

Considera, num referencial o.n. do espaço 𝑂𝑥𝑦𝑧, o cubo [𝐴𝐵𝐶𝑂𝐷𝐸𝐹𝐺] Sabe-se que o ponto 𝐷 tem coordenadas (0,0,5)

1.1. Indica as restantes coordenadas dos vértices do cubo.

1.2. Determina as coordenadas de 𝐻 sabendo que a área do triângulo [𝐹𝐸𝐷] é

5 3

da área do triângulo

[𝐻𝐸𝐷].

1.3. As coordenadas do ponto médio de [𝑂𝐻] são: (A) (5, −3,5)

5 2

3 5 2 2

5 3 2 2

(B) ( , − , )

5 2

(C) (− , , − )

(D) (−5,3, −5)

1.4. Caracteriza a interseção da superfície esférica 𝑆 de centro em 𝐺 contendo 𝐻, com o plano mediador do segmento de reta [𝐷𝐸].

5

5

1.5. Considera a reta 𝑟 definida por (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 , −5 , 5 ) + 𝑘 (2 , 5 , −5 ) , 𝑘 ∈ ℝ Sejam 𝐼 e 𝐾 os pontos de interseção da reta 𝑟 com a superfície esférica 𝑆.

Calcula o perímetro do triângulo [𝐹𝐼𝐾].

1.6. Considera a esfera de centro em 𝐸 e com o raio igual à medida do comprimento do segmento de reta [𝐸𝐷].

Calcula o volume do cubo não ocupado pela esfera.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 4 | 38

Autores: Bruna Cruzeiro | Maria Borlido | Rodrigo Esteves |Tiago Pereira

2. Na figura está representado, em referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um cubo em que um dos seus vértices é a origem do referencial e a face superior coincide com a base de uma pirâmide quadrangular regular.

Sabe-se que: • O ponto 𝑃 tem de coordenadas (6; 0; 0); • O ponto 𝑁 pertence ao eixo 𝑂𝑦; • O volume da pirâmide [𝑈𝑀𝑆𝑉] é 6√6 + 18 u.v.

• 𝑀 é o ponto médio de [𝑇𝑆]; • 𝐶 é o centro do cubo; • 𝐴 é o ponto médio de [𝑄𝑁].

2.1. Determina as coordenadas do ponto 𝑉.

2.2. Determina a equação da esfera que passa por todos os vértices do cubo.

2

2.3. Considera o ponto 𝐾 de coordenadas (3; −3; 3 √6).

2.3.1. Escreve uma equação do plano paralelo a 𝑥0𝑦 que passa pelo ponto 𝐾.

2.3.2. Determina a área da secção definida pelo plano da alínea anterior com a pirâmide [𝑃𝑂𝑁𝑄𝑉].

2.4. Determina 𝑢 ⃗ de modo que seja colinear e com o mesmo sentido de ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑄 de norma √217.

2.5. Qual das seguintes opções representa 𝜌 ∈ ℝ de modo que 𝐷(2 − 𝜌; −3; 𝜌2 − 4) pertença a [𝑄𝑆].

(A) 1

1

(B) 2

1

(C) − 2

(D) −1

2.6. Determina o plano mediador que passa pelo ponto com maior cota originado pela interseção da reta 𝐴𝐶 com a superfície esférica inscrita no cubo.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 5 | 38

Autores: Beatriz Gigante | Érica Pinto | Lara Carvalho

3. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz o cubo [𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻].

Sabe-se que: • a face [𝐶𝐷𝐸𝐻] está contida no plano 𝑦𝑂𝑧; • a face [𝐴𝐵𝐶𝐷] está contida no plano 𝑥𝑂𝑦; ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‖ = 3√2; • ‖𝐴𝐶 • o ponto 𝐷 tem ordenada 6 • a reta 𝑟 é definida pela equação: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−5,1, −6) + 𝑘(7,5,6), 𝑘 ∈ ℝ.

3.1. Mostra que a aresta do cubo é 3.

3.2. Define, por uma condição, a esfera inscrita no cubo.

3.3. O volume da pirâmide, cujos vértices da base são os pontos médios das arestas da face [𝐴𝐵𝐶𝐷] e cuja altura é o dobro da aresta do cubo, é: (A) 9 u.v.

(B) 18 u.v.

(C) 36 u.v.

(D) 54 u.v.

3.4. Seja 𝑃 o simétrico do ponto 𝐹 em relação ao plano 𝑥𝑂𝑧.

Determina a área da secção obtida pela interseção da esfera de diâmetro [𝑃𝐶] com o plano de equação 𝑦 = −4.

3.5. Determina a interseção da reta 𝑟 com o plano paralelo a 𝑦𝑂𝑧 que passa no ponto 𝐵. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 3.6. Determina ‖𝐸𝐺 𝐶𝐵 + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐻𝐶 ‖.

3.7. Sabe-se que 𝑇 é o ponto de interseção da reta 𝑟 com o plano de equação 𝑦 = 5.

Sejam 𝐼, 𝐽, 𝐾 os pontos de interseção do plano mediador de [𝑇𝐺] com os eixos 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 e 𝑂𝑧, respetivamente.

Calcula o perímetro do triângulo [𝐼𝐽𝐾].

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 6 | 38

Autores: Constança Morais | Filipe Couto | Francisca Castro | Luís Rodrigues

4.

Fixado um referencial ortonormado 𝑂𝑥𝑦𝑧, considera a pirâmide quadrangular regular [𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉] representada na figura que se segue.

Sabe-se que: • o ponto 𝐴 tem coordenadas (2, 1, 0); • o ponto 𝐵 tem coordenadas (1, 1, 3); • o ponto 𝐷 tem coordenadas (1, 1 − √5, 2); • o vértice 𝑉 tem abcissa 6; ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , com o mesmo sentido e de norma 2√5.

4.1. Determina as coordenadas do vetor colinear com 𝐵𝐶 4.2. Qual a norma do vetor que resulta da soma do vetor obtido na questão anterior com ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵𝐴?

(A) 2√15

(B) √30

(C) √10

(D) 2√5

4.3. Definiu-se por 𝐸 o ponto médio de [𝐴𝐵]. A reta 𝑟 passa pelo ponto de coordenadas (5, −5√5, 3) e pelo vértice 𝑉 e é paralela à reta 𝐷𝐸.

Determina as coordenadas do ponto 𝑉.

4.4. Calcula o volume da pirâmide triangular [𝐴𝐶𝐷𝑉].

Apresenta o resultado arredondado às décimas.

Nos cálculos intermédios, utiliza sempre 2 c.d. (casas decimais).

(Nota: A altura da pirâmide [𝐴𝐶𝐷𝑉] corresponde à altura da pirâmide quadrangular [𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉]. ) 4.5. Considera uma pirâmide quadrangular regular [𝐸𝐹𝐺𝐻𝑉], de aresta da base 4 e altura 12.

4.5.1. Calcula o volume do maior cubo que pode ser inscrito neste sólido.

4.5.2. Calcula o volume da nova pirâmide cuja base coincide com a face superior do cubo e que tem vértice 𝑉.

4.6. Considera a pirâmide quadrangular regular [𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹].

Sabe-se que a medida da aresta da base é 24 e a da sua altura é 16.

Sabendo que a esfera é tangente a todas as faces da pirâmide, calcula a área da sua superfície.

(Nota: A área da superfície esférica calcula-se por 𝐴 = 4𝜋𝑟 2 .)

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 7 | 38

Autores: Cláudia | Gonçalo Pereira | Francisco Ribeiro | Margarida Fonseca

5. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, uma pirâmide quadrangular regular de vértice 𝑉 e base [𝐴𝐵𝐶𝐷].

Sabe-se que: • O vértice 𝑉 pertence ao plano 𝑥0𝑦; • O plano 𝐴𝐵𝐶 é paralelo ao plano 𝑥0𝑦; • O ponto 𝐵 pertence ao plano 𝑦0𝑧; • O ponto 𝐶 pertence ao eixo 0𝑧 e tem cota positiva; • O ponto 𝐷 pertence ao plano 𝑥0𝑧; • O ponto 𝐸 é o centro da base da pirâmide; • O ponto 𝐹 é o ponto médio de [𝐷𝐸] e não se encontra representado na figura; • A altura da pirâmide e a aresta da base têm o mesmo comprimento; • A reta 𝐷𝑉 pode ser definida por (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (15, −9,24) + 𝑘(3, −3,6), 𝑘 ∈ ℝ 5.1. Mostra que 𝐷(6,0,6) 5.2. Determine as coordenadas do ponto 𝐶 5.3. Determine a equação reduzida do plano 𝐷𝑉𝐵 5.4. Determina os pontos de interseção da reta 𝐵𝑉 com uma superfície esférica de diâmetro [𝐹𝐵].

5.5. O ponto da reta [𝐸𝐴], de abcissa e ordenada negativa, que dista 18 unidades do ponto 𝑉, tem de coordenadas: (A) (−9, −9,6)

(B) (−5, −5,6)

(C) (15,15,6)

(D) (−2, −2,6)

5.6. A pirâmide representada na figura foi dividida numa pirâmide menor e num tronco de pirâmide por um plano 𝛼, paralelo ao plano 𝑥0𝑦. A razão entre os volumes da nova pirâmide e o do tronco de pirâmide é

1 5

.

𝐺 é o ponto de interseção do plano 𝛼 com a reta 𝐴𝑉 e não está representado na figura.

Determine a equação reduzida da superfície esférica de centro 𝐺 e que contém o ponto 𝐴.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 8 | 38

Autores: António Marques | Marta Rufo | Miguel Moreira | Rita Machado

6. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻], em que a face [𝐵𝐶𝐻𝐺] está contida no plano 𝑦𝑂𝑧 e as faces [𝐴𝐵𝐶𝐷] e [𝐴𝐵𝐺𝐹] são paralelas aos planos 𝑥𝑂𝑦 e 𝑥𝑂𝑧, respetivamente.

Sabe-se que: • •

o vértice 𝐵 tem coordenadas (0,3,9); a reta 𝐹𝐻 é definida pela equação (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−2,9,5) + 𝑘(−2,2,0), 𝑘 ∈ ℝ

6.1. Prova que a aresta do cubo é 4.

6.2. Mostra que 𝐻 (0,7,5) 6.3. Prova que o volume da região compreendida entre a esfera tangente aos vértices do cubo e a esfera tangente às faces do cubo é

32𝜋 (2√2 − 3

1)

6.4. Define, por uma condição, o plano perpendicular à reta 𝐴𝐵, que passa pelo ponto da reta 𝐹𝐻, cuja abcissa é igual à ordenada.

6.5. Considera uma pirâmide de base [𝐹𝐸𝐻] e vértice 𝑉, em que 𝑉 = G − ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐷𝐻 + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐹𝐷 Determina a área da secção obtida nessa pirâmide pelo plano de equação 𝑧 = 9.

6.6. Determina

o 1

ponto

do 1

𝑥 = 2 ∧ 𝑧 = 2 ∧ −2√2 ≤ 𝑦 ≤ 2

que

segmento pertence

√2𝑥 2 + √2𝑦 2 + √2𝑧 2 − √8𝑥 + 2𝑦 − 3√2𝑧 −

de à

reta

superfície

definido esférica

pela

definida

pela

condição equação

√2 =0 4

6.7. Qual das opções seguintes são as coordenadas do ponto 𝑃, o ponto de interseção do plano mediador de [𝐵𝐸] com a reta 𝑟: 𝑦 = 3 ∧ 𝑧 = 7 ?

(A) 𝑃(4,5, −7)

(B) 𝑃(−4,3,7)

1

(C) 𝑃 (4, 2 , 7)

(D) 𝑃(4,3,7)

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 9 | 38

10.ºC

P á g i n a 10 | 38

Autores: Alexandre Franchyshyn | Caroline Santana | Tiago Soares

7.

Num referencial ortonormado do espaço está representado o cubo [𝑂𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻].

Sabe-se que: • Os pontos 𝐴 e 𝐵 pertencem aos semieixos positivos 𝑂𝑥 e 𝑂𝑦, respetivamente; • 𝐴𝐺 = 10√2; • 𝐻(14,8,0) 7.1. Defina através de uma condição a semirreta 𝐸̇ 𝐻.

7.2. Determine as coordenadas do ponto 𝐶.

7.3. Considere a superfície esférica de centro no ponto 𝐷, de equação: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 16𝑥 − 20𝑧 + 20 = 0 Indica as coordenadas do centro e o raio da superfície esférica.

7.4. Determine uma equação vetorial da reta 𝐹𝐺. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , e com o mesmo 7.5. Qual das opções seguintes representa o vetor 𝑣 , de norma 20, colinear com 𝐴𝐻 sentido?

(A) 𝑣 ⃗​⃗​⃗ (−12, −16, 0)

(C) 𝑣 ⃗​⃗​⃗ (12, 16, 0)

(B) 𝑣 ⃗​⃗​⃗ (12, 0, −8)

(D) 𝑣 ⃗​⃗​⃗ (16, 12, 0)

7.6. Calcule o volume de um dos sólidos que resulta da interseção do plano mediador de [𝐴𝐻], com o cubo [𝑂𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻].

7.7. Considera a reta 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,4, −1) + 𝑘(1, −4,3), 𝑘 ∈ ℝ.

Determine o ponto de interseção do plano 𝐴𝐵𝐶 com a reta 𝑟.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 11 | 38

Autores: Francisco Sousa | Maria Peres | Tiago Jácome

8. Considera, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, o prisma triangular regular [𝑃𝑆𝑄𝑅𝑇𝑂].

Sabe-se que: •

o ponto 𝑅 pertence ao semieixo positivo 𝑂𝑦

•

o ponto 𝑄 tem coordenadas (6; 6; 0)

•

a área do triângulo [𝑃𝑆𝑄] é 12 u.a.

8.1. Determina as coordenadas dos restantes pontos.

8.2. Escreve uma condição que represente o segmento de reta [𝑃𝑄].

8.3. Determina uma equação do plano mediador de [𝑇𝑆].

Apresenta na forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, com 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 números reais 8.4. Considera a esfera de diâmetro [𝑆𝑄].

8.4.1. A condição da esfera pode ser expressa por:

(A) (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 − 4)2 = 25 (B) (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 − 4)2 = 5 (C) (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 − 4)2 ≤ 25 (D) (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 − 4)2 ≤ 5 8.4.2. Caracteriza a interseção da esfera com o plano 𝑧 = 0 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ .

8.5. Seja 𝑟 a reta passe por 𝑆 e tem a direção do vetor 𝑆𝑅 8.5.1. Escreve uma equação vetorial da reta 𝑟 8.5.2. Determina o ponto de interseção da reta 𝑟 com o plano mediador de [𝑇𝑆].

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 12 | 38

Autores: José Menezes | Rodrigo Passos | Victor Silveira

9. Na figura ao lado está representado um cilindro reto representado num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧.

Sabe-se que: • a base inferior do cilindro tem centro em 𝑂 e está contida no plano 𝑥𝑂𝑦; • os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 pertencem à circunferência que delimita a base inferior

do cilindro; • 𝐵 é a projeção ortogonal de 𝐷 no plano 𝑥𝑂𝑦 e pertence à circunferência

que delimita a base inferior do cilindro; • [𝐶𝐵] é um diâmetro da base inferior e ̅​̅​̅​̅ 𝐶𝐵 = 8√2 .

9.1. Define analiticamente as duas bases do cilindro, sabendo que a altura do cilindro é o quádruplo do raio da base.

9.2. Sabendo que 𝐴 pertence ao plano 𝑦 = √7 e tem abcissa positiva, determina as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑒 𝐷.

9.3. Mostra que o ponto 𝑉 (0, 0, 8√2) pertence à reta 𝐶𝐷.

9.4. Sabendo que o ponto 𝐸 (não representado na figura) pertence à circunferência da base inferior do cilindro e que o ponto 𝑂 é o ponto médio de [𝐴𝐸]: 9.4.1.

Determina as coordenadas do ponto 𝐸.

9.4.2. Escreve uma equação vetorial da reta paralela à reta 𝐵𝐷 que contém o ponto 𝐸.

9.5. O vetor colinear com ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐸 , com o mesmo sentido e norma √72 é: 15 3√7 , 0) 2

(A) ( 2 ,

(B) (−

15 3√7 , − 2 , 0) 2

(C) (−

15 , −2√7, 0) 2

(D) (−

15 3√7 , 2 , 2

0)

9.6. Determina as coordenadas dos pontos 𝑃 e 𝑄, pontos de interseção do plano mediador de [𝐴𝐸] com as bases do cilindro, sabendo que 𝑃 pertence ao plano 𝑧 = 0 e tem abcissa positiva e ordenada negativa; e 𝑄 pertence ao plano que contém a base superior do cilindro e tem abcissa negativa e ordenada positiva.

9.7. Escavou-se no cilindro uma pirâmide quadrangular regular com vértice no ponto 𝑉 e a base inscrita na base inferior do cilindro.

Calcula o volume da parte do cilindro não ocupada pela pirâmide.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 13 | 38

Autores: Carolina Lima | Gonçalo Machado | Tiago Martins

10. Considera no referencial cartesiano Oxyz a pirâmide quadrangular regular [𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸].

Sabe-se que: 76

•

O ponto 𝐴 pertence à reta 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 5 , −16,

•

A área da base é 25 u.a.

•

A base da pirâmide está contida no plano 𝑥𝑂𝑧

•

O ponto 𝐴 pertence ao semieixo positivo 𝑂𝑧

•

O ponto 𝐵 pertence ao semieixo negativo 𝑂𝑥

28 )+ 5

19

8

𝑘 ( 5 , −4, − 5) , 𝑘 ∈ ℝ

10.1. Determina as coordenadas do ponto 𝐴.

10.2. O ponto 𝐵 pertence a um destes lugares geométricos. Qual?

(A) (𝑥 + 7)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 − 5)2 = 16

(C) −12𝑥 + 20𝑦 − 16𝑧 = 36

(B) (5,6,4) + 𝑘(2,0,4), 𝑘 ∈ ℝ

(D) (𝑥 + 1

16 2 ) 5

7 2

+ (𝑦 − 4)2 + (𝑧 − 5) < 18

7

10.3. Sabendo que 𝐷𝐸: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3,20,0) + 𝑘 (2 , 10, − 2) , 𝑘 ∈ ℝ, calcula as coordenadas do ponto 𝐷.

10.4. Mostra que o plano 𝐵𝐷𝐸 é definido por −7𝑥 − 𝑧 = 21 7

7

10.5. Mostra que o ponto 𝐸 tem coordenadas (− 2 , 10, 2).

7

10.6. Existe algum valor de 𝑘 ∈ ℝ para o qual o vetor 𝑢 ⃗ (3 𝑘 2 +

188 , 0,7𝑘) 21

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ e seja colinear com o vetor 𝐵𝐶

tenha sentido contrário?

10.7. O plano de equação 𝑦 = 𝑘, divide a pirâmide em dois sólidos: um tronco de pirâmide e uma pirâmide.

Sabe-se que: • M é o ponto de interseção de 𝐷𝐸 com 𝑦 = 𝑘 • 𝑑(𝐸, 𝑀) =

9√2 2

𝑢. 𝑐.

Determina o valor de 𝑘 ∈ ℝ e calcula o volume do sólido de menor volume.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 14 | 38

Autores: Guilherme Felgueiras | Guilherme Campos | Marta Araújo

11. Considera, num referencial o.n. Oxyz, o prisma [OABCDEFG].

Sabe-se que: • O ponto 𝐴 tem coordenadas (0; 3; 0); • A face [𝑂𝐴𝐵𝐶] está contida no plano 𝑥𝑂𝑦; • A face [𝑂𝐶𝐷𝐸] está contida no plano 𝑥𝑂𝑧; 9

3

• Uma equação vetorial da reta 𝐴𝐶 é (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2; 2 ; 0) + 𝑘(1; 4 ; 0), 𝑘 ∈ ℝ; • O volume do sólido é igual a 144.

11.1. Mostra que 𝐶 tem coordenadas (−4; 0; 0).

11.2. Calcula a altura do prisma.

11.3. Escreve as coordenadas dos vértices do prisma.

11.4. Considera a superfície esférica, 𝑆, de centro 𝐺 e que contém o ponto 𝐻 (ponto, cujo é o centro do prisma).

Caracteriza a interseção da superfície esférica com o plano definido por 𝑦 = 1.

11.5. Foram inseridas no prisma três esferas, cujas umas sobrepostas às outras ficam tangentes às faces [𝑂𝐴𝐵𝐶] e [𝐸𝐹𝐺𝐻] Determina a área do prisma não ocupada pelas esferas Apresenta o resultado arredondado às centésimas. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 11.6. Qual é o vetor resultante da soma dos seguintes vetores, ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐷𝐸 + 𝐷𝐺 𝐷𝐴 − ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐶𝐴? ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (A) −𝐴𝐷

(B) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐸𝐵

⃗ (C) 0

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (D) −𝐸𝐴

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 15 | 38

Autores: Afonso Araújo | João Oliveira | Mª Inês Brito

12. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, a pirâmide não regular [𝑂𝑃𝑄𝑉].

Sabe-se que: •

𝑄 (4, 4, 0)

•

̅​̅​̅​̅ = 𝑄𝑃 ̅​̅​̅​̅ = 𝑃𝑂 ̅​̅​̅​̅ 𝑂𝑄

•

𝑀 (1, 3, 6) é o ponto médio de [𝑃𝑉]

12.1. Determina as coordenadas do ponto: 12.1.1. 𝑃 12.1.2. 𝑉 12.2. Uma equação do plano paralelo ao plano coordenado 𝑥𝑂𝑦 que passa no ponto 𝑉 é: (A) 𝑧 = 12 + 2√6 (B) 𝑦 = 4 (C) 𝑧 = 12 − 2√6 (D) 𝑧 = −2√6 12.3. Determina o ponto de interseção da reta 𝑃𝑉 com o plano coordenado 𝑦𝑂𝑧.

12.4. Determina uma equação cartesiana do plano mediador do segmento de reta [𝑃𝑉] e indica onde interseta o eixo das ordenadas.

12.5. Verifica se o ponto 𝑉 pertence ao plano mediador de [𝑂𝑄].

12.6. Calcula o volume da pirâmide.

12.7. Determina valor de 𝑘 ∈ ℝ para que 𝑃 (𝑘 2 , 3 − 𝑘,

𝑘+2 ) 2

pertença ao plano mediador de [𝑃𝑉].

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 16 | 38

Autores: Ana Teresa Pinto | Enrico Prazeres | Rodrigo Teixeira

13. Considera num referencial 𝑂𝑥𝑦𝑧 a pirâmide quadrangular regular [𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉].

Sabe-se que: •

A face [𝐴𝐵𝐶𝐷] está contida no plano 𝑥𝑂𝑦

•

𝑃 é o centro da base da pirâmide

•

A reta AD é definida por (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 2, 0) + 𝑘(−1, 1, 0), 𝑘 ∈ ℝ

•

O volume da pirâmide é 2 u.v.

13.1. Escreve as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐷 e 𝑃.

13.2. Mostra que a altura da pirâmide é 3 u.c.

13.3. O ponto 𝐸(𝑎 + 1, 2𝑎, 0) pertence ao plano mediador de [𝐵𝐶]. Então, o valor de 𝑎 é: (A)

1 2

(B) −

1 3

(C)

1 3

(D) 1

13.4. Identifica o lugar geométrico resultante da interseção da esfera de diâmetro [𝐵𝑉] com o plano 𝑥𝑂𝑧. Determina a área de interseção. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑉𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 2𝑉𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ .

13.5. Mostra que 𝑉𝐴 13.6. Calcula o volume da pirâmide [𝐸𝐹𝐺𝐻𝑉] sabendo que a base [𝐸𝐹𝐺𝐻] é a interseção da pirâmide representada com o plano 𝑧 = 1.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 17 | 38

10.ºJ

P á g i n a 18 | 38

Autores: Dinis Madureira | Lucas Torre | Pedro Ferreira | Tomás Gonçalves

14. Jjj

P á g i n a 19 | 38

Autores: Carlota Lemos | Mª Inês Rocha | Maria Lima | Maria Correia | Marta Peixoto

15. Na figura, está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um sólido formado por um paralelepípedo

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 e uma pirâmide 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉.

Sabe-se que: •

A base do paralelepípedo está contida no plano 𝑥𝑂𝑦 e a base da pirâmide é a face superior do paralelepípedo;

•

O ponto 𝐻 tem coordenadas (2 , − 6 , 0);

•

O ponto 𝐴 tem coordenadas (2 , 2 , 2);

•

O volume do sólido é 48 u.v.

15.1. Determina as coordenadas dos vértices do paralelepípedo.

15.2. Mostra que a altura da pirâmide é 3.

15.3. Escreve uma equação do plano mediador de CE.

Apresenta a tua resposta na forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 , 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ .

15.4. Seleciona a opção que representa uma equação vetorial da reta 𝐸𝐺: (A) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 , 2 , 0) + 𝑘( 2 , −8 , 0), 𝑘 ∈ ℝ (B) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4 , 10 , 0) + 𝑘( 2 , 8 , 0), 𝑘 ∈ ℝ (C) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−4 , −10 ,0) + 𝑘(1 , 4 , 0), 𝑘 ∈ ℝ (D)(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 , 2 ,0) + 𝑘(−2 , 8 , 0), 𝑘 ∈ ℝ 15.5. O plano 𝑧 = 𝑐 divide o sólido em 2 com igual volume.

Determina 𝑐.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 20 | 38

Autores: Carlota Lemos | Mª Inês Rocha | Maria Lima | Maria Correia | Marta Peixoto

16. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um cone.

Sabe-se que: • A base do sólido está contida no plano 𝑥𝑂𝑦; • O centro do cone é a origem do referencial; • AC e BD são diâmetros da base; • O ponto B tem coordenadas (0 , 6 , 0)

16.1. Calcula as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐶 e 𝐷.

16.2. Sabendo que o volume do cone é 120𝜋, calcula as coordenadas do ponto 𝑉. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 16.3. ∥ 2𝐷𝑉 𝐵𝐴 ∥ é igual a: (A) √780 (B) 2√195 (C) 28,5681 (D) 2√190 16.4. Determina uma condição que defina uma esfera de diâmetro VC.

16.5. Determina o ponto de interseção do plano mediador de AV com o eixo 𝑂𝑥.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 21 | 38

Autores: Ana Rita Batista | Ana Rita Sá | Diogo Pedra | Rita Costa | Rodrigo Vieira

17. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, uma pirâmide quadrangular regular [𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉].

Sabe-se que: • o ponto 𝑉 está contido no plano de equação 𝑧 = 7; • o ponto 𝐴 está contido no plano de equação 𝑥 = 4; • 𝐶 (2, 5, 𝑧𝐶 ).

17.1. Determina o volume da pirâmide.

Apresenta o resultado arredondando às unidades.

17.2. Determina as coordenadas de um vetor colinear a ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐶 , com sentido oposto e norma √87.

17.3. Qual das seguintes opções representa o plano mediador de [𝐴𝐶]?

(A) – 4 √2 𝑥 + 10√2 𝑦 = 13√2 (B) – 4𝑥 + 10𝑦 – 13 = 0 (C) –

13 4

5

= 𝑥 –2𝑦

(D) Todas as opções anteriores estão corretas 17.4. Verifica se o ponto 𝐻 (2, 7√2, 4) pertence ao plano mediador de [𝐴𝐶].

17.5. Define por uma condição a esfera de centro em 𝐵 +

1 2

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − 𝐴𝐷

1 2

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ tangente ao plano 𝑦0𝑧 𝐶𝐵

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 22 | 38

Autores: Ana Rita Batista | Ana Rita Sá | Diogo Pedra | Rita Costa | Rodrigo Vieira

18. Na figura está representada, num referencial o.n. (𝑂, 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ), parte do plano 𝐴𝐵𝐶, de equação 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6.

Tal como a figura sugere, 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são os pontos de interseção deste plano com os eixos coordenados.

18.1. Determine as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 .

18.2. Seja 𝑀 o ponto médio do segmento de reta [𝐴𝐶] e 𝛼 o plano perpendicular ao eixo 𝑂𝑧 que passa no ponto𝐷(−1,3, −4).

Defina, por uma equação, a superfície esférica de centro em 𝑀 que é tangente ao plano 𝛼.

18.3. Determine o ponto 𝑃, do segmento de reta [𝐴𝐶], que dista √53 unidades do ponto 𝐵.

2

1

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑒⃗​⃗​⃗1 − 3𝑒⃗​⃗​⃗3 e 𝐹 = 𝐶 + 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − 2𝑒⃗​⃗​⃗3 18.4. Considere os pontos 𝐸 = 𝐴 − 3 𝐶𝐵 2 Uma equação do plano mediador de [𝐸𝐹] pode ser: (A) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 31 = 0 (B) −20𝑥 + 10𝑦 + 8𝑧 + 47 = 0 (C) 5𝑥 − 7𝑦 + 3𝑧 − 12 = 0 (D) 6𝑥 − 4𝑦 − 7𝑧 − 26 = 0 18.5. Considera a reta 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,1,1) + 𝑘(1,1,2) , 𝑘 ∈ ℝ.

Determina o ponto da reta que pertence ao plano 𝐴𝐵𝐶.

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P á g i n a 23 | 38

Autores: Diogo Gonçalves | Gonçalo Seixas | Inês Lima | Sara Dantas

19. Na figura está representada, num referencial o.n 𝑂𝑥𝑦𝑧, uma pirâmide quadrangular regular [𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸].

Sabe-se que: • O ponto 𝐴 tem coordenadas (−3 , 1 , 4); • O ponto 𝐵 tem coordenadas (2 , 2 , 0); • O ponto 𝐹 tem coordenadas (1 , 2 , −1); • O vetor ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐸 tem coordenadas (4 , 5 , −2); • 𝐹 é o centro da base da pirâmide.

19.1. Mostra que 𝐶 tem coordenadas ( 5 , 3 , −6 ) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ – 𝐵𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ || 19.2. Calcula ||2𝐴𝐶 19.3. Escreve a equação reduzida da superfície esférica de centro em 𝐹 e que passa em todos os vértices da base da pirâmide.

7 2

19.4. Verifica se o ponto 𝑀 de coordenadas (−1 , , 3) pertence ao plano mediador de [𝐴𝐸].

19.5. Seja 𝑟 a reta que passa no ponto médio de [𝐴𝐸] e em 𝐹.

Qual das opções seguintes representa a equação vetorial da reta 𝑟?

7

3

(A) 𝑟 ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( −1 , 2 , 3 ) + 𝑘 ( 2 , 2 , −4 ) , 𝑘 ∈ ℝ 3

(B) 𝑟 ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 1 , 2 , −1 ) + 𝑘( −2 , 2 , 4 ) , 𝑘 ∈ ℝ (C) 𝑟 ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 1 , 12 , 0 ) + 𝑘( 2 , − (D) 𝑟 ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 0 ,

11 ,1)+ 4

3 2

, −4 ) , 𝑘 ∈ ℝ

3 2

𝑘 ( −2 , , 4 ) , 𝑘 ∈ ℝ

19.6. Descobre o ponto de interseção da reta 𝐴𝐵 com o plano 𝑦𝑂𝑧.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 24 | 38

10.ºK

P á g i n a 25 | 38

Autores: Francisco Capitão | Hélder Gonçalves | Rodrigo Neiva

20. Na figura seguinte está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧 , o sólido [𝑁𝑂𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇𝑈𝑉], constituído por um cubo e por uma pirâmide quadrangular regular.

Sabe-se que: • 𝑅 tem cota −2√2; • A altura da pirâmide é

3 2

da aresta do cubo.

20.1. Indica as coordenadas dos vértices do cubo.

20.2. Seja 𝑟 a reta perpendicular ao plano 𝑁𝑂𝑃 que passa no ponto 𝑉.

Qual das opções seguintes representa uma equação vetorial da reta 𝑟?

(A) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (√2; √2; √2) + 𝑘 (0,0,1), 𝑘 ∈ ℝ (B) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (√2; −√2; 3√2) + 𝑘 (0,1,0), 𝑘 ∈ ℝ (C) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (√2; −√2; 0) + 𝑘 (1,0,0), 𝑘 ∈ ℝ (D) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (√2; −√2; 0) + 𝑘 (0,0, −2), 𝑘 ∈ ℝ 2

2

20.3. Mostra que a equação (𝑥 − 2√2) + (𝑦 + 2√2) + 𝑧 2 = 8 define a superfície esférica, 𝑆, de centro no ponto 𝑄 que contém o ponto 𝑆.

20.4. Escreve a equação reduzida da maior superfície esférica que é possível colocar dentro do cubo.

20.5. Determina 𝑘 ∈ ℝ sabendo que o ponto 𝑃 (2𝑘, 0, 𝑘 − 1) seja equidistante de 𝑄 e 𝑅.

20.6. Determina 𝑎 ∈ ℝ de modo que o plano de equação 𝑧 = 𝑎 divida o sólido em dois de igual volume.

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 26 | 38

Autores: Helena Rego | Inês Oliveira | Sofia Carvalho

21. lll

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 27 | 38

Autores: Afonso Maciel | João Martins | Miguel Marques

22. lll

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 28 | 38

Autores: Inês Ribeiro | Mª João Castro | Rita Silva | Sofia Afonso

23. lll

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 29 | 38

Autores: Ana Rita Afonso | Carolina Soares | Daniela Araújo

24. lll

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 30 | 38

Autores: Adriana Paredes | Luana Santos | Mariana Araújo

25. lll

Proposta de Resolução: Página ??

P á g i n a 31 | 38

Propostas de Resolução ∴ Opção B.

1.

4.3.

2.

Sendo E o ponto médio de [AB], as suas coordenadas serão:

3.

M(𝐴, 𝐵)= (

4.

Visto que a reta 𝑟 é paralela à reta DE, então o seu vetor-diretor será igual ou equivalente ao desta última reta, pelo que se começa por calcular as coordenadas do vetor ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐷𝐸 .

4.1.

Dado que o ponto C se pode determinar, por exemplo, a partir do ponto D e do vetor ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵 , então começa-se por calcular este vetor (através das coordenadas fornecidas no enunciado): ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵 – 𝐴 = (1, 1, 3) − (2, 1, 0) = (−1, 0, 3) 𝐴𝐵 Assim, ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = (1, 1 − √5, 2) + (−1, 0, 3) = (0, 1 − √5 , 5) 𝐶 = 𝐷 + 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ de norma 2√5 e sentido igual ao do Seja 𝑢 ⃗ o vetor colinear com 𝐵𝐶 vetor anterior, calcula-se o valor para o qual 𝑘 respeita estas condições, com 𝑘 ∈ IR. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵𝐶 = 𝐶 – 𝐵 = (0, 1 − √5 , 5) − (1, 1, 3) = (−1, −√5, 2)

2

,

2

,

2

3

3

2

2

) = ( , 1, )

3 3 1 1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐷𝐸 = 𝐸 − 𝐷 = ( , 1, ) − (1,1 − √5, 2) = ( , √5, − ) 2

2

2

1 1 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5, −5√5, 3) + 𝑘 ( , √5, − ) , 𝑘 𝜖 𝐼𝑅 2 2 1 1 <=> 6 = 5 + 𝑘 ∧ 𝑦 = −5√5 + √5𝑘 ∧ 𝑧 = 3 − 𝑘, 𝑘 ∈ 𝐼𝑅 2 2 1 1 𝑘 = −1 ∧ 𝑦 = −5√5 + √5𝑘 ∧ 𝑧 = 3 − 𝑘, 𝑘 ∈ 𝐼𝑅 2 2

<=> 𝑘 = 2 ∧ 𝑦 = −5√5 + √5 x 2 ∧ 𝑧 = 3 −

‖𝑢 ⃗ ‖ = √(−𝑘)2 + (−√5𝑘)2 + (2𝑘)2

2

Sabendo as coordenadas do vetor-diretor e um ponto que passa na reta 𝑟 - P(5, -5√5, 3) -, formaliza-se a equação vetorial desta reta, de modo a nela substituir com as coordenadas já conhecidas do vértice V - V (6, 𝑦, 𝑧) -, como descrito no enunciado do exercício, de forma a determinar o valor de 𝑘 e, consequentemente, as coordenadas do ponto V.

<=> −

𝑢 ⃗ = 𝑘 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵𝐶 = (−𝑘, −√5 𝑘, 2𝑘)

2+1 1+1 0+3

1 2

x 2, 𝑘 ∈ 𝐼𝑅

<=> 𝑘 = 2 ∧ 𝑦 = −3√5 ∧ 𝑧 = 2, 𝑘 ∈ 𝐼𝑅 <=> 2√5 =

√(−𝑘)2

+

(−√5k)2

+

(2k)2

∴ V (6, −3√5, 2)

<=> 20 = 𝑘 2 + 5𝑘 2 + 4𝑘 2

4.4.

<=> 10𝑘 2 = 20

Para se determinar o volume da pirâmide [ACDV], é pertinente calcular o ponto médio do segmento de reta ⌈AC⌉, a fim de se poder obter a medida da altura da pirâmide triangular.

<=> =>

𝑘 = ±√2 𝑘 = √2, 𝑘 > 0

M (A,C) = (

Assim, para 𝑘 = √2, as coordenadas do vetor 𝑢 ⃗ serão:

2+0 1+ 1−√5 0+5 2

,

2

,

2

) = (1,

, )

2

2

Seguidamente, procede-se ao cálculo da distância entre o ponto M e o ponto V, do qual resultará a medida da altura da pirâmide. Este valor deverá ser arredondado às centésimas.

⃗​⃗​⃗ (−√2, −√5 x √2, 2 x √2) 𝑢 ∴ 𝑢 ⃗ (-√2, −√10, 2√2) 4.2.

d(M, V)= √(6 − 1)2 + (−3√5 −

Sendo a base da pirâmide [ABCDV] um quadrado e 𝑢 ⃗ um vetor que ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , então o vetor 𝐵𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ e 𝑢 terá a mesma direção e sentido que 𝐵𝐶 ⃗ perfazem um ângulo reto, pelo que, através do Teorema de Pitágoras, se consegue descobrir a norma do seu vetor-soma.

= √25 + (

−5√5 2

2

− 1) +

2−√5 2

2

5 2

) + (2 − ) 2

1 4

≈ 8.29 u.c. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , determina-se o volume da Uma vez conhecida a norma do vetor AB pirâmide triangular [ACDV], com arredondamento às décimas (como pedido no enunciado):

Com ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵𝐴 (1, 0, −3), ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‖ = √12 + (−3)2 = √10 u.c. ‖𝐵𝐴

V pirâmide = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ com 𝑢 Seja 𝑣 o vetor-soma de 𝐵𝐴 ⃗.

𝐴𝑏 ℎ 3

≈

𝐴∆

8,29 3

≈

(√10)2 2

3

8,29

≈ 13.8 u.v.

4.5.1.

Pelo Teorema de Pitágoras, 2

2−√5 5

2

2

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‖ = ‖𝑣‖2 ≤> (2√5) + (√10) = ‖𝑣‖2 ‖𝑢 ⃗ ‖2 + ‖𝐵𝐴 <=> 20 + 10 = ‖𝑣‖2 <=> √30 = ‖𝑣 ‖

Estando o sólido inscrito à pirâmide [EFGHV], o maior cubo que é passível de se definir corresponderá àquele cujos vértices de uma mesma aresta consistem nos pontos de tangência entre o próprio cubo e as arestas laterais da pirâmide.

Por outras palavras, a representação do maior cubo possível esquematiza-se na imagem ao lado, em que a aresta da base da nova pirâmide [ABCDV] corresponde à aresta do cubo, a.

7.1.

Assim, pelo Teorema de Tales, estabelecese uma correspondência entre as duas pirâmides criadas:

(10√2) = 𝑙2 + 𝑙2 ⇔ 200 = 2𝑙2 ⇔ 𝑙2 = 100 ⇔ 𝑙 = ±√100 ⇒ 𝑙 = 10

̅​̅​̅​̅ 𝐸𝐹 ̅​̅​̅​̅ 𝐴𝐵

=

ℎ 𝑃𝐺 ℎ 𝑃𝑃

4

12

𝑎

12−𝑎

<=> =

<=> 12𝑎 = 48 -4

a <=> 16a = 48 <=> a = 3

𝐻(14,8,0) e 𝐸(14,8, 𝑧) 2

𝑙>0

∴ 𝐸(14,8,10) 𝐸̇ 𝐻: 𝑥 = 14⋀ 𝑦 = 8 ⋀ 𝑧 ≤ 10 7.2. 𝑑(𝐴𝐺) = 𝑑(𝐻𝐵)

Logo,

𝑑(𝐻𝐵) = 10√2, e 𝐵 ∈ 𝑂𝑦, ∴ 𝐵(0, 𝑦, 0) 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎3 = 33

10√2 = √(0 − 14)2 + (𝑦 − 8)2 + (0 − 0)2

= 27 𝑢. 𝑣

⇔ 200 = 196 + (𝑦 − 8)2 + 0 ⇔ (𝑦 − 8)2 = 200 − 196

4.5.2.

⇔ 𝑦 − 8 = ±√4 ⇔ 𝑦 = ±2 + 8 ⇔ 𝑦 = 6 ⋁ 𝑦 = 10

𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =

𝐴𝑏× ℎ 3

=

3× 3× 9 3

= 27 𝑢. 𝑣

como 𝑦𝐵 < 𝑦𝐻, 𝑦 = 6

4.6. ∴ 𝐶(0,6,10) Sendo a esfera tangente a todas as faces da pirâmide, os triângulos [FKH] e [FEG] possuirão dois ângulos congruentes entre ̂𝐻 e 𝐹𝐸̂ 𝐺 -, o que, si, ambos retos - 𝐹𝐾 conjugado com o facto dos segmentos de reta [FH] e [FK] serem comuns a ambas as figuras geométricas acima mencionadas, torna os triângulos [FKH] e [FEG] semelhantes entre si, pelo critério LAL de semelhança de triângulos. Estabelece-se, assim, uma correspondência entre estes e determina-se o valor do raio 𝑟 da esfera.

Como a medida da aresta da base é 24, então: ̅​̅​̅​̅ 𝐴𝐵 24 ̅​̅​̅​̅ = 𝐸𝐺 = = 12 2 2 Assim, e sendo o triângulo [FEG] retângulo, através do Teorema de Pitágoras, ̅​̅​̅​̅ 2 + 𝐸𝐺 ̅​̅​̅​̅ 2 𝑎𝑝2 = 𝐸𝐹

7.3. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 16𝑥 − 20𝑧 + 20 = 0 𝑥 2 − 16𝑥 + 64 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 20𝑧 + 100 = −20 + 100 + 64 ⇔ (𝑥 − 8)2 + 𝑦 2 + (𝑧 − 10)2 = 144 𝐷(8,0,10) e 𝑟 = √144 = 12 7.4. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐺 = 𝐻 + 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (0,6,0) − (8,0,0) ⇔ 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (−8,6,0) 𝐴𝐵 𝐺 = (14,8,0) + (−8,6,0) ⇔ 𝐺(6,14,0) 𝐹 = 𝐺 + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐻𝐸 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐸 − 𝐻 = (14,8,10) − (14,8,0) ⇔ 𝐻𝐸 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (0,0,10) 𝐻𝐸 𝐹 = (6,14,0) + (0,0,10) ⇔ 𝐹(6,14,10)

<=> 𝑎𝑝2 = 162 + 122

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , 𝑘 ∈ ℝ 𝐹𝐺: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 + 𝑘𝐹𝐺

<=> 𝑎𝑝 = ±√400

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐹𝐺 = 𝐺 − 𝐹 = (6,14,0) − (6,14,10) ⇔ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐹𝐺 (0,0, −10)

=> 𝑎𝑝 = 20, 𝑎𝑝 > 0 ̅​̅​̅​̅ = 𝐻𝐸 ̅​̅​̅​̅ = 𝑟, então, pelo Teorema de Tales, Com 𝐻𝐾 ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ 𝐸𝐺 𝐹𝐺 12 20 = <=> = ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ 𝑟 16 − 𝑟 𝐻𝐾 𝐹𝐻 <=> 192 − 12𝑟 = 20𝑟 <=> 32𝑟 = 192 <=> 𝑟 = 6 Pela fórmula fornecida no enunciado da questão, a área de superfície da esfera representada será: 𝐴 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 4𝜋𝑟 2 = 4𝜋 × 62 = (144𝜋) u.a.

𝐹𝐺: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (6,14,10) + 𝑘(0,0, −10), 𝑘 ∈ ℝ 7.5. ∥ 𝑣 ∥= 10√4 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , ∴ 𝑣 = 𝑘𝐴𝐻 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , 𝑘 ∈ ℝ 𝑣 é colinear com 𝐴𝐻 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐻 − 𝐴 = (14,8,0) − (8,0,0) ⇔ 𝐴𝐻 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (6,8,0) 𝐴𝐻 𝑣 = 𝑘(6,8,0) ⇔ 𝑣(6𝑘, 8𝑘, 0) 10√4 = √(6𝑘)2 + (8𝑘)2 + 02 ⇔ 400 = 36𝑘 2 + 64𝑘 2 ⇔ 100𝑘 2 = 400 ⇔ 𝑘 2 = 4 ⇔ 𝑘 = ±√4 ⇔ 𝑘 = ±2

5.

6.

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , ∴ 𝑘 = 2 𝑣 tem o mesmo sentido de 𝐴𝐻 𝑣(6 × 2,8 × 2,0 × 2) ⇔ 𝑣(12,16,0), opção C.

7.

P á g i n a 33 | 38

7.6.

O plano mediador de 𝐴𝐻 é o plano que corta o cubo [𝑂𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻] ao meio, logo 𝑉𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 =

𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜

Como o triângulo [𝐴𝑂𝐵] é retângulo em O, podemos afirmar que,

2

𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝐴𝑏 × ℎ ⇔ 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = (10 × 10) × 10 ⇔ 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 1000 𝑢. 𝑣 𝑉𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 =

B pertence ao eixo Ox, por isso 𝐵(𝑥, 0,0), sabemos também que 𝑥 < 0

𝑑(𝐴, 𝐵)2 = 𝑑(0, 𝐴)2 + 𝑑(0, 𝐵)2 [𝐴𝐵] é 𝑢𝑚 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, 𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 é 25 𝑢. 𝑎.,

1000 ⇔ 𝑉𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 = 500 𝑢. 𝑣 2

𝑙𝑜𝑔𝑜,

7.7.

𝐴 = 𝑙2 ⟨=⟩25 = 𝑙2 ⇔ 𝑒 = ±√25 ⇔ 𝑙 = ±5, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙 é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎, 𝑙 > 0, 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑠𝑠𝑜 𝑙 = 5

𝐴𝐵𝐶 é o plano mediador de 𝐻𝐼

Assim temos que, 𝑑(𝐴, 𝐵) = 5

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐼 = 𝐴 + 𝐻𝐴

𝑑(0, 𝐴) é igual à cota de A, logo 𝑑(0, 𝐴) = 4

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ alínea 5. 𝐻𝐴

Substituindo, 52 = 42 + 𝑑(0, 𝐵)2 ⇔ 25 − 16 = 𝑑(0, 𝐵)2 ⇔ 𝑑(0, 𝐵) = ±√9 ⇔ 𝑑(0, 𝐵) = ±3

𝐼 = (8,0,0) + (−6, −8,0) ⇔ 𝐼(2, −8,0) Plano mediador de 𝐻𝐼:

Como 𝑑(0, 𝐵) é uma medida, 𝑑(0, 𝐵) > 0, logo, 𝑑(0, 𝐵) = 3

(𝑥 − 14)2 + (𝑦 − 8)2 + 𝑧 2 = (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 8)2 + 𝑧 2 ⇔ 𝑥 2 − 28𝑥 + 196 + 𝑦 2 − 16𝑦 + 64 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 + 16𝑦 + 64 ⇔ −28𝑥 + 4𝑥 − 16𝑦 − 16𝑦 + 260 − 68 = 0 ⇔ −24𝑥 − 32𝑦 + 192 = 0 ⇔ 6𝑥 + 8𝑦 − 48 = 0 ⟶ plano 𝐴𝐵𝐶 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,4, −1) + 𝑘(1, −4,3), 𝐾 ∈ ℝ.

A 𝑑(0, 𝐵) coincide com a sua abcissa, logo, 𝐵(−3,0,0) Testando a alínea A (−3 + 7)2 + (0 − 3)2 + (0 − 5)2 = 16 ⇔ 16 + 9 + 25 = 16 ⇔ 50 = 16 esta igualdade é falsa logo B não pertence a esta superfície esférica Testando a alínea B

𝑥 =1+𝑘 ⇔ 𝑟: { 𝑦 = 4 − 4𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ 𝑧 = −1 + 3𝑘

Se 𝑟: (5,6,4) + 𝑘(2,0,4), 𝐾 ∈ ℝ, 𝑦 = 6 + 0 × 𝑘 ⇔ 𝑦 = 6, isto é falso porque y=0

Substituindo…

Testando a alínea C

6 × (1 + 𝑘) + 8 × (4 − 4𝑘) − 48 = 0 ⇔ 6 + 6𝑘 + 32 − 32𝑘 − 48 = 0 ⇔ 6𝑘 − 32𝑘 = 48 − 32 − 6 ⇔ −26𝑘 = 10 ⇔ 𝑘 = −

𝑃 (1 + (−

5 13

−12𝑥 + 20𝑦 − 16𝑧 = 36 ⇔ −3𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = 9 ⇔ −3 × (−3) + 5 × 0 − 16 × 0 = 9 ⇔ ⇔ 9 = 9, igualdade verdadeira, logo B pertence a este plano.

5 5 5 ) , 4 − 4 × (− ) , −1 + 3 × (− )) 13 13 13

Confirmando com a alínea D (−3 + 1

8 72 28 𝑃( , ,− ) 13 13 13

25

+

49 25

16 2

7 2

1 2

49

5

5

5

25

) + (0 − 4)𝛼 + (0 − ) < 18 ⇔ ( ) + 16 +

+ 16 < 18 ⇔

50 25

< 18 ⇔

+ 16 < 18 ⇔ 2 + 16 < 18 ⇔ 18 < 18, isto é

falso 18 = 18, pelo que B não pertence a w Opção (C)

8.

10.3.

9.

𝐷(𝑥, 0, 𝑧) pois pertence ao plano 𝑧𝑂𝑥 de equação 𝑦 = 0 Como D pertence a DE,

10.

1

𝑥 = −3 + 𝑘 2

{𝑦 = 20 + 10𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ 7 𝑧 =0− 𝑘

10.1. 𝐴(0,0, 𝑧) 76

28

19

8

5

5

5

5

Se A ∈ 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( , −16, ) + 𝑘 ( , −4, − ) , 𝑘 ∈ ℝ então, 76 − 76 19 5 ⇔ 𝑘 = − 76 ⇔ 𝑘 = −4 0= +𝑘× ⇔𝑘= 19 5 5 19 5 𝑧=−

12 8 12 32 20 − 4 × (− ) ⇔ 𝑧 = − + ⇔𝑧= =4 5 5 5 5 5

Logo, 𝐴(0,0,4)

10.2.

2

Como 𝑦 = 0, Se 𝑘 = −2,

0 = 20 + 10𝑘 ⇔ 𝑘 = −

20 10

⇔ 𝑘 = −2

1

𝑥 = −3 + × (−2) ⇔ 𝑥 = −3 − 1 ⇔ 𝑥 = −4 e 𝑧 =

7

2

0 − × (−2) ⇔ 𝑧 = 7 2

Então, 𝐷(−4,0,7) 10.4.

BDE é o plano mediador de [𝐴𝐶] 𝐶(𝑥, 0, 𝑧) pois pertence ao plano 𝑧𝑂𝑥 de equação 𝑦 = 0

P á g i n a 34 | 38

ⅆ(𝐷,𝐸)

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ é igual a 𝐷𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ logo, 𝐶 = 𝐷 + 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵

ⅆ(𝑀,𝐸)

=

ⅆ(𝑁,𝐸) ⅆ(𝑃,𝐸)

uma vez que [𝐷𝐶𝐸] e [𝑀𝑃𝐸] são semelhantes pelo

critério AA. 𝐸𝐶̂ 𝐷 = 𝐸𝑃̂ 𝑀 = 90° e 𝐷𝐸̂ 𝐶 = 𝐷𝐸̂ 𝑃, pois têm o mesmo vértice.

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−3,0,0) − (0,0,4) = (−3,0, −4) 𝐴𝐵 Assim, 𝐶 = (−4,0,7) + (−3,0, −4) = (−7,0,3)

2 7 2 7 𝑑(𝐷, 𝐸) = √(−4 + ) + (0 − 10)2 + ( − 7) 2 2

Plano mediador de [𝐴𝐶] (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 4)2 = (𝑥 + 7)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 3)2 ⇔ 0

1 2 7 2 = √(− ) + (−10)2 + (− ) 2 2

⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 8𝑧 + 16 = 𝑥 2 + 14𝑥 + 49 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 6𝑧 + 9 −14𝑥 − 8𝑧 + 6𝑧 + 16 − 49 − 9 = 0 ⇔

1 49 50 450 15√2 = √ + 100 + = √100 + =√ = 𝑢. 𝑐.

4 4 4 4 2

−14𝑥 − 2𝑧 − 42 = 0 ⇔ −7𝑥 − 𝑧 − 21 = 0 ⇔ −7𝑥 − 𝑧 = 21 10.5.

𝑑(𝑁, 𝐸) = 10

A abcissa e a cota do E vão coincidir com a abcissa e com a cota do ponto médio de [𝐴𝐶], que vamos passar a designar como ponto J

Substituindo,

Sendo assim, 𝐽 ( 7

7

2

2

𝑥𝐴 +𝑥𝐵 𝑦𝐴 +𝑦𝐵 𝑧𝐴 +𝑧𝐵

,

2

,

2

2

) ⇔ 𝐽(

0−7 0+0 4+3 2

,

2

,

2

7

7

2

2

90√2 2 15√2 2

) ⇔ 𝐽 (− , 0, ) ,

logo 𝐸 (− , 𝑦, ) 𝑥 = −3 + 𝑘 2

Como E ∈ 𝐷𝐸, {𝑦 = 20 + 10𝑘, 𝜅 ∈ ℝ 7 𝑧 =0− 𝑘 2

7 7 1 1 7 1 𝑥 = − , − = −3 + 𝑘 ⇔ 𝑘 = − + 3 ⇔ 𝑘 = − × 2 ⇔ 𝑘 = −1 2 2 2 2 2 2

7

7

2

2

Portanto, 𝐸 (− , 10, )

Podemos afirmar que,

𝑑(𝑀, 𝑄) =

10.6. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵𝐶 = 𝐶 − 𝐵 = (−7,0,3) − (−3,0,0) = (−4,0,3) 7 2 188 𝑘 + 3 21 = −7𝑘 ⇔ 7𝑘 2 + 564 = 28𝑘 ⇔ 7𝑘 2 + 188 − 28𝑘 = 0 −4 3 21 7 188 2 ⇔ 7𝐾 − 28𝑘 + =0⇔𝑘 7 188 28 ± √784 − 4 × 7 × 7 = ⇔𝑘 2×7 5264 28 ± √784 − 28 ± √32 7 = ⇔𝑘= ⇔𝑘 14 14 28 − √32 28 + √32 = ∨ 𝑘= ⇔𝑘 14 14 4√2 4√2 2√2 =2− ∨𝑘 = 2+ 0⇔𝑘 =2− ∨𝑘 14 14 7 2√2 =2+ 7 7

2√2 7

> 0 o vetor 𝑢 ⃗ vai ter sempre o mesmo sentido de

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵𝐶. Assim, a resposta ao problema é não, não há nenhum valor de 𝑘 para o qual 𝑢 ⃗ tenha sentido contrário a ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵𝐶 .

10.7 𝑑(𝐸, 𝑀) =

15√2

⇔ 𝑑(𝑃, 𝐸) ×

15√2 2

10×9√2

=

2

⇔ 𝑑(𝑃, 𝐸) =

⇔ 𝑑(𝑃, 𝐸) = 6 𝑢. 𝑐.

Como [𝐷𝐴𝐸] e [𝑀𝐸𝑄] , em que Q é o ponto de interseção de AE com o plano 𝑦 = 4 semelhantes pelo critério AA, 𝐷𝐸̂ 𝐴 = 𝑀𝐸̂ 𝑃, pois têm o ̂ 𝐸 e 𝑄𝑀 ̂ 𝐸 são ângulos correspondentes, logo iguais, mesmo vértice e 𝐴𝐷 uma vez que DA // MP e DE é a secante.

𝑑(𝐷, 𝐸) =

>0𝑒2+

10 ⅆ(𝑃,𝐸)

90√2

⇔ 𝑑(𝑃, 𝐸) =

𝑦 = 20 + 10 × (−1) ⇔ 𝑦 = 20 − 10 ⇔ 𝑦 = 10

2√2

=

𝑘 = 𝑑(𝑁, 𝐸) − 𝑑(𝑃, 𝐸) = 10 − 6 = 4 1

2−

15√2 2 9√2 2

ⅆ(𝐷,𝐸) ⅆ(𝑀,𝐸)

15√2

=

ⅆ(𝐷,𝐴) ⅆ(𝑀,𝑄)

𝑑(𝑀, 𝐸) =

2

9√2

𝑑(𝐷, 𝐴) = 5

2

45√2 2 ⟨=⟩𝑑(𝑀, 𝑄) = 45√2 × 2 0 ⇔ 𝑑(𝑀, 𝑄) = 90√2 2 15√2 15√2 30√2 2 = 3𝑢. 𝑐.

[𝑀𝑄] é lado da base da pirâmide mais pequena Vpirâmide mais pequena = Vpirâmide grande =

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ×ℎ 3

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ×ℎ 3

=

32 ×6

52 ×10

=

3

3

=

=

250 3

9×6 3

= 18 𝑢. 𝑣.

𝑢. 𝑣.

Vtronco de pirâmide = Vpirâmide grande - Vpirâmide mais pequena =

250 3

− 18 =

196 3

𝑢. 𝑣.

11.

11.1.

Como C pertence à face [OABC] e à face [OCDE], logo C tem ordenada e cota igual a 0.

Substituindo: 9

3

2

4

(𝓍;0;0) = (2; ;0) +k (1; ;0), k∈ ℝ ⇔ 9

3

2

4

⇔ 𝓍 = 2+k ∧ 0 = + ∧ 0 = 0 ⇔ ⇔ 𝓍 = 2-6 ∧ k = 6 ∧ 0 = 0 ⇔

9√2 2

⇔ 𝓍 = -4 ∧ y = 0 ∧ z = 0 7

7

2

2

Considerando N(− , 0, ) como sendo o ponto médio de [𝐴𝐶] e P o centro da pirâmide mais pequena, podemos afirmar que:

𝐶 (−4; 0; 0) c.q.m.

11.2. 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 3 × 4 = 12

P á g i n a 35 | 38

V = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ ⇔ h =

𝑉 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒

⇔ℎ =

144

12.

= 12

12

12.1.1.

11.3. 𝐴 (0; 3; 0) 𝐵 (−4; 3; 0) 𝐶 (−4; 0; 0) 𝐷 (−4; 0; 12)

𝑑𝑂𝑄 = √ 42 + 42 ⇔ 𝑑𝑂𝑄 = √32 ⇔ 𝑑𝑂𝑄 = 4√2

𝐸 (0; 0; 12) 𝐹 (0; 3; 12) 𝐺 (−4; 3; 12) 𝑂 (0; 0; 0)

(4√2)2 = (2√2)2 + 𝑥 2 ⇔ 32 = 8 + 𝑥 2 ⇔ 𝑥 2 = 24 ⇔ 𝑥 = √24 ⇔ 𝑥 = 2√6

11.4.

𝑃(2, 2, 2√6)

𝑀[𝑂𝐺] = H

12.1.2.

Logo:

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑀 = 𝑀 − 𝑃 ⇔ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑀 = (1, 3, 3√6) − (2, 2, 2√6) ⇔ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑀 = (−1, 1, √6)

0−4 0+3 0+12

𝐻 =(

2

;

;

2

2

)

𝑉 = 𝑀 + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑀 ⇔ 𝑉 = (1, 3, 3√6) + (−1, 1, √6) ⇔ 𝑉 = (0, 4, 2√6)

3 𝐻 = (−2; ; 6) 2

12.2.

𝑑(𝐺,𝐻) = √(−4 + 2)2 + (3 −

3 2 ) 2

O plano paralelo a xOy é do tipo z igual e z de V é 2√6

+ (12 − 6)2

Logo é a opção C

9

= √4 + + +36 2 169

= √

4

=

12.3.

13

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 2𝑃𝑀 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⇔ 𝑃𝑉 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 2(−1, 1, √6 ) ⇔ 𝑃𝑉 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = (−2, 2, 2√6) 𝑃𝑉

2

S: (𝓍 + 4)2 + (𝓎 − 3)2 + (𝓏 − 12)2 = (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 − 12)2 = { 𝑦=1 2

2

2

(𝑥 + 4) + (1 − 3) + (𝑧 − 12) = { 𝑦=1 (𝑥 + 4)2 + 4 + (𝑧 − 12)2 = { 𝑦=1 (𝑥 + 4)2 + (𝑧 − 12)2 = { 𝑦=1

169

(𝑥 + 4)2 + (𝑧 − 12)2 = { 𝑦=1

153

4

169

PV: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 2, 2√6) + 𝑘(−2, 2, 2√6)

4

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 2, 2√6) + 𝑘(−2, 2, 2√6) ∧ 𝑥 = 0

169 4

⇔ 𝑘 = 1 ∧ 𝑦 = 4 ∧ 𝑧 = 4√6 169

No ponto (0, 4, 4√6)

4

12.4.

169 4

2

2

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 2√6) = 𝑥 2 + (𝑦 − 4)2 + (𝑧 − 2√6)

−4

⇔ 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 16 ⇔ −4𝑥 + 12𝑦 − 8 = 0

4

Circunferência de centro (−4; 1; 12), com raio

−4𝑥 + 12𝑦 − 8 = 0 ∧ 𝑥 = 0 ∧ 𝑧 = 0 ⇔ 12𝑦 = 8 ⇔ 𝑦 = √153 2

e contida no plano

𝑦=1

2 3

2

No ponto (0, , 0) 3

12.5.

11.5.

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 4)2 + 𝑧 2 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 16 + 𝑧 2

Altura=12 12

Diâmetro de uma esfera= =4 3

Raio de uma esfera=2 4

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 = 3 × 𝜋𝑟 3 = 4𝜋𝑟 3 3

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 = 4 × 𝜋 × 23 = 4 × 8 × 𝜋 = 32𝜋 𝑉𝑛ã𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎ⅆ𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 = 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠

⇔ 8𝑥 + 8𝑦 − 32 = 0 8 × 2√6 + 8 × 2√6 − 32 = 0 ⇔ 32√6 = 32, isto é falso; logo o ponto V não pertence ao plano mediador de [OQ] 12.6. 𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖ⅆ𝑒 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 =

𝑉𝑛ã𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎ⅆ𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 = 144 − 32𝜋= 144-100,5312≈ 43,47 11.6. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐺 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − 𝐶𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐷𝐸 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐸𝐹 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − 𝐶𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐷𝐸

𝐴𝑏 ×ℎ 3

⟺𝑉=

4√2×2√6 2

8√3×√14 3

⇔ 𝑉 = 17,3 u.v.

⇔ 𝐴 = 8√3 u.a.

ℎ = √22 + (2 − 4)2 +(2√6 − √6)2 u.c.

12.7.

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − 𝐷𝐹 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐷𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = −𝐴𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐷𝐹

−4𝑘 2 + 36 − 12𝑘 − 8 = 0 ⇔ −4𝑘 2 − 12𝑘 + 28 = 0

Resposta: (A)

⇔𝑘=

−36 ± √362 − 4 ∗ (−4) ∗ 28 2 ∗ (−4)

P á g i n a 36 | 38

⇔𝑘=

−36 ± √1744 −36 ± √109 ⇔𝑘= −8 −2

⇔𝑘=

36 + √109 36 − √109 ∧𝑘 = 2 2

Para pertencer ao plano mediador de [PV], 𝑘 =

𝐴○ = 𝜋 × 𝑟 2 =

3 𝜋 2

13.5.

36+√109 2

ou 𝑘 =

36−√109 2

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑉𝐴 + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑉𝐶 = 2𝑉𝐷 𝐷𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑉𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑉𝐴

13.

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑃𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑉𝑃 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑃𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 2𝑉𝑃 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑃𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑃𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑉𝑃

13.1.

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 2𝑃𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 2𝑉𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐷𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ c.q.m. = 2𝑉𝑃

(𝑥, 0, 0) = (−1, 2, 0) + 𝑘(−1, 1, 0) , 𝑘 ∈ ℝ

 𝑥 = −1 – 𝑘 ∧ 0 = 2 + 𝑘 ∧ 0 = 0   𝑥 = 1 ∧ 𝑘 = −2 ∧ 0 = 0

13.6.

𝑥 =

2 3

2 2 2 2 ℎ2 = 𝑎 2 + 𝑏 2  ℎ2 = ( ) + ( )  3 3

𝐴(1, 0, 0) (0, 𝑦, 0) = (−1, 2, 0) + 𝑘(−1, 1, 0) , 𝑘 ∈ ℝ

 ℎ2 =

 0 = −1 – 𝑘 ∧ 𝑦 = 2 + 𝑘 ∧ 0 = 0 

4 4 8 2√2 √8 + = ℎ = ± => ℎ = 9 9 9 3 3 2

 𝑘 = −1 ∧ 𝑦 = 1 ∧ 0 = 0 𝐷(0, 1, 0)

2√2 8 𝐴◻ = ( ) = 3 9

𝑃(1, 1, 0) 𝑉𝑝𝑖𝑟

13.2. ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏2  ℎ2 = 12 + 12  ℎ = ± √2 => ℎ = √2 𝐴◻ = √22 = 2 𝑉𝑝𝑖𝑟 =

2×ℎ = 2  2ℎ = 6  ℎ = 3 3

13.3.

𝐵(2, 1, 0) 𝐶(1, 2, 0)

(𝑥 − 2) + (𝑦 − 1)2 + 𝑧 2 = (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧 2 

8 ×2 8 1 16 = 9 = × 2 × = 𝑢. 𝑣.

3 9 3 27

14.

15.

16.

17.

2

 𝑥 2 – 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 – 2𝑦 + 1 = 𝑥 2 – 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 – 4𝑦 + 4   − 2𝑥 + 2𝑦 = 0  − 𝑥 + 𝑦 = 0

17.1.

A (4, 0, 0) C (2, 5, 0)

− (𝑎 + 1) + 2𝑎 = 0  − 𝑎 – 1 + 2𝑎 = 0 

𝑑(𝐴, 𝐶) = √(4 − 2)2 + (0 − 5)2 + 0 = √4 + 25 = √29

𝑎 = 1

Pelo teorema de Pitágoras:

R: (D) 13.4.

2

(√29) = 𝑥 2 + 𝑥 2 ⟺ 29 = 2𝑥 2 ⟺ Área da base = 𝑙2 = (

𝐵(2, 1, 0) 𝑉(1, 1, 3)

𝐴𝑏×ℎ

Volume = 2+1 1+1 3 3 3 𝑀 [𝐵𝑉] = ( ; ; )= ( ; 1; ) 2 2 2 2 2 𝑑 (𝐵, 𝑉) = √(2 − 1)2 + (1 − 1)2 + 32 = √1 + 9 = √10 𝑟 =

√10 2

3 2 3 2 10 (𝑥 − ) + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − ) ≤ 2 2 4 3 2 3 2 10 6 3 (𝑥 − ) + (𝑧 − ) ≤ –1 = = 2 2 4 4 2 3 3 3 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 ( , 0, ) 𝑒 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦 = 0 2 2 2

3

=

√58

29 ×7 2

3

2

2

) =

=

203 2

3

58 4

=

=

203 6

29 2

29 2

29

= 𝑥 2 ⟺ ±√

2

=𝑥⟺𝑥=

√58 2

𝑢. 𝑎.

≈ 34 𝑢. 𝑣.

17.2. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = C – A = (4, 0, 0) – (2, 5, 0) = (2,-5, 0) 𝐴𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⟺ 𝑤 𝑤 ⃗​⃗ = 𝑘𝐴𝐶 ⃗​⃗ = 𝑘(2; −5; 0) ⟺ 𝑤 ⃗​⃗ = (2𝑘; −5𝑘; 0) √(2𝑘)2 + (−5𝑘)2 + 02 = √87 ⟺ 4𝑘 2 + 25𝑘 2 = 87 ⟺ 29𝑘 2 = 87 87 ⟺ 𝑘2 = ⟺ 𝑘 = ±√3 ⟺ 𝑘 = −√3 29 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 𝑤 ⃗​⃗ (−2√3; 5√3; 0)

17.3.

Plano mediador de [𝐴𝐶]: (𝑥 − 4)2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 5)2 + 𝑧 2

P á g i n a 37 | 38

⟺ 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 − 10𝑦 + 25 + 𝑧 2 ⟺ −4𝑥 + 10𝑦 − 13 = 0 – 4 √2 𝑥 + 10√2 𝑦 = 13√2 ⟺

−4√2𝑥 √2

+

10√2𝑦 √2

13√2

=

√2

⟺ −4𝑥 + 10𝑦 =

13 ⟺ −4𝑥 + 10𝑦 − 13 = 0 –

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵 − 𝐶 = (0,6, −3) 𝐶𝐵 2 𝐸 = (6,0,0) − (0,6, −3) + (1,0,0) − 3(0,0,1) 3 = (6,0,0) + (0, −4,2) + (1,0,0) + (0,0, −3) = (7, −4, −1)

13 5 = 𝑥 – 𝑦 ⟺ −13 = 4𝑥 − 10𝑦 = 0 ⟺ −4𝑥 + 10𝑦 − 13 = 0 4 2

Resposta: opção D (estão todas corretas)

1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − 2𝑒2 𝐹 = 𝐶 + 𝐴𝐵 2 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−6,6,0) 𝐴𝐵 1 1 𝐹 = 𝐶 + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵 − 2𝑒2 = (0,0,3) + (−6,6,0) − 2(0,1,0) 2 2

17.4.

= (0,0,3) + (−3,3,0) + (0, −2,0) = (−3,1,3) 𝐸(7, −4, −1) 2

𝐹(−3,1,3)

(𝑥 − 7) + (𝑦 + 4) + (𝑧 + 1) = (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 3)2

2

⇔ 𝑥 2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦 2 + 8𝑦 + 16 + 𝑧 2 + 2𝑧 + 1 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 + 𝑧 2 − 6𝑧 + 9

17.5. 𝐵 +

2

1 2

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − 𝐴𝐷

1 2

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = B + 1 𝐴𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 1 𝐵𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵 + 𝐵𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐶 𝐶𝐵 2

2

𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑚 𝐶(2; 5; 0) e raio = 2 2

⇔ −14𝑥 − 6𝑥 + 8𝑦 + 2𝑦 + 2𝑧 + 6𝑧 + 49 + 16 + 1 − 9 − 1 − 9 = 0 ⇔ −20𝑥 + 10𝑦 + 8𝑧 + 47 = 0

2

2

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: (𝑥 − 2) + (𝑦 − 5) + 𝑧 ≤ 4

Resposta: Opção B

18.

18.5.

18.1.

reta 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,1,1) + 𝑘(1,1,2) , 𝑘 ∈ 𝑅

𝑥 + 0 + 2(0) = 6 ⇔ 𝑥 = 6

𝐴(6,0,0)

0 + 𝑦 + 2(0) = 6 ⇔ 𝑦 = 6

𝐵(0,6,0)

0 + 0 + 2𝑧 = 6 ⇔ 𝑧 = 3

𝐶(0,0,3)

𝑥 =1+𝑘 {𝑦 = 1+𝑘 𝑧 = 1 + 2𝑘

,𝑘 ∈ ℝ

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6 1 + 𝑘 + 1 + 𝑘 + 2 + 4𝑘 =6⟺ 𝑘 =

18.2.

3

3

11

2

2

𝑟 = − (−4) =

𝑀 (3,0, ) 𝛼: 𝑧 = −4 2

3

4 4 5

Resposta: P( ; ; ) 3 3 3

19.

3 2 121 (𝑥 − 3)2 + 𝑦 2 + (𝑧 − ) = 2 4

20.

18.3.

21.

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 = (−6,0,3)

22.

[𝐴𝐶]: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (6,0,0) + 𝑘(−6,0,3), 𝑘 ∈ [0,1] 𝑥 = 6 − 6𝑘 { 𝑦=0 𝑧 = 3𝑘

1

, 𝑘 ∈ [0,1]

23.

24.

25.

𝑃(6 − 6𝑘, 0,3𝑘), 𝑘 ∈ [0,1] 𝐵(0,6,0) 𝑃𝐵 = √(6 − 6𝑘 − 0)2 + (0 − 6)2 + (3𝑘 − 0)2 = √36 − 72𝑘 + 36𝑘 2 + 36 + 9𝑘 2 = √45𝑘 2 − 72𝑘 + 72 𝑃𝐵 = √53 ⇔ √45𝑘 2 − 72𝑘 + 72 = √53 ⇔ 45𝑘 2 − 72𝑘 + 72 = 53 ⇔ 45𝑘 2 − 72𝑘 + 19 = 0 ⇔ 𝑘 = Como 𝑘 ∈ [0,1], 𝑘 =

1 3

1 19 ∨𝑘 = 3 15 1

1

3

3

𝑃 (6 − 6 ( ) , 0,3 ( )) = 𝑃(4,0,1)

18.4.

2 𝐸 = 𝐴 − ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐶𝐵 + 𝑒1 − 3𝑒3 3

P á g i n a 38 | 38