Погрешности

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Саратовский государственный технический университет

В.И. Новиков, А.Б. Рассада

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

Учебное пособие по курсу «Инженерная геодезия» для студентов строительных специальностей

Саратов 2007

УДК 528.48 ББК 38.115 Н 73 Рецензенты: Кафедра геодезии, гидрологии и гидрогеологии Саратовского государственного аграрного университета им. Н.И. Вавилова Главный инженер муниципального унитарного предприятия «Городское бюро землепользования» А.В.Суханов Одобрено редакционно-издательским советом Саратовского государственного технического университета

Новиков В.И. Н 73 Элементы теории погрешностей геодезических измерений в строительстве: учеб. пособие/ В.И. Новиков, А.Б. Рассада. Саратов: Саратовс. гос. техн. ун-т, 2007. 76 с.

ISBN 978–5–7433–1825–4 В учебном пособии даны общие понятия об измерениях в геодезии и о теории погрешностей как аппарате оценки точности результатов полевых измерений. Рассмотрены основные формулы теории погрешностей и примеры их применения в процессе математической обработки геодезических измерений, при этом особое внимание уделено приобретению практических навыков решения типовых примеров и задач. Учебное пособие предназначено для студентов строительных специальностей дневной и заочной форм обучения при изучении курса «Инженерная геодезия». УДК 528.48 ББК 38.115

ISBN 978-5-7433-1825-4 2

с Саратовский государственный технический университет, 2007 с Новиков В.И., Рассада А.Б., 2007

ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие содержит основы теории погрешностей измерений с учетом конкретного ее применения в практике производства геодезических работ в строительстве и при оценке дорожно-транспортных происшествий на автомобильных дорогах. В первой части его даются понятия об измерениях в геодезии и их видах; рассматриваются источники появления погрешностей в процессе измерений и способы их учета при математической обработке результатов измерений, принципы определения достоверных результатов измерений и критерии оценки точности геодезических измерений и их функций. Особое внимание обращается на практическое применение теории погрешностей в практике геодезических измерений, так как именно эта сторона вопроса вызывает наибольшие затруднения студентов. Поэтому в этой части пособия рассмотрены формулы оценки точности измерений и их функций и даются примеры их применения с подробным решением. Во второй части пособия подробным образом рассмотрены задачи на применение теории погрешностей в геодезической практике угловых, линейных и высотных измерений; при производстве теодолитных и тахеометрических съемок, технических нивелировок, графических работ на планах и картах и решении инженерно-геодезических задач. Для приобретения практических навыков применения теории погрешностей к оценке точности геодезических измерений и их функций в этой части пособия помещены задачи с ответами и поставлены вопросы для самостоятельного решения и проработки их студентами. Авторы выражают признательность профессору В.А. Калужскому за ценные замечания и рекомендации, которые были учтены при подготовке рукописи к изданию.

3

I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИЯХ И ИХ ПОГРЕШНОСТЯХ 1.1.

Виды геодезических измерений

Все измерения, в том числе геодезические, сводятся к сравнению какой-либо величины с другой одноименной величиной, принимаемой за единицу измерения. В геодезической практике измерения позволяют определить расположение отдельных точек земной поверхности или инженерных сооружений относительно друг друга и подразделяются на линейные, угловые и высотные. В отдельных случаях измерению подлежат: время, температура и влажность воздуха, давление. Если измерение есть процесс сравнения двух одноименных величин, то в результате измерения мы получаем отвлеченное число, показывающее, во сколько раз измеряемая величина больше или меньше единицы измерения. Обозначив это число через n, измеряемую величину через L и единицу измерения через 1, можно записать равенство (1) L = 1  n. Так как практически всегда измеряемая величина и единица измерения несопоставимы, то точное определение значения n невозможно. Следовательно, и искомая величина будет определяться неверно. Наиболее типичным примером такого измерения является измерение длины какого-либо отрезка местности путем последовательного укладывания вдоль этого отрезка мерного прибора, например, стальной ленты. Такое измерение называется прямым или непосредственным. Другим примером непосредственного измерения может служить измерение угла теодолитом. Однако не редки случаи, когда измерению подлежит не сама искомая величина, а нечто другое, функционально связанное с этой величиной. Такое измерение называется косвенным или посредственным. Примером таких измерений может служить определение стороны треугольника по измеренным другой стороне и двум углам треугольника. Этот пример показывает, что при косвенных измерениях требуются знания точных связей между искомой величиной и непосредственно измеряемыми величинами. Они должны быть известны еще до начала измерений. Например, формулы связи между сторонами и углами треугольника даются в тригонометрии (теорема синусов). Как отмечалось выше, измерительный процесс сводится к совмещению и сравнению единицы измерения с измеряемой величиной. Как бы тщательно ни производилось это совмещение и сравнение и как бы

совершенны не были при этом инструменты, всякое измерение неизбежно сопровождается погрешностью. Действительно, если произвести многократное измерение какой-либо величины, то результаты практически всегда будут отличаться один от другого. Это значит, что полученные результаты отличаются от действительного значения измеряемой величины, то есть, содержат погрешности. Следовательно, обозначив истинное значение величины через X, измеренное значение этой величины через 1 и разность меду 1 и Х через , получим равенство  = 1 – Х, (2) где  - истинная погрешность измеряемого значения. Источником возникновения погрешностей измерения являются, главным образом, несовершенство органов чувств человека, недостатки измерительных приборов и влияние внешних условий, в которых производятся измерения (температура, влажность воздуха, давление, ветер, рефракции и так далее). Поэтому правильная организация геодезических работ возможна лишь в том случае, если предварительно выполнен соответствующий расчет и предусмотрено влияние неизбежных погрешностей измерений. Однако и в этом случае избежать самих погрешностей и их накопления в процессе измерений невозможно. Следовательно, выполнив измерения, надо уметь надлежащим образом их оценить и определить влияние неизбежных погрешностей на полученные результаты измерений. Кроме этого, необходимо осуществить математическую обработку материалов измерений, устранить противоречия, невязки, то есть выполнить уравнивание результатов измерений. В геодезической практике основным инструментом такой математической обработки измерений является теория погрешностей и способ наименьших квадратов. Теория погрешностей является частью теории вероятности и математической статистики и служит для оценки любых наблюдений (измерений), в том числе и измерений, выполняемых в процессе производства геодезических работ. В процессе оценки и уравнения измерений необходимо учитывать и степень надежности измерений. Измерения, выполненные в условиях, позволяющих считать полученные результаты одинаково надежными, например, все углы в многоугольнике измерены одним и тем же теодолитом или теодолитами одинаковой точности, одним и тем же исполнителем или исполнителями одинаковой квалификации и при одинаковых внешних условиях, называются равноточными. Измерения же, произведенные в условиях, при которых результаты нельзя считать одинаково надежными, например, углы в многоугольнике измерены теодолитами разной точности и исполнителями разной квалификации, 5

называются неравноточными. Примером неравноточных измерений может служить и тот случай, когда отметка строительного репера (Рп С) получена путем прокладки разных по протяженности нивелирных ходов от реперов (Рп 1, Рп 2 и Рп 3) государственной геодезической сети (рис. 1). Очевидно, что при Рп 2 Рп 1 математической обработке равноточных и неравноточных измерений необходимо учитывать 1 км 2 км их степень надежности, степень доверия к результатам этих Рп С измерений. Степень доверия к результату измерения выражается числом, называемым весом 3 км Рп 3 данного измерения. Чем точнее выполненное измерение, тем Рис.1. Схема привязки больше степень доверия, тем строительного репера больше вес данного измерения. к трем реперам опорной сети

В процессе уравнивания результата измерений равноточным измерениям придают одинаковые веса, а неравноточным разные.

1.2. Погрешности измерений и их классификация Как отмечалось выше, погрешности измерений, в зависимости от источника их появления, подразделяются на инструментальные, личные и погрешности внешней среды. Инструментальные погрешности обусловлены несовершенством приборов, применяемых в процессе измерений. Личные погрешности обусловлены несовершенством органов чувств человека, появляющихся в процессе совмещения и сравнения единицы измерения с определяемой величиной. Ошибки внешней среды обусловлены влиянием внешних условий, в которых производятся измерения; сюда относятся температура и влажность воздуха, ветер, освещенность, кривизна Земли и рефракция. По характеру и свойствам погрешности подразделяются на грубые, систематические и случайные. Грубые погрешности – это такие, которые совершенно недопустимы для данных условий измерений и обусловлены, главным образом, невнимательностью исполнителей к выполнению работы. К грубым погрешностям, а точнее к промахам в измерениях относятся: при измерении длин линий просчет целой ленты, отсчет остатка взят не с того 6

конца ленты, вместо отсчета цифры шесть взят отсчет цифры девять и наоборот; при измерении угла наведение зрительной трубы выполнено не на ту точку, неверное отсчитывание градусов по лимбу; при нивелировании – не приведение пузырька уровня на середину перед отсчетом по рейке, принятие одной цифры на рейке за другую; при вычислениях - арифметические погрешности. Грубые погрешности или промахи не характеризуют измерения в целом и должны быть своевременно обнаружены и исключены из результатов измерений. Для этого применяется метод контрольных измерений и вычислений. Систематические погрешности – это такие, которые происходят от определенного источника измерений и действуют на результаты измерений по некоторому закону. Например, компарирование мерных приборов производилось при одной температуре, а измерения выполнялись при другой; остаточная величина (после проверки и юстировки нивелира) непараллельности визирной оси и оси цилиндрического уровня; установка теодолита в стороне от вершины измеряемых углов (погрешности центрирования), наличие эксцентриситета алидады и коллимационной погрешности; влияние кривизны Земли и рефракции; погрешность центрирования транспортира при нанесении контурных и рельефных точек на план способом полярных координат. Если закон действия погрешности известен, то ее нужно подсчитать и исключить из результатов измерений. Если же нет или подсчитать ее нельзя, то нужно так организовать измерения, чтобы систематическая погрешность в значительной степени взаимоисключалась. Например, введение поправок в длины линий за компарирование и температуру, а в превышения за кривизну Земли и рефракцию; геометрическое нивелирование выполнять точно из середины, брать отсчеты по диаметрально противоположным сторонам лимба или переставлять лимб на 180 градусов между полуприемами и так далее. Однако, если даже влияние источников систематических погрешностей на результаты измерений устранено или же при методически правильной организации измерительных работ источник систематических погрешностей уже не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на результаты измерений, полученные величины не будут истинными, так как в них останутся так называемые неизбежные погрешности, погрешности случайного характера. Например, при измерении длины линии практически невозможно укладывать мерную ленту в створе данной линии, осуществлять постоянное натяжение ленты, однообразно оценивать доли минимальных деталей мерного прибора, точно осуществлять наведение сетки нитей на цель, брать отсчеты по лимбу и рейкам. Случайные погрешности, закономерности которых проявляются только в массе измерений, обусловлены точностью приборов, 7

квалификацией наблюдателей и неучтенными колебаниями внешних условий. Следовательно, случайные погрешности – это такие, величина и знак которых в каждом отдельном случае неизвестны и исключение их из результатов измерений невозможно. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений, содержащих в себе случайные погрешности, получить достоверную величину, наиболее близкую к истинному значению, и как оценить результаты измерений и полученную величину. На эти вопросы и дает ответ теория погрешностей измерений. Основные задачи теории погрешностей следующие: 1) изучение законов распределения погрешностей измерений, 2) оценка точности непосредственно выполненных результатов измерений и их функций; 3) отыскание наиболее надежного значения определяемой величины и характеристики ее точности; 4) установление допусков, ограничивающих использование результатов измерений в заданных пределах точности.

1.3. Свойства случайных погрешностей Под случайной погрешностью понимают разность между измеренным значением случайной величины 1 и ее истинным (точным) значением Х при условии исключения, как отмечалось выше, систематических погрешностей i = 1i – X, (3) где i = 1, 2, 3, . . ., n при массовых измерениях данной величины. В теории погрешностей принимают два постулата: 1) погрешности i подчинены нормальному закону распределения; 2) математическое ожидание М() = О, что означает отсутствие систематических погрешностей. В этом случае математическое ожидание искомой величины М(1) равно истинному значению Х. Плотность нормального распределения случайных погрешностей измерений характеризуется выражением      

h



 e h

2 2



,

(4)

где h = 1/m 2 - мера точности, m – средняя квадратическая погрешность. Выражение (4) называют уравнением кривой погрешностей, которое впервые было получено знаменитым немецким математиком и

8

геодезистом К.Ф. Гауссом. Уравнению (4) соответствует колоколообразная кривая, которая называется кривой Гаусса (рис.2). У = φ(Δ) 0.4 0.3 0.2

2.15 13.55 -3m -2m -m

68.30% 0

13.55 2.15 +m +2m +3m

Δ, m

Рис. 2. Кривая погрешностей Гаусса

На рис. 2 изображена кривая погрешностей, анализ которой показывает, что основная масса случайных погрешностей располагается по обе стороны математического ожидания М () = О, то есть когда математическое ожидание искомой величины М (1) стремится к истинному значению Х, и распределяется следующим образом: в интервале от – m до + m около 68,3%, свыше этой величины в интервале от –2m до +2m около 27,1%, ещё большие погрешности в интервале от –3m до +3m составляют около 4,3% и за пределами этого интервала всего лишь 0,3%. Последнее значение показывает, что величина погрешности, выходящая за пределы 3m, встречается столь редко, что для решения практических задач с ней можно уже не считаться. Из анализа выражения (4) и кривой нормального распределения (рис.2) вытекают следующие свойства случайных погрешностей: 1) малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие (68,3%); 2) положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто; 3) случайные погрешности по абсолютной величине с заданной вероятностью не превосходят определенного предела (3m); 4) среднее арифметическое из значений случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном числе измерений, то есть M    1im

   0 ,

n при n  

(5)

9

где ∆ - сокращенно (по Гауссу) обозначена сумма соответствующих величин. Здесь целесообразно записать дополнительное свойство случайных погрешностей, которое часто встречается в процессе оценки точности определяемой величины и вытекает из четвертого свойства: 5) среднее арифметическое из произведений парных случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном числе измерений, так как и здесь действует свойство компенсации, то есть число положительных и отрицательных значений произведений равновозможно 1im

    0 n

(6)

при n   1.4. Принцип арифметической средины Для математической обработки результатов геодезических измерений и их оценки необходимо иметь, согласно равенству (2), ряд измерений 1 одной и той же величины Х, принятой за истинное значение. Однако в геодезической практике сравнительно редки случаи, когда истинное значение измеряемой величины заранее известно. В то же время, как отмечалось выше, главнейшей задачей теории погрешностей является определение наиболее достоверного значения измеряемой величины и оценка точности конечного результата. Пусть дан ряд измерений 11, 12, 13, . . ., 1n одной и той же величины Х, выполненных при одинаковых условиях. Даны также значения случайных погрешностей этих измерений 1, 2, 3, . . ., n. На основании формулы (2) можно записать систему равенств  1 = 11 – Х 2 = 12 – Х 3 = 13 – Х n = 1n – Х Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим 1 + 2 + 3 + . . . +n = 11 + 12 + 13 . . . + 1n – Х  n или по общепринятому обозначению (5)  = 1 - Х  n.

(7)

Разделив это равенство на число измерений n, получим

   1  X . n

n

(8)

Согласно четвертому свойству случайных погрешностей левая часть этого равенства будет равна 0 при неограниченном числе измерений.

10

Тогда равенство (8) запишется в следующем виде

1  X . n

(9)

Следовательно, среднее арифметическое из результатов измерений стремится к истинному значению при неограниченном числе измерений определяемой величины. Обозначим среднее арифметическое через х0 и запишем

1  x . o n

(10)

Среднее арифметическое число называется арифметическая средина. Итак, арифметическая средина из результатов измерений является самым надежным и достоверным значением искомой величины и практически равным истинному значению, то есть Iim хо = X (11) при n ~ Однако в действительности число измерений всегда ограничено и равенство (11) не сохраняется, то есть хо Х.. Отсюда имеем:  = хо – Х, (12) где  - случайная погрешность арифметической средины. Таким образом, при конечном числе измерений арифметическая средина будет нести в себе некоторую погрешность , которая войдет в значения случайных погрешностей данного ряда измерений,  -  = 1 – хо.

(13)

Обозначим левую часть равенства (13) через   =  - хо.

(14) Тогда будем иметь  = 1 – хо, (15) где  – вероятнейшая погрешность арифметической средины. Как видно из вышесказанного, вероятнейшая погрешность состоит из истинных случайных погрешностей измерений и постоянной погрешности арифметической средины со свойствами случайной погрешности. Поэтому вероятнейшие погрешности носят случайный характер, обладают всеми свойствами истинных погрешностей и могут использоваться в математической обработке результатов измерений. Кроме того, вероятнейшая погрешность обладает еще одним очень важным свойством. Пусть имеем ряд измерений: 11, 12, 13, . . ., 1n. Учитывая зависимость (10) и (15), можно написать n равенств 11

 1 = 11 – хо  2 = 12 – хо  3 = 13 – хо  n = 1n – хо

Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим    = 1 - n  хо или с учетом равенства (10)

   1  n  1  0 . n

(16)

Отсюда следует, что сумма вероятных погрешностей при любом числе измерений равна 0.

1.5. Критерии оценки точности геодезических измерений Чтобы установить критерий для оценки точности данного ряда измерений, необходимо найти способ математической обработки случайных погрешностей этих измерений, который не зависел бы от знаков отдельных погрешностей данного ряда и на котором наличие сравнительно крупных отдельных погрешностей было бы рельефно отражено. Средняя погрешность θ. Казалось бы, что более естественно оценку точности выполнять по средней погрешности, вычисляемой как среднее арифметическое из абсолютных значений погрешностей, то есть 

 1   2   3  ...   n n



  . n

(17)

Однако анализ данной формулы показывает, что средняя погрешность практически не реагирует на наличие в ряду измерений крупных погрешностей. Например, имеем два ряда случайных погрешностей измерений: 1 ряд: 3, 2, 4, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 3 2 ряд: 0, 1, 7, 2, 1, 1, 8, 0, 3, 1 Средние погрешности этих рядов одинаковы 81 = 82 = 24/10 = 2,4 , но совершенно очевидно, что измерения второго ряда имеют меньшую точность, чем первого. Таким образом, средняя погрешность не может служить надежным критерием оценки точности геодезических измерений, особенно при их ограниченном числе. Поэтому иногда считают, что вероятная погрешность лучше характеризует данный ряд измерений.

12

Вероятная погрешность г. Вероятной погрешностью называется такое значение случайной погрешности в данном ряду измерений, по отношению к которому одинаково возможны погрешности как больше этого значения по абсолютной величине, так и меньше. Если случайные погрешности данного ряда измерений расположить в порядке возрастания их абсолютной величины, то вероятная погрешность будет находиться в середине этого ряда. При наличии достаточно большого ряда измерений таким способом можно приблизительно определить значение вероятной погрешности. Более точно ее значение определяется через среднюю квадратическую ошибку. В теории вероятности доказано, что вероятная погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением r = 2m/3  0,67 . m .

(18) В то же время средняя погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением (19)  = 4m/5  0,80 . m. Средняя квадратическая погрешность m. Под средней квадратической погрешностью понимают такую ошибку, квадрат которой равен среднему арифметическому из суммы квадратов истинных случайных погрешностей m2 

или

21  2 2  2 3  ...  2 n n  . m=  n

(20)

Средняя квадратическая погрешность более надежно характеризует точность измерений и более рельефно отражает наличие сравнительно крупных погрешностей в данном ряду измерений. Действительно, если оценить измерения для двух вышеприведенных рядов случайных погрешностей, то получим следующие результаты m1   72 / 10  2,7 и

m 2   130 / 10  3,6 ,

то есть второй ряд измерений действительно менее точен, чем первый. Надежность средней квадратической погрешности характеризуется средней квадратической погрешностью самой средней квадратической погрешности, полученной из эксперимента, которая определяется по формуле mm  

m 2n

(21)

при n = 8 mm = 0,25 m.

13

Отсюда видно, что для достаточно надежной оценки точности геодезических измерений можно ограничиваться уже этим числом измерений n  8. Предложенная Гауссом формула (20) для оценки точности геодезических измерений предусматривает использование случайных истинных погрешностей. Однако на практике приходится иметь дело и с вероятнейшими погрешностями. В этой связи возникает вопрос о возможности использования принципа средней квадратической погрешности для оценки точности измерений при наличии вероятнейших случайных погрешностей. Для этого необходимо проанализировать взаимосвязь вероятнейших и истинных погрешностей (14). Пусть имеем ряд измерений и соответственно ряд равенств 1 =  1 +  2 =  2 +  3 =  3 +  n =  n +  Возведя в квадрат левую и правую части этих равенств и сложив их почленно, получим 2 =   2 + 2 .    + n . 2. Учитывая свойство суммы вероятнейших погрешностей (16), будем иметь 2 =   2 + n . 2.

(22) Сложив почленно левую и правую части исходных равенств и возведя их в квадрат, получим  2 =    2 + 2n .    + n2 . 2. Учитывая свойство суммы вероятнейших погрешностей (16) и пятое свойство для среднего арифметического из произведений парных случайных погрешностей (6), будем иметь (23)  2 = 2 = n2 . 2. Отсюда n  2 

  .

2

(24)

n

Подставив найденное значение в равенство (22), получим

      n  2

2

или с учетом (20) m= 

2

  .

2

n 1

(25)

(26)

Это выражение средней квадратической погрешности через случайные вероятнейшие погрешности впервые было предложено Бесселем.

14

Предельная погрешность . Как показал анализ формулы (4) и кривой Гаусса (рис. 2), случайная погрешность может быть больше средней квадратической погрешности в 32 случаях из 100, больше удвоенной средней квадратической только в 5 случаях из 100 и больше утроенной всего лишь в 3 случаях из 1000. Следовательно, почти невероятно, чтобы случайная погрешность измерения превысила утроенную величину средней квадратической погрешности. Поэтому эту величину и считают предельной, то есть пред = 3 . m.

(27) На практике, учитывая ограниченное число измерений, в качестве предельной принимают удвоенную среднюю квадратическую погрешность (28) пред = 2 . m. Абсолютные и относительные погрешности 1/N. Рассмотренные выше погрешности: истинные, средние, средние квадратические, вероятные и предельные называются абсолютными погрешностями. В принципе для оценки точности измерений можно пользоваться любой из этих погрешностей, однако в разных странах предпочтение отдается какой-либо одной. Например, в США – вероятной, а в России – средней квадратической погрешности. Для характеристики точности измерений какой-либо величины L к ней принято приписывать справа ее абсолютную ошибку со знаком ±, то есть пишут (29) L ±  или L ± m, или L ± пред, или L ± r. Во всех этих случаях приписка абсолютной погрешности имеет условное значение как критерий для оценки точности измеренной величины. Сама по себе величина абсолютной погрешности часто слабо характеризует точность измерений. Действительно, о чем говорит, например, тот факт, что длина некоторой линии местности измерена с абсолютной средней квадратической погрешностью m =  5 см? Хорошо или плохо в данном случае произведено измерение? На это можно ответить лишь при наличии самого значения измеренной величины D. Если, например, с указанной погрешностью была измерена одна из линий теодолитного хода длиной в 200 м, то можно сказать, что измерение было сделано с достаточно высокой точностью, так как значение абсолютной погрешности составляет 1/4000 долю измеренной величины. Если же с той же погрешностью был измерен, например, диаметр трубы размером в 20 см, то, очевидно, такое измерение следует признать грубым, так как значение абсолютной погрешности составляет ¼ долю измеряемой величины. Вот эта доля абсолютной погрешности от измерений величины называется относительной погрешностью, так как получается отношением абсолютной погрешности ко всей измеряемой величине. Относительная 15

погрешность выражается простой дробью, числитель которой равен единице, а знаменатель некоторому числу, полученному в результате деления измеряемой величины на абсолютную погрешность 1 1 m d md / m d    .

N D D / md D / md

(30)

Говоря об относительной погрешности, необходимо уточнять, какая абсолютная погрешность соотносится с измеряемой величиной. В зависимости от этого относительную ошибку называют, например, средней относительной погрешностью (/L), средней квадратической относительной погрешностью (m/L). Относительная погрешность является важным критерием оценки точности измерений и построений и служит мерой для предварительного расчета ее. Например, когда устанавливается точность линейных измерений при теодолитной съемке с относительной погрешностью 1/2000, то это значит, что при измерении 100-метровых линий абсолютная средняя квадратическая погрешность не должна быть больше 5 см, при измерении 200-метровых линий абсолютная погрешность не должна превышать 10 см. В геодезической практике почти все измерения оцениваются относительной погрешностью, кроме угловых измерений. Дело в том, что точность измерения угла не зависит от его величины. В то же время часто приходится иметь дело с величинами, полученными в результате различных совместных измерений, например, угловых и линейных. В этом случае дать сравнительную оценку влияния этих измерений на точность полученного результата можно лишь путем расчета. Например, при определении положения точки В относительно А расстояние АВ 3000 м было измерено с относительной погрешностью 1/2000, а направление АВ с абсолютной погрешностью 0,5/ (рис. 3). Очевидно, что под влиянием А В В • • погрешности измерения длины • точка В сместится в продольном направлении на величину 1,5 м – • // (ВВ/ = 3000/2000), а под влиянием В Рис. 3. Схема продольного и поперечного погрешности измерения смещения точки В направления получит поперечный сдвиг на величину 0,4 м – / // / / (В В =3000Х0,5 /3438 ), то есть в 3,5 раза меньше. Если бы была известна в данном случае относительная погрешность измерения угла, то для сравнительного анализа влияния этих измерений расчетов делать не пришлось бы. В геодезии за относительную погрешность измерения угла (направления) принимают отвлеченное число, выраженное простой дробью и полученное при переводе абсолютной угловой погрешности в радианы 16

1 m m / m 1    .

N p p / m p / m

В данном примере направления будет равна

относительная

(31) погрешность

измерения

1 0,5 1 .   N 3438 6876

Отсюда видно, что погрешности линейных измерений (1/2000) оказывают большое влияние на точность конечного результата, чем погрешности угловых измерений (1/6876), в те же 3,5 раза. Вопросы для самопроверки 1. Что понимают под процессом измерений в геодезии?

2. Какие измерения встречаются в геодезической практике?

3. Что такое равноточные и неравноточные измерения?

4. Что понимают под весом измерений?

5. Источники появления погрешностей в процессе измерений.

6. Какие погрешности чаще всего встречаются в геодезической практике?

7. Каковы свойства грубых и систематических погрешностей и способы их исключения из результатов измерений?

8. Какие задачи решает теория погрешностей?

9. Что понимают под кривой погрешностей, и какие выводы из этого следуют?

10. Каковы свойства случайных погрешностей?

11. Способ определения наиболее достоверного результата из ряда измерений одной и той же величины и что понимают под арифметической срединой?

12. Что такое вероятнейшая погрешность и каковы ее свойства?

13. Каковы критерии оценки точности результатов измерений?

14. Что такое средняя погрешность?

15. Что понимают под вероятной погрешностью?

16. Что такое средняя квадратическая погрешность и в чем различие между формулами Гаусса и Бесселя?

17.Какова связь между средней, вероятной и средней квадратической погрешностями?

18. Что такое предельная погрешность?

19. Что понимают под абсолютной и относительной погрешностями?

17

2. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИЙ. РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 2.1. Средняя квадратическая погрешность одного измерения Для оценки точности отдельного измерения в теории погрешностей применяется, как отмечалось выше, средняя квадратическая погрешность, предложенная Гауссом – формула (20). Применение формулы Гаусса предполагает, что результаты измерений содержат только случайные истинные погрешности, то есть измерению подверглась величина, истинное значение которой известно. Здесь естественно возникает вопрос: зачем вообще измеряем эту величину, если ее значение известно? А если все-таки измеряем, то какова цель таких измерений? Как правило, такие задачи возникают при испытании новых приборов, способов и методов производства измерений для выработки рекомендаций. Например, при испытании прибора для линейных измерений необходимо знать точное значение длины какой-либо линии (базиса). Тогда, измерив многократно эту линию предлагаемым прибором и найдя случайные истинные погрешности по формуле (2), можно будет оценить по формуле (20) точность линейных измерений данным прибором. Такие измерения (исследования) позволяют выработать соответствующие рекомендации по применению этого прибора в геодезической практике. Пример. Длина линии, измеренная стальной мерной лентой, оказалась равной D =220, 00 м. Та же линия была 6 раз измерена нитяным дальномером (исследования нитяного дальномера). Результаты измерений приведены в табл. 1, гр. 2, 3. Таблица 1 Определить среднюю квадратическую погреш№ 1 Х   измерения ность md n/n м м м расстояний нитяным 1 2 3 4 5 дальномером, приняв за 1 220,90 220,00 +0,9 0,81 истинное значение длины 2 220,80 220,00 +0,8 0,64 этой линии величину, 3 219,80 220,00 - 0,5 0,25 полученную стальной 4 220,70 220,00 +0,7 0,49 лентой, Х = D . Такое 5 219,20 220,00 - 0,8 0,64 допущение правомерно, 6 219,00 220,00 - 1,0 1,00 2 так как точность этого   = 3,83 значения в среднем в 7 раз выше точности нитяного дальномера.

18

Вычитая из всех полученных нитяным дальномером величин (гр. 2) ее истинное значение (гр. 3), получим ряд случайных истинных погрешностей (гр. 4). Возведя их в квадрат (гр. 5) и суммируя, найдем сумму квадратов случайных истинных погрешностей. Тогда средняя квадратическая погрешность каждого измерения будет равна md =     /n =   3,83/6 =  0,8 м или измерение длины линии нитяным дальномером производилась с относительной погрешностью 1 md 0,8 1 .    N D 220,00 275

К таким же исследованиям можно отнести сравнительный анализ точности тригонометрического нивелирования по сравнению с высокоточным геометрическим нивелированием или оценку точности суммарных величин измеренных углов в многоугольнике (невязок) для выработки рекомендаций по установлению предельно допустимых угловых невязок в замкнутых (разомкнутых при наличии привязки) ходах съемочных обоснований. Аналогично можно поступить при определении предельно допустимых невязок в превышениях и приращениях координат. Во всех этих случаях истинное значение тех или иных сумм точно известно. И хотя здесь оцениваются суммы измеренных величин, применение формулы Гаусса правомерно. Для оценки же точности непосредственно измерений необходимо знать функциональную зависимость между ними и конечным результатом. Наибольшее распространение для оценки непосредственных измерений получила средняя квадратическая погрешность, предложенная Бесселем и преобразованная под использование случайных вероятнейших погрешностей. В этом случае, произведя многократные измерения одной и той же неизвестной величины, определяются арифметическая средина (10) и соответственно вероятнейшие погрешности (15). Затем по формуле (26) вычисляется средняя квадратическая погрешность каждого измерения. Пример. В качестве примера рассмотрим для сравнения вышеприведенные измерения при условии отсутствия истинного значения измеряемой величины. Длина линии была измерена нитяным дальномером 6 раз. Результаты измерений приведены в табл. 2, гр. 2.

19

№ п/п 1 1 2 3 4 5 6 [l] =

L м 2 220,9 220,8 219,5 220,7 219,2 219,0 1320,1

x0 м 3 220,02 220,02 220,02 220,02 220,02 220,02

Таблица 2 δδ

Δ м 4 5 0,7744 +0,88 0,6084 +0,78 0,2704 - 0,52 0,4624 +0,68 0,6724 - 0,82 1,0404 - 1,02 [δδ] = 3,7620

x0 = [l]/n = 1320,1/6 = 220,02 м. m1 =    δδ /n – 1 =   3,762/5 =  0,87 м. Отсюда видно, что средняя квадратическая погрешность одного измерения практически равна в обоих случаях (табл.1 и 2). Кроме этого, оценивается и конечный результат, то есть арифметическая середина хо. Так как арифметическая средина является функцией измеренных величин, то оценка точности ее рассматривается ниже 2.2. Средняя квадратическая погрешность функции вида Z = Кх Выше рассмотрен вопрос оценки точности непосредственно измеренных величин. Однако нередки случаи, когда определяемая величина является функцией других непосредственно измеренных величин. Поэтому возникает вопрос о нахождении средней квадратической погрешности функции измеренных величин. Наиболее простой функциональной зависимостью будет выражение Z = Кх , (32) где Z – функция аргумента х; х – аргумент, полученный путем непосредственного измерения; К – постоянная величина. Если аргумент х был измерен n раз и каждое измерение сопровождалось случайной истинной погрешностью х, то и функция Z будет ошибочной на некоторую случайную истинную величину z; можно написать равенство Z + z = К (х + х) или погрешность функции будет равна z = К . х.

20

Следовательно, при n измерениях получим ряд таких равенств z1 = К . х1 z2 = К . х2 z3 = К . х3 zn = К . хn Для определения средней квадратической погрешности функции данного вида возведем левую и правую части равенства в квадрат, почленно суммируем найденные выражения и, разделив суммарное равенство на n, получим

z   K  x  .

2

n

2

2

n

Переходя к средним квадратическим погрешностям функции и аргумента, согласно принятому обозначению (20), будем иметь m2z = K2 . m2x или (33) mz = K . mx, то есть средняя квадратическая погрешность функции произведения постоянной на аргумент, полученный из непосредственных измерений, равна произведению постоянной на среднюю квадратическую погрешность аргумента. Пример. Определить среднюю квадратическую погрешность угла Z, полученного пересечением входящего и выходящего лучей двухзеркального экера, если угол х Х Z между зеркалами установлен со средней квадратической погрешностью mх =  2 (рис. 4). Рис. 4. Схема пересечения входящего и выходящего лучей двухзеркального экера

Согласно теории двухзеркального экера (экера Адамса) Z = 2х.

(34) Отсюда mz = 2mx или, подставляя сюда среднюю квадратическую погрешность аргумента х, получим окончательный результат mz = 2 . (2) = 4. С такой погрешностью будут выполнены построения прямых углов двухзеркальным экером, если зеркала в нем установлены под углом 450 с указанной выше погрешностью.

21

2.3. Средняя квадратическая погрешность функции вида Z = x  y Рассмотрим сначала функцию Z = x + y. Допустим, что аргументы х и у независимы и измерены с истинными погрешностями х и у. Следовательно, и функция Z будет получена так же с погрешностью z, то есть можно написать равенство Z + z = x +х + y + у или погрешность функции будет равна z = х + у. Тогда при n измерениях аргументов будем иметь ряд таких равенств z1 = х1 + у1 z2 = х2 + у2 z3 = х3 + у3 zn= хn + уn Для получения средней квадратической погрешности функции данного вида возведем левую и правую части равенства в квадрат, почленно суммируем их и, разделив суммарное равенство на число измерений, получим

z   x   y   2  x  y  .

2

n

2

n

2

n

n

Учитывая пятое свойство для среднего арифметического из произведений парных случайных погрешностей (6), третий член этого равенства будет равен 0 и не зависит от знака аргументов. Следовательно, для функций вида Z = х  у будем иметь одно и то же равенство

z   x   y  .

2

n

2

n

2

n

Согласно выражению (20) будем иметь m 2 Z  m 2 Х  m 2У

или mZ   m 2 X  m 2У , (35) то есть средняя квадратическая погрешность функций суммы или разности двух аргументов равна корню квадратному на суммы квадратов средних квадратических погрешностей этих аргументов. Пример. Горизонтальный угол теодолитного хода измерен теодолитом 2Т30. Определить среднюю квадратическую погрешность измеренного угла в полуприеме, если средняя квадратическая погрешность отсчета равна 0,5 (последние цифры в типе прибора указывают на точность взятия отсчета по микроскопу, то есть 30). Величина угла определяется как разность двух отсчетов  = N2 – N1, 22

то есть, имеем функцию вида (34), откуда следует m 2   m 2 n 2  m 2 n1 . Так как mn1  mn 2  mn  0,5 , то m  mn 2  0,5 2  0,7.

Отсюда следует, что средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности двух аргументов, измеренных с одинаковой средней квадратической погрешностью, в 2 раза больше средней квадратической погрешности одного аргумента.

2.4. Средняя квадратическая погрешность функции вида Z =x1  x2  x3  . . .  xn Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность функции данного вида, получим сначала среднюю квадратическую погрешность функции трех аргументов Z = x1  x2  x3. Перепишем это равенство в следующем виде Z = (x1  x2)  x3. На основании формул (34) и (35) будем иметь m 2 z  m 21, 2  m 2 3 , где m1,2 – средняя квадратическая погрешность функции (х1+х2). Но m 21, 2  m 21  m 2 2 . Тогда средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности трех аргументов будет равна m 2 z  m 2 x1  m 2 x 2  m 2 x3

Рассуждая аналогичным образом для функций суммы или разности четырех, затем пяти и так далее аргументов, можно доказать, что для функций вида (36) Z = x1  x2  x3  . . .  xn средняя квадратическая погрешность будет равна m 2 z  m 2 x  m 2 x  m 2 x  ...  m 2 x , или m z   m 2 x  m 2 x  m 2 x  ...  m 2 x , (37) то есть средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности многих независимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратических погрешностей аргументов. Очевидно, что при равенстве средних квадратических погрешностей всех аргументов, формула (37) примет вид mz  mx  n , (38) то есть средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности многих n аргументов, измеренных с одинаковой точностью (средней 1

1

2

2

3

3

n

n

23

квадратической погрешностью) в n раз больше средней квадратической погрешности одного аргумента. Пример. В мостовой триангуляции все углы треугольников были измерены со средней квадратической погрешностью  5. Необходимо найти среднюю квадратическую погрешность суммы углов в треугольнике. Для треугольника имеем функцию вида

  

1

 2  3

или согласно формулам (37) и (38) m



 m  3  5  3  8,7  .

Кстати говоря, из формулы (38) и данного примера можно сделать очень важный вывод: если задаться точностью (средней квадратической погрешностью) определения искомой величины, то можно заранее предвычислить точность последующих измерений. Например, с какой точностью необходимо измерять углы в треугольнике той же мостовой триангуляции, если задана предельная угловая невязка (для суммы углов). В этом случае формула (38) примет вид mx  

mz .

3

(39)

Для мостовой триангуляции, где возможно n число треугольников, формула (39) будет записана в следующем виде (формула Ферреро)

 f  f   ,

m  

(40)

3n

где f - угловая невязка в треугольнике, n – число треугольников.

2.5. Средняя квадратическая погрешность функции вида Z = K1x1  K2x2  K3x3 . . . Knxn Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность линейной функции, напишем сначала следующие равенства mz1 = K1 . mx1 Z1 = K1x1, но по формуле (33) имеем Z2 = K2x2, mz2 = K2 . mx2 -  -  Z3 = K3x3, mz3 = K3 . mx3 -  -  Zn = Knxn -  -  mzn = Kn . mxn Отсюда линейная функция будет иметь вид Z = Z1  Z2  Z3 . . . Zn. Средняя квадратическая погрешность этой функции согласно выражению (37) будет равна 2 2 2 2 m z   mz  mz  mz  ...  m z .

1

2

3

n

Подставив сюда значения m z , m z , m z и так далее, получим 1

2

3

mz   ( K1  mx1 ) 2  ( K 2  mx 2 ) 2  ...  ( Kn  mxn ) 2 ,

24

(41)

то есть средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности произведений постоянных величин на соответствующие аргументы равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянных величин на средние квадратические погрешности соответствующих аргументов. Получив формулу (41), можно вернуться к вопросу оценки точности арифметической средины. Для этого равенство (10) перепишем в следующем виде: xo 

1 1 1 1  l1   l2   l3  ...   ln . n n n n

(42)

Полученное равенство есть не что иное, как линейная функция. Следовательно, формула (41) отражает точность и арифметической средины. Обозначив среднюю квадратическую погрешность арифметической средины через М, получим 2

2

2

2

m  m  m  m  M    1    2    3   ...   n  .  n   n   n   n 

(43)

Так как при определении арифметической средины все измерения были выполнены с одинаковой точностью, то полученное выражение примет вид M 

m , n

(44)

то есть средняя квадратическая погрешность арифметической средины в n раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения. Если учесть выражение средней арифметической погрешности одного измерения (26), то будем иметь M 

  .

(45)

n(n  1)

Пример. Найти среднюю квадратическую погрешность измерения угла теодолитом 2Т30 полным примером (арифметической средины), если средняя квадратическая погрешность отсчета равна  0,5 Исходя из поставленной задачи, напишем функции но по формуле (35) m2  1  2 m 2 n , β1 = N2 – N1, β2 = N4 – N3, хo   ср 

где

1   2 2



но по формуле (35)

m2  2  2m 2 n ,

1 1  1    2 , но по формуле (44) 2 2

М 

m , 2

m   m 2  1  m 2  2   m 2 n  2  m 2 n  2   mn 2.

Тогда средняя средины будет равна

квадратическая M  

погрешность

арифметической

mn 2   mn  0,5 .

2

25

Отсюда видно, что указанная цифра в аббревиатуре ГОСТа для теодолитов означает точность измерения углов полным приёмом. В данном примере использовался теодолит 2Т30, что соответствует выше полученному результату.

2.6. Средняя квадратическая погрешность функции общего вида Z = f (x1, x2, x3, . . . . , xn) Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность функции общего вида, запишем ее в следующем виде Z+z = f(x1+x1, x2+ x2 , + … + xn + xn ),

(46)

где z – истинная погрешность функции, x – истинная погрешность аргументов. Так как истинная погрешность аргумента сравнительно мала, то полученное выше равенство можно разложить по строке Тейлора, ограничиваясь членами 1-го порядка Z   z  f ( x1 , x 2 , x3 ..., x n ) 

Откуда где

K

df df df  x 2   x 2  ...   x n . dx 2 dx n dx1

z = K1 . x1 + K2 . x2 + …+ Kn . xn,

df - частные производные данные функции, вычисленные для dx

соответствующих значений аргументов. Для данной функции это постоянные числа. Полученное равенство аналогично линейной функции и, следовательно, для него правомерна зависимость (41). Поэтому, подставляя в него на место К1, К2, К3,. . . Кn их значения для данной функции, получим m

z

 df   df   df     m x1     m x 2   ...    m xn  ,  dx1   dx 2   dx n  2

или

2

2

2

2

2

2

 df   df   df  m z     m x1     m x 2   ...    m xn  ,  dx1   dx 2   dx n 

(47)

то есть средняя квадратическая погрешность функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическуюпогрешность соответствующего аргумента. Пример. Определить величину превышения и ее среднюю квадратическую погрешность, если нивелирование выполнено . тригонометрическим способом, то есть: h = d tgv. Длина d, равная 100 м,

26

измерена с относительной погрешностью 1:1000, а угол, равный v = 300, измерен со средней квадратической погрешностью mν =  0,5. Учитывая вышеприведенные исходные данные, превышение будет равно h = 100 м . tg300 = 100 . 0,5774 = 57,74 м, а средняя квадратическая погрешность определения превышения будет получена по формуле (47) 2

где

2

2  dh  m v  dh  mh      m 2 d     2 ,  dv  p  dd  dh dh d d .  tgv;  ; md  2 dd dv Cos v 1000

(48)

Подставляя в формулу (48) значения частных производных и их числовые величины, получим 2

100 2 0,52  100  mh   tg 30     0,06 м   4 0 2  1000  Cos 30 3438 2

или

0

h = 57,74 м  0, 06 м.

2.7. Средняя квадратическая погрешность по разностям двойных измерений

В особом ряду геодезической практики стоят однородные двойные измерения, по результатам которых необходимо также производить оценку точности этих измерений и их функций. К таким измерениям относятся, например, измерения длин линий в прямом и обратном направлениях, углов теодолитом при круге право и круге лево, превышений по двум сторонам рейки и тому подобные. Метод двойных измерений одной и той же величины широко применяется при исследовании приборов и инструментов, изучении условий, в которых производятся измерения. Каков же способ оценки точности измерений применим в этих случаях? Пусть дан ряд однородных двойных измерений: 11, 11; 12, 12; 13, 13; . . . ; 1n, 1n, произведенных одним прибором и при одинаковых условиях. Отсюда можно написать ряд равенств их разностей 11 - 11 = d1 12 - 12 = d2 13 - 13 = d3 1n - 1n = dn

27

Если допустить, что все измерения сделаны абсолютно точно, то каждая разность равнялась бы нулю, то есть нуль является истинным значением разности. Следовательно, можно записать ряд равенств d 1 - 0 = d1 d2 - 0 = d 2 d3 - 0 = d 3 dn - 0 = dn Отсюда можно сделать правомерный вывод, что при отсутствии систематических погрешностей d1, d2, d3, . . . , dn являются истинными погрешностями разностей. В этом случае для оценки точности разности двойных измерений применима формула Гаусса (20) md  

dd  . n

(49)

С другой стороны, каждая разность di есть функция разности двух измерений 1i и 1/i . Следовательно, согласно формуле (35), средняя квадратическая погрешность разности двух равноточных измерений в 2 раз больше средней квадратической погрешности одного измерения md =  m1 . 2 ,

(50)

где m1 – средняя квадратическая погрешность одного измерения данного ряда. Отсюда с учетом формулы (49) можно написать m1  

md  2

dd  .

2n

(51)

то есть средняя квадратическая погрешность каждого результата данного ряда измерений равна корню квадратному из суммы квадратов разностей парных измерений, деленной на число измерений вообще. Формула (51) получена при условии отсутствия в измерениях систематических погрешностей. Наличие систематических погрешностей в результатах двойных измерений практически не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на их разности, но остаточная величина ее все же присутствует в разностях. Поэтому вычисленные по формуле (51) средние квадратические погрешности оказываются несколько преуменьшенными. Пример. При прокладке теодолитного хода каждая сторона его была измерена дважды – в прямом и обратном направлениях. Результаты измерений приведены в табл. 3, гр. 2, 3. Найти среднюю квадратическую погрешность каждого измерения.

28

Таблица 3 Сначала находим разности парных измерений, то есть построчно из результатов измерений в прямом направлении вычитаем результаты измерений в обратном направлении и полученные величины записываем в гр. 4 табл. 3. Затем полученные значения возведем в квадрат и суммируем (гр. 5). После этого, подставив сумму квадратов разностей в форму (51), найдем среднюю квадратическую погрешность каждого результата из данного ряда измерений.

lо м 3

d

dd

1

lп м 2

4

5

1 2 3 4 5 6 7

132,48 195,21 210,59 156,58 225,37 173,72 117,24

132,54 195,26 210,52 156,63 225,29 173,66 117,29

-6 -5 +7 -5 +8 +6 -5

36 25 49 25 64 36 25

[dd]

=

260

№

m1 =  260/14 =  4,3 см =  0,043 м. Если разности парных измерений содержат только случайные погрешности, то согласно четвертому закону свойств случайных погрешностей среднее арифметическое из этих разностей будет стремиться к нулю при достаточно большом числе измерений. Систематические погрешности характеризуются постоянством знака. Поэтому при наличии их в результатах измерений среднее арифметические из разности парных измерений не будет равно нулю do = d / n,

(52)

где do – есть не что иное, как вероятнейшее значение систематической погрешности разности. Исключив из всех разностей парных измерений вероятнейшее значение систематической погрешности, получим вероятнейшие погрешности по результатам двойных измерений. Действительно, составим ряд равенств d1 = d1 – d0 d2 = d2 – d0 d3 = d3 – d0 dn = dn – d0 Сложив левую и правую части этих равенств, получим d = d – n . d0.

29

Подставив сюда значение d0 из формулы (52), будем иметь d = d – n . d / n = 0, то есть сумма разностей парных измерений при исключении из них систематической погрешности обладает свойствами вероятнейших погрешностей (16). Следовательно, для определения средней квадратической погрешности по разностям двойных измерений при условии исключения из них систематической погрешности можно использовать формулу Бесселя (26) md  

d  .

2

n 1

(53)

С другой стороны, согласно (50), имеем md = m1. 2 . Отсюда с учетом полученного выше выражения (53) будем иметь m1  

d  d  , 2(n  1)

(54)

то есть средняя квадратическая погрешность каждого результата двойных измерений равна корню квадратному из суммы квадратов разностей парных измерений при исключенной из них систематической погрешности, деленной на число измерений вообще без двух. Пример. В теодолитном ходе горизонтальные углы были измерены полным приемом. Результаты измерений приведены в табл.4. Таблица 4 Углы Круг право Круг лево d d dd 1 2 3 4 5 6 +1,3 +0,3 0,09 1 98 07,5 98 06,2 +0,7 -0,3 0,09 2 102 10,3 102 09,6 +1,3 +0,3 0,09 3 89 46,8 89 45,5 +0,5 -0,5 0,25 4 111 17,1 111 16,6 +1,3 +0,3 0,09 5 90 40,4 90 39,1 +0,9 -0,1 0,01 6 103 07,9 103 07,0 +6,0 0 0,62 = do = d / n = + 6,0/6 = + 1,0; d = d - do m    dd  / 2(n  1)   0,62 / 10  0,25

30

Сначала находим разности парных измерений, то есть построчно из величин гр. 2 вычитаем значения гр. 3 и результаты записываем в гр. 4. Затем суммируем значения гр. 4 и полученную величину делим на число парных измерений, в результате чего имеем вероятнейшую систематическую погрешность в разностях двойных измерений. Исключив систематическую погрешность из разностей двойных измерений, получим вероятнейшие значения погрешностей по двойным измерениям гр. 5. Для определения средней квадратической погрешности измерения угла в полуприеме возведем полученные в гр. 5 значения в квадрат и воспользуемся формулой (54). Результаты вычислений приведены в табл.4 и ниже ее. Так как вероятнейшее значение угла вычисляется как арифметическая средина из двух полуприемов, то для определения средней квадратической погрешности угла, измеренного полным приемом, воспользуемся формулой (44) Mср =  0, 25/2 =  0,18. Вопросы для самопроверки 1. В чем заключается понятие оценки точности измерений?

2. В чем различие формул, предложенных Гауссом и Бесселем для оценки точности непосредственно измеренных величин?

3. В чем различие оценки точности единичного измерения и его функций?

4. Как оцениваются функции вида произведения постоянного числа на аргумент, полученный в результате измерений? Привести пример.

5. Как оцениваются функции вида суммы или разности двух аргументов, полученных в результате независимых друг от друга измерений? Привести пример.

6. Как оцениваются функции суммы или разности многих аргументов, полученных в результате независимых измерений?

7. Как оцениваются функции линейного типа? Привести пример.

8. Как оцениваются функции общего вида? Привести пример.

9. Как оценивается арифметическая средина? Проиллюстрировать это на конкретном примере.

10. В чем особенности оценки точности двойных измерений? Привести пример.

11. Каково влияние систематических погрешностей на оценку точности двойных измерений?

31

3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИЙ. НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 3.1. Веса результатов измерений До сих пор рассматривали так называемые равноточные измерения, то есть измерения, произведенные с одинаковой точностью (одним наблюдателем, одним и тем же прибором, одним и тем же методом измерения, при одних и тех же внешних условиях). Однако в геодезической практике часто возникает необходимость производить математическую обработку совокупности неравноточных измерений. Применять к ним ранее рассмотренные формулы арифметической средины или средних квадратических погрешностей нельзя. Это утверждение хорошо иллюстрируется таким примером. Пусть один и тот же угол измерен тремя наблюдателями одним и тем же прибором, но первый получил результат как среднее арифметическое на двух измерений угла, второй из трех измерений и третий из четырех. Каково будет вероятнейшее значение угла? Взять за вероятнейшее значение как среднее арифметическое из трех результатов угла нельзя. Первый результат в данном случае будет грубее остальных, а третий результат, наоборот, точнее первых двух. Следовательно, можно сказать, что второму результату доверяем больше, чем первому, а третьему – больше, чем первому и второму. Вот эту степень доверия к результату измерений в теории погрешностей, как отмечалось выше, и принято называть весом Р измерения и выражать соответствующими числами. Если сказать, что какой-нибудь результат измерений имеет вес Р1 = 5, а другой – Р2 = 10, то это означает, что второй результат точнее первого в 2 раза. Очевидно, что вес будет обратно пропорционален средней квадратической погрешности. Чтобы усилить различие между весами более точных и менее точных измерений, принято веса измерений считать обратно пропорциональным квадратам средних квадратических погрешностей P1 



m1

2

, P2 



m2

2

, P3 



m3

2

, . . ., Pn 



mn

2

,

(55)

где  - некоторый коэффициент пропорциональности, выбранный при обработке данной совокупности измерений таким, чтобы веса по возможности выражались целыми числами. Пример. Пусть два угла измерены со средними квадратическими погрешностями m1 =  0,4 и m2 =  0,6. Необходимо определить их веса Р1 и Р2.

32

P1  P2 

Приняв   0,04 , получим

 m1

2



2





 0,4

2



2





 0,16



, .

0,36 0,6 0,04 1 0,04 1 P1   , P2   .

0,16 4 0,36 9 m2

Умножая веса на 36, получим Р1 = 9 , Р2 = 4. Таким образом, веса результатов измерений можно умножать и делить на одно и то же число. От этого соотношение весов не изменяется. Пример. Найти веса углов, если их средние квадратические погрешности соответственно равны: m1 =  2 , m1 =  8. В соответствии с выражением (55) запишем P1 



m1

2

и P2 



m2

2

.

Разделив первое равенство на второе, получив 2

Р1 m2  , Р2 m12

(56)

то есть соотношение весов измерений обратно пропорционально соотношению квадратов средних квадратических погрешностей этих измерений. Подставляя значение m в выражение (56), получим P1 64   16 .

P2 4

Отношение Р1: Р2 может равняться 16, когда Р1 = 16, а Р2 = 1, или когда Р1 = 1, а Р2 = 1/16, то есть веса измерений есть числа относительные. Вес арифметический средины. Как отмечалось выше, средняя квадратическая погрешность арифметической средины равна (44) М 

m1 , n

где m1 – средняя квадратическая погрешность отдельного результата равноточных измерений. Обозначим вес отдельного результата через р, а вес арифметической средины через Р. Тогда по соотношению (56) будем иметь 2

2

P m1 m1  2   n. р M (m1 / n) 2

Если вес р отдельного результата измерений принять равным единице, то вес Р арифметической средины будет равен n , то есть числу измерений. Другими словами, вес Р арифметической средины в n раз больше веса р отдельного результата измерений Р = р.

(57) 33

3.2. Средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице При равноточных измерениях критерием точности данного ряда наблюдений служит средняя квадратическая погрешность m отдельного результата. При неравноточных измерениях таким критерием служит средняя квадратическая погрешность результата с весом, равным единице. Средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице, получается, если вес какого-либо измерения принять равным единице, а среднюю квадратическую погрешность его обозначить через . Тогда по формуле (55) получим  2

1

2   .

и

Отсюда общее выражения веса примет вид P

2 m

 2  P  m2 .

или

2

Подставив сюда значение квадрата средней погрешности, вычисляемого по формуле (20), получим 2  p

квадратической

     p 2

2

n

или 

n

 p , 2

n

(58)

где  - истинная погрешность измерения. Аналогично можно доказать, что

 p 2

 

n 1

(59)

где –  вероятнейшая погрешность измерения. По аналогии с выводами формулы (10) можно доказать, что   р всегда равна нулю. Соответственно для разности двойных измерений получим - при отсутствии систематических погрешностей 

d p , 2

2n

(60)

где d – истинные погрешности разностей двойных измерений; - при наличии систематических погрешностей в измерениях 

d p , 2

2(n  1)

где d – вероятнейшие погрешности разностей двойных измерений.

34

(61)

На основании формулы (56) можно получить m1



2

2

или m1  



 p1

1 p1

,

(62)

то есть средняя квадратическая погрешность отдельного неравноточного измерения равна средней квадратической погрешности измерения с весом, равным единице, деленной на корень квадратный из веса данного неравноточного измерения.

3.3. Общая арифметическая средина или среднее весовое Пусть имеем n результатов неравноточных измерений одной и той же величины 1i и их веса Рi 11, 12, 13, . . ., 1n Р1, Р2, Р3, . . . , Рn Каждое значение 1i можно рассматривать арифметическое из рi равноточных измерений 1 1i 

как

среднее

1i1  1i 2  1i 3  ...  p n  1n Pi

или Рi 1i = 1 i. Число таких равноточных измерений будет равно р. Взяв среднее арифметическое из левых и правых частей равенств, получим

 p1  1i  , p

но

p

1i  = х – есть вероятнейшее значение (среднее арифметическое или о p

арифметическая средина) согласно формуле (10). Тогда xo 

 p1  p

p1  11  p 2  12  ...  p n  1n , p1  p 2  ...  p n

(63)

то есть общая арифметическая средина равна сумме произведений измерений и соответствующих весов, деленной на сумму весов измерений.

35

3.4. Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины На основании определения веса, используя формулу (56), можно написать Мо

2

2



1 ;  р

М 2о 

2

 р

,

(64)

где Mo – средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины, р - вес арифметической средины. Тогда Мо 



 р

,

(65)

то есть средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины равна средней квадратической погрешности отдельного измерения с весом, равным единице, деленной на корень квадратный из суммы весов данного ряда измерений. Подставив сюда значение средней квадратической погрешности измерения с весом, равным единице (62), получим Мо 

m1 . n

(66)

то есть средняя квадратическая погрешность арифметической средины равна средней квадратической погрешности отдельного неравноточного измерения, деленной на корень квадратный из числа измерений. Пример. Горизонтальный угол многократно измерен теодолитом. Результаты его, полученные из разного числа приемов, приведены в табл. 5. Таблица 5 Величина Число Вес δ р.δ δ2 δ2 . р угла приемов р 1 430 08 10 07

2 2 1 3

3 2 1 3 р=6

4 +0,2 +2,2 -0,8

5 +0,4 +2,2 -2,4 рδ=+0,2

6 0,04 4,84 0,64

7 0,08 4,84 1,92 δ2р=6,84

Найти вероятнейшее значение угла (общую арифметическую средину) и его среднюю квадратическую погрешность.

36

Сначала определяем вес каждого результата, который можно принять равным числу приемов, гр. 3 (чем больше приемов, тем больше степень доверия к результату). Затем находим общую арифметическую средину, которая будет равна сумме произведений результатов измерений (гр. 1) и соответствующих весов (гр. 3), деленной на сумму весов, хо    430 

8  2  10  1  7  3  430  07,8  43007,8 .

2 1 3

После этого вычисляем вероятнейшие погрешности (гр. 4) по вышеприведенным зависимостям (δ i = 1i – хо) и все остальные величины (гр. 5-7). Подставляя найденные величины в формулу (59) и дальше в формулу (65), получим  Mo 



 p

р    2

n 1

6,84  1,8 , 2

 1,8 / 6  0,8 ;

  43007,8  0,8/ .

Пример. От трех марок высокоточного нивелирования определена техническим нивелированием отметка точки А (рис. 5). Результаты нивелирования приведены в табл. 6, гр. 1. Таблица 6 1 = Н, Длина хода Вес Вес δ δр рδ2 м км р р мм мм 1 124, 360 380 320

2 1 2 6

3 1/1 1/2 1/6 =

4 6 3 1 10

5 -2 +18 -42

6 -12 +54 -42

7 24 972 1764

0

2760

Определить: а) вероятнейшее значение отметки точки А, б) среднюю квадратическую погрешность результата с весом, равным единице, в) среднюю квадратическую погрешность отдельных результатов нивелирования, г) среднюю квадратическую погрешность вероятнейшего значения (общей арифметической средины). Сначала определяем вес каждого результата нивелирования, который можно принять равным величине, обратной длине хода, гр. 3 (чем меньше 37

длина хода, тем больше степень доверия к результату нивелирования). Умножив веса на 6, получим их величины в целых числах, гр. 4. Рп 2 Рп 1 2 км

1 км Рп 3

A

3 км

Рис. 5. Схема определения отметки точки Аот трех реперов геодезической опорной сети

Затем находим общую арифметическую средину, по аналогии с предыдущим, то есть xo  H  124,320 

40  6  60  3  0  1  124,362 м .

10

После этого вычисляем вероятнейшие погрешности и значения остальных граф табл. 6, гр. 5-7. Подставляя найденные величины в формулы (59), (62) и (65), получим 

m1 

 p1



р    2

n 1

2760  37 мм , 2

37 37 37  15 мм ; m2   21мм ; m3   37 мм .

6 3 1

Следовательно, отметки точки А были получены Н1 = 124, 360 м15 мм, Н2 = 124, 380 м21 мм, Н3 = 124, 320 м37 мм. Что касается общей арифметической средины, то Мо 

38

37  12 мм 10

и

хо  Н  124,362 м  12 мм .

Из рассмотренных выше примеров видно, что в качестве весов можно принимать любые числа, характеризующие или отражающие степень доверия к результатам измерений, например, число приемов, длина хода.

3.5. Веса функций измеренных величин Для определения веса функций измеренных величин нужно воспользоваться формулами (33), (35), (37), (41) и (47), заменив в них средние квадратические погрешности величинами, обратными весу измерений. Тогда будем иметь 1. Для функции вида Z = К . х 1 1 ,  K2  рz px

(67)

то есть число, обратное весу функции, равно произведению квадрата постоянной величины на число, обратное весу аргумента.

2. Для функции вида Z = х  у 1 1 1   , рz px p y

(68)

то есть число, обратное весу функции, равно сумме чисел, обратных весам аргументов.

3. Для функции вида Z = х1  х2  х3  . . .  хn 1 1 1 1 1 ,     ...  рz px1 px 2 px 3 pxn

(69)

то есть число, обратное весу функции, равно сумме чисел, обратных весам аргументов.

4. Для функции вида Z = К1х1  К2х2  К3х3± . . .  Кnхn 1 1 1 2 2 2 1 2 1 ,  K1   K2   K3  ...  K n рz px1 px 2 px 3 pxn

(70)

то есть число, обратное весу функции, равно сумме произведений квадрата постоянного на число, обратное весу аргумента.

5. Для функции общего вида Z = f (x1, x2, х3, . . . , xn) 2

2

2

 df  1 1  df  1  df  2       ,      ...   pz  dx1  px1  dx1  px 2  dxn  pxn

(71)

39

то есть число, обратное весу функции, равно сумме произведений квадрата частной производной по каждому аргументу на число, обратное весу соответствующего аргумента. Вопросы для самопроверки 1.

2.

3.

4.

Какие измерения называются неравноточными? Что понимают под весом измерения? Как выражаются веса измерений? Как соотносятся веса и средние квадратические погрешности ряда измерений?

5. Каков вес арифметической средины?

6. Что такое средняя квадратическая погрешность измерений с весом, равным единице?

7. Какая связь между средней квадратической погрешностью измерения с весом, равным единице, и средней квадратической погрешностью отдельного неравноточного измерения?

8. Что такое общая арифметическая средина?

9. Каково значение средней квадратической погрешности общей арифметической средины?

10. Как соотносятся веса функций с весами их аргументов?

40

II. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ К ПРАКТИКЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РАБОТ 4. РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 4.1. Сводка формул по теории погрешностей 1. Вероятнейшее значение измеряемой величины – арифметическая средина хо 

11  12  13  ...  1n 1 ,  n n

где 1 – результат измерения определяемой величины, n – число измерений.

2. Погрешности, служащие критерием точности измерений: а) средняя погрешность 

1   2   3  ...   n n



 , n

где  - случайные погрешности данного ряда измерений.  = 0,7979 . m, б) вероятная погрешность r = 0,6745 . m , r = 0,8333 . , в) средняя квадратическая погрешность - при наличии случайных истинных погрешностей 2

2

2

2

   2   3  ... n m 1  n

  2

n

,

где i = 1i – Х –случайная истинная погрешность измерения, 1i – результат измерения, Х – истинная величина измерения.

- при наличии случайных вероятнейших погрешностей m

 21   2 2   23  ...   2 n n 1



  , 2

n 1

где δi = 1i – хо – вероятнейшая погрешность данного ряда измерений, 1i – результат измерения определяемой величины, хо – арифметическая средина.

- по разностям двойных измерений m /

d 21  d 2 2  d 2 3  ...  d 2 n  2n

d  , 2

2n

где di = 1i – 1 i – разность между первым и вторым результатами измерений одной и той же величины при отсутствии в ней систематической погрешности.

41

m





d 21  d 2 2  d 2 3  ...  d 2 n d 2 n  , 2(n  1) 2(n  1)

где d = d – do разность между первым и вторым результатами измерений одной и той же величины и исключенной из нее систематической погрешности, которая вычисляется следующим образом: do = d / n. г) предельная погрешность lim = 3m = 3 .  = 3 . r.

3. Средняя квадратическая погрешность арифметической средины m n m M  2n

M 

при n числе измерений одной и той же величины, при двойных измерениях.

4. Средняя квадратическая погрешность функций Вид функции Средняя квадратическая погрешность . mz = K . m2x а) Z = К х m2z = m2x + m2y, б) Z = х  у m2z = m21 + m22 + … + m2n в) Z = х1  х2  . . .хn г) Z  K1 x1  K 2 x2  ...  K n xn m 2 z  K 21m 2 x1  K 2 2 m 2 x 2  ...  K 2 n m 2 xn , 2

д) Z  f ( x1 , x 2 ,...x n )

m

2

z

2

2

 df   df   df    m 2 xn   m 2 x 2  ...     m 2 x1      dx2   dx1   dxn 

4.2. Угловые измерения Пример 1. При измерении углов в четырех треугольниках тоннельной триангуляции были получены следующие угловые невязки: f1 = 3, f2 = 1, f3 = 0 , f4 = 2. Определить среднюю квадратическую погрешность суммы углов (угловой невязки f) одного треугольника. Угловые невязки в треугольниках можно рассматривать как истинные погрешности, так как теоретическая сумма углов в плоском треугольнике равна 180 градусов f =1 +2 + 3 – 180  f1 fβ2 f3 f4

42

= = = = =

Х =   180 = - 3 9 180 = +1 1 180 = 0 0 180 = +2 4   = 14 // mfβ =  14 4 = ± 1,9 .

I 1 2 [β]3 [β]4

– -

В данном примере ответ получен только на один вопрос, но здесь возможен и второй: определить среднюю квадратическую погрешность измерения углов в тоннельной триангуляции. В этом случае следует рассматривать функцию вида Z= x1  x2  …  xn. Для этой функции средняя квадратическая погрешность ее будет равна m2f = m21 + m22 + m23 или при равноточных измерениях m2f = 3 . m2. Отсюда m 

m f



3

1,9  3

  1,1 .

Используя формулу Ферреро (40), можно было получить это значение и непосредственно по невязкам m  

f f    

3n



14  1,1 , 12

где n – число треугольников. Пример 2. Определить среднюю квадратическую погрешность дирекционного угла 9-й линии теодолитного хода, если средняя квадратическая погрешность измерения правых по ходу углов равна m = 0,7, а исходный дирекционный угол  можно считать безошибочным. Сначала запишем известную зависимость n = 1 + 180 . n - 1 - 2 - . . . - n,

где n - число углов. Тогда 9 = 180 . 8 - 1 - 2 - 3 -. . . - 8. Для функции данного вида средняя квадратическая погрешность будет равна m29 = m21 + m22 + m23 + . . . + m28 или при равноточных измерениях углов можно записать m 2q   8  m 2   0,7  8  2,0 . В данном примере речь идет о так называемом висячем ходе. Если же была выполнена привязка к опорной сети и конца хода, то есть будет известен дирекционный угол и последней линии (9-й), то максимальная погрешность будет находиться в середине хода. Тогда mmax 

2,0  1,4 .

2

Пример 3. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения угла теодолитом полным приемом с учетом точности взятия отсчетов по микроскопу теодолита и визирования.

43

Сначала выразим функциями вычисления углов полным приемом и в полуприемах  ñð 

1   2 2



1 1 1   2 , 2 2

где 1 и 2 – углы, полученные в первом и втором полуприемах,  = Nо2 + Nв2 - Nо1 – Nв1 , где Nо и Nв – некоторые величины отсчетов и визирования, которых будет в каждом полуприеме по два – два отсчета и два наведения на цель. Полученные выражения имеют вид знакомых нам функций. Следовательно, переходя к средним квадратическим погрешностям, можно записать m2ср = 0,25 . m21 + 0,25 . m22, m2 = m20 + m2В + m20 + m2В или при равноточных измерениях mср = m/2 и m   2  m2o  2  m2в . Подставив второе выражение в первое, получим среднюю квадратическую ошибку измерения угла теодолитом полным приемом с учетом погрешностей взятия отсчетов и наведения зрительной трубы mср =   m20 + m2в. Пример 4. Углы поворота трассы измерены гониометром дважды. Результаты измерений приведены в табл. 7, гр. 2, 3. Определить вероятнейшие значения измеренных углов и их среднюю квадратическую погрешность. Таблица 7 / d dd № i iср i 1 2 3 4 5 6 0 / 0 / 0 / / 1 15 15 15 20 15 17,5 -5 25 2 30 40 30 35 30 37,5 +5 25 3 21 55 22 00 21 57,5 -5 25 4 27 15 27 15 27 15,0 0 0 5 43 20 43 25 43 22,5 -5 25 6 5 10 5 00 5 05,0 + 10 100 7 29 30 29 35 29 32,5 -5 25 8 22 40 22 35 22 37,5 +5 25 9 7 00 7 15 7 07,5 - 15 225 10 33 25 33 20 33 22,5 +5 25 11 54 10 54 00 54 05,0 + 10 100 =

44

0

525

Итак, дан ряд двойных измерений. Вероятнейшее значение углов поворота трассы будет равно среднему арифметическому из результатов двух измерений одного и того же угла, гр. 4. Вычитая из одного результата, гр. 2, другой гр. 3, получаем разность, которую записываем в гр. 5. Суммируя результаты гр. 5, убеждаемся, что систематических погрешностей в разностях двойных измерений нет d = 0. После этого вычисляем среднюю квадратическую погрешность каждого измерения,

m1  

dd    2n

525  4,9 .

22

Так как вероятнейшее значение при двойных измерениях вычисляется из результатов двух измерений, то средняя квадратическая погрешность арифметической средины будет равна М = m1/2 =  4,9/2 =  3,5. Здесь уместно дать сравнительный анализ качественной стороны критериев, применяемых в научной среде для оценки точности геодезических измерений. Для этого рассмотрим пример, на котором можно будет найти погрешности, используемые в качестве критерия оценки точности данного ряда измерений, и произведём их сравнение. Пример 5. Дан ряд истинных погрешностей, расположенных в порядке возрастания их абсолютных величин, табл. 8. Определить среднюю квадратическую погрешность, среднюю, вероятную и предельную погрешности этого ряда. Таблица 8 Сначала возведем в квадрат значения всех № ∆ ∆∆ погрешностей. Затем суммируем величины 1 + 0,02 0,0004 квадратов и значения самих погрешностей по 2 - 0,03 0,0009 абсолютной величине.

3 - 0,05 0,0025 Средняя квадратическая погрешность данного ряда 4 + 0,10 0,0100 измерений вычисляется по формуле Гаусса 5 + 0,12 0,0144 m = ± 0,2194 / 10 = ± 0,15.

6 - 0,15 0,0225 7 - 0,17 0,0289 Cредняя квадратическая погрешность более 8 + 0,17 0,0289 строго оценивает результаты измерений, чем 9 - 0,22 0,0484 средняя и вероятная, их соотношения соответствуют тем данным, которые приведены в разд. 4.1. 10 +0,25 0,0625 Результаты сравнений приведены ниже. Σ = 1,28 0,2194 Средняя погрешность будет равна Вероятная погрешность θ = 1,28/10 = ± 0,13; r = 0,8333 x 0,12 = ± 0,10; θ = 0,7979 x 0,15 = ± 0,12. r = 0,6745 x 0,15 = ± 0,10. Предельная погрешность: ∆пр = 3 х 0,15 = ± 0,45.

45

Задача 1. При измерении углов теодолитом 2Т30 точность отсчитывания по микроскопу равна mo =  0,5. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения горизонтального угла полным приемом. Сколько приемов нужно сделать, чтобы погрешность угла не превышала  0,2? Средняя квадратическая погрешность угла, измеренного полным приемом, равна  0,5/, число приемов  8. Задача 2. Угол наклона измерен теодолитом 2Т30 с точностью отсчитывания по микроскопу mo =  0,5. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения угла полным приемом и при одном круге. Искомая величина будет равна: полным приемом 0,5 / 2 =  0,3, при одном круге 0,5 / 1,5 =  0,4. Задача 3. При определении направления истинного меридиана на одном из концов трассы дороги были получены следующие значения истинных азимутов по наблюдениям соответствующих высот Солнца: 218022,6; 2180 22,4/; 2180 21,5/; 2180 22,8/; 2180 21,1/; 2180 21,6/. Определить вероятнейшее значение истинного азимута и его среднюю квадратическую погрешность. Искомая величина будет равна А = 218022,0  0,3. Задача 4. При исследовании теодолита 30 точности было измерено им 5 углов полным приемом: 89014,5 и 890 14,0/; 720 16,0/ и 720 16,5/; 1040 14,5/ и 1040 14,0/; 530 10,5/ и 530 10,0/; 680 13,0/ и 680 13,5/. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения угла полным приемом. Ответ: m =  0,4 и Мcр =  0,3. Задача 5. Вычислить предельную погрешность в сумме углов теодолитного хода, имеющего 12 углов поворота, если средняя квадратическая погрешность измерения одного угла m =  0,5. Ответ: пр =  5,4. Задача 6. В треугольнике два угла измерены со средней квадратической погрешностью m =  0,5. Найти среднюю квадратическую погрешность третьего угла, вычисленного по двум измеренным. Ответ: m  =  0,7. Задача 7. Средняя квадратическая погрешность суммы углов в мостовой триангуляции равна  3,5. Какова средняя квадратическая погрешность измерения одного угла? Ответ: m =  2.

46

Задача 8. Найти среднюю квадратическую погрешность суммы углов в девятиугольнике, если средняя квадратическая погрешность измерения одного направления равна 5 и каждый угол был получен, как разность двух направлений. Ответ: mf =  21. Задача 9. Горизонтальный угол был измерен способом повторений теодолитом 30-секундной точности. Найти среднюю квадратическую погрешность измерения угла шестью повторениями. Ответ: m =  0,1. Задача 10. Проектный угол отложен полным приемом теодолитом 30-секундной точности. Найти среднюю квадратическую погрешность построения проектного угла, если погрешностью фиксации точки пренебречь. Ответ: m =  0,5.

4.3. Линейные измерения Пример 6. Базис длиной в 200 м был измерен дальномером двойного изображения 6 раз. Результаты измерений приведены в табл. 9, гр. 2. Определить среднюю квадратическую и относительную погрешности измерения расстояний дальномером. Таблица 9 Так как истинное значение длины № l X ∆ ∆∆ линии известно, то для оценки 1 2 3 4 5 точности измерения длин данным 1 200,04 200,00 +4 16 дальномером воспользуемся 2 199,98 200,00 -2 4 формулой Гаусса (20).

3 200,01 200,00 +1 1  4 200,06 200,00 +6 36 , m1  n 5 199,95 200,00 -5 25 6 199,96 200,00 -4 16 здесь i = 1i – X. n=6 ∆∆ = 98 Тогда m1 =  98 / 6 =  4 см или 1/N = 0,04/200 = 1/5000. Пример 7. Базис мостовой триангуляции был измерен мерной проволокой 10 раз. Результаты измерений приведены в табл.10, гр. 2. Определить вероятнейшее значение базиса, его среднюю квадратическую и относительную погрешности измерения. Сначала вычисляем вероятнейшее значение измеренной величины (арифметическую средину) хо = 1/n = 150,015 м. Затем определяем вероятнейшие погрешности данного ряда измерений δ i =1i - хо.

47

Результаты записываем в табл. 10, гр. 4. Таблица 10 № 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

l м 2 150,0135 174 162 125 156 169 143 146 137 147

Δ см 4 - 1,5 + 2,4 + 1,2 - 2,5 + 0,6 + 1,9 - 0,7 - 0,4 - 1,3 - 0,3

5 2,25 5,76 1,44 6,25 0,36 3,61 0,49 0,16 1,69 0,09

 δ = - 0,6

 δδ = 22,10

x0 м 3 150,0150 150 150 150 150 150 150 150 150 150

δ0 =

δδ

  = 0,6/10 = 0,06 м. n

В связи с ограниченным числом измерений суммарное значение вероятнейших погрешностей не равно 0, но на каждое измерение приходится величина (0,06 мм), выходящая за пределы возможности взятия отсчетов по шкале мерной проволоки. Следовательно, эта величина не может быть систематической погрешностью (δ0). Поэтому возведем в квадрат полученные значения вероятнейших погрешностей, гр. 5, и суммируем их, после чего воспользуемся формулой Бесселя (26) ml    /(n  1)   22,10 / 9  1,6 мм . Отсюда средняя квадратическая и относительная погрешности арифметической средины будут равны или

М =  m1/n = 1,6/10 =  0,5 мм хо = 150,015 м  0,0005 м;

1/N = 1/300000.

Пример 8. Длины линий съемочного обоснования были измерены стальной мерной лентой в прямом и обратном направлениях. Результаты измерений приведены в табл. 11, гр. 2, 3. Определить вероятнейшее значение длины каждой стороны хода и её среднюю квадратическую погрешность.

48

/

№ 1 1 2 3 4 5 6 7

l м 2 194,74 212,19 239,11 176,14 208,98 150,45 198,37

//

l м 3 194,70 212,10 239,21 176,19 209,09 150,40 198,30

Таблица 11 x0 м 4 194,72 212,14 239,16 176,16 209,04 150,42 198,34

d см 5 +4 +9 -10 -5 -11 +5 +7

6 16 81 100 25 121 25 49

d= -1

dd = 417

dd

Так как в данном примере имеем ряд двойных измерений, то вероятнейшее значение каждой стороны будет равно арифметической средине из двух измерений, гр. 4. Для оценки точности измерений вычисляем разности парных результатов гр. 2, 3. и полученные значения суммируем для выяснения наличия систематической погрешности, do = d / n = -1/7 = - 0,14 см. Полученная величина не может быть систематической погрешностью, так как выходит за пределы возможной точности отсчитывания по мерной ленте. В этом случае воспользуемся формулой Гаусса для оценки точности двойных измерений (51), а для этого найдем квадраты разностей, гр. 6, и их сумму, m 1   dd  / 2 n   417 / 14   5, 4 см . Отсюда средняя квадратическая погрешность арифметической средины для двойных измерений будет равна М =  m1/2 =  5,4/2 =  4см =  0,04 м. Пример 9. В процессе архитектурных обмеров длина линий измерялась дважды стальной рулеткой. Результаты измерений приведены в табл. 12, гр. 2, 3. Определить вероятнейшее значение измеренных величин и их среднюю квадратическую погрешность. Имеется ряд двойных измерений, для которых вероятнейшее значение промеров будет равно арифметической средине из парных результатов, гр. 4, хо = 0,5 . (1 + 1).

49

После этого вычисляем разности парных измерений систематическую погрешность, если таковая имеется, гр. 5 do = d / n = 74/6 = + 12 мм. /

№ 1 1 2 3 4 5 6

1 м 2 7,050 5,140 10,447 18,750 12,812 15,164

//

1 м 3 7,040 5,136 10,432 18,741 12,790 15,150

и

их

Таблица 12 хо м 4 7,045 5,138 10,440 18,746 12,801 15,157

D мм 5 + 10 +4 + 15 +9 + 22 + 14

d мм 6 -2 -8 +3 -3 +10 +2

dd 7 4 64 9 9 100 4

+ 74 +2 190 = Исключим систематическую погрешность из разностей парных измерений, гр. 6 di =di – do. Для определения средней квадратической погрешности воспользуемся формулой Бесселя для двойных измерений (54), для чего возведем в квадрат вероятнейшие погрешности гр.6 и суммируем их. Тогда средняя квадратическая погрешность каждого измерения будет равна m1   dd / 2(n  1)   190 / 10  4,4 мм .

Отсюда будет найдена средняя квадратическая погрешность арифметической средины для двойных измерений М   m1 / 2  4,4 2  3 мм  0,003 м . Пример 10. Длина линии была получена нитяным дальномером. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения расстояний дальномером, если коэффициент его К равен 100 и средняя квадратическая погрешность отсчета по одной нити равна mo =  0,1 см. Расстояние нитяным дальномером определяются по формуле D = К . 1 +с, где с – постоянная нитяного дальномера. При съёмках в масштабе 1:2000 и мельче эта величина не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на точность изменения расстояний. Поэтому приведенная выше формула имеет вид функции произведения постоянного числа на аргумент (32). Следовательно, можно записать md = К . m1. В то же время величина 1 определяется по рейке как разность двух отсчетов по крайним нитям сетки 1 = 1 / - 1 / /.

50

Данное равенство имеет вид функции суммы или разности двух аргументов (34). Следовательно, для нее можно записать m1 = mo2. Подставив данное выражение в верхнее, получим среднюю квадратическую погрешность измерения расстояний нитяным дальномером md = К . mo2 = 100 . 0,1 см 2 =  0,14 м. Пример 11. Найти площадь прямоугольника со сторонами: а = 20 м и б = 10 м и среднюю квадратическую погрешность ее, если размеры его были получены рулеткой с относительной погрешностью 1/1000. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = аб. Это выражение представляет собой функцию общего вида (46). Поэтому для нее можно записать равенство средних квадратических погрешностей 2

2

 dS   dS  m     m2a     m2á ,  dá   da  2

где dS/da = б =10 м, dS/dб = а = 20 м и 1/N = mа/а = mб/б = 1/1000. Отсюда mа =  0,02 м ; mб =  0,01 м. Подставив числовые данные в равенство средних квадратических погрешностей, получим 2 2 mS   10 2  0,02 2  20 2  0.012  0,28 м =  0,3 м . Тогда S = 200 м2  0,3 м2 или 1/N = m/S = 1/667. Задача 11. Решить пример 10 при условии взятия отсчетов по средней нити и одной из крайних со средней квадратической погрешностью md =  0,28 м. Какой вывод можно сделать из полученных результатов примера 10 и задачи 11? Задача 12. При компарировании нивелирной рейки метровой отрезок ее был измерен Женевской линейкой 6 раз и получены следующие результаты: 1000,0; 999,9; 999,7; 999,6; 999,8 и 1000,2. Определить вероятнейшее значение метрового отрезка рейки и его среднюю квадратическую погрешность хо = 999,9 мм  0,09 мм. Задача 13. Найти среднюю квадратическую и относительную погрешности вероятнейшего значения длины линии, измеренной пять раз мерной лентой: 124,36 м; 124,30; 124,38; 124,33 ; 124,28 м. хо = 124,33 м  0,017 м; 1/N = 1/7300. Задача 14. Сторона теодолитного хода была измерена 20-метровой стальной мерной лентой.

51

Найти длину линии, ее среднюю квадратическую и относительную погрешности измерения, если число отложений ленты равно n = 7 и средняя квадратическая погрешность одного отложения была равна mо =  1 см.

L = 140 м  0,026 м и 1/N = 1/5400. Задача 15. Найти среднюю квадратическую погрешность произведения P = 1 . 1, если 1 = 50,10 м  0,02 м, 1 = 250,07 м  0,05 м. mо =  5,5 м2. Задача 16. Найти объем и среднюю квадратическую погрешность цилиндра, если его высота h = 5 м и радиус R = 10 м были измерены рулеткой с относительной погрешностью 1/2000.

V = 1570 м3  1,76 м3 и 1/890. Задача 17. При прокладке полигонометрического хода 9 сторон его были измерены с относительной погрешностью 1/10000. Найти среднюю квадратическую погрешность продольного смещения последней точки хода под влиянием погрешностей измерения расстояний, если результаты измерений были следующими: 11 = 200 м; 12 = 156 ; 13 = 191; 14 = 211; 15 = 188; 16 = 207; 17 = 164; 18 =182; 19 = 197. mо =  0,057 м. Задача 18. При определении коэффициента К нитяного дальномера теодолита был разбит базис, длина которого составила D = 250,00 м, а средняя квадратическая погрешность его измерения равна md =  0,052 м. Из многократных измерений его был получен средний дальномерный отсчет 1ср = 249,0 см со средней квадратической погрешностью m1 =  0,30 см. Определить коэффициент дальномера и его среднюю квадратическую погрешность mк, если постоянное слагаемое дальномера (с) равно 0 (пример 10). mк =  0,12; К = 100,4  0,12. Задача 19. Увеличение зрительной трубы определяется по формуле Г = fоб/fок. Найти увеличение зрительной трубы и среднюю квадратическую погрешность ее определения, если фокусное расстояние объектива fоб = 40,0 см определенно с точностью mоб =  2 мм, а фокусное расстояние окуляра fок = 1,5 см определено с погрешностью mок = 0,1 мм. Г = 26,67  0,22 .

52

4.4. Нивелирование Пример 12. Определить среднюю квадратическую погрешность геометрического нивелирования на каждой станции при использовании двухсторонних реек, если точность отсчитывания по ним mо =  1,5 мм. Напишем математическую зависимость между определяемой и измеренными величинами Z = hср = 0,5 . (hч + hк) = 0,5 . hч + 0,5 . hк, где hч и hк – соответственно превышения, вычисленные по отсчетам, взятым по черной и красной сторонам реек, hч = N5ч – Nпч и hк = N3к – Nпк , где Nч и Nк – соответственно отсчеты по черной и красной сторонам реек. Данные выражения имеют вид известных нам функций (41) и (34), для которых можно записать зависимости между средними квадратическими погрешностями m2z = m2hср = 0,25 . m2ч + 0,25 . m2к и при одинаковой точности нивелирования на станции m2ч = m2к = m2о + m2о =2 . m2о. Подставляя второе в первое, получим m2hср = 2 . 0,25 . m2о + 2 . 0,25 . m2о или mhср = mо =  1,5 мм. Отсюда следует, что точность определения превышений при нивелировании с использованием двухсторонних реек соответствует точности взятия отсчёта по рейке, а при нивелировании с использованием только одной стороны её точность определения превышений снижается в 2 раза. Пример 13. Найти предельную длину нивелирного хода, если средняя квадратическая погрешность определения превышений на станции равна mh =  2 мм, а невязка в сумме превышений хода не должна превышать fh =  10 мм. В соответствии с функцией (36) можно записать следующие выражения: h = h1 + h2 + h3 +. . .+ hn и 2 m fh = m2h1 + m2h2 + m2h3 + . . .+ m2hn или при равноточном нивелировании на каждой станции m2fh = m2h . n, где n – число станций. Отсюда n = m2fh/m2h = 102/22 = 25 станций. Следует отметить, что, определяя предельную длину хода, необходимо учитывать расстояние от прибора до рейки, так как от точности отсчитывания по ней зависит точность нивелирования на станции (пример 12).

53

Пример 14. Отметка точки А была определена в результате геометрического нивелирования (Hо = 125,761 м) и многократно барометрическим нивелированием (Н1). Результаты барометрического нивелирования приведены в табл. 13, гр. 2. Найти среднюю квадратическую погрешность барометрического нивелирования. Таблица 13 Так как геометрическое № l 2  нивелирование несоизмеримо точнее 1 2 3 4 1 125,3 -0,5 0,25 барометрического, то величина НО по ко всем остальным 2 125,7 -0,1 0,01 отношению 3 127,6 +1,8 3,24 результатам (Нl) может считаться 4 124,8 -1,0 1,00 истинным значением. В этом случае 5 126,0 +0,2 0,04 оценку точности барометрического 6 126,3 +0,5 0,25 нивелирования можно произвести по ∑ = 4,79 формуле Гаусса (20). Для этого из результатов гр. 2 нужно вычесть истинное значение и получить истинные погрешности (гр. 3), затем возвести их в квадрат и суммировать. Тогда mH   / n   4,79 / 6  0,89 м . Пример 15. При прокладке высотного хода в качестве съемочного обоснования превышения между точками его были получены дважды – в прямом и обратном направлениях. Результаты нивелирования приведены в табл. 14, гр. 2, 3. Найти вероятнейшее значение Таблица 14 превышений и их среднюю № hпр hоб hср d d2 квадратическую погрешность.

1 2 3 4 5 6 В данном случае имеем результаты 1 +3103 -3100 +3102 +3 9 ряда двойных измерений.

2 + 945 - 949 + 947 -4 16 Сначала найдем разность парных 3 -1015 +1019 -1017 -4 16 измерений по абсолютной величине 4 +527 - 525 + 526 +2 4 и результаты запишем в гр. 5.

5 -2216 +2212 +4 16 Для выяснения наличия 6 +1255 -1256 2214 -1 1 систематической погрешности +1256 суммируем разности (d = 0). ∑ = 0 62 Затем, убедившись в отсутствии систематической погрешности, возведем в квадрат и суммируем их, гр. 6.

54

Для нахождения вероятнейшего значения искомых величин вычислим для всех результатов арифметическую средину из всех парных измерений хо = hср = 0,5hпр+hоб. Знак арифметической средины будет соответствовать знаку прямого результата. Для оценки же точности нивелирования воспользуемся формулой средней квадратической погрешности арифметической средины mh   dd  / 2n и M  mh / 2 или mh   62 / 14  2,1мм и M  2,1 / 2  1,5 мм . Пример 16. При исследовании кипрегеля-автомата одно и то же превышение было многократно определено с помощью его номограммы. Результаты определений приведены в табл. 15, гр. 2. Таблица 15 Определить вероятнейшее значение δ δδ h хо = h превышения между данными № точками и среднюю квадратическую 2 3 4 5 погрешность нивелирования 1 кипрегелем-автоматом.

1 + 0,52 + 0,55 -3 9 Вероятнейшее значение 2 + 0,51 + 0,55 -4 16 (арифметическая средина) будет 3 + 0,60 + 0,55 + 5 25 равно 4 + 0,50 + 0,55 -5 25 хо = hср = h/n = 0,55м.

5 + 0,55 + 0,55 0 0 Оценку точности необходимо 6 + 0,57 + 0,55 + 2 4 произвести при отсутствии 7 + 0,58 + 0,55 + 3 9 истинного значения измеренной = -2 88 величины, поэтому воспользуемся формулой Бесселя (20). Для этого из результатов всех измерений вычтем вероятнейшее значение превышения и разности возведем в квадрат, гр. 4, 5. Тогда средняя квадратическая погрешность каждого измерения будет равна mh    / n  1   88 / 6  3,8см . Отсюда найдем среднюю квадратическую погрешность арифметической средины М =  mh/ n =  3,8/ 7 =  1,4 см. В итоге имеем с округлением до 0,01 м hср = + 0,55 м  0,01 м. Пример 17. Определить среднюю квадратическую погрешность тригонометрического нивелирования кипрегелем-автоматом, если точность взятия отсчета по рейке с помощью кривой номограммы равна 55

 1,5 мм, а погрешностью совмещения исходной кривой с целым делением рейки пренебречь. Как известно, тригонометрическое нивелирование основано на решении зависимости h = h + i –1, где i и 1 – есть величины постоянные и их погрешностями можно пренебречь при оценке точности нивелирования, h = К . n - величина, определяемая с помощью кривых номограммы. Следовательно, для оценки точности нивелирования имеем известную функцию произведения постоянного числа на аргумент h = К . n, где К – коэффициент, подписанный кривой номограммы, n - отсчет по рейке, взятый при помощи этой кривой. Для вышеприведенной функции имеем mh =K . mn. Подставив сюда среднюю квадратическую погрешность отсчета, получим mh =  K . 1,5 мм. Отсюда следует, что средняя квадратическая погрешность нивелирования будет зависеть от коэффициента, используемого в данный момент. Допустим, что использовались две кривые с коэффициентами 10 и 20. Тогда при коэффициенте 10 погрешность нивелирования будет равна  0,015 м, а при коэффициенте 20 погрешность нивелирования будет вдвое больше, то есть  0,030 м. Задача 20. Определить расстояние от нивелира до рейки, допуская ошибку отсчета по рейке не более 2 мм и принимая неизбежную ошибку визирования, а также ошибку вследствие неточной установки пузырька уровня на середину, равной  3 каждую. Совокупное влияние обеих погрешностей будет: m =  3 2  3 2 =  18 =  4,2. При этом условии найдем такое расстояние от нивелира до рейки, при котором погрешность была бы не больше 2 мм S = h/tg m =

2 мм 206265" hx   98,22 м  100 м .

1000.mO 1000 х 4,2"

Задача 21. Определить предельную погрешность в сумме превышений нивелирного хода из n станций, если точность отсчета по нивелирной рейке равна  1 мм. Ответ: пр = 3 . m =  3 . 1 2n мм. Задача 22. При предварительных изысканиях дороги часть трассы, проходящей в горных условиях, была пронивелирована тригонометрическим способом по пикетам так, как это показано на рис. 6.

56

Визирование производилось на высоту прибора при двух кругах со средней квадратической погрешностью при каждом круге  0,5. Найти предельную погрешность, приходящуюся на 1 км такого нивелирования, если расстояния между пикетами измерены с относительными погрешностями 1/1000 и средняя величина углов наклона равна 10 градусам.

ПК О

ПК4 ПК1

ПК2

ПК3

Рис. 6. Схема тригонометрического нивелирования трассы

Превышение между смежными пикетами будет равно: h = d . tg ν = 100 м tg 10 = 17,63 м , mh =  0,02 м. Тогда пр = 3 . m =  0,18 м. m1км = mh n = 0,02 10 =  0,06 м, Примечание. К решению этой задачи целесообразно вернуться после решения примера 22. Задача 23. Отметка строительного репера была получена путем привязки его к геодезической опорной сети. Для этого был проложен нивелирный ход из трех станций. Определить среднюю квадратическую погрешность отметки строительного репера, если отметка репера опорной геодезической сети получена со средней квадратической погрешностью mисх  1,5 мм и точность отсчитывания по рейке в процессе нивелирования равна  1,0 мм. Ответ:

mhст = 1 2 = 1,4 мм, mhхода= 1,4 3 = 2,4 мм, mн =  m 2 исх  m 2 hход =  2,8 мм.

4.5.Совместные измерения

Пример 18. Для определения расстояния между крайними опорами В и С моста были измерены базис б = 106,534 м с относительной погрешностью 1/10000 и все углы треугольника со средней квадратической погрешностью m =  0,2 (рис. 7). Определить длину линии ВС и ее среднюю квадратическую погрешность, если угол 1 = 5501020, а 3 = 4501310.

57

Из треугольника АВС имеем известное выражение

а

в  Sin1 .

Sin 3

А 1 b

В

c 2

3

С

a Рис.7. Схема определения расстояния между опорами моста 2

где

2

Подставляя в него измеренные величины, получим а = 123,203 м. Приведенная выше зависимость имеет вид функции общего вида (46). Следовательно, средняя квадратическая погрешность определения стороны а будет равна

2

 da   da   da    m 2  3 ,   m 2 1   ma      m 2в    dв   d1   d 3  da Sin1 Sin5501020    1,156468 , dв Sin 3 Sin 4501310 da Cos1 Cos5501020   в  106,534  85,717049 , d1 Sin 3 Sin 4501310 da Sin1 Sin5501020   в  106 , 534  176,251730 , d 3 Cos 2  3 Cos 2 4501310

m6 = в/10000 = 106,534/10000 = 0,010653. Подставив числовые значения приводимых погрешностей, получим ma =  0,017 м, а = 123,203 м  0,017 м.

в

равенство

Пример 19. Координаты начальной и конечной точек оси тоннеля получены со следующим результатами: Ха = 1243,25 м  0,03 м; Хб = 1343,25 м  0,04 м; Уа = 849,32 м  0,04 м; Уб = 1849,32 м  0,07 м. Определить длину и направление оси тоннеля и их средние квадратические погрешности.

58

Напишем ряд формул обратной геодезической задачи х = Хв – Ха , у = Ув – Уа , y . tgr  x

d  2 x  2 y ,

(а) (б)

и для простоты последующих рассуждений можно записать Z1 = d2 = 2х +2у , Z2 = tg r = y/x, (в) 2 2 длина d  100  1000  1003,00 м , направление tg r = +1000/+100 = 10 или r = СВ: 8401722. Для оценки точности полученных величин рассмотрим формулы обратной геодезической задачи, которые имеют вид функций разности (а) и общего вида (б) или (в). В этом случае для равенств (а) запишем значения средних квадратических погрешностей для приращений координат, то есть mХ   m 2 ХВ  m 2 ХА и mУ   m 2УВ  m 2УА

или, подставляя сюда исходные данные, получим mу   0,042  0,07 2  0,08 м . mx   0,032  0,04 2  0,05 м , Рассмотрим равенства (б) и (в). Так как левые и правые части равенств (б) являются аргументами некоторых функций Z (в), то правомерно найти полные производные обеих частей равенств и приравнять их между собой 2d . dd = 2 . x . dx + 2 . y . dy, dr dy y  dx .   2 x Cos r x 2

Возведя в квадрат обе части полученных зависимостей и заменив квадраты бесконечно малых приращений квадратами средних квадратических погрешностей, получим md  

2 x  m 2 x 2 y  m 2 y  , d2 d2

mr  Cos 2 r

m 2 y m 2 x  y  . 2 x 4 x

Подставив сюда числовые данные, получим средне квадратические погрешности определения длины и направления оси моста 1002  0,052  10002  0,082 md    0,08 м , 10032 0,08 2 1000 2  0,05 2   3,6 100 2 100 4 d  1003,00 м  0,08 м ; r  СВ : 8401722  3,6 .

mr  206265  Cos 2 84 01722

или

Пример 20. Для определения длины и направления лога был проложен висячий буссольный ход длиной L = 2,5 км.

59

Определить предельное смещение конечной точки этого хода, если азимуты линий измерялись буссолью с погрешностью  15, длины линий измерялись с относительной погрешностью 1/N = 1/1000 и средняя длина сторон хода составляет 1 = 100 м. Конец каждого 100 – метрового отрезка будет смешаться: - в продольном направлении m1 = 1/N = 100/1000 =  0,1 м, - в поперечном направлении m1 = 1 . m/p = 100 . 15/3438 =  0,4 м, -общее смещение mоб   0,12  0,4 2  0,4 м.

Так как общее количество сторон будет n = L/1 = 25, то смещение точки в конце хода будет равно mk  0,4  25  2 м , а предельная погрешность в положении конечной точки будет равна  пр  3  mk  6 м . Пример 21. Какой длины D должен быть теодолитный ход, чтобы предельный сдвиг (2m) конечной точки этого хода не превышал бы точности масштаба 1/5000, если углы поворота измерялись со средней квадратической погрешностью  0,5, а длина – с относительной погрешностью 1/N = 1/2000 при средней длине сторон хода 1 = 250 м? По аналогии с предыдущим примером определим смещение конца каждого 250-метрового отрезка: - в продольном направлении m1 = 1/N = 250/2000 =  0,125 м, - в поперечном направлении m1 = 1 . m/p = 0,5250/3438 = 0,036 м, - общее смещение m  m 21  m 21  0,1252  0,036 2  0,13 м . Так как длина теодолитного хода будет равна D = 11 +12 +13 + . . . +1n , 2 то m d  m 211  m 212  ...  m 21n  m 21n . Отсюда n = m2d/m21. Согласно условию задачи t  2  md , где

t= 0,5 м – точность масштаба 1/5000. или md = 0,5/2 = 0,25 м. Тогда 0,5 = 2 . md Подставив это число в вышеприведенное равенство, определяющее число линий хода, будем иметь n  0,25 2 / 0,13 2  0,0625 / 0,0169  4 .

60

Отсюда длина теодолитного хода не должна превышать D  1  n  250  4  1000 м . Пример 22. В процессе тригонометрического нивелирования превышения на каждой станции определялись по формуле h  d  tgv  i  1 , где d – горизонтальное положение, измеренное мерной лентой с относительной погрешностью 1/1000, v- угол наклона визирного луча, измеренный теодолитом с точностью  0,5, i и 1 – постоянные величины на каждой станции и их влиянием на точность нивелирования можно пренебречь. Определить превышение между двумя точками местности и среднюю квадратическую погрешность определения её, если расстояние между ними равно d = 100м и величина угла наклона будет равна 7010 при 1 = i. Перед нами функция общего вида и, следовательно, имеем равенство средних квадратических погрешностей m 2 h  tg 2 v  m 2 d  d 2 

где

m2v , Cos 4 v  p 2

md  d / N  100 / 1000  0,1м .

Подставив числовые значения в приведенные равенства, получим h = 100tg7010’ = 12,57 м и

1002  0,52  0,02 м .

Cos 4 7 010  34382 h  12,57 м  0,02 м .

mh  tg 7 010  0,12 

Следовательно, имеем Задача 24. При определении высоты Н объекта теодолитом были измерены углы наклона на верх и низ сооружения vâ  25000,0 и v í  5 010,0 со средней квадратической погрешностью  0,2, а также расстояние до него d = 70 м с относительной погрешностью 1/5000 (рис.8).

h1

νВ νН

H

h2

Рис. 8. Схема определения высоты объекта

61

Определить высоту объекта и ее среднюю квадратическую погрешность. Используя формулы тригонометрического нивелирования, получим Н = 38,97 м  0,01 м. Задача 25. Две точки проекта определены полярным способом путем построения проектных углов с точностью + 0,5 и отложения проектных расстояний с относительной погрешностью 1/2000 (рис. 9).

А

В

l1 N

l2 β1

b

β2

Рис. 9. Схема определения точек проекта полярным способом

M

Определить среднюю квадратическую погрешность в полученном размере АВ, если средняя длина отрезков 1 равна 25 м. Сначала необходимо найти продольное и поперечное смещение каждой точки, а затем и взаимное. Ответ: mав  0,018 м .

Задача 26. При перенесении проектной точки с нижнего на верхний монтажный горизонт, расстояние между которыми составляет 12 м, использовался прибор вертикального проектирования с точностью установки визирной оси в вертикальном положении  0,05. Найти поперечный сдвиг Q точки под влиянием погрешности направления отвесной линии. Определить среднюю квадратическую погрешность величины сдвига, найденного данным прибором. Ответ: Q = 0,02 м и m =  0,002 м. или Q = 0,02 м  0,002 м. Задача 27. С какой средней квадратической погрешностью будет определен отсчет по рейке, установленной на противоположном берегу реки, шириной L = 400 м, если вспомогательная цель фиксировалась на рейке с точностью  1 мм и угол наклона визирного луча нивелира определялся при помощи цилиндрического уровня с погрешностью 5 (задача по передаче отметки через водные преграды при их ширине свыше 300 м). Сначала найти смешение точки на рейке под влиянием погрешности в положении горизонтального луча, а затем учесть ошибку фиксирования вспомогательной цели. Ответ: m =  10 мм.

62

4.6. Измерения на плане и карте Пример 23. Отрезок на плане был измерен при помощи циркуляизмерителя и масштабной линейки. Найти среднюю квадратическую погрешность результатов измерения, если средняя квадратическая погрешность совмещения одной ножки измерителя с делением линейки равна  0,05 мм, а погрешность отсчета по другой равна  0,08 мм. Здесь можно записать формулу определения расстояния по масштабной линейке при помощи циркуля-измерителя в виде ΔS = ΔN2 - ΔN1.

S = N2 – N1 и где N – отсчёты по концам измерителя. Тогда средняя квадратическая погрешность определения расстояния, будет иметь вид m S  m 2 N 2  m 2 N1

или с учётом вышеприведенных данных получим m   0,052  0,082  0,09 мм .

Пример 24. На плане были измерены основание треугольника b = 112,0 м со средней квадратической погрешностью  0,10 м и его высота h = 60,2 м со средней квадратической погрешностью  0,15 м. Определить площадь треугольника и ее среднюю квадратическую погрешность S = 0,5 b h = 3371,20 м2 Отсюда уравнение погрешностей 2

m

2

s

2

 ds   ds      m2 6     m2h ,  dh   dâ 

где ds/dв = h/2 = 30,1м и ds/dh = в/2 = 56,0 м. Подставив числовые значения производных погрешностей, получим

в

равенство

ms  8,92 м 2 ; S  3371,20 м 2  8,92 м 2 ; 1 / N  1 / 378 .

Пример 25. Отрезки на плане измерялись дважды при помощи циркуля-измерителя и масштабной линейки. Результаты измерений приведены в табл. 16, гр. 2, 3. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения отрезков на плане при помощи циркуля-измерителя и масштабной линейки. В данном случае имеем ряд двойных измерений. Поэтому сначала находим разности для парных измерений и выясняем наличие систематической погрешности в данном ряду измерений, гр.4. Так как систематическая погрешность в данных измерениях отсутствует, то воспользуемся формулой Гаусса для двойных измерений m   dd / 2n =  0,0900 / 30 =  0,055 мм.

63

Таблица 16 № 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 мм 2 20,45 44,00 65,95 99,55 132,45 23,60 45,45 79,05 112,00 22,00 55,45 88,40 33,65 66,45 32,90

1 мм 3 20,55 44,05 66,00 99,50 132,60 23,45 45,45 79,05 111,95 21,90 55,45 88,50 33,60 66,45 32,85 Σ=

D мм 4 -0,10 -0,05 -0,05 -0,05 -0,15 +0,15 0 0 +0,05 +0,10 0 -0,10 +0,05 0 +0,05

5 0,0100 0,0025 0,0025 0,0025 0,0225 0,0225 00 00 0,0025 0,0100 00 0,0100 0,0025 00 0,0025

0

0,0900

dd

Задача 28. Площадь участка, вычисленная по координатам его вершин, оказалась равной S = 125,25 га. Та же площадь определена 4 раза планиметром и получены следующие результаты: 125,00 га, 125,08 га, 125,40 га и 125, 50 га. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения площади полярным планиметром, выразив ее в относительной форме. Ответ: mg  0,21га; 1 / N  1 / 596 . Задача 29. Для подсчета объема земляных работ на картограмме выведен участок в форме параллелепипеда следующих размеров: длина х = 10 м, ширина у = 4 м и высота z = 3 м. Определить объем v параллелепипеда и его среднюю квадратическую погрешность, если размеры сторон измерены с относительной погрешностью 1/1000. Ответ: V  x  y  z  10  4  3  120 м3  2,10 м3 . Задача 30. Определить площадь прямоугольника и его среднюю квадратическую и относительную погрешности, если его длина d = 200 м и ширина h = 100 м измерены на плане, составленном в масштабе 1/5000.

64

В этом случае необходимо воспользоваться точностью плана при определении средней квадратической погрешности измерения длины и ширины прямоугольника t =  0,5 м. Ответ: S  20000 м 2  112 м 2 ; 1 / N  1 / 179 .

5. НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 5.1. Сводка формул по теории погрешностей 1. Вероятнейшее значение арифметическая средина хо 

измеряемой

величины

–

общая

р1  11  р2  12  р3  13  ...  рn  1n  p1  , p1  p2  p3  ...  pn  p

где 1 – результат измерений определяемой величины, р – вес соответствующего результата измерения.

2. Средняя квадратическая погрешность результата измерения с весом, равным единице а)



р  , 2

n

где  - истинная погрешность измерения, р – вес данного измерения, n – число измерений, б) где



р  , 2

n 1

δ – вероятнейшая погрешность измерения, в)



рd  , 2

2n

где d – разность двойных измерений при отсутствии систематических погрешностей, г)



рd  , 2

2(n  1)

где d – разность двойных измерений при исключении из нее систематической погрешности.

3. Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины Mo  



 p

,

где  p  - сумма весов данного ряда измерений.

65

4. Средняя квадратическая погрешность результатов измерений с весом р 

m

p

5. Веса функций измеренных величин Вид функции

Вес функции

а) Z  K  x ,

1 1 ,  K2  Pz Px 1 1 1   , Pz Px Py 1 1 1 1    ...  Pz Px1 Px 2 Pxn 1 1 1 1 ,  K 21   K 22   ...  K 2 xn  Pz Px1 Px 2 Pxn

б) Z  x  y , в) Z  x1  x 2  ...  x n , г) Z = K1x1 ± K2x2 ± …Knxn , д) Z  f ( x1 , x 2 , x3 ,..., x n ) ,

2

2

2

1  df  1  df  1  df  1        ...     .

Pz  dx  Px1  dx  Px 2  dx  Pxn

5.2. Определение весов результатов измерений Пример 26. Найти веса трех углов, если их средние квадратические m1  5, m2  10, m3  20 . погрешности равны: На основании того, что веса результатов измерений обратно пропорциональны квадратам их средних квадратических погрешностей, можно написать следующие равенства: p1 



m

2

 1



5

2





25

, p2 



m

2

 2



10

2





100

, p3 



m

2

 3



20

2





400

.

Приняв для простоты коэффициент  равным 400, получим р1  16, р2  4, р3  1 . Задача 31. Найти веса углов, измеренных со средними квадратическими погрешностями: 2 и 8. Ответ: р1 / р2  64 / 4  16 . Задача 32. Найти веса трех углов, если их средние квадратические погрешности равны  2,  5,  10 . Ответ: р1  25, р2  4, р3  1 . Задача 33. Как известно горизонтальный угол вычисляется как разность двух равноточных отсчетов. Если средняя квадратическая погрешность отсчета равна m0, то m y  mo 2 . средняя квадратическая погрешность угла будет равна 66

Приняв вес отсчета ро, а вес угла ру, запишем ро / р у  (mo 2 ) 2 / m 2 o  2 .

ру = 1/2. Если ру = 1, то ро = 2; если ро = 1, то Задача 34. Найти вес произведения 4  х , если вес рх  1 . Ответ: р4 х / рх  m 2 /(4m) 2  1 / 16; px  1, p4 x  1 / 16 . Задача 35. Определить вес суммы углов многоугольника, если вес одного угла равен 1. Ответ: рS / р y  m 2 /(m n ) 2  1 / n; р у  1, рS  1 / n . Задача 36. Вес суммы углов многоугольника равен 1. Определить вес одного угла. Ответ: ру = n. Определение средней квадратической погрешности единицы веса по результатам истинных погрешностей Пример 27. При съемке застроенной части населенного пункта было проложено 6 замкнутых полигонов со следующими угловыми невязками (табл. 17, гр. 3). Определить среднюю квадратическую погрешность измерения одного угла. Так как теоретическая сумма углов в многоугольнике известна, то угловые невязки в полигонах являются истинными погрешностями сумм углов. Следовательно, средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице, может быть определена по формуле 

 р . n

Таблица 17 № полигона

Число углов

Невязки 

1 1 2 3 4 5 6

2 8 10 7 8 10 8

3 + 1,75 - 3,25 - 0,25 - 0,75 + 1,25 + 2,25

 ff

Веса невязок Р

Р

4 3,0625 10,5625 0,0625 0,5625 1,5625 5,0625

5 1/8 = 0,1250 1/10 = 0,1000 1/7 = 0,1428 1/8 = 0,1250 1/10 = 0,1000 1/8 = 0,1250

6 0,3828 1,0562 0,0089 0,0703 0,1562 0,6328

 = 2,3072 Поэтому находим квадраты истинных погрешностей (невязок) и записываем в гр. 4. Затем определяем веса всех сумм каждого полигона. В данном случае за веса можно принять величины, обратно

67

пропорциональные числу углов в полигонах (чем меньше углов, тем точнее получены суммы). Вычисленные значения весов записываем в гр. 5. Перемножив полученные значения весов на соответствующие квадраты истинных погрешностей, получаем величины гр. 6. Сложив эти произведения и подставив в вышеприведенную формулу, получим среднюю квадратическую погрешность измерений с весом, равным единице    2,3072 / 6  0,62 .

5.4. Определение общей арифметической средины и ее средней квадратической погрешности Пример 28. Отметка точки А определена от трех марок, причем получены следующие результаты: от 1-й марки Н1  124,346 м  0,006 м , от 2-й марки Н 2  124,340 м  0,012 м , от 3-й марки Н 3  124,333 м  0,017 м . Определить вероятнейшее значение отметки точки А и ее среднюю квадратическую погрешность. Согласно разд. 5.1 вероятнейшее значение измеренной величины по результатам неравноточных измерений находим по формуле хо 

11  р1  12  р2  ...  1n  pn . p1  p2  ...  p3

Следовательно, отметка На точки А будет равна На 

р1  124,346  р2  124,340  р3  124,333 . р1  р2  р3

Здесь неизвестными являются веса, которые определяем по средним квадратическим погрешностям р1   / 36, р2   / 144, р3   / 289 . Приняв   289 , получим р1  8, р2  2, р3  1. Отсюда вероятнейшее значение отметки будет равно Н  124,333 

13  8  7  2  0  1  124,333  10,8  124,344 м .

8  2 1

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины, как отмечалось выше, определяется по формуле М   / Р  , где     р /(n  1) - средняя квадратическая погрешность результата сумма весов отдельных измерения с весом, равным единице,  p  измерений. Для оценки точности арифметической средины составим табл. 18.

68

Число измерений

Таблица 18



Н м



мм

р

р 

1 2 3

124,346 +2 4 8 32 124,340 -4 16 2 32 124,333 -11 121 1 121 Учитывая значения табл.18 и вышеприведенные математические зависимости, определяем искомые величины:    185 / 2  10 мм,

М  10 / 11  3 мм, Н  124,344  0,003 м.

Пример 29. Этот пример является разновидностью предыдущего примера, когда веса измерений определяются не по средним квадратическим погрешностям, а по длинам линий. При нивелировании трассы дорог три нивелирных хода ● Рп 1 сошлись в общей точке А (рис. 10). ● Рп 2 Определить вероятнейшее значение отметки точки А и ее 5 км 10 км среднюю квадратическую погрешность, если получены ● следующие результаты А нивелировок: Н1  124,346 м, Н 2  124,369 м, 20 км Н 3  124,389 м при длине нивелирных ходов, указанных на Рис. 10. Схема ● рис. 10. нивелирования узловой Рп 3 Вероятнейшее значение отметки вычисляется по формуле общей арифметической средины Н  124,346 

р1  0  р2  23  р3  43 . р1  р2  р3

Веса р в данном случае можно вычислить по длинам нивелирных ходов, исходя из того, что, чем короче ход, тем точнее результат нивелирования, то есть веса обратно пропорциональны длинам ходов р1   / 5;

р2   / 10;

р3   / 20

или, приняв   20 , получим р1  4, р2  2, р3  1. Подставив полученные значения весов в равенство вычисления вероятнейшей величины искомой отметки, будем иметь Н  124,346 

4  0  2  23  1  43  124,346  0,013  124,359 м.

4  2 1

Для определения средней квадратической погрешности общей арифметической средины составим табл. 19.

69

Таблица 19 В гр. 2 таблицы запишем Число результаты нивелирования, а в измерений гр. 3 - их веса. Вычислив вероятнейшие 1 погрешности, гр.

4, и 1 заполнив остальные графы, 2 получим среднюю 3 квадратическую погрешность результата измерений с весом, равным единице

Н мм

р

2

3

124,346 124,369 124,389 =

4 2 1 7





р 

4

5

6

-13 +10 +30

169 100 900

676 200 900 1776

мм

   1776 / 2  29,8 мм .

Отсюда средняя арифметической средины

квадратическая

погрешность

общей

М  29,8 / 7  11,2 мм.

Задача 37. Дирекционный угол линии АВ был определен от пунктов полигонометрии по трем ходам: по первому ходу   126 0 27,5  3,7  , по второму ходу   126 0 31,2  6,2 , по третьему ходу   126 0 30,0  2,8 . Определить вероятнейшее значение дирекционного угла и его среднюю квадратическую погрешность. Ответ:   126 0 29,3  0,9 .

5.5. Определение средней квадратической погрешности единицы веса по результатам двойных измерений Пример 30. При тахеометрической съемке линии съемочного обоснования измерялись мерной лентой дважды – в прямом и обратном направлениях. Результаты измерений приведены в табл. 20, гр. 2, 3. Определить вероятнейшее значение всех линий хода, среднюю квадратическую погрешность двойного измерения, приходящуюся на 1 км, и среднюю квадратическую погрешность арифметической средины каждой линии. Сначала находим разности двойных измерений d  1  1 . Затем суммируем их и убеждаемся в том, что систематической погрешностью можно пренебречь, d o  d / n  1см (в пределах точности взятия отсчетов по шкале мерной ленты). Следовательно, для определения средней квадратической погрешности можно использовать формулу 

70

 рdd  .

2n

Таблица 20 Линии 1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6

1 м 2 111,36 213,86 321,14 181,29 78,13

1 м 3 111,30 213,94 321,31 181,20 78,08

D см 4 +6 -8 - 17 +9 +5

dd

p

pdd

5 36 64 289 81 25

6 9,0 4,7 3,1 5,5 12,8

7 324,0 300,8 895,9 445,5 320,0

=-5

1 м 8 111,33 213,90 321,22 181,24 78,10

M 9 0,037 0,051 0,062 0,047 0,031

2286,2

Веса в данном случае введены потому, что измеренные линии имеют разную длину и, следовательно, их погрешности будут разными. Значения весов приняты обратно пропорциональными длинам линий при коэффициенте   1000 . Величина коэффициента принята таковой для того, чтобы, с одной стороны, иметь веса, выраженные сравнительно простыми числами, а, с другой, - чтобы при вычислении средней квадратической погрешности одного измерения сразу получить ее значение на 1 км хода. После заполнения гр. 7 вычисляется средняя квадратическая погрешность двойного измерения, приходящаяся на 1 км одного измерения    2286,2 / 10  15,12см  0,15 м . Средняя квадратическая погрешность, приходящаяся на 1 км одного измерения   0,15 / 2  0,11м . Вероятнейшее значение длины линии определяется как арифметическая средина из прямого и обратного измерений; результаты вычислений записываются в гр. 8. Средняя квадратическая погрешность вероятнейших значений длин линий вычисляется по формуле М 



Р

,

где р – вес соответствующей линии. Пример 31. При дорожных изысканиях часть горной трассы была пронивелирована в прямом и обратном направлениях. Результаты нивелирования приведены в табл. 21, гр. 2, 3. Определить среднюю квадратическую погрешность нивелирования, приходящуюся на 1 км хода, если число постановок нивелира n на 1 км было в среднем 25. Аналогично предыдущему примеру находим разности двойных измерений в прямом и обратном ходах, гр. 4. Подсчет суммы разностей убеждает в отсутствии систематической погрешности, которая находится в данном случае как d o  d  / n . Здесь n - сумма всех постановок нивелира,

71

полагая, что систематическая погрешность действует пропорционально числу постановок нивелира. Таблица 21 Участки 25 d hпр hоб р трассы dd pdd n n мм мм мм 1 пк 1-2 пк 2-3 пк 3-4 пк 4-5 пк 5-6 пк 6-7 пк 7-8 пк 8-9 пк 9-10

2 11126 7122 15139 3842 3746 7440 15239 14926 7521

3 11120 7127 15129 3844 3749 7445 15230 14933 7526 =

4 +6 -5 + 10 -2 -3 -5 +9 -7 -5

5 36 25 100 4 9 25 81 49 25

6 8,33 12,50 6,25 25,00 25,00 12,50 6,25 6,25 12,50

-2

7 299,88 212,50 625,00 100,00 225,00 312,50 506,25 306,25 312,50

8 3 2 4 1 1 2 4 4 2

2999,88

23

Вес отдельного превышения принимаем обратно пропорциональным числу станций p   / n  . Коэффициент  следует принимать равным 25, то есть равным среднему числу постановок нивелира, приходящегося на 1 км нивелирного хода. Отсюда, применяя формулу    pdd / 2n / , получим среднюю квадратическую погрешность, приходящуюся на 1 км нивелирования трассы    2999,88 / 18  12,9 мм,

где n – число измерений. Пример 32. Для определения уклона реки произведено нивелирование по обоим ее берегам в прямом и обратном направлениях (рис. 11). Е Д Г

р. Сев. Донец

А

В

С

Рис. 11. Схема расположения участков нивелирования реки

Результаты расхождений в превышениях приведены в табл. 22, гр. 2.

72

Определить среднюю квадратическую погрешность нивелирования, приходящуюся на 1 км хода. Сначала суммируем разности двойных измерений и убеждаемся в наличии систематической погрешности d o  d  /n  0,4 , то есть на каждую постановку нивелира приходится 0,4 мм. Поэтому следует исключить ее из всех разностей двойных нивелировок, гр. 6. Итак, на каждую постановку нивелира приходится величина d o  24 / 60  0,4 мм . Следовательно, систематической погрешности величина систематической погрешности на каждом участке будет равна d oуч  d o  n , табл. 22, гр. 5. Таблица 22

1 А-В В-С Е-Д Д-Г

d мм 2 - 12 +2 -8 -6

Число станций n 3 18 12 20 10

=

-24

60

Участки хода

100 р n 4 5,56 8,33 5,00 10,00

do на участке 5 -7 -5 -8 -4

d

dd

pdd

6 -5 +7 0 -2

7 25 49 0 4

8 139,00 408,17 0 40,00

0

587,17

Вес каждого участка хода определим по формуле р  100 / n . В данном случае коэффициент  целесообразно принять равным 100, чтобы веса выразились сравнительно простыми числами. Для оценки точности нивелирования воспользуемся формулой Бесселя для двойных измерений 100  

 pdd  , 2n  1

где n - число участников (измерений). Поэтому вычисленная средняя квадратическая погрешность приходится на 100 станций, так как только в этом случае вес будет равен единице. Подставив в эту формулу сумму значений гр. 8, получим 100   587,17 / 2(4  1)  9,9 мм . Отсюда средняя квадратическая погрешность нивелирования, приходящаяся на одну станцию, будет равна ст   100 / 100  9,9 / 100  1мм . Тогда средняя квадратическая погрешность нивелирования, приходящаяся на 1 км хода, то есть на 10 станций, будет равна 10ст  1км  1ст 10  1 10  3,2 мм .

73

Рассмотренные выше примеры на применение теории погрешностей оценки точности тех или иных измерений позволяют решать не только поставленные в пособии задачи, но и типовые задачи, часто встречающиеся в геодезической практике. В случае же необходимости рассмотренные способы оценки точности геодезических измерений дают возможность решать и более сложные функциональные зависимости, так как они являются совокупностью ряда простых задач.

Литература 1. Инженерная геодезия/ под ред. П.С. Закатова. М.: Недра, 1976.

582 с.

2. Справочник геодезиста в двух книгах / под ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. М.: Недра, 1985. 455 с.

3. Федоров В.И. Инженерная геодезия/ В.И.Федоров, П.И.Шилов. М.: Недра, 1982. 357 с.

4. Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей/ А.С.Чеботарев. М.: Геодезист, 1958. 606 с.

5. Шилов П.И. Способ наименьших квадратов/ П.И.Шилов. М.: Геодезиздат, 1941. 407 с.

74

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ………………………………………………………………………..3 І. Основы теории погрешностей ……………………………………………...4 1. Общие понятия об измерениях и их погрешностях …………………...4 1.1. Виды геодезических измерений …………………………………..4 1.2. Погрешности измерений и их классификация …………………...6 1.3. Свойства случайных погрешностей ………………………………8 1.4. Принцип арифметической средины ……………………………. 10 1.5. Критерии оценки точности геодезических измерений …………12 Вопросы для самопроверки ………………………………………17 2. Оценка точности геодезических измерений и их функций. Равноточные измерения ………………………………………………..18 2.1. Средняя квадратическая погрешность одного измерения ……..18 2.2. Средняя квадратическая погрешность функции вида Z = K x …………………………………………………………...20 2.3. Средняя квадратическая погрешность функции вида Z = x ± y …………………………………………………………...22 2.4. Средняя квадратическая погрешность функции вида Z = x1 ± x2 ± х3 ±… ± xn …………………………………………23 2.5. Средняя квадратическая погрешность функции вида Z = K1x1 ± K2x2 ± К3х3 ± … ± Knxn ……………………………….24 2.6. Средняя квадратическая погрешность функции общего вида Z = f(x1,x2, x3,…, xn) ………………………………………………26 2.7. Средняя квадратическая погрешность по разностям двойных измерений ………………………………………………27 Вопросы для самопроверки …………………………………….31 3. Оценка точности геодезических измерений и их функций. Неравноточные измерения …………………………………………….32 3.1. Веса результатов измерений ……………………………………..32 3.2. Средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице ………… ………………………………………..34 3.3. Общая арифметическая средина или среднее весовое …………35 3.4. Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины ………………………………………..36 3.5. Веса функций измеренных величин ……………………………..39 Вопросы для самопроверки ………………………………………40 II. Задачи на применение теории погрешностей к практике геодезических работ………. ……………………………………………...41 4. Равноточные измерения ……… ……………………………………….41 4.1. Сводка формул по теории погрешностей ……………………….41 4.2. Угловые измерения ……………………………………………….42 4.3. Линейные измерения ……………………………………………..47 75

4.4. Нивелирование ……………………………………………………53 4.5. Совместные измерения …………………………………………..57 4.6. Измерения на плане и карте…. …………………………………..63 5. Неравноточные измерения …………………………………………….65 5.1. Сводка формул по теории погрешностей ……………………… 65 5.2. Определение весов результатов измерений …………………… 66 5.3. Определение средней квадратической погрешности единицы веса по результатам истинных погрешностей ………67 5.4. Определение общей арифметической средины и ее средней квадратической погрешности …………………………………...68 5.5. Определение средней квадратической погрешности единицы веса по результатам двойных измерений ………………………70 Литература ……………………………………………………………………74

Учебное издание НОВИКОВ Валентин Иванович РАССАДА Андрей Борисович ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ Учебное пособие Редактор Р.А. Козина Подписанов в печать 15.06.07 Формат 60х84 1/16 Бум. офсет. Усл. печ.л. 4,42 (4,75) Уч.-изд.л. 4,5 Тираж 100 экз. Заказ 119/247 С 44 Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 76

В.И. Новиков, А.Б. Рассада

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ Учебное пособие

2007 77