SOBRE A TEORIA PARA A ORIGEM DA VIDA DE STUART KAUFFMAN by Ana Maria Sousa Leitao

Ana Maria de Sousa Leit˜ ao

Sobre a Teoria para a Origem da Vida de Stuart Kauffman

Disserta¸c˜ao de Mestrado Mestrado em Evolu¸c˜ao e Origem da Vida Universidade do Minho

outubro 2008

T´ıtulo da Tese: Sobre a teoria para a origem da vida de Stuart Kauffman Aluno: Ana Maria de Sousa Leit˜ao

resumo

Desde finais da década de 1960, o bi´ ologo Stuart Kauffman tem vindo a desenvolver uma teoria para a origem da vida onde a Matemática tem alguma relevância, em especial a teoria de grafos aleat´ orios, desenvolvida poucos anos antes por Paul Erdös e Alfréd Rényi. Este trabalho inicia-se com a teoria clássica de Kauffman, baseada nos seus trabalhos até 1995, e os argumentos daqueles que têm vindo a contestar essas ideias. Nesta apresenta¸cão é dada particular aten¸cão aos aspectos computacionais, tendo sido trabalhados alguns exemplos que ilustram as caracter´ısticas essenciais da proposta de Kauffman. De seguida são mencionados alguns avan¸cos após 1995, com destaque para algumas generaliza¸cões dos modelos matemáticos iniciais, muitos deles concebidos exactamente como resposta aos seus cr´ıticos. Por fim, são abordadas algumas consequências que a teoria de Kauffman sugere, em oposi¸cão ao que as actualmente aceites teorias para a origem da vida propõem. Neste âmbito são avan¸cadas algumas ideias de poss´ıvel trabalho futuro nesta linha de investiga¸cão.

Thesis: On the theory for the origin of life of Stuart Kauffman Student: Ana Maria de Sousa Leit˜ao

abstract

Over the past four decades, the biologist Stuart Kauffman has been working on a theory for the origin of life where Mathematics assumed a relevant role, in particular the random graph theory, initiated some years before by Paul Erdös e Alfréd Rényi. This thesis begins with a presentation of the classic theory of Kauffman, from his results until 1995, and the arguments of some of its critics. Here, is given special importance to the computational aspects, being the most important aspects of Kauffman theory illustrated with examples. Next, we show how the mathematical models had been generalized in order to answer some of the critics mentioned before. Finally, we discuss some of the consequences of Kauffman’s theory as opposed to the common accepted theories for the origin of life. Then, we give some ideas for future work.

No meu mundo de Utopias, A Ciência continua com o poder das verdades mutáveis. No meu mundo de sonho, a Ciência ainda se mistura com a Arte, com o prazer de inventar, desvelar, conhecer e criar.

Por este motivo dedico esta minha tese a dois grandes homens de saber e a uma grande mulher de armas: Professor Hernˆ ani Maia, pelo incentivo ao estudo de uma das verdadeiras questões da humanidade. Doutor Ricardo Severino, pela sua capacidade de tornar o dif´ıcil em fácil e por ter acreditado na capacidade de uma cientista com dotes de artista. minha M˜ ae, Maria Julieta Brás de Sousa, que, mais que ninguém, acredita no meu ser.

conte´udo

introdu¸c˜ao

primeira parte

a procura de uma origem: os primeiros mitos

a procura de uma origem: o pensamento racional

as dificuldades de uma teoria cient´ıfica

a g´enese cient´ıfica

segunda parte

forma¸c˜ao de um sistema aberto autocatal´ıtico

modelo cl´assico de redes RBN de Kauffman

coment´arios `a teoria de Kauffman

terceira parte

formalismo matemático para o grafo de reaçcões

distˆancia de Hamming

diferentes topologias

108

diferentes modos de actualiza¸c˜ao do sistema

110

fun¸c˜oes canalisadoras

120

quarta parte

125

cristais de argila

125

vida noutros planetas

129

doen¸cas imunit´arias

131

conclus˜oes

133

bibliografia

137

sexta parte

147

anexo A

147

anexo B

199

anexo C

203

introdu¸c˜ao

Durante este mestrado, a origem da vida nunca me foi revelada, mas a necessidade de reflexão sobre esta origem em muito foi acrescentada. Nesta minha tese irei expor aquela que me parece a visão mais globalizante e menos restritiva de todas visões até agora apresentadas. A teoria de Kauffman e aperfei¸coada por outros será foco central de toda a tese. Iniciarei a tese com uma breve introdu¸cão à necessidade humana de desvelar solu¸cões para a existência, para a vida. Suavemente procurarei chegar à visão cient´ıfica predominante, evidenciando de certo modo as suas virtudes e fragilidades, conduzindo o racioc´ınio para a necessidade da visão de Kauffman, para o qual a vida já nasce complexa e torna-se mais complexa. Com base nesta ideia farei uma descri¸cão do quão viável é a existência de sistemas abertos autocatal´ıtico, introduzindo um conceito de rede complexa e de sistemas de Redes Boleanas Aleat´ orias (RBN), para os quais explicarei todo o funcionamento intr´ınseco da rede, a validade dos seus resultados e o significado dos mesmos. Para refor¸car a teoria investigada, apresentarei um conjunto de resultados obtidos mediante a constru¸cão de pequenos programas computacionais realizados com base no sistema de

programa¸cão Matemática, para K = 2, K = 3, K = 4 e a sua respectiva análise. Através destes é poss´ıvel observar-se a transi¸cão de fase entre um sistema caótico e um sistema ordenado, o limiar do caos, que favorece a existência de vida. Mais tarde, mostrarei os argumentos de um dos maiores cr´ıticos da teoria de Kauffman, Shneior Lifson, confortando-a posteriormente com a contra cr´ıtica/ solu¸cão de Mike Steel. Seguidamente, serão expostas varia¸c˜ oes ao modelo de RBNs de Kauffman, sendo estas de carácter topol´ ogico, ou uma actualiza¸cão da rede ao longo do tempo, ou ainda através de fun¸cões catalizadoras. Por ultimo darei algumas sugestões para a utiliza¸cão de sistemas autocatal´ıticos de modo a resolver algumas das questões tanto da origem da vida na terra, como noutros planetas, bem como a aplica¸cão deste tipo de sistemas na resolu¸cão de questões de outras áreas da Ciência. Finalizando, concluirei com a importância e relevância de um pensamento como o de Kauffman para a Ciência actual e para o estudo da origem da vida. Porque a simula¸cão computacional assume um papel muito relevante neste dom´ınio, ao longo deste trabalho foram sendo escritos programas em linguagem Mathematica que me permitiu acompanhar os resultados apresentados por Stuart Kauffman e outros autores e, sempre que poss´ıvel, foram tentadas varia¸cões dos mesmos numa tentativa de melhor evidenciar os resultados em causa. Gostaria no entanto de sublinhar que os recursos computacionais usados foram muito modestos comparados com aqueles que possibilitaram a publica¸cão dos resultados pelos seus autores, mas ficará sempre a satisfa¸cão de ter aprendido uma nova e muito poderosa linguagem de programa¸cão e com ela ter observado alguns dos principais fen´ omenos que estão na base das hipóteses avan¸cadas por Stuart Kauffman. Aqueles programas considerados mais relevantes são apresentados em anexo a este trabalho.

primeira parte

Há muitos, muitos, muitos, muitos anos atrás, quando ainda não existia nem tempo, ´ nem espa¸co, tudo era somente Agua, Caos e Leis. As Leis eram conhecidas como Deuses; possuindo corpos gigantes e cabelos feitos de linho, pouco a pouco, tentaram fazer a Ordem.

No mundo das Leis dominava Olodumare, a lei suprema, e com ele viviam Orishala, Yo-ko-mat-is e seus irm˜aos e a mulher que sonhava sonhos.

Certa vez, a mulher que sonhava sonhos sonhou com uma ´arvore que trazia a Luz. Correndo, foi contar a Olodumare o seu sonho. Olodumare, sabendo o poder dos sonhos, resolveu mandar Orishala criar a Terra e nela plantar uma ´arvore. Obediente, Orishala preparou a mala para a grande viagem.

E na mala Orishala colocou uma concha de tartaruga cheia de Terra, uns pedacitos de ferro, uma galinha de cinco dedos e uma semente de Palmeira. ´ E, através de uma corrente de ouro, desceu do Lugar das Leis até à superf´ıcie da Agua. ´ Sobre a Agua, Orishala colocou a concha de tartaruga cheia de Terra, ancorada com os pedacitos de ferro. E sobre a Terra, Orishala derramou o sangue espesso da galinha de cinco dedos, fertilizando-a. E a´ı deixou a semente de Palmeira.

Ap´ os esta tarefa, havia que criar a Ordem e as direçcões e Olodumare enviou Yo-ko-mat-is e os seus irmãos estender quatro cordas, de quatro cores diferentes. E assim criando as diferentes direçcões.

Mas neste processo o Céu quase caiu sobre a Terra. Então, Olodumare ordenou a constru¸cão de nove pilares, para que o Céu e a Terra se mantivessem eternamente separados.

Com tanta azáfama, Olodumare ficou mal disposto e vomitou. Deste v´ omito nasceu o Sol e a Lua e as estrelas. Olhando o fogo do Sol e da Lua e das estrelas, Olodumare colocou-os no Céu para criar o Tempo, a sucessão dos dias e noites. Aqui a Luz apareceu na Terra.

Mas a Terra estava vazia, nela existia t˜ao s´o uma Palmeira. Para a preencher, Olodumare pediu a Obtala para criar os homens, os animais e as outras plantas. Este assim o fez. 5

´ E da argila nascida do cruzamento da Agua e da Terra, Obtala criou os homens, os animais e as outras plantas. Possuindo o seu corpo, Olodumare deu-lhes Vida.

E foi assim, seguindo o destino ditado por Olodumare, que nasceu a Ordem e a Vida em todo o seu esplendor.

´ Interpreta¸cão livre de mitos da cria¸cão dos Yoruba, grupo étnico que vive na Africa Ocidental, na sua grande maioria na Nigéria, cuja presen¸ca nessa região remonta já há vários milénios.

a procura de uma origem: os mitos O ponto de partida para a vida é algo que, desde há muito, intriga o Homem, muito possivelmente mesmo desde que este tomou consciência da sua efemeridade. Esta ideia, que os mitos mais antigos são, na realidade, a expressão genu´ına de uma procura de respostas a quest˜ oes fundamentais, tomou forma apenas em finais do século XIX, com a ´ Antropologia do Sagrado, fundada com os trabalhos de Emile Durkeim, Rudolf Otto e, principalmente, com o Tratado de Hist´ oria das Religiões, publicado em 1949, por Mircea Eliade, [Eli92]. Tal como nos diz Alfonso di Nola, [dN87], estamos perante uma perspectiva totalmente nova, onde, se privilegia (...) no mito o momento criador fantástico — não numa negatividade do incr´ıvel, mas numa densa consistência de explica¸cões diversas das racionais. ´ essa surpreendente consistência nos diferentes mitos da cria¸cão, referida por di Nola, E que Mircea Eliade nos revela na primeira parte do seu tratado. De uma forma muito rigorosa, Eliade estuda os mitos mais antigos para chegar à conclusão que todas essas explica¸cões têm um denominador comum, que de alguma forma parecem corresponder a um mesmo estádio no desenvolvimento do esp´ırito humano. Neste ponto gostaria de citar as próprias palavras de Eliade, quando destaca o ponto de maior significado nos mitos da cria¸cão mais antigos: a evoca¸cão de uma entidade celeste responsável por um 6

extraordin´ario momento criador.

O que está completamente fora de d´ uvida é a quase universalidade das cren¸cas num ser divino celestial, criador do universo e assegurador da fecundidade da Terra (gra¸cas às chuvas que derrama). Esses seres são dotados de uma presciência e de uma sabedoria infinitas; as leis morais e frequentemente os rituais do clã foram por eles instauradas durante a sua breve permanência na Terra; velam pela observância das leis e todo aquele que se lhes opõe é fulminado.

Como nos sugere Eliade, a escolha de um ser divino celeste ´e justificada desde logo na diferen¸ca do sentir que o simples olhar da ab´obada celeste provoca.

Sem precisarmos sequer de atentar na efabula¸cão m´ıtica, o Céu revela directamente a sua transcedência, a sua for¸ca e a sua sacralidade. A simples contempla¸cão da ab´ obada celeste provoca na consciência primitiva uma experiência religiosa. Uma afirma¸cão como esta não implica necessariamente um naturismo uraniano. Para a mentalidade arcaica, a natureza nunca é exclusivamente natural. A expressão simples contempla¸cão da abóbada celeste toma um sentido diferente se a relacionarmos com um homem primitivo de tal modo sens´ıvel aos milagres quotidianos que nos é hoje dif´ıcil de imaginar, pois essa contempla¸cão equivale a uma revela¸cão. O Céu revela-se tal como é na realidade: infinito, transcedente. A abóbada celeste é, por excelência, uma coisa muito diferente do pouco que representa o homem e o seu espa¸co vital. Dir´ıamos que o simbolismo da sua transcedência se deduz da simples tomada de consciência da sua altura infinita. O ser alt´ıssimo é algo que se torna necessariamente num atributo da divindade. As regiões superiores, inacess´ıveis ao homem, as zonas siderais, adquirem os prest´ıgios divinos do transcendente, da realidade absoluta, da perenidade. Tais regiões são a morada dos deuses; é a´ı que chegam alguns privilegiados pelos ritos de ascen¸cão celeste; até a´ı se elevam, segundo as concep¸cões de certas religiões, as almas dos mortos. O alto é uma dimensão inacess´ıvel ao homem como tal; pertence por direito às for¸cas e aos seres sobre-humanos; o que se eleva subindo cerimoniosamente os 7

degraus de um santuário ou a escala ritual que conduz ao Céu deixa então de ser um homem; as almas dos defuntos privilegiados abandonaram a condi¸cão humana na sua ascen¸cão celeste. Tudo isto é deduzido da simples contempla¸cão do Céu; mas seria erro grave considerar essa dedu¸cão como uma opera¸cão lógica, racional. A categoria transcendental da altura, do supraterrestre, do infinito, revela-se ao homem integral, tanto à inteligência como à sua alma. O simbolismo é um dado imediato da consciência total, ou seja, do homem que se descobre como tal, do homem que toma consciência da sua posi¸cão no universo; estas descobertas primordiais estão ligadas de maneira orgânica ao seu drama que o mesmo simbolismo determina tanto a actividade do seu subconsciente como as mais nobres expressões da sua vida espiritual.

Depois do ser divino celeste, o segundo ponto fundamental das primeiras explica¸cões do acto da cria¸cão é aquilo a partir do qual tudo emerge1 . Uma vez mais, atente-se no que, a esse respeito, nos diz Eliade.

Princ´ıpio do indiferenciado e do virtual, fundamento de toda a manifesta¸cão cósmica, receptáculo de todos os gérmenes, as águas simbolizam a substância primordial de que nascem todas as formas e para a qual voltam, por regressão ou cataclismo. Elas foram no princ´ıpio, elas voltarão no fim de todo o ciclo histórico ou cósmico; elas existirão sempre — se bem que nunca sós, porque as águas são sempre germinativas, guardando na sua unidade não fragmentada as virtualidades de todas as formas. Na cosmogonia, no mito, no ritual, na iconografia, as águas desempenham a mesma fun¸cão, qualquer que seja a estrutura dos conjuntos culturais nos quais se encontram: elas precedem qualquer forma e suportam qualquer cria¸cão. A imersão na água simboliza o regresso ao pré-formal, a regenera¸cão total, um novo nascimento, porque uma imersão equivale a uma dissolu¸cão das formas, a uma reintegra¸cão no modo indiferenciado da pré-existência; e a emersão das águas re1 Repare-se que a ideia de uma cria¸c˜ ao a partir do nada é algo muito mais elaborado e, portanto, muito mais tardio.

pete o gesto cosmog´ onico da manifesta¸cão formal. O contacto com a água implica sempre a regenera¸cão; por outro lado, porque à dissolu¸cão se segue um novo nascimento; por outro lado, porque a imersão fertiliza e aumenta o potencial de vida e de cria¸cão. A água confere um novo nascimento por um ritual iniciático, ela cura por um ritual mágico, ela assegura o nascimento post mortem por rituais funerários. Incorporando nela todas as virtualidades, a água torna-se um s´ımbolo de vida. Rica em gérmenes, ela fecunda a terra, os animais, a mulher. Receptáculo de toda a virtualidade, fluida por excelência, suporte do devir universal, a água é comparada ou directamente assimilada à Lua. Os ritmos lunares e aquáticos são orquestrados pelo mesmo destino; dirigem o aparecimento e desaparecimento periódico de todas as formas, dão ao devir universal uma estrutura c´ıclica. Mas quais podem ser as fontes para estes estudos dos primeiros mitos? Como nos diz Jean-Pierre Vernant, mem´ oria, oralidade, tradi¸cão, são (...) as condi¸cões de existência e de sobrevivência do mito. E é assim que vemos Eliade, e muitos dos outros que o seguiram, a orientar os seus estudos para as narrativas tradicionais dos povos sem escrita. O universo mental dos mundos arcaicos não chegou até nós dialecticamente nas cren¸cas expl´ıcitas dos indiv´ıduos, mas conservou-se nos mitos, nos s´ımbolos e costumes que, apesar de todo o género de degrada¸cão, deixam ver ainda claramente o seu sentido original. Em certo sentido, representam fósseis vivos, e por vezes basta um s´ o f´ ossil para que possamos reconstruir o conjunto orgânico de que ele é o vest´ıgio. No entanto, não se pense que é tarefa fácil, o estudo dessas narrativas. Veja-se ainda o que nos diz Jean-Pierre Vernant a esse respeito. A narrativa m´ıtica (...) não é apenas, como o texto poético, polissémica em si mesma pelos seus planos m´ ultiplos de significa¸cão. Não está fixada numa forma definitiva. Tem sempre variantes, versões m´ ultiplas que o contador encontra à sua disposi¸cão, que ele escolhe em fun¸cão das circunstâncias, do p´ ublico ou das suas preferências, e onde ele pode suprimir, acrescentar, modificar se lhe apetece. 9

Enquanto uma tradi¸cão oral de lendas se mantiver viva, enquanto ela agir sobre as maneiras de pensar e os costumes de um grupo, ela mexe: a narrativa mantém-se em parte aberta à inova¸cão. O que (...) interessa ao historiador e ao antropólogo, é o plano intelectual subjacente de que o fio da narrativa é testemunho, o quadro em que é tecido, o que provavelmente não é detectável senão através da compara¸cão das narrativas, pelo ` diversas mitologias aplicamjogo das suas diferen¸cas e das suas semelhan¸cas. As se, com efeito, as oberva¸c˜ oes que Jacques Roubaud formula com muita clareza sobre os poemas homéricos com o seu elemento lendário: ”Não são só narrativas. Elas encerram o tesouro de pensamentos, de formas lingu´ısticas, de imagina¸cões cosmol´ ogicas, de preceitos morais, etc., que constituem a heran¸ca comum dos Gregos da época pré-clássica.” Com as suas pesquisas realizadas entre povos primitivos sem escrita, Eliade tenta entender os aspectos simb´ olicos e espirituais dos comportamentos rituais, considerados como experiências do ser humano nas suas diferentes tentativas para transcender a sua condi¸cão e tomar contacto com a realidade u ´ltima. Contudo, como facilmente se se apercebe, essa linha de pesquisa retira os mitos do seu contexto temporal. Quando terão então esses primeiros homens encontrado nessas explica¸cões uma forma de organizar a sua rela¸cão com essa realidade u ´ltima? Caminhando no sentido dos tempos mais remotos, à procura de vest´ıgios pass´ıveis de serem identificados como s´ımbolos religiosos, chegamos facilmente ao Neol´ıtico, cerca de 10.000 anos atrás, portanto, à pr´ opria pré-história. Naturalmente que muitos dos artefactos encontrados, uma consequência directa da própria revolu¸cão de comportamentos que associamos a esse per´ıodo da hist´ oria, nos revelam apenas que já nessa altura o homem tinha com o sagrado uma rela¸cão muito importante. Da necessidade da introdu¸cão de cultos do nascimento, da fertilidade e da morte, bem como da venera¸cão de deuses e semi-deuses a eles directamente ligados, são testemunhos os grandes menires (falos), cromeleques e d´ olmenes, os mais simples dentre eles datados de há 6.000 anos. Voltemos de novo a Eliade e atentemos na reflexão que tais monumentos megal´ıticos, como s´ımbolos do sagrado, lhe sugerem. 10

A dureza, a rudeza, a permanência da matéria representam para a consciência religiosa do primitivo uma hierofania. Nada de mais imediato e mais autónomo na plenitude da sua for¸ca, nada de mais nobre e mais terrificante do que o majestoso rochedo, o bloco de granito audaciosamente erecto. Antes de mais a pedra é. Ela permanece sempre igual a si própria e subsiste. O rochedo revela-lhe qualquer coisa que transcende a precaridade da sua condi¸cão humana: um modo de ser absoluto. A sua resistência, a sua inércia, as suas propor¸cões, tal como os seus contornos estranhos, não são humanos: eles atestam uma presen¸ca que fascina, aterroriza, atrai e amea¸ca. Na sua grandeza e na sua dureza, na sua forma ou na sua cor, o homem encontra uma realidade e uma for¸ca que pertencem a um mundo diferente do mundo profano de que ele faz parte. Contudo, hoje aceita-se uma interpreta¸cão mágico-sagrada de algumas das pinturas e gravuras datadas do Paleol´ıtico Superior, há cerca de 25.000 a 15.000 anos, o que nos levaria a recuar a emergência do sagrado no Homem de uma forma extraordinária, fazendo, de alguma forma, coincidir a origem da arte primitiva, com a consciência do sagrado.

Com o advento da escrita, e com ela o aparecimento de castas sacerdotais que os protegem e explicam, alguns dos mitos mais antigos ficaram cristalizados nos textos religiosos de muitas das mais importantes civiliza¸cões que ao longo dos séculos floresceram2 . Um exemplo disso é o hino 121 do livro I do Rigveda, escrito na Índia, por volta dos séculos IX e VII, a.C., que, como nos diz Maurilio Adriani na sua História das Religiões, é consagrado a Kah, o deus-desconhecido, refractário a qualquer denomina¸cão e, precisamente por isso, intu´ıdo como for¸ca geneticamente primordial.

2 De facto, mesmo para as religi˜ oes contemporˆ aneas, n˜ ao ´e muito dif´ıcil identificar nos seus livros sagrados algumas das caracter´ısticas apontadas por Eliade para os primeiros mitos.

Qual gérmen de ouro, surgiu no princ´ıpio; apenas nascido, foi o u ńico senhor de tudo o que tem existência. A terra ele sustém, e o céu: a qual deus devemos prestar homenagem com a obla¸cão? ` Aquele que dá a respira¸cão, que dá o vigor, a cuja vontade todos obedecem, à sombra do qual está a imortalidade e a morte: a qual deus devemos prestar homenagem com a obla¸cão? ` Aquele que pela sua grandeza se tornou u ńico soberano daquilo que respira e que se abandona ao sono; que é senhor do b´ıpede e do quadr´ upede: a qual deus devemos prestar homenagem com a obla¸cão? ` Aquele que por cuja grandeza estes montes nevados existem, e se diz existir o mar juntamente com a Rasa3 ; os dois bra¸cos do qual são os dois pontos cardeais: a qual deus devemos prestar homenagem com a obla¸cão? ` Aquele pelo qual o poderoso céu e a terra foram fixados, pelo qual foi estabelecida a luz e a ab´ obada celeste; Ele que no espa¸co intermédio foi quem colocou o éter: a qual deus devemos prestar homenagem com a obla¸cão? E quando as grandes águas se derramaram, levando consigo o todo, gerando Aghni4 , da´ı Ele se levantou, u ńico esp´ırito vital dos deuses: a qual deus devemos prestar homenagem com a obla¸cão? Longe de n´ os o mal d’Aquele que foi gerador da terra, o procriador do todo, Ele cujos decretos são verdadeiros, o céu; Ele, o originador das águas cintilantes e infinitas a qual deus devemos prestar homenagem com a obla¸cão?

O rio que circunda a terra.

O deus do fogo.

a procura de uma origem: o pensamento racional Se, como é amplamente reconhecido, o trabalho de Mircea Eliade é considerado fundamental para o entender da emergência do sagrado, o mesmo se poderá afirmar relativamente à Hist´ oria da Ideia de Natureza, escrita pelo filósofo e historiador das ciências francês Robert Lenoble, em 1969, [Len90], onde é apresentada uma reflexão muito profunda sobre o surgimento de uma metodologia inteiramente nova de interrogar a natureza e, a partir da´ı, formular explica¸cões para os seus fenómenos: o método cient´ıfico. E a primeira d´ uvida levantada Lenoble é precisamente a relativa ao princ´ıpio, à origem dessa procura racional para os fen´ omenos da Natureza. Nas obras do século XVIII e do século XIX, onde se fala da história das ciências encontrar-se-á quase inevitavelmente uma frase como esta: a antiga f´ısica não tinha acumulado senão nuvens; mas com Bacon e Descartes come¸ca a observa¸cão da Natureza. Entende-se então que, antes do século XVII, os f´ısicos se contentavam com repetir Arist´ oteles e nunca tinham pensado em olhar para a Natureza. Depois dos trabalhos de P. Duhem, as coisas parecem mais complexas. Não s´ o se descobriram, afora Ptolomeu que já era conhecido, os nominalistas da Idade Média, como Jean Buridan, e os pré-modernos, como Giambattista della Porta, como também se compreendeu o imenso esfor¸co de observa¸cão e organiza¸cão que deveria ter provido o pr´ oprio Aristóteles — o antigo bode expiatório da história das ciências — para construir, contra os mitos do seu tempo, uma Natureza coerente e submetida a leis. Mas Lenoble vai muito mais longe e diz-nos mesmo que a revolu¸cão cient´ıfica, vista como um corte radical com o passado, não passa de uma constru¸cão habilidosa, apoiada em máximas5 sem qualquer rigor histórico. Supor-se-ia então, em conformidade com o esquema do empirismo do século XVIII, que o homem, confusamente e depois mais nitidamente em busca de luzes, teria 5

Como a de Giambattista Vico, primeiro os homens sentem sem perceber, depois percebem com a alma perturbada e emocionada, finalmente reflectem com mente pura, apresentada na sua obra famosa Scienza Nuova, de 1744

olhado a Natureza sempre com os mesmos olhos, colocando os mesmos problemas, e resolvendo-os a pouco e pouco, acumulando factos comparáveis ou exactamente da mesma ordem. Sem d´ uvida que algo se modificou naquela época, mas os termos dessa revolu¸cão devem ser revistos e colocados em perspectiva. Volte-se a Lenoble e à sua História da Ideia de Natureza. Na Natureza, os primitivos procuravam compreender a vontade dos deuses do mar, dos vulc˜ oes e dos rios; Arist´ oteles, uma hierarquia de formas organizadas; Descartes e os Modernos, as alavancas de uma máquina em que tudo se passa por n´ umero e movimento; longe de renunciar completamente à máquina, sabemos hoje que a maquinaria cartesiana encerrava também uma parte de mistério e procuramos, na matéria, equil´ıbrios matemáticos que não toquem a não ser, por assim dizer, aflorando-as, as leis do engenheiro do século XIX. Não assistimos ao progresso de uma investiga¸cão centrada no mesmo objecto: sob as palavras Natureza, ciência e leis não se viam as mesmas leis. Neste sentido, a nossa Natureza e a nossa ciência podem muito bem ter a sua data de nascimento, o que não quer dizer que anteriormente não se observasse nada. Numa palavra, sempre se observou a Natureza, s´ o que não era a mesma. Podemos, pois, aperceber-nos da extensão do erro que o racionalismo cometeria relegando o pensamento mágico para um passado jamais volvido, cujo estudo não poderia interessar senão a um punhado de amadores de temas obscuros. A magia, o poder de efabula¸cão, como diz Bergson, é uma necessidade psicológica, tal como a razão. Não morreu no final da Antiguidade, não morreu no século XVIII, (...). Fala-se muito da evolu¸cão das ideias como de uma passagem, lentamente conseguida no decurso do tempo, de um pensamento pré-lógico para o pensamento lógico, de um estado pré-cient´ıfico para um estado cient´ıfico. Qui¸cá u ´til como primeira aproxima¸cão, esta maneira de ver encobre, no entanto,uma dupla ilusão. Em primeiro lugar, estabelece, na história, cortes não só artificiais (como todas as divisões da hist´ oria em per´ıodos) como enganadores. Não toma em considera¸cão 14

o facto, todavia essencial, de todas as épocas serem definidas como lógicas e cient´ıficas por referência às suas predecessoras pré-lógicas e pré-cient´ıficas. Substitui, pois, pela falsa solu¸cão de um escalonamento cronológico das formas mentais, o u ńico problema real: o do crescimento interno do lógico e do cient´ıfico. Para mais, dando-nos assim o direito de tomar por nós e por nosso turno a atitude satisfeita dos Antigos, fazemos da nossa ciência e da nossa lógica o tipo definitivo do saber. Acusamos o passado, por não (se) ver o que pode subsistir de magia em nós, no nosso pensamento, nessas cosmogonias que dão sempre, por pano de fundo, aos nossos conhecimentos cient´ıficos, uma imagem geral da Natureza e da História.

E, por fim, Lenoble fala-nos de uma causalidade mágica dos primeiros mitos, evidenciando assim que a diferen¸ca para a ciência nem está tanto na procura de causalidades, mas sim no modo como essas liga¸c˜ oes causa-efeito são concebidas e aceites.

Fala-se facilmente (...) das fantasias e da gratuidade da magia. Ela tem as suas leis; tem também o seu drama: o de uma consciência ainda pouco segura de si para se arriscar a perder-se, vendo o mundo na sua trágica alteridade. Não só a magia responde a leis da consciência, como a Natureza que edifica se apresenta como uma Natureza legal. O falso dogma da ignorância primitiva conduziu os historiadores a datar a origem do pensamento determinista da constitui¸cão de uma f´ısica das leis, e esta segunda cren¸ca é tão falsa como a primeira. O nosso determinismo cient´ıfico, limitado às coisas regidas pelo princ´ıpio da inércia, não sucedeu ao indeterminismo (entendido como o reinado do caos), mas ao sobredeterminismo mágico que ligava, num mesmo destino, homens e coisas. ´ na verdade, um pouco simples homenagear Francis Bacon por ter definido a E, ciência como a busca das causas, pois a fórmula encontra-se também em Aristóteles, em todos os sábios que consideramos precursores do nosso pensamento, e ainda mais nos mágicos. Toda a gente procura a causa; o mágico tem mesmo o privilégio de a encontrar com muito mais facilidade que o verdadeiro sábio, porque o seu determinismo é mais vasto e o seu critério muito menos estrito. O u ńico problema é o de nos interrogarmos sobre a forma como cada um define a causa: precisar a 15

no¸cão excessivamente vaga de causalidade, distinguir os tipos aceitáveis e os tipos fict´ıcios. A causalidade mágica regula não apenas as rela¸cões dos fenómenos entre si, como as suas rela¸c˜ oes com os homens e as rela¸cões dos homens uns com os outros. A açcão causal é, pois, concebida como um poder, nitidamente, ou pelo menos vagamente, psicol´ ogico e moral, segundo o sentido equ´ıvoco da palavra virtus, que reinará ainda na F´ısica do come¸co do século XVII. No seio de uma Natureza que possui vida e consciência, as vontades dos homens e as das coisas entrecruzam-se numa rede inextrincável.

Para a questão muito particular da origem da vida, é consensual eleger Aristóteles como o primeiro a propor uma explica¸cão diferente dos mitos aceites. Se se trata de uma explica¸cão racional, penso que a partir das reflexões deixadas por Lenoble não é mais permitido adjectivar desse modo tão inequ´ıvoco não apenas a teoria de Aristóteles, como também qualquer das propostas que a vão seguir. ` origem divina para a vida, Arist´ A oteles vai contrapor uma origem espontânea. Como veremos, vai ser esta a explica¸cão que assume um papel central com o decorrer dos séculos, na medida em que vai ser em torno dela que vamos ver uma disputa bastante acesa entre os seus partidários e aqueles que, muito embora não assumissem uma alternativa, dela discordavam. Muito interessante é também perceber que o desfecho desta contenda está ligado a um amadurecimento do pr´ oprio método cient´ıfico, a um refinamento das técnicas laboratoriais, principalmente quando o ponto fulcral da questão passou para uma escala microscópica, para uma escala para além dos nossos sentidos. Mas atente-se então no trabalho do pensador grego. Aristóteles, na sua obra Hist´ oria dos Animais, relata-nos6 as conclusões a que chegou pela observa¸cão da natureza.

Em rela¸c˜ao aos animais, alguns nascem de pais animais conforme o seu tipo, enquanto outros crescem espontaneamente e n˜ao de uma linhagem semelhante; e 6

Citado a partir do livro O Legado de Prometeu, de Raquel Gon¸calves-Maia, [GM06].

desses exemplos de gera¸cão espontânea alguns provêm da matéria vegetal, ou terra em putrefaçcão, como é o caso de um certo n´ umero de insectos, enquanto outros são gerados espontaneamente no interior de animais, a partir de secre¸cões dos seus diversos orgãos. Aquilo que, na sua origem, com Aristóteles, terá sido sem d´ uvida uma consequência de observa¸c˜ oes efectuadas, foi, no século XVII, um princ´ıpio aceite como consequência lógica no seio de uma determinada forma de pensar. No século XVII, Johann van Helmont provou cientificamente a existência da gera¸cão espontânea afirmando que, vinte e um dias após ter envolvido alguns grãos de trigo numa camisa suada dum homem, de lá sairam ratos. O seu intuito era mesmo esse, o de provar que o mundo inanimado poderia dar lugar a um mundo animado. Mas por que razão algo assim absurdo e, aparentemente, fácil de desmascarar, foi aceite de forma tão leviana? Primeiro porque as pessoas se sentiram confortáveis com essa conclusão, segundo porque a chamada revolu¸cão cient´ıfica iniciada por Descartes e Bacon pouco mais além tinha ido do que a matematiza¸cão da f´ısica. Atente-se no que nos diz a esse propósito o historiador da ciência norte-americano Thomas Hankins na sua obra Ciência e Iluminismo, publicada em 1985, [Han02]. Descartes tinha conclu´ıdo, em 1638, que, à excep¸cão da alma racional do homem, todos os objectos naturais tinham por origem o movimento de part´ıculas inertes de matéria. Não havia, segundo ele, qualquer diferen¸ca fundamental entre um relógio e um cão. (. . . ) Deste ponto de vista, não havia qualquer diferen¸ca essencial entre objectos vivos e objectos inanimados. A filosofia mecanicista arrastou a fisiologia na esteira de Descartes, de forma que, em 1670, todos os grandes fisiólogos eram mecanicistas. A obra De motu animalium (Sobre o movimento dos animais) (1676), de Giovanni Alfonso Borelli, é o exemplo mais famoso desta abordagem. Borelli analisou a mecânica dos m´ usculos e do esqueleto humanos e tentou explicar a contraçcão muscular como uma dilata¸cão mecânica ou hidráulica do tecido. A hist´ oria natural descrevia e classificava os três reinos da Natureza — animal, 17

vegetal e mineral. Enquanto ciência das formas e categorias, não tinha que se preocupar com as causas da vida e, por isso, podia facilmente incluir coisas vivas e inanimadas no mesmo sistema. A história natural era um complemento da filosofia mecanicista, porque ambas as abordagens ao mundo natural conciliavam o vivo e o inanimado. Não havia espa¸co em qualquer delas para esp´ıritos, para além da alma racional humana. Esta caracter´ıstica da história natural, no in´ıcio do Iluminismo, levou diversos fil´ osofos e historiadores contemporâneos, em especial Michel Foucault, a afirmarem que não podia ter havido uma ciência da biologia antes de 1750, porque não havia um entendimento da vida separada do mundo inanimado. Uma vez que a biologia actual tenta explicar a vida em termos fisicoqu´ımicos, podemos ser tentados a ver os mecanicistas dos séculos XVII e XVIII como precursores desta visão contemporânea. Na verdade, a cria¸cão da biologia como disciplina separada s´ o ocorreu depois de uma forte reaçcão contra a filosofia mecanicista ter separado o estudo das coisas vivas da natureza inanimada e ter explicado a vida através de princ´ıpios que não se aplicavam ao mundo inanimado. A filosofia mecanicista era sedutora, mas só conseguia explicar fenómenos como o crescimento, a nutri¸cão e a reprodu¸cão, recorrendo a hipóteses muito extravagantes, nenhuma das quais passs´ıvel de ser confirmada através da experiência. Durante a primeira metade do século XVIII, este optimismo fácil foi-se desvanecendo, e os fisiólogos deram-se conta de que talvez fosse imposs´ıvel fazer uma análise mecanicista das coisas vivas. Em 1733, Bernard de Fontenelle afirmou que as matemáticas se aplicavam seguramente às coisas vivas, mas que não tinham conseguido explicar como elas funcionavam devido à sua grande complexidade. A vida poderá ser apenas o resultado de de uma organiza¸cão mecânica, mas se assim é, ultrapassa o alcance da investiga¸cão. Uma alternativa melhor seria estudar os próprios fenómenos vitais e tentar reduzi-los a normas, sem recorrer a quaisquer suposi¸cões sobre causas originais ou mecanismos imaginados.

E é somente em finais do século XVII que a revolu¸cão cient´ıfica vai conhecer um segundo impulso, tão importante quanto o primeiro, que culmina com o desabrochar, primeiro da Qu´ımica e, um pouco mais tarde, da Biologia. Voltemos a Hankins e à sua caracteriza¸cão 18

deste per´ıodo.

Uma (. . . ) razão para o ressurgimento da história natural, a partir de 1670, foi a crescente ênfase dada às ciências emp´ıricas, especialmente na Inglaterra. Sem repudiarem a filosofia mecanicista, os filósofos e cientistas britânicos repudiaram, de facto, a abordagem racionalista e aprior´ıstica de Descartes ao estudo da Natureza. O mundo s´ o pode ser conhecido através de uma cuidadosa observa¸cão e estudo dos fen´ omenos naturais, e não a partir de racioc´ınios dedutivos sobre princ´ıpios abstractos. Em 1752, James Parson observou que os filósofos mecanicistas tinham procurado em vão ”part´ıculas e poros de diferentes configura¸cões, em vão recorreram ao Momentum do sangue e em vão tentaram reconciliar a Doutrina das Secre¸cões com o Cálculo Matemático”. Na mesma altura, Diderot defendia que o gosto dos tempos se tinha virado para a qu´ımica e para a fisiologia, porque estas ciências lidavam com a natureza como ela existia, em vez de o fazerem com uma abstraçcão mecânica e matemática.

Outro autor com contribui¸c˜ oes importantes na história da ciência desta época é Rupert Hall, nomeadamente com a sua obra A Revolu¸cão na Ciência 1500 - 1750, [Rup83]. Vejamos o que nos diz sobre este per´ıodo.

O renascimento da ciência no século dezasseis e as ideias estratégicas da primeira fase da revolu¸cão cient´ıfica pouco deveram aos aperfei¸coamentos na técnica da investiga¸cão propriamente dita. Antes do in´ıcio do século dezassete existem poucos ind´ıcios, excepto talvez na anatomia e na astronomia, de qualquer esfor¸co para controlar rigorosamente a exactidão das afirma¸cões cient´ıficas através da utiliza¸cão de novos métodos, menos ainda para estender o seu raio de açcão, com o aux´ılio de técnicas desconhecidas, à tradi¸cão existente na ciência. Mesmo o refinamento da observa¸cão, iniciado na anatomia por Vesalius e pelos seus contemporâneos e na astronomia por Tycho Brahe, dificilmente envolveria mais que a extensão natural e a aplica¸cão escrupulosa de métodos familiares. Dado que a aparelhagem 19

e os instrumentos dispon´ıveis eram grosseiros e limitados, não estavam à mão os meios para obter conhecimentos sobre novas classes de fenómenos, ou para deduzir factos mais recˆ onditos que os já estudados. Embora fosse depositada uma maior confian¸ca na observa¸cão e experimenta¸cão, a mudan¸ca de conte´ udo da ciência podia ser dramática e outras fontes de informa¸cão eram, pelo menos até à parte final do século dezasseis, em grande parte tradicionais. Gradualmente, contudo, a tendência para (superar) este saber livresco, verificado por exame pessoal quando poss´ıvel, ganhou terreno através da experiência de vários grupos de homens práticos. A riqueza do facto foi aumentada pelo reconhecimento das observa¸c˜ oes de art´ıfices, navegadores, viajantes, médicos, cirurgiões e boticários como dignas de séria considera¸cão, e desta forma o estatuto de verdades puramente emp´ıricas, em quase nada inferiores ao das verdades sistemáticas da f´ısica foi a seu tempo real¸cado. Para o influente historiador da Ciência, Alexandre Koyré, (. . . ) o centro do palco em que a revolu¸cão cient´ıfica se desenrolou foi ocupado pela ciências f´ısicas, e o drama levado à cena tinha por tema a sua matematiza¸cão. Para a maioria dos historiadores da ciência, hoje, isto pareceria um ponto de vista muito limitado. Eles defenderiam a importância da filosofia (mecanicista), grandes altera¸cões nas ideias e métodos que foram completamente independentes da ciência f´ısica e mudan¸cas das atitudes sociais para com a ciência como aspectos de uma situa¸cão revolucionária que o historiador não pode ignorar. De facto, Koyré não se opunha a tal visão inclusiva daquelas correntes que conduziram a Newton e dessa forma, por vias que eram relativamente directas, a Maxwell, Planck e Einstein. (. . . ) O diálogo sobre questões de espa¸co e tempo entre o século dezassete e finais do século vinte é poss´ıvel e, com efeito, poder´ıamos até dizer normal; mas semelhante diálogo acerca da vida e dos processos vivos parece virtualmente impensável. Estes pensamentos sugerem outros. Seria correcto que o historiador falasse talvez de uma revolu¸cão negativa na biologia seiscentista, por exemplo, a qual por certo destru´ıu a antiga base de confian¸ca de um programa de pesquisa efectivo que permitisse o rápido desenvolvimento cumulativo? Somos levados a pensar 20

na esterilidade comparativa da microscopia e do intervalo ainda mais surpreendente entre a descoberta feita por Harvey da verdadeira fun¸cão do cora¸cão e dos primórdios da investiga¸cão médica das imperfei¸cões na açcão card´ıaca — através do mais simples dos meios — dois séculos mais tarde. Temos amplos testemunhos da época de Newton de que as ideias e o conhecimento relativos ao corpo humano não pareciam estar mais avan¸cados em rela¸cão aos que prevaleciam na antiguidade do que os seus análogos na ciência f´ısica e, se medirmos o progresso pela intensidade do interesse, não há qualquer d´ uvida de que existem mais esfor¸cos no sentido da inova¸cão na medicina e na história natural do que em qualquer outro campo Dificilmente se pode pˆ or em causa que, pois, que existiu efectivamente uma situa¸cão revolucionária mas que, por uma série de razões — entre as quais se podem deverto contar a dificuldade intr´ınseca dos fenómenos e uma falta de coerência intelectual desfrutada pelas ciências matemáticas — foi explorada com muito menos sucesso. As profundidades da vida não foram sondadas à mesma distância que as do espa¸co e do tempo. (. . . ) por come¸cos do século dezoito julgava-se que Newton oferecia ideais de conhecimento e método; não se trata todavia de estes serem vistos exclusivamente em termos matemáticos, pois que o método newtoniano proposto para a qu´ımica ou a biologia era totalmente experimental e qualitativo. No entanto, aproximadamente cem anos antes, com Descartes, o (mecanicismo) cient´ıfico aplicado a organismos vivos parece ter-se desenvolvido de mãos dadas com a mecaniza¸cão do universo e, ainda que o (mecanicismo) biológico fosse necessariamente baseado em análogos f´ısicos, dificilmente poder´ıamos considerá-lo dependente de um desenvolvimento antecedente da ciência f´ısica. Havia antes um paralelismo e interaçcão. As primeiras tentativas de formular a investiga¸cão biológica na f´ısica conduziram com frequência a um beco sem sa´ıda. Os historiadores empregaram durante muito tempo um esquema cronológico em que Lavoisier é visto como o Newton da qu´ımica e Darwin como o Newton da biologia. Recentemente, Kuhn fez notar que, mesmo no âmbito da ciência f´ısica do século dezassete, a perfei¸cão da revolu¸cão matemática se situa a par de 21

um grau incompleto de progresso nos ramos experimentais onde, mais uma vez, a matematiza¸cão foi adiada até ao século dezanove. Concordando com Koyré em que: ”Se se pensar na Revolu¸cão Cient´ıfica como uma revolu¸cão de ideias, são as mudan¸cas nestes campos tradicionais, quase matemáticos, que há que procurar compreender”, acreditando simultaneamente que ”outras coisas vitalmente importantes aconteceram também às ciências durante os séculos dezasseis e dezassete (a Revolu¸cão Cient´ıfica não se limitou a uma mera revolu¸cão no pensamento)”Kuhn conclui finalmente que é imposs´ıvel uma simetria histórica completa, mesmo entre os departamentos matemático e experimental da f´ısica, dado que ”a clivagem entre ciência matemática e experimental”parece ”ter ra´ızes na natureza da mente humana”. Não será, pois, de surpreender que existam assimetrias históricas ainda maiores entre as ciências matemática e qu´ımica, geológica e biológica, onde os tra¸cos de evolu¸cão baconianos são ainda mais marcados que na f´ısica experimental.

Regressando às teorias para a origem da vida, em particular à teoria da sua origem espontânea provada por van Helmont, vemos que em finais do século XVII surgem já algumas desconfian¸cas relativamente aos resultados anteriormente anunciados, em especial com os trabalhos de Francesco Redi. Contudo, havia ainda que esperar um pouco mais para que esses argumentos fossem ouvidos. Já em pleno século XVIII, surge o microscópio e tudo se volta de novo a embrulhar, assumindo um papel relevante na defesa da filosofia mecanicista o francês George-Louis Leclerc, também conhecido por Conde de Buffon. Sinal de como os tempos estavam realmente mudados, vamos ver o Conde de Buffon a pedir aux´ılio a um experimentalista inglês para obter a confirma¸cão experimental das suas ideias. Citemos de novo Thomas Hankins.

Uma vez que as moléculas orgânicas se distribu´ıam por toda a natureza e elas próprias nunca eram destru´ıdas, podiam aparecer numa variedade de formas microscópicas. Buffon defendia que os pequenos animais que se observam num caldo em putrefaçcão eram grupos de moléculas orgânicas libertas das matérias mortas pela ausência de um molde interno. Conseguiu persuadir John Tuberville Needham, um microscopista inglês, a realizar experiências de gera¸cão espontânea em caldo 22

de carne e em infus˜ oes de feno. Needham considerava que o enorme n´ umero de pequenos animais que observava não podia provir da totalidade das sementes da infusão. Para verificar se vinham do exterior ou se eram gerados no l´ıquido, aqueceu os recipientes de caldo para matar todos os animais e rolhou-os muito bem. Descobriu que, passado pouco tempo, havia de novo in´ umeros objectos a nadar no caldo. Buffon concluiu que os objectos não eram verdadeiros animais, mas apenas coleçc˜ oes de moléculas orgânicas em vários n´ıveis de organiza¸cão.

Mas é então que se envolve nesta polémica aquele que é por muitos considerado o grande precursor de Lavoisier, o homem que inicia o processo de credibiliza¸cão do trabalho laboratorial, o padre italiano Lazzaro Spallanzani. A própria descri¸cão que faz Hankins do trabalho de Spallanzani imediatamente nos revela não só um apurado sentido cr´ıtico, como uma capacidade de inova¸cão dentro do laboratório que acompanha esse seu sentir.

Lazaro Spallanzani efectuou experiências em 1765 e de novo em 1776 para verificar os resultados de Needham. Utilizou frascos de gargalos mais estreitos que podiam ser fechados por fusão, garantindo uma selagem eficaz contra a entrada de organismos provenientes do exterior. Spallanzani descobriu que caldo fervido num recipiente selado permanecia estéril indefinidamente, mas se quebrasse o gargalo dos frascos, rapidamente apareciam no l´ıquido grandes quantidades de animais.

No entanto, o fim da polémica em torno da teoria da origem espontânea da vida necessitava de um actor de peso, de alguém cuja reputa¸cão e notoriedade não deixasse quaisquer d´ uvidas nos esp´ıritos da sua época. Esse alguém foi o famoso qu´ımico francês Louis Pasteur. A sua experiência foi igualmente simples, embora tecnicamente mais avan¸cada: desta vez foram fervidos caldos de carne e expostos ao ar7 em recipientes fechados apenas por um filtro que impedia que qualquer part´ıcula entrasse. Citando Raquel Gon¸calves-Maia, [GM06], foram estas as palavras proferidas por Louis Pasteur, no dia 7 de Abril de 1864, no anfiteatro da Sorbonne, em Paris, àcerca dos resultados obtidos. 7 Os seguidores de Needham argumentaram que Spallanzani tinha mostrado apenas que a gera¸c˜ ao espontˆ anea n˜ ao podia ocorrer na ausência de ar.

E espero, e observo, e interrogo-me e pe¸co-Lhe que recomece para mim a cria¸cão primitiva; como seria um belo espectáculo! Mas ela não fala! Ela está muda desde que estas experiências come¸caram há vários anos. Ah! é porque afastei dela, e que afasto ainda neste momento, a u ńica coisa que não foi dado ao homem produzir, afastei dela os gérmes que pairam no ar; afastei dela a vida, pois a vida é o germe e o germe é a vida. Jamais a doutrina da gera¸cão espontânea se recomporá do golpe mortal que esta simples experiência lhe vibrou.

Muito embora sem avan¸car com uma alternativa para a origem da vida, tudo parecia indicar de facto que se estava a colocar um ponto final nesta polémica, mas tal não sucedeu. Esse golpe mortal, segundo as palavras de Pasteur, vai apenas fazer passar algumas décadas antes que outras teorias da origem espontânea da vida sejam avan¸cadas. E isto porque, alguns anos antes da experiência do qu´ımico francês, uma outra experiência igualmente importante foi bem sucedida: em 1828, o qu´ımico alemão Friedrich Woehler obteve ureia a partir do aquecimento de cianato de amónio, sendo assim o primeiro a sintetizar num laborat´ orio um composto orgânico. Este facto veio derrubar as perspectivas, alimentadas pelos sucessivos fracassos na sua sintetiza¸cão a partir do material inorgânico, de que substâncias orgânicas jamais poderiam ser preparadas artificialmente num laboratório, isto é, de que os compostos orgânicos obedeceriam a leis totalmente diferentes das que regem o material inanimado.

as dificuldades de uma teoria cient´ıfica A procura de uma explica¸cão cient´ıfica para a origem da vida está, hoje em dia, dividida em dois campos, correspondendo a dois modos de realizar essa procura: descendo numa hierarquia de complexidade dos seres vivos conhecidos, ou subindo numa hierarquia de complexidade qu´ımica, das moléculas mais simples aos longos e complexos pol´ımeros. Em poucas palavras, um princ´ıpio biológico ou princ´ıpio qu´ımico para a vida? Para entendermos o que separa estas duas visões, transcrevemos aqui um texto de Hernâni Maia, publicado em 1985, [Mai85]: 24

A vulgar afirma¸cão de que a Vida teria surgido do caos, isto é, a ordem a partir do caos, é de natureza dicotómica: subentende, por um lado, que a Vida, tal como os bi´ ologos no-la apresentam, é uma forma especialmente ordenada e complexa da matéria, e, por outro, que o resto do Mundo, o Inorgânico, é (pela nossa percep¸cão) o caos. Ora está aqui encerrado um sofisma. De facto o universo inorgânico é bem mais ordenado do que a nossa percep¸cão deixa entender, e, possivelmente, bem mais ordenado do que a forma mais organizada de Vida. Qual a razão para uma tal diferen¸ca? Um fundamentalismo cego de dois mundos distintos da Ciência? Obviamente que não. Trata-se muito simplesmente de uma questão de dif´ıcil resolu¸cão, por duas raz˜ oes. A dinâmica da crusta terrestre condiciona, de uma forma irreparável, a existência de ind´ıcios de vida mais antigos, colocando limites muito severos ao preenchimento dos sucessivos elos na descida da cadeia que nos levaria à origem da vida. Por outro lado, as hip´ oteses avan¸cadas para um princ´ıpio qu´ımico para a vida têm o problema do tempo, isto é, sugerem experiências imposs´ıveis de serem reproduzidas num laboratório, pois implicam mecanismos de baixa probabilidade, uma dificuldade que apenas o tempo permite resolver. A excep¸cão é obviamente a tão famosa experiência de Stanley Miller, uma vez que algumas das moléculas consideradas importantes para a vida foram obtidas logo no dia seguinte. Mas, naturalmente, o pre¸co a pagar foi a indica¸cão mais ou menos precisa da atmosfera pré-bi´ otica, de certo modo fundamental para a obten¸cão dos resultados ´ assim fácil de entender que esta polémica, também alimentada por apresentados. E alguns egos, tenha subsistido ao longo do u ´ltimo meio século e, sobretudo, que um modelo computacional matemático tenha desequilibrado a balan¸ca em favor do princ´ıpio qu´ımico, ao levar a experiência fundamental do laboratório qu´ımico para o laboratório informático, onde o tempo não se mede já em segundos, mas em ciclos do computador, tornando-se desta forma numa variável incrivelmente veloz.

a génese cient´ıfica Com o desenvolvimento do pensamento cient´ıfico, a Ciência, pouco a pouco, apoderou-se do problema da origem da vida tal como a conhecemos. Podemos falar agora de uma génese cient´ıfica, na qual a ciência viabiliza solu¸cões para esta problemática. Muitos são os que argumentam a favor de uma visão mais abrangente do que se considera vida, uma vez que a vida, tal como a vemos na Terra, não é necessariamente a u ńica forma de vida! Carl Sagan e Edwin Salpeter, em 1976, [SS76], imaginaram seres como os ca¸cadores ou flutuadores que viviam no planeta J´ upiter suportando condi¸cões de pressão e temperaturas e quantidade de água, totalmente distintas das existentes na Terra. Mas, se é verdade que a vida pode possuir um formato diferente e ser baseada em distintos compostos orgânicos, também é verdade que é na vida que temos na Terra que nos podemos basear, portanto, ´ deste modo essencial definir-se o que se considera vida e uma vida à base de carbono. E para isso nada melhor que enunciar os componentes essenciais para a sua existência: • uma fonte de energia (os elementos vivos necessitam de possuir um gradiente de energia interno) • uma bioqu´ımica básica (pequenas moléculas e reaçcões conduzidas pelo gradiente de energia) • uma organiza¸cão/ metabolismo (compartimenta¸cão e separa¸cão de um ambiente exterior) • auto-reprodu¸cão (transferência de informa¸cão, hereditariedade genética, capacidade de evoluir)

Claramente que na Natureza todos estes factores inerentes à vida não surgiram em simultâneo. Deste modo as propostas de solu¸cões para origem da vida caiem num problema mais central, o qual alguns autores designam como o problema ovo ou galinha, neste caso metaforicamente representando a questão: o que surgiu primeiro, o metabolismo ou a reprodu¸cão e informa¸cão genética? Desta pergunta surgiram várias buscas por compostos e moléculas primordiais e com 26

elas v´arias hip´ oteses para a origem da vida, das quais destacamos as seguintes:

• auto-reprodu¸cão de RNA, originando um mundo RNA; • auto-reprodu¸cão de pol´ımeros catal´ıticos, péptidos e prote´ınas, originando um mundo proteico; • auto-reprodu¸cão através de argilas ou outros minerais, como por exemplo, pirites.

Na actualidade, a hip´ otese mais apoiada pela comunidade cientifica é a de um mundo RNA. No entanto, as dificuldades inerentes à existência deste cenário levam a que outra parte, também importante, da comunidade cient´ıfica apoie uma teoria proteica. A descoberta das propriedades catal´ıticas do RNA, ver os trabalhos de Kruger, et al, [KGZ+ 82], e Leslie Orgel, [Org04], levaram a um maior suporte e aceita¸cão de um mundo RNA. Com esta nova descoberta o RNA para além de possuir caracter´ısticas de transmissão (tRNA) e armazenamento de informa¸cão genética (mRNA, v´ırus de RNA), possui também a fun¸cão que essencialmente era conferida às prote´ınas, a fun¸cão de catalisar reaçc˜ oes, especialmente a sua própria catálise (ribossomas (rRNA), riboenzimas). No entanto, apesar destes três tipos de fun¸cões do RNA, inerentes à questão da origem da vida, o RNA possui um conjunto de propriedades que facilitam outras questões anexadas à questão da origem da vida, tais como:

1. os ribonucle´ otidos são os percursores dos desoxirribonucleótidos (pensa-se que os ribonucle´ otidos existiram primeiro que os desoxirribonucleótidos, uma vez que esta é uma reaçcão dif´ıcil, necessitando da presen¸ca de um complexo proteico). 2. o RNA é um promotor (prime) da s´ıntese de DNA (quando um nova seçcão de DNA é sintetizada o RNA prime é necessário para iniciar a s´ıntese de DNA). 3. a maioria das coenzimas (cofactores) das enzimas proteicas possui componentes ribonucle´ otidos (e.g. FAD, NAD, NADP), o que suporta a ideia de estes serem percursores das prote´ınas. 27

4. o RNA possui propriedades reguladoras no interior de células e ribo-câmbios, onde as moléculas de RNA detectam e respondem à presen¸ca de moléculas especificas na célula. 5. a hipótese de um mundo RNA evita o problema da quiralidade dos aminoácidos, uma vez que a D-ribose determina a s´ıntese de L-aminoácidos durante a s´ıntese proteica; no entanto, o problema mantém-se, pois teria que existir um excesso enantiomérico de D-ribose, o qual não se pode justificar com a astrof´ısica, com a emissão de radia¸cão UV a quando da forma¸cão estelar quebrando essencialmente as liga¸cões dos aminoácidos de tipo D, uma vez que a luz é polarizada circularmente à direita. 6. os genes dos organismos dos eucar´ıticos são compostos por exões e intrões, onde os exões codificam as prote´ınas e os intrões são removidos; esta remo¸cão de intrões do código genético é efectuada por spliceossomas, os quais são compostos por RNA e prote´ınas; segundo Anthony Poole, este complexo processo de splicing e a cria¸cão de intr˜ oes não teria sentido senão existissem primeiramente num mundo RNA; a presen¸ca de intr˜ oes indica como um mundo RNA poderia estar organizado. 7. a s´ıntese proteica nas células é realizada por ribossomas (compostos essencialmente por RNA); é o RNA que nos ribossomas realiza a fun¸cão de s´ıntese proteica; no entanto, a dif´ıcil transforma¸cão de ribonucleótidos em desoxiribonucleótidos é realizada pelas prote´ınas; segundo esta visão, [Kau93], o processo evolutivo na Natureza ocorreria no sentido RNA ⇒ Prote´ınas ⇒ DNA. Apesar da grande for¸ca da visão cient´ıfica de um mundo RNA, alguns problemas se colocam quanto à eficácia de um processo catal´ıtico efectuado pelo RNA, comparando-o com a eficácia de catálise proteica. De facto, sabe-se que a catálise proteica é cerca de 10,000 a 100,000 vezes mais rápida que a catálise por RNA. Na realidade, actualmente na célula a maioria das fun¸c˜ oes que envolvem reaçcões catal´ıticas são efectuadas pelas prote´ınas e não existe qualquer evidência de uma passagem destas fun¸cões do RNA para as prote´ınas, o que levanta algumas quest˜ oes: como se efectuou esta passagem de fun¸cões? Porque não se manteve nenhum ser vivo com propriedades catal´ıticas com base no RNA? 28

Estas e outras quest˜ oes levam a que parte da comunidade cient´ıfica continue apoiando a hip´ otese de auto-reprodu¸cão de pol´ımeros catal´ıticos, péptidos e prote´ınas. A visão de um mundo proteico é também muito apoiada pelo facto de, em condi¸cões pré-bióticas, a forma¸cão de aminoácidos parecer ser não muito dif´ıcil. Em 1955, o bi´ ologo norte-americano Stanley Miller, a trabalhar na Universidade de Chicago como estudante de Harold Urey, simulou em laboratório as condi¸cões da atmosfera pré-bi´ otica redutora, metano, amon´ıaco, água e hidrogénio, submetendo-a a descargas eléctricas.

Figura 1.1 O aparelho experimental utilizado por Stanley Miller, em 1955, segundo as suas pr´ oprias palavras, ver [Bra98]. Como resultado desta reaçcão, algumas moléculas orgânicas presentes à vida foram encontradas, tais como aminoácidos, principalmente glicina e alanina, os quais pertencem ao grupo standard de 20 aminoácidos presentes nas prote´ınas codificadas. Actualmente, 29

crê-se que a atmosfera primitiva era menos ácida/redutora que a atmosfera proposta por Miller, mas mesmo diminuindo a concentra¸cão de amónio, NH3 , é ainda poss´ıvel observarse a forma¸cão de aminoácidos nesta reaçcão. Assim, parece inevitável que numa suposta atmosfera primitiva terrestre se tenham produzido aminoácidos, os quais por um simples processo de desidrata¸cão se podiam unir por liga¸cões pept´ıdicas e formar pequenos péptidos, os quais já possuem propriedades catal´ıticas.

Muito diferente é a forma¸cão dos ribonucleótidos, pois envolve um processo mais complicado, necessitando da jun¸cão de uma ribose a um ácido nucleico e um grupo fosfato. A forma¸cão de ácidos nucleicos em meio pré-biótico foi investigada principalmente pelo bioqu´ımico catalão Joan Or´ o, em 1961, obtendo adenina e guanina, e ainda por R.A. Sanchez, J. Ferris e L. Orgel, em 1968, [SFO66] e [SFO67], obtendo timina, uracilo, citosina, mas com rendimentos muito baixos e, por este motivo, pouco convincentes. Algumas outras reaçc˜ oes foram propostas envolvendo cianeto de hidrogénio, sendo produzidas bases nucleicas e outras purinas e pirimidinas, bem como outros aminoácidos. A forma¸cão de ribose e glucose remete para a presen¸ca de formalde´ıdo e do ácido glicólico, ambos presentes tanto no espa¸co interestelar como na Terra. Investiga¸cões recentes dão conta da presen¸ca destes dois componentes no meio interestelar, bem como em meteoritos.

Figura 1.2. Imagem de componentes de nucleótido. Apesar da presen¸ca de todos os componentes dos nucleótidos de RNA, a sua forma¸cão 30

é bastante mais complicada que a forma¸cão de aminoácidos, bem como a forma¸cão de cadeias de RNA com propriedades catal´ıticas é bastante mais complicada que a forma¸cão de péptidos como propriedades catal´ıticas, uma vez que mesmo pequenos péptidos exibem propriedades catal´ıticas, [Kau93].

Figura 1.3 Imagem de molécula liga¸cões pept´ıdicas e péptido.

Figura 1.4 Imagem de liga¸c˜ oes entre nucle´otidos cadeias de fosfatos.

Stuart Kauffman apresenta uma solu¸cão onde tenta unir estas duas visões para o in´ıcio da vida, bem como poderá ser uma resposta à auto-reprodu¸cão por argilas, como veremos mais posteriormente. A sua visão aponta-nos para a falha que existe na procura da simplifica¸cão de um sistema celular complexo a um sistema simples: as células fazem parte do conjunto de sistemas complexos estudados pela Ciência, a análise do funcionamento global deste tipo de sistemas não deveria ser feita desde um ponto de vista reducionista, do particular para o mais complexo, mas sim do complexo para o mais complexo. Baseando o nosso racioc´ınio no conceito de complexidade necessária e intr´ınseca ao sistema, Kauffman e outros, prop˜ oem uma solu¸cão complexa para a origem da vida. A célula como sistema complexo de ser analisada como tal, como uma rede de reaçcões catal´ıticas.

Figura 1.5 Mapa do metabolismo de uma célula hepática. Os nós correspondem a metabolitos enquanto as arestas a transforma¸cões qu´ımicas. (Retirada do livro, O Universo, a nossa casa, de Stuart Kauffman.) Olhado sob este prisma, todas as moléculas poss´ıveis de existir no meio pré-biótico podem ser simultaneamente agregadas no conjunto complexo em questão. Qualquer reaçcão, se quimicamente poss´ıvel, seja ela de RNA, DNA, prote´ınas ou outras moléculas poss´ıveis, pode ocorrer, não sendo necessária a especifica¸cão de qual a primeira molécula a iniciar 33

a vida. Imagine-se um caso simples, por exemplo, um conjunto de 100 000 moléculas, as quais podem reagir entre si e/ou catalisar outras reaçcões, produzindo ou ajudando a produzir outras moléculas. Parece então natural pensar que, ao fim de algum tempo, existirá inevitavelmente um conjunto de moléculas conectadas quimicamente entre si. Neste conjunto autocatal´ıtico cada molécula é criada por pelo menos uma reaçcão do respectivo conjunto. Enclausurando este conjunto numa bicamada lip´ıdica, num proteinoide globular ou noutro tipo de camada vol´ umica, que permita a troca de alimento, energia e matéria, entre o interior e o exterior do sistema e outros processos osmóticos, teremos que ao fim de algum tempo o n´ umero de moléculas no interior do volume será demasiado elevado, pelo que espontaneamente este volume se dividirá, reproduzindo-se. Com esta açcão seriam cumpridas todas as componentes essenciais à vida, anteriormente enumeradas. Visto deste prisma, a vida deixa de ser dif´ıcil de acontecer/existir, passando para o plano do inevitável, possivelmente originada ao mesmo tempo em vários pontos terrestres, o que aumenta a possibilidade de diversidade e diminui¸cão da necessidade de um ascendente comum e especificidade qu´ımica de um mundo RNA, RNA-proteico, RNA-proteico-DNA. ´ de notar que esta ideia não invalida a necessidade de procurar pelas fun¸cões que cada E uma destas moléculas possui no interior da célula, nem a necessidade de procurar por estas moléculas no meio interestelar, bem como a necessidade de procurar como se poderiam ter formado primordialmente prote´ınas, RNA, DNA e outros compostos orgânicos. Introduz, isso sim, a necessidade de um pensamento complexo sobre algo complexo como é o metabolismo celular, retirando o problema do ovo ou da galinha, do que terá surgido primeiro, RNA, DNA ou prote´ınas, deixando um espa¸co aberto para a consuma¸cão de cada uma destas moléculas no metabolismo celular através de um aumento do grau de complexidade do sistema, bem como um espa¸co aberto para o surgimento de vida baseada noutros elementos qu´ımicos.

segunda parte

Ao contrário da maioria dos cientistas, Stuart Kauffman acredita que a vida surgiu já complexa. Inspirado em resultados matemáticos, publicados em in´ıcios dos anos 1960, que mostram a emergência inevitável de uma estrutura em sistemas muito simples, este biólogo quebra uma das regras até a´ı considerada fundamental das teorias da origem da vida: em vez de se basear num mecanismo do simples para o complexo, apresenta-nos a vida como algo que possui uma l´ ogica mais profunda, emergindo do caldo primordial de uma forma já complexa e com capacidade para, simultaneamente, manter essa complexidade e evoluir ´ com esse sentido que Kauffman vai para outras estruturas ligeiramente diferentes. E escrever, [Kau05], que o segredo da vida não está na beleza do emparelhamento de bases de Watson-Crick, mas na realiza¸cão do fechamento autocatal´ıtico colectivo.

forma¸cão de um sistema aberto autocatal´ıtico Quando, num dos seus livros, [Kau05], Stuart Kauffman recorda aquilo que o terá levado a pensar na possibilidade de uma origem para a vida totalmente diferente das hipóteses

aceites, refere-se ao momento em que viu um determinado gr´afico, basicamente o seguinte gr´afico.

Aquilo que naturalmente se imp˜ oe quando olhamos para este gráfico é uma varia¸cão, de forma mais ou menos brusca, de algo, neste caso do n´ umero de elementos ligados entre si, quando consideramos um sistema muito simples de elementos em interaçcão, à medida que se vão introduzindo cada vez mais liga¸cões, escolhidas aleatoriamente. Na verdade, o gráfico em causa expressa o resultado matemático da emergência de um aglomerado gigante de elementos todos eles ligados entre si num grafo aleatório, à medida que se aumenta o seu n´ umero de liga¸c˜ oes. A partir daqui é deixarmo-nos levar pela imagina¸cão e olhar para este objecto matemático como uma rede de elementos, apresentando-se desta forma como uma expressiva metáfora para as redes da vida, simples sistemas moleculares em interaçcão cujo segredo para se elevar a algo de extraordinário vai estar precisamente na catálise — na mudan¸ca de velocidade de uma reaçcão qu´ımica, devido à presen¸ca de uma substância, o catalisador. O conceito de grafo aleat´ orio, referido atrás, foi introduzido pelos matemáticos h´ ungaros Paul Erdös e Alfréd Rényi, no seu trabalho On the evolution of random graphs, publicado em 1960, [ER60]. Mas, antes ainda de apreciarmos a relevância destes objectos matemáticos no contexto da teoria de Kauffman, vamos apresentar muito rapidamente alguns dos conceitos da teoria de grafos que nela assumem um papel especial. 36

Um grafo é um conjunto de elementos, os seus vértices, conectados por arestas. Essas liga¸c˜ oes entre vértices pretendem descrever de uma forma qualitativa a interaçcão entre esses elementos do sistema. Atente-se no modo absolutamente grosseiro como se mostra a interaçcão, com a indica¸cão muito simples da existência, ou não, de uma liga¸cão. 1 2

3 4

Figura 2.1 O grafo apresentado tem cinco vértices e sete arestas. Tendo numerado os vértices, as arestas podem ser descritas através de pares de n´ umeros, correspondentes aos vértices que estão ligados por essa aresta: (1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (4, 5), (5, 5). No grafo apresentado na figura anterior existe uma aresta a ligar um mesmo vértice. Trata-se de algo que foge à interpreta¸cão dada para uma aresta, mas é o resultado de uma generaliza¸cão natural do conceito de aresta. Os grafos que nos vão interessar são aqueles mais simples, onde assumimos não serem poss´ıveis arestas diferentes unindo os mesmos vértices, mas onde são permitidas arestas entre um mesmo vértice. Por outro lado, a propriedade que nos interessa estudar é a de saber se um grafo é conexo, isto é, se, dados quaisquer dois vértices, existe sempre uma sequência de vértices, iniciada num deles e acabando no outro, todos eles ligados por arestas8 . Um grafo onde tal não seja verdade, diz-se desconexo. Contudo, excepto se o conjunto de arestas é vazio, podemos afirmar que um grafo desconexo tem sempre algumas partes, chamadas subgrafos, relativamente às quais a afirma¸cão acima é já verdadeira. Nesse caso, falamos das componentes conexas de um grafo. Obviamente que, dado um grafo, existirão diversas componentes conexas, sendo umas maiores que outras, no sentido de terem um maior n´ umero de vértices. Aquilo 8

Em teoria de grafos essa sequˆencia de arestas chama-se um caminho.

que pretendemos estudar é o tamanho da maior componente conexa de um grafo9 . Os grafos aleat´ orios que vamos considerar são designados por grafos aleatórios binomiais e denotados por G(N, p). São grafos com N vértices, sendo o conjunto das suas arestas determinado por uma escolha de tipo binomial, de existência ou não, efectuada para cada uma das N2 = N (N − 1)/2 arestas poss´ıveis. O valor de p, que é explicitado na nota¸cão, corresponde à probabilidade de existir uma aresta entre dois quaisquer vértices do grafo, sendo assumida igual para todas as arestas do grafo.

Figura 2.2 Identificando as diferentes componentes conexas destes três exemplos de grafos aleatórios binomiais G(20, 0.04), facilmente se chega à conclusão que o tamanho da maior componente conexa é igual a seis para o primeiro e segundo exemplos, sendo igual a quatro para o terceiro. Pela descri¸cão feita retira-se facilmente que num grafo do tipo aleatório não é poss´ıvel assumir uma determinada estrutura geométrica para o conjunto das suas arestas. Vemos assim que, neste contexto, o que interessa estudar é o padrão de conectividades do grafo, isto é, a sua topologia, e não a sua geometria. Introduzidos os grafos aleat´ orios binomiais e recordado o importante conceito de componentes conexas de um grafo, podemos agora come¸car a descrever as ideias principais de Kauffman e a analisar de que modo estes objectos se constituem como um modelo para a sua teoria da origem da vida. Consideremos um sistema molecular, ou seja, um conjunto de diferentes moléculas numa situa¸cão que facilite a sua eventual interaçcão. Assim, por defini¸cão, iremos as9

Que pode n˜ ao ser u ´nica, mas isso n˜ ao ´e relevante.

sistir a reaçc˜ oes qu´ımicas entre alguns dos componentes do sistema, algo que é costume representar, de uma forma muito simples, por A + B −→ C querendo com isto dizer que as moléculas A e as moléculas B interagem, de uma forma espontânea, para formar moléculas C. Deste modo, explicitado um sistema molecular, é poss´ıvel apresentar o conjunto das suas reaçcões, ou seja, o conjunto de todas as poss´ıveis reaçc˜ oes qu´ımicas entre todas as moléculas que constituem o sistema. Contudo, este não é de modo algum aquilo que nos interessa, pois estas reaçcões espontâneas do sistema são sobretudo processos muito lentos. Assim sendo, no sistema rapidamente vão assumir grande importância todos os processos que sejam acelerados pela presen¸ca de uma outra molécula, habitualmente representados por D

A + B −→ C e designados por reaçc˜ oes catalisadas. São esses os processos que são relevantes e que, portanto, devemos estudar. Por outras palavras, querendo estudar a evolu¸cão temporal de um sistema molecular, devemos assinalar no seu conjunto das reaçcões, aquelas que são aceleradas por moléculas também presentes no sistema, ou seja, o subconjunto das reaçc˜ oes catalisadas. E é exactamente esse o ponto fundamental da ideia de Kauffman, as chamadas redes da vida, redes de espécies moleculares cujo segredo está precisamente na catálise. Um organismo vivo mostra-se assim como um sistema de produtos qu´ımicos com a capacidade de catalisar a sua própria reprodu¸cão, ou seja, um sistema autocatal´ıtico. Nas palavras de Kauffman, (. . . ) a vida na sua origem assenta na propriedade de fechamento catal´ıtico, numa coleçcão de espécies moleculares. Isolada, cada espécie molecular está morta. Associadas, uma vez realizado o fechamento catal´ıtico, o sistema colectivo de moléculas torna-se vivo. Mas, obviamente, a questão que então se coloca é a de saber até que ponto é razoável admitir o fechamento catal´ıtico de um sistema. Veja-se o que a esse respeito nos diz Kauffman. 39

Qual a probabilidade de uma tal rede auto-sustentada de reaçcões surgir naturalmente? Será a emergência de uma autocatálise colectiva fácil ou virtualmente imposs´ıvel? Teremos de escolher os nossos produtos qu´ımicos cuidadosamente ou funcionará com qualquer mistura? A resposta é animadora. A emergência de conjuntos autocatal´ıticos é quase inevitável. A conviçcão na quase inevitabilidade do fechamento catal´ıtico foi o que Kauffman viu no gráfico mostrado anteriormente. Para tal houve a necessidade de perceber que um grafo aleatório era um modelo razoável para um sistema de moléculas em interaçcão. Imaginemos um qualquer sistema composto por um n´ umero N de espécies moleculares distintas. Quais das suas reaçc˜ oes serão catalisadas por elementos também pertencentes ao próprio sistema? Para evitar a necessidade de especificar todos os detalhes do sistema, podemos resolver este problema com uma atitude um pouco diferente: vamos admitir que, dado um qualquer par de espécies moleculares do sistema, a probabilidade que a sua liga¸cão seja catalisada por um elemento do sistema é igual a um certo valor, digamos p. Para simplificar, vamos também assumir que o valor de p é sempre igual, quaisquer que sejam os elementos envolvidos. Desta forma, uma vez que a evolu¸cão temporal do sistema é determinada apenas pelo subconjunto das reaçcões catalisadas, e que podemos assumir como poss´ıveis todas as reaçc˜ oes entre as diferentes moléculas do sistema, tem todo o sentido representar esse sistema por um grafo composto por N vértices, o n´ umero de moléculas distintas do sistema, sendo o conjunto das suas arestas obtido por uma escolha aleat´ oria de tipo binomial, que determinará, ou não, a sua existência, a partir do conjunto de todas as arestas poss´ıveis do grafo. O nosso modelo matemático surge assim como um grafo aleat´ orio binomial G(N, p), onde p representa a probabilidade de uma qualquer reaçcão poss´ıvel do sistema ser uma reaçcão catalisada por uma molécula do mesmo. Qual é então a caracter´ıstica que estes grafos apresentam que fundamenta a teoria de Kauffman?

Figura 2.3 Grafo das reac¸c˜ oes qu´ımicas.

Figura 2.4 Grafo das reac¸c˜ oes qu´ımicas.

O resultado referido anteriormente, a emergência de um aglomerado gigante num grafo aleatório, pode ser apresentado num outro contexto, sendo então um pouco mais fácil de entender. Consideremos um exemplo, um grafo com N = 14 vértices, sem qualquer aresta. Porque não é importante neste contexto, não vou identificar cada um dos vértices do grafo.

Figura 2.5 Sistema formado por 14 elementos. A partir destes elementos vamos construir um grafo escolhendo aleatoriamente os elementos em interaçcão, ou seja, as suas arestas. Primeiramente vamos analisar a forma¸cão de um grafo aleatório simples ao longo do tempo. Para tal, temos que o conjunto das suas arestas vai sendo constru´ıdo passo a passo, adicionando em cada um desses passos uma aresta, aresta essa que será escolhida aleatoriamente entre todas as possibilidades, excepto aquelas que já foram concretizadas ´ este o resultado dos primeiros cinco passos dessa constru¸cão. no grafo em causa. E

t=0

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

Figura 2.6 Os cinco primeiros passos da constru¸cão de um grafo, a partir de um sistema de 14 elementos, acrescentando, em cada um desses passos, uma aresta escolhida aleatoriamente entre todas as poss´ıveis. Agora a proposta é fazer o seguinte estudo: como será que varia o tamanho da maior componente conexa do nosso grafo ao longo do tempo? Por outras palavras, qual a topologia, muitas componentes pequenas, ou uma componente muito grande, de um grafo aleat´ orio à medida que se lhe vão acrescentando mais e mais arestas? Sabemos que no fim teremos obviamente uma u ńica componente, pois chegaremos a um grafo com todas as arestas poss´ıveis, mas de que forma, estatisticamente falando, vai variar o tamanho da maior das suas componentes conexas até esse valor extremo? Como se pode perceber analisando o exemplo apresentado, no in´ıcio vemos formar-se várias componentes conexas de tamanho muito reduzido, ou seja, o tamanho da maior componente conexa do grafo mantém-se quase constante, num valor muito pequeno, neste caso de tamanho 2, para t = 1, 2, 3, 4. Contudo, no passo t = 5, vai surgir uma aresta que 43

liga duas dessas pequenas componentes conexas, donde resulta uma componente conexa ´ este, basicamente, o mecanismo que vai levar à emergência de uma de tamanho 4. E componente conexa gigante: o grafo vai acumulando pequenas componentes conexas que, a partir de um determinado momento, vão ser ligadas a outras e mais outras, originando uma varia¸cão muito brusca do tamanho da maior delas, em muito poucos passos da constru¸cão.

Voltemos ao nosso exemplo e olhemos para alguns passos mais da constru¸c˜ao do grafo aleat´ orio. t=0

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

t=6

t=7

t=8

t=9

t = 10

t = 11

Figura 2.7 Os onze primeiros passos da constru¸cão do grafo descrito. Como é poss´ıvel constatar, mesmo a partir de um pequeno exemplo, este processo de adicionar arestas a um grafo com um n´ umero fixo de vértices revela-nos uma enorme 45

surpresa: uma transi¸cão de fase, com o aparecimento natural, inevitável e brusco, de uma sua componente conexa gigante! O contexto que nos interessa é um pouco diferente, mas a transi¸cão também vai ocorrer. Consideremos de novo um grafo binomial G(N, p) e fixemos um valor para a probabilidade p, pouco importando, por agora, o seu valor: por exemplo, seja p = 0.01. De seguida, vamos fazer escolhas para G(N, p), considerando valores crescentes de N , por exemplo, para N = 100, 200, . . . , 2900, e determinar, para cada um desses grafos, qual o tamanho da sua maior componente conexa. Atente-se que não se trata aqui de construir um grafo passo a passo, mas sim de escolher um valor para N (não esquecer que p está fixo) e lan¸car os dados, obtendo assim um determinado grafo. Antes de avan¸car, acho conveniente fazer um paralelo entre esta situa¸cão e aquela que foi apresentada acima: neste caso, uma vez que as arestas do grafo são escolhidas aleatoriamente, não conhecemos exactamente o n´ umero de arestas que tem cada um dos grafos. Contudo, em termos estat´ısticos pode-se afirmar que o n´ umero médio de arestas de um grafo binomial G(N, p) é igual ao produto pN (N − 1)/2, o que significa que, estando fixo o valor de p, este n´ umero cresce com N 2 . Deste modo tem-se que, tal como no contexto anterior, os grafos que consideramos quando escolhemos valores crescentes de N têm cada vez mais arestas relativamente ao n´ umero de vértices, ´ assim natural que, tal como na podemos dizer que são grafos cada vez mais densos. E situa¸cão anterior, também agora se observe uma transi¸cão de fase quando estudamos a varia¸cão do tamanho da maior das suas componentes conexas. Os resultados obtidos na experiência efectuada são apresentados na figura seguinte, onde temos como abcissas os valores de N e como ordenadas o tamanho, em percentagem, relativamente ao n´ umero de vértices do grafo, da sua maior componente conexa.

0.8

0.6

0.4

0.2

500

1000

1500

2000

2500

Figura 2.8 Conjunto de valores obtidos para a razão entre o tamanho da maior componente conexa de grafos binomiais G(N, p) e o n´ umero dos seus vértices, fixado o valor p = 0.01, considerando grafos com um n´ umero crescente de vértices. Este resultado matemático é muito importante e a sua compara¸cão com a origem da vida é verdadeiramente espantosa: de acordo com este modelo, quando consideramos grafos binomiais com um n´ umero crescente de elementos, a partir de um determinado valor observa-se um crescimento brusco do tamanho da sua maior componente conexa, quase atingindo, em percentagem relativamente ao n´ umero de elementos do sistema, o valor limite 1. Por outras palavras, fixado o valor de p, a partir de um determinado n´ umero de elementos é muito provável que a sua maior componente conexa seja a quase totalidade do sistema. Nesse sentido pode-se inferir que a partir de uma determinada diversidade do sistema molecular, e apenas a partir desse limiar, subitamente a grande maioria das moléculas do sistema participam em reaçcão catalisadas, sendo então razoável admitir que se assista ao fechamento catal´ıtico do um sistema, à forma¸cão de um sistema colectivamente autocatal´ıtico. Citemos o próprio Kauffman, ainda a partir do seu livro O Universo, a Nossa Casa. Aumente a diversidade e a complexidade atómica das moléculas (do sistema), e mais e mais reaçc˜ oes são catalisadas pelos membros do próprio sistema. Quando é atravessado um determinado limiar de diversidade, uma rede gigante de reaçcões catalisadas cristaliza numa transi¸cão de fase. O subgrafo das reaçcões catalisadas varia entre ter muitos componentes pequenos e um componente gigante com al47

guns componentes isolados mais pequenos. Tem agora elementos suficientes para supor que o componente gigante poderá conter um subconjunto colectivamente autocatal´ıtico capaz de se formar a si próprio por reaçcões catalisadas a partir de um suprimento de moléculas de nutrientes.

Observe-se que o valor de p = 0.01 escolhido para ilustrar a presen¸ca de uma transi¸cão de fase no crescimento do tamanho da maior componente conexa de um grafo bimodal com a varia¸cão do n´ umero de elementos do sistema não é de forma alguma realista, mas, se acompanharmos Kauffman e considerarmos um valor p = 10−6 , obter-se-á uma curva análoga, apenas variando o valor de N onde se observa a mudan¸ca brusca, não sendo por isso relevante. A no¸cão de conjunto autocatal´ıtico enumera uma das bases da vida, mas mais é necessário, pois os sistemas vivos replicam-se e alimentam-se, sendo sistemas termodinamicamente abertos. De facto, se o sistema fosse fechado, rapidamente encontrava o equil´ıbrio, mas na vida o equil´ıbrio termodinâmico significa a morte. Os sistemas termodinâmicos abertos, encontram-se continuamente desviados do equil´ıbrio qu´ımico e em casos simples os sistemas abertos estabilizam num estado estacionário diferente do encontrado nos sistemas termodinâmicos fechados. No caso de um sistema aberto complexo, como a célula viva, o sistema dissipativo pode não estabilizar num estado estacionário inalterável ao longo do tempo e as concentra¸cões podem come¸car a oscilar, para cima e para baixo, em ciclos que se vão repetir, chamados ciclos limite. Apesar de numa fase inicial Kauffman aplicar o seu modelo as prote´ınas (devido ao seu carácter catal´ıtico), o modelo é mais geral e pode ser aplicado a qualquer tipo de moléculas, ver [MS05], [Ste00] e [Kau93]. O grande interesse de olhar para estes sistemas em termos de topologia e complexidade é que não é necessário saber particularmente que molécula catalisa determinada reaçcão para ter a certeza que um determinado conjunto de moléculas forma um conjunto autocatal´ıtico. Os pormenores especiais da qu´ımica podem não ser importantes. Já se verificou que este tipo de sistemas possui propriedades auto-sustentadoras, mas 48

a realidade é que a sua existência se aproxima e muito a um sistema auto-reprodutor, possuindo deste modo todas as caracter´ısticas fundamentais da vida. Focalizemos agora a nossa aten¸cão nesta ideia de auto-reprodu¸cão. Suponha-se que um destes sistemas auto-catal´ıtico está contido em algum tipo de compartimento. Esta compartimenta¸cão é essencial para evitar a dilui¸cão das moléculas em reaçcão, este compartimento poderia ser um dos cocervados de Fox ou constitu´ıdo por uma membrana de bicamada lip´ıdica. Compartimentado o sistema, à medida que o tempo passa as reaçcões no sistema vão produzindo c´ opias moleculares e ao final de algum tempo o n´ umero de cópias efectuadas terá duplicado, aumentando o volume do sistema e a partir deste momento o sistema pode dividir-se em dois, tal como ocorre nas células, observando-as de uma forma genérica e simplista. Deste modo verifica-se que os sistemas ao aumentarem de volume espontaneamente tendem a dividir-se. Estão agora reunidas todas as fun¸cões essenciais à vida de modo a olhar para os sistemas autocatal´ıticos como sistemas vivos. No entanto, outro problema se coloca ao pensarmos na possibilidade de forma¸cão de estes sistemas com moléculas com propriedades catal´ıticas com grandes dimensões, tais como RNA e/ou prote´ınas/péptidos. De facto, é muito dif´ıcil construir este tipo de moléculas grandes em água, mantendo-as sem existir nenhum processo de separa¸cão ou clivagem das mesmas em moléculas mais pequenas ou mesmo nas suas moléculas constituintes, como, por exemplo, aminoácidos ou nucle´ otidos. Apesar deste problema poder ser colocado em qualquer tipo de molécula catalisadora, foquemo-nos nas prote´ınas/péptidos. A energia associada a uma simples liga¸cão pept´ıdica é da ordem de 1400 calorias. Ora, como a liga¸cão pept´ıdica se efectua normalmente pela liberta¸cão de uma molécula de H2 O, na presen¸ca de água o efeito inverso é naturalmente o mais favorável. Por hidr´ olise, verifica-se o processo de clivagem das cadeias pept´ıdicas. Existe um problema, visto que uma das ideias base da origem da vida na Terra é que esta surgiu no interior dos oceanos, apesar de existirem outro tipo de ideias. Assumindo que a energia de uma qualquer liga¸cão pept´ıdica é essencialmente a mesma que qualquer outra, segue-se que a taxa de dissocia¸cão de um dipéptido nos seus cons-

tituintes é cerca de dez vezes maior que a taxa de reassocia¸cão desses mesmos, quando ambos reagentes e produtos estão presentes no meio com uma concentra¸cão 1M. A consequência deste facto é que, no equil´ıbrio, a concentra¸cão [PN ] de um péptido espec´ıfico com N aminoácidos decresce sob um factor de dez sempre que N aumenta em um, [PN ] = C N k −(N −1) onde k é a constante de dissocia¸cão de uma liga¸cão pept´ıdica, C é a concentra¸cão molar da espécie de aminoácidos e N é o comprimento do péptido. A equa¸cão acima descrita mostra duas coisas: que a maioria dos aminoácidos presentes se encontram sob a forma de mon´ omeros ou pequenos péptidos e que a concentra¸cão de um pol´ımero espec´ıfico de comprimento elevado é infinitesimal. Kauffman propõe três situa¸cões distintas para resolver esta situa¸cão: 1. A confina¸c˜ ao das reaçc˜ oes moleculares a uma superf´ıcie em vez de um volume Deste modo a velocidade a que uma reaçcão qu´ımica se dá depende somente da velocidade a que os pares da reaçcão colidem entre si. Enquanto num volume as moléculas têm que se difundir por três dimens˜ oes, numa superf´ıcie reduzir-se-á uma dimensão, sendo mais fácil o encontro entre pares, aumentando fortemente a probabilidade de colisão e, consequentemente, a forma¸cão de pol´ımeros maiores. 2. Desidrata¸c˜ ao do sistema A desidrata¸cão do sistema conduz à remo¸cão de moléculas de água, reduzindo os processos de clivagem das liga¸c˜ oes pept´ıdicas. Simula¸cões computacionais feitas por Doyne Farmer, Norman Packard e Richard Bagley indicam que mesmo desidrata¸c˜ oes simples no sistema permitem a forma¸cão de sistemas autocatal´ıticos e a sua reprodu¸cão. Não existem evidências qu´ımicas para esta ideia. Um exemplo será um sistema constitu´ıdo por uma enzima tripsina e prote´ınas. A enzima tripsina é uma das moléculas intervenientes no processo de digestão, cortando as prote´ınas em péptidos mais peque50

nos. Misturando a tripsina com prote´ınas grandes num meio aquoso ela corta as prote´ınas em péptidos mais pequenos, mas se o sistema é desidratado o equil´ıbrio altera-se favorecendo a s´ıntese pept´ıdica e agora a tripsina serve de catalisador das reaçcões de liga¸cão pept´ıdica. 3. Transferˆ encia de energia directa Nas células este tipo de reaçcão é o mais comum, com o fornecimento de energia na maioria das vezes sob a forma de quebra de liga¸cões nas moléculas de ATP-adenina trifosfato. As células o que fazem é induzir reaçcões endergónicas (que libertam energia) acopolandose com reaçc˜ oes exerg´ onicas (que requerem energia). Nos metabolismos primitivos de entre os diversos candidatos considera-se o pirofosfato (dois fosfatos ligados entre si), uma vez que, devido à sua abundância, este seria a mais provável fonte de energia livre dispon´ıvel à s´ıntese nestes sistemas primitivos. Mas, e nos sistemas autocatal´ıticos, como se poderá acoplar reaçcões endergónicas a reaçc˜ oes exerg´ onicas? Para Kauffman a solu¸cão a esta questão está na adi¸cão de catalisadores que acoplem as reaçcões endergónicas a reaçcões exergónicas de forma a que estas forne¸cam energia às outras, onde a catálise dessas reaçcões acopuladas seria feita por catalisadores capazes desse estado de transi¸cão.

modelo clássico de redes RBN de Kauffman A hipótese de Stuart Kauffman de que a vida emergiu de forma espontânea a partir do caldo qu´ımico primordial como um sistema autocatal´ıtico encerrado num compartimento espacial que, com o tempo, tende a separar-se em vários elementos, teve de encontrar respostas para duas quest˜ oes fundamentais: a primeira diz respeito à estabilidade do sistema, isto é, se um desses sistemas moleculares autocatal´ıticos é suficientemente estável para poder ser encarado como um proto-organismo, mas, simultaneamente, como é que este tipo de auto-reprodu¸cão permite a variabilidade hereditária. Como vemos as duas questões estão interligadas, o que parece tornar uma solu¸cão praticamente imposs´ıvel de se obter. A resposta vai estar no refinamento da ideia original de Kauffman, num modelo matemático com caracter´ısticas absolutamente espantosas. A solu¸cão para o problema de uma reprodu¸cão do sistema permitindo pequenas varia¸cões foi proposta, em 1992, por Richard Bagley e Doyne Farmer, [BF92]. Estes propuseram um modelo em que existiria a possibilidade de uma reaçcão aleatória, não catalisada, ocorresse espontaneamente, quando da separa¸cão de um conjunto autocatal´ıtico. Segundo a sua perspectiva, se em torno do sistema molecular autocatal´ıtico existir uma espécie de inv´ olucro molecular, isto é, se um significativo n´ umero de moléculas se localizar nas proximidades do conjunto, a sua integra¸cão no sistema poderia modificar o sistema positivamente, caso fossem favoráveis à catalisa¸cão de moléculas do sistema, ou negativamente, caso inibissem uma reaçcão desse mesmo sistema. Estar´ıamos assim perante um mecanismo muito simples que permitiria eventuais pequenas modifica¸cões de réplicas do sistema original durante a sua auto-reprodu¸cão. Esta ideia avan¸cada por Bagley e Farmer acrescenta um aspecto importante à teoria de Kauffman: neste modelo o organismo primordial não necessitaria de uma molécula guia para evoluir, ou seja, numa primeira versão do que chamar´ıamos vida não seria necessária a defini¸cão de uma molécula genética para orientar a sua evolu¸cão, ou seja, a distin¸cão entre genótipo e fen´ otipo deixaria de ter significado, pois o organismo passaria a comportar-se como um todo, deixando de ser necessária qualquer sua especifica¸cão e particulariza¸cão. Essa distin¸cão seria uma consequência de estágios posteriores da evolu¸cão, mas não uma

caracter´ıstica primordial. Este aspecto resolveria uma questão muito importante, uma vez que a discussão sobre quais as moléculas mais prováveis para a informa¸cão genética primordial passaria imediatamente para um segundo plano e a vida passa a ter um carácter mais provável. Mais uma vez refor¸ca-se a ideia que a vida, no seu sentido mais básico, é algo quase imposs´ıvel de não acontecer e que facilmente uma protocélula se reproduz dando origem a uma pan´ oplia de diferentes protocélulas, criando micro ecossistemas com capacidades evolutivas. Mas a capacidade evolutiva de uma protocélula requer mais do que a simples capacidade de muta¸cão através da varia¸cão hereditária. Acima desta variabilidade hereditária está a necessidade de um compromisso interno do sistema entre a maleabilidade e a estabilidade. Por outras palavras, torna-se necessário mostrar que neste modelo o sistema é suficientemente estável, de modo a que pequenas flutua¸cões não desencadeiem perturba¸c˜ oes em cascata, destruindo-o rapidamente, mas, simultaneamente, que é suficientemente maleável para que não se torne estático. A resposta a esta importante questão surgiu pela identifica¸cão de um comportamento poss´ıvel para o sistema, talvez de uma forma pouco feliz designado por limiar do caos, onde é evidente um estado de homeostase interna do sistema que permite manter alguma ordem, ao mesmo tempo que o mantém aberto a pequenas flutua¸c˜ oes. Para verificar se é poss´ıvel a um sistema molecular autocatal´ıtico permanecer num estado de homeostase interna, Kauffman considera um modelo bastante mais sofisticado, mas onde as caracter´ısticas fundamentais que lhe permitiram provar o fechamento catal´ıtico do sistema são conservadas: esses modelos são hoje designados por redes boolenas aleatórias NK , ou, de uma forma mais simples, por redes de Kauffman. Mas, antes de apresentar em que consistem estes modelos matemáticos, gostaria de motivar a sua escolha destacando alguns aspectos do funcionamento molecular no interior das protocélulas. O sistema autocatal´ıtico mais fácil de compreender e descrever é um sistema biológico enzimático, dado que as enzimas são especialmente conhecidas por ter esta fun¸cão de catalisar reaçc˜ oes moleculares. Num sistema enzimático, as enzimas apresentam sempre sinais de mais ou menos actividade dependendo da concentra¸cão de enzima e substrato, mas para uma maior simplifica¸cão e facilidade de modela¸cão, visto que se trata de um

sistema conectado de milhares de enzimas, onde cada uma tem a possibilidade de activar ou inibir determinada reaçcão, será válido, numa primeira aproxima¸cão, considerar apenas dois estados de actividade: o estado ligado, isto é, quando a enzima se encontra ligada ao substrato catalisando e favorecendo a reaçcão, e o estado desligado, isto é, quando a enzima se encontra desligada do substrato. Uma forma de tornar este tipo de sistema mais palpável e visualmente mais eficaz será utilizando a metáfora de que a rede metabólica enzimática é equivalente a um circuito conectado de lâmpadas eléctricas, onde cada lâmpada determina o estado de ligado ou desligado de uma ou mais lâmpadas. Temos assim, tal como anteriormente, um sistema de elementos em interaçcão, mas só que desta vez vamos descrever um pouco melhor a interaçcão em causa, não basta dizer que existe uma liga¸cão, uma aresta a ligar dois vértices do nosso grafo. Para simplificar, vamos admitir que os elementos do sistema podem assumir dois estados, digamos, os estados ligado, que vamos denotar pelo n´ umero 1, ou desligado, denotado por um 0. Deste modo, uma configura¸cão do sistema passa por explicitar os valores, 0 ou 1, de todos os elementos do sistema. Agora a ideia fundamental é permitir que o estado de cada elemento do sistema possa ser alterado por influência de outros elementos. Para simplificar, vamos admitir que o estado de todos os elementos do sistema depende de um n´ umero fixo de outros elementos, ou de si próprio, naturalmente. Temos assim uma rede booleana NK , onde N designa o n´ umero de elementos do sistema, o n´ umero de lâmpadas/enzimas, e onde K indica o n´ umero de elementos que influenciam o estado de cada elemento da rede. Para terminar, é necessário explicitar, para cada elemento do sistema, de que modo os K elementos influenciam o seu estado. Matematicamente isso é feito indicando uma fun¸cão booleana com K entradas, descrita, por exemplo, por uma tabela de verdade. Atente-se que são permitidas fun¸cões booleanas diferentes para diferentes elementos do sistema. Para melhor entendermos o funcionamento deste tipo de sistema NK de lâmpadas/enzimas, não há nada como analisarmos um exemplo simples, com escolhas para N e para K suficientemente pequenos de modo a que permitam a sua análise e caracteriza¸cão. Consideremos um sistema composto por N = 3 lâmpadas/enzimas que, tal como anteriormente foi descrito, podem estar no estado ligado (1) ou desligado (0). Vamos as-

sumir que todas as lâmpadas do sistema possuem K = 2 entradas, inputs, de informa¸cão e uma sa´ıda, output, da informa¸cão de acordo com a fun¸cão booleana a ela associada.

Figura 2.9 Sistema formado por três elementos/lâmpadas/enzimas, L1 , L2 e L3 . Por defini¸cão, o estado ligado/desligado de cada um deles depende do estado ligado/desligado dos outros dois elementos, sendo esse o significado das liga¸cões entre lâmpadas. Para completarmos a descri¸cão do nosso sistema NK devemos ainda explicitar as três fun¸c˜ oes booleanas, uma para cada elemento. Neste caso vamos escolher fun¸cões booleanas facilmente reconhec´ıveis como operadores lógicos, And e Or. Como sabemos, no caso de termos a fun¸cão booleana And associada a uma lâmpada, somente dois sinais de input positivos, (11), levam a um output positivo, ou seja a um acender da lâmpada. input1

input2

output

Figura 2.10 Tabela de verdade da fun¸c˜ao booleana correspondente ao operador l´ogico And.

De modo análogo, sabe-se que, no caso de termos a fun¸cão booleana Or associada a uma lâmpada, basta que um dos seus sinais de input seja positivo para que a lâmpada retorne um output igualmente positivo. input1

input2

output

Figura 2.11 Tabela de verdade da fun¸cão booleana correspondente ao operador lógico Or. Descritas as fun¸c˜ oes booleanas que vamos associar aos elementos do nosso sistema, vamos agora explicitar essa correspondência. Assim sendo, considere-se o sistema composto por N = 3 elementos a que se encontram associadas as seguintes fun¸cões booleanas: Lâmpada/enzima

fun¸c˜ao booleana

input1

input2

And

Figura 2.12 Descri¸cão do sistema pela indica¸cão das fun¸cões booleanas que estão associadas ao seus elementos, não apenas a sua lógica, mas também as suas entradas. A evolu¸cão temporal do sistema faz-se da seguinte forma: num determinado momento T, vamos assumir conhecido o estado de cada um dos elementos do sistema, digamos, L1 = 1, L2 = 1 e L3 = 0. Então, o estado do primeiro elemento, L1 , no instante seguinte, T+1, é obtido lendo na tabela de verdade da fun¸cão boolena que lhe está associada, neste caso, o operador l´ ogico And, o valor correspondente à primeira entrada estar no estado 1 e a segunda no estado 0, respectivamente, os estados das lâmpadas L2 e L3 . Vem assim que o resultado, isto é, o estado, no instante T+1, da lâmpada L1 , é igual a 0. Fazendo o mesmo para os outros dois elementos do sistema obtemos os seguintes resultados: 56

Lˆampada

T+1

Procedendo de modo análogo, podemos descrever a evolu¸cão temporal do sistema, quaisquer que sejam os estados dos seus elementos. Sendo o estado de cada lâmpada do sistema um de dois valores, podemos concluir que o espa¸co de estados deste sistema NK , com N = 3 lâmpadas, é constitu´ıdo por 23 = 8 estados poss´ıveis. Na tabela seguinte apresenta-se a evolu¸cão temporal de todos os 8 elementos do espa¸co de estados do sistema após um e dois instantes, ou seja, para os instantes T+1 e T+2.

instante T

instante T+1

instante T+2

Analisando os valores apresentados nesta tabela é poss´ıvel caracterizar a evolu¸cão temporal deste nosso sistema. Primeiro, vemos que existem dois estados relativamente aos quais o sistema, uma vez assumido esse estado, a´ı permanece para sempre: são os estados (111) e (000). Por outras palavras, se o sistema no instante T se encontra num destes estados, a´ı permanecerá nos instantes seguintes. Estes estados são habitualmente designados por estados estacionários do sistema. 57

Por outro lado, como é poss´ıvel constatar, existem quatro estados, (110), (100), (010) e (001), que revelam uma tendência para se direccionar para o estado estacionário (000). De facto, caso o sistema, no instante T, se encontre num destes estados, podemos garantir que vai estar no estado estacionário referido passados apenas dois instantes. Por fim, vemos que os outros dois estados, (101) e (110), têm um comportamento c´ıclico, ou peri´ odico, no sentido em que, quando o sistema se encontra num destes estados no instante T, vai, no instante seguinte, estar no outro, e assim sucessivamente. Vemos assim o sistema num pulsar intermitente entre os dois estados, o que corresponde a um comportamento peri´ odico de per´ıodo 2 do sistema. Olhemos agora sob uma perspectiva diferente para cada um dos casos anteriores. Primeiramente focaremos a nossa aten¸cão para o estado em que as lâmpadas se encontram todas elas inicialmente acesas (111); neste caso o sistema não evolui visto que simplesmente permanecerá preso nesse estado ligado. Voltando ao caso enzimático, podemos pensar que neste caso as nossas enzimas estariam, por exemplo, ligadas a um inibidor permanente, não permitindo a liga¸cão daquelas com o substrato. No caso estacionário para o qual o sistema fica preso no estado não ligado (000) podemos assumir, por exemplo, que nenhum dos substratos existentes no interior do caldo corresponde às enzimas em questão. No caso do sistema ter um estado que seguirá em direçcão ao estado estacionário não ligado (000) poderemos imaginar um sistema em que a concentra¸cão do substrato seja inferior à das enzimas pelo que, passado algum tempo, deixaria de existir substrato no sistema. No caso da intermitência correspondente a uma órbita de per´ıodo 2, (011), (101) , vemos que existe um desligar e ligar de algumas das enzimas do sistema, pelo que podemos pensá-lo como um sistema que ao longo do tempo vai sempre renovando as moléculas de substrato necessárias à fun¸cão enzimática.

De um ponto de vista mais matem´atico podemos descrever o sistema anterior como uma rede booleana NK com 3 atractores, para os quais todos os restantes estados poss´ıveis do sistema confluem:

• o estado estacion´ario (111); • o estado estacion´ario (000); • o ciclo de estados (011), (101) .

Nesta altura é muito importante salientar o seguinte: a existência destes atractores numa rede booleana NK é fonte de ordem, no sentido em que todos os estados do sistema, isto é, um elevad´ıssimo n´ umero de estados, têm uma evolu¸cão temporal na sua direçcão, fazendo com que o sistema estabilize de forma ordenada, quer num estado estacionário, quer num ciclo que se vai repetir ad eternum. Mas é obvio que, no caso extremo, um ciclo atractor do sistema pode ter o tamanho do espa¸co de estados do sistema, o que no exemplo em questão corresponderia a ter um atractor com ciclo de per´ıodo 8. Se neste caso um per´ıodo de ´ orbita 8 não é muito grande, para um conjunto autocatal´ıtico com 1000 moléculas, ou seja, uma rede de 1000 lâmpadas, o espa¸co de estados adquire o valor gigantesco de 21000 ≈ 10301 estados poss´ıveis, o que implicaria uma verdadeira eternidade para se assistir ao completar da sua órbita de estados, pelo que o sistema pareceria apresentar caracter´ısticas erráticas, ou seja, embora exista ordem, essa ordem não seria de modo algum percept´ıvel. Verifica-se então que, para que a existência de atractores seja o meio apropriado, ou seja, um pré-requisito, para a ordem de um sistema, é necessário que este tenha um comportamento c´ıclico entre um n´ umero muito pequeno de estados, ou seja, tenha um per´ıodo não muito elevado. Um outro pré-requisito para a existência de uma ordem gratuita é o sistema exibir homeostase, ou seja, possuir a capacidade de resistir a pequenas perturba¸cões. Note-se que a existência de atractores são, também eles, fonte básica de homeostase, uma garantia de uma certa estabilidade do sistema. Exemplo disso é o facto de, uma vez alterado o estado de uma das lâmpadas do sistema, verificarmos que, ao fim de algum tempo, o sistema retorna ao atractor, uma vez que, apesar da pequena varia¸cão no estado do 59

sistema, este se manteve na chamada bacia de atraçcão do atractor. No entanto, sabe-se que nem todos os atractores exibem propriedades de homeostase, por exemplo, na rede metabólica/circuito eléctrico por n´ os considerada, facilmente se reconhece que efectuada uma pequena varia¸cão no atractor correspondente ao estado estacionário isolado (111), o sistema seguirá uma outra traject´ oria e não mais retornará à bacia de atraçcão anterior, ou seja, essa pequena varia¸cão levou a um efeito catastrófico/caótico desviando o sistema do equil´ıbrio e levando-o para uma bacia de atraçcão diferente e assim em direçcão a um outro atractor. Uma pequena modifica¸cão do sistema pode ser de um outro tipo, para além da altera¸cão do estado de um dos elementos do sistema: vamos admitir que a varia¸cão no sistema é ao n´ıvel da fun¸cão booleana associada a uma das lâmpadas. Como é razoável supôr, com esta mudan¸ca, uma muta¸cão, uma nova configura¸cão pode ocorrer no sistema, modifica¸cão essa que pode mesmo levar à cria¸cão de novos atractores e novas bacias de atraçcão, em suma, a um novo padrão evolutivo. No entanto, como vamos ver, pode ainda assim persistir uma estabilidade intr´ınseca do sistema, ou seja, o sistema modificarse-ia, mas mantendo caracter´ısticas análogas de ordem. Recuperando uma vez mais o exemplo anterior, imaginemos que introduzimos uma ligeira varia¸cão à fun¸cão booleana associada a L2 , que em vez do operador lógico And anterior, consideramos agora a fun¸cão booleana descrita pela seguinte tabela de verdade: input1

input2

output

Figura 2.13 Tabela de verdade da nova fun¸cão booleana associada a L2 , resultante de uma ligeira modifica¸cão do operador l´ ogico And. Que consequências, em termos de evolu¸cão do sistema, do n´ umero de atractores, etc., terá esta pequena modifica¸cão do sistema? Para responder a essa questão temos apenas 60

que repetir o estudo efectuado anteriormente e apresentar, para todos os oito estados poss´ıveis para o sistema, num instante T, quais os correspondentes estados nos instantes T+1 e T+2. instante T

instante T+1

instante T+2

Analisando esta tabela chega-se às seguintes conclusões: o novo sistema tem exactamente os mesmos dois estados estacionários, (111) e (000), e também um ciclo de per´ıodo 2, mas agora os estados que compõem esse ciclo são (010) e (011). Desta vez, porém, ambos os estados estacionários atraem outros estados, a saber, os estados (100) e (110) evoluem na direçcão do estado (000), enquanto os estados (101) e (011) se dirigem para o estado (111). Naturalmente que para um exemplo de tão reduzidas dimensões, N = 3, não é fácil concluir se as altera¸cões verificadas para a evolu¸cão do sistema modificado são realmente importantes, ou se, pelo contrário, estamos perante um sistema radicalmente diferente do anterior. Mas este estudo permite, pelo menos, entender que existe este tipo de modifica¸cão/muta¸cão poss´ıvel para uma rede booleana NK . Com este exemplo, verifica-se que as redes booleanas poderão ser de facto uma possibilidade para uma modela¸cão do que pode ter sido a vida nos seus estágios mais básicos. Mas, como se constata facilmente, nem todas as redes booleanas levam a estados ordenados e, podemos mesmo desde já adiantar, na sua grande maioria as redes booleanas levam a estados destitu´ıdos de qualquer tipo de ordem, estados apelidados de caóticos. Deste modo, existe a necessidade de investigar quais os tipos de redes NK mais favoráveis 61

a padrões ordenados ou, como vamos ver de seguida, de limiar do caos. Existem duas caracter´ısticas fundamentais que caracterizam a forma como as redes são constru´ıdas e que podem caracterizar o tipo de estado em que estas se encontram. Elas são, primeiro, o n´ umero K de inputs que controlam cada uma das lâmpadas e, segundo, quais as fun¸c˜ oes booleanas que vamos associar a cada um dos elementos do sistema. Mas, antes ainda de avan¸carmos nessa direçcão, torna-se obrigatório apresentar alguns n´ umeros e mostrar a dimensão do estudo que este tipo de modelos implica e, desse modo, justificar a afirma¸cão de Kauffman, quando nos diz que passou trinta anos trabalhando simula¸c˜ oes computacionais até lhe ser poss´ıvel adiantar algumas das suas conjecturas. No exemplo atrás apresentado foram escolhidos valores de N e K suficientemente pequenos para que fosse poss´ıvel apresentar todas as tabelas necessárias para o acompanhar do estudo feito de molde a caracterizar o padrão de comportamento do sistema em causa. O que acontece, porém, se considerarmos, não ainda valores razoáveis para a questão da origem da vida, mas, digamos, um pouco maiores que aqueles escolhidos anteriormente: por exemplo, seja N = 15 e K = 3. O que significa então estudar redes booleanas NK , quando são estes os valores em causa? Se K = 3, temos que uma tabela de verdade de uma qualquer fun¸cão booleana deste tipo tem que especificar o output para 23 = 8 poss´ıveis estados do conjunto das suas entradas. Ora, uma vez que cada um desses outputs pode assumir quer o valor 0, quer o valor 1, conclu´ımos que, para K = 3 inputs, existem 28 = 256 fun¸cões booleanas poss´ıveis para cada elemento da rede. Mas, tal como anteriormente, especificar uma fun¸cão booleana significa também dizer que elementos estão em cada uma das suas entradas, isto é, que elementos da rede são input da fun¸cão em causa. Dizendo isto, chega-se à conclusão que, fixada uma qualquer fun¸cão booleana, temos ainda 15 = 455 3 escolhas poss´ıveis para as entradas dessa fun¸cão. Deste modo, tem-se que o n´ umero de fun¸cões booleanas que podem ser escolhidas para cada elemento da rede ascende a 23 ×455 = 116 480. Ora, como o sistema é composto por N = 15 elementos e temos toda a liberdade de escolher uma qualquer fun¸cão booleana para cada um desses elementos,

ficamos a saber que existe um n´ umero assombroso de redes booleanas NK distintas: 116 48015 = 1 898 501 371 294 981 013 110 624 194 148 437 500 000 000 , ou seja, cerca de 1048 redes booleanas NK , quando N = 15 e K = 3. Mas agora, encontrado o n´ umero de redes NK distintas, o que significa estudar uma destas redes? Tal como se fez anteriormente, significa caracterizar exactamente o comportamento, a evolu¸cão temporal, de todos os estados poss´ıveis para o sistema. E quantos são esses estados poss´ıveis? Sendo uma rede com N = 15 elementos, cada um podendo estar ligado ou desligado, temos que existem 215 = 32 768 configura¸cões poss´ıveis para a rede. Por outras palavras, a tabela anterior, que nos permitiu concluir que o sistema em causa tinha três atractores, et cetera, terá desta vez 32 768 linhas, e já não as 8 anteriores. Por outro lado, como é muito fácil de imaginar, para estes sistemas não bastará determinar o estado de cada elemento do sistema nos dois instantes seguintes10 . Como podemos constatar, a apresenta¸cão de resultados sobre redes booleanas NK requer algumas ast´ ucias e um poder computacional considerável. Uma vez que não existe qualquer motivo para escolher uma determinada rede booleana NK , e se pretende concluir pela inevitabilidade da emergência de vida, Kauffman propõe que o modelo adoptado seja uma rede booleana aleatória NK , ou seja, uma rede booleana NK onde as fun¸c˜ oes associadas a cada um dos seus N elementos sejam escolhidas aleatoriamente entre todas as poss´ıveis com K entradas, sendo igualmente as entradas de cada uma delas escolhidas aleatoriamente entre os N elementos da rede. Para simplificar, vou passar a designar estas redes por RBN, a partir da sua descri¸cão em l´ıngua inglesa, Random Boolean Networks. A partir desta escolha, o que fazer para encontrar algumas caracter´ısticas t´ıpicas para esses modelos? A resposta é muito simples: o melhor será definir cuidadosamente o tipo de redes em questão e depois utilizar computadores para simular um grande n´ umero de redes retiradas aleatoriamente dessa fam´ılia, simula¸cões essas feitas a partir de escolhas aleatórias para a configura¸cão inicial do sistema11 . Os 10 Também para redes booleanas com N = 3 e K = 2 poder´ a ser necess´ ario estudar a evolu¸c˜ ao do sistema por mais que esses dois instantes. 11

N˜ ao sendo o n´ umero de configura¸co ˜es poss´ıveis para o sistema um n´ umero extraordinariamente elevado quando N = 15, o mesmo j´ a n˜ ao se pode dizer quando toma valores mais realistas, N = 100 000, por exemplo.

resultados obtidos serão então olhados estatisticamente, isto é, como propriedades t´ıpicas para a fam´ılia de modelos RBN considerada. As principais caracter´ısticas de uma fam´ılia de RBN NK que interessa estudar são três, a saber, • o n´ umero de atractores do sistema; • o comprimento dos atractores do sistema; • a estabilidade dos atractores do sistema a perturba¸cões. Relativamente às duas primeiras, o estudo mais relevante é, escolhido um valor de K, perceber a forma como o n´ umero e o comprimento dos atractores cresce com N . Desse modo teremos uma ideia dos n´ umeros envolvidos quando fazemos N tomar valores muito elevados. Foi basicamente este o tipo de estudo feito por Kauffman e que lhe permitiu perceber que estas redes RBN possu´ıam de facto caracter´ısticas que apoiavam de forma inequ´ıvoca a sua utiliza¸cão como modelo para a origem da vida. De seguida vou apresentar o estudo expl´ıcito de uma rede RBN NK , para N = 8 e K = 3, ou seja, vou apresentar todos os atractores, estados estacionários e/ou ciclos de estados, e respectivas bacias de atraçcão do sistema. Como hoje em dia é habitual, a dinâmica da rede vai ser representada por um diagrama de Wuensche onde o atractor toma o centro do diagrama e onde os diferentes estados do sistema que para ele convergem são dispostos ao longo de c´ırculos. Para não complicar o diagrama de Wuensche da rede a estudar, uma vez que essa informa¸cão não é particularmente relevante para a análise pretendida, decidi não explicitar os estados do sistema pertencentes às bacias de atraçcão. O interesse desse estudo está na percep¸cão das caracter´ısticas principais da dinâmica que uma rede deste tipo revela, as suas bacias de atraçcão, em particular o n´ umero de estados que a compõem e o n´ umero de passos necessários para, a partir de um dos seus elementos, alcan¸car o atractor12 . Escolhida aleatoriamente uma rede RBN NK , para N = 8 e K = 3, foi obtido o seguinte conjunto de fun¸c˜ oes booleanas:

Computacionalmente esta informa¸c˜ ao ´e muito importante.

input1 0 0 0 0 1 1 1 1

input2 0 0 1 1 0 0 1 1

input3 0 1 0 1 0 1 0 1

output 0 1 0 0 1 1 0 1

input1 0 0 0 0 1 1 1 1

input2 0 0 1 1 0 0 1 1

input3 0 1 0 1 0 1 0 1

output 1 0 1 1 1 1 0 1

input1 0 0 0 0 1 1 1 1

input2 0 0 1 1 0 0 1 1

input3 0 1 0 1 0 1 0 1

output 0 1 0 1 0 1 1 1

input1 0 0 0 0 1 1 1 1

input2 0 0 1 1 0 0 1 1

input3 0 1 0 1 0 1 0 1

output 1 0 1 1 0 1 1 1

input1 0 0 0 0 1 1 1 1

input2 0 0 1 1 0 0 1 1

input3 0 1 0 1 0 1 0 1

output 0 0 1 1 1 0 1 0

input1 0 0 0 0 1 1 1 1

input2 0 0 1 1 0 0 1 1

input3 0 1 0 1 0 1 0 1

output 0 0 1 1 0 1 0 1

input1 0 0 0 0 1 1 1 1

input2 0 0 1 1 0 0 1 1

input3 0 1 0 1 0 1 0 1

output 0 0 1 0 1 0 1 0

input1 0 0 0 0 1 1 1 1

input2 0 0 1 1 0 0 1 1

input3 0 1 0 1 0 1 0 1

output 0 1 1 0 1 1 1 0

Figura 2.14 FunÂ¸cË&#x153; oes booleanas associadas a cada um dos N = 8 elementos da rede.

De seguida procedeu-se à escolha, igualmente aleatória, das três portas lógicas, inputs, associadas a cada uma dessas fun¸c˜ oes booleanas. A distribui¸cão das entradas que se obteve é apresentada na seguinte tabela: input1

input2

input3

Figura 2.15 As K = 3 entradas das fun¸cões booleanas associadas a cada um dos N = 8 elementos da rede. Fixada a rede NK , foi estudada então a dinâmica de cada uma das 28 = 256 configura¸cões poss´ıveis para o sistema, tendo sido encontrados 6 atractores: dois estados estacionários, A1 =(01011001) e A2 =(00001000), e quatros ciclos de estados, um de per´ıodo 2, A3 =((00001000), (01010000)), dois de per´ıodo 3, A4 =((01010000), (10000010), (01011011)) A5 =((01110000), (10010110), (11101011)), e um de per´ıodo 6, A6 =((10110111), (11111110), (10110101), (11110101), (111110111), (11110110)). De seguida são apresentados os diagramas de Wuensche de cada um dos seis atractores encontrados. 66

Figura 2.16 Diagrama de Wuensche da bacia de atraçcão do estado estacionário (01011001).

Figura 2.17 Diagrama de Wuensche da bacia de atraçcão do estado estacionário (00001000).

Figura 2.18 Diagrama de Wuensche da bacia de atrac¸c˜ao do ciclo de estados de per´ıodo 3 (01010000), (10000010), (01011011).

Figura 2.19 Diagrama de Wuensche da bacia de atrac¸c˜ao do ciclo de estados de per´ıodo 3 (01110000), (10010110), (11101011).

Figura 2.20 Diagrama de Wuensche da bacia de atrac¸c˜ao do ciclo de estados de per´ıodo 2 (00001000), (01010000).

Figura 2.21 Diagrama de Wuensche da bacia de atraçcão do ciclo de estados de per´ıodo 6 (10110111), (11111110), (10110101), (11110101), (111110111), (11110110). Por compara¸cão, vê-se claramente que certos atractores possuem bacias mais complicadas, não apenas no muito maior n´ umero de estados que as compõem, mas sobretudo no n´ umero ´ bom de passos necessários para certos estados chegarem ao comportamento periódico. E lembrar que estes n´ umeros devem ser analisados relativamente aos n´ umeros do próprio sistema, ou seja, que quando extrapolados para um valor de N muito maior, mostrarão, sem qualquer d´ uvida, uma complexidade (dentro de uma ordem, que são os atractores) evidente. Num universo de apenas 256 estados poss´ıveis, vemos que o primeiro dos atractores descritos alonga-se por nove estados e o segundo por oito. Este alongar das bacias por um n´ umero bastante elevado de estados transientes torna-se um verdadeiro problema computacional, como tivemos consciência em muitos dos exemplos estudados.

As redes mais fáceis de estudar são aquelas correspondentes aos valores extremos de K, isto é, uma vez fixado um valor para N , o que acontece se escolhermos K = 1 ou K = N inputs para as fun¸c˜ oes booleanas associadas a cada um dos elementos da rede? Os estudos anal´ıticos, e não já computacionais, foram efectuados para estas duas situa¸cões a partir da década de 1980, com os seguintes resultados, [FK88]: para valores elevados de N , a varia¸cão do n´ umero esperado de ciclos com o valor de N quando consideramos uma rede RBN NK com K = 1 é log 2 N 2 De igual forma, é poss´ıvel mostrar que, ainda para K = 1, a probabilidade de existirem atractores de longo per´ıodo decresce exponencialmente com o valor desse per´ıodo. Por outro lado, é muito pequeno o tempo necessário para que o sistema alcance o estado onde vai permanecer para sempre. Por fim, pode-se dizer que um sistema deste tipo congela, no sentido em que resiste a qualquer pequena varia¸cão quer do estado inicial, como da própria distribui¸cão de fun¸c˜ oes booleanas. Resumindo, estamos perante sistemas que, mesmo para valores de N elevados, exibem uma ordem extraordinária. Contudo, não parecem ter a capacidade de variar ligeiramente, perante pequenas varia¸cões do sistema. O que acontecerá então quando aumentamos o n´ umero de inputs das fun¸cões booleanas até ao valor máximo K = N ? Escolhendo K = N , ou seja, quando consideramos redes onde qualquer lâmpada recebe inputs de todas as lâmpadas da rede, inclusivé de si mesma, é poss´ıvel mostrar, [DF86], que o comprimento médio dos ciclos atractores cresce proporcionalmente com 2N/2 e que o n´ umero de atractores coexistindo para uma mesma rede é da ordem de 2 N √ . e Por outro lado, mesmo a ideia de atractor fica um pouco difusa, pois prova-se que, em média, o tempo que o sistema necessita para encontrar um atractor cresce exponencialmente com N , o que limita a investiga¸cão numérica a redes muito pequenas. Para além disso, tambem se verifica que muito pequenas modifica¸cões do sistema levam a resultados completamente distintos, ou seja, que estes sistemas são muito sens´ıveis a quaisquer altera¸cões da configura¸cão da rede. Vemos então que estamos de facto no extremo oposto, 70

com redes cujos atractores, com ciclos de comprimento de tal forma elevado que se perde por completo o sentido de ordem, não traduzem já qualquer sentido de estabilidade, exibindo ainda estes sistemas uma sensibilidade a pequenas e inevitáveis altera¸cões que os torna dif´ıceis de aceitar como modelos para qualquer organismo primordial. A questão que se coloca é a de saber se entre estas duas situa¸cões extremas e, de alguma forma, ambas pouco satisfatórias para as pretensões de Kauffman, existirá um ou mais valores para K que levem o sistema a um compromisso entre ordem e alguma maleabilidade. Vejamos o que sucede quando escolhemos K = 2. Para estudar o n´ umero e o comprimento t´ıpicos dos atractores de redes RBN NK , para K = 2, em particular o modo como estes variam com N , vamos proceder do seguinte modo: fixado um valor de N e escolhida uma rede, isto é, escolhidas N fun¸cões booleanas, vamos considerar 40 configura¸cões iniciais escolhidas aleatoriamente. Para cada uma dessas situa¸c˜ oes, vamos registar o comportamento do sistema passado algum tempo, ou seja, o ciclo de estados onde o sistema ficou preso. Como seria de esperar, algumas das configura¸c˜ oes iniciais vão convergir para o mesmo ciclo de estados, registando-se então apenas os ciclos distintos. Os resultados obtidos vão ser apresentados na seguinte tabela, onde em cada linha, uma vez fixada uma determinada rede RBN NK , se registam os comprimentos dos ciclos distintos que foram obtidos a partir das 40 configura¸cões iniciais aleat´ orias.

N 40

100

120

2 7 1 10 1 1 1 1 4 1 2 8 2 4 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 4 4 8 2 4 2

2 15 1 5 4 36 2 8 2 6

36 10 8 2

10 8 2

10 8 6

22 8 6

2 2

2 3

8 2

11 10

25 2 2 4 4 8 2 4

···

6 12 4 8 6

6 12 4 8

Figura 2.22 Estudo da varia¸cão do n´ umero de atractores e dos seus per´ıodos para valores crescentes de N , fixado K = 2. Por forma a não tornar a tabela excessivamente grande, não é indicado explicitamente a existência dos 28 atractores de per´ıodo 12 na primeira escolha para uma rede RBN NK , considerando N = 120. Por raz˜ oes computacionais, foram escolhidos valores de N não superiores a 120. Esse facto condiciona e muito as conclusões que se podem retirar 72

deste estudo, mas ainda assim fica aqui como registo de um modo de proceder e para avaliarmos dos valores que são t´ıpicos para este tipo de redes quando N toma valores não muito grandes. Como podemos ver, quando consideramos redes RBN NK , com K = 2, o n´ umero e o comprimento dos atractores apresentam muito pouca varia¸cão com N . De igual modo, podemos afirmar que, relativamente ao comprimento dos atractores encontrados, eles nunca chegam a atingir valores muito elevados, não se registando também uma varia¸cão muito acentuada com as escolhas crescentes de N . De tal forma é assim que o atractor com maior comprimento foi obtido logo para N = 60, onde se encontrou um ciclo de per´ıodo 34, mas não devemos esquecer que as conclusões a retirar devem ser tomadas sob uma perspectiva estat´ıstica. Mesmo relativamente a esse aspecto este estudo fica um pouco aquém, com amostras de apenas 6 redes diferentes, num universo de um n´ umero elevad´ıssimo de possibilidades de escolha. Mas perante as limita¸cões atrás descritas, pensámos não ter muito sentido efectuar uma estat´ıstica mais séria, pois nunca ter´ıamos acesso a uma descri¸cão razoável do modo como esses n´ umeros crescem com N . Mas fa¸camos o mesmo tipo de estudo estat´ıstico para a fam´ılia das redes RBN NK , desta vez escolhendo K = 3. A questão que então se coloca é a de saber se será agora percept´ıvel uma varia¸cão qualitativa do n´ umero de atractores e dos seus comprimentos?

N 40

100

120

12 8 4 4 7 1 23 12 2 86 25 5 8 1 104 1325 1 915 1 797 9 344 10116 1 612 131 1 341 3 969 839 30 1 016 482 -

25 8 4 4 34 3 29 12 4 492 187 25 39 1 503 4 177 2 595 32 013 58819 2 486 1 737 14 487 29 223 887 463 1 779 892

76 8 8 4

8 12 4

8 13 4

12 16

12 18

1011 35 54 1 2 631

8 32 4

...

49 252 3

235 677 3

802 5

9 582 3 888

18 483

46 801

3 658

3 806

6 487 3 403 57 494

Figura 2.23 Estudo da varia¸cão do n´ umero de atractores e dos seus per´ıodos para valores crescentes de N , fixado K = 3. Tal como na situa¸cão anterior, optámos por não explicitar todos os 14 diferentes atractores de per´ıodo 4 que surgiram no quarto exemplo, para N = 40. Como podemos observar pelos dados registados, a passagem de K = 2 para K = 3 74

mostra desde logo o aparecimento de uma complexidade muito elevada. De facto, é poss´ıvel mesmo dizer que para valores de K superiores ou iguais a 3 o comportamento t´ıpico de uma rede RBN NK é extremamente complicado, principalmente pelo comprimento dos ciclos para onde o sistema vai convergir. Podemos assim afirmar que, nesta situa¸cão, a desejada ordem gratuita não é inevitável, no sentido de não ser algo t´ıpico do tipo de rede considerada. Mas voltemos às fam´ılias de redes RBN NK com K = 2. Segundo Kauffman, baseado nas suas in´ umeras experiências computacionais, quer o n´ umero médio de atractores distintos coexistindo para uma determinada rede, como os seus comprimentos médios crescem √ como N . De alguma forma isto explica a ligeira varia¸cão registada no nosso estudo, √ √ uma vez que 40 ≈ 6.32 e 120 ≈ 10.95, mas sobretudo significa que mesmo para os valores razoáveis de N , que, segundo Kauffman, poderão ser perto de N = 100 000, o n´ umero e comprimento médios dos atractores do sistema estariam então à volta de √ 100 000 ≈ 316.23, o que significa o aparecimento de uma extraordinária ordem gratuita13 . Este é o tipo de conclusão que a teoria de Kauffman necessita: a existência de ordem, no sentido de poucos atractores e nunca com comprimentos muito grandes, mesmo quando consideramos redes com um elevado n´ umero de elementos. Esta conclusão é um dos pilares onde assenta toda a teoria da origem da vida de Kauffman. Como veremos mais à frente, é por aqui que os seus detractores vão tentar mostrar a sua fragilidade. Nesta altura gostaria de acrescentar um ponto que não me parece ter sido ainda objecto de estudo, ou, pelo menos, a que nunca se tem dado a devida importância: quando olhamos para os atractores do sistema e dizemos que estes têm um determinado comprimento, estamos obviamente a caracterizar a dinâmica global do sistema. Mas o que da´ı se pode extrapolar para cada um dos elementos da rede? Uma conclusão fácil é que, se a rede tem um comportamento c´ıclico de per´ıodo p, então os diferentes elementos dessa rede terão necessariamente comportamentos c´ıclicos de per´ıodo m, onde m pode assumir um qualquer valor desde que seja divisor de p, incluindo-se aqui, naturalmente, o próprio estado estacionário, quando m = 1. Por outras palavras, a ideia que um atractor 13 Extraordin´ aria, pois o n´ umero de elementos do espa¸co dos estados para este tipo de sistema, com N = 100 000 e K = 2, é igual a 2100 000 ≈ 1030 103 .

do sistema é uma evidência de ordem do sistema pode ser ainda mais aprofundada uma vez que isso implica que o comportamento de cada um dos seus elementos seja igualmente c´ıclico, mas com um comprimento muito provavelmente inferior ao per´ıodo da rede. Para entendermos um pouco melhor esta questão, proponho voltar a um exemplo, uma rede RBN NK , com N = 100 e K = 2. Na tabela seguinte apresentam-se os resultados obtidos, onde os diferentes elementos do sistema são agora apresentados sob a forma de um quadrado. Contudo, dessa representa¸cão nada deve ser inferido relativamente a uma distribui¸cão espacial dos seus elementos, uma vez que a escolha dos diferentes inputs de cada fun¸cão booleana foi, uma vez mais, feita aleatoriamente. Em cada posi¸cão desse quadrado registamos o comprimento do ciclo de estados que o elemento correspondente sente, quando o sistema se encontra a repetir o ciclo de estados.

1 1 5 1 15 1 15 1 1 15

5 1 15 1 15 15 15 1 1 1

15 1 15 5 15 1 1 1 1 1

5 15 1 1 5 15 15 5 15 1

1 5 5 1 1 1 15 1 1 15

15 3 1 3 5 15 1 5 15 15

15 1 5 1 1 15 1 5 1 15

1 5 1 1 5 1 5 1 1 15

1 3 15 1 15 1 1 15 15 15

1 1 1 15 1 15 1 1 1 1

1 15 5 1 15 15 15 1 1 15

5 15 15 1 15 15 15 1 15 1

15 1 15 5 5 1 15 15 15 1

5 3 1 15 5 15 15 5 15 1

1 5 5 1 1 1 15 1 1 5

15 3 1 3 5 15 1 5 15 5

15 5 5 15 1 15 1 5 1 15

1 15 1 1 5 1 5 1 1 15

1 3 15 15 15 1 1 15 15 15

1 1 1 15 1 15 15 1 1 15

1 15 15 1 15 15 15 1 1 15

5 15 15 1 15 15 15 1 15 1

15 1 1 5 5 1 15 15 15 1

5 15 1 15 5 15 15 5 15 1

1 5 5 1 1 1 15 1 1 15

15 3 1 3 5 15 1 5 15 15

15 15 5 15 1 15 1 5 1 15

1 5 1 1 5 1 5 1 1 15

1 3 1 1 15 1 1 15 15 15

1 1 1 15 1 15 15 1 1 15

Figura 2.24 Neste exemplo foram encontrados três ciclos distintos, todos eles de per´ıodo 15, para o sistema. Contudo, a grande maioria dos elementos tem um comportamento peri´ odico de per´ıodo muito menor e para muitos deles os diferentes atractores não significa mesmo qualquer altera¸cão do tipo de comportamento.

Os resultados apresentados permite-nos concluir que estamos perante uma rede que, globalmente, admite três atractores distintos, todos eles ciclos de estados de per´ıodo 15. Contudo, em termos locais a identifica¸cão de dois atractores distintos não corresponde a qualquer diferen¸ca de comportamento para muitos dos elementos da rede. Na tabela assinalam-se a vermelho os elementos da rede cujo comportamento é exactamente igual em todos os três atractores, o que significa que a passagem de um atractor para o outro não será reconhecido por esse elemento. Atente-se que se falarmos do mesmo tipo de comportamento, então o n´ umero de elementos que repete em todos os atractores ciclos ´ assim poss´ıvel constatar que a ordem gratuita que de igual comprimento é muito maior. E exibe uma rede RBN NK , para K = 2, vai um pouco mais além do pequeno n´ umero de ciclo de estados distintos do sistema e dos seus igualmente pequenos comprimentos, uma vez que, elemento a elemento, se percebe uma ordem muito superior, mais profunda. No entanto, esta ordem não significa, de forma alguma, a solidez/rigidez que se apresenta quando escolhemos K = 1, existido sempre uma flexibilidade, a possibilidade de alguma varia¸cão do sistema, o que implica a possibilidade de ocorrência de muta¸cões e, consequentemente, uma evolu¸cão do sistema. Um estado do sistema com estas caracter´ısticas, uma mistura muito subtil de estabilidade e maleabilidade, diferente quer de um estado ordenado, quer de um estado ca´ otico, é hoje designado como um estado no limiar do caos. Este é, portanto, o estado t´ıpico de uma rede RBN NK , quando K = 2. Esta ideia de homeostase do sistema está por seu turno ligada à necessidade de o n´ umero de atractores do sistema ser reduzido e consequentemente à existência de maiores bacias de atraçcão de modo a que para pequenas flutua¸cões o sistema permane¸ca no mesmo estado global final. No entanto, se de um modo geral já é dif´ıcil determinar o n´ umero de atractores de um pequeno sistema, para redes RBN de grandes dimensões este problema torna-se ainda maior, visto que o espa¸co de estados do sistema é demasiado vasto para possibilitar uma procura exaustiva e pormenorizada e que na maioria dos casos as suas bacias de atraçcão são demasiado pequenas e por isso muito dif´ıceis de serem encontradas através de um amostragem aleat´ oria. Esta é sem d´ uvida uma das maiores barreiras à aceita¸cão deste modelo no quadro da teoria da origem da vida de Kauffman, dado que até ao momento

nenhuma solu¸cão eficiente foi encontrada. Antes de prosseguirmos, penso ser conveniente14 dizer que o resultado anunciado para a rela¸cão de dependência que envolve o n´ umero médio de atractores e o seu comprimento médio, no caso de redes RBN com K = 2, é ainda alvo de alguma controvérsia, sendo √ para alguns, Kauffman e Bastolla e Pairisi, [BP97], uma rela¸cão de N , enquanto para outros, Bilke e Sjunnesson, [BS01], essa rela¸cão estaria mais perto de N . No entanto, para este u ´ltimo caso a maioria dos atractores possui uma muito pequena bacia de atraçcão, da´ı a dificuldade em serem encontrados, sendo necessária uma extensa investiga¸cão para os descobrir. Vejamos de seguida o que acontece quando consideramos redes RBN NK , para K = 3. A questão que se coloca é de saber se, tal como para a escolha K = 2, as redes exibem tipicamente as caracter´ısticas de estabilidade e maleabilidade do limiar do caos. Até agora s´ o se falou de sistemas no estado limiar do caos para sistemas com K = 2, mas seria demasiado restritivo pensar num u ńico tipo de rede RBN que exibisse esta ordem gratuita. De facto, se assim fosse ficar´ıamos presos ao facto de só uma fam´ılia espec´ıfica de redes booleanas poder estar na origem da vida e na prática podemos ver que no interior celular a maioria das moléculas possui mais do que um input de uma outra ´ molécula. Este problema crucial foi solucionado, em 1986, pelos f´ısicos da Ecole Normale Supérieur de Paris, Bernard Derrida e Gerard Weisbuch, [DW86]. ´ evidente que, quando dizemos que as redes RBN NK , para K = 3, apresentam E um comportamento muito complexo, estamos sempre num contexto estat´ıstico, ou seja, queremos afirmar que tipicamente as redes RBN NK , para K = 3, não apresentam um comportamento de limiar do caos. De facto, não é sequer muito dif´ıcil imaginar uma distribui¸cão de fun¸c˜ oes booleanas com K = 3 que determinam uma dinâmica da rede trivialmente simples; basta uma distribui¸cão homogénea de fun¸cões booleanas cujas sa´ıdas sejam sempre iguais a 1, quaisquer que sejam os valores nas suas três entradas. Então, considerada uma qualquer configura¸cão inicial para o sistema, facilmente se constata que no instante seguinte teremos o sistema congelado, pois nunca mais sairá desse estado,

Porque p˜ oe a n´ u as fragilidades de resultados baseados em experiˆencias computacionais.

numa configura¸cão onde todos os seus elementos apresentam o valor 1, qualquer que seja o valor de N . Por outras palavras, não se trata aqui de redes RBN incapazes de outro comportamento que não o ca´ otico. O que acontece é que é improvável escolher um sistema com uma dinâmica de outro tipo. A questão que Derrida e Weisbuch se colocaram foi a de saber se existiria algum parâmetro cuja varia¸cão nos permitisse controlar o tipo de comportamento de uma rede RBN, ou seja, um certo parâmetro P que classificasse as redes relativamente à sua dinâmica. Dessa forma talvez fosse poss´ıvel sintonizar as redes de modo a que o seu comportamento estivesse entre a ordem e o caos, muito possivelmente em estados semelhantes ao já encontrados para redes RBN com K = 2. O parâmetro P sugerido é descrito da seguinte forma: dada uma fun¸cão booleana, o parâmetro P vai medir o enviesamento dessa fun¸cão booleana, ou seja, vai ser a razão P = n´ umero máximo de sa´ıdas iguais da fun¸cão/ n´ umero de sa´ıdas. Como vemos, este parâmetro introduz um conceito de equil´ıbrio dinâmico, dependendo unicamente do n´ umero de entradas positivas e negativas que o sistema dá a quando de um input. Atentemos nos seguintes exemplos, onde são apresentadas duas fun¸cões booleanas com K = 4, que, como anteriormente foi mencionado, numa primeira análise apresenta um carácter ca´ otico. Como para K = 4 temos 24 = 16 estados poss´ıveis, as tabelas que descrevem as duas fun¸c˜ oes têm necessariamente que especificar um valor para a sa´ıda para todas essas possibilidades nas entradas.

input1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

input2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

input3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

input4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

output 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1

input1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

input2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

input3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

input4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

output 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Olhando para as tabelas é poss´ıvel intuir-se que, para o segundo dos sistemas, onde o n´ umero máximo de sa´ıdas iguais é quase igual ao n´ umero de sa´ıdas do sistema, P = 15/16, 81

qualquer input de entrada leva o sistema a entrar no congelamento. No entanto, já para o primeiro sistema, onde o n´ umero máximo de sa´ıdas iguais é apenas metade do n´ umero de sa´ıdas do sistema, logo P = 1/2, é fácil perceber que uma pequena flutua¸cão no sistema levaria este a mudar definitivamente o seu rumo, apresentando um carácter caótico. Deste modo, para que o sistema não possua nem um carácter demasiado caótico nem um carácter estagnado, o parâmetro de enviesamento P tem que se encontrar num valor intermédio dentro do conjunto de valores (0.5, 1), onde 0.5 corresponde a um carácter caótico e 1 a um estado de congelamento. Voltando de novo ao circuito lâmpadas/ enzimas com N elevado, K > 2 e 0.5 < P < 1, pode-se perceber que ap´ os iniciado o sistema tenderá a formar um aglomerado gigante de lâmpadas presas em estados estacionários (regime ordenado) e pequenos aglomerados de lâmpadas intermitentes entre o estado ligado e desligado (regime caótico ou ordenado periódico). Uma melhor forma de visualizar este fenómeno será criando um sistema com cores diferentes para os dois tipos de estado presentes, onde lâmpadas verdes correspondentes ao estado intermitente e lâmpadas vermelhas a um regime estacionário. Ao iniciar, o sistema apresenta-se maioritariamente como um conjunto de lâmpadas verdes, com algumas ilhas vermelhas, apresentando caracter´ısticas aparentemente caóticas, mas passado algum tempo e ajustando os valores de K e P , come¸ca a emergir um grande aglomerado conectado vermelho com ilhas verdes não interconectadas no seu interior, apresentando caracter´ısticas de sistema ordenado, onde as ilhas verdes representam o conjunto de ´ nesta ocorrência de transi¸cão de fase entre lâmpadas no sistema ordenado c´ıclico. E o estado ca´ otico e o estado ordenado que o comportamento complexo prospera. Outro exemplo para fácil visualiza¸cão da situa¸cão descrita é o da cria¸cão de um reticulado quadrado, ou seja, K = 4 e P variável. Neste tipo de sistema ao invés de se marcar as lâmpadas com cores marcamo-las com o n´ umero correspondente ao n´ umero de ciclos de cada lâmpada até voltar ao estado inicial, assim ciclo igual 1 (lâmpada congelada). Fazendo correr o sistema obtém-se uma figura do sistema, idêntica a esta:

8 8 8 1 1 1 1 1 1 1 4 1 220 220 220 1 1 110 110 110 110 22 1 1

8 8 8 8 1 1 1 1 4 4 4 4 1 220 220 220 110 110 110 110 22 88 88 8

1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 110 110 110 110 1 22 22 1 1

1 1 456 1 228 1 1 1 6 1 6 6 1 1 1 110 110 110 22 1 22 22 1 1

228 1 456 228 228 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 1 1 110 1 1 22 1 1 228

228 1 456 228 228 228 1 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 228 228

228 1 228 228 228 228 1 1 1 6 6 1 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 228 228

228 228 228 228 228 228 228 228 1 228 6 228 1 1 1 1 1 1 1 1 228 1 228 228

228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 1 1 1 1 1 1 1 1 228 228 228 228

228 228 228 1 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 1 1 1 1 1 228 228

228 228 228 1 1 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 1 1 4 1 1 228 228 228

1 1 228 1 1 228 228 1 228 1 1 1 228 228 1 1 1 1 4 1 228 228 228 228

1 1 1 1 1 1 1 1 228 1 1 1 1 228 1 1 2 2 228 228 228 228 228 228

1 1 1 1 1 1 1 1 228 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 1 1 8 1 1 8 1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 20 1 20 20 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 10 10 1 1 1 1 1 1 1 8 8 8 1 1 1 20 20 20 1 1 1 1

1 1 10 10 1 1 1 1 1 1 1 8 8 4 1 1 1 20 20 20 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 8 1 20 20 20 20 20 4 1 4 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220 20 20 20 20 20 20 20 4 1

1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 110 110 110 1 20 20 2 2 4 1

1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 4 220 1 1 110 110 110 110 110 22 1 1 1

Aparece um conjunto de lâmpadas como valor igual a 1, e um pequeno conjunto lâmpadas não conectadas ao sistema com ciclos de dimensões maiores. O que se verifica é que no sistema ordenado congelado pequenas perturba¸cão não levam a significativas mudan¸cas nem a muta¸c˜ oes, mas qualquer perturba¸cão nas ilhas com ciclos maiores leva a uma propaga¸cão da perturba¸cão semelhante a transforma¸cões em cascata. Constata-se assim uma convergência de estados para o regime estacionário e uma divergência de estados para o regime ca´ otico. Este tipo de sistema é globalmente estável e flex´ıvel o seu interior assemelhando-se em muito a um sistema celular, uma vez que a homeostase globalmente é mantida, mas internamente existe espa¸co para uma evolu¸cão e modifica¸cão do sistema, exibindo um carácter ordenado mas flex´ıvel. Com os anteriores exemplos é fácil de se perceber que para um valor de K inputs é fácil determinar um valor de P para o qual o sistema se encontre na chamada fase critica/transi¸cão. Mas um estudo anal´ıtico do sistema facilita essa escolha de P . Tendo por base a distância normalizada de Hamming, a qual é definida pela fraçcão de nodos / enzimas/ lâmpadas que se encontram em diferentes configura¸c˜ oes, e a aproxima¸cão de annealed, introduzida por Derrida e Pomeau, [DP86], é poss´ıvel determinar, a priori, para determinado n´ umero inicial de inputs, K, o valor de P para o qual o sistema se encontra num estado critico ou homeostático, sendo este valor dado pela equa¸cão Kc =

1 P (1 − P ), 2 83

(1)

correspondendo `a curva do gr´afico abaixo representado.

Olhando para este gráfico, é poss´ıvel definir duas regiões para o sistema, tal que para Kc < 1/2p(1 − p) o sistema encontra-se no estado congelado, e para Kc > 1/2p(1 − p) o sistema se encontra no regime ca´ otico. Resolvendo (1) em termos de P obtém-se: Pc =

√ 1 (1 ± 1 − 8K) 2

(2)

Bastolla e Parisi, [BP97], estudaram sistemas com K = 4 de modo a perceberem de que forma a estes se aplicavam os dados obtidos por Kauffman para o n´ umero de atractores, bacias de atraçcão e comprimentos dos ciclos, concluindo que, apesar de alguns desvios, para K = 4 o n´ umero de atractores e os comprimentos dos ciclos seguiam as mesmas rela¸cões de dependência que para K = 2. Para termos uma ideia mais palpável das caracter´ısticas de ordem em sistemas RBN e da presen¸ca de caracter´ısticas de homeostase necessárias à estabilidade celular, efectuámos a simula¸cão, utilizando o sistema computacional Mathematica, de redes RBN, para diferentes conectividades, K = 2, K = 3 e K = 4. Mas, devido à falta de capacidade de cálculo dos computadores utilizados, os sistemas em causa não puderam ser de dimensões superiores a N = 180, para K = 2, N = 50, para K = 3 e N = 36, para K = 4. Estes programas foram constru´ıdos basicamente em três blocos. O primeiro bloco corresponde à cria¸cão de todas as fun¸co˜es Boleanas implicadas no sistema guardando-as 84

num ficheiro de modo a possuir um acesso directo, para uma posterior utiliza¸cão. O segundo bloco corresponde à evolu¸cão temporal do sistema e contagem do n´ umero de atractores. Nos primeiros programas esta evolu¸cão temporal era feita através de uma escolha aleat´ oria de Fun¸c˜ oes Boleanas no sistema, mas como a maioria das fun¸cões do sistema possuem um factor de P ≈ 0.5, os resultados obtidos apontavam caracter´ısticas caóticas, isto é atractores com ciclos de per´ıodos largos e um n´ umero muito elevado de bacias de atraçcão. Para confirmar este dado criamos um pequeno programa o qual simplesmente escolhia um conjunto de fun¸cões boleanas para cada nodo do sistema de rede e posteriormente calculava o valor de P correspondente à fun¸cão em questão, calculandose por fim o valor máximo e m´ınimo de P do sistema, bem como a média de P do sistema. Como resultados obtivemos o que esperávamos, ou seja, que efectuada uma escolha completamente aleat´ oria relativamente a todo o conjunto de redes booleanas, a maioria das fun¸c˜ oes escolhidas para cada nodo do sistema possu´ıa P ≈ 0.5. Após esta constata¸cão foi introduzida uma escolha por valor de P das fun¸cões booleanas. O terceiro bloco corresponde ao conjunto de qualidades que pretendemos inserir no sistema, dimensão N da rede, valor de P das fun¸cões booleanas associadas aos sistemas, o n´ umero de configura¸c˜ oes iniciais que queremos obter do sistema e o n´ umero de exemplo que pretendemos obter. Para K = 2 os valores obtidos muito escassos para fazer uma análise aprofundada, isto devem-se ao facto de o computador não ser capaz de realizar a tarefa pretendida sem sobreaquecer e consequentemente bloquear. No entanto, dos resultados obtidos, verificase que para P = 0.5 o sistema tende a encontra-se num estado de limar do caos ou seja na fase de transi¸cão entre o caos e a ordem. Sendo este limiar do caos caracterizado por existirem tanto atractores com ciclos pequenos como outros com ciclos elevados. Apesar de na nossa experiência termos obtido ciclos de estado com per´ıodos superiores a 317 estados, o qual corresponde ao valor máximo do per´ıodo dos ciclos previsto por Kauffman, quando comparados com o espa¸co de estados do sistema 2180 possuem dimensões bastante pequenas, o que indica uma estabilidade do sistema. Olhando para o n´ umero de atractores do sistema verifica-se que estes existem em maior n´ umero, tal previsto para Kauffman, para P = 0.5 do que para P superiores. No entanto, apesar deste decréscimo

evidente do n´ umero de atractores para valores de P superiores, o n´ umero de atractores mantém-se significativamente pequeno, o que evidencia a existência de grandes bacias de atraçcão, o que leva a uma convergência de diversos estados num mesmo atractor, permitindo que o sistema permane¸ca num mesmo estado global, exibindo assim caracter´ısticas de homeostase. Para K = 3 o n´ umero de atractores aumenta com uma diminui¸cão de P . Deste modo à medida que nos vamos aproximando do caos (P = 0.5) existe um aumento do n´ umero de atractores bem como uma diminui¸cão do tamanho das suas bacias de atraçcão. No entanto para P = 5/8 ≈ 0.625 o n´ umero de atractores associados ao sistema é pequeno, evidenciando maiores bacias de atraçcão e uma certa estabilidade do sistema, o que nos leva novamente de encontro da homeostase necessária à vida. Analisando os resultados obtidos para sistemas com K = 4, verifica-se muito bem a transi¸cão de fase ou fase cr´ıtica dos sistemas, sendo esta transi¸cão de fase cada vez mais acentuada com o aumento do tamanho de rede. Observando os resultados gráficos verifica-se que esta ocorre para um valor de P cr´ıtico igual a 10/16 ≈ 0.625. Para estes sistemas não parece existir correla¸cão entre o n´ umero de atractores do sistema e os valores de P . No entanto, se observarmos a qualidade dos atractores observamos que, apesar de para sistemas com ciclos pequenos o n´ umero de atractores ser elevado, estes possuem caracter´ısticas muito idênticas entre si, possuindo um funcionamento global muito semelhante e levando o sistema para um estado global semelhante. Analisando o sistema novamente de um ponto de vista biológico, imaginemos duas moléculas de DNA pertencentes a dois humanos: apesar destas moléculas de DNA terem diferen¸cas pontuais de activa¸cão de determinados genes, globalmente o produto final serão dois humanos muito idênticos, apesar das suas particularidades pontuais. Visto deste modo, passa a existir um aumento do n´ umero de atractores com o decréscimo do valor de P . Assim, no limiar do caos o sistema passa a ter um n´ umero inferior de atractores, o que permite uma maior convergência dos estados do sistema e, consequentemente, a que exiba ainda caracter´ısticas de homeostase, tal como previsto por Kauffman.

comentários à teoria de Kauffman Um dos maiores cr´ıticos do modelo de Kauffman é o cientista Shneior Lifson do departamento de Qu´ımica F´ısica, do Instituto da Ciência Weizman em Israel. Lifson critica essencialmente a prioridade dada por alguns cientistas ao mecanismo da vida, metabolismo e organiza¸cão, passando para segundo plano a importância da transmissão e codifica¸cão da informa¸cão genética. Vejamos o que nos diz Lifson, no seu trabalho On the Crucial Stages in the Origin of Animate Matter:

Enquanto um metabolismo é certamente complexo, os sistemas complexos não são necessariamente metab´ olicos. O metabolismo é um sistema complexo de reaçcões que mutuamente se regulam e coordenam de modo a permitir a replica¸cão e sobrevivência dos organismos viventes. Enquanto as complexidades inorgânicas se regulam por si só, os metabolismos complexos requerem coordena¸cão e regula¸cão. Esta caracter´ıstica é espec´ıfica à vida e resulta da açcão aleatória da seleçcão natural.

Note-se sobretudo as diferen¸cas relativamente ao anteriormente exposto, na medida em que Kauffman afirma que a sua teoria mostra ser poss´ıvel que a auto-organiza¸cão dos sistemas e o seu metabolismo seja independente da visão simplista da seleçcão natural. Lifson, baseado nas cr´ıticas de G.F. Joyce e F.J. Dyson, [Joy89] e [Dys85], que afirmam que a teoria de Kauffman se baseia numa muit´ıssimo optimista estimativa probabil´ıstica de que um polipept´ıdeo possa catalisar a forma¸cão de uma liga¸cão pept´ıdica, realizou um estudo aprofundado da matemática intr´ınseca ao modelo de Kauffman, evidenciando que existia um erro no cálculo da probabilidade p com que uma molécula catalisa uma reaçcão. De facto, enquanto para Kauffman a probabilidade p mantinha-se constante mesmo com o poss´ıvel aumento do n´ umero de reaçcões no meio, de tal modo que o tamanho molecular aumentaria com p constante e consequente maior seria a probabilidade de ocorrer um conjunto autocatal´ıtico, Lifson afirma, pelo contrário, que p é inversamente proporcional ao n´ umero total de reaçc˜ oes poss´ıveis, sendo o n´ umero médio de reaçcões que uma molécula catalisa constante com o aumento do n´ umero de diferentes moléculas. Deste 87

modo, se o valor inicial de p for muito baixo, como admite Kauffman, então será quase inevitável que nenhum conjunto autocatal´ıtico possa emergir. Como veremos já de seguida, Mike Steel resolveu estas questões matemáticas, definindo um grau intermédio de catalisa¸cão, tendo mesmo demonstrado nos seus trabalhos que o surgimento de sistemas autocatal´ıticos é muito provável e quase inevitável.

terceira parte

O modelo de redes RBN de Kauffman, apesar de ser um excelente exemplo de autoorganiga¸cão e de três fases de estado, ordenado, cr´ıtico e caótico, por vezes não representa tal e qual o cenário observado numa célula real. Numa tentativa de tornar mais realista o modelo de RBN foram sendo propostos nos u ´ltimos anos outros tipos de modelos, uns com diferen¸cas essencialmente a n´ıvel topológico e outros com diferentes cenários de ”update”do sistema. Neste cap´ıtulo vou apresentar alguns dos trabalhos que têm sido desenvolvidos de molde a mostrar que as conclusões que é poss´ıvel retirar do modelo de Kauffman não dependem essencialmente de nenhuma das suas caracter´ısticas, podendo também ser obtidas quando se consideram modelos um pouco mais refinados, no sentido de mais de acordo com a realidade.

formalismo matemático para o grafo das reaçcões Uma das importantes contribui¸cões para a credibilidade do modelo de Kauffman deve-se ao trabalho desenvolvido, a partir de 2000, por Mike Steel, Wim Hordijk e Elchanan

Mossel, [Ste00], [HS05] e [MS05]. De facto, estes cientistas conseguiram formalizar a ideia intuitiva de Kauffman de olhar para um sistemas de reaçcões qu´ımicas como um grafo e analisar com algum detalhe a probabilidade do fechamento autocatal´ıtico. Denotemos por X um qualquer conjunto de moléculas. Então, uma reaçcão vai ser descrita como um par ordenado r = (A, B), com A, B ⊂ X e A ∩ B = ∅, onde A = ρ(r) é o conjunto de moléculas reagentes e B = π(r) é o conjunto de moléculas produto, no sentido em que, se A = {a1 , · · · , am } e B = {b1 , · · · , bk }, então a reaçcão r traduz uma certa combina¸cão de moléculas de A que vai dar origem a uma combina¸cão de elementos de B, n1 a1 + · · · + nm am −→ n01 b1 + · · · + n0k bk , com n1 , · · · , nm e n01 , · · · , n0k inteiros positivos. Caso haja um suprimento de certas moléculas ao sistema, vamos dizer que esse subconjunto F é um conjunto de moléculas alimento de X. O conjunto das reaçc˜ oes admiss´ıveis para o conjunto de moléculas X vai ser denotado por R. Destas, interessa-nos destacar aquelas reaçcões que são catalisadas por elementos de X, dizendo que uma reaçcão catalisada é um par ordenado (x, r), para algum x ∈ X e alguma r ∈ R. O conjunto das reaçcões catalisadas vai ser denotado por C, sendo naturalmente um subconjunto de (X, R). Assim sendo, o objecto fundamental neste estudo será o sistema das reaçc˜ oes catalisadas sobre F , descrito pelo triplo (X, R, C). Para facilitar o seu estudo, é conveniente olhar para um sistema das reaçcões catalisadas sobre F , (X, R, C), como um grafo dirigido, cujos vértices são os elementos do conjunto X ∪ R e cujas arestas são de dois tipos: para cada r = (A, B) ∈ R vamos considerar um arco entre cada a ∈ A e r e, para cada b ∈ B, um arco de r para b. Essas arestas são habitualmente referidas como arestas de reaçcão. Por outro lado, para cada (x, r) ∈ C, vamos considerar uma aresta a ligar a molécula x e a reaçcão r, são as chamadas arestas catal´ıticas. Vejamos o seguinte exemplo.

Consideremos um sistema formado pelo conjunto X = {a, b, c, d, e, f } de mol´eculas e o conjunto de reac¸c˜ oes d

r1 : a + b −→ c a

r2 : b + c −→ d r3 : c + d −→ e + f f

r4 : a + e −→ g com F = {a, b}. Temos então que o seu grafo de reaçcões é representado da seguinte forma, onde a cheio temos as arestas de reaçcões e a tracejado as arestas catal´ıticas:

Figura 3.1 Um exemplo de um grafo de uma reaçcão catal´ıtica. Analisando o grafo podemos afirmar que L = (X, R, C) é um sistema de reaçcões catal´ıtico sobre F . No contexto da teoria de Kauffman, mais importante que um sistema catal´ıtico de reaçc˜ oes é formalizar a ideia de subconjunto autocatal´ıtico gerado por uma certa fonte de alimento. Vejamos pois de seguida como é poss´ıvel introduzir essa no¸cão. Dado um sistema catal´ıtico de reaçcões L = (X, R, C), consideremos um subconjunto R0 de R e um subconjunto X 0 de X. Então, vamos definir o fechamento de X 0 relativamente a R0 , como o menor subconjunto W de X que contém X 0 e que, para cada 91

reac¸c˜ao r = (A, B) de R0 , satisfaz A ⊆ X 0 ∪ W =⇒ B ⊆ W .

(3)

Informalmente, podemos dizer que o fechamento de X 0 relativamente a R0 , clR0 (X 0 ), corresponde ao subconjunto X 0 juntamente com todas as moléculas constru´ıdas a partir de X 0 por aplica¸cão de repetidas reaçcões de R0 . Assim, dado um qualquer conjunto de reaçcões catalisadas L = (X, R, C), um subconjunto R0 não vazio de R pode ser classificado da seguinte forma: R0 diz-se • reflexivamente autocatal´ıtico em L = (X, R, C) se, para toda a reaçcão r ∈ R0 , existe x ∈ sup(R0 ) tal que (x, r) ∈ C; • gerado por F , se ρ(R0 ) ⊆ cl(F ); • reflexivamente autocatal´ıtico e gerado por F (RAF) para L = (X, R, C) se R0 é reflexivamente autocatal´ıtico para L e gerado por F . onde sup(R0 ) = ρ(R0 ) ∪ π(R0 ), com ρ(R0 ) e π(R0 ) os conjuntos dos reagentes e dos produtos de todas as reaçc˜ oes pertencentes a R0 , ou seja, [

ρ(R0 ) =

ρ(r) ,

r∈R0

π(R0 ) =

[

π(r) .

r∈R0

Deste modo, tem-se que um conjunto de reaçcões R0 é um RAF se todos os seus elementos forem reaçcões catalisadas por pelo menos uma molécula envolvida numa reaçcão de R0 e cada reagente em R0 possa ser obtido por um conjunto alimento F por sucessiva aplica¸cão de reaçc˜ oes de R0 . Como podemos perceber, esta formaliza¸cão capta algumas das fun¸cões fundamentais enumeradas para os sistemas vivos, no sentido da vida ser um conjunto autocatal´ıtico capaz de se sustentar a si mesmo a partir de uma fonte de alimento. Vejamos o seguinte exemplo. Relativamente ao exemplo apresentado anteriormente, consideremos o subconjunto R0 = {r1 , r2 }. 92

Figura 3.2 Um exemplo de um conjunto RAF com duas reaçcões. Como podemos observar, este subconjunto R0 é um RAF, uma vez que, não apenas cada uma das reaçc˜ oes que lhe pertencem são catalisadas por um elemento em sup(R0 ), mas também que todos os reagentes envolvidos podem ser obtidos a partir da fonte de alimento F através de uma ou mais reaçcões r1 , r2 . O contexto que mais nos aproxima do modelo de Kauffman leva-nos a considerar um sistema catal´ıtico de reaçc˜ oes L = (X, R, C) relativamente a F , onde X, F e R estão fixos e o conjunto C é obtido através de uma escolha aleatória. Em particular, vamos admitir que todo o elemento (x, r) de X × R tem uma probabilidade p de pertencer a C, probabilidade essa que é igual para todos eles. Denotemos então por P(L, p) a probabilidade que, dado um tal sistema L, exista um subconjunto RAF de L. Em [?], prova-se que esta probabilidade, P(L, p), é uma fun¸cão monotonamente crescente com p. No modelo originalmente proposto por Kauffman, X = X(n) era o conjunto das sequências poss´ıveis de comprimento não superior a n de s´ımbolos escolhidos num alfabeto de k elementos, sendo a fonte de alimento F o subconjunto das sequências de comprimento não superior a um certo t, com t tomando valores pequenos, por exemplo, t = 2. Ainda de acordo com a proposta de Kauffman, os elementos de X(n) são sequências ordenadas, sendo então consideradas como reaçcões poss´ıveis aquelas descritas por r = ({a, b}, {c}) e r = ({c}, {a, b}), com a, b ∈ X e onde a sequência c = ab ou c = ba é formada pela concatena¸cão das sequências a e b. Finalmente, o conjunto das reaçc˜ oes catalisadas, C(n), é obtido aleatoriamente considerando que cada x ∈ X(n) catalisa qualquer uma das reaçcões r ∈ R, com probabilidade p(n). Note-se que, neste modelo, se admite que a probabilidade que uma reaçcão r seja catalisada por um ele93

mento de X não depende nem de x nem de r, mas tão somente do comprimento máximo que as sequências de X podem ter.

Figura 3.3 Um conjunto RAF, irredut´ıvel, para L(5), com k = 2 e t = 2. Denotemos por f (n) o valor esperado do n´ umero de reaçcões que cada elemento de X catalisa, ou seja, f (n) = p(n) |R| , onde por |R| se denota o n´ umero de elementos do conjunto R. As questões mais importantes no modelo proposto por Kauffman podem ser apresentadas neste formalismo do seguinte modo: denotemos por P∞ o limite, quando n cresce para infinito, da probabilidade P(L, p). (A) que condi¸c˜ oes deve f (n), ou, equivalentemente, p(n), satisfazer de modo a que garantidamente se tenha P∞ = 1 ? (B) dada uma qualquer fun¸cão f (n) para a qual se tenha P∞ = 1, para que valor de n é esperado observar um primeiro conjunto de tipo RAF e qual será a dimensão t´ıpica, em termos percentuais relativamente ao n´ umero total de reaçcões, dos conjuntos RAF irredut´ıveis? Em estudos recentes, [Ste00], foi poss´ıvel provar as seguintes afirma¸cões:

(1) se f (n) > c n2 , com c > ln(k), ent˜ao P∞ = 1; (2) se f (n) <

1 3e,

ent˜ao P∞ = 0 94

Como é poss´ıvel perceber, estes resultados trazem uma resposta um pouco fraca à primeira das quest˜ oes, na medida em que coloca limites para os dois tipos de comportamento para a probabilidade P∞ mas deixa um intervalo muito aberto entre eles. Relativamente à segunda das quest˜ oes podemos afirmar, [HS05], que, para k = 2 e admitindo que f (n) > d0 n log(n), com d0 > 4, o n´ umero esperado de conjuntos de tipo RAF para o sistema cresce para infinito, quando n cresce para infinito. Muito embora os resultados conseguidos fiquem muito aquém daquilo que se desejaria, aquilo que importa salientar é a formaliza¸cão matemática do problema e a clareza que essa formaliza¸cão traz às questões colocadas. Naturalmente que está de alguma forma impl´ıcito que, insistindo mais, será poss´ıvel chegar a resultados mais conclusivos. No u ´ltimo dos trabalhos citados são mostradas algumas simula¸cões computacionais, algo que de alguma forma penso perspectivar os resultados matemáticos a procurar.

Aquilo que me parece mais importante salientar no gráfico apresentado são as curvas obtidas para valores mais elevados de n, curvas essas onde as transi¸cões são cada vez mais n´ıtidas. Contudo, como é aliás afirmado pelos autores, para n = 20 existe alguma imprecisão na defini¸cão do plateau superior, em virtude das dificuldades computacionais que essas situa¸c˜ oes trazem. Penso no entanto que, sem grande margem de erro, é poss´ıvel conjecturar a existência de uma transi¸cão entre os valores 0 e 1 para a probabilidade de se formarem conjuntos de tipo RAF nos modelos considerados. 95

Para terminar, gostaria de dizer que a importância do formalismo aqui apresentado reside igualmente na facilidade em considerar pequenas varia¸cões ao modelo de Kauffman, porventura mais realistas, testando assim se as suas principais caracter´ısticas resistem a tentativas de modela¸cão mais detalhadas.

distância de Hamming Como ficou bem claro desde o in´ıcio, um dos aspectos fundamentais a esclarecer relativamente às redes NK como modelos de sistemas biológicos era a sua robustez, no sentido da sua dinâmica não se alterar significativamente com pequenas varia¸cões do estado inicial do sistema. Para analisar esta propriedade podemos estudar se a evolu¸cão de um sistema partindo de estados iniciais pr´ oximos leva a estados muito distintos, ou se, pelo contrário, mantém sempre essas diferen¸cas ou mesmo as reduz. Deste modo, torna-se necessário uma medida da diferen¸ca entre dois quaisquer estados de um mesmo sistema, o que pode ser conseguido através da chamada distância de Hamming, ou da distância normalizada de Hamming. A distância de Hamming entre dois estados E1 e E2 de uma rede NK é definida como o n´ umero de elementos do sistema cujos valores das suas variáveis (binárias) não coincidem. Como facilmente se observa, esta quantidade pode ser descrita da seguinte forma: H(E1 , E2 ) = (E1 (1) − E2 (1))2 + (E1 (2) − E2 (2))2 + · · · + (E1 (N ) − E2 (N ))2 =

N X (E1 (i) − E2 (i))2 , i=1

onde por E1 (i) e E2 (i) se denotam os estados da variável do elemento i do sistema no estado E1 e E2 , respectivamente. Uma vez que esta medida depende do n´ umero de elementos do sistema, é prefer´ıvel considerar o quociente H/N , a chamada distância de Hamming normalizada, que para simplificar vamos denotar também por H. Vejamos um exemplo para ilustrar de que modo este conceito nos pode ajudar a medir a robustez de uma rede NK . 96

Consideremos uma rede NK , com N = 100 e K = 4, numa topologia de quadrado, isto é, onde cada elemento da rede está disposto num quadrado, sendo então influenciado pelos seus quatro vizinhos mais próximos. Fazendo uma escolha aleatória das fun¸c˜ oes booleanas para cada um dos elementos da rede, consideremos a seguinte rede de fun¸c˜ oes booleanas (neste caso, como é usual, estamos a representar cada uma das fun¸c˜ oes booleanas pelo n´ umero inteiro correspondente, neste caso um inteiro entre 0 e 216 − 1 = 65 535): 20980 35025 62888 39382 25732 53466 56850 6685 28755 41810

590 6778 6048 52827 1918 4749 4386 58872 29865 33227

64193 60568 8767 48736 60975 55261 54844 63848 55929 54107

2788 51371 3009 14566 33052 17780 53501 41816 5721 40335

48049 29500 38394 7689 26951 37435 55462 41640 5375 40761

31971 30417 11689 27995 25041 57899 27610 26094 38043 4871

13835 58401 50379 41075 6072 8680 26188 21432 58363 47368

28122 973 52217 4999 41330 61823 25271 50695 43133 47041

1499 7501 52813 49967 34078 11912 38566 13995 47055 11165

33937 4093 15964 59468 4103 48396 47982 1587 43528 51170

Agora vamos escolher aleatoriamente uma configura¸cão para a rede e uma sua posi¸cão para efectuar a u ńica modifica¸cão que vamos considerar para a segunda configura¸cão. Estes vão ser os estados iniciais do sistema cuja evolu¸cão vamos estudar. T=0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

1 1 0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

T=0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

1 1 0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

Como podemos verificar, apenas um dos elementos da rede da direita tem a sua variável não coincidente com o correspondente elemento da rede da esquerda, logo vamos dizer que a distância de Hamming normalizada no instante T = 0 é H0 = 0.01. De seguida são apresentadas as configura¸c˜ oes de cada uma das redes, para T = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ditadas pela dinâmica das fun¸c˜ oes booleanas anteriormente descritas.

T=0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

1 1 0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

T=0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

1 1 0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1 0 1 1

T=1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 1 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1 0 0 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 1 1 0 1

1 1 1 0 0 0 0 1 1 0

0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 1 0 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1 0

1 1 0 1 0 1 0 0 1 1

T=1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 1 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

T=2 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0

1 1 0 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

T=2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1 1 1 1 0

1 1 0 1 0 1 0 0 1 1

0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 99

0 0 1 1 0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 0 0 1 1

T=3 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1 1 1 0

T=3 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 1 1 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 1 1 1 0 1

T=4 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 1 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1 1 1 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1 1 1

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 1 0 1 0 0 1 1

T=4 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 1 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 1 1

0 0 0 1 1 0 1 0 0 0

T=5 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0 0 1 1 1

T=5 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 0 1 0 1 1 0

0 1 1 1 0 1 0 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 100

1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 1 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 1 0

Na tabela seguinte s˜ao apresentados os valores da distˆancia de Hamming calculados para cada um dos instantes considerados: T

HT 0.01 0.03 0.05 0.37 0.5 0.44 Para medir num u ńico parâmetro de que modo se dá a divergência (considerando a convergência como uma divergência negativa) dos estados de um sistema, é habitual procurar ajustar à evolu¸cão temporal de H a rela¸cão Ht ≈ H0 eλ t , assumindo que a distância inicial, H0 , é pequena, ou seja, que H0 é muito inferior a um15 . Nesse caso a divergência fica caracterizada pelo expoente λ, chamado o expoente de Lyapunov do sistema. Para o exemplo anterior, vê-se claramente que para o cálculo do expoente de Lyapunov devemos desprezar o valor da distância de Hamming para o u ´ltimo caso, uma vez que nessa altura estaremos a medir a divergência, no instante seguinte, entre dois estados já muito separados. Assim sendo, encontra-se que o expoente de Lyapunov é dado por λ = 1.03364 . A caracteriza¸cão da dinâmica do sistema pode ser então caracterizado pelos valores do seu expoente de Lyapunov da seguinte forma:

se λ < 0, então temos que a distância de Hamming fica cada vez menor, relativamente a uma distância inicial, e assim assiste-se a uma convergência da evolu¸cão do estado do sistema. Podemos assim dizer que estamos perante um sistema que tende a fixar, a congelar, todas as suas configura¸cões numa u ńica. se λ > 0, então temos que a distância de Hamming aumenta exponencialmente a partir de um valor inicial, ou seja, que quaisquer duas configura¸cões do sistema, por muito pr´ oximas que estejam inicialmente, vão, com o passar do tempo, perder essa proximidade. Diz-se que se trata de um sistema caótico, ou de um sistema 15 Esse n´ umero corresponde a duas configura¸co ˜es com todos os seus elementos com valores distintos da respectiva vari´ avel.

101

com sensibilidade às condi¸c˜ oes, uma vez que tende a desfazer qualquer sentido de ordem de quaisquer suas configura¸cões. por fim, se λ = 0, então temos que a distância de Hamming depende algebricamente com o tempo, no sentido em que o ajuste exponencial procurado não foi encontrado16 . Deste modo, temos que Ht ∝ tγ . De seguida iremos ver de que modo é poss´ıvel caracterizar as redes NK em termos de valores para o expoente de Lyapunov. Mas, antes ainda de mostrarmos alguns dos resultados poss´ıveis, vejamos o que obtivemos com algumas algumas experiências computacionais. Para tentar entender de que forma os expoentes de Lyapunov de uma rede NK dependem da escolha de K , é necessário recordar que, qualquer que seja o valor de K escolhido, existem sempre sistemas com expoentes associados negativos, ou seja, redes NK onde é poss´ıvel assistir ao congelamento do sistema. O estudo que deve ser feito tem mais a ver com o sistema t´ıpico, ou seja, fixados os valores de N e K , vamos estudar várias redes NK com escolhas aleat´ orias das fun¸cões booleanas. Desta forma, no final teremos o estudo do comportamento, da dinâmica, de uma rede média com essas caracter´ısticas. Na figura seguinte estão tra¸cados os gráficos, para diferentes escolhas de K , dos pontos HT , HT+1 , para valores de HT e HT+1 a variar no intervalo (0.0, 0.7). A diagonal do gráfico, correspondente portanto à igualdade HT = HT+1 , marca os pontos para os quais não existe varia¸cão da distância de Hamming. A sua inclusão no gráfico tem o intuito de destacar a região do plano correspondente a HT > HT+1 , ou seja, a sistemas onde se assiste a uma convergência da evolu¸cão dos estados, e a região onde HT < HT+1 , ou seja, onde existe uma divergência (exponencial) dos estados no instante seguinte.

16 Ao inv´es de uma evolu¸c˜ ao constante, como poderia parecer por uma substitui¸c˜ ao directa na express˜ ao acima.

102

0.6

0.5

K=5 0.4

K=3

K=4

K=2

0.3

0.2

0.1

0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Figura 3.4 Gr´afico tra¸cado a partir da m´edia dos valores de (HT , HT+1 ), para redes com um n´ umero de elementos N = 150, tendo sido considerados 400 sistemas, escolhidos aleatoriamente, para K = 2 e 3, 500 para K = 4 e 600, para K = 5. Analisando os resultados obtidos podemos afirmar que:

para K > 2, observa-se, para pequenos valores de HT , que as redes tipicamente mostram divergência dos estados em instantes consecutivos, sendo essa divergência tanto maior quanto mais elevado for o valor de K ; para K = 2, observa-se que as redes tipicamente mostram convergência dos estados em instantes consecutivos, muito embora com pontos muito próximos da diagonal para pequenos valores de HT . No caso das redes NK é poss´ıvel fazer uma análise estat´ıstica muito simples: suponhamos que HT , o n´ umero de elementos com variáveis distintas das duas configura¸cões num certo 103

instante T, é muito inferior ao n´ umero de elementos do sistema, N . Então, podemos dizer que o n´ umero de fun¸c˜ oes booleanas que vão ser afectadas nas suas entradas por esses elementos é aproximadamente igual ao produto K HT . Por outro lado, sabendo que a probabilidade de uma fun¸cão booleana alterar o valor da variável de um elemento da rede é igual a 1/2, podemos afirmar que, nas condi¸cões descritas, o n´ umero de elementos do sistema com valores distintos, no instante seguinte, T+1, nas duas configura¸cões, é dado por HT+1 =

1 K HT . 2

Assim sendo, retira-se facilmente a seguinte expressão para Ht em fun¸cão do n´ umero inicial, para t = 0, de elementos distintos em ambas as configura¸cões do sistema: Ht =

K t H0 = H0 e t ln K /2 . 2

Esta análise estat´ıstica, válida apenas para Ht << N , evidencia aquilo que os resultados computacionais já nos tinham levado a concluir, ou seja, que, para sistemas com K = 2, a separa¸cão das ´ orbitas de duas configura¸c˜ oes quase iguais de um sistema não é exponencial. Por outro lado, vemos também que para valores crescentes de K essa separa¸cão é cada vez maior, uma vez que os respectivos expoentes de Lyapunov são dados por λK = ln(K /2) . No gráfico seguinte comparamos os resultados obtidos computacionalmente com as estimativas estat´ısticas atrás efectuadas.

104

K=5

0.5

K=4

K=3

K=2

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Neste gráfico é not´ orio que a concordância da análise estat´ıstica efectuada com os resultados obtidos da simula¸cão computacional se faz apenas para valores da distância de Hamming normalizada, Ht , muito próximos de zero, ou seja, em situa¸cões em que o n´ umero de elementos da rede com valores distintos é muito inferior ao n´ umero de elementos da rede.

105

diferentes topologias Como vimos anteriormente, o modelo cl´assico

de Kauffman possui uma topologia

com base nos grafos aleat´ orios da teoria de Erdös e Renyi. No entanto, Albert-László Barabási, desde finais dos anos 1990, tem vindo a chamar a aten¸cão que na Natureza a maioria dos sistemas complexos possui uma topologia de um tipo muito diferente, uma topologia agora designada como do tipo ”Scale-free”, na qual existem alguns elementos com muitas liga¸c˜ oes e muitos com apenas algumas liga¸cões. Esta altera¸cão da topologia do sistema, tal como estudaram Oosawa e Savageau, [OS02], para além de produzir uma significativa altera¸cão gráfica da rede, altera também as propriedades do sistema: redes com um padrão mais uniforme exibem maiores e mais longos atractores, bem como uma menor entropia e uma menor correla¸cão entre os seus padrões de expressão, enquanto redes como um padrão distorcido, como as redes ”Scale-free”, exibem menores e mais curtos atractores, assim como uma maior entropia e uma maior correla¸cão os seus padrões de expressão, ver [BA99], [Ger04] e [IKY07]. Alguns exemplos f´ısicos mais comuns na Natureza da presen¸ca deste tipo de topologia são as redes genéticas e moleculares, as cadeias de alimenta¸cão animal, os ecossistemas, as redes sociais, etc. A um n´ıvel mais tecnológico, este tipo de sistemas descreve as redes lingu´ısticas, a Internet, etc., [Ger04]. Utilizando um modelo ”Scale-free”, são acrescentados dois novos aspectos ao modelo de Erdös-Renyi. Primeiro, enquanto no modelo de Erdös-Renyi existe um n´ umero fixo de vértices, N, no modelo ”Scale-free”existe, tal como na maioria das redes reais, uma expansão cont´ınua do sistema, onde novos vértices são introduzidos e conectados com os vértices já presentes no sistema. Segundo, a probabilidade de dois vértices se conectarem mutuamente numa rede de Erd¨ os-Renyi segue uma distribui¸cão uniforme, enquanto numa rede ”Scale-free”existe uma maior probabilidade que um vértice se conecte a um vértice que já tenha muitas outras conex˜ oes, seguindo a lei de distribui¸cão de probabilidade P (k) = 1/ζ(γ) k γ , 17

Assim passarei a designar o modelo de Kauffman at´e agora estudado.

106

com γ > 1 e onde ζ(γ) =

∞ X

kγ

k=1

é a conhecida fun¸cão zeta de Riemann. Desta forma, todo o vértice tem pelo menos uma aresta, ou seja, uma conexão com um outro elemento do sistema, mas existem alguns elementos com um n´ umero de liga¸cões muito maior. Por isso, as propriedades do sistema não são já determinadas pelo n´ umero médio de conexões mas sim pelo expoente γ, [Ger04], [IKY07] e [BA99]. Apesar deste tipo de sistema estar continuamente a crescer, ele organiza-se num estado ”Scale-Free”estacionário, isto é, onde a distribui¸cão de probabilidade P (k) é independente do tempo, sendo o parâmetro de preferência e crescimento γ fundamental para o desenvolvimento da lei de potências da distribui¸cão. Alguns estudos de sistemas biol´ ogicos revelam que este parâmetro pertence ao intervalo (2, 2.5), ou seja, que um sistema no limiar do caos apresenta este dom´ınio de valores para o expoente γ, ver [Ger04]. Outro tipo de topologia estudado como poss´ıvel representa¸cão dos sistemas de redes biol´ ogicas é caracterizada por um pico na distribui¸cão de probabilidade de um elemento da rede estar associado a k outros elementos da rede para o valor médio de conexões da ´ o tipo de topologia rede, decaindo depois exponencialmente para valores elevados de k. E associado a uma rede direccionada de flutua¸cões exponenciais. Neste tipo de redes temos que a probabilidade de cada vértice se ligar a um outro vértice segue a seguinte lei de distribui¸cão de probabilidade: P (k) =

z k e−z , k!

onde por z se denota o valor médio de k, isto é, z = hki. Assim sendo, vemos que P (k) aumenta exponencialmente com o n´ umero de conexões que esse vértice possui, levando a uma topologia com centros de grande conectividade, sendo a presen¸ca de estes vértices de grande conectividade ainda mais acentuada que numa topologia de tipo ”Scale-Free”. Na figura seguinte são apresentados exemplos dos dois tipos de topologias. 107

Apesar das evidências gráficas deste tipo de topologias no mundo real, é necessário um estudo mais aprofundado de modo a serem acolhidas e aceites pela maioria da comunidade cient´ıfica de sistemas RBN.

diferentes modos de actualiza¸cão do sistema No modelo clássico de redes RBN proposto por Kauffman a actualiza¸cão do sistema era feita sempre de uma forma sincr´ onica, isto é, o ”update” dos nodos do sistema era realizada ao mesmo tempo. Contudo, no mundo real, observando o metabolismo celular 108

e o mecanismo genético, sabemos que este sincronismo não existe. De facto, sabe-se que no sistema metab´ olico celular as reaçcões moleculares metabólicas se realizam de modo ass´ıncrono, ou, no máximo, revelando uma sincronia entre apenas parte da rede de sistema de reaçc˜ oes. Da mesma forma, é conhecido que no sistema genético os estados genéticos ocorrem em tempos diferentes. Atentos a esta dificuldade, Inman Harvey e Terry Bossomaier, [HB97], introduziram o modelo de redes RBN ass´ıncronas, no qual um nodo é escolhido à vez e aleatoriamente e actualizado apenas esse elemento da rede. Como as redes ARBN são ass´ıncronas, mas não deterministas, os atractores c´ıclicos, ou seja, os atractores dos sistemas que temos estudado até agora, deixam simplesmente de existir, porque é muito dif´ıcil que uma sequência de estados se repita num sistema não determin´ıstico. Continuam a existir, isso sim, atractores pontuais, ou seja, atractores associados a um u ńico nodo do sistema, e as suas bacias de atraçcão. No entanto, com este novo tipo de rede cada estado do sistema pode pertencer a mais que uma bacia de atraçcão. Vejamos um exemplo de uma rede ARBN, voltando a um dos primeiros exemplos de uma rede RBN considerada, com N = 3 e K = 2, cuja descri¸cão é dada pela seguinte tabela: Lâmpada/enzima

fun¸c˜ao booleana

input1

input2

L1 L2 L3

And And Or

L2 L1 L1

L3 L3 L2

Não sendo a actualiza¸cão da configura¸cão da rede feita em simultâneo, em geral não vamos ter uma u ńica configura¸cão como resposta a cada uma das configura¸cões poss´ıveis do sistema. Na tabela seguinte apresentamos as três poss´ıveis configura¸cões no instante T+1, consoante a actualiza¸cão é feita apenas no primeiro, segundo, ou terceiro elementos da rede, respectivamente.

109

instante T L1 0 0 0 1 0 1 1 1

L2 0 0 1 0 1 1 0 1

L3 0 1 0 0 1 0 1 1

instante T+1 L1 0 0 0 0 0 0 0 1

L2 0 0 1 0 1 1 0 1

L3 0 1 1 0 1 0 1 1

L1 0 0 0 1 0 1 1 1

L2 0 0 0 0 0 0 0 1

L3 0 1 0 0 1 0 1 1

L1 0 0 0 1 0 1 1 1

L2 0 0 1 0 1 1 0 1

L3 0 0 1 1 1 1 1 1

Focando a nossa aten¸cão na dinâmica da rede, podemos resumir as poss´ıveis transi¸cões de cada uma das configura¸c˜ oes no instante T na seguinte tabela (onde se perde a informa¸cão do elemento cuja actualiza¸cão corresponde a essa transi¸cão): instante T L1 0 0 0 1 0 1 1 1

L2 0 0 1 0 1 1 0 1

L3 0 1 0 0 1 0 1 1

instante T+1 L1 0 0 0 0 0 0 0 1

L2 0 0 0 0 0 1 0 1

L3 0 0 0 0 1 0 1 1

0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 1

´ assim muito fácil perceber que, tal como no caso da actualiza¸cão s´ıncrona da rede, E existem dois estados atractores, exactamente os mesmos. Contudo, as suas bacias de atraçcão sofreram uma modifica¸cão, passando a bacia de atraçcão do atractor (000) a ser constitu´ıda por todos os elementos do sistema excepto o outro atractor, cuja bacia de atraçcão passa agora a ter uma configura¸cão, a saber, o estado (110). Como podemos concluir obervando a tabela anterior, existe a possibilidade de um atractor c´ıclico, mas isso implicaria que o sistema tivesse uma actualiza¸cão, até ao infinito, com determinadas caracter´ısticas, o que, naturalmente, não é provável. Deste modo se percebe que os atractores c´ıclicos da correspondente rede RBN, perdem o seu significado com uma actualiza¸cão ass´ıncrona. Tal como foi referido anteriormente, uma outra diferen¸ca para 110

as redes RBN é o facto de uma determinada configura¸cão do sistema poder pertencer a distintas bacias de atraçcão, como se observa, neste exemplo, com a configura¸cão (110). No entanto, Ezequiel Di Paolo, [Di 01b] e [Di 01a], descobriu que as redes ARBN, mesmo não possuindo um carácter determin´ıstico, em alguns casos possuem um carácter r´ıtmico, exibindo aquilo que chamou de atractores r´ıtmicos, com ciclos em cadeia, capazes de reproduzir um carácter sincrónico em fragmentos da rede, [Ger04]. Carlos Gersheson, [Ger04], contrapõe ao carácter aleatório deste tipo de redes apresentando o conceito de redes DARBN, ou seja, as redes Boleanas ass´ıncronas e deterministas. Neste tipo de rede cada nodo é actualizado em diferente per´ıodos de tempo, mas esta actualiza¸cão é determin´ıstica, dependendo de dois parâmetros por nodo do sistema, Pi e Qi , com Pi , Qi ∈ N e Pi > Qi , para todo i = 1, · · · , N , escolhidos aleatoriamente até uns valores máximos Pmax e Qmax , que determinam, respectivamente, o ”per´ıodo”e a ”transla¸cão”da actualiza¸cão do sistema. De facto, neste tipo de redes temos que a actualiza¸cão do elemento i do sistema é feita quando for satisfeita a condi¸cão T

mod Pi = Qi ,

T = 0, 1, 2, · · · .

Se mais do que um elementos do sistema preenche estas condi¸cões, o sistema é actualizado numa sequência espec´ıfica para cada nodo, um por um, simulando uma rede ARBN. Sendo as fun¸c˜ oes, a topologia e os parâmetro de actualiza¸cão gerados aleatoriamente, temos que a sequência não afecta as propriedades da fam´ılia de redes. Temos assim que nas redes DARBN é poss´ıvel observar de novo ciclos de atractores, os quais possuem propriedades idênticas aos das redes clássicas, CBRN, mas, pela forma de actualiza¸cão do sistema, as propriedades gerais são idênticas às das redes ARBN, [Ger04] e [Ger03]. Vejamos o seguinte exemplo de uma rede DARBN. Consideremos exactamente o mesmo sistema ass´ıncrono descrito anteriormente. Como constatamos na altura, cada uma das configura¸cões do sistema pode transitar para uma ou mais configura¸c˜ oes, de acordo com a tabela apresentada, sendo a escolha da transi¸cão em causa feita aleatoriamente. A diferen¸ca para este tipo de sistema é a indica¸cão determinista da transi¸cão a efectuar em cada caso. Essa indica¸cão, dependente do valor do tempo T, vai então ser inclu´ıda na tabela que descreve a evolu¸cão temporal do sistema. 111

instante T L1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

L2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1

instante T+1

L3 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1

L1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1

L2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1

L3 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

Qi 0,1,2 0,2 1 0 1,2 0 1 2 0,1 2 0 1 2 0,2 1 0,1,2

Na coluna mais à direita da tabela acima estão indicados, para cada transi¸cão poss´ıvel, os valores de Qi , sendo que escolhemos Pi = 3 para todos os elementos da rede. Assim sendo, podemos seguir (deterministicamente) a evolu¸cão do sistema: suponhamos que, para T = 26, temos o sistema na configura¸cão (1 0 0). Então,

T = 26 (1 0 0)

→

T = 27 (1 0 1)

→

T = 28 (0 0 1)

→

T = 29 (0 0 1)

→

T = 30 (0 0 0)

Tendo o sistema atingido um atractor, (0 0 0), sabemos desde logo que o sistema não mais sairá dessa configura¸cão. As redes ARBN e DARBN resolvem o problema da sincronia do sistema original proposto por Kauffman. No entanto introduzem um outro problema, a saber, o de uma ass´ıncronia extrema. No complexo mundo real acontece mais de um nodo do sistema ´ necessária uma generaliza¸cão destes sistemas, ser actualizado em determinado tempo. E 112

tendo para isso sido introduzidas as redes GARBN18 e as redes GDARBN19 , respectivamente. O funcionamento das redes de tipo GARBN é idêntico ao das redes ARBN, mas existe agora uma escolha aleatória dum conjunto de nodos a actualizar, os quais são actualizados simultaneamente. Deste modo, temos que nestes sistemas generalizados, nenhum, um, alguns ou todos os nodos podem ser actualizados simultaneamente. Por isso, este tipo de redes são classificadas como redes semi-s´ıncronas. De igual modo as redes de tipo GDARBN possuem um funcionamento idêntico ao das redes DARBN, sendo utilizados também os dois parâmetros Pi e Qi por elemento da rede, de modo a tornar o sistema determin´ıstico, mas neste caso se vários forem os nodos que preenchem estas condi¸c˜ oes de actualiza¸cão todos eles serão actualizados. Diz-se então que as redes GDARBN possuem um carácter determin´ıstico semi-s´ıncrono. Como se observa facilmente, as redes clássicas, CRBN, são apenas um caso particular das redes GDARBN, uma vez que, escolhendo Pmax = 1, teremos imediatamente Pi = 1 e Qi = 0 para todos os nodos do sistema. As redes DARN e GDARN são as que mais se aproximam das redes CRBN, uma vez que são determin´ısticas, possuindo ciclos de atractores. O n´ umero de atractores depende linearmente do n´ umero de elementos da rede, N , no entanto de forma mais lenta do que nas redes CRBN, o que implica que para redes de dimensão mais elevada o n´ umero de atractores de uma rede GDARBN é inferior ao de uma rede CRBN de dimensão igual, e, consequentemente, para um n´ umero elevado de estados, as redes DGARBN possuem menor n´ umero de atractores que as CRBN. De seguida apresentamos o resultado das simula¸c˜ oes computacionais feitas por Carlos Gershenson, [Ger03], onde são comparados diferentes tipos de redes booleanas. Estudos sobre a fase de transi¸cão de diferentes cenários das redes RBN demonstram que apesar das vis´ıveis diferen¸cas entre o n´ umero de atractores e o tipo de atractores, a fase de transi¸cão, isto é, o estado cr´ıtico entre a ordem e o caos, se encontra para valores de K entre 1 e 3. Deste modo, é poss´ıvel concluir que a fase em que se encontra um sistema RBN, caos, ordem, ou cr´ıtico, não parece depender do tipo de actualiza¸cão apresentado 18

Do inglˆes, Generalized Asynchronous Random Boolean Networks.

Do inglˆes, Generalized Deterministic Asynchronous Random Boolean Networks.

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pela rede, dependendo unicamente do tamanho, da topologia, da conectividade e da funcionalidade da rede. O ponto de partida de Gershenson é a simula¸cão da evolu¸cão temporal de diferentes tipos de redes fixados o seu n´ umero de elementos, N , e a sua conectividade, K, sendo as fun¸c˜ oes booleanas escolhidas aleatoriamente. O estudo em causa resulta da escolha aleat´ oria de uma configura¸cão inicial, A, e de uma outra, B, resultante da primeira alterando apenas o estado de um dos seus elementos. A avalia¸cão é feita relativamente aos estados A0 e B 0 , que se obtêm de A e B, respectivamente, após 10 000 instantes tempo, sendo calculado o parâmetro δ = H(A0 , B 0 ) − H(A, B) com H uma vez mais a distância de Hamming normalizada20 . Temos assim que o que se pretende avaliar é exactamente a estabilidade dos sistemas a pequenas perturba¸cões. Vejamos os resultados obtidos, considerando sempre 200 configura¸cões iniciais A, aleatoriamente escolhidas, para cada sistema e 200 sistemas/distribui¸cões de fun¸cões booleanas para cada par de valores de N e K. Para os sistemas ass´ıncronos foi usado o valor Pmax = 7.

Figura 3.5 Sensibilidade às condi¸c˜ oes iniciais dos diferentes tipos de redes booleanas aleatórias, para N = 5. 20 Neste parˆ ametro, n˜ ao é muito importante a presen¸ca da distˆ ancia original H(A, B) = 1/N , excepto para evidenciar a ideia de uma diminui¸c˜ ao da distˆ ancia de Hamming para valores negativos de δ.

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Como se pode observar, tudo indica que todos os diferentes tipos de sistemas têm uma transi¸cão entre os regimes ordem/caos na passagem de valores de K entre 2 e 3. Por outro lado, como Gershenson assinala, são as redes CRBN que mostram uma transi¸cão mais acentuada, isto é, que evidenciam uma grande estabilidade para K = 1, 2 e uma grande instabilidade para K = 3, 4, 5. Para todos os outros tipos de redes os valores de δ são sempre mais pr´ oximos de zero. Aumentando o valor de N , obtiveram-se os seguintes resultados:

Figura 3.6 Sensibilidade às condi¸cões iniciais dos diferentes tipos de redes booleanas aleat´ orias, para N = 10. Neste caso é evidente que a transi¸cão ordem/caos para redes CRBN se encontra ainda na passagem K = 2 para K = 3, mas já não é assim para todos os outros tipos de redes. Por fim, vamos mostrar os resultados obtidos quando se considera um valor mais elevado21 para N .

Mas ainda muito pouco realista.

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Figura 3.7 Sensibilidade às condi¸c˜ oes iniciais dos diferentes tipos de redes booleanas aleatórias, para N = 20. Neste gráfico fica ainda patente a antecipa¸cão da transi¸cão de todos os tipos de redes relativamente às CRBN. Contudo, também se come¸ca a observar que as curvas de varia¸cão do parâmetro δ com os valores de K tendem a coincidir para todos os tipos de redes considerados. De seguida, Gershenson, condicionado pelas dificuldades computacionais que o aumento do valor de N traz, estuda apenas as transi¸cões ordem/caos para valores de N mais elevados: vejamos os resultados obtidos para N = 25.

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Figura 3.8 Transi¸cão ordem/caos para os diferentes tipos de redes booleanas aleatórias, quando N = 25. Da compara¸cão dos resultados obtidos pensamos ser razoável concluir que no caso de uma análise do tipo de comportamento de uma rede biológica, a utiliza¸cão de uma rede CRBN conduz a resultados bastante satisfatórios, na medida em que existe uma concordância bastante razoável para algumas das principais caracter´ısticas entre os diferentes tipos de redes considerados. Por fim, gostaria de assinalar ainda a existência das chamadas redes de contexto misto, MxRBN, as quais têm por base as redes GDARBN. Diferentes condi¸cões/ contextos, por exemplo, a temperatura, podem alterar o per´ıodo de update dos elementos do sistema, o que implica que um mesmo sistema em diferentes condi¸cões/contextos possua diferentes comportamentos. Estas diferen¸cas são dirigidas pelos conjuntos dos valores de Pi e Qi escolhidos. Temos então M diferentes contextos para diferentes conjuntos de valores para os parâmetros Pi e Qi . A um tempo R é seleccionado um desses contextos e utilizado no funcionamento da rede, de tal modo que o não determinismo nas redes MxRBNs é introduzido por esta aleatoriadade na escolha de R para o qual se determina um novo contexto a utilizar. Como as redes MxRBN possuem um carácter não determinista, possuem um n´ umero de atractores semelhantes ao das redes ARBN e das redes GARBN, o qual aumenta linear e suavemente com o tamanho N do sistema.

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fun¸cões canalizadoras As fun¸cões canalizadoras, do inglês, canalizing fuctions, tal como o parâmetro P utilizado no modelo clássico das redes RBN de Kauffman, foram introduzidas por forma a filtrar o comportamento de um sistema, sendo conhecidas pela sua capacidade de supressão do comportamento ca´ otico do sistema. As fun¸cões canalizadoras são fun¸c˜ oes que possuem como m´ınimo um valor de input que sozinho garante o estado seguinte do sistema, sendo irrelevante o valor dos restantes elementos da rede a que esse elemento se encontra ligado. Ilustremos com um exemplo o funcionamento deste tipo de fun¸c˜ oes booleanas: consideremos um sistema composto por apenas três elementos, A, B e C, cuja dinâmica é definida através da seguinte tabela: T

T+1

Como podemos constatar, se, no instante T, temos A = 0, imediatamente se verifica que C = 1 no instante seguinte, independentemente dos estados dos outros dois elementos, B e C, no instante T. Por outro lado, se A = 1, então o estado do elemento C no instante seguinte será 0 ou 1, dependendo apenas do estado de C no instante anterior. Com esta observa¸cão conclui-se que A é um input canalizador, no sentido em que determina o seu estado, de C e que C é um input canalizador de si mesmo. Deste modo podemos dizer que o elemento C possui duas fun¸c˜ oes canalizadoras. Olhando agora para o elemento B, verifica-se que este possui três fun¸cões canalizado118

ras, dado que B é canalizador de si próprio, uma vez que, se, no instante T , temos B = 0, então, no instante seguinte, podemos imediatamente assegurar que B = 0, e que possui também como fun¸c˜ oes canalizadoras A e C, visto que A = 1, no instante T, implica que, de seguida, B = 0, enquanto C = 1 implica B = 0, no instante seguinte. Por fim, é igualmente fácil de observar que o elemento A possui apenas a fun¸cão canalizadora B, visto que B = 0 no instante T, determina imediatamente A = 1, no instante seguinte. Com este pequeno exemplo é poss´ıvel verificar que numa rede uma fun¸cão Boleana de K inputs pode ter 0, 1, 2, 3, · · · , K inputs canalizadores. Numericamente é poss´ıvel observar que para K > 2 inputs por nodo de rede, quando existe um n´ umero suficiente de inputs canalizadores o sistema pode ser dirigido de um regime caótico para um regime ordenado.

Mas o mais interessante da aplica¸cão deste conceito de fun¸cões canalizadoras é o facto dos resultados nos mostrarem claramente que a transi¸cão de um regime caótico para a ordem ser observada tanto para redes CRBN, como para redes GDRBN e ainda para redes GDARBN, o que biologicamente é muito importante, uma vez que as reaçcões moleculares no interior das células não se realizam de uma forma s´ıncrona. Este estudo vem, de alguma forma, mostrar que a existência desta transi¸cão é independente do modo de actualiza¸cão do sistema, [KH07] e [Kau00]. Por outro lado, outros estudos indicam também que a sua aplica¸cão é também independente da topologia do sistema, no sentido em que um sistema RNB com topologia Erd¨ os-Renyi ou com topologia ”Scale-Free”, com um n´ umero suficiente de fun¸cões canalizadoras encontrar-se-á sempre num regime ordenado, ver [KPST04] e [KH07]. 119

Na realidade, para determinar se um sistema se encontra no estado caótico, cr´ıtico ou ordenado, define-se o valor médio de fun¸cões canalizadoras da rede RBN considerada. Biologicamente verifica-se que, aplicando o valor médio de filtros biológicos, Drosophila, milho, ratos, etc., como se se tratasse do valor médio das fun¸cões canalizadoras, é poss´ıvel verificar que este sistema se encontra no limiar do caos junto ao regime ordenado. Verifica-se ainda que, apesar de a percentagem de fun¸cões canalizadoras decrescer rapidamente com o aumento do valor de K, tal como no gráfico que de seguida se apresenta,

estudos biol´ ogicos efectuados a genes eucariotas demonstram que a escolha das fun¸cões boleanas aplicadas ao sistema não é de modo algum aleatória, existindo um n´ umero elevado de fun¸c˜ oes canalizadoras aplicadas a cada gene do sistema, o que permite que o sistema se mantenha no limiar do caos junto ao regime ordenado. Nas figuras seguintes apresenta-se, para diferentes valores de K, gráficos para situa¸cões com diferente n´ umero de fun¸cões canalisadoras.

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Com a apresenta¸cão destes u ´ltimos aspectos onde se estudam varia¸cões para o modelo de Kauffman, quer ao n´ıvel da sua topologia, quer relativamente à sincronia com que se realiza a actualiza¸cão dos sistemas, quer ainda à presen¸ca de fun¸cões booleanas especiais, pretendi mostrar de que forma, hoje em dia, se vai desenvolvendo a conviçcão que este tipo de modelo, de uma forma geral, pode efectivamente ser considerado como algo muito cred´ıvel.

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quarta parte

Estudos biol´ ogicos sobre a origem e evolu¸cão da vida referem a existência de uma correla¸cão entre os seres vivos existentes na Terra, correla¸cão que existe tanto ao n´ıvel proteico, como ao n´ıvel de informa¸cão genética de RNA e DNA, ou de material mitrocondrial, sendo que, de forma genérica, todos os organismos podem ser organizados em três reinos celulares, eucária, eubactéria ou archaea. Também parece evidente que a vida já no seu in´ıcio deveria possuir propriedades complexas e que, o tão procurado LUCA, o u ´ltimo ascendente universal comum22 , terá propriedades básicas similares a um procarionte, não sendo nem uma protocélula, nem um protainóide, [SMS06]. No entanto, apesar de evidências o´bvias de uma evolu¸cão e uma liga¸cão entre os seres vivos, quando se tenta construir uma árvore genealógica diversos gaps são encontrados/desvelados, uma vez que diferentes árvores genealógicas não coincidem nos seus dados. A maioria das filogenias proteicas contradiz-se entre si, bem como contradizem as filogenias obtidas por estudos de rRNA. Na maioria dos casos, as prote´ınas metabólicas do reino archea parecem encontrar-se mais relacionadas com as eubactérias do que com

Do inglˆes, Last Universal Common Ancestor.

as prote´ınas eucariotas. Mas as prote´ınas associadas a processos de transcri¸cão, tradu¸cão e replica¸cão, bem como rRNA, indicam uma maior semelhan¸ca entre o reino archea e eucária que entre o reino eubactéria e eucária, [PF99]. Os estudos mais recentes vêm de certo modo contradizer estudos mais antigos: apesar de a maioria da comunidade cient´ıfica estar de acordo com um LUCA semelhante a um procarionte, alguns cientistas crêem que o LUCA poderia ter inicialmente uma estrutura eucariota, de tal modo que as eubactérias seriam um produto de uma simplifica¸cão das células primordiais eucariotas. Estas divergências na constru¸cão de uma árvore genealógica comum são, na actualidade, o motivo pelo qual parte da comunidade cient´ıfica crer que não existira um LUCA u ńico, mas sim vários LUCAs, ou seja, que a vida deve ter surgido não de uma entidade unitária, mas de uma popula¸cão de indiv´ıduos com complementaridade metabólica (ou seja compostos pelos mesmos princ´ıpios básicos) cujo genoma foi alterado por fenómenos de transferência horizontal, dando origem aos três tipos de reinos celulares distintos, ver [BDIL07], [BDIL07] e [PP99]. Outra hipótese seria a existência a priori dos 3 reinos celulares, eukaria, eubactéria e archea, e que a sua semelhan¸ca actual seja devido a fenómenos de transferência horizontal e lateral de genes, perca de genes e duplica¸cão paralogouos, ver [BDIL07]. Os sistemas autocatal´ıticos abertos e os modelos RBN de Kauffman estão de acordo com esta u ´ltima ideia de diversas entidades com complementaridade metabólica, mas acrescenta algo extremamente importante, que é a não necessidade de um mundo RNA anterior. A vida surge dos átomos e moléculas existentes no Universo e em particular na natureza Terrestre, das reaçc˜ oes entre aquelas, de forma natural e com caracter´ısticas já complexas, de tal modo que, quando um aglomerado molecular e o correspondente grafo de reaçc˜ oes, atinge determinadas dimensões, devido as reaçcões internas, se duplica, ver [Kau05] e [Kau93]. Num mundo primordial poderiam ter existido entidades compostas por DNA, compostas por RNA, por prote´ınas, por RNA + prote´ınas, por DNA + prote´ınas + RNA. No entanto, s´ o aquelas que no estado cr´ıtico, isto é, entre a ordem e o caos, possu´ıssem a capacidade de evoluir, terão sobrevivido; todas as restantes entidades ou entrariam

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num estado ca´ otico, perdendo a homeostase necessária à vida, tendendo a desaparecer (esta seria uma poss´ıvel resposta colocada pela Biologia Genética para a não existência de vida composta por DNA) ou se encontrariam num estado ordenado, não evoluindo e efectuando sempre as mesmas fun¸c˜ oes (exemplo disso podem ser alguns dos metabolitos celulares, por exemplo, ribossomas) pondendo estas identidades ser absorvidas por diversas entidades no estado cr´ıtico. Devido à complementaridade metabólica entre as diversas identidades da vida no estado cr´ıtico, as transferências horizontais e laterais, perca de genes e duplica¸cão paralogous, [BDIL07], entre estes sistemas autocatal´ıticos cr´ıticos seria praticamente inevitável, levando a que o sistema no seu conjunto fosse alterado, sendo a homeostase do sistema alterada, de tal modo que o sistemas, devido à sua criticalidade poderia entrar no sistema caótico ou no sistema ordenado fixo, o que significaria a morte do sistema. As altera¸cões existentes na forma primordial, também alterariam o estado do sistema e mais uma vez só aqueles seres que conseguissem ou fazer o seu sistema voltar a bacia de actra¸cão inicial ou a outra cujos ciclos internos se encontrassem num estado cr´ıtico perto da ordem, poderiam manter ou recuperar a sua homeostase, sobrevivendo. Todos estes processos possuem a caracter´ıstica de serem praticamente inevitáveis, e com o tempo a vida ter-seia complexificado e especificado, dando origem aos três reinos predominantes, eubactéria, archea, eucariota, não sendo assim necessária uma origem comum para a vida.

cristais de argila fontes de vida, a sua análise desde o ponto de vista de Kauffman Graham Cairns-Smith, no seu livro ”Seven Clues to the Origin of Life”, publicado em 1985, fala-nos da possibilidade de os primeiros organismos serem compostos por moléculas inorgânicas, descrevendo o processo de crescimento de cristais de argila devido à polimeriza¸cão por desidrata¸cão de moléculas de ácido de sil´ıcio e iões metálicos hidratados (tal como no caso de forma¸cão de cadeias proteicas e DNA), bem como de processos de autoorganiza¸cão no espa¸co através da cristaliza¸cão. Estas argilas, após atingirem determinado volume, dividem-se em elementos mais reduzidos que irão novamente crescer e dividir-se. 124

Vê-se então que os cristais de argila possuem já algumas caracter´ısticas enumeradas como base para a vida.

As argilas possuem propriedades de auto-organiza¸cão, segundo a qual uma estrutura se desenvolve segundo uma direçcão principal, formando estruturas de formato de agulha ou de coluna, no caso das argilas (em especial de kaoline) parece crescer segundo um formato de coluna. Ao desenvolver uma direçcão de crescimento colunar, o mineral tem tendência a quebrar-se segundo uma direçcão perpendicular à direçcão de crescimento, dando origem a pequenas estruturas que mantêm a informa¸cão da estrutura interna da camada do mineral. Estas pequenas estruturas crescem novamente através de processos de polimeriza¸cão e cristaliza¸cão e, novamente quando atingem determinada altura, dividem-se.

Deste modo vemos que as argilas em si possuem propriedades inerentes à vida orgânica, nascendo, alimentando-se e crescendo, multiplicando-se, mantendo a informa¸cão estrutural entre os seus descendentes. No entanto, as argilas são compostas por moléculas 125

inorgânicas, pelo que, obviamente, pequenos defeitos podem ocorrer durante o processo de crescimento do cristal. Contudo, estas varia¸cões são normalmente reparadas na camada seguintes, ou, se não forem reparadas, alteram apenas ligeiramente a estrutura do cristal, mantendo as suas caracter´ısticas globais.

Por outras palavras, estes sistemas não sofrem de processos evolutivos, a sua complexidade mantém-se, mesmo quando ocorrem pequenos defeitos no sistema. Do ponto de vista da teoria de Kauffman estes cristais de argila podem pertencer aos sistemas autocatal´ıticos abertos que se encontram no estado ordenado periódico, o que faz com que qualquer modifica¸cão feita nestes sistemas não aumente nem a complexidade de funcionamento do sistema, nem o fa¸ca evoluir. Na realidade, o sistema tem uma tendência natural para voltar ao estado inicial e ordenado com ciclos pequenos.

vida noutros planetas Com esta ideia de autorganiza¸cão molecular e forma¸cão de sistemas abertos autocatal´ıticos, a vida passa a ser algo de inevitável, podendo possuir caracter´ısticas diversas e formatos para além dos parâmetros descritos pela vida terrestre, podendo mesmo os elementos qu´ımicos da vida ser outros. No entanto, visto que os elementos base para a vida parecem se poder formar para além do ambiente terrestre, nomeadamente no meio interestelar, nublosas e meteoritos, então porque não outros planetas? Deste modo será mais fácil investigar e procurar uma origem da vida em tudo similar à existente na Terra, 126

porque também esta será quase inevitável. As novas explora¸c˜ oes a planetas e satélites do sistema solar, tal como Marte, Titã e Europa estão vocacionadas, entre outras coisas, para investigar a existência de vida e, consequentemente, acrescentar algo na procura de uma origem para a vida. No entanto, será interessante e desejável uma nova visão sobre o que é vida, sobretudo pelo que da´ı pode resultar numa procura feita de uma forma mais abrangente, no sentido de buscar estes sistemas autocatal´ıticos abertos. As naves espaciais Viking Lander, recentemente enviadas para Marte, realizaram experiências biol´ ogicas cujos resultados foram positivos, mas a sua interpreta¸cão deu causas inorgânicas, provocadas por agentes oxidantes, tal como peróxido de hidrogénio. No entanto, esta conclusão pode ser posta em causa, uma vez que tais efeitos podem ter sido causados por conjuntos autocatal´ıticos, o que é veros´ımil uma vez que, como sabemos, conjuntos autocatal´ıticos de prote´ınas ou de pol´ımeros proteicos têm a capacidade de sobreviver longos per´ıodos de tempo em locais desidratados, sendo resistentes à radia¸cão ultra-violeta. Desta forma é perfeitamente plaus´ıvel que conjuntos autocatal´ıticos de prote´ınas ou de pol´ımeros proteicos tenham tido a capacidade sobreviver num local cuja atmosfera é muito débil e transparente e num solo completamente desidratado como o de Marte, [McG01]. Marte, devido à sua proximidade f´ısica com a Terra e devido à poss´ıvel existência de água no seu subsolo, é, para grande parte da comunidade cient´ıfica, o principal candidato para a procura de vest´ıgios de vida extraterrestre. Em Rio Tinto, perto de Huelva, Espanha, investigam-se certos extremófilos vivendo junto a minas de metais pesados e sulfuretos metálicos, local que possui um baixo teor em oxigénio e cuja água possui um carácter extremamente ácido de PH, cerca de 2.3. Assim sendo, pensa-se que as condi¸cões neste local podem ser muito semelhantes às de Marte. Os organismos existentes neste local alimentam-se através da oxida¸cão de minerais e sulfatos metálicos para obter energia, possuindo uma actividade totalmente anaérobica. Pensa-se que a vida em Marte poderia ter um formato semelhante à existente neste local, podendo ter o carácter de algas, fungos, protozoários e bactérias.

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Se o planeta Marte for investigado no sentido de encontrar sistemas autocatal´ıticos simples, como outros mais complexos (algas, fungos, protozoários e bactérias), o caminho para a descoberta da origem da vida seria investigado de uma forma mais abrangente. Titã, por seu turno, pensa-se que deverá possuir uma atmosfera muito parecida à da Terra primordial. Contudo, os seus mares e lagos pensam-se serem compostos por metano. Devido a essas caracter´ısticas, penso que Titã seria o local perfeito para procurar (e confirmar) a existência e forma¸cão de sistemas abertos autocatal´ıticos, devendo ser, uma vez mais, a busca de vida nesse planeta feita no sentido de encontrar estas entidades complexas, ou seus vest´ıgios. Como existe uma dificuldade intr´ınseca a esta investiga¸cão extraterrestre, John McGowan III prop˜ oe, em [McG01], um aparato cient´ıfico para detectar a presen¸ca de conjuntos autocatal´ıticos proteicos, mas a sua descri¸cão fica um pouco fora do âmbito deste trabalho.

doen¸cas imunitárias Considere-se um sistema autocatal´ıtico composto por prote´ınas ou pol´ımeros proteicos. Este sistema será decomposto por hidr´ olise se a sua concentra¸cão for muito baixa, no entanto a partir de uma determinada concentra¸cão limite o sistema autocatal´ıtico manterá a sua estrutura, se essa concentra¸cão limite duplicar o sistema actuará de forma natural agregando moléculas vizinhas ao sistema, passando a possuir um tempo de vida muito elevado. Se este tipo de sistemas autocatal´ıticos infectar um organismo, pode existir um per´ıodo de latência variavelmente elevado, antes de serem detectados quaisquer sintomas. Assim sendo, enquanto a concentra¸cão destes sistemas nos organismos for baixa, o organismo facilmente repara os defeitos causados na célula hospedeira. No entanto, o conjunto aumentará exponencialmente a sua concentra¸cão e, a partir desse momento, o poder regenerativo do corpo é superado pela infeçcão e os sintomas f´ısicos serão então vis´ıveis. Podemos deste modo pensar que os sistemas autocatal´ıticos podem provocar doen¸cas com per´ıodos de latência muito elevados, tal como as doen¸cas v´ıricas, onde o per´ıodo de latência depende essencialmente da concentra¸cão inicial do sistema autocatal´ıtico no 128

organismo. Devido à facilidade com que este tipo de sistema é por quebrado por hidrólise, é dif´ıcil assumir um processo de transmissão infecto-contagiosa, de modo que seria praticamente imposs´ıvel a transmissão através de um contacto casual de saliva, sangue ou outros fluidos corporais, sendo então a infeçcão provocada por uma continuada exposi¸cão a altas concentra¸c˜ oes do sistema autocatal´ıtico, tal como em piscinas ou lagos com altas concentra¸c˜ oes de sistemas autocatal´ıticos. Existem muitas semelhan¸cas entre as propriedades infecto-contagiosas deste tipo de sistemas autocatal´ıticos e os causadores das encephalopatias espongiformes transmiss´ıveis, tais como a doen¸ca de Jackob-Creutzfeltdt, a doen¸ca de Gerstmann-Staussler-Schinker, a Scrapie, a Kuru, a encephalopatia de mink, a encephalopatia espongiforme felina, a encephalopatia Bovina, etc. Estas doen¸cas possuem per´ıodos de latência variáveis, sendo este inversamente proporcional à concentra¸cão do agente infectocontagioso. O agente destas doen¸cas parece ser imune a reagentes que destroem ácidos nucleicos, tais como a radia¸cão ultra-violeta, i˜ oes de Zinco, Hidroxilamina, e psoralen fotoaductores, no entanto as proteases parecem reduzir a sua efectividade. Na actualidade, supõe-se que as encefalopatias espongiformes são provocadas por priões. No entanto, os priões nem são uma prote´ına-auto-reproductora, nem um conjunto autocatal´ıtico de moléculas. Os priões, prote´ınas Prp, são codificados por um gene, tanto nos animais, como nos humanos, estando estes doentes ou saudáveis. O prião é previsto possuir duas configura¸cões, uma patogénica e outra não patogénica, sendo que a configura¸cão patogénica converte a não patogénica em patogénica. No entanto, nem todos os investigadores desta área estão de acordo com esta proposta, sendo que alguns apoiam a hipótese da presen¸ca de um sistema autocatal´ıtico. Tal como as doen¸cas de encephalopatia espongiforme, os sistemas autocatal´ıticos proteicos parecem ser uma hipótese viável para explicar algumas doen¸cas atribu´ıdas ao sistema auto-imune, tal como esclerose m´ ultipla, o l´ upus sistémico, a artrite reumatóide e a doen¸ca de Gave. Um sistema autocatal´ıtico pode causar anomalias imunes que poderiam ser detectadas como anomalias auto-imunes, uma vez que não se conhece nenhum

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v´ırus ou bactéria associado aquelas doen¸cas. Fazendo uma análise com electroforese seria provavelmente poss´ıvel detectar uma banda anómala proteica ou proteico-semelhante, no entanto esta investiga¸cão nunca foi efectuada devido ao distanciamento da rela¸cão daquelas doen¸cas a organismos infectocontagiosos conhecidos (v´ırus e bactérias). Contudo, reconhece-se que esta investiga¸cão pode dar resultados camuflados pelo facto de o sistema autocatal´ıtico poder possuir prote´ınas semelhantes às existentes nas células vivas, [McG01].

conclusões Na actualidade acredita-se que o século vinte foi o grande século da Biologia. No entanto, podemos dizer que foi o século dezanove que mais influenciou o pensamento biológico, pois foi nesse século que se definiram conceptualmente os problemas que a Biologia do século vinte veio posteriormente a desenvolver, tendo sido cientistas como Louis Pasteur, Charles Darwin e Gregor Mendel aqueles que estruturaram a linha de pensamento biológico do século vinte. De facto, foi com a contribui¸cão desses grandes cientistas que os grandes problemas da Biologia passariam a ser englobados essencialmente em duas áreas, o estudo da estrutura dos genes e células, sendo a investiga¸cão feita essencialmente buscando partes do conjunto, e por outro lado os problemas hol´ısticos da origem e evolu¸cão da vida, continuando esta investiga¸cão sendo feita por partes, [LS00]. A partir do século dezanove, a Biologia passaria a encontrar-se englobada no mundo reducionista da F´ısica Clássica. Deste modo, os conjuntos vivos deixaram a sua forma para se tornarem em meros átomos, com as suas interaçcões e for¸cas actuando à distância. O mundo vivo, com toda a sua complexidade e beleza, desapareceria, tornando-se meramente secundário. No entanto, uma coisa é certa, o mundo vivo traz inerente a si essa complexidade e os sistemas com propriedades complexas não podem ser analisados de um ponto de vista reducionista, pois nos sistemas complexos o todo é sempre superior à soma das partes. Obviamente que um conhecimento reducionista do mundo vivo é extremamente u ´til, uma vez que acede a uma informa¸cão detalhada dos componentes do sistema e das rela¸c˜ oes particulares entre esses componentes. No entanto, parece notório 130

que quando as variáveis do sistema são demasiado elevadas, a visão reducionista torna-se pequena, pois existe uma necessidade de uma visão completa do sistema, tornando-se assim evidente a necessidade de utilizar modelos que os vejam como sistemas complexos.. Devido àquela evolu¸cão de pensamento cient´ıfico, o problema da origem e evolu¸cão da vida foi dividido em duas formas de análise: uma visão qu´ımica, feita do simples para o complexo, e uma visão biológica, que vai do complexo para o mais simples. Estas vis˜ oes sobre a origem e evolu¸cão da vida trouxeram consigo algumas descobertas e com ela desenvolveram-se novas áreas da ciência biológica e bioqu´ımica. A visão qu´ımica da origem da vida, com contribui¸cões notáveis da astroqu´ımica e da geoqu´ımica, aproximou as estrelas das condi¸cões existentes na Terra primordial. O estudo de como pequenas moléculas se poderiam formar e o modo com se poderiam polimerizar em moléculas maiores, trouxe um conjunto de novas informa¸cões sobre esta temática, de tal modo que em muito foram desenvolvidos os seguintes tópicos: • as condi¸c˜ oes existentes durante a forma¸cão do sistema planetário; • as moléculas orgânicas existentes em astróides e nublosas; • a origem de pequenas moléculas na terra primordial; • a poss´ıvel forma¸cão de membranas; • a polimeriza¸cão de nucli´ otidos e aminoácidos; • o mundo pre-RNA.

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A Biologia, juntamente com a Paleontologia, com a sua aproxima¸cão do complexo para o particular e com base no Principio da Continuidade de Darwin, ocupou-se de questões como que sistemas simples se poderiam ter desenvolvido, dando origem aos organismos conhecidos, e qual o caminho evolutivo que este organismo sofreu, desenvolvendo áreas como: • os primeiros f´ osseis; • o LUCA; • a transforma¸cão de um mundo RNA num mundo DNA; • a defini¸cão de um mundo ribonucleoproteico; • a defini¸cão de um mundo RNA; • a liga¸cão entre um mundo RNA e os v´ırus actuais. No entanto, é bem evidente que existe um gap entre o estudo qu´ımico e o estudo biológico da vida, bem como um gap entre os estudos destas duas áreas e a vida tal como é, complexa. Na actualidade, apesar do ainda existente gap entre a visão qu´ımica e biológica, uma grande parte dos cientistas acredita que em dez ou vinte anos o problema da origem e evolu¸cão da vida será resolvido, o que é mais optimista que há quarenta ou cinquenta anos atrás, quando se cunhou o problema como imposs´ıvel de ser resolvido, mesmo pela mais poderosa ciência. O maior gap entre estas vis˜ oes cientificas é essencialmente a quando da passagem das moléculas para a célula viva, questões que envolvem a própria estrutura celular, moléculas que se organizam complexamente estando compartimentada, que possuem um gradiente de energias com o exterior e que se reproduzem. E, acima de tudo, entender que a organiza¸cão para a vida é uma propriedade natural da matéria, senão simplesmente não existiria. O que por outras palavras implica que a vida fa¸ca parte das estruturas auto-organizadas, tal como os cristais. ´ neste sentido que Kauffman e todos os seus colaboradores e seguidores, com alE gum destaque para Mike Steel, podem ajudar o conhecimento cient´ıfico sobre a origem 132

e evolu¸cão da vida. Para estes cientistas como a vida possui uma das caracter´ısticas base da matéria, sendo inevitável, é necessário avaliá-la de uma ponto de vista da sua complexidade global, ou seja analisar o seu funcionamento já como sistema aberto autocatal´ıtico. Assim sendo, a nova análise destes sistemas tem que ser feita através do estudo de sistemas complexos, utilizando representa¸cões geométricas como os grafos apresentados anteriormente, cujo funcionamento interno global se rege por regras básicas/simples que podem ser aproximadas a fun¸cões boleanas. Outra importante constata¸cão da visão de Kauffman é que a evolu¸cão passa a ser parte integrante dos sistemas que se encontram no estado critico, não necessitando de ser cont´ınua, uma vez que pequenas altera¸cões podem levar o sistema a habitar bacias de atraçcão totalmente distintas da inicial, fazendo com que o sistema assuma caracter´ısticas também elas muito diferentes das iniciais. Desse ponto de vista os saltos entre espécies são normais, sendo para estes estados cr´ıticos quase inevitáveis, especialmente se o grau de ordem for mais baixo, ou seja, se o sistema cr´ıtico se encontra mais próximo do caos, tal como as bactérias. De facto, tal descri¸cão explicaria inclusivamente a capacidade hiper-adaptativa que se observa em determinadas bactérias, [DKS05]. Em suma, a teoria de Kauffman, para além de tornar a vida propriedade inerente à matéria sendo uma consequência das leis de organiza¸cão, colmata alguns dos gaps existentes entre a Qu´ımica e a Biologia, pois avalia o sistema como um todo complexo, não necessitando do reducionismo, nem do pormenor. Utilizando as ideias de Kauffman os seres vivos são vistos e estudados sob um ponto de vista estrutural e de funcionamento sistémico.

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sexta parte

Para terminar, nesta sexta e u ´ltima parte vou apresentar numa série de anexos algum material que, por raz˜ oes de fluidez na leitura dos conte´ udos mais importantes, ou mesmo por serem considerados uma mostra da programa¸cão computacional envolvida em alguns dos cálculos efectuados, e por isso de menor relevância, não fizeram parte do corpo principal deste trabalho.

anexo A Aqui vou apresentar os resultados obtidos nas diferentes simula¸c˜oes computacionais.

os atractores de redes RBN NK , com N = 36 e K = 3, em topologia aleatória, e parâmetro de Derrida p = 7/8, considerando 200 configura¸cões iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 1 1 1

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148

os atractores de redes RBN NK , com N = 36 e K = 3, em topologia aleatória, e parâmetro de Derrida p = 6/8, considerando 200 configura¸cões iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 1 2 1

1 1 1

2 1 1

1 1 1

1 6 1

1 12 1

6 6 1

6 1 12

1 1 1

exemplo 2 6 3 6

37 37 37

6 1 2

6 12 1

37 1 37

1 3 12

6 1 1

1 6 1

1 1 6

6 6 1

37 37 37

1 37 37

37 37 37

1 37 37

37 37 1

exemplo 3 10 10 10

1 10 10

1 10 1

10 10 10

1 10 10

10 10 1

1 10 10

10 10 10

10 10 1

1 10 1

13 13 13

1 13 13

1 13 1

13 13 13

1 13 13

13 13 1

1 13 1

13 13 13

13 13 1

1 13 1

149

exemplo 4 1 6 1

2 1 1

1 1 1

1 1 2

12 6 1

2 1 1

1 1 6

6 1 4

2 6 2

6 1 2

1 6 1

1 1 2

exemplo 5 1 1 1

1 1 1

2 1 1

1 1 1

1 2 1

1 1 1

2 1 1

1 2 1

1 1 1

1 2 1

1 1 1

2 1 2

1 1 1

4 1 1

1 1 1

1 4 1

1 1 1

4 1 1

1 4 1

1 1 1

1 4 1

1 1 1

4 1 4

1 1 1

150

exemplo 6 1 1 1

1 1 2

1 1 1

2 1 1

1 1 1

2 2 1

1 1 1

1 1 2

1 1 1

1 1 2

2 2 2

2 2 1

1 1 1

1 2 2

1 2 1

2 2 1

1 1 2

2 1 2

1 1 4

1 1 2

4 4 4

2 4 1

1 1 1

1 4 2

1 4 4

4 2 1

1 4 1

4 4 1

1 1 2

4 1 4

4 4 4

4 1 1

4 4 4

2 2 1

4 1 4

1 4 4

2 1 4

1 1 1

4 1 4

4 4 4

1 1 2

4 1 4

6 6 6

6 6 2

6 3 6

2 6 1

1 1 6

6 6 3

6 1 3

2 2 1

3 1 6

6 6 6

1 1 2

6 1 6

exemplo 7 1 1 3

1 1 1

1 3 1

1 1 1

3 1 3

1 1 1

1 3 3

1 1 3

1 3 1

3 3 1

1 3 3

3 3 1

1 1 3

3 3 1

3 3 3

3 1 3

1 1 3

1 3 3

1 1 3

1 3 1

3 3 1

3 3 3

1 1 3

3 3 1

3 3 3

3 1 3

1 1 3 151

1 1 6

1 3 3

1 1 3

1 6 1

3 3 1

6 3 6

1 1 3

1 3 1

3 3 3

3 1 3

1 1 3

1 1 6

1 6 3

1 1 3

1 3 1

3 6 1

6 3 6

1 1 3

6 3 1

3 3 6

3 1 3

1 1 3

1 1 5

5 5 5

5 5 1

1 5 5

1 1 1

5 5 5

1 1 1

5 1 5

1 1 1

5 1 1

20 20 20

1 1 1

20 1 20

1 1 1

4 8 4

1 1 8

8 1 8

1 1 20

1 1 8

5 20 5

8 4 4

5 5 1

8 8 1

1 20 5

1 8 8

1 4 1

1 20 1

8 8 8

20 5 20

8 4 8

1 8 8

1 1 1

5 1 1

1 1 11

11 11 11

11 11 1

1 11 11

1 11 1

11 11 11

1 11 11

1 1 1

11 11 11

1 1 11

11 1 11

11 11 11

11 11 1

1 11 11

1 11 1

11 11 11

1 1 1

11 11 11

1 11 11

11 1 11

exemplo 8 1 1 1

1 1 1

152

1 2 2

1 1 1

1 1 2

2 1 1

1 1 1

1 2 1

1 2 2

1 1 1

1 1 2

1 3 3

1 1 1

1 3 3

3 1 1

1 1 1

1 3 1

1 3 3

1 1 1

1 1 3

1 6 6

1 1 1

1 1 6

6 1 1

1 1 1

1 6 1

1 6 6

1 1 1

1 1 6

1 6 6

1 1 1

1 3 6

6 1 1

1 1 1

1 6 1

1 6 6

1 1 1

1 1 6

1 1 2

2 1 1

2 2 1

2 1 1

1 2 2

2 1 2

2 2 1

1 1 1

2 1 1

1 1 2

1 1 1

2 2 2

1 3 3

3 1 1

1 6 3

3 1 1

1 3 6

6 3 6

6 6 3

6 1 6

6 3 1

1 1 6

6 3 3

1 6 6

12 1 1

1 12 6

12 1 1

1 12 12

12 6 12

12 12 6

6 1 12

12 12 1

1 1 12

153

1 1 12

12 12 6

exemplo 9 4 4 1

1 2 4

8 4 4

4 4 1

4 4 2

8 4 4

4 4 2

4 4 4

4 8 4

1 8 4

4 4 4

8 8 1

1 8 8

8 4 8

4 4 8

4 1 8

8 8 8

4 4 4

4 8 8

4 8 4

1 8 8

8 8 8

4 8 8

15 15 1

15 15 15

15 1 15

15 15 15

15 1 15

1 15 15

15 15 15

15 1 15

exemplo 10 1 1 1

4 1 1

1 4 1

1 1 1

14 1 1

1 4 1

1 14 1

4 1 1

1 14 1

1 4 4

14 1 1

4 4 4

2 1 2

1 14 14

4 1 1

1 1 4

4 1 1

14 14 14

2 1 2

14 1 1

1 1 4

1 1 14

14 1 1

1 1 14

17 17 17

17 17 1

17 17 17

17 17 1

17 17 17

17 17 1

17 17 17

1 17 17

19 19 19

19 1 1

19 19 19

19 1 19

19 19 19

19 19 1

19 19 19

1 19 19

154

os atractores de redes RBN NK , com N = 36 e K = 3, em topologia aleatória, e parâmetro de Derrida p = 5/8, considerando 200 configura¸cões iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 24 2 24

24 1 24

24 24 24

6 24 24

24 24 24

10 2 10

10 20 1

10 10 1

exemplo 2 1 2 2

1 2 2

1 10 10

2 1 2

1 10 10

1 2 2

10 1 10

1 1 2

10 10 10

2 2 2

2 2 4

10 1 10

2 1 1

10 1 10

2 2 1

1 2 1

1 1 1

1 1 2

2 2 1

1 2 1

6 1 1

1 6 6

6 1 6

1 1 6

6 6 6

6 1 12

2 1 2

2 2 2

10 10 20

2 1 1

6 1 1

1 1 2

2 4 1

10 1 1

1 2 2

6 1 6

2 1 1

10 1 10

1 1 1

1 2 6

1 1 1

1 12 1

6 6 1

16 16 16

16 2 16

16 16 16

16 16 2

26 26 26

1 26 26

26 1 26

26 26 26

26 1 26

26 26 26

26 26 52

26 1 1

26 1 26

26 26 26

26 52 1

26 26 1

155

51 51 51

1 51 51

138 138 138

51 1 51

138 138 138

51 51 51

138 2 138

51 1 51

51 51 51

138 138 138

51 51 1

51 1 51

138 138 138

51 1 51

138 138 138

1 51 51

138 138 138

51 1 1

138 138 138

51 51 1

138 138 138

exemplo 3 1 19 19

19 19 19

1 19 19

19 19 19

24 24 24

1 24 24

24 24 24

47 47 47

exemplo 4 1 1 1

1 1 1

1 1 2

1 1 1

2 4 4

4 4 4

1 4 1

4 2 4

4 4 4

1 2 4

4 4 4

4 1 4

1 4 1

156

138 138 138

138 138 2

11 11 11

1 11 1

11 11 11

11 11 1

13 13 13

1 13 1

13 13 13

1 13 13

13 13 13

13 1 13

1 13 1

41 41 41

1 41 1

41 41 41

41 41 1

exemplo 5 372 372 372

372 372 372

1 107 1

1 107 107

107 107 107

1 107 1

exemplo 6 1 4 4

4 4 4

1 4 4

4 1 4

1 1 1

1 4 4

1 4 1

1 1 2

4 4 4

1 4 1

1 4 4

4 4 4

1 4 4

4 1 4

1 1 1

2 1 1

1 4 4

1 4 1

1 1 4

4 4 4

1 4 1

1 107 107

107 107 107

107 1 107

1 107 1

107 1 107

107 107 107

157

exemplo 7 3 3 1

3 1 1

3 3 1

1 1 3

3 1 1

3 3 3

3 3 1

1 1 3

3 1 1

7 7 7

7 7 14

7 7 7

14 7 7

exemplo 8 7 7 7

7 7 7

7 14 14

7 7 7

14 7 7

7 14 7

14 7 14

7 7 7

12 12 12

1 12 12

12 12 12

12 3 12

12 12 12

32 32 32

33 33 33

33 1 33

33 33 33

1 33 33

33 33 33

46 46 46

158

exemplo 9 1 1 2

1 1 4

1 1 1

1 2 1

2 2 1

2 1 2

1 1 1

1 4 4

2 1 1

4 2 4

2 1 1

1 1 2

1 1 6

1 1 1

1 6 1

2 2 1

2 1 2

1 1 1

1 6 6

2 1 1

6 6 6

2 1 1

45 45 45

1 45 45

45 45 45

62 62 62

1 62 62

62 62 62

165 165 165

1 165 165

165 165 165

exemplo 10 1 1 1

1 1 1

3 1 3

1 3 3

3 3 3

1 3 3

3 1 1

1 1 1

3 3 1

1 3 3

1 3 1

3 1 3

1 1 3

32 32 32

32 1 32

32 32 32

32 32 1

1 32 16 159

32 32 32

32 1 32

165 165 165

os atractores de redes RBN NK , com N = 36 e K = 3, em topologia aleatória, e parâmetro de Derrida p = 4/8, considerando 200 configura¸cões iniciais para cada escolha das fun¸cões booleanas exemplo 1 9 9 9

9 9 9

10 10 5

9 9 9

10 10 10

9 9 9

10 1 5

10 10 5

10 10 1

5 10 1

5 1 10

1 1 1

1 10 10

10 1 1

1 5 10

10 1 1

14 14 14

15 15 15

42 42 42

23 23 23

23 23 1

exemplo 2 5 5 5

23 23 23

5 5 5

1 5 5

23 23 23

5 5 5

23 23 23

5 5 5

23 23 23

1 5 1

1 23 23

5 5 1

5 5 5

1 23 23

5 5 5

1 23 23

1 5 5

23 23 23

5 5 5

23 23 23 160

37 37 37

1 37 37

37 37 37

exemplo 3 1 1 7

7 7 7

1 7 1

7 7 7

1 1 1

7 7 7

7 1 7

19 19 19

1 19 19

19 19 19

41 41 41

1 41 41

41 41 41

96 96 96

1 96 96

96 96 96

exemplo 4 1 1 1

1 2 2

1 1 1

1 1 2

1 1 1

161

exemplo 5 1 1 1

1 1 1

1 4 1

1 1 1

1 12 1

1 1 1

1 12 1

1 1 1

2 1 1

1 1 1

1 12 1

1 1 1

1 2 1

1 12 1

1 1 1

11 11 11

1 1 1

1 4 1

1 1 1

1 1 4

2 1 1

1 1 1

1 1 12

2 1 1

1 1 1

1 1 12

2 1 1

1 1 1

1 1 11

11 11 1

11 11 11

11 1 11

11 11 11

11 1 11

24 24 24

24 24 2

24 24 24

exemplo 6 24 24 24

24 24 24

51 51 51

51 51 102

51 51 51

51 51 2

51 51 51

73 73 73

73 73 146

73 73 73

73 73 2

73 73 73

88 88 88

88 88 2

88 88 88

88 88 88 162

88 88 88

214 214 214

214 214 2

214 214 214

234 234 234

234 234 2

234 234 234

138 138 138

exemplo 7 1 1 1

1 1 1

1 7 7

7 7 1

7 7 7

7 1 7

7 7 7

7 7 1

7 7 7

7 7 1

7 7 7

18 18 18

18 18 1

18 18 18

36 36 36

36 36 1

36 36 36

exemplo 8 138 138 138

138 138 138

163

138 138 138

exemplo 9 234 234 234

234 234 234

315 315 315

exemplo 10 77 77 77

77 77 77

164

77 77 77

os atractores de redes RBN NK , com N = 25 e K = 4, em topologia quadrado, e parˆametro de Derrida p = 15/16, considerando 200 configura¸c˜oes iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 2 1 1

1 1 1 1 1

1 4 4 1 1

4 4 1 1 1

4 2 1 1 4

4 4 1 1 1

1 4 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 2 1

1 1 1 1 1

1 1 1 2 1

exemplo 2 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

4 4 4 1 1

exemplo 3 1 1 1 1 1

1 1 1 4 1

exemplo 4 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

165

4 1 1 1 1

4 2 1 1 4

4 4 1 1 1

1 4 1 1 1

4 4 4 1 1

4 4 1 1 1

4 1 1 1 4

4 4 1 1 1

1 4 1 1 1

exemplo 5 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

3 1 1 1 3

1 1 1 1 1

1 1 1 1 6

6 1 1 1 6

exemplo 6 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

exemplo 7 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

exemplo 8 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 3

166

exemplo 9 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 1 1

1 1 1 1 1

1 1 2 1 1

2 1 1 1 1

exemplo 10 1 1 1 1 1

1 1 1 4 1

167

2 2 1 1 1

1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

2 2 2 1 1

2 2 1 1 1

1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

2 2 1 1 1

os atractores de redes RBN NK , com N = 25 e K = 4, em topologia quadrado, e parˆametro de Derrida p = 14/16, considerando 200 configura¸c˜oes iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

4 4 4 1 1

1 1 1 1 1

4 1 1 1 1

4 4 4 1 1

1 1 1 4 1

1 1 1 4 4

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

exemplo 2 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

exemplo 3 4 1 1 1 1

4 4 1 1 1

1 1 1 1 1

4 1 1 1 1

exemplo 4 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

168

4 4 4 2 1

1 1 1 4 2

1 1 1 4 4

1 1 1 1 1

exemplo 5 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

4 1 1 1 4

1 1 1 4 4

1 1 1 1 1

4 1 1 1 4

1 4 4 4 4

1 4 4 1 1

exemplo 6 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 2 1

1 1 1 1 1

1 1 1 4 1

1 1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 1 4 1

1 1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 1 4 1

1 1 2 4 1

1 2 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 1 4 1

1 1 2 4 1

1 2 2 2 1

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

2 2 1 4 2

1 1 1 4 1

1 1 1 1 1

2 2 1 4 2

1 1 1 4 1

1 1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

2 2 1 4 2

1 1 2 4 1

1 2 2 2 1

1 1 1 1 1

2 2 1 4 2

1 1 2 4 1

1 2 2 2 1

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

4 2 1 4 4

1 4 2 1 2

1 4 2 2 2

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1

4 4 1 4 4

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1

4 4 1 4 4

1 1 1 4 2

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1

4 4 1 4 4

1 1 1 1 2

1 1 2 2 2

1 1 1 1 1

4 4 1 4 4

1 1 1 4 2

1 1 1 1 2

1 1 2 2 2

1 1 1 1 1

169

exemplo 7 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1

1 1 2 1 1

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

1 1 2 1 1

1 1 2 2 1

exemplo 8 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

exemplo 9 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 4

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

1 1 2 1 1

1 2 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 4

1 1 2 1 1

1 2 2 2 1

1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 4

2 2 1 1 4

1 2 2 1 1

1 2 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 4

2 2 1 1 4

1 1 1 1 1

2 2 1 1 1

2 2 1 1 4

1 1 1 1 4

1 1 1 1 2

2 2 1 1 1

1 1 1 1 2

1 1 2 1 1

1 2 2 2 1

2 1 1 1 1

2 2 1 1 4

1 1 1 1 4

1 1 2 1 1

1 2 2 2 1

2 2 1 1 1

2 2 1 1 4

1 1 1 1 4

1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 1 1 1

2 2 1 1 2

170

exemplo 10 1 1 1 4 4

1 4 4 1 1

1 1 1 1 1

1 1 4 4 1

1 1 1 1 1

os atractores de redes RBN NK , com N = 25 e K = 4, em topologia quadrado, e parˆametro de Derrida p = 13/16, considerando 200 configura¸c˜oes iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 1 4 4 1 1

1 4 1 1 1

4 4 4 1 1

4 4 4 4 4

1 1 4 1 1

exemplo 2 4 1 1 4 1

4 4 1 4 1

1 4 1 1 1

8 8 1 8 8

8 4 1 8 8

1 4 1 1 1

1 1 4 1 1

1 8 4 1 1

171

exemplo 3 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

2 2 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

1 2 2 2 1

1 4 4 4 1

4 4 1 4 4

1 1 1 1 1

1 4 4 4 4

4 4 1 4 4

1 1 1 1 1

1 8 8 4 4

4 8 1 4 4

1 1 2 1 1

1 1 8 8 1

1 4 4 4 1

4 1 1 4 4

2 2 1 1 4

2 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 4 4 4 1

4 4 1 4 4

2 2 1 1 4

2 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 4 4 4 4

4 4 1 4 4

2 2 1 1 4

2 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 4 4 4 4

4 4 1 4 4

2 2 2 1 4

2 1 2 1 1

1 1 2 2 1

4 4 4 4 4

1 1 1 4 4

1 1 1 1 4

1 1 1 1 1

4 4 4 1 4

1 1 1 1 4

1 1 1 1 1

1 6 6 1 4

12 6 2 2 4

1 1 2 1 1

3 3 3 3 1

3 3 3 1 1

3 3 3 1 3

1 1 3 1 1

3 1 3 3 3

4 16 16 16 16

4 16 16 1 1

16 16 16 1 4

12 12 12 1 12

4 1 2 2 4

2 2 2 1 4

2 12 2 1 1

1 1 2 1 1

1 1 6 6 1

12 12 12 12 1

exemplo 4 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

4 8 8 8 8

172

4 8 8 1 1

4 4 4 1 4

1 1 1 1 1

4 4 1 8 4

16 1 16 1 16

16 16 16 16 16

exemplo 5 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 4 1 1 1

1 4 2 1 1

4 4 2 2 1

2 4 1 2 2

1 4 1 2 1

1 1 1 1 1

1 6 1 1 1

6 6 1 1 1

1 6 1 1 1

1 6 2 1 1

6 6 2 1 1

1 6 1 1 1

3 1 3 3 6

2 2 1 2 6

1 2 2 2 2

1 2 1 1 2

6 1 1 1 2

6 1 6 6 6

1 1 1 1 6

1 1 1 1 1

6 1 1 1 1

6 1 6 6 6

1 1 2 2 6

1 1 1 2 1

1 1 1 1 1

6 1 1 1 1

6 6 6 6 6

1 6 1 2 6

6 6 2 2 1

1 6 1 1 1

6 6 1 1 1

6 6 6 6 6

6 6 1 2 6

6 6 2 2 1

1 6 1 1 1

6 6 1 1 1

3 1 1 1 3

1 1 1 1 1

1 4 1 1 1

4 4 1 1 4

1 1 1 1 1

exemplo 6 1 1 1 1 1

1 3 1 1 1

3 3 1 1 3

1 1 1 1 1

173

1 6 1 1 1

6 6 1 1 6

6 1 1 1 6

1 1 1 1 1

1 12 1 1 1

12 12 1 1 12

12 4 2 1 12

1 1 2 1 1

exemplo 7 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 2 1

1 1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 1 2 1 1

1 1 1 1 1

2 2 1 1 1

1 2 2 1 1

1 1 2 1 1

1 1 1 1 1

4 4 1 2 4

1 1 1 2 4

1 1 8 8 4

4 1 1 8 4

4 4 4 2 4

4 4 1 1 1

1 2 1 1 1

2 2 2 1 1

1 4 1 1 1

4 4 1 1 1

4 4 1 2 1

1 2 1 2 1

2 2 2 1 1

1 4 1 1 1

4 4 1 1 1

1 2 4 1 1

2 2 4 1 1

1 4 1 1 1

4 4 1 1 1

4 4 1 2 1

1 2 4 2 1

2 2 4 1 1

1 4 1 1 1

4 4 1 1 1

11 11 1 1 11

1 1 1 1 1

6 1 6 6 6

1 1 1 1 11

1 1 11 11 11

11 1 11 11 11

11 11 11 11 11

exemplo 8 1 1 1 1 1

4 1 1 1 1

6 6 6 6 6

6 1 6 1 6

6 1 1 1 6

6 1 1 6 1

174

exemplo 9 1 1 2 1 1

2 4 4 4 1

1 1 1 1 1 1

25 25 25 25 1 1

2 1 4 2 4

4 2 2 2 4

25 25 25 25 25 1

1 2 2 2 4

25 25 25 25 25 1

1 1 2 1 1

4 4 4 4 1

4 1 1 1 4

2 2 2 1 1

1 2 2 2 2

1 1 2 1 1

4 1 4 4 1

4 4 4 2 4

1 2 2 1 4

1 1 1 1 1

1 8 4 8 8

8 8 8 8 8

2 8 8 8 8

1 1 4 2 8

1 1 1 8 8

8 1 8 8 8

8 8 8 8 8

8 8 8 8 1

8 1 8 8 8

10 10 1 10 10

10 10 10 10 1

10 10 10 10 10

1 1 1 10 10

1 1 1 25 25 1

exemplo 10 1 1 1 1 1

25 25 1 25 25

1 1 1 1 1

25 25 25 25 25

1 1 1 1 1

25 25 25 25 25

1 1 1 1 1

25 25 25 25 25

25 1 25 25 25

175

10 10 10 10 10

os atractores de redes RBN NK , com N = 25 e K = 4, em topologia quadrado, e parˆametro de Derrida p = 12/16, considerando 200 configura¸c˜oes iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 1 3 3 3 3

1 1 1 3 3

1 12 12 12 6

1 1 1 1 3

1 1 1 6 6

1 3 3 3 3

1 1 1 1 6

1 3 3 3 3

12 12 12 6 6

1 6 6 6 6

6 12 6 1 1

1 1 1 6 6

1 1 1 1 6

1 14 14 14 7

1 1 1 7 7

6 6 6 6 6

6 6 6 1 1

1 1 1 14 7

1 11 11 11 11

14 14 14 14 14

14 14 14 7 1

exemplo 2 1 1 1 3 1

1 1 1 3 3

3 3 3 3 3

3 3 3 3 1

1 1 1 1 1

17 17 17 17 17

1 3 3 1 1

1 3 3 3 3

3 3 3 3 3

17 17 17 17 17

17 17 17 17 1

1 1 17 17 17

exemplo 3 1 1 3 3 3

1 1 1 3 1

1 1 1 1 1

1 1 1 3 1

3 1 1 1 1

3 3 3 1 3

176

1 11 11 11 11

1 1 11 11 11

11 11 11 11 11

exemplo 4 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 2 1

1 1 1 1 1

2 4 1 4 4

2 4 1 2 4

1 1 1 2 1

1 1 1 1 1

4 4 1 1 1

1 4 1 1 1

1 1 1 1 1

4 4 1 1 1

2 4 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 2 1 2

2 2 2 1 2

2 4 1 4 4

2 4 1 2 4

1 1 1 2 1

1 1 2 1 2

2 2 2 4 2

2 4 4 4 4

2 4 1 1 4

1 1 2 1 1

2 1 1 1 2

1 1 1 1 4

2 4 1 8 4

4 4 8 8 1

1 1 1 8 8

4 1 1 1 2

1 1 1 2 1

4 1 1 1 2

2 4 1 4 4

2 4 1 2 4

4 1 1 2 1

4 1 1 1 2

2 4 1 4 4

2 4 1 2 4

4 4 1 2 1

7 7 7 7 7

7 7 7 7 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 7

7 7 7 7 7

exemplo 5 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 1 4 1

1 1 4 4 4

2 1 1 2 2

1 1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 4 4 4

2 1 1 2 2

1 1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 1 1 4 1

1 1 4 4 4

2 1 1 2 2

1 1 1 1 1

2 2 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

2 2 2 2 1

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

2 2 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 4 4 4

2 1 1 2 2

1 2 1 1 1

177

exemplo 6 1 1 1 1 1

1 1 1 3 3

3 3 1 3 3

3 1 1 3 3

1 1 1 1 1

1 1 1 6 6

6 6 1 6 6

6 1 1 6 6

1 1 1 1 1

1 4 2 2 2

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

exemplo 7 1 1 1 4 1

1 1 1 1 1

1 1 1 4 1

1 4 1 1 2

1 5 1 5 5

1 5 1 1 1

1 1 1 1 1

5 5 5 5 5

4 12 12 12 12

1 1 1 1 1

1 6 6 1 1

1 12 1 1 1

1 1 1 1 1

12 12 12 4 12

1 4 4 4 1

1 4 1 1 1

1 1 1 1 1

1 4 4 4 1

12 12 12 6 12

exemplo 8 1 3 3 1 1

1 1 3 1 1

1 3 3 1 1

1 1 6 1 1

1 6 6 1 1

1 1 1 1 1

18 18 18 1 18

178

18 18 18 1 18

18 18 1 1 1

1 4 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 4 1

exemplo 9 1 1 1 1 1

1 6 6 6 1

76 76 76 76 76

6 6 6 6 6

76 76 76 76 76

1 1 6 6 1

76 76 76 76 76

1 1 1 1 1

76 76 76 76 76

1 1 1 1 1

76 76 76 76 76

1 8 8 4 1

8 8 8 8 8

87 87 87 87 87

1 1 8 1 1

87 87 87 87 87

1 1 1 1 1

87 87 87 87 87

61 61 61 61 61

87 87 87 87 87

exemplo 10 3 1 1 3 1

3 3 1 1 3

1 3 3 1 1

1 1 3 3 1

1 3 3 3 1

95 95 95 95 95

179

61 61 61 61 61

87 87 87 87 87

61 61 61 61 61

os atractores de redes RBN NK , com N = 25 e K = 4, em topologia quadrado, e parˆametro de Derrida p = 11/16, considerando 200 configura¸c˜oes iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 4 1 4 4 4

8 8 4 4 4

8 8 8 4 4

8 1 4 4 4

4 4 1 4 4

64 64 64 64 64

73 73 73 73 73

1 1 1 1 1

1 4 1 1 1

1 5 10 1 1

10 10 10 1 1

10 10 10 10 10

10 1 10 10 10

1 5 10 1 1

1 26 26 1 1

26 26 26 1 1

26 26 26 26 26

1 26 26 1 1

exemplo 2 1 4 4 1 1

1 1 4 1 1

1 1 1 1 1

exemplo 3 1 26 26 1 1

26 26 26 1 1

26 26 26 26 26

1 26 26 1 1

180

exemplo 4 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 1 2 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 2 1

1 1 2 1 1

1 1 2 2 1

1 1 2 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 2 1

1 1 2 1 1

1 1 4 1 1

1 4 4 1 1

1 1 1 1 1

1 1 4 2 1

1 4 4 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 2 2

1 1 4 4 4

1 2 2 4 1

2 2 1 1 2

1 2 1 2 2

1 1 2 2 2

1 1 4 4 4

2 1 1 4 2

1 1 1 1 1

1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

1 1 1 1 1

1 2 2 2 1

1 1 2 1 1

1 1 6 2 2

2 1 1 2 2

1 1 1 1 1

1 6 6 1 2

1 1 6 1 2

2 1 4 1 1

4 2 1 1 4

2 2 4 4 4

2 2 2 4 2

2 1 4 1 1

2 1 1 1 2

2 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

2 1 2 2 1

2 1 2 1 1

1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

4 1 4 2 4

4 1 4 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 4 2

4 1 2 2 2

1 8 8 8 4

1 8 8 1 1

96 96 96 96 96

2 1 2 2 1

exemplo 5 8 8 8 1 1

8 8 8 8 8

1 8 8 8 4

96 96 96 96 96

181

2 1 2 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 2 1

2 1 2 1 1

2 1 24 12 6

6 2 6 2 12

12 2 1 1 1

2 4 8 6 12

2 1 8 6 12

exemplo 6 13 13 13 13 13

13 13 13 13 13

1 1 13 13 13

14 14 14 14 14

19 19 19 19 19

20 20 20 20 20

37 37 37 37 37

42 42 42 42 42

81 81 81 81 81

exemplo 7 3 3 3 3 3

153 153 153 153 153

3 3 3 1 3

1 3 3 1 1

153 153 153 153 153

3 3 1 1 1

153 153 153 153 153

6 6 6 6 6

153 153 153 153 153

6 6 6 6 1

6 6 6 6 6

6 6 3 6 6

6 6 6 6 6

20 20 20 20 20

153 153 153 153 153

exemplo 8 10 10 10 1 10

10 10 1 10 10

10 10 10 10 10

38 38 38 1 38

38 38 38 38 38

182

38 38 38 38 38

81 81 81 81 81

exemplo 9 1 1 1 1 4

1 1 1 1 1

1 4 4 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 4

1 3 3 3 3

1 6 6 6 6

1 1 1 1 1

1 6 1 1 6

1 6 6 6 12

1 1 1 1 1

1 3 1 1 3

1 1 2 2 1

1 4 4 1 1

1 1 1 1 1

1 3 3 12 12

1 1 3 12 12

1 1 12 12 12

1 4 4 2 4

1 1 2 2 1

1 4 4 1 1

1 1 1 4 1

1 6 6 12 12

1 1 6 12 12

2 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 4 4 4

1 4 4 2 4

1 1 4 2 1

1 4 4 4 4

1 1 4 4 1

1 1 4 4 4

1 6 1 1 12

exemplo 10 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 4 4

1 1 1 1 1

1 3 3 3 1

1 8 8 8 1

1 8 2 4 8

1 1 4 8 8

1 1 1 1 1

1 24 24 24 1

1 24 6 12 24

1 1 12 24 24

1 1 1 1 1

1 6 6 6 1

1 1 1 1 1

183

2 1 1 1 2

1 1 12 12 12

1 1 1 4 4

1 1 1 1 1

2 1 1 1 2

1 8 8 8 1

2 2 2 1 2

1 8 1 4 8

2 1 1 1 1

1 1 4 8 8

1 1 1 1 1

1 1 4 8 8

1 1 1 4 4

1 1 1 1 1

2 1 1 1 2

os atractores de redes RBN NK , com N = 25 e K = 4, em topologia quadrado, e parˆametro de Derrida p = 10/16, considerando 200 configura¸c˜oes iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 35 35 35 35 35

35 35 35 35 35

42 42 42 42 42

72 72 72 72 72

193 193 193 193 193

42 42 42 42 42

193 193 193 193 193

42 42 42 42 42

193 193 193 193 193

42 42 42 42 42

193 193 193 193 193

48 48 48 48 48

193 193 193 193 193

exemplo 2 4 1 1 4 4

387 387 387 387 387

1 8 4 4 4

1 8 8 4 4

387 387 387 387 387

2 2 1 1 1

2 1 1 1 1

387 387 387 387 387

13 13 13 13 13

387 387 387 387 387

13 13 13 13 13

387 387 387 387 387

184

51 51 51 51 51

48 48 48 48 48

exemplo 3 138 138 138 138 138

138 138 138 138 138

exemplo 4 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

2 2 1 2 2

1 2 1 2 1

1 1 1 1 1

2 2 1 1 1

1 2 1 1 1

2 2 1 1 1

2 2 4 4 2

2 1 1 1 1

1 1 1 1 1

4 4 4 4 2

2 1 1 1 1

6 2 1 1 1

6 2 1 6 6

2 2 2 1 1

2 1 1 1 1

6 2 1 1 1

6 2 1 6 6

6 1 1 6 6

2 6 6 6 2

2 1 1 1 1

6 2 1 1 1

6 2 6 6 6

6 6 6 6 6

8 8 8 1 1

8 1 1 1 1

1 1 1 1 1

8 4 8 1 1

8 8 8 8 8

8 8 8 1 8

8 8 2 1 8

8 8 8 8 8

exemplo 5 108 108 108 108 108

108 108 108 108 108

241 241 241 241 241

185

241 241 241 241 241

exemplo 6 21 21 21 21 21

21 21 21 21 21

278 278 278 278 278

21 21 21 21 21

278 278 278 278 278

21 21 21 21 21

278 278 278 278 278

21 21 21 21 21

278 278 278 278 278

75 75 75 75 75

223 223 223 223 223

142 142 142 142 142

278 278 278 278 278

exemplo 7 8 8 1 1 4

38 38 38 38 38

1 8 1 4 1

4 1 4 4 4

38 38 38 38 38

4 4 1 1 4

8 8 8 1 4

10 10 10 10 10

10 10 10 10 1

38 38 38 38 38

54 54 54 54 54

19 19 19 19 19

209 209 209 209 209

10 10 10 10 10

10 10 2 2 2

54 54 54 54 54

10 1 10 10 10

54 54 54 54 54

12 12 12 12 12

54 54 54 54 54

12 6 12 12 12

142 142 142 142 142

exemplo 8 19 19 19 19 19

19 19 19 19 19

209 209 209 209 209

186

209 209 209 209 209

12 12 12 12 12

142 142 142 142 142

12 12 12 2 12

142 142 142 142 142

exemplo 9 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 4 4 1

1 1 4 1 1

1 1 1 1 1

1 1 4 4 1

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

1 2 2 1 1

1 1 2 1 1

1 2 2 1 1

1 1 16 16 16

1 1 16 1 8

8 8 16 8 8

16 8 8 16 16

1 2 2 16 16

4 2 4 4 1

4 4 2 1 4

1 2 2 1 2

4 1 1 4 4

4 1 1 1 1

14 1 1 2 14

14 1 2 1 14

14 2 2 14 14

14 14 14 14 14

14 2 2 2 14

1 1 1 1 1

1 1 4 4 1

1 10 20 20 1

1 1 1 20 1

1 2 2 20 20

1 10 10 10 1

1 10 20 20 1

1 1 4 1 1

1 1 1 1 1

1 1 2 1 1

1 1 12 12 12

1 2 2 1 1

1 1 12 12 12

1 1 2 2 1

12 12 12 12 12

exemplo 10 1 1 4 4 1

16 16 16 16 16

1 1 1 4 1

1 1 1 1 1

2 2 2 16 16

2 1 2 16 16

1 2 2 16 16

1 1 16 16 16

109 109 109 109 109

187

6 6 3 3 6

109 109 109 109 109

2 6 6 6 6

109 109 109 109 109

2 6 1 1 6

1 6 1 1 1

1 6 3 3 1

1 1 1 1 1

1 2 12 2 2

1 2 2 1 1

1 1 1 1 1

os atractores de redes RBN NK , com N = 25 e K = 4, em topologia quadrado, e parˆametro de Derrida p = 9/16, considerando 200 configura¸c˜oes iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 29 29 29 29 29

29 29 29 29 29

83 83 83 83 83

100 100 100 100 100

278 278 278 278 278

83 83 83 83 83

85 85 85 85 85

207 207 207 207 207

312 312 312 312 312

exemplo 2 21 21 21 21 21

21 21 21 21 21

312 312 312 312 312

188

85 85 85 85 85

207 207 207 207 207

85 85 85 85 85

exemplo 3 1 8 8 8 8

8 8 8 8 8

8 8 4 8 8

8 8 8 8 8

197 197 197 197 197

373 373 373 373 373

25 25 25 25 25

36 36 36 36 36

373 373 373 373 373

exemplo 4 15 15 15 15 15

15 15 15 15 15

15 15 15 15 1

25 25 25 25 25

43 43 43 43 43

172 172 172 172 172

276 276 276 276 276

25 25 25 25 25

172 172 172 172 172

725 725 725 725 725

exemplo 5 2 4 2 4 2

4 4 2 4 4

4 4 4 2 2

4 4 1 4 1

4 4 4 4 4

1077 1077 1077 1077 1077

189

1077 1077 1077 1077 1077

36 36 36 36 36

725 725 725 725 725

36 36 36 36 36

373 373 373 373 373

exemplo 6 1 7 7 1 1

1 7 7 1 1

11 11 11 11 11

1 7 7 7 7

11 11 11 11 11

7 7 7 7 7

1 7 7 1 1

1 1 4 1 1

1 4 4 1 1

4 4 4 4 4

11 11 11 11 11

109 109 109 109 109

13 13 13 13 13

69 69 69 69 69

4 4 4 4 1

1 4 4 1 1

109 109 109 109 109

1 2 4 1 1

109 109 109 109 109

1 4 4 4 1

109 109 109 109 109

4 4 4 4 1

1 4 4 1 1

1 2 4 1 1

1 4 4 4 1

4 4 4 4 1

2 4 4 4 4

109 109 109 109 109

exemplo 7 13 13 13 13 13

13 13 13 13 1

69 69 69 69 69

176 176 176 176 176

235 235 235 235 235

263 263 263 263 263

exemplo 8 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

235 235 235 235 235

190

exemplo 9 2 4 2 4 1

999 999 999 999 999

2 4 4 4 4

4 4 2 2 1

4 4 1 1 2

999 999 999 999 999

1 1 1 1 2

999 999 999 999 999

110 110 110 110 110

999 999 999 999 999

110 110 110 110 110

129 129 129 129 129

80 80 80 80 80

431 431 431 431 431

999 999 999 999 999

exemplo 10 23 23 23 23 23

23 23 23 23 23

80 80 80 80 80

191

os atractores de redes RBN NK , com N = 25 e K = 4, em topologia quadrado, e parˆametro de Derrida p = 8/16, considerando 200 configura¸c˜oes iniciais para cada escolha das fun¸c˜ oes booleanas exemplo 1 21 21 21 21 21

21 21 21 21 21

23 23 23 23 23

37 37 37 37 37

79 79 79 79 79

230 230 230 230 230

31 31 31 31 31

159 159 159 159 159

412 412 412 412 412

37 37 37 37 37

318 318 318 318 318

exemplo 2 31 31 31 31 31

31 31 31 31 31

exemplo 3 378 378 378 378 378

378 378 378 378 378

192

412 412 412 412 412

37 37 37 37 37

318 318 318 318 318

37 37 37 37 37

318 318 318 318 318

exemplo 4 52 52 52 52 52

52 52 52 52 52

838 838 838 838 838

52 52 52 52 52

838 838 838 838 838

52 52 52 52 52

838 838 838 838 838

52 52 52 52 52

838 838 838 838 838

644 644 644 644 644

838 838 838 838 838

exemplo 5 23 23 23 23 23

23 23 23 23 23

37 37 37 37 37

127 127 127 127 127

exemplo 6 1 1 1 4 4

1 1 1 1 1

1162 1162 1162 1162 1162

1 1 1 1 1

1162 1162 1162 1162 1162

1 1 1 1 1

6 1 1 6 3

6 2 1 6 6

1162 1162 1162 1162 1162

6 2 6 6 6

3 6 6 6 6

94 94 94 94 94

1162 1162 1162 1162 1162

193

94 94 94 94 94

127 127 127 127 127

exemplo 7 1210 1210 1210 1210 1210

1210 1210 1210 1210 1210

exemplo 8 17 17 17 17 17

17 17 17 17 17

62 62 62 62 62

78 78 78 78 78

exemplo 9 8 8 8 8 8

8 8 8 8 8

8 8 8 2 8

8 8 4 4 4

8 8 8 8 1

164 164 164 164 164

2 2 1 1 2

1 2 2 2 2

1 1 4 4 4

164 164 164 164 164

1 2 2 2 4

1 9 9 9 9

245 245 245 245 245

164 164 164 164 164

exemplo 10 1 1 2 1 2 55 55 55 55 55

1 1 2 1 2

2 1 2 1 1 55 55 55 55 55

55 55 55 55 55

1 1 4 4 2

2 1 4 4 1 245 245 245 245 245

2 2 1 4 4

194

9 9 9 9 9 245 245 245 245 245

9 9 9 9 9

1 1 9 9 9 245 245 245 245 245

1 1 1 9 9

23 23 23 23 23

anexo B Para exemplificar os três tipos de comportamento que uma rede booleana NK pode assumir, ordem, caos e limiar do caos, escolhemos aquela rede cuja constru¸cão conserva a ideia de espa¸co: trata-se da rede cujos elementos estão dispostos numa grelha quadrada, com liga¸c˜ oes aos seus quatro vizinhos mais próximos, esquerda, cima, direita e baixo. Esta escolha não pretende introduzir qualquer simplifica¸cão significativa, o que é desde logo evidente pelo facto de implicar um n´ umero de liga¸cões K = 4, mas apenas por ser mais realista a identifica¸cão de ilhas, ou seja, de subconjuntos de elementos espacialmente próximos, de igual comportamento na rede considerada. No caso concreto que vamos apresentar, temos uma rede com um n´ umero N = DIM2 = 802 de elementos e um intervalo de tempo ∆ = 20 como janela de estabilidade, ou seja, o intervalo de tempo m´ınimo para o qual se regista uma invariância de estado dos elemento da rede. Porque, na caracteriza¸cão do tipo de comportamento, é também importante a evolu¸cão temporal da rede, vamos apresentar alguns fotogramas correspondentes a configura¸c˜ oes da rede em momentos separados por 10 instantes de tempo. Será desse modo igualmente poss´ıvel avaliar da forma como uma configura¸cão t´ıpica do sistema se altera, ou se conserva, com o passar do tempo. Mas atentemos primeiro nos programas, escritos em Mathematica, que nos vão permitir simular o comportamento de uma rede booleana NK do tipo anteriormente descrito.

195

as portas lógicas (K=4) inputs = Reverse@Flatten@ Table@8in1, in2, in3, in4<, 8in1, 0, 1<, 8in2, 0, 1<, 8in3, 0, 1<, 8in4, 0, 1<D, 3DD;

outputs = IntegerDigits@Range@0, 2 ^ 16 - 1D, 2, 16D; Table@fB@koD@inputsPkiTD = outputsPko, kiT, 8ki, Length@inputsD<, 8ko, Length@outputsD<D;

função evolução temporal do sistema listaPortas = IntegerDigits@Range@0, 2 ^ 16 - 1D, 2, 16D; parametroP@x_D := Max@Count@x, 1D, Count@x, 0DD 16;

evolucaoTemporal@portasLogicas_, mat_D := Module@8dm, TmatUm, TmatCentral, TmatFim<, dm = Length@matD; TmatUm = Join@8portasLogicasP1, 1T@8matP1, 2T, matPdm, 1T, matP1, dmT, matP2, 1T<D<, Table@portasLogicasP1, jT@8matP1, j + 1T, matPdm, jT, matP1, j - 1T, matP2, jT<D, 8j, 2, dm - 1<D, 8portasLogicasP1, dmT@8matP1, 1T, matPdm, dmT, matP1, dm - 1T, matP2, dmT<D<D; TmatCentral = Table@Join@8portasLogicasPi, 1T@ 8matPi, 2T, matPi - 1, 1T, matPi, dmT, matPi + 1, 1T<D<, Table@portasLogicasPi, jT@8matPi, j + 1T, matPi - 1, jT, matPi, j - 1T, matPi + 1, jT<D, 8j, 2, dm - 1<D, 8portasLogicasPi, dmT@ 8matPi, 1T, matPi - 1, dmT, matPi, dm - 1T, matPi + 1, dmT<D<D, 8i, 2, dm - 1<D; TmatFim = Join@8portasLogicasPdm, 1T@8matPdm, 2T, matPdm - 1, 1T, matPdm, dmT, matP1, 1T<D<, Table@portasLogicasPdm, jT@ 8matPdm, j + 1T, matPdm - 1, jT, matPdm, j - 1T, matP1, jT<D, 8j, 2, dm - 1<D, 8portasLogicasPdm, dmT@8matPdm, 1T, matPdm - 1, dmT, matPdm, dm - 1T, matP1, dmT<D<D; Return@Join@8TmatUm<, TmatCentral, 8TmatFim<DDD;

umExemplo@dim_, pp_D := Do@8 Clear@portasPP, wPP, portasLogicas, estadoInicial, dadosD; portasPP = Select@listaPortas, parametroP@ð1D pp &D; wPP = HFromDigits@ð1, 2D &L portasPP; portasLogicas = Table@fB@wPPPRandomInteger@81, Length@wPPD<DTD, 8dim<, 8dim<D; estadoInicial = Nest@HevolucaoTemporal@portasLogicas, ðDL &, RandomInteger@80, 1<, 8dim, dim<D, 6000D; dados = NestList@HevolucaoTemporal@portasLogicas, ðDL &, estadoInicial, 100D<D;

196

caos LL = 100; umExemplo@LL, 8 16D;

intervalo = 10; elementosTempo01 = Table@dadosPk, i, jT, 8i, LL<, 8j, LL<, 8k, 1, 1 + intervalo<D; mt01 = Table@Length@Union@elementosTempo01Piis, jjsTDD, 8iis, LL<, 8jjs, LL<D; Show@Graphics@8PointSize@0.008D, Table@8GrayLevel@mt01Pi, jT - 1D, Point@8i, j<D<, 8i, LL<, 8j, LL<D<D, FrameTicks ® False, Frame ® True, AspectRatio ® 1D

ordem LL = 100; umExemplo@LL, 14 16D;

intervalo = 10; elementosTempo01 = Table@dadosPk, i, jT, 8i, LL<, 8j, LL<, 8k, 1, 1 + intervalo<D; mt01 = Table@Length@Union@elementosTempo01Piis, jjsTDD, 8iis, LL<, 8jjs, LL<D;

Show@Graphics@8PointSize@0.007D, Table@8GrayLevel@mt01Pi, jT - 1D, Point@8i, j<D<, 8i, LL<, 8j, LL<D<D, FrameTicks ® False, Frame ® True, AspectRatio ® 1D

limiar do caos LL = 100; umExemplo@LL, 11 16D;

intervalo = 10; elementosTempo01 = Table@dadosPk, i, jT, 8i, LL<, 8j, LL<, 8k, 1, 1 + intervalo<D; mt01 = Table@Length@Union@elementosTempo01Piis, jjsTDD, 8iis, LL<, 8jjs, LL<D;

Show@Graphics@8PointSize@0.007D, Table@8GrayLevel@mt01Pi, jT - 1D, Point@8i, j<D<, 8i, LL<, 8j, LL<D<D, FrameTicks ® False, Frame ® True, AspectRatio ® 1D

197

De seguida, vamos apresentar uma sucess˜ao de configura¸c˜oes para cada um dos tipos de comportamento identificado.

ordem

limiar do caos

198

caos

anexo C Aqui serão apresentados alguns dos programas feitos na linguagem Mathematica, desenvolvida pela Wolfram Research, usados em diferentes simula¸cões computacionais realizadas ao longo da elabora¸cão deste trabalho. Estes pretendem ser apenas uma amostra daquilo que foi a utiliza¸cão do referido programa, algo que registamos como muito importante, sobretudo pela relevância que teve na compreensão de muitos dos conceitos e propriedades das redes booleanas aleatórias. Temos consciência porém, que para avan¸car nesta área será necessário recorrer a outros meios, tal como muitos investigadores o estão fazendo, empregando já não computadores pessoais, mas sim máquinas de capacidade de processamento muito para além destas. Contudo, posso dizer que a aprendizagem de uma linguagem como o Mathematica ficará sempre como uma mais valia deste trabalho.

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Com este primeiro tipo de programa foram simuladas redes escolhidas aleatoriamente entre aquelas com um determinado valor do parâmetro P , sendo determinados os per´ıodos de cada um dos elementos da rede, dentro do estado estacionário encontrado pela configura¸cão inicial escolhida. De salientar que as redes consideradas têm as entradas de cada uma das fun¸c˜ oes Booleanas determinadas por escolha aleatória de K elementos da rede. as portas lógicas (K=3) inputs = Reverse@Flatten@Table@8in1, in2, in3<, 8in1, 0, 1<, 8in2, 0, 1<, 8in3, 0, 1<D, 2DD; NIN = Length@inputsD; outputs = Table@IntegerDigits@k, 2, 8D, 8k, 0, 2 ^ 8 - 1<D; NOUT = Length@outputsD; Table@fB@koD@inputsPkiTD = outputsPko, kiT, 8ki, NIN<, 8ko, NOUT<D;

função exemplo listaPortas = IntegerDigits@Range@0, 2 ^ 8 - 1D, 2, 8D; parametroP@x_D := Max@Count@x, 1D, Count@x, 0DD 8;

exemplo@DIM_, pp_, numExemplos_D := Module@8portasPP, wPP, portasLogicas, entradas, matrizes, configInicial, dadosA, ddA, compararA, nmA, atractores<, portasPP = Select@listaPortas, parametroP@ð1D pp &D; wPP = HFromDigits@ð1, 2D &L portasPP; portasLogicas = Table@fB@wPPPRandomInteger@81, Length@wPPD<DTD, 8DIM<D; entradas = Table@RandomInteger@81, DIM<, 3D, 8DIM<D; evolucaoTemporal@config_D := Table@portasLogicasPkT@configPentradasPkTTD, 8k, DIM<D; Print@"portasLogicas = ", portasLogicasD; Print@"entradasPortasLogicas = ", entradasD; matrizes = 8<; Do@8configInicial = RandomInteger@80, 1<, DIMD; dadosA = Transpose@NestList@evolucaoTemporal, Nest@evolucaoTemporal, configInicial, 10 000D, 18 000DD; outPA = 8<; Do@8ddA = dadosAPiT; compararA = Table@Take@ddA, -jD Take@ddA, 8-2 j, -Hj + 1L<D, 8j, 6000<D; nmA = Select@Reverse@Flatten@Position@compararA, TrueDDD, ð1 > 10 &D; If@Length@nmAD > 2, outPA = Append@outPA, nmAP1T - nmAP2TD, outPA = Append@outPA, 0DD<, 8i, DIM<D; matrizes = Append@matrizes, outPAD<, 8numExemplos<D; atractores = Union@matrizesD; Print@atractoresDD;

exemplo 7/8 exemplo@50, 7 8, 100D

200

Neste segundo programa, gostaria de observar que as redes consideradas estão dispostas numa topologia de quadrado, onde cada seu elemento interactua com os quatro seus vizinhos mais pr´ oximos. Também aqui se procura identificar os per´ıodos de cada um dos elementos do sistema, quando este percorre um estado estacionário. as portas lógicas (K=4) inputs = Reverse@Flatten@ Table@8in1, in2, in3, in4<, 8in1, 0, 1<, 8in2, 0, 1<, 8in3, 0, 1<, 8in4, 0, 1<D, 3DD; outputs = Table@IntegerDigits@k, 2, 16D, 8k, 0, 2 ^ 16<D; Table@fB@koD@inputsPkiTD = outputsPko, kiT, 8ki, Length@inputsD<, 8ko, Length@outputsD<D;

função evolução temporal do sistema evolucaoTemporal@mat_D := Module@8TmatUm, TmatCentral, TmatFim, dm<, dm = Length@matD; TmatUm = Join@8portasLogicasP1, 1T@8matP1, 2T, matPdm, 1T, matP1, dmT, matP2, 1T<D<, Table@portasLogicasP1, jT@8matP1, j + 1T, matPdm, jT, matP1, j - 1T, matP2, jT<D, 8j, 2, dm - 1<D, 8portasLogicasP1, dmT@8matP1, 1T, matPdm, dmT, matP1, dm - 1T, matP2, dmT<D<D; TmatCentral = Table@Join@8portasLogicasPi, 1T@ 8matPi, 2T, matPi - 1, 1T, matPi, dmT, matPi + 1, 1T<D<, Table@portasLogicasPi, jT@8matPi, j + 1T, matPi - 1, jT, matPi, j - 1T, matPi + 1, jT<D, 8j, 2, dm - 1<D, 8portasLogicasPi, dmT@ 8matPi, 1T, matPi - 1, dmT, matPi, dm - 1T, matPi + 1, dmT<D<D, 8i, 2, dm - 1<D; TmatFim = Join@8portasLogicasPdm, 1T@8matPdm, 2T, matPdm - 1, 1T, matPdm, dmT, matP1, 1T<D<, Table@portasLogicasPdm, jT@ 8matPdm, j + 1T, matPdm - 1, jT, matPdm, j - 1T, matP1, jT<D, 8j, 2, dm - 1<D, 8portasLogicasPdm, dmT@8matPdm, 1T, matPdm - 1, dmT, matPdm, dm - 1T, matP1, dmT<D<D; Return@Join@8TmatUm<, TmatCentral, 8TmatFim<DDD

201

função exemplo listaportas = IntegerDigits@Range@0, 2 ^ 16 - 1D, 2, 16D; parametroP@x_D := Max@Count@x, 1D, Count@x, 0DD 16;

exemplo@dim_, pp_, numExemplos_D := Module@8matrizes, estadoA, dadosA, ddA, compararA, nmA<, portasPP = Select@listaportas, parametroP@ð1D pp &D; wPP = HFromDigits@ð1, 2D &L portasPP; portasLogicas = Table@fB@wPPPRandomInteger@81, Length@wPPD<DTD, 8dim<, 8dim<D; Print@"portasLogicas = ", portasLogicasD; matrizes = 8<; Do@8 estadoA = RandomInteger@80, 1<, 8dim, dim<D; dadosA = NestList@evolucaoTemporal, estadoA, 100 000D; outPA = 8<; Do@8 ddA = Table@dadosAPk, i, jT, 8k, 9000, 100 000<D; compararA = Table@Take@ddA, -kD Take@ddA, 8-2 k, -Hk + 1L<D, 8k, 45 000<D; nmA = Select@Reverse@Flatten@Position@compararA, TrueDDD, ð1 > 10 &D; If@Length@nmAD > 2, outPA = Append@outPA, nmAP1T - nmAP2TD, outPA = Append@outPA, 0DD<, 8i, dim<, 8j, dim<D; matrizes = Append@matrizes, Partition@outPA, dimDD<, 8numExemplos<D; atractores = Union@matrizesD; Table@Print@MatrixForm@atractoresPkkkTDD, 8kkk, Length@atractoresD<DD

exemplo exemplo@8, 8 16, 10D

202