Math kateythinshs ap 2014oefe

ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ΢ ΔΞΔΣΑ΢ΔΗ΢ Γ' ΣΑΞΖ΢ ΖΜΔΡΖ΢ΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β΄) ΠΑΡΑ΢ΚΔΤΖ 02 IOYNIOY 2014 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΣΔΤΘΤΝ΢Ζ΢ ΑΠΑΝΣΖ΢ΔΗ΢ ΘΔΜΑ Α Α1. Απόδεημε ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει. 251 Α2. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 273 Α3. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 150 Α4. α. Λάθος β. ΢ωζηό γ. ΢ωζηό δ. ΢ωζηό ε. Λάθος

ΘΔΜΑ Β B1. Έζηω z  x  yi Είλαη 2  x2  y 2   2 xi  4  2i  0  x 2  y 2  2   x  2  i  0  x 2  y 2  2  0 θαη

x 1  0  x  1. Επνκέλωο x 2  y 2  2  0  y 2  1  y  1 . Επνκέλωο έρνπκε ηνπο κηγαδηθνύο z1  1  i θαη z2  1  i

Β2. Έρνπκε 39

39 39 39 39 39  1  i 2   z1   1  i   1  i    1 i   1  2i  1   1  2i  1  w  3   3   3   3      3    3    2 2 2  1 i       1  i   1  i    z2   

w  3i 39  3  i 4   i 3  3i 9

Β3. Έρνπκε, u  w  4 z1  z2  i  u  3i  4 1  i   1  i   i  u  3i  3  4i  u  3i  5 .

Επνκέλωο ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ u είλαη θύθινο θέληξνπ Κ(0,3) θαη αθηίλαο ξ=5.

ΘΔΜΑ Γ Γ1. Η ζπλάξηεζε h είλαη ζπλερήο θαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην R κε παξάγωγν h  x 

e  1

x

 1

ex  1

 1

ex 1  x  0 . Άξα ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Είλαη, x e 1 e 1

ex  1  h  x    x     0 , επνκέλωο ε ζπλάξηεζε h ζηξέθεη ηα θνίια θάηω (θνίιε).

2  e 1   ex  1

Γ2. Οη ζπλαξηήζεηο h, ln x, e x είλαη

. Επνκέλωο είλαη,

e e h 2 h x   h 2 h x   e   ln e   ln  h  2h  x    ln e  ln  e  1  h  2h  x    1  ln  e  1  e 1 e 1 1 1 1 h  2h  x    h 1  2h  x   1  h  x    x   e x  1  e x  e0  x  0 .

2 e 1 2

Γ3. 

Έρνπκε, lim h  x   lim  x  ln  e x  1   lim  ln e x  ln  e x  1   lim  ln x 

x 

x 

x 



ex  . ex  1 

ex t Θέηνπκε x e 1 x Είλαη lim xe  lim x  e  1 x 

ex 1  e 1  x   e  x

h  x   lim ln t  0  1 . Οπόηε t  1 άξα xlim  x 

Άξα ε y  0 νξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο C h ζην  .

 ln  e x  1  ln  e x  1 h x Είλαη, lim    lim 1    1  lim 1  x 

x 

x

 

x

 

x 

x

Επίζεο lim  h  x    x   lim   ln  e x  1   0   . x 

x 

Άξα ε y  x είλαη πιάγηα αζύκπηωηε ηεο C h ζην  .







Γ4. Είλαη   x   e x  h  x   ln 2   e x x  ln  e x  1  ln 2  e x  ln 

Λύλνπκε ηελ εμίζωζε   x   0  e x  ln 



2e x   ex  1 

2e x  2e x  0   1  ex  1  x  0 .  ex  1  ex  1 1

Επνκέλωο ην δεηνύκελν εκβαδόλ ηζνύηαη κε E     x  dx . Επίζεο, ιύλνπκε ηελ 0

αλίζωζε   x   0 

x

2e  0  2e x  e x  1  e x  1  x  0 . Επνκέλωο ex  1

1

1

1

0

0

0

E     x  dx     x dx   e x ln

2e x dx . ex  1

Θέηνπκε e x  t  0 άξα e x dx  dt . Γηα x  0 είλαη t  1 θαη γηα x  1 είλαη t  e . Επνκέλωο ην νινθιήξωκα γίλεηαη  2t  e e e e    2t 2t 2t  2e   2t   t  1  dt  E   ln dt   t  ln dt  t ln  t ln dt  e ln  t    2t t 1 t 1 e  1 1  t  1 1 1  t  1  1 1 t 1 2  t  1  2t 1 e

 t  1 dt  e ln 2e  1 dt  e ln 2e  ln t  1  e  2e dt  e ln  1 2t e 1 1 2 e  1 1 t  1 e 1  t 1 t 1 e 2e 2e 2e 2 E  e ln  ln  t  1 1 e ln  ln  e  1  ln 2  e ln  ln e 1 e 1 e 1 e 1 2

2e E  e ln  t e  1 1

 t  1

2

e

2

e

ΘΔΜΑ Γ Γ1. Είλαη lim f  x   lim x 0 x 0

 e x  1  lim e x  1  f 0 . Επνκέλωο ε ζπλάξηεζε e x  1 D . L. H  lim   x 0 x 0 x  x 

f είλαη ζπλερήο ζην κεδέλ. Γηα x  0 . Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε κε f   x   x  0.

ex  x  ex  1  0 γηα θάζε x2

Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε h  x   ex  x  ex 1 . Είλαη h  x   ex  xex  ex  xex . Λύλνπκε ηελ εμίζωζε h  x   0  xex  0  x  0 . Η κνλνηνλία ηεο g θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί.

x h  x 





0 -

h x

0

+

Η ζπλάξηεζε h παξνπζηάδεη νιηθό κέγηζην ζηε ζέζε h  x   0  xex  0  x  0 . Επνκέλωο h  x   h  0  h  x   0 . Γηα x  0 από ηνλ νξηζκό ηεο παξαγώγνπ έρνπκε ex 1 0 0 1 x x 0 0 f  x   f  0 e  x  1 e  1 ex 1 f   0   lim  lim x  lim  lim  lim   0. x 0 x 0 x 0 D . L . H x 0 2 x D . L . H x 0 2 x0 x x2 2

Επνκέλωο είλαη f   x   0 γηα θάζε x  R . Γ2. α) Είλαη f   x   0 γηα θάζε x  R , επνκέλωο 2 f   x   0 . Επνκέλωο αθνύ ε f

ηόηε

γηα θάζε h  0  f  h   f  0  f  h   1  0 . Αλ 1  2 f   x  ηόηε

2 f  x 



f  u  du  0 . Άηνπν.

1

Αλ 2 f   x   1 ηόηε

2 f  x 



f  u  du  0 . Άηνπν.

1

1 2

Άξα 2 f   x   1 . Πξνθαλήο ξίδα ε x  0 αθνύ f   0   . Η ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή επνκέλωο ε f  είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Άξα ε x  0 κνλαδηθή ξίδα.  ex 1   e x  1  dx 2d  2 d 0    x  x  dx dt dx dx   β) Είλαη x  t   2 y  t       dt dt dt dx dt 1 2

xe x  e x  1 xe x  e x  1 1 1    f   t   . Επνκέλωο x  0 θαη άξα 2 2 x x 2 2

A  0, f  0    0,1 .

Γ3. Είλαη g  x    xf  x   1  e   x  2 , x  0 .

2

2

Επνκέλωο g  x    e x  1  1  e   x  2    e x  e   x  2  2

2

2

2

Η ζπλάξηεζε g παξαγωγίζηκε ζην  0,  κε 2 2 2  2 g   x    e x  e   x  2    2  e x  e  e x  x  2   2  x  2   e x  e   2  x  2   e x  e  e x  x  2   e x  e     x g   x   2  e  e   x  2   xe x  e x  e 

Λύλνπκε ηελ εμίζωζε

g   x   0  2  e x  e   x  2  xe x  e x  e   0  e x  e  0 ή x  2  0 ή xe x  e x  e  0 

x 1 ή x  2 .

Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε   x   xex  ex  e στο  0,   . Η ζπλάξηεζε   είλαη ζπλερήο ζην 1, 2 ωο πξάμεηο ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ.   1  e  0    2   e2  e  0 Επνκέλωο  1   2  0 θαη άξα από ην ζεώξεκα Bolzano ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ x0 1, 2 ώζηε   x0   0 .

Η ζπλάξηεζε  παξαγωγίζηκε στο  0,   κε   x   xex  0 , άξα ε  είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην  0,   . Επνκέλωο ε ξίδα x0 είλαη κνλαδηθή. Η

επνκέλωο γηα θάζε x0  x  2    x0     x     x   0 .

Οκνίωο γηα θάζε 1  x  x0    x     x0     x   0 . Επνκέλωο ν πίλαθαο κνλνηνλίαο ηεο g είλαη, x

ex  e x2 φx

g  x  gx

0 -

0

-

0

+ +



2

x0

1

0

0

+ +

+ + +

0

-

0

+

Επνκέλωο ε ζπλάξηεζε g παξνπζηάδεη δύν ζέζεηο ηνπηθώλ ειαρίζηωλ γηα x=1 θαη x=2 θαη κία ζέζε ηνπηθνύ κεγίζηνπ γηα x  x0 .