ACTIVIDADES ( Del 25 de mayo al 12 junio 2020 )

ESCUELA SECUNDARIA TÉCNICA INDUSTRIAL N° 3 CICLO ESCOLAR 2019 – 2020 ACTIVIDADES PARA CONTINGENCIA POR COVID-19 CUARTA PARTE DEL 25 AL 12 DE JUNIO TERCER TRIMESTRE DE MATEMATICAS III I.A. ANA CECILIA GONZÁLEZ HERNÁNDEZ NOMBRE DEL ALUMNO_________________________________________________________ GRUPO_________ COPIA EN TU LIBRETA DE APUNTES TODOS LOS TEXTOS, DEFINICIONES (TEORIA), DIBUJOS, PROBLEMAS RESUELTOS Y RESUELVE LOS PROBLEMAS QUE SE TE PIDEN. AL FINAL DEBERAS TENER TRANSCRITO Y CORRECTAMENTE CONTESTADO ESTE DOCUMENTO EN TU LIBRETA. NOTA: NO PUEDES FOTOCOPIAR, RECORTAR NI PEGAR ESTE DOCUMENTO EN TU LIBRETA; TIENE QUE ESTAR CON TU PUÑO Y LETRA PARA SER VALIDO. ESTAS ACTIVIDADES SE SUMARAN A LAS PASADAS; SIEMPRE Y CUANDO ESTEN CORRECTAMENTE CONTESTADAS Y REALIZADAS BAJO LAS INSTRUCCIONES CORRESPONDIENTES ES QUE TENDRAN EL VALOR CORRESPONDIENTE. ACORDE A COMO SE VALLAN PRESENTANDO LAS CIRCUNSTANCIAS EL ENCUADRE PUEDE SUFRIR CAMBIOS MAS ADELANTE, LOS CUALES SERAN AVISADOS. LAS ACTIVIDADES ANTERIORES YA TERMINADAS SE TENDRAN QUE MANDAR DESDE EL CORREO DE TU TUTOR AL SIGUIENTE CORREO DENTRO DE LAS FECHAS CORRESPONDIENTES A TU GRUPO; SI SE MANDAN FUERA DE LA FECHA TENDRAN UN VALOR MENOR. SE MANDARAN FOTOS DE LA LIBRETA DONDE SE PASARON TODAS LAS ACTIVIDADES Y DE LOS EJERCICIOS QUE SE TENIAN QUE CONTESTAR EN PRESENTACION DE POWER POINT YA QUE ASI ES MAS FACIL MANDARLAS; LAS FOTOS DE LA PRESENTACION DEBERAN DE SER CLARAS Y LEGIBLES, RECUERDA QUE TENDRE QUE PODER LEER Y ENTENDER LO QUE ESTA EN ELLAS. EL ASUNTO DEL CORREO DEBE SER EL SIGUIENTE LLENADO CON TUS DATOS: NOMBRE DEL ALUMNO, NUMERO DE LISTA, GRUPO, ACTIVIDADES SEGUNDA PARTE (ESTO NO LO CAMBIES).

CORREO: ana_bolita@hotmail.com FECHA DE ENTREGA DE TERCERA PARTE DE ACTIVIDADES (si ya las entregaste has caso omiso de estas fechas): Grupo G: 25 y 26 de mayo.

Grupo I: 27 y 28 de mayo.

Grupo J: 29 y 30 de mayo.

FECHA DE ENTREGA DE CUARTA PARTE DE ACTIVIDADES Grupo G: 15 y 16 de Junio.

Grupo I: 17 y 18 de Junio.

Grupo J: 19 y 20 de Junio.

TEMA 11 MEDIA, MEDIANA Y MODA TABLA DE FRECUENCIAS La media, mediana y moda son VALORES DE TENDENCIA CENTRAL, nos ayudan a obtener rápidamente información de una colección de datos.

LA MEDIA DE UN CONJUNTO DE DATOS Llamada también PROMEDIO, Es la suma de los números dividida entre el número total de datos Ejemplo resuelto 1.- Encuentre la media del conjunto (2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 11) Hay 8 números en el conjunto. Súmalos y luego divide entre 8

2+5+ 5+6+8+ 8+9+11 54 = 8 8

= 6.75

Así, la media es 6.75 LA MEDIANA DE UN CONJUNTO DE DATOS La mediana de un conjunto de números es el número medio en el conjunto (después de que los números han sido acomodados de menor a mayor), si hay un número par de datos, la mediana es el promedio de los dos número medios Ejemplo resuelto 1.- Encuentre la mediana del conjunto (2, 5, 8, 11, 16, 21, 30) Hay 7 números en el conjunto y estos están acomodados en orden ascendente. Si tú tachas un número de la izquierda y otro de la derecha y continuas este proceso el número medio (el cuarto en la lista) es 11.

Así la mediana es 11 2.- Encuentre la mediana del conjunto (3, 10, 36, 255, 79, 24, 5, 8) Primero arregla los números en orden ascendente.

(3, 5, 8, 10, 24, 36, 79, 255) Hay 8 números en el conjunto --un número par--. Es decir, los números medios son 10 y 24, para encontrar el promedio de los dos números se suman y se dividen entre dos

10+ 24 =17 2 Así, la mediana es 17

LA MODA DE UN CONJUNTO DE DATOS La moda de un conjunto de números es el número que aparece más a menudo Ejemplo resuelto 1.- Encuentre la moda del conjunto (2, 3, 5, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 12 ) El 2, 3, 7, 10 y 12 aparecen una vez cada uno.

El 5 aparece dos veces y el 9 aparece tres veces Así, la moda es el 9 2.- Encuentra la moda del conjunto (2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 11 ) En este caso hay dos modas el 5 y el 8 ambos aparecen dos veces, mientras que los otros números solo aparecen una vez.

Por lo tanto la moda es el 5 y 8

TABLA DE FRECUENCIAS

La tabla de frecuencias es una herramienta que permite ordenar los datos de manera que se presentan numéricamente las características de la distribucioó n de un conjunto de datos, X 1, frecuencia absoluta (n1), frecuencia absoluta acumulada N1, frecuencia relativa (fi) y frecuencia relativa acumulada(Fi)

CONSTRUCCION DE LA TABLA DE FRECUENCIAS En la primera columna de la tabla se ordenan de menor a mayor los diferentes valores que tiene la variable en el conjunto de datos. ( X1 ) En la segunda y tercera columna se ponen la Frecuencia Absoluta (n1) y las frecuencias absolutas acumuladas (N 1) Las columnas cuarta y quinta contienen las frecuencias relativas (fi) y las frecuencias relativas acumuladas. (Fi) Adicionalmente (opcional) se pueden incluir dos columnas (sexta y séptima), representando la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada como tanto por ciento Estos porcentajes se obtienen multiplicando las dos frecuencias por cien. Existen cuatro tipos de frecuencias.

FRECUENCIA ABSOLUTA. La frecuencia absoluta (ni) de un valor Xi es el número de veces que el valor está en el conjunto (X 1, X2,…, XN).

La suma de las frecuencias absolutas de todos los elementos diferentes del conjunto debe ser el número total de sujetos N. Si el conjunto tiene k nuó meros (o categoríóas) diferentes, entonces:

LA FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA La frecuencia absoluta acumulada (Ni) de un valor Xi del conjunto (X1, X2,.XN) es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a Xi, es decir

FRECUENCIA RELATIVA La frecuencia relativa (fi) de un valor Xi es la proporción de valores iguales a Xi en el conjunto de datos (X1, X2,…, XN). Es decir, la frecuencia relativa es la frecuencia absoluta dividida por el número total de elementos N:

Las frecuencias relativas son valores entre 0 y 1, 0 ≤ fi ≤ 1. La suma de las frecuencias relativas de todos los sujetos da 1. Supongamos que en el conjunto tenemos k nuó meros (o categoríóas) diferentes, entonces:

Si se multiplica la frecuencia relativa por cien se obtiene el porcentaje (tanto por cien %).

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA Definimos la frecuencia relativa acumulada (Fi) de un valor Xi como la proporción de valores iguales o menores a Xi en el conjunto de datos (X1, X2,…, XN). Es decir, la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividida por el número total de sujetos N:

La frecuencia relativa acumulada de cada valor siempre es mayor que la frecuencia relativa. De hecho, la frecuencia relativa acumulada de un elemento es la suma de las frecuencias relativas de los elementos menores o iguales a eó l,

es decir:

Ejemplo resuelto.

FRECUENCIA ABSOLUTA 1.- Un profesor tiene la lista de las notas en matemáticas de 30 alumnos de su clase. Las notas son las siguientes:

PASO 1.- Se realiza el recuento de la variable que se estudia (notas) para ver el número de veces que aparece cada nota, es decir aparecen 30 datos o números

Una vez realizado el recuento, se representan las frecuencias absolutas de cada una de las notas (ni) de menor a mayor los valores. Las frecuencias son: n 1(3)=2, n2(4)=4, n3(5)=6, n4(6)=7, n5(7)=5, n6(8)=3, n7(9)=2 y n8(10)=1. Es decir, hay 2 veces el número 3 en la tabla, 4 veces el número 4, 6 veces el número 5, etc.

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PASO 2.- Se calculan las frecuencias absolutas acumuladas (Ni) como la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a Xi: N1(3)=n1(3)=2 N2(4)=n1(3)+n2(4)=2+4=6 N3(5)=n1(3)+n2(4)+n3(5)=2+4+6=12 N4(6)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)=2+4+6+7=19 N5(7)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)=2+4+6+7+5=24 N6(8)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)=2+4+6+7+5+3=27 N7(9)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)=2+4+6+7+5+3+2=29 N8(10)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)+n8(10) =2+4+6+7+5+3+2+1=30

FRECUENCIA RELATIVA PASO 3.- Se calcula la frecuencia relativa de cada elemento como la divisiรณn de la frecuencia absoluta entre el total de elementos N=30.

f1(3) = n1(3)/N = 2/30 = 0,07 f2(4) = n2(4)/N = 4/30 = 0,13 f3(5) = n3(5)/N = 6/30 = 0,20 f4(6) = n4(6)/N = 7/30 = 0,23 f5(7) = n5(7)/N = 5/30 = 0,17 f6(8) = n6(8)/N = 3/30 = 0,10 f7(9) = n7(9)/N = 2/30 = 0,07 f8(10) = n8(10)/N = 1/30 = 0,03

Se pueden calcular las frecuencias relativas en porcentaje (%) multiplicรกndolas por 100.

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA PASO 4.- Para obtener la frecuencia relativa acumulada se divide la frecuencia absoluta acumulada entre el nĂşmero total de elementos (N=30). Esto da el tanto por uno de elementos iguales o menores al elemento que se estudia.

Las frecuencias relativas acumuladas son las siguientes: F1(3)=f1(3)=0,07 F2(4)=f1(3)+f2(4)=0,07+0,13=0,20 F3(5)=f1(3)+f2(4)+f3(5)=0,07+0,13+0,20=0,40 F4(6)=f1(3)+f2(4)+f3(5)+f4(6)=0,07+0,13+0,20+0,23=0,63 F5(7)=f1(3)+f2(4)+f3(5)+f4(6)+f5(7)=0,07+0,13+0,20+0,23+0,17=0,80 F6(8)=f1(3)+f2(4)+f3(5)+f4(6)+f5(7)+f6(8) =0,07+0,13+0,20+0,23+0,17+0,10=0,90

Se pueden calcular las frecuencias relativas acumuladas en porcentaje (%) multiplicĂĄndolas por 100.

TABLA DE FRECUENCIAS PASO 5.- Una vez que se han calculado todas las frecuencias, se construye la tabla de frecuencias. La tabla es la siguiente:

Adicionalmente, se pueden incluir dos columnas con los porcentajes de las frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas. Se obtiene la siguiente tabla:

Ejercicios para resolver 1.- Calcula la media, mediana y moda de los siguientes grupos de datos: a).- 5,9,12,21,5,7,13,8,5,7,5 b).- 1,5,2,3,3,1,4,5,4,6,2,3,5 c).- 35,48,62,91,32,79,84,100 d).- 31,24,15,27,31,24,15,15,24,15 e).- 0.2,0.4,0.5,0.1,0.2,0.6,0.5,0.4,0.5,0.2,0.2,0.1 f).- 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 2.- Se le pidiรณ a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los siguientes resultados: Negro

azul

amarrillo

rojo

negro

amarrillo

Azul

rojo

Rojo

amarrillo

amarillo

azul

Negro

azul

rojo

negro

Con los datos obtenidos elabora una tabla de frecuencias 3.- Durante el mes de mayo en la ciudad de Xalapa, Veracruz se registraron las siguientes temperaturas mรกximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

31,

31,

27,

28,

29,

30,

32,

31,

31,

30,

Realiza la tabla de frecuencia de estos datos.

4.- En una encuesta a 20 habitantes de Veracruz sobre cuantas veces a la quincena compran su despensa, las respuestas obtenidas son: 2, 0, 3, 1, 4, 5, 1, 1, 2, 3, 0, 0, 1, 3, 2, 5, 4, 3, 3, 2 Construye una tabla de frecuencias y calcula que tanto por ciento de los habitantes hace 3 o menos compras a la quincena.

TEMA 12 RAZÓN DE CAMBIO DE UN PROCESO O FENÓMENO La razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra (una comparación). Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio de cero.

La razón de cambio más común es la velocidad, que se calcula dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo (V=d/t).

A partir del conocimiento de una razón de cambio se pueden hacer cálculos y previsiones, por ejemplo, si conocemos el nivel de contaminación que está llegando a un arroyo a partir del vertido de sustancias químicas por parte de una industria, es posible utilizar la razón de cambio para señalar qué tan rápido se incrementa el nivel de contaminación.

Con un cálculo similar, se puede saber la velocidad de propagación de una epidemia en una determinada ciudad, tomando datos como la cantidad de personas que contrajo el virus en “x” cantidad de días; es un claro ejemplo de como las matemáticas están ayudando a obtener datos para afrontar la situación que estamos viviendo.

Es posible distinguir entre 2 tipos de razones de cambio: Promedio e instantánea.

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO (R.C.P): Día a día nos enfrentamos a diferentes razones de cambio en situaciones sociales, económicas, naturales, etc., en las que deseamos saber cuál es el valor máximo o mínimo, su crecimiento o su disminución en un periodo de tiempo determinado. Se trata de problemas en los cuales estudiamos fenómenos relacionados con la variación de una magnitud que depende de otra, por lo que se requiere una descripción y una cuantificación de dichas variaciones por medio de gráficas, tablas y modelos matemáticos. Ejemplo: si un coche recorre 100 km en 2 horas, los problemas que nos llevan a calcular la razón de cambio promedio nos indican que se determina una variación que no necesariamente existe en la realidad; en otras palabras, no sabemos si el coche ha mantenido esta velocidad a lo largo de las 2 horas, sino que sacamos el promedio de la distancia a la cual debió avanzar para completar dicho recorrido.

La razón de cambio promedio de entre X2 y X1 es: Ejemplo resuelto: 1.- En una investigación que se realizó para observar que cantidad de desperdicios, en toneladas, se tira al océano diariamente en cierta playa durante un período vacacional de una semana, se anotaron los siguientes datos:

Días (X) Toneladas de desperdicio s (Y)

0 0

Lunes 1 0.3

Martes 2 1.2

Miércoles 3 2.7

Jueves 4 4.8

Viernes 5 7.5

Sábado 6 10.8

Si ubicas los datos como coordenadas de X y Y en el plano cartesiano obtendrás la siguiente gráfica:

Domingo 7 14.7

¿Cuál es la razón de cambio promedio de desperdicio que se arroja al mar entre jueves y viernes?

Aplicando la formula

ΔY = (7.5 – 4.8) ΔX (5 – 4) ΔY = 2.7 ΔX 1 R.C.P= 2.7 toneladas La razón de cambio promedio de desperdicios que se arrojan al mar entre jueves y viernes es de 2.7 toneladas.

2.- Una empresa fabricante de frenos para automóvil somete su sistema a una prueba la cual consiste en determinar el tiempo total necesario (el tiempo desde que el conductor detecta el peligro hasta que la unidad se detiene) que se requiere para detener al vehículo, el fabricante del sistema de frenos asegura que solo se necesitan 0.55 seg. Para detener el vehículo si este lleva una velocidad de 40 m/s, los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla, a partir de estos datos probemos si la afirmación de fabricante es cierta o falsa.

Velocidad (V) m/s Distancia a la que el vehículo se detiene (m)

X

0

5

Y

0

0.6

10 1.6

15

20

25

30

35

2.7

4.1

6.2

8.8

11.9

Graficamos la tabla anterior:

Ahora calculemos los tiempos promedios para cada par de puntos consecutivos:

Con estos resultados probemos la afirmaci贸n del fabricante de frenos sustituyendo en la f贸rmula:

Como en los resultados anteriores para una velocidad de 30 m/s requiere un tiempo de 0.52 seg entonces no es posible que a una velocidad de 40 m/s requiera menos tiempo, por lo que la afirmaci贸n del fabricante de frenos es err贸nea.

RAZÓN DE CAMBIO INSTANTANEA: Esta razón también se denomina SEGUNDA DERIVADA y hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente de una curva en un momento determinado, muestra la proporción en la que cambia una variable con respecto a otra pero desde el punto de vista gráfico (la pendiente de la curva). Si retomamos el ejemplo del coche, la razón de cambio instantánea podría ser útil para conocer el trayecto recorrido en un punto específico de las dos horas. A diferencia de la razón promedio, la instantánea tiene una visión muy puntual, ya que busca conocer o corregir valores antes de que se finalice el análisis.

La razón de cambio instantánea o derivada de f en el punto X o , es el límite (si es que existe) y su fórmula es: f’(x)=

aunque también la podemos escribir de la siguiente forma:

Ejemplo resuelto: 1.- Un submarino lanza un proyectil, cuyo tiempo y altura se representan mediante la siguiente ecuación: ƒ(x)= -12x2 + 72x -60 , donde x es el tiempo en segundos.

¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x=2?

Paso 1.- Llenamos los datos faltantes de la tabla siguiente, para una vecindad pequeña alrededor de 2, por la izquierda.

Tiempo (x) Altura (ƒ(x))

P1 1.95

P2 1.97

P3 1.98

P4 1.99

P5 1.999

P6 1.9999

La llenaremos por medio del uso de la calculadora como lo indico a continuación.  Prende tu calculadora.  Presiona la tecla MODE seguido del #7 (TABLE)  Mete la ecuación -12x2 + 72x -60 en el siguiente orden: signo de menos, 12, tecla ALPHA, tecla ), tecla x 2, signo de mas, 72, tecla ALPHA, tecla ), signo de menos, 60, =, 1.95, =, 1.99, =, .01, =  En ese momento deberá aparecer una tabla con los valores para llenar lo que falta (menos los 2 ultimos). Te puedes desplasar en la tabla con las flechas de tu calculadora.  Para llenar los dos últimos valores repite todos los pasos y cambia los últimos valores: -12x 2 + 72x -60 en el siguiente orden: signo de menos, 12, tecla ALPHA, tecla ), tecla x 2, signo de mas, 72, tecla ALPHA, tecla ), signo de menos, 60, =, 1.999, =, 1.999, =, .0001, =  Busca los valores que correspondan y llénalos en la tabla.

Al final la tabla debe de quedar llanada de la siguiente forma: P1 P2 P3 P4 P5 Tiempo (x) 1.95 1.97 1.98 1.99 1.999 Altura (ƒ(x)) 34.77 35.269 35.515 35.758 35.975 NOTA: Para entender mejor como ingresar todo a la calculadora te recomiendo veas este video:  https://www.youtube.com/watch?v=KkPmMc0qDvc

P6 1.9999 35.997

Paso 2.-Calculamos la razón de cambio promedio (tema anterior) en una vecindad pequeña alrededor de 2, por la izquierda.

Paso 3.- Llenamos los datos de la siguiente tabla de igual modo que llenamos la anterior, pero ahora con una vecindad pequeña alrededor de 2 por la derecha.

Tiempo (x) Altura (ƒ(x))       

P1 2.15

P2 2.1

P3 2.05

P4 2.01

P5 2.001

P6 2.0001

Prende tu calculadora.

Presiona la tecla MODE seguido del #7 (TABLE) Mete la ecuación -12x2 + 72x -60 en el siguiente orden: signo de menos, 12, tecla ALPHA, tecla ), tecla x 2, signo de mas, 72, tecla ALPHA, tecla ), signo de menos, 60, =, 2.01, =, 2.15, =, .01, = En ese momento deberá aparecer una tabla con los valores para llenar lo que falta (menos los 2 ultimos). Te puedes desplasar en la tabla con las flechas de tu calculadora.

Para llenar antepenúltimo valor repite todos los pasos y cambia los últimos valores: -12x 2 + 72x -60 en el siguiente orden: signo de menos, 12, tecla ALPHA, tecla ), tecla x 2, signo de mas, 72, tecla ALPHA, tecla ), signo de menos, 60, =, 2.001, =, 2.01, =, .99, = llénalo en la tabla.

Para llenar último valor repite todos los pasos y cambia los últimos valores: -12x 2 + 72x -60 en el siguiente orden: signo de menos, 12, tecla ALPHA, tecla ), tecla x 2, signo de mas, 72, tecla ALPHA, tecla ), signo de menos, 60, =, 2.0001, =, 2.001, =, .199, =

Al final la tabla debe de quedar llanada de la siguiente forma:

Tiempo (x) Altura (ƒ(x))

P1 2.15 39.33

P2 2.1 38.28

P3 2.05 37.17

P4 2.01 36.238

P5 2.001 36.023

P6 2.0001 36.002

Paso 4.- Calculamos la razón de cambio promedio (tema anterior) en una vecindad pequeña alrededor de 2, por la derecha.

Paso 5.- comparamos los resultados del paso 2 y del paso 4 y analizamos: la razón promedio en una vecindad pequeña alrededor de X=2 (por la izquierda y por la derecha) se acerca al mismo número. Por lo tanto, la razón de cambio instantáneo en X=2 es de 24 mt/seg. Recuerda que estamos hablando de la velocidad del proyectil que lanza un submarino en cierto instante de su trayecto (x=2).