Aplicación de la integral en: Biología, Física y Economía.

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR. FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA PARACENTRAL. LICENCIATURA EN EDUCACIÓN, ESPECIALIDAD: MATEMÁTICAS. LICDA. MARTA ESTELA MONTANO ESCAMILLA MATERIA: CÁLCULO II APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN BIOLOGÍA, FÍSICA, Y ECONOMÍA. PROFESORES: ESAÚ ADONAY ALVAREZ BONILLA. KATHERINE ESMERALDA ÁNGEL MARTÍNEZ. KATHERINE GABRIELA CALLEJAS ALVARADO. FERNANDO SALOMON FLORES BONILLA.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN FÍSICA, BIOLOGÍA Y ECONOMIA. INTRODUCCIÓN. Existen muchos campos del conocimiento en que se utilizan las aplicaciones del cálculo integral. Por la naturaleza de este concepto puede aplicarse en: biología, física, economía, entre otros.

En biología se aplica para el conteo de organismos de cálculo de crecimiento exponencial de bacterias y especies, así como en modelos ecológicos tales como: El cálculo de crecimiento poblacional, Ley de enfriamiento y calentamiento global del planeta.

Las integrales definidas en física son comúnmente usadas para resolver problemas de movimiento, por ejemplo, al razonar sobre la posición de un objeto en movimiento dada cierta información sobre su velocidad. Aprende cómo se hace esto y sobre la diferencia crucial entre velocidad y rapidez. .La integral definida que es la que tiene más aplicaciones en la economía.

Las aplicaciones más conocidas son, excedentes del consumidor y productor donde utilizamos la oferta y demanda del producto a ofrecer.

OBJETIVOS GENERAL Utilizar el concepto de integración para resolver problemas referentes a aplicaciones prácticas en otras ciencias, como la física, biología y economía.

ESPECÍFICOS  Resolver problemas de biología crecimiento exponencial de bacterias y especies utilizando convenientemente integrales.  Aplicar los conceptos explicados para calcular el trabajo efectuado o el movimiento realizado por un objeto mediante la aplicación de integrales.  Solucionar problemas aplicados a la economía como la oferta y demanda del producto a ofrecer.

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN BIOLOGÍA.  ¿QUE ES LA BIOLOGIA? Es la ciencia que estudia el origen, la evolución y las características de los seres vivos, así como sus procesos vitales, su comportamiento y su interacción entre sí y con el medio ambiente. La biología se ocupa de describir y explicar el comportamiento y las características que diferencian a los seres vivos, bien como individuos, bien considerados en su conjunto, como especie. .

Por lo tanto, la biología estudia los seres vivos. Para entendernos, la biología analiza la vida desde todos sus componentes: su estructura, funcionamiento, evolución y relaciones

La integral definida en la biología se aplica para:  Cálculo para la identificación de probabilidad de extinción de una especie animal (crecimiento demográfico/ poblacional).  Predecir el desarrollo de bancos de coral, identificar si reduce o aumenta la cantidad de fósforo disuelto en el agua.  Cálculo de la biomasa.  Se aplica para el conteo de organismos cálculo de crecimiento exponencial de bacterias y especies, así como en modelos ecológicos tales como: El cálculo de crecimiento poblacional, Ley de enfriamiento y calentamiento global del planeta.

EJEMPLO 1: La tasa de crecimiento de la biomasa en un lago es 𝑓(𝑥) = 2.5𝑥 + 2 toneladas por día, donde x son los días transcurridos. Calcula la biomasa acumulada en el lago desde inicio del día 3 hasta el final de día 10.

SOLUCIÓN: DATOS:

3 ≤ 𝑥 ≤ 10 10

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 3

5 ( 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 2

10 5 10 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 2 3 3

5 10 𝑦 = 2 𝑥 2 + 2𝑥| 2 3 10 5 2 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥| 4 3

5 5 2 𝑦 = (10) + 2(10) − [ (3)2 + 2(3)] 4 4 69 𝑦 = 145 − 4 𝑦 = 127.75

∴ 𝐿𝑎 𝑏𝑖𝑜𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 127.75 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎 3 𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑎 10.

EJEMPLO 2: La tasa de crecimiento

𝑑𝑃 𝑑𝑡

de una población de bacterias

es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días, 0 ≤ 𝑡 ≤ 10. Esto es

𝑑𝑃 𝑑𝑡

= 𝑘√𝑡, el tamaño inicial de la población es

igual a 500, después de un día la población ha crecido hasta 600. Estimar el tamaño de la población después de 7 días.

SOLUCIÓN:

DATOS: 𝑡 = 0 → 𝑃 = 500 𝑡 = 1 → 𝑃 = 600 Sabemos que es proporcional quiere decir que

𝐴 =𝑘 𝐵

𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝐴 = 𝑘𝐵

Ahora bien:

𝑑𝑃 = 𝑘√𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑃 = 𝑘√𝑡𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑃 = ∫ 𝑘√𝑡 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑃

1 = 𝑘 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡

𝑃=

𝑃=

3 𝑘𝑡 2

3 2

+𝐶

3 2𝑘𝑡 2

3

+𝐶

2 3 𝑃 = 𝑘𝑡 2 + 𝐶 3

Sabemos que:

𝑡 = 0 → 𝑃 = 500, sustituimos 3 2 500 = 𝑘(0)2 + 𝐶 3 500 = 𝐶 2 3 ∴ 𝑃 = 𝑘𝑡 2 + 500 3

Pero aún no tenemos a k, ahora vamos a sustituir 𝒕 = 𝟏 → 𝑷 = 𝟔𝟎𝟎

2 3 𝑃 = 𝑘𝑡 2 + 500 3 2

3 2

600 = 𝑘(1) + 500 3 2

600 = 𝑘 + 500 3

2 100 = 𝑘 3 100(3) = 2𝑘 100(3) =𝑘 2 𝑘 = 150

Sustituimos 𝒌 = 𝟏𝟓𝟎 3 2 𝑃 = (150)𝑡 2 + 500 3

𝑃=

3 100𝑡 2

+ 500

Encontremos a P después de 7 dias:

𝑃=

3 100(7)2

+ 500

𝑃 = 2,352.0259 … 𝑃 ≈ 2,352

∴Después de 7 días la población seria de 2,352 bacterias.

EJEMPLO 3:

Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es aproximadamente: 𝑑ℎ

= 1.5𝑡 + 5, donde t es el tiempo en años y h es la altura

𝑑𝑡

en centímetros. Las plantas del semillero miden 12 centímetros de altura cuando se planta (t=0). a) Determina la altura después de t años

b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden?

SOLUCIÓN: DATOS:

𝑡 = 0→ℎ = 12 𝑑ℎ 𝑑𝑡

= 1.5𝑡 + 5

a) Determina la altura después de t años.

Para este apartado me preguntan cuál es la anti derivada de la función que me dan, es decir la función inicial que relaciona mis datos. Para ellos seguimos los siguiente:

𝑑ℎ 3 = 𝑡+5 𝑑𝑡 2 3

𝑑ℎ = ( 𝑡 + 5)𝑑𝑡 2

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠.

3 ∫ 𝑑ℎ = ∫( 𝑡 + 5)𝑑𝑡 2 3

ℎ = ∫ 𝑡𝑑𝑡 + 5 ∫ 𝑑𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 2 ℎ=

3 2

2

𝑡 2 + 5𝑡 + 𝐶

3 2 ℎ = 𝑡 + 5𝑡 + 𝐶 4

Ahora encontramos a C, sabemos que cuando 𝑡 = 0→ℎ = 12, sustituimos los valores en la ecuación encontrada:

3 2 ℎ = 𝑡 + 5𝑡 + 𝐶 4 3 12 = (0)2 + 5(0) + 𝐶 4 12 = 𝐶 3 2 ∴ ℎ(𝑡) = 𝑡 + 5𝑡 + 12, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠.

4 b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden?

Recordemos que los arbustos son vendidos después de 6 años de crecimiento y cuidado, eso quiere decir cuando 𝑡 = 6, sustituimos ese valor en la ecuación.

3 2 ℎ(𝑡) = 𝑡 + 5𝑡 + 12 4 3 ℎ(6) = (6)2 + 5(6) + 12 4 ℎ(6) = 69 ∴ 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑎𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 69𝑐𝑚

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN FÍSICA Aplicaciones en la física.    

Momentos estáticos.

Inercia.

Centro de masa.

Movimiento.

Importancia del cálculo en física.

El cálculo diferencial se utiliza en aplicaciones de movimiento en física, de ahí se derivan la ecuación de la velocidad (primera derivada), y la de la aceleración (segunda derivada). Además que sirve para encontrar como por un perímetro encontrar el área.

El cálculo integral se refiere a todo lo que es área, puede ser en figuras geométricas irregulares, por eso se utiliza este tipo.

Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo período histórico en el que estaba siendo desarrollado el cálculo.

Durante los siglos XVII y XVIII existía poca diferencia entre ser un físico o un matemático.

Recuerda: Velocidad y Rapidez La velocidad es la razón de cambio en la posición, por lo que su integral definida nos da el desplazamiento de un objeto en movimiento.

La rapidez es la razón de cambio de la distancia total, por lo que su integral definida nos da la distancia total recorrida, sin importar la posición.

Clase Desplazamiento

Distancia total

Pregunta típica

Expresión apropiada

𝑏 ¿Cuál es el ∫ 𝑣 (𝑡) 𝑑𝑡 desplazamiento de la 𝑎 partícula entre….y….? 𝑏 ¿Cuál es la distancia ∫ |𝑣 (𝑡)| 𝑑𝑡 que recorre la 𝑎 partícula entre….y….?

EJEMPLO 1: Una partícula se mueve en línea recta con una velocidad 𝑣(𝑡) = −𝑡 2 + 8, metros por segundo, donde t es el tiempo en segundo. En 𝑡 = 2, la distancia de la partícula al punto inicial era de 5 metros. ¿Cuál es la distancia total que recorrió la partícula entre 𝑡 = 2 𝑦 𝑡 = 6 segundos?

SOLUCIÓN: 𝑣 (𝑡) = −𝑡 2 + 8

|𝑣 (𝑡)| = |−𝑡 2 + 8|

Entonces nos queda: 6

𝐷𝑇 = ∫ |−𝑡 2 + 8| 2

Primero encontramos |−𝑡 2 + 8| Despejamos la para encontrar

ecuación

El valor el cual nos indica el cambio de signo 2 De positivos−a(−𝑡 Negativos + 8) 𝑡 < √8 2 |−𝑡 + 8|= { (−𝑡 2 + 8) 𝑡 ≥ √8

6

𝐷𝑇 = ∫ |−𝑡 2 + 8| 2 √8

6 2

𝐷𝑇 = ∫ (−𝑡 + 8)𝑑𝑡 + ∫ (𝑡 2 − 8)𝑑𝑡 2

√8 √8

√8

𝐷𝑇 = ∫

−𝑡 2 𝑑𝑡 + ∫

2

2 √8

6

8 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 + ∫ −8 𝑑𝑡

𝑡3 𝑡2 8 √ 𝐷𝑇 = − [ ] + 8[𝑡]2 + [ ] 3 2 3 𝐷𝑇 = 40.83

6

√8 6 √8

− 8[𝑡]6√8

Distancia total recorrida.

√8

EJEMPLO 2.

Una partícula se mueve en línea recta con velocidad 𝑣 (𝑡 ) = 5 − 𝑡 metros por segundo, donde “𝑡” es tiempo en segundos.

Cuál es el desplazamiento de la partícula en los tiempos 𝑡 = 0 𝑦 𝑡 = 10

SOLUCIÓN:

𝐿𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 10

∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 0 10

𝐷 = ∫ (5 − 𝑡)𝑑𝑡 0 10

10

𝐷 = ∫0 5 𝑑𝑡 − ∫0 𝑡 𝑑𝑡 10

𝑡2 10 𝐷 = 5[𝑡]0 − [ ] 2 0 𝐷=0

Para conocer la distancia total que recorrió la partícula, en vez de trabajar con su velocidad trabajaremos con su rapidez

Que el desplazamiento sea 0 significa que la partícula ocupa la misma posición en los tiempos 𝑡 = 0 𝑦 𝑡 = 10 segundo.

−(5 − 𝑡) 𝑡 ≥ 5 |5 − 𝑡|= { (5 − 𝑡 ) 𝑡 < 5 10

𝐷𝑇 = ∫ |5 − 𝑡| 0 5

10

𝐷𝑇 = ∫ (5 − 𝑡)𝑑𝑡 + ∫ (−5 + 𝑡)𝑑𝑡 0

5 5

5

10

10

𝐷𝑇 = ∫ 5 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 5 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡 𝑑𝑡 0

0 5

5

5 10

𝑡2 𝑡2 10 5 𝐷𝑇 = 5[𝑡]0 − [ ] − 5[𝑡]5 + [ ] 2 0 2 5 𝐷𝑇 = 25 ∴ 𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 25



TRABAJO

¿Qué es Trabajo en física?

Trabajo se define en física como la fuerza que se aplica sobre un cuerpo para desplazarlo de un punto a otro. Al aplicar fuerza se libera y se transfiere energía potencial a ese cuerpo y se vence una resistencia.

En física aprendimos que, si un objeto se mueve una distancia d, a lo largo de una línea, mientras se encuentra sujeto a una fuerza constante F en la dirección del movimiento, entonces el trabajo realizado por la fuerza es: 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = (𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎)(𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎) Esto es: 𝑊 = 𝐹. 𝐷 𝑏

𝑊 = ∫ 𝐹 (𝑥 )𝑑𝑥 𝑎

EJEMPLO 3: Si la longitud natural de un resorte es 0.2 metros y si es necesaria una fuerza de 12 newtons para mantenerlo estirado 0.04 metros, encuentre el trabajo realizado al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de 0.3 metros.

SOLUCIÓN: Por la Ley de Hooke, la fuerza requerida para mantener el resorte estirado x pulgadas está dada por 𝐹(𝑥) = 𝑘𝑥.

Para evaluar la constante del resorte, k, para este resorte en particular, observamos que 𝐹(0.04) = 12. Por lo que 𝑘 · 0.04 = 12, o 𝑘 = 300, de modo que 𝐹(𝑥) = 300𝑥

Cuando el resorte tiene su longitud natural de 0.2 metros, x = 0; cuando tiene una longitud de 0.3 metros x= 0.1. Por lo tanto, el trabajo hecho al estirar el resorte es: 0.1

𝑊 = ∫ 300𝑥𝑑𝑥 = [150𝑥 0

2]

0.1 = 1.5 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 0

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN ECONOMÍA

Recordemos que la economía es una ciencia social que estudia la forma de administrar los recursos disponibles para satisfacer las necesidades humanas. Analiza el comportamiento, las decisiones y las acciones de los humanos, es decir, estudia como las personas, empresas y gobiernos toman decisiones relacionadas con la producción, distribución y consumo.

Importancia de la aplicación de la integral en la economía.

Para entender el significado de la integral de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de definir matemáticamente los conceptos de área y de volumen.

La singularidad de Cauchy es que unió dos ideas, la de límite y la de área, para dar una definición matemática de integral. Poco después Georg F.B. Riemann (1826-1866) generalizó la definición de integral dada por Cauchy.

La teoría de la integral de Riemann fue un progreso importante, pero, desde un punto de vista matemático, insuficiente. Hubo que esperar hasta el siglo XX para que Henri Lebesgue (1875-1941) estableciera en su libro los fundamentos de una teoría matemáticamente cómoda de la integración.

La integración es una herramienta muy importante del cálculo, no solo sirve para determinar áreas en regiones planas y curvas, y representar magnitudes físicas

Su aplicación real, actualmente es las aplicaciones en la Administración y la Economía, así como determinar: Coeficientes de desigualdad para la distribución de ingresos, Curvas de aprendizaje.

Maximización de la utilidad con respecto al tiempo. Valor presente de un ingreso continuo.

Superávit del consumidor y del productor. .

EJEMPLO 1:

Una empresa actualmente produce 220 unidades por semana de un producto. Si el costo de producir x unidades en una semana está dada por la función: 𝐶´(𝑥) = 30 − 0.03𝑥

Suponiendo que este costo marginal todavía se aplique.

Determinar el costo extra por semana que se debe considerar al elevar la producción de 150 a 200 unidades por semana.

SOLUCIÓN:

La función del costo se obtiene integrando el costo marginal: 𝐶 (𝑥 ) = ∫(30 − 0.03𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 30𝑑𝑥 − ∫ 0.03𝑥𝑑𝑥 0.03𝑥 2 = 30𝑥 − +𝐶 2 = 30𝑥 − 0.015𝑥 2 + 𝑐 𝐶 (200) = 30(200) − 0.015(200)2 = 6,000 − 600 => 5,400 𝐶 (150) = 30(150) − 0.015(150)2 = 4,500 − 337.5 => 4,162.5 𝐶 (200) − 𝐶 (150) = 5,400 − 4,162.5 => $𝟏, 𝟐𝟑𝟕. 𝟓 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟.

EJEMPLO 2.

La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06𝑥 2 .

Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.

SOLUCIÓN: Como la cantidad de unidades es 20, su precio 𝑝 = 𝑑(20) = 50 − 0.06(20)2 = 26 La ganancia del consumidor será: 20

∫ (50 − 0.06𝑥 2 − 26)𝑑𝑥 0 20

20

= ∫ 24𝑑𝑥 − ∫ 0.06𝑥 2 𝑑𝑥 0

0 20

0.06𝑥 3 = [24𝑥 − ] 3 0

= [24(20) − 0.02(20)3 ] − [24(0) − 0.02(0)3 ] = 320

La ganancia del consumidor será $320

De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio 𝑝0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el superávit de los productores.

EJEMPLO 3:

Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) dólares al año donde f(x)  1000 + 5000x. a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?

SOLUCIÓN: a) Para conseguir el ahorro durante los primeros seis años se calcula: 6

6

5,000𝑥 2 ∫ (1,000 + 5,000𝑥 )𝑑𝑥 = [1,000𝑥 + ] 2 0 0 5,000(6)2 = 1,000(6) + 2 = 6,000 + 90,000 = $𝟗𝟔, 𝟎𝟎𝟎. b) Si se compró a $67500, el número de años que se requiere para pagarse por sí solo es: 𝑛

∫ (1,000 + 5,000𝑥 )𝑑𝑥 = 67,500 0 𝑛

5,000𝑥 2 [1,000𝑥 + ] = 67,500 2 0 1,000𝑛 + 2,500𝑛2 = 67,500 2,500𝑛2 + 1,000𝑛 − 67,500 = 0

Se factoriza:

500(5𝑛2 + 2𝑛 − 135) = 0 500(5𝑛2 − 25𝑛 + 27𝑛 − 135) = 0 500((5𝑛2 − 25𝑛) + 27𝑛 − 135) = 0 500(5𝑛(𝑛 − 5) + 27(𝑛 − 5) = 0 500(𝑛 − 5)(5𝑛 + 27) = 0 Si: 𝑛 − 5 = 0, 𝑛 = 5,

Si: 5𝑛 + 27 = 0 𝑛=−

27 5

∴ 𝒏 = 𝟓 𝒂ñ𝒐𝒔 𝒕𝒂𝒓𝒅𝒂𝒓í𝒂 𝒆𝒏 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓𝒔𝒆.

Conclusión: Gracias a todo lo anterior, podemos interpretar la importancia que tiene el uso y aplicaciones que se le pueden dar a las integrales en distintas ramas que estudian el desarrollo de la vida, como las abordadas anteriormente: Biología, Física y Economía.

Tal es el caso del uso que se le dio a la biología aplicándolo a factores que influyen en el crecimiento poblacional, y el cambio climático en general, sin embargo, dejando claro que existen muchas otras formas de aplicar dichos conocimientos en el mismo campo, además de las vistas.

También en el abordaje de la física se dejó clara la importancia de resolver problemas de desplazamiento, en situaciones vivenciales de posición de un objeto, en factores que influyen la velocidad, para la correcta interpretación de los problemas que se pueden experimentar sobre el área.

En cuanto a la aplicación en la economía ha sido muy importante el reconocimiento de los casos que tienen este abordaje por medio de la integral definida, pues por medio de su uso se pueden llegar a diversos tipos de soluciones que brinden información como: todo lo referente a excedentes, oferta y demanda.

EJERCICIOS BIOLOGÍA 1. Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad a la orilla de un lago cambiará a una razón de 𝟎. 𝟔𝒕𝟐 + 𝟎. 𝟐𝒕 + 𝟎. 𝟓 miles de personas por año. Los especialistas en medio ambiente han encontrado que el nivel de contaminación en el lago aumenta a una razón aproximada de 5 unidades por cada 1.000 personas. Si en la actualidad el nivel de polución del lago es de 60 unidades. ¿En cuánto se incrementará la contaminación en el lago durante los próximos 2 años?

2. Se estima que dentro de 𝒕 meses la población de cierta ciudad cambiara a razón de 𝟐 𝟑

𝟒 + 𝟓𝒕 personas por mes. Si la población actual es de 10,000 ¿Cuál será la población dentro de 8 meses?

FÍSICA

3. Cuando una partícula está a una distancia de 𝒙 pies del origen, actua sobre ella una fuerza igual a 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 libras ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla de 𝒙 = 𝟏 hasta 𝒙 = 𝟑?

4. Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante 𝒕 es 𝒗(𝒕) = 𝒕𝟐 − 𝟐𝒕 metros por segundo.

Halle: a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos. b) la distancia recorrida durante ese tiempo

ECONOMÍA

5. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función 𝒇(𝒙) describe la razón de ventas cuando pasaron 𝒙 años desde que el producto se presentó en el mercado por primera vez. Se sabe que𝒇(𝒙) = 𝟐𝟕𝟎𝟎(√𝒙) + 𝟗𝟎𝟎 si 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓 . Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro años.

6. Se conoce que la curva de la oferta para un 𝒙 producto es 𝑺(𝒙) = + 𝟕. 𝟐

Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos.