Dual Simplex - Programación Lineal

Acción Generación Estrategia

DUAL

SIMPLEX

PROGRAMACIÓN LINEAL

NUEVO

MUNDO Dejo de ser moda y ya es mas que un estilo de vida, para una nueva generación.

AGE Te conecta...

EDUCACIÓN SIMPLEX SIMPLEX DUAL DATOS

Una razón Una consecuencia

AGE Te conecta...

METODO SIMPLEX

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones).

Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior, dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro o polícoro, si el número de variables es mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema (llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo.

Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta.

Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0.

Por tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más común el método de las Dos Fases.

La forma estándar del modelo de problema consta de una función objetivo sujeta a determinadas restricciones: c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1 a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2 ... am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm x1,..., xn ≥ 0

TODA UNA ERA A LA VANGUARDIA EN TECNOLOGIA Y EDUCACION EDUCACIÓN

SIMPLEX

SIMPLEX DUAL

DATOS

AGE Te conecta...

SIMPLEX

El modelo debe cumplir las siguientes condiciones: El objetivo consistirá en maximizar o minimizar el valor de la función objetivo (por ejemplo, incrementar ganancias o reducir pérdidas, respectivamente).

En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B . En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición decinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 dólares y el del tipo Il es de 30 dólares.

Se pregunta:¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Todas las restricciones deben ser ecuaciones de igualdad (identidades matemáticas).

Todas las variables (xi) deben tener valor positivo o nulo (condición de no negatividad).

Variables:

Los términos independientes (bi) de cada ecuación deben ser no negativos.

Tipo I Tipo II

x y

TODA UNA ERA A LA VANGUARDIA EN TECNOLOGIA Y EDUCACION EDUCACIÓN

SIMPLEX

SIMPLEX DUAL

DATOS

AGE Te conecta...

SIMPLEX DUAL resulta ser una estrategia algorítmica eficiente cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar, la aplicación del método simplex no es inmediata o más bien compleja, por ejemplo, puede requerir la utilización del método simplex de 2 fases.

Una aplicación típica del método simplex dual es en la resolución de problemas con una función objetivo de minimización, con restricciones del tipo mayor o igual y donde las variables de decisión son mayores o iguales a cero.

Podemos considerar el siguiente modelo de programación lineal.

Min 315A + 110B + 50C s.a. 15A + 2B + +C>=200 7,5A + 3B + C>= 150 5A + 2B + C >= 120 A, B, C >= 0

TODA UNA ERA A LA VANGUARDIA EN TECNOLOGIA Y EDUCACION EDUCACIÓN

SIMPLEX

SIMPLEX DUAL

DATOS

AGE Te conecta...

DUPLEX

Se lleva el modelo a su forma estándar. En nuestro ejemplo esto se logra agregando variables de exceso en cada una de las restricciones (3 primeras: S1, S2, S3, respectivamente). Luego, se multiplica cada fila de las restricciones por -1 de modo de disponer una solución básica inicial (infactible) en las variables de exceso S1, S2 y S3. De esta forma se obtiene la siguiente tabla inicial.

Se selecciona el lado derecho "más negativo" lo cual indicará cuál de las actuales variables básicas deberá abandonar la base. En el ejemplo el lado derecho más negativo se encuentra en la primera fila, por tanto S1 deja la base. Para determinar cual de las actuales variables no básicas (A, B, C) entrará a la base se busca el mínimo de {-Yj/aij} donde aij es el coeficiente de la respectiva variable no básica

en la fija i (del lado derecho más negativo, marcado en verde) y donde Yj es el costo reducido de la respectiva variable no básica.

De esta forma se obtiene: Min {-315/-15, -110/2, -50/-1} = 21, donde el pivote (marcado en rojo) se encuentra al hacer el primer cuociente, por tanto A entra a la base.

Se actualiza la tabla anterior siguiendo un procedimiento similar al utilizado en el Método Simplex. En el ejemplo se debe dejar a la variable A como básica y S1 como no básica.

La tabla que resulta es la siguiente:

Continuar las iteraciones y siguiendo el mismo procedimiento hasta disponer de una solución básica factible. Luego de unas iteraciones se obtiene la siguiente tabla final:

TODA UNA ERA A LA VANGUARDIA EN TECNOLOGIA Y EDUCACION EDUCACIÓN

SIMPLEX

SIMPLEX DUAL

DATOS

AGE Te conecta...

La solución óptima es A=8, B=10, C=60 (marcado en verde) con valor óptimo V(P)=6.620 (marcado en rojo - se obtiene con signo cambiado). También es interesante notar que los costos reducidos de las variables artificiales S1, S2 y S3 (marcado en amarillo), corresponde a la solución óptima del modelo presentado resuelto con solver.

DATOS Solución óptima: cuando se cumple la condición de parada y no hay variables artificiales en la base con valor positivo (los valores se indican en la columna P0), se ha conseguido la optimización. El valor Z0 actual es la solución óptima del problema, cumpliéndose para las variables que se encuentran en la base. Si se trata de un problema de minimización, el valor óptimo obtenido se multiplicará por "-1".

Infinitas soluciones: cumplida la condición de parada, si alguna variable de decisión no básica tiene un valor 0 en la fila Z, significa que existe otra solución que aporta el mismo valor óptimo para la función objetivo. Es este caso el problema admite infinitas soluciones, estando todas ellas comprendidas dentro del segmento (o porción del plano, región del espacio, etc. dependiendo del número de variables del problema) definido por A·X1 + B·X2 = Z0.

Mediante una nueva iteración y haciendo que la variable de decisión que tiene el 0 en la fila Z entre en la base se obtendrá otra solución diferente para el mismo valor óptimo.

Solución ilimitada (no acotada): si toda la columna de la variable que entra a la base tiene todos sus elementos negativos o nulos se trata de problema no acotado, es decir, que tiene solución ilimitada. No hay valor óptimo concreto para la función objetivo sino que a medida que se aumenta el valor de las variables también se incrementa el valor Z sin violar ninguna restricción.

No existe solución: cuando ningún punto satisface todas las restricciones del problema se produce la infactibilidad no existiendo ninguna solución posible para él. En este caso, una vez terminadas todas las iteraciones del algoritmo, existen en la base variables artificiales cuyo valor es superior a cero. ¿El elemento pivote puede ser nulo?: No, el elemento pivote siempre será estrictamente positivo ya que únicamente se realizan los cocientes entre valores no negativos y mayores que cero (ante un problema de maximización).

TODA UNA ERA A LA VANGUARDIA EN TECNOLOGIA Y EDUCACION EDUCACIÓN

SIMPLEX

SIMPLEX DUAL

DATOS

DESARROLLA

UN MUNDO Sin Limites

Tienes que aprender a aprovechar la tecnología para poder usarla para cosas positivas sin estar desconectado de nuestra naturaleza.

ANDRÉS DÍAZ ACCIÓN

GERSON CHACÓN GENERACIÓN

HEBERSON DUARTE ESTRATEGIA

AGE Te conecta...