Trabajo, potencia y energía

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

21/05/2015

1

TRABAJO, POTENCIA, ENERGÍA Y CONSERVACIÓN 1.. La energía: formas y fuentes 2.. Trabajo 2.1.Interpretación gráfica del trabajo 2.2.Trabajo de la fuerza resultante 2.3.Trabajo de una fuerza variable 2.4.Energía cinética 2.5.Energía potencial

3.. Conservación y degradación de la energía 3.1. Conservación de la energía mecánica en presencia de fuerzas conservativas 3.2. Variación de la energía mecánica en presencia de fuerzas no conservativas 4.. Potencia 4.1. Potencia a velocidad constante 5.. Impulso, cantidad de movimiento, conservación de cantidad de movimiento.

5.1. Impulso 5.2. Cantidad de movimiento 21/05/2015

2

5.3. Conservación de la cantidad de movimiento.

5.4. Choque elástico.

5.5. Choque inelástico.

5.6. Coeficiente de restitución

6.. Energía potencial electrostática.

6.1. Potencial Eléctrico.

6.2. Diferencia de Potencial.

3

1.. La energía : formas y fuentes La energía es una magnitud física escalar que mide la capacidad que tienen los cuerpos o sistemas para realizar transformaciones en ellos mismos o en otros cuerpos o sistemas.

Como existen distintos tipos de transformaciones, existirán distintos tipos o formas de energía

1.1. Formas de energía Energía cinética

La poseen los cuerpos por el hecho de estar en movimiento

Energía potencial gravitatoria

La poseen los cuerpos por el hecho de estar a cierta altura sobre la superficie de la Tierra

Energía potencial elástica

La poseen los cuerpos elásticos a causa de la deformación que han experimentado

Energía mecánica Energía mecánica es la suma de la energía cinética y la potencial 21/05/2015

4

Energía eléctrica

La poseen las cargas eléctricas en reposo o en movimientos

21/05/2015

Energía nuclear

Es la energía que se libera en las reacciones nucleares de fisión y de fusión

5

Energía térmica

Es la forma de energía que fluye de un cuerpo a otro a causa de la diferencia de temperatura que existe entre ellos.

21/05/2015

Energía química

Energía radiante

La poseen todos los sustancias Es la que poseen las radiaciones electromagnéticas, de la naturaleza debido a la como es el caso de la energía energía de sus enlaces. del Sol Se pone de manifiesto en las reacciones químicas

6

1.2. Fuentes de energía Las fuentes de energía son los distintos recursos que existen en la naturaleza de los que el ser humano puede obtener energía utilizable en sus actividades.

Son los sistemas materiales que por sus características o situación proporcionan a las personas energía utilizable.

No confundir las formas de la energía con las fuentes de la energía.

Así cuando hablamos de energía hidraúlica no nos estamos refiriendo a una nueva forma de energía sino a la energía potencial gravitatoria que tiene el agua embalsada en una presa. El agua embalsada es una fuente de energía y la energía potencial gravitatoria es una forma de energía.

La energía eólica no es una forma de energía diferente de la energía cinética del viento: el viento es una fuente de energía y la energía cinética es una forma de energía.

El carbón, el petróleo, el gas , el viento, el agua embalsada, … son fuentes de energías.

Las fuentes de energía pueden ser renovables y no renovables.

Las Fuentes de energía renovables son aquellas que, tras ser utilizadas, se pueden regenerar de manera natural o artificial. Algunas de estas fuentes renovables están sometidas a ciclos que se mantienen de forma más o menos constante en la naturaleza.

El viento, el agua embalsada, el Sol, las mareas, el calor interno de la Tierra… son fuentes de energías renovables.

Las Fuentes de energía no renovables son aquellas que se encuentran de forma limitada en el planeta y cuya velocidad de consumo es mayor que la de su regeneración.

El carbón , el petróleo, el gas natural, los materiales fisionables, como el uranio… son fuentes de energías no renovables.

21/05/2015

7

Una de las características fundamentales de la energía es su capacidad de transformación de unas formas en otras.

En todas estas transformaciones, la energía cambia de forma, pero la cantidad global de energía se mantiene constante, como afirma el principio de conservación de la energía

21/05/2015

8

2.. Trabajo En el lenguaje común empleamos frecuentemente la palabra trabajo asociando su significado con alguna forma de esfuerzo, ya sea mental o físico.

En Física, sin embargo, la palabra trabajo se emplea para denominar una magnitud física escalar, cuyo significado no coincide siempre con el del lenguaje común.

En Física, realizar un trabajo significa ejercer una fuerza sobre un cuerpo con desplazamiento de su punto de aplicación. Como consecuencia de esta acción, el trabajo resulta un modo de transferir alguna cantidad de energía de un cuerpo a otro.

Cuando levantamos verticalmente una caja hasta cierta altura, realizamos un trabajo.

Comunicamos energía potencial gravitatoria a la caja

21/05/2015

9

Cuando empujamos la misma caja por un plano horizontal, tambiĂŠn realizamos un trabajo.

Comunicamos energĂ­a cinĂŠtica a la caja.

21/05/2015

10

Cuando hacemos fuerza con nuestras manos contra la pared de un edificio, no logramos moverlo. Por tanto, no realizamos un trabajo, ya que no le comunicamos energĂ­a alguna.

21/05/2015

11

Cuando desplazamos la caja anterior con velocidad constante por un plano horizontal, tampoco realizamos un trabajo, ya que no le comunicamos energĂ­a alguna.

21/05/2015

12

El trabajo W realizado por una fuerza constante es igual al producto escalar:

F cuyo punto de aplicación

se desplaza

Δr

W  F  Δr  F  Δr  cosφ W  F  Δr  cosφ

F φ

Δr El trabajo W se mide en el S.I. en Julios (J) Un julio es el trabajo que se realiza cuando la fuerza de 1 N desplaza su punto de aplicación 1 m en la misma dirección y sentido que la fuerza.

1 J =1N·1m

21/05/2015

13

Otro modo de ver el trabajo realizado por una fuerza

F φ

Ft

Ft  F  cosφ Δr

W  F  Δr  cosφ

 Ft  Δr

W  Ft  Δr El trabajo de una fuerza es igual al trabajo que realiza la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, la componente tangencial de la fuerza.

21/05/2015

14

El trabajo realizado por una fuerza puede ser: positivo ( trabajo motor :favorece el movimiento del cuerpo), nulo o negativo (trabajo resistente: se opone al movimiento del cuerpo)

φ

F

F Δr

Δr 0  φ  90 cosφ  0 W  F  Δr  cos φ  0

φ  0 cos0  1 W  F  Δr

Trabajo motor

F

F 90°

φ

F

Δr φ  90

cos 90  0

W0

Trabajo nulo 21/05/2015

180°

Δr

Δr 90  φ  180 cosφ  0 W  F  Δr  cos φ  0

φ  180

cos180  1 W  F  Δr

Trabajo resistente 15

2.1.Interpretación gráfica del trabajo El trabajo realizado por una fuerza constante puede representarse gráficamente.

Representaremos la componente tangencial de la fuerza en el eje de ordenadas y el desplazamiento en el eje de abscisas:

W  Ft  Δx  Ft  (x  x 0 )

Ft

El área de la figura que determinan la gráfica de la fuerza frente a la posición y el eje abscisas, desde la posición inicial a la final, coincide numéricamente con el valor del trabajo

W

x0

∆x = x – x0

x

En este caso, W = Área del rectángulo rayado de la figura

21/05/2015

16

Actividad 1:

A partir de la gráfica siguiente, determinar el valor del trabajo realizado por la fuerza F si el cuerpo sobre el que actúa la fuerza se desplaza desde la posición x = 2 m hasta x = 9 m.

F (N) El trabajo W que nos piden coincide numéricamente con el área de la figura que determinan la gráfica de la fuerza frente a la posición y el eje abscisas, desde la posición inicial a la final:

40

20

2

4

x0 = 2 m En este caso :

6

8

10

x (m)

x=9 m W = Área del rectángulo rayado de la figura W = base x altura = 7 x 40 = 280 J

17 21/05/2015

Actividad 2: La gráfica de la figura representa el módulo de la fuerza que actúa sobre un cuerpo en función de su posición. Calcular el trabajo de esta fuerza cuando el cuerpo se desplaza desde el punto x0 = 0 cm hasta x= 12 cm El área de la figura que determinan la gráfica de la fuerza frente F (N) a la posición y el eje abscisas, desde la posición inicial a la final, 8 coincide numéricamente con el valor del trabajo 6

En este caso:

4

W = Área del rectángulo

2 4

0

8

12 x (cm)

rayado de la figura

Área del triángulo

+ rayado de la figura

5  0,12  0,54 J W = 2  0,12  2

También:

W = Área del trapecio rayado de la figura

21/05/2015

72   0,12  0,54 J 2

18

Actividad 3:

La gráfica de la figura representa el módulo de la fuerza que actúa sobre un cuerpo en función de su posición. Calcular el trabajo de esta fuerza cuando el cuerpo se desplaza desde el punto x0 = 27 m hasta x= 39 m

F (N) 150

100

130  90 Área del trapecio W = rayado de la figura  12 2

 1320 J

W

50

12

24 x 0 =27 m

También:

36

48 x (m)

x = 39 m

W = Área del triángulo – grande

Área del triángulo pequeño

27  90 39 130   1320 J W= 2 2

21/05/2015

19

2.2.Trabajo de la fuerza resultante Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, el trabajo de la fuerza resultante es igual a la suma algebraíca de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas

F4 F2

F1

Para calcular el trabajo de la fuerza resultante WR podemos proceder de dos formas: ▪ Calculamos el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y finalmente, obtenemos la suma de todos ellos.

F3 WF1 = F1 · Δr · cos φ1 WF2 = F2 · Δr · cos φ2 WF3 = F3 · Δr · cos φ3

WR = WF1 + WF2 + WF3 + WF4

WF4 = F4 · Δr · cos φ4 ▪ Calculamos primero la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y a continuación calculamos el trabajo realizado por ella.

WR = R · Δr · cosφ

R

φ = ángulo ( R y Δr ) 20

21/05/2015

Ejercicio 5 de la página 134 Datos: F = 60 N; m = 10 kg ; μ = 0,3 ; α = 30° ; ∆x = 2 m ; g = 9,8 m/s2 ;

Fn

N Fr

30°

p ;

F Ft

Dibujamos el mueble y las fuerzas que actúan sobre él Sus valores y el ángulo que forma con el desplazamiento ∆x son:

Δx

▪

F = 60 N

φ = ángulo (F, ∆x) = 30°

▪

p = m · g = 10 · 9,8 = 98 N ;

▪

N = p – Fn = p – F · sen 30° = 98 – 60 · 0,5 = 68 N ; φ = ángulo (N, ∆x) = 90°

▪

Fr = μ · N = 0,3 · 68 = 20,4 N ;

φ = ángulo (p, ∆x) = 90° φ = ángulo(F, ∆x) = 180°

Para calcular el trabajo de cada una de estas fuerzas aplicamos su fórmula en cada caso:

▪ WF  F  Δx  cos 30  60  2  0,866  103,9 J

Wp  p  Δx  cos90  98  2  0  0 J ▪ WN  N  Δx  cos 90  68  2  0  0 J ▪ WFr  Fr  Δx  cos180  20, 4  2  (1)  40,8 J

▪

21/05/2015

21

Para calcular el trabajo de la fuerza resultante R tenemos dos opciones: a) El trabajo de la fuerza resultante WR es igual a la suma de los trabajos realizados por todas las fuerzas que actúan sobre el mueble:

WR = WF + Wp + WN + WFr = 103,9 + 0 + 0 + (– 40,8) = 63,1 J b) Calculamos primero el valor de la fuerza resultante y el ángulo que forma con el desplazamiento y después el trabajo que realiza.

R La fuerza resultante:

Δx

R = F t – Fr = F · cos 30° – Fr = 60 · cos 30° – 20,4 = 31,56 N ya que p se anula con N + Fn.

La fuerza resultante forma un ángulo de 0° con el desplazamiento.

El trabajo de esta fuerza es:

WR  R  Δx  cos 0  31,56  2 1  63,1 J 21/05/2015

Lógicamente el resultado tiene que ser el mismo tanto si seguimos un procedimiento como el otro.

22

2.3.Trabajo de una fuerza variable Hasta ahora hemos calculado el trabajo de una fuerza constante:

W  F  Δr  cosφ

Sin embargo en muchas ocasiones el valor de la fuerza varía, como ocurre se trata de la fuerza de un resorte, que según vimos en la ley de Hooke, varía con la deformación x:

F = k ·x En estos casos, no podemos aplicar la expresión anterior para calcular el trabajo. ¿Cómo calcular el trabajo en estos casos?

Utilizando la interpretación gráfica del trabajo, que vimos en la diapositiva 14.

Representamos la fuerza (eje de ordenadas) frente a la deformación (eje de abscisas):

F (N) El trabajo W realizado por la fuerza variable de un muelle cuando éste pasa de estar sin deformar x0= 0 a tener una deformación x coincide con el área rayada de la figura.

W

En este caso la figura es un triángulo de base x y de altura F= k·x :

x

x0 = 0

x (m)

1 1 1 W  Área del triángulo   base  altura   x  (K  x)  K  x 2 2 2 2 21/05/2015

23

2.3.Trabajo de una fuerza variable (Cont.)

F (N)

El trabajo W realizado por la fuerza variable de un muelle cuando éste pasa de tener una deformación x0 a otra x coincide con el área rayada de la figura

W

x0

En este caso la figura es un trapecio, cuya área la podemos obtener restando al área del triángulo grande, el área del triángulo pequeño:

x

x (m)

1 1 W  Área del trapecio  K  x 2  K  x 02 2 2 Actividad 4: Disponemos de un resorte de 360 N/m de constante elástica. Calcular el trabajo que debemos hacer para estirarlo 8 cm , desde su posición de equilibrio.

8 cm

21/05/2015

= 0,08

1 1 2 2  3,84 J W  K  x  1200  0, 08 m 2 2 N 2  m  Nm  J Detalle de las unidades: m 24

2.4.Energía cinética Realizar un trabajo sobre un cuerpo es un modo de transferirle energía a ese cuerpo. Si el trabajo realizado pone en movimiento al cuerpo, que estaba en reposo, decimos que el cuerpo adquiere energía cinética.

De igual modo, un cuerpo con energía cinética puede realizar un trabajo sobre otros cuerpos.

Podemos pues concluir, que la energía cinética es la capacidad que posee un cuerpo para realizar un trabajo por el hecho de estar en movimiento.

Energía cinética del cuerpo

Ec 

1  m  v2 2

Masa del cuerpo velocidad del cuerpo al cuadrado

La unidad de energía, cinética o de cualquier otro tipo, en el S.I. es el Julio (J).

El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante se invierte en variar su energía cinética.

1 1 2 2

WR  ΔE c 

mv 

 m  v0

2 2 WR  ΔEc  Ecfinal  Ecinicial

21/05/2015

Teorema de la energía cinética 25

Actividad 5: Un automóvil de 1200 kg circula a la velocidad de 54 km/h y acelera para efectuar un adelantamiento hasta alcanzar la velocidad de 72 km/h. Determinar el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre el coche.

Datos: m = 1200 kg; v0 = 54 km/h = 15 m/s ; v = 72 km/h = 20 m/s ; Aplicamos el teorema de la energía cinética para calcular el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre el coche:

WR  ΔE c 

1 1 1 1  m  v 2   m  v 02  1200  202  1200 152  105 000 J 2 2 2 2

Actividad 6: Un coche de 1000 kg circula a la velocidad de 72 km/h y acelera para efectuar un adelantamiento. Si el motor realiza un trabajo de 112 500 J, calcula la velocidad final del automóvil en m/s y en km/h, suponiendo despreciable el rozamiento.

Datos: m = 1000 kg; v0 = 72 km/h = 20 m/s ; WR = 112 500 J ; Si no hay rozamiento, la resultante es la fuerza que hace el motor y su trabajo es igual a la variación de la energía cinética: 1 1

WR 

Despejamos la velocidad final y sustituimos:

v

v02 

21/05/2015

2WR m



202 

2

 m  v2 

2

 m  v 02

2 112500 m  km   25 90   1000 s  h  26

2.5.Energía potencial Cuando el trabajo de una fuerza se invierte en elevar un cuerpo hasta cierta altura, decimos que el cuerpo adquiere energía potencial gravitatoria. Gracias a esta energía el cuerpo puede realizar un trabajo sobre otros cuerpos; para ello, basta con dejarlo caer.

Llamamos energía potencial gravitatoria a la energía que poseen los cuerpos por el hecho de hallarse a cierta altura sobre la superficie de la Tierra.

Su valor nos viene dado por la expresión:

m

Ep  m  g  h Ep = Energía potencial gravitatoria m = Masa del cuerpo

h

g = Aceleración de la gravedad h = Altura respecto del suelo

La unidad de energía, potencial gravitatoria o de cualquier otro tipo, en el S.I. es el Julio (J).

Actividad 7: ¿Qué energía potencial gravitatoria respecto de Tierra tiene un helicóptero de 600 kg de masa si se encuentra a 40 m de altura?

Datos: m = 600 kg; h = 40 m ;

g  9,8

m s2

Aplicamos la fórmula de la energía potencial gravitatoria y sustituimos :

E p  m  g  h  600  9,8  40  235200 J 21/05/2015

27

Del mismo modo que al elevar un cuerpo hasta cierta altura, el cuerpo adquiere energía potencial gravitatoria, cuando estiramos o comprimimos un muelle, un cuerpo elástico, el cuerpo adquiere energía potencial elástica, que coincide con el trabajo que hicimos para deformarlo.

x

1 Ep   K  x 2 2

K = constante elástica característica del muelle x = deformación del resorte = ℓ

final

– ℓ inicial

Gracias a esta energía el cuerpo puede realizar un trabajo sobre otros cuerpos; para ello, basta con dejarlo en libertad.

Llamamos fuerza conservativa a la fuerza que es capaz de devolver íntegramente el trabajo realizado por una fuerza exterior para vencerla. El peso ( la fuerza gravitatoria) , la fuerza elástica y la fuerza eléctrica son fuerzas conservativas. Cada fuerza conservativa lleva asociada una energía potencial: ▪ el peso lleva asociada la energía potencial gravitatoria:

Ep  m  g  h

▪ la fuerza elástica lleva asociada la energía potencial elástica:

Ep 

▪ la fuerza eléctrica lleva asociada la energía potencial eléctrostática:

21/05/2015

1  K  x2 2 Qq Ep  k d 28

El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variación de la energía potencial, cambiada de signo:

Teorema de la energía potencial

WF conservativa  ΔEp WF conservativa  (E pfinal  E pinicial ) WF conservativa  E pinicial  Epfinal

En contraposición a las fuerzas conservativas, están las fuerzas disipativas, que son incapaces de devolver el trabajo realizado por una fuerza exterior para vencerlas. Este trabajo se disipa en forma de calor.

Las fuerzas de rozamiento son fuerzas disipativas.

WFr  Fr  Δx  cos180

WFr  Fr  Δx Las fuerzas de rozamiento siempre realizan un trabajo resistente.

21/05/2015

29

3.. Conservación y degradación de la energía Hemos visto anteriormente que al realizar trabajo sobre un cuerpo este adquiere alguna forma de energía, como energía cinética o energía potencial, cuya suma es la energía mecánica:

Energía mecánica

E m  Ec  E p

Energía cinética Suma de las energías potenciales de todas las fuerzas conservativas que actúan sobre el cuerpo

3.1. Conservación de la energía mecánica en presencia de fuerzas conservativas Si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas, la energía cinética que pierda el cuerpo se transforma íntegramente en energía potencial y viceversa. Por tanto se conserva la energía mecánica

Energía mecánica en el punto A

Em A  Em B

Energía mecánica en cualquier otro punto B

Ec A  E p A  Ec B  E p B 1 1 2  m  v A  m  g  h A   m  v B2  m  g  h B 2 2

21/05/2015

30

Actividad 8: Un objeto de 200 g cae al suelo desde 90 cm de altura. Calcula: a) su energía mecánica en el instante inicial b) su velocidad a una altura de 45 cm del suelo c) su velocidad al llegar al suelo Datos: m = 200 g = 0,2 kg; hA = 90 cm = 0,9 m ; hB = 45 cm = 0,45 m; g = 9,8 m/s2 Consideramos despreciable el rozamiento con el aire. a) La energía cinética en el instante inicial es cero, ya que se deja caer (v0 = 0) y por tanto la energía mecánica en ese instante es igual a la energía potencial gravitatoria:

Em  0  m  g  h A  0, 2  9,8  0,9  1,76 J b) Como sólo actúa el peso (fuerza conservativa) la energía mecánica permanece constante:

Ec A  E p A  Ec B  E p B 1 m  g  h A   m  v B2  m  g  h B 2 Despejamos la velocidad y sustituimos:

vB 

2  g  (h A  h B ) 

2  9,8  (0,9  0, 45)  2,97 m  s 1

c) Al llegar al suelo su energía potencial es nula:

Ec A  E p A  Ec C  E p C

m  g  hA 

1  m  v C2 2

Despejamos la velocidad y sustituimos:

vC  21/05/2015

2  g  hA 

2  9,8  0,9  4, 2 m  s 1 31

3.2. Variación de la energía mecánica en presencia de fuerzas no conservativas Si durante el movimiento del cuerpo intervienen fuerzas no conservativas (disipativas), como la fuerza de rozamiento, la energía mecánica ya no se mantiene constante, sino que varía (disminuye) en una cantidad igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

Esto es:

WFNo conservativas  ΔE m WF No conservativas  E m B  E m A Energía mecánica final

Energía mecánica inicial

WFNo conservativas  (EcB  E pB )  (EcA  E pA )

WFr  (EcB  E pB )  (EcA  E pA ) Trabajo de la fuerza de rozamiento 21/05/2015

32

Ejercicio 33 de la página 148: Datos: m = 5 Kg; h = 50 m; A

m = 5 kg μ = 0,05

hB

h A = 50 m

a) Como existe rozamiento, la variación de energía mecánica que experimenta el cuerpo es (página 138):

WF r = ∆Em = Em B – Em A

∆r

B

45 ° =0m

μ = 0,05 ; g = 9,8 m/s2 ;

WFr  (EcB  E pB )  (EcA  E pA )

(1)

Para calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, tenemos que calcular la distancia Δr que sobre el plano recorre el cuerpo. Para ello vemos en la figura que como hB = 0 m :

sen 45 

hA Δr

Δr 

hA 50   70,7 m sen 45 sen 45

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es: (Ver detalle)

WF r = – μ · m · g · cos 45° · ∆r

Sustituyendo en la ecuación inicial (1):

1  μ  m  g  cos 45  Δr   m  v 2B  0    0  m  g  h A  2 

Despejamos la velocidad final: Sustituimos:

21/05/2015

vB  2  g  (h A  μ  cos 45  Δr)

vB  2  9,8  (50  0,05  cos 45  70,7)  30,5 m  s1 33

Ejercicio 33 de la página 148 (Cont.): b) La energía perdida a causa del rozamiento es igual al trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

WF r = – μ · m · g · cos 45° · ∆r = – 0,05 · 5 · 9,8 · cos 45° · 70,7 = – 122,5 J Detalle de la fuerza y el trabajo de rozamiento: Vemos en la figura que:

N= pn = m · g · cos 45°

N

A

hB=0m

Fr 45 °

∆r

Sustituyendo N:

pn

Fr = μ · m · g · cos 45°

p

El trabajo realizado por esta fuerza es:

WF r = F r · ∆r · cos 180°

VOLVER 21/05/2015

Fr = μ · N

h A = 50 m

pt B

Por definición:

WF r = – μ · m · g · cos 45° · ∆r 34

4.. Potencia Los intercambios de energía entre los cuerpos duran cierto tiempo.

Un operario con un pico y una pala abre una zanja en una calle y tarda 40 horas. La misma zanja se hace en 45 minutos con la ayuda de una pala excavadora.

El trabajo realizado W ha sido el mismo, abrir la zanja, pero hay una diferencia entre ambos trabajos, el tiempo empleado : el hombre emplea 40 horas ( más de una semana de trabajo) y la excavadora sólo 45 minutos.

La magnitud física que relaciona el trabajo realizado (la energía transferida) con el tiempo que se ha tardado es la potencia.

La potencia se define como el trabajo realizado por un sistema en la unidad de tiempo, lo que podemos expresar matemáticamente así:

W P t

La unidad de potencia en el S.I. es el Watio (W) : Un Watio es la potencia de un sistema que realiza el trabajo de 1 Julio en el tiempo de 1 segundo.

Otras unidades de potencia: ▪ el kiloWatio (kW), cuya equivalencia es: 1 kW = 1000 W

▪ el Caballo de vapor (CV), cuya equivalencia es: 1 CV = 735 W 21/05/2015

35

Actividad 9:

Un motor realiza un trabajo de 1 190 700 J en un tiempo de 2 minutos. Calcula su potencia en Watios, en kiloWatios y en Caballos de vapor.

Datos : W = 1 190 700 J ; t = 2 minutos = 120 s Aplicamos la expresión que nos permite calcular la potencia:

W 1190700 J   99225 W P 120 s t Como 1 kW son 1000 W:

1 kW 99225 1 99225 W    99, 225 kW 1000 1000 W Como 1CV son 735 W:

99225 W 

21/05/2015

1 CV 99225 1   135 CV 735 735 W 36

Actividad 10: Un motor-bomba sube 25 000 L de agua a 30 m de altura en 10 horas. Calcula su potencia en kW. Datos : m = 25 000 L = 30 000 kg ;h = 30 m ; t =10 h = 36 000 s El trabajo que hace el motor, es igual a la energía potencial gravitatoria que adquiere el agua cuando se encuentra a 40 m de altura:

W Ep m  g  h 25000 10  30  208 W P    t t t 36000 Como 1 kW son 1000 W:

1 kW 208 W   0, 208 kW 1000 W

21/05/2015

37

4.1. Potencia a velocidad constante La potencia mecánica de un móvil que se desplaza con MRU se puede relacionar con su velocidad y con la fuerza aplicada:

P

W F  Δx F  v  t  F v   t t t

Actividad 11: Un automóvil de 750 kg necesita una potencia de 20 CV para mantener una velocidad constante de 60 km/h por una carretera horizontal. Calcular: a) La fuerza de rozamiento v  60

km m  16,7 h s

P  20 CV 

F

Fr Por tanto:

P  F v

735 W  14700 W 1 CV

Como se desplaza a velocidad constante, el motor “hace una fuerza” igual a la de rozamiento Fr.

P  Fr  v

P 14700 Fr    880 N v 16,7

b) La potencia que necesita el coche para subir, con la misma velocidad, una pendiente que forma un ángulo de 6° con la horizontal , suponiendo que la fuerza de rozamiento vale lo mismo que en el tramo horizontal.

En este caso, además de la fuerza de rozamiento Fr, el motor debe vencer la componente tangencial del peso, pt : F

pt

6°

pt  m  g  sen α  750 10  sen 6  784 N

Fr Ya podemos calcular la potencia : P  F  v  (880  784) 16,7  27789 W 27 789 W  21/05/2015

1 CV  37,8 CV 735 W

38

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.  Supongamos

que un sistema de partículas las cuales tienen cada una distintas cantidades de movimiento.

 La

cantidad de movimiento total esta dada por la suma de las cantidad de movimiento de las partículas.

39

Por la segunda ley de Newton

F  m.a

40

41

42

43

CHOQUES Llamamos colisión o choques a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento establece que:

m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f Donde v1i, v2i, v1f y v2f son las velocidades iniciales y finales de las masas m1 y m2.

F21

F12 m1

m2

v1f

antes

v1i v2i

después

v2f 44

Clasificación de las colisiones Consideraremos colisiones en una dimensión.

Las colisiones se clasifican en:

Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir: 1 2

m1v12i  12 m2v22i  12 m1v12f  12 m2v22 f

Inelásticas: cuando parte de la energía cinética total se transforma en energía no recuperable (calor, deformación, sonido, etc.).

Perfectamente inelásticas: cuando los objetos permanecen juntos después de la colisión.

v1f = v2f 45

Colisiones perfectamente inelásticas Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple lo siguiente:

v  v1 f  v2 f 

Si m2 está inicialmente en reposo, entonces:

m1v1i v m1  m2

Si m1» m2, entonces v  v1i.

Si m1« m2, entonces v  0.

Si v2i = v1i , entonces:

m1v1i  m2v2i m1  m2

v1i

v2i

m1

m2

vf Si en este caso m1= m2, entonces: v = 0

m1+m2 46

Choques elásticos Antes de la colisión

v1i

Después de la colisión

v1f

v2i

m1

v2f

m2

En colisiones elásticas se conserva el momento y la energía total. Entonces se tiene que:

y 1 2

m1v12i  12 m2v22i  12 m1v12f  12 m2v22 f

Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que:

v1i  v1 f  v2i  v2 f 47

Choques en dos dimensiones Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa para cada componente como:

m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx

m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy Antes de la colisión

v1f

v1i m1

Después de la colisión

v2i v2f m2 48

Consideraremos el caso en que m2 está en reposo inicialmente. Después del choque m1 se mueve a un ángulo q con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo f con la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como:

m1v1i = m1v1fcos q + m2v2fcos f v1f

0 = m1v1f sen q  m2v2fsen f Antes de la colisión

v1i Después de la colisión

m1

m2

f

q

v2f

La ley de la conservación de la energía suministra otra ecuación. Sin embargo, dadas las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes v1f,v2f, f, q.

1 2

m1v12i  12 m1v12f  12 m2v22 f 49

Ejemplo Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una camioneta de 2500 kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la velocidad de los autos después del choque, suponga un choque perfectamente inelástico. q

vf

Momento en x: Antes

Después

(1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) vf cos(q) Momento en y:

25 m/s

Antes

Después

(2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) vf sen(q) 20 m/s

Resolviendo q = 53.1°

vf = 15.6 m/s 50

Un automóvil de 1800 kg está detenido y es golpeado por atrás por otro automóvil de 900 kg y los dos quedan enganchados. Si el auto pequeño se movía a 20 m/s ¿cuál es la velocidad final de los dos? pi = m1v1i = (900)(20) = 18000 kg m/s pf = m1vf + m2vf = (m1 + m2) vf = 2700 vf vf = 18000/2700 = 6.67 m/s

51

En un juego de billar un jugador desea meter la bola objetivo en la buchaca de la esquina.

Conservación de la energía 1 2

y v1i

m1v12i  12 m1v12f  12 m2v22 f v12i  v12f  v22 f

v2f 35 q

Conservación del momento (bidimensional) x

v1i  v1 f  v 2 f

v1f

Efectuando el producto punto

v12i  v1 f  v 2 f  v1 f  v 2 f   v12f  v22 f  2v1 f  v 2 f 0  2v1 f v2 f cos35  q 

q = 55°

52

Ejercicios 1.- Una pelota de 250 g con una velocidad de 10 m/s es golpeada por un jugador y sale en la misma dirección pero en sentido contrario con una velocidad de 15 m/s. Sabiendo que la duración del golpe es de 0.01 s; hallar la fuerza media ejercida por el jugador sobre la pelota.

2.- Un cañón de 250 Kg dispara un proyectil de 1 Kg con una velocidad inicial de 500 m/s, a) calcular la velocidad de retroceso del cañón; b) si el retroceso se efectúa contra una fuerza constante de 2000 N, hallar el tiempo que tardará en detenerse.

53

5.. Energía potencial electrostática Las fuerzas eléctricas son conservativas, como el peso o las fuerzas elásticas. Esto significa que el trabajo que hacemos para vencerlas, no se pierde, sino que queda almacenado en forma de energía potencial electrostática.

Energía potencial electrostática es la energía que posee una carga eléctrica debido a la posición que ocupa en el espacio cuando actúa sobre ella un campo eléctrico.

Si una carga q está sometida a la acción del campo eléctrico creado por otra carga Q , la energía potencial electrostática que almacenan nos viene dada por la expresión:

q

d

Qq Ep  K d

Q

Ep = Energía potencial electrostática K = Constante eléctrica

N  m2  9 10 C2 9

q = carga sometida a la acción de la carga Q d = distancia entre las cargas

La unidad de energía potencial electrostática o de cualquier otro tipo, en el S.I. es el Julio (J).

Actividad 12: Calcular la energía potencial electrostática que adquiere una carga q de +4 μC al situarla en el vacío a una distancia de 20 cm de otra carga Q = +5 μ C.

2 N  m 9 Datos :q = + 4 ·10–6 C; Q = + 5 · 10–6 C; d = 20 cm = 0,20 m; K  9 10 2 C 6 6 Qq Aplicamos la fórmula anterior: 9 5 10  4 10 Ep  K  0,9 J  9 10  d 0, 20

¿Cuánto valdría la energía potencial electrostática anterior si la carga Q = –5 μ C ?.

6 6 Qq (  5  10 )  4  10 Ep  K  9 109   0,9 J d 0, 20

21/05/2015

54

5.1. Potencial eléctrico Potencial eléctrico, V , en un punto del espacio es la energía potencial electrostática que tendría la unidad de carga positiva situada en dicho punto.

Su valor se obtiene al dividir la energía potencial electrostática de una carga q entre el valor de dicha carga: Unidad en el S.I.

V

Ep q



K

Qq d KQ r q

J  Voltio ( V) C

Por tanto , el potencial creado por una carga Q en un punto P situado a una distancia d de ella, se calcula aplicando la ecuación: Q P

Q

VK

d

d

Al calcular el potencial eléctrico es obligatorio poner el signo de la carga, con lo que: • Una carga positiva crea en cualquier punto un potencial eléctrico POSITIVO

• Una carga negativa crea en cualquier punto un potencial eléctrico NEGATIVO

Actividad 13: Calcula el potencial eléctrico creado por una carga Q = +6 μ C, situada en el vacío, en un punto que dista de ella 80 cm.

Datos : Q = + 6 · 10–6 C; Aplicamos la fórmula anterior:

21/05/2015

N  m2 d = 80 cm = 0,80 m; K  9 10 C2 6 Q 6 10 V  K  9 109   6,75 104 V d 0,80 9

55

• Potencial eléctrico V en un punto creado por varias cargas Cuando existen varias cargas, el potencial en un punto es la suma algebraica del potencial que cada carga crea en ese punto: La carga Q1 crea en el punto P un potencial eléctrico V1:

P

Q1 +

d1

V1  K

Q1 d1

La carga Q2 crea en el punto P un potencial eléctrico V2:

d2

V2  K

–

Q2

Q2 d2

El potencial eléctrico V en el punto P será la suma algebraica de los potenciales V1 y V2: Q2 Q1

V  V1  V2  K

d1

Actividad 14: Calcula el potencial eléctrico en el punto P de la figura.

2 N  m 9 Datos :Q1 = – 4 ·10–6 C; Q2 = + 4 · 10–6 C; K  9 10 Y (cm) C2 –

3

K

d2

Calculamos el potencial en P que crea la carga Q1:

P

6 Q1 9 4 10 V1  K  9 10   7, 2 105 V 0, 05 d1

Q1 = – 4 μC

Calculamos el potencial en P que crea la carga Q2: 1

Q2 =+ 4 μC 2

21/05/2015

4

+

X (cm)

6 Q2 9 4 10 V2  K  9 10   9 105 V 0, 04 d2

El potencial en P vale:

V  V1  V2  7, 2 105  9 105  1,8 105 V 56

5.2. Diferencia de potencial El trabajo necesario para desplazar una carga eléctrica Q entre dos puntos de un campo eléctrico es proporcional a dicha carga y a la diferencia de potencial entre ambos puntos.

La diferencia de potencial VB–VA es el trabajo que debemos realizar para desplazar la unidad de carga positiva a velocidad constante desde el punto A al punto B:

WAB VB  VA  Q La unidad de diferencia de potencial es la misma que de potencial eléctrico, el voltio (V).

Entre dos puntos existe una diferencia de potencial de 1 voltio si para trasladar de uno a otro una carga de 1 culombio a velocidad constante debe realizarse un trabajo de 1 julio.

De la definición de arriba, podemos deducir una expresión para calcular el trabajo eléctrico, que debe hacer una fuerza exterior para vencer la fuerza eléctrica:

WAB  Q  (VB  VA ) El trabajo realizado por la fuerza eléctrica tiene el mismo valor pero signo opuesto.

Actividad 15: El potencial eléctrico en los puntos A y B vale, respectivamente, – 300 V y 200 V. ¿Qué trabajo debemos realizar para trasladar una carga de 0,05 C desde el punto A al B?.

Aplicamos la expresión anterior:

WAB  Q  (VB  VA )  0, 05  [200  (300)]  25 J 21/05/2015

57

Actividad 16: Tenemos una carga de 40 nC, situada en el vacío. a) Hallar el potencial eléctrico que crea en un punto situado a 5 cm de ella, b) ¿cuánto vale la energía potencial electrostática que adquiriría una carga de – 1,5 nC situada en ese punto?

Datos:Q = +4 · 10–8 C; r = 5 cm = 0,05 m; K = 9·109 N·m2·C–2 ; q = – 1,5 · 10–9 C a) Aplicamos la expresión del potencial (como es una magnitud escalar, es necesario poner la carga con su signo y no el valor absoluto de la carga, como hemos hecho hasta ahora para calcular la fuerza y la intensidad de campo). 8 Q 9 4  10 V  K  9 10  7200 V r 0,05

b) Como conocemos ya el potencial en ese punto, la energía potencial eléctrica la obtenemos multiplicando la carga q que colocamos por el potencial eléctrico del punto:

V

Ep q

Despejamos:

Ep = q · V = – 1,5 · 10–9 · 7200 = – 1,1 · 10–5 J

21/05/2015

58