RELACIONES Y FUNCIONES

MATEMATICA I UNIDAD I RELACIONES Y FUNCIONES

LICENCIADA: ANA LISSETH AGUIRRE AYALA

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

MATEMATICA I

UNIDADES DE APRENDIZAJE

Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5

Relaciones y funciones Funciones trascendentales Función exponencial y logarítmica Trigonometría Matrices y determinante CONTENIDOS

✓ PARES ORDENADOS ✓ IGUALDAD DE PARES ORDENADOS ✓ PRODUCTO CARTESIANO ✓ RELACIONES ✓ FUNCIONES

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE

2

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

OBJETIVO GENERAL Resolver situaciones que impliquen la utilizaciรณn de relaciones y funciones aplican correctamente los procedimientos y conceptos

COMPETENCIA Desarrollar habilidades matemรกticas sobre relaciones y funciones para casos prรกcticos

Valores Respeto Cooperaciรณn Responsabilidad

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE

3

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

INTRODUCCION

La matemática debe ser vista y valorada desde el mundo de la práctica y al desarrollar esta unidad conocerá sobre relaciones y funciones en casos de la vida cotidiana o aplicados al entorno del desempeño profesional.

Esperamos que esta incursión en el mundo de las relaciones y funciones le permita conocer y aplicar lo teórico al mundo real.

Los contenidos que desarrollaremos son: pares ordenados, igualdad de pares ordenados, producto cartesiano, relaciones y funciones.

Toda la temática será facilitada en entornos virtuales con apoyo de software que permitirá que el aprendizaje sea cercano a la realidad.

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE

4

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

PARES ORDENADOS

Es una pareja de elementos dados en cierto orden; estos elementos pueden ser numéricos o de otra clase. Los encontramos en la vida diaria de diferentes maneras, por ejemplo: el marcador de partidos deportivos entre dos equipos, los pares entre: país-capital; provinciacapital; esposo-esposa; nombres-apellidos, nombre-edad, etc.

PLANO CARTESIANO.

Llamado también Sistema Cartesiano de Coordenadas, está formado por dos rectas numéricas cortadas perpendicularmente; el punto de corte de estas rectas es el origen o cero y a partir de allí se ubican los números ordenadamente en las 4 direcciones (arriba, abajo, derecha e izquierda). A la recta horizontal se le llama eje x o de las abscisas; y la recta vertical se llama eje y o de las ordenadas.

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE

5

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

En el eje x a la derecha están los números positivos.

En el eje x a la izquierda están los números negativos.

En el eje y arriba están los números positivos.

En el eje y abajo están los números negativos.

Para ubicar pares ordenados en el plano cartesiano, se le debe ubicar a la 1° componente en el eje x (horizontal), y la 2° componente en el eje y (vertical); dirigir segmentos paralelos (cuadricula) a los ejes hasta que se corten y allí se ubicará el punto que corresponde al par ordenado.

Las coordenadas o ejes cartesianos por ser dos rectas que se cortan en un punto forman cuatro cuadrantes que se cuentan o enumeran en forma antihoraria, comenzando por el de la derecha y superior, así:

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE

6

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

EJEMPLO. Representar en el plano cartesiano los siguientes puntos: (2,3), (-3,-1), (0,0), (-1.5, -2,5)

Igualdad de Pares Ordenados Conteste las siguientes interrogantes ¿Qué es una igualdad? Equivalencia de dos cantidades o expresiones. ¿Qué es una igualdad de pares ordenados?

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE

7

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

En matemĂĄtica, un par ordenado es un par (a, b) de objetos a y, tal que si (c, d) es el otro par ordenado, (a, b) y (c, d) serĂĄn iguales si y solo si a=c y b=d. Lo anterior sirve para garantizar el orden de los componentes.

Igualdad de pares ordenados.

Dos pares ordenados son iguales, si y solo si son iguales sus respectivas componentes. Es decir que (a, b) = (c=d) si y solo si a=c y b=d.

Ejemplo #1.

(2x+5; 8) = (7; y+10) 2x+5 es la primera componente del primer par ordenado (a) 8 es la segunda componente del primer par ordenado (b) 7 es la primera componente del segundo par ordenado (c) y+10 es la segunda componente del segundo par ordenado (d)

Cuando tenemos dos pares ordenados, que son iguales se debe de cumplir que la primera componente del primer par ordenado debe ser igual a la primera componente del segundo par ordenado.

Lo mismo sucede con las segundas componentes ambas segundas componentes deben ser iguales, asĂ­ tenemos que si (a, b) es igual a (c, d) se debe cumplir entonces que a es igual a c y b es igual a d.

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE

8

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Soluci贸n.

(2x+5; 8 ) = (7; y+10) Establecemos dos ecuaciones

Primera ecuaci贸n 2x +5 = 7 2x = 7-5 2x= 2 x = 2/2 x=1

Segunda ecuaci贸n. y + 10=8 y = 8 - 10 y=-2

Ahora se debe sustituir los valores encontrados (los de las inc贸gnitas) en los pares ordenados originales.

(2x+5, 8) = (7, y+10) [ 2 (1) + 5; 8] = [7; -2+10] [ 2+5;8] = [7;8] [ 7;8]= [ 7;8]

Podemos concluir que los pares ordenados son iguales.

Ejemplo 2.

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE

9

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Determinar el valor de las incógnitas x, y de la siguiente igualdad.

Primer paso, igualar las abscisas y las ordenadas.

2x-3y =7 Y=-1

Podemos observar que hemos encontrado el valor para la variable y.

Hay que recordar siempre que un par ordenado está dado por dos componentes, (x, y) entonces, igualamos las “x” y las “y”, llamaremos a esta, primera ecuación. Y despejamos cualquiera de las dos variables que en este caso se encuentran.

Para resolver ecuaciones con dos variables, existen varios métodos, como lo son, el método por sustitución, reducción, igualación entre otros. En este caso, usaremos el método por sustitución, despejamos a la “x” teniendo en cuenta que el término de 3y estaba negativo, y cuando lo pasamos al otro lado del signo igual se convierte en positivo. (Se dice, estaba restando y pasa a sumar) 2x -3y =7 2x -3(-1) =7 2x +3 = 7 2x = 7 -3 2x = 4 X = 4/2 X=2

Los valores encontrados para “x” e “y” son 2 y -1 respectivamente.

Tomamos los pares ordenados y comprobar.

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 10

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

(2x -3y, y) = (7, -1) (2(2)-3(-1), -1) = (7, -1) (4 +3, -1) = (7,-1) (7,-1) = (7,-1) Los pares son iguales.

Realice el siguiente ejercicio Ejercicio.

Determinar si los siguientes pares son iguales.

1. (3x +5, 10) = (20, 2y +4)

Producto cartesiano.

En matemรกticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operaciรณn, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

Asi se grafican los productos cartesianos AXB: Se llaman Diagrama Sagital y Diagrama Cartesiano respectivamente.

Ejemplo 1: LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 11

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Sean los conjuntos: S = {a, b, c} , T = {1, 2} , entonces, el PRODUCTO CARTESIANO es: S x T = {(a, 1); (a, 2); (b, 1); (b, 2); (c, 1); (c, 2)} T x S = { (1, a) , (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

Ejemplo 2. Sean los conjuntos A= {1,2,3} B= {4,5,6} Hallar: AXB, BXA

A X B= {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,5), (3,4), (3,6)}

B X A = {4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3)} Ejemplo 3.

Sean los conjuntos A y B.

A definido como A= {a, b, c} B definido como B= {m, n, o} El producto cartesiano A x B estarรก definido como: A x B= {(a, m), (a, n), (a, o), (b, m), (b, n), (b, o), (c, m), (c, n), (c, o)} El producto cartesiano B x A estarรก definido como: B x A= {(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c), (o, a), (o, b), (o, c)}

Ejercicio: Dados los conjuntos: A= {2,4} B= {1,3,5}

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 12

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

C= {a, b}

Hallar el producto de AXB, BXA, AXC, BXC

Relaciones y funciones.

Definición matemática de Relación y de Función En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo 1.

Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B. LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 13

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

R1 = {(2, 1), (3, 1)}

R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

R3 = {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x + 2}

Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 14

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo 2.

Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación

R = {(x, y) / x + y = 3}

Solución

El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados

C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}

Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:

R = {(1, 2), (–3, 6)}

Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 15

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Dominio y rango de una relación El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.

Ejemplo 3

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.

Solución

El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:

A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}

Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:

R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.

Así, el dominio y rango son:

D = {2, 3, 4}

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 16

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Rg = {4, 6, 8}

Representación gráfica de las relaciones Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.

Solución

Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:

R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 17

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

FUNCIÓN En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 ——–> 1

2 ——–> 4

3 ——–> 9

4 ——–> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces “elevar al cuadrado”: LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 18

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

1 ——–> 1

2 ——–> 4

3 ——–> 9

4 ——–> 16

x ——–> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla “elevar al cuadrado el número”.

Usualmente se emplean dos notaciones:

x ——–> x2

o

f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 19

MATEMATICA I UNIDAD 1

Conjunto x

Conjunto y

Angela

55

Pedro

88

Manuel

62

Adrián

88

Roberto

90

RELACIONES Y FUNCIONES

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla “doble del número más 3”.

x ——-> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 20

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

x

Y=3x + 3

-2

-1

-1

1

0

3

1

5

2

7

3

9

4

11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 21

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A —–> B (o, usando X por A e Y por B f : X —–> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Ejemplo

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es “asignar a cada elemento su cuádruplo”.

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.

Veamos:

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 22

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3}

Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:

Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 23

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Ejemplo Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es ” asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada”.

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y, pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Ejemplo: En los siguientes gráficos sagitales, determina si las relaciones son o no funciones:

A

1)

B

A

a

1

b c

2)

B

a

1

2

b

2

3

c

3

Esto indica que, para los gráficos sagitales, la relación es función si de todos los elementos del primer conjunto sale una sola flecha.

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 24

MATEMATICA I UNIDAD 1

Y

RELACIONES Y FUNCIONES

Y

X

X

Esto indica que en un gráfico cartesiano una relación es función si al trazar cualquier paralela al eje “y” ésta corta en un solo punto al gráfico de la relación.

Sean los siguientes dibujos, determinemos cuales son o no función: A

f

B

C

g

D

a

1

b

2

x



c

3

y



d

4



e

5

w z



LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 25

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Análisis: Análisis:

Al hacer la misma observación que el ejemplo anterior, se notará que x tiene dos relaciones,  y  por lo tanto no cumpliría con la definición.

Así g no es función.

Si observamos el diagrama, nos daremos cuenta que cada elemento de A tiene una y sólo una imagen en B, por lo tanto, f es una función.

ejercicios Establecer si los siguientes diagramas definen funciones de A = { 1, 2, 3} en = { 4, 5, 6}.

1.

A

B

2.

A

B

3. A

B

1

4

1

4

1

4

2

5

2

5

2

5

3

6

3

6

3

6

B

EVALUACIÓN DE FUNCIONES

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 26

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

Es necesario tener claro la importancia de evaluar funciones, ya que permite determinar la imagen o preimagen de un elemento cualquiera.

Ejemplo:

Si

f(x) = 4x + 5, entonces

f(3) = 4  3 + 5 = 12 + 5 = 17 ;

esto indica que 17 es la imagen de 3 y que 3 es la preimagen de 17 bajo la función “f”.

f(a) = 4a + 5;

Aquí la imagen de “a” bajo “f” es “4a + 5”.

f(x + 6) =

La siguiente función está dada por una fórmula que tú ya conoces: A =  r2

Esta expresión permite hallar el área de cualquier círculo, conocido su radio r.

Decimos, por tanto, que el área del círculo está en función de su radio.

Si calculamos algunos valores de esta función, se tiene la siguiente tabla:

R

A

0,5

0,78

1

3,14

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 27

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

1,3

5,3

2

12,56

2,5

19,63

.....

........

Representa esta tabla de valores en un gráfico.

Las fórmulas que has utilizado en geometría, física y otras ciencias son generalmente funciones que relacionan diferentes magnitudes

Ejercicio f a

1

b

2

c

3

d

4

Sea

f : IR

→ IR

Para el diagrama dado, encuentra:

f(a) = f(d) = f(e) =

definida por

f(x) = 2x + 7, hallar:

3 4

1. f(4) =

2. f   =

3. f(4x + 3) =

4. f(-1,5) =

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 28

MATEMATICA I UNIDAD 1

RELACIONES Y FUNCIONES

FUNCIONES REALES DEFINICIÓN: Son todas aquellas funciones, donde sus conjuntos iniciales y finales son los números reales.

Por ejemplo: Sea f: IR → IR, definida como f(x) = 2x – 1.

IR

IR .

.

.

.

.

-3

-2

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

3 3 De este tipo de funciones podemos definir algunas propiedades: . . .

Dominio de una Función .

. .

Es el conjunto cuyos elementos hacen que la función esté bien definida, en otras palabras, es el conjunto de las preimágenes (son todos los elementos que tiene imagen)

EJERCICIOS RESUELTOS 1)

f(x) = x + 2.

Aquí

Dom f = IR, Justifica.

2)

g(x) = 3x - 1.

Aquí

Dom g = IR, Justifica.

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 29

MATEMATICA I UNIDAD 1

5x + 2 . Aquí x −3

3)

f(x) =

4)

h(x) = +

5x + 2

RELACIONES Y FUNCIONES

Dom f = IR - { 3 }, Justifica.

Aquí

Dom h =

 2  − 5 , +   , Justifica.  

EJERCICIOS PROPUESTOS Determina y Justifica el dominio de las siguientes funciones reales:

1) f(x) = 5x – 4

2) g(x) =

1 x −3

3) h(x) = 7x + 8

RECORRIDO DE UNA FUNCION

Es el conjunto formado por todas las imágenes de la función.

EJERCICIOS RESUELTOS f A

→

A

1 2

1 2

3

3

Aquí Rec f = { 2, 3 }

Para funciones reales, como ser f(x) = 3x - 7, se debe despejar “y”, (y = f(x)), para luego analizar para qué valores de “x”, “y” está bien definida, es decir, se hace lo siguiente:

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 30

MATEMATICA I UNIDAD 1

y = 3x − 7  x =

y+7 3

Así:

RELACIONES Y FUNCIONES

Rec f = IR

Ejercicios.

Determina y Justifica el recorrido de las siguientes funciones reales: 1) f(x) = 4x – 2

2) g(x) =

x −1 4

3) f(x) =

7 4−x

Bibliografía https://matelucia.wordpress.com/pares-ordenados/ http://parordenadoicss.blogspot.com/2012/10/par-ordenado_3488.html https://matematicasinteractivasanboni.wordpress.com/funciones/ https://epamatematicas.blogspot.com/2013/03/par-ordenado-y-producto-cartesiano.html

LICENCIADA ANA LISSETH AGUIRRE 31