AUTORES: ASTRID DANIELA JIMENEZ CONTRERAS
KAREN STEFANNY CABALLERO GONZALEZ DIANA KATHERINE ESTUPIÑAN PATIÑO SILVANA CAMILA JAIMES GAFARO JUAN GUILLERMO ROJAS OLEJUA JUAN DIEGO PINEDA CIFUENTES WILLIAM ANDRES ORTEGA PEÑARANDA NINI JHOJANA ALVAREZ BACCA JENNIFFER ALEJANDRA GUERRERO BUENO YESSICA JULIETH GELVES DÍAZ MARÍA FERNANDA VALBUENA GRANADOS DANNA LIZBETH CONTRERAS MEZA ZAYDA LUCY GELVEZ DUARTE LEIDDY CAROLINA MONTOYA REMOLINA DIANA CAROLINA CALDERON OYOLA PEDRO GONZALEZ RODRIGUEZ LUIS ANTONIO MARQUÉS CUEVAS ALIX CAMILA FERNANDA ARÉVALO CASTRO PAULA ANDREA MERIÑO PEÑALOZA HECTOR ELIAS MENDOZA CARDENAS
ANTONIO VICENTE GRANADOS GUERRERO DOCENTE
INGENIERÍA ECONOMICA
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS INGENIERÍA INDUSTRIAL SAN JOSÉ DE CÚCUTA 2018
____________________ 95 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS SIMPLES ____________________ ELABORADO POR: ESTUDIANTES DE QUINTO SEMESTRE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ____________________ 2018
PRÓLOGO
En el momento actual de una economía globalizada, los conceptos teóricos de la Ingeniería Económica o las Matemáticas Financieras son fundamentales para apoyar la toma de decisiones acertadas sobre el manejo optimo del dinero. Los estudiantes universitarios de esta materia, que quieren llegar a tener un dominio aceptable de la misma, consideran que es imprescindible complementar los conceptos teóricos, mediante la resolución de problemas Es por esto que el documento que se presenta a continuación, el cual forma parte de un conjunto de cuatro
módulos elaborados por un grupo alumnos de la materia de Ingeniería Económica del Plan de Estudios de Ingeniería Industrial de la Universidad Francisco de Paula Santander, pretende ser una herramienta útil para apoyar el trabajo académico de los alumnos de las facultades de Ingenierías, Administración, Economía, Contaduría Pública y carreras afines en el estudio y aprendizaje de la Ingeniería Económica o las Matemáticas financieras, con una colección variada de ejercicios resueltos de Intereses Simples, Intereses compuestos, Anualidades y Gradientes, que logren estimularlos en la reflexión, la búsqueda y la investigación.
Ingeniero Antonio Vicente Granados Guerrero Docente Cátedra Universidad Francisco de Paula Santander
El interés simple es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses. La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión, el interés simple varia en forma proporcional al capital (P) y el tiempo (n).
LAS FORMULAS QUE SE UTILIZARON EN EL SIGUIENTE SOLUCIONARIO SON LAS SIGUIENTES: I=P*i*n F=P(1+ i*n)
DESCUENTO COMERCIAL VT = VF – D D = VF * id * n VT = VF – VF * id * n VT = VF * ( 1 - id * n)
TENIENDO EN CUENTA QUE: 1 AÑO = 360 DIAS 1 AÑO = 12 MESES 1 AÑO = 48 SEMANAS 1 AÑO = 2 SEMESTRES 1 AÑO = 4 TRIMESTRES 1 AÑO = 6 BIMESTRES
EJERCICIO # 1 Si la tasa de interĂŠs que reconocen algunos documentos financieros es del 5% anual simple. CuĂĄnto dinero hay dentro de 3 aĂąos, si una empresa invierte hoy $240.000.000. SoluciĂłn: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la grĂĄfica sabiendo que: ďƒ˜ đ?‘–đ?‘ = 5% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ n = 3 aĂąos ďƒ˜ đ?‘ƒ = $240.000.000
đ?‘“ =? 0
đ?‘–đ?‘Žđ?‘ = 5% đ?‘ƒ = $240.000.000
3 aĂąos
El periodo 0 representa el dĂa de hoy, como se puede ver en la grĂĄfica el valor de la inversiĂłn se representa con la letra p y el valor que me piden hallar es un valor futuro. Por lo cual se utilizan la ecuaciĂłn: đ?‘“ = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘ ∗ đ?‘›) Sustituimos los valores: đ?‘“ = $240.000.000(1 + 0,05 ∗ 3) đ?‘“ = $276.000.000 NOTA: El valor del interĂŠs se debe dividir en 100 y no reemplazar en porcentaje. R/ el dinero que habrĂĄ en 3 aĂąos es $276.000.000
CuĂĄnto se debe invertir hoy para tener dentro de 5 trimestres la suma de $8.250.000 y se ganen unos intereses de $480.000. CuĂĄl es la tasa de interĂŠs quincenal simple. SoluciĂłn: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la grĂĄfica sabiendo que: ďƒ˜ đ?‘“ = $8.250.000 ďƒ˜ I = $480.000 ďƒ˜ n = 5 trimestres
đ?‘“ = $8.250.000
0 đ?‘–đ?‘žđ?‘ =? P=?
5 trimestres
En el ejercicio nos piden hallar dos cosas el valor presente, es decir, el valor que se debe invertir hoy el cual se designa con la letra P y la tasa de interĂŠs quincenal simple para esto: Lo primero es hallar el valor presente para eso utilizamos la siguiente ecuaciĂłn: đ?‘“ =đ?‘ƒ+đ??ź Como necesitamos el valor de P entonces despejamos de la ecuaciĂłn anterior: đ?‘ƒ =đ?‘“−đ??ź Reemplazamos los valores đ?‘ƒ = $8.250.000 − $480.000 đ?‘ƒ = $7.770.000 DespuĂŠs de haber obtenido el valor de P, se puede hallar el valor del interĂŠs de dos maneras. 1. Utilizando la ecuaciĂłn: đ??ź = đ?‘ƒ ∗ đ?‘–đ?‘ ∗ đ?‘› De la ecuaciĂłn despejamos đ?‘–đ?‘ : đ?‘–đ?‘ =
đ??ź đ?‘ƒâˆ—đ?‘›
Sustituimos los valores đ?‘–đ?‘ =
$480.000 $7.770.000 ∗ 5
đ?‘–đ?‘ = 0,0123 = 1,23% Trimestral 2. Utilizando la ecuaciĂłn: đ?‘“ = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘ ∗ đ?‘›) Despejamos el đ?‘–đ?‘ : đ?‘“ −1 đ?‘–đ?‘ = đ?‘ƒ đ?‘›
$8.250.000 −1 $7.770.000 đ?‘–đ?‘ = 5 đ?‘–đ?‘ = 0,0123 = 1,23% Trimestral Debido a que el interĂŠs no lo piden quincenal, tomando en cuenta que 1 trimestre tiene 6 quincenas, lo que hacemos es dividir el valor del interĂŠs trimestral en 6. đ?‘–đ?‘ =
1,23% = 0,205% đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ 6
R/ El valor que se debe invertir es de $7.770.000 a una tasa de interĂŠs del 0,205% quincenal simple
CuĂĄl es el valor a cancelar el 5 de octubre de 2017 a una entidad bancaria por el prĂŠstamo de $11´000.000 realizado el 5 de marzo de 2016, si se conoce que hasta el 15 de septiembre del 2016 se cobra un interĂŠs del 2.42% mensual simple y de ahĂ en adelante del 17.8% semestral simple. SoluciĂłn: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la grĂĄfica: 194 dĂas
5/03/2016
đ?‘“ =?
385 dĂas
15/09/201 6
đ?‘–đ?‘šđ?‘ = 2,42%
đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ = 17,8%
5/10/2017
đ?‘ƒ = $11.000.000 DespuĂŠs de esto, se deben cambiar las tasas de interĂŠs a diario, sabiendo que un mes tiene 30 dĂas y que un semestre tiene 180 dĂas. đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
2,42% = 0,0806% đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ 30
đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
17,8% = 0,0989% đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ 180
Para saber cuĂĄl debe ser el valor a cancelar, se deben sumar la P y los intereses ganados desde el 5 de marzo del 2016 hasta el 15 de septiembre del 2016, y tambiĂŠn el interĂŠs del 15 de septiembre de 2016 al 5 de octubre del 2017: đ?‘“ = đ?‘ƒ + đ??ź1 + đ??ź2 Para calcular I se utiliza la ecuacion: đ??ź = đ?‘ƒ ∗ đ?‘–đ?‘ ∗ đ?‘› đ??ź1 = $11.000.000 ∗ 0,000806 ∗ 194 = $1.720.004 đ??ź2 = $11.000.000 ∗ 0,000989 ∗ 385 = $4.188.415 đ?‘“ = $11.000.000 + $1.720.004 + $4.188.415 đ?‘“ = $16.908.419 R/ El valor a cancelar el 5 de octubre de 2017 es de $16.908.419
Se solicita un prĂŠstamo por $22.500.000 a 8 trimestres y una tasa del interĂŠs del 32% anual Si realiza un pago de $10.900.000 a los 4 trimestres, ÂżCuĂĄnto deberĂĄ pagar al final de los 8 trimestres? Use como fecha focal dentro de 8 trimestres. SoluciĂłn: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la grĂĄfica: $10.900.000
đ?‘“ =?
Pagos 0 4
đ?‘–đ?‘ = 32%đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
8 trimestre
Deudas
đ?‘ƒ = $22.500.000
Para saber cuĂĄl es el monto final que debe pagar, se debe cambiar la tasa de interĂŠs a trimestral: đ?‘–đ?‘ =
32% = 8% đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 4
DespuĂŠs de cambiar la tasa de interĂŠs, tomando en cuenta de que el punto focal estĂĄ en el 8 trimestre, todo se lleva a ese punto, tomando en cuenta que: Deudas = Pagos $22.500.000(1 + 0,08 ∗ 8) = $10.900.000(1 + 0,08 ∗ 4) + đ?‘Ľ Despejamos x y hallamos el valor: đ?‘Ľ = $22.512.000 R/ El valor a pagar en octavo trimestre es $22.512.000
Calcular a cuĂĄnto asciende el interĂŠs semestral simple producido por un capital de $25.000.000 pesos invertido durante 4 aĂąos a una tasa del 2.6 % semestral simple. SoluciĂłn: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la grĂĄfica: đ?‘“ =?
0 đ?‘–đ?‘ = 2,6% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™
4 aĂąos
đ?‘ƒ = $22.500.000
Debido a que el interĂŠs esta semestral se debe pasar a anual, sabiendo que un aĂąo tiene 2 semestres: đ?‘–đ?‘ = 2,6% ∗ 2 = 5,2% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
Como lo que nos piden son los intereses obtenidos, se utiliza la ecuaciĂłn: đ??ź = đ?‘ƒ ∗ đ?‘› ∗ đ?‘–đ?‘ Sustituimos los valores: đ??ź = $25.000.000 ∗ 0,052 ∗ 4 đ??ź = $5.200.000 Este interĂŠs tambiĂŠn se puede hallar con el valor futuro, con la ecuacion: đ?‘“ = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘ ∗ đ?‘›) Sustituimos los valores: đ?‘“ = $25.000.000(1 + 0,052 ∗ 4) đ?‘“ = $30.200.000 Una vez obtenido este valor se puede hallar el interĂŠs, con la ecuacion: đ?‘“ =đ?‘ƒ+đ??ź De la ecuaciĂłn anterior, se despeja I y se sustituye: đ??ź =đ?‘“−đ?‘ƒ đ??ź = $30.200.000 − $25.000.000 đ??ź = $5.200.000 R/ los intereses ganados son $5.200.000
EJERCICIO # 6 Un empresario presta $ 200.000.000 a 150 dĂas con un interĂŠs del 4,5% bimestral simple, los cuales deberĂĄn ser cancelados al vencimiento del plazo. En el contrato se estipula que en caso de mora debe pagar el 3,2% mensual, sobre el saldo ya vencido. ÂżQuĂŠ suma tendrĂĄ que pagar si cancela a los seis meses y 25 dĂas?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
đ??š2 = Âż? n1 = 150 dĂas
0
đ??š1
đ?‘–1 = 4,5% bimestral simple P= $200.000.000
NOTA: Para el cĂĄlculo de los 55 dĂas:
n2 = 55 dĂas đ?‘–2 = 3,2% mensual simple
6 meses= 180 dĂas 180 dĂas+25 dĂas= 205 dĂas 205 dĂas-150 dĂas= 55 dĂas El perĂodo cero (0) representa el dĂa de hoy, ahĂ se sitĂşa P (inversiĂłn).
SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interĂŠs en el tiempo estipulado, que es diario. 2 bimestres=360 dĂas 1 bimestre=180 dĂas đ?‘–1 =
4,5% bimestral simple = 0,025% = 0,00025 180 dĂas
12 meses=360 dĂas 1 mes=30 dĂas đ?‘–2 =
3,2% bimestral simple = 0,1067% = 0,001067 30 dĂas
TERCER PASO: Las fĂłrmulas que se usarĂĄn. đ??š1 = P (1 + đ?‘–1 ∗ n1 ) đ??š2 = F2 (1 + đ?‘–2 ∗ n2 )
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. Primero se resuelve el monto que el empresario tuvo que haber pagado al vencimiento de la fecha, a los 150 dĂas. đ??š1 = P (1 + đ?‘–1 ∗ n1 )
đ??š1 = 200.000.000 (1+0,00025*150)= 207.500.000 Sobre ese saldo vencido se calcula el futuro (pago) de toda la deuda con la mora. đ??š2 = F2 (1 + đ?‘–2 ∗ n2 ) đ??š2 = 207.500.000 (1+0,001067*55) đ??š2 = $219.677.137
Se hace un prĂŠstamo por $ 26.100.000 a dos aĂąos con un interĂŠs del 2,3% mensual los 6 primeros meses y el 2,8% mensual los Ăşltimos 18 meses; todos estos intereses serĂĄn cancelados al vencimiento de la obligaciĂłn principal y no habrĂĄ interĂŠs sobre intereses. ÂżCuĂĄl serĂĄ el total a pagar al finalizar los 2 aĂąos?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
đ?‘–1 = 2,3% mensual simple 0
n1 = 6 meses
đ?‘–2 = 2,8% mensual simple F= Âż? n2 = 18 meses n= 2 aĂąos
P= $26.100.000 NOTA: El perĂodo cero (0) representa el dĂa de hoy, ahĂ se sitĂşa P (inversiĂłn).
SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interĂŠs en el tiempo estipulado, que es anual. 1 aĂąo=12 meses đ?‘–1 = 2,3% mensual simple ∗ 12 meses = 27,6% = 0,276 1 aĂąo=12 meses đ?‘–2 = 2,8% mensual simple ∗ 12 meses = 33,6% = 0,336
TERCER PASO: Las fĂłrmulas que se usarĂĄn. đ??š1 = P + I1 + I2 I1 = P ∗ i1 ∗ n1 I2 = P ∗ i2 ∗ n2 đ??š1 = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. 12 meses=1 aĂąo 6 meses=0,5 aĂąos 18 meses=1,5 aĂąos đ??š1 = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2 đ??š1 = 26.100.000 + 26.100.000 ∗ 0,276 ∗ 0,5 + 26.100.000 ∗ 0,336 ∗ 1,5 đ??š1 = $42.856.200
Se presta $ X cantidad de dinero al 25% anual y luego la misma cantidad se invierte al 30% anual. Si las ganancias que obtuvo, en esta operaciĂłn fueron de $2.650.000 anuales. ÂżCuĂĄnto habĂa recibido en prĂŠstamo?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
F1 = Âż? 0
đ?‘–1 = 25% anual simple n1 = 1 aĂąo
P1= $X
F2 = Âż? 0
đ?‘–2 = 30% anual simple n2 = 1 aĂąo
P2= $X
NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).
SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interés en el tiempo estipulado, que es anual. Pero los intereses ya están con las unidades que se necesitan. 25%=0,25 30%=0,30
TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. F = P + I1 + I2 I1 = P ∗ i1 ∗ n1 I2 = P ∗ i2 ∗ n2 F = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2 CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. F = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2 X + 2.650.000 = X + X ∗ 0,25 ∗ 1 + X ∗ 0,30 ∗ 1 X = $4.818.181
¿Cuånto dinero se debe cancelar el 25 de noviembre de 2018 a una entidad bancaria por el prÊstamo de $17´755.000 realizado el 10 de abril de 2016, si se conoce que hasta el 15 de marzo del 2017 se cobra un interÊs del 28% anual simple y de ahà en adelante del 13% semestral simple?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
25 de noviembre de 2018 15 de marzo de 2017
F= Âż?
n1 = 339 dĂas
n2 = 620 dĂas
đ?‘–1 = 28% anual simple
đ?‘–2 = 13% semestral simple
0
P= 17.755.000 10 de abril de 2016 NOTA: Para el cĂĄlculo de los dĂas entre fechas, se usa la aplicaciĂłn “calculadora de dĂasâ€? en Play Store. El perĂodo cero (0) representa el dĂa de hoy, ahĂ se sitĂşa P (inversiĂłn).
SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interĂŠs en el tiempo estipulado, que es diario. 1 aĂąo=360 dĂas đ?‘–1 =
28% anual simple = 0,0778% = 0,000778 360 dĂas
2 semestres=360 dĂas 1 semestre=180 dĂas đ?‘–2 =
13% semestral simple = 0,0722% = 0,000722 180 dĂas
TERCER PASO: Las fĂłrmulas que se usarĂĄn. F = P + I1 + I2 I1 = P ∗ i1 ∗ n1 I2 = P ∗ i2 ∗ n2 F = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. F = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2 F = 17.755.000 + 17.755.000 ∗ 0,000778 ∗ 339 + 17.755.000 ∗ 0,000722 ∗ 620 F= $30.385.587
Dos capitales, uno de $50.000.000 y otro de $35.000.000 rentan anualmente $3.500.000. Hallar la cantidad de intereses anuales y las tasas de interĂŠs sabiendo que estas se encuentran en relaciĂłn de 1/3?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
F1 0
đ?‘–1 = Âż?
I1 = Âż?
n1 = 1 aĂąo
P1= $50.000.000
F2 0
đ?‘–2 = Âż?
n2 = 1 año
I2 = ¿? P2= $35.000.000
$85.000.000+$3.500.000= $88.500.000 0
n= 1 año P1 + P2 = $50.000.000+$35.000.000= $85.000.000 $35.000.000
NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).
SEGUNDO PASO: Las fórmulas que se usarán. i2 =
i1 3
F = P + I1 + I2 I1 = P1 ∗ i1 ∗ n1 I2 = P2 ∗ i2 ∗ n2 F = P + P1 ∗ i1 ∗ n1 + P2 ∗ i2 ∗ n2 F = P1 (1 + i1 ∗ n1 ) + P2 (1 + i2 ∗ n2 )
TERCER PASO: Resolver el ejercicio. Hallando los porcentajes de interés.
F = P1 (1 + i1 ∗ n1 ) + P2 (1 + i2 ∗ n2 ) 85.000.000 + 3.500.000 = 50.000.000(1 + i1 ∗ 1) + 35.000.000(1 + i1 = 0,0567= 5,67% anual simple i2 =
i1 0,0567 = 3 3
i2 = 0,019= 1,9% anual simple Hallando los intereses. I1 = P1 ∗ i1 ∗ n1 I1 = 50.000.000 ∗ 0,0567 ∗ 1 I1 = $2.835.000 I2 = P2 ∗ i2 ∗ n2 I2 = 35.000.000 ∗ 0,019 ∗ 1 I2 = $665.000
i1 ∗ 1) 3
Se hace un préstamo por $ 17.120.000 para pagar en tres años de plazo y una tasa de interés simple de 7.56% Trimestral. ¿Cuánto pagará por concepto de intereses? ¿Cuánto pagará al final del plazo por el préstamo recibido? Solución
¿F=? . 0
3
17120000
Datos: P=17120000 I=7.56% trimestral N=3 años En primer lugar, podemos observar que el plazo para pagar es de 3 años y que la tasa de interés con la que se trabaja es de 7,56% trimestral, se aconseja cambiar la tasa de interés de trimestral a años, porque no habrá tanta margen de error. 1 año = 4 trimestres 7,56% trimestral * 4 = 0.3024
Para hallar cuanto pagará en intereses se utilizará la siguiente formula: I= p*i*n Remplazando I = (17120000) (0,3024) (3) =
15531264
Se tendrá que pagar 15531264 por concepto de intereses Para hallar cuanto se pagará al final del plazo en su totalidad se utilizará la siguiente formula la cual es para calcular el futuro de lo que se tendrá que pagar: F= p (1+ i*n) Donde F= es el valor futuro Remplazando F= 17120000(1 + (0.3024) (3)) =
32651264
El total a pagar la deuda después de los 3 años cumplidos será de 32651264
Una deuda de $34.567.000 con vencimiento en 24 de septiembre de 2018 y otra de $13.456.000 y con vencimiento en 17 de enero de 2019 e intereses del 13.3% semestral simple, van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $ X c/u con vencimiento en 25 julio de 2018 y el 13 de septiembre de 2019 respectivamente. Con una tasa de interés del 10% semestral simple, hallar el valor de los pagos. Coloque la fecha focal en el mes 5 de diciembre de 2018.
34567000
.
.
25/7/18
.
13456000
5/12/18 24/9/18
¿X=?
13/9/19 17/1/19
punto focal
¿X=?
Podemos empezar calculando los días que hay de cada fecha hasta el punto focal (se recomienda calcularlos con una aplicación llama calculadora de días). Del 25/7/18 al 5/12/18 hay 133 días Del 24/9/18 al 5/12/18 hay 91 días
Del 17/1/19 al 5/12/18 hay 43 días Del 13/9/19 al 5/12/18 hay 282 días Cambiamos la tasa de interés de semestral a diaria ya que estamos trabajando con días. 1 año = 2 semestres = 360 días 10% semestral * 2/ 360 = 0.056% diarios Tomando como punto de referencia el punto focal debemos primeramente llevar cada fecha hasta dicho punto focal e igualar las deudas con los pagos: Σ Deudas = Σ pagos 34567000 (1+ (0.056%) (91)) + .
13456000
= X (1+ (0,056%) (133)) +
(1+ (0.056%) (43))
.
X
1,94X = 49468132.79
(1+ (0.056%) (282) X=
25499037.52
Observando la gráfica cuando se tiene pagos o deudas en la parte izquierda del punto focal se aplica normal la formula establecida, pero en los casos cuando estos se encuentran en la parte derecha del punto focal se pone el valor del pago o préstamo y se divide en el resto de la formula.
X (1 + (i*n))
Los dos pagos que se tienen que hacer cada uno en su día de vencimiento es de 25499037.52 para poder pagar la deuda.
Se solicita un préstamo por $ 25.000.000 al 9,5% trimestral de interés simple, ¿cuánto debe pagar por concepto de intereses al termino de 9 meses? ¿Cuál es el valor del monto final a cancelar?
F 0
.
9
25000000
Datos: P= 25000000 i = 9.5% trimestral n= 9 meses en primer lugar, hay que cambiar la tasa de interés de trimestral a mensual 1 año = 4 trimestres = 12 meses 9.5% trimestral *4 / 12 = 3.167% mensual Para hallar el valor de los puros intereses hasta el plazo dado se hace lo siguiente: I = p*i*n
.
Se utiliza la tasa de interés convertida a mensualidades ya que estamos hablando de 9 meses de plazo. I = (25000000) (3.167%) (9) =
7125750
Por lo tanto, el interés que se va a cobrar tiene un total de 7125750, y por último para hallar el valor futuro total a pagar
32125750 F = p (1 + (i*n)) = 25000000 (1+ ( 3.167%)(9)) = Al final del plazo se tendrá que pagar un total de 32125750 para cancelar el préstamo solicitado.
A una persona le prestan $ 12.000.000 el 3 de febrero de 2017 y cancela el capital principal mĂĄs los intereses el 20 de julio de 2019. Obtenga los intereses y el monto, si la tasa de interĂŠs fue del 3% mensual.
F
3/2/17
. 20/7/19
12000000
Datos: P= 12000000 i = 3% mensual De la fecha 3/2/17 hasta el 20/7/19 hay 897 dĂas
Primeramente, cambiamos la tasa de interĂŠs mensual a diaria 3% mensual *12/ 360 = 0.1% diario El monto que se debe cancelar serĂa el valor futuro que queremos conocer. F= p (1+ (i*n)) F= 12000000(1+ (0.1%) (897)) =
22764000
Lo siguiente que se debe hacer para hallar el valor de los intereses es con lo siguiente: I = p*i*n I = (12000000) (0,1%)(897) =
10764000
El interés ganado por un préstamo de $ 8.000.000, en un plazo de 7 meses, fue de$ 350.000. Calcule la tasa efectiva del periodo y la tasa de interés anual.
F .
.
8000000
Datos: I = 350000 P=8000000 n = 7 meses Para hallar la tasa de interés efectiva (en este caso mensual ya que el pazo que nos dan es en meses) simplemente es aplicando la siguiente formula: I = p*i*n
Despejando la variable i (tasa de interĂŠs) i=
350000
= 6.25x10^-3
0.625% mensual
(8000000) (7)
Para convertir la tasa de interĂŠs mensual a anual se multiplica con su equivalente que seria 12. 0.625% * 12 =
7.5 % anual
Entre dos personas reúnen $22.000.000; la primera persona lo invierte al 20% anual simple y la segunda persona lo invierte al 2,5% mensual simple. Si al término de cuatro años, la primera persona tiene $2.600.000 más que segunda, ¿cuál era el capital inicial de cada uno?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. FT = F1 + F2 F1 = F2 + $2.600.000 i1 = 20 % anual simple
i2 = 2,5 % mensual simple
n= 4 años
P1 + P2 = $22.000.000
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan la cantidad de cada persona inicialmente: ¿ P1 y P2 ?
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades.
Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es anual. i2 = 2,5 % mensual simple ∗ 12 meses = 30% anual simple
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F1 = P1 (1 + i1 ∗ n) F2 = P2 (1 + i2 ∗ n) P1 + P2 = $22.000.000
P1 = $22.000.000 - P2 (despejando)
F1 = F2 + $2.600.000
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. F1 = F2 + $2.600.000 P1 (1 + i1 ∗ n) = P2 (1 + i2 ∗ n) + $2.600.000 ($22.000.000 - P2 ) (1 + 0,20 ∗ 4) = P2 (1 + 0,30 ∗ 4) + $2.600.000 P2 = $9.250.000 P1 = $22.000.000 - $9.250.000 P1 = $12.750.000
Una persona deposita el 7 junio de 2017 su prima vacacional de $1.745.000 en un banco que le bonifica el 5.44% simple anual, ¿cuánto puede retirar el 18 de diciembre del mismo año?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. ¿F? 07 de junio de 2017
i = 5,44 % anual simple P = $1.745.000
n= 194 días 18 de diciembre de 2017
NOTA: El número de días calculado se realiza mediante una aplicación llamada “calculadora de días” en Play Store.
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro: ¿ F?
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es diario.
i =
5,44 % anual simple = 0,0151% diario simple 360 días
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F = P (1 + i ∗ n)
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. F = P (1 + i ∗ n) F = $1.745.000 (1 + 0,000151 * 194) F = $1.796.118
Se compra mercancía en abarrotes con valor de $73.250 para pagarse con $25.000 a los 3 meses, y otro pago a 5 meses de la compra. ¿De cuánto es este pago, si se cargan intereses del 9,6% simple anual?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. ¿P3? P2 = $25.000 n= 5 meses P1 = $73.250
n= 3 meses i = 9,6 % anual simple
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el último pago: ¿ P3 ?
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es mensual. i =
9,6 % anual simple = 0,8% mensual simple 12 meses
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F3 = P1 (1 + i1 ∗ n) F3 = P2 + P3
P3 = F3 - P2
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. F3 = P1 (1 + i1 ∗ n) F3 = $73.250 (1 + 0,008 ∗ 5) = $76.180 P3 = F3 - P2 P3 = $76.180 - $25.000 P3 = $51.180
Una persona debe cancelar $24.000.000 a 3 meses, con el 8% de interés trimestral simple. Si el pagaré tiene como cláusula penal que indica que, en caso de mora, se cobre el 10% trimestral simple por el tiempo que exceda al plazo fijado, ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.
i1 = 8 % trimestral simple
¿F?
n1 = 3 meses i2 = 10 % trimestral simple P= $24.000.000
NOTA: 3 meses a días 12 meses = 360 días 3 meses = 90 días
n2 = 3 meses y 70 días
4 trimestres = 360 días 1 trimestre = 90 días
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro: ¿ F?
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es diario. i1 =
8 % trimestral simple = 0,089% diario simple = 0,00089 90 días
i1 =
10 % trimestral simple = 0,11% diario simple = 0,011 90 días
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F2 = P + I1 + I2 I1 = P ∗ i1 ∗ n1 I2 = P ∗ i2 ∗ n2 F2 = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. F2 = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2 F2 = 24.000.000+ 24.000.000 ∗ 0,00089 ∗ 90 + 24.000.000 ∗ 0,0011 ∗ 70 F2 = $27.770.400
Un empresario recibe el 15 de mayo del 2017, las siguientes tres ofertas por la compra de su negocio. ¿Cuál de las tres es la mejor si el rendimiento del dinero es del 10,5% semestral simple? a) $65.000.000 de cuota inicial y pagaré por $28.000.000 millones con fecha de cobro del 10 de septiembre del 2017. b) $31.250.000 millones a los 120 días; y $65.320.000 millones a los 180 días, en ambos casos reconociendo unos intereses de 4% bimestral simple c) $23.359.000 de cuota inicial y un pagaré por $71.111.000 con vencimiento a los 120 días. Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.
Propuesta A ¿F?
$24.000.000
$28.000.000 118 días
15 de mayo de 2017
i = 10,5% semestral
10 de septiembre de 2017
Propuesta B ¿F? $65.320.000
$31.250.00 0 120 días
180 días i = 4% bimestral simple
Propuesta C ¿F?
$23.359.000
$71.111.000 120 días
i = 10,5% semestral
NOTA: El número de días calculado se realiza mediante una aplicación llamada “calculadora de días” en Play Store. 2 semestres = 360 días 1 semestre = 180 días 6 bimestres = 360 días 1 bimestre = 60 días
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro: ¿ F? y la mejor propuesta que sea rentable.
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es diario.
i =
10,5 % semestral simple = 0,058% diario simple = 0,00058 180 días
i1 =
4 % bimestral simple = 0,067% diario simple = 0,00067 60 días
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F = P (1 + i ∗ n)
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan.
Propuesta A F = P (1 + i ∗ n) F = 65.000.000 + 28.000.000 (1 + 0,00058 ∗ 118) F = $94.916.320 Propuesta B F = P (1 + i ∗ n) F = (31.250.000 (1 + 0,00067 ∗ 120) + 62.320.000 (1 + 0,00067 ∗ 180)) F = $103.598.282 Propuesta C F = P (1 + i ∗ n) F = 23.359.000 + 71.111.000 (1 + 0,00058 ∗ 120) F = $99.419.325 La propuesta más rentable es la B
Una empresa presta a una entidad financiera la suma de $20.000.000 el 24 de Abril del 2015 con el compromiso de cancelar la totalidad de la deuda el 3 de febrero de 2016 al 1,5% mensual simple. Sin embargo, la empresa efectĂşa el pago el 15 de Noviembre de 2017. Si el contrato estipulaba una tasa del 2,7% mensual simple sobre el saldo en mora, ÂżCuĂĄl es el valor de los intereses al vencimiento? ÂżCuĂĄl es el valor de los intereses de mora? ÂżCuĂĄl es el total pagado?
F=?
đ?‘–: 1,5% đ?‘š. đ?‘ P: $20.000.000
đ?‘–: 2,7% đ?‘š. đ?‘ 03-02-2016
15-11-2017
24-04-2015
ďƒ˜ Lo primero que debemos haces es calcular cuĂĄntos dĂas han transcurrido desde el dĂa del prĂŠstamo hasta el dĂa del vencimiento del prĂŠstamo y desde el dĂa de vencimiento
hasta el dĂa que se efectĂşa el pago. Esto lo sabemos por medio de la aplicaciĂłn “Calculadora de dĂasâ€? la cual podemos descargar por medio de Play Store.
Nota: Como el interĂŠs es đ?‘– = 1,5% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ debemos pasarlo a interĂŠs diario simple y hacemos de la siguiente manera: 1,5 30
%đ?‘š. đ?‘ = 0,05% đ?‘‘. đ?‘
ďƒ˜ Procedemos a calcular el valor FUTURO al dĂa 03/02/2016 teniendo en cuenta los siguiente datos y la formula: đ?‘ƒ = $20.000.000
đ?‘› = 285
đ?‘– = 0,0005
đ??š = đ?‘?(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›) đ??š = $20.000.000(1 + (0.0005 ∗ 285)) đ??š = $22.850.000 ďƒ˜ Para hallar el valor futuro al dĂa 15-11-2017, hacemos el mismo procedimiento tanto. Esta vez tomando el valor futuro que hallamos anteriormente como el valor Presente.
đ?‘–:
2,7 % đ?‘š. đ?‘ = 0,09% đ?‘‘. đ?‘ 30
3 de Febrero al 15 de Noviembre= 651 dĂas đ?‘ƒ = $22.850.000
đ?‘› = 651
đ?‘– = 0,0009
đ??š = đ?‘?(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›) đ??š = $22.850.000(1 + (0.0009 ∗ 651)) đ??š = $36.237.815
ďƒ˜
Hallamos el valor InterĂŠs al vencimiento haciendo la relaciĂłn Futuro - Presente
ďƒ˜ $22.850.000 - $20.000.000 =
$2.850.000
interĂŠs al vencimiento.
ďƒ˜ Hallamos el InterĂŠs en mora haciendo la relaciĂłn Futuro – Presente. $36.237.815 - $22.850.000=
$13.387.815
interĂŠs en mora.
ďƒ˜ El total pagado es el Ăşltimo valor Futuro que calculamos al dĂa 15-11-2017. F= $36.237.815
Una persona presta una cantidad al 18,5% de interĂŠs anual simple. DespuĂŠs de 8 aĂąos y 3 meses la retira, y lo producido incluido los intereses, los vuelve a prestar pero ahora al 10,5%. semestral simple. Producto de esta segunda vez que presta recibe un monto de $1.200.000 de solo intereses ÂżCuĂĄl fue la cantidad que prestĂł inicialmente? P = Âż?
8 aĂąos y 3 meses 18.5% a.s
18.5%
1.200.000 intereses 10.5% s.s
ďƒ˜ Calculamos los dĂas transcurridos en los 8 aĂąos y 3 meses y convertimos los intereses de anual simple a diario simple. đ?‘–:
18.5% 360
= 0.051% đ?‘‘. đ?‘
8 aĂąos y 3 meses = 2970 dĂas
ďƒ˜ Establecemos una relaciĂłn entre futuro y presente mediante la fĂłrmula del valor Futuro
(đ??ź = đ?‘ƒ ∗ đ?‘– ∗ đ?‘›) (đ??ź = đ?‘ƒ ∗ 0.00051 ∗ 2970)
đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›) đ??š = đ?‘ƒ(1 + 0.00051 Ă— 2970) đ??š = 2.5147đ?‘ƒ
ďƒ˜ Tomamos a 2.5147P como el valor Presente para reemplazarla en la fĂłrmula de Intereses, ademĂĄs decimos que el valor n= 1 semestre. Despejamos P
I=10.5% semestral simple đ??ź =đ?‘ƒâˆ—đ?‘–∗đ?‘› 1.200.000 = 2.5147đ?‘ƒ ∗ đ?‘‚. 105 ∗ 1 đ?‘ƒ = $4.544.705
n=1 semestre
Dos capitales cuya suma es de $35.500.000 han estado impuestos a interĂŠs simple durante el mismo tiempo y al mismo porcentaje, produciendo unos capitales finales de $13.125.000 y $24.150.000. ÂżCuĂĄles eran dichos capitales? ďƒ˜ Establecemos una relaciĂłn đ?‘ƒ 1 + đ?‘ƒ 2 = $35.500.000 đ?‘ƒ 2 = $35.500.000 − đ?‘ƒ 1 ďƒ˜ Establecemos la relaciĂłn de cada una de los capitales y despejamos 13.125.000 = đ?‘ƒ 1(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›) 13.125.000 = (1 + đ?‘– ∗ đ?‘›) đ?‘ƒ1 24.150.000 = (35.500.000 − đ?‘ƒ 1)(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›) 24.150.000 = (1 + đ?‘– ∗ đ?‘›) 35.500.000 − đ?‘ƒ1
ďƒ˜ Como i y n son las mismas permanecen constantes, igualamos y despejamos P1 yP2. 13.125.000 21.150.000 = đ?‘ƒ 35.500.000 − đ?‘ƒ đ?‘ƒ1 = $13.594.091
đ?‘ƒ2 = $35.500.000 − $13.594.091.9 = $21.905.908.1
Respuesta: dichos capitales son $13.594.091. 9 y $21.905.908.1, respectivamente.
Calcular el futuro de $150.000.000 e al 6% de interĂŠs anual colocado durante 1 aĂąo y 4 semanas en rĂŠgimen de interĂŠs simple.
F = Âż?
I= 6% a. s
P= $150.000.000
Teniendo en cuenta los datos que nos dieron, aplicamos la fĂłrmula de Valor Futuro 6
đ?‘– = 48 % = 0.125% đ?‘ đ?‘’. đ?‘ đ?‘? = $150.000.000
đ?‘› = 52 đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘
đ?‘– = 0.125 % đ?‘ đ?‘’. đ?‘ đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›)
đ??š = $150.000.000(1 + 0.00125 Ă— 52) đ??š = $159.750.000
Respuesta: el valor futuro es de $159.750.000
N: 1 aĂąo y 4 semanas
Cuántos días tardará un préstamo de $ 7.230.000 para producir $ 120.500 de interés simple, si la tasa de interés es de 25% anual simple?
Solución: Se realiza la gráfica, poniendo el presente (valor del préstamo) abajo, y el valor futuro en la parte superior. Se conoce que los intereses simples producidos son $120.500.
F: 7.350.500
Is: 25% anual
N: ?
P: 7.230.0000
El valor futuro se conoce utilizando la formula F = P + I, entonces conociendo los interés ganados durante cierto tiempo, reemplazamos: F = 7.230.000 + 120.500 = 7.350.500
Luego se cambia la tasa de interés de anual a diaria:
is =
25 % = 0.069% diaria 360
Se reemplaza la siguiente formula, donde se despeja N: F = P(1 + i ∗ n) 7.350.500 = 7.230.000(1 + 0.00069 × n) N =24 días
RTA/ Se tardan 24 días para que el préstamo produzca $ 120.500 de interés simple.
Un empresario desea conocer cuánto deberá invertir hoy en un fondo para dentro de tres años y medio reponer la maquinaria que estima costará $500´000.000. El fondo utiliza interés bancario en sus cálculos y reconoce un interés mensual simple del 3% Lo primero que se debe hacer es identificar los datos que plantea el problema P=? Incógnita del problema F=$500.000.000 Es el valor que tendrá la maquina en un futuro i= 3% ms interés bancario del problema n= 3.5 número de periodos. Se toma 3.5 ya que se indica 3 años y medio
Se procede a dibujar la graficar con todos los datos
$500.000.000
3.5 años
P i=3%m s
Para iniciar la soluciĂłn del ejercicio lo primero que se debe hacer es transformar la tasa de interĂŠs mensual simple a anual simple ya que la tasa de interĂŠs y el nĂşmero de periodos deben ser congruentes La tasa de interĂŠs se transforma de la siguiente manera: el interĂŠs que el problema da se multiplica por 12 debido a que 1 aĂąo tiene 12 meses y se transforma de una tasa de interĂŠs menor a mayor 3%đ?‘šđ?‘ ∗ 12 = 36%đ?‘Žđ?‘ = 0.36 Aplicando la formula correspondiente para intereses simple, la soluciĂłn queda asĂ: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›)
se despeja P que es lo que se necesita đ?‘ƒ=
đ??š (1 + đ?‘– ∗ đ?‘›)
Se procede a reemplazar los datos y resolver đ?‘ƒ=
$500.000.000 = $221.238.938 (1 + 0.36 ∗ 3.5)
đ?‘ƒ = $221.238.938 $221.238.938 es el dinero que se debe invertir hoy para poder obtener dentro de 3 aĂąos y medio el dinero necesario para la compra de la maquina
Hallar la verdadera tasa bancaria que cobra un banco cuando descuenta un documento con valor de maduración de $3.400.000, si es descontado 125 días antes del vencimiento al 29% anual simple Identificación de los datos que plantea el problema i2=? Incógnita del problema Vf = $3.400.000 Valor de maduración o valor final del documento o pagaré n = 125 días tiempo antes del vencimiento del documento i1 = 29% as interés utilizado por el banco para realizar el descuento en el valor del pagaré
Dibujo de la grafica $3.400.000
n = 125 días Vt
29%as
Todos los datos deben ser congruentes, por lo tanto se transforma la tasa de interĂŠs anual simple a un interĂŠs diario simple de la siguiente manera:
29%đ?‘Žđ?‘ = 0.0805%đ?‘‘đ?‘ = 0.000805 360
Como se desea transformar una tasa de interĂŠs mayor a una menor se divide por el periodo de tiempo adecuado al cual se desea convertir Para la soluciĂłn de este problema es necesario calcular el descuento que realizarĂĄ el banco al documento para luego proceder a calcular el valor total o valor real de ĂŠste el dĂa de hoy y por Ăşltimo el interĂŠs que es la incĂłgnita del problema
Aplicando la fĂłrmula de descuento đ??ˇ = đ?‘‰đ?‘“ ∗ đ?‘–1 ∗ đ?‘› = $3.400.000 ∗ 0.000805 ∗ 125 = $342.125 $342.125 serĂĄ el descuento que realizara el banco đ?‘‰đ?‘‡ = đ?‘‰đ?‘“ − đ??ˇ = $3400.000 − $342.125 = $3.057.875 $3.057.875 es lo que vale el documento en el momento en que es descontado
Aplicando la fĂłrmula de futuro para intereses simples: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–2 ∗ đ?‘›) Se reemplaza los datos y se procede a despejar la incĂłgnita i2 mediante la calculadora fx-570ES PLUS para agilizar el calculo F es el valor final o futuro del documento, P es el valor total o valor real el dia de hoy (Presente) $3.400.000 = $3.057.875(1 + đ?‘–2 ∗ 125) = 0.0009 = 0.09%đ?‘‘đ?‘
Se transforma la tasa de interĂŠs diaria simple a una tasa de interĂŠs anual simple, teniendo en cuenta que se transforma de una tasa menor a una mayor. Por lo tanto se debe multiplicar
0.09% ∗ 360 = 32.4%đ?‘Žđ?‘ đ?‘– = 32.4% as
32.4% serĂĄ la verdadera tasa de interĂŠs que cobrara el banco al momento de realizar el descuento
El hospital María Auxiliadora desea adquirir material quirúrgico –para poder brindar un mejor servicio– y cuenta para ello con dos propuestas que deben ser analizadas: Propuesta A: Cuota inicial $ 300.000.000 y 2 cuotas semestrales de $ 45.000.000 cada una. Propuesta B: Cuota inicial $ 220.554.110 y 4 cuotas trimestrales de $ 59.000.000 cada una. Si el costo del dinero es el 3,5% de interés simple mensual, ¿cuál es la mejor oferta? Para la solución de este ejercicio se deben analizar las dos propuestas por aparte y calcular su presente pues el presente es lo que pagara por el material quirúrgico. En la gráfica las flechas arriba indicaran los pagos y hacia abajo indicara el presente
Propuesta A $300.000.000
0
$45.000.000
1
$45.000.000
2
semestres
P 3.5% ms
Se transforma la tasa de interés mensual a semestral. Teniendo en cuenta la transformación de menor a mayor se multiplica
3.5%đ?‘šđ?‘ ∗ 6 = 21%đ?‘ đ?‘ = 0.21 Se calcula el presente con la ecuaciĂłn correspondiente teniendo en cuenta la cuota inicial y el traslado de los pagos semestrales hasta el dĂa de hoy (cero) đ?‘ƒ = $300.000.000 +
$45.000.000 $45.000.000 + = $368.880.223 (1 + 0.21 ∗ 1) (1 + 0.21 ∗ 2) đ?‘ƒ = $368.880.223
Propuesta B
$220.554.110 $59.000.000 $59.000.000 $59.000.000
0
1
P
2
3
$59.000.000
4
trimestres
3.5%m s
Se transforma la tasa de interĂŠs mensual a trimestral. Teniendo en cuenta la transformaciĂłn de menor a mayor se multiplica 3.5% ∗ 3 = 10.5%đ?‘Ąđ?‘ = 0.105 Se calcula el presente con la ecuaciĂłn correspondiente teniendo en cuenta la cuota inicial y el traslado de los pagos semestrales hasta el dĂa de hoy (cero) đ?‘ƒ = $220.554.110 +
$59.000.000 $59.000.000 $59.000.000 $59.000.000 + + + (1 + 0.105 ∗ 1) (1 + 0.105 ∗ 2) (1 + 0.105 ∗ 3) (1 + 0.105 ∗ 4)
đ?‘ƒ = $409.124.321 La mejor propuesta es sin duda la A, pues el material quirĂşrgico saldrĂĄ mas econĂłmico
Una persona firmó un pagaré el 14 de febrero de 2017 por un capital de $117.800.000 a un interés del 32% anual simple. ¿En qué fecha los intereses serán $2.890.000? Datos del problema Vt = $117.800.000 Presente, Valor total o real del pagaré I = $2.890.000 Intereses Generados i = 32%as = 0.32 tasa de interés n =? Numero de días Grafica Correspondiente F
14 febrero 2017
$117.800.000
n
32%as
Se debe trasformar la tasa de interés anual simple a diaria simple para obtener el resultado (n) en días y poder calcular la fecha mediante la calculadora de días
Se tiene en cuenta que para transformar una tasa de interĂŠs mayor a menor se divide 32%đ?‘Žđ?‘ = 0.0889%đ?‘‘đ?‘ = 0.000889 360 Se sabe que para calcular los intereses se aplica la siguiente ecuaciĂłn: đ??ź = đ?‘ƒ ∗ đ?‘– ∗ đ?‘› despejando n queda:
đ?‘›=
đ?‘›=
đ??ź đ?‘ƒâˆ—đ?‘–
se procede a reemplazar y resolver
$2.890.000 $117.800.000 ∗ 0.000889 đ?‘› = 28 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘
La fecha correspondiente segĂşn la calculadora de dĂas es 14 de Marzo de 2017
Un padre de familia coloca su capital mediante préstamos a interés simple. El primero y segundo préstamos de $175.000.000 y $ 128.000.000, respectivamente; realiza el segundo préstamo 9 meses después del primero. La tasa que ofrecen pagarle es del 3.5% mensual simple, ¿cuál es el monto generado por estos préstamos si ambas partes deciden mantener esta operación por 3 años más después del último préstamo?
Datos del problema P1 = $175.000.000 Primer préstamo P2 = $128.000.000
Segundo préstamo
i = 3.5%ms
Tasa de interés ofertada o pactada
n1 = 45 meses
Tiempo transcurrido después del primer préstamo
n2 = 36 meses
Tiempo transcurrido después del segundo préstamo
Ftotal =?
Dinero recibido después de los 3 años
Grafica del Problema En esta grafica se tendrĂĄ en cuenta las flechas hacia abajo (prestamos) y flechas hacia arriba (retiros) F
9
0
45
$175.000.000
meses
$128.000.000
3.5%ms
La tasa de interĂŠs ya estĂĄ acorde con los periodos, por lo tanto no se le realiza ninguna transformaciĂłn Para calcular el monto generado se deberĂĄ calcular el futuro total, este futuro es la suma individual de cada uno de los futuros đ??šđ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = đ?‘ƒ1(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›1) + đ?‘ƒ2(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›2) Reemplazando y resolviendo đ??šđ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = $175.000.000(1 + 0.035 ∗ 45) + $128.000.000(1 + 0.035 ∗ 36) đ??šđ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = $739.905.000
¿En cuántos bimestres se duplicará una cierta cantidad de dinero si se invierte al 28% de interés anual simple? Solución: Se realiza la gráfica, poniendo el presente (valor del préstamo) abajo, el cual no se conoce entonces lo llamaremos X y el valor futuro en la parte superior, como nos dice que esta cantidad se duplica, nuestro futuro será 2X.
F: 2X
is= 28% anual
P: X
Luego se cambia la tasa de interés de anual a bimestral:
is =
28 % = 4.67% bimestral 6
Se reemplaza la siguiente formula, donde se despeja N: F = P(1 + IS × N) 2X = X(1 + 0.0467 × N)
N
N= 21 bimestres NOTA: Se toma N como valor X para realizar la operaciรณn en la calculadora.
RTA/ En 21 bimestres se duplica esta cierta cantidad de dinero.
Cuántos intereses se debe cancelar el 21 de mayo de 2018 a una entidad bancaria por el préstamo de $12´600.000 realizado el 18 de junio de 2015, si se conoce que hasta el 28 de agosto del 2016 se cobra un interés del 3.8% trimestral simple y de ahí en adelante del 7.8% semestral simple. Solución: Se realiza el grafico P: 12.600.000
18/06/15
28/08/16
is:3.8% trimestral
is:7.8% semestral
Se calcula el número de días que hay entre las fechas dadas: 18/06/15 437dias 28/08/16
28/08/16 21/05/18
631 días
I
Se cambian las tasas de interés, la 1 de trimestral a diario y la 2 de semestral a diario:
is 1 =
3.8 % = 0.042% diario 90
is 2 =
7.8 % = 0.043% diario 180
Se hace el planteamiento, donde se dice que los intereses totales son iguales a la sumatoria de los intereses del primer periodo más los intereses del segundo periodo, es decir: IT = I 1 + I 2 Se reemplaza la siguiente formula, donde se halla I 1 Y I 2: I =P×I×N I 1 = 12.600.000 × 0.00042 × 437 I 1= 2.312.604
I 2 = 12.600.000 × 0.00043 × 631 I 2 = 3.418.758
IT= 2.312.604 + 3.418.758
IT= 5.731.362
RTA/ Se deben cancelar $5.731.362 de intereses el 21 de mayo de 2018 a la entidad bancaria por concepto del préstamo de $12.600.000 realizado el 18 de junio de 2015.
Una cantidad de dinero se ha dividido en tres partes, y se ha impuesto la primera al 4%; la segunda al 5%, y la tercera, al 6%, dando en total una ganancia anual de $9.244.000. Si la primera y tercera parte del capital se hubieran impuesto al 5,5 %, los intereses correspondientes a estas dos partes serĂan de $6.534.000 anualmente. Calcular las tres partes del capital, sabiendo ademĂĄs que la tercera parte es los 2/9 de la primera. SoluciĂłn: Se realiza el grafico, donde se nombran las tres partes como: A, B y C.
PARTE A
PARTE B
PARTE C F 1= 9.244.000
is: 4% anual
is: 5% anual
is: 5,5% anual
ďƒ˜ Se sabe que el capital C es igual a
is: 6% anual
is: 5,5% anual
đ?&#x;? đ?&#x;—
del capital A
ďƒ˜ Se utiliza la siguiente formula en donde se reemplazan los datos del primer periodo y se nombra como ecuaciĂłn 1, es decir:
F 2= 6.534.000
F = P(1 + IS × N) 9.244.000= A (1 + 0,04 × 1) + B (1 + 0,05 × 1) + C (1 + 0,06 × 1) 9.244.000= 1,04 A + 1,05 B + 1,06 C ---- ( ecuación 1) De la misma manera, en la formula se reemplazan los datos del segundo periodo y se nombra como ecuación 2, es decir: 6.534.000 = A (1 + 0,055 × 1) + C (1 + 0,055 × 1)
6.534.000 = 1,055 A + 1,055 C ---- (ecuación 2) De la ecuación 2, se despeja A :
6.534.000 = 1,055A + 1,055C 6.534.000 = 1,055A + 1,055 (
2 9
A)
A= 5.067.298
Teniendo A, se despeja C: C=( C=(
2 A) 9
2 )(5.067.473) 9 C = 1.126.105
De la ecuación 1, se despeja B: 9.244.000= 1,04 A + 1,05 B + 1,06 C 9.244.000= 1,04 (5.067.473) + 1,05 B + 1,06 (1.126.105) B= 2.647.768
RTA/ La cantidad de dinero quedo dividida así: la parte A igual a $5.067.298, la parte B igual a $1.126.105 y la parte C igual a $2.647.768.
Una inversión de $15.525.000 gana $3.125.000 de interés en 8 meses. ¿Cuál es la tasa de interés imple anual que se ganó? Solución: Se realiza el grafico F
Is 15.525.00 0
Se utiliza la siguiente ecuación y se reemplaza los datos: I = P × Is × N 3.125.000 = 15.525.000 × Is × 8 Is = 0,025 = 25% mensual Se cambia la tasa de interés de mensual a anual: Is = 0,025 × 12 = 0, 3 anual Is anual= 3 %
RTA/ Se ganó una tasa de interés simple anual del 3%
8 meses
Un capital de cuantĂa P se ha colocado la cuarta parte al 5% de interĂŠs anual simple durante 30 dĂas, la mitad del resto se ha colocado al 4% anual simple durante 60 dĂas y la otra mitad al 8% anual simple durante 40 dĂas. Determinar la cuantĂa de P si los intereses totales son de $2.750.000 SoluciĂłn: Se realiza el grafico, interpretando los datos del problema
P/ 4
3/8 P
30 dĂas
Is =5% anual
3/8 P
60 dĂas
Is = 4% anual
40 dĂas
Is = 8% anual
IT = 2.750.000 ďƒ˜ Se cambian todas las tasas de interĂŠs de anual a diaria: đ??źđ?‘ =
5 % = 0,014% 360
đ??źđ?‘ =
đ??źđ?‘ =
4 % = 0,011% 360 8 % = 0,022% 360
ďƒ˜ Se utiliza la siguiente ecuaciĂłn : I = P Ă— Is Ă— N, donde se reemplazan los datos anteriores, y se despeja P, es decir:
1
2.750.0 ( 4 P ) Ă— 0,00014 Ă— 30 + (
3 8
P ) Ă— 0,00011 Ă— 60 + (
3 8
P ) Ă— 0,00022 Ă— 40
P = 402.930.403
RTA/ la cuantĂa P, si los intereses totales son de $2.750.000 es de $402.930.403
Entre dos personas reĂşnen $ 22.000.000; la primera persona lo invierte al 20% anual simple y la segunda persona lo invierte al 2,5% mensual simple. Si al tĂŠrmino de cuatro aĂąos, la primera persona tiene $ 2.600.000 mĂĄs que segunda, cuĂĄl era el capital inicial de cada uno. Datos: P1 + P2 = 22.000.000
Se despeja una variable,
P2= 22.000.000 – P1
đ?‘–đ?‘ 1 = 20% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘–đ?‘ 2 = 2,5% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ n = 4 aĂąos F1= 2.600.000 + X F2= X Persona 1
đ?’Šđ?&#x;? = 20% anual simple
F1 = 2.600.000 + X
n= 4 aĂąos
P1 Persona 2
đ?’Šđ?&#x;? = 2,5% mensual simple
P2
F2 = X
n= 4 aĂąos
SoluciĂłn: -Se debe cambiar las tasas de interĂŠs a un tiempo anual, de modo que coincidan con el periodo, sabiendo que un aĂąo tiene 12 meses, asĂ: đ?‘–đ?‘ 1 = 20% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘–đ?‘ 2 = 2,5% ∗ 12 = 30% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ -Se plantean dos ecuaciones, una por cada caso, y se reemplazan los valores: F1 = P1(1 + đ?‘–đ?‘ 1 ∗ đ?‘›) (2.600.000 + X) = P1 (1 + 0,20 * 4) (2.600.000 + X) = P1 + 0,8*P1 X= 1,8 P1 – 2.600.000
Despejando a X,
(1)
F2 = P2(1 + đ?‘–đ?‘ 2 ∗ đ?‘›) X = (22.000.000 – P1) (1 + 0,30 * 4) X = 22.000.000 + 26.000.000 – P1 – 1,2*P1 X = – 2,2*P1 + 48.400.000
(2)
-Se iguala X de (1) y (2) y se encuentra el valor de P1 1,8 P1 – 2.600.000 = – 2,2*P1 + 48.400.000 (1,8 + 2,2)*P1 = 48.400.000 + 2.600.000 P1 =
51.000.000 4
= $ 12.750.000
-Por último se calcula P2 P2 = 22.000.000 – 12.750.000 = $ 9.250.000
R/: El capital invertido por cada persona respectivamente serĂĄ, $12.750.000 y $9.250.000
Se invirtieron $ 15.220.000 en una entidad financiera a plazo de 180 dĂas. Si al vencimiento recibieron $ 1.620.000 de intereses, ÂżquĂŠ tasa de interĂŠs anual ganĂł? Datos: P= 15.220.000 n = 180 dĂas I= 1.620.000
I= 1.620.000
n= 180 dĂas
đ?’Šđ?’” P= 15.220.000
SoluciĂłn: -Se debe modificar el periodo de dĂas a aĂąos, sabiendo que un aĂąo se conforma de 360 dĂas: n= 180 dĂas *
1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ 360 đ?‘‘Ăđ?‘Žđ?‘
= 0,5 aĂąos
-Utilizando la ecuaciĂłn: đ??ź = đ?‘ƒ ∗ đ?‘–đ?‘ ∗ đ?‘› -Despejando y despejando para đ?’Šđ?’” queda: đ?‘–đ?‘ =
đ??ź đ?‘ƒâˆ—đ?‘›
đ?‘–đ?‘ =
1.620.000 15.220.000 ∗ 0,5
đ?‘–đ?‘ = 0,2128 = 21,28% anual R/: Se gana una tasa de interĂŠs igual a 21,28% anual
Calcule el valor futuro de un prĂŠstamo de $11.200.000 al 30% de interĂŠs anual simple y 10 meses de plazo. Datos: P= 11.200.000 đ?‘–đ?‘ = 30% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
F
n = 10 meses
đ?’Šđ?’” = đ?&#x;‘đ?&#x;Ž% đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’? đ?’”đ?’Šđ?’Žđ?’‘đ?’?đ?’†
n= 10 meses
P= 11.200.000
SoluciĂłn: -Se debe cambiar la tasa de interĂŠs a un tiempo mensual, de modo que coincida con el periodo, sabiendo que un aĂąo tiene 12 meses, asĂ: đ?‘–đ?‘ =
30% = 2,5% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 12
-Se utiliza y reemplazan los valores en la siguiente ecuaciĂłn đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘ ∗ đ?‘›) đ??š = 11.200.000(1 + 0,025 ∗ 10) F= $ 14.000.000 R/: El pago futuro del prĂŠstamo serĂĄ por $ 14.000.000
Un equipo de sonido $ 7.150.000 de contado. Se cancela una cuota inicial del 25% del precio de contado y el resto a 270 dĂas con un recargo del 15% sobre el saldo. ÂżQuĂŠ tasa de interĂŠs simple anual acepta cancelar? Datos: Precio de contado= 7.150.000 đ?‘ƒ0 = (7.150.000 *25%) n = 270 dĂas P= Saldo = (7.150.000 - đ?‘ƒ0 ) I= P*15% I= P*15%
đ?‘ˇđ?&#x;Ž = (7.150.000 *25%)
đ?’Šđ?’” P = (7.150.000 - đ?‘ˇđ?&#x;Ž )
n= 270 dĂas
SoluciĂłn: -Se calcula la cuota inicial “đ?‘ˇđ?&#x;Ž â€?, el saldo “Pâ€? y el recargo “Iâ€?: đ?‘ƒ0 = 7.150.000*0,25 = 1.787.500´ P= 7.150.000 – 1.787.500 = 5.362.500 I= 5.362.500*0,15 = 804.375 -Se cambia el periodo de dĂas a aĂąos: n= 270 dĂas *
1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ 360 đ?‘‘Ăđ?‘Žđ?‘
= 0,75 aĂąos
-Utilizando la ecuaciĂłn: đ??ź = đ?‘ƒ ∗ đ?‘–đ?‘ ∗ đ?‘› -Despejando y despejando para đ?’Šđ?’” queda: đ?‘–đ?‘ =
đ??ź đ?‘ƒâˆ—đ?‘›
đ?‘–đ?‘ =
804.375 5.362.500 ∗ 0,75
đ?‘–đ?‘ = 0,20 =
20% anual
R/: Se acepta cancelar el equipo de sonido por una tasa de interĂŠs de 20% al aĂąo.
Una persona concediĂł un prĂŠstamo a un amigo por $35.000.000 comprometiĂŠndose ĂŠste a devolverlo dentro de dos aĂąos y cuatro meses. Por el mencionado prĂŠstamo le cobrĂł una tasa de interĂŠs simple del 12% anual. ÂżCuĂĄl serĂĄ el interĂŠs que deberĂĄ pagar este amigo por el prĂŠstamo? Datos: P= 35.000.000 n = 2 aĂąos y 4 meses = 28 meses I
đ?‘–đ?‘ = 12% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
đ?’Šđ?’” = đ?&#x;? %
P = $ 35.000.000
n= 26 meses
SoluciĂłn: -Se debe cambiar la tasa de interĂŠs a un tiempo mensual, de modo que coincida con el periodo, sabiendo que un aĂąo tiene 12 meses: đ?‘–đ?‘ =
12% = 1% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 12
-Utilizando la siguiente ecuaciĂłn y sustituyendo valores: I = đ?‘ƒ ∗ đ?‘–đ?‘ ∗ đ?‘› I = 35.000.000 ∗ 0,01 ∗ 28 I = $ 9.800.000 R/: Este amigo deberĂĄ pagar los intereses por la suma de $ 9.800.000
Un capital colocado durante 10 meses se ha convertido, junto con los intereses en 29’760.000 el mismo capital, menos sus intereses durante 17 meses ha quedado reducido 27’168.000. Determinar el capital y la tasa de interés a la que ha colocado.
Solución.
En primer lugar, se realiza la interpretación gráfica correspondiente. Para este ejercicio es necesario hacer dos gráficas: Grafica 1.
En donde: X: representa el capital y serĂĄ tomado en cuenta como valor presente para este caso. Grafica 2.
En donde: X: representa el capital y en este caso serĂĄ tomado como un valor futuro.
Ahora se determinan ecuaciones para cada grafica de acuerdo a la fĂłrmula de interĂŠs simple: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–. đ?‘›) Para la grĂĄfica 1. 29.760.000 = đ?‘‹(1 + 10đ?‘–) 29.760.000 = đ?‘‹ + 10đ?‘‹đ?‘–
đ?‘–=
29.760.000−đ?‘‹ 10đ?‘‹
EcuaciĂłn 1
Para la grĂĄfica 2. đ?‘‹ = 27.168.000(1 + 17đ?‘–) đ?‘‹ = 27.168.000 + 461.856.000đ?‘–
Reemplazo ecuaciĂłn 1 en ecuaciĂłn 2. 29.760.000−đ?‘‹ đ?‘‹ = 27.168.000 + 461.856.000 ( ) 10đ?‘‹
Usando el programa SOLVE de la calculadora se obtiene:
EcuaciĂłn 2
đ?‘‹ = 28.765.221,65
Respuesta. El valor del capital corresponde a $ 28.765.221,65
Para hallar la tasa de interĂŠs reemplazo el valor de X en la ecuaciĂłn 1.
đ?‘–=
29.760.000−28.765.221,65 10(28.765.221,65)
đ?‘– = 0,00346 = 0,346%
Respuesta. La tasa de interĂŠs a la que fue colocado el capital es de 0,346%.
Determinar el tiempo necesario en meses para que un capital de cuantĂa P, colocado en un interĂŠs del 4% trimestral simple genere una igualdad a 3 veces el capital inicial.
SoluciĂłn.
Primero se hace la grĂĄfica.
F = 3P. El valor futuro es tres veces el valor presente. Se debe transformar la tasa de interĂŠs trimestral a una tasa de interĂŠs mensual. 4
đ?‘–đ?‘šđ?‘ = 3 = 1,33%đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™. = 0,0133 Se realiza el despeje de “nâ€? de la formula.
đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–. đ?‘›) đ??š = đ?‘ƒ + đ?‘ƒ. đ?‘–. đ?‘›
đ?‘›=
đ??šâˆ’đ?‘ƒ đ?‘ƒ.đ?‘–
3đ?‘ƒâˆ’đ?‘ƒ đ?‘› = đ?‘ƒ.(0,0133) 2đ?‘ƒ đ?‘› = đ?‘ƒ.(0,0133)
đ?‘›=
2 0,0133
= 150.37
Respuesta. Se requiere de un tiempo de 150 meses aproximadamente para triplicar el valor de un capital inicial.
Se firman dos pagares asĂ: uno con valor de vencimiento por 22´750.000 a pagar en 3 semestres y otro con valor de vencimiento por 14´100.000 a pagar en 6 semestres. En un nuevo arreglo con su acreedor convino en pagar 12´050.000 el dĂa de hoy y el resto dentro de 9 semestres. ÂżQuĂŠ cantidad tendrĂĄ que pagar al final de semestre 9, si la tasa de interĂŠs es 2,5 % mensual simple y se toma como fecha focal el semestre 5?
SoluciĂłn.
Se debe hacer la grĂĄfica respectiva:
Se debe transformar la tasa de interĂŠs mensual simple a una tasa de interĂŠs semestral simple. đ?‘–đ?‘ đ?‘ = 2,5% ∗ 6 = 15%đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’. = 0,15
Se toma como punto focal el semestre 5. 22´750.000(1 + 0,15 ∗ 2) +
14´100.000 (1 + 0,15 ∗ 1)
= 12´050.000(1 + 0,15 ∗ 5) +
đ?‘‹ (1 + 0,15 ∗ 4)
29´575.000 + 12´260.869,57 = 21´087.500 +
20´748.369,57 =
đ?‘‹ (1 + 0,15 ∗ 4)
đ?‘‹ (1 + 0,15 ∗ 4)
Usando el programa SOLVE de la calculadora se tiene que: X=33.197.392
Respuesta. Al final del semestre 9 la persona deberĂĄ pagar una cantidad de $ 33.197.392
Un certificado de depósito termino a tÊrmino de 10´500.000 paga el 3% semestral simple. Cuanto produce de intereses al cabo de 5 aùos
SoluciĂłn.
InterpretaciĂłn grĂĄfica:
Se debe transformar la tasa de interĂŠs semestral simple a una tasa de interĂŠs anual simple. đ?‘–đ?‘Žđ?‘ = 3% ∗ 2 = 6%đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’. = 0,06
Aplicar la fĂłrmula: đ??ź = đ?‘ƒ. đ?‘–. đ?‘› đ??ź = 10.500.000 ∗ 0,06 ∗ 5 đ??ź = 3.150.000
Respuesta. La cantidad de intereses que se generan al cabo de 5 aĂąos por el CDT corresponde a $ 3.150.000
En cuanto tiempo quincenas una inversión de 20´000.000 produce intereses de 7´200.000 si el capital se invirtió al 7.5% trimestral simple.
Solución.
En primer lugar se hace la gráfica:
Se debe transformar la tasa de interĂŠs trimestral simple a una tasa de interĂŠs quincenal simple. đ?‘–đ?‘žđ?‘ =
7,5 6
% = 1,25% đ?‘žđ?‘ = 0,0125
Aplicar la fĂłrmula: đ??ź = đ?‘ƒ. đ?‘–. đ?‘›
đ?‘›= đ?‘›=
đ??ź đ?‘ƒđ?‘– 7.200.000 (20.000.000)(0,0125)
đ?‘› = 28,8
Respuesta. En un tiempo de 29 quincenas aproximadamente se obtienen los intereses mencionados anteriormente.
Se respalda una deuda de 11´000.000 a una tasa de 20.7% anual simple a 190 dĂas de plazo. Queda de acuerdo de pagar una tasa de interĂŠs moratoria igual al 15.5% semestral simple. Calcule el interĂŠs moratorio y la cantidad total por pagar si el documento es liquidado 120 dĂas despuĂŠs de la fecha de vencimiento. SoluciĂłn. RepresentaciĂłn grĂĄfica:
Se debe transformar las dos tasas de interĂŠs dadas anteriormente a tasas de interĂŠs diarias simples: Tasa de interĂŠs del periodo 0 a 190 dĂas: en un aĂąo hay 360 dĂas đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
20,7 360
% = 0,0575% đ?‘‘đ?‘ = 0,000575
Tasa de interĂŠs del periodo 190 a 310 dĂas: en un semestre hay 180 dĂas đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
15,5 180
% = 0,0861% đ?‘‘đ?‘ = 0,000861
Determinamos el valor de F que corresponde al valor futuro de la deuda a los 190 dĂas. đ??š = đ?‘ƒ + đ??ź1 = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–. đ?‘›) đ??š = 11.000.000(1 + 0,000575 ∗ 190) = 12.201.750
Determinamos los intereses moratorios que corresponden a 120 dĂas despuĂŠs de la fecha de vencimiento de la deuda y que se halla en base al valor de F calculado anteriormente. đ??źđ?‘šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž = đ??š. đ?‘–. đ?‘› = (12.201.750)(0,000861)(120) = 1.260.684,81 đ??źđ?‘šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž = 1.260.684,81 Respuesta. Los intereses moratorios corresponden a $ 1.260.684,81
Por ultimo determinamos el valor X que se refiere a la cantidad total a pagar.
đ?‘‹ = đ??š + đ??źđ?‘šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž = 12.201.750 + 1.260.684,81 = 13.462.434,81 Respuesta. La cantidad total a pagar a los 310 dĂas corresponde a $ 13.462.434,81
Calcule la cantidad de intereses de un préstamo de 35´000.000 al 8% trimestral simple del 15 de abril del 2017 al 13 de agosto del 2018.
Solución. Primero la interpretación gráfica:
Determinar con la aplicación del celular “calculadora de días”, los días que hay entre el 15 de abril del 2017 al 13 de Agosto del 2018. Hay 485 días.= n
Transformar la tasa de interĂŠs trimestral simple a una tasa de interĂŠs diaria simple: En un trimestre hay 90 dĂas. 8
đ?‘–đ?‘‘đ?‘ = 90 % = 0,0889% đ?‘‘đ?‘ = 0,000889 Aplicar la fĂłrmula: đ??ź = đ?‘ƒ. đ?‘–. đ?‘› đ??ź = 35.000.000 ∗ 0,000889 ∗ 485 = 15.090.775
Respuesta. Los intereses del prĂŠstamo corresponden a $ 15.090.775
Determine la cantidad de intereses que se obtienen de 25.000 dólares del 2 de enero del 2016 al 01 de agosto del 2018. La tasa de interés es del 6.5% anual simple
Solución.
Primero se debe hacer la gráfica:
Determinar con la aplicación del celular “calculadora de días”, los días que hay entre el 2 de enero del 2016 al 1 de Agosto del 2018. Hay 942 días.= n
Transformar la tasa de interés anual simple a una tasa de interés diaria simple: En un año hay 360 días.
6,5
đ?‘–đ?‘‘đ?‘ = 360 % = 0,0181% đ?‘‘đ?‘ = 0,000181 Aplicar la fĂłrmula: đ??ź = đ?‘ƒ. đ?‘–. đ?‘› đ??ź = 25.000 ∗ 0,000181 ∗ 942 = 4.262,55
Respuesta. Los intereses del prĂŠstamo corresponden a 4.262,55 dĂłlares.
Se desea comprar una máquina. Se recibe el 18 de abril del 2017. La siguiente oferta a 1´789.000 de contado, b 500.000 de cuota inicial y se firma un pagare de 1´480.000 con vencimiento el 16 de agosto del 2017 y c 300.000 de cuota inicial y se firman dos pagares uno por 630.000 a 30 días de plazo y otro 980.000 con fecha de vencimiento el 17 de julio del 2017. Cual oferta le conviene más si el rendimiento normal del dinero es de 2.5% mensual simple
OFERTA A) $1´789.000 de contado OFERTA B) Realizamos la interpretación grafica de la oferta B
Determinar con la aplicaciĂłn del celular “calculadora de dĂasâ€?, los dĂas que hay entre el 18 de abril del 2017 al 16 de Agosto del 2017. Hay 120 dĂas.= n
Transformar la tasa de interĂŠs mensual simple a una tasa de interĂŠs diaria simple: En un mes hay 30 dĂas. đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
2,5 30
% = 0,0833% đ?‘‘đ?‘ = 0,000833
Aplicar la fĂłrmula: Se toma como punto focal el punto en P y quedarĂa:
đ?‘ƒ = 500.000 + đ?‘ƒ = 500.000 +
1.480.000 (1+đ?‘–đ?‘‘đ?‘ .đ?‘›) 1.480.000 (1+0,000833∗120)
= 1.845.503,47
Para el dĂa 18/04/17 la oferta B seria de $1´845.944 sin los intereses
OFERTA C) Realizar la grĂĄfica:
Determinar con la aplicaciĂłn del celular “calculadora de dĂasâ€?, los dĂas que hay entre el 18 de abril del 2017 al 17 de julio del 2017, que corresponde a 90 dĂas.= n
La tasa de interĂŠs diaria simple es la misma calculada anteriormente que corresponde a 0,0833%.
Se toma como punto focal el 18 de abril del 2017 y se trae el valor de los dos pagares a esa fecha, para conocer el valor presente de la oferta:
đ?‘ƒ = 300.000 + đ?‘ƒ = 300.000 +
630.000 (1+đ?‘–đ?‘‘đ?‘ .đ?‘›)
+
980.000 (1+đ?‘–đ?‘‘đ?‘ .đ?‘›)
630.000 (1+0,000833∗30)
+
980.000 (1+0,000833∗90)
= 1.826.293,49
El dĂa 18/04/17 la oferta C tendrĂa un valor de $1´826.293,49 sin los intereses de los pagarĂŠs.
Respuesta. Por lo tanto, al comparar los valores de las tres ofertas para comprar la mĂĄquina, la mejor opciĂłn es la oferta A porque es la mĂĄs econĂłmica.
Cuanto deberĂĄ pagar una persona por un crĂŠdito que le concedieron por una deuda de 35’560.000 a 55 dĂas de plazo si le cargan una tasa de interĂŠs del 3.25% mensual simple.
SoluciĂłn.
Primero se hace la grĂĄfica:
Hay que determinar la tasa de interĂŠs diaria simple, para eso se tiene en cuenta que en un mes hay 30 dĂas:
đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
3,25 30
% = 0,1083% đ?‘‘đ?‘ = 0,00108
Aplicar la fĂłrmula de valor futuro: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘‘đ?‘ . đ?‘›) đ??š = 35.560.000(1 +∗ 0,00108 ∗ 55) = 37.672.264
Respuesta. La persona deberĂĄ pagar a los 55 dĂas por el crĂŠdito solicitado una cantidad de $ 37.672.264.
Un empresario acuerda con una entidad financiera un prĂŠstamo bancario por la suma de $280 millones para pagar en un plazo de 120 dĂas y una tasa de interĂŠs del 20% anual simple. ÂżCuĂĄnto dinero deberĂĄ pagar cuando se cumpla el plazo pactado? SOLUCIĂ“N Lo primero para realizar el ejercicio es realizar la grĂĄfica, sabiendo que: ďƒ˜ đ?‘ƒ = $280.000.000 ďƒ˜ đ?‘› = 120 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘ ďƒ˜ đ?‘– = 20% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ đ??š đ?‘› = 120
$280.000.000
El problema nos pide hallar el dinero que se deberĂĄ pagar, esto hace referencia al valor futuro F; para ello se deberĂĄ hacer uso de la formula đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›) (1)
En ella la tasa de interĂŠs deberĂĄ tener las mismas unidades del periodo. Como en este caso el interĂŠs se encuentra en aĂąos y el periodo en dĂas, se tendrĂĄ que convertir la tasa interĂŠs de la siguiente manera:
đ?‘–= 1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ = 360 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘
Reemplazando en la primera ecuaciĂłn, nos da đ??š = 280.000.000(1 + 0.00055 ∗ 120) đ??š = 298.480.00
20% = 0.055% 360
Calcular la tasa de interĂŠs simple mensual equivalente a una tasa del 29% anual simple. DATOS ďƒ˜ đ?‘– = 29% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’
1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ = 12 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘ En este problema nos piden convertir una tasa de interĂŠs anual a mensual y se procede de la siguiente forma: đ?‘–=
29% 12
đ?‘– = 2.42% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’
Una entidad financiera prestó $ 30.000.000 a una persona por 5 aùos. Se sabe que durante este lapso de tiempo la tasa de interÊs tuvo las siguientes variaciones: • 0,5% quincenal simple durante los primeros 17 meses. • 2,5% semestral simple por los 15 meses consecutivos. • 1,2% mensual simple por los siguientes 4 trimestres. • 6% anual simple por los siguientes 5 bimestres. • 0,016% diario por los últimos 6 meses. a) El inversionista desea conocer el interÊs generado por su capital. b) ¿Cuål es la tasa única anual simple de esta operación?
SOLUCIĂ“N En primer lugar se procede a sacar datos y luego realizar la grafica DATOS ďƒ˜ đ?‘ƒ = 30.000.000 ďƒ˜ En los primeros 17 meses el đ?‘– = 0.5% đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ En los siguientes 15 meses el đ?‘– = 2.5% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ En los siguientes 4 trimestres el đ?‘– = 1.2% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ En los prĂłximos 5 bimestres el đ?‘– = 6% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ Y en los Ăşltimos 6 meses el đ?‘– = 0.016% đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ
I1
I2
I3
I4
I5
17 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
15 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
4 đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘
5 đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘
8 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
đ?‘– = 0.5% đ?‘ž
đ?‘– = 2.5% đ?‘
đ?‘– = 1.2% đ?‘š
đ?‘– = 6% đ?‘Ž
đ?‘– = 0.016% đ?‘‘
đ?‘ƒ = 30.000.000
Como se observa los intereses no se encuentran en las mismas unidades que el periodo, asĂ que se procede hacer las respectivas conversiones ďƒ˜ 0.5% đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ = 1% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ 2.5% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 0.42%đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ 1.2% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 3.6% đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ 6% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 1.2% đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ 0.016% đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ = 0.48% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ En la primera parte del problema nos piden hallar el valor de los intereses totales, para calcularlos se plantea la siguiente ecuaciĂłn: đ??ź = đ??š − đ?‘ƒ (1) Como se observa ya tenemos el valor de P, ahora nos corresponde hallar el valor de F đ??š = đ?‘ƒ + đ??ź1 + đ??ź2 + đ??ź3 + đ??ź4 + đ??ź5 đ??š = 30,000,000 + 30,000,000 ∗ 0.01 ∗ 17 + 30,000,000 ∗ 0.0042 ∗ 15 + 30,000,000 ∗ 0.036 ∗ 4 + 30,000,000 ∗ 0.012 ∗ 5 + 30,000,000 ∗ 0.0048 ∗ 6 đ??š = 43,974,000
Reemplazando en la ec. 1:
đ??š
đ??ź = 43,974,000 − 30,000,000 đ??ź = 13,974,000
En la segunda parte del problema nos piden calcular la tasa Ăşnica simple anual đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘– ∗ đ?‘›) Despejando la tasa de interĂŠs 43,974,000 = 1 + 5đ?‘– 30,000,000 đ?‘– = 9.32% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’
Un empresario desea saber cuĂĄnto debe invertir el 22 de octubre de 2016 en un fondo que le garantiza el 28% anual simple para que el 25 de marzo de 2018 pueda retirar la suma de $150´000.000. DATOS: ďƒ˜ đ?‘ƒ =? ďƒ˜ đ??źđ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘œ = 22 − 10 − 16 ďƒ˜ đ??šđ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ = 25 − 03 − 18 ďƒ˜ đ?‘– = 28% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ ďƒ˜ đ??š = 150,000,00 Con la informaciĂłn que contamos se realiza la grafica
đ??š = 150,000,000
đ?‘› = 519 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘
� = 28%�����
đ?‘ƒ
En este problema se debe hallar el valor que se debe invertir para obtener la suma de 150,000,000; para esto se debe, en primer lugar, convertir la tasa de interĂŠs
đ?‘–=
28% = 0.077% đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ 360
Luego se aplica la formula đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘› ∗ đ?‘–)
Y de ella se despeja el presente
đ?‘ƒ=
150,000,000 (1 + 519 ∗ 0.00077) đ?‘ƒ = 107,171,181
Calcular la cantidad de interÊs que genera un capital de $10´000.000 en 3 aùos a una tasa de interÊs del 0,8% mensual simple
DATOS ďƒ˜ đ?‘› = 3 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘ ďƒ˜ đ?‘– = 0.8% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ ďƒ˜ đ?‘ƒ = 10,000,000 ďƒ˜ đ??ź =?
đ??š đ?‘› = 3 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘ đ?‘– = 0.8% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ƒ = 10,000,000
En este problema piden calcular la cantidad de intereses, para ello se aplica la siguiente formula
đ??ź =đ??šâˆ’đ?‘ƒ
Como no se tiene el valor futuro, se deberĂĄ hallar con la ecuaciĂłn
đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘› ∗ đ?‘–)
Al igual que los anteriores problemas, se debe convertir la tasa de interĂŠs
đ?‘– = 0.8% ∗ 12 = 9.6% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’
Reemplazando đ??š = 10,000,000(1 + 3 ∗ 0.096) đ??š = 12,880,000
Entonces, aplicando la primera ecuaciĂłn đ??ź = 12,880,000 − 10,000,000 đ??ź = 2,880,000
Se firma un pagare el 10 de enero de 2017 por un valor de $65.490.000 pactĂĄndose un interĂŠs del 9% semestral simple. Se desea saber en quĂŠ fecha los intereses serĂĄn de $9.590.000.
P = $65.490.000
18/10/17
10/01/17 Is = 9% semestral
La fecha 10/01/17 representa el dĂa en el que se tienen $65.490.000. Se observa que la tasa de interĂŠs que me da el ejercicio es semestral, dicha tasa de interĂŠs debe ser coherente con el ‘’n’’ del ejercicio, por lo cual lo primero que haremos es transformar la tasa de interĂŠs semestral a diaria. Se usa la siguiente formula: 9
InterĂŠs diaro simple (Ids) = 180 % đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ = 0.0005 = 0.05% đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’
Se divide la tasa de interĂŠs semestral sobre 180, debido a que en un semestre hay 180 dĂas.
Ya que la tasa de interĂŠs y ‘’n’’ concuerdan, procedemos a hallar la fecha en la que los intereses serĂĄn de $9.590.000, para esto usamos la siguiente formula: I = P x is x n
DĂłnde: P es el valor presente, is es la tasa de interĂŠs simple y n hace referencia a la fecha en la que se firma el pagarĂŠ y la fecha en la que el interĂŠs alcanza los $9.590.000.
Despejando la formula en funciĂłn de n, tenemos: đ?‘› =
đ??ź đ?‘ƒ đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘
9.590.000
= 65.490.000 đ?‘Ľ 0.0005 = 293 đ?‘‘Ăđ?‘Žđ?‘
Ahora, le sumamos 293 dĂas a la fecha 10/01/17, lo que nos da la fecha de 18/10/17, es decir, los intereses serĂĄn de $9.590.000 el 18 de Octubre del 2017. R/. I = $9.590.000
Se quiere saber que suma se debe colocar en un fondo de inversiones que paga una tasa de interĂŠs promedio del 8,5% anual simple, para dentro de 18 meses poder retirar la suma de $13.000.000.
P =?
n=540 dĂas Is = 8.5% anual
F = $13.000.000
Se observa que tenemos en el ejercicio una tasa de interĂŠs anual simple y el ‘’n’’ lo tenemos en meses, asĂ que debemos transformar la tasa de interĂŠs anual a una diario simple, lo hacemos de la siguiente manera: 8.5
InterĂŠs diario simple (ids) = 360 % = 0.00024 = 0.024 đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ Se divide 8.5 sobre 360 debido a que en un aĂąo hay 360 dĂas.
Luego transformamos los 18 meses en dĂas, lo cual equivale a 540 dĂas. El ejercicio nos pide hallar P, para lo cual se utiliza la siguiente formula: F = P (1 + is x n) Despejando en funciĂłn de P, tenemos: đ?‘ƒ=
đ??š (1+đ?‘–đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘›)
=
13.000.000 (1+0.00024 đ?‘Ľ 540)
= $11.508.499
Esto quiere decir que la suma que se requiere colocar en el fondo de inversiones para dentro de 540 dĂas retirar la suma de $13.000.000, es de $11.508.499. R/. P = $11.508.499
Se desea conocer el interĂŠs que se debe cancelar el 3 de agosto de 2018 a una entidad bancaria por el prĂŠstamo de $31.000.000 realizado el 31 de marzo de 2017, si se conoce que hasta el 30 de noviembre del 2017 se cobra un interĂŠs del 5.4% bimestral simple y de ahĂ en adelante del 7.8% trimestral simple. $31.000.000 n1=244 dĂas 31/03/17
n2 =246 dĂas
03/08/18
30/11/17 ibs= 5.4% its= 7.8%
Se observa que las tasas de interĂŠs y ‘’n’’ no son coherentes, asĂ que debemos pasar cada una de las tasas de interĂŠs a tasas de interĂŠs diarias, realizando el siguiente procedimiento: ibs ďƒ ids đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
5.4 % = 0.0009 = 0.09 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ 60
Se divide 5.4 sobre 60 debido a que en un bimestre hay 60 dĂas. its ďƒ ids đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
7.8 % = 0.00087 = 0.087 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ 90
Se divide 7.8 sobre 90 debido a que en un trimestre hay 90 dĂas. Luego hallamos la cantidad de dĂas que hay entre 31/03/17 y 30/11/17, lo cual son 244 dĂas. Hacemos lo mismo partiendo desde 30/11/17 a 03/08/18, lo cual equivale a 246 dĂas. El ejercicio nos pide que hallemos el interĂŠs que se debe cancelar el 3 de agosto de 2018 por el prĂŠstamo, lo hacemos de la siguiente manera: đ??ź = đ?‘ƒ đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘›
đ?‘–1 = 31.000.000 Ă— 0.0009 Ă— 244 = 6.807.600
đ?‘–2 = 31.000.000 Ă— 0.00086 Ă— 246 = 6.558.360
Tenemos que el interĂŠs total, es la suma de los dos intereses hallados anteriormente: đ??ź = 6.807.600 + 6.558.360 = $13.365.960
R/. I = $13.365.960
Juan debe pagar $1.600.000 de matrícula en la universidad el día 13 de febrero de 2018. ¿Cuánto dinero debió depositar el 5 de agosto de 2017 en una cuenta de ahorros que paga el 5% anual simple?
F = $1.600.000 n = 192 días 05/08/17 13/02/18 is = 5% anual P =?
Para resolver el ejercicio lo primero que debemos hacer es transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés diario simple.
đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
5 % = 0.00014 = 0.014 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ 360
Se divide 5 sobre 360 debido a que un aĂąo tiene 360 dĂas. Luego, hallamos la cantidad de dĂas que hay entre las fechas 05/08/17 y 13/02/18, que son 192 dĂas. Ahora, el ejercicio nos pide hallar P, lo hacemos aplicando la siguiente formula: đ??š = đ?‘ƒ (1 + đ?‘–đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘›)
Despejando P de la formula tenemos: đ?‘ƒ =
đ??š (1+đ?‘–đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘›)
1.600.000
= (1+0.00014 đ?‘Ľ 192) = $1.558.118
Esto quiere decir que Juan debiĂł depositar $1.558.118 el 5 de Agosto de 2017.
R/. P= $1.558.118
Se quiere saber cuĂĄnto se recibirĂĄ “exactamenteâ€? al final, si presta a un amigo la suma de $3.000.000 entre el 23 de agosto de 2017 hasta el 7 de octubre de 2019 a una tasa de interĂŠs del 35% anual simple.
F=?
23/08/17
n = 775 dĂas is = 35% anual
7/10/19
P = $3.000.000
Se observa en el prĂŠstamo se realiza entre las fechas, 23/08/17 y 7/10/19, hallamos la cantidad de dĂas que hay entre ambas fechas y encontramos que son 775 dĂas. Es por esto que ahora debemos pasar la tasa de interĂŠs anual simple a una tasa de interĂŠs diario simple, de la siguiente manera: đ?‘–đ?‘‘đ?‘ =
35 % = 0.00097 = 0.097 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’ 360
Una vez que tenemos la tasa de interĂŠs simple y ‘’n’’ en las mismas unidades, procedemos a hallar F, que es lo que nos pide el ejercicio, lo hacemos aplicando la siguiente formula: đ??š = đ?‘ƒ (1 + đ?‘–đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘›) = 3.000.000 (1 + 0.00097 đ?‘Ľ 775) = $5.255.250 Esto quiere decir que al final se recibirĂĄn ‘’exactamente’’ $5.255.250 R/. F= $5.255.250
Una persona tiene las siguientes deudas la primera por $ 24.500.000 que deberĂĄ pagar dentro de 3 meses y la segunda por $23.680.000 a pagar dentro de 5 meses. Si se desea cancelar toda la deuda en este momento, ÂżQuĂŠ cantidad deberĂĄ pagar si la tasa de interĂŠs es de 4,3% bimestral simple? Use el periodo cero como fecha focal.
En 1 aĂąo hay 12 meses y cĂłmo podemos observar en el ejercicio nos dan un tiempo de 8 meses, en 8 meses hay 4 bimestres, como tenemos la tasa de interĂŠs en bimestres debemos pasarla a meses de la siguiente manera: đ??ź
I = đ?‘ƒ ∗ 100 I=
4.3% 2
= 0.0215 meses
F= P (1+i*n)
Partiendo de la ecuaciรณn dada, seguimos a reemplazar desde el punto focal hasta los 3 meses. F= 24, 500,000 (1+ (0.0215) (3)) F= 24, 500, 000 (1+0.0645) F= 24, 500, 000 (1.0645) F= 26, 080,250
Para este inciso reemplazamos con los valores, pero esta seria con los siguientes meses y datos resultantes F= P (1+i*n) F= 23, 680,000 (1+ (0.0215) (5)) F= 23, 680,000 (1+0.1075) F= 23, 680,000 (1.1071) F = 26, 225,600
Una persona requiere un préstamo por $ 16.320.000 para realizar una compra. Acuerda pagar $ 1.810.000 de intereses al cabo de 270 días. ¿Qué tasa de interés anual simple paga por el préstamo?
En 9 meses hay 270 días Los datos que nos otorga el ejercicio son los siguientes: P = 16, 320, 000 I = 1, 810, 000 N = 270 días Ia=?
De acuerdo con la expresiĂłn tenemos que, reemplazando los datos de la siguiente manera I=P*I*n 1, 810, 000 = 16, 320, 000 (i) (9 meses) I=
1,810,000 16,320,000(9)
I = 0.0123 Ahora lo multiplicamos por el 100% para hallar la tasa de interĂŠs I = 0.0123 * 100% = 1.23% Luego se multiplica por 12 para hallar la tasa de interĂŠs anual Ia = 1.23% * 12 meses = 14.78% Ia = 14.78%
Se puede comprar un equipo de sonido en $ 8.750.000 de contado o bien, en $ 9.267.000 a crédito con 5 meses de plazo. Si el dinero se puede invertir al 15% anual, ¿Qué alternativa de pago resulta más ventajosa para el comprador?
Los datos obtenidos del ejercicio son los siguientes: D = 8, 750, 000 F = 9, 267, 000 N = 5 meses
En 1 aĂąo hay 12 meses đ??ź
I = đ?‘ƒ ∗ 100 I=
15% 12
= 1.25% mensual
Aplicando la ecuaciĂłn de pago futuro, y despejando el pago se obtiene lo siguiente: F = P (1 + i (n)) 9,267,000
P = (1+1.25%(5)) P = 8, 721, 882
Donde el valor de pago y la mejor opciĂłn es 8, 721, 882 siendo la mejor opciĂłn para pagar de contado.
Un equipo para una empresa industrial cuesta $ 5.200.000 si se paga de contado y $ 5.680.000 si se paga a los 125 dĂas. Si la empresa realiza un prĂŠstamo de $5.200.000 por el mismo tiempo al 9% anual simple para comprar el equipo y pagar de contado, le conviene?
12 meses equivalen a 1 aĂąo, para saber cuĂĄnto es la tasa de interĂŠs mensual procedemos hacer lo siguiente: đ??ź
I = đ?‘ƒ ∗ 100
I=
9% 12
= 0.075% mensual ---------- 0.75%
Aplicando la ecuaciĂłn de pago futuro, se obtiene lo siguiente: F = 5, 200, 000 (1+ 0.75% (12 m) F = 5, 668,000
El prĂŠstamo si conviene, ya que esa tasa de interĂŠs paga menos que 5, 680, 000 Por otra parte đ??ź
I = đ?‘ƒ ∗ 100 I=
1.75 125 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘
I = 0.014
* 100 0.56 conviene mĂĄs hacer el prĂŠstamo con el banco, ya que el
crĂŠdito sale a una tasa de interĂŠs muy alta.
Se desea invertir $ 180.000.000 en dos bancos, de manera que sus ingresos totales anuales por concepto de intereses sean de $ 5.120.000 al mes. Una entidad financiera reconoce una tasa de interés del 6,16% anual simple y la otra ofrece una tasa del 1,82% trimestral simple. ¿Cuánto debe invertir en cada banco?
En 1 año hay 12 meses Ias = Its =
6.16 12 1.82 3
= 0.00.513 --------0.513% mensual simple = 0.00606 ---------0.606% mensual simple
I=P*i*n X + Y = 180, 000,000 Reemplazamos en la formula dichos datos 0.00513X + 0.00606Y = 5, 120, 000 0.00513X + 0.00606 (180, 000, 000 – X) = 5, 120, 000 Despejando en ecuación tenemos que: 0.00606-0.00513X + 1090800-X = 5, 120, 000 0,00093X + 1090800 = 5, 120, 000 Restamos el 1090800 en ambos lados
-0,00093X + 1090800 – 1090800 = 5, 120, 000 – 1090800 Acá pasamos el -0,00093 a dividir para despejar la variable -0,00093X = 4029200 4029200
X = −0,00093 X = -433, 274,311 Reemplazando en la ecuación tenemos que: Y = 180, 000, 000 – X Y = 180, 000, 000 + 433, 274, 3 11 Y = 613, 274, 311
La cantidad de X y Y no da precisa, porque los intereses mensuales son muy altos con respecto a los intereses planteados originalmente en el ejercicio, por lo que no se pudo obtener el concepto de interés establecido.
Un padre de familia coloca su capital mediante prĂŠstamos a interĂŠs simple. El primero y segundo prĂŠstamos de $35.000.000 y $ 38.000.000, respectivamente; realiza el segundo prĂŠstamo 9 meses despuĂŠs del primero. La tasa que ofrecen pagarle es del 5.2% trimestral simple, ÂżcuĂĄl es el monto generado por estos prĂŠstamos si ambas partes deciden mantener esta operaciĂłn por 6 semestres mĂĄs despuĂŠs del Ăşltimo prĂŠstamo?
GRAFICA đ??š2 = Âż? n1 = 9 meses
n2 = 6 Semestres
đ?‘–1 = 5.2% t simple P2= 38.000.000 P= $35.000.000 FORMULAS A EMPLEAR đ??&#x; = đ???(đ?&#x;? + đ??ˆđ??Ź ∗ đ???)
a) Averiguar el futuro para el primer prÊstamo 
ANALISIS
Encontrar el monto generado a partir del prĂŠstamo 1 y el prĂŠstamo 2 despuĂŠs de 6 semestres que se haya generado el segundo prĂŠstamo.

CAMBIAR LAS TASA DE INTERES La tasa de interĂŠs estĂĄ en trimestral simple por consiguiente debemos pasarla a semestral, ya que queremos trabajar con semestres y tanto la tasa de interĂŠs como el periodo de tiempo deben estar en iguales tĂŠrminos. đ??ˆđ??Ź = đ?&#x;“, đ?&#x;?% đ??. đ??Ź ∗ đ?&#x;? đ??ˆđ??Ź = đ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;’% đ??Źđ??žđ??Śđ??žđ??Źđ??đ??Ťđ??šđ??Ľ đ??Źđ??˘đ??Śđ??Šđ??Ľđ??ž

AVERIGUAR N Si vemos la grĂĄfica en el periodo de tiempo del prĂŠstamo uno al prĂŠstamo 2 hay 9 meses, luego como estamos trabajando en semestres, pasaremos ese periodo de tiempo a meses.
9 meses * 1 semestre/6 meses = 1.5 semestres
Ahora bien, del prÊstamo P2 hasta F1 hay 6 semestres por consiguiente N = 7.5 
ULTIMO PASO Reemplazar en la formula.
đ??&#x; = đ?&#x;‘đ?&#x;“. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž(đ?&#x;? + đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;’ ∗ đ?&#x;•. đ?&#x;“) RESPUESTA: 62300000
b) Averiguar el futuro para el segundo prĂŠstamo  AnĂĄlisis Se hace el mismo proceso prĂĄcticamente, en este caso solo seria 6 meses đ??&#x; = đ?&#x;‘đ?&#x;–. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž(đ?&#x;? + đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;’ ∗ đ?&#x;”) RESPUESTA: 61712000 FT = 61712000+62300000= 124.012.000
Una persona invierte $ 32.000.000 en dos entidades financieras diferentes, En la entidad financiera 1 invirtió una parte de los $ 32.000.000 en una cuenta de ahorros que paga rendimientos liquidables al vencimiento a plazo de 180 días y a una tasa de interés del 9,25% semestral simple. En la otra entidad financiera invirtió el resto con rendimientos liquidables al vencimiento de 180 días y una tasa de interés del 5,8% trimestral simple. Si al final del plazo, el interés total fue de $ 3.300.000, ¿Cuál fue la cantidad invertida en cada una de las entidades financieras?.
GRÁFICA Is= 9.25% semestral
F= ¿? 180 días
P1= X Is = 5.8% Trimestral P2=32000000- X
180 días

ANALISIS
Para la primera entidad invierte un monto de X y para la segunda invertirĂĄ 32000000-X
DATOS
PT= 32.000.000
N2= 180 DĂas
N1=180 dĂas
InterĂŠs total = 3.300.000
Teniendo conocimiento que đ??ˆđ?? = đ??ˆđ?&#x;? + đ??ˆđ?&#x;? luego, đ?&#x;‘. đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ??ˆđ?&#x;? + đ??ˆđ?&#x;? 
CONVERTIR LAS TASA DE INTERES Como N estĂĄ en dĂas debemos llevar nuestra tasa de interĂŠs de semestral a dĂas en los dos casos. Is1 =
Is2 = 
9.25% 180
5.8% 90
= 0.0514% dia
= 0.0644% dia
1 semestre=180 dĂas
1 trimestre= 90 dĂas
REEMPLAZAR đ??ˆđ?? EN LA FORMULA DE INTERES SIMPLE. 3300000 = P1 ∗ Is1 ∗ N1 + P2 ∗ Is2 ∗ N2 3300000 = X ∗ (0.000514)(180) + (32000000 − X)(0.000644)(180)

DESPEJANDO X đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;—đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;?đ??— + đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;Ž − đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;—đ?&#x;?đ??— đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;Ž = (đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;—đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;? − đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;—đ?&#x;?)đ??— −đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;Ž = (−đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;’)đ??— đ??—=
−đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;Ž −đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;’
RESPUESTA La cantidad invertida en el primer pago es de $ 17.497.345,9 La cantidad invertida en el segundo pago es de & 32000000-17.497.345,9 =14502564.1
Si a usted le hacen un prĂŠstamo por $ 44.238.000 y aceptan liquidar el prĂŠstamo dos aĂąos despuĂŠs. Existe el acuerdo que mientras exista la deuda, pagarĂĄ intereses mensuales de 2,5% mensual simple. ÂżCuĂĄnto deberĂĄ pagar de intereses cada mes? ÂżSi la deuda se liquida solo hasta el final de los 2 aĂąos cuĂĄnto se deberĂĄ pagar?
GRĂ FICA DEL TIEMPO F1 = Âż? 0
đ?‘–1 = 2.5% mensual simple n1 = 2 aĂąos
P1= $44238000
đ?‘° = đ?‘ˇ ∗ đ?’Šđ?’” ∗ đ?‘ľ FORMULA
a) CUANTO DEBERà PAGAR CADA MES 
CALCULAR EL INTERES A UN MES
I = 44238000 ∗ 0.025 ∗ 1mes
I = $1105950

CALCULAR EL INTERES A UN AĂ‘O
I = 44238000 ∗ 0.025 ∗ 24meses
I = $26542800
b) ¿Si la deuda se liquida hasta el final de dos aùos cuanto se deberå pagar? 
Convertir tasa de interĂŠs. is = 2.5% mensual simple ∗ 12 = 30% anual simple

Reemplazar datos en la formula. đ??&#x; = đ???(đ?&#x;? + đ??ˆđ??Ź ∗ đ???) f = 44238000(1 + 0.3 ∗ 2 aĂąos )
Respuesta DeberĂĄ pagar $ 70780800
QuĂŠ interĂŠs generan $ 3.150.000 en 6 meses al 1,8% quincenal simple?
đ?‘–2 = 1.8% quincenal simple n2 = 6 meses P2= $3.150.000
Formulas a) F = P + I b) I = P * is* N 
TRANSFORMAR TASA DE INTERES is = 1.8% ∗

24 = 3.6% mensual simple 12
CALCULAR EL INTERES đ??ˆ = đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž ∗ đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;” ∗ đ?&#x;” Respuesta La cantidad de intereses que se gano fue de $680400 en 6 meses.
Una persona compra a crédito un equipo que tiene un precio de contado de $11.520.000. Queda de acuerdo en dar una cuota inicial de $ 3.500.000 y un pago final 5 meses más tarde. Si acepta pagar una tasa de interés del 10.8% semestral simple sobre el saldo, ¿Cuánto deberá pagar dentro de 5 meses?
GRAFICA DEL TIEMPO (crédito) 3.500.000 F= ¿?
N = 5 meses P=11.520.000
ANALISIS Valor del equipo contado 115.200.000, si la persona decide sacar el equipo a crédito la Primera cuota que deberá pagar será de $ 3.500.000.
Si analizamos esta situaciĂłn, si la persona saca el equipo a crĂŠdito los intereses que se generen a partir de ahĂ, estarĂĄn en base de lo que debe que es: Lo que debe = 115.200.000 - 3.500.000 = $ 8020000 
TRANSFORMACION DE LA TASA DE INTERES La tasa de interĂŠs el ejercicio se encuentra en semestral, pero si vemos nuestra N que significa el periodo de tiempo estĂĄ en meses, para poder resolver este ejercicio tanto N como la tasa de interĂŠs deben estar en los mismos tĂŠrminos, por ende, convertiremos la tasa de interĂŠs a meses siendo esto lo mĂĄs indicado.
Como 1 semestre tiene 6 meses, dividimos nuestra tasa de interĂŠs entre 6 đ??˘đ??Ź =

đ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;– % = đ?&#x;?. đ?&#x;–% đ??Śđ??žđ??§đ??Źđ??Žđ??šđ??Ľ đ??Źđ??˘đ??Śđ??Šđ??Ľđ??ž đ?&#x;”
REEMPLAZAR EN LA FORMULA đ??&#x; = đ???(đ?&#x;? + đ??ˆđ??Ź ∗ đ???) đ??&#x; = đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž(đ?&#x;? + đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;– ∗ đ?&#x;“ đ??Œđ??„đ??’đ??„đ??’)
RESPUESTA Se deberĂĄ pagar dentro de 5 meses f = $ 8741800
Una empresa de ingenierĂa completa un proyecto en donde obtuvo una ganancia de $2.300.000.000 en un aĂąo. Si la cantidad de dinero que la empresa habĂa invertido fue de $9.000.000.000. CuĂĄl es la tasa de interĂŠs que representa el retorno de la inversiĂłn. SOLUCION: se realiza el diagrama econĂłmico sabiendo que:
I= 2.300.000.000 P=9.000.000.000 IT=? n= 1 aĂąo
IT=? P=2.300.000.000
El ejercicio solicita hallar la tasa de interĂŠs con la cual se obtienen intereses de 2.300.000.000 por lo tanto se aplica la siguiente formula en funciĂłn de los intereses: đ??ź = đ?‘ƒ Ă— đ??źđ?‘‡ Ă— đ?‘›
Despejando la variable IT se tiene: đ??ź
đ??źđ?‘‡ = đ?‘ƒĂ—đ?‘› Reemplazando las variables conocidas en la ecuaciĂłn: 2.300.000.000
đ??źđ?‘‡ = 9.000.000.000Ă—1 IT=
25,5% anual
Calcular la cantidad de intereses producidos por $3.500.000 que fueron colocados por 20 trimestres, a una tasa del 1,9% mensual simple.
SOLUCION: se procede a realizar el diagrama econรณmico sabiendo que:
I=? P= 3.500.000 IT=1,9% ms n= 20 trimestres
IT=1.9%mensual P=3.500.000
El ejercicio solicita hallar los intereses por lo tanto se aplica la siguiente ecuaciĂłn: đ??ź = đ?‘ƒ Ă— đ??źđ?‘‡ Ă— đ?‘› Antes de reemplazar en la ecuaciĂłn, transformamos el interĂŠs mensual a interĂŠs trimestral de la siguiente manera: 12đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
0,019đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ Ă— 4đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ = 0,057 = 5,7 % đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ Reemplazamos los valores en la ecuaciĂłn: đ??ź = 3.500.000 Ă— 0,057 Ă— 20 I=
3.990.000
Cuánto dinero se invirtió el 9 de mayo del 2016 al 10,5% anual simple para disponer de un monto de $5.000.000 el 22 de junio del 2018? SOLUCION: se procede a realizar el diagrama económico sabiendo que:
F= $5.000.000 n=774 días IT= 10, 5 % anual P=?
F= 5.000.000
IT= 10, 5% mensual P=?
Se dice que para hallar P que es el valor que se invirtió se aplica la siguiente ecuación: 𝐹
𝑃 = (1+𝐼𝑇)×𝑛 Antes de reemplazar en la ecuación se transforma la tasa de interés mensual a interés anual: 1𝑎ñ𝑜
0,105 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 × 360𝑑𝑖𝑎𝑠 = 0.00029 = 0,0209% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 Reemplazamos los valores en la ecuación: 5.000.000
𝑃 = (1+0,00029)×774 P=
4083432.697
Juan presta $4.000.000 al 22.5% anual simple el 13 de abril del 2017. Calcule la cantidad que le adeudarĂĄn al 28 de Julio 2022
SOLUCION: se procede a realizar el diagrama econĂłmico sabiendo que: F=? P=4.000.000 IT=22,5% as n= 1932 F=?
P=4.000.000
IT= 22,5% as
Para hallar F que es la cantidad que se adeuda en los 1932 dĂas se aplica la siguiente ecuaciĂłn: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ??źđ?‘‡ Ă— đ?‘›) Antes de reemplazar en la ecuaciĂłn se transforma la tasa de interĂŠs anual a tasa de interĂŠs diaria:
1𝑎ñ𝑜
0,225 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 × 360𝑑𝑖𝑎𝑠 = 0.000625 = 0,0625% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜
Reemplazamos en la ecuación: 𝐹 = 4.000.000(1 + 0,000625 × 1932) F=
8.830.000
Se consignan $ 2.200.000 y al final de 2 años la suma existe es de $ 2.963.000. Se pide: Determine la suma ganada por intereses y la tasa de interés semestral simple de la operación financiera. SOLUCION: se realiza el diagrama económico sabiendo que:
P= 2.200.000 n= 2 años F= 2.963.000
F=2.963.000
IT=? P=2.200.000
Se tiene que para hallar la cantidad de dinero ganado por interés se utiliza la siguiente ecuación: I = F– P
Reemplazamos los valores que ya se conocen en la ecuación: I = 2.963.000– 2.200.000 I=
763.000
Para hallar el valor de IT se aplica la siguiente formula: I = P Ă— IT Ă— n Se despeja IT: đ??ź
đ??źđ?‘‡ = đ?‘ƒĂ—đ?‘› Reemplazamos los valores en la ecuaciĂłn: 763.000
đ??źđ?‘‡ = 2.200.000Ă—2 IT= 0,1734 = 17,34 % anual Como nos piden la tasa de interĂŠs semestral, se debe pasar de anual simple a semestral simple de la siguiente manera: 1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ
0,1734đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ Ă— 2 đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ = 0,0867 = 8,67% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™
8,67% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™
Si hizo un prĂŠstamo a un amigo por $ 2.500.000 durante dos aĂąos, al final de los cual le entregaron $ 3.200.000. ÂżCuĂĄl fue su la tasa de interĂŠs mensual simple que le pagaron? SoluciĂłn F= $ 3.200.000
n= 2 aùos ὡ=? P= $ 2.500.000
Para hallar la tasa de interÊs que debe pagar durante los dos aùos partimos con la fórmula de futuro que: F=P (1+ὡ*n) de la ecuación despejamos la incógnita de interÊs
ὡ=
F −1 P
n
y reemplazamos los datos. 3.200.000 −1 ὡ = 2.500.000 = 0.14 ≈ 14% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 2
Luego de hallar el interĂŠs nos estĂĄ dando el interĂŠs anual debemos pasarlo a mensual lo cual lo vamos a dividir en 12 meses que tiene un aĂąo
ὡ=
14 % = 1.17% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 12
Respuesta: Durante los dos aĂąos le debe pagar a el amigo el interĂŠs de 1.17% mensual
A usted le prestaron $ 15.520.000 durante 5 trimestres, al final del cual debe pagar $16.180.000. CuĂĄl fue la tasa de interĂŠs anual simple que le cobraron.
F= $ 16.180.000
n= 5 trimestres ὡa =? P= $ 15.520.000
Partiendo que F=P (1+ὡ*n) de ahà comenzamos a despejar pasamos a multiplicar P y pasamos a restar uno
F P
− 1 = Ă? ∗ n luego pasamos a dividir n para que la ecuaciĂłn nos quede en
funciĂłn del interĂŠs
đ??š −1 đ?‘ƒ
đ?‘›
=Ă?
Primero pasamos los trimestres a aĂąos porque nos estĂĄn pidiendo el interĂŠs anual en: 1 aĂąo
4 trimestres
X
5 trimestres
X = 5 trimestres * 1 aĂąo
= 1.25 aĂąos
4 trimestres Luego aplicamos la ecuaciĂłn despejada con 1.25 aĂąos que nos dio la operaciĂłn anterior 16.180.000 −1 Ă? = 15.520.000 = 0.03402 ≈ 3.4% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 1.25 Respuesta: la tasa de interĂŠs anual simple que le cobraron durante los 1.25 aĂąos es de 3.4% anual
Hallar el valor presente de $17.320.000 al 12,3% anual simple durante dos años y medio.
F= $ 17.320.000
n= 2.5 años ί = 12.3% anual P= $?
El valor presente se simboliza por P, de un valor futuro F que se vence en una fecha futura, es la cantidad de dinero que invertida hoy a una tasa de interés dada producirá un monto F. Para hallar el valor presente utilizamos la siguiente formula: P = Donde: P= valor presente F= valor futuro
F (1+Í∗n)
ί= tasa de interés n= tiempo P=
17.320.000 = 13.246.654 (1 + 0.123 ∗ 2.5)
Respuesta: El valor presente con la tasa de interés de 12.3 % anual simple es de $13.246.654
Juanita solicitó prestado $5.600.000 para pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es del 30% anual simple, Que cantidad debe pagar por concepto de intereses dentro de 15 meses?
F= $?
4 meses
n= 15 meses ί = 30% anual simple P= $5.600.000
El valor futuro F, indica que un capital que se presta o invierte durante un tiempo n, a una tasa de interés simple ί% por una unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad F al final del tiempo n. Los interés se hallan restando a el valor futuro el valor presenta; I= F- P el valor presente lo tenemos, y el valor futuro lo hallamos por F= P (1+ί*n) I= F- P F= P (1+ί*n)
Primero se requiere que la tasa de interés y el número de periodos se expresen en la misma unidad de tiempo 1 año = 12 meses ί:
30 % = 2.5% mensual 12
F= 5.600.000 (1+0.025*15) = $ 7.700.000 El valor futuro es $ 7.700.00 ahora hallamos los intereses I= 7.700.000 – 5.600.000= 2.100.0000 Respuesta: la cantidad que debe pagar por concepto de intereses dentro de 15 meses es de $ 2.100.000
Una empresa recibe el 20 de noviembre de 2016 un pagaré por $ 22.840.000 a un plazo de 320 días al 20% anual simple. El 10 de febrero de 2017 lo negocia con una institución financiera que lo adquiere a una tasa de descuento del 25% anual simple. ¿Cuánto recibirá la empresa por el pagaré y cuanto ganará la institución financiera por la operación?
Vf= ? 320 días n=320 días ί = 20% as 20/11/16 P= $22.840.000
ί = 25% as 10/02/2017 Vt=?
Para hallar el valor de la transferencia (Vt), primero debemos hallar el valor final (Vf) con el tiempo de 320 días y una tasa de interés del 20%, luego hallamos el descuento a la cantidad de intereses cobrados con anticipación (D) por la tasa de interés del 25% para la final hallamos el valor de la transferencia que es a el valor final se le resta el descuento
Primero se requiere que la tasa de interés y número de periodos se expresen en la misma unidad de tiempo ί:
20 % = 0.055% diario 360
ί:
25 % = 0.069% diario 360
Luego se halla el valor final; Vf= P*(1+ί*n) Vf= 22.840.000(1+0.00055*320) = $ 26.859.840 Seguido se halla el descuento D= Vf * ί * n, para hallar el número de días se utiliza la App calculadora de días donde nos da el dato exacto de cuantos días han transcurrido de la 10/02/17 restando a los 320 días en total del plazo la cual nos da 238 días D= 26.859.840 * 0.00069* 238 = $ 4.410.922 Finalmente se halla el valor de la transferencia teniendo el valor final y el descuento Vt= Vf – D Vt= 26.859.840 – 4.410.922 = $22.448.918 Respuesta: la empresa recibe por el pagare $26.859.840 y la institución financiera ganara $ 4.410.922
Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $ 22.000.000 con un interĂŠs del 30% anual simple, y que vence dentro de 4 meses. AdemĂĄs, debe pagar otra deuda de $11.500.000 contraĂda hace 2 meses, con interĂŠs del 31% anual simple y que vence dentro de 12 meses. Si la tasa de interĂŠs es del 32% anual simple. ÂżQuĂŠ pago deberĂĄ hacerse hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar $ 11.000.000 dentro de seis meses? Coloque la fecha focal en el dĂa de hoy.
Convertimos cada una de las tasas de interĂŠs simple a tasas de interĂŠs simple mensual ya que el periodo que vamos a manejar es mensual. đ?’Šđ?’Žđ?’” =
đ?&#x;‘đ?&#x;Ž% = đ?&#x;?, đ?&#x;“% đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?’Šđ?’Žđ?’” =
đ?&#x;‘đ?&#x;?% = đ?&#x;?, đ?&#x;“đ?&#x;–% đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?’Šđ?’Žđ?’” =
đ?&#x;‘đ?&#x;?% = đ?&#x;?, đ?&#x;”đ?&#x;•% đ?&#x;?đ?&#x;?
Ubicamos las deudas y los futuros pagos: El periodo cero representa el dĂa de hoy, a la deuda de $22.000.000 le asignamos el nombre de deuda A y a la deuda de $11.500.000 le asignamos el nombre de deuda B. Ubicamos estas deudas en los respectivos meses en los que se realizaron los prĂŠstamos. Y ubicamos el punto focal en el dĂa de hoy como lo pide el ejercicio. Podemos observar que las deudas se ubican en la parte superior de la lĂnea del tiempo y los pagos en la parte inferior de la lĂnea de tiempo.
Deuda A $22.000.000
Deuda B $11.500.000 PF
Deudas Pagos
Futuro deuda A
8
4
â—?
0
Futuro deuda B 6
4
Meses 12
$11.0000.000 X
i a.s= 30% i a.s= 31%
i a.s= 32%
Hallamos cada uno de los futuros de las deudas con su respectiva tasa de interĂŠs simple:
Hallamos el Futuro de la deuda A: đ??…=đ???+đ??ˆ đ??ˆ= đ???∗đ??˘âˆ—đ??§
đ??…= đ???+đ???∗đ??˘âˆ—đ??§ đ??… = đ??? (đ?&#x;? + đ??˘ ∗ đ??§) đ?‘đ?‘¨ = đ?‘ˇ(đ?&#x;? + đ?’Š ∗ đ?’?) = $đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“ ∗ đ?&#x;?đ?&#x;?) = $đ?&#x;?đ?&#x;–. đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž
Hallamos el Futuro de la deuda B:
đ??…=đ???+đ??ˆ đ??ˆ= đ???∗đ??˘âˆ—đ??§ đ??…= đ???+đ???∗đ??˘âˆ—đ??§ đ??… = đ??? (đ?&#x;? + đ??˘ ∗ đ??§) đ?‘đ?‘Š = đ?‘ˇ(đ?&#x;? + đ?’Š ∗ đ?’?) = $đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;– ∗ đ?&#x;?đ?&#x;’) = $đ?&#x;?đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;‘. đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž
Ubicamos los futuros de las deudas en el grĂĄfico y planteamos la ecuaciĂłn de valor donde igualamos deudas y pagos llevando cada uno de estos al punto focal con una tasa de interĂŠs simple de 2.67% mensual.
$28.600.000 PF
Deudas 8
4
â—? 0
$15.653.800 6
4
12
$11.0000.000
Pagos X
ĆŠdeudas = ĆŠpagos
Meses
(pf=0)
𝟐𝟖. 𝟔𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟓. 𝟔𝟓𝟑. 𝟖𝟎𝟎 $𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + =𝑿+ (𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏) (𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏) (𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏)
$𝟐𝟖. 𝟔𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 $𝟏𝟓. 𝟔𝟓𝟑. 𝟖𝟎𝟎 $𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + =𝑿+ (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟕 ∗ 𝟒) (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟐) (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟕 ∗ 𝟔)
Usando el programa Solve de la calculadora casio fx-570 Plus el resultado de X es $𝟐𝟖. 𝟐𝟏𝟒. 𝟒𝟖𝟑, 𝟏𝟑
X= $𝟐𝟖. 𝟐𝟏𝟒. 𝟒𝟖𝟑, 𝟏𝟑
Conclusión: el pago que se debe hacer hoy es de $28.214.483,13; pagando dentro de 6 meses $11.000.000
Calcule la cantidad de interĂŠs que causan $5.800.000 al 28% anual simple del 7 de Julio de 2017 a 1 de septiembre de 2017.
F= P + I 7/07/2017
DĂas ia.s =28%
1/09/2017
$5.800.000
Hallamos el nĂşmero de dĂas que hay entre el 7 de julio de 2017 y el 1 de septiembre de 2017. n= 7 de Julio 2017 al 1 septiembre 2017 = 56 dĂas (hallamos este nĂşmero de dĂas usando la aplicaciĂłn *calculadora de dĂas*)
Convertimos la tasa de interĂŠs simple anual a una tasa de interĂŠs simple diaria dividiendo la tasa de interĂŠs anual en el nĂşmero de dĂas que trae un aĂąo, en este caso dividimos porque estamos convirtiendo una tasa de interĂŠs mayor a una tasa de interĂŠs menor. đ?‘° đ?’‚. đ?’” =
đ?&#x;?đ?&#x;–% = đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;–% đ?’…. đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?’…Ăđ?’‚
Sabiendo que F= P + I y que I= P*i*n donde: I= cantidad de intereses P= PrĂŠstamo asignado i= tasa de interĂŠs n= Periodo de tiempo Remplazamos: I= $5.800.000 * 0.00078 * 56
đ?‘° = $đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;‘. đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;’ ConclusiĂłn: La cantidad de intereses que causan $5.800.000 a una tasa de interĂŠs simple 28% anual es $253.344.
El seĂąor GarcĂa firmĂł un pagarĂŠ el 4 de mayo de 2017 con vencimiento el 4 de septiembre del 2018. Si el capital prestado fue de $ 63.400.000, calcule el valor de la deuda al vencimiento, si la tasa de interĂŠs fue del 9.3% trimestral. F= P + I 4/05/2017 i t.s= 9.3%
4/09/2018
DĂas
$63.400.000 Hallamos el nĂşmero de dĂas que hay entre el 4 de mayo de 2017 hasta el 4 de septiembre 2018.
n= 4 de mayo 2017 al 4 de septiembre 2018= 488dĂas (hallamos este nĂşmero de dĂas usando la
aplicaciĂłn *calculadora de dĂas*)
Convertimos la tasa de interĂŠs simple trimestral a una tasa de interĂŠs simple diaria dividiendo la tasa de interĂŠs simple trimestral en el nĂşmero de dĂas que tiene un trimestre.
đ?’Š đ?’•. đ?’” =
đ?&#x;—. đ?&#x;‘% = đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;‘% đ?’…. đ?’” đ?&#x;—đ?&#x;Ž đ?’…Ăđ?’‚
Hallamos el futuro del prĂŠstamo de la siguiente manera: đ??…=đ???+đ??ˆ đ??ˆ= đ???∗đ??˘âˆ—đ??§ đ??…= đ???+đ???∗đ??˘âˆ—đ??§ đ??… = đ??? (đ?&#x;? + đ??˘ ∗ đ??§) F= $63.400.000 (1+0.001033*488)
đ?‘ = $đ?&#x;—đ?&#x;“. đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;‘
ConclusiĂłn: El valor de la deuda de vencimiento es $95.360.193
Obtenga el valor de vencimiento de un pagarĂŠ que tiene las siguientes caracterĂsticas: fecha firma del pagarĂŠ: noviembre 3 de 2017, fecha de vencimiento: marzo 18 de 2018, valor presente $ 16.400.000, tasa anual simple 32% anual simple.
F= P + I 03/11/2017 i a.s=32%
18/03/2018
DĂas
$16.400.000
Hallamos el nĂşmero de dĂas que hay entre el 3 de Noviembre 2017 hasta el 18 de Marzo 2018. n= 3 de Noviembre 2017 al 18 de Marzo 2018 = 135 dĂas (hallamos este nĂşmero de dĂas usando la aplicaciĂłn *calculadora de dĂas*)
Convertimos la tasa de interĂŠs simple anual a una tasa de interĂŠs simple diaria, dividiendo la tasa de interĂŠs simple anual en el nĂşmero de dĂas que tiene un aĂąo.
đ?’Šđ?’…đ?’” =
đ?&#x;‘đ?&#x;?% = đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;—% đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Ž
đ?‘ = $đ?&#x;?đ?&#x;”. đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;— ∗ đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;“)
đ?‘ = $đ?&#x;?đ?&#x;–. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;Ž. đ?&#x;’đ?&#x;”đ?&#x;Ž
ConclusiĂłn: el valor de vencimiento del pagare es $18.370.460
Un pagarĂŠ por $ 11.340.000 se liquidĂł despuĂŠs de 47 dĂas por la suma de $11.600.000. ÂżCuĂĄl es la tasa de interĂŠs quincenal simple que se reconoce?
$11.600.000 đ?’Š đ?’’. đ?’” =?
n=47 dĂas
DĂas
$11.340.000
Teniendo el valor futuro del pagarĂŠ (valor por el que fue liquidado) que es $11.600.000 reemplazamos en la siguiente formula:
đ??…=đ???+đ??ˆ đ??ˆ= đ???∗đ??˘âˆ—đ??§ đ??…= đ???+đ???∗đ??˘âˆ—đ??§ đ??… = đ??? (đ?&#x;? + đ??˘ ∗ đ??§) $11.600.000= $11.340.000 (1 + i.s diario * 47dĂas)
Usando el programa Solve de la calculadora Casio fx-570 Plus
el resultado del interĂŠs
simple diario es 0.04878% Ahora convertimos la tasa de interĂŠs simple diaria a una tasa de interĂŠs simple quincenal, multiplicando la tasa de interĂŠs simple diaria por 15 dĂas que tiene una quincena. đ?’Š đ?’’. đ?’” = đ?’Š đ?’…. đ?’” ∗ đ?&#x;?đ?&#x;“
đ?’Š đ?’’. đ?’” = đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;–% ∗ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’Š đ?’’. đ?’” = đ?&#x;Ž. đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;•%
ConclusiĂłn: la tasa de interĂŠs quincenal simple que se reconoce es de 0.7317%
Por una deuda de $126.000.000 se cobran intereses moratorios de $ 3.453.334. Si la tasa de interés de mora es de 2.8% mensual simple, ¿Cuántos días se retrasó el pago de la deuda? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que: P=$126.000.000, donde P es el valor presente. I= $ 3.453.334, donde I son los intereses monetarios. is= 2.8% mensual simple, donde is es el interés simple. Para poder ilustrar mejor los datos de la gráfica hallamos el valor futuro con la fórmula: F= P+I
Donde F
es la incógnita de momento y es equivalente al valor futuro.
Resolviendo: F= 126.000.000 + 3.453.334; F= $129.453.334.
La tasa de interĂŠs mensual dada en el ejercicio deberĂĄ ser convertida a una tasa de interĂŠs diaria ya que el ejercicio nos pide son los dĂas de retraso al pago de la deuda, para ello implementamos la fĂłrmula de: id= đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 30 2.8% đ?‘šđ?‘
is=
30
donde 30 son los dĂas que tiene un mes.
= 0.093% diario.
Para hallar los dĂas de retraso al pago de la deuda se parte de la fĂłrmula de interĂŠs simple que es:
F= P (1+is*n) donde el is lo dividimos en 100 para que nos quede en nĂşmero natural y no en porcentaje. Reemplazando la formula nos queda: $129.453.334=126.000.000 (1+0.00093*n) Donde n es nuestra incĂłgnita; para despejarla colocamos los datos en la calculadora dejando a n como la incĂłgnita y luego hacemos la operaciĂłn SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ĂŠsta nos arroja el resultado de: n= 29, 47. Lo que aproximado a nĂşmero entero es 30 dĂas. LA RESPUESTA ES APROXIMADAMENTE n= 30 dĂas.
Obtenga la cantidad de intereses que causan $11.400.000 desde el 2 de enero de 2018 al 1 de mayo del 2019. La tasa de interĂŠs es del 20.5 % anual simple. SoluciĂłn: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la grĂĄfica sabiendo que: ďƒ˜ P=$11.400.000, donde P es el valor presente. ďƒ˜ n=484 dĂas, donde n son los dĂas que hay entre el 2 de enero de 2018 al 1 de mayo del 2019. ďƒ˜ is= 20.5 % anual simple, donde is es el interĂŠs.
La tasa de interĂŠs anual dada en el ejercicio deberĂĄ ser convertida a una tasa de interĂŠs diaria ya que el n lo manejamos en dĂas, para ello implementamos la fĂłrmula de: 360 son los dĂas que tiene un aĂąo.
������ donde id= 360
is=
20.5% 360
= 0.0569% diario.
Para hallar cuantos son los interés causados debemos usar la fórmula de I= P*i*n , donde el is lo dividimos en 100 para que nos quede en número natural y no en porcentaje. Que despejando nos da: I= $11.400.000* 0.000569* 484. Donde I= $3.139.514. Lo cual es esta nuestra respuesta.
I= $3.139.514.
Pero si queremos más completo nuestro ejercicio hallamos el valor futuro que es igual a: F=P+I. Que reemplazando da: F= $11.400.000+ $3.139.514; F= $14. 139.514.
En el día de hoy se cumple 3 bimestres de que una persona consiguió un préstamo por $130.000.000 con tasa de interés del 25% anual simple y vencimiento a 7 bimestres. Seis bimestres antes de haber realizado el primer préstamo, había firmado un pagaré con valor de vencimiento por $ 163.500.000 a un plazo de 9 bimestres. Hoy da un abono de $112.000.000 y acuerda cancelar su deuda con otro pago dentro de 9 bimestres. ¿De cuánto será este pago si la tasa de interés se combinó en 28% anual simple? Use la fecha de hoy como fecha focal. Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que: Del bimestre 3 al bimestre 4 hay 7 bimestres y se maneja un is= 25%as. Del bimestre 9 a hoy hay lógicamente 9 bimestres. En el día de hoy se debe pagar el pagare de valor de $ 163.500.000.
ďƒ˜ X es el pago de la deuda con el interĂŠs combinado de 28%as. ib=
������ 6
ib=
25% 6
Lo primero que hacemos para realizar este problema es hallar el valor que hay que pagar del primer crĂŠdito. Para ello convertimos la tasa de interĂŠs anual a una tasa de interĂŠs bimestral, para ello implementamos la fĂłrmula de:
ib=
������ 6
tiene un aĂąo. Reemplazando la fĂłrmula: ib= 25% 6
, donde 6 son los bimestres que
= 4.17% bimestral.
Ahora seguimos con el planteamiento la ecuaciĂłn del primer crĂŠdito: F= P (1+ib (n)), donde P es el valor presente, ib es el interĂŠs bimestral del primer crĂŠdito y n es el tiempo del primer crĂŠdito. Donde el ib debe ir dividido en 100 para que nos dĂŠ un nĂşmero natural y no porcentual. Reemplazando nos da: F=$130.000.000(1+0.0417 (7));F= $167.947.000. DespuĂŠs de haber encontrado del valor del primer crĂŠdito, lo que hacemos es llevar todo a un punto focal, donde las deudas son iguales que los pagos, lo que es igual a decir que la flechas de arriba deben ser igual a las flechas de abajo. Este punto focal ya nos lo da el ejercicio el cual dice que es hoy. AcĂĄ manejamos el interĂŠs combinado que nos daba el problema, pero primer hay que convertirlo a un interĂŠs bimestral, con la misma fĂłrmula mencionada anteriormente. ib=
28% 6
= 4.67% bimestral. Ahora si comenzamos con: ÎŁ DEUDAS = ÎŁ PAGOS 167.947.000
đ?‘‹
163.500.000+ ((1+0.0467(4))) = 112.000.000+ (1+0.0467(9)) Resolviendo esta ecuaciĂłn por SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ĂŠsta nos arroja el resultado aproximado de: X= $274.135.612. Respuesta: El resultado del pago con la tasa de interĂŠs que combinĂł en 28% anual simple es de $274.135.612.
¿Cuál será la rentabilidad trimestral de un título valor que al día de hoy se adquiere por $75.000.000 y después de tres años devuelve $330.000.000? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:
La rentabilidad es la tasa de interés trimestral del título de valor. P= $75.000.000, donde P es el valor presente. n= 3 años, donde n es el tiempo. F= $330.000.000, donde F es el valor futuro.
Lo que debemos hacer para resolver este problema es despejar de la fórmula de valor futuro nuestro interés. La fórmula de valor futuro es, F= P(1+is*n), que reemplazando valores nos da: $330.000.000 = $75.000.000 (1+ is(3)), esta operación la realizamos por medio de SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ésta nos arroja el resultado
aproximado de: is= 1.13 anual. Pero este se debe convertir a porcentaje multiplicando por 100, lo cual este interĂŠs nos darĂĄ is= 113.3 %anual. Pero esto no es todo, hay que convertirlo de anual a trimestral ya que el ejercicio nos lo pide asĂ, por la tanto se emplea la siguiente fĂłrmula:
its=
������ 4
nĂşmero de trimestres que tiene un aĂąo. its=
113.3%
= 28.3% trimestral.
4
Respuesta: La rentabilidad del tĂtulo es 28.3% trimestral.
, donde 4 es el
Una empresa debe cancelar una deuda de $14 millones a los seis meses, con una tasa de interés del 8% semestral simple; si el contrato del préstamo tiene una clausula penal por mora que cobra el 12% semestral simple por el tiempo que se exceda del plazo fijado, ¿Qué cantidad pagara el deudor, 100 días después del vencimiento? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:
P= $14.000.000, donde P es el valor presente. n1= 6 meses es igual a 180 días, n2= 100 días, donde n es el tiempo. F= es la incógnita, donde F es el valor futuro después de los 100 días de vencimiento.
Lo primero que hay que hacer para realizar el ejercicio es transformar las tasas de interĂŠs semestral a diarias, ya que el tiempo lo estamos manejando es en dĂas, para esto utilizamos la fĂłrmula de id= 8%
id= 180= 0.044%
đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 180
id=
, donde 180 son los dĂas que tiene un semestre.
12% 180
=0.067%
Luego procedemos a utilizar la fĂłrmula de valor futuro, que es igual a F=P+I1+I2, se maneja dos I ya que hay dos tasas diferentes de interĂŠs en el ejercicio. Reemplazando la fĂłrmula me queda:
F= $14.000.000+$14.000.000 (0.00044 (180))+ $14.000.000 (0.00067 (100)), que al hacer la operaciĂłn me da que el valor futuro es igual F= $16.046.800.
Respuesta: Por lo tanto el deudor pagarĂĄ una suma de $16.046.800 despuĂŠs de 100 dĂas de vencimiento.
Hallar el monto a y cancelar por un préstamo de $10.300.000 al 1.1% mensual después de 4 años 3 meses. SOLUCION: Grafica.
Determinar el valor de n en meses: 4 años * 12 meses = 48 meses + 3 meses = 51 meses en total. Luego se aplica la fórmula de valor futuro de intereses simples: F= P (1+im*n) F: 10.300.000(1+0.011*51) = 16.078.300 El monto a cancelar será de $ 16.078.300
Cuánto se debe cancelar el 5 de enero de 2018 a una entidad bancaria por el préstamo de $27.675.000 realizado el 15 de febrero de 2016, si se conoce que hasta el 18 de octubre del 2016 se cobra un interés del 1,2% quincenal simple y de ahí en adelante del 0,8% semanal simple? SOLUCION: Grafica.
Además, se debe tener en cuenta la siguiente información.
Transformar las tasas de interés a tasas de interés simples y calcular los interese de cada tramo.
Ahora se determina el valor futuro sumando el valor presente mas los intereses de cada zona.
¿Durante cuántos meses debe invertirse un capital de $18.350.000 para que se convierta en $21.600.000 si la tasa de interés es del 12,5% anual simple? SOLUCION: Grafica.
Transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés mensual simple.
Despejar “n” de la fórmula de intereses simples:
La respuesta son 17 meses.
Una persona prestó a una entidad $1.500.000 el 21 de mayo del 2015 al 14% semestral simple. ¿A qué fecha se ha generado intereses por $ 350.000? SOLUCION: Grafica.
Transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés semestral simple.
Como me dan el valor del interés despejo n de la formula como se ve a continuación:
La fecha en que se ha generado intereses por $ 350.000 es el 15 de Marzo del 2016
El 23 de junio de 2012 una persona compró una casa por un valor de $42.500.000 y el 2 de noviembre del 2017 la vendió en $75.000.000. ¿Cuál es la tasa de interés mensual simple generada por la inversión? SOLUCION: Grafica.
Se determina la cantidad de días correspondientes a la fecha en que se compró la casa y la fecha en que se vendió.
Corresponde a 1979 dĂas = n Ahora aplico la formula y despejo la tasa de interĂŠs simple