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Elementos de c´alculo, volumen 1
Ejemplo 19.
As´ıntotas verticales
Determinar las as´ıntotas verticales de f (x) = Soluci´ on:
3x + 1 + 3x − 2
2x2
Podemos escribir 3x + 1 3x + 1 f (x) = 2 = 2x + 3x − 2 (2x − 1)(x + 2)
Vemos que el denominador se hace 0 cuando x = −2 o x = 21 de manera que hay dos posibles as´ıntotas verticales: x = −2 y x = 21 . Calculamos 3x + 1 = ∞, lim x→−2+ (2x − 1)(x + 2) lim
x→( 21 )+
3x + 1 =∞ (2x − 1)(x + 2)
y por lo tanto ambas rectas son as´ıntotas verticales.
4
Ejemplo 20.
Un cero del denominador que no es as´ıntota vertical Determinar las as´ıntotas verticales de
f (x) = Figura
3x+1 2x2 +3x−2
4.7.
x2 − 9 f (x) = 2 x − 5x + 6 Soluci´ on:
Tenemos f (x) =
x2 − 9 x2 − 9 = . x2 − 5x + 6 (x − 3)(x − 2)
Por lo tanto hay dos posibles as´ıntotas verticales: x = 3 y x = 2. Ahora calculamos lim
x→2+
x2 − 9 =∞ (x − 3)(x − 2)
x2 − 9 (x − 3)(x + 3) x+3 = lim = lim =6 x→3 (x − 3)(x − 2) x→3 (x − 3)(x − 2) x→3 x − 2 lim
f (x) = Lo anterior dice que la recta x = 2 es as´ıntota vertical, pero x = 3 no es as´ıntota vertical porque el l´ımite considerado no es ni ∞ ni −∞. . 4
Figura
4.8.
x2 −9 x2 −5x+6