Fizikakompjuterike shenime

Fizika Kompjuterike (LlogariteĚˆ se) Joan Jani Mars 2014

2

Përmbajta Përmbajtja

2

Parathënie

7

1 Hyrje në MATLAB

9

1.1 Mjedisi i MATLAB-it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

Hapja dhe mbyllja e MATLAB-it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2

Pë rshkrimi i Desktop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3

Sistemimi i Desktopit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4

Butoni Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Dritarja e Komandave dhe Historiku i Komandave . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1

Dritarja e komandave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2

Historiku i Komandave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Marrja e ndihmë s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1

Më nyra se si mund te marrin Ndihme . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Kë rkimi per Dokumentacion dhe Demo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Veprime në MATLAB

15

2.1 Importimi i Matricave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Veprime me matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Subscripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Operatori dy pikat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Funksioni magic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Shprehjet

23

3.1 Variablat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Numrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Operatorë t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Funksionet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.5 Pë r të gjeneruar matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6 Funksioni load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.7 Rruajtja e kodit në skedar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.8 Bashkimi i matricave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3

3.9 Fshirja e rrjeshtave dhe shtyllave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.10 Ndë rtimi i tabelave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Gra iket

33

4.1 Krijimi i një plotimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Plotimi i një strukture të dhë nave në nje gra ik të vetë m . . . . . . . . . . 34 4.3 Plotimi i vijave dhe shë njuesve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4 Gra iket me të dhë nat komplekse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5 Shtimi i plotimeve ne një gra ike ekzistues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.6 Shfaqja e plotimeve të shumta në një paraqitje . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.7 Kontrolli i akseve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.8 Krijimi i titullit dhe emertimi i akseve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.9 Plotime tre-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.9.1

Gra iku me rrjetë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.9.2

Gra iku me ngjyra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.9.3

Gra iku me sipë rfaqe transparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.9.4

Ndriçimi i sipë rfaqë ve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.9.5

Kurba në hapë sirë n tre-demensionale . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Programim në MATLAB

49

5.1 Krahasimet e grupeve ne deklaratat e kushtë zuara . . . . . . . . . . . . . 50 5.2 Kontrolli ciklik — for, while, continue, break . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2.1

Cikli for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.2

Cikli while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.3

Komanda continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.4

Komanda break . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Kontrolli i gabimeve – try, catch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3.1

Komanda try,catch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.2

Perfundimi i programit – return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 Te dhena te tjera te strukturave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.4.1

Grupet multidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4.2

Grupet qelize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4.3

Karakteret dhe tekstet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4.4

Strukturat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4.5

Fushat dinamike te emrave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Analiza e të dhënave

63

6.1 Proçesimi i të dhë nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.1.1

Ngarkimi i të dhë nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1.2

Të dhë nat e munguara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.3

Të dhë nat e veçuara, kontradiktore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.4

Sheshimi dhe iltrimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4

6.2 Pë rmbledhja e të dhë nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2.1

Matjet e pozicionit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2.2

Matjet e shkallë s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2.3

Forma e shpë rndarjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3 Paraqitja vizuale e të dhë nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3.1

Diagramat shpë rndarë se 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3.2

Diagramat shpë rndarë se 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3.3

Tabelat e diagramave shpë rndarë se . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3.4

Shqyrtimi i të dhë nave në gra ikë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7 Ushtrime dhe shembuj

77

8 Mekanika Klasike

87

8.1 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.2 Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.2.1

Zgjidhja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Indeksi

100

Bibliogra ia

103

5

6

Parathënie Kë to shë nime janë bazuar në programin e lë ndë s "Fizika Kompjuterike (Llogaritë se)"që studiohet nga studentet e Universitetit Politeknik. Që llimi i kë tij moduli ë shtë te japi njohuri baze mbi analizë n numerike dhe ti aplikoj kë to metoda në disa probleme të izikë s. Çdo sistem në izikë pë rshkruhet nga një sistem ekuacioneve diferencial. Në shumicë n e rasteve ata nuk zgjidhen me metodave analitike. Vetë Njutoni gjeti një metodë aritmetike pë r zgjidhjen e kë tyre ekuacioneve.

Shumë shekuj më vonë u bë e mundur krijimi i një makinë që mund të kryej shumë llogaritje aritmetike në kohe të shkurtë r.

Historia e pë rdorimit të kompjuterë ve pë r të zgjidhur probleme të izikes ë shtë e një jtë me vetë historinë e kompjuterë ve. Kompjuteri i pare elektronik i quajtur me emrin ENIAC ( Electronic Numerical Integrator And Computer) u pë rdor pë r të krijuar tabelat goditë se të artilerisë amerikane. Mundë sia e zgjidhjeve të problemeve të komplikuara me ndihmë n e kompjuterë ve dha një shtytje të madhe në të gjithë shkencat.

Tani ë shtë e mundur zgjidha e çdo ekuacioni matematikor dhe analiza e të dhë nave pa u kushtë zuar nga madhë sia e tyre.

Ne botë n e sotme të kë rkimit shkencor pë rdorimi i kompjuterit ë shtë një domosdoshmë ri. Fizikani i sotshë m jo vetë m duhet te ketë një dituri të thellë të ligjeve të izikes por edhe të jetë i aftë ti kthej ato në modele kompjuterike.

Fizika kompjuterike mund të themi që pë rbehet me analizë n numerike, analizë n e të dhë nave, simulime dhe vizualizime.

Kjo seri leksionesh u krijua me qellim që studentet të marrin një shije se si mund te bashkojnë ligjet e izikes me njohuri të programit. Pë r të pë rshpejtuar programimin u zgjodhe që të pë rdoret ambienti i programimit MATLAB. MATLAB pë rdoret nga shumë shkencë tarë dhe inxhinierë në të gjithë botë n, sepse jep një mjedis të thjesht programimi.

7

8

Kapitulli 1

Hyrje në MATLAB MATLAB-i ë shtë një gjuhë programimi të nivelit të lart pë r programim teknik e cila integron llogaritjet dhe vizualizimet në një mjedis ku zgjidhjet e problemeve formulohen në formë të thjesht matematikore.

Ne kë to shë nime do jepen nocionet illestare mbi MATLAB dhe do aplikohen kë to nocione mbi shkencë n e izikes. Me konkretisht temat që do të zhvillohen janë : • Hyrje ne MATLAB, kë tu do pë rshkruhen komponentë t e sistemit MATLAB • Matricat dhe Tabelat si pë rdoret MATLABI pë r të gjeneruar matricat dhe te bej veprime matematikore me to.

• Gra iket, si prodhohen diagramet disa te dhë na, si pë rpunohen dhe si mund të punohet me imazhe.

• Programimi, si pë rdoret MATLAB-i pë r të krijuar scripts dhe funksione, si të prodhohen dhe të pë rpunohen të dhë nat dhe strukturat.

• Lidhjet e jashtme, lidhjet e MATLAB-it me gjuhe të tjera programimi që ekzekutohen jashtë saj.

1.1 Mjedisi i MATLAB-it MATLAB-i ë shtë një gjuhe programimi të nivelit të lart dhe një mjedis interaktiv pë r prodhimin e algoritmeve, analizë n e të dhë nave, prezantimin e tyre dhe llogaritjen numerike. Duke pë rdorur MATLAB-in mund te zgjidhni probleme teknike kompjuterike me shpejt sa me gjuhet tradicionale te programimit siç ë shtë C, C++ dhe Fortran.

MATLAB-i mund te pë rdoret në një fushe të madhe aplikimesh siç janë , procesimi i imazheve dhe të sinjaleve, teoria e komunikacionit, testime dhe matje, modele inanciare, izike kompjuterike etj. Në MATLAB pë rdoren koleksione të posaçme pë r të zgjidhur probleme në kë to fusha, kë to quhen “toolbox” të cilat janë një kolekcione funksionesh që pë rdoren në çdo fushë .

9

MATLAB-i ofron një numë r te madh më nyrash pë r te dokumentuar dhe pë r te shpë rndarë punë n tuaj. Ju mund të integroni kodin e shkruajtur ne MATLAB me gjuhe të tjera programimi dhe aplikacione.

Ne kë to shë nime do pë rshkruhen dhe do jepen shembuj te kë tyre karakteristikave te MATLAB-it.

Figura 1.1: Mjedisi i MATLAB 2011b

1.1.1 Hapja dhe mbyllja e MATLAB-it Pasi keni pë rfunduar me instalimin e MATLAB-it në kompjuterin tuaj do jetë krijuar një shorcut në desktop-in tuaj. Tek Figura 1.2 mund të shikohet shorcut-i që ë shtë prodhuar. Duke bë re dy herë klik mbi igurë n hapet MATLAB-i. Pasi ë shtë ekzekutuar programi në ekran do paraqitet mjedisi i ti që shihet tek Figura 1.1.

Ne mjedisin e MATLAB-it shikojmë “” ne te cilë n shkruhen instruksionet e MATLA-it. “Workspace” ku paraqiten vlerat e variabë lve te ruajtura ne memorie. Programi gjithmonë illon me mem- Figura orien bosh dhe “Command History” qe siç kuptohet pë rben koman- MATLAB-i

1.2: në

Desktop

dat qe janë ekzekutuar.

Pë r te mbyllur MATLAB-in mund te shtypim butonin (x) sipë r djathtas në ekran ashtu siç bë jmë pë r çdo program në Windows.

Pastaj do paraqitet ku mesazhe dhe duhet të shtupni butonin “OK” pë r të mbyllur programin.

10

1.1.2 Përshkrimi i Desktop MATLAB ofron një serë tool-s (mjete) në desktop (ekran) të cilat mund të lehtë sojnë ose të bejnë më produktive punë n ne të . Kë to opsione mund të kyhen edhe me anë të funksioneve pë rkatë se në MATLAB që janë ekuivalente me butonat që gjenden në ekran.

Figura 1.1 tregon më nyrë n e shfaqjes te paracaktuar të ekranit në MATLAB. Ky konigurim mund të ndryshohet në bazë të nevojave të pë rdoruesit.

1.1.3 Sistemimi i Desktopit Ka disa menyra te zakonshme per te personalizuar ekranin: • Shfaqja ose fshehja e tools-va ne saj te menus DESKTOP. • Ndryshimi i permasave te tools-it duke terhequr nje nga cepat.

• Heqja e nje Tools-i nga ekrani ne saj te klikimit ne butonin qe shfaqet ne dritaren e titullit te tools-it.

• Ripozicionimi i nje tools ne ekran duke e terhequr ne pozicionit i ri. Nderkohe qe terhiqni butonin nje dritare blu tregon pozicionin e ri derisa te leshohet. Mund te terhiqet me shume se nje tools ne te njejtin pozicion, ne kete rast tools-et marrit te gjitha te njejten pemase dhe pozicion dhe emertimet shfaqen si tab ne shiritin e titullit. Aksesimi behet ne saj te klikimit mbi tabin perkates (tabi me emrin e tools-it).

• Maksimizimi dhe minimizimi (fshehja e pekohshme) e nje tools ne ekran ne saj te menuse DESKTOP. • Ndryshimi i font-it, personalizimi i toolbar-it dhe aksesimi i opsioneve te tjera duke perdorur. File > Preferences.

1.1.4 Butoni Start Butoni Start tregon më nyrat e shpejta sesi mund te aksesohet një tool, demo,shkurtimet dhe dokumentat.Klikoni butonin START per te pare opsionet.

11

Figura 1.3: Butoni Start

1.2 Dritarja e Komandave dhe Historiku i Komandave 1.2.1 Dritarja e komandave Pë rdorimi i dritares se komandave pë r të vendosur variabla dhe pë r të ekzekutuar funksione dhe skripte në MATLAB.

Figura 1.4: Dritarja e Komandave Duke shtypur shigjetë n larte (↑) mund te thë rret një komandë e pë rdorur më pare.

Mund të ndryshohet dhe të ekzekutohet duke shtypur butonin ENTER. MATLAB gjithashtu mundë son tools-a të tjerë të cilë t ndihmojnë te kujtohet funksioni dhe sintaksa pë rkatë se dhe më nyra se si ajo ekzekutohet sakte. Pë r shembull, pë r të kë rkuar një funksion pë rdoret FUNCTION BROWSER pë r të gjetur funksionin dhe klikohet butoni në të majtë pë r të hapur tool-is pë rkatë s.

12

1.2.2 Historiku i Komandave Funksionet qe ne fusim ne dritaren e komandave ruhen së bashku me një etiket kohe ne historikun e komandave. Ne saj te istorikut te komandave mund te kë rkohen dhe shihen komandat e ekzekutuara me pare, si dhe ato mund te selektohen, kopjohen dhe ekzekutohen. Gjithashtu MATLAB te ofron mundë sin e krijimit te nje ile me komandat e selektuara.

Figura 1.5: Historiku i Komandave Per te ruajtur inputin dhe outputin e një seksioni Matlab në një ile pë rdoret funksioni diary.

1.3 Marrja e ndihmës 1.3.1 Mënyra se si mund te marrin Ndihme Ka disa më nyra se si mund te marrim ndihme ne varë si të nevojave. Në tabelë n e më poshtme shfaqet një pë rmbledhje e kë tyre më nyrave:

1.4 Kërkimi per Dokumentacion dhe Demo

13

Figura 1.6: Kë rkimi në Help

14

Kapitulli 2

Veprime në MATLAB Duhet të bë het e qarte që në ambientin e gjuhë s MATLAB çdo variabë l që pë rdoret, prezantohet si një matrice. Sigurisht që MATLAB-i pë rdore më nyra të ndryshme pë r te ruajtur te dhë nat si qeliza, struktura dhe objekte, por si illim le të konsiderohet çdo variabë l si një matricë 1x1. Veprimet numerike ne MATLAB janë shkruajture ne më nyre qe te jene te ngjashme me veprimet reale. Ndë rkohe qe gjuhet e tjera programimi procedojnë numra një kohë sisht, MATLAB-i ju lejon të punoni me matrica shpejte dhe lehte.

2.1 Importimi i Matricave Më nyra më e mirë pë r të illuar më simi me gjuhë n MATLAB ë shtë të punohet me matrica. Matricat mund të importohet në MATLAB me shumë më nyra, më poshtë paraqiten disa nga kë to: • Duke pë rdorur “Command Window” • Duke importuar matricat nga nje skedar te jashtë m.

• Duke gjeneruar matrica nga funksione te integruar ne MATLAB • Duke krijuar matrica me funksione te shkruajtura nga ju dhe duke i rruajtur ato ne skedar.

Pë r te illuar do importojmë matricë n e Dü rer-it. Kjo matricë ka një veti, shume e çdo rreshti, shtyllë ose diagonale ë shtë e një jte. Matrica e Dü rer-it shihet me poshtë .

16 5 9 4

3 10 6 15

2 11 7 14

13 8 12 1

Tabela 2.1: Matrica magjike Pë r ta importuar duhet te mbahen mend disa gjera: 15

• Çdo element i matricë s ndahet nga tjetri me një presje (,) • Ndryshimi i rreshtit bë het duke pë rdorur pik-presje (;) • Të gjitha elementet e matricë s duhet të shkruhen brë nda dy kllapave [ ] Krahas saj duhet pë rmendur qe duhet të deklaruar një emë r pë r matricë n që do pë rmbaj kë to të dhë na.

Ndryshe nga gjuhë t e tjera programimi ne MATLAB, deklarimi i variabë lve behet një kohë sisht me vleredhë nien. Per te kaluar matricë n en MATLAB shkruajmë kodin si me poshtë ne “Command Window” dhe shtypim butonin enter.

>> A = [ 1 6 3 2 1 3 ; 5 10 11 8 ; 9 6 7 1 2 ; 4 15 14 1 ]

MATLAB-i do shfaqi ne ekran matricë n qe kemi kaluar. Ne qofte se ne fund vendosim pike-presje (;) atë herë ajo nuk do shfaqte rezultatin. Kur procedojmë me shume instruksione zakonisht pë rdorim pike-presje (;). Me poshtë shikojmë çfarë morrem.

A = 16 5 9 4

3 10 6 15

2 11 7 14

13 8 12 1

Ne igurë n 2.1 shihet MATLAB-i pas ekzekutimit te instruksionit. Siç e shikoni komanda ë shtë dhë ne nga “Command Window” dhe vejmë re se edhe ne “Workspace” ka kaluar matrica “A” qe kemi deklaruar.

2.2 Veprime me matrica Ju keni menduar në qoftë se vë rtet matrica e dhë ne më sipë r ë shtë nje matricë magjike siç thuhet dhe shuma e elementeve të çdo rreshti dhe shtyllë të saj janë të një jtë . Mund ta vertetoti me dore ose duke pë rdorur funksionin sum() te integruar brenda ne MATLAB. Duhet te ekzetutoni komenden me poshtë .

>> sum(A)

MATLAB-i do tjy kthej si rezultat

ans = 34

34

34

34

16

Figura 2.1: Programi pas ekzekutimit te komandes ne MATLAB 2012b Kë tu duhen venë re se kur nuk jepet emri i variablë s ku do të rruhen rezultatet e veprimit MATLAB-i i rruan ato si një variabë l . Duke ekzekutuar komandë n qe u dha me sipë r keni marre një matrice ans me pë rmasa 1x4 ku te gjitha elementet e saj janë 34. Funksioni sum(A) ka llogaritur shumen e çdo shtylle te matricë s A. Atë herë kemi vë rtetuar shuma e elementeve te secilë s shtylle ë shtë e një jte. Tani duhet te vë rtetojmë qe edhe shuma e elementeve te secilit rresht ë shtë e një jte. Per ta bere ketë do pë rdorim matricë n e transpozuar. Sic dihet nga algjebra matrica e transpozuar ë shtë matrica ne te cilë n çdo shtylle ë shtë bere rresht. Pë r ketë matrice mund te shkruhet se: A(i, j) = AT (j, i) Pë r te marre matricë n e transpozuar ne matlab do ekzekutojmë komandë n e më poshtme:

>> At = A’\

Dhe marrim:

At = 7 12 1 14

2 13 8 11

16 3 10 5

9 6 15 4

17

Siç mund te shikohet matrica qe kemi marre ë shtë matrica e transpozuar te matricë s A. Atë e kemi ruajtura ne “Workspace” me emrin At pë r ta dalluar nga matrica A. Hapi tani ë shtë të gjejmë shumë n e shtyllave të kë saj matrice tani.

>> sum( At )

Dhe kemi rezultatin

ans = 34

34

34

34

Te një jtin rezultat do merrnim edhe ne qofte se ekzekutonim menjë herë veprimin do me thë ne edhe llogaritjen e matricë s se transpozuar dhe llogaritjen e shumes.

>> sum(A’ )

Rezultati ë shtë ai qe prisnim. Tani duhet te vë rtetojmë edhe ne qofte se dhe shuma e elementeve te diagonales kryesore na jep te një jtin rezultat. Pë r ta bere ketë duhet te marrim elementet e diagonal. MATLAB-i ka te integruar pë r ketë qellim funksionin diag(). Ekzekutojmë komandë n e më poshtme:

>> d i a g (A)

Marrim si rezultat matricë n e më poshtë m:

ans = 7 13 10 4

Siç mund te shikohet kë to numra janë elementet. Duke gjetur elementet e diagonales pë rdorim prape funksionin sum() si me poshtë :

>> sum( d i a g (A) )

dhe pas ekzekutimit

ans = 34

Diagonalja sekondare nuk ka shume rrë ndë si matematikore prandaj dhe MATLAB-i nuk ka një funksion si me pare. Pë r te gjetur elementë t e diagonales sekondare do pë r18

dorin funksionin liplr(), e cila pë rdoret pë r gra iket. Funksioni liplr() kthen shtyllat e matricë s të lexuara nga ana e djathtë në të majtë .

>> f l i p l r (A)

ans = 14 11 5 4

1 8 10 15

12 13 3 6

7 2 16 9

Tani pë r te llogaritur shumë n e elementeve të diagonales sekondare do mbledhim elementë t e diagonales të kë saj matrice. Siç shikohet më poshtë :

>> sum( d i a g ( f l i p l r (A) ) )

ans = 34

Deri tani vë rtetuam qe matrica e Durrer-it ë shtë një matrice magjike. Ne vijim te kapitullit do pë rdorim te një jtë n matrice pë r te prezantuar edhe disa mundë si te tjera qe na jep MATLAB-i.

2.3 Subscripts Një element qe ndodhen ne rreshtin i dhe ne shtyllë n j ne matricë n A pë rcaktohet ne MATLAB duke shkruajtur A(i, j). Pë r shembuj duke shkruajtur A(4, 2) në nkuptohet elementi qe ndodhet tek rreshti i katë rt dhe tek shtylla e dyte ne matricë n A, ne rastin tone A(4, 2) ë shtë 6. Atë herë pë r te llogaritur shumen e shtyllë s se katë rt mund te shkruajmë .

>> A( 1 , 4 ) + A( 2 , 4 ) + A( 3 , 4 ) + A( 4 , 4 )

Dhe MATLAB-i do na japi si rezultat:

ans = 34

Por kjo nuk ë shtë më nyra me elegante pë r te llogaritur elementë t e nja shtylle te vetme.

Eshtë e mundshme ti referohemi elementit të një matrice me një subscript (tregues), 19

A(k). Kjo më nyre pë rdoret kur lasim pë r vektorë por mund te pë rdoret edhe pë r matrica. Pë r matricë n tone A duke shkruajturë A(8) i referohemi te një jtit elementi si te shkruanim A(4, 2).

Ne qofte se tentoni pë r te marre një element jashtë pë rmasave te matricë s atë herë MATLAB-i do t’ju kthej një mesazhe gabimi.

>> A( 4 , 5 ) ??? Index e x c e e d s matrix d i m e n s i o n s .

Ndryshe, në qoftë se ruani një element në një vë nd jashtë matricë s, MATLAB-i vendos numrin në pozicionin që tregohet dhe mbush vendet boshe me 0. Siç mund shikohet dhe më poshtë :

>> A( 4 , 5 )=6

A = 7 2 16 9

12 13 3 6

1 8 10 15

14 11 5 4

0 0 0 6

2.4 Operatori dy pikat Operatori dy pika, :, ë shtë një nga operatoret me te rë ndë sishë m ne MATLAB. Kjo ndodh në forma të ndryshme. Shprehja

>> 1 : 1 0

ë shtë një vektor rresht qe pë rmban integera nga 1 në 10:

ans = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Siç mund te kuptohet hapi i rritjes tek shprehja e pë rparshme ë shtë 1. Munde te dyshojmë hapin duke shkruajtur si me poshtë :

>> 100: −7:50

Dhe to marrim

20

ans= 100 93

86

79

72

65

58

51

Ose duke shkruar

>> 0 : p i /4 : p i

Do kemi

ans= 0

0 .7854

1 .5708

2 .3562

3 .14160

Ketë operator mund ta pë rdorim pë r t’iu referuar një segment te matricë s. Duke pë rdorur formë n e më poshtë m A(1 : k, j) i referohemi elementeve që ndodhen tek rreshtat nga 1 deri në ks, të shtyllë s se j.

Kë shtu që komanda:

>> sum (A( : ,end ) )

Llogarite shumë n e elementeve të shtyllë s së fundit të matricë s A.

2.5 Funksioni magic MATLAB-i ka një funksion të implementruar në të që prodhon katroret magjike në çdo pë rmasa. Jo pë r tu çuditur ku funksion ë shtë emë ruar :

>> B = magic ( 4 )

B = 16 5 9 4

2 11 7 14

3 10 6 15

13 8 12 1

Kjo matricë ë shtë pothuajse i një jtë me atë të Dü rer dhe ka të gjitha vetit <<magjike>> që ka ajo, i vetmi ndryshim ë shtë se dy shtyllat e mesme janë ndryshuar me një ra tjetrë n.

Pë r të bë rë kë të matricë n B të një jtë me pë rpara, duhet thjeshtë që të ndryshoj vendi i dy kolonave të mesme:

21

>> A = B ( : , [ 1 3 2 4 ] )

Kjo subscript tregon që (pë r secilin prej rreshtave të matricë s B) rirrjeshtohet secili elemente sipas rradhë s 1, 3, 2, 4. Komanda e më parshme prodhon:

A = 16 5 9 4

3 10 6 15

2 11 7 14

13 8 12 1

22

Kapitulli 3

Shprehjet 3.1 Variablat Ashtu si shumica e gjuhë ve të programimit, gjuha MATLAB ofron shprehjet matematikore, por ndryshe nga gjuhë t e programimit më të njohura, kë to referohen vetë m tek matricat.

MATLAB nuk kë rkon ndonjë lloj deklarimi tipi variabë le ose dimension. Kur MATLAB kupton një emë r të ri variabë li, kjo automatikisht krijon variablë n dhe alokon hapë sirë n e duhur ne memorie. Në koftë se variabë la ekziston, MATLAB ndryshon pë rmbajtjen e saj dhe në se ë shtë e nevojshme, cakton ofron me shume vende ne memorie. Pë r shembull,

>> Studenta = 25

Kjo komandë krijon një matrice 1x1 te cilë s i jepet emri studenta dhe ruan vlerë n 25 ne elementin e vetë m te saj. Pë r te pare vlerat qe janë ruajtur ne secilë n variabë l, atë herë thjesht duhet dhë ne emri i variables dhe shtypur enter

>> s t u d e n t a

Emri i variablave illon me një germë dhe vazhdon me çdo numë r ose germë ose underscore. MATLAB-i ë shtë case sensitive qe do te thotë se kupton diferencë s midis gë rmave te shtypit dhe gë rmat e vogla. Ne MATLAB variablat me emra A dhe a nuk janë te një jta.

Edhe pse emrat e variablave mund të jetë çdo gjatë si, MATLAB pë rdor vetë m N shkronjat e parë e emrit, (ku N ë shtë numri i kthyer nga funksioni namelengthmax), dhe nuk mere parasysh të tjerë t.

Prandaj, ë shtë e rë ndë sishme pë r të bë rë çdo emë r variabë l unik në N germat e para qe MATLAB-i te jetë i mundur te dalloj variabë lat.

23

>> namelengthmax

ans = 63

3.2 Numrat MATLAB pë rdor sistemin konvencional dhjetore, me një pikë decimale opsionale dhe shenjë udhë heqë se plus ose minus, pë r numra. Simbol shkencore pë rdor germë n e që speci ikon nje fuqi me bazë n numrin dhjete. Per prezantimin e numrave imagjinare pë rdorim ose i ose j si një prapashtesë . Disa shembuj të numrave që lejohen janë

3 9 .6397238 1i

−99 1 .60210e −20 −3 . 1 4 1 5 9 j

0 .0001 6 .02252e23 3 e5i

MATLAB-i rruhen të gjitha numrat si numra të tipit loat siç ato speci ikohen tek standardë t e IEEE ® . Numrat të tipit loat kanë një precesion prej 16 shifrave dhjetore dhe një varg të caktuar afë rsisht 10+308 deri në 10+308 .

Numrat prezantohen në format të tipit double dhe kanë një precision prej 52 bits. Çdo variable i tipit double që kë rkon më shumë se 52 bit humb nga saktë sia e.saj Pë r shembull, kodi i më poshtë m tregon dy vlera që janë të pabarabarta të jenë të barabartë , sepse janë prerë :

>> x = 36028797018963968; >> y = 36028797018963972; >> x == y ans = 1

Variablat të tipit integer kanë precision të ndryshë m 8-bit, 16-bit, 32-bit, dhe 64bit. Ruajtja e numrave me precision 64-bit integers nuk do krijoje si problemi qe u pa me sipë r:

>> x = u i n t 6 4 (36028797018963968) ; >> y = u i n t 6 4 (36028797018963972) ; >> x == y ans = 0

MATLAB-i ofron mundë sinë pë r të ruajtur pjesë n reale dhe imagjinare të një numri kompleks. Ajo merret me madhë sinë e pjesë ve në më nyra të ndryshme në varë si të 24

kontekstit. Pë r shembull, funksioni sort() rrendit numë rat në varë si të modulit dhe në qoftë se kanë modulë të një jtë , sipas kendit fazor.

s o r t ([3+4 i , 4+3 i ] ) ans = 4 .0000 + 3 .0000i 3 .0000 + 4 .0000i

Dhe kjo sepse kë ndi fazor ë shtë :

>> a n g l e (3+4 i ) ans = 0 .9273 >> a n g l e (4+3 i ) ans = 0 .6435

Operatori <<i një jtë me>> që shë nohet si <<==>> do që edhe pjesa reale dhe ajo imagjinare të jenë të barabarta. Operatoret e tjerë >,<,>= dhe <= nuk marrin parashysh pjesë n imagjinare të numë rit kompleks por vetë m ate reale.

3.3 Operatorët Shprehjet që pë rdoren si operatorë t aritmetike janë të një jta me ato të gjuhë ve të tjera.

+ − * / ^ ‘ ( )

Mbledhje Zbritje Shumezime Pjestim Fuqi Matrica e t r a n s p o z u a r S p e c i f i k o n rradhën e veprimeve

3.4 Funksionet MATLAB ofron një numë r të madh funksionsh standarte matematikore, duke pë rfshirë abs(), sqrt(), exp(), dhe sin() (respektivisht absolute, rrë nja katrore, eksponeciale, sinusi). Në qoftë se, duhet llogaritur rrë nja katrore ose logaritmi i një numri negativ MATLAB-i nuk shfaq error por, rezultati i duhur kompleks prodhohet automatikisht.

MATLAB gjithashtu ofron shumë funksione të avancuara matematikore, duke pë rfshirë funksione Bessel dhe gama . Shumica e kë tyre funksioneve pranojë argumentet komplekse. Pë r një listë të funksioneve elementare matematikore, shkruani 25

>> h e l p e l f u n

Pë r një listë me funksione më të avancuara matematikore dhe matrica, shkruani

>> h e l p s p e c f u n >> h e l p elmat

Disa nga funksionet, si sqrt() dhe sin(), janë të integruar në MATLAB dhe janë pjesë e funksioneve bazë MATLAB në më nyrë që ata të jenë shumë e ikase, por detajet se si keta fuksione janë implimentuar nuk mund të shfaqen.

Ka disa dallime mes funksioneve të integruar dhe funksionet e tjera. Pë r shembull, pë r funksionet e integruara, nuk mund të shihni kodin. Pë r funksione të tjera, mund të shihni kodin dhe madje edhe ta modi ikoni atë në se dë shironi.

Funksione speci ike ofrojnë vlera të disa konstanteve. pi i j eps realmin realmax Inf NaN

3.14159265 √ −1 e një jta me i Precizioni relativë i një numri real ϵ = 2−52 Numri me i vogë l real 2−1022 Numri me i madhë real 21023 In initi Nuk ë shtë numë r (Not a Number)

In initi gjenerohet kur behet një pjesë tim e një vlere që nuk ë shtë zero me zero, ose duke ekzekutuar shprehje matematikore por te cilat marrin vlera me të më dha nga realmax. NaN (Not a Number) gjenerohet kur bë hen veprime si 0/0 ose Inf/Inf të cilat nuk kanë një percaktim matematikor.

Emrat e kë tyre funksioneve nuk janë të rezervuar. Eshtë e mundshme të pë rdoret secila prej tyre, si më poshtë :

>> eps = 1 . e −6

Fuknsioni origjinal mund të kthehet me komandë n:

>> c l e a r eps

3.5 Për të gjeneruar matrica MATLAB-i ofron katë r funksione pë r të gjeneruar disa matrica elementrare.

Më poshtë janë disa shë mbuj pë r pë rdorimin e kë tyre funksioneve.

26

zeros() ones() rand() randn()

Të gjitha elementet zero (0) Të gjitha elementet një (1) Elemente të rastit me shpë rndarje normale Elemente të rastit me shpë rndarje gausiane

>> Z = z e r o s ( 2 , 4 ) Z = 0 0 0 0 0 0 0 0

Komanda e më sipë r na jep si rezultat pas ekzekutimit të saj, një matrice Z me pë rmasa 2x4 që të gjitha elementet e saj janë zero (0). Më poshtë paraqitet një shembull pë r pë rdorimin e funksionit ones(). Siç u tha me siper ku funksion pë rdoret pë r të krijuar një matricë ku të gjitha elementet e saj do te jenë barabartë me numrin një (1).

Komanda e më poshtë m do të krijoj një matrice 3x3 dhe atë do ta shumë zoj me 5. Si rezultat perfundimtarë do kemi një matric 5x5 me të gjitha elementet e saj të barabarta me 5.

>> F = 5* ones ( 3 , 3 ) F = 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Më poshtë paraqitet një shembull të funksionit rand(). Funksioni rand() na kthen numra të rastit nga 0 deri në 1. Propabiliteti i paraqitjes të çdo numri ë shtë i një jtë .

Rezultati që do marim pas ekzekutimit të funksionit rand(1,10) do të jetë një matricë me një rrjeshtë dhe dhjetë shtylla. Funksioni ix() kthenë vlerë n e plotë të një numë ri dhjetor. Kë shtu që pas ekzekutimit të funksionit të më poshtë m do marren dhjetë numra të rastit nga 0 deri në 10.

>> N = f i x (10* rand ( 1 , 1 0 ) ) N = 9 2 6 4 8 7 4 0 8 4 2

Funksioni randn() kthenë numra të rastit me shpë rndarje gausiane. Kjo shpë rndarje do të ketë mesatare x ¯ = 0 dhe devijim standart barabartë me σ = 1.

>> R = randn ( 4 , 4 ) R = 0 . 6 3 5 3 0 . 0 8 6 0 −0. 3 2 1 0 −1. 2 3 1 6 −0. 6 0 1 4 −2. 0 0 4 6 1 . 2 3 6 6 1 . 0 5 5 6 0 . 5 5 1 2 −0. 4 9 3 1 −0. 6 3 1 3 −0. 1 1 3 2 −1. 0 9 9 8 0 . 4 6 2 0 −2. 3 2 5 2 0 . 3 7 9 2

27

3.6 Funksioni load Funksioni load pë rdoret pë r të importuar të dhë na në MATLAB. Kë to të dhë na duhen të jenë formatuar si një matrice dhe të jenë të ndara midis tyre. Rrjeshtat duhen te jenë të ndara dhe çdo rreshtë të ketë të njejtin numë r elementesh. Pë r te pë rdorur ketë funksionë duhet që pë rpara të krijohet një skedar dhe të rruhet. Mund të pë rdoren keto të dhë na:

16 . 0 3 . 0 2 . 0 13 . 0 5 . 0 10 . 0 11 . 0 8 . 0 9 . 0 6 . 0 7 . 0 12 . 0 4 . 0 15 . 0 14 . 0 1 . 0

Duke pë rdorur një text editor krijohet një skedar me emrin matrica.dat dhe rruhet në të një jtë n direktori që punohet. Komanda:

>> l o a d m a t r i c a . d a t

do lexoj skedarin dhe do krijoj një variabel me të një jtë n emë r. Një më nyrë tjetë r pë r të kaluar të dhë na në MATLAB ë shtë duke pë rdorur <<Import Wizard>>. Kjo ë shtë një më nyrë vizuale interaktive pë r kalimin e të dhë nave në program.

3.7 Rruajtja e kodit në skedar Kodet e MATLAB-it mund të rruhen në një skedar. Mund të pë edoret Editor-i që ofron MATLAB-i ose një editor i jashtë m pë r të prodhuar kodin. Zakonisht skedarë t që pë rbajnë pjesë kodi në MATLAB rruhen dhe kanë parashtesë n .m Pë r shë mbull mund të krijohet një skedar me emrin magik.m i cili do pë rmbaj kë të pjesë kodi.

clc ; clear ; A = [ 1 6 . 0 3 . 0 2 . 0 13 . 0 5 . 0 10 . 0 11 . 0 8 . 0 9 . 0 6 . 0 7 . 0 12 . 0 4 . 0 15 . 0 14 . 0 1 . 0 ] ;

Siç shihet me siper pë rveç kodit pë r të deklaruar matricë n magjike skedarit i janë shtuar dhe funksionet clc dhe clear. Funksioni clc bë ne pastrimin e Command Window nga komandat që i kemi dhë në më pë rpara kurse funksioni clear fshinë Workspace nga variablat që janë rruajtur atje.

Pë r ta ekzekuatuar kodit duhet në Command Window të shkruhet emri i skedarit dhe të shtypet butoni enter.

28

>> magik

Pas ekzekutimit të skriptit do krijohet matrica që kemi paraqitur.

3.8 Bashkimi i matricave Bashkimi i matricave (Concatenation) ë shtë procesi pë r të krijuar një matricë të madhe nga disa më të vogla. Në fakt ketë veprim e keni bë rë dhe pë rpara pë r të krijuar matricen e parë që ishte bashkimi i elementeve individuale. Operatorë t të bashkimit të matricave janë klapat katë rore. Pë r shembull mund të krijohet nje matrice 8x8 duke pë rdorur matricen magjike e cila ë shte ruajtur tek memorja e kompjuterit tuaj.

B = [A A+32; A+48 A+16]

Pas ekekutimit të kesaj komande do të krijohet matrica B e cila do të kë të vlerat sic shihen me poshtë . Siç kuptohet lehte tek çdo elemten të matricë s pë rveç matricë s së parë ë shtë shtuar dhe një numë r tjetë r.

B = 16 3 2 13 48 35 34 45 5 10 11 8 37 42 43 40 9 6 7 12 41 38 39 44 4 15 14 1 36 47 46 33 64 51 50 61 32 19 18 29 53 58 59 56 21 26 27 24 57 54 55 60 25 22 23 28 52 63 62 49 20 31 30 17

Kjo matricë prap eshtë matricë magjike, gjë që mund të kon irmohet nga funksioni sum(). Ekzekutimi i komandë s dhe rezultatë t që merren shihen më poshtë .

>> sum(B) ans = 260 260 260 260 260 260 260 260

3.9 Fshirja e rrjeshtave dhe shtyllave Rreshtat dhe shtyllat mund të fshihen nga një matricë duke pë rdorur kllapat katerore []. Një shembull mund të shihet më poshtë , le të supozojmë që kemi matricë n A dhe na duhet të fshijmë rreshtin e dytë , atë here: 29

>> A( : , 2 ) = [ ]

Pas ekzekutimit të komandë s matrica qe do kemi do jetë :

A = 16 2 13 5 11 8 9 7 12 4 14 1

në qoftë se duhet që të fshihni një elemente nga një matricë atë here rezultati nuk ë shtë matricë . Kë shtu që shprehje si:

A( 1 , 2 ) = [ ]

do krijoj error. Duke pë rdorur një sunskript atë here mund të fshihet një elementë ose një sekuensë elementë sh dhe elementet e mbetura të shfqen në nje rrjesht, si më poshtë :

A( 2 : 2 : 1 0 ) = [ ]

që do na japi si rezultat:

X = 16 9 2 7 13 12 1

3.10 Ndërtimi i tabelave Tabelat mund të ndë rtohen duke pë rdorur veprimet e matricave. Le të supozohet që kemi një vektor shtyllë me emrin n:

>> n = ( 0 : 9 ) ’ ;

Atë here duke pë rdorur komanden e meposhtme

>> pows = [ n n . ^2 2 . ^n ]

do krijohet tabela e meposhtme që në shtyllë n e parë do kemi vlerat e shtyllë së parë ne katror kurse tek shtylla e tretë do kemi fuqitë e numerit 2.

pows =

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 1 2 4 4 9 8 16 16 25 32 36 64 49 128 64 256 81 512

Funksionet elementare matematikore aplikohen në matrice pë r çdo elementë . Keshtu që perdorimi i ketyre funksioneve duhet të behet si më poshtë :

>> x = ( 1 : 0 . 1 : 2 ) ’ ; >> l o g s = [ x l o g 1 0 ( x ) ]

të dhë nat e më siper na japin si rezultat tabelë n:

logs = 1 .0 1 .1 1 .2 1 .3 1 .4 1 .5 1 .6 1 .7 1 .8 1 .9 2 .0

0 0 .04139 0 .07918 0 .11394 0 .14613 0 .17609 0 .20412 0 .23045 0 .25527 0 .27875 0 .30103

31

32

Kapitulli 4

Gra iket 4.1 Krijimi i një plotimi Funksionet e plotimit kanë forma të ndryshme dhe varen nga variabë lat hyrë se.

Në se y ë shtë vektor, plot(y) krijon gra ikun linear të elementit y në varë si të indekseve të elementeve të tyre. Në se ne speci ikojmë dy vektorë si argumente, plot(x,y) krijimi do te jete një gra ike i y-ve në varë si të x-ve.

x = 0 : pi /100:2* pi ; y = sin (x) ; plot (x , y)

Në shembullin siper tregohet se si bë het një plotim i funksionit y = sin(x). Pë rdorimi i dy pikave krijon vlerat e vektorit x duke u nga 0 - 2π me hap π/100. Llogaritet sinusi i kë tyre vlerave duke perdorur komander y = sin(x) dhe në pë rmjet komandes plot(x, y) na shfaq në ekran gra ikun e sinusit.

Tani emë rtojmë akset dhe vendosim titullin. Karakteri \pi krijon simbolin π.

xlabel ( ’x = 0:2\ pi ’ ) y l a b e l ( ’ Sine of x ’ ) t i t l e ( ’ Grafiku i s i n u s i t ’ , ’ FontSize ’ , 1 2 ) ;

Mund të kuptohet që komanda xlabel() shë rben pë r emë rtimin e aksit x dhe komanda ylabel() pë r emë rtimin e aksit y. Kurse komanda tile() vendos titullin e gra ikut, kë pë r rastin tonë shkronjat do kë në madhesinë 12pt. Kjo ë shte bë re e mundur duke pë rdorur 'FontSize',12.

Rezultati pas ekzekutimit të komandave të mesipë rme paraqitet tek igura 4.1. Ashtu siç pritej gra iku prezanton vlerat e sinusin të një kë ndi nga 0 - 2π radian. Mund të shikohet dhe ndryshimi i madhesisë së shkronjave të titullit nga ato që janë pë rdorur pë r emë rtimin e akseve.

33

Figura 4.1: Plotimi i funksionit sin(x)

4.2 Plotimi i një strukture të dhënave në nje gra ik të vetëm MATLAB-i ofron mundë sinë pë r të prezantuar më shumë se një gra ik një kohë sishtë . Kjo bë het pasi janë krijuar matricat pë rkatese pë r çdo gra ik. Duke pë rdorur komandë n plot() me më shumë se një argumenta merret si rezultatë një gra ik i shumishtë . Pë r shë mbull, kë to komanda do plotojnë tre gra ike të funksionit sin(x − xo ) ku xo = 0, 0.25, 0.5, ku çdo gra ik ka ngjyre të ndryshme.

x = 0: pi /100:2* pi ; y = sin (x) ; y2 = s i n ( x−0. 2 5 ) ; y3 = s i n ( x−0. 5 ) ; p l o t ( x , y , x , y2 , x , y3 )

Komanda legend pë rfaqeson një më nyrë më të lehtë pë r të identi ikuar çdo plotim individual. Kjo komand lidhë ngjyren që ë shtë pë rdorur pë r të prezantuar gra ikun me një shprejhe. Më poshtë tregohet pë rdorimi i kë saj komande. Gra iku i parë y i pë rket funksionit sin(x) prandaj dhe kjo shprehje ë shtë vendosur në vë ndin e parë .

l e g e n d ( ’ s i n ( x ) ’ , ’ s i n ( x−. 2 5 ) ’ , ’ s i n ( x−. 5 ) ’ )

Matrica e dytë y2 i pë rket funksionit sin(x) − 0.25 dhe kjo shprehje vendoset pas një presje pë r ta ndarë atë nga e para. Pas ekzekutimit të kodeve të më parshme do të shfaqet në ekranin e kompjuterit gra iku siç shihet tek igura 4.2.

34

Figura 4.2: Gra iku i funksionit sin(x − xo ) pë r disa vlera të xo

4.3 Plotimi i vijave dhe shënjuesve Në se ne speci ikojmë llojin e shë njuesve dhe jo tipin ose llojin e stilit te vijave, atë herë vetë m shë njuesit do të shfaqen ne gra ikun e dhë ne. Pë r shembull

>> p l o t ( x , y , ’ ks ’ )

Ploton kuadratin e zi pë r çdo pike te te dhë nave, por nuk lidhet me shë njuesit pë rmes vijë s. Gjendja

>> p l o t ( x , y , ’ r :+ ’ )

Ploton vijë n me pika-te-kuqe dhe vendet plus pë r çdo shë njues te çdo pike te dhë nave.

Ekziston mundë sia që të plotojme disa pika të të dhë nave që ne pë rdorim pë r te plotuar vijë n (konturen). Ky shembull ploton te dhë nat e dy ishuara duke pë rdorur numra te ndryshë m te pikave, pë r pikat e linjë s dhe plotimin e shë njuesit.

x1 = 0 : p i / 1 0 0 : 2 * p i ; x2 = 0 : p i / 1 0 : 2 * p i ; p l o t ( x1 , s i n ( x1 ) , ’ r : ’ , x2 , s i n ( x2 ) , ’ r+ ’ )

35

Figura 4.3:

4.4 Gra iket me të dhënat komplekse Kur argumentet e plotimit janë numra komplekse, atë here pjesa reale dendoset tek aksi i x-ve kurse pjesa imagjinare tek aksi i y-ve. Le te supozohet se matrica Z ë shtë një matric me elemente numra kopleks, athere MATLAB-i do kuptoj komnadë n

>> p l o t (Z)

si komandë n

>> p l o t ( r e a l (Z) , imag (Z) )

Një shë mbull se si prodhohet një gra ik me te dhë nat komplekse jemet më poshtë :

t = 0: pi /10:2* pi ; p l o t ( exp ( i * t ) , ’−o ’ ) axis equal

Duke ekzekutuar ketë skript shfaqet një poligon me 20 kë nde. Kjo ë shte berë e mundur se janë marë 20 vlera nga 0 deri ne 2π (variabla t). Pastaj ë shtë llogaritur y = exp it. Funksioni i fundit dihet nga analiza komplekse qe prezanton një rreth me rreze 1 dhe që nder tek (0,0). Në qoftë se marrim më shumë vlera të variablë s t 0 deri ne 2π athere MATLAB-i do shfaqte një rrethë .

36

Figura 4.4: Paraqitja e numrave kompleks

4.5 Shtimi i plotimeve ne një gra ike ekzistues Komanda peaks sjell funksionin e më poshtë m i cili ë shtë një funksion në varë si te x-it dhe y-it. Dhe në ekran shfaqet igura 4.5, siç shihet MATLAB-i ka marrë vlera nga nga -3 deri ne 3 pë r akset x dhe y.

>> peaks z = 3*(1−x ) . ^2 . * exp(−( x . ^2) − ( y+1) . ^2) . . . − 10*( x/5 − x . ^3 − y . ^5) . * exp(− x . ^2− y . ^2) . . . − 1/3* exp(−(x+1) . ^2 − y . ^2)

Duke perdorur kodin e më poshtë m në ekran shfaqet Figura 4.6. Në ketë igure plotimi behet duke perdorur gjyra të ndryshme pë r të prezantuar ne ekran vlerat pë rkatë se te z-it.

[ x , y , z ] = peaks ; pcolor (x , y , z ) shading i n t e r p

Gra iku i igurë s 4.6 mund të krijohet edhe duke perdorur komandë n contour(). Në ketë rast nuk do kemi ngjyra por konture qe tregojne vlera të një jta. Pë rdorimi i kesaj komande tregohet më poshtë .

>> contour ( x , y , z , 2 0 , ’ k ’ )

37

Figura 4.5: Gra iku pas ekzekutimit teĚ&#x2C6; komandes peaks

Figura 4.6: Plotimi duke perdorur funksionin pcolor()

38

Figura 4.7: Plotimi duke perdorur funksionin contour() Pas ekzekutimit të kesaj komande do merret igura 4.7 Komanda hold ne MATLAB na krijon mundë sinë që të shtojmë plotime të ndryshme në një gra ike ekzistues. Në MATLAB nuk zë vendë sohet gra iku ekzistues kur krijohet një plotim tjetë r, por ai shtohet tek gra iku që ë shtë i shfaqur.

Pë r shembull, kë to gjendje se pari krijojnë një konture plotimi me pikat e funksionit, pastaj mbivendos pseudo-ngjyrat e plotimeve pë r çdo funksion te ngjashë m:

[ x , y , z ] = peaks ; pcolor (x , y , z ) shading i n t e r p hold on contour ( x , y , z , 2 0 , ’ k ’ ) hold o f f

Komanda hold on kombinon plotimin me pseudo-ngjyra me plotimin e konturave ne igure.

4.6 Shfaqja e plotimeve të shumta në një paraqitje Komanda subplot na krijon mundesinë të shfaqim plotime të ndryshme në një dritare te paraqitjes, ose të printojme të gjitha në një plan të letrë s. Shtypim 39

Figura 4.8: Perdorimi i komdander hold on

s u b p l o t (m, n , p )

dhe na krijohen pjesë t e igurë s brë nda matrcë s m-sipas-n. Plotimet jane të numerueshme pë rgjat rreshtit të parë ne iguren e dritares, pastaj në rreshtin e dyte, e keshtu me radhe. Per shembull, keto komanda të më poshtme plotojnë të dhë na në katë r regjione të ndryshme të igurë s së dritares:

t = 0: pi /10:2* pi ; [X, Y, Z ] = c y l i n d e r (4* c o s ( t ) ) ; s u b p l o t ( 2 , 2 , 1 ) ; mesh (X) s u b p l o t ( 2 , 2 , 2 ) ; mesh (Y) s u b p l o t ( 2 , 2 , 3 ) ; mesh (Z) s u b p l o t ( 2 , 2 , 4 ) ; mesh (X, Y, Z)

Funksioni mesh() dhe pë rdorimi i tij do diskutohen më poshtë . Figura 4.9 tregon si MATLAB-i paraqet 4 gra ikë t në një dritare të vetme.

4.7 Kontrolli i akseve Komanda axis ofron opsione pë r rregullimin e shkallë s së gra ikut, orientimin, dhe aspektin e klases (fuqisë ) së grafë ve.

Zakonisht, MATLAB-i gjen minimumin dhe maksimumin e të dhë nave, dhe një ko40

Figura 4.9: Perdorimi i komdander hold on

41

hesisht zgjedh limitin pë r të shtjelluar ku ijte. Komanda axis na lejon që të speci ikojme limitin tone:

a x i s ( [ xmin xmax ymin ymax ] )

ku xmin xmax ymin ymax janë vlerat që kemi vendor si limite të gra ikut tonë . Pë r gra ikun 3-dimensional duhet që të shtohet edhe ku ijtë pë rkatë se pë r boshtin e z-ve.

a x i s ( [ xmin xmax ymin ymax zmin zmax ] )

Perdorimi i komandes e më poshtme na krijon mundesin e kthimit te limiteve automatikisht sipas MATLAB-it.

a x i s auto

Një tjetë r opsion që na ofron MATLAB-i ë shtë ai i cili krijon x-aksin dhe y-aksin me gjatesi të njejtë .

axis equal

Mund te pë rdoret komanda axis që të shfaqet ose jo aksi. Komanda e më poshtë m krijon aksin e dukshem. Kjo ë shtë zakonisht standarde ne MATLAB

a x i s on

kurse

axis off

nuk na shfaq akset

4.8 Krijimi i titullit dhe emertimi i akseve Komandat xlabel, ylabel dhe zlabel, na krijojne emertimet pë rkatë se të akseve x-, y- dhe z-. Komanda title na krijon titullin mbi iguren në që nder të dritares, dhe futja e funksionit text gjithandej në igure.

Mund të prodhojme simbole matematike duke perdorur gjuhë n e shkrimit dhe prezantimit të dokumenteve LATEXnë vargun e tekstit, sikur ë shtë ilustruar ne shembullin në vazhdim:

t = −p i : p i / 1 0 0 : p i ;

42

y = sin ( t ) ; plot ( t , y) a x i s ([ − p i p i −1 1 ] ) x l a b e l ( ’−\p i \ l e q {\ i t t } \ l e q \ p i ’ ) ylabel ( ’ sin ( t ) ’ ) t i t l e ( ’ Grafiku i s i n u s i t ’ ) t e x t (1 , −1/3 , ’ {\ i t S h i k o n i s i m e t r i n e . } ’ )

Disa nga kë to komanda janë pë rdorur dhe më pë rpara. Pas ekzekutimit të ketyre në ekran so shfaqet gra iku i igurë s 4.10

Figura 4.10: Titujtë e akseve

4.9 Plotime tre-dimensionale Per te paraqitur funksionin me dy variabla z=f(x,y), duhet paraprakisht të bë het: 1. Prodhimi i matricave të x-ve dhe y-ve që pë rbë n pë rseritjen e rreshtave dhe kolonave, respektivisht, konsiston në fushë n e funksionit.

2. Perdorimi i x-ve dhe y-ve per percaktimin dhe gra ikun e funksionit Funksioni meshgrid prodhon fushen e speci ikuar nga nje vekor të mundshem ose dy vektor të X dhe të Y . Rreshtat e X jane kopje te vektoreve te X-it dhe kolonat e Y jane kopje te vektorit te Y. Keto vlera do bë jnë të mundur llogaritjen e funksionit te dy variablave. Me poshtë tregohet perdorimi i funksionit meshgrid. Le të supozojmë që kemi një funksion me dy variabla z = f (x, y) dhe fusha e funksionit ë sthe pë r x nga -3 deri në 3 me hap 1 dhe pë r y nga -2 deri në 2 me hap prap 1. Athere do shkruajm.

43

clear ; clc ; x= −3:3; y= −2:2; [X,Y] = meshgrid ( x , y )

Pas ekzekutimit do merren dy matrica X dhe Y. Ato tregohen më poshtë

X = −3 −3 −3 −3 −3

−2 −2 −2 −2 −2

−1 −1 −1 −1 −1

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

−2 −1 0 1 2

−2 −1 0 1 2

−2 −1 0 1 2

−2 −1 0 1 2

−2 −1 0 1 2

−2 −1 0 1 2

−2 −1 0 1 2

dhe

Y =

4.9.1 Gra iku me rrjetë Shembulli që vijon vizualizon funksionin dy-demensional sinc i cili qyhet funksioni i kampionimit dhe ë shtë i barrabartë me sin(r)/r, midis drejtimeve te X dhe Y. R ë shtë distanca nga origjina, rrespektivisht ë shtë në që ndrë r të matricë s. Shtimi i eps largon ndë rmjetë simin e origjines 0/0:

[X,Y] = meshgrid ( −8: . 5 : 8 ) ; R = s q r t ( X.^2 + Y. ^2) + eps ; Z = s i n (R) . /R; mesh (X,Y, Z , ’ EdgeColor ’ , ’ b l a c k ’ )

Ky shembull pë rdor rrjetë n e vizualizuar me nje ngjyrë sipas speci ikave të siperfaqes. Me komanden EdgeColor mundë sohet prezantimi me ngjyre te zezë . Duke perdorur kodin e më sipë rm në ekran shfaqet Figura 4.11.

4.9.2 Gra iku me ngjyra Plotimi i sipë rfaqes ë shtë i ngjashë m me plotimin e rrjetë s perveç faqë ve kuadratë ve të siperfaqes që jane te ngjyrosura. Ngjyra e çdo faqe ë shtë e pë rcaktuar nga vlerat e 44

Figura 4.11: Gra iku me rrjetë duke pë rodrur funksionin mesh() Z. Duke pë rdorur pap funksionin sinc pë r shembull më poshtë tregohet më nyra pë r pë rdorimin e funksionit surf()

[X,Y] = meshgrid ( −8: . 5 : 8 ) ; R = s q r t ( X.^2 + Y. ^2) + eps ; Z = s i n (R) . /R; s u r f (X,Y, Z) colormap hsv colorbar

Duke pë rdorur kodin e më sipë rm në ekran shfaqet Figura 4.12.

4.9.3 Gra iku me sipërfaqe transparente Mund të krijohet një siperfaqe transparente me shkalle ngjyrash të ndryshme. Transparenca mund të speci ikohet pë r nje objekt të tere, ose mund te bazohet ne alphamap, e cila konsiston në ngjashmerine me ngjyrat e hartes (colormap). Per shembull

[X,Y] = meshgrid ( −8: . 5 : 8 ) ; R = s q r t ( X.^2 + Y. ^2) + eps ; Z = s i n (R) . /R; s u r f (X,Y, Z) colormap hsv alpha ( . 4 )

45

Figura 4.12: Gra iku me ngjyra Që prodhon siperfaqen kur alpha ka vlerë 0.4. Vlerat e alpha-s variojne nga 0 (komplet transparent) e deri tek 1(jo-transparent). Duke pë rdorur kodin e më sipë rm në ekran shfaqet Figura 4.13.

4.9.4 Ndriçimi i sipërfaqëve Drita ë shtë teknikë e ndriçimit të objekteve me. Në ketë çeshtje, kjo teknike mund të bë jë diferencen në siperfaqe të ndryshme. Drita gjithashtu mund të perdoret që të shtojmë realizmë te gra iket tre-dimensinal 3D. Ky shembull pë rdor të një jtë n siperfaqe sikur në shembullin e meparshë m, por e ngjyros më të kuqe dhe e eliminon rrjeten. Drita e objektit pastaj i shtohet në të majtë të “camera”. (camera ë shtë pozicioni i nga ku ne jemi duke e shikuar ketë sipë rfaqe).

[X,Y] = meshgrid ( −8: . 5 : 8 ) ; R = s q r t ( X.^2 + Y. ^2) + eps ; Z = s i n (R) . /R; s u r f (X,Y, Z , ’ FaceColor ’ , ’ red ’ , ’ EdgeColor ’ , ’ none ’ ) camlight l e f t ; l i g h t i n g phong

Duke pë rdorur kodin e më sipë rm në ekran shfaqet Figura 4.14.

4.9.5 Kurba në hapësirën tre-demensionale Pë r plotimin e një kurbe në hapsira tre-demensionale, komanda elementare ë shtë plot3(), dhe kjo nenkupton sikur plot, perveç që ka tre vektor në vë nd të dy vektorë ve, 46

Figura 4.13: Gra iku me sipë rfaqe transparente një ri pë r kordinaten e X-it, njeri pë r kordinaten e Y-it dhe tjetri pë r kordinatë n Z. Pë r shembull, ne mund te plotohet një spiralë me skriptin e më poshtë m.

T = −2:0 . 0 1 : 2 ; p l o t 3 ( c o s (2* p i *T) , s i n (2* p i *T) , T)

Pas ekzekutimit të kodit të më sipë rm në ekran shfaqet Figura 4.15.

47

Figura 4.14: Gra iku me sipë rfaqe të ndriçuar

Figura 4.15: Kurba në hapë sirë n tre-demensionale

48

Kapitulli 5

Programim në MATLAB Deklaratat e kushtë zuara mundë sojnë zgjedhjen e kohë s në të cilë n do të ekzekutohet një bllok kodesh. Deklarata më e thjeshte e kushtë zuar ë shtë “ if ” , psh:

% Gjenero n j e numer t e r a s t i t a=r a n d i ( 1 0 0 , 1 ) ; % Nqs ë s h t ë edhe kjo , p j e s ë t o me 2 i f rem ( a , 2 )==0 d i s p ‘( a i s ’even ) b=a / 2 ; end

Deklarata if perfshin zgjedhje alternative, duke pë rdorur jalë t kyçe fakultative ‘elseif’ ose ‘else’. Per shembull:

a = r a n d i ( 1 0 0 , 1) ; i f a < 30 disp ( ’ small ’ ) e l s e i f a < 80 d i s p ( ’ medium ’ ) else disp ( ’ large ’ ) end

Ne më nyrë alternative kur duam te testojmë barazimin kundrejt nje grupi te njohur vlerash mund te perdorim nje kusht ‘switch’. Per shembull :

[ dayNum , d a y S t r i n g ] = weekday ( date , ’ l o n g ’ , ’en_US ’ ) ; switch dayString c a s e ’ Hënë ’ d i s p ( ’ S t a r t o f the work week ’ ) c a s e ’ Martë ’ d i s p ( ’Day 2 ’ )

49

c a s e ’ Mërkurë ’ d i s p ( ’Day 3 ’ ) c a s e ’ Enjte ’ d i s p ( ’Day 4 ’ ) c a s e ’ Premte ’ d i s p ( ’ Last day o f the work week ’ ) otherwise d i s p ( ’ Weekend ! ’ ) end

Pë r të dy kushtet "if"dhe "switch", MATLAB-i ekzekuton kodin qe i korrespondon kushtit te pare te vë rtete dhe me pas del nga blloku i kodit. Çdo deklarate e kushtezuar kë rkon jalë n kyç ‘end’ ne fund.

Ne pë rgjithë si, kur keni shume mundë si te dallueshme, vlera te njohura, kushtet ‘switch’ janë me te lehta per tu lexuar se kushtet ‘if’. Megjithatë nuk mund te testohet per pabarazi ndermjet ‘switch’ dhe vlerave te rastit. Per shembull ju nuk mund te implementoni kete tip kushti me ane te nje ‘switch’

yourNumber = i n p u t ( ’ Enter a number : ’ ) ; i f yourNumber < 0 d i s p ( ’ Negative ’ ) e l s e i f yourNumber > 0 disp ( ’ Positive ’ ) else d i s p ( ’ Zero ’ ) end

5.1 Krahasimet e grupeve ne deklaratat e kushtëzuara Ka shume rendë si të kuptohet se si operatoret relative dhe deklaratat ‘if’ punojnë me matricat. Kur ju doni te kontrolloni pë r barazimin e dy variablave, ju mund te perdorni : if A == B, ... Ky eshte kod i vlefshem ne MATLAB dhe ben ate qe presim kur A dhe B janë numra skalarë . Por kur kemi te bejme me matrica, A==B nuk teston në se janë apo jo te barabarta, por teston se ne cpjese jane te barabarta dhe rezultati do te jete nje matrice tjeter me vlera 0 dhe 1, qe tregon kur elementet jane te barabarte dhe kur jo duke i krahasuar ata nje per nje. (Nese matricat nuk kane te njejtat permasa, atehere A==B eshte gabim.)

A = magic ( 4 ) ; B = A; B( 1 , 1 ) = 0 ; A == B ans = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

50

1 1 1 1

Më nyra e duhur per te kontrolluar barazine ndermjet dy variablave eshte duke perdorur funksionin e barazise :

i f i s e q u a l (A, B) , . . .

‘isequal’ kthen nje vlere logjike skalare 1 (e vë rtete) ose 0 (false), në vend të një matrice, si shprehja qe do tevleresohet nga funksioni. Duke pë rdorur matricat A dhe B nga shembulli me sipë r, ju merrni :

i s e q u a l (A, B) ans = 0

Kë tu jepet një tjetë r shembull per te theksuar ketë pike. Në qoftë se A dhe B janë skalarë , program i më poshtë m nuk do te arrij kurrë ne ‘situaten e papritur’. Por per shumicë n e cifteve te matricave, perfshire ketu edhe “katrorin magjik” me kolona te shkembyera, asnje nga kushtet e matricave A>B, A<B, A==B nuk ë shtë i vë rtete per te gjithë elementet dhe ne ketë më nyre ekzekutohet ‘else-i’ tjetë r i radhë s:

if A > B ’ greater ’ elseif A < B ’ less ’ e l s e i f A == B ’ equal ’ else e r r o r ( ’ Unexpected s i t u a t i o n ’ ) end

Disa funksione jane te dobishme per te reduktuar rezultatin e krahasimit te matricave me skalaret, si psh : isequal isempty all any

5.2 Kontrolli ciklik — for, while, continue, break Ky seksion mbulon ato funksione te MATLAB-it qe sigurojne kontroll mbi ciklet e programit.

51

5.2.1 Cikli for Cikli for perserit nje grup deklaratash ikse, nje numet te caktuar heresh. Vendosja e deklarates ‘end’ ne fund percakton mbylljen e ciklit:

for n = 3:32 r ( n ) = rank ( magic ( n ) ) ; end r

Pikepresja ne fund te cdo rrjeshti shty perseritjen dhe ‘r’ ne fund te ciklit tregon rezultatin inal.

f o r i = 1 :m for j = 1:n H( i , j ) = 1/( i+j ) ; end end

5.2.2 Cikli while Cikli while perfaqeson nje grup deklaratash ne nje numer te pafundem heresh qe kontrollojne nje kusht logjik. Me poshte paraqitet nje program i plote ku ilustrohen kushtet while, if, else dhe end, qe ndajne nje interval pergjysem per te gjetur nje zero te polinomit :

a = 0; f a = −I n f ; b = 3; fb = Inf ; w h i l e b−a > eps *b x = ( a+b ) / 2 ; f x = x^3−2*x−5; s i g n ( f x ) == s i g n ( f a ) a = x; fa = fx ; else b = x; fb = fx ; end end x

Rezultati do jete nje rrenje e polinomit x3 –2 ∗ x − 5, domethene

x = 2 .09455148154233

52

5.2.3 Komanda continue Deklarata continue vazhdon kontrollin ne iteracionin tjeter te ciklit, ose nese shfaqet brenda ciklit atehere i kapercen deklaratat e tjera te ciklit dhe kalon ne iteracionin pasardhes. E njejta gje vlen edhe nese kemi cikle te mbivendosura. Pra ekzekutimi vazhdon ne illim te ciklit ku deklarata continue ndodhet. Shembulli i meposhtem tregon nje cikel qe numeron rreshtat e kodeve ne nje skedar magjik.m, duke kapercyer rrjeshtat e bardhe dhe komentet. Deklarata continue perdoret per te kaluar ne rreshtin pasardhes te skedarit pa e rritur numrin e rreshtave nese ndeshet nje rresht i bardhe ose nje koment:

f i d = fopen ( ’ magic.m ’ , ’ r ’ ) ; count = 0 ; while ¬f e o f ( f i d ) line = fgetl ( fid ) ; i f isempty ( l i n e ) | | strncmp ( l i n e , ’%’ , 1 ) | | ¬i s c h a r ( l i n e ) continue end count = count + 1 ; end f p r i n t f ( ’%d l i n e s \n ’ , count ) ; fclose ( fid ) ;

5.2.4 Komanda break Deklarata ‘break’ lejon daljen nga cikli for ose while. Ne ciklet e mbivendosur me ane te kesaj deklarate mund te dalesh vetem nga cikli me i brendshem. Me poshte tregohet nje shembull :

a = 0 ; f a = −I n f ; b = 3; fb = Inf ; w h i l e b−a > eps *b x = ( a+b ) / 2 ; f x = x^3−2*x−5; i f f x == 0 break e l s e i f s i g n ( f x ) == s i g n ( f a ) a = x ; fa = fx ; else b = x ; fb = fx ; end end x

53

5.3 Kontrolli i gabimeve – try, catch Ky seksion mbulon ato funksione te MATLAB-it qe sigurojne kontrollin e trajtimit te gabimeve.

5.3.1 Komanda try,catch Forma e pergjithshme e nje deklarate try-catch eshte si me poshte:

try statement ... statement ca tch exceptObj statement ... statement end

Deklaratat ne bllokun ‘try’ midis ‘try’ dhe ‘catch’ ekzekutohen sic do pjese tjeter e kodit te programit. Nese ndodh ndonje gabim gjate seksionit ‘try’ atehere do te ekzekutohen deklaratat midis ‘catch’ dhe ‘end’. Nese ndodh nje gabim midis ‘catch’ dhe ‘end’ atehere MATLAB-i perfundon ekzekutimin vetem nese nuk ka ndonje sekuence pasardhese ‘try-catch’.

5.3.2 Perfundimi i programit – return Ky seksion mbulon ato funksione te MATLAB-it qe te lejojne perfundimin e programit perpara se ai te perfundoje vete. return Kjo deklarate perfundon sekuencen aktuale te komandave duke rikthyer kontrollin ne funksionin qe eshte thirrur ne illim te programit ose ne tastiere. Futja ne kod e nje deklarate ‘return’ sherben per te forcuar perfundimin e programit duke e transferuar kontrollin ne funksionin thirres.

5.4 Te dhena te tjera te strukturave Ne kete kapitull do te mesoni rreth : • Grupeve multidimensionale • Grupeve qelize • Karakteret dhe tekstet • Strukturat

54

5.4.1 Grupet multidimensionale Grupet multidimensionale ne ambjentin e MATLAB-it jane grupe me me shume se 2 kalime. Nje menyre e krijimit te tyre eshte duke thirrur zerot, njeshat, ose numra te rastesishem me me shume se 2 argumente. Per shembull :

R = randn ( 3 , 4 , 5 ) ;

krijon nje grup me 3 me 4 me 5, ne total 3*4*5=60 elemente te rastit te shperndare normalisht.

Nje grup 3-dimensional mund te perfaqesoje te dhena izike 3-dimensionale, te tregoje temperaturen ne nje dhome. Ose mund te perfaqesoje nje sekuenece matricash, A(k), ose nje model matrice te varesise kohore, A(t). Ne kete rast, elementi (i,j) i matrices k ose t, eshte i percaktuar nga A(i,j,k). MATLAB-i dhe versioni DuĚ&#x2C6; rer i katrorit magjik me njesi 4 ndryshojne nga shkembimi i dy kolonave. Duke shkembyer kolonat mund te krijohen shume lloje te katroreve magjike. Deklarata :

p = perms ( 1 : 4 ) ;

gjeneron 4!=24 nderrimet nga 1:4. Nderrimi ne matricen k eshte rreshti p(k,:). Me pas

A = magic ( 4 ) ; M = zeros (4 ,4 ,24) ; for k = 1:24 M( : , : , k ) = A( : , p ( k , : ) ) ; end

ruan sekuencen e 24 katroreve magjike ne nje grupim 3-dimensional, M. Permasat e M-se jane :

s i z e (M) ans = 4 4 24

+++++++++++++++++++++++++++FIGURE+++++++++++++++++++++++++++++

Deklarata :

sum(M, d )

llogarit shumen ne varesi te d-kalimeve. Pra shuma sum(M,1) eshte nje grup me 1 me 4 me 24 qe permban 24 kopje te vektorit rresht [ 34 34 34 34 ] dhe shuma sum(M,2) 55

eshte nje grup me 4 me 1 me 24 qe permban 24 kopje te vektorit kolone

34 34 34 34

Si perfundim, shuma

S = sum(M, 3 )

shton 24 matricat ne sekuence. Rezultati ka permasa 4 me 4 me 1, dhe per kete duket si nje grup:

S = 204 204 204 204

204 204 204 204

204 204 204 204

204 204 204 204

5.4.2 Grupet qelize Ne ambjentin e MATLAB-it jane grupe multidimensionale elementet e te cilave jane kopje te grupeve te tjera. Nje grup qelize me matrica boshe mund te ndertohet me funksionin qelize. Por shpesh krijohen duke bashkangjitur nje shumellojshmeri gjerash ne klllapa gjarperushe . Keto kllapa perdoren edhe per te aksesuar ne permbajtjen e qelizave te ndryshme. Per shembull

C = {A sum(A) prod ( prod (A) ) }

prodhon nje qelize 1 me 3. 3 qelizat permbajne katrorin magjik, vektorin rresht te kolones shume dhe produktet e te gjitha elementeve te tij. Kur shfaqet C, ne shohim

C= [ 4 x4 double ]

[ 1 x4 double ]

[20922789888000]

Kjo ndodh sepse 2 qelizat e para jane shume te medha per tu printuar ne kete hapesire te limituar, por qeliza e trete permban vetem nje numer â&#x20AC;&#x2122;16!â&#x20AC;&#x2122;, pra ka hapesire per ta printuar ate. Duhen pasur parasysh dy fakte te rendesishme. Fillimisht per te ri ituar permbajtjen e njeres prej qelizave duhen perdorur kllapat. Per shembull, C1 sjell katrorin magjik dhe C3 sjell 16!. Se dyti qelizat permbajne kopje te grupeve te tjera dhe nuk shenojne ne ato grupe. Nese ndryshoni A asgje sdo ti ndodhi C. Mund te perdoren 56

grupimet 3-dimensionale per te ruajtur nje sekuence matricash me te njejtat permasa.

Grupet qelize mund te perdoren edhe per te ruajtur sekuenca matricash me permasa te ndryshme. Per shembull :

M = c e l l (8 ,1) ; for n = 1:8 M{n} = magic ( n ) ; end M

prodhon nje sekuence katroresh magjike me renditje te ndryshme

M [ [ [ [ [ [ [ [

= 1] 2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8

double ] double ] double ] double ] double ] double ] double ]

+++++++++++++++++++++++++++++++FIGURE+++++++++++++++++++++++++

Nese provojme te marrim katrorin magjik 4*4 atehere perdorim M(4) dhe kemi

M= [ ] [ ] [ ] [ 4 x4 double ] [ ] [ ] [ ] [ ]

5.4.3 Karakteret dhe tekstet Nese ne MATLAB fusni nje tekst duke perdorur nje shprehje te vetme, per shembull

s= â&#x20AC;&#x2DC;â&#x20AC;&#x2122; H e l l o

57

rezultati nuk do jete i njejte me matricat apo grupet qe jemi marre deri tani. Ne kete rast kemi te bejme me nje karakter 1 nga 5. Karakteret ruhen si numra por jo ne formatin e numrave me presje. Deklarata

a=double ( s )

e konverton grupin e karaktereve ne nje matrice numerike qe permban perfaqesime nga kodi ASCII per cdo karakter. Rezultati do jete

a= 72

101

108

108

111

Deklarata s=char(a)kthen konvertimin.

Konvertimi i numrave ne karaktere ben te mundur hetimin e shkrimeve te ndryshme ne kompjuter. Karakteret e printueshme perfaqesohen nga numra te plote nga 32:127.

Keto numra jane rregulluar ne nje forme 6 me 16 me ane te :

F=r e s h a p e ( 3 2 : 1 2 7 , 1 6 , 6 ) ’ ;

Karakteret e printueshme ne kodin e zgjeruar ASCII perfaqesohen nga F+128. Nqs vendosen jalet

char (F) char (F+128)

dhe ndryshohet shkrimi qe do perdoret nga Command Window. Zgjidhni Preferences nga File menu dhe me pas shtyp Fonts per ti ndryshuar ato. Vargjet me kllapa katrore bejne bashkimin e variablave tekst ne nje string me te madh, si psh:

h=[ s , ‘’world ]

bashkon stringjet horizontalisht dhe procedon :

h= H e l l o world

Deklarata

v=[ s ; ‘’world ]

i bashkon stringjet vertikalisht si me poshte 58

v= Hello world

Vini re qe te dyja jalet kane te njejten gjatesi. Nese duam te manipulojme tekste qe kane madhesi te ndryshme atehere mund ta bejme kete ne dy menyra : nje grup karakteresh te mbushur ose nje grup qelizash me stringje. Kur krijohet nje grup kakakteresh duhet qe cdo rresht te kete te njejten gjatesi. Kjo mund te behet duke i shtuar hapesiar rreshtave me te shkurter. Funksioni ‘char’ e kryen kete mbushje per ju, per shembull :

S=char‘ ( ’A‘ , ’ r o l l i n g ‘ , ’stone ‘ , ’ g a t h e r s ‘ , ’momentum. )

dhe kemi krijim e nje grupi karakteresh 5 me nga 9 :

S = A rolling stone gathers momentum.

Ne te njejten menyre mund edhe ti ruajme ne qelizen grup, psh :

C‘={’A‘ ; ’ r o l l i n g ‘ ; ’ s t o n e ‘ ; ’ g a t h e r s ‘ ; ’momentum.}

do te krijohet nje qelize 5 me 1 qe nuk kerkon mbushje pasi cdo rresht mund te kete gjatesi te ndryshme:

C = ’A ’ ’ rolling ’ ’ stone ’ ’ gathers ’ ’ momentum. ’

Mund te konvertojme nje grup karakteresh te mbushura ne nje qelize karakteresh me stringje me ane te

C=c e l l s t r ( S )

dhe procesi i kundert

S=char (C)

59

5.4.4 Strukturat Strukturat jane grupime multidimensionale ku elementet e te cilave aksesohen nga dizajnuesit e fushave te teksteve, psh :

S.name‘=Ed ’Plum ; S . s c o r e =83; S . g r a d e ‘=B’+

krijon nje strukture skalare me 3 fusha :

S= name‘ : Ed ’Plum score :83 grade‘ :B’+

Si cdo gje tjeter ne ambjentin e MATLAB-it edhe strukturat jane grupime, pra ju mund te fusni elemente shtese ne to. Ne kete rast cdo element i grupit eshte nje strukture me disa fusha, te cilat mund te shtohen nje e nga nje :

S ( 2 ) .name = ’ Toni M i l l e r ’ ; S(2) .score = 91; S ( 2 ) . g r a d e = ’A− ’ ;

ose nje element mund te shtohet ne nje jali te vetme :

S ( 3 ) = s t r u c t ( ’ name ’ , ’ J e r r y Garcia ’ , . . . ’ s c o r e ’ , 7 0 , ’ grade ’ , ’C ’ )

Tani struktura eshte mjaftueshem e madhe saqe vetem shume e saj printohet :

S = 1x3 me f u s h a t : name score

grade Ka disa menyre te ndryshme per te mbledhur fusha te ndryshme ne nje grup ne MATLAB. Kryesisht bazohen ne simbolin e nje liste te ndare me presje, psh nqs shkruani : S.score eshte njelloj sikur te shkruani :

S(1) .score , S(2) .score , S(3) .score

qe eshte nje liste e ndare me presje. Nqs ju mbyllni ne kllapa katrore shprehjen qe gjeneron listen atehere MATLAB-i do te ruaje cdo detaj nga lista ne grup. MATLAB-i 60

krijon nje vektor rresht numerik qe permban fushen e cdo elementi te grupit.

scores = [ S.score ] scores = 83 91 70 avg_score = sum( s c o r e s ) / l e n g t h ( s c o r e s ) avg_score = 81 . 3 3 3 3

Per te krijuar grupime me karaktere nga nje fushe tekst, psh emer, duhet te therritet funksioni char ne listen e ndare me presje qe prodhohet nga S.name :

names = char ( S.name ) names = Ed Plum Toni M i l l e r J e r r y Garcia

Njelloj mund te krijohet edhe qeliza grup duke perdorur kllapat gjarperushe pas fushes emer duke i bashkangjitur listen e gjeneruar :

names = {S.name} names = ’Ed Plum ’ ’ Toni M i l l e r ’ ’ J e r r y Garcia ’

Per te percaktuar fushat e cdo elementi te structures per ten dare variablat jashte structures, speci ikoni cdo output ne te majte te shenjes se barazimit, duke i vendosur ato mes kllapava katrore :

[ N1 N2 N3 ] = S.name N1 = Ed Plum N2 = Toni M i l l e r N3 = J e r r y Garcia

5.4.5 Fushat dinamike te emrave Menyra me e shpeshte e aksesimit te te dhenave ne structure eshte duke speciikuar emrin e fushes qe sherben si reference. Porn je menyre tjeter aksesimi eshte edhe perdorimi i fushave me emra dinamike. Keto emra e shprehin fushen si shprehje variablash qe MATLAB-i e ekzekuton

61

62

Kapitulli 6

Analiza e të dhënave Analizimi i të dhë nave ka disa komponentë standard: • Paraproçesimi – Shqyrton vlerat e veçuara dhe vlerat e munguara dhe të dhë nat e buta pë r të identi ikuar modelet e mundshme.

• Permbledhja –Llogarit statistikat bazë pë r të pë rshkruar vendndodhjen e pë rgjithshme, shkallë n dhe formë n e të dhë nave.

• Vizualizimi – Hedh në diagram të dhë nat pë r të identi ikuar strukturë n dhe prirjen.

• Modelimi – I jep prirjes së të dhë nave një pë rshkrim më të plotë , të pë rshtatshë m pë r parashikimin e vlerave të reja.

Analizimi i të dhë nave operon mes kë tyre komponentë ve duke pasur si parim dy që llime bazë :.

1. Pë rshkrimi i strukturave të të dhë nave me modele të thjeshta që shkojnë drejt parashikimeve të sakata.

2. Të kuptojë lidhjen midis variablave që të cojnë te modeli.

Ne në detyrë n tonë do të pë rqë ndrohemi te preprocesimi i të dhë nave, pë rmbledhja e të dhë nave dhe vizualizimi i tyre.

6.1 Proçesimi i të dhënave 6.1.1 Ngarkimi i të dhënave Fillojmë duke ngarkuar dokumentin count.dat në Matlab:

>> l o a d c o u n t . d a t

Tabela 24 me 3 ka të dhë na pë r tra ikun pë r cdo orë (rreshtat) në tre kryqë zime (kolonat) pë r një ditë .

63

6.1.2 Të dhënat e munguara Pë r të shprehur të dhë nat e munguara në matlab pë rdoret vlera NaN (Not a Number). Vlerat NaN bë jnë të mundur që variablat me të dhë na të munguara të ruajnë strukturë n e tyre - në kë të rast vektori 24 me 1. E shohim kë të konkretisht në Matlab.

Kontrollojmë të dhë nat në kryqë zimin e tretë pë r vlera NaN duke pë rdorur fuksionin isnan:

c3 = count ( : , 3 ) ; % Të dhënat në kryqëzimin 3 c3NaNCount = sum( i s n a n ( c3 ) ) c3NaNCount = 0

Isnan jep një vektor llogjik të një jtë me c3 (të dhë nat në kryqë zimin e tretë ). Pë rfundimi do të jetë 1 pë r prezencë n e vlerave NaN dhe 0 pë r mungesë n e vlerave NaN. Në rastin tonë , pë rfundimi 0 tregon se nuk ka vlera NaN.

6.1.3 Të dhënat e veçuara, kontradiktore Janë ato lloj të dhë nash që janë diametralisht të ndryshme nga struktura e të dhë nave të tjera. Ato mund të kenë ardhur si pasojë e gabimeve në matje ose ato mund të pë rfaqë sojnë veçori të rë ndë sishme të të dhë nave. Identi ikimi dhe vendimi se cfarë duhet bë rë me kë to të dhë na, varet nga si i kuptojmë ne kë to të dhë na dhe burimin e tyre.

Një metodë e zakonshme pë r identi ikimin e kë tyre të dhë nave ë shtë të shikosh pë r vlera më të më dha se një numë r i caktuar i devijimit standard σ nga mesatarja µ. Kodi i më poshtë m jep diagramë n e një histogrami të të dhë nave në kryqë zimin e tretë bashkë me vijat në µ dhe µ + n σ, pë r n = 1, 2:

bin_counts = h i s t ( c3 ) ; % Histogram bin counts N = max( bin_counts ) ; % Maksimum bin count mu3 = mean ( c3 ) ; % Mesatarja e t ë dhënave sigma3 = s t d ( c3 ) ; % D e v i j i m i standard i t ë dhënave h i s t ( c3 ) % P l o t i m i i h i s t o g r a m i t hold on p l o t ( [ mu3 mu3 ] , [ 0 N] , ’−− ’ ) % Mesatarja X = repmat (mu3+(1:2) * sigma3 , 2 , 1 ) ; Y = repmat ( [ 0 ;N] , 1 , 2 ) ; p l o t (X, Y, ’ g ’ , ’ LineWidth ’ , 2 ) % D e v i j i m i standard l e g e n d ( ’ Të dhënat ’ , ’ Mesatarja ’ , ’ D.Standard ’ ) hold o f f

Diagrama tregon se disa të dhë na janë më shumë se devijimi standard. Në se ne i identi ikojmë ato si gabime, i zë vendë sojmë me vlera NAN si më poshtë :

64

Figura 6.1: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear. o u t l i e r s = ( c3 − mu3) > 2* sigma3 ; c3m = c3 ; % Kopjon c3 në c3m c3m( o u t l i e r s ) = NaN; % Shton v l e r a t NaN

6.1.4 Sheshimi dhe iltrimi Plotimi i të dhë nave i kryqezimit 3 pë r një seri kohe, me vlerat NaN të hequra, tregohet me poshtë : Vlerat NaN në orë n 20 shfaqen si boshllë k në diagram. Ky reagim i vlerave NaN ë shtë tipik pë r fuksionet plotuese të Matlab-it. Ka raste kur ne duam të zbusim të dhë nat që të marim veçoritë kryesore para se të ndë rtojmë një model. Zbutja (sheshimi) i të dhë nave bë het mbi bazë n e dy supozimeve: • Lidhja mes parashikuesit (koha) dhe reagimit (volumi i tra ikut) ë shtë e sheshtë .

• Algoritmi i sheshimit jep vlera që janë gjykim më i mirë i vlerave që prisnim sepse ë shtë reduktuar zhurma.

Tek fuksioni i më sipë rm aplikojmë një sheshues të thjeshtë mesatar duke pë rdorur fuksionin convn në Matlab:

span = 3 ; % Madhësia e m e s a t a r i z i m i t window = ones ( span , 1 ) / span ; smoothed_c3m = convn (c3m , window , ’ same ’ ) ;

65

Figura 6.2: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear. h = p l o t ( smoothed_c3m , ’ ro− ’ ) ; l e g e n d ( ’ Të dhënat ’ , ’ Të dhënat e zbutura ’ )

Shtrirja e sheshimit kontrollohet në pë rmjet variablit span. Llogaritja e mesatarizimit jep vlerat NaN në se dritarja e mesatarizimit i pë rfshin ato, gjë që shkakton rritjen e boshllë kut në të dhë nat e sheshuara.

Pë r sheshimin e të dhë nave pë rdoret edhe një fuksion tjeter që quhet ilter:

smoothed2_c3m = f i l t e r ( window , 1 , c3m) ; delete (h) p l o t ( smoothed2_c3m , ’ ro− ’ ) ;

Sic vihet re të dhë nat e zbutura janë të zhvendosura në krahasim me diagramë n e parë . Kjo ndosh sepse fuksioni convn me të një jtin parametë r jep si rezultat pjesë n që ndrore të lakores, ndë rsa funksioni ilter jep si rezultat pjesë n illestare të lakores.

6.2 Përmbledhja e të dhënave 6.2.1 Matjet e pozicionit Pë rmbledhin pozicionin e të dhë nave duke gjetur një vlerë “tipike”. Pë rmasat e zakonshme të pozicionit llogariten nga fuksionet mean, median dhe mode:

load count.dat

66

Figura 6.3: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear.

Figura 6.4: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear. x1 = mean ( count ) x1 = 32 . 0 0 0 0 46 . 5 4 1 7 x2 = median ( count ) x2 = 23 . 5 0 0 0 36 . 0 0 0 0

65 . 5 8 3 3

39 . 0 0 0 0 ...

67

x3 = mode ( count ) x3 = 11 9 9

Ashu si të gjitha fuksionet statistikore, fuksionet e më sipë rme të Matlab-it pë rbledhin të dhë nat pë rmes vrojtimit (rreshtat) ndë rkohë që ruan variablat (kollonat). Fuksionet llogarisin pozicionin e të dhë nave në secilin kryqë zim me një thirrje të vetme.

6.2.2 Matjet e shkallës Ka shumë më nyra pë r të matur shkallë n ose “shpë rndarjen” e të dhë nave. Fuksionet max, min, std, dhe var të Matlab-it, llogarisin disa matje që pë rdoren zakonisht:

dx1 = max( count )−min ( count ) dx1 = 107 136 250 dx2 = s t d ( count ) dx2 = 25 . 3 7 0 3 41 . 4 0 5 7 68 . 0 2 8 1 dx3 = var ( count ) dx3 = 1 . 0 e +003 * 0 .6437 1 .7144 4 .6278

6.2.3 Forma e shpërndarjes Forma e shpë rndarjes ë shte më e vë shtirë të pë rmblidhet, krahasuar me pozicionin ose shkallë n. Fuksioni hist në Matlab jep diagramë n e një histogrami që na siguron një pë rmbledhje me igurë :

figure h i s t ( count ) l e g e n d ( ’ Kryqëzimi 1 ’ , . . . ’ Kryqëzimi 2 ’ , . . . ’ Kryqëzimi 3 ’ )

Modelet parametrike japin një pë rmbledhje analitike të formë s së shpë rndarjes.

Shpë rndarjet eksponenciale, me parametë r mu të dhë në nga mesatarja e të dhë nave, janë një zgjedhje e mirë pë r të dhë nat e tra ikut:

c1 = count ( : , 1 ) ; % Të dhënat në kryqëzimin 1 [ bin_counts , b i n _ l o c a t i o n s ] = h i s t ( c1 ) ; bin_width = b i n _ l o c a t i o n s ( 2 ) − b i n _ l o c a t i o n s ( 1 ) ; h i s t _ a r e a = ( bin_width ) *(sum( bin_counts ) ) ;

68

Figura 6.5: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear. figure h i s t ( c1 ) hold on mu1 = mean ( c1 ) ; exp_pdf = @( t ) (1/mu1) * exp(− t /mu1) ; % I n t e g r o n në 1 t = 0:150; y = exp_pdf ( t ) ; p l o t ( t , ( h i s t _ a r e a ) *y , ’ r ’ , ’ LineWidth ’ , 2 ) x l a b e l ‘ ( ’Koha ) l e g e n d ( ’ Shpërndarja ’ , ’ P ë r s h t a t j a e k s p o n e n c i a l e ’ )

6.3 Paraqitja vizuale e të dhënave Ne mund të pë rdorim shumë tipe gra ikë sh në Matlab pë r të vizualizuar ose thë në ndryshe pë r të paraqitur në më nyrë vizuale strukturat e të dhë nave dhe prirjet e tyre.

Diagramat shpë rndarë se që do të pë rshkruajmë konkretisht, na ndihmojnë të paraqesim në më nyrë vizuale lidhjet që kanë të dhë nat e tra ikut në kryqë zime të ndryshme mes tyre.

6.3.1 Diagramat shpërndarëse 2-D Më poshtë , me anë të fuksionit scatter, po paraqesim diagramë n shpë rndarë se 2-D të lidhjeve të volumit të tra ikut mes dy kryqë zimeve të parë : 69

Figura 6.6: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear.

load count.dat c1 = count ( : , 1 ) ; % Të dhënat në kryqëzimin 1 c2 = count ( : , 2 ) ; % Të dhënat në kryqëzimin 2 figure s c a t t e r ( c1 , c2 , ’ f i l l e d ’ ) x l a b e l ( ’ Kryqëzimi 1 ’ ) y l a b e l ( ’ Kryqëzimi 2 ’ )

Kovarianca, që llogaritet nga funksioni cov, mat fortë sinë e lidhjes lineare mes dy variablave:

C12 = cov ( [ c1 c2 ] ) C12 = 1 . 0 e +003 * 0 .6437 0 .9802 0 .9802 1 .7144

Rezultatet paraqiten në një matricë katrore simetrike, me kovariancë të variablave të i-të dhe të j-të në pozicionin e (i, j)-të . Elementi i i-të diagonal ë shtë varianca e variablit të i-të .

Kovariancat kanë një disavantazh: varen nga një sia e matjes së variablave të vecantë . Ne mund të pjestojmë covariancë n më devijimin standard të variablave pë r të normalizuar vlerat mes +1 dhe -1. Fuksioni corrocoef llogarit koe içientin e korrelacionit: 70

R12 = c o r r c o e f ( [ c1 c2 ] ) R12 = 1 .0000 0 .9331 0 .9331 1 .0000 r12 = R12 ( 1 , 2 ) % K o e f i ç i e n t i i k o r r e l a c i o n i t r12 = 0 .9331 r 1 2 s q = r12 ^2 % K o e f i ç i e n t i i vendosmërisë r12sq = 0 .8707

Meqë në se ë shtë i normalizuar, vlera e koe içientit të korrelacionit ë shtë pothuajse sa vlerat e çifteve të tjera te kryqë zimeve. Katrori i tij ë shtë koe içienti i vendosmë risë kuptimin e të cilit nuk do ta shpjegojmë meqë në se nuk ë shtë temë e kë saj detyre.

6.3.2 Diagramat shpërndarëse 3-D Një diagramë shpë rndarë se 3-D tregon lidhjen ndë rmjet volumeve të tra ikut pë r të tre kryqë zimet. Pë r kë të që llim pë rdoret fuksioni scatter3:

figure s c a t t e r 3 ( c1 , c2 , c3 , ’ f i l l e d ’ ) x l a b e l ( ’ Kryqëzimi 1 ’ ) y l a b e l ( ’ Kryqëzimi 2 ’ ) z l a b e l ( ’ Kryqëzimi 3 ’ )

Figura 6.7: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear.

71

Tani të masim fortë sinë e lidhjes lineare mes variablave në diagramin 3-D. Kjo bë het duke pë rdorur vlerat eigen të matricë s së kovariancë s me anë të fuksionit eig:

v a r s = e i g ( cov ( [ c1 c2 c3 ] ) ) vars = 1 . 0 e +003 * 0 .0442 0 .1118 6 .8300 e x p l a i n e d = max( v a r s ) /sum( v a r s ) explained = 0 .9777

Vlerat eigen janë variancat pë rgjat komponentë ve principal të të dhë nave. Variabla explained mat raportin e variacionit të shpjeguar nga komponenti i parë principal pë rgjatë aksit të të dhë nave.

6.3.3 Tabelat e diagramave shpërndarëse Pë rdorim fuksionin plotmatrix pë r të bë rë krahasimin e lidhjeve mes disa çifte kryqë zimesh:

figure p l o t m a t r i x ( count )

Vlera në pozicionin (i,j) të vektorit ë shtë një vendosje e variablit i në boshtin vertikal dhe variablit j në boshtin horizontal. Vlera në pozicionin diagonal të i-së ë shtë një histogramë e variablit të i-së . Pë r me shumë informacion në shfaqjen statistikore, shihni “Plotting Data” dhe “Interactive Data Exploration”.Diagrama në pozicionin e (i, j)-të ë shtë një shpë rhapje me variablë n e i-të në aksin vertikal dhe variablë n e j-të në aksin horizontal.

6.3.4 Shqyrtimi i të dhënave në gra ikë Duke pë rdorur miun (mouse), ne mund të eksplorojmë pothuajse çdo gra ik në Matlab me dy mjete nga Figure Toolbar: • Data Cursor • Data Brushing Secila nga kë to mjete na jep mundë sinë te futemi në modelin eksplorues, në të cilin ne mund të selektojmë pikat e të dhë nave në gra ik pë r të identi ikuar vlerat e tyre dhe të krijojmë variabla workspace pë r të pë rfshirë observime të vecanta.

Pë r shë mbull, bë jmë një diagram shpë rndarë s të kolonave 1 dhe 3 të count.dat: 72

Figura 6.8: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear.

load count.dat s c a t t e r ( count ( : , 1 ) , count ( : , 3 ) )

Zgjedhim Data Cursor Tool dhe klikojmë pikë n më në të dhjathtë të të dhë nave. Aty shfaqen të dhë nat e vlerave x dhe y të asaj pike.

Tip i të dhë nave shfaq koordinatat e pikë s së zgjedhur. Ju mund të merrni tipe të dhë nash nga një ra pikë në tjetrë n ose mund të shtoni tipet e të dhë nave duke klikuar me të djathtë n një tip të dhë nash dhe duke pë rdorur context menu. Ju gjithashtu mund të rregulloni tekstin që tipi i të dhë nave shfaq duke pë rdorur kodin e MATLAB. Pë r më shumë informacion shihni kursorin datacursormode.

Data brushing ë shtë një veçori që na jep mundë sinë të theksojmë , të në nvizojmë një ose më shumë të dhë na në gra ik duke i klikuar ose të rhequr (dragging). Pë r të hyrë në data brushing, klikojmë mbi ikonë n e sajë dhe një list ngjyrash do të na shfaqet. Zgjedhim një nga ngjyrat pë r të theksuar pikat që dë shirojmë . Vijat e ndë rprera vertikale dhe horizontale tregojnë devijimet standarde të mesatares duke ndjekur kë të rrugë : Tools > Data Statistics.

Më pas ne mund të ndë rmarrim veprimet e më poshtme pë r to: • Ti fshijmë .

73

Figura 6.9: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear.

Figura 6.10: Paraqitja gra ike e metodë s së interpolimit linear.

• Ti zë vendë sojmë me vlera konstante.

• Ti zë vendë sojmë me vlera NaN. 74

• Ti kopjojmë në Command Window.

• Ti ruajmë si variabla të workspace.

Pë r shembull, pë rdorim menunë e Data Brush ose opsionin Tools > Brushing > Create new variable, pë r të krijuar një variabë l të ri të quajtur count13high. Variabli i ri rezulton si më poshtë në workspace:

count13high count13high = 61 186 75 180 114 257

Pë r një listë të fuksioneve pë r analizimin e të dhë nave, në Matlab shkurani:

h e l p datafun

75

76

Kapitulli 7

Ushtrime dhe shembuj Problemi 1 Supozoni qe ekzekutoni eksperimentin e lavjerrë sit te Foucault ne polin e veriut, ashtu qe drejtimi pingul i tij te pë rputhet me boshtin rrotullues të tokë s. Atë herë plani I lë kundjeve te tij rrotullohet me shpejtë sinë kë ndore te tokë s (15o pë r ore). Te bë ni një program me te cilë n te paraqisni gra ikisht orbitë n qe pë rshkon maja e lavjerrë sit sipas sistemit rrotullues te tokë s dhe te tregohet rrotullimi i planit te lë kundjeve.

Zgjidhje Siç ë shtë e njohur, fenomeni i brushimit te rrotullimit te planit te lë kundjeve te lavjerrë sit ndodh nga veprimi i forcë s Coriollis, e cila ë shtë vertikale me shpejtë sinë kë ndore ωe te tokë s. Magnituda e forcë s ë shtë e ngjashme me shpejtë sinë relative υˆσ te masë s m te lavjerrë sit dhe te shpejtë sisë kë ndore dhe sipas ekuacionit: Fˆc = −2mˆ ωe × υˆσ Forca Coriollis ka si pasoj pë rkuljen e orbitë s    ′  cos ωe t sin ωe t 0 x ˆ x ˆ    ′  yˆ  = − sin ωe t cos ωe t 0 yˆ zˆ′ 0 0 1 zˆ dhe      ′ x ˆ cos ωe t − sin ωe t 0 x ˆ      ′ yˆ =  sin ωe t cos ωe t 0 yˆ  zˆ 0 0 1 zˆ′ Duke supozuar që shmangja illestare A ë shtë në drejtimin pozitiv të aksit të x-ve, atë here në sistemin inercial vektori i pozicionit të pikë s materiale do të jetë : 77

r¯ = A cos(ωt)ˆ x Kurse vektori i pozicionit relativë tek sitemi do të jetë r¯r = A cos(ωt) cos(ωe t)ˆ x′ − A cos(ωt) sin(ωe t)ˆ y′

clear ; clc ; close all ; t e = in pu t ( ’ Te= ’ ) ; tp = in p ut ( ’Tp= ’ ) ; we = 2* p i / t e ; A = 8; w = 2* p i / tp ; dt = 0 . 0 1 ; d f = p i * dt / tp ; f = pi /4; i = 1; f o r t =0: dt : t e x ( i ) = A* c o s (w* t ) * c o s ( we* t ) ; y ( i ) = −A* c o s (w* t ) * s i n ( we* t ) ; i=i +1; end [ n ,m] = s i z e ( x ) ; f o r i =1:m plot (x (1: i ) ,y (1: i ) ) axis equal a x i s ([ −A−1 A+1 −A−1 A+1]) getframe ; end

Në iguren 7.1 paraqitet igura e trajektores të një lavjerë si mbi planin orizontal të rrotullimit . Trajektorja ka formen e një margarite. Gjatë lekundjeve lavjersi nuk merrë pjesë në rrotullimin e tokë s.

clear ; clc ; close all ; t e = in pu t ( ’ Te= ’ ) ; tp = in p ut ( ’Tp= ’ ) ; we A w dt df

= = = = =

2* p i / t e ; 8; 2* p i / tp ; 0 .01 ; p i * dt / tp ;

78

Figura 7.1: Trajektrore kur lavjerë si nuk mer pjesë në lekundje.

f = pi /4; i = 1; f o r t =0: dt : t e x ( i ) = (A*w/2) *( c o s ( (w−we) * t ) /(w−we ) + c o s ( (w+we) * t ) /(w+we) ) ; y ( i ) = (A*w/2) *( s i n ( (w−we) * t ) /(w−we ) − s i n ( (w+we) * t ) /(w+we) ) ; i=i +1; end [ n ,m] = s i z e ( x ) ; f o r i =1:m plot (x (1: i ) ,y (1: i ) ) axis equal xlabel ( ’x ’ ) ; ylabel ( ’y ’ ) ; a x i s ([ −A−1 A+1 −A−1 A+1]) getframe ; end

Në iguren 7.2 paraqitet igura e trajektores të një lavjerë si mbi planin orizontal të rrotullimit . Trajektorja ka formen e një ylli. Gjatë lekundjeve lavjersi merrë pjesë në rrotullimin e tokë s.

79

Figura 7.2: Trajektrore kur lavjerë si mer pjesë në lekundje.

Problemi 4 Një sistem tipik qe bë n lë kundje harmoni te thjeshte, ë shtë një trup i lidhur me një suste. Ne qofte se trupi zhvendoset me x nga pozicioni i ekuilibrimit, susta ushtron mbi te një force qe jepet nga ligji i Hook-ut: F⃗ = −k⃗x Shkruani një program qe zgjidh ekuacionin dhe krijoni gra iqet e nxitimit, shpejtë si dhe te energjisë . Kushtet illestare janë xo = 5, υo = 0

Zgjidhje Ekuacioni diferencial (1.7) ka zgjidhje analitike ai mund te zgjidhe duke skruar: F⃗ = −k⃗x ⇒ m⃗a = −k⃗x ⇒ m⃗x ¨ = −k⃗x ⇒ m⃗x ¨ + k⃗x = 0 (1.8) Zgjidhja jepen nga formula: x = xm cos(ωt + ϕ) (1.9) I një jti problem mund te zgjidhet edhe me metode numerike. Shume të rë ndë sishme pë r zgjidhjen e ekuacioneve diferencial janë kushtet illestare. Pë r rastin tonë 80

kushtet illestare janë x = 5dheυ = 0. Nga equacionin (1.7) mund te gjejmë forcë n qe vepron ne trup ne ketë pozicion. Nga ligjin i dyte te Njutonin mund te llogarisim nxitim qe ka ne ate moment trup: F = ma ⇒ a =

F m

(1.10) Ky nxitim do ndryshoj shpejtesine e trup per nje kohe te shkurter dt: a=

dυ ⇒ dυ = αdt dt

(1.11) Atë herë shpejtë sish illestare i shtohet edhe dυ dhe behet: υ = υo + dυ (1.12) Shpejtë sia e re do te ketë si pasoj dyshimin e pozicionin: υ=

dx ⇒ dx = υdt dt

(1.13) Kjo diference do ti shtohet pozicionin te më parshme x = xo + dx (1.14) Ne ketë distance mund te llogarisim një force te re dhe te illojmë një cikë l kalkulimesh nga ekuacioni (1.10) Zgjidhja bë hen nga programi me poshtë

clear all ; clc ; close all ; m = 1 ; %Kg dt = 0 . 0 0 5 ; %s s t e p s = 1 0 0 0 ; %samples t =0: dt : s t e p s * dt ; k = 2; %I n i t i a l C o n d i t i o n s x ( 1 ) =5; u ( 1 ) =0; f o r i =1: s t e p s F = −k*x ( i ) a ( i ) = F/m; du = a ( i ) * dt ; u ( i +1) = u ( i ) + du ;

81

Figura 7.3: Energjia Potenciale dhe Kinetike ne varesi të pozicionit dhe të kohë s dx = u ( i +1)* dt ; x ( i +1) = x ( i ) + dx ; end E_kin = ( 1 / 2 ) *m* u . ^ 2 ; % Energia k i n e t i k e E_pot = ( 1 / 2 ) *k* x . ^ 2 ; % Energia p o t e n c i a l e

Per të paraqitur në ekran gra iqet pë rdoret kodi i me poshtë .

figure subplot (2 ,1 ,1) ; p l o t ( x , E_kin , ’ r ’ ) ; x l a b e l ( ’ x [m] ’ ) y l a b e l ( ’E [ J ] ’ ) hold on p l o t ( x , E_pot ) ; hold o f f subplot (2 ,1 ,2) ; p l o t ( t , E_kin , ’ r ’ ) ; hold on p l o t ( t , E_pot ) ; xlabel ( ’ t [ s ] ’ ) y l a b e l ( ’E [ J ] ’ ) hold o f f

pas ekzekutimit të kodit me sipë r në ekran do shfaqet igura 7.3 Pë r gra iqet e shpejtë sise dhe të pozicionit kodi i duhur ë shtë . Pë r të shfaqur shumë 82

Figura 7.4: Pozicioni, shpejtë sia dhe nxitimi në varë si të kohë s gra iqe mbi ekran ë shtë pë rdorur komanda subplot().

figure subplot (3 ,1 ,1) ; plot ( t , x) xlabel ( ’ t [ s ] ’ ) y l a b e l ( ’ x [m] ’ ) subplot (3 ,1 ,2) ; plot ( t , u) xlabel ( ’ t [ s ] ’ ) y l a b e l ( ’ u [m/ 2 ] ’ ) subplot (3 ,1 ,3) ; plot ( t (1: steps ) ,a) xlabel ( ’ t [ s ] ’ ) y l a b e l ( ’ a [m/ s ^ 2 ] ’ )

pas ekzekutimit të kodit me sipë r në ekran do shfaqet igura 7.4

Problemi 5 Një pikë materiale që ë shtë lidhur me një sustë me konstante elastike k kryhen lekundje harmonike në n praninë e një force penguese që varet nga shpejtë sia që kjo pikë ka. Ndertoni ekuacion diferencial të problemit. Shkruani një program qe zgjidh 83

ekuacionin dhe krijoni gra iqet e nxitimit, shpejtë si dhe te energjisë . Kushtet illestare janë xo = 5, υo = 0

Zgjidhja Në pranine e një force ferkimi atë here ekuacioni diferencial që pë rshkron levizjen do të jetë F = −kx − bv Pë rdoret modeli që ë shtë shkruajtur dhe pë rpara duke bë re ndryshimet e duhura tek forca rezultante që ushtrohet mbi pikë n materiale.

clear all ; clc ; close all ; m = 1 ; %Kg dt = 0 . 0 5 ; %s s t e p s = 1 0 0 0 ; %samples t =0: dt : s t e p s * dt ; k = 2; b = 0 .1 ; %I n i t i a l C o n d i t i o n s x ( 1 ) =5; v ( 1 ) =0; f o r i =1: s t e p s F = −k*x ( i )−b*u ( i ) ; a ( i ) = F/m; dv = a ( i ) * dt ; v ( i +1) = v ( i ) + du ; dx = v ( i +1)* dt ; x ( i +1) = x ( i ) + dx ; end

pas ekzekutimit të kodit me sipë r në ekran do shfaqet igura 7.5

Problemi 6 Një pikë materiale që ë shtë lidhur me një sustë me konstante elastike k kryhen lekundje harmonike në n praninë e një force shtytë se që varet nga shpejtë sia që kjo pikë ka. Ndertoni ekuacion diferencial të problemit. Shkruani një program qe zgjidh ekuacionin dhe krijoni gra iqet e nxitimit, shpejtë si dhe te energjisë . Kushtet illestare janë xo = 5, υo = 0

Zgjidhja Në pranine e një force shtytë se atë here ekuacioni diferencial që pë rshkron levizjen do të jetë 84

Figura 7.5: Pozicioni, shpejtë sia dhe nxitimi në varë si të kohë s, në rastin kur kemi ferkim

F = −kx + bv Pë rdorim modelin që ë shtë shkruajtur dhe pë rpara duke bë re ndryshimet e duhura.

c l e a r a l l ; c l c ; c l o s e al , l ; m = 1 ; %Kg dt = 0 . 0 5 ; %s s t e p s = 1 0 0 0 ; %samples t =0: dt : s t e p s * dt ; \ b eg i n { f i g u r e } \ centering % R e q u i r e s \ usepackage { g r a p h i c x } \ i n c l u d e g r a p h i c s [ width = - ] { - } \ \ \ caption {-}\ l a b e l {-} \end{ f i g u r e } k = 2; b = −0 . 1 ; %I n i t i a l C o n d i t i o n s x ( 1 ) =5; v ( 1 ) =0; f o r i =1: s t e p s F = −k*x ( i )−b*u ( i ) ; a ( i ) = F/m; dv = a ( i ) * dt ;

85

Figura 7.6: Pozicioni, shpejtë sia dhe nxitimi në varë si të kohë s, në rastin kur kemi një force shtytë se v ( i +1) = v ( i ) + dv ; dx = v ( i +1)* dt ; x ( i +1) = x ( i ) + dx ; end

pas ekzekutimit të kodit që ë shtë pë rdorur pë r gra iket me sipë r në ekran do shfaqet igura 7.6

Problemi 7 Te ndertohet diagrama e fushes elektrike te nje dipoli.

( Zgjidhja) V =

q 4πϵo

86

(

1 r1

)

Kapitulli 8

Mekanika Klasike

87

8.1 Problema 1 Jepen dy forca në planin (x,y) me koordinata polare illestare F⃗1 (50, 25o ), F⃗2 (30, 55o ) të cilat veprojnë në qendrë n e sistemit të referimit. Të dy forcat illojnë të lë vizin me te një jtë n shpejtë si kë ndore ωˆ z rreth 0.Të shkruhet një program i cili të kryej llogaritjet e koordinatave kartesiane te dy forcave, koordinatat e forcë s rezultante. Forcan janë shprehur në Njuton.

Zgjidhja

clear ; clc ; close all ; F1=50; w1=25; F2=30; w2=55; w=0; i =1; w h i l e (w( i ) ≤ 360) F1X( i )=F1* cosd (w1) ; F1Y( i )=F1* s i n d (w1) ; F2X( i )=F2* cosd (w2) ; F2Y( i )=F2* s i n d (w2) ; RX( i )=F1X( i )+F2X( i ) ; RY( i )=F1Y( i )+F2Y( i ) ; R( i )=s q r t (RX( i ) . ^2+RY( i ) . ^2) ; u ( i )=atand (RY( i ) /RX( i ) ) ; i f (RX( i ) <0) u ( i )=u ( i ) +180; e l s e i f (RX( i )>0 && RY( i ) <0) u ( i )=u ( i ) +360; else u ( i )=u ( i ) ; end w1= w1+10; w2= w2+10; w( i +1)=w( i ) +10; i=i +1; end

88

f i l e I D = fopen ( ’ e x p . t x t ’ , ’w ’ ) ; f p r i n t f ( f i l e I D , ’ $ \\omega$ & \ t F1X & \ t F1Y & \ t F2X & \ t F2Y & \ t ...

RX & \ t RY & \ t R & \ t u\\\\ \n ’ ) ; f o r i =1:37 f p r i n t f ( f i l e I D , ’%. 0 f & \ t %. 3 f & \ t %. 3 f & \ t %. 3 f & \ t %. 3 f & \ t ... %. 3 f & \ t %. 3 f & \ t %. 3 f & \ t %. 3 f \\\\ ... \n ’ ,w( i ) ,F1X( i ) ,F1Y( i ) ,F2X( i ) ,F2Y( i ) ,RX( i ) ,RY( i ) ,R( i ) , u ( i ) ) ; end fclose ( fileID ) ;

Pas ekzekutimit të programit merret skedari i më poshtë m;

89

ω 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360

F1X 45.315 40.958 35.355 28.679 21.131 12.941 4.358 -4.358 -12.941 -21.131 -28.679 -35.355 -40.958 -45.315 -48.296 -49.810 -49.810 -48.296 -45.315 -40.958 -35.355 -28.679 -21.131 -12.941 -4.358 4.358 12.941 21.131 28.679 35.355 40.958 45.315 48.296 49.810 49.810 48.296 45.315

F1Y 21.131 28.679 35.355 40.958 45.315 48.296 49.810 49.810 48.296 45.315 40.958 35.355 28.679 21.131 12.941 4.358 -4.358 -12.941 -21.131 -28.679 -35.355 -40.958 -45.315 -48.296 -49.810 -49.810 -48.296 -45.315 -40.958 -35.355 -28.679 -21.131 -12.941 -4.358 4.358 12.941 21.131

F2X 17.207 12.679 7.765 2.615 -2.615 -7.765 -12.679 -17.207 -21.213 -24.575 -27.189 -28.978 -29.886 -29.886 -28.978 -27.189 -24.575 -21.213 -17.207 -12.679 -7.765 -2.615 2.615 7.765 12.679 17.207 21.213 24.575 27.189 28.978 29.886 29.886 28.978 27.189 24.575 21.213 17.207

F2Y 24.575 27.189 28.978 29.886 29.886 28.978 27.189 24.575 21.213 17.207 12.679 7.765 2.615 -2.615 -7.765 -12.679 -17.207 -21.213 -24.575 -27.189 -28.978 -29.886 -29.886 -28.978 -27.189 -24.575 -21.213 -17.207 -12.679 -7.765 -2.615 2.615 7.765 12.679 17.207 21.213 24.575

RX 62.523 53.636 43.120 31.293 18.516 5.176 -8.321 -21.565 -34.154 -45.705 -55.868 -64.333 -70.843 -75.201 -77.274 -76.999 -74.384 -69.509 -62.523 -53.636 -43.120 -31.293 -18.516 -5.176 8.321 21.565 34.154 45.705 55.868 64.333 70.843 75.201 77.274 76.999 74.384 69.509 62.523

RY 45.705 55.868 64.333 70.843 75.201 77.274 76.999 74.384 69.509 62.523 53.636 43.120 31.293 18.516 5.176 -8.321 -21.565 -34.154 -45.705 -55.868 -64.333 -70.843 -75.201 -77.274 -76.999 -74.384 -69.509 -62.523 -53.636 -43.120 -31.293 -18.516 -5.176 8.321 21.565 34.154 45.705

R 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447 77.447

u 36.168 46.168 56.168 66.168 76.168 86.168 96.168 106.168 116.168 126.168 136.168 146.168 156.168 166.168 176.168 186.168 196.168 206.168 216.168 226.168 236.168 246.168 256.168 266.168 276.168 286.168 296.168 306.168 316.168 326.168 336.168 346.168 356.168 6.168 16.168 26.168 36.168

Tabela 8.1: Rezultatet pas ekzekutimit

Problemi 2 Një top lë shohet në ajë r, me shpejtë si illestare v = 50m/s, në n një kë nd prej θ = 45o në lidhje me horizontin. Gjeni kohen e plotë , të lë vizjes së në ajë r, dhe zhvendosjen horizontale maksimale që bë n topi, (g = 9.81 m/s2 ). Të paraqitet gra iku i trajektores së topit.

90

Zgjidhje

clear ; clc ; close all ; %% D e k l r a r i m i i kushteve f i l l e s t a r e % Pozicionet x ( 1 ) =0; y ( 1 )=0. 0 1 ; % Shpejtesia vo =50; % Kendi t h e t a=p i / 4 ; %% Konstantet dt=0. 1 ; g=9. 8 1 ; i =1; %% S h p e t e s i a f i l l e s t a r e s i p a s boshteve vx ( 1 )=vo* c o s ( t h e t a ) ; vy ( 1 )=vo* s i n ( t h e t a ) ; %% Modeli w h i l e ( y ( i ) >0) a=−g−0. 6 *vy ; vx=vx ; x ( i +1)=x ( i )+vx* dt ; vy=vy+a* dt ; y ( i +1)=y ( i )+vy* dt ; i=i +1; plot (x , y) ; hold on ; plot (x( i ) ,y( i ) , ’o ’ ) ; hold o f f a x i s ( [ 0 200 0 5 0 ] ) getframe ; end

91

Problemi 3 Një pike materiale udhë ton ne boshtin x (x > 0) me nxitime qe ë shtë funksion e vendit ne baze te ekuacionit: a=−

6x (3x2 + 2)3

m/s2

Pë r t = 0 makina ndodhet ne illimin e bushtit (x = 0) dhe ka shpejtë si illestare υo = 0, 5m/s. Duke Pë rdorur metoda te integrimit aritmetik me kompjuter, gjeni pozicionin e makinë s ne kohen t = 40, 83 s. Gabimi relative ne kalkulimet tuaja te jetë me i vogë l se sa 1

Zgjidhje Kemi një problem qe në realitet forca varet nga distance. Kë to problem zgjidhen me integrime te pë rsë ritura, qe vë shtir mund te bë hen me metoda analitike. Ne ketë rast seleksionimi i nxitimit u be qe integrimi te jetë i mundur dhe kontrolli me metodë n qe zgjodhë m.

Eshtë a=

dυ dυ dx dυ = =υ dt dx dt dx

Pë rfundimisht kemi adx = υdυ Duke integruar kemi

∫x 0

adx =

∫υ υ0

f (x) =

υdυ Pë rfundimisht ) 1( 2 υ − υ02 (1.1) 2

(8.1)

Kë shtu llogaritet shpejtë sia ne funksion te pozicionit x, domethë në υ = g(x) Një kohë sisht nga υ= del se dt = Ose

dx dt

dx dx = υ g(x)

∫2 t=

dx (1.2) g(x)

0

92

(8.2)

Figura 8.1: Më nyra e integrimit aritmetike.

Duke marre parasysh ekuacionet (1.1) dhe (1.2) kemi ekuacionin ∫x t=

dx (1.3) g(x)

(8.3)

0

Që llimi jone ë shtë qe te llogarisim integralin e ekuacionit (1.3).

Duke marre parasysh te dhë nat e problemit nga ekuacioni (1.1) gjejmë se: υ2 =

1 (3x2

+ 2)2

Edhe sepse (x > 0) ekuacioni i më parshë m mund te shkruhet si: υ=

1 + 2)

(3x2

Duke zë vendë suar ne ekuacionin (1.3) kohen dhe shpejtë sinë kemi ekuacionin: ∫x (3x2 + 2)dx(1.4)

40, 83 =

(8.4)

0

Problemi nga ana izike ë shtë zgjidhur. Tani kë rkojmë vlerë n e x-it qe zgjidh ekuacionin (1.4). Siç kemi thë ne dhe me pë rpara ku ekuacion ka zgjidhje analitike, por neve do ta llogarisim atë me ane te metodë s se trapezit.

Duke i u referuar tek Figura 1 mund te themi qe sipë rfaqja e funksionit f (x) nga x1 deri ne x2 mund te konsiderohet si një trapez, atë herë do te jete: ∫x2 f (x)dx ≈ (x2 − x1 ) x1

93

f (x2 ) + f (x1 ) 2

Duke marre se xn+1 − xn = Dx ë shtë konstante pë r çdo n, atë herë integrali i funksioni f (x) nga x1 deri ne xn+1 do të jetë : x∫ n+1

1 f (x)dx ≈ Dx[f (x1 ) + 2f (x2 ) + ... + 2f (xn ) + f (xn+1 )] 2

x1

Barazimi i më sipë rme mund te shkruhet si: x∫ n+1

Dx ∑ (yn + yi+1 )(1.5) 2 n+1

f (x)dx ≈

(8.5)

i=1

x1

Ne bazë te analizë s te më sipë rm mund te shkruhet një program kompjuterik qe llogarit vlerë n x qe zgjidhe ekuacionin (1.4) me ane te (1.5).

Programi ne MATLAB paraqitet me poshtë .

clear ; clc ; close all ; m = in p u t ( ’m= ’ ) ; x = 0; t = 0; dx=1/m;

% % % %

Je Posicioni f i l l e s t a r Koha f i l l e s t a r e dx

w h i l e t < 40 . 8 3 t = t + ( dx /2) * ( 3 * ( x−dx ) ^2+3*x^2+4) ; x = x + dx ; end f p r i n t f ( ’ t=%f \n ’ , t ) ; f p r i n t f ( ’ x=%f \n ’ , x ) ;

Me m = 100 gjejmë qe pika materiale ndodhet ne pozicionin x = 3,26m pas një kohe t = 40,848289 s. Gabimi pë r kohen ë shtë ∆t =

40, 83 − 40,848289 = 4,48 × 10−4 = 4,48 × 10−2 % 40, 83

(1.6) Gjithashtu pë r m = 50000 rezultatet do te jene x = 3.250080m dhe t = 40, 830186s.

Domethë në qe një vlere pë r m = 100ë shtë I një jti program mund te shkruhet edhe ne gjuhen C

#i n c l u d e <s t d i o . h> #i n c l u d e <math . h>

94

i n t main ( void ) { int close ; i n t m; double t =0; f l o a t x=0,dx ; p r i n t f ( ”M=” ) ; s c a n f ( ”%d” ,&m) ; dx = 1 . 0 / m; do { t = t + ( dx /2) *(3*pow( x−dx , 2 ) +3*pow( x , 2 ) +4) ; x = x + dx ; } while ( t < 40.83) ; p r i n t f ( ” t=%l f \n” , t ) ; p r i n t f ( ”x=%f \n” , x ) ; return (0) ; }

95

8.2 Problema 4 Baza e një rrafshi të pjerë t me kë nd θ i cili mund të ndryshoj ë shtë x = 10 m. Duke supozuar që gjatë sia h dhe distanca s mund të zmadhohen pafundë sisht të llogaritet koha e duhur që i duhet një trupi pë r të zbritur pë rgjatë rrugë s s. Llogaritjet të bë hen pë r vlerat 0.4, 0.2 dhe 0 të koe içenti mu të fë rkimit dhe në n kë ndin θ nga 0o deri në 89o .

Të behet paraqitja gra ike e rezultateve dhe të shpjegohet minimumi që ato paraqesin, të justi ikohet vlera limite ku ato tentojnë . Të paraqiten në një tabelë disa nga rezultatet.

8.2.1 Zgjidhja Tek igura 8.2 paraqitet skema e një rrafshi të pjerë t. Janë vizatuar forcat që veprojnë mbi trupin. Aplikohet ligji i dytë i Njutonit: ∑

F = ma ⇒ mg sin θ − µmg cos θ = ma ⇒ ⇒ g(sin θ − µ cos θ) = a ⇒

(8.6)

Figura 8.2: Skema e rrafshit të pjerë t Koha që i duhet trupit pë r të zbritur pë rgjatë rrugë s s ë shtë : 1 s = at2 ⇒ t = 2

√

2s a

(8.7)

x cos θ

(8.8)

Nga igura 8.2 mund lehtë sisht të tregohet që : s cos θ = x ⇒ s =

Duke zë vendë suar tek ekuacioni 8.2 rezultatet e më sipë rme do të kemi: √ t=

2x g cos θ(sin θ − µ cos θ) 96

(8.9)

Kodi i më poshtë m ë shtë zgjidhja e ushtrimit ku aplikohet llogaritja e shprehjes 8.9 pë r vlera të ndryshme të koe içentit fë rkimit dhe të kë ndit θ

clear ; clc ; close all ; % Te dhenat e u s h t r i m i t g=10; % m/ s ^2 x=10; % m % Kendi t h e t a nga 1 d e r i 89 me hap 0 . 1 dtheta=0. 1 ; t h e t a =2: dtheta : 8 9 ; % koeficienti i ferkimit 0 .2 mu=0; f o r i =1: l e n g t h ( t h e t a ) % L l o g a r i t j a e kohes per cdo kend nga 1 dher 89 per mu=0 t0 ( i )=s q r t ( ( 2 * x ) /( g* cosd ( t h e t a ( i ) ) *( s i n d ( t h e t a ( i ) )−mu* cosd ( t h e t a ( i ) ) ) ) ) ; end % koeficienti i ferkimit 0 .2 mu=0. 2 ; f o r i =1: l e n g t h ( t h e t a ) % L l o g a r i t j a e kohes per cdo kend nga 1 dher 89 per mu=0 t02 ( i )=s q r t ( ( 2 * x ) /( g* cosd ( t h e t a ( i ) ) *( s i n d ( t h e t a ( i ) )−mu* cosd ( t h e t a ( i ) ) ) ) ) ; end % koeficienti i ferkimit 0 .4 mu=0. 4 ; f o r i =1: l e n g t h ( t h e t a ) % L l o g a r i t j a e kohes per cdo kend nga 1 dher 89 per mu=0 t04 ( i )=s q r t ( ( 2 * x ) /( g* cosd ( t h e t a ( i ) ) *( s i n d ( t h e t a ( i ) )−mu* cosd ( t h e t a ( i ) ) ) ) ) ; end % Krijimi i grafikut figure p l o t ( theta , t0 , ’ LineWidth ’ , 2 ) ; hold on p l o t ( t h e t a (95 :end ) , t02 (95 :end ) , ’ r ’ , ’ LineWidth ’ , 2 ) p l o t ( t h e t a (200 :end ) , t04 (200 :end ) , ’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 ) x l a b e l ( ’ Kendi \ t h e t a [ ^ o ] ’ ) y l a b e l ( ’ Koha t [ s ] ’ ) l e g e n d ( ’ \mu=0 ’ , ’ \mu=0. 2 ’ , ’ \mu=0. 4 ’ )

Pas ekzekutimit të kodit merret si rezultat igura 8.3. Ajo që nxiret si rezultat ë shtë që në n kë ndin θ = 45o tupit i duhet koha me e vogë l pë r të pë rshkruar distancë n s.

Pë r të llogaritur disa vlera të kohë s në raste të ndryshme duhet të ekzekutohet kodi i më poshtë m. Ku kod pë rdor një skedar të jashtë m me emrin exp.txt në të cilin rruhen rezultatet.

f i l e I D = fopen ( ’ e x p . t x t ’ , ’w ’ ) ; f p r i n t f ( f i l e I D , ’ t h e t a \ t t (0 . 4 ) f o r i =34:64

\ t t (0 . 2 )

97

\ t t ( 0 ) \n ’ ) ;

Figura 8.3: Gra iku i kerkuar pas ekzekutimit të kodit f p r i n t f ( f i l e I D , ’%. 2 f \ t %. 4 f \ t %. 4 f \n ’ , t h e t a ( i ) , t04 ( i ) , t02 ( i ) , t0 ( i ) ) ;

\ t %. 4 f ...

end fclose ( fileID ) ;

Hapi i kë ndit θ ndryshohet dhe bë het i barabartë me dtheta = 1Pas ekzekutimit të kodit rezultatet të cilat janë llogaritur paraqiten tek tabela

98

θ[o ] 35.00 36.00 37.00 38.00 39.00 40.00 41.00 42.00 43.00 44.00 45.00 46.00 47.00 48.00 49.00 50.00

t(0.4) 3.1509 3.0591 2.9781 2.9064 2.8427 2.7860 2.7354 2.6902 2.6499 2.6139 2.5820 2.5537 2.5289 2.5072 2.4885 2.4726

t(0.2) 2.4410 2.4090 2.3801 2.3539 2.3304 2.3093 2.2905 2.2739 2.2593 2.2468 2.2361 2.2272 2.2201 2.2148 2.2112 2.2093

θ[o ] 51.00 52.00 53.00 54.00 55.00 56.00 57.00 58.00 59.00 60.00 61.00 62.00 63.00 64.00 65.00

t(0) 2.0632 2.0508 2.0399 2.0304 2.0222 2.0154 2.0098 2.0055 2.0024 2.0006 2.0000 2.0006 2.0024 2.0055 2.0098 2.0154

t(0.4) 2.4594 2.4488 2.4406 2.4349 2.4316 2.4307 2.4321 2.4359 2.4420 2.4507 2.4618 2.4755 2.4920 2.5113 2.5336

t(0.2) 2.2090 2.2104 2.2135 2.2183 2.2248 2.2331 2.2432 2.2552 2.2692 2.2851 2.3032 2.3236 2.3463 2.3717 2.3997

t(0) 2.0222 2.0304 2.0399 2.0508 2.0632 2.0771 2.0925 2.1096 2.1284 2.1491 2.1718 2.1966 2.2236 2.2530 2.2851

Tabela 8.2: Gra iku i kerkuar pas ekzekutimit të kodit

Problemi 5 Një pike materiale ndodhet në n potencialin dinamin të më poshtë m dhe mbi saj ushtrohet një force periodike F = Fo cos ωt. Ngjate lë vizjes ushtrohen edhe fë rkime f = −γυ.

1 1 1 U (x) = kx2 − kx3 + kx4 2 D 2D2 Paraqisni diagramë n e fazë s.

Zgjidhje Diagrama e fazes ë shtë gra iku ku në aksin e x-ve praqitet pozicioni kurse ne aksin e y-ve paraqitet shpejtë sia e pikë s materiale. Kjo diagram na ofron të gjithë pë r sa i pë rket levizjes së trupit. ( ) ( ∂F x) 2x F (x) = −∇V = − = −kx 1 − 1− ∂x D D Nxitimi do të jetë atë here: ( ) d2 x k ( x) 2x γ dx Fo a= 2 =− x 1− 1− − + cos ωt dt m D D m dt m (1.18) Nuk ekziston funksion i njojtur x = g(t) i cili të jetë zgjidhje të ekuacionin (a). Në qoftë se njohim kushtet illestare të x(t) dhe të v(t) atë here nga ekuacioni i më parshem 99

mund të llogarisim nxitimin e ri të pikë s materiale. Keshtu që vlerat e reja të shpejtë sisë pas një çasti kohoro të vogel kohor dt do të jenë : v(t + dt) = v(t) + dv = v(t) + a(t)dt dhe x(t + dt) = x(t) + dv = x(t) + v(t)dt Programi në MATLAB vijon si më poshtë . Konstantet janë marë k = 1 N/m, m = 1 kg dhe D = 0, 8 m. Kushtet illestare të x, v mund të ndryshojnë keshtu që të meret një konkluzion pë r sa i pë rket ndikim qe ato kanë te levizja e pikë s materiale.

clear ; clc ; close all ; D=0. 8 ; % m k=1; % N/m m=1; % kg dt=0. 0 1 ; Fo=8; w=0. 5 ; g=0. 2 ; x ( 1 )=0. 3 ; v ( 1 )=0. 4 ; f o r i =1:2000 t=i * dt ; a=−x ( i ) *(1−x ( i ) /D) *(1−2*x ( i ) /D)−g*v ( i )+Fo* c o s (w* t ) ; x ( i +1)=x ( i )+v ( i ) * dt ; v ( i +1)=v ( i )+a* dt ; end p l o t ( x , v , ’ Color ’ , [ 0 0 0 ] ) xlabel ( ’x ’ ) ; ylabel ( ’y ’ ) hold on p l o t (0 .8 , 0 , ’ MarkerSize ’ , 3 0 , ’ Marker ’ , ’ . ’ , ’ Color ’ , [ 0 0 0 ] ) hold o f f

100

Figura 8.4: Diagrama e fazeĚ&#x2C6; s teĚ&#x2C6; sistemit dikamik.

101

Indeksi ans, 15 Command Window, 8 magic(), 19

102

Bibliogra ia [1] R. Hilborn, Chaos and Nonlinear Dynamics: An Introduction for Scientists and Engineers. Oxford University Press, 1994.

103