Proporcionalidad y segmentos

Proporcionalidad y segmentos

PROPORCIONALIDAD La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. a

RAZÓN Entre dos segmentos es el valor de la relación entre las longitudes de ambos segmentos.

a

a

a

a

a

Razón = a/b = K

a b

PROPORCIÓN Es la igualdad entre dos razones d

a/b = c/d b y c son los Medios a y d son los Extremos

c

La proporción puede ser directa o inversa.

Son magnitudes directamente proporcionales aquellas que varían de forma que se razón es constante. a/b = c/d = K Son magnitudes inversamente proporcionales aquellas que varían de tal forma que su producto permanece constante.

a b

TEOREMA DE TALES Cuando dos rectas concurrentes r y s son cortadas por un haz de rectas paralelas, los segmentos que resultan sobre r son proporcionales a los que se determinan sobre la recta s.

Aplicaciones del teorema de Tales: División de un segmento en partes proporcionales.

Dados 3 segmentos l, m y n, hallar los segmentos proporcionales sobre el segmento AB. Pasos: - Colocamos el segmento AB y sacamos de uno de sus extremos (por ejemplo desde A) una recta r concurrente.

- Desde el vértice del ángulo que forman, situamos los segmentos l, m y n.

- Desde el extremo de n unimos con el extremo B del segmento mediante una recta.

- Hacemos paralelas a esta recta desde todas las medidas y obtenemos los segmentos l’, m’ y n’

l’

A

m’

n’

l m

n

B

División de un segmento en partes iguales - Tenemos el segmento AB que queremos dividir, por ejemplo en 3 partes.

- Desde uno de los dos extremos (pongamos desde A), trazamos una semirecta r que forme un ángulo cualquiera con el segmento.

- A partir del vértice, medimos en la semirecta, tres partes iguales. Se puede hacer con tres medidas iguales de compás.

- Unimos el 3 con el extremo B y hacemos paralelas por 2 y por 1, dividiendo proporcionalmente en tres partes iguales al segmento AB.

1’

A

2’

B=3’

1 2 3

Cuarta proporcional de tres segmentos a

Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional al segmento d, si éste cumple que:

b c

a/b =c/d Luego: d = b x c/a Construcción: - Trazamos dos rectas concurrentes r y s que se cortan en O con un ángulo cualquiera.

- Se llevan los segmentos ordenadamente: a y b sobre una recta a partir de O y el segmento c sobre la otra (a partir de O).

- Trazamos una recta desde el extremo de a al extremo de c. Con la misma inclinación, hacemos una paralela desde el extremo b, obteniendo el segmento d buscado.

d

c a

Otra forma de colocación: c a

Nota: También se puede poner a y c en una recta, y, b y d en otra.

d

b

Producto de dos segmentos Tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c.

Basándonos en la cuarta proporcional: axb=x a x b = x x c siendo c = 1 a/c = x/b c/a = b/x

b

a b

b c

c x

a

x

También se puede colocar así: b c

a

Cociente de dos segmentos a

Basándonos en la 4ª proporcional y a partir de dos segmentos dados, a y b, tomamos un

b

segmento como unidad, por ejemplo el c.

c

x

c

a/b = x

b

a/b = x/c siendo c = 1

a

Luego b/a = c/x

Tercera proporcional de dos segmentos

a

Dados dos segmentos a y b, se denomina tercera proporcional al segmento c, si cumple que

b

a/b = b/c

c

luego a x c = b2 b a

c = b2/a

Construcción: - Dibujamos dos rectas concurrentes. En una de ellas (recta s) ponemos los segmentos a y b colocados a continuación uno del otro. En la otra ponemos el segmento b.

- Unimos el extremo de a con el de b de la otra recta. Trazamos la paralela por el extremo del segmento b situado sobre s. Así obtenemos c.

b

a

Cuadrado de un segmento: a2 = x

c

Nos basamos en la 3º proporcional y además tomamos un segmento c como unidad.

x a

axa=x a x a = x x c siendo c = 1 Luego a/c = x/a c/a = a/x

a

c

a

Media proporcional b

x = ab

P

a/c = c/b a x b = c2 Luego c = ab

x a

C

Dados dos segmentos a y b se denomina media proporcional al segmento c, si cumple que :

O b

Media proporcional: Teorema de Euclides Teorema de la altura: La altura de un triángulo rectángulo respecto de la hipotenusa es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

a

b

x = ab V

Dados dos segmentos a y b, queremos hallar su media proporcional aplicando el teorema de la altura.

Construcción: - Dibujamos un arco capaz de 90º para la suma de los segmentos a+b. Así, a+b, es la hipotenusa de los posibles triángulos rectángulos con vértice en el arco.

- Por el extremo común de ambos segmentos trazamos una perpendicular que corta al arco en V, vértice del triángulo rectángulo buscado.

- La altura x, es media proporcional de a y b.

x O a

b

Teorema del cateto: En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

- Dados dos segmentos a y b, queremos hallar su media proporcional aplicando el teorema del cateto Construcción: - Dibujamos un arco capaz de 90º para el segmento b. Así, b, es la hipotenusa de los posibles triángulos rectángulos con vértice en el arco.

- Llevamos sobre b el segmento a y por su extremo trazamos una perpendicular que corta al arco en el punto V, vértice del triángulo buscado.

- El cateto c es media proporcional de a y b.

Teorema de Pitágoras: Otra forma de obtener raíces

x

a b

m2 + n2 m

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2.

a

n √2=√12 + 12

a = b2 + c2

b

2

1 c

1

Determinación de dos segmentos conocida su suma y su producto

a+b = s

axb=p

Tenemos los datos: a+b=s axb=p

1

Pasos para la solución: - Hallamos la media proporcional del producto.

Podemos aplicar el teorema de la altura para su resolución. Para ello ponemos p y un segmento que valga la unidad, trazamos el arco capaz de 90º y la altura será media buscada.

p

1

p

- Hacemos un arco capaz de 90º para la suma y llevamos la media proporcional del producto mediante una paralela que le cortará, dividiendo así la suma en dos segmentos a y b.

Se observa que hay dos posibles soluciones.

p

p

a

b s

Determinación de dos segmentos conocida su diferencia y su producto a-b = d

Tenemos los datos: a-b=d axb=p

axb=p

p

P b

d

a

Pasos para la solución: - Trazamos una circunferencia de diámetro la diferencia d.

- Hallamos la raiz cuadrada del producto.

- Trazamos una tangente a la circunferencia que tenga una medida igual a √p, y obtenemos el punto P. - Unimos P con el centro de la circunferencia y alargamos la recta. En esta recta están los dos segmentos buscados a y b.