SUMAS DE RIEMANN Y ÁREA ENTRE CURVAS.

SUMAS DE RIEMANN Y ÁREA ENTRE CURVAS Revista presentada por Anthony Montilla C.I - V 29.880.951 Sección: 1100

Únidad Curricular : Cálculo II.

Barquisimeto - Venezuela

1.

Notación Sigma

Definición 1.1 Si F es una función de Z en R y m y n son dos números enteros tales que m ≤ n entonces

n X

F(i) = F(m) + F(m + 1) + F(m + 2) + · · · + F(n − 1) + F(n)

i=m

El número m es el limite inferior de la sumatoria, el número n es el limite superior y la letra i es el índice de la sumatoria. Otras letras, como j,k, entre otras, pueden usarse como índices de la suma.

De la definición se desprende el siguiente resultado

Teorema 1.1 Si F es una función de Z en R, c es un número natural positivo, entonces

1.

2.

n X i=m

i=m−c

n X

n+c X

i=m

2.

F(i) =

n−c X

F(i) =

F(i + c)

F(i − c)

i=m+c

Propiedades

Algunas propiedades básicas de la sumatoria son las siguientes

Teorema 2.1 Si F y G son funciones de Z en R, c es una constante y m ≤ n números enteros.

1

1.

n X

c=n·c

i=1

2.

n X

cF(i) = c

3.

F(i)

i=m

i=m n X

n X

[F(i) ± G(i)] =

n X

4.

n X

F(i) ±

i=m

i=m

n X

G(i)

i=m

[F(i + 1) − F(i)] = F(n + 1) − F(m)

i=m

5.

n X

[F(i) − F(i − 1)] = F(n) − F(m − 1)

i=m

En los items 4 y 5 tenemos la propiedad telescópicas de las sumatorias en su primera y segunda versión respectivamente, esta propiedad es muy usada en esta teoría.

Propiedades que son útiles a la hora de realizar cálculos son las siguientes.

Teorema 2.2 Si n es un entero positivo, entonces

1.

n X

i=

i=1

2.

n X

i2 =

i=1

3.

n X i=1

4.

n X i=1

n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6

n(n + 1) i = 2 "

#2

3

i4 =

n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n − 1) 30

2

3.

Ejercicios aplicando propiedades

Procedemos a realizar algunos ejercicios para ejercitar el uso de las propiedades expuestas anteriormente.

Ejemplo 3.1 Hallar

a)

100 X

i

[3 − 3 ] b)

i=1

Resolviendo

100 X

i−1

30 X k=1

k

3

c)

20 X

2k(1 − 2k2 )

k=1

[3i − 3i−1 ]

i=1

100 X

[3i − 3i−1 ] = 3100 − 31−1

Propiedad Telescópica segunda versión

i=1

= 3100 − 30 = 3100 − 1 ∴

100 X

[3i − 3i−1 ] = 3100 − 1

i=1

Resolviendo

30 X

k3

k=1

3

30 X

30(30 + 1) k = 2 k=1 "

#2

3

Teorema 1.3 item 3

= (15 · (31))2 = 4652 = 216225 ∴

30 X

k3 = 216225

k=1

Resolviendo

20 X

2k(1 − 2k2 )

k=1

20 X

2k(1 − 2k2 ) =

k=1

20 X

[2k − 4k3 ]

k=1

=

20 X

2k −

k=1 20 X

=2

20 X

4k3

k=1 20 X

k−4

k=1

Teorema 1.2 item 3

k3

Teorema 1.2 item 2

k=1

" #2 20(20 + 1) 20(20 + 1) −4 =2 2 2 = 2 · 10 · 21 − 4 · (10 · 21)2 = 420 − 176400 = −175980 ∴

20 X

2k(1 − 2k2 ) = −175980

k=1

4

Teorema 1.3 item 1 e item 3

4.

Área entre curvas

Definición 4.1 Sea f : [a, b] → R continua y no negativa. El área de la región S limitada por el gráfico de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, es

A(S ) = lı́m

n→+∞

donde xi−1 ≤ ci ≤ xi y ∆x =

5.

n X

f (ci )∆x

i=1

b−a n

Ejercicio de área entre curvas

Ejercicio 5.1 Hallar al area de la region encerrada por el grafico de f (x) = x3 , el eje x y las rectas x = 1 y x = 3.

Solución 5.1 Dividimos al intervalo en n subintervalos de la longitud ∆x =

5

3−1 2 = . n n

Se tiene

2 2 x0 = 1, x1 = 1 + , · · · xi = 1 + i · , xn = 3 n n Sea ci el extremo derecho de [xi−1 , xi ].

Esto es, ci = xi = 1 + i ·

n X

f (ci )∆x =

i=1

= = =

2 y n

n X

!

2 2 · f 1+i· n n i=1 !3 n 2X 2 1+i n i=1 n  ! !2 !3  n 2 X  2 2 2   +3· i· + i· 1 + 3 · i · n i=1 n n n n n n n 2X 12 X 24 X 2 16 X 3 1+ 2 i+ 3 i + 4 i n i=1 n i=1 n i=1 n i=1

12 n(n + 1) 24 n(n + 1)(2n + 1) 16 n(n + 1) 2 + 3 · + 4 · = ·n+ 2 · n n 2 n 6 n 2 ! ! ! !2 1 1 1 1 =2+6· 1+ +4· 1+ 2+ +4· 1+ n n n n ∴

n X i=1

! ! ! !2 1 1 1 1 f (ci )∆x = 2 + 6 · 1 + +4· 1+ 2+ +4· 1+ n n n n

De acá que

6

!2

A(S ) = lı́m

n→+∞

n X i=1

 ! ! ! !2   1 1 1 1   f (ci )∆x = lı́m 2 + 6 · 1 + +4· 1+ 2+ +4· 1+ n→+∞ n n n n = 2 + 6 · (1 + 0) + 4 · (1 + 0) · (2 + 0) + 4 · (1 + 0)2 =2+6+8+4 = 20

Así el área encerrada por la función f y las rectas x = 1 y x = 3 es A(S ) = 20.

6.

Integral Definida

Antes de presentar el concepto de integral definida procedemos a dar algunas definiciones útiles a la hora de dar dicha definición de integral definida

Definición 6.1 Una partición P del intervalo [a, b] es una colección de subintervalos [a, x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], · · · [xn−1 , b] de [a, b] de modo que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b

Definición 6.2 Se llama norma de la partición P y se denota por ||P||, al máximo de las longitudes ∆i x = xi − xi−1 con i ∈ {1, 2, ..., n}. Esto es, ||P|| = máx{∆i x} 1≤i≤n

Observación 6.1 Una partición que se caracteriza por tener todos sus subintervalos de igual longitudes es una partición regular. Para estos casos se cumple que ||P|| = ∆x = 7

b−a n

Definición 6.3 Una Selección para una partición P es una colección de puntos ∗ Q = {x1∗ , x2∗ , x3∗ , ..., xn−1 , xn∗ }

donde cada xi∗ es tomado en el subintervalo [xi−1 , xi ]. El punto xi∗ puede ser el extremo izquierdo, el extremo derecho o cualquier otro punto interior al subintervalo [xi−1 , xi ]. Esto es xi−1 ≤ xi∗ ≤ xi

Antes de dar el concepto de integral definida consideremos una función f : [a, b] → R, no necesariamente continua, y que puede tomar valores positivos o valores negativos. La siguiente definición fue introducida primera vez por el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann con el objeto de obtener una definición rigurosa de integral definida.

Definición 6.4 La suma de Riemann de orden n de la función f : [a, b] → R determinada por la partición P y la selección Q es Sn =

n X

f (xi∗ )∆i x

i=1

Como la función f puede tomar valores negativos algunos f (xi ) pueden ser negativos. En este caso, la suma de Riemann es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que estén sobre el eje x más el área de los rectángulos bajo el eje x con signo negativo. Así, en la figura siguiente Sn =

n X

f (xi∗ )∆i x = A1 − A2 − A3 + A4 + A5

i=1

8

Ahora, ya estamos en condiciones de presentar el concepto de la integral definida. esta integral es conocida como la integral de Riemann.

Definición 6.5 Z Una función f : [a, b] → R es integrable en [a, b] si existe un número real, que b denotamos por f (x)dx, tal que a

Z a

b

f (x)dx = lı́m

||P||→0

n X

f (xi∗ )∆i x

i=1

Realizamos algunas observaciones sobre la definición anterior

Observación 6.2 Veamos

Z

b

f (x)dx es la integral definida de f de a a b. Los números a y b son los

El número a

límite de integración. Más precisamente, a es el límite inferior y b es el límite superior.

El límite dado en la definición, en términos más detallados. ∀ > 0, ∃ δ > 0 tal que para toda particiónP de[a, b] que cumple ||P|| < δ y para

Z

n X

b ∗ ∗ cualquier selección {xi } de P, entonces

f (x)dx − f (xi )∆i x

< .

a

9

i=1

Z

b

f (x)dx es una variable muda en el sentido de que puede cambiarse

La variable x en a

por cualquier otra, sin que se altere el concepto. Así: Z b Z b Z f (x)dx = f (t)dt = a

7.

a

b

f (w)dw a

Teoremas y propiedades de la integral definida

La integral definida de una función es un límite, por lo tanto, puede o no existir. El siguiente teorema nos da una condición que garantiza la existencia.

Teorema 7.1 (Teorema de integrabilidad) Sea f una función de la forma f : [a, b] → R. Si la función f es acotada en [a, b] y si es continua en este intervalo, con excepción de un número finito de puntos, entonces f es integrable en [a, b].

En particular, si f es continua en todo el intervalo [a, b], entonces, f es integrable en [a, b].

La relación entre el área de regiones discutidas anteriormente y la integral definida la establece el teorema que sigue.

Teorema 7.2 Si f es continua y no negativa en el intervalo [a, b], entonces el área A(S ) de la región encerrada por el gráfico de f , el eje x y las rectas x = a, x = b esta dada por Z b A(S ) = f (x)dx a

Presentamos algunas propiedades de la integral definida.

Teorema 7.3 Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a, b]. Si f y g son integrables y k ∈ R, entonces 10

a

Z

f (x)dx = 0. a b

Z

f (x)dx = −

a

Z

a

f (x)dx. b

b

Z

dx = b − a. a b

Z

k f (x)dx = k a

Z

b

f (x)dx. a

b

Z

( f (x) ± g(x))dx =

Z

b

b

Z f (x)dx ±

a

g(x)dx.

a

a

La siguiente propiedad es conocida como la propiedad aditiva de intervalos.

Teorema 7.4 Si f es continua en [a, b] y a < c < b, entonces f es integrable en [a, c] y en [c, b] se cumple que b

Z

f (x)dx =

c

Z

a

f (x)dx + a

Z

b

f (x)dx c

Otras propiedades ligadas a las comparaciones son las siguientes.

Teorema 7.5 Sean f y g dos funciones integrables en [a, b]

b

Z f (x) ≥ 0 en [a, b] ⇒

f (x)dx ≥ 0. a b

Z f (x) ≤ g(x) en [a, b] ⇒

b

Z f (x)dx ≤

a

g(x)dx. a b

Z m ≤ f (x) ≤ M en [a, b] ⇒ m(b − a) ≤

f (x)dx ≤ M(b − a). a

11

Donde los dos últimos items son conocidos como la propiedad de comparación y la propiedad de acotamiento respectivamente.

En otro orden de ideas con respecto a la integral definida, las dos poeraciones básicas del cálculo son la derivación y la integración. Ambas están íntimamente conectadas a través del siguiente resultado que , por su importancia, es conocido con el nombre de primer teorema fundamental del cálculo.

Teorema 7.6 (Primer Teorema fundamental del Cálculo) Si f es continua en el intervalo [a, b] Z x

y F es la función F(x) =

f (t)dt, entonces F 0 (x) = f (t).

a

Observación 7.1 La conclusión del teorema anterior, con la notación de Leibniz, se escribe así: d dx

Z

x

f (t)dt = f (x)

a

Un corolario del Primer Teorema Fundamental del Cálculo es el siguiente.

Corolario 7.1 Si f es continua, h es una función diferenciable en [a, b], y H(x) =

Z

h(x)

f (t)dt, a

entonces H 0 (x) = f (h(x))h0 (x).

La evaluación de las integrales definidas mediantes sumas de Riemann es lenta y tediosa. El siguiente resultado, conocido como el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, nos proporciona el método más adecuado y elegante.

Teorema 7.7 (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo) Si f es continua en [a, b] y F es una antiderivada de f , entonces b

Z

f (x)dx = F(b) − F(a) a

12

El siguiente resultado viene a extender la regla de sustitución, al caso de integrales definidas.

Teorema 7.8 Si g es diferenciable en [a, b] y f es continua en el rango de u = g(x), entonces Z b Z g(b) 0 f (g(x))g (x)dx = f (u)du a

8.

g(a)

Área entre curvas

Calculemos el área de regiones encerradas por dos curvas. Para ello estudiemos los casos siguientes

8.1.

Rectángulos Verticales

Área de la región sombreda S encerrada por las dos rectas verticales x = a y x = b y los gráficos de dos funciones continuas y = f (x) e y = g(x)

Teorema 8.1 Sea y = f (x), y = g(x) dos funciones continuas en [a, b] tales que f (x) ≥ g(x), para todo x ∈ [a, b]. Si S es la región encerrada por las rectas x = a, x = b y los gráfico de f y g, entonces el área de S es A(S ) =

b

Z

( f (x) − g(x))dx a

13

Observación 8.1 Geométricamente, la relación f (x) ≥ g(x) en [a, b] significa que el gráfico de f está por arriba del gráfico de g. En estos términos, el teorema anterior nos dice que Z b A(S ) = (función superior − función inferior)dx a

El área de una región bajo una curva, tratada anteriormente es un caso particular del área de una región entre dos curvas; es el caso g(x) = 0 ∀ x ∈ [a, b].

8.2.

Rectángulos Horizontales

Área de la región sombreda S encerrada por las dos rectas hotizontales y = c, y = d y los gráficos de dos funciones continuas x = u(y) e x = v(y)

Teorema 8.2 Sea x = u(y), x = v(y) dos funciones continuas en [c, d] tales que u(y) ≥ v(y), para todo y ∈ [c, d]. Si S es la región encerrada por las rectas y = c, y = d y los gráfico de u y v, entonces el área de S es A(S ) =

d

Z

(u(y) − v(y))dy c

Observación 8.2 Geométricamente, la relación u(y) ≥ v(y) en [c, d] significa que el gráfico de

14

u está a la derecha del gráfico de v. En estos términos, el teorema anterior nos dice que Z d A(S ) = (función de la derecha − función de la izquierda)dy c

9.

Valor Medio para Integrales

Definición 9.1 Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Se llama valor medio (V.M.) ó valor promedio de f en el intervalo [a, b] al cociente Z b 1 f (x)dx V.M. = b−a a

Teorema 9.1 (Teorema del valor medio para integrales) Si f es continua en [a, b], entonces existe un número c tal que a < c < b y Z b

f (x)dx = f (c)(b − a)

a

15