Conversion de angulos trigo

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TRIGONOMETRÍA

Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

2009

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2009

TRIGONOMETRÍA

ANGULO TRIGONOMÉTRICO *

ANGULO TRIGONOMETRICO Es aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posición inicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijo llamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación: :

Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede ser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulos trigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ello las siguientes consideraciones:

*

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos; destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades:

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TRIGONOMETRÍA Unidad

∠1 vuelta

Sexagesimal

1°

Centesimal

1

Sistema

Radial

g

1rad

Sexagesimal

Centesimal

360°

1° = 60'

1 = 100

g

1' = 60''

1 = 100

1° = 3600''

1 = 10000

400

2 πrad

g

m

m

s

g

s

A partir de estas definiciones, se pueden establecer : 1. 1 rad. > 1º > 1g 3. 9º < > 10g 27' < > 50m 81"< > 250s *

2.

180º < > 200g < > πrad 4. aºb'c'' = aº+b'+c'' xgymzs = xg + ym + zs

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Es el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un sistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor de conversión que consiste en lo siguiente: Convertir 40g → radianes Convertir π/3 rad → sexagesimal

•

*

FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓN Es otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula general de conversión es la relación entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo "α ", se cumple:

•

Por ejemplo, si queremos convertir 30° → radianes: tenemos: S = 30 y R = ??

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TRIGONOMETRÍA

Luego: S R 30 R π = ⇒ = ⇒R = 180 π 180 π 6

∴ 30° < > π rad 6

Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en los cuales se requiere tener además, lo siguiente :

*

1.

S C S C S 9 = ⇒ = ó = 180 200 9 10 C 10

2.

S R R = ⇒ S = 180 180 π π

3.

C R R = ⇒ C = 200 200 π π

Una aplicación sería: "Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus números de grados sexagesimales y centesimales, suman 19" Aquí por ejemplo, planteamos el problema así: Si: S  " α" C R 

⇒

# grados + # grados = 19 sexag. centes.

S + C = 19

como piden "R", entonces: 180R 200R 380R π + = 19 ⇒ = 19 ⇒ R = π π π 20

∴el ángulo mide

π rad 20

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TRIGONOMETRÍA

PROBLEMAS NIVEL 1 4. A qué es igual 320'' 1. En el gráfico, señale lo que es a) 3º40' c) 3º20'' e) 5'20''

correcto respecto a " α " y " β ":

b) 3'40'' d) 5º 40'

5. A qué es igual: 1º 20' a) 1500'' c) 4000'' e) 6000''

b) 3620'' d) 4800''

6. A qué es igual: a) α + β =90º

b) α - β = 90º

c) β - α = 90º

d) α + β = 0º

E=

e) α + β = -90º

a) 2 d) 4 1

2. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a los ángulos mostrados:

a) α + β = 90º

b) α - β = 90º

c) β - α =90º

d) α + β = 0º

2°3' 3' b) 1 2 e) 5 2

c) 4 0

7. Convierta a radianes: 45º

a)

π rad 3

b)

π rad 4

d)

π rad 2

e)

π rad 9

c)

π rad 8

c)

π rad 4

8. Convierta a radianes: 36º

e) α + β = -90º 3. Exprese "x" en función de "α" y "β"; a partir del gráfico mostrado:

a)

π rad 2

b)

π rad 3

d)

π rad 5

e)

π rad 6

9. Convierta a radianes: 60g

a) 2π − α − β

b) 2π − α + β

c) 2π + α − β

d) β − α − 2π

e) β + α − 2π

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a)

π rad 20

b)

3π rad 10

c)

3π rad 20

d)

π rad 5

e)

π rad 4

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TRIGONOMETRÍA 10. Convierta a centesimales: 72º a) 70g d) 60g

b) 80g e) 72g

6. La suma y diferencia de dos ángulos son 1° y 1g. ¿Cuánto mide el menor?

c) 90g

a) 1' d) 4'

NIVEL II 1. Convierta al sistema sexagesimal : "

πx 160x g rad . y 3 9 ¿Cuál es el valor de "x"?

14x°;

b) 6º 37' 30'' d) 5º 32' 30''

a) 1 d) 4

2. Convierta al sistema centesimal:

a) 1g 30 m c) 1g 60 m

b) 1g 50 m d) 1g 40 m

e) 1g 70 m 3. Convierta al sistema centesimal: π rad" 125

a) 1g 30 m c) 1g 60 m e) 1g 70 m

b) 2 e) 5

a)

π rad 2

b)

π 3

d)

π 5

e)

π 6

b) 1g 50 m d) 1g 40 m

a)

π rad 4

b)

π 5

Calcular: E = (b + c)a-1

d)

π 20

e)

π 40

d)

1 3

b) 2 e)

c) 3

a) 85 d) 98

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c)

π 10

b) 78 e) 100

c) 95

NIVEL III

b) 28° d) 28°30'

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π 4

10. Sabiendo que: (S + C)π = 4nR donde "S", "C" y "R" son lo conocido para un mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"?

1 2

5. La suma de dos ángulos es 40° y su diferencia es 30 g . ¿Cuánto mide el mayor? a) 27° c) 27°50' e) 18°30'

c)

9. Sabiendo que el doble del número de grados sexagesimales que contiene un ángulo disminuido en su número de grados centesimales es igual a 8. ¿Cuánto mide el ángulo en radianes?

π rad <> a° bc' 48

a) 1

c) 3

8. Señale la medida de un ángulo en radianes sabiendo que la diferencia de sus números de grados centesimales y sexagesimales es 5.

π rad " " 125

4. Si:

c) 3'

7. En un triángulo sus ángulos miden:

π rad " 7

a) 25º 42' 51'' c) 5º 37' 20'' e) N.A

"

b) 2' e) 5'

1. Halle la medida circular de un ángulo que cumple:

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TRIGONOMETRÍA S C R + + =6 180 200 π siendo: "S", "C" y "R" lo conocido a) πrad d) 4π

b) 2π e) 5π

4. La diferencia de medidas de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo es 30°. ¿Cuánto mide el ángulo mayor en radianes?

c) 3π

2. La diferencia de las recíprocas que representan la medida sexagesimal y centesimal de un ángulo, es igual a su número de radianes entre 2π. ¿Cuánto mide el ángulo en el sistema sexagesimal? a) 6° d) 12°

b) 8° e) 15°

c) 10°

b)

7π 12

d)

4π 3

e)

5π 6

c)

2π 3

S 1 C 1 = x + ; = 2x − 9 x 10 x calcular la medida radial del ángulo.

22 , halle la radianes en 79. Si: π= 7 medida sexagesimal del ángulo. b) 90° e) 45°

5π rad 12

5. Siendo "S" y "C" lo conocido para un mismo ángulo, tales que:

3. Se tiene un ángulo que al medirlo en grados sexagesimales dicho número excede a 7 veces su número de

a) 75° d) 120°

a)

a)

π 2 rad 40

b)

π 2 15

d)

π 2 20

e) N.A.

c)

π 2 5

c) 60°

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