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1 Introduzione al metodo

Per comprendere il metodo del “vettore unico” e la sua rapidità, risolviamo un caso pratico di calcolo a pressoflessione di una sezione rettangolare in calcestruzzo armato. È sufficiente calcolare le due componenti di un vettore per ottenere immediatamente il diagramma adimensionale e verificare la resistenza.

1.1 Premessa Come si è detto nella Prefazione, questo volume spiega un metodo di calcolo manuale che permette, in pochi minuti, di eseguire il calcolo a pressoflessione delle sezioni rettangolari (o ad essa riconducibili) in calcestruzzo armato: – qualunque sia il rapporto tra l’armatura superiore e quella inferiore – e qualunque sia il rapporto tra il copriferro e l’altezza della sezione. Per entrare subito in argomento, supponiamo di dover verificare la resistenza a pressoflessione di una sezione rettangolare, rappresentata schematicamente nella figura 1.1, armata con 6 ∅20 inferiori (As = 1884 mm2) e con 4 ∅20 superiori (A's = 1256 mm2). Si adotta l’usuale simbologia indicata nella figura 1.1. : b = 300 mm; d = 360 mm; H = 400 mm; d' = 40 mm La verifica riguarda le seguenti due combinazioni di azioni interne: Nd = 300 kN, Md = 200 kNm e Nd = 1.000 kN, Md = 200 kNm Resistenze di progetto dei materiali: Calcestruzzo Classe C25/30 f ck = 25 MPa (N/mm2)

f cd =

f ck ⋅ α cc

γc

=

25 ⋅ 0,85 = 14,17 MPa 1,5

[NTC2008 − 4.1.2.1.1.1]

Acciaio B450C, con

f yd =

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f yk

γs

=

450 = 391,3 MPa 1,15


2

CAPITOLO 1

b

A's

M

d' dH

N As d'

Figura 1.1 Simbologia per una sezione rettangolare di calcestruzzo armato.

1.2 Tre soli calcoli sono necessari Il nostro metodo di calcolo manuale è fondato su una immediata costruzione dei cosiddetti diagrammi di interazione “adimensionali”. In questi diagrammi ascisse e ordinate sono relative non ai valori diretti di N e di M, ma a quelli che si ottengono dai seguenti rapporti:

ν=

N b ⋅ H ⋅ f cd

;

μ=

M b ⋅ H 2 ⋅ f cd

Per applicare il nostro metodo è sufficiente calcolare tre soli parametri: – δs = braccio adimensionale armature – ω = percentuale geometrica dell’armatura – ωΔ = indice di dissimmetria dell’armatura Il primo parametro, come sarà chiarito, rappresenta il braccio adimensionale delle armature, rispetto al baricentro del rettangolo:

δ S = 0,5 −

d' H

40 = 0,4 400 Questo parametro permette di graduare la scala delle ordinate: quella dei momenti flettenti adimensionali. Il tratto lungo δ S infatti dovrà essere lungo come l’unità delle ascisse che rappresentano le azioni assiali adimensionali.

nel nostro caso: δ S = 0,5 −

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INTRODUZIONE AL METODO

3

δs

D

0,12 0,08

C

E F

A 0,21

1

0,79

0,5

ν

Figura 1.2 Diagramma resistente del solo calcestruzzo.

La figura 1.2 mostra le coordinate approssimate del dominio resistente del solo calcestruzzo. Queste coordinate permettono un calcolo immediato sufficientemente preciso nella maggior parte dei casi pratici. Si calcolano ora gli altri due parametri: – percentuale meccanica dell’armatura complessiva

ω=

(A

S

)

+ AS' ⋅ f yd

b ⋅ H ⋅ f cd

– indice di dissimmetria dell’armatura

ωΔ = Nel nostro caso:

ω=

(A

ωΔ =

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S

)

AS − AS' AS + AS'

+ AS' ⋅ f yd

b ⋅ H ⋅ f cd AS − AS' AS +

AS'

=

=

(1884 + 1256 ) ⋅ 391,3 = 0,72 300 ⋅ 400 ⋅ 14,17

1884 − 1256 = 0,2 1884 + 1256


4

CAPITOLO 1

D 0,40 C

E 0,12

D

0,08

A

C

E

0,72

F

A 0,21

0,5

0,79

1

0,14 AF

0,72

2

ν

F

CD

Figura 1.3 Il dominio resistente adimensionale.

1.3 Semplicissima costruzione grafica di verifica A partire dal punto F (avente coordinate ν = 1, μ = 0) tracciamo un vettore che ha le seguenti componenti (fig. 1.3): componente orizzontale: ω = 0,72; componente verticale ω ωΔ = 0,72·0,20 = 0,14. Si traccia poi anche un vettore che abbia le componenti orizzontale e verticale invertite. Cioè si ottiene il secondo vettore invertendo il primo intorno a un asse inclinato di 45°. Si applica il primo vettore al punto A ed il secondo ai punti C e D. Congiungendo gli estremi dei vettori tracciati si ha il dominio resistente adimensionale corrispondente all’armatura effettivamente presente ed al rapporto d'/H effettivo (fig. 1.3). È sufficiente inserire i punti corrispondenti alle due combinazioni di azioni interne: la verifica è positiva perché entrambi i punti sono interni al diagramma (fig. 1.4).

Nd = 300 kN → ν d =

Nd 300 ⋅ 103 = 0,18 = b ⋅ H ⋅ f cd 300 ⋅ 400 ⋅ 14,17

Nd = 1.000 kN → ν d = Md = 200 kNm → μd =

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Nd 1.000 ⋅ 10 3 = = 0,59 b ⋅ H ⋅ f cd 300 ⋅ 400 ⋅ 14,17

Md

b ⋅ H 2 ⋅ f cd

=

200 ⋅ 106 300 ⋅ 4002 ⋅ 14,17

= 0,29


INTRODUZIONE AL METODO

5

D 0,40 C 0,29

E

D

A

C

E 0,72

F

A 0,18

0,59

0,14 AF 0,72

2

ν

F

CD

0,14

Figura 1.4 La verifica di resistenza.

Il metodo visto dà quindi modo di tracciare in pochi minuti il giusto diagramma per ogni rapporto tra le armature e per ogni rapporto d'/H. Il suo segreto dunque risiede in una simmetria che era forse sfuggita. E l’idea fondamentale alla base del metodo [12] è la scelta del rapporto opportuno tra la scala delle ascisse (azioni assiali adimensionalizzate) e la scala delle ordinate (azioni flettenti adimensionalizzate). Il rapporto opportuno è quello per cui il braccio adimensionale delle armature rispetto al baricentro diviene unitario. Infatti, in queste condizioni, sommare algebricamente forze è equivalente a sommare momenti. Un solo vettore (le cui componenti sono la percentuale meccanica di armatura

ω e il prodotto di essa per il rapporto tra la differenza e la somma delle armature ωΔ) è allora sufficiente per tracciare completamente il diagramma di interazione per tutti i campi di rottura (fig. 1.5). Il nostro metodo è utile in quanto i diagrammi riportati nei manuali riguardano un numero limitato di casi, e spesso il professionista non trova quello specifico. Per esempio, nel nostro caso, è difficile trovare il diagramma con armatura superiore pari a due terzi di quella inferiore. Sino ad oggi si è sempre evitata la costruzione diretta di questi diagrammi adimensionali perché il procedimento solitamente seguito risulta troppo lungo e complesso.

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6

CAPITOLO 1 b

A's

M

δs

= 0,5

dH

N

d' H

μ

As d'

δs

ω=

D C

(A s + A's ) ƒyd b H ƒcd

3

ωΔ = As A's

(νd ,μd )

1-2

A

d'

As + A's

4

0,12

E

D

0,08

E

C A

F 0,21

0,5

0,79

5

ω

ν

=

μ=

N b H ƒcd

ω

1

AF

ω ωΔ

ν

F

CD

ω ωΔ

M 2 b H ƒcd

Figura 1.5 Schema riassuntivo del metodo.

Alternativamente si può far uso di formule semplificate. In letteratura sono fornite formule semplificate valide però solo per sezioni con armatura simmetrica.1 Nel caso generale si rinuncia a fornire analoghe formule, osservando solo che i domini tracciati per diversi rapporti tra le armature “si differenziano decisamente all’aumentare dello sforzo normale di compressione”. ([14] pag. 157)

1

E. Cosenza, G. Manfredi, M. Pecce, Strutture in cemento armato, Hoepli, Milano, 2008. [14]

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Capitolo 1  

Metodo grafico per la verifica allo stato limite di rottura di una sezione rettangolare di calcestruzzo armato

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