Grandes Matemáticos

Alexandra

Möbius nació el 17 de noviembre de 1790 en el colegio Schulpforta (Sajonia-Alemania), donde su padre Johann Heinrich Möbius (1742 1792) enseñaba danza. Su madre, Johanne Katharine Christiane Keil (1756 1820), pertenecía a la séptima generación descendiente del reformador religioso Martín Lutero Como su esposo falleció cuando su único hijo contaba tres años, fue ella quien lo educó hasta los trece, edad con la cual ingresó en el colegio Schulpforta.

Si bien empezó Derecho en Leipzig (1809) para complacer a su familia, al semestre lo dejó por su gran pasión: la ciencia Estudió matemáticas, astronomía y física en distintas universidades y con famosos científicos de su época, en especial astronomía en Leipzig con Karl Mollweide, materia que amplió en Gotinga bajo la supervisión de Carl Friedrich Gauss

Biografía

En Halle tuvo como profesor a Johann Friedrich Pfaff, quien dirigió su tesis, leída en 1815,

Gauss lo recomendó en 1816 para ser profesor extraordinario de la Cátedra de Astronomía y Mecánica Superior de la Universidad de Leipzig para sustituir a su maestro Mollweide. Enseñó allí y en 1844 fue nombrado catedrático. En 1846 lo eligieron además miembro de la Academia de Ciencias de Gotinga y desde 1848 fue director del Observatorio de Leipzig, cuya reconstrucción había supervisado. Casi todo su trabajo fue publicado en Crelle, la primera revista dedicada exclusivamente a artículos de investigación en matemáticas.1

Möbius se casó en 1820 con Dorothea Rothe (1790-1859), hija de un cirujano, de la que tuvo tres hijos: August (1821 1890), Emilie (1822 1897) y Paul (1825 1889). Este último le dio cinco nietos, uno de los cuales fue el famoso neurólogo Paul Julius Möbius (1853 1907), conocido por su investigación del síndrome de Möbius.

Möbius falleció el 26 de septiembre de 1868 a los 77 años de edad.

Aportes Aportes

El maestro que más influencia tuvo sobre Moebius durante su estancia en Leipzig fue el astrónomo Karl Mollweide, quien también es bien conocido por un cierto número de descubrimientos matemáticos, en particular, las relaciones trigonométricas de Mollweide, que descubrió entre 1807 y 1809, y la proyección conforme de mapas de Mollweide, es decir, que conserva ángulos.

En 1813, Moebius viajó a Göttingen, donde estudió astronomía bajo la dirección de Gauss, quien era director del Observatorio en Göttingen y, por supuesto, el más grande matemático de su época. Así, nuevamente Moebius pudo estudiar con un astrónomo, cuyos intereses eran de tipo matemático De Göttingen, Moebius se fue a Halle, donde estudió con Johann Pfaff, maestro también de Gauss. Con Pfaff, Moebius estudió matemáticas más que astronomía, así que a estas alturas ya estaba trabajando sólidamente en ambas disciplinas.

En 1815, Moebius escribió su tesis doctoral sobre La ocultación de estrellas fijas, quería comprender la

forma en que los objetos celestes se sobreponen, se ocultan unos a otros. Uno de sus biógrafos, Baltzer, lo califica como un hombre de mente original, gran intuición e ingenio, que trabajaba sin apuros y que logró concretar sus proyectos con tranquilidad Buscaba entender los sistemas de líneas en el espacio y trabajaba mucho en geometría proyectiva y comenzó a trabajar en su Habilitación, que es un grado posterior al doctorado, que en muchas universidades de Europa central se exige para ocupar una plaza definitiva De hecho, mientras escribía este trabajo, hubo un intento de enrolarlo en el ejército prusiano. Moebius escribió:

"Ésta es la idea más horrible que he escuchado, y cualquiera que se aventure, ose, se atreva, inste y tenga la audacia de proponérmelo ya no estará seguro ante mi daga".

Coordenadas Chomogéneas oordenadas homogéneas

En matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837.

También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el espacio euclídeo, pues este puede verse como un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D.

En coordenadas homogéneas, todo punto bidimensional está definido por tres coordenadas. De tal modo que un punto de dimensiones (x, y), se representa por la terna ( λx, λy, λ), λ ≠ 0

Las coordenadas en dos dimensiones se pueden encontrar más fácilmente si λ = 1, por simplificación En tres dimensiones, suele ocurrir lo mismo.

La idea básica se trata de ampliar el plano euclídeo (en el caso bidimensional) al plano proyectivo. Esto implica la consideración de los puntos impropios, o del infinito Un punto impropio es aquel donde λ = 0, y está determinado por la dirección de una recta, contenida en el plano proyectivo. 3Así, si el punto impropio está determinado por una recta en la forma Ax By = 0, sus coordenadas homogéneas se escriben:

(B,A,0).

Recíprocamente, dadas las coordenadas homogéneas (x, y, z) de un punto, la respectiva proyección sobre el plano euclídeo tiene como coordenadas: z ≠ 0

Transformación de TMöbius ransformación de Möbius

Este artículo trata sobre la transformación en geometría proyectiva. Para la transformada en teoría de números, véase transformada de Möbius.

En geometría, una transformación de Möbius es una función de la forma: donde z, a, b, c, d son números complejos que verifican que ad bc ≠ 0.

Una transformación de Möbius puede verse en el plano complejo como la composición de una proyección estereográfica del plano sobre la esfera, seguida de una rotación o desplazamiento de la esfera a una nueva localización y finalmente una proyección estereográfica, esta vez de la esfera al plano.

Como veremos más abajo, será más natural considerar directamente las transformaciones de Möbius como transformaciones de la esfera de Riemann (i.e. del plano complejo aumentado con un punto en el infinito

Las transformaciones de Möbius reciben su nombre en honor a August Ferdinand Möbius, aunque también se nombran como transformaciones especiales conformes, transformaciones racionales lineales o transformaciones homográficas.

Una transformación de Möbius puede extenderse de modo natural a un biholomorfismo (o sea, una aplicación conforme y biyectiva) de la esfera de Riemann. Para que dicha transformación quede definida en toda la esfera de Riemann, seguiremos los siguientes convenios con el punto del infinito:

-d/c se aplicará en ∞ ∞ se aplicará en a/c.

El conjunto de estas transformaciones definidas sobre la esfera de Riemann forma un grupo bajo la composición de funciones llamado el grupo de Möbius Este grupo, a su vez, puede dotarse con la estructura de variedad compleja de modo que la composición y la inversión sean aplicaciones holomorfas. Dicho de otro modo: el grupo de Möbius se convierte así en un grupo de Lie complejo

Transformada de TMöbius ransformada de Möbius

En teoría de números, la transformada de Möbius, llamada así en honor a August Ferdinand Möbius es una transformación de funciones aritméticas. Si f es una función definida sobre los números enteros positivos, Tf viene dada por:

donde μ es la función de Möbius clásica 1 En un lenguaje más común y extendido por razones históricas, la función Tf se llama inversa de Möbius de f.2 (La notación d | n significa que d es un divisor de n).

La transformación toma funciones aritméticas, o sea, funciones f: N → C y devuelve funciones aritméticas Sobre funciones generadas mediante series de Dirichlet, se corresponde a una división por la función zeta de Riemann.

La transformada inversa T 1f viene dada por

Sea:

Relaciones con series

de manera que:

sea su transformada de Möbius. Las transformadas están relacionadas por medio la serie de Lambert de la siguiente manera:

y por medio de las series de Dirichlet: .

Función de FMöbius unción de Möbius

La función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria.

μ(n) está definida para todos los enteros positivos n1 y tiene valores en { 1, 0, 1} dependiendo en la factorización de n en sus factores primos Se define como sigue:

μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.

μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos

μ(n) = 0 si n es divisible por algún cuadrado.

Una definición equivalente se define haciendo uso de las funciones ω(n) y Ω(n), donde:

ω(n) obtiene el número de primos distintos que dividen el número.

Ω(n) obtiene el número de factores primos de n, incluyendo sus multiplicidades Claramente, ω(n) ≤ Ω(n)

Así, se define la función de Möbius como:

La definición implica que μ(1) = 1, ya que 1 tiene 0 factores primos distintos, por lo tanto, un número par.

Representación

La tabla de valores de μ(n) para los veinte primeros números enteros positivos:

Los 50 primeros valores de la función μ(n), representados en la gráfica siguiente:

Propiedades y aplicaciones

La función de Möbius es multiplicativa, y tiene gran relevancia en la teoría de las funciones multiplicativas y aritméticas puesto que aparece en la fórmula de inversión de Möbius. La suma sobre todos los divisores positivos de n de la función de Möbius es cero excepto cuando n = 1.

Teoría de números

En teoría de números, la función de Mertens está emparentada con la función de Möbius, y se define como: para todo número natural n. Esta función está relacionada con las posiciones de los ceros de la función ζ de Euler Riemann y con la conjetura de Riemann

Otras aplicaciones de μ(n) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de Pólya en grupos combinatorios.

Fórmula de inversión de MöbiusFórmula de inversión de Möbius

La clásica fórmula de inversión de Möbius fue introducida en la teoría de números durante el siglo XIX por August Ferdinand Möbius. Fue generalizada más tarde a otras «fórmulas de inversión de Möbius».

Formulación

La versión clásica1 establece que si g(n) y f(n) son funciones aritméticas satisfaciendo:

aritméticas satisfaciendo: entonces:

donde μ es la función de Möbius y las sumas se extienden sobre todos los divisores positivos de n.

La fórmula también es correcta si f y g son funciones de los números enteros positivos en algún grupo abeliano. Las dos funciones se dice que son la transformada de Möbius la una de la otra. En el lenguaje de convoluciones (véase función multiplicativa), la primera fórmula puede expresarse como:

g = f * 1

donde "*" denota el operador convolución de Dirichlet, y 1 es la función constante f(n)=1 De la misma manera, la segunda se expresa como:

f = μ * g.

Generalizaciones

Una formulación equivalente de la fórmula de inversión, más útil en combinatoria es como sigue: Suponga que F(x) y G(x) son funciones complejo-valoradas definidas en un intervalo [1, ∞) tales que:

aquí las sumas se extienden sobre todos los números enteros positivos n que son menores o iguales que x

La inversión de Möbius tratada arriba es la inversión original de Möbius. Cuando el conjunto parcialmente ordenado de los números naturales ordenados por la divisibilidad es substituido por otros conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos, uno obtiene otras fórmulas de inversión de Möbius; para una reseña de ellas, véase álgebra de incidencia.

Versión multiplicativa de la fórmula de inversión

Como la fórmula de inversión de Möbius puede ser aplicada a cualquier grupo abeliano, esto no supone una diferencia entre si la operación de grupo es la adición o la multiplicación En este sentido, se puede proporcionar la siguiente versión multiplicativa de la fórmula de inversión de Möbius. Si:

entonces:

entonces:

Banda de BMöbius anda de Möbius

Es una superficie que solo posee una cara.

Tiene solo un borde Es una superficie no orientable.

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de {R} ^{3}} es mediante la parametrización:

La cinta o banda de Möbius o Moebius (/ˈmøːbjʊs/) es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable También es una superficie reglada. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Aunque sus primeras representaciones pueden verse en el Mosaico romano de comienzos del siglo III hallado en una villa de Sentinum Gliptoteca de Múnich (Inv. W504), donde se representa al Dios Aion dentro de una Banda de Möbius circular. La banda de Moebius posee las siguientes propiedades:

donde:

Representa una banda doble de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia exterior tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en (0,0,0). El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

la

de M%C3%B6biu

de M%C3%B6bius

de M%C3%B6bius

Fórmula