Issuu on Google+

1


УДК 530.1:534 ББК 22.3я73 В753

Рекомендовано Ученым советом Луганского государственного института культуры и искусств (протокол №5 от 22.12.2010г.)

Рецензенты: В. В. Румянцев, заведующий физико-технологическим отделением Донецкого национального университета – Донецкого физико-технического института им. А. А. Галкина НАН Украины, доктор физикоматематических наук; Ю. А. Бранспиз, заведующий кафедрой прикладной физики Восточноукраинского национального университета имени Владимира Даля, доктор технических наук, профессор; В. Н. Кравченко, доцент кафедры экспериментальной физики физического факультета Киевского национального университета имени Тараса Шевченко, исполнительный секретарь Бюро Координационного Совета Украинского физического общества, кандидат физикоматематических наук, доцент Ответственный за выпуск – К. В. Токарь Воронкин А. С. Краткий курс физики для высших учебных заведений искусств : уч. пособ. для студ. напр. подготовки 6.020204 «Музыкальное искусство» спец. «Звукорежиссура» всех В753 форм обучения / Алексей Сергеевич Воронкин ; Луган. гос. ин-т культуры и искусств. – Луганск : Изд-во ЛГИКИ, 2011. – 236 с. : ил. 161, табл. 14, библиогр. 108 назв.

ISBN 978–966–2005–03–5 В учебном пособии кратко изложен теоретический материал, приведены примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы. Пособие охватывает такие разделы физики как механика, молекулярная физика, термодинамика, электричество и магнетизм, колебания и волны, физика звука, оптика. Рассмотрены основы спектрального анализа сигналов. Предназначено для студентов ВУЗов культуры и искусств направления подготовки 6.020204 «Музыкальное искусство» специализации «Звукорежиссура» всех форм обучения. Будет полезным для аспирантов и преподавателей ВУЗов культуры и искусств.

УДК 530.1:534 ББК 22.3я73

ISBN 978–966–2005–03–5 © Воронкин А. С., 2011 © Луганский государственный институт культуры и искусств, 2011

2


ВВЕДЕНИЕ Если вы занимаетесь физикой, у Вас не может не быть вопросов П. С. Эренфест В наш век передача звуковой информации с помощью технических средств играет все более возрастающую роль буквально во всех областях социальной жизни, науки и культуры. Причем если при непосредственном восприятии звука цепочка передачи информации состоит из двух звеньев: исполнитель – слушатель, то при прослушивании через электроакустический тракт к этой цепочке добавляется звукорежиссер, который при помощи современных технических средств должен передать не только искусство исполнения, но и ощущение окружающей обстановки (акустики зала или обстановку сценического действия). Однако при этом ему приходится учитывать специфику восприятия звука. Звуковую информацию звукорежиссеру приходится соответствующим образом обрабатывать, а с этой задачей можно справиться, только хорошо зная фундаментальные физические законы, математический аппарат, законы звукопередачи, основы электротехники и электроники, психофизиологию человеческого слуха. На первый взгляд может показаться, что физика, наука и техника очень далеки от музыки – самой возвышенной из всех форм искусства. Однако такое утверждение вряд ли справедливо. Для многих ученых музыка служит своего рода отдыхом и вторым любимым занятием. Многие из них сами являлись превосходными исполнителями (Эйнштейн, например, играл на скрипке; Эренфест и Больцман играли на фортепиано; Галилей, Ньютон, Д’Аламбер и Гельмгольц внесли большой вклад в теорию гармонии). Место физики в общечеловеческой культуре лучше всего выражают слова Р. Фейнмана: «Физическое представление о мире составляет сейчас главную часть истинной культуры нашей эпохи». Исторически акустика развивалась как ветвь механики. Ведь еще Пифагор обнаружил, что длины струн, которые настроены на гармонические интервалы – октавы, квинты и т. д., при прочих одинаковых условиях относятся между собой, как 1:2, 2:3 и т.д. Это открытие было первым примером установления числовых связей в природе и привело к мысли, что математический анализ может служить хорошим инструментом в понимании природы. Древние греки связывали появление звука со сжатием и разрежением воздуха. В 1638 г. Галилей устанавливает частоту как физический коррелят ощущения высоты тона, характеризует относительную высоту двух звуков посредством отношения их частот. Марен Мерсенн в то же время дает первое абсолютное определение числа колебаний, открывает, что струна в большинстве случаев одновременно с основным тоном дает еще гармонические обертоны. Зависимость скорости звука от сжимаемости и плотности воздуха определил Ньютон, хотя его формула была подтверждена опытом лишь в 1826 г., когда Лаплас заменил изотермическое сжатие адиабатическим. Эрнст Фридрих Хладни в 1802 г. противопоставил давно известным поперечным колебаниям струн и стержней продольные и крутильные колебания. Проводимость звука жидкостями долгое время оспаривалась из-за мнимой их несжимаемости, несмотря на прямое наблюдение, сделанное в 1762 г. Вениамином Франклином. Но в 1827 г. Жан Даниэль Колладон и Якоб Франц Штурм дали убедительное доказательство распространения звука в воде, определив скорость звука в Женевском озере. В дальнейшем в течение XIX столетия физическая акустика все больше превращалась в учение об упругих волнах. Из оптики в нее были введены идеи интерференции, дифракции и рассеяния на препятствиях. Принцип Доплера, возникший в 1842 г. как оптическая идея, нашел свое первое подтверждение в изменениях высоты воспринимаемых тонов. Аналитический метод Фурье, созданный первоначально для решения проблемы теплопроводности, применяется с огромным успехом для изучения звуковых волн, тем более что разложение любого периодического колебания на 3


синусоидальные колебания соответствует непосредственной психологической реальности; как установил в 1843 г. Симон Ом ухо может воспринимать эти колебания в отдельности. Если же это не удается, то эти синусоидальные колебания определяют тембр звучания в смеси тонов, как это подчеркнул Гельмгольц в своем «Учении о звуковых ощущениях» (1862). Большие технические задачи встали перед акустикой после того, как в 1861 г. Филипп Рейс и в 1875 г. Александр Грехем Белл изобрели телефон, а в 1878 г. Давид Юз существенно улучшил микрофон Рейса. Возникла возможность более совершенной передачи человеческих голосов и музыкальных звуков посредством электрики. Появляется электроакустика. Краткий курс физики для институтов искусств соответствует программе дисциплины «Физика звука», читаемой автором в Луганском государственном институте культуры и искусств студентам специальности «Звукорежиссура». Основная задача курса – дать представление о физике в целом, сформировать целостную физическую картину мира, заложить основы будущей профессии. Учебное пособие включает основные сведения по следующим разделам: механика, молекулярная физика, термодинамика, электродинамика, колебания и волны, оптика. Отдельные подразделы носят исключительно справочный характер. Ядром курса являются рассматриваемые вопросы физики звука, физиологической акустики и спектрального (гармонического) анализа. Приводятся данные о звуковом поле и величинах его характеризующих. Делается упор на суть проблемы, преследуется цель понимания вводимых понятий и смысла физических законов, а также установления областей их действия и применения. Приведенные решенные задачи дополняют и углубляют теоретический материал, способствуют более детальному пониманию тем. Математические знания, необходимые для пользования пособием, соответствуют уровню курса высшей математики, который читается студентам ЛГИКИ одновременно с курсом «Физика звука». При написании книги в основу ее положены конспекты лекций, прочитанных автором студентам ЛГИКИ по данному курсу, а также использованы отдельные литературные источники, приведенные в библиографическом списке в конце пособия. В переработанном виде включено некоторое количество задач из сборников по физике для высшей школы.

4


А

МЕХАНИКА

I. ПРЕДМЕТ ФИЗИКИ И ЕЕ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ Физика – это наука о природе. Она возникла из стремления понять и описать окружающий нас мир. Человек как часть этого мира пытается понять, как он устроен. Возможно ли это? Мы знаем, что ответ на этот вопрос положителен. Из нашего собственного опыта мы знаем, что мир познаваем. Открытия законов природы, сделанные учеными физиками, послужили основой технического прогресса человечества [11, 15, 16, 23, 34]. Окружающей вас мир, все существующее вокруг нас и обнаруживаемое нами посредством ощущений представляет собой материю. Неотъемлемым свойством материи и формой ее существования является движение. Движение в широком смысле слова – это всевозможные изменения материи, от простого перемещения до сложнейших процессов мышления. Разнообразные формы движения материи изучаются различными науками, в том числе и физикой [47]. Физика – наука о наиболее простых и вместе с тем наиболее общих формах движения материи и их взаимных превращениях [16, 19]. Изучаемые физикой формы движения материи (механическая, тепловая и др.) прис��тствуют во всех высших и более сложных формах движения материи (химических, биологических и др.). Поэтому они, будучи наиболее простыми, являются в то же время наиболее общими формами движения материи. Высшие и более сложные формы движения материи – предмет изучения других наук (химии, биологии и др.) [23, 47]. Главными ветвями физики являются экспериментальная и теоретическая физика. Над одной и той же проблемой могут работать как теоретики, так и экспериментаторы. Первые описывают существующие экспериментальные данные и делают теоретические предсказания будущих результатов, вторые проводят эксперименты, проверяя существующие теории и получая новые результаты. Для объяснения экспериментальных фактов выдвигаются гипотезы. Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо явления и требующее проверки на опыте и теоретического обоснования для того, чтобы стать достоверной научной теорией [47]. В результате обобщения экспериментальных фактов, а также результатов деятельности людей устанавливаются физические законы – устойчивые повторяющиеся объективные закономерности, существующие в природе. Наиболее важные законы устанавливают связь между физическими величинами, для чего необходимо эти величины измерять. Измерение физической величины есть действие, выполняемое с помощью средств измерений для нахождения значения физической величины в принятых единицах. В современном виде курс общей физики включает в себя следующие разделы: механику; молекулярную физику; термодинамику; учение об электричестве и магнетизме; акустику (колебания и волны); оптику; учение о гравитационном поле; квантовую физику; физику элементарных частиц, атомного ядра и космических лучей. В широком смысле слова движение материи есть всякое ее изменение. Однако в механике под движением понимается только простейшая его форма, а именно перемещение тела относительно других тел. Принципы механики были впервые сформулированы Ньютоном (1643–1727 гг.) в его основном труде «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Механика Ньютона (классическая механика) применима лишь к сравнительно медленным движениям со скоростями, заметно меньшими скорости света в вакууме ~3·108 м/с. Движения, скорости которых приближаются к скорости света, называют 5


релятивистскими. Но скорость света огромна. В повседневной жизни мы имеем дело со скоростями, заметно меньшими. Так, скорость реактивного самолета может в 2–3 раза (обычно не больше) превысить скорость звука в воздухе (υзв≈300 м/с). Скорость спутника или космического корабля порядка 10 км/с. Такого же порядка скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца (30 км/с). Наконец, скорость движения Солнца по своей орбите вокруг центра нашей Галактики порядка 300 км/с, что меньше скорости света в 1000 раз. Второе ограничение классической механики заключается в ее неприменимости к описанию явлений микромира, то есть к движениям тел малой массы в малых участках пространства. Более общей наукой, описывающей такие движения, является квантовая механика, согласно которой неопределенность в знании значений координат и импульса определяется соотношением неопределенности Гейзенберга. Для построения системы единиц произвольно выбирают единицы для нескольких не зависящих друг от друга физических величин. Эти единицы называются основными. Остальные же величины и их единицы выводятся из законов, связывающих эти величины и их единицы с основными. Они называются производными. В настоящее время обязательна к применению в научной, а также в учебной литературе Система Интернациональная (СИ), которая строится на семи основных единицах – метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела, и двух дополнительных – радиан (плоский угол) и стерадиан (телесный угол) [11, 13, 16]. Для установления производных единиц используют физические законы, связывающие их с основными единицами. В табл. 1.1 приведены приставки, служащие для образования кратных и дольных единиц СИ. Приставки, приведенные в табл. 1, можно присоединять только к простым наименованиям (метр, грамм и т.д.). Таблица 1.1 Приставки для образования кратных и дольных единиц СИ Числовое Сокращенное Числовое Сокращенное Приставка Приставка значение обозначение значение обозначение Деци 10-1 Атто 10-18 а д -15 1 Дека Фемто 10 10 =10 ф да 10-12 Гекто 102 Пико п г -9 3 Нано 10 Кило 10 н к Мега Микро 10-6 106 мк М Гига Милли 10-3 109 м Г Тера 1012 Санти 10-2 с Т

II. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ 2.1. Кинематика, динамика, статика. Основные понятия: перемещение, путь, скорость, ускорение, механическое движение, материальная точка Механика – часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Механическое движение – это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей [13, 16]. Развитие механики как науки начинается с III в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед (287–212 до н. э.) сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564–1642) и окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643–1727). Механика Галилея–Ньютона называется классической механикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью 6


света в вакууме. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, изучаются релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности, сформулированной А. Эйнштейном (1879–1955). Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприменимы – они заменяются законами квантовой механики. Механика делится на три раздела: 1) кинематику; 2) динамику; 3) статику. Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают. Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение. Статика изучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает. Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является материальная точка – тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Понятие материальной точки – абстрактное, но его введение облегчает решение практических задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки [47]. Сами размеры тела не имеют никакого значения, имеет значение отношение этих размеров к расстоянию до других тел. Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек. В механике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек. Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е. изменять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель – абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным. Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение. Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета. С ним связывается система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета [19, 41]. В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени определяется тремя координатами x, y, z или радиусом-вектором r , проведенным из начала системы координат в данную точку (рис. 2.1).

7


Рис. 2.1. Положение материальной точки в декартовой системе координат Движение точки А описывается скалярными уравнениями  x = x(t )   y = y (t )  z = z (t ), 

(2.1)

эквивалентными векторному уравнению r = r (t ) . (2.2) Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка свободно д��ижется в пространстве, то она обладает тремя степенями свободы, если вдоль некоторой линии, то одной степенью свободы. Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве (линия вдоль которой движется тело). Пройденный путь – длина траектории (скалярная величина). В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным. Векторная величина скорость определяет быстроту движения и его направление в данный момент времени (рис. 2.2) [11]. Здесь ∆S – путь, ∆ r – перемещение – вектор, соединяющий начало и конец траектории (∆ r = r − r0 ) .

Рис. 2.2. Перемещение тела из точки А в точку В Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути и является скалярной функцией времени: ∆s=∆s(t). Вектор ∆ r , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения равен пройденному пути. Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина – скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный 8


момент времени. Вектором средней скорости называется отношение приращения ∆ r радиуса-вектора точки к промежутку времени ∆t [19, 21, 23]: ∆r (2.3) υ = . ∆t Направление вектора средней скорости совпадает с направлением ∆ r . При неограниченном уменьшении ∆t средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью: ∆r d r υ = lim = . (2.4) dt ∆t →0 ∆t Вектор скорости υ направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 2.3). ВНИМАНИЕ Вектор – это направленный отрезок. В отличие от скаляра вектор определяется тремя числами, что связано с трехмерностью пространства, в котором мы работаем. Например, введенный нами радиус-вектор r определяется тремя координатами x, y и z (рис. 2.1). При этом длина отрезка r определяется его компонентами:

Рис. 2.3. Направление векторов мгновенной скорости и средней скорости

r = r = x2 + y2 + z2 .

Если радиус-вектор имеет компоненты (x, y, z), т.е.

__

_

_

_

r = i x+ j y+k z,

то

d r _ dx _ dy _ dz =i + j +k . Проекции скорости точки на оси координат равны первым dt dt dt dt dx dy производным по времени от соответствующих координат точки: υ x = , υy = , dt dt dz υz = , а модуль вектора скорости: dt

υ=

2

2

2

 dx   dy   dz  υ = υ =   +  +  .  dt   dt   dt  Мгновенная скорость равна первой производной радиуса-вектора по времени. Путь ds, проходимый точкой за время dt, равен модулю вектора перемещения ds = d r , поэтому модуль мгновенной скорости точки равен первой производной от длины пути по времени: υ=υ =

∆r

∆s

ds

lim ∆t = lim ∆t = dt , т.к. при ∆t→0 ∆t →0

∆ r →∆S ( ∆s = ∆ r ).

∆t →0

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной U – средней скоростью неравномерного движения: ∆S υ = . (2.5) ∆t Из выражения ds= υ dt получим длину пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2: 9


t2

S = ∫ υ (t )dt .

(2.6)

t1

В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно. Среднее ускорение ∆υ (2.7) а = ∆t Мгновенное ускорение ∆υ dυ d2r a = lim a = lim = .= 2 (2.8) ∆t → 0

∆t →0

∆t

dt

dt

Таким образом, мгновенное ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. Пример 2.1. Зависимость пройденного телом пути S от времени t даётся уравнением 2 S=At +Bt+C, где А, В, С – const. Найти мгновенные скорость и ускорение, среднюю скорость. Решение ds = 2At + B , a = dυ = 2 A . Мгновенные скорость и ускорение: υ = dt dt ∆S υ = . Средняя скорость определяется как Найдем приращение ∆t ∆ S : S + ∆S = A(t + ∆t) 2 + B( t + ∆t ) + C = ( At 2 + Bt + C ) + (2 At + B)∆t + A(∆t ) 2 , тогда

∆S = ( At 2 + Bt + C ) + (2 At + B)∆t + A(∆t ) 2 − S = ( At 2 + Bt + C ) + (2 At + B)∆t + A(∆t ) 2 − At 2 − − Bt − C = (2 At + B)∆t + A(∆t ) 2 . ∆S υ = = 2 At + B + A∆t . ∆t Пример 2.2. Зависимость пройденного телом пути S от времени t даётся уравнением м м S=A+Bt+Ct2+Dt3, где С=0,14 2 , D=0,01 3 . Найти через какое время после начала с с м движения ускорение тела будет равно 1 2 . Вычислить среднее ускорение тела за время от с м t = 0 до t = 1 2 . с Решение Мгновенное ускорение тела в момент времени t можно найти как вторую м d 2S производную от пути: a= 2 =2C+6Dt. Надо определить значение t, при котором a = 1 2 . с dt м (1- 0,28) 2 a − 2C с =12 с. Подставив численные значения в t= , получим: t= м 6D (0,06) 3 с Чтобы найти среднее ускорение за промежуток времени от t1 до t2, надо определить (υ − υ ) величины скорости в момент времени t1 и t2 и их разность разделить на t2 – t1: a = 2 1 . (t2 − t1 ) Скорость находим как производную пути по времени υ=B+2Ct+3Dt2, тогда υ1=B+2Ct1+3Dt12, υ2=B+2Ct2+3Dt22.

10


Разность скоростей υ2–υ1=2С(t2–t1)+3D(t22–t12)=(t2–t1)[2С+3D(t2+t1)] подставляем в (υ − υ ) формулу для среднего ускорения: aср= 2 1 =2С+3D(t2+t1). (t 2 − t1 ) м м м Подставим численные значения и найдем aср = 0,28 2 + 3.0,01 3 .1с = 0,31 2 . с с с Разложим вектор ∆υ на две составляющие: ∆υ τ и ∆υ n . Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории): ∆υ dυ dυ aτ = τ и aτ = lim τ = , (2.9) ∆ t → 0 dt ∆t dt

где τ = υ

υ – единичный вектор.

Рис. 2.4. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлена к центру кривизны траектории (r – радиус кривизны траектории): ∆υ n υ 2 υ2 (2.10) , an = n и a n = lim = ∆t → 0 ∆t r r где n - единичный вектор главной нормали Полное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих [43, 47, 54]: a = aτ + an . (2.11) В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом: 1) аτ =0, an=0 – прямолинейное равномерное движение – это движение с постоянной S по модулю и направлению скоростью ( υ = = const ); t 2) aτ=a=const, an=0 – прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде υ − υ1 движения aτ = a = 2 . Если начальный момент времени t1=0, а начальная скорость t 2 − t1 υ − υ0 υ1 = υ 0 , то, обозначив t2=t и υ 2 = υ , получим a = , откуда υ = υ 0 + at . t Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения: t

t

s = ∫ υdt = ∫ (υ 0 + at )dt = υ 0 t + at 0

0

2

2

;

3) aτ=f(t), an=0 – прямолинейное движение с переменным ускорением; 11


4) aτ=0, an=const. При aτ = 0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a n =

υ2

следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. r Следовательно, движение по окружности является равномерным; 5) aτ =0, an≠0 – равномерное криволинейное движение; 6) aτ =const, an≠0 – криволинейное равнопеременное движение; 7) aτ=f(t), an≠0 – криволинейное движение с переменным ускорением.

2.2. Угловая скорость и угловое ускорение Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени, направление которой соответствует правилу правого винта (рис. 2.5): ∆ϕ dϕ dϕ ω = lim = и ω= , [рад/с] (2.12) ∆t → 0 ∆t dt dt Линейная скорость точки: ∆S ∆ϕ R∆ϕ υ = lim = lim = R lim = Rω; ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t (2.13) υ = ωR. Или в векторном виде: (2.14) υ = ωR . Время, за которое точка совершает один полный оборот, называется периодом вращения: 2π T= . (2.15)

[ ] ω

Число полных оборотов, совершаемых телом в единицу времени, называется частотой вращения: 1 ω n= = , (2.16) T 2π Откуда ω=2πn. (2.17)

а б Рис. 2.5. Движение точки по окружности радиуса R (а), вид сверху (б) Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: dω ε= . (2.18) dt Тангенциальная составляющая ускорения dυ aτ = (2.19) , dt где υ =ωR. 12


d (ωR) dω =R = Rε . (2.20) dt dt Нормальная составляющая ускорения υ 2 ω 2R2 (2.21) an = = = ω2R . R R При движении тела по окружности с постоянной по величине скоростью говорят, что оно совершает равномерное вращательное движение. Хотя при таком движении величина скорости остается постоянной, направление ее непрерывно изменяется (рис. 2.6) [19]. Поскольку ускорение определяется как быстрота изменения скорости, изменение направления скорости дает вклад в ускорение точно так же, как и изменение величины скорости. Таким образом, тело, совершающее равномерное вращательное движение, ускоряется. В любой момент времени мгновенная скорость направлена по касательной к круговой траектории. Вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости (величина которого υ2 ). Поскольку этот вектор направлен к центру окружности, это ускорение называют an = R центростремительным. aτ =

а б Рис. 2.6. Изменение скорости частицы, движущейся по окружности: а – равномерное вращательное движение, б – неравномерное вращательное движение Если скорость частицы, вращающейся по окружности, изменяется по величине, то наряду с центростремительным ускорением ас будет иметь место и тангенциальное ускорение aτ . Таким образом, тангенциальное ускорение возникает из-за изменения dυ величины вектора скорости aτ = , центростремительное ускорение обусловлено измеdt нением направления скорости. Тангенциальное ускорение всегда направлено по касательной к окружности, и, если скорость увеличивается, ��го направление совпадает с направлением движения (параллельно υ ), как показано на рис. 6,б для тела, движущегося против часовой стрелки. Если же скорость уменьшается, то направление aτ противоположно вектору скорости υ [19]. Пример 2.3. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60о с направлением линейной скорости этой точки. Решение

13


Скорость точки направлена по касательной к траектории, т. е. к окружности. По касательной направлено и тангенциальное ускорение. Значит, угол между полным ускорением и тангенциальным ускорением равен углу между ускорением и скоростью. Рис. 2.7. К решению примера 2.3 Из рис. 2.7 видно, что an=aτtg α. Учитывая то, что an=ω2R и aτ=εR ⇒ ω2R=εRtg. При tgα нулевой начальной скорости ω=εt: ε2t2 = ε tg α, откуда ε= 2 =0,43 рад·с-2. t

III. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА. ЭТАЛОНЫ СИСТЕМЫ СИ. СИЛЫ В МЕХАНИКЕ. Инерциальная система отсчета (ИСО) – это система отсчета, в которой тела, не подверженные воздействию других тел, движутся прямолинейно и равномерно [16, 25, 41].

3.1. Законы Ньютона Первый закон Ньютона. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Первый закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта, то есть системах, которые либо покоятся, либо движутся равномерно и прямолинейно относительно другой инерциальной системы. Различие между первым законом и определением ИСО: определение ИСО не обязано реализоваться в природе, а I-й закон Ньютона утверждает существование ИСО. Следствие: если существует одна ИСО, то существует бесконечно много других ИСО , которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Земля как система отсчета. Если бы Земля была свободным телом, она двигалась бы относительно Солнца равномерно и прямолинейно, но на самом деле Земля участвует в 3-х вращениях, каждое из которых приводит к возникновению центростремительных ускорений, которые и делают Землю не ИСО. Ускорения эти малы, поэтому если рассматривать движение тел с ускорением значительно меньшим этих 3-х, то Землю можно считать ИСО. Второй закон Ньютона. Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела): kF (3.1) a= . m В системе единиц СИ k =1, тогда F (3.2) a= . m или dυ (3.3) , [Н]. F = ma = m dt 1 ньютон (1Н) – это сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2. 14


Причиной, которая вызывает ускорение тела, является сила. Для свободного тела __

__

F = 0 , a = 0 , следовательно, тело движется равномерно и прямолинейно. Значит ли, что мы получили II-ой закон из I-го закона Ньютона? Ответ – нет, т.к. II-ой закон справедлив в ИСО, а существование таких систем постулируется I-м законом Ньютона. Третий закон Ньютона определяет понятие массы тела. Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: __

F12 = − F21 ⇒

m1

=−

a2 __

(3.4)

a1 m2 Из третьего закона Ньютона следует, что для каждой силы можно указать тело, являющееся причиной этой силы. Если же указать такое тело (причину возникшей силы) не удается, то тогда причина силы – неинерциальность системы отсчета [47].

3.2. Силы в механике 3.2.1. Силы упругости Силы упругости возникают в теле при его упругой деформации. Деформация называется упругой, если после устранения деформирующей силы тело восстанавливает первоначальную форму. Силы упругости направлены против смещения частиц самого тела относительно их положения равновесия. Закон Гука утверждает, что сила упругости пропорциональна абсолютному удлинению тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации: (3.5) Fупр= – k·∆X, где k – коэффициент жесткости материала (коэффициент упругости), ∆X – абсолютная деформация (удлинение). Закон Гука выполняется при малых деформациях. 3.2.2. Контактные силы Контактные силы – силы, которые действуют при контакте двух тел. Выделяют силу нормальной реакции опоры и силу трения (табл. 3.1). Таблица 3.1 Сила нормальной реакции опоры и сила трения Сила нормальной реакции Сила трения опоры N Сила трения скольжения FТР = µ ⋅ N , Сила трения покоя Сила N перпендикулярна где поверхности соприкосновения µ – коэффициент трения FТР < µ ⋅ N скольжения, N – сила реакции опоры Коэффициент трения скольжения µ зависит от материала соприкасающихся поверхностей, их микрогеометрического профиля, смазки, газовой среды и не зависит от скорости движения и веса тела. Сила трения скольжения всегда направлена противоположно движению тела. Силы трения возникают в плоскости соприкосновения тел и препятствуют их относительному движению. Причинами сил трения являются неровности поверхности и силы межмолекулярного взаимодействия. Таким образом, сила, препятствующая скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга, называется силой трения. 15


Действие сил трения приводит к нагреванию тел. При этом механическая энергия превращается во внутреннюю. Различают трение покоя и трение скольжения (табл. 3.1). Сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления, с которой одно тело действует на другое (рис. 3.1). Коэффициент трения равен тангенсу угла α, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости µ = tg α (рис. 3.2).

Рис. 3.1. Движение тела по горизонтальной __

плоскости (приложенная сила F больше силы __

Рис. 3.2. Движение тела по наклонной плоскости

трения F ТР ) Трение качения возникает при перекатывании цилиндра или шара (катка) по поверхности твердого тела. Возникновение трения качения можно объяснить деформациями цилиндра и плоскости, имеющими место в реальных условиях. При этом могут возникнуть как упругие, так и пластические деформации. Примерами являются различные колеса, например, колеса локомотивов, электровозов, вагонов, автомашин и т.д. Сила трения качения: µ N Fтр = k , (3.6) r где µ k – коэффициент трения качения; r – радиус катящегося тела.

µk можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости ( µ k зависит от материала катка, опорной плоскости, а также от физического состояния их поверхностей). Сила трения покоя возникает при попытке привести тело в движение. Эта сила направлена в сторону противоположную возможному движению и растет по мере увеличения внешней силы, приложенной к телу.

3.2.3. Закон всемирного тяготения. Гравитационные силы Закон всемирного тяготения. Между любыми двумя телами действует сила взаимного притяжения: mm F = G 12 2 , (3.7) r где m1, m2 – массы тел; r – расстояние между телами; G – гравитационная постоянная. Эту силу называют силой тяготения или гравитационной силой. Закон всемирного тяготения справедлив для точечных масс. Вблизи поверхности Земли силу гравитации мы называем силой тяжести F = mg . Сила тяжести – сила, с которой тело притягивается к Земле. Вес тела равен силе, с которой тело действует на опору или подвес. Движение под действием силы гравитации.

16


Рис. 3.3. Определение ускорения свободного падения По закону всемирного тяготения на тело массой m действует сила, равная MЗm F =G (3.7) , (R З + h) 2 где MЗ – масса земли, RЗ – радиус Земли (см. рис. 3.3). MЗ F Согласно II-му закону Ньютона a = = G . На величину ускорения m (R З + h) 2 свободного падения и, следовательно, силы тяжести влияют: расстояние тела от поверхности Земли, форма Земли, вращение Земли [11, 19]. Эксперименты показывают, что ускорение свободного падения зависит от географической широты: ближе к полюсу – оно больше. MЗ = 9,81 м/с2, т.е. все тела падают на Землю с одинаковым При h=0 a = g = G R З2 ускорением, величина которого пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли. Формально постоянство g = 9,81 м/с2 мы получили сократив массу тела. На самом деле ситуация гораздо сложнее, т.к. масса из II-го закона Ньютона характеризует инертные свойства тела, а масса в законе Всемирного тяготения характеризует величину силы притяжения к другим массам (утверждение о пропорциональности масс). В природе можно выделить четыре основных взаимодействия (см. п.14.10): 1) сильное взаимодействие – силы, которые действуют между частицами внутри ядра; электромагнитные силы – силы между заряженными телами, они в сотни раз 2) слабее «сильных»; 3) слабое взаимодействие – силы, которые действуют между некоторыми элементарными частицами; 4) гравитационная сила – самая слабая из всех вышеперечисленных сил.

IV. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ФИЗИКИ (КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ). КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Математическая физика – это теория математических моделей физических явлений. Она относится к математическим наукам; критерий истины в ней – математическое доказательство. Однако, в отличие от чисто математических наук, в математической физике исследуются физические задачи на математическом уровне, а результаты представляются в виде теорем, графиков, таблиц и т.д. и получают физическую интерпретацию. При таком 17


широком понимании математической физики к ней следует относить и такие разделы механики, как теоретическая механика, гидродинамика и теория упругости. Открытия огромного значения возникли благодаря математической формулировке физических явлений и математическому анализу и обобщению результатов опыта [6]. Математическая физика не ограничивается только получением математических соотношений, описывающих найденные из опыта зависимости между физическими величинами. Нужно подчеркнуть ее роль в формировании понятий, идей, образов.

4.1. История развития математической физики Первоначально математическая физика сводилась к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Это направление составляет предмет классической математической физики. Классическая математическая физика развивалась со времён Ньютона параллельно с развитием физики и математики. В конце XVII века было открыто дифференциальное и интегральное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформулированы основные законы классической механики и закон всемирного тяготения (И. Ньютон). В XVIII веке методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн, стержней, маятников, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой; закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, К. Гаусс, П. Лаплас). В XIX в. методы математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, теории упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами. Создаются теория потенциала, теория устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуассон, Л. Больцман, О. Коши, М.В. Остроградский, П. Дирихле, Дж.К. Максвелл, Б. Риман, С. В. Ковалевская, Д. Стокс, Г.Р. Кирхгоф, А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. Гильберт, Ж. Адамар). В XX в. возникают новые задачи газовой динамики, теории переноса частиц и физики плазмы. В XX в. появляются новые разделы физики: квантовая механика, квантовая теория поля, квантовая статистическая физика, теория относительности, гравитация (А. Пуанкаре, Д. Гильберт, П. Дирак, А. Эйнштейн, Н. Н. Боголюбов, В.А. Фок, Э. Шрёдингер, Г. Вейль, Р. Фейнман, Дж. фон Нейман, В. Гейзенберг). Для изучения этих явлений множество используемых математических средств значительно расширяется: наряду с традиционными областями математики стали широко применяться теория операторов, теория обобщённых функций, теория функций многих комплексных переменных, топологические и алгебраические методы, теория чисел, асимптотические и вычислительные методы. С появлением ЭВМ, а позже и ПК существенно расширился класс математических моделей, допускающих детальный анализ, появилась реальная возможность ставить вычислительные эксперименты, например моделировать взрыв атомной бомбы или работу атомного реактора. 4.2. Пределы Пределом функции y=f(x) является конечное число А при стремлении х к а, если для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ > 0 , что y − A < ε , если x − a < δ : lim y = A . x→a

2

Пример 4.1. Рассмотрим функцию y = x + 1 . Если x → 2 , то y будет стремиться к 5: 2

lim( x + 1) = 5 . x→2

Может оказаться и так, что при x → a функция неограниченно возрастает и предела иметь не будет. Такой, например, функцией является y = 1 / x при x → 0 . Некоторые функции имеют предел при неограниченном возрастании или убывании аргумента. Так, функция y = 1 / x при x → ∞ стремится к нулю. Приведем без доказательства некоторые теоремы, применение которых облегчает нахождение пределов: – предел постоянной величины равен этой постоянной величине; 18


– предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций; – предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций; – предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если только предел знаменателя не равен нулю. При вычислении пределов могут встретиться особые случаи, приводящие к неопределенностям. x+4 Пример 4.2. lim . Так как lim( x + 4) = ∞ и lim(2 x + 7) = ∞ , то получаем x →∞ x →∞ x →∞ 2 x + 7 ∞ ∞ выражение , которое не имеет смысла и называется неопределенностью вида . ∞ ∞ Нахождение такого предела называется раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности в данном случае разделим на х числитель и знаменатель, стоящий под lim (1 + 4 / x) 1 1 + 4/x = x →∞ = . знаком предела функции: lim x →∞ 2 + 7 / x lim (2 + 7 / x) 2 x →∞

4.3. Производная и ее геометрический смысл. Понятие дифференцируемости функции. Элементы интегрирования Вычисление производной – важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Пусть функция y = f ( x) определена на некотором интервале ( a , b ) . Фиксируем любое значение x из указанного интервала и зададим аргументу в точке x произвольное приращение ∆ x такое, что значение x + ∆x также принадлежит интервалу ( a , b ) . Приращение функции y = f ( x) в точке x, соответствующее приращению аргумента ∆x , назовем число ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) . Пример 4.3. y = sin x приращение в точке x, соответствующее приращению ∆x  ∆x  аргумента ∆x , равно ∆y = sin( x + ∆x) − sin x = 2 cos x + .  sin 2  2  Теорема 4.1. Для того чтобы функция y = f ( x) являлась непрерывной в точке x, необходимо и достаточно, чтобы приращение ∆y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента ∆x , являлось бесконечно малым при ∆x → 0 . Теорема 4.2. Функция y = f (x) непрерывна в точке x, если приращение ∆y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента ∆ x является бесконечно малым при ∆x → 0 , т. е. если lim ∆y = lim ( f ( x + ∆x) − f ( x)) = 0 . ∆x →0

∆x →0

Теорема 4.2 дает разностную форму условия непрерывности функции y = f ( x) в точке x. Пусть ∆x ≠ 0 , рассмотрим в данной фиксированной точке x отношение приращения ∆y функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента ∆x : ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = . ∆x ∆x Это отношение будем называть разностным отношением. Поскольку значение x мы считаем фиксированным, то разностное отношение представляет собой функцию аргумента ∆x . Эта функция определена для всех значений аргумента ∆x , принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки ∆x = 0 , за исключением самой точки ∆x = 0 . Следовательно, имеем право рассмотреть вопрос о существовании предела указанной функции при ∆x → 0 . 19


Производной функции y = f ( x) в данной фиксированной точке x называется предел при ∆x → 0 разностного отношения (при условии, что этот предел существует). Другими словами, производной данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении этого приращения к нулю: ∆y ( f ( x + ∆x) − f ( x)) . y ′( x) = f ′( x) = lim = lim (4.1) ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x Пример 4.4. Найти производную функции y=x2–1. Решение Выразим приращение функции: ∆y = [(x + ∆x) 2 - 1] - (x 2 - 1) = 2x∆x + ∆x 2 . Разделим ∆y ∆y = 2 x + ∆x ; найдем по формуле (4.1) y / = lim (2 x + ∆x) = 2 x . на ∆x : ∆x →0 ∆x Пример 4.5. Найти производную функции y=x2+х. Решение Выразим приращение функции: ∆y = [(x + ∆x) 2 + (x + ∆x)] - (x 2 + x) = 2x∆x + ∆x + ∆x 2 . ∆y = 2 x + 1 + ∆x ; найдем y / = lim (2 x + 1 + ∆x) = 2 x + 1 . Разделим ∆y на ∆x : ∆x →0 ∆x Пример 4.6. Найти производную функции y=sinx. Решение Выразим приращение функции, используя формулу для разности синусов двух углов: ∆y = sin(x + ∆x) - sinx = 2sin(∆x/2)cos(x + ∆x/2) . Разделим ∆y на ∆x : ∆y 2sin(∆x/2)cos(x + ∆x/2) = ; найдем ∆x ∆x ∆y sin(∆x/2)cos(x + ∆x/2) sin(∆x/2) y / = lim = = lim lim cos(x + ∆x/2) = cosx . ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x / 2 ∆x / 2 ∆x→0 Для нахождения производных нецелесообразно каждый раз выполнять все математические операции, изложенные выше. Достаточно знать производные от основных функций, полученные по общему правилу. Приведем некоторые из них ( α , a, С=const): 1) производная от постоянной величины y=C: y / = 0 ; 2) производная от степенной функции y = x α : y / = αx α −1 ; 3) производная от показательной функции y = a x : y / = a x ln a . В частности, y = e x ;

y/ = ex ; 4) производная от тригонометрических функций: y = sinx y / = cos x , y = cos x y / = − sin x , y = tgx y / = 1 / cos 2 x ; 5) производная от обратных тригонометрических функций: y = arcsin x y / = 1 / 1 − x 2 , y = arccos x y / = −1 / 1 − x 2 , y = arctgx y / = 1 /(1 + x 2 ) . Если функция y = f (x) определена и имеет производную для всех x из интервала ( a , b ) , то эта производная будет представлять собой некоторую функции переменной x, также определенную на интервале ( a , b ) . Рассмотрим график функции y = f (x) . Пусть точка M на графике функции соответствует фиксированному значению аргумента x (рис. 4.1), а точка P – значению 20


x + ∆x , где ∆x – некоторое приращение аргумента. Прямая MP называется секущей. Обозначим через ϕ (∆x) угол, который образует эта секущая с осью Ox (очевидно, что этот угол зависит от ∆x ). Касательной к графику функции y = f (x) в точке M будем называть предельное положение секущей MP при стремлении точки P к точке M по графику (или, что то же самое, при ∆x → 0 ). Из рис. 4.1 очевидно: PN ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) tg (ϕ (∆x)) = = = . (4.2) MN ∆x ∆x Так как при ∆x → 0 секущая MP переходит в касательную, то lim tg (ϕ (∆x)) = tg (ϕ 0 ) , (4.3) ∆x →0

где ϕ 0 – угол, который образует касательная с осью Ox. С другой стороны,

f ( x + ∆x) − f ( x) = f ′( x) . (4.4) ∆x →0 ∆x →0 ∆x Следовательно, f ′( x) = tgϕ 0 . Тангенс угла наклона прямой к оси Ox называется угловым коэффициентом этой прямой. Таким образом, производная f ′( x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f ( x) в точке M. lim tg (ϕ (∆x)) = lim

Рис. 4.1. Геометрический смысл производной Функция y = f (x) называется дифференцируемой в данной точке x, если приращение ∆y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента ∆x , может быть представлено в виде ∆y = A∆x + α∆x , где A – некоторое число, не зависящее от ∆x , α – функция аргумента ∆x , являющаяся бесконечно малой при ∆x → 0 . Заметим, что, так как произведение двух бесконечно малый есть бесконечно малая, то α ∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем ∆x и α. Теорема 4.3. Для того чтобы функция y = f ( x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Если функция y = f ( x) дифференцируема в данной точке x, то она и непрерывна в данной точке. Теорема 4.4. Производная суммы (разности) конечного числа функций равна сумме (разности) производных слагаемых: y / = (U + V + ... + ω ) / = U / + V / + ... + ω / .

Пример 4.7. y = e x + x 4 , найти y / . y / = e x + 4 x 3 . Теорема 4.5. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производных первой функции на вторую и производной второй на первую: y / = (U ⋅ V ) / = U /V + V /U . 21


Пример 4.8. y = x 3 sin x , найти y / . y / = 3x 2 sin x + x 3 cos x . Теорема 4.6. Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель – разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя: /

/ /  U  U V − UV . y/ =   = V2 V  2 x(e x + 1) − ( x 2 + 4)e x x2 + 4 Пример 4.9. y = x , найти y / . Решение: y / = . e +1 (e x + 1) 2 Теорема 4.7. Производная сложной функции равна производной заданной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой / / / / / переменной. Пусть y = f(U) , U = ϕ (x) , тогда y = f (U) ⋅ U = f (U) ⋅ ϕ ( x) .

Пример 4.10. y = e sin x , найти y / . Решение: y / = e sin x cos x . Интегральное исчисление решает обратную задачу по отношению к дифференциальному: по данному дифференциалу, а, следовательно, и производной неизвестной функции F(x), требуется определить эту функцию. ∫ – называется знаком интеграла; f(x) –подынтегральной функцией; f(x)dx – подынтегральным выражением;

∫ f(x)dx

– функцией общего вида, дифференциал которой

равен подынтегральному выражению f(x)dx, и, следовательно, производная по переменной х равна подынтегральной функции f(x). Если F – какая-либо первообразная функции f, то пишут

∫ f(x)dx = F(x) + C . Пример 4.11. Вычислить

∫ x dx . 3

/

 x4  4x3 x4 Решение: ∫ x dx = = x3 . + C , где С – некоторая константа.  + C  = 4 4  4  Пример 4.12. Скорость материальной точки изменяется со временем по закону υ = 4t + 2 . Как зависит от времени пройденный точкой путь? ds Решение: Так как υ = , то ds = υdt = (4t + 2)dt . Интегририруя это равенство, dt получаем s = ∫ (4t + 2)dt = 4∫ tdt + 2∫ dt = 2t 2 + 2t + C , где С=const. 3

Пример 4.13. Дано уравнение параболы y = x 2 . Необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции на отрезке от 2 до 4. 4 x 3 4 43 23 Решение: S = ∫ x 2 dx = = − ≈ 18,6 кв. ед. 3 3 3 2 2 4.4. Работа, мощность Предположим, что на материальную точку действует какая-то постоянная сила F и она перемещается, тогда работа этой силы равна A=Fs·s=F·s·cosα, [Дж] (4.5) где Fs – проекция силы на направление перемещения, α - угол между силой F и направлением перемещения. (4.6) Fs=F·cos α В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число достаточно малых элементов, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного элемента – постоянной. Тогда элементарной работой силы F на 22


малом перемещении d r называется скалярная величина dA= F d r =F·cosα·ds=Fs·ds,

(4.7)

где ds = d r , r – радиус-вектор. Разбивая всю траекторию на маленькие участки ds (рис. 4.2), вычислим работу по формуле (4.7) на каждом участке и складывая найдем A = ∑ dA .

Основные свойства работы: 1) работа – скалярная величина; 2) единица измерения – Дж (1Дж= =1Н·1м); 3) знак работы зависит от знака проекции силы на перемещение; 4) работа существует тогда, когда есть перемещение; 5) с работой связано понятие мощности. Рис. 4.2. Определение работы силы Если ds → 0 , то сумма переходит в интеграл, который берется вдоль траектории. Тогда работа силы F на участке траектории 1–2 равна: 2

2

1

1

A = ∫ Fds ⋅ cos α = ∫ Fs ds .

(4.8)

Мощность характеризует скорость совершения работы dA F d r N= = = F ⋅ υ , [1Вт=1 Дж/с]. dt dt

(4.9)

4.5. Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии Будем говорить, что точка обладает энергией, если она может произвести работу, при этом ее энергия уменьшится (энергия – это запас возможной работы в системе). Изменить энергию можно только за счет совершения работы. Тело может обладать энергией: а) за счет своего движения, б) за счет положения в пространстве относительно других тел. Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы. Работа силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до υ , идет на увеличение кинетической энергии тела (связь кинетической энергии и работы): _

_ _ dυ _ 1 mυ 2 mυ 2 2 A = E K = ∫ Fd s = ∫ m d s = ∫ m υ d υ = ∫ mdυ = ∫ d ( )= dt 2 2 2 __

_

KOH

mυ 2 − 2

HAЧ

mυ 2 . = 2

(4.10)

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Если взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей, характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного положения, то такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, консервативными. Практически все силы – консервативны (за исключением силы трения). Работа консервативных сил при бесконечно малом изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятой со знаком «минус», так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии: dA= –dЕП. (4.11) Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна ЕП=mgh, где h отсчитывается от нулевого уровня, для которого ЕП0=0. 23


Полная механическая энергия системы равна энергии механического движения и взаимодействия: (4.12) Е=ЕК+ЕП. Закон сохранения энергии. В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия не изменяется со временем. (4.12) ЕК+ЕП=Е=const. Во многих задачах просматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой.

4.6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел Ударом называется столкновение тел, при котором за весьма малый промежуток времени происходит значительное изменение скорости тел [54]. Линия удара – общая нормаль, проведенная к поверхностям двух соударяющихся тел в месте их соприкосновения при ударе. Удар называется центральным, если в момент удара центры инерции сталкивающихся тел находятся на линии удара. Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций, и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. Рассмотрим удар двух тел (например, шаров) с массами m1 и m2, которые перед ударом движутся поступательно со скоростями υ1 и υ 2 вдоль проходящей через их центры оси 0Х В случае взаимодействия двух тел. Так как удар центральный, то будем рассматривать модули величин. В данном случае направление движения первого тела будем / / считать положительным, второго – отрицательным. Скорости тел после удара – υ1 и υ 2 можно найти из законов сохранения импульса (импульс – это более полная характеристика _

_

движения, чем скорость – вектор, направленный по скорости p = m υ , [кг·м/c]) и механической энергии:  / (m1 − m2 )υ1 + 2m2υ 2 ; m1υ1 + m2υ 2 = m1υ1/ + m2υ 2/ ; υ1 = m1 + m2  2 2 тогда  (4.13) m1υ12 m2υ 22 m1υ1/ m2υ 2/ + = + , υ / = (m2 − m1 )υ 2 + 2m1υ1 . 2 2 2 2  2 m1 + m2 Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. В случае поступательного взаимодействия двух тел m1υ1 + m 2υ 2 = (m1 + m 2 )υ , (4.14) где m1 и m2 – массы тел, υ1 и υ 2 – их скорости до удара. m υ + m2υ 2 Из выражения (4.14) найдем: υ = 1 1 . m1 + m2

4.7. Момент инерции Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: n

I = ∑ mi ri 2 . i =1

24

(4.15)


1 mR 2 . 2 Для прямого тонкого стержня длиной L для оси, перпендикулярной стержню и 1 проходящей через его середину: I = mL2 . 12 Теорема Штейнера. Момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Ic относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния a между осями: I=Ic+ma2. Для цилиндра или диска радиусом R: I =

V. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставл��нный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает [47]. Жидкость же, имея определенный объем, принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом. Свойства жидкостей и газов во многом отличаются, однако в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика – раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами, – использует единый подход к изучению жидкостей и газов. В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости – жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

5. 1. Давление в жидкости и газе Давлением Р называется физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости или газа на единицу площади [47, 54]: ∆F Н P= (Па) , 1Па = 1 2 . (5.1) ∆S м Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, при чем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью. 5.2. Закон Архимеда На тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости или газа: (5.2) FA=ρgV, где ρ – плотность жидкости (газа); V – объём погружённого тела, g –ускорение свободного падения. Архимедова сила направлена противоположно силе тяжести, поэтому вес тела в жидкости оказывается меньше веса, измеренного в вакууме [47]. 25


5.3. Уравнение неразрывности Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 5.1). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Рис. 5.1. Линии тока Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются. Произведением скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока (рис. 5.2): (5.3) S1υ1 = S 2υ 2 =const.

Рис. 5.2. Трубка тока с сечениями S1 и S2

5.4. Уравнение Даниила Бернулли Выделим в текущей жидкости, в которой отсутствуют силы внутреннего трения, трубку тока, ограниченную сечением S (жидкость течет слева направо). Пусть в месте сечения S: υ – скорость течения, Р – давление и h – высота, на которой это сечение расположено, тогда:

ρυ 2 2 где

ρυ

+ ρgh + P = const ,

(5.4)

2

– динамическое давление (скоростной напор); ρgh – гидростатическое 2 давление (характеризует изменение давления с изменением высоты); Р – статическое давление; ρ – плотность жидкости.

26


Рис. 5.3. Трубка тока Уравнение Бернулли – выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико [41, 52]. Для горизонтальной трубки тока (h=0 выражение (5.4) принимает вид

ρυ 2 2

+ Р = const ,

(5.5)

ρυ 2

+ Р называется полным давлением. 2 Из уравнения Бернулли (5.5) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше.

где

5.5. Вязкость Вязкость – это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев жидкости относительно других возникает сила внутреннего трения: ∆υ F =η S, (5.5) ∆X ∆υ где η – коэффициент пропорциональности, называемый вязкостью; – градиент ∆X скорости, показывает, как меняется скорость от слоя к слою; S – рассматриваемая площадь поверхности слоя. Единица вязкости – паскаль-секунда (Па⋅с): 1 Па⋅с равен динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоев (1 Па⋅с =1 Н⋅с/м2). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей η с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Существует два режима течения жидкостей. Ламинарным (слоистым) называется течение жидкости, если вдоль потока один слой скользит относительно другого, не перемешиваясь. Турбулентным (вихревым) называется течение жидкости, если вдоль потока происходит вихреобразования и перемешивания жидкости. Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях ее движения. 27


Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние до поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы. При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоростей, перпендикулярные течению, поэтому они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, затем изменяется довольно незначительно. Так как частицы жидкости переходят из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличаются. Из-за большого градиента скоростей у поверхности трубы обычно происходит образование вихрей. Характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса: υ d (5.6) Re = ,

ν η где ν = – кинематическая вязкость; d – диаметр трубы; υ – средняя по сечению ρ трубы скорость жидкости. При Re<1000 имеет место ламинарное течении жидкости; при Re=2300–3000 – турбулентное течение жидкости. Между двумя этими значениями поток носит промежуточный характер. Можно, конечно, считать число Рейнольдса чисто экспериментальным результатом, однако его можно интерпретировать и с позиции законов Ньютона. Жидкость в потоке обладает импульсом, т.е. «инерционной силой». Это означает, что движущаяся жидкость стремится продолжить свое движение с прежней скоростью. В вязкой жидкости этому препятствуют силы внутреннего трения между слоями жидкости, стремящиеся затормозить поток. Число Рейнольдса как раз и отражает соотношение между двумя этими силами – инерции и вязкости. Высокие значения числа Рейнольдса описывают ситуацию, когда силы вязкости относительно малы и не способны сгладить турбулентные завихрения потока. Малые значения числа Рейнольдса соответствуют ситуации, когда силы вязкости гасят турбулентность, делая поток ламинарным. 5.6. Метод Стокса (метод измерения вязкости) Метод основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы [47]. На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила 4 4 тяжести P ( πr3ρg, где ρ – плотность шарика), сила Архимеда F A ( πr3ρ′g, где 3 3 ρ' – плотность жидкости) и сила сопротивления F (6πηr υ , где r – радиус шарика; υ – его скорость). При равномерном движении P=FA+F. Измерив скорость равномерно движущегося шарика определяют вязкость: 2( ρ − ρ / ) gr 2 υ= (5.7) 9η Контрольные вопросы и вопросы для самоподготовки 1. Дайте определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения. Каковы их направления? 2. Основные типы движения. Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? Нормальная 3. составляющая ускорения? Каковы их модули? 4. Что называется угловой скоростью? Угловым ускорением? Как определяются их направления? Для материальной точки, движущейся равномерно по окружности, в момент 5. 28


времени t, известны значения скорости, нормального и тангенциального ускорений. Найти для этого момента времени угол поворота ϕ , угловую с��орость ω, угловое ускорение ε. 6. Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать? 7. Сформулировав три закона Ньютона, покажите, какова взаимосвязь между этими законами. 8. Можно ли утверждать, что законы классической механики (принципы) строго выполняются в системе отсчета, связанной с Землей? Аргументируйте ответ. В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он 9. выполняется? 10. В чем различие между понятиями энергии и работы? 11. Что такое мощность? Выведите ее формулу. 12. Какова связь между силой и потенциальной энергией? 13. В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он выполняется? 14. Объяснить соотношение между консервативной силой и потенциальной энергией тела, на которое действует эта сила. 15. Импульс точки, связь с силой, закон изменения и сохранения импульса системы. 16. Центр масс системы, его нахождение. Что такое момент инерции тела? 17. 18. Сформулируйте теорему Штейнера. 19. Как определяется давление в жидкости? 20. Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда. 21. Сформулируйте и поясните уравнение неразрывности. Приведите примеры ламинарного и турбулентного течения жидкостей. 22.

Задачи для самостоятельного решения 1. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением 2 3 S=At–Bt +Ct , где А=2 м/c, B=3 м/c2 и С=4 м/с3. Найти зависимость мгновенных скорости υ и ускорения a от времени t. м 2. Тело брошено со скоростью υ0 = 14,7 2 , под углом α = 30о к горизонту. Найти с нормальное и тангенциальное ускорения тела через t=1,25 с после начала движения, а также радиус кривизны траектории в данный момент времени. Сопротивление воздуха не учитывать. 3. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость υ1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости υ 2 точки, лежащей на расстоянии r=5 см ближе к оси колеса. 4. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время. 5. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ϕ = А + Bt + Ct 3 , где В=2 рад/c и С=1 рад/c3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения следующие величины: 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) угловое ускорение, 4) тангенциальное ускорение, 5) нормальное ускорение. 6. Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25% всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?

29


7. Вагон массой 20 т, двигавшийся равномерно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время остановился. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти: 1) работу сил трения; 2) расстояние, которое вагон пройдёт до остановки. 8. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на лёгком жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара на угол 10о. 9. Мяч, летящий со скоростью υ0 =15 м/с, отбрасывается ракеткой в противоположную сторону со скоростью υ1 =20 м/с. Найдите изменение импульса, если изменение кинетической энергии составило 8,75 Дж. 10. Шар массой m=1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку υ=10 см/с, после удара 8 см/с. Найти количество тепла Q, выделившееся при ударе. 11. Шарик всплывает с постоянной скоростью υ в жидкости, плотность ρ1 которой в 4 раза больше плотности ρ2 материала шарика. Во сколько раз сила трения Fтр, действующей на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот шарик? 12. Вода течет по трубе, причем за единицу времени через поперечное сечение трубы протекает объем воды V=200 см3/с. Динамическая вязкость воды η=0,001 Па·с. При каком предельном значении диаметра d трубы движение воды остается ламинарным? Б

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

VI. МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 6.1. Взаимосвязь молекулярно-кинетической теории и термодинамики Молекулярная физика и термодинамика – разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих процессов применяют два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический [13, 16, 23]. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй – термодинамики. Молекулярная физика – раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении [47]. Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом совокупного действия огромного числа молекул. Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с помощью статистического метода. Этот метод основан на том, что свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями динамических характеристик этих частиц (скорости, энергии и т. д.). Например, температура тела определяется скоростью хаотического движения его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения молекул. Сформулируем основные положения молекулярно-кинетической теории: 1) все тела состоят из частиц; 2) они (частицы) находятся в состоянии хаотического движения (интенсивность движения увеличивается с ростом температуры). Задачей молекулярной физики является расчет характеристик вещества (плотности, давления, объема и др.) и нахождение связей между этими характеристиками (уравнений состояния). 30


Термодинамика – раздел физики, изучающий общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями. Термодинамика не рассматривает микропроцессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический метод отличается от статистического [47]. Область применения термодинамики значительно шире, чем молекулярнокинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим методом. Однако, с другой стороны, термодинамический метод несколько ограничен: термодинамика ничего не говорит о микроскопическом строении вещества, о механизме явлений, а лишь устанавливает связи между макроскопическими свойствами вещества. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, отличаясь различными методами исследования. Термодинамика имеет дело с термодинамической системой – совокупностью макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией, как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Основа термодинамического метода – определение состояния термодинамической системы. Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами состояния) – совокупностью физических величин, характеризующих свойства термодинамической системы. Обычно в качестве параметров состояния выбирают температуру, давление и удельный объем.

6.2. Опытные законы идеального газа В молекулярно-кинетической теории при изучении реальных газов используют модель идеального газа. В условиях, близких к нормальным, реальные газы близки по своим свойствам к идеальному газу. Идеализированная модель газа предполагает: 1) собственный объём молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда; 2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия; 3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие. 6.2.1. Изотермический процесс Для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления ( P = F S , Па) на объем есть величина постоянная: (6.1) PV=const при T=const, m=const. Гиперболическая кривая, характеризующая свойства газа при постоянной температуре, называется изотермой (рис. 6.1). 6.2.2. Изобарный процесс Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарным (рис. 6.2).

V1 T1 = V2 T2

при Р=const, m=const.

31

(6.2)


Рис. 6.1. Изотермический процесс Рис. 6.2. Изобарный процесс

6.2.3. Изохорный процесс Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным (рис. 6.3). P1 T1 при V=const, m=const. = (6.3) P2 T2

Рис. 6.3. Изохорный процесс

6.3. Закон Авогадро Моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях этот объем равен 22,41·10-3 м3/моль. Один моль вещества содержит 6,022·1023 структурных единиц (молекул, атомов и т.п.). Это число называется постоянной Авогадро. NA=6,022·1023 моль-1. 6.4. Уравнение состояния идеального газа (Клапейрона-Менделеева) Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799–1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля–Мариотта и Гей–Люссака. Русский ученый Д. И. Ме��делеев (1834–1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро. Уравнение Клапейрона–Менделеева для произвольной массы т газа:

m (6.4) RT = νRT , M где m – масса газа, кг; M – молярная масса (см. п. 14.3), кг/моль; R – молярная газовая постоянная; R = 8,31 Дж./(К·моль); ν =m/M – количество вещества, моль; T – термодинамическая температура, K. Введем постоянную k=R/NA=1,38·10-23 Дж/К, называемую постоянной Больцмана, и учитывая, что NA/Vm=n – концентрация молекул, м-3, Vm – объем одного моля вещества, м3/моль, получим несколько иную форму записи уравнения состояния идеального газа: (6.5) р=nkT, из которой следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). pV =

32


6.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассматривается одноатомный идеальный газ, молекулы которого движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением 1/3 молекул вдоль трёх взаимно перпендикулярно направлений, причём половина молекул (1/6) движется вдоль одного направления [54]. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку ∆S и вычислим давление, оказываемое на эту площадку (рис. 6.4).Число ударов молекул, движущихся в этом 1 n∆S υ ∆t (n – число молекул в единице объема). направлении, о площадку ∆S будет равно 6 При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс 1 1 ∆P=2m0 υ · n∆S υ ∆t= = nm0 υ 2 ∆S∆t (m0 – масса молекулы). 6 3 Тогда давление газа на стенку сосуда 2 (6.6) P=∆P/(∆t·∆S)=∆F/∆S=1/3 nm0 υ

Рис. 6.4 Давление газа на стенку сосуда Для газа в объеме V, содержащем N молекул, движущихся со скоростями υ1 , υ 2 , ... υ n ,

1 N 2 ∑υ i , с учетом которой уравнение N i =1 для давления газа запишемв виде (6.7). Это уравнение называется основным уравнением молекулярно-кинетической теорией идеальных газов.

рассмотрим среднюю квадратичную скорость υ кв =

1 (6.7) P = nm0 < υ КВ > 2 . 3 Среднеквадратичную скорость, характеризующую всю совокупность молекул, можно вычислить по формуле (6.8).

υ КВ = Средняя кинетическая идеального газа

энергия

3kT m0

(6.8)

поступательного

m0 υ КВ

движения

одной

молекулы

2

3 (6.9) kT . N 2 2 Термодинамическая температура T является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. E0 = E

=

=

6.6. Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения При выводе закона Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Применяя методы теории вероятностей, Максвелл установил закон для 33


распределения молекул идеального газа по скоростям: 3

2  m  2 (6.10) f (υ ) = 4π  0  υ 2 e − m0υ / (2 kT ) . 2 kT π   Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью.

υ в = 2kT m = 2 RT M . 0

(6.11)

Средняя скорость молекулы

υ = 8 RT (πM ) = 1,13υ в .

(6.12)

Среднеквадратичная скорость

υ кв = 3RT M = 1,22υ в .

(6.13)

Распределение Максвелла можно рассматривать как распределение молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

6.7. Барометрическая формула Барометрическая формула позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, вычислить высоту. Рассмотрим столб воздуха, расположенный вертикально в поле тяготения. На некоторой высоте h выделим достаточно тонкий слой газа (воздуха) толщиной dh, на протяжении этого слоя давление изменяется на величину dp. Так как толщина слоя мала, можем записать ту же зависимость, что и для гидростатического давления жидкости: dp = − ρgdh , куда подставим плотность ρ = pM / RT : pM dp = − gdh . Разделяя переменные и интегрируя получим формулу (6.14), при чем RT Mgh mN A gh mgh = = . Это и есть барометрическая формула, полученная в предположении RT kN AT kT однородности земного поля тяготения (что справедливо для небольших высот). (6.14) p=p0 e -Mgh/(RT)=p0 e -mgh/(kT), где р – давление на высоте h, p0 – давление на нулевом уровне (h0), m – молекулярная масса газа, M – молярная масса, R – газовая постоянная, k – постоянная Больцмана, m – масса отдельной молекулы. Зависимость концентрации молекул от высоты h над уровнем Земли определяется как n = n0 e − mgh /( kT ) (n0 – концентрация молекул на высоте h=0). 6.8. Длина свободного пробега Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекула проходит путь L, называемый длиной свободного пробега. Для большого числа молекул мы говорим о средней длине свободного пробега молекул <L>:

Рис. 6.5. Эффективный диаметр молекул

(

)

L = 1 2πd 2 n , где d – эффективный диаметр молекул; n – концентрация молекул. 34

(6.15)


Эффективный диаметр молекул – это минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул (рис. 16). Среднее число столкновений при учете движения других молекул:

z = 2πd 2 n υ , где < υ > – среднеарифметическая скорость.

(6.16)

VII. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМАХ В термодинамически неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся: теплопроводность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса) [54]. 7.1. Теплопроводность Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул (температур). Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье:

dT (7.1) , dx где jE – плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси x; λ – теплопроводность (численно равна плотности теплового потока при градиенте dT температуры равном единице); – градиент температуры, равный скорости изменения dx температуры на единице длины. λ=1/3 Cvρ< υ ><L>, (7.2) где CV – удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1кг газа на 1К при постоянном объёме); ρ – плотность газа; < υ > – средняя скорость теплового движения молекул. j Е = −λ

7.2. Диффузия Диффузия – самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твёрдых тел. Диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности [43, 47, 54]. Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика:

dρ (7.3) , dx где jm – плотность потока массы – величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси dρ x; D – коэффициент диффузии; – градиент плотности, равный скорости изменения dx плотности на единицу длины x в направлении нормали к площадке. jm = − D

35


1 υ L. (7.4) 3 Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Механизм возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с разными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее – увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее. dυ (7.5) j p = −η , dx где jp – плотность потока импульса – величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси x через единичную dυ площадку, перпендикулярную оси x; – градиент скорости; η – динамическая вязкость. dx 1 η= ρυ L. (7.6) 3 Динамическая вязкость η численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице. Взаимосвязь между коэффициентами λ, D, η, λ: η=ρD; (7.7) λ/(ηCv)=1. D=

VIII. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ 8.1. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул Важной характеристикой термодинамической системы является её внутренняя энергия U – однозначная функция термодинамического состояния системы – энергия теплового движения микрочастиц системы и энергия взаимодействия этих частиц. В классической механике молекула двухатомного газа рассматривается как совокупность двух материальных точек, жёстко связанных недеформируемой связью (рис. 8.1,б). Эта система имеет три степени свободы поступательного движения и две степени свободы вращательного движения (вращение вокруг третьей оси – оси, проходящей через оба атома – лишено смысла). Степень свободы (i) – минимальное количество независимых координат, которые надо задать, чтобы определить положение системы в пространстве. Каждой независимой координате соответствуют возможные независимые перемещения системы. Таким образом, двухатомный газ имеет 5 степеней свободы (i=5). Трёхатомная и многоатомная молекулы имеют 6 степеней свободы: три поступательные и три вращательные. Поскольку жёсткой связи между атомами не существует, то для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения. На каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kТ/2, а на каждую колебательную степень свободы – в среднем энергия, равная kТ (справедливо для гармонических колебаний частиц – атомов, молекул, ионов). Это и есть закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул. Средняя энергия молекулы: 36


i kT , (8.1) 2 где i – сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: (8.2) i=iпост+iвращ+2iколеб.

ε =

а б в Рис. 8.1. Одноатомная (а), двухатомная (б) и трехатомная (в) молекулы В идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна нулю, поэтому внутренняя энергия одного моля газа будет равна Um= < ε > N A =(i/2)kTNA=(i/2)RT. (8.3)

8.2. Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии с учетом тепловых процессов) Напомним, что внутренняя энергия – это функция температуры (с ростом температуры она возрастает). В механике любое изменение энергии связано с работой. Однако, изменить внутреннюю энергию системы можно и без совершения работы, для этого нужно привести ее в контакт с более горячим телом. Так мы вводим понятие передачи теплоты как процесса изменения внутренней энергии тела без совершения работы. Таким образом, существуют две формы передачи энергии от одних тел к другим – это работа и теплота (рассмотрение третьего способа обмена энергией – массообмена, выходит за рамки данного пособия). Энергия механического движения может превращаться в энергию теплового движения и, наоборот, при этом соблюдается закон сохранения и превращения энергии. В отличие от внутренней энергии, которая является функцией состояния системы, количество теплоты (Q, [Дж]) является функцией процесса. Функция состояния – функция, значение которой полностью определяется состоянием термодинамической системы и не зависит от того, как система пришла в это состояние. Количество теплоты не определяется состоянием, т.е. нельзя говорить, что в теле содержится какое-то количество теплоты. Понятие теплоты появляется когда мы рассматриваем переход системы из одного состояния в другое. Рассмотрим некоторую систему. Газ, заключённый в цилиндр под поршнем, обладает внутренней энергией U1. После получения некоторой теплоты Q система перешла в состояние с внутренней энергией U2, при этом совершив работу А против внешних сил. При любом способе перехода системы из первого состояния во второе изменение внутренней энергии ∆U=U2–U1 будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой А, совершённой системой против внешних сил: ∆U=Q–A или (8.4) Q=∆U+A. Это уравнение выражает первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение её внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил [41, 43]. В дифференциальной форме уравнение будет иметь вид: 37


(8.5) δQ=dU+δA, где dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии; δА – элементарная работа; δQ – бесконечно малое количество теплоты (δQ>0, то к системе подводится теплота, если δQ<0, то от системы отводится теплоты). Применение первого начала к изопроцессам. Равновесные процессы, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным, называются изопроцессами [47].

8.2.1. Изохорный процесс Из первого начала термодинамики для изохорного процесса (V=const) следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идёт на увеличение его внутренней энергии: m δQ = dU = CV dT , (8.6) M где CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, m – произвольная масса газа, М – молярная масса.

Изохора в координатах p, V изображается прямой (рис. 8.2), параллельной оси p, где 1–2 есть изохорное нагревание, 1–3 – изохорное охлаждение.

Рис. 8.2. Первое начало термодинамики для изохорного процесса

8.2.2. Изобарный процесс (p=const) Изобара в координатах p, V изображается прямой, параллельной оси V (рис. 8.3). Газ при расширении от объёма V1 до V2 при изобарном процессе совершает работу V2

А = ∫ pdV = p (V2 − V1 ) .

(8.7)

V1

В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты

m C p dT , (8.8) M где Cp – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении. Cp = CV + R - Cp всегда больше CV на величину молярной газовой постоянной (уравнение Майера). При сообщении газу массой m количества теплоты его внутренняя энергия возрастает на величину

δQ =

δU =

при этом газ совершает m R V 2 − V1 = (T2 − T1 ) ). M p

A=

m CV dT , M

работу

(8.9) (т.к.

m R(T2 − T1 ) . M 38

из

закона

Клайперона-Менделеева

(8.10)


8.2.3. Изотермический процесс (T=const) Изотермический процесс описывается законом Бойля-Мариотта: (8.11) PV=const. Изотерма в координатах P, V представляет собой гиперболу, расположенную на диаграмме тем выше, чем температура выше, при которой происходит процесс (рис. 8.4).

Рис. 8.3. Первое начало термодинамики Рис. 8.4. Первое начало термодинамики для изобарного процесса для изотермического процесса Из первого начала термодинамики следует, что для изотермического процесса всё количество теплоты, сообщённое газу, расходуется на совершение им работы против внутренних сил: p V m m Q= A= RT ln 1 = RT ln 2 . (8.12) M P2 M V1 Следовательно, для того, чтобы при работе расширения температура не уменьшалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения.

8.3. Адиабатический процесс Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (δQ=0) между системой и окружающей средой. К адиабатическим процессам можно отнести все быстропротекающие процессы. Из первого начала термодинамики следует, что для адиабатического процесса внешняя работа совершается за счёт изменения внутренней энергии системы: δА= – dU. (8.13) Уравнение адиабатического процесса имеет вид: PVγ = const; (8.14) или TVγ-1 = const; (8.15) или (8.16) Tγpγ-1 = const, где γ – коэффициент Пуассона γ=Ср/Сv=cр/cv=(i+2)/i (см. п. 14.3). Для одноатомных газов i=3, γ=1,67, для двухатомных газов i=5, γ =1,4.

39


Адиабата в координатах P, V изображается гиперболой (pVγ=const), которая более крутая, чем изотерма (pV=const), поскольку при адиабатическом сжатии 1–3 (рис. 8.5) увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объёма, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры. Выражение (8.17) – это выражение для работы при адиабатическом расширении. Рис. 8.5. Адиабата в координатах P, V γ −1 p1V1   V1   1 −    . A= (8.17) γ − 1   V 2     m RT1 , выражение для работы примет вид: С учётом того, что p1V1 = M γ −1 pT1 m   V1   1 −    . A= (8.18) γ − 1 M   V 2     Работа, совершаемая газом при адиабатическом расширении 1–2 (рис. 8.5), меньше, чем при изотермическом. Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом температура поддерживается постоянной за счёт притока извне эквивалентного количеству теплоты [47]. Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процессы происходят при постоянной теплоёмкости. Теплоемкость системы определяется как количество теплоты, необходимое для δQ нагревания системы на 1 К: C = . dT Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, δQ необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К: C = . Единица удельной mdT теплоемкости – Дж/(кг⋅К). Молярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимому дня δQ нагревания 1 моль вещества на 1 К: C m = (тут ν =m/M – это количество вещества). νdT Единица молярной теплоемкости – джоуль на моль⋅кельвин (Дж/(моль⋅ К)). Удельная теплоемкость связана с молярной Cm соотношением: C m = C ⋅ M , где М – молярная масса вещества. Различают теплоемкости при постоянном объеме CV и постоянном давлении CP, если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается постоянным. Процесс, в котором теплоёмкость остаётся постоянной, называется политропным. Исходя из первого начала термодинамики, при условии постоянства теплоёмкости (C=const) можно получить уравнение политропы: (8.19) pV n = const , где n=(C–Cр)/(С–Сv) – показатель политропы. Все рассмотренные процессы являются частными случаями политропного процесса: 40


1) при С=0, n=γ получим уравнение адиабаты; 2) при С=∞, n=1 получим уравнение изотермы; 3) при С=Ср, n=0 получим уравнение изобары; 4) при С=Сv, n=± ∞ получим уравнение изохоры. Круговым процессом (циклом) называется процесс, при котором система, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное (рис. 8.6). Цикл состоит из процессов расширения (1–2) и сжатия (2–1) газа. Работа, совершаемая газом за цикл, определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если за цикл совершается положительная работа A = ∫ PdV > 0 (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым; если за цикл совершается отрицательная работа A = ∫ PdV < 0 (цикл протекает против часовой стрелки), то он называется обратным (рис. 8.6).

Рис. 8.6. Круговой процесс: а) прямой цикл; б) обратный цикл Прямой цикл используется в тепловых двигателях, совершающих работу за счёт полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах – периодически действующих установках, в которых за счёт работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой. В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние, поэтому полное изменение внутренней энергии газа равно нулю. Работа, совершаемая за цикл, равна количеству получаемой извне теплоты: (8.20) А=Q. В результате кругового процесса система может теплоту, как получать (Q1), так и отдавать (Q2). (8.21) Q=Q1 – Q2. Термодинамический коэффициент полезного действия для кругового процесса Q А Q1 − Q2 η= = =1− 2 . (8.22) Q1 Q1 Q1 Термодинамический процесс называется обратимым, если он может осуществляться как в прямом, так и в обратном направлении. Процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым. Все механические процессы являются обратимыми. С тепловыми процессами ситуация другая, т.к. среди них есть обратимые и необратимые процессы. Возьмем два сосуда, разделенных перегородкой с отверстием. Пусть все молекулы газа находятся в одном сосуде, во втором сосуде нет ни одной молекулы. Откроем отверстие в перегородке – молекулы распределятся по всему объему, во втором сосуде теперь ~ половина молекул, газ расширился в вакуум. Обратного процесса не произойдет никогда. Некоторые тепловые процессы можно сделать обратимыми, если проводить их достаточно медленно и исключить контакт тел с разной температурой (изотермический 41


адиабатический процесс). Причина необратимости тепловых процессов имеет вероятностный характер. При обратимых процессах – прямой и обратный процессы равновероятны.

8.4. Энтропия. Второе начало термодинамики (закон возрастания энтропии) Из термодинамики известно, что если мы возьмем замкнутую систему и предоставим ее самой себе, то она с течением времени перейдет в равновесное состояние, в котором все термодинамические параметры будут постоянны. Микросостояние системы определяется заданием положения и скоростей всех частиц системы. Одному и тому же макросостоянию соответствуют множество микросостояний. Число микросостояний, которыми может быть реализовано данное макросостояние называется статистическим весом макросостояния. Функция состояния, дифференциалом которой является приведенное количество теплоты, сообщаемое телу нa бесконечно малом участке процесса δQ/T, называется энтропией и обозначается S. Понятие энтропии введено в 1865 г. Р. Клаузиусом.

dS =

δQ

(8.23) , [Дж/К]. T В статистической физике показано, что энтропия системы связана с ее термодинамической вероятностью, т.е. числом способов реализации макросостояния системы S = k ln ϖ (k – постоянная Больцмана, ϖ – вероятность состояния системы). Самопроизвольно в изолированной системе идут процессы, приводящие к увеличению вероятности состояния системы. Ясно, что чем выше степень беспорядка в координатах и скоростях частиц системы, тем больше ϖ . Таким образом, статистический смысл понятия энтропии: энтропия является мерой неупорядоченности системы. Закон возрастания энтропии: энтропия замкнутой системы не может убывать, она остается постоянной (∆S=0) если все процессы в системе обратимы, и возрастает, если есть необратимые (∆S>0). Если же система обменивается теплотой (система незамкнута) с внешней средой, то её энтропия может вести себя любым образом. Неравенство Клаузиуса: ∆S≥0. Энтропия замкнутой системы может либо возрастать, либо оставаться постоянной (все изолированные системы эволюционируют в направлении от упорядоченности к хаотичности). Реальные процессы в замкнутой системе необратимы, поэтому ведут к увеличению её энтропии – принцип возрастания энтропии. Второе начало термодинамики даёт ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет. Второе начало термодинамики можно сформулировать разными способами: – второе начало по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу; – второе начало термодинамики по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому; – статистическое толкование: энтропия (как мера неупорядоченности) во Вселенной может только возрастать и не может уменьшаться. В середине XIX в. возникла проблема тепловой смерти Вселенной. Рассматривая Вселенную как замкнутую систему и применяя к ней второе начало термодинамики, Клаузиус свел его содержание к утверждению, что энтропия Вселенной должна достигнуть своего максимума. Это означает, что со временем все формы движения должны перейти в тепловую. Переход же теплоты от горячих тел к холодным приведет к тому, что температура всех тел во Вселенной сравняется, т. е. наступит полное тепловое равновесие, и все процессы во Вселенной прекратятся – наступит тепловая смерть Вселенной [41]. Ошибочность вывода о тепловой смерти заключается в том, что 42


бессмысленно применять второе начало термодинамики к незамкнутым системам, какой и является Вселенная (в связи с бесконечностью Вселенной в некоторых ее частях неизбежны флуктуации, которые нарушают тепловое равновесие).

8.5. Понятие о третьем законе термодинамики (принцип Нернста) Принцип Нернста: при любом изотермическом процессе, проведенном при абсолютном нуле температуры, изменение энтропии равно нулю ∆ST →0 = 0 ( S 0 = const ) независимо от изменения любых параметров состояния (объема, давления и др.). Принцип Нернста в формулировке Планка: при абсолютном нуле температуры энтропия системы равна нулю S 0 = k lnϖ = 0 . Из третьего закона следует, что невозможен такой процесс, в результате которого тело могло бы быть охлаждено до температуры абсолютного нуля.

IX. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И ТВЕРДЫЕ ТЕЛА 9.1. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия Модель идеального таза, используемая в молекулярно-кинетической теории газов, позволяет описывать поведение разреженных реальных газов при достаточно высоких температурах и низких давлениях. При выводе уравнения состояния идеального газа размерами молекул и их взаимодействием друг с другом пренебрегают. Повышение давления приводит к уменьшению среднего расстояния между молекулами, поэтому необходимо учитывать объем молекул и взаимодействие между ними. Из рис. 9.1 следует, что система из двух взаимодействующих молекул в состоянии устойчивого равновесия (r=ro) обладает минимальной потенциальной энергией (результирующая сила F=0, т. е. силы притяжения и отталкивания уравновешивают друг друга). Критерием различных агрегатных состояний вещества является соотношение величин ЕПmin и kT. Наименьшая потенциальная энергия взаимодействия молекул ЕПmin определяет работу, которую нужно совершить против сил притяжения для того, чтобы разъединить молекулы, находящиеся в равновесии (r=ro). Величина kT определяет удвоенную среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы хаотического теплового движения молекул. Если ЕПmin<<kT – вещество находится в газообразном состоянии (тепловое движение молекул препятствует соединению молекул). Если ЕПmin>>kT, то вещество находится в твердом состоянии (молекулы колеблются около положения равновесия). Если ЕПmin≈kT, то вещество находится в жидком состоянии (молекулы перемещаются в пространстве, меняясь местами). Любое вещество в зависимости от температуры может находиться в газообразном, жидком или твердом агрегатном состоянии. Температура перехода от одного агрегатного состояния в другое зависит от значения ЕПmin для данного вещества. Например, у инертных газов ЕПmin мало, а у металлов велико, поэтому при обычных (комнатных) температурах они находятся соответственно в газообразном и твердом состояниях.

43


При рассмотрении реальных газов надо учитывать короткодействующие (≤ 10 −9 м) силы межмолекулярного взаимодействия. Между молекулами вещества одновременно действуют силы притяжения Fn и отталкивания Fo (рис. 9.1), а F – их результирующая. Силы отталкивания принято считать положительными, а силы взаимного притяжения – отрицательными. Рис. 9.1. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия

9.2. Уравнение Ван-Дер-Ваальса Уравнение состояния для реального газа требует учета собственного объема молекул и сил межмолекулярного взаимодействия. Наличие сил отталкивания, которые противодействуют проникновению в занятый молекулой объем других молекул, сводится к тому, что фактический свободный объем, в котором могут двигаться молекулы реального газа, будет (Vm –b), где b – объем, занимаемый самими молекулами. Действие сил притяжения молекул газа приводит к появлению дополнительного внутреннего давления p′=a/Vm2, где а – постоянная Ван-дер-Ваальса, Vm– молярный объем. Вводя эти поправки, получим уравнение состояния для моля реального газа: (9.1) (p+a/Vm2)(Vm–b)=RT. Для произвольной массы газа: (9.2) (p+υ2a/V2)(V–υb)=υRT, где a и b – постоянные для каждого газа величины, определяемые опытным путем. 9.3. Изотермы Ван-Дер-Ваальса Поведение реального газа, оп��еделяемое уравнением Ван-дер-Ваальса, рассмотрим на примере зависимостей p от Vm при заданных Т (изотермы Ван-дер-Ваальса рис. 9.2). При Т>Ткp изотерма реального газа мало чем отличается от изотермы идеального газа. При температуре Ткp на изотерме имеется лишь одна точка перегиба К, называемая критической точкой. Соответствующие этой точке объем Vкр и давление pкр называются также критическими. При Т<Ткр изотермы имеют волнообразный участок. Для пояснения характера изотерм запишем уравнение Ван-дер-Ваальса в виде: pVm3 − ( RT + pb)Vm2 + aVm − ab = 0. (9.3) Это уравнение третьей степени относительно Vm, следовательно, оно может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два мнимых, причем физический смысл имеют лишь вещественные положительные корни. Первому случаю соответствуют изотермы при низких температурах (три значения объема газа V1, V2, V3 отвечают одному значению p1). Второму случаю соответствуют изотермы при высоких температурах. Рассмотрим различные участки изотермы при Т<T3=Ткр (рис. 9.3). На участках 1–3 и 5–7 при уменьшении объема Vm давление p возрастает. На участке 3–5 сжатие вещества приводит к уменьшению давления, такого в природе не бывает. Наличие участка 3–5 означает, что при постепенном изменении объема вещество не может оставаться все время в 44


виде однородной фазы. Таким образом, истинная изотерма будет иметь вид ломаной линии 7–6–2–1. Часть 7–6 отвечает газообразному состоянию, а часть 2–1 – жидкому. Участок 6–2 соответствует равновесному состоянию жидкой фазы и газообразной фазы. Критические параметры: Vk=3b; (9.4) pk=a/(27b2); Tk=8a/(27Rb).

Рис. 9.2. Изотермы Ван-дер-Ваальса Если через крайние точки горизонтальных участков семейства изотерм провести линию, то получится колоколообразная кривая (рис. 9.4), ограничивающая область двух фазных состояний вещества.

Рис. 9.4. Область фазовых состояний вещества: Ж – жидкость, Г – газ, П – пар

Рис. 9.3. Изотерма при Т<Тk

9.4. Внутренняя энергия реального газа Внутренняя энергия реального газа складывается из кинетической энергии теплового движения его молекул и потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия, обусловленного силами притяжения между молекулами. Наличие сил притяжения приводит к возникновению внутреннего давления на газ p′=a/Vm2. Учитывая это, получим, что внутренняя энергия одного моля реального газа растет с повышением температуры и увеличением объема. 45


Um=CvT–a/Vm. (9.5) Если газ расширяется без теплообмена с окружающей средой (адиабатический процесс, δQ=0) и не совершает внешней работы (расширение газа в вакууме δА=0), то на основании первого начала термодинамики δQ=(U2+U1)+δA, получим: U1=U2. Для идеального газа это равенство означает равенство температур Т1=Т2, то есть при адиабатическом расширении идеального газа в вакуум его температура не изменяется. Для реального газа: a 1 1   − . T1 − T2 = (9.6) C v  V1 V2  Поскольку V2>V1, то Т1>Т2. Это означает, что реальный газ при адиабатическом расширении в вакуум охлаждается, а при адиабатическом сжатии (V1>V2 и Т1<Т2) реальный газ нагревается.

9.5. Сжижение газов Наиболее эффективным методом сжижения газа является метод, основанный на охлаждении газа при совершении им работы (превращение любого газа в жидкость возможно лишь при температуре ниже критической). Сжатый газ, поступая в поршневую машину (детандер), расширяется и совершает работу по передвижению поршня. Так как работа совершается за счет внутренней энергии газа, то его температура при этом понижается. П. Л. Капица впервые применил турбодетандер, в котором газ, сжатый до 500 кПа охлаждается, совершая работу по вращению турбины. Современные мощные холодильные установки работают по принципу турбодетандера. Этот метод успешно применен Капицей для сжижения гелия, предварительное охлаждение которого производилось жидким азотом. Современные мощные холодильные установки работают по принципу турбодетандера. 9.6. Вакуум Если из сосуда откачивать газ, то по мере понижения давления число столкновений молекул друг с другом уменьшается, что приводит к увеличению их длины свободного пробега. При достаточно большом разрежении столкновения между молекулами относительно редки, поэтому основную роль играют столкновения молекул со стенками сосуда. Вакуумом называется состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега 〈L〉 сравнима или больше характерного линейного размера d сосуда, в котором газ находится. В зависимости от соотношения 〈 L〉

и d различают низкий (〈L〉 d), средний

(〈L〉 ≤d), высокий (〈L〉 >d) и сверхвысокий (〈L〉 d) вакуум [47]. Газ в состоянии высокого вакуума называется ультраразреженным. Для получения различных степеней разрежения применяются вакуумные насосы. Вакуум – изолятор, электрический ток в нем может возникнуть только за счет искусственного введения заряженных частиц, для этого используют явление эмиссии – испускание электронов веществами. В вакуумных лампах с нагреваемыми катодами происходит термоэлектронная эмиссия, а в фотодиоде – фотоэлектронная.

9.7. Свойства жидкостей Жидкость является агрегатным состоянием вещества, промежуточным между газообразным и твердым. Поэтому она обладает свойствами как газообразных, так и твердых веществ. Жидкость, подобно твердым телам, обладает определенным объемом, а подобно газам, принимает форму сосуда, в котором она находится. В газах молекулы движутся хаотично, поэтому нет никакой закономерности в их взаимном расположении. Для твердых тел наблюдается так называемый дальний порядок в расположении частиц, т. е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на больших расстояниях. В жидкостях имеет 46


место так называемый ближний порядок в расположении частиц, т. е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на расстояниях, сравнимых с межатомными [43, 54]. Суммарная энергия частиц жидкости складывается из энергии их хаотического движения (теплового движения) и потенциальной энергии, обусловленной силами межмолекулярного взаимодействия. Равновесное состояние характеризуется минимумом потенциальной энергии, поэтому жидкость при отсутствии внешних сил будет принимать форму с минимальной поверхностью, то есть форму шара. Поверхностное натяжение (σ) – стремление жидкости уменьшить избыток своей потенциальной энергии на границе раздела с газовой фазой (например, с собственным паром) или другой жидкой или твердой фазой. Определяется как работа, затрачиваемая на создание единицы площади поверхности раздела фаз при постоянной температуре. Поверхностное натяжение жидкости часто определяют как силу, действующую на единицу длины контура поверхности раздела фаз и стремящуюся сократить эту поверхность до минимума. Благодаря поверхностному натяжению капля жидкости при отсутствии внешних воздействий принимает форму шара. Единица поверхностного натяжения – ньютон на метр (Н/м) или джоуль на квадратный метр (Дж/м2). Большинство жидкостей при температуре 300 К имеет поверхностное натяжение порядка 10-2 ÷ 10-1 Н/м. Поверхностное натяжение с повышением температуры уменьшается, так как увеличивается среднее расстояние между молекулами жидкости. Поверхностное натяжение существенным образом зависит от примесей, имеющихся в жидкостях. Вещества, ослабляющие поверхностное натяжение жидкости, называются поверхностно-активными. Наиболее известным поверхностно-активным веществом по отношению к воде является мыло. Оно сильно уменьшает ее поверхностное натяжение (примерно с 7,5⋅10-2 до 4,5⋅10-2 Н/м). Поверхностно-активными веществами, понижающими поверхностное натяжение воды, являются также спирты, эфиры, нефть и др. Существуют вещества (сахар, соль), которые увеличивают поверхностное натяжение жидкости благодаря тому, что их молекулы взаимодействуют с молекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой. Например, если посолить мыльный раствор, то в поверхностный слой жидкости выталкивается молекул мыла больше, чем в пресной воде [47]. Смачивание – поверхностное явление, возникающее при соприкосновении жидкости с твердым телом. Проявляется в растекании жидкости по твердой поверхности, пропитывании пористых тел и порошков, образовании мениска. Из практики известно, что капля воды растекается на стекле, в то время как ртуть на той же поверхности превращается в несколько сплюснутую каплю. В первом случае говорят, что жидкость смачивает твердую поверхность, во втором – не смачивает ее [47]. Смачивание зависит от характера сил, действующих между молекулами поверхностных слоев соприкасающихся сред. Смачивание и несмачивание являются понятиями относительными, т. е. жидкость, смачивающая одну твердую поверхность, не смачивает другую. Например, вода смачивает стекло, но не смачивает парафин; ртуть не смачивает стекло, но смачивает чистые поверхности металлов. Капиллярные явления. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Если поместить узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости – мениск (имеет вогнутую форму), если не смачивает – выпуклую [11, 41]. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h, при которой давление столба жидкости ρgh уравновешивается избыточным давлением ∆p. Если поверхность жидкости вогнутая (рис. 9.5), то результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна ∆p= –2σ/R, поэтому (9.7) 2σ/R=ρgh. 47


а б Рис. 9.5. Капиллярные явления смачивания: подъем смачивающей жидкости в капилляре, пример: cтекло-вода (а); опускание несмачивающей жидкости, пример: стеклортуть (б); R – радиус кривизны мениска, r – радиус капилляра Из рис. 9.5 следует, что h=2σcosθ/(ρgh). В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая опускается, при θ<π/2 (cosθ>0) получим положительные значения h, а при θ >π/2 (cosθ<0) – отрицательные значения h. Высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. Капиллярные явления играют большую роль в природе и технике. Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам. На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т. д.

9.8. Твердые тела Твердые тела характеризуются наличием значительных сил межмолекулярного взаимодействия (сохраняют постоянными свои объем и форму), а также структурой, для которой характерно регулярное расположение частиц с периодической повторяемостью в трех измерениях (кристаллической решеткой). Кристаллические тела можно разделить на две группы: монокристаллы и поликристаллы. Монокристаллы – твердые тела, частицы которых образуют единую кристаллическую решетку. Кристаллическая структура монокристаллов обнаруживается по их внешней форме. Характерной особенностью монокристаллов является их анизотропность – зависимость физических свойств от направления. Плотность расположения частиц по разным направлениям неодинакова, что приводит к различию свойств кристаллов вдоль этих направлений. Твердые тела, состоящие из множества беспорядочно ориентированных мелких кристаллических зерен, называются поликристаллами. В поликристаллах анизотропия наблюдается только для отдельных мелких кристалликов, однако их различная ориентация приводит к тому, что свойства поликристаллов по всем направлениям одинаковы. В реальных кристаллах всегда имеются отклонения от упорядоченного расположения частиц в узлах решетки (дефекты кристаллической решетки). Дефекты делятся на макроскопические, возникающие в процессе образования и роста кристаллов (например, трещины, поры, инородные макроскопические включения), и микроскопические, обусловленные микроскопическими отклонениями от периодичности. Микродефекты делятся на точечные и линейные. Точечные дефекты бывают трех типов: 1) отсутствие атома в узле кристаллической решетки; 2) существует атом, внедрившийся в междоузельное пространство; 3) наличие примесного атома (атома примеси). Точечные дефекты нарушают лишь ближний порядок в кристаллах, не затрагивая дальнего порядка. Линейные дефекты нарушают дальний порядок. В значительной степени определяются дефектами дислокаций. Дислокации – линейные дефекты, нарушающие 48


правильное чередование атомных плоскостей. Дислокации бывают краевые и винтовые.

9.9. Теплоемкость твердых тел Каждой составляющей кристаллическую решетку частице приписывается три колебательных степени свободы, каждая из которых обладает энергией kT. Внутренняя энергия одного моля твердого тела (9.8) Um=3NakT=3RT, где Na – постоянная Авогадро; Nak=R – молярная газовая постоянная; k – постоянная Больцмана. dU m = 3R ≈ 25 Дж /( моль ⋅ К ) . Молярная теплоемкость твердого тела C v = dT Контрольные вопросы и вопросы для самоподготовки 1. Что такое термодинамические параметры? Какие термодинамические параметры вам известны? 2. Как объяснить закон Бойля-Мариотта с точки зрения молекулярнокинетической теории? 3. Какими законами описываются изобарные и изохорные процессы? 4. Каков физический смысл постоянной Авогадро? В чем содержание и какова цель вывода основного уравнения молекулярно5. кинетической теории газов? 6. Каков физический смысл функции распределения молекул по скоростям? По энергиям? 7. Как, зная функцию распределения молекул по скоростям, перейти к функции распределения по энергиям? В чем суть распределения Больцмана? 8. 9. Зависит ли средняя длина свободного пробега молекул от температуры газа? Почему? 10. В чем сущность явлений переноса? Каковы они и при каких условиях возникают? Что такое внутренняя энергия идеального газа? Какими параметрами она 11. определяется? В результате, каких процессов может изменяться внутренняя энергия системы? 12. Что такое теплоемкость газа? 13. Чему равна работа изобарного расширения моля идеального газа при нагревании на 1 К? 14. Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется при постоянном давлении? 15. Почему адиабата более крута, чем изотерма? 16. Как изменится температура газа при его адиабатическом сжатии? 17. Чем отличаются обратимые и необратимые процессы? Почему все реальные процессы необратимы? 18. Дайте понятие энтропии. 19. В каком направлении может изменяться энтропия замкнутой системы? Незамкнутой? 20. Возможен ли процесс, при котором теплота, взятая от нагревателя, полностью преобразуется в работу? 21. Чем отличаются реальные газы от идеальных? 22. Каков смысл поправок при выводе уравнения Ван-дер-Ваальса? При адиабатическом расширении газа в вакуум его внутренняя энергия не 23. меняется. Как изменится температура, если газ идеальный? Реальный? 24. Почему у всех веществ поверхностное натяжение уменьшается с 49


температурой? 25. При каких условиях жидкость смачивает твердое тело? Не смачивает? 26. От чего зависит высота поднятия смачивающей жидкости в капилляре? 27. Чем отличаются монокристаллы от поликристаллов? 28. Что называют кристаллической решеткой? 29. Сформулируйте закон Дюлонга и Пти. 30. Чему равна молярная теплоемкость твердых химических соединений?

Задачи для самостоятельного решения 1. В наглухо закрытой комнате объемом 20 кубометров в течение 5 часов заняты чтением 2 человека. На сколько процентов за это время в помещении упадет концентрация кислорода? В расчете принять, что человек генерирует тепловую мощность 150 Вт и на каждые 10 кДж генерируемой энергии расходуется 1 г кислорода. 2. Найти удельную теплоемкость при постоянном давлении следующих газов: 1) хлористого водорода, 2) неона, 3) окиси азота, 4) окиси углерода, 5) паров ртути. Гелий, находящийся при нормальных условиях, изотермически расширяется от 3. объема V1=1 л до V2=2 л. Найти работу, совершенную газом при расширении, и количество теплоты, сообщенное газу. 4. При адиабатическом сжатии воздуха в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания давление изменяется от 0,1 МПа до 3,5 МПа. Начальная температура воздуха 40˚С. Найти температуру воздуха в конце сжатия. Найти теплопроводность воздуха при давлении 100 кПа и температуре t=10˚С. 5. Диаметр молекул воздуха d=0,3 нм. Найти прирост энтропии при превращении 1 г воды при 0˚С в пар при 100˚С. 6. 7. Показать, что внутренняя энергия U воздуха в комнате не зависит от температуры, если наружное давление P постоянно. Вычислить U, если P равно нормальному атмосферному давлению и объем комнаты V = 40 м3. 8. Газообразный водород, находившийся при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом V = 5,0 л, охладили на ∆T = 55 К. Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла. В сосуде объемом V = 5,0 л находится азот массы m = 1,4 г при температуре Т 9. = 1800 К. Найти давление газа, имея в виду, что при этой температуре η = 30% молекул диссоциировано на атомы. 10. Идеальный газ, состоящий из N-атомных молекул, расширяют изобарически. Считая, что у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные), найти, какая доля теплоты, сообщаемой газу в этом процессе, расходуется на работу расширения. Чему равна эта доля для одноатомного газа? 11. В каком случае к. п. д. цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на ∆T или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину? 12. Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n = 2,0 раза; б) давление уменьшается в n = 2,0 раза. 13. В дне сосуда со ртутью имеется круглое отверстие диаметра d = 70 мкм. При какой максимальной толщине слоя ртути она еще не будет вытекать через это отверстие? 14. Насыщенный водяной пар находится при температуре t=100°С в цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем. При медленном вдвигании поршня небольшая часть пара массы ∆m = 0,70 г сконденсировалась. Какая работа была совершена над газом? Пар считать идеальным газом, объемом жидкости пренебречь. Найти среднюю длину свободного пробега и среднее время между 15. столкновениями молекул газообразного азота, находящегося: а) при нормальных условиях; б) при температуре t=0°C и давлении р=1,0 нПа. 50


В

ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

X. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО В механике все силы (кроме гравитации) возникали при контакте двух тел. Сила гравитации действовала ме��ду удаленными массами. Оказывается, что кроме нее есть сила, действующая на расстоянии, которая значительно «сильнее». Однако она действует не между любыми телами, а только между некоторыми. Чтобы выделить эти тела среди остальных вводят понятие электрического заряда: тела, у которых заряды одного знака – отталкиваются, а разных – притягиваются. Носителями заряда являются элементарные частицы, из которых состоит вещество. Такими частицами являются электроны на оболочках атома и протоны в ядрах атома. Электронам приписали отрицательный заряд. В обычном состоянии число вращающихся вокруг ядра электронов равно числу положительных частиц ядра, и атом в целом нейтрален (сбалансирован). Трением, нагреванием и т.д. с внешней орбиты атома можно отнять один или несколько электронов. В этом случае количество положительных зарядов в ядре будет преобладать, атом превратится в положительно заряженную частицу – положительный ион. Кроме потери электронов, возможно и присоединение дополнительных электронов. Причем атом превращается в отрицательно заряженную частицу и называется отрицательным ионом. Например, натертая лоскутом шерсти стеклянная палочка заряжается положительно, а шерсть – отрицательно, т.к. электроны переходят со стеклянной палочки на шерсть. При натирании эбонитовой палочки электроны переходят с шерсти на палочку, поэтому лоскут шерсти заряжается положительно, а эбонитовая палочка – отрицательно. Явление присоединения или отдачи электронов от атомов называется еще ионизацией. Оно не имеет ничего общего с расщеплением атома, когда изменяется строение ядра.

10.1. Закон сохранения электрического заряда Опытным путем американский физик Р. Милликен показал, что электрический заряд дискретен, т. е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда е (е=1,6⋅10-19 Кл). Электрон (me=9,11⋅10-31 кг) и протон (mp=1,67⋅10-27 кг) являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов. М. Фарадеем был установлен закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы. Единицей электрического заряда является кулон (Кл, в честь французского физика Шарля Кулона) – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с. В зависимости от концентрации свободных зарядов тела делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники. Проводники делятся на две группы [47, 54]: 1) проводники первого рода – перенесение в них зарядов не сопровождается химическими превращениями (металлы); 2) проводники второго рода – перенесение зарядов ведет к химическим изменениям (расплавы солей, растворы кислот). Диэлектрики – тела, в которых практически отсутствуют свободные заряды. Полупроводники занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. 51


10.2. Закон Кулона Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует. Закон Кулона: сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме ( ε = 1 ), пропорциональна произведению модулей этих зарядов Q1 и Q2, обратно пропорциональна квадрату расстояния r2 между ними и направлена вдоль соединяющей их прямой. Закон Кулона в векторной форме записывается в виде F12 = k

Q1 ⋅ Q2 r12 (F12 – сила, r r2

действующая на заряд Q1 со стороны Q2, r12 – радиус-вектор, соединяющий заряд Q2 с зарядом Q1, r = r12 , k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц физических величин). В скалярной форме закон Кулона имеет следующий вид: Q1 ⋅ Q2 (10.1) F =k . r2 В системе единиц СИ коэффициент пропорциональности равен k=1/(4πεε0), можем записать 1 Q1 ⋅ Q2 ⋅ , F= (10.2) 4πε 0 r2 где ε0 – электрическая постоянная (ε0=8,85·10-12 Kл2/(H·м2) или ε0=8,85·10-12 Ф/м (Ф – Фарад – единица электрической емкости), в вакууме, ε = 1 (вакуум). Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т. е. является центральной, и соответствует притяжению (F<0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F>0) в случае одноименных зарядов. Эта сила называется кулоновской силой. Если взять два точечных электрических заряда по 1 Кл и расположить их на расстоянии 1 м в вакууме, то, используя (10.2), получим:

F = 9 ⋅ 10 9 ⋅

1⋅1 12

= 9 ⋅ 10 9

Н.

Следовательно 1 Кл – это такой точечный электрический заряд, который действует в вакууме на равный ему точечный заряд, расположенный на расстоянии 1 м, с силой 9 ⋅10 9 Н.

10.3. Электростатическое поле Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле. Электростатическое поле создается неподвижными электрическими зарядами и является одной из форм существования материи, посредством которой осуществляются взаимодействия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав вещества. Таким образом: а) основным признаком электростатического поля является действие силы на помещенный в него заряд; б) источником поля являются заряды; в) электрическое поле является носителем энергии (эта энергия не получается извне, а возникает за счет тех причин, которые наэлектризовали тело). Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку. В векторной форме: E = F / Q0 , [Н/Кл=В/м] (10.3) где F – сила, действующая на единичный положительный заряд Q0. Напряженность поля точечного заряда Q в вакууме в векторной и скалярной формах на расстоянии r от заряда определяется как: 52


E=

1

Q

4πε 0 r 3

r , т.к. r = r , то E =

1 4πε 0

Q , r2

(10.4)

где r – радиус-вектор, соединяющий заряд Q с точкой, где вычисляется напряженность поля. Направление вектора E совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд (см. формулу (10.3)). Если поле создается системой неподвижных зарядов, то напряженность электрического поля такой системы равна векторной сумме напряженностей полей, n

создаваемых каждым из зарядов в отдельности E = ∑ E i . Сформулированное правило i =1

называется принципом суперпозиции полей. Для непрерывно распределенных в пространстве зарядов принцип суперпозиции имеет вид E = ∫ d E (интегрирование производится по всем непрерывно распределенным источникам полей, создающим электрическое поле с напряженностью d E ). Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора E (рис. 10.1). Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности. Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились про водить их с определенной густотой.

Рис. 10.2. Определение потока напряженности через площадку Число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль

Рис. 10.1. Линии напряженности __

__

n которой образует угол α с вектором E , равно EdS cos α = Ends , где En – составляющая __

__

вектора E по направлению нормали n к площадке (рис. 10.2). Величина dФЕ = En dS = E dS называется потоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь d S =dS· n – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке dS (см. рис. 10.2). dФЕ=EndS=EdS·cosα.

(10.5)

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора E через эту поверхность

Ф Е = ∫ E n dS = ∫ E dS , S

S

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. 53

(10.6)


10.4. Потенциал электрического поля. Связь с напряженностью Потенциал φ в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией EП единичного положительного заряда, помещенного в эту точку: E Q 1 ϕ= П = ⋅ , (10.7) Q0 4πε 0 r где Qo – единичный положительный заряд; Q – заряд, создающий электростатическое поле; r – расстояние от заряда Q до точки поля, потенциал которой определяется. n

Если зарядов несколько, то по принципу суперпозиции ϕ = ∑

1

i =1 4πε 0

Qi . ri

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. 2

2

1

1

ϕ1 − ϕ 2 = ∫ E dL = ∫ E L dL ;

(10.8)

A12 = E П1 − E П 2 = Qϕ1 − Qϕ 2 = Q(ϕ1 − ϕ 2 ) ,

где Qϕ = E П - потенциальная энергия. Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность (т.е. E П 2 = 0, ϕ 2 = 0 ): φ=A∞/Q0,

1 Дж   1Кл = 1В   

(10.9)

где Qo – единичный положительный заряд. Потенциал и напряженность являются характеристиками электрического поля: напряженность – это силовая характеристика, а потенциал φ – энергетическая (т.е. дает работу). Между этими характеристиками существует связь. Возьмем точки 1 и 2, переместим заряд Q из первой точки во вторую. Тогда, с одной стороны работа этой силы на перемещение dA = FS ds = QES ds , что следует из определения напряженности электростатического поля (см. формулу (10.3)), с другой стороны потенциальная энергия заряда в электрическом поле равна Q (ϕ1 − ϕ 2 ) = −Qdϕ (работа dA равна убыли dE П потенциальной энергии заряда Q, перемещающегося в электростатическом поле dA = − dE П ). Приравняв оба выражения dϕ QES ds = −Qdϕ , можно записать E S = − (проекция напряженности на направление dS перемещения S равна скорости изменения потенциала с обратным знаком). Напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус:

 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ  E = i E X + jEY + k E Z = − i + j+ k  , Ē= –gradφ. ∂y ∂z   ∂x

(10.10)

где i, j, k – единичные векторы координатных осей х, у, z. Знак «минус» указывает на то, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала. Напомним, что градиент – вектор в направлении быстрейшего изменения скаляра, характеризующий dϕ быстроту этого изменения. Для проекций вектора напряженности имеем Ex = − dx , Ey = − dϕ

dy ,

Ez = − dϕ

dz . 54


Пример 10.1. Потенциал поля, созданный некоторой системой, имеет вид ϕ = a( x 2 + y 2 ) + bz 2 , где a и b – положительные константы. Найти напряженность поля. Решение ∂ϕ ∂ϕ  ∂ϕ ∂ϕ  ∂ϕ = 2ax ; Учитывая выражение (10.10) E = − = 2ay ; i+ j+ k  , найдем x ∂ ∂ y ∂ x ∂ y ∂ z   ∂ϕ = 2bz . Тогда E = −(2axi + 2ay j + 2bzk) = −2axi − 2ay j − 2bzk . ∂z Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями – поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одно и то же значение [47, 54]. Рассмотрим потенциал поля, создаваемого 1 Q точечным зарядом ϕ = ⋅ . 4πε 0 r Эквипотенциальные поверхности в данном случае – концентрические сферы. Линии напряженности – радиальные прямые, перпендикулярные эквипотенциальным поверхностям (рис. 10.3). Вектор E всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям.

Рис. 10.3. Линии напряженности точечного заряда

10.5. Типы диэлектриков Диэлектрики делятся на три группы [41, 47]. Первую группу диэлектриков составляют вещества, молекулы которых имеют симметричное строение (N2, Н2, О2, СО2). Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны, и молекула приобретает дипольный момент. Электрический диполь – это система двух равных по величине и противоположенных по знаку электрических зарядов +Q и –Q, расстояние l между которыми мало по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l . Вектор p = Q l , совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда |Q| на плечо l , называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом (рис. 10.4).

Рис.10.4. Электрический момент диполя Вторую группу диэлектриков составляют вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение. Эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом и называются полярными. Дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично, и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то 55


силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля, и возникает отличный от нуля результирующий момент. Третью группу диэлектриков составляют вещества, молекулы которых имеют ионное строение (NaCl, KC1, КВr). Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов различных знаков (система вдвинутых одна в другую ионных подрешеток). При наложении на ионный кристалл электрического поля происходит некоторая деформация кристаллической решётки или относительное смещение подрешеток, приводящее к возникновению дипольных моментов. Внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика. Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появление под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей. Для трех групп диэлектриков различают три вида поляризации: – электронная, или деформационная, поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит; – ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура; – ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных – против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

10.6. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике При помещении диэлектрика во внешнее электростатическое поле он поляризуется, приобретая отличный от нуля дипольный момент: pv = ∑ pi , i

(10.11)

где p i – дипольный момент одной молекулы. Поляризованность – это векторная величина, количественно описывающая поляризацию диэлектрика и определяемая как дипольный момент единицы объема диэлектрика: p = pv / V = ∑ pi / V , i

(10.12)

где V – объем диэлектрика. Поляризованность p линейно зависит от напряженности поля Ē. Если диэлектрик изотропный и Ē невелика, то

p = æε0Ē,

(10.13)

где æ – диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика (æ – положительная безразмерная величина). Для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц (хотя, например, для спирта æ≈25, для воды æ=80). Поляризация диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем (рис. 10.5). Напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

E = E0 /(1 + æ)=E0/ε,

(10.14)

где Е0 – напряженность поля вне диэлектрика; безразмерная величина ε=1+æ 56


называется диэлектрической проницаемостью среды, ε показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, и характеризует количественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле.

Рис. 10.5. Расположение зарядов в полностью поляризованном диэлектрике плоского конденсатора

Рис. 10.6. Диэлектрический гистерезис

10.7. Сегнетоэлектрики (нелинейные диэлектрики) Сегнетоэлектрики – это диэлектрики, обладающие в определенном интервале температур поляризованностью в отсутствие внешнего электрического поля [47]. При отсутствии внешнего электрического поля сегнетоэлектрики представляют собой мозаику из областей с различными направлениями поляризованности (доменов). При внесении сегнетоэлектрика во внешнее поле происходит переориентация дипольных моментов доменов по полю. Возникающее при этом суммарное электрическое поле доменов будет поддерживать их некоторую ориентацию и после прекращения действия внешнего поля. При температуре, называемой точкой Кюри, сегнетоэлектрик превращается в обычный диэлектрик. Как правило, сегнетоэлектрики имеют только одну точку Кюри; исключение составляют лишь сегнетова соль (–18 и +24°С) и изоморфные соединения с ней. В сегнетоэлектриках наблюдается явление диэлектрического гистерезиса (рис. 10.6). С увеличением напряженности Е внешнего электрического поля поляризованность p растет, достигая насыщения (кривая 1). Уменьшение p с уменьшением Е происходит по кривой 2, и при Е = 0 сегнетоэлектрик сохраняет остаточную поляризованность p0, т. е. сегнетоэлектрик остается поляризованным в отсутствие внешнего электрического поля. Чтобы уничтожить остаточную поляризованность, надо приложить электрическое поле обратного направления (–Ес). Величина Ес называется коэрцитивной силой. Если далее Е изменять, то p изменяется по кривой 3 петли гистерезиса. Сегнетоэлектрики широко применяются также в качестве материалов, обладающих большими значениями ε (например, в конденсаторах). Следует упомянуть еще о пьезоэлектриках – кристаллических веществах, в которых при сжатии или растяжении в определенных направлениях возникает электрическая поляризация даже в отсутствие внешнего электрического поля (прямой пъезоэффект). Наблюдается и обратный пьезоэффект – появление механической деформации под действием электрического поля. У некоторых пьезоэлектриков решетка положительных ионов в состоянии термодинамического равновесия смещена относительно решетки отрицательных ионов, в результате чего они оказываются поляризованными даже без внешнего электрического поля. Такие кристаллы называются пироэлектриками. Еще существуют электреты – диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего электрического поля (электрические аналоги постоянных магнитов).

57


10.8. Электрическая емкость уединенного проводника. Конденсаторы и их соединения Уединенным будем называть проводник, размеры которого много меньше расстояний до окружающих тел. Из опыта следует, что разные проводники, будуч�� одинаково заряженными, принимают различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать: (10.15)

Q=Cφ.

Величину С=Q/φ называют электроемкостью уединенного проводника. Единица электроемкости – фарад (Ф): 1 Ф – емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Емкость определяется геометрической формой, размерами проводника и свойствами среды (от материала проводника не зависит). Чем больше емкость проводника, тем меньше меняется потенциал при изменении заряда. Устройства, обладающие большой электрической емкостью, называются конденсаторами. Конденсатор состоит из двух проводников, разделенных диэлектриком. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (φ1–φ2) между его обкладками: C=Q/(φ1–φ2)= Q/U.

(10.16)

Пример 10.2. Какую величину заряда необходимо подать на конденсатор емкостью 10 мкФ, чтобы зарядить его до напряжения 500 В? Решение Для нахождения величины заряда воспользуемся формулой (10.16) -6 −3 Q = CU = 10 ⋅10 ⋅ 500 = 5 ⋅10 Кл. εε S Емкость плоского конденсатора: С = 0 (S – площадь каждой пластины d конденсатора, d – расстояние между пластинами конденсатора). εε 0 SU 2 εε 0 SE 2 σ 2 S Сила притяжения пластин плоского конденсатора: F = = = 2 2εε 0 2d 2 U (E = – напряженность электрического поля, для плоского конденсатора, σ – d поверхностная плотность заряда на пластинах). Чтобы получить конденсатор с большой электроемкостью, надо либо брать пластины очень большой площади (например, рулоны фольги, но это делает конденсаторы тяжелыми), либо предельно уменьшать расстояние между пластинами (например, в электролитических конденсаторах пластины разделены тонким слоем оксида алюминия, но при изменении полярности такой слой может быть разрушен), либо использовать диэлектрики с очень большой диэлектрической проницаемостью (как, например, в керамических конденсаторах). 4πεε 0 rR Емкость сферического конденсатора: С = (r – радиус внутренней и R – R -r радиус внешней сферы). В частном случае, когда R= ∞ , С = 4πεε 0 r – емкость уединенного шара. 2πε 0εl Емкость цилиндрического конденсатора: C = (l – высота коаксильных R ln r цилиндров, r и R – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно). Пример 10.3. Электрический кабель состоит из центральной жилы и концентрической по отношению к ней цилиндрической оболочки, между которыми находится изоляция. Найти емкость длины такого кабеля в мкФ/м (C/l), если радиус жилы – 1,3 см (r), радиус оболочки – 3,0 см (R), диэлектрическая проницаемость изоляции – 3,2. 58


Решение Емкость

единицы

длины

найдем

из

формулы

C=

2πε 0εl , R ln r

тогда

C 2πε 0ε 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 ⋅ 3,2 = = = 2,14 ⋅10 − 4 мкФ/м. R 3 l ln ln r 1,3 У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна φ1–φ2 (рис. 10.7). Заряд батареи конденсаторов n

Q = ∑ Qi = (C1 + C 2 + ... + C n )(ϕ 1 − ϕ 2 ) . i =1

Рис. 10.7. Параллельное соединение конденсаторов Полная емкость батареи: n

C = Q /(ϕ 1 − ϕ 2 ) = ∑ C i .

(10.17)

i =1

При параллельном соединении конденсаторов полная емкость равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по n

модулю,

а разность потенциалов на зажимах батареи (рис. 10.8) равна ∆ϕ = ∑ ∆ϕi , где i =1

для любого из рассматриваемых конденсаторов ∆φi = Q/Ci. Емкость батареи конденсаторов n

1 / C = ∑ (1 / Ci ).

(10.18)

i =1

При последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.

Рис. 10.8. Последовательное соединение конденсаторов Заряженный конденсатор обладает энергией E КОНД = 59

C (∆ϕ ) 2 ∆ϕQ CU 2 QU Q 2 = = = = 2 2 2 2 2C ,


Q – заряд одной обкладки конденсатора; С – емкость конденсатора; ∆φ – разность потенциалов между обкладками. Также энергию конденсатора можно выразить через напряженность. Из формулы для C (∆ϕ ) 2 энергии заряженного конденсатора E КОНД = с учетом того, что емкость плоского 2 конденсатора C=εε0S/d и разность потенциалов между его обкладками ∆φ=Ed (E – напряженность), получим выражение для энергии электростатического поля εε E 2 σ 2Sd εε 0 E 2 E КОНД = 0 Sd = = V, (10.19) 2 2εε 0 2 где V=Sd – объем пространства между обкладками конденсатора; S – площадь одной обкладки; d – расстояние между обкладками, σ – поверхностная плотность заряда на пластинах.

10.9. Емкость в цепи постоянного и переменного токов При включении конденсатора последовательно с источником постоянного тока в цепи возникает кратковременный импульс тока, заряжающий конденсатор до напряжения источника, а затем ток прекращается. Если заряженный конденсатор отключить от источника постоянного тока и соединить его обкладки с выводами лампы накаливания, то конденсатор будет разряжаться, при этом наблюдается кратковременная вспышка лампы. При включении конденсатора в цепь переменного тока, как и в случае цепи постоянного тока, через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, электрические заряды проходить не будут. Но в результате периодически повторяющихся процессов зарядки и разрядки конденсатора в проводах, соединенных с его выводами, появится переменный ток. Лампа накаливания, включенная последовательно с конденсатором в цепь переменного тока, кажется горящей непрерывно, так как человеческий глаз при высокой частоте колебаний силы тока не замечает периодического ослабления свечения нити лампы. При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону U = U m cos(ωt + ϕ ) заряд на его обкладках изменяется также по гармоническому закону Q = U m Ccos(ωt + ϕ ) . Электрический ток в цепи возникает в результате изменения заряда q конденсатора, поэтому колебания силы тока в цепи будут происходить по закону dQ π I= = −U mωC sin ωt = U mωC cos(ωt + ) . Это выражение показывает, что гармонические dt 2 колебания напряжения на обкладках конденсатора в цепи переменного тока отстают по фазе от колебаний силы тока на π /2. Произведение U mωC является амплитудой колебаний силы тока Im = U mωC . Величину, обратную произведению циклической частоты со на электроемкость С 1 конденсатора, называют емкостным (реактивным) сопротивлением конденсатора: Xc = ωC 1 → ∞ ). (отсюда видно, что если ток постоянный ν → 0 , ω = 2πν → 0 , то Xc = ωC Связь между амплитудным значением силы тока Im и амплитудным значением напряжения Um по форме совпадает с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока, в котором вместо электрического сопротивления R используется емкостное U сопротивление конденсатора: I m = m . Xc Пример 10.4. На маркировке конденсатора имеются такие данные: 1 мкФ, 30 В. Найти реактивное сопротивление емкости на частоте 15 кГц и энергию заряженного конденсатора при напряжении 20 В. 60


Решение Реактивное сопротивление конденсатора находится по 1 1 1 Xc = = = ≈ 10,6 Ом. ωC 2πνC 2 ⋅ 3,14 ⋅15 ⋅10 3 ⋅1 ⋅ 10 −6 Энергия заряженного конденсатора при напряжении 20 В E КОНД

формуле

составит

CU 2 10 −6 ⋅ 20 2 = = ≈ 0,2 мДж. 2 2

XI. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Проводники – это вещества, в которых имеются свободные заряды, т.е. заряды, способные перемещаться под действием поля. В диэлектриках (изоляторах) все электроны сильно связаны с атомами (отсутствуют свободные носители зарядов).

11.1. Электрический ток в металлах. Сверхпроводимость. Сила и плотность тока электрического тока Все металлы в твердом и жидком состоянии являются проводниками электрического тока. Специально поставленные опыты показали, что при прохождении электрического тока масса металлических проводников остается постоянной, не изменяется и их химический состав. На этом основании можно было предположить, что в создании электрического тока в металлах участвуют только электроны. Предположение об электронной природе электрического тока в металлах подтверждено опытами советских физиков Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси и американских физиков Т. Стюарта и Р. Толмена. В этих опытах было обнаружено, что при резкой остановке быстро вращающейся катушки в проводе катушки возникает электрический ток, создаваемый отрицательно заряженными частицами — электронами. Электрическим током называется любое упорядоченное движение электрических зарядов [16, 23, 54]. При отсутствии электрического поля свободные электроны перемещаются в кристалле металла хаотически. Под действием электрического поля свободные электроны, кроме хаотического движения, приобретают упорядоченное движение в одном направлении, и в проводнике возникает электрический ток. Свободные электроны сталкиваются с ионами кристаллической решетки, отдавая им при каждом столкновении кинетическую энергию, приобретенную при свободном пробеге под действием электрического поля, В результате упорядоченное движение электронов в металле можно рассматривать как равномерное движение с некоторой постоянной скоростью. В 1911 г. нидерландский ученый Гейке Камерлинг-Оннес (1853 – 1926) обнаружил, что при понижении температуры ртути до 4,1 К ее удельное сопротивление скачком уменьшается до нуля [25]. Явление уменьшения удельного сопротивления до нуля при температуре, отличной от абсолютного нуля, называется сверхпроводимостью. Материалы, обнаруживающие способность переходить при некоторых температурах, отличных от абсолютного нуля, в сверхпроводящее состояние, называются сверхпроводниками. Прохождение тока в сверхпроводнике происходит без потерь энергии, поэтому, однажды возбужденный в сверхпроводящем кольце электрический ток может существовать неограниченно долго без изменения. В проводнике под действием приложенного электрического поля E свободные электрические заряды перемещаются (положительные – по полю, отрицательные – против поля), т.е. в проводнике возникает электрический ток, называемый током проводимости. Упорядоченное движение электрических зарядов, осуществляемое перемещением в пространстве заряженных макроскопических тел, называется конвекционным током. 61


Для возникновения и существования электрического тока необходимо наличие заряженных частиц, способных перемещаться упорядочено, и наличие поля, энергия которого, восполняясь, расходовалась бы на их упорядоченное движение. Необходимо, чтобы цепь была замкнута (в разомкнутой цепи электрический ток протекать не может). Источниками электрического тока являются батареи, аккумуляторы, динамо-машины, различные виды генераторов и т.д. Они производят электроэнергию за счет какого-либо другого вида энергии, например, химической, механической, тепловой и пр. Каждый источник тока имеет свойство при замыкании цепи создавать в проводниках электрическое поле, которое с определенной силой действует на свободные электроны. Поэтому говорят, что каждый источник тока имеет определенную электродвижущую силу (ЭДС). Еще в позапрошлом веке было принято под направлением электрического тока понимать направление движения положительных носителей зарядов (тогда еще не знали, что ток в металлах обуславливается только электронами). По традиции это правило сохранилось и до сих пор. Так, за направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов. Количественной мерой электрического тока является сила тока I – скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени: dQ [A] . I= (11.1) dt Следует напомнить, постоянным называется ток, направление и сила которого не меняются со временем: Q I= [A] , (11.2) t где Q – электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника. Единица измерения силы тока – ампер [А]. Электрическое поле распространяется по проводникам со скоростью 300 000 км/с, таким образом, за одну секунду поле может обойти земной шар около восьми раз. Однако скорость направленного движения электронов в проводниках намного меньше и зависит от плотности тока. Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника перпендикулярно направлению тока, называется плотностью тока [26, 54]: dI j= , [А/м2] (11.3) dS ⊥ В отличие от силы тока, которая есть величина скалярная и направления не имеет, плотность тока – это вектор. Более общая связь между плотностью тока j и элементом силы тока dI: dI = jd S , где d S = ndS , n - единичный вектор нормали к площадке dS, составляющий с вектором j угол α . Плотность постоянного тока одинакова по всему поперечному сечению S однородного проводника: I=jS. __

Выразим силу и плотность тока через скорость < υ > упорядоченного движения зарядов в проводнике. Если концентрация носителей равна n и каждый носитель имеет элементарный заряд е, то за время dt через поперечное сечение S проводника переносится заряд dQ = ne < υ > Sdt. Сила тока dQ I = = ne<υ > S . (11.4) dt Плотность тока 62


__

j = ne < υ > . Направление вектора положительных зарядов.

(11.5)

j совпадает с направлением упорядоченного движения

11.2. Электрический ток в газах При обычных условиях – низких температурах и отсутствии внешнего облучения – газы состоят из нейтральных атомов или молекул. В них нет свободных электрических зарядов, упорядоченное перемещение которых и порождает электрический ток. Поэтому газы являются хорошими изоляторами [25, 47]. Увеличение проводимости воздуха можно вызвать разными способами, например нагреванием или действиями излучений: ультрафиолетового, рентгеновского, радиоактивного и др. Вследствие нагревания или воздействия излучения часть атомов ионизуется – распадается на положительно заряженные ионы и электроны. Ионизация газов при нагревании объясняется тем, что по мере нагревания молекулы движутся быстрее. При этом некоторые молекулы начинают двигаться так быстро, что часть из них при столкновениях распадается, превращаясь в ионы. Чем выше температура тем больше образуется ионов. Пусть ионизованный газ находится в электрическом поле, у которого высокое напряжение. В таком поле электроны газа разгоняются до больших скоростей и приобретают достаточную кинетическую энергию, чтобы при соударении с нейтральным атомом или молекулой выбить из них вторичный электрон. Тот, в свою очередь, ионизует соседний атом и т. д. Этот процесс приобретает лавинообразный характер и называется ударной ионизацией. За счет ударной ионизации число свободных электронов и ионов резко возрастает. Такой ионизованный газ называется плазмой. В плазме возникает электрический ток. Такова природа тока в неоновых трубках, в лампах дневного света и т. п. 11.3. Электрический ток в полупроводниках Многие вещества в кристаллическом состоянии не являются такими хорошими проводниками электрического тока, как металлы, но не могут быть отнесены и к диэлектрикам, так как не являются хорошими изоляторами. Полупроводники оказались не просто «плохими проводниками», а особым классом кристаллов со многими замечательными физическими свойствами, отличающими их как от металлов, так и от диэлектриков [25]. Если у металлов с повышением температуры удельное сопротивление увеличивается, то у полупроводников уменьшается (уменьшается удельное сопротивление полупроводниковых кристаллов и при освещении). Но самым удивительным свойством полупроводников оказалось свойство односторонней проводимости контакта двух полупроводниковых кристаллов различного типа [25, 71]. Обычно к полупроводникам относят кристаллы, в которых для освобождения электрона требуется энергия не более 1,5 – 2 эВ. Кристаллы с большими значениями энергии связи относятся к диэлектрикам. Типичными полупроводниками являются кристаллы германия и кремния, в которых атомы объединены ковалентной связью. При температуре около 300 К средняя энергия теплового движения атомов в полупроводниковом кристалле составляет около 0,04 эВ. Это значительно меньше энергии, необходимой для отрыва валентного электрона, например, от атома кремния (1,1 эВ). Однако вследствие неравномерного распределения энергии теплового движения некоторые атомы кремния ионизируются (рис. 11.1). Освободившиеся электроны не могут быть захвачены соседними атомами, так как все 63


их валентные связи насыщены. Свободные электроны под действием внешнего электрического поля могут перемещаться в кристалле, создавая электронный ток проводимости. Удаление электрона с внешней оболочки одного из атомов кристаллической решетки приводит к превращению этого атома в положительный ион. Этот ион может нейтрализоваться, захватив электрон у одного из соседних атомов. Далее, в результате переходов электронов от атомов к положительным ионам происходит процесс хаотического перемещения в кристалле места с недостающим электроном. Внешне этот процесс воспринимается как перемещение положительного электрического заряда, называемого дыркой [81].

Рис. 11.1. Кристаллическая структура кремния При помещении кристалла в электрическое поле возникает упорядоченное движение дырок – дырочный ток проводимости. В идеальном полупроводниковом кристалле электрический ток создается движением равного количества отрицательно заряженных электронов и положительно заряженных дырок. Такой тип проводимости называется собственной проводимостью полупроводника. Концентрация носителей заряда в полупроводниках при комнатной температуре значительно меньше, чем в металлах. Поэтому удельное сопротивление полупроводников обычно больше, чем металлов. При понижении температуры удельное сопротивление полупроводника увеличивается – он все больше становится похожим на диэлектрик. Свойства полупроводников сильно зависят от содержания в них примесей. Примеси бывают двух типов – донорные и акцепторные. Донорная примесь – это примесь с большей, чем у кристалла, валентностью. При добавлении такой примеси в полупроводнике образуются дополнительные свободные электроны. Именно поэтому примесь называется донорной. Преобладает электронная проводимость, а полупроводник называют полупроводником n–типа. Например, для кремния с валентностью 4 донорной примесью является мышьяк с валентностью 5. Каждый атом примеси мышьяка приведет к образованию одного электрона проводимости. Акцепторная примесь – это примесь с меньшей, чем у кристалла валентностью. При добавлении такой примеси в полупроводнике образуется лишнее количество «дырок». Преобладает «��ырочная» проводимость, а полупроводник называют полупроводником p– типа. Например, для кремния акцепторной примесью является индий с валентностью 3. Каждый атом индия приведет к образованию лишней «дырки». Принцип действия большинства полупроводниковых приборов основан на свойствах р–n-перехода [71, 72]. При приведении в контакт двух полупроводниковых приборов р-типа и n-типа в месте контакта начинается диффузия электронов из n-области в p-область, а «дырок» – наоборот, из р – в n-область. Этот процесс будет не бесконечным во времени, так как образуется запирающий слой, который будет препятствовать дальнейшей диффузии электронов и «дырок». 64


11.4. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение Напомним, что для существования постоянного тока необходимо наличие в цепи устройства (источника тока), способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счёт работы сил неэлектростатического происхождения. Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока, называются сторонними. В гальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакций, в генераторах – за счет механической энергии вращения ротора генератора. Работа, совершаемая сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) ε, действующей в цепи: (11.6)

ε=A/Q0. Сторонняя сила Fст, действующая на заряд Qo, может быть выражена как

Fcт = E cт ⋅ Q0 ,

(11.7)

где E cт – напряженность поля, создаваемая сторонними силами. Работа сторонних сил по перемещению заряда Qo на замкнутом участке: A = ∫ Fcт dl = Q0 ∫ E cт dl ,

ε = A / Q0 = ∫ E cт dl .

(11.8) (11.9)

2

ЭДС, действующая на участке 1–2, равна: ε 12 = ∫ E cт dl . 1

На заряд Q0 помимо сторонних сил действуют силы электростатического поля Fe = Q0 E . Результирующая сила, действующая в цепи на заряд Q0, равна

F = Fcт + Fe = Q0 ( Ecт + E ) . Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом Q0 на участке 1–2, равна: 2

2

1

1

A12 = Q0 ∫ E cт dl + Q0 ∫ E dl

(11.10)

A12 = Q0 ε12 + Q0 (φ1 – φ2).

(11.11)

или Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, поэтому в данном случае А12 = Qo ε12. Напряжением U на участке 1–2 называется физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи: U12 = φl –φ2 +ε12. Понятие напряжения является обобщением понятия разности потенциалов: напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не действует э.д.с., т. е. сторонние силы отсутствуют.

11.5. Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников. Работа электрического тока. Закон Ома для полной цепи Сила тока, текущего по участку однородного проводника, подчиняется закону Ома: cила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна приложенному напряжению U и обратно пропорциональна сопротивлению проводника: U I= , (11.12) R где R – электрическое сопротивление проводника (Ом). 65


Величина G=1/R называется электрической проводимостью проводника. Единица проводимости – сименс (См). Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого изготовлен проводник. Для однородного линейного проводника l l R=ρ = , (11.13) S σ ⋅S где l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника; ρ – удельное сопротивление (коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника), [Ом·м]; σ – удельная проводимость или электропроводность. Пример 11.1. Медная антенна имеет длину 50 м и площадь поперечного сечения 100 Ом ⋅ мм 2 мм2. Определить ее сопротивление, если удельное сопротивление меди ρ = 0,0175 . м Решение l 50 = 0,00875Ом. Согласно формуле (11.13) R = ρ = 0,0175 ⋅ S 100 Изменение сопротивления с температурой описывается линейным законом: R=R0(1+αt),

(11.14)

где R и Ro – соответственно сопротивления проводника при температуре t и 0°С; α – температурный коэффициент сопротивления (для чистых металлов близкий к 1/273 К-1). Работа электрического тока на участке цепи определяется формулой (11.15): U2 (11.15) A = IUt = I 2 Rt = t R Мощность тока U2 (11.16) P = UI = I 2 R = , [ Bm] . R Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока U2 2 идет на его нагревание dQ = dA = IUdt = I Rdt = dt . Это выражение представляет собой R закон Джоуля-Ленца. Для замкнутой цепи закон Ома имеет вид:

I=

ε

, (11.17) R+r где ε – Э.Д.С. генератора, R – внешнее сопротивление, r – внутреннее сопротивление генератора. Проводники в электрических цепях постоянного тока могут соединяться последовательно и параллельно. При последовательном соединении проводников конец первого проводника соединяется с началом второго и т. д. При этом сила тока I одинакова во всех проводниках, а напряжение U на концах всей цепи равно сумме напряжений на всех последовательно включенных проводниках: U=U1+U2+U3. При последовательном соединении проводников их общее электрическое сопротивление равно сумме электрических сопротивлений всех проводников: RОБЩ=R1+R2+R3 (рис. 11.2).

66


Рис. 11.2. Последовательное соединение проводников При параллельном соединении проводников R1, R2, R3 (рис. 11.3) их начала и концы имеют общие точки подключения к источнику тока. При этом напряжение U на всех проводниках одинаково, а сила тока I в неразветвленной цепи равна сумме сил токов во всех параллельно включенных проводниках.

Рис. 11.3. Параллельное соединение проводников При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи (проводимость), равна сумме величин, обратных сопротивлениям всех 1 1 1 1 1 = + + + ... + параллельно включенных проводников: . R ОБЩ R1 R 2 R3 Rn Пример 11.2. Три проводника сопротивлением 10 Ом, 25 Ом, 50 Ом соединены параллельно и включены в сеть с постоянным напряжением 100 В. Определить общее сопротивление такого соединения и силу тока в нем. Решение 1 1 1 Общее сопротивление составит R ОБЩ = = = = 6,25 Ом. 1 1 1 1 1 1 8 + + + + 50 R1 R 2 R3 10 25 50 U 100 = = 16 А. Сила тока в цепи I = RОБЩ 6,25

11.6. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей Любая точка разветвленной цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. Ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла – отрицательным (при решении задач можно полагать и наоборот): I 2 + I 4 − I1 − I 3 = 0 . 67


Рис. 11.4. Применение 1–го правила Кирхгофа для разветвленной цепи Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: ∑ I i = 0 . i

Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 11.5). Направление обхода выберем по часовой стрелке. Все токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода – отрицательными. Источники ЭДС считаются положительными, если создают ток, направленный в сторону обхода контура.

Рис. 11.5. Применение 2–го правила Кирхгофа для контура Применяя к участкам цепи закон Ома, запишем: I 1 R1 = ϕ A − ϕ B + ε 1 ;    I 2 R2 = ϕ B − ϕ C − ε 2 ;  I R = ϕ −ϕ + ε . 3 3 C A 3 

(11.18)

Складывая почленно эти уравнения, получим выражение для второго правила Кирхгофа: I1R1–I2R2+I3 R3=ε1–ε2+ε3.

(11.19)

В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС εk, 68


встречающихся в этом контуре:

∑ I R = ∑ε i

i

i

k

.

k

(11.20)

11.7. Резисторы в качестве сопротивлений. Классификация и основные параметры Резистор – элемент электронной аппаратуры, предназначенный для создания в электрической цепи заданной величины активного сопротивления. Классифицируются резисторы по постоянству значений сопротивления и по принципу создания резистивного элемента. По постоянству значений сопротивления: а) постоянные, их сопротивление не меняется. В свою очередь постоянные делятся на сопротивления общего применения, прецизионные, высокочастотные, высоковольтные, высокоомные; б) переменные – их сопротивление можно изменять при эксплуатации, выделяют подстроечные, регулировочные, линейные, нелинейные; в) специальные резисторы: варисторы (сопротивление зависит от напряжения и тока), терморезисторы (сопротивление зависит от температуры токопроводящего элемента), фоторезисторы (сопротивление зависит от освещённости), магниторезисторы (характеризуются зависимостью сопротивления от индукции магнитного поля). По принципу создания резистивного элемента различают проволочные, непроволочные, пленочные. Для постоянных резисторов на электрических схемах указывают номинальную мощность (рис. 11.6,а), обозначение переменного резистора приведено на рис. 11.6,б. На рис. 11.6,г приведен терморезистор.

а б в г д Рис. 11.6. Обозначение резисторов на схемах: а – постоянные, б – переменный, в – подстроечный, г – терморезистор, д – фоторезистор Основные параметры резисторов: 1. Номинальное сопротивление Rном. Различают шесть рядов сопротивлений – Е6, Е12, Е24, Е48, Е96, Е192.Число указывает на число номиналов в ряде. 2. Допуск на номинальное сопротивление – это разница между номинальным и действительным значением. Выражается в процентах. Всего существует 11 допусков. 3. Номинальная мощность рассеяния – это мощность, которую может рассеивать резистор в течение длительного времени. 4. Уровень собственных шумов. Различают собственные шумы и шумы скольжения (характерны для переменных резисторов при регулировке). Собственные шумы делятся на тепловые, обусловленные хаотичным движением электронов (имеют непрерывный широкий спектр, их уровень практически не зависит от материала, но зависит от температуры), и токовые, обусловленные дискретной – зернистой структурой резистора. При прохождении тока возникает микропробой, который и является источником шума. Уровень токовых шумов существенно больше тепловых. Шумы измеряются в мкВ/В.

69


5. Температурный коэффициент сопротивления (ТКС) – показатель температурной стабильности. Показывает относительное изменение сопротивления при изменении температуры на один градус. 6. Функциональная характеристика – зависимость сопротивления от угла поворота. Выделяют: А – линейная зависимость, Б – логарифмическая, В – показательная (рис. 11.7).

Рис. 11.7. Функциональная характеристика переменных (подстроечных) резисторов (зависимость сопротивления от угла поворота)

11.8. Работа выхода электронов из металла Носителями тока в металлах являются электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости металлов, созданной немецким физиком П. Друде (1863–1906) и разработанной впоследствии нидерландским физиком X. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории. Как показывает опыт, свободные электроны при обычных температурах практически не покидают металл. Следовательно, в поверхностном слое металла должно быть задерживающее электрическое поле, препятствующее выходу электронов из металла в окружающий вакуум. Работа, которую нужно затратить для удаления электрона из металла в вакуум, называется работой выхода. Укажем две вероятные причины появления работы выхода. 1. Если электрон по какой-то причине удаляется из металла, то в том месте, которое электрон покинул, возникает избыточный положительный заряд и электрон притягивается к индуцированному им самим положительному заряду. 2. Отдельные электроны, покидая металл, удаляются от него на расстояния порядка атомных и создают тем самым над поверхностью металла «электронное облако», плотность которого быстро убывает с расстоянием. Это облако вместе с наружным слоем положительных ионов решетки образует двойной электрический слой, поле которого подобно полю плоского конденсатора. Толщина этого слоя равна нескольким межатомным расстояниям (10-10–10-9 м). Он не создает электрического поля во внешнем пространстве, но препятствует выходу свободных электронов из металла. Таким образом, электрон при вылете из металла должен преодолеть задерживающее его электрическое поле двойного слоя. Разность потенциалов ∆ϕ в этом слое, называемая поверхностным скачком потенциала, определяется работой выхода (А) электрона из металла ∆ϕ = A/e , где е – заряд электрона. Так как вне двойного слоя электрическое поле отсутствует, то потенциал среды равен нулю, а внутри металла потенциал положителен и равен ∆ϕ. Потенциальная энергия свободного электрона внутри металла равна – e∆ϕ и является относительно вакуума отрицательной. Исходя из этого можно считать, что весь 70


объем металла для электронов проводимости представляет потенциальную яму с плоским дном, глубина которой равна работе выхода А. Работа выхода выражается в электрон-вольтах (эВ): 1 эВ равен работе, совершаемой силами поля при перемещении элементарного электрического заряда (заряда, равного заряду электрона) при прохождении им разности потенциалов в 1 В. Так как заряд электрона равен 1,6⋅10-19 Кл, то 1 эВ = 1,6⋅10-19 Дж. Работа выхода зависит от химической природы металлов и от чистоты их поверхности и колеблется в пределах нескольких электрон-вольт. Если сообщить электронам в металлах энергию, необходимую для преодоления работы выхода, то часть электронов может покинуть металл, в результате чего наблюдается явление испускания электронов, или электронной эмиссии. В зависимости от способа сообщения электронам энергии различают термоэлектронную, фотоэлектронную, вторичную электронную и автоэлектронную эмиссии.

XII. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ 12.1. Магнитное поле и его характеристики В пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Магнитное поле действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды [54]. При исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормали к контуру. В качестве положительной нормали принимается направление, связанное с током правилом правого винта (рис. 12.1,а). За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке (рис. 12.1,б) [47].

а б Рис. 12.1. Плоский замкнутый контур Воспользуемся рамкой с током для количественного описания магнитного поля. На рамку с током в магнитном поле действует пара сил, оказывающая на нее ориентирующее действие. Вращающий момент сил равен:

[

]

M = Pm B ,

(12.1)

где Pm – вектор магнитного момента рамки с током; B – вектор магнитной индукции. Для плоского контура с током I: 71


Pm = ISn , рамки.

(12.2)

где S – площадь поверхности контура, n – единичный вектор нормали к поверхности

Отношение Мmах/Рm (Ммах – максимальный вращающий момент) для всех контуров одно и то же, поэтому является характеристикой магнитного поля и называется магнитной индукцией: В = Мmах/Рm.

(12.3)

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Магнитное поле изображается с помощью линий магнитной индукции – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора B . Направление линий магнитной индукции поля проводника с током задается правилом правого винта (рис. 12.2). Магнитное поле макротоков, текущих в проводниках, описывается вектором напряженности H . Вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности соотношением:

B = µ 0 µH ,

(12.4)

где µ0 – магнитная постоянная; µ – магнитная проницаемость среды.

а б Рис. 12.2. Поле прямолинейного проводника с током (а), применение правила правого винта (б)

12.2. Закон Био-Савара-Лапласа Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А (рис. 12.3) индукцию поля dB , записывается в виде:

dB =

µ0 µ I [dl , r ] ⋅ , 4π r3

(12.5)

где dl – вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током; r – радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля; r – модуль радиуса-вектора r .

72


Рис. 12.3. Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током Направление dB совпадает с касательной к линии магнитной индукции и перпендикулярно плоскости, в которой лежат dl и r (по правилу правого винта). Модуль вектора dB определяется выражением: µ µ Idl sin α , dB = 0 ⋅ (12.6) 4π r2 где α – угол между векторами dl и r . Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции. Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности: n

B = ∑ Bi .

(12.7)

i =1

а б Рис. 12.4. Магнитное поле тока, текущего по тонкому прямому проводнику (а); магнитное поле в центре кругового проводника с током (б) Магнитное поле прямого тока (тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины рис. 12.4): µ µ 2I µ 0 µ ⋅ I B= 0 ⋅ = . (12.8) 4π R 2πR 73


Магнитное поле в центре кругового проводника с током: I B = µ0 µ . 2R

(12.9)

12.3. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов Сила dF , с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl проводника на магнитную индукцию B :

[

]

dF = I dl , B .

(12.10)

Направление вектора dF соответствует правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор B , а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток (рис. 12.5,а). Модуль силы Ампера

dF = IBdl sin α ,

(12.11)

где α – угол между векторами dl и B . Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов (рис. 12.5,б).

а б Рис. 12.5. Правило левой руки для определения направления силы Ампера (а), определение силы взаимодействующих двух токов (б) Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dl второго проводника с током I2. Ток I1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитн��й индукции которого представляют собой концентрические окружности [47, 54]. Направление вектора B1 задается правилом правого винта, его модуль равен: µ µ 2I B1 = 0 ⋅ 1 . (12.12) 4π R Направление силы dF1 , с которой поле B1 действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки. Поскольку угол α между элементом тока I2 и вектором B1 прямой, то модуль силы равен dF1=I2B1dl. Подставляя значение для B1, получим µ µ 2I I dF 1 = 0 ⋅ 1 2 dl . (12.13) 4π R Рассуждая аналогично, можно показать, что dF1=dF2. 74


Два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу. Если токи имеют противоположные направления, то между ними действует сила отталкивания. Магнитная постоянная µ0 = 4π·10-7 H/A2 = 4π·10-7 Гн/м, где Генри (Гн) – единица индуктивности. Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Для α = 90˚ закон Ампера можно записать в виде: 1 dF B= ⋅ . (12.14) I dl Единица магнитной индукции – тесла (Тл). 1Тл – магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой в 1Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток в 1А [1Тл=1Н/(А·м)]. В случае вакуума µ=1, поэтому Н=В/µ0. Единица напряженности магнитного поля – ампер на метр (А/м) – напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4π·10-7 Tл.

12.4. Магнитное поле движущегося заряда Любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. __

Поле B точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью υ , определяется законом: µ µ Q[υ ⋅ r ] (12.15) , B= 0 ⋅ 4π r3 где r – радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М (рис. 12.6,а).

а б Рис. 12.6. Магнитное поле движущегося заряда (а), правило левой руки при определении силы Лоренца Вектор B направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы υ и r . Его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от υ к r . Модуль магнитной индукции вычисляется по формуле: µ µ Qυ B = 0 ⋅ 2 sin α . (12.16) 4π r Вектор B в рассматриваемой системе отсчета зависит как от времени, так и от положения точки М наблюдения. Поэтому магнитное поле движущегося заряда имеет относительный характер.

75


12.5. Действие магнитного поля на движущийся заряд Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью υ , называется силой Лоренца и выражается формулой: F = Q[υ ⋅ B ] ,

(12.17)

где B – индукция магнитного поля. Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор B , а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v , то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд (рис. 12.6,б). На отрицательный заряд сила действует в противоположном направлении. Модуль силы Лоренца равен F=Q υ Bsinα,

(12.18)

где α – угол между υ и B . Движение заряженных частиц в магнитном поле. Если заряженная частица движется в магнитном поле вдоль линии магнитной индукции, то угол между векторами υ и B равен 0 или π. В этом случае сила Лоренца равна нулю, т.е. магнитное поле на частицу не действует, и она движется равномерно и прямолинейно. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью υ , перпендикулярной вектору B , то сила Лоренца F = Q[v ⋅ B ] постоянна и нормальна к траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает центростремительное ускорение, заставляя частицу двигаться по окружности с радиусом, определяем из условия QvB=m υ 2/r, откуда

r=

m υ ⋅ . Q B

(12.19) (12.20)

12.6. Эффект Холла Эффект Холла – это возникновение в металле или полупроводнике с током плотностью j, помещенном в магнитное поле B , электрического поля в направлении, перпендикулярном B и j (рис. 12.7). На электроны, движущиеся с права на лево, действует сила Лоренца, которая направлена вверх. Благодаря этому у верхнего края пластины возникает повышенная концентрация электронов, следовательно, он зарядится отрицательно, а у нижнего – их недостаток, он зарядится положительно. Разность потенциалов ∆ϕ определяется формулой (12.21).

76


Рис. 12.7. Возникновение электрического поля в направлении, перпендикулярном B и j

IB IB =R , (12.21) ned d где n – концентрация электронов, В – индукция магнитного поля, R – постоянная 1 Холла R = , зависящая от вещества, d – толщина пластинки. en По измеренному значению R можно: 1) определить концентрацию носителей тока в проводнике при известных характере проводимости и заряде носителей; 2) судить о природе проводимости проводников, поскольку знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда носителей тока. ∆ϕ = U =

12.7. Циркуляция вектора B для магнитного поля в вакууме Циркуляцией вектора B по заданному замкнутому контуру называется интеграл ∫ B dl = ∫ Bl dl , (12.22) L

L

где dl – вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; Вl=Вcosα – составляющая вектора B в направлении касательной к контуру; α – угол между векторами B и dl . Теорема о циркуляции вектора B : циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной µ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: n

∫ B dl = ∫ B dl = µ ∑ I l

L

0

L

k

,

(12.23)

k =1

где n – число проводников с током, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Применяя теорему о циркуляции, можно рассчитать индукцию магнитного поля внутри соленоида длиной l, имеющего N витков, по которым течёт ток. Соленоид – это длинная катушка из проводника, намотанного на цилиндрический каркас. Рассматривая бесконечно длинный соленоид, считаем, что поле сосредоточено внутри него, и полем вне соленоида пренебрегаем. Для нахождения магнитной индукции B выберем замкнутый прямоугольный контур ABCD (рис. 12.8), по которому циркуляция вектора B . 77


∫ B dl = µ NI . l

0

(12.24)

ABCD

Рис. 12.8. К расчету индукции магнитного поля соленоида На участках АВ и DС контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и Bl=0. На участке вне соленоида В=0. На участке DA циркуляция вектора В равна: ∫ Bl dl = Bl = µ 0 NI . (12.25) DA

Отсюда получим выражение для магнитной индукции поля внутри соленоида: B = µ 0 NI / l.

(12.26)

Поле внутри соленоида однородно. Рассчитаем индукцию магнитного поля тороида – кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. Поле сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует. Линии магнитной индукции тороида – это окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выбрав одну из этих окружностей радиусом г, по теореме о циркуляции получим: Вl=B·2πr=µ0NI.

(12.27)

Отсюда магнитная индукция внутри тороида B=µ0NI/(2πr), где N – число витков тороида.

Рис. 12.9. К расчету индукции магнитного поля тороида 78

(12.28)


12.8. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для поля B Потоком вектора магнитной индукции через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

dФB = B dS = Bn dS ,

(12.29)

где Bn=Bcosα – проекция вектора B на направлении нормали к площадке dS; α – угол между векторами B и n ; dS = dSn – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Направление положительной нормали к контуру связывается с током правилом правого винта. Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S равен: Фв = ∫ B dS = ∫ Bn dS. (12.30) S

S

Для однородного поля и плоской перпендикулярной вектору B поверхности ФB=BS. Единица магнитного потока – вебер (Вб). 1 Вб=1Тл·м2. Теорема Гаусса для поля B : поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю: ∫ B dS = ∫ BndS = 0. (12.31) S

S

Линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

12.9. Закон Фарадея. Правило Ленца Закон Фарадея: Какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре Э.Д.С. равна: dФ , εi = − (12.32) dt

где dФ – изменение потока магнитной индукции за время dt. Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток. Согласно закону Фарадея, возникновение Э.Д.С. электромагнитной индукции возможно в случае неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Циркуляция вектора E в этого поля по любому неподвижному контуру L проводника представляет собой Э.Д.С. электромагнитной индукции: ε i = ∫ E B dl = − L

dФ . dt

(12.33)

12.10. Вращение рамки в магнитном поле Явление электромагнитной индукции применяется для преобразования механической энергии в энергию электрического тока. Для этой цели используются генераторы, принцип действия которых можно рассмотреть на примере плоской рамки, вращающейся в однородном магнитном поле. Для рамки, вращающейся в однородном магнитном поле B (рис. 12.10) с постоянной угловой скоростью ω , магнитный поток, сцепленный с рамкой площадью S, в любой момент времени t равен: Ф=BnS=BScosα=Bscosωt,

(12.34)

где Bn – проекция вектора B на направление нормали к площадке dS; α – угол между 79


векторами n и B (угол поворота рамки в момент времени t; начало отсчёта выбрано так, что при t=0 α =0). При вращении рамки в ней будет возникать переменная Э.Д.С. индукции, изменяющаяся по гармоническому закону: dФ εi = − = BSω sin ωt . (12.35) dt

Рис. 12.10. Вращение рамки в магнитном поле При sinωt=1 εi максимальна: εmax=BSω, тогда можно записать εi=εmaxsinωt. Процесс превращения механической энергии в электрическую обратим. Если через рамку, помещённую в магнитном поле, пропустить электрический ток, то на неё будет действовать вращающий момент, и рамка начнёт вращаться. На этом принципе основана работа электродвигателей.

12.11. Вихревые токи В массивных сплошных проводниках, помещённых в переменное магнитное поле, возникают замкнутые в их толще токи, называемые вихревыми токами или токами Фуко. Токи Фуко подчиняются правилу Ленца: их магнитное поле направлено так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока, индуцирующего вихревые токи. Вихревые токи вызывают нагревание проводников. На этом эффекте основаны индукционные печи. Для уменьшения потерь на нагревание якоря генераторов и сердечники трансформаторов изготовляют из тонких пластин, разделённых слоем изолятора таким образом, чтобы вихревые токи были направлены поперёк пластин. В проводах, по которым течёт переменный ток, возникают вихревые токи, направление которых можно определить по правилу Ленца (рис. 12.11).

Рис. 12.11. Возникновение вихревых токов 80


В обоих случаях вихревые токи противодействуют изменению первичного тока внутри проводника и способствуют его изменению вблизи поверхности. Таким образом, ток высокой частоты оказывается распределённым по сечению провода неравномерно, вытесняясь на его поверхность. Это явление получило название скин-эффекта. На применении скин-эффекта основан метод поверхностной закалки металлов.

12.12. Индуктивность контура. Самоиндукция Сцепленный с контуром магнитный поток Ф пропорционален току I в контуре (12.36)

Ф=LI,

где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура. Единица индуктивности – генри (Гн), 1Гн – индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1А равен 1Вб: 1Гн=1Вб/А. Индуктивность соленоида зависит от числа витков N, его длины l, площади S и магнитной проницаемости µ вещества сердечника соленоида [47]: L = µ0 µ

N 2S . l

(12.37)

При изменении силы тока в контуре будет изменяться сцепленный с ним магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться Э.Д.С. самоиндукции. Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, получим, что Э.Д.С. самоиндукции dФ d dL  .  dI εs = − = − ( LI ) = − L + I  (12.38) dt

dt

dt

dt 

Если контур не деформируется, и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L=const, и выражение для εs примет вид: dI ε s = −L . (12.39) dt

Контур, обладая индуктивностью, обладает электрической инертностью, заключающейся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура. Для возрастающего тока dI > 0 , εs<0; для убывающего тока dI < 0 , εs>0. dt

dt

Произведение циклической частоты на индуктивность L называют индуктивным (реактивным) сопротивлением: X L = ωL .

12.13. Токи при размыкании и замыкании цепи При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает Э.Д.С. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, то есть направлены противоположно току источника. Наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи. Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей последовательно включенные источник тока с Э.Д.С. ε, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней Э.Д.С. в цепи течёт постоянный ток (12.40) Io = ε/R. В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнёт уменьшаться, что приведёт к возникновению Э.Д.С. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. 81


dI , dt В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома dI I=εs/R; или IR = − L . dt Разделив переменные, получим dI R = − dt .

ε s = −L

I

L

(12.41)

(12.42) (12.43)

Интегрируя это уравнение по I (от Io до I) и t (от 0 до t), найдем ln(I/I0)= –Rt/L или (12.44) I=Ioe-t/τ, где τ=L/R – постоянная, называемая временем релаксации, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. При замыкании цепи помимо внешней Э.Д.С. ε возникает Э.Д.С. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. dI , dt dI По закону Ома IR=ε+εs или IR = ε − L . dt

ε s = −L

(12.45)

Вводя новую переменную u=IR–ε, преобразуем уравнение к виду du dt =− , (12.46) u τ где τ – время релаксации. В момент замыкания (t=0) сила тока I=0 и u= –ε. Поэтому, интегрируя по u (от – ε до IR–ε) и t (от 0 до t), найдем ln IR − ε = −t / τ , или −ε

I=I0(1–e-t/τ), (12.47) где I0=ε/R – установившийся ток (при t→∞). Таким образом, в процессе отключения источника Э.Д.С. сила тока убывает по экспоненциальному закону и определяется кривой 1, а в процессе включения источника Э.Д.С. нарастание силы тока в цепи определяется кривой 2 (рис. 12.12). Значение Э.Д.С. самоиндукции εs, возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от Ro до R

εs =

R ε ⋅ e − Rt / L . R0

(12.48)

При значительном увеличении сопротивления цепи (R/R0»1), обладающей большой индуктивностью, Э.Д.С. самоиндукции может во много раз превышать ЭДС источника тока, включенного в цепь.

Рис. 12.12. Замыкание (2) и размыкание (1) источника Э.Д.С. на последовательно включенные резистор и катушку индуктивности 82


12.14. Взаимная индукция Рассмотрим два неподвижных контура 1 и 2, расположенных достаточно близко друг от друга (рис. 12.13). Часть потока, пронизывающего контур создаваемого током Ii, пропорционального ему, обозначим через Ф21=L21Ii, где L21 – коэффициент пропорциональности.

Рис. 12.13. Взаимная индукция в двух неподвижных контурах Если ток I1 первого контура изменяется, то в контуре 2 индуцируется ЭДС ε12, которая по закону Фарадея равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф21 созданного током в первом контуре и пронизывающего второй: dФ dI ε i 2 = − 21 = − L21 1 . (12.49) dt dt Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I2 магнитный поток Ф12=L12I2 пронизывает контур 1. Если ток I2, изменяется, то в контуре 1 индуцируется ЭДС dФ dI ε i1 = − 12 = − L12 2 . (12.50) dt dt Явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L12=L21 называются взаимной индуктивностью контуров [54]. Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник (рис. 12.14) Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой с числом витков N1, током I1 и магнитной проницаемостью сердечника µ NI B = µ 0µ 1 1 , (12.51) l

где l – длина сердечника по средней линии.

Рис. 12.14. Взаимная индуктивность двух катушек на общем торроидальном сердечнике 83


Магнитный поток через один виток второй катушки Ф2 = BS = µ 0 µ

Полный магнитный содержащую N2 витков

поток

N1 I1 S. l

(потокосцепление)

(12.52) сквозь

вторичную

обмотку,

N1N 2 SI1 . l

(12.53)

N1 N 2 S = L12 . l

(12.54)

ψ = Ф2 N 2 = µ0 µ

Поток Ψ создаётся током I1, поэтому L21 =

ψ

I2

= µ0 µ

12.15. Трансформаторы напряжения Принцип действия трансформаторов основан на явлении взаимной индукции. Первичная и вторичная обмотки, имеющие соответственно N1 и N2 витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике (рис. 12.15). Концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения с ЭДС ε1, в которой возникает переменный ток I1, создающий локализованный в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток, пронизывающий витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимной индукции, а в первичной – ЭДС самоиндукции.

Рис. 12.15. Принцип действия и устройство трансформатора напряжения Ток I1 первичной обмотки определяется согласно закону Ома: d ε = − ( N Ф) = I R , 1

dt

1

1

1

(12.55)

где R1 – сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I1R1 на сопротивлении R1 мало, поэтому ε1 ≈ N1

dФ . dt

(12.56)

ЭДС взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке d ( N 2 Ф) dФ . ε =− = −N

(12.57)

Сравнивая выражения для ε1и ε2, получим N , ε =− 2ε

(12.58)

2

2

dt

2

N1

1

dt

где знак «минус» показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках 84


противоположны по фазе. Отношение числа витков N2/N1 называется коэффициентом трансформации. Мощности тока в обеих обмотках практически одинаковы: (12.59) ε2I2≈ε1I1, откуда (12.60) ε2/ε1=I1/I2=N2/N1. Если N2/N1>1 – трансформатор повышающий; если N2/N1<1 – трансформатор понижающий. Пример 12.1. В первичной обмотке повышающего трансформатора 100 витков, во вторичной – 1900. Какое напряжение можно получить на выходе вторичной обмотки трансформатора если включить его в сеть с напряжением 120 В? Решение 1900 ⋅120 = 2280 В. Из формулы (12.60) ε2/ε1=N2/N1, найдем ε2=ε1N2/N1= 100

12.16. Энергия магнитного поля Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течёт ток I. При изменении тока на dI магнитный поток, сцепленный с контуром, изменяется на dФ=LdI. Для изменения магнитного потока на величину dФ необходимо совершить работу dA=IdФ=LIdI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна I LI 2 . A = ∫ LIdI = (12.61) 0

2

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром W=LI2/2.

12.62

Контрольные вопросы и вопросы для самоподготовки 1. В чем заключается закон сохранения заряда? 2. Сформулируйте закон Кулона. 3. Какие поля называются электростатическими? 4. Что такое напряженность электростатического поля? В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического 5. поля в вакууме? 6. Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности заряда? 7. Что называется циркуляцией вектора напряженности? 8. Дайте определение потенциала данной точки поля и разности потенциалов. 9. Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности? 10. Как определяется вектор электрического смещения? Что он характеризует? 11. Что называется силой и плотностью тока? 12. Назовите условия возникновения и существования электрического тока. 13. Что такое сторонние силы? Какова их природа? В чем заключается физический смысл электродвижущей силы, действующей в 14. цепи? Напряжения? Разности потенциалов? 15. Какова связь между сопротивлением и проводимостью? 16. Сформулируйте законы Ома и Джоуля-Ленца. 17. Выведите законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. 18. Что называют удельной тепловой мощностью тока? Как формулируются правила Кирхгофа? 19. 20. Как составляются уравнения, выражающие правила Кирхгофа? 85


21. Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током? 22. Что называют индукцией магнитного поля? 23. Что такое линии магнитной индукции? Как определяется их направление? 24. Почему магнитное поле является вихревым? 25. В чем заключается физический смысл закона Био-Савара-Лапласа? 26. Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. 27. Чему равна и как направлена сила, действующая на отрицательный электрический заряд, движущийся в магнитном поле? 28. В чем заключается эффект Холла? 29. В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции? 30. Чему равна работа по перемещению проводника с током и замкнутого контура с током в магнитном поле?

Задачи для самостоятельного решения 1. В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении зарядов. Каждый заряд 1,5 нКл; сторона шестиугольника 3 см. 2. Электрический диполь образован двумя равными по величине и противоположными по знаку зарядами Q1=10-8 Кл и Q2=-10-8 Кл, находящимися на расстоянии 0,5 см друг от друга. Определить напряженность электрического поля в точке, лежащей на перпендикуляре к середине оси диполя на расстоянии 1 м от него. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора U=90 B. 3. Площадь каждой пластины конденсатора S=60 см2, её заряд 1 нКл. На каком расстоянии d друг от друга находятся пластины? 4. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см, радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой приложена разность потенциалов 2,3 кВ. Определить напряженность электрического поля на расстоянии 2 см от оси кабеля. 5. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобретает скорость υ =106 м/с. Расстояние между пластинами d=5,3 мм. Найти разность потенциалов U между пластинами, напряженность Е электрического поля внутри конденсатора и поверхностную плотность заряда σ на пластинах. 6. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S=1 м2, расстояние между ними d=1,5мм. Найти емкость С этого конденсатора. 7. Конденсатор емкостью С=20 мкФ заряжен до разности потенциалов U=100 В. Найти энергию этого конденсатора. 8. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая восприимчивость которого равна 0,08. На пластины конденсатора подана разность потенциалов 4 кВ. Найти поверхностную плотность заряда на пластинах и на диэлектрике. Расстояние между пластинами 5 мм. 9. В цепь постоянного тока с напряжением 220 В включены параллельно 4 одинаковые лампочки. Каким сопротивлением должна обладать каждая лампочка, чтобы сила тока в сети не превышала 5,5 А? 10. Два проводника сопротивлениями 6 Ом и 10 Ом соединены параллельно. При прохождении через них тока в первом проводнике выделяется 40 кДж теплоты. Какое количество теплоты выделяется во втором проводнике? 11. Найти общее сопротивление цепи, если все сопротивления равны R 1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = 10 Ом (рис. В.1).

86


Рис. В.1. К задаче 11 12. Элемент с Э.Д.С. ε =2 В имеет внутреннее сопротивление r=0,5 Ом. Найти падение потенциала Ur внутри элемента при силе тока I=0,25 A. Каково внешнее сопротивление R цепи при этих условиях? Гальванический элемент имеет Э.Д.С. 1,6 В и имеет внутреннее сопротивление 13. 0,5 Ом. Чему равен К.П.Д. элемента при силе тока 2,4 А? 14. Два последовательно соединенных элемента с одинаковыми Э.Д.С. ε 1 = ε 2 = 2 В и внутренними сопротивлениями r1=1 Ом и r2=1,5 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R=0,5 Ом. Найти разность потенциалов U на зажимах каждого элемента. 15. Определить, при каких условиях ток через резистор R1 равен 0. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь (рис. В.2).

Рис. В.2. К задаче 15 Имеется 120-вольтовая электрическая лампочка мощностью Р=40 Вт. Какое 16. добавочное сопротивление R надо включить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормальный накал при напряжении в сети U0= 220 В? Какую длину l нихромовой проволоки диаметром d=0,3 мм надо взять, чтобы получить такое сопротивление? 17. Две лампочки мощностью 40 Вт и 100 Вт с номинальным напряжением 110 В соединяют последовательно и включают в сеть с постоянным напряжением 220 В. Какую мощность потребляет каждая лампочка? 18. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1=2 Ом, а затем на внешнее сопротивление R2=0,5 Ом. Найти Э.Д.С. элемента и его внутреннее сопротивление, если известно, что в каждом из этих случаев мощность, выделяющаяся во внешней цепи, одинакова и равна Р=2,54 Вт. 19. Ток I=20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением S=1,0 мм2, создает в центре кольца напряженность магнитного поля Н=178 А/м. Какая разность потенциалов U приложена к кольцу проволоки, образующей кольцо? 20. Из проволоки длиной l=1 м сделана квадратная рамка. По рамке течет ток I=10 A. Найти напряженность Н магнитного поля в центре рамки. 21. Катушка длиной l=20 см имеет N=400 витков. Площадь поперечного сечения катушки S=9см2. Найти индуктивность L катушки. Как изменится индуктивность катушки, если внутрь катушки ввести железный сердечник? Магнитная проницаемость материала сердечника µ=400. 87


22. Обмотка соленоида состоит из N витков медной проволоки, поперечное сечение которой S= 1 мм2. Длина соленоида l=25 см и его сопротивление R=0,2 Ом. Найти индуктивность соленоида. 23. Между полюсами электромагнита создается однородное магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл. По проводу длиной l=70 см, помещенному перпендикулярно к направлению магнитного поля, течет ток I=70 А. Найти силу F, действующую на провод. 24. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона υ =4·107 м/с. Индукция магнитного поля равна 10-3 Тл. Чему равны тангенциальное и нормальное ускорения электрона в магнитном поле? 25. В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последовательно емкость С, активное сопротивление R и индуктивность L. Найти падение напряжения UR на омическом сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе UC=2UR и падение напряжения на индуктивности UL=3UR.

Г

АКУСТИКА. ФИЗИКА ЗВУКА

XIII. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ 13.1. Общее понятие Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени [2, 17, 41]. Колебания называются свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Гармоническими называются колебания, при которых колеблющиеся величины изменяются во времени по закону синуса или косинуса [47, 54]. Колебания, встречающиеся в природе и технике, имеют характер, близкий к гармоническому, либо их можно представить как наложение (сумму) гармонических колебаний. Гармонические колебания величины S описываются уравнением типа: S=Acos(ω0t+φ), (13.1) где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний; ω0 – круговая частота; φ – начальная фаза колебаний (фаза колебаний в момент времени t=0); (ω0t + φ) – фаза колебаний в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то S может принимать значения от +А до –А. Одинаковые состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебаний, за который фаза колебания получает приращение 2π: ω0(t+T)+φ=(ω0t+φ)+2π, (13.2) 2π T= . (13.3)

ω0

Число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний 1 (13.4) ν= . T Единица частоты – герц (Гц). 1 Гц – частота периодического процесса, при котором за 1 с совершается один цикл процесса. 88


Сравнивая (13.3) и (13.4), получим: (13.5) ω0=2πν. Пример 13.1. Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза

π

. Необходимо записать уравнение этого колебания и найти смещения 4 колеблющейся точки от положения равновесия при t=0, при t=1,5 с. Решение Уравнение колебания записывается в виде S=Аcos(ωt+ϕ). По условию известен период 2π колебаний. Через него можно выразить круговую частоту ω= . Тогда уравнение этого T колебания примет следующий вид

π

2

t+

π

4

). Найдем смещение S при t=0:

2 π π =0,0355 м. При t=1,5 c: S2=0,05cos( 1,5+ )= 0,05cosπ= –0,05 м. 2 4 2 4 Запишем первую и вторую производную по времени от величины S: π dS  = − Aω 0 sin (ω 0 t + ϕ ) = Aω 0 cos ω 0 t + ϕ +  , (13.6) dt 2  d 2S (13.7) = − Aω 02 sin (ω 0 t + ϕ ) = Aω 02 cos(ω 0 t + ϕ + π ) . 2 dt Из выражения (13.7) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний, где S=Acos(ω0t+φ): d 2S (13.8) + ω02 S = 0 . 2 dt Гармонические колебания можно представить проекцией на произвольно выбранную ось вектора амплитуды Ā, отложенного из начала отсчета под углом φ, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω0 вокруг точки начала отсчета (рис. 13.1). S1=0,05cos

π

S=0,05cos(

=0,05

Рис. 13.1. Вектор амплитуды (графическое представление)

13.2. Представление колеблющейся величины комплексным числом Учитывая формулу Эйлера, для комплексных чисел (13.9) eiα=cosα+isinα, i = − 1 – мнимая единица, запишем уравнение гармонического колебания в экспоненциальной форме: [ω 0 t +ϕ ] ~ (13.10) . S = Ae i В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина S равна вещественной [ω t +ϕ ] ~ части комплексного выражения S = Ae i 0 . 89


13.3. Механические гармонические колебания Пусть материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением x=Acos(ω0t+φ), где х – смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени. Скорость υ и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны: π dx  υ = = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ ) = Aω0 cos ω0 t + ϕ +  ; dt 2  (13.11) 2 = Aω0 cos(ω0t + ϕ + π ); d 2x 2 a = 2 = − Aω0 cos(ω0t + ϕ ) =  dt = − xω02 . Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m, следовательно, равна: (13.12) F= –mω02x. Сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена к положению равновесия. Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна: mυ 2 mA 2ω 02 (13.13) EK = = sin 2 (ω 0 t + ϕ ). 2 2 Учитывая, что 2sin2α=1–cos2α, получим: mA 2ω 02 (13.14) (1 − cos 2(ω 0 t + ϕ )) . EK = 4 Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна: x mω 02 x 2 mA 2ω 02 EΠ = − ∫ Fdx = = cos 2 (ω 0 t + ϕ ) (13.15) 2 2 0 или mA 2ω 02 (13.16) (1 + cos 2(ω 0 t + ϕ )) . EΠ = 4 Полная энергия mA 2ω 02 (13.17) . Ε = E K + EΠ = 2 Поскольку упругая сила консервативна, справедлив закон сохранения механической энергии: E=const. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид [54]: - β ⋅t x=A e cos(ω0t+φ), - β ⋅t где β – коэффициент затухания, A e – амплитуда затухающих колебаний. Промежуток времени τ = 1 , в течение которого амплитуда затухающих колебаний

β

уменьшается в е раз, называется временем релаксации. Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина δ , равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T (T – условный период колебаний): A(t) T 1 δ = ln = βT = = , A(t + T) τ N 90


где N – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

13.4. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида: .. 2 (13.18) S +ω0 S=0. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур [47, 54]. Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F= –kx, где k – коэффициент упругости. Уравнение движения маятника: ..

m x = –kx

или

(13.19)

..

k x = 0. (13.20) m Пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону: х=Acos(ω0t+φ) с

x +

m k и периодом Τ = 2π . k m Формула справедлива для упругих колебаний, когда масса пружины мала по сравнению с массой груза. Потенциальная энергия пружинного маятника равна: x x mω02 x 2 kx 2 EΠ = − ∫ Fdx = ∫ mω02 xdx = = , (13.21) 2 2 0 0

циклической частотой ω0 =

где k = mω02 . Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела (рис. 13.2). Момент М вращающей силы отклоненного на угол α из положения равновесия тела можно записать в виде: ..

M=Jε=J α = Fτl= –mglsinα ≈ –mglα, где J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; Fτ= –mglsinα≈–mglα – возвращающая сила (направления Fτ и α всегда противоположны), sinα≈α справедливо для малых углов отклонения маятника.

91


Рис. 13.2. Физический маятник ..

Уравнение М= –mglα запишем в виде J α +mglα=0 или .. mgl α + α =0. J mgl Принимая ω0 = – циклическая частота, получим уравнение J ..

(13.22)

(13.23) α=0, решением которого будет α = α0 сos(ω0t + φ). J 2π J L Период колебаний Τ = , где L = – приведенная длина = 2π = 2π ml mgl g ω0 физического маятника. Точка О' на продолжении прямой ОС (рис. 13.2), отстоящей от оси подвеса на расстояние приведенной длины L, называется центром качания физического маятника. Точки О и О' взаимозаменяемы. Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити и колеблющейся под действием силы тяжести. Приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника (13.24) J=ml2, где l – длина маятника. Математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся масса сосредоточена в центре масс. J Подставив в выражение для физического маятника Τ = 2π момент инерции mgl α +ω0

2

математического маятника J=ml2, получим период колебаний для последнего: Τ = 2π

92

l . g


Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Пример 13.2. Один математический маятник совершил 25 колебаний (n1=25), а второй – 15 колебаний (n1=15) за одно и то же время. Необходимо определить отношение l длин маятников 1 . l2 Решение t  T1 = ;  n1 t  Используя формулу Период одного колебания T = , соответственно  n T = t .  2 n2  l1 T1 = 2π g периода колебаний математического маятника запишем  , отсюда: l T = 2π 2 g  2

13.5 Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:

 x1 = A1 cos(ω0t + ϕ1 ), (13.25)  ( ) x A ω t ϕ = cos + . 2 0 2  2 Так как векторы A1 и A 2 вращаются с одинаковой угловой скоростью ω0, то разность фаз (φ2 – φ1) между ними остается постоянной. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид: (13.25) х=x1+x2=Acos(ω0t+φ), где амплитуда А и начальная фаза φ задаются соотношениями: (13.26) А2=А21+А22+2А1А2cos(φ2–φ1); A sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 tgϕ = 1 . (13.27) A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2

Рис. 13.3. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты Тело, участвующее в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармонические колебания в том же направлении с той же частотой, что и складываемые колебания. 93


Бие²ния – явление, возникающее при наложении двух гармонических колебаний близкой частоты и выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот двух исходных сигналов. Складывая колебания с равными амплитудами и начальными фазами, равными нулю, учитывая, что ∆ω<<ω,  x1 = A cos ωt (13.28)   x 2 = A cos(ω + ∆ω )t , получим ∆ω   x =  2 A cos t  cos ωt. (13.29) 2   Получившееся выражение, являющееся произведением двух колебаний, описывает гармоническое колебание с частотой ω и амплитудой Аб, изменяющейся по периодическому закону (рис. 13.4): ∆ω Aб = 2 A cos t. (13.30) 2 Частота биений равна разности частот складываемых колебаний ωб=∆ω. Период 2π . биений Tб = ∆ω Биения возникают потому, что один из двух сигналов постоянно отстаёт от другого по фазе и в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается усиленным, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга, по мере того как нарастает отставание.

Рис. 13.4. Биения

Пример 13.3. Что будет слышать человек, если на его ухо будут воздействовать две звуковые волны с примерно одинаковой амплитудой и частотами равными: а) 500 и 550 Гц, б) 10 и 11 Гц? Решение Человек будет слышать: а) биения с частотой ν б = ν 2 −ν 1 = 550 − 500 = 50 Гц, б) ничего, т.к. 10 и 11 Гц – это инфразвуковые колебания. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов. Биения звука можно слышать при настройке струнного музыкального инструмента по камертону (стандартный камертон изда��т звук ля 1–ой октавы частотой 440Гц). Если частота струны незначительно отличается от частоты камертона, то слышно, что звук пульсирует – это и есть биения. Струну нужно подтягивать или ослаблять так, чтобы частота биений уменьшалась. При совпадении высоты звука с эталонным биения полностью исчезают. 94


Биения звука также можно услышать при игре на музыкальных инструментах, например пианино или гитаре, когда различной высоты звуки создают интервалы и многозвучия (аккорды). Эффект биений можно использовать для преобразования частоты сигналов. Пример 13.4. Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А1 = 3 см и А2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если колебания происходят в одном направлении. Решение Если колебания происходят в одном направлении, то амплитуда результирующего колебания определится A= A12 + A22 + 2 A1 A2 ⋅ cos(ϕ 2 − ϕ 1) , по условию начальные фазы одинаковы, значит ϕ2–ϕ1=0, а cos0=1. Следовательно, A= A12 + A22 + 2 A1 A2 = ( A1 + A2 ) 2 =А1+А2=7 см. Явления интерференции и биения звуковых волн хорошо иллюстрируются на опыте с помощью трубки Квинке (рис. 13.5). Зуммер создает звук определенной частоты. Звуковые волны распространяются двумя путями по коленам трубки, после чего снова сходятся и дают интерференционные явления. Длину пути, проходимого одной из волн, можно регулировать с помощью подвижной части трубки. Стеклянный наконечник резинового шланга приставляется к уху. Звук будет λ 3λ 5λ отсутствовать при разности длин волн (путей), равной , , , … Наибольшая 2 2 2 громкость будет при 0, λ , 2λ , … [38].

Рис. 13.5. Трубка Квинке

13.6. Упругие волны. 13.6.1. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом. Непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами среда называется сплошной. Основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса вещества. Выделяются следующие типы волн: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Они делятся на продольные – частицы среды колеблются в направлении 95


распространения волны, и поперечные – частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Волновой поверхностью (фронтом волны) называется геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и тоже значение. Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу. Идеальную форму направленного излучения мы имеем только в том случае, если волновой процесс распространяется в одном определённом направлении, например, вдоль оси х. Примером плоской волны может служить распространение звука в трубах небольших (по сравнению с длиной волны λ ) сечений. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис. 13.6).

Рис. 13.6. График волны График волны дает зависимость смещения ξ всех частиц среды от расстояния x до источника колебаний в данный момент времени. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период T: (13.31) λ=υT, где Т=1/ν (ν – частота колебаний). Пример 13.5. Человеческое ухо воспринимает упругие волны в интервале частот от 20 Гц до 20 кГц. Каким длинам волн соответствует этот интервал в воздухе, в воде? Скорость звука в воздухе принять равной 330 м/с, а в воде – 1400 м/с. Решение υ 330 = 0,0165 м. Длина волны на частоте 20 кГц в воздухе: λ1.возд = возд = ν1 20000 υ 330 = 16,5 м. Длина волны на частоте 20 Гц в воздухе: λ2.возд = возд = ν2 20 Искомый интервал составит: ∆λвозд = λ2.возд − λ1.возд = 16,48 м.

υ H O 1400 = = 0,007 м. ν1 20000 υ H O 1400 Длина волны на частоте 20 Гц в воде: λ2.H O = = = 70 м. ν2 20 Тогда искомый интервал составит: ∆λH O = λ2.H O − λ1.H O = 69,993 м.

Длина волны на частоте 20 кГц в воде: λ1.H 2O =

2

2

2

2

2

2

В плоской волне давление и скорость синфазны. Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны. Реальные источники волн всегда имеют конечные размеры (рис. 13.7). Их можно считать точечными, а волны, возбуждаемые ими в однородной изотропной среде – сферическими, если расстояние от источника до рассматриваемых точек среды значительно больше размеров источника. Если 96


это расстояние очень велико, то любые малые участки волновых поверхностей практически можно считать плоскими.

Рис. 13.7. Сферическая волна (площадь фронта S = 4πR 2 )

13.6.2 Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Рассмотрим частицу среды В, находящуюся на расстоянии Х от источника колебаний 0 (рис. 13.6). Колебания частицы среды В будут отставать по времени от колебаний источника на τ, так как для прохождения волной расстояния х требуется время τ = х/ υ , где υ – скорость распространения волны. Уравнение колебаний частиц (ξ – смещение частиц от положения равновесия) имеет вид: ξ (х,t)=A cosω(t–x/ υ ). (13.32) Это и есть уравнение бегущей волны. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид: ξ (х‚t) =A cos[ω(t–x/ υ ) + φo], (13.33) где А – амплитуда волны, ω – циклическая частота, φo – начальная фаза колебаний, [ω(t–x/ υ ) + φo] – фаза плоской волны. Уравнению можно придать вид: (13.34) ξ (х‚t)=A cos(ωt–kx+φo), где k=2π/λ – волновое число. Если волна распространяется вдоль отрицательного направления оси х, то меняется знак перед членом kx. Используя формулу Эйлера, уравнение плоской волны можно записать в виде: (13.35) ξ (х‚t)=Ae i(ω t – k x + φo). Уравнение сферической (гармонической) волны – волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, имеет вид: A ξ (r , t ) = 0 cos(ωt − kr + ϕ 0 ), (13.36) r где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды (радиус-вектор), А0 – физическая величина, численно равная амплитуде волны на единичном расстоянии от ее центра (центр волны – это центр сфер), ϕ0 – начальная фаза колебаний в центре этой волны, т.е. в точке r=0. В случае сферической волны амплитуда колебаний убывает с расстоянием по закону 1/r. Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты: υ = называется дисперсией волн, среда при этом называется диспергирующей. 97

ω k

, то это явление


Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением:

∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ + + = ⋅ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 υ 2 ∂t 2

(13.37)

или

1 ∂ 2ξ ∆ξ = 2 ⋅ 2 , υ ∂t

(13.38)

∂2 ∂2 ∂2 + + – оператор Лапласа. ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Решением уравнения является уравнение любой волны. При распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получает частица, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, то есть в виде волнового пакета. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. Групповой скоростью называется скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. где υ – фазовая скорость, ∆ =

13.7. Фазовая скорость и энергия упругих волн 13.7.1. Фазовая скорость звуковых волн в жидкости или газе γRT Скорость звуковых волн в газах определяется формулой υ = (более подробно M см. п. 14.3). 13.7.2. Фазовая скорость поперечных упругих волн в однородной изотропной среде Фазовая скорость поперечных упругих волн в однородной изотропной среде определяется следующей формулой: G , υ= (13.39)

ρ где G – модуль сдвига среды, ρ – ее плотность. Распространение продольных волн в тонком длинном стержне связано с его продольным растяжением и сжатием. Соответственно фазовая скорость таких волн: Е , υ= (13.40) ρ где Е – модуль Юнга для материала стержня. Скорость распространения поперечных волн вдоль струны (вдоль натянутой тонкой гибкой нити) определяется формулой (14.4).

13.7.3. Объемная плотность энергии Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией [54]. Если υ i – скорость частиц среды, то объемная плотность кинетической энергии среды: 98


dE K 1 = ρυ i2 , (13.41) dV 2 где ρ – плотность среды, dE K – кинетическая энергия всех частиц в малом объеме dV среды, выбранном таким образом, что в его пределах скорость υ i всюду одинакова. Объемная плотность потенциальной энергии упруго деформированной среды: dE 1 ω ρ П = П = ρυ 2 ε 2 , (13.42) dV 2 где dE П – потенциальная энергия однородно деформированного малого участка среды объемом dV , υ – фазовая скорость волны в среде, ε – относительная деформация. Под объемной плотностью энергии упругих волн понимают объемную плотность ω ρ

ωρ К =

механической энергии среды, обусловленную распространением этих волн: 1 ω ρ = ω ρ К + ω ρ П = ρ (υ i2 + υ 2ε 2 ) . 2

(13.43)

13.7.4. Объемная плотность энергии продольной плоской бегущей волны ∂S Если в среде распространяется продольная плоская бегущая волна, то υ i = , где S – ∂t 2 ∂S  υi   ∂S  2 = −  , так что ω ρ К = ω ρ П и ω ρ = ρυ i = ρ   . смещение частиц, и ε = ∂x  ∂t  υ  В каждой точке среды, охваченной волновым движением, ω К и ω П являются одинаковыми функциями времени. Соответственно и ω изменяется с течением времени. Эта закономерность справедлива для любых бегущих волн в упругой среде независимо ни от формы их волновых поверхностей, ни от типа деформации среды. Она вытекает из закона сохранения энергии применительно к процессу распространения колебаний в упругой среде. Для вовлечения в колебательное движение все более и более удаленных от источника волн областей среды необходимо затрачивать энергию, сообщаемую среде источником. Следовательно, распространение упругих волн неразрывно связано с передачей энергии от одних участков среды к другим. Именно поэтому объемная плотность энергии зависит как от координат, так и от времени. Для плоской бегущей синусоидальной волны в непоглощающей среде: 1 ω ρ = ρA 2ω 2 cos 2 (ωt − kx + ϕ 0 ) = ρA 2ω 2 [1 + cos 2(ωt − kx + ϕ 0 )] , (13.44) 2 где А=const – амплитуда волны. В случае расходящейся сферической синусоидальной волны в непоглощающей среде: 2  A0  2 ω ρ = ρ   ω cos 2 (ωt − kr + ϕ 0 ) . (13.45)  r  Среднее за период значение объемной плотности энергии: 1 < ω ρ >= ρA 2ω 2 . (13.46) 2 13.7.5. Интенсивность волны Интенсивностью волны называется модуль среднего значения вектора Умова (вектора __

плотности потока энергии волны ω ⋅ υ ). Интенсивность волны численно равна энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, нормальной к направлению распространения волны. Интенсивность бегущей синусоидальной волны 99


пропорциональна квадрату ее амплитуды. Для плоской и сферической синусоидальных волн: 1 I = υ ⋅ < ω ρ >= ρυω 2 A 2 . 2 Пример 13.6. Интенсивность плоской волны в воздухе равна 10-10 Вт/м2. Необходимо найти амплитуду колебания частиц воздуха для частот ν 1 = 20 Гц, ν 2 = 1000 Гц, ν 3 = 20 кГц. Скорость звука в воздухе принять равной υ зв.возд = 330 м/с, плотность ρ возд = 1,29 кг/м3. Решение 1  2 2 < ω ρ >= 2 ρω A 2I I ρω 2 A 2 1 2I 1 2I ; ; A2 = ; A= ; Ai = . =  2 υ 2 ω ρυ 2πν i ρυ υρω < ω >= I  ρ υ

A1 = A2 =

1

2I

2πν 1

ρυ

1

2I

2πν 2

ρυ

=

1 2 ⋅ 10 −10 = 5,45·10-9 м. 2 ⋅ 3,14 ⋅ 20 1,29 ⋅ 330

=

1 2 ⋅ 10 −10 = 1,1·10-10 м. 2 ⋅ 3,14 ⋅ 1000 1,29 ⋅ 330

1 2 ⋅ 10 −10 A3 = = = 5,45·10-12 м. 3 2πν 3 ρυ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 20 ⋅ 10 1,29 ⋅ 330 Если сферическая волна распространяется в непоглощающей среде, то за единицу времени через любую сферическую поверхность радиуса r, центр которой находится в центре волны, передается одно и то же количество энергии, равное энергии, расходуемой за такое же время источником волны. Таким образом, интенсивность и амплитуда сферической волны убывают по мере удаления от центра волны по законам: i A I(r) = 02 и A(r ) = 0 , r r где i 0 и A0 – физические величины, численно равные интенсивности и амплитуде волны на расстоянии r=1м от центра волны. 1

2I

13.8. Интерференция волн. Стоячие волны Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. Интерференция волн возможна только при выполнении условия когерентности. В 1802 г. Томас Юнг при помощи волновой ванны открыл интерференцию. Такая ванна изображена на рис. 13.8,а [37].

а б Рис. 13.8. Ванна для наблюдения поверхностных волновых полей (а), распространение волн от двух точечных источников (б) Проделаем следующий опыт: в волновой ванне с помощью вибратора с двумя стержнями (механически жестко связанных) создадим два точечных источника волн с одинаковой частотой колебаний (рис. 13.8,б). Наблюдения показывают, что в этом случае в волновой ванне возникает особая картина распространения волн. На водной поверхности выделяются полосы, где колебания отсутствуют (рис. 13.9). Другими словами, волновое поле 100


разделяется интерференционными полосами. Представим теперь, что оба колеблющихся стержня не связаны между собой накрепко, но приводятся в движение двумя вибраторами независимо друг от друга с частотами ν и ν + ∆ν . Тогда интерференционные полосы начнут перемещаться. При этом они достигают в периодической последовательности положения, которые перед этим занимали соседние полосы.

Рис. 13.9. Интерференционная картина Подобное явление можно обнаружить в опытах со звуковыми волнами [25]. Установим два динамических громкоговорителя и подключим их к выходу одного звукового тон-генератора. Перемещаясь на небольшие расстояния в классной комнате, на слух можно обнаружить, что в одних точках пространстве звучание громкое, а в других – тихое. Звуковые волны от двух источников в одних точках пространства усиливают, а в других ослабляют друг друга (рис. 13.10).

Рис. 13.10. Интерференция звуковых волн При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн. Явление интерференции волн не противоречит принципу суперпозиции. В точках с нулевой амплитудой колебаний две встречающиеся волны не «гасят» друг друга, обе они без изменений распространяются далее. Куда исчезает энергия двух волн в местах интерференционных минимумов? Если рассматривать только одно место встречи двух волн, то на такой вопрос нельзя дать правильный ответ. Распространение волн не является совокупностью независимых процессов колебаний в отдельных точках пространства. Сущность волнового процесса заключается в передаче энергии колебаний от одной точки пространства к другой и т. д. При интерференции волн в местах интерференционных минимумов энергия результирующих 101


колебаний действительно меньше суммы энергий двух интерферирующих волн. Зато в местах интерференционных максимумов энергия результирующих колебаний превышает сумму энергий интерферирующих волн ровно на столько, на сколько уменьшилась энергия в местах интерференционных минимумов. При интерференции волн энергия колебаний перераспределяется в пространстве, но при этом закон сохранения энергии строго выполняется [25, 47]. Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S1 и S2, колеблющимися с одинаковой амплитудой Ао и частотой ω и постоянной разностью фаз:

ξ1 =

A0 cos(ωt − kr1 + ϕ1 ), r1

A ξ 2 = 0 cos(ωt − kr2 + ϕ 2 ), r2

(13.47)

где r1 и r2 – расстояния от источников волн до некоторой рассматриваемой точки В, k – волновое число, φ1 и φ2 – начальные фазы обеих накладывающихся сферических волн. Амплитуда результирующей волны в точке В составит: 1  1 2 (13.48) Α 2 = Α 02  2 + 2 + cos[k (r1 − r2 ) − (ϕ1 − ϕ 2 )] . r1 r2 r2  r1  Так как для когерентных источников разность начальных фаз (φ1–φ2)=const, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины ∆=r1– r2, называемой разностью хода волн. В точках, где (13.49) k(r1– r2)–(φ1– φ2)=±2mπ, ( m=0,1,2, ...), наблюдается интерференционный максимум: амплитуда результирующего колебания А=А0 ⁄r1+A0 ⁄ r2. В точках, где (13.50) k(r1–r2)–(φ1–φ2)=±(2m+1)π, ( m=0,1,2,...) наблюдается интерференционный минимум (амплитуда результирующего колебания А=│А0 ⁄r1 – A0 ⁄ r2│, m называется порядком интерференционного максимума или минимума). Условия (13.41) и (13.42) сводятся к тому, что r1–r2 = const. (13.51) Выражение (13.51) представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точках S1 и S2. Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет собой семейство гипербол, отвечающих условию φ1–φ2=0. Между интерференционными максимумами находятся интерференционные минимумы. Стоячие волны – волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид: ξ1 = Α cos(ωt − kx ), (13.52)  ξ 2 = Α cos(ωt + kx ). Сложив эти уравнения и учитывая, что k=2π⁄λ, получим уравнение стоячей волны: 102


ξ = ξ1 + ξ 2 = 2Α cos kx cos ωt = 2Α cos Αст

2πx

λ

cos ωt .

(13.53)

В каждой точке волны происходят колебания той же частоты ω с амплитудой 2πx = 2Α cos , зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

λ

В точках среды, где (13.54) 2πx⁄λ=±mπ, (m=0,1,2,…) амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где (13.55) 2πx⁄λ=±(m+1/2)π, (m=0,1,2,…) амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна, называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда равна нулю, называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Из выражений (13.54) и (13.55) координаты пучностей и узлов:

λ

, (m = 0,1,2,...) , (13.56) 2 1λ  x узл = ± m +  , (m = 0,1,2,...) . (13.57) 2 2  Из формул (13.56) и (13.57) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны λ/2. Расстояние между соседним узлом и пучностью λ/4. Все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но одинаковыми фазами. При переходе через узел множитель 2Асоs(2πx/λ) в уравнении стоячей волны меняет свой знак, поэтому фаза колебания по разные стороны от узла отличается на π, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Образование стоячих волн наблюдается при интерференции бегущей и отраженной волн. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред (рис. 13.11). xп = ±m

Рис. 13.11. Образование пучностей и узлов в стоячих волнах Если отражение происходит от среды менее плотной, то в месте отражения получается пучность (рис. 13.11,а), иначе – узел (рис. 13.11,б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную, и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не 103


происходит, и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами – получается пучность. В случае стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

13.9. Дифракция волн Если уменьшать размеры отверстия в преграде на пути волны, то, чем меньше будут размеры отверстия, тем большие отклонения от прямолинейного направления распространения будут испытывать волны (рис. 13.12). Отклонение направления распространения волн от прямолинейного у границы преграды называется дифракцией волн [25, 47, 54]. Для наблюдения дифракции звуковых волн подключим громкоговорители к выходу звукового генератора и поставим на пути распространения звуковых волн экран из материала, поглощающего звуковые волны. Передвигая за экраном микрофон, можно обнаружить, что звуковые волны регистрируются и за краем экрана. Изменяя частоту звуковых колебаний и тем самым длину звуковых волн, можно установить, что явление дифракции становится более заметным при увеличении длины волны. Дифракция волн происходит при их встрече с преградой любой формы и любых размеров. Обычно при больших по сравнению с длиной волны размерах препятствия или отверстия в преграде дифракция волн мало заметна. Наиболее отчетливо дифракция проявляется при прохождении волн через отверстие с размерами порядка длины волны или при встрече с препятствиями таких же размеров. При достаточно больших расстояниях между источником волн, преградой и местом наблюдения волн дифракционные явления могут иметь место и при больших размерах отверстия или преграды.

Рис. 13.12. Наблюдение дифракции в волновой ванне Для электромагнитных волн также характерно явление дифракции. Именно благодаря дифракции радиоволн возможна устойчивая радиосвязь между удаленными пунктами, разделенными между собой выпуклостью Земли. Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени [25, 47]. Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

104


XIV. ФИЗИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ЗВУКА 14.1. История развития акустики Акустика (от греч. akustikos – слуховой), в узком смысле слова – учение о звуке, т. е. об упругих колебаниях и волнах в газах, жидкостях и твёрдых телах, слышимых человеческим ухом (частоты таких колебаний находятся в диапазоне 16 Гц–20 кГц); в широком смысле – область физики, исследующая упругие колебания и волны от самых низких частот (условно от 0 Гц) до предельно высоких частот 1012–1013 Гц, их взаимодействия с веществом. Акустика – одна из самых древних областей знания, зародившаяся из потребности дать объяснение явлениям слуха и речи и в особенности музыкальным звукам и инструментам. Еще древнегреческий математик и философ Пифагор (6 в. до н. э.) обнаружил связь между высотой тона и длиной струны (трубы), Аристотель (4 в. до н. э.) понимал, что звучащее тело вызывает сжатия и разрежения воздуха. Историю развития акустики, как физической науки, можно разбить на 3 периода. 1) XVII–XVIII вв. – характеризуется исследованиями системы музыкальных тонов, их источников (струны, трубы), скорости распространения звука. Г. Галилей обнаружил, что звучащее тело испытывает колебания и что высота звука зависит от частоты этих колебаний, а интенсивность звука – от их амплитуды. Французский учёный М. Мерсенн, следуя Галилею, уже мог определить число колебаний звучащей струны. М. Мерсенн впервые измерил скорость звука в воздухе. Р. Гук устанавливает на опыте основной закон теории упругости и акустики, а Х. Гюйгенс – важный принцип волнового движения, названный впоследствии его именем. 2) XVIII–XX вв. В этот период акустика развивается как раздел механики. Создаётся общая теория механических колебаний, излучения и распространения упругих волн в среде, разрабатываются методы измерения характеристик звука (звукового давления в среде, импульса, энергии и потока энергии звуковых волн, скорости распространения звука). С работ Ньютона начинается расцвет классической физики. Механика, гидродинамика и теория упругости, теория волн, акустика и оптика развиваются в тесной связи друг с другом. Члены Петербургской Академии наук Л. Эйлер и Д. Бернулли, французские учёные Ж. Д'Аламбер и Ж. Лагранж разрабатывают теорию колебаний струн, стержней и пластинок, объясняют происхождение обертонов. Немецкий учёный Э. Хладни экспериментально исследует формы звуковых колебаний, совершаемых различными звучащими телами – мембранами, пластинами, колоколами. Т. Юнг и О. Френель развивают представления Гюйгенса о распространении волн, создают теорию интерференции и дифракции волн. Х. Доплер устанавливает закон изменения частоты волны при движении источника звука относительно наблюдателя. Огромное значение для физики имело создание методов разложения сложного колебательного процесса на простые составляющие. Математический метод разложения периодически повторяющихся процессов на простые гармонические составляющие был найден французским учёным Фурье. Экспериментально синтез сложного звука из простых составляющих осуществил немецкий учёный Г. Гельмгольц. Подбором камертонов с резонаторами Гельмгольцу удалось искусственно воспроизвести различные гласные. Он исследовал состав музыкальных звуков, объяснил тембр звука характерным для него набором добавочных тонов (гармоник). Этап развития акустики был подытожен классическим трудом «Теория звука» английского физика Рэлея (Дж. Стретт). В 1876 был изобретён телефон (Белл, США), в 1877 – фонограф (Эдисон, США). Н. А. Умов вводит понятие плотности потока энергии для упругих волн. Американский учёный У. Сэбин заложил основы архитектурной акустики. 3) XX в. Развитие акустики в 1–й половине XX в. получило мощный импульс в связи с потребностями военной техники. Задача определения положения и скорости самолёта (звуковая локация в воздухе), подводной лодки (гидролокация), определение места, времени и характера взрыва, глушение шумов самолёта – все эти проблемы требовали более 105


глубокого изучения механизма образования и поглощения звука, распространения звуковых (в частности, ультразвуковых) волн в сложных условиях. Развивается электроакустика, радиотехника и радиовещание. Перед акустикой встал новый круг проблем – преобразование звуковых сигналов в электромагнитные волны и обратно, их усиление, неискажённое воспроизведение. В 1901 был разработан принцип магнитной записи звука, примененный в магнитофонах и звуковом кино. Электронная лампа позволила усиливать чрезвычайно слабые акустические сигналы, преобразованные в электрические. Были разработаны методы радиоакустических измерений, анализа и воспроизведения звука. В 20–х и 30–х гг. много работ было посвящено теории автоколебаний – самоподдерживающихся колебаний системы, связанной с постоянным источником энергии; большой вклад в разработку этой теории внесла школа физиков, возглавлявшаяся Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси. Особый интерес вызвал вопрос о распространении звуковых волн большой интенсивности (например, взрывных волн), работы русских физиков А. А. Эйхенвальда и Н. Н. Андреева в этой области внесли значительный вклад в нелинейную акустику. М. Лайтхилл (Анг��ия, 1952г.) дал общую теорию аэродинамической генерации звука. Н. Н. Андреев и И. Г. Русаков (1934г.), Д. И. Блохинцев (1947г.) разработали основы акустики движущихся сред. Первые успехи в гидроакустике были достигнуты французским физиком П. Ланжевеном (1916г.), применившим ультразвуковые волны для измерения глубины моря и обнаружения подводных лодок. Явление сверхдальнего распространения звука взрыва в море было открыто учёными М. Ивингом, Д. Ворцелем (1944г.) и Л. М. Бреховских, Л. Д. Розенбергом (1946г.). Проблемам звукопоглощения, которые приобрели особую актуальность в связи с развитием архитектурной и строительной акустики, были посвящены исследования С. Н. Ржевкина, Г. Д. Малюжинца и В. В. Фурдуева. Большое внимание было уделено изучению акустических шумов и методам их устранения. Изучение влияния структуры среды на распространение звука в свою очередь создало возможность применения звуковых волн для зондирования среды, в частности атмосферы; это привело к развитию атмосферной акустики. Чрезвычайно большое значение приобретают исследования ультразвука при больших интенсивностях. Ещё в 20–х гг. советский учёный С. Я. Соколов применил ультразвук для дефектоскопии металлов. В Германии Х. О. Кнезер (1933г.) обнаружил явление сильного поглощения и дисперсии ультразвука в многоатомных газах. Позднее дисперсия и аномальное поглощение ультразвука были обнаружены также и в жидкостях. Общая теория этих явлений была дана Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонтовичем (1937г.). Ультразвуковые колебания высокой частоты вызывают также перестройку структуры жидкостей, диссоциацию молекул и многие другие эффекты. На стыке акустики и оптики Мандельштам (1918г., 1926г.) и Л. Бриллюэн (Франция, 1922г.) создали теорию рассеяния света на ультразвуковых волнах в жидкостях и твёрдых телах. Это явление оказалось важным для изучения молекулярной структуры вещества. Огромное значение приобрели исследования гиперзвука (частоты 1 ГГц и выше). Интенсивно исследуются взаимодействия гиперзвуковых волн с электронами в металлах и полупроводниках. В середине XX в. начинается быстрое развитие психофизиологической акустики, вызванное необходимостью разработки методов неискажённой передачи и воспроизведения множества звуковых сигналов по ограниченному числу каналов связи. Эти вопросы акустики входят в круг проблем общей теории информации и связи. Исследовались механизмы образования различных звуков речи, характер их звукового спектра, основные показатели качества речи, воспринимаемой на слух. Созданы приборы видимой речи, дающие видимые изображения различных звуков. Разрабатываются методы кодирования речи и её расшифровки, исследуются механизмы слухового восприятия, ощущения громкости, определения направления прихода звука (венгерский учёный Д. Бекеши). В этой области акустика сомкнулась с физиологией органов чувств и биофизикой. Современную акустику подразделяют на общую, прикладную и психофизиологическую. 106


Общая акустика занимается теоретическим и экспериментальным изучением закономерностей излучения, распространения и приёма упругих колебаний и волн в различных средах и системах; условно её можно разделить на теорию звука, физическую акустику и нелинейную акустику. Теория звука пользуется общими методами, разработанными в теории колебаний и волн. Для колебаний и волн малой амплитуды принимается принцип независимости колебаний и волн (суперпозиции принцип), на основе которого определяют звуковое поле в разных областях пространства и его изменение во времени. На распространение, генерацию и приём упругих волн оказывает влияние огромное число факторов, связанных со свойствами и состоянием среды. Рассмотрением этого занимается физическая акустика. К её задачам относятся, в частности, изучение зависимости скорости и поглощения упругих волн от температуры и вязкости среды и др. факторов. Нелинейная акустика изучает интенсивные звуковые процессы, когда принцип суперпозиции не выполняется и звуковая волна при распространении изменяет свойства среды. Этот раздел акустики, очень сложный в теоретическом отношении, быстро развивается. Прикладная акустика – чрезвычайно обширная область, к которой относится, прежде всего, электроакустика. Сюда же относятся акустические измерения – измерения величин звукового давления, интенсивности звука, спектра частот звукового сигнала и т. д. Архитектурная и строительная акустика занимаются задачами получения хорошей слышимости речи и музыки в закрытых помещениях и снижением уровней шума, а также разработкой звукоизолирующих и звукопоглощающих материалов. Прикладная акустика изучает также шумы и вибрации, разрабатываются способы борьбы с ними. Изучением распространения звука в океане и возникающими при этом явлениями: рефракцией звука, реверберацией при отражении звукового сигнала от поверхности моря и его дна, рассеянием звука на неоднородностях и т. д. занимаются гидроакустика и гидролокация. Атмосферная акустика исследует особенности распространения звука в атмосфере, обусловленные неоднородностью её структуры, и является частью метеорологии. Геоакустика изучает применения звука в инженерной геофизике и геологии. Психофизиологическая акустика занимается изучением звукоизлучающих и звукопринимающих органов человека и животных, проблемами речеобразования, передачи и восприятия речи. Результаты используются в электроакустике, архитектурной акустики, системах передачи речи, теории информации и связи, в музыке, медицине, биофизике и т. п. К её разделам относятся: речь, слух, психологическая акустика, биологическая акустика.

14.2. Физическая природа звука Звук – это колебательный процесс, возникающий в воздухе (или другой упругой среде) под действием каких-либо колеблющихся предметов. Звуковые (акустические) волны – распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16–20000 Гц. Колебания с частотами менее 16–20 Гц, называются инфразвуковыми, а колебания с частотами более 20000 Гц – ультразвуковыми. Эти частоты наш слух не воспринимает [1, 52]. Следует отметить, что одни люди не слышат звуки с частотой и 10 кГц, а другие могут воспринимать звуки с частотой до 25 кГц. Многие животные слышат звуки значительно более высоких частот, чем человек. Собаки улавливают звуковые колебания до 44 кГц, крысы – до 72 кГц, летучие мыши – до 115 кГц. Верхняя граница звукового восприятия в определенной степени зависит от расстояния между ушами. Чем ближе уши, тем более высокие звуки различает животное. Слон, например, ощущает звуковые колебания только до 12 кГц. Ультразвук с частотой более 1 ГГц иногда выделяют в отдельный диапазон и называют гиперзвуком. Частота звуковых колебаний определяет высоту звука. Следует заметить, что люди не одинаково хорошо слышат все частоты звукового диапазона. Так, с возрастом, верхняя граница слышимых частот значительно понижается. В физической акустике и музыке, говоря о высоте тона, пользуются разными шкалами. В физике считают, что тон, например с 107


частотой 131 Гц имеет удвоенную высоту по сравнению с тоном частоты 65.5 Гц. При возрастании частоты от 131 до 262 Гц высота тонов еще раз удваивается. В музыке высота тона определяется только его расположением в нотной системе и соответственно в натуральном звукоряде. В основу европейской музыки положена октавная периодичность. Она основана на том, что два тона, частоты которых соотносятся как 1:2, воспринимаются слухом как родственные, имеющие тенденцию, при одновременном звучании сливаться. В нашем примере нота С0 с частотой 131 Гц на октаву выше ноты С1 (65.5 Гц), и в свою очередь, нота С1 (262 Гц) выше ноты С0 также на октаву. Для музыканта, таким образом, высота тона и в первом и во втором случае возрастает на один и тот же интервал – на одну октаву. Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия (растяжения). В твердых телах звуковые волны могут быть как продольными, так и поперечными, так как твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия (растяжения) и сдвига. Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде со звуковой частотой (например, в струнных инструментах источником звука является струна, соединенная с корпусом инструмента; в духовых трубах – некоторый объем воздуха). Совершая колебания, тело вызывает колебания прилегающих к нему частиц среды с такой же частотой. Давайте кратко рассмотрим звук, производимый вибрирующей струной. Если оттянуть струну, а затем отпустить ее, то последующее движение будет определяться волнами, которые мы возбудили. Эти волны пойдут в обоих направлениях по струне, а затем отразятся от ее концов. Так они будут бегать взад и вперед довольно долго. И сколь бы сложны ни были эти волны, они будут повторяться периодически снова и снова. Период этих повторений равен времени Т, которое требуется волне, чтобы пробежать дважды всю длину струны. Ведь это как раз то время, которое необходимо для того, чтобы любая волна, отразившись от каждого конца, вернулась в начальное ��оложение и продолжала движение в первоначальном направлении. Время, необходимое для того, чтобы волна достигла конца струны в любом направлении, одинаково. Каждая точка струны после целого периода возвращается в свое исходное положение, затем опять отклоняется от него и снова, спустя период, возвращается, и т. д. Возникающий при этом звук тоже должен повторять те же колебания; вот почему мы, тронув струну, получаем музыкальный звук. Практически любое тело может колебаться и, следовательно, служить источником звука. Представим, что струна начинает колебания вниз, при этом она, грубо говоря, «вытесняет» воздух снизу, и там волна начинается с гребня. Но в то же время, опять, грубо говоря, она оставляет сверху пустое пространство, и там волна начинается с впадины. Обе волны имеют в любом направлении разность фаз, практически равную 1800, и почти полностью уничтожаются интерференцией. Это говорит о том, что струна – очень плохой источник излучения. Состояние колебательного движения последовательно передается все к более удаленным от тела частицам среды, т. е. в среде распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источника, и с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды. При прохождении звуковой волны молекулы воздушной среды смещаются. Размах этих колебательных смещений зависит от звукового давления. В соответствии с международной системой единиц СИ единицей звукового давления служит «Паскаль», определяемый как давление, создаваемое силой в 1 Ньютон, воздействующей на 1 кв. метр площади (измерения проводятся в нормальных условиях: при температуре 20° С и атмосферном давлении 760 мм.рт.ст.) (см. п. 5.1). Паскаль связан с другой ранее применявшейся единицей звукового давления – баром, следующим простым соотношением: 1 Па = 10 бар. 108


14.3. Скорость звука Явления, связанные с возникновением и распространением звуковых волн, называются акустическими явлениями. Важным событием в развитии акустики было экспериментальное определение скорости распространения звука. Первые опыты по измерению скорости звука в воздухе были поставлены еще в XVII в. В этих опытах измерялось время t между моментом наблюдения световой вспышки и моментом прихода звука при выстреле из пушки. Скорость распространения света в этих опытах принималась бесконечно большой, поэтому скорость звука определялась по известному расстоянию S до пушки и времени t распространения S звука: υ = . Если говорить в общем, то процесс распространения сжатия или разрежения в t газе происходит в результате столкновений молекул газа, поэтому скорость распространения звука в газе примерно равна скорости теплового движения молекул. Средняя скорость теплового движения молекул уменьшается с понижением температуры газа, поэтому уменьшается с понижением температуры газа и скорость распространения звука. Связь же между атомами и молекулами в жидкостях и твердых телах значительно более жесткая, чем в газах. Поэтому скорость распространения звуковых волн в жидкостях и твердых телах значительно больше скорости звука в газах. Скорость распространения звуковых волн в газах вычисляется по формуле (14.1) [54]. γRT (14.1) υ= , M Дж где R – газовая постоянная, R = 8,31 , М – молярная масса (для воздуха моль ⋅ К C кг М= 29 ⋅ 10 −3 ), γ = p – отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных моль CV давлении и объеме (см. п. 8.3). Абсолютная температура Т связана с международной практической температурой t (градусы Цельсия) по международной практической шкале соотношением T = 273,15 + t . Единицу абсолютной температуры называют Кельвином (К). Температура, равная 0 К, называется абсолютным нулем, ему соответствует t = −273,15 0 C . Комнатной температурой считается температура 290 К. C i+2 γ = P = , (14.2) CV i где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:

i = nпост + nвращ + 2nколеб .

(14.3)

Для молекул с жесткой связью между атомами i совпадает с числом степеней свободы молекулы. Для одноатомной молекулы i=3, для двухатомной с жесткой связью между атомами i=5 (см. п. 8.1), для двухатомной с упругой связью между атомами i=7, с числом атомов 3 и более с жесткой связью между атомами i=6 (табл. 14.1). Таблица 14.1 ЧИСЛО АТОМОВ В γ ГАЗ МОЛЕКУЛЕ Гелий (Не) 1 1,67 Кислород (О2) 2 1,40 Окись углерода (СО) 2 1,40 Пары воды (Н2О) 3 1,33 109


Согласно теории, теплоемкость не должна зависеть от температуры, однако, это оказывается справедливым только в пределах отдельных температурных интервалов. Причем в различных интервалах теплоемкость имеет значения, соответствующие различному числу степеней свободы. Таким образом, число степеней свободы молекулы зависит от температуры. Объяснение такого поведения теплоемкости дается квантовой механикой. Из формулы (14.1) вытекает, что скорость звука в газе не зависит от давления р газа, но возрастает с повышением температуры – скорость звука пропорциональна корню квадратному из температуры и практически не зависит от давления. Чем больше молярная масса газа, тем меньше в нем скорость звука. Например, при Т = 273 К скорость звука в воздухе (М= 29 ⋅10 −3 кг/моль) υ =331 м/с, в водороде при понижении температуры от 300 до 17 К скорость звука уменьшается от 1300 м/с до 320 м/с. Выражение (14.1) соответствует опытным данным. В воде звук распространяется со скоростью 1430 м/с, а в стали – со скоростью 5000 м/с. На рис. 14.1 приведена зависимость скорости звука в воздухе от температуры. Молекулярной массой вещества называется масса вещества, выраженная в атомных единицах массы. Атомная масса показывает во сколько раз масса атома данного элемента больше массы атома изотопа углерода 12С. Например, атомная масса азота составляет 14, т.е. его атом в 14/12 (1,166) раз тяжелее атома углерода. Следует отличать молярную М и молекулярную Mr массу, выраженную в а.е.м. Если молярная масса выражается в кг/моль, то М= Mr ⋅10−3 .

Рис. 14.1. Зависимость скорости звука в воздухе от температуры при атмосферном давлении 101325 Па ( υ зв.возд ≈ 331 + 0,6t )

Пример 14.1. В каком газе при одной и той же температуре скорость звука больше – в азоте (N2) или в углекислом газе (CO2), если колебательные степени молекул не возбуждаются. Во сколько раз? Решение Молекулярная масса N2 определяется как 14+14=28 а.е.м. Молекулярная масса СО2 из периодической системы элементов Д.И. Менделеева 12+16+16=44 а.е.м. Тогда молярная γRT масса: M N 2 = 28 ⋅ 10 −3 кг/моль, M CO2 = 44 ⋅ 10−3 кг/моль. Учитывая, что υ = , найдем γ : M 7 i+2 8 γ N 2 = = 1,4 (2 атома, 5 степеней свободы i=5, γ = ), γ СО2 = = 1,33 (3 атома, 6 степеней 5 i 6 υN 2 1,33 ⋅ 8,31 ⋅ T 1,4 ⋅ 8,31 ⋅ T = 1,28 . В = 20,38 T , υCO2 = = 15,84 T , тогда свободы). υ N 2 = −3 −3 υCO2 28 ⋅ 10 44 ⋅ 10 азоте скорость звука больше ~ в 1,3 раз. 110


Таблица 14.2. Скорость звука в некоторых газах и жидкостях Плотность, Среда Температура, t 0С Скорость звука, м/с кг/м3 Водяной пар 100 0,58 405 Воздух 20 1,2 343 Воздух 0 1,29 331 Гелий 0 0,18 970 Вода пресная 15 999 1430 Вода соленая 15 1027 1500 Степень поглощения звуковой энергии при распространении звуковой волны в жидкостях и газах зависит, с одной стороны, от свойств среды (в частности, в воздухе главным образом сказывается вязкость и в значительно меньшей мере – внутренняя теплопроводность, что приводит к превращению организованного колебательного движения молекул в их хаотическое тепловое движение), а с другой – от частоты звуковых колебаний. Чем выше частота звуковых колебаний, тем больше хаотическая молекулярная скорость молекул в элементе сжимаемого объема, тем большее молекулярное рассеяние претерпевает на своем пути звуковая волна и тем на меньшее расстояние передаются звуковые колебания. Для уяснения явления поглощения звуковых волн можно воспользоваться известным эмпирическим выражением для коэффициента поглощения звуковой волны (звука) α , который характеризует относительную величину поглощаемой звуковой энергии, приходящейся на единицу длины (1 м) распространения звуковой волны в свободной газовой и жидкостной средах, т.е. при отсутствии на пути распространения звуковой волны звукопоглощающих преград: C − CV  ω2  4  η +ξ + k P , α= 3  C P CV  2ρ ⋅υ  3 где ω = 2πν – циклическая частота, рад/c; υ – скорость распространения звуковой волны, м/c; ρ – плотность среды, кг/м3; η – динамическая вязкость жидкости или газа Н ⋅с ; ξ – вторая вязкость (так как ξ <<η , примем (коэффициент внутреннего трения), м2 кал ξ =0); k – коэффициент теплопроводности среды, ; C P и C V – удельные м ⋅ с ⋅ град теплоемкости среды соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме, кал . град ⋅ кг Для воздушной среды указанное уравнение можно записать как α = ν 2 ∆ , где C − CV  (2π ) 2  4  η+k P  = const , т.е. постоянная величина для данной ∆≅ 3  C P CV  2ρ ⋅υ  3 температуры и при равновесном (невозмущенном) состоянии воздушной среды. Например, для температуры 200 С величина ∆ = 1,26 ⋅10 −11 с2/м. Таким образом, коэффициент поглощения звуковой волны в воздушной среде при прочих равных условиях пропорционален квадрату частоты звуковых колебаний и зависит от температуры воздушной невозмущенной среды. Пример 14.2 Рассчитать коэффициент поглощения звуковой волны, если Н ⋅ с кг температуры воздуха t=200C, ν = 54,3 Гц, υ =341 м/c, η = 18,1⋅10−6 ( ), k = 0,6 ⋅10 −2 2 м⋅с м кг кал кал кал , C P = 0,231⋅103 , CV = 0,167 ⋅103 , ρ = 1,29 3 . м ⋅ с ��� град град ⋅ кг град ⋅ кг м 111


м-1.

Решение C − CV (2πν ) 2  4  η +ξ + k P α= 3  C P CV 2ρ ⋅υ  3

 (2 ⋅ 54,3 ⋅ 3,14) 2  4 64  −9  = ⋅ 18,1 ⋅ 10 −6 + 0,6 ⋅ 10 −2 ⋅  ≈ 37 ⋅ 10 3  38577  2 ⋅ 1,29 ⋅ 341  3 

С помощью приведенной аналитической зависимости, варьируя частотой и температурой, можно рассчитать величину α и качественно оценить влияние указанных параметров в отдельности и в различных сочетаниях на относительную величину поглощения звуковой энергии. Как можно видеть, коэффициент поглощения звуковой волны в свободной воздушной среде при низких частотах пренебрежимо мал и его можно не учитывать при практических расчетах в свободной воздушной среде. Так чем же обусловлено затухание звуковой волны (звука) в свободной воздушной среде при низких частотах? Есть еще одна причина – рассеяние звука, которое возникает в результате взаимодействия звуковой волны со встречающимися на ее пути многочисленными препятствиями (встречные потоки воздуха, завихрения, ветер). В результате столкновения с этими препятствиями звуковая волна как бы «рассыпается» на множество волн, которые распространяются во всевозможных направлениях. Таким образом, при распространении звука в атмосфере необходимо учитывать целый ряд факторов: скорость и направление ветра, влажность воздуха, молекулярную структуру газовой среды, явление преломления и отражения звука на границе двух сред, конвекцию, вследствие которой в воздухе образуются местные уплотнения и разрежения. В звукоизоляционных пористых материалах главную роль играет поглощение звука воздухом, заключенным в порах. Этим объясняются хорошие звукоизоляционные свойства пенобетона.

14.4. Звук и музыкальные инструменты Музыкальная акустика – раздел музыковедения и общей акустики, изучающий объективные физические закономерности музыки в связи с ее восприятием и исполнением. Музыкальная акустика исследует: соотношения высот и громкость музыкальных звуков; явление консонанса и диссонанса; музыкальные строи; музыкальный слух; человеческий голос; музыкальные инструменты. Рассмотрим теперь некоторые простые источники звука, в частности музыкальные инструменты [29]. В музыкальных инструментах источник звука приводится в состояние колебаний, когда производят удары, перебирают струны, водят по струнам смычком или вдувают воздух. При этом возникают стоячие волны, и тело колеблется с его собственной резонансной частотой. У барабана колеблется натянутая мембрана. Ксилофоны и металлофоны имеют деревянные или металлические пластинки, которые можно заставить колебаться. В колоколах, цимбалах и гонгах также находят применение колебания металлических частей. Наиболее широко распространенные инструменты используют колеблющиеся струны. К ним относятся скрипка, гитара и фортепиано. Не менее распространены и другие инструменты, в которых возникают колебания столба воздуха, например флейта, труба и орган. В случае свободных колебаний струн, стержней и столбов газа в них устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т. е. могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами колебаний соответствующей колебательной системы. На жестко закрепленных концах струн или стержней располагаются узлы смещения (пучности деформации), а на свободных концах стержней – пучности смещения (узлы деформации). При колебаниях цилиндрического столба газа в трубе у закрытого конца трубы располагается пучность давления, а у открытого – узел давления. Если l – длина струны, стержня или столба газа, υ – фазовая скорость волны, 112


а λ – ее длина, то для струн или стержней, закрепленных на обоих концах, и столбов газа в трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине l укладывается целое mλ , где m=1,2,3,…n. Собственные частоты число длин стоячей волны l = m ⋅ λ ст = 2 mυ колебаний таких систем: ν = . 2l Когда музыкант прижимает струну пальцем к грифу, скажем, на гитаре или скрипке, эффективная длина струны сокращается, поэтому возникает более высокий звук, поскольку длина волны основного колебания укорачивается. Все струны гитары или скрипки имеют одинаковую длину. Они звучат с разной высотой тона, так как имеют различную массу, приходящуюся на единицу длины (линейную плотность), которая влияет на скорость (натяжение струн может быть также различным – изменяя натяжение, можно настроить инструмент). Таким образом, скорость распространения волны по более массивной струне меньше, и, следовательно, при той же длине волны соответствующая частота будет меньше. В фортепиано и других клавишных инструментах каждая струна отличается по длине от остальных. Для извлечения более низких нот струны должны быть не только массивнее, но и длиннее [19]. Следует отметить, что скорость распространения поперечных волн вдоль струны определяется формулой (14.4), а частота основного тона струны формулой (14.5). F , υ= (14.4) ρS где F – сила натяжения, S – площадь поперечного сечения струны, ρ – плотность материала струны. 1 F , ν0 = (14.5) 2l ρS где l – длина струны. Пример 14.3. Найти собственные частоты колебаний стальной струны длиной l=50 см и диаметра d=1 мм, если сила натяжения струны F=0,1 Н. Плотность стали ρ = 7,8 г/см3. Решение Собственные частоты колебаний: ν = ν 0 n , где n=1, 2, 3, 4, … Частоту основного тона струны найдем из формулы (14.5): F 1 F 1 1 4F 1 F ν0 = = = = ≈ 4 Гц. 2 2 2l ρS 2l ρπ (d / 2) 2l ρπd ld ρπ Пример 14.4. Самая высокая нота фортепиано имеет звук с частотой, превосходящей в 150 раз частоту звука самой низкой ноты. Струна для извлечения самой высокой ноты имеет длину 5,0 см. Допустим, что струна для извлечения самой низкой ноты имеет ту же массу, приходящуюся на единицу длины, и обладает тем же натяжением. Какова длина этой струны? Решение Скорость распространения звуковых колебаний в каждой струне будет одинакова, l ν υ поэтому частота обратно пропорциональна длине l струны ν 0 = . Таким образом Н = В , 2l lВ ν Н где индексы «н» и «в» соответствуют самой низкой и самой высокой нотам. Отсюда находим

lН = lB ⋅

νВ = 7,5 м. Для фортепиано это слишком большая длина, и, чтобы выйти из νН

положения, для извлечения низких нот струны делают толще (рис. 14.2), так что даже на больших роялях длина струн не превышает 3 м. 113


а б Рис. 14.2. Увеличение толщины струн фортепиано

Рис. 14.3. Басовые струны фортепиано с навивкой и двойной навивкой В пределах комплекта струн натяжение значительно изменяется от струны к струне. Если материал всех 3-х струн один, то третья струна должна иметь значительно меньшее натяжение, чем первая (наример диаметр первой металлической струны классической гитары ~ 200 мкм). Басовые струны делают с оплеткой (навивкой) из металлической нити, что добавляет вес (устраняя дребезжание), не увеличивая при этом сильно жесткость. Различные типы навивки струн приведены на рис. 14.4.

а

б

в Рис. 14.4. Различные типы навивки струн: с плоской навивкой (а); с круглой навивкой (б); с полукруглой навивкой (в) Звук струнных инструментов будет очень тихим, если извлекать его только при помощи колеблющихся струн, поскольку струны просто слишком тонки для того, чтобы сжимать и разрежать большие объемы воздуха. Поэтому в струнных инструментах применяется своего рода механический усилитель, а именно дека, усилительное действие которой основано на том, что в контакт с воздухом приводится значительно большая поверхность. При колебаниях струн дека тоже колеблется. Поскольку площадь деки, 114


соприкасающаяся с воздухом, значительно больше площади струны, она может создавать значительно более интенсивную звуковую волну и таким образом усиливать звук [19, 37]. В электрогитаре дека такого значения не имеет, поскольку колебания ее струн усиливаются при помощи электрических устройств. Духовые инструменты (деревянные, медные, органы) создают звук за счет колебаний стоячих волн в воздушном столбе внутри трубы. Стоячие волны могут возникать в воздухе, находящемся в любой полости, однако, за исключением полостей простой формы (например, узкой длинной трубы), выполнить расчет частот этих волн очень трудно. Так обстоит дело с большинством духовых инструментов. При игре на некоторых инструментах музыкант, вибрируя языком или губами, вызывает колебания в воздушном столбе. В других инструментах поток воздуха направляется на край отверстия или мундштук, что приводит к возникновению турбулентности, вследствие которой происходят колебания. Под действием возмущения (независимо от его источника) внутри трубы музыкального инструмента возникают колебания со множеством частот, однако из них остается лишь несколько устойчивых частот, соответствующих стоячим волнам. Когда мы рассматриваем струну, закрепленную на обоих концах, то на обоих ее концах стоячие волны имеют узлы. По всей длине струны образуется одна или более пучностей (точки, где амплитуда колебаний максимальна). Каждая пара пучностей также разделена узлом (рис. 14.5) [19].

Рис. 14.5. Образование стоячих волн в струне Стоячая волна, имеющая наименьшую частоту, соответствует единственной пучности и называется основной частотой (рис. 14.6). Стоячие волны с более высокими частотами называются гармониками. Как правило, первой гармоникой называют основную частоту, вторая гармоника имеет частоту, равную удвоенной основной, и т.д.

115


Рис. 14.6. Возбуждение струны (а), стоячие волны, соответствующие резонансным частотам (б)

Пример 14.5. Рояльная струна имеет длину 1,10 м и массу 9,0 г. С какой силой должна быть натянута струна, чтобы основная частота (частота основного тона) была равна 131 Гц? Чему равны частоты первых четырех гармоник? Решение Длина волны основной моды равна λ =2L=2,20 м. При этом скорость бегущей m 0,009 волны υ = λ ⋅ν = 2,20 ⋅131 = 288 м/с. Сила натяжения струны F = ⋅ υ 2 = ⋅ 2882 = 679 L 1,1 Н. Частоты второй, третьей и четвертой гармоник в 2, 3 и 4 раза выше основной частоты и равны соответственно 262, 393 и 524 Гц. Аналогичная ситуация имеет место и для столба воздуха, однако нужно помнить, что в этом случае колеблется сам воздух. Так, воздух в закрытом конце трубы должен будет образовывать узел (смещения), поскольку в этом месте воздух не может двигаться свободно. При этом на открытом конце трубы будет образовываться пучность, поскольку там воздух может двигаться свободно. Внутри трубы частицы воздуха колеблются в виде продольных стоячих волн. Возможные типы, или моды, колебаний для трубы, открытой с обеих сторон (называемой открытой трубой), и для трубы, открытой с одной стороны и закрытой с другой (так называемая закрытая труба), изображены графически на рис. 14.7 [19]. Графики показывают амплитуду смещения колеблющихся частиц воздуха внутри труб. Пучности не возникают в точности у открытых концов трубы, их положение зависит от диаметра трубы. Если диаметр трубы мал по сравнению с ее длиной (что обычно имеет место), то пучности возникают очень близко к концу трубы, что и показано на рисунке (на положение пучности влияют также и другие факторы). В закрытой трубе (рис. 14.7,б) на ее закрытом конце всегда возникает узел смещений, а на открытом конце – пучность. Поскольку расстояние между узлом и ближайшей пучностью равно λ /4, на основной частоте колебаний внутри трубы будет умещаться только четверть длины волны: L= λ /4. Таким образом, основная частота равна ν 1 = υ /4L, т. е. 116


половине основной частоты в открытой трубе той же длины. Существует и другое отличие, как видно из рис. 14.7,б, в закрытой трубе имеются только нечетные гармоники, т.е. частоты обертонов равны основной частоте, умноженной на 3, 5, 7, .... Звуковая волна, частота которой равна частоте основной волны, умноженной на 2, 4, ... , не может иметь узел на одном конце и пучность на другом, а, значит, стоячие волны такой частоты в закрытой трубе не могут существовать. В органах применяются как открытые, так и закрытые трубы. Звуки различной высоты извлекаются из органа посредством различных труб, длина которых меняется от нескольких сантиметров до 5 м и более. Другие духовые музыкальные инструменты действуют либо как открытая труба, либо как закрытая. Например, флейта представляет собой открытую трубу, поскольку она открыта не только с той стороны, с которой в нее дует музыкант, но также и с противоположной.

а

б Рис. 14.7. Моды колебаний (стоячие волны) для открытой трубы (а) и закрытой трубы (б) 117


Звуки различной высоты получают при игре на флейте и многих других инструментах, укорачивая длину трубы, т. е. открывая отверстия по ее длине. В трубе, напротив, нажатие на клапаны увеличивает длину столба воздуха. Во всех этих инструментах увеличение длины колеблющегося воздушного столба соответствует понижению частоты звука. Графики на рис. 14.7 показывают смещение частиц воздуха в стоячих волнах (давление будет отставать по фазе на 900 от смещения, т.е. на открытом конце трубы будет возникать узел давления, что понятно, поскольку на открытом конце труба соседствует с атмосферой, а пучности давления будут возникать на закрытом конце трубы). Пример 14.6. Чему равны основные частоты и первые три обертона трубы органа длиной 26 см при температуре 20 °С, если она а) открыта; б) закрыта? Решение При температуре 20°С скорость звука в воздухе равна 343 м/с, тогда: υ 343 а) для открытой трубы основная частота равна ν 1 = = = 660 Гц, первые 3 2 L 2(0,26) обертона имеют частоты 1320, 1980, 2640 Гц; υ 343 б) ν 1 = = = 330 Гц. В этом случае будут присутствовать только нечетные 4 L 4(0,26) гармоники, так что частоты первых трех обертонов равны соответственно 990, 1650 и 2310 Гц. Пример 14.7. Флейта устроена таким образом, что при всех закрытых отверстиях ее звук соответствует ноте «до» первой октавы (264 Гц) в качестве основной частоты. Определите приближенно, чему равно расстояние от мундштука до конца флейты (это расстояние можно определить весьма приближенно, поскольку пучность не возникает точно в мундштуке). Температура воздуха равна 20°С. Решение Скорость звука в воздухе при температуре 20°С равна 343 м/с. Тогда основная частота

ν 1 связана с длиной колеблющегося столба воздуха L соотношением ν 1 =

υ

. Отсюда мы 2L 343 υ = = 0,650 м. находим, что расстояние от мундштука до конца флейты равно L = 2ν 1 2 ⋅ 264

14.5. Характеристики звука. Динамический диапазон слуха Объективные характеристики – это параметры звуковой волны, которые задает источник звука (частота, интенсивность, акустический спектр). Субъективные характеристики – это параметры звукового ощущения, которое возникает у человека при воздействии звуковых волн - высота тона, громкость звука, тембр (табл. 14.3). Таблица 14.3. Объективные и субъективные характеристики звука Объективные параметры звука Субъективные характеристики звука 1. Интенсивность 1. Громкость звука 2. Частота 2. Высота тона 3. Спектр 3. Тембр («качество») 14.5.1. Громкость Громкостью называют субъективное качество, определяющее силу слухового ощущения, вызываемого звуком у слушателя. Громкость не может быть определена только величиной силы звука, так как она зависит от частотного состава звукового сигнала, от условий его восприятия и длительности воздействия. В акустике для количественной оценки громкости применяют метод субъективного сравнения измеряемого звука с эталонным, в 118


качестве которого применяется синусоидальный тон частоты 1кГц. В процессе сравнения уровень эталонного тона изменяют до тех пор, пока эталонный и измеряемый звуки станут казаться (восприниматься) равно-громкими [3, 30].

14.5.2. Высота и тембр звука Звуковые колебания, происходящие по гармоническому закону, воспринимаются человеком как определенный музыкальный тон. Колебания высокой частоты воспринимаются как звуки высокого тона, звуки низкой частоты – как звуки низкого тона. Звуковые колебания, не подчиняющиеся гармоническому закону, воспринимаются человеком как сложный звук, обладающий тембром. На рис. 14.8 показано образование сложного звука при суммировании гармонических тонов, на рис. 14.9 – образование меандра, а также колебания, полученные в результате сложения 2-х гармонических тонов при совпадении и смещении начальных фаз.

Рис. 14.8. Образование (синтез) сложного звука при суммировании простых тонов с частотами ν 1 , ν 2 , ν 3

а

б 119


в г Рис. 14.9. Образование меандра (а); колебание, полученное в результате сложения 2–х гармоник при совпадении начальных фаз (б); колебание, полученное в результате сложения 2–х гармоник при смещении начальных фаз на 1800 (в); резонатор Гельмгольца (г) Натуральные звуки, с которыми мы сталкиваемся в жизни, практически никогда не бывают «чистыми» синусоидальными тонами, а являются созвучиями. Последнее означает, что источник вместе с основным колебанием излучает волны с частотами в 2, 3, 4, 5 и т.д. раз большими основной частоты. По принятой в музыкально акустике терминологии эти колебания называются, соответственно, основным тоном и обертонами: 1–м, 2–м, 3–м, 4–м и т.д. В физике используется иная терминология: основной тон называют 1–й гармоникой, а обертоны называют высшими гармониками 2–й, 3–й, 4–й и т.д. по порядку. Основной тон определяет высоту звука, обертоны, накладываясь в определенных соотношениях, придают звуку специфическую окраску – тембр. Можно сказать, что тембр определяется величиной амплитуд отдельных гармоник (тембр зависит от числа высших гармоник и отношения их амплитуд к амплитуде основной гармоники и не зависит от фаз высших гармоник). Благодаря наличию гармоник, частотный спектр человеческого голоса и музыкальных инструментов значительно шире, чем их основной диапазон. Если на фортепиано, а затем на гобое берут ноту одинаковой громкости и одной высоты (допустим, «до» первой октавы), получившиеся звуки будут явственно различаться. Отличать звук одного инструмента от другого нам помогает качество звука (тембр или тональная окраска звука). У различных музыкальных инструментов относительные амплитуды разных обертонов оказываются различными. Способ игры на музыкальном инструменте существенно влияет на качество звука. Например, перебирая струны скрипки, мы получим совсем иной звук, чем тогда, когда мы водим по струнам смычком. Спектр звука в самом начале (или в конце) звучания ноты (например, в момент удара молоточка по струне фортепиано) может значительно отличаться от спектра звука при дальнейшем звучании ноты. Это также влияет на восприятие качества звучания инструмента. При разговорной речи форма рта определяет частоты собственных гармоник колебаний звука в нем. Некоторые из этих гармоник возбуждаются звуковыми волнами от голосовых связок. Таким способом происходит усиление одних гармоник по сравнению с другими. Когда мы меняем форму рта, мы даем преимущество гармоникам одних частот над другими. Благодаря этому эффекту, например, имеется разница между звуком «о–о–о» и звуком «а–а–а» (см. п. 17.1) [37]. Непосредственный анализ сложного звука может быть осуществлен с помощью набора акустических резонаторов Гельмгольца. Резонаторы Гельмгольца представляют собой сосуды шаровой формы с двумя отверстиями: широким, которое направляется в 120


сторону источника звука, и узким, которое помещают у входа в ушной слуховой проход, ведущий к барабанной перепонке (рис. 14.9,г). В зависимости от объема резонатора заключенный в нем воздух резонирует тону определенной высоты. Если в сложном звуке этот тон имеется, то ухо слышит звучание в резонаторе, которое продолжается некоторое время и после прекращения излучения звука его источником. Имея набор резонаторов, можно установить, какие гармоники сопутствуют основному тону.

14.5.3. Интенсивность (сила) звука Чистые тоны субъективно воспринимаются громкими или тихими в зависимости от силы (интенсивности) звука. Интенсивность звука (I) – величина, определяемая средней по времени энергией (W), переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны [52, 54]:

I=

W , [Вт/м2]. St

(14.6)

S – площадь площадки. Интенсивность звука связана со звуковым давлением квадратичной зависимостью P2 (для плоской волны I = , произведение ρ ⋅ υ носит название удельного акустического 2 ρυ сопротивления среды). Так, рост звукового давления в 2 раза влечет увеличение силы звука в 4 раза, при росте звукового давления в 3 раза сила звука возрастает в 9 раз и т.д. Измеряют силу звука в Вт/м2. Пример 14.8. Определим среднюю силу, действующую на барабанную перепонку человека площадью 66 мм2 для: 1) I 0 = 10 −12 Вт/м2, 2) I = 10 Вт/м2. Плотность воздуха примем равной 1,29 кг/м3. Решение  F = P ⋅ S , F = S ⋅ 2 Iρυ . F1 = S ⋅ 2 I 0 ρυ = 66 ⋅ 10 −6 2 ⋅ 10 −12 ⋅ 1,29 ⋅ 330 = 10 −9 Н=1 нН.   P = 2 Iρυ F2 = S ⋅ 2 Iρυ = 66 ⋅ 10 −6 2 ⋅ 10 ⋅ 1,29 ⋅ 330 = 6,08 ⋅ 10 −3 Н=6 мН. Энергия, излучаемая точечным источником звуковых волн, распространяется равномерно во все стороны только в среде однородной, изотропной и неподвижной по отношению к источнику звука. Если звук не ослабляется поглощением в среде, то сила звука будет обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника звука, так как излучаемая энергия будет равномерно распределяться по сферическим поверхностям волнового фронта (см. п. 13.6.1). На расстоянии R от источника звука, мощность которого Р, сила звука будет [19]: P I= . (14.7) 4πR 2 Человеческий слух по восприятию звуков разной силы ограничен. Человек начинает слышать при силе звука равной некоторой величине, называемой порогом слышимости (или слуховым порогом). Более слабые звуки слухового ощущения не вызывают. При увеличении силы звука достигается нормальная слышимость, а затем при еще больших амплитудах звуковых колебаний к воспринимаемому звуку добавляется осязаемое ощущение давления, и, наконец, при дальнейшем росте силы звука раздражение органа слуха становится болезненным. Так называемый болевой порог ограничивает область слышимости при больших уровнях интенсивности. Чувствительность человеческого уха зависит от частоты приходящего сигнала, поэтому уровень порога слышимости для разных частот различный. На рис. 14.10 изображены значения силы звука и соответствующие им звуковые давления, при которых звуковые сигналы с различными частотами становятся едва 121


слышимыми. На этом же рисунке обозначен и болевой порог. Человеческое ухо наиболее чувствительно к частотам от 1000 до 5000 Гц. Порог слышимости на частоте 1 кГц соответствует силе звука 10 −12 Вт/м2 (что соответствует звуковому давлению 2×10-5 Па).

Рис. 14.10. Области слышимости: сплошная линия – порог слышимости, штриховая – болевой порог; светло-серая – область музыкальных звуков, темносерая – речевых При смещении из области оптимальной слышимости в сторону низких и высоких звуковых частот чувствительность человеческого уха резко падает. Это видно по поведению кривой порога слышимости вблизи краев диапазона слышимости. А вот болевой порог от частоты зависит слабо. Звуковое давление, вызывающее у человека болевое ощущение, приблизительно равно 20 Па. Согласно психофизическому закону Вебера–Фехнера слух одинаково оценивает равные относительные изменения силы звука. Другими словами, изменение громкости кажется человеку одинаковым, если сила звука изменилась в одно и то же число раз, при этом восприятие не зависит от абсолютного уровня силы звука. Так двукратный рост уровня тихого и громкого звука воспринимаются одинаково, хотя абсолютные приращения звукового давления существенно различны. Итак, наряду со способностью различать звуки, человеческое ухо хорошо реагирует и на очень малые изменения уровней. Это объясняется логарифмическим законом восприятия. Наши ощущения изменений громкости пропорциональны не изменениям силы звука, а логарифму этих величин I  L = C ⋅ lg 2  (14.8)  I1  где L – воспринимаемое изменение громкости, I1, I2 – сила звука соответственно до и после его изменения, С – коэффициент пропорциональности, lg – десятичный логарифм. Уровень громкости звука – относительная величина, которая выражается в фонах и численно равна уровню звукового давления (в децибелах – дБ), создаваемого синусоидальным тоном частотой 1 кГц равногромким данному звуку. Например, если сила звука увеличится в 100 раз ( I 2 = 100 ⋅ I 1 ), то субъективное ощущение громкости изменится пропорционально 2 (при С=1), т.к. lg(100)=2; если это изменение – 1000, то громкость возрастет в 3 раза: lg(1000)=3. Принято измерять увеличение или уменьшение силы звука в специальных логарифмических единицах – «белах» [Б]: I  L = lg 2  , [Б ] . (14.9)  I1  Небольшие изменения звуковых уровней измеряют в долях Бела. На практике в основном используется единица измерения, равная десятой части Бела, т.е. децибел (дБ). 122


Изменение уровня силы звука, выраженное в дБ, равно численному значению десятичного логарифма отношения сравниваемых уровней, умноженному на 10 (С=10): I  L = 10 ⋅ lg 2  , [дБ ]. (14.10)  I1  Усиление звука выражается в децибелах положительным числом, а уменьшение (ослабление) – отрицательным. Оценка изменений интенсивности звука в логарифмических единицах удобна еще и потому, что она дает возможность весь слышимый диапазон звуковых колебаний изобразить графически. Действительно, разместить на чертеже в линейном масштабе изменения уровня невозможно. Если при вычислениях за исходные данные берется звуковое давление, то следует использовать формулу (14.11):  P2  P  L = 10 ⋅ lg 22  = 20 ⋅ lg 2  , [дБ ] . (14.11)  P1   P1  При решении практических задач часто бывает необходимо выразить уровень звука в децибелах относительно уровня, принятого за нулевой, или, как говорят в таких случаях, определить абсолютную величину уровня. При этом за нулевой уровень звукового давления принимают величину, равную Р0=2×10-5 Па ( I 0 = 10 −12 Вт/м2). Тогда если звук лежит на пороге слышимости, его уровень равен 0 дБ (т.к. lg(l)=0). Пример 14.9. Уровень громкости звука от реактивного самолета на расстоянии R1=30 м от него равен 140 дБ. Каков уровень громкости на расстоянии от него R2=300 м? Отражением от земли пренебречь. Решение  I Уровень громкости звука определяется формулой L = 10 ⋅ lg  , подставив значения,  I0 

 I   I  найдем интенсивность на расстоянии 30 м от самолета: 140 = 10 ⋅ lg 30-12  , 14 = lg 30-12  .  10   10  I Откуда 1014 = 30-12 и I 30 = 10 2 Вт/м2. Рассматривая на расстоянии 30 м самолет как точечный 10 2 источник звуковых волн, по формуле 14.7 найдем его мощность P = I 30 ⋅ 4πR1 ,

P = 102 ⋅ 4π ⋅ 302 = 11,3 ⋅105 I 300 =

Вт.

Вычислим

интенсивность

на

расстоянии

300

м:

5

P 11,3 ⋅10 = = 0,999 ≈ 1 Вт/м2. Тогда уровень громкости на расстоянии 300 м 2 2 4π ⋅ 300 4πR2

I   1  составит L = 10 ⋅ lg 300  = 10lg -12  = 120 дБ, т.е. звук вызовет боль в ушах.  10   I0  Пример 14.10. Разрыв барабанной перепонки наступает при уровне громкости звука 150 дБ. Необходимо определить интенсивность и амплитуду смещения частиц в волне (ν = 1 кГц, I 0 = 10 −12 Вт/м2, ρ возд = 1,29 кг/м3, υ = 330 м/с). Решение 1. Интенсивность найдем по формуле (14.10): L  I  L = 10 ⋅ lg  ⇒ I = I 0 10 10 = 10 −12 ⋅1015 = 103 Вт/м2.  I0  2. Амплитуда смещения частиц A =

2I 2 ⋅103 = ≈ 345 мкм, υρ (2πν ) 2 330 ⋅1,29 ⋅ (2 ⋅ 3,14 ⋅1000) 2 123


  Вт 2 2   2 Н ⋅ м⋅с кг ⋅ м ⋅ м ⋅ с м  . = = = м кг с 2 ⋅ кг  м ⋅ кг ⋅ 1   с м 3 с 2  Пример 14.11. Шуму на оживленной улице соответствует уровень громкости звука 70 фон, крику 80 фон. Какой будет уровень громкости звука, полученный в результате сложения крика и шума улицы. Решение Из формулы (14.10) найдем интенсивности при 70 фон и 80 фон: L1

L2

I1 = I 0 10 10 = 10 −12 ⋅10 7 = 10 −5 Вт/м2; I 2 = I 0 10 10 = 10 −12 ⋅10 8 = 10 − 4 Вт/м2. Вычислим суммарную интенсивность крика и шума улицы: −5 −4 −4 2 I = I1 + I 2 = 10 + 10 = 1,1⋅10 Вт/м . Тогда уровень громкости звука, полученный в

 I  1,1 ⋅10 −4   = 80,41 фон. результате сложения крика и шума улицы: L = 10 ⋅ lg  = 10 ⋅ lg −12   10   I0  Пример 14.12. Вычислить максимальное смещение молекул воздуха для звука на пороге ��лышимости (ν = 1кГц ) при t=00 C. Определить максимальное изменение давления в этой звуковой волне. Решение Плотность воздуха примем равной ρ = 1,29 кг/м3. Скорость звука в воздухе приближенно для любой температуры можно определить из соотношения υ зв.возд ≈ 331 + 0,6t (см. рис. 14.1). При t=00 C υ зв.возд = 331 м/c. Тогда максимальное смещение молекул воздуха составит: A=

2I 2 ⋅10 −12 = ≈ 10 −11 м. 2 2 υρ (2πν ) 331 ⋅1,29 ⋅ (2 ⋅ 3,14 ⋅1000) Найдем амплитуду давления: 1-й способ) P = 2 Iρυ = 2 ⋅10 −12 ⋅1,29 ⋅ 331 ≈ 2,8 ⋅10 −5 Па;

2-й способ) P = 2πρυAν = 2 ⋅ 3,14 ⋅1,29 ⋅ 331⋅10-11 ⋅103 ≈ 2,7 ⋅10 −5 Па. Пример 14.13. Нормальный разговор человека оценивается уровнем громкости звука L1=50 фон. Определить уровень громкости звука соответствующего 3 одновременно говорящим людям. Решение L1 I  Из формулы (14.10): L1 = 10 ⋅ lg 1  ⇒ I1 = I 0 10 10 = 10 −12 ⋅105 = 10 −7 Вт/м2.  I0  При 3-х одновременно говорящих людях интенсивность I = 3I1 = 3 ⋅10−7 Вт/м2. Определим уровень громкости звука соответствующего 3 одновременно говорящим I   3 ⋅10 -7  людям L 3 = 10 ⋅ lg 3  = 10 ⋅ lg -12  = 10 ⋅ lg(3 ⋅10 5 ) = 54,77 фон.  10   I0  Вместе со звуком на слух воздействуют те или иные посторонние шумы, затрудняющие слуховое восприятие. Эффект маскировки чистого синусоидального тона посторонним шумом оценивается обычно величиной, указывающей, насколько децибел повышается порог слышимости маскируемого сигнала над порогом его восприятия в тишине. Эксперименты по определению степени маскировки одного звукового сигнала другим показывают, что любой тон маскируется более низкими тонами в большей мере, чем более высокими (аналог – амплитудная модуляция). Если одновременно существуют два сложных звуковых сигнала (например шум и музыка), возникает эффект взаимной 124


маскировки. При этом, если основная энергия сигналов принадлежит к одной и той же области звуковых частот, то эффект взаимной маскировки будет наиболее сильным. Таким образом, громкость не может быть определена только величиной силы звука, так как она зависит от частотного состава звукового сигнала, от условий его восприятия и длительности воздействия. Единицы измерения уровня громкости – фоны численно совпадают с уровнем звука, выраженным в децибелах, на частоте эталонного тона 1000 Гц. На рис. 14.11 изображено семейство кривых равной громкости (кривые Флетчера– Менсона), называемых также изофонами. По этим кривым можно по уровню звука на любой частоте определить соответствующий уровень громкости. Например, если синусоидальная волна частотой 100 Гц создаёт звуковое давление уровнем 60 дБ, то по этим значениям на диаграмме находим соответствующую изофону. Как видим в данном случае она соответствует уровню громкости 50 фон. Изофона «0» фон, характеризует порог слышимости звуков разной частоты для нормального слуха. На практике не всегда используют оценку уровня громкости в фонах, применяя и другую относительную величину, которая измеряется в сонах. Громкость звука 1 сон соответствует уровню громкости синусоидального звука 40 фон (рис. 14.12).

Рис. 14.11. Кривые равной громкости

125


Рис. 14.12. Зависимость относительной громкости звука (сон) от уровня громкости (фон)

14.5.4. Понятие спектра На рис. 14.13,а приведена временная функция (осциллограмма) созвучия скрипки. Распознать по этому графику основной тон колебания очень трудно. Ничего данный график не говорит и о частотном составе созвучия. Для этого следует представить данное колебание в иной плоскости – в виде спектральной характеристики. По оси частот, в виде вертикальных отрезков, откладываются уровни колебаний, составляющих созвучие. Спектр – совокупность синусоидальных составляющих сложного звука. Спектр созвучия скрипки, соответствующий приведенной выше временной функции, представлен на рисунке 14.13,б. На рис. 14.14 показаны спектры звуков одной высоты, взятой на разных музыкальных инструментах.

а б Рис. 14.13. Уровень звукового давления скрипки в функциях времени (а) и частоты (б)

126


Рис. 14.14. Спектры звуков одной высоты разных музыкальных инструментов К примеру, нота «ля» кларнета имеет гармоники той же частоты, что и нота «ля» пианино, но с другими амплитудами, поэтому тембр звуков неодинаков (рис. 14.15). Более сложным оказывается спектр сочетания музыкальных звуков, называемый аккордом. В таком спектре присутствуют несколько основных частот вместе с соответствующими обертонами. Кроме того, звуки почти всех музыкальных инструментов сопровождаются, так называемыми, узкополосными шумами. Шумами в акустике называют звуки, которые, в отличие от синусоидальных тонов и созвучий, у которых спектры дискретны, имеют непрерывный спектр. Например, играя на флейте, музыкант возбуждает не только периодический музыкальный тон, но и шум от вдувания воздуха. Из этого шума флейта, как акустический резонатор, выделяет узкую полосу вблизи основного тона. Этот узкополосный шум смешивается с основным тоном, благодаря чему звук флейты приобретает присущую ему выразительность.

Рис. 14.15. Частотный спектр тона «ля», издаваемого пианино и кларнетом Более совершенным на практике методом анализа звука, в отличии от применения 127


резонаторов Гельмгольца (см. п. 14.5.2), является гармонический анализ напряжения на выходе микрофонного усилителя. Для этого исследуемое напряжение подается на осциллограф, при помощи которого получается осциллограмма – кривая, иллюстрирующая изменение напряжения с течением времени (вид возможной осциллограммы сложного звука приведен на рис. 14.16).

Рис. 14.16. Пример осциллограммы сложного звука Полученная осциллограмма исследуется методами гармонического анализа. Результаты анализа наносятся на диаграмму, по оси абсцисс которой наносится шкала частот, а по оси ординат откладываются амплитуды гармоник. За единицу принимается амплитуда основной (первой) гармоники. Так получается акустический спектр исследуемого звука. Объяснение причин многообразия тембров различных инструментов и человеческих голосов не было бы исчерпывающим, если не затронуть процессы возникновения и нарастания звуков, при их извлечении, и их затухания. Дело в том, что любой звук, возникает и устанавливается на каком-то определённом «стационарном» уровне не мгновенно и затухает он так же постепенно, за определённый промежуток времени. Процесс нарастания звука и процесс его затухания называют нестационарными процессами. От продолжительности нарастания и затухания звука, а также от формы огибающей нестационарных процессов существенно зависит его тембр. А это, в свою очередь, определяется конструкцией инструмента, а также способом звукоизвлечения (скольжения смычка, щипка или удара молоточка по струнам, возбуждения колебаний столба воздуха, вдуваемого в корпус духового инструмента и т.п.). Акустические свойства помещения также существенно влияют на характер звучания исполняемой в нем музыки и речи (см. п. 14.9).

14.6. Ультразвуковые колебания Первые работы по ультразвуку были сделаны ещё в XIX в. Французский учёный Ф. Савар (1830) пытался установить верхний предел по частоте слышимости уха человека. Изучением ультразвука занимались английский учёный Ф. Гальтон (1883), немецкий физик В. Вин (1903), русский физик П. Н. Лебедев и его ученики (1905). Существенный вклад был сделан французским физиком П. Ланжевеном (1916), который впервые использовал пьезоэлектрические свойства кварца для излучения и приёма ультразвука при обнаружении подводных лодок и измерениях глубин моря. Г. В. Пирс в США (1925) создал прибор для измерения с большой точностью скорости и поглощения ультразвука в газах и жидкостях (интерферометр Пирса). Р. Вуд (США) (1927) добился рекордных интенсивностей ультразвука в жидкости, наблюдал ультразвуковой фонтан и исследовал влияние ультразвука на живые организмы. Советский учёный С. Я. Соколов в 1928 положил начало ультразвуковой дефектоскопии металлических изделий, предложив использовать ультразвук для обнаружения трещин, раковин и дефектов в твёрдых телах. В 1932 Р. Люка и П. Бикар во Франции, П. Дебай и Ф. В. Сирс в Германии обнаружили явление дифракции света на ультразвуковых волнах, которое далее начинает играть большую роль в изучении структуры жидких и твёрдых тел, а также в ряде 128


технических приложений. В начале 30–х гг. Х. О. Кнезером в Германии было открыто аномальное поглощение и дисперсия ультразвука в многоатомных газах, далее это явление было также обнаружено в ряде сложных (органических) жидкостей. Правильное теоретическое объяснение этим релаксационным явлениям было дано в общей форме советскими учёными Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонтовичем (1937). В 50–60 гг. широкое развитие получают различные промышленные технологические применения ультразвука, в разработку физических основ которых в СССР был сделан большой вклад Л. Д. Розенбергом и его сотрудниками. Получение всё больших интенсивностей ультразвука обусловило изучение особенностей распространения мощных волн ультразвука в газах, жидкостях, твёрдых телах. Развивается нелинейная акустика, в становлении которой большую роль сыграли работы советских учёных Н. Н. Андреева, В. А. Красильникова, Р. В. Хохлова и др., а также ряда американских и английских учёных. В 70–х гг., в особенности после рабо��ы Хадсона, Мак-Фи и Уайта (США, 1961), обнаруживших явление усиления и генерации ультразвука в пьезополупроводниках, развивается акустоэлектроника.

14.6.1. Физические свойства и особенности распространения УЗ. Генерация УЗ По своей физической природе ультразвук представляет собой упругие волны и в этом он не отличается от звука. Частотная граница между звуковыми и ультразвуковыми волнами поэтому условна, что она определяется субъективными свойствами человеческого слуха и соответствует усреднённой верхней границе слышимого звука. Однако благодаря более высоким частотам (УЗВЧ) и, следовательно, малым длинам волн имеет место ряд особенностей распространения ультразвука. Так, для УЗВЧ длины волн в воздухе составляют 3,4×10-3–3,4×10-5 см, в воде 1,5×10-2–1,5 ×10-4 см и в стали 5×10-2– 5×10-4 см. Ультразвук в газах и, в частности, в воздухе распространяется с большим затуханием. Жидкости и твёрдые тела (в особенности монокристаллы) представляют собой, как правило, хорошие проводники ультразвука, затухание в которых значительно меньше. Так, например, в воде затухание ультразвука при прочих равных условиях приблизительно в 1000 раз меньше, чем в воздухе. Ввиду малой длины волны ультразвука на характере его распространения сказывается молекулярная структура среды, поэтому, измеряя скорость ультразвука и коэффициент поглощения, можно судить о молекулярных свойствах вещества. Этими вопросами занимается молекулярная акустика. Характерная особенность распространения в газах и жидкостях – существование отчётливо выраженных областей дисперсии, сопровождающейся резким возрастанием его поглощения. Коэффициент поглощения ультразвука в ряде жидкостей существенно превосходит рассчитанный по классической теории и не обнаруживает предсказанного этой теорией увеличения, пропорционального квадрату частоты. Все эти эффекты находят объяснение в релаксационной теории, которая описывает распространение ультразвука в любых средах и является теоретической базой современной молекулярной акустики. Совокупность уплотнений и разрежений, сопровождающая распространение ультразвуковой волны, представляет собой своеобразную решётку, дифракцию световых волн на которой можно наблюдать в оптически прозрачных телах. Малая длина ультразвуковых волн является основой для того, чтобы рассматривать их распространение в ряде случаев методами геометрической акустики. Физически это приводит к лучевой картине распространения. Отсюда вытекают такие свойства ультразвука, как возможность геометрического отражения и преломления, а также фокусировки звука. Следующая важная особенность ультразвука – возможность получения большой интенсивности даже при сравнительно небольших амплитудах колебаний, так как при данной амплитуде плотность потока энергии пропорциональна квадрату частоты. Ультразвуковые волны большой интенсивности сопровождаются рядом эффектов, которые могут быть описаны лишь законами нелинейной акустики. Так, распространению 129


ультразвуковых волн в газах и в жидкостях сопутствует движение среды, которое называют акустическим течением. Скорость акустического течения зависит от вязкости среды, интенсивности ультразвука и его частоты (вообще говоря, она мала и составляет доли процента от скорости ультразвука). К числу важных нелинейных явлений, возникающих при распространении интенсивного ультразвука в жидкостях, относится акустическая кавитация – рост в ультразвуковом поле пузырьков из имеющихся субмикроскопических зародышей газа или пара в жидкостях до размеров в доли мм, которые начинают пульсировать с частотой ультразвука и захлопываются в положительной фазе давления. При захлопывании пузырьков газа возникают большие локальные давления порядка тысяч атмосфер, образуются сферические ударные волны. Возле пульсирующих пузырьков образуются акустические микропотоки. Явления в кавитационном поле приводят к ряду как полезных (получение эмульсий, очистка загрязнённых деталей и др.), так и вредных (эрозия излучателей ультразвука) явлений. Интенсивность, соответствующая порогу кавитации, зависит от рода жидкости, частоты звука, температуры и др. факторов. В воде на частоте 20 кГц она составляет около 0,3 вт/см2. Для генерирования ультразвуковых колебаний применяют разнообразные устройства, которые могут быть разбиты на 2 основные группы – механические, в которых источником ультразвука является механическая энергия потока газа или жидкости, и электромеханические, в которых ультразвуковая энергия получается преобразованием электрической. Механические излучатели ультразвука – воздушные и жидкостные свистки и сирены – отличаются сравнительной простотой устройства и эксплуатации, не требуют дорогостоящей электрической энергии высокой частоты, К.П.Д. их составляет 10–20%. Основной недостаток всех механических ультразвуковых излучателей – сравнительно широкий спектр излучаемых частот и нестабильность частоты и амплитуды, что не позволяет их использовать для контрольно-измерительных целей (применяются главным образом как средства сигнализации). Основной метод излучения ультразвука – преобразование тем или иным способом электрических колебаний в колебания механические. Обратный пьезоэлектрический эффект – это возникновение деформации в вырезанной определенным образом кварцевой пластинке под действием электрического поля. Идея кварцевого ультразвукового генератора принадлежит французскому физику П. Ланжевену (1872–1946). Вследствие обратимости пьезоэффекта он широко применяется и для приёма ультразвука. Изучение ультразвукового поля может производиться и оптическими методами: ультразвук, распространяясь в какой-либо среде, вызывает изменение её оптического показателя преломления, благодаря чему его можно визуализировать, если среда прозрачна для света. Смежная область акустики и оптики (акустооптика) получила большое развитие, в особенности после появления газовых лазеров непрерывного действия; развились исследования по дифракции света на ультразвук и её различным применениям. Магнитострикция – это возникновение деформации в ферромагнетиках под действием магнитного поля. Поместив ферромагнитный стержень (например, из никеля или железа) в быстропеременное магнитное поле, возбуждают его механические продольные колебания, амплитуда которых максимальна в случае резонанса.

14.6.2. Применение УЗ Ультразвук широко используется в технике, например для направленной подводной сигнализации, обнаружения подводных предметов и определения глубин (гидролокатор, эхолот). Так, в эхолоте от пьезокварцевого генератора, укрепленного на судне, посылаются направленные ультразвуковые сигналы, которые, достигнув дна, отражаются от него и возвращаются обратно. Зная скорость их распространения в воде и определяя время прохождения (от подачи до возвращения) ультразвукового сигнала, можно вычислить 130


глубину. Прием эха также производится с помощью пьезокварца. Звуковые колебания, дойдя до пьезокварца, вызывают в нем упругие колебания, в результате чего на противоположных поверхностях кварца возникают электрические заряды, которые измеряются. При помощи акустической эмиссии удаётся обнаружить образование и развитие трещины, а также определить её местонахождение в ответственных деталях различных конструкций. С помощью ультразвука удаётся осуществить пайку алюминиевых изделий. В микроэлектронике и полупроводниковой технике используется ультразвуковая приварка тонких проводников к напылённым металлическим плёнкам и непосредственно к полупроводникам. С помощью ультразвуковой сварки соединяют пластмассовые детали, полимерные плёнки, синтетические ткани и др. Во всех этих случаях ту или иную роль играет процесс ультразвуковой очистки, локальное нагревание под действием ультразвука, ускорение процессов диффузии, изменение состояния полимера. При помощи ультразвука осуществляется звуковидение: преобразуя ультразвуковые колебания в электрические, а последние – в световые, оказывается возможным при помощи ультразвука видеть те или иные предметы в непрозрачной для света среде. Ультразвук применяют для воздействия на различные процессы (кристаллизацию, диффузию, тепло- и массообмен в металлургии и т. д.) и биологические объекты (повышение интенсивности процессов обмена и т. д.), для изучения физических свойств веществ (поглощения, структуры вещества и т. д.). В основе биологического действия ультразвука могут лежать также вторичные физико-химические эффекты. Так, при образовании акустических потоков может происходить перемешивание внутриклеточных структур. Кавитация приводит к разрыву молекулярных связей в биополимерах и других жизненно важных соединениях и к развитию окислительно-восстановительных реакций. Ультразвук повышает проницаемость биологических мембран, вследствие чего происходит ускорение процессов обмена веществ из-за диффузии. Все перечисленные факторы в реальных условиях действуют на биологические объекты в том или ином сочетании совместно, и поэтому трудно, а подчас невозможно раздельно исследовать процессы, имеющие различную физическую природу ультразвука [1]. Используется также для механической обработки очень твердых и очень хрупких тел, в медицине (диагностика, ультразвуковая хирургия, микромассаж тканей) и т. д. Способность ультразвука без существенного поглощения проникать в мягкие ткани организма и отражаться от акустических неоднородностей используется для исследования внутренних органов. Ультразвуковые методы диагностики в ряде случаев позволяют более тонко различать структуру тканей, чем рентгеновские. Так, с помощью ультразвука обнаруживаются опухоли мягких тканей, часто не различимые другими способами. Ультразвук применяют в акушерстве для диагностического исследования плода и беременной женщины, в нейрохирургии – для распознавания опухолей в головном мозге (эхоэнцефалография), в кардиологии – для изучения гемодинамики, выявления гипертрофии мышцы сердца. Ультразвуковая хирургия подразделяется на две разновидности, одна из которых связана с разрушением тканей собственно звуковыми колебаниями, а вторая – с наложением ультразвуковых колебаний на хирургический инструмент. Ультразвуковые инструменты применяются для рассечения мягких и костных тканей, позволяя при этом существенно уменьшать усилие резания, кровопотери и болевые ощущения. В травматологии и ортопедии ультразвук используют для сварки сломанных костей: при этих операциях костной стружкой, смешанной с жидкой пластмассой, заполняют пространство между костными отломками и под действием ультразвука образуется их соединение. Ультразвук применяется также в биологической и медицинской лабораторной практике, в частности – для диспергирования биологических структур, для относительно тонких воздействий на структуру клеток, при стерилизации инструментов и лекарственных веществ, для изготовления аэрозолей, а также в бактериологии, иммунологии для получения ферментов и антигенов из бактерий и вирусов, изучения морфологических особенностей и 131


антигенной активности бактериальных клеток и др. Целый ряд животных способен воспринимать и излучать частоты упругих волн значительно выше 20 кГц. Так, птицы болезненно реагируют на ультразвуковые частоты более 25 кГц, что используется, например, для отпугивания чаек от водоёмов с питьевой водой. Мелкие насекомые при своём полёте также создают ультразвуковые волны. Летучие мыши, имея совсем слабое зрение, ориентируются в полёте и ловят добычу методом ультразвуковой локации. Они излучают ультразвуковые импульсы с частотой повторения несколько Гц и несущей частотой 50–60 кГц.

14.7. Эффект Доплера в акустике Эффект Доплера описывает сдвиг частоты сигнала в зависимости от относительного движения источника и приемника. Так волна, посланная источником, который удаляется от приемника, будет приниматься им на меньшей частоте по сравнению с волной от неподвижного источника или от источника, приближающегося к приемнику. Если же приемник приближается к неподвижному источнику, то частота принимаемой им волны будет больше по сравнению с неподвижным приемником или приемником, удаляющимся от источника. Это явление обнаружил австрийский физик, математик и астроном Христиан Доплер в 1842 году. Если источник звука и наблюдатель движутся друг относительно друга, частота звука, воспринимаемого наблюдателем, не совпадает с частотой источника звука. Это явление носит название эффекта Доплера [47]. Для рассмотрения эффекта Доплера предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; υ ИСТ и υ ПР – скорости движения источника и приемника соответственно, причем они положительны, если источник (приемник) приближается к приемнику (источнику), и отрицательны – если удаляется. Частота колебаний источника равна ν 0 . Рассмотрим несколько типичных слачаев. 1. Источник и приемник покоятся относительно среды, т. е. υ ИСТ = υ ПР = 0 . Если υ – скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, то длина волны

λ = υT =

υ . Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет колебания его ν0

звукочувствительного элемента с частотой

ν=

υ υ = =ν 0 . λ υT

(14.12)

Следовательно, частота ν звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте ν 0 , с которой звуковая волна излучается источником. 2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится, т. е. υ ПР >0, υ ИСТ =0. В данном случае скорость распространения волны относительно приемника станет равной υ + υ ПР . Так как длина волны при этом не меняется, то υ + υ ПР υ + υ ПР (υ + υ ПР )ν 0 ν= = = . (14.13) λ υT υ υ + υ ПР т. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в раз больше частоты

υ

колебаний источника. 3. Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т. е. υ ИСТ >0, υ ПР =0. Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к 132


приемнику расстояние υT (равное длине волны λ ) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении волны расстояние υ ИСТ T (рис. 14.17), т. е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной

λ/ = λ − υ ИСТ T = (υ − υ ИСТ )T , тогда υ υ υν 0 ν= / = = , λ (υ − υ ИСТ )T υ − υ ИСТ т. е. частота ν колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в

(14.14)

υ раз. υ − υ ИСТ

В случаях 2 и 3, если υ ПР <0 и υ ИСТ <0 знак будет обратным.

Рис. 14.17. Источник приближается к приемнику (приемник покоится) 4. Источник и приемник движутся относительно друг друга. Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых источником, в общем случае: υ (υ ± υ ПР )ν 0 ν= / = , (14.15) υ ± υ ИСТ λ причем знак плюс в числителе соответствует приближению приемника к источнику, знак минус – его удалению от источника; в знаменателе знак плюс соответствует удалению источника от приемника, знак минус – приближению его к приемнику. Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зависимости от того, движется источник или приемник. Если направления скоростей υ ИСТ и υ ПР не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (14.15) надо брать их проекции на направление этой прямой. Доплер-эффект широко используется в технике для измерения скоростей движущихся объектов («доплеровская локация» в акустике, оптике и радио). Пример 14.14. Звуковая волна с частотой 5000 Гц испускается в направлении к телу, которое приближается к источнику звука со скоростью 3,30 м/с. Чему равна частота отраженной волны? Скорость звука принять равной 331 м/с. Решение В этом случае эффект Доплера проявляется два раза. Во-первых, тело, к которому направлена звуковая волна, ведет себя как движущийся приемник и «регистрирует» (υ + υ ПР )ν 0 (331 + 3,3) ⋅ 5000 = = 5050 Гц. Во-вторых, тело звуковую волну на частоте: ν / = υ 331 затем действует как вторичный источник звука (отраженного), который движется так, что υν / 331 ⋅ 5050 // = = 5100 Гц. Таким частота отраженной звуковой волны будет равна ν = υ − υ ИСТ 331 − 3,3 образом, доплеровский сдвиг частот равен 100 Гц. 133


14.8. Отражение и преломление волн. Эхо В однородной среде волны распространяются одинаково во все стороны от источника колебаний. Однако на границе раздела сред с различными физическими свойствами картина распространения волн существенно изменяется. Волна может частично перейти из одной среды в другую, а частично отразиться от границы раздела и распространяться в первой среде. Звуковые волны, свободно распространяющиеся в воздухе, при встрече со стеной испытывают отражение, мы слышим эхо. Отражение поверхностных волн на воде можно наблюдать в опытах с волновой ванной. Если звуковая волна, распространяющаяся в некоторой среде 1, достигает границы раздела этой среды с другой средой 2, то возникают отраженная и преломленная волны (рис. 14.18) [25, 38, 39]. Отраженная волна распространяется от границы раздела в этой же среде 1, что и первичная (падающая) волна. Преломленная волна распространяется в среде 2. Звуковые волны подчиняются законам отражения и преломления. По закону отражения, отраженная волна (отраженный луч OL') лежит в одной плоскости с падающей волной (падающим лучом OL) и нормалью к поверхности раздела сред, проведенной в точке падения O, при этом угол отражения α ' равен углу падения α. По закону преломления, преломленный луч (OL") лежит в одной плоскости с падающим лучом OL и нормалью к поверхности раздела сред, проведенной в точке падения O. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β равно отношению скоростей звуковых волн в первой и второй средах υ1 и sinα υ1 = . υ 2 (закон Снеллиуса): sinβ υ 2

Рис. 14.18. Отражение и преломление волн на границе двух сред Из закона преломления следует, что чем выше скорость звука в той или иной среде, тем больше угол преломления. Свойство отражения звуковой волны можно использовать на практике, например, для получения эффекта эха (отзвука). Эхо возникает при перпендикулярном отражении звуковой волны (звуковых лучей) от некоторого препятствия. При этом углы падения (α) и отражения (α') будут равны 0. Энергия звуковой волны в проц��ссе ее распространения поглощается средой. Этот эффект называют поглощением звуковых волн. Существование эффекта поглощения обусловлено процессами теплообмена и межмолекулярного взаимодействия в среде, точнее — внутренним трением и теплопроводностью. 134


14.9. Волновое движение в замкнутом объеме. Реверберация С отражением и поглощением звука тесно связано явление волнового движения в замкнутом объеме, когда волны отражаются то от одной, то от другой стенки помещения (потолка, пола). Отражения звуковых колебаний могут сильно влиять на конечное восприятие звука: они могут изменять окраску звука, насыщенность, глубину. Так, звук, идущий от источника, расположенного в закрытом помещении, многократно ударяясь и отражаясь от стен помещения, воспринимается слушателем как звук, сопровождающийся специфическим гулом. Такой гул называется реверберацией (от лат. reverbero – отбрасываю). Появление реверберации связано с тем, что звуковая волна, исходящая от источника звука, на пути к слушателю накладывается на многократно отраженные от стен и потому сдвинутые во времени копии самой себя (рис. 14.19) [25, 35]. Теоретически, если бы стены, пол, потолок совсем не поглощали звуковые колебания и полностью отражали бы их, то реверберация (гул) нарастала бы бесконечно. Однако на практике из-за эффекта сильного поглощения при отражении звуковой волны от твердой стенки, а также ввиду того, что каждое отражение звуковой волны уменьшает переносимую волной энергию, время реверберации является конечным, а громкость реверберации не поднимается выше некоторого значения.

Рис. 14.19. Диаграмма прохождения звуковой волны от источника к слушателю в закрытом помещении

14.10. Преобразование звуковых волн в электромагнитные На основании опытов английского физика Майкла Фарадея (1791-1867 гг.) его соотечественник Джеймс Максвелл (1831-1879 гг.) написал в 1873 г. научный труд, в котором впервые были опубликованы знаменитые четыре уравнения Максвелла. Используя математику, он сумел теоретически предсказать, что с помощью электрического тока могут быть получены электромагнитные волны. Электромагнитные явления играют чрезвычайно важную роль в природе. Как уже упоминалось в настоящее время известно четыре основных вида взаимодействия: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. Макроскопические силы, хорошо известные нам из повседневного опыта, такие как сила трения, упругости, поверхностного натяжения жидкости, давление сжатого газа и т.д., сводятся к электромагнитным силам. Силы гравитационного взаимодействия между заряженными частицами намного меньшие, чем электрические. Например, сила электростатического отталкивания двух электронов приблизительно в 10 43 раз больше, чем сила их взаимного притяжения, т.е. 135


гравитационной силы. Они играют определяющую роль только для астрономических объектов. Сильное взаимодействие определяет структуру ядер и проявляется на расстояниях порядка 10 −14 − 10 −15 метра. Ядерные силы, обусловленные этим взаимодействием, быстро уменьшаются при удалении от ядра и на атомных расстояниях пренебрежимо малы по сравнению с электромагнитными силами. Они играют определяющую роль только при образовании ядер. Слабое взаимодействие проявляется на ещё меньших расстояниях ~ 10 −18 метра. На таких расстояниях оно становится одного порядка с электромагнитными. Но на межатомных расстояниях слабое взаимодействие становится «слабее» гравитационного. Взаимопревращения ряда элементарных частиц определяются именно этим взаимодействием. Электромагнитные силы определяют характер движения заряженных частиц, поэтому их роль в современной науке и технике чрезвычайно велика, что связано с многообразием электромагнитных явлений, которые в настоящее время прочно вошли в практику – в электротехнику, радиотехнику, электросвязь и т.д. Рассмотрим упрощенно схему радиотелефонной связи. Микрофон преобразует звуковые колебания в переменные электрические токи, имеющие частоту от десятков до нескольких тысяч герц. Эти токи усиливаются усилителем и подаются на модулятор, являющийся составной частью радиопередатчика. Ток звуковой частоты, полученный после модулятора, воздействует на генератор токов высокой частоты так, что амплитуда тока ВЧ генератора изменяется в соответствии с передаваемыми звуковыми колебаниями. Так модулированная электромагнитная волна переносит информацию на большие расстояния. В приемнике же производится обратное преобразование после детектирования высокочастотных модулированных колебаний. Электромагнитные волны – переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью [23, 47, 54]. Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Η переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа: 1 ∂2E (14.16) ∆Е = 2 2 ; υ ∂t 1 ∂2Η (14.17) ∆Η = 2 2 , υ ∂t ∂2 ∂2 ∂2 где ∆ = 2 + 2 + 2 – оператор Лапласа, υ – фазовая скорость. ∂x ∂y ∂z Фазовая скорость электромагнитных волн 1 1 c = , υ= (14.18)

ε 0 µ0

где

скорость света c =

1

ε 0 µ0

εµ

εµ

; εо, µо – соответственно электрическая и магнитная

постоянные; ε, µ – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды. В вакууме (ε=1, µ=1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме. Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы E и Η напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны. Векторы E и Η всегда колеблются в одинаковых фазах, причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением: ε 0ε E = µ0 µ Η . 136


От волновых уравнений (14.16) и (14.17) можно перейти к уравнениям: 2 ∂2 Ey 1 ∂ Ey (14.19) = 2 , ∂x 2 υ ∂t 2 ∂ 2Η z 1 ∂ 2Η z (14.20) , = ∂x 2 υ 2 ∂t 2 где индексы у и z при Е и Н подчеркивают только то, что E ┴ Η . Уравнениям (14.19) и (14.20) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной частоты), описываемые уравнениями: Еу=Еосоs(ωt–kx+φ),

(14.21)

Нz=Носоs(ωt–kx+φ),

(14.22)

где Ео и Но – амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; ω – круговая частота волны; k = ω/υ – волновое число; φ – начальные фазы колебаний в точках с координатой х=0. В уравнениях (14.21) и (14.22) φ одинаково, так как колебания E и Η происходят с одинаковой фазой. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей энергии электрического и магнитного полей: w=wэл+wм=εоεЕ2/2+µоµН2/2. Учитывая выражение ε 0ε E = µ0 µ Η , получим, что wэл = wм в каждый момент времени, поэтому w = 2 wэл = ε 0εЕ 2 = ε 0 µ 0 εµ ЕН .

(14.23)

Импульс электромагнитного поля р=W/с, где W – энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как р=mc, получим р=mc=W/с, откуда W=mс2. Это соотношение между массой и энергией свободного электромагнитного поля является универсальным законом природы, оно справедливо для любых тел независимо от их внутреннего строения.

XV. ВОСПРИЯТИЕ ЗВУКА ЧЕЛОВЕКОМ 15.1. Общие сведения Современные исследования слухового восприятия ведут свое начало с работ Ома, Зеебека и Гельмгольца. Ом постулировал акустический «закон фаз», согласно которому воспринимаемый тембр звука зависит исключительно от его спектра мощности и не зависит от фазовых углов его частотных составляющих (слуховое восприятие зависит только от амплитудного спектра звука). Этот закон представляет одно из фундаментальных положений «психоакустики». Зеебек обнаружил появление так называемой периодической высоты, т.е. ощущение тембра звука без наличия физических компонент в акустическом стимуле на воспринимаемой частоте. Данные, полученные Зеебеком, а затем Шоутеном и его последователями об «остаточной высоте» (названной так вследствие ощущения высоты даже после устранения соответствующей частотной составляющей в сигнале), до сих пор являются предметом исследований. На основании своих наблюдений Гельмгольц выдвинул резонансную теорию функционирования внутреннего уха, хотя эта теория и не приемлема в буквальном смысле, она позволила уловить саму сущность механизма работы внутреннего 137


уха, а именно частотную избирательность. Бекеши открыл бегущие волны на базилярной мембране и оценил среду распространения этих волн как неоднородную линию передачи.

15.2. Структура и функция периферического отдела органа слуха Периферический отдел слухового анализатора включает наружное, среднее и внутреннее ухо (рис. 15.1).

Рис. 15.1. Схематическое изображение уча человека в разрезе: 1 – ушная раковина, 2 – наружный слуховой проход, 3 – барабанная перепонка, 4 – евстахиева труба, 5 – молоточек, 6 – наковальня, 7 – стремечко, 8 – овальное окно, 9 – круглое окно, 10 – улитка (спиралевидный туннель) Наружное ухо состоит из ушной раковины, наружного слухового прохода и барабанной перепонки. Ушная раковина служит хорошим звукоулавливателем. Эта функция особенно развита у некоторых видов животных (собак, кошек, летучих мышей), у которых рефлекторное управление ушной раковиной облегчает определение местонахождения источника звука. Согласно мнению французского врача П. Ножье (1957г.) наружное ухо можно рассматривать как перевернутый эмбрион в утробе матери, так головка эмбриона соответствует мочке уха, ягодичная область с поджатыми ножками – верхнему завитку ушной раковины и т.д. Наружный слуховой проход имеет длину 21– 27 мм, диаметр – 6–8 мм. В приближении можно считать трубочкой, закрытой с внутренней стороны барабанной перепонкой (его функция состоит в проведении звуковых колебаний к барабанной перепонке). Он играет роль резонатора, имеющего собственную частоту колебаний, равную 3000 Гц [56]. Рис. 15.2. Наружный слуховой проход

Если на ухо действуют звуковые колебания, близкие по своим частотным характеристикам к собственной резонаторной частоте наружного уха, то давление на барабанную перепонку усиливается. Благодаря эластичности барабанной перепонки происходит гашение увеличенного давления, которое у барабанной перепонки возрастает всего на 10 дБ по сравнению с давлением у входа в слуховой проход. В слуховом проходе и вблизи барабанной перепонки температура и влажность остаются постоянными независимо от изменений этих показателей в окружающей среде, что особенно необходимо для сохранения упругих свойств барабанной перепонки. 138


Барабанная перепонка. Барабанная перепонка – это малоподатливая и слаборастяжимая мембрана. Удалось установить, что при действии на ухо звуков низкой частоты размах колебаний самой перепонки находится в пределах от 10-2 до 10-9 см. Если частота воспринимаемых звуковых сигналов совпадает с частотой ее собственных колебаний, размахи колебаний барабанной перепонки могут быть значительными. Однако это явление устраняется благодаря прочному соединению барабанной перепонки с системой слуховых косточек, играющих роль гасителя ее собственных колебаний, хотя не всегда собственные колебания барабанной перепонки могут гаситься за счет слуховых косточек. Так, большинству людей некоторые звуки кажутся особенно резкими и пронзительными (например, стрекотание сверчков). Среднее ухо содержит цепь соединенных между собой косточек: молоточка, наковальни и стремечка. Стремечко имеет массу всего 2,5 мг и является самой легкой косточкой во всем организме человека. Рукоятка молоточка прикреплена к барабанной перепонке, основание стремечка – к овальному окну. Слуховые косточки образуют систему рычагов, делающих более эффективной передачу звуковых колебаний из воздушного пространства наружного слухового прохода в жидкую среду внутреннего уха (плотность жидкой среды почти в 800 раз больше, чем у воздуха). Известно, что размеры воспринимающей поверхности барабанной перепонки (S=70– 80 мм2) значительно преобладают над площадью овального окна. Таким образом, специальная система рычагов, созданная сочленениями слуховых косточек, а также различия в размерах эффективной поверхности мембраны овального окна и барабанной перепонки создают условия для роста давления, прилагаемого к овальному окну, которое примерно в 20 раз больше давления, действующего на барабанную перепонку (рис. 15.3) [56].

Рис. 15.3. Косточки (молоток, наковальня и стремя) среднего уха, которые передают механические колебания от барабанной перепонки к овальному окну улитки Среднее ухо содержит специальный механизм, состоящий из двух мышц: m. tensor tympani и m. stapendius. Первая прикреплена к рукоятке молоточка, другая – к стремечку. Обе мышцы предохраняют внутреннее ухо от повреждений, которые могли бы возникнуть при действии чрезмерно сильных звуковых раздражителей. Рефлекторное сокращение этих мышц при действии очень сильных звуков уменьшает амплитуду колебательных движений слуховых косточек и барабанной перепонки, что приводит к уменьшению звукового давления на область овального окна и предотвращает патологические изменения в кортиевом органе. Давление воздушного пространства в полости среднего уха близко к атмосферному, что служит необходимым условием для нормальных колебаний барабанной перепонки. Уравниванию давления способствует специальное образование, названное евстахиевой трубой, которая соединяет носоглотку с полостью среднего уха. Уравнивание давления в полости среднего уха происходит во время акта глотания, когда стенки евстахиевой трубы расходятся и атмосферный воздух попадает в барабанную полость. Это особенно важно и в 139


случае с резким перепадом давления (при подъеме или спуске на самолете, в скоростном лифте). Таким образом, наиболее важной функцией среднего уха является согласование акустических импедансов между воздушной средой в наружном ухе и жидкой во внутреннем ухе. В основном это преобразование зависит от отношения площади барабанной перепонки к площади у основания стремечка. Другая важная функция среднего уха заключается в регулировке усиления, осуществляемой посредством акустического рефлекса, который предохраняет ухо от перегрузки и возможного повреждения. При высоких уровнях звука коэффициент передачи среднего уха уменьшается и в амплитудной характеристике уха начинает преобладать квадратичный член. Если в наружное ухо одновременно поступают два или более первичных тона, то в результате этой нелинейности появляются комбинационные тоны. Так, если в одно ухо поступают два тона большой амплитуды с частотами ν 1 и ν 2 , то можно услышать «разностный тон» с частотой ν 2 − ν 1 . Его амплитуда растет пропорционально произведению амплитуд первичных тонов. Иногда можно услышать и суммарный тон с частотой ν 1 + ν 2 . Самая существенная часть нашего органа слуха – внутреннее ухо, расположено в височной кости и представляет собой улиткообразный лабиринт. Внутреннее ухо соединено со средним с помощью овального окна, в котором неподвижно укреплена подножная пластинка стремечка. Внутреннее ухо содержит рецепторный аппарат двух анализаторов: вестибулярного (преддверие и полукружные каналы) и слухового, к которому относится улитка с кортиевым органом. Длина улитки около 35 мм, что составляет 2,5 завитка. Костный канал улитки разделен двумя мембранами вестибулярной, или рейснеровой, и основной, или базиллярной, на три канала, или лестницы (рис. 15.4).

Рис. 15.4. Поперечный разрез улитки: 1 – вестибулярная мембрана, 2 – средняя лестница, 3 – текториальная мембрана, 4 – клетки Гензена, 5 – основная мембрана, 6 – вестибулярная лестница, 7 – волосковые клетки, 8 – лимб, 9 – спиральный ганглий, 10 – тимпаническая лестница, 11 – сосудистая полоска, 12 – волоски (стереоцилии) у волосковых клеток Верхний канал носит название вестибулярной лестницы, нижний – тимпанический. Между нижним и верхним каналами расположена средняя лестница, или улиточный ход. У верхушки улитки верхний и нижний каналы связаны между собой с помощью геликотремы. Единый канал, включающий в себя овальное окно, верхнюю и нижнюю лестницу, соединенные геликотремой, заканчивается круглым окном. Верхний и нижний каналы улитки заполнены перелимфой, а средний – эндолимфой (по химическому составу приближается к внутриклеточной жидкости). Основная мембрана состоит из эластических волокон, слабо натянутых между костным спиральным гребешком и наружной стенкой улитки, что создает условия для 140


колебательных движений волокон базиллярной мембраны. На основной мембране в средней лестнице расположен звуковоспринимающий рецепторный аппарат – кортиев орган. Кортиев орган (от имени открывшего его итальянского гистолога Корти) состоит из четырех рядов волосковых клеток, из которых один, внутренний, содержит около 3,5 тыс. клеток, и трех наружных, в состав которых входит 25–30 тыс. клеток. Поверх волосков, или стереоцилий, волосковых клеток, омываемых эндолимфой, лежит, соприкасаясь с ними, покровная или текториальная мембрана. Основная причина снижения слуха у пожилых людей – возрастная дегенерация и гибель волосковых клеток кортиевого органа, нарушение функции слухового нерва. Потерю слуха можно компенсировать с помощью различных слуховых аппаратов. Так Бетховен, чтобы слышать музыку, зажимал в зубах палочку и прикладывал ее к деке рояля. Всякий нейрон (нервная клетка) состоит из тела клетки и отростков (рис. 15.17). У рецепторных нейронов, воспринимающих информацию о звуковых сигналах, таких отростков два: входной отросток (дендрит), начинающийся от волосковой клетки, и выходной отросток (аксон), выводящий нервные импульсы из улитки.

Рис. 15.5. Схема иннервации кортиевого органа (К): 1 – наружные волосковые клетки, 2 – внутренние волосковые клетки, 3 – тела биполярных нейронов, 4 – дендриты спиронейронов, 5 – дендриты ортонейронов, 6 – аксоны, образующие слуховой нерв

По этой причине рецепторные нейроны органа слуха называют биполярными клетками. Всего в рецепторном аппарате слуха насчитывается до 31 тысячи биполярных клеток. Тела биполярных клеток находятся в улитке, а их аксоны образуют своеобразный многожильный кабель – слуховой нерв, выходящий из улитки, которым начинается нервная часть слухового анализатора (рис. 15.5).

15.3. Механизмы проведения звуковых колебаний в улитке Звуковая волна, воздействуя на систему слуховых косточек среднего уха, при��одит в колебательное движение мембрану овального окна, которая, прогибаясь, вызывает волнообразные перемещения перилимфы верхнего и нижнего каналов, которые постепенно затухают по направлению к вершине улитки. Такое движение жидкости возможно благодаря тому, что подвижная мембрана круглого окна при перемещении перилимфы может отклоняться по направлению к полости среднего уха (рис. 15.6).

141


Рис. 15.6. Схема распространения звуковых колебаний в улитке: 1 – овальное окно, 2 – вестибулярная лестница, 3 – геликотрема, 4 – средняя лестница, 5 – тимпаническая лестница, 6 – круглое окно Колебания перилимфы передаются также на вестибулярную мембрану, а затем на полость среднего канала, приводя в движение эндолимфу и базиллярную мембрану. Г. Бекеши показано, что при действии на ухо звуков низкой частоты (до 1 000 Гц) происходит смещение базиллярной мембраны на всем ее протяжении, от основания до верхушки улитки, так как собственная частота колебаний перилимфы верхнего и нижнего каналов настолько невелика, что совпадает с низкой частотой звукового стимула. При увеличении частоты звукового сигнала происходит перемещение укороченного по длине колеблющегося столба жидкости ближе к овальнохму окну и наиболее жесткому и упругому участку базиллярной мембраны. Деформируясь, базиллярная мембрана смещает волоски волосковых клеток относительно текториальной мембраны. В результате такого смещения возникает электрический разряд волосковых клеток. Наружные клетки чувствительны только к изгибам, направленным перпендикулярно к продольной оси мембраны. Внутренние волосковые клетки реагируют лишь на продольное перемещение базиллярной мембраны. При этом порог возбуждения наружных волосковых клеток меньше порог возбуждения внутренних волосковых клеток. Существует прямая зависимость между амплитудой смещения основной мембраны и количеством вовлекаемых в процесс возбуждения нейронов слуховой коры. Звуковые колебания с частотами менее 1000 Гц вызывают возбуждение нейронов синхронно с периодическими колебаниями базилярной мембраны.

15.4. Модели слуховой улитки и основной мембраны В первом приближении базилярную мембрану можно описать как нежную перегородку между двумя жесткими трубами (барабанный ход и вестибулярный ход). У людей она бывает длиной 34 мм, в ширину растет от начала трубок к концу от 0,04 до 0,5 мм, Гельмгольц рассматривал мембрану как уплотненный ряд последовательно возрастающих в длину натянутых струн, собственная частота которых с удлинением, т.е. увеличением ширины мембраны убывает. В действительности основная мембрана не имеет такого строения, но, несмотря на это, она обладает свойствами спектрального аппарата. Ее действие можно показать на демонстрационной модели. При опыте соблюдается необходимое условие: процессы в нем протекают достаточно медленно. Модель изображена на рис. 15.7 [37]. Две металлические трубки с прямоугольным поперечным сечением имеют по бокам стеклянные стенки, а в середине общую высокоупругую перегородку – искусственную основную мембрану. Ее ширина определяется клинообразной металлической рамкой. Она растет слева направо. В силу «механического подобия» эта мембрана должна иметь упругие свойства, которые не удается осуществить с твердыми телами. Вместо нее можно использовать пограничную область двух жидкостей разной плотности и поверхностного натяжения, например, наверху бензол, внизу вода (с примесью, увеличивающей ее вязкость). Стремя в нижнем левом конце может двигать овальное окно по синусоидальному закону туда и обратно при помощи эксцентрика, с частотой между 1 и 8 Гц. Колеблющееся овальное окно становится исходным пунктом группы волн, бегущей направо вдоль «основной мембраны». Несмотря на синусообразное возбуждение овального окна, вдоль основной мембраны распространяется не синусоидальная волна, а группа волн своеобразной формы (клинообразная мембрана действует так же, как и язычковый частотомер (рис. 15.8), т.е. подобно спектральному аппарату).

142


Рис. 15.7. Прямолинейная модель слуховой улитки (Р. В. Поль, 1971 г.). Латунную пластину на правом конце можно снимать и заменять пробкой. На месте круглого окошечка используется стеклянная трубка, загнутая вверх. Искусственная основная мембрана длиной 31 см и шириной от 1 до 18 мм. «Стремя» приводится в колебание эксцентриком от электромотора

Рис. 15.8. Устройство язычкового частотомера переменного тока На рис. 15.8 язычки 1, 2, 3... представляют собой упругие стальные пластинки, закрепленные с одной стороны на общем основании О, так что их концы могут свободно вибрировать. Длина этих пластинок, считая от первой к последней, постепенно уменьшается, в связи с чем, частота собственных колебаний у каждого следующего язычка несколько выше, чем у предыдущего. Ток, частоту которого надо измерить, пропускают через обмотку электромагнита Э, вызывающего вибрацию всех язычков. Однако вследствие резонанса наибольшую амплитуду колебаний вскоре после включения тока приобретает только тот язычок, собственная частота которого совпадает с частотой тока. Если подведенный к язычковому частотомеру ток имеет несинусоидальную форму, то можно наблюдать одновременную вибрацию нескольких язычков, частоты которых совпадают с частотами гармоник тока сложной формы. При этом амплитуды колебаний язычков зависят от амплитуд соответствующих гармоник. Зная собственные частоты язычков, легко определить частотный спектр исследуемого тока. На рис. 15.9 приведены характерные кривые, показывающие зависимость амплитуды колебаний различных точек основной мембраны от частоты возбуждающих колебаний (частотные характеристики). Из них видно, что различные точки основной мембраны обладают свойствами фильтров, настроенных на разные частоты. Однако полоса ν пропускания этих фильтров ∆ очень широкая: на уровне 0,7 от максимального значения 143


она примерно равна резонансной частоте ν 0 данного фильтра. Иначе говоря, эквивалентная добротность этих фильтров составляет примерно единицу:

QЭ =

ν0 . ∆ν 0.7

На рис. 15.10 показаны другого типа кривые, изображающие зависимость амплитуды бегущих волн от расстояния х вдоль основной мембраны от овального окошка (координатные характеристики). Из них видно, в области какой точки основной мембраны амплитуда волн достигает максимума при различных частотах возбуждения. Наличие таких зависимостей позволяет обозначать каждую точку мембраны не расстоянием до нее от овального окошка, а «координатной частотой – частотой, соответствующей максимальной амплитуде волны для данной точки. Так, точку, удаленную от начала на 28 мм, на основании рис. 15.10 можно обозначить координатной частотой ν X =200 Гц.

Рис. 15.9. Амплитудно-частотные характеристики различных точек основной мембраны

Рис. 15.10. Амплитудно-координатные характеристики основной мембраны Кривые, приведенные рис. 15.9 и рис. 15.10, можно получить на электрических моделях основной мембраны. Простейшей электрической моделью основной мембраны может служить длинная линия с плавно изменяющимися параметрами (погонными индуктивностью, емкостью и потерями). При распространении электромагнитных волн в длинной линии наличие неоднородности параметров вдоль ее длины приводит к не144


одинаковому затуханию волн различных частот и неоднородности резонансных свойств различных участков. Электрическая модель основной мембраны может быть выполнена в виде многозвенной схемы, изображенной на рис. 15.11, которая эквивалентна неоднородной длинной линии. Неоднородность здесь достигается изменением от одного звена к другому величин элементов, образующих звенья. Амплитуды токов в поперечных ветвях этой схемы могут зависеть от частоты приложенного к входу напряжения и порядкового номера звена так же, как амплитуды колебаний точек основной мембраны от частоты звуковых колебаний и от расстояния х данной точки до начала мембраны. Для этого необходимо элементам r, L, C и R каждого звена придать определенные значения.

Рис. 15.11. Многозвенная электрическая схема, эквивалентная основной мембране

15.5. Акустический рефлекс с обратной связью Как уже упоминалось, в среднем ухе находятся две маленькие мышцы своим сокращением предохраняющие рецепторный аппарат внутреннего уха от чрезмерных звуковых перегрузок. Сокращение мышц среднего уха – это типичная рефлекторная реакция с обратной связью, имеющая большое биологическое значение. В осуществлении данного рефлекса принимают участие следующие компоненты рефлекторной дуги: рецепторный аппарат мышц среднего уха, представленный в виде мышечных веретен и свободных разветвлений чувствительных нервов, которые осуществляют проприоцептивный самоконтроль этих мышц (звуковоспринимающий аппарат внутреннего уха, а также вышеописанные проводящие пути и центры слухового анализатора). Центробежное, или эфферентное, звено данного рефлекса представлено в виде нервных связей между комплексом верхней оливы с моторными ядрами тройничного и лицевого нервов. М. tensor tympani получает первичную иннервацию от веточек тройничного нерва, a m. stapedius – через ветвь лицевого нерва. Повто��ную иннервацию обе мышцы получают от веточек блуждающего нерва. Мышцы среднего уха могут активизироваться как слуховыми, так и неслуховыми раздражителями, такими, как тактильная стимуляция различных областей лица и наружного слухового прохода, пение, жевательные движения. Акустический рефлекс является билатеральным. Звуковая стимуляция одного уха вызывает рефлекторное сокращение как одного, так и другого уха. Акустический рефлекс среднего уха играет определенную роль в адаптации слуховой системы к действию сильных звуков. При неоднократном воздействии звуков значительной интенсивности рефлекторное сокращение мышц среднего уха уменьшается и защитные свойства данного рефлекса падают. Кроме того, латентный период рефлекса среднего уха составляет всего 10 мс, поэтому его защитные свойства оказываются не всегда эффективными. Это явление наблюдается при действии коротких звуковых стимулов (взрывах). Рефлекс мышц среднего уха играет роль «резонатора» среднего уха, способного к оптимальной абсорбции звуковой энергии.

145


Рис. 15.12. Схема акустического рефлекса с обратной связью

15.6. Слуховая адаптация Понижение чувствительности слухового анализатора, развивающееся после прекращения действия продолжительных (длительностью от десяти секунд и до нескольких минут) и интенсивных слуховых стимулов, обозначается как явление слуховой адаптации. Как правило, адаптация сопровождается повышением слуховых порогов. Сильные звуки, длительно действующие на ухо человека, воспринимаются как более слабые, и, наоборот, в условиях полной тишины слуховые пороги понижаются и кажутся особенно громкими. Скорость восстановления слуховых порогов зависит от длительности воздействия надпорогового стимула и его интенсивности. Так, звуковой сигнал более 20 дБ и малой длительности (~100 мс) приводит к непосредственному повышению порогов, которые восстанавливаются до исходного уровня через 200–230 мс. Более длительное воздействие надпорогового звука вызывает утомление слухового анализатора, которое выражается в значительном снижении слуховой чувствительности и замедленном ее восстановлении. Так, у лиц, работающих в шумных цехах, вначале возникает утомление слуховой системы, а затем может развиться тугоухость, сопровождающаяся изменениями в волосковых клетках кортиева органа. На рис. 15.13 приведен график адаптации слуха при скачкообразном изменении уровня интенсивности звука. В механизме слуховой адаптации принимают участие как периферические, так и центральный отделы слухового анализатора. Ослабление рассмотренного выше рефлекса мышц среднего уха лежит в основе адаптивных механизмов периферического отдела слухового анализатора. Значительную долю участия в механизме адаптации принимают центральные отделы слухового анализатора. И, в частности, было показано, что слуховая адаптация регулируется ретикулярными структурами ствола мозга и задним гипоталамусом.

146


а б Рис. 15.13. Адаптация слуха при скачкообразном изменении уровня интенсивности звука: притупление (а) и обострение (б)

15.7. Восприятие звука 15.7.1. Механизмы восприятия звука различной частоты Как уже упоминалось, в течение длительного времени господствовала резонаторная теория Г. Д. Гельмгольца (1885). В настоящее время наиболее распространена теория, которая в отличие от резонаторной не исключает участия воспринимающих клеток в анализе звуковых сигналов. Предполагают, что волосковые клетки, расположенные на базиллярной мембране в различных участках улитки, обладают разной лабильностью, что оказывает влияние на восприятие звуков высокой и низкой частоты, т. е. речь идет о настройке волосковых клеток на звуки различной частоты. Повреждение базиллярной мембраны с волосковыми клетками в отдельных завитках улитки приводит к ослаблению электрических явлений, возникающих при раздражении звуками различной частоты. При этом разрушение улитки в области ее базального завитка приводит к повышению порога восприятия высокочастотных звуковых колебаний (выше 4000 Гц), в то время как повреждение волосковых клеток в области верхушки повышает порог восприятия звуков в диапазоне ниже 4000 Гц. 15.7.2. Понятие пространственного слуха Понятие пространственного слуха включает в себя способность человека локализовать источник звукового сигнала (рис. 15.14) [3, 5, 8]. Слуховая ориентация происходит двумя путями. В первом случае определяется местоположение самого звучащего объекта (первичная локализация), во втором – происходит восприятие отраженных от различных объектов звуковых волн (вторичная локализация или эхолокация) [14]. При помощи эхолокации ориентируются в пространстве некоторые животные (дельфины, летучие мыши), а также люди потерявшие зрение.

147


Рис. 15.14. Восприятие органами слуха звуковой волны (вид сверху) Если способность человека различать направления прихода звука в горизонтальной плоскости можно объяснить разницей интенсивностей и фаз звуковых волн, приходящих к каждому уху, то чем же объясняется способность к локализации в медианной плоскости? Оказалось, что при разных углах падения звук дифрагирует различным образом у головы и ушных раковин. Поэтому звуковые волны, входящие в наружный слуховой проход, в результате дифракции фактически оказываются «профильтрованными». Для каждого направления на спектр приходящего звукового сигнала накладываются характерные пики и провалы. Если звук обладает достаточно широким спектром, как в случае речи, музыки и большинства шумов, эти пики и провалы в спектре акустического сигнала, воздействующего на барабанные перепонки, могут быть осознаны и использованы для определения угла падения. Люди научились ассоциировать различные спектральные характеристики с соответствующими вертикальными направлениями. Тогда широкополосный шум, спектр которого сформирован в соответствии с процессом дифракции для некоторого заданного угла падения, должен вызывать ощущение соответствующего субъективного направления независимо от действительного направления. Используя головные телефоны (наушники) человек воспринимает звук так, как будто он возникает внутри головы, что объясняется тем, что в наружном слуховом проходе между барабанной перепонкой и мембраной головного телефона возникают стоячие волны. Эти волны создают эффект фильтрации, результат которого несколько отличается от спектральных пиков и провалов, обусловленных дифракцией у головы слушателя в условиях свободного звукового поля. Поэтому у слушающего через наушники не могут возникнуть ассоциации с каким-либо внешним источником и, следовательно, звуковые источники связываются у него с единственным местом – внутри головы. Если через два телефона подавать одновременно на правое и левое ухо человека идентичные звуковые сигналы, возникает ощущение слитного звукового образа. Используя задержку сигнала по одному каналу, можно вызвать у слушателя восприятие движения звукового источника (иллюзия движения). Бинауральное восприятие информации дает человеку огромные преимущества: 1) возможность локализации сигналов, как от одиночных, так и от множественных источников, что позволяет формировать пространственную перспективу и оценивать пространственное звуковое поле; 2) разделение сигналов, приходящих от различных звуковых источников и различных точек пространства; 3) выделение сигналов выбранного звукового источника на фоне других звуковых сигналов, например выделение прямого звука на фоне реверберирующих сигналов в помещении, выделение речи на фоне шумов и т.д. В 1962 г. Этол и Шредер продемонстрировали способ применения фильтрации звуковых сигналов для получения нужного эффекта локализации. Единственными 148


источниками звука были два громкоговорителя, но реально воспринимаемые звуковые образы могли быть локализованы далеко в стороне и даже сзади слушателя. Воспринимался даже угол возвышения источника звука. Иллюзия пространства была настолько убедительна, что слушатель соблазнялся оглянуться для поисков невидимых источников звука. Однако в этот момент, когда он поворачивал голову, иллюзия реальности исчезала, переходя зачастую в ощущение источников «внутри головы». Таким образом, локализация звукового источника в пространстве обусловлена тремя физическими факторами: а) интенсивностным (Interaural Intensity Difference) – возникающим из-за неодинаковой величины интенсивностей звуковой волны вследствие дифракции ее вокруг головы и образования «акустической тени» со стороны, обратной источнику звука; б) временным (Interaural Time Difference) – возникающим из-за несовпадения по времени моментов прихода одинаковых фаз звука к левому и правому уху (фазовая локализация); в) спектральным – возникающим из-за разницы в спектральном составе звуков, воспринимаемых левым и правым ухом [9]. Суть интенсивноcтной стереофонии в чистом виде состоит в том, что на два разнесенных в пространстве громкоговорителя подается один и тот же сигнал, отличающийся только соотношением уровней. Слушатель, расположенный на некотором расстоянии перед громкоговорителями и симметрично относительно н��х, при равных громкостях сигналов ощущает звук исходящим не из громкоговорителей, а из точки, находящейся в центре базы громкоговорителей (рис. 15.15,а). При изменении соотношения уровней сигналов, излучаемых громкоговорителями, у слушателя возникает ощущение смещения виртуального источника в сторону более громко звучащего громкоговорителя. Экспериментальные измерения К. де Бура привели к простой зависимости углового положения виртуального источника от соотношения уровней излучаемых сигналов (рис. 15.15,б). Однако теория не учитывает зависимость разрешающей способности по углу от ширины спектра звукового сигнала, а также возможность локализации человеком источника широкополосного высокочастотного звука при отсутствии бинауральной разности интенсивностей.

а б в Рис. 15.15. Взаимное расположение громкоговорителей и слушателя в эксперименте по интенсивностной локализации (а); экспериментально измеренная зависимость углового смещения виртуального источника звука при интенсивностной локализации по К. де Буру (б); схема измерений с использованием линии задержки (в) В экспериментах по фазовой локализации на громкоговорители подаются два сигнала равного уровня с одинаковым спектром, но сдвинутые друг относительно друга во времени на величину задержки τ З (рис. 14,в). Как и в экспериментах с интенсивностной локализацией имеет место появление виртуального источника, положение которого зависит от величины задержки. При увеличении задержки кажущийся источник смещается в сторону громкоговорителя с «опережающим сигналом». Подобные эксперименты были проведены К. де Буром, Б. А. Адаменко, Х. Хаасом, Ю. А. Ковалгиным. В работах было показано, что для определенных звуковых образов при соответствующих задержках и уровнях сигналов ощущается либо один кажущийся источник звука – «эффект смещения», либо один 149


действительный – «эффект подавления», либо два действительных – «эффект раздвоения». Все эти эффекты объяснялись авторами различным образом. Следует отметить, что от места положения громкоговорителей относительно находящихся в непосредственной близости пола, стен и потолка зависит как спектральный, так и временной аспекты распространения звука. Попытка единого объяснения механизмов восприятия была сделана позже В. А. Зверевым и Л. А Жестянниковым в физической теории направленного слуха [9], созданной на основе алгоритма апертурного синтеза в частотной области, включающей в себя следующие этапы обработки сигналов (рис. 15.16): 1) выделение полос частот исследуемого сигнала цепочкой полосовых фильтров (базилярная мембрана внутреннего уха эквивалентна ~ 20000 параллельно включенным фильтрам, добротность которых для частот меньших 500 Гц меняется, а для всех частот ≥ 500 Гц постоянна и равна 6 (Бекеши, 1960 г., Фельдкеллер Р., Цвикер Э., 1965 г.)); 2) нахождение взаимной корреляционной функции спектральных амплитуд сигналов на каждой частоте; 3) Фурье-преобразование полученной функции (спектр-анализ).

Рис. 15.16. Блок-схема обработки сигналов при использовании алгоритма АСЧО в одном квадратурном канале: s1(t), s2(t) – входные сигналы, Фi – полосовые фильтры, Кi – корреляторы С помощью алгоритма АСЧО В.А. Зверевым и Л.А Жестянниковым (1973–1979 гг.) были объяснены, полученные ранее экспериментально, эффекты интенсивностной и фазовой локализации в стереофонии (К. де Бур, Д. М. Ликей, Б. А. Адаменко, Ю. А. Ковалгин). Было показано, что интенсивностная локализация возможна только для низкочастотных звуковых образов, а фазовая локализация сопровождается появлением не одного, а двух виртуальных источников звука, которые расположены симметрично относительно центра базы 150


громкоговорителей [9]. Тем не менее, в понимании пространственного слуха важную роль играют и другие теории слуха: костная, зрительная, вестибулярная и осязательная [8]. 1. Костная теория. Звуковые волны могут поступать во внутреннее ухо не только через барабанную перепонку и слуховые косточки, но и через так называемый костный канал, когда вызванные звуковой волной колебания черепа через височную кость передаются непосредственно на внутреннее ухо. Механизм такой звукопередачти описан Бекеши и Тонфордом. 2. Зрительные теории (Стреттон (1887), Хельд (1955), Джефрри и Тейлор (1961), Блауэрт (1970)). Основаны на том, что ощущение места слухового объекта зависит от того, что видит слушатель во время прослушивания и где находится видимый объект. 3. Вестибулярная теория слуха (Мюнстерберг и Пирс (1894), Холь (1909), Фрей (1912), Бекеши (1922), Кларк (1949), Ван-де-Феер (1958), Бишоф (1966) и др.). В основу положена предпосылка о том, что в процессах пространственного слуха учувствует вестибулярный аппарат (те части внутреннего уха, которые реагируют на изменение положения головы и тела человека в пространстве). 4. Осязательные (тактильные) теории пространственного слуха получили наименьшее признание среди остальных теорий. Построены на предположении о том, что в формировании ощущения места слухового объекта участвуют не только звуковые колебания у барабанных перепонок, но также колебания и у осязательных рецепторов (тактильные приемники). Тактильно чувствительными являются, например, области волосяного покрова на затылке, а также области вокруг ушных раковин (Перекалин (1930), Гюттих (1937), Блауэрт (1969)). Для объяснения локализации движущегося источника звука, недостаточно механизмов, изложенных выше [3, 4, 57]. В работах доктора медицинских наук Я. А. Альтмана проводится регистрация электрической активности мозга, возникающей в ответ на звуковые сигналы, что отражает деятельность центров слуховой системы и других высших центров мозга. Проведенные эксперименты Я. А. Альтманом и С. Ф. Вайтулевичем позволили сформулировать следующие принципы: 1) у мужчин механизм обнаружения «полезного» звука на фоне помехи более стабилен, что позволяет предположить о половом различии базовых принципов, определяющих восприятие звуковых сигналов; 2) по «силе ответа» правого полушария было заключено о его ведущем значении в пространственном слуховом анализе движущихся источников звука. Тем не менее, локализуемость слуховых объектов более или менее точна. Так, например, задать точно протяженность и положение источника непрерывного тона в гулком помещении невозможно (звук воспринимается диффузным – приходящим со всех сторон). Пространственное восприятие возможно лишь при наличии бинаурального слуха (при односторонней глухоте определение местоположения источника звука одним ухом облегчается поворотом головы в сторону звучащего источника) [14].

15.7.3. Комбинационные тоны, связанные с нелинейностью механизма работы уха Комбинационными называют тоны, образуемые в результате сложения и вычитания частот исходных тонов. Они возникают как следствие нелинейных характеристик звукового тракта (звуковоспроизводящей аппаратуры, среды, органов слуха). При одновременном звучании двух тонов и отсутствии ощущения их биений по мере увеличения громкости ухо услышит, по крайней мере, еще один дополнительный тон частотой, равной разности частот первых двух тонов. Если созвучие, состоящее из двух тонов, подать на анализатор спектра, дополнительные тоны, возникающие в результате сложения или вычитания исходных тонов, не обнаружатся. Комбинационные тоны, получаемые путем вычитания частот исходных тонов или обертонов, называют разностными. Комбинационные тоны, образуемые путем сложения частот исходных тонов или их обертонов, называют суммарными. 151


В слуховом восприятии проявляется целый ряд нелинейных эффектов, возникновение которых в значительной степени обусловлено нелинейностью механизма работы внутреннего уха. Среди этих нелинейных эффектов наиболее известны комбинационные тоны, в частности комбинационный тон частоты 2ν 1 − ν 2 , иногда называемый нижним «кубическим дифференциальным тоном», который возникает в случае, когда в наружное ухо поступает два первичных тона с частотами ν 1 и ν 2 (ν 2 >ν 1 ). Тот факт, что комбинационный тон возникает во внутреннем ухе (а не в среднем ухе или в результате преобразований сигналов в нервной системе) неопровержимо вытекает из психоакустических и нейрофизиологических законов. Комбинационный тон с частотой 2ν 1 − ν 2 становится слышным при уровнях звука, близких к порогу слухового ощущения, когда среднее ухо еще обладает высоколинейными характеристиками. Амплитуда комбинационных тонов очень сильно зависит от разности частот первичных тонов, уменьшаясь со скоростью 100 дБ на октаву. Согласно данным как психоакустических, так и нейрофизиологических экспериментов комбинационный тон с частотой 2ν 1 − ν 2 можно подавить, если воздействовать на наружное ухо третьим синусоидальным колебанием с частотой 2ν 1 − ν 2 и соответствующими амплитудой и фазой.

15.7.4. Нейроны и их основные свойства Основной мембраной завершается та часть слухового тракта, в которой акустические сигналы представлены механическими колебаниями. В биполярных нейронах при помощи волосковых клеток происходит перекодирование акустических сигналов в нервные импульсы, и вся дальнейшая обработка информации, воспринятой органом слуха, осуществляется в нервной сети. Как уже упоминалось ранее, в кортиевом органе сосредоточено около 30 000 волосковых клеток, размещенных вдоль всей основной мембраны и осуществляющих связь между основной мембраной и окончаниями примерно такого же числа нервных волокон. Последние образуют слуховой нерв, состоящий из большого числа параллельных каналов, который по выходе из улитки направляется в нервные центры головного мозга. Нервная часть слухового анализатора состоит из цепочек нейронов, которые можно разделить на две основные группы: биполярные, преобразующие с помощью волосковых клеток механические колебания мембраны в электрические импульсы и логические, которые следуют за рецепторными и осуществляют дальнейший анализ сигналов. В отличие от рецепторных логические нейроны реагируют на электрические импульсы, вырабатываемые другими нейронами, и зачастую имеют большое количество разнообразных отростков (дендритов, аксонов) и синапсов, осуществляющих многочисленные связи данного нейрона с другими, в результате чего образуется нервная сеть из сложно переплетенных путей передачи нервных импульсов (рис. 15.17). На основании этой картины общую структуру органа слуха упрощенно можно представить в виде схемы, изображенной на рис. 15.18. Волны, бегущие вдоль основной мембраны, преобразуются рядом биполярных нейронов (Д) в электрические импульсы, которые затем поступают в густо разветвленную нервную сеть, образованную логическими нейронами (Л). При изучении работы слухового отдела нервной системы возникает два основных вопроса: каким образом происходит преобразование механических колебаний основной мембраны в активность «входных» (рецепторных) нейронов слухового тракта и каковы механизмы последующего анализа сигналов в нервной сети.

152


Рис. 15.17. Схематическое изображение нейрона: 1 – тело (сома), 2 – аксон, 3 – начальный сегмент аксона, 4 – дендриты, 5 – синапс Для их выяснения необходимо соответственно изучить свойства рецепторных и логических нейронов. Установлено, что активность любого нейрона сопровождается генерацией электрических импульсов, причем характеристики отдельных импульсов не зависят от вида и интенсивности раздражающего фактора, вызывающего их генерацию. Максимальное изменение потенциала при появлении каждого импульса имеет порядок 100 мВ, а продолжительность импульса составляет примерно 0,5 мс.

Рис. 15.18. Упрощенная структурная схема органа слуха Генерация импульса нейроном (возбуждение) происходит при условии, что интенсивность воздействующего на этот нейрон раздражителя превышает некоторую величину – нижний порог чувствительности, или абсолютный порог. По мере увеличения интенсивности раздражителя возрастает количество или частота импульсов, генерацией которых откликается нейрон на данное раздражение. Иначе говоря, для кодирования 153


интенсивности раздражения в нервных сетях используется частотно-импульсная модуляция. Максимальная частота пульсаций одиночного нейрона не может превышать 500–1000 Гц, и интенсивность раздражителя, при которой она достигается, называется верхним порогом чувствительности нейрона. Верхний и нижний пороги совместно определяют динамический диапазон, в пределах которого нейрон способен передавать информацию об интенсивности раздражителя. Существуют нейроны с весьма различными значениями порогов и динамического диапазона, а также с разными типами зависимости частоты пульсаций от интенсивности раздражителя. Расширению динамического диапазона служат механизмы пространственного и временного суммирования, адаптации и образования нейронных каналов. Сущность пространственного суммирования заключается в том, что нейрон возбуждается суммой раздражений, воздействующих одновременно на все входы. Если интенсивности раздражителей по отдельным входам остаются ниже абсолютного порога, но их сумма превышает этот порог, то возбуждение нейрона все же происходит. Механизм временного суммирования состоит в том, что возбуждение нейрона происходит из-за накопления раздражения в течение некоторого времени, предшествующего моменту возбуждения. При этом также несколько подпороговых раздражителей, каждый из которых в отдельности не может возбудить нейрон, способны вызвать его возбуждение, если будут приложены друг за другом в течение определенного отрезка времени. Пространственное и временное суммирование позволяет повысить чувствительность рецепторных нейронов и расширить динамический диапазон того или иного органа чувств в сторону минимальных интенсивностей воспринимаемых сигналов. Явление адаптации представляет собой постепенное повышение порогов, т. е. понижение чувствительности нейрона, при воздействии достаточно сильного раздражителя. Наконец, мощным средством расширения динамического диапазона в сторону высоких интенсивностей раздражителя оказывается использование для передачи информации вместо одного нейрона так называемого нейронного канала. Под нейронным каналом подразумевается совокупность целого ряда нейронов с различными порогами. Легко понять, что при минимальных интенсивностях раздражения такого канала возбудятся только нейроны с особенно низким абсолютным порогом, но по мере увеличения интенсивности раздражителя в передачу сигналов будет включаться все большее число нейронов, причем суммарное количество импульсов на выходе такого канала продолжает расти, несмотря на насыщение частоты пульсаций отдельных наиболее чувствительных нейронов. Результирующий динамический диапазон нейронного канала оказывается значительно шире, чем у отдельных нейронов. Условия работы рецепторных нейронов слухового тракта отличаются тем, что здесь раздражитель имеет, как правило, периодический характер. Различаются две основные частотные области, в которых рецепторные нейроны по-разному реагируют на колебания основной мембраны. При достаточно низких частотах (ниже 200–300 Гц) наблюдается устойчивая синхронизация пульсаций нейронов колебаниями, воспринимаемыми ухом (рис. 15.19,б). Характерно, что генерация импульсов происходит только при отклонении мембраны в сторону вестибулярного канала. Если перейти от одиночного нейрона к нейронному каналу, который может вырабатывать значительно больше импульсов, чем одиночный нейрон, то, как показано на рис. 15.19,в на протяжении положительной полуволны можно получить сравнительно точное отображение мгновенных значений отклонения основной мембраны через изменение частоты входных импульсов. Поскольку энергия отдельного импульса остается стандартной величиной, то частота выходных импульсов однозначно определяет интенсивность реакции нейронного канала. Иначе говоря, при восприятии низкочастотных звуковых колебаний на выходе рецепторных нейронов сохраняется информация о периоде этих колебаний и даже о форме их положительных полуволн. В области частот выше 1 кГц отдельный нейрон не успевает возбуждаться в такт с 154


каждым колебанием мембраны. В нейронном канале признаки синхронизации импульсов колебаниями основной мембраны пропадают на частотах порядка 4 кГц. Здесь уместно говорить в основном о сохранении связи между частотой пульсаций и интенсивностью колебаний мембраны.

Рис. 15.19. Отклик одиночного нейрона (а) и нейронного канала (б) на колебание низкой частоты (а) Между двумя рассмотренными частотными областями лежит довольно широкая переходная область, где выходные импульсы рецепторных нейронов синхронизированы в большей или меньшей степени колебаниями основной мембраны, но четкого отражения формы этих колебаний в частоте импульсов не наблюдается.

XVI. ОСНОВЫ АКУСТИКИ ПОМЕЩЕНИЙ 16.1. Общие сведения После отражения звуковой волны энергия, оставшаяся в помещении, характеризуется коэффициентом отражения β (энергия, теряемая в помещении после отражения), коэффициентом звукопоглощения α (энергия звуковой волны, прошедшая сквозь поверхность) и коэффициентом звукопроводности γ [18]. Введем обозначения, пусть Eпад – энергия звука, падающего на поверхность; Eотр – энергия звука, отраженного от поверхности; Eпр – энергия звуковой волны, прошедшей сквозь поверхность в соседнее помещение; Eпогл – энергия звуковой волны, теряемая в помещении при отражении. Тогда E E E α = погл ; β = отр ; γ = пр . (16.1) E пад Eпад Eпад Очевидно, что если нет дифракции, то α + β = 1 , так как Eпогл + Eотр = Eпад . Значения

коэффициентов α , β , γ зависят от материала и конструктивных особенностей поверхности, от частоты и угла падения звуковой волны. Поверхности пустого помещения, обработанные разными материалами с коэффициентами звукопоглощения α n (коэффициент поглощения материалов, которыми обработана поверхность помещения), при площади каждого из них, соответственно равной S1, S2,...Sn, образуют общий фонд звукопоглощения A: L

Aобщ = ∑ α n S n .

(16.2)

n =1

Поглощение измеряется в сэбинах (Сб) или в квадратных метрах. Начало современной науки об архитектурной акустике и было положено американским ученым У. К Сэбином. В 1895 году (в это время Сэбин был ассистентом профессора физики в Гарвардском университете) ректор университета предложил ему выявить акустические помехи в лекционном зале только что построенного Музея искусств в 155


Гарварде. С помощью органных труб и огромного количества подушек он превратил лекционный зал и соседние с ним комнаты в лабораторию и начал изучать поведение звука в замкнутых объемах. Продолжительность звучания Сэбин определял с помощью секундомера. На основе опытов Сэбин сформулировал три фундаментальных требования, которым должны удовлетворять любые залы, предназначенные для концертов, лекций и выступлений: 1) достаточно громкий звук; 2) сохранение относительных интенсивностей одновременно звучащих компонентов сложного звука; 3) четкость и разделение как друг от друга, так и от посторонних шумов последовательных звуков речи или музыки при быстрой артикуляции. Он писал: «Эти три положения являются как необходимыми, так и полностью достаточными условиями хорошей акустики зала. Другими словами, проблема архитектурной акустики связана с тремя явлениями: реверберацией, интерференцией и резонансом. Кроме того, как инженерная проблема она включает в себя вопросы формы аудитории, ее размеров и материалов, из которых она построена». Основным недостатком лекционного зала Музея искусств Фогга в Гарварде была его чрезмерная реверберация. Любой звук, порожденный в замкнутом помещении, прежде чем затухнуть в результате поглощения стенами, потолком и полом, успевает несколько раз отразиться от их поверхностей. В лекционном зале поглощение было столь малым, что произнесенное обычным тоном слово продолжало звучать в течение 5,6 с из-за многократного отражения от стен, потолка, пола. Такое явление Сэбин назвал реверберацией. Сэбин измерял секундомером время звучания органной трубы от начала до того момента, пока звук уже не ощущался на слух. Он полагал, что степень ослабления реверберации должна быть пропорциональна степени поглощения звука. Сэбин вместе со своими коллегами вынес около 1500 подушек от сидений из ближайшего театра, постепенно заполнял ими сидения кресел в зале музея и измерял время полного затухания звука органной трубы. В обычных условиях время реверберации звука в зале равнялось 5,6 с. После того когда все 436 сидений были покрыты подушками, продолжительность звучания упала до 2,03 с. Затем подушками застелили проход между рядами и сцену, а также до самого потолка закрыли заднюю стену. В результате такого подхода нота, сыгранная на органной трубе, теперь звучала уже в течение 1,14 с. Эксперимент потребовал нескольких ночей. Потом подушки вернули в театр, а Сэбин продолжал изучать поглощение звука в этом зале, но уже с другими материалами. Сэбин доказал, что полное поглощение звука в комнате, умноженное на время реверберации, есть величина постоянная. В 1929 г. двоюродный брат У. Сэбина – П. Сэбин заметил, что влажность воздуха в измерительной камере также влияет на время реверберации. Более точное исследование этого явления было сделано в 1931 г. В. Кнудсеном, который определил, что поглощение звука в сухом воздухе больше, чем во влажном (поглощение звука вызвано вязкостью, теплопроводностью воздуха, а также молекулярными потерями). Так как в помещении находятся люди и различные предметы, поглощающую поверхность которых трудно учесть, то для удобства расчетов введены эквивалентные коэффициенты поглощения для людей и предметов на их единицу. В этом случае произведение эквивалентного коэффициента поглощения α k на число предметов N k называется дополнительным фондом поглощения: M

Aдоп = ∑ α k N k .

(16.3)

k =1

Однако кроме основного и дополнительного фондов звукопоглощения, необходимо учитывать и так называемый добавочный фонд звукопоглощения, пропорциональный L

коэффициенту добавочного звукопоглощения α доб ( Aдоб = αдоб S , где S = ∑ S n ), который n =1

учитывает проникновение звуковых волн в различные щели и отверстия помещения, а также колебания разнообразных гибких элементов, поглощение звука осветительной аппаратурой и 156


т.д. Значения α доб зависят от частоты. Тогда общее звукопоглощение в помещении будет следующим: A0 = ∑ α n S n + ∑ α k N k + αдоб ∑ S n .

(16.4)

Ориентировочно общий фонд звукопоглощения может быть определен на основе среднего коэффициента поглощения α ср : A = αср ∑ S n = αср S . Тогда среднее значение

A соответствует S условному материалу, который обеспечил поглощение звуковой энергии, свойственное данному помещению, поверхность которого обработана разнородными материалами. Воспользовавшись табл. 16.1 можно определить требуемый коэффициент поглощения α ср . Коэффициенты добавочного звукопоглощения α доб для различных студий и различных

коэффициента звукопоглощения для конкретного помещения

αср =

частот сведены в табл. 16.2. В табл. 16.3 приведены коэффициенты звукопоглощения основных поглотителей для разных частот. Таблица 16.1 Среднее значение коэффициента поглощения Назначение помещения Средний коэффициент поглощения, α ср Концертный зал для исполнения симфонической музыки Оперный театр Драматический театр, кинозал Эстрадный театр Студия для озвучивания при создании эффекта открытого пространства

0,19 0,2 0,22 0,25 0,45

Таблица 16.2 Коэффициент добавочного звукопоглощения Наименование студии Значение α доб на частоте, Гц 125 250 500-2000 Большая музыкальная 0,09 0,075 0,04 Средняя музыкальная 0,085 0,07 0,036 Малая музыкальная 0,08 0,065 0,033 Камерная 0,075 0,06 0,03 Таблица 16.3 Коэффициенты звукопоглощения основных поглотителей Поглотитель α в зависимости от частоты, Гц 125 250 500 6000 Слушатели 0,33 0,41 0,44 0,47 Слушатели на деревянных стульях 0,17 0,36 0,47 0,44 Кресло деревянное 0,02 0,02 0,02 0,03 Кресло деревянное обитое кожей 0,10 0,12 0,17 0,10 Кресло деревянное обитое кожей и поролоном, 0,05 0,09 0,12 0,15 стул мягкий Стул полумягкий 0,05 0,08 0,18 0,05 Стул жесткий 0,02 0,02 0,02 0,02 Публика на 1 м2 0,28 0,40 0,45 0,44 Пол на деревянных балках 0,15 0,11 0,10 0,06 Резина толщиной 5 мм на полу 0,04 0,04 0,08 0,06 157


Линолеум на твердой основе Стена, оштукатуренная и окрашенная краской клеевой Стена, оштукатуренная и окрашенная масляной краской Стена песочно-известковая Гипсовая штукатурка Мрамор, гранит Проем стены Вентиляционные решетки Окно (стекло ординарное) Двери сосновые Двери лакированные Дверь металлическая

0,02 0,02

0,02 0,02

0,03 0,03

0,04 0,04

0,01

0,01

0,02

0,02

0,04 0,04 0,01 0,20 0,30 0,35 0,10 0,03 0,01

0,05 0,04 0,01 0,30 0,42 0,25 0,11 0,02 0,01

0,06 0,04 0,01 0,30 0,50 0,18 0,10 0,05 0,01

0,06 0,07 0,02 0,20 0,52 0,03 0,11 0,04 0,02

Основной характеристикой помещения является время реверберации, то есть время затухания звука при многократных отражениях. Чтобы время реверберации характеризовало только акустические свойства помещения, ввели понятие время стандартной реверберации – это время, в течение которого плотность звуковой энергии и интенсивность звука уменьшаются в 106 раз, то есть на 60 дБ (звуковое давление уменьшается в 103 раз). Время стандартной реверберации вычисляется по формуле Эйринга [18]: 0,161⋅V T= , (16.5) α/ S где α / – реверберационный коэффициент поглощения: α / = − ln ( 1-αср ) , V – объем помещения, S – площадь ограничивающих его поверхностей. Если средний коэффициент поглощения невелик, то α / = αср . Следовательно, для случая малых коэффициентов поглощения время стандартной реверберации вычисляется по формуле Сэбина: 0 ,161 ⋅ V 0 ,161 ⋅ V T= = . (16.6) αср S A В помещениях большого объема на частотах более 1000 Гц учитывают дополнительное поглощение, обусловленное поглощением звука в воздухе (вязкость среды), равное [ 4 µV ], µ – частотно-зависимый коэффициент поглощения звука в воздухе. Таким образом, время стандартной реверберации будет определяться полной формулой Эйринга: 0 ,161 ⋅ V . T= / (16.7) α S + 4 µV Ощущаемое на слух время реверберации называют эквивалентной реверберацией. Эквивалентная реверберация уменьшается при приближении к источнику звука, так как уменьшается акустическое отношение, и это хорошо ощущается слушателями. А в удаленных точках зала, где акустическое отношение наиболее велико, всегда ощущается большая гулкость, чем в других точках помещения. Если в помещении, в котором исполняется музыкальная программа или произносится речь, время реверберации очень велико, то художественность исполнения музыки сильно страдает из-за большой гулкости, а речь становится неразборчивой. С другой стороны, если время реверберации очень мало, то музыка и речь звучат резко, отрывисто. Только при вполне определенном времени стандартной реверберации звучание получается наилучшим. Соответствующее время реверберации называют оптимальной реверберацией. Оказывается, что для разных видов программ оптимальное время реверберации различно: – для передачи речи (для речевых студий): Tопт = 0,3 lgV-0,05 ; 158


– для оперных театров: Tопт = 0,4 lgV-0,15 ; – для симфонической музыки: Tопт = 0,5 lgV-0,3 ; – студии, предназначенные для концертных программ: Tопт = 0,5 lgV-0,15 . Оптимальное время реверберации для речевых студий составляет 0,4…0,5 с. При передаче речи из студий с большим объемом и для создания эффекта звучания речи в большом помещении это время увеличивают до 0,7…0,8 с. В литературно-драматическом блоке основная студия имеет большие размеры. Так как в основном в этих студиях необходимо обеспечить высокую разборчивость речи, то время реверберации следует брать небольшим. Из опыта установлено, что это время должно быть 0,5…0,6 с. В основной студии литературно-драматического блока время реверберации так же, как и в речевых студиях не должно зависеть от частоты (допускается небольшое снижение в обе стороны от частоты 500 Гц).

16.2. Звукопоглощающие материалы и конструкции Обработка поверхностей помещений звукопоглощающими материалами и конструкциями необходима для получения оптимальных акустических характеристик, среди которых особую роль играет время стандартной реверберации. Для достижения требуемой частотной характеристики звукопоглощения обычно комбинируют конструкции, поглощающие энергию преимущественно на низких, средних и высоких частотах звукового диапазона. Коэффициенты поглощения зависят от угла падения звуковой волны на поглощающий материал. Различают нормальный коэффициент поглощения (для угла падения 90°) и диффузный для других углов падения (в таблицах обычно приводят только диффузный коэффициент поглощения). Коэффициенты поглощения зависят от частоты. Одни материалы имеют большее поглощение на низких частотах, другие – на высоких, третьи – на средних. Звукопоглощающие материалы по строению делятся на сплошные и пористые, а по применению – на стеновые, облицовочные, драпировки и специальные (например, мембранные и резонаторные конструкции). Сплошные материалы (бетон, кирпич, мрамор, дерево и т.п.), как правило, твердые, то есть имеют акустическое сопротивление значительно больше сопротивления воздуха. Поэтому их коэффициенты звукопоглощения очень малы. Некоторые из этих материалов (дерево, мрамор) используются и для стен, и как облицовочные. С увеличением частоты коэффициенты поглощения твердых сплошных материалов растут. Из мягких сплошных материалов в качестве облицовочного используется плотная резина. Ее акустическое сопротивление не очень велико, а коэффициент поглощения в среднем составляет ~ 10%. Пористые материалы (штукатурки, облицовочные плиты с перфорацией и без нее, щиты, портьеры, ковры и т.п.) используются только как облицовочные и для драпировок, то есть во всех случаях за ними располагаются (вплотную или на некотором расстоянии от них) ограждающие конструкции из сплошных материалов (стены, потолки, полы и другие перегородки). При падении звуковых волн на перегородку из пористого материала необходимо учитывать отражение звука как от лицевой поверхности, так (для прошедших в нее волн) и тыльной с учетом поглощения звука в порах. Для материалов, хорошо проницаемых для звука, следует учитывать и возможность возвращения звуковых волн, отраженных от ограждающих конструкций, находящихся за рассматриваемой пористой перегородкой. Также разработаны специальные поглощающие материалы с акустическим сопротивлением, близким к сопротивлению воздуха (например АГШ – акустическая гипсовая штукатурка). Их коэффициенты поглощения на некоторых частотах близки к единице. Мембранные звукопоглощающие конструкции – тонкая колеблющаяся перегородка из 159


сплошных материалов. Для увеличения потерь в перегородке под нее могут подкладывать демпфирующие материалы, например войлок. Резонирующие панели, изготовленные из натянутого холста с войлочной подкладкой, называют щитами Бекеши. Подобные панели изготовляются также из тонкой фанеры с поролоновым демпфером. Они бывают не только в виде плоских конструкций, но и в виде колонн и полуколонн. В зависимости от толщины фанеры или натяжения холста можно изменять частоту резонансов и таким образом получать максимумы поглощения в тех диапазонах частот, в которых требуется большее поглощение: а) частота резонанса для натянутого холста: n F , νn = 2l ρ ⋅ t ⋅ b где n – порядок резонансной частоты, l – длина полотна, t – толщина холста, ρ плотность холста, b – ширина полотна, F – сила натяжения; б) частота резонанса для фанерного листа (при соотношении длины к ширине 2:1): t ν n = 3,45 ⋅ 10 3 2 , l где t – толщина фанеры, l – длина листа фанеры. Щиты Бекеши изготавливаются в основном для поглощения низких частот. Широкое распространение получили резонаторные звукопоглощающие конструкции, построенные по принципу резонаторов Гельмгольца. Они эффективно поглощают звуковую энергию на частотах вблизи их резонансной частоты. Эффективность поглощения таких резонаторов определяется потерями в горле резонатора, где скорость колебаний максимальна. Там и должен быть расположен материал, вносящий затухание в колебания, например имеющий высокое внутреннее трение (вязкость). В практике для подобных резонаторов используют различные ниши, выходные отверстия которых затягивают тканью. Подобные резонансные поглотители выполняют также в виде больших щитов (на всю стену или потолок) с отверстиями, затянутыми тонкой металлической сеткой. Отверстия иногда делают разных размеров и на разных расстояниях, в результате чего получаются наборы резонаторов.

16.3. Системы озвучивания В зависимости от расположения громкоговорителей по отношению к озвучиваемой площади системы озвучивания подразделяют на сосредоточенные, распределенные и зональные [18]. В помещении, в отличие от открытых пространств, обязательно присутствуют реверберационные помехи и помехи от диффузного звука [45]. Для озвучивания помещений используют сосредоточенные и распределенные системы. Зональные системы в них применяются редко, за исключением больших помещений (например, в выставочных залах). Сосредоточенными называют системы, в которых звук к слушателю приходит как бы из одной точки пространства. При этом все громкоговорители располагаются в одном месте и расстояние между крайними громкоговорителями в несколько раз меньше, чем расстояние от них до ближайших слушателей. Если расстояние между соседними громкоговорителями больше наибольшей длины звуковой волны в передаваемом диапазоне частот, то интенсивности звука, создаваемые каждым из громкоговорителей, складываются арифметически. При более близком расположении громкоговорителей друг к другу получается увеличение излучения на низких частотах из-за взаимодействия излучателей и вследствие того, что при малых разностях хода излучаемых волн суммируются звуковые давления. Если озвучивается зал театра или концертный зал, то громкоговорители могут располагаться над сценой, на стенах (по бокам) или в центре помещения. Сосредоточенные системы обеспечивают наилучшее соответствие зрительного и звукового образов и поэтому широко используются при стереофоническом звукоусилении. 160


К особенностям этих систем относится трудность обеспечения малой неравномерности звукового поля на озвучиваемой площади, когда размеры последней велики. Для озвучивания больших площадей часто удобно применять излучающие устройства, обладающие в вертикальной плоскости значительно большей направленностью, чем в горизонтальной. Звуковые колонки и являются такого рода излучателями. В горизонтальной плоскости направленность звуковой колонки практически не отличается от направленности одиночного громкоговорителя того же типа. Однако характеристика направленности цепочки громкоговорителей в вертикальной плоскости значительно обостряется из-за интерференции излучений отдельных громкоговорителей. Распределенными называют системы, в которых звук к слушателю приходит от всех или большей части громкоговорителей с примерно одинаковым уровнем. Ряд громкоговорителей, расположенных так, что их акустические оси взаимно параллельны и направлены в одну сторону, образуют так называемую одномерную или линейную цепочку. В закрытых помещениях одномерная цепочка составляется из громкоговорителей, расположенных на одной (рис. 16.1,а) или на двух боковых стенах помещения (рис. 16.1,б), или на потолке в виде одной или двух цепочек (рис. 16.1,в). Широкое распространение получили распределенная система громкоговорителей небольшой мощности, располагаемых в спинках кресел. Уровень звукового поля у слушателя при этом создается в основном своим и соседними громкоговорителями. В ряде случаев комбинируют сосредоточенную и распределенную системы звукоусиления.

а

б

в Рис. 16.1. Схемы одномерной (а, б) и двумерной (в) распределенных систем: hC – высота от пола до головы слушателя (для сидящих слушателей hC=1,2 м, а для стоящих hC=1,6 м), h – высота подвеса громкоговорителя над головами слушателей, l – длина 161


помещения, d – высота громкоговорителя, r – расстояние от громкоговорителей до точки В помещениях больших размеров настенные линейные цепочки ненаправленных громкоговорителей не позволяют обеспечить требуемой неравномерности звукового поля. В этом случае применяют звуковые колонки. Если ширина помещения не превышает 12 м, используют одну настенную цепочку из звуковых колонок малой и средней мощности. Звуковые колонки располагают на боковых стенах так, чтобы их акустические оси в случае применения одной цепочки были направлены в противоположную стену помещения, а в случае применения двух – по продольной оси помещения. Две цепочки звуковых колонок применяют при ширине помещения до 30 м. При высоте установки колонок неравномерность звукового поля не будет превышать 1 дБ. При использовании ненаправленных громкоговорителей расположенных на потолке (практически всегда выполняется условие h≥d), излучаемая звуковая волна близка к плоской. В этом случае неравномерность озвучения не превышает 1 дБ, а звуковое давление на озвучиваемой площади не зависит от расстояния. Зональными называют такие системы, в которых озвучиваемая площадь разбивается на ряд зон, в каждой зоне звуковое поле создается отдельными громкоговорителями (или группой близко расположенных громкоговорителей). Эти системы обычно применяют для озвучивания больших площадей открытых пространств: парков, производственных территорий, улиц. Однако зональные системы можно использовать в комбинации с сосредоточенной системой, когда последняя не позволяет обеспечить требуемый уровень и заданную неравномерность звукового поля на всей площади, занятой слушателями, например в залах сложной формы, места слушателей на балконе. В зональных системах звуковое поле создается звуковыми колонками, радиальными (рис. 16.2) или рупорными громкоговорителями. Громкоговорители располагают так, чтобы их зоны озвучивания частично перекрывались и покрывали всю озвучиваемую поверхность.

а б Рис. 16.2. Схема расположения зональной системы (а) и дополнительных громкоговорителей, размещенных над балконом (б)

Контрольные вопросы и вопросы для самоподготовки 1. Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колебаний. 2. Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени. 3. Что называется пружинным маятником? Физическим? Математическим? 4. Что такое приведенная длина физического маятника? Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в 5. колебательном контуре? Чем определяется их период? 6. Что такое биения? Чему равна частота биений? Период? 7. Что такое коэффициент затухания, декремент затухания, логарифмический декремент затухания? Что такое автоколебания? В чем их отличие от вынужденных и свободных 8. незатухающих колебаний? 162


9. Что называется резонансом? 10. Что называется реактивным сопротивлением? Полным сопротивлением? 11. Что такое волна? Какие волны называются поперечными, продольными? 12. Что такое волновой фронт? Волновая поверхность? 13. Что называется длиной волны? Какова связь между длиной волны, скоростью и периодом? 14. Что такое волновое число? Фазовая и групповая скорости? 15. При каких условиях возникает интерференция волн? Назовите условия интерференционных максимумов им минимумов. 16. Чем стоячая волна отличается от бегущей? 17. Чему равно расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны? Двумя соседними пучностями? Пучностью и узлом? 18. Что такое электромагнитная волна? Какова скорость ее распространения? 19. Какие характеристики поля периодически изменяются в бегущей электромагнитной волне? Как определить объемную плотность энергии в электромагнитной волне? 20. 21. Укажите абсолютные и дифференциальные пороги восприятия звука в значениях звукового давления и уровня интенсивности звука. Каков динамический диапазон слуха, исходя из порога слышимости и болевого порога? 22. В чем различие логарифмических единиц (которыми оценивают интенсивность звука) – децибела и фона? Какому значению фонов на частоте 50 Гц соответствует уровень интенсивности звука 40 дБ? То же для уровня интенсивности звука 20дБ? Приведите доказательства того, что звук распространяется в виде волны. 23. 24. Что является свидетельством того, что звук является формой энергии? 25. Какие доказательства вы можете привести в пользу того, что скорость распространения звука в воздухе не зависит от частоты? 26. Какова главная причина того, что скорость распространения звука в водороде меньше, чем в воздухе? 27. Два камертона колеблются с одинаковыми амплитудами, однако частота колебаний одного из них в два раза больше, чем другого. Какой из них воспринимается более громким (если вообще существует различие в громкости)? 28. Как влияет повышение температуры воздуха на громкость звука, приходящего от источника с фиксированной частотой и амплитудой? Считайте, что атмосферное давление не меняется. 29. Почему струны, изготовленные из жил животных, в некоторых музыкальных инструментах оплетены тонким проводом? 30. Почему на гитаре лады располагаются все теснее друг к другу по мере продвижения по грифу? 31. Звук акустического удара очень напоминает звук взрыва. Поясните сходство между этими явлениями. 32. Что такое стереоэффект? Почему на частотах ниже 150 Гц стереоэффект не ощущается? 33. Почему слуху свойственны нелинейные искажения? Какими практическими примерами можно проиллюстрировать это обстоятельство? 34. Почему для больших залов расчет времени реверберации дает результат, подчас весьма далекий от реального? Какими параметрами оценивают акустические свойства таких залов? 35. В чем различие понятий: звукопоглощение и звукоизоляция? От каких физических причин зависит первое и второе? Почему при проникании звуков музыки из соседних квартир в вашу 36. звучание воспринимается в виде ритмических ударов, а не мелодии, почему речь (текст песни) оказывается неразборчивой? 163


37. Зачем необходимы микрофоны с различными диаграммами направленности? Приведите примеры их использования. 38. Почему частоты механического резонанса подвижной системы микрофона стремятся вывести за пределы рабочего диапазона частот: у катушечного и ленточного микрофона сделать ниже, а у конденсаторного поднять выше верхней границы рабочего диапазона частот? 39. Как расположить громкоговорители при озвучивании протяженного и неширокого пространства, например, улицы? 40. Зачем в эстрадных установках звукоусиления акустические системы располагают «этажеркой», ставя несколько акустических систем одну на другую? Почему при формировании сигнала звукового вещания (даже 41. монофонического) используют несколько микрофонов, а не два или один? 42. Объясните природу структурного и контактного шума магнитной записи. 43. Правильно ли определение, что АЧХ – это зависимость напряжения на выходе устройства от частоты? Если нет, как следует уточнить это определение? Для устранения эхо можно: уменьшить размеры проектируемого зала, 44. применить акустические поглотители, поставить рассеиватели звуковой энергии? 45. Какие модели слуха вы знаете? Назовите методы изучения органа слуха. Чем объясняется восприятие человеком комбинационных тонов. 46. Нейроны и восприятие звуковых образов. Свойства нейронов и их модели. Охарактеризуйте акустические характеристики помещений. 47. 48. Какие материалы и конструкции используют для звукопоглощения? Как определяется коэффициент звукопоглощения? В чем заключается различие между эхом и реверберацией? 49. 50. Что понимают под стандартным и оптимальным временем реверберации? 51. Как определяют общий фонд поглощения? 52. Варианты реализаций систем озвучивания с помощью громкоговорителей. 53. Физиологические принципы преобразования механических колебаний в нервное возбуждение. Пространственная локализация источников звуковых сигналов. 54.

Задачи для самостоятельного решения 1. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний равен 24 с, начальная фаза равна нулю. π π 2. Уравнение движения точки дано в виде x = 2cos t +  см. Определите 4 2 период колебаний, максимальную скорость точки, ее максимальное ускорение. 3.

Уравнение движения точки дано в виде x = sin

π

t . Найдите моменты времени, 6 в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение. 4. Материальная точка массой 10 г колеблется согласно уравнению π π x = sin t +  см. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию 4 5 колеблющейся точки. 5. Дельфины испускают ультразвуковые волны с частотой 250 000 Гц. Определите длину волны такого звука а) в воде; б) в воздухе. Считайте, что температура равна 20 °С. Диапазон частот радио FM (64–108) MГц. Какому диапазону длин волн это 6. соответствует? 7. Приближающийся теплоход дал гудок, звук которого услышали на мосту через 164


3 с. Спустя 3 мин теплоход прошел под мостом. Температура воздуха 170 С. Найти скорость движения теплохода. 8. При какой температуре скорость звука в воздухе увеличится на треть по сравнению со скоростью при температуре 00 С? При какой температуре станет на треть меньше? Скорость звука при t=00 С принять равной 330 м/с. 9. Сравнить (найти отношение) энергии волн звуковой и ультразвуковой частоты, если амплитуды колебаний одинаковы, а частоты соответственно равны 5 кГц и 1 МГц. 10. В шахту упал камень. Человек услышал звук его падения через 6,0 с после начала падения. Найти глубину шахты. Температуру воздуха принять равной 00С. 11. Длина звуковой волны в воздухе для самого низкого мужского голоса достигает 4,3м, а для самого высокого женского голоса 25 см. Найти частоты этих колебаний. 12. Два когерентных источника звука колеблются в одинаковых фазах. В точке, отстоящей от первого источника на 2 м, а от второго на 2,5 м, звук не слышен. Определить частоту колебаний источников. 13. Путешественник определяет длину озера, прислушиваясь к звуку эха своего голоса, отраженного от скалы на противоположном берегу озера. Он слышит эхо через 1,20 с после крика. Какова длина озера? 14. Амплитуда звуковой волны увеличилась в три раза. Во сколько раз возросла ее интенсивность? На сколько децибел увеличился уровень громкости? Найти длину волны в воздухе на частоте 500 Гц, если давление воздуха 105 Па, 15. а его плотность ρ= 1,26 кг/м3. Интенсивность звука на частоте 10 кГц равна 0,1 Вт/м2. Вычислить объёмную 16. плотность энергии, акустическое давление, смещение и скорость частиц в плоской волне, распространяющейся: а) в воде; б) в воздухе. Скорость звука в воде принять 1500 м/с, в воздухе 340 м/с. 17. Найти коэффициент отражения по давлению и коэффициент передачи энергии при нормальном падении звука из воздуха в воду и из воды в воздух. 18. Чему равен уровень громкости (в дБ) звуковой волны в воздухе, который соответствует амплитуде смещения колеблющихся молекул воздуха 1,2 мм при частоте 80 Гц? 19. Человеческое ухо способно воспринимать разницу, уровней громкости 1,0 дБ. Каково отношение амплитуд двух звуков, уровни громкости которых различаются на эту величину? 20. Звуковая волна с уровнем громкости 75 дБ падает на барабанную перепонку площадью 5,0 ⋅10 −5 м2. Сколько энергии поглощает барабанная перепонка в секунду? 21. Уровень громкости на расстоянии 12,0 м от громкоговорителя равен 100 дБ. Какова акустическая выходная мощность громкоговорителя? 22. Струна «соль» скрипки имеет основную частоту 196 Гц. Колеблющийся участок струны длиной 32 см имеет массу 0,50 г. Какое натяжение должна иметь настроенная струна? Незажатая струна гитары имеет длину 0,70 м; она настроена таким образом, 23. что издает ноту «ми» (330 Гц). На каком расстоянии от конца струны должен быть помещен палец гитариста, чтобы струна давала звук «ля» той же октавы (440 Гц)? 24. Тонкую струну заменили струной из того же материала, но имеющей вдвое больший диаметр. Во сколько раз нужно изменить натяжение струны, чтобы частота колебаний струны не изменилась? 25. Струны скрипки настроены таким образом, что частота звучания каждой последующей струны в 1,5 раза превосходит частоту звучания соседней. Если натяжения всех струн одинаковы, то какова должна быть при этом линейная плотность (масса на единицу длины) каждой струны относительно линейной плотности струны с найнизшей высотой звука? 165


26. С какой силой необходимо натянуть стальную струну длиной 20 см и диаметром 0,2 мм, чтобы она издавала ноту «ля» (частота 435 Гц)? 27. Струна гитары массой 1,50 г и длиной 80 см расположена вблизи открытой с одного конца трубы, имеющей длину также 80 см. Каково должно быть натяжение струны, чтобы частота ее третьей гармоники совпадала с частотой четвертой гармоники трубы? Температуру положите равной 200С. 28. Чему будет равна частота биений в случае, когда ноты «до» и «до#» (262 Гц и 277 Гц соответственно) звучат одновременно? Будут ли слышны эти биения? 29. Во сколько раз скорость распространения звука в воздухе летом (температура +270С) больше скорости распространения звука зимой (температура – 330С). 30. Определите длину закрытой трубы органа, которая создает звук ноты «до» средней октавы (264 Гц) при температуре 15°С. 31. Найти собственные частоты колебаний воздушного столба в закрытой с обоих концов трубе, имеющей длину 3,4 м. 32. Над цилиндрическим сосудом высоты 1 м звучит камертон, имеющий собственную частоту колебаний 340 Гц. В сосуд медленно наливают воду. При каких положениях уровня воды в сосуде звучание камертона значительно усиливается? 33. Какую форму имеет фронт ударной волны, возникающей в воздухе при пролете пули со скоростью, превышающей скорость звука? 34. Уровень интенсивности звука составляет 120 дБ. Найти звуковое давление и мощность, попадающую в ухо человека. Считать, что площадь уха равна 4 см2 и оно расположено перпендикулярно направлению распространения волны. Скорость звуковой волны равна 340 м/с. Плотность воздуха ρ=1,29 кг/м3. 35. Шум на улице громкостью в 70 фон слышен в комнате так, как шум громкостью в 40 фон. Найти отношение интенсивностей звука на улице и в комнате. 36. Насколько большую мощность должна излучать акустическая система на частоте 20 Гц, чтобы уровень воспринимаемого человеком сигнала был сравним по громкости с сигналом на частоте 1 кГц? Акустическое давление, создаваемое акустической системой на частоте 1 кГц, составляет 2·10-3 Па. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 72 км/ч и 54 км/ч. Первый 37. поезд дает свисток с частотой 600 Гц. Найти частоту колебаний звука, который слышит пассажир второго поезда: 1) перед встречей поездов, 2) после встречи поездов. Скорость звука принять равной 340 м/с. 38. Основная частота звука сирены милицейского автомобиля, когда он стоит на месте, равна 1800 Гц. На какой частоте услышит звук сирены стоящий на месте наблюдатель, если полицейский автомобиль: а) движется навстречу ему со скоростью 90 км/ч; б) удаляется от него с той же скоростью? Каковы будут частоты в случае, когда милицейский автомобиль с сиреной стоит на месте, а автомобиль наблюдателя приближается к нему или удаляется от него со скоростью 90 км/ч. 39. Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных движений с одинаковым периодом 8 с и одинаковой амплитудой 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями равна

π

4

.

Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю. 40. Определить длину волны колебаний, если расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны равно 15 см.

166


Д

ОСНОВЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

XVII. ОСНОВЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА СИГНАЛОВ Сигнал – это физический процесс, несущий в себе информацию. Математически сигналы чаще описываются функциями времени, тип которых зависит от типа сигнала. В общем случае термин «сигнал» применяется для обозначения любого упорядоченного набора численно зафиксированной информации о каком-либо процессе, объекте и т.п. Сигнал может быть функцией каких-либо переменных, будь то время, пространственные координаты или какие-то другие (вообще говоря, n–мерные) величины. К основным типам сигналов относят: аналоговый, дискретный и цифровой. Аналоговым называют сигнал, непрерывный как по времени, так и по состоянию (рис. 17.1).

Рис. 17.1. Аналоговый сигнал Такой сигнал описывается непрерывной или кусочно-непрерывной функцией х(t), при этом и аргумент и функция могут принимать любые значения из некоторых интервалов t1 ≤ t≤t2 и x1≤x≤ x2 соответственно. Дискретным называют сигнал, дискретный по времени и непрерывный по состоянию (рис. 17.2). Такой сигнал описывается решетчатой функцией (последовательностью) вида х(nT), n=0, 1, 2, …, которая определена только в дискретные моменты времени nT и может принимать любые значения из некоторого интервала x1≤x≤x2. Интервал T называют периодом дискретизации, а обратную величину ν Д =1/T – частотой дискретизации.

Рис. 17.2. Дискретный сигнал Значения последовательности в момент времени nT называют отсчётами. Дискретный сигнал может быть как вещественным, так и комплексным. В последнем случае его вещественная и мнимая части описываются вещественными последовательностями х1(nT) и х2(nT): х(nT)=х1(nT)+jх2(nT), где j= − 1 мнимая единица. 167


Цифровым называют сигнал, дискретный по времени и квантованный по состоянию (рис. 17.3).

Рис. 17.3. Цифровой сигнал Такой сигнал описывается квантованной решетчатой функцией (квантованной последовательностью) вида хД(nT), отсчёты которой в каждый момент времени nT принимают дискретные значения уровней квантования из некоторого интервала x1≤x≤x2 . Под спектральным анализом сигнала имеется в виду не только его чисто математическое преобразование, позволяющее, например, анализировать сигнал в частотной области, но и получение на основе этого преобразования выводов о специфике соответствующего процесса или объекта. Таким образом, анализ и обработка периодических и непериодических, стационарных и нестационарных (во времени) сигналов различных типов являются основной областью применения спектрального анализа.

17.1. Теорема Фурье. Спектральное представление периодических сигналов Спектр звукового сигнала (звуковой волны) – один из важнейших инструментов анализа и обработки звука. Французский математик Фурье (1768–1830) и его последователи доказали, что любую периодическую функцию в случае ее соответствия некоторым математическим условиям можно разложить в ряд (сумму) косинусов и синусов с некоторыми коэффициентами, называемый тригонометрическим рядом Фурье [22, 50, 55]. Периодическим называется сигнал, периодически повторяющийся через регулярные промежутки времени. Периодический сигнал можно определить следующим соотношением: x(t) = x(t+Т), для всех t.

(17.1)

Отметим, что наименьшая постоянная величина Т, удовлетворяющая уравнению (17.2), называется периодом сигнала. X(t)=x(t+nT), где

(17.2)

n=0,±1,±2,...

Для периодического сигнала любой формы с периодом Т важными параметрами являются: T

1) 2) 3)

текущее среднее значение за время Т: X СР

1 = ∫ x (t )dt ; T t

среднее значение (постоянная составляющая): X СР среднее выпрямленное значение: X СР . ВЫП

168

1 = T

T

1 = T

t +T

∫ x(t ) dt ; t

∫ x(t )dt ; t


T

4)

1 действующее или среднее квадратичное значен��е: X = x 2 (t )dt . ∫ T 0

Периодический сигнал можно с помощью ряда Фурье представить в виде суммы синусоидальных составляющих с различными частотами. Если период функции сигнала будет Т, то угловые частоты составляющих будут равны: 2π ωn = n , n=0,1,2… T Синусоиды с такими частотами являются периодическими в интервале Т. Эти составляющие называются гармонически связанными между собой, а синусоида с частотой ω n называют n-ой гармоникой сигнала. Первую гармонику (при n=1) называют основной составляющей, потому что она имеет такой же период, как и сигнал. Нулевая гармоника равна среднему значению по времени или постоянной составляющей сигнала. Периодическая функция сигнала представляется рядом Фурье: ∞ a x(t ) = 0 + ∑ (a n cos(nωt ) + bn sin( nωt )) , (17.3) 2 n =1 a 2π где ω = , а коэффициенты – 0 , an, bn находятся по следующим формулам: T 2 T  a0 1  = ∫ x(t )dt , 2 T 0 T  2 (17.4) a n = ∫ x(t ) cos(nωt )dt , T 0  T  bn = 2 ∫ x(t ) sin( nωt )dt. T 0 

Определение коэффициентов an и bn является наиболее трудоемкой частью задачи по разложению периодической функции в ряд Фурье. Поэтому целесообразно использовать симметрию функции x(t) относительно начала координат и оси ординат для упрощения вычисления интегралов (17.4). Четной является функция x(t), для которой выполняется условие x(t) =x(–t), то есть функция симметрична относительно оси ординат (рис. 17.4, а). Нечетной функция является тогда, когда x(t)=–x(–t) (рис. 17.4, б) и эта функция симметрична относительно начала координат. Для функции, симметричной относительно оси времени справедливо следующее соотношение: x(t)=–x(t+T).

а

б Рис. 17.4. Виды симметричных функций

в

Справедливы нижеприведенные условия для определения коэффициентов –

a0 2

ап ,

bn, позволяющие упростить определение коэффициентов ряда [55]. 1. Если функция x(t) четная, то в ряде (17.3) отсутствуют гармоники синусов, то есть 169


bn =0, остальные коэффициенты ряда можно определять за половину периода (рис. 17.1, а) a0 2 T / 2 = x(t )dt , 2 T ∫0 (17.5) T /2 4 a n = ∫ x(t ) cos(nωt )dt. T 0 2. Если функция x(t) нечетная, то отсутствуют постоянная составляющая ряда –

a0 и 2

косинусоиды (аn =0), коэффициенты при синусоидах можно находить за половину периода (рис. 17.4, б) T /2 4 bn = ∫ x(t ) sin(nωt )dt (17.6) T 0 3. Если функция x(t) симметричная относительно оси времени, то ряд не содержит четных гармоник, отсутствует постоянная составляющая, а гармоники имеют только нечетные частоты. Коэффициенты при членах ряда находятся за пол периода (рис. 17.4, в): T /2 4 an = x(t ) cos(nωt )dt , T ∫0 (17.7) T /2 4 bn = x(t ) sin( nωt )dt. T ∫0 4. Если одновременно выполняются условия 1 и 3 или 2 и 3, то при определении коэффициентов ряда можно производить интегрирование за

1 T , умножая (17.5), (17.6) на 2. 4

Вышеприведенные упрощения можно не использовать при определении ряда Фурье, а применять только формулы (17.4), но при этом объем вычислений будет больше. Ряд (17.3) можно записать в другой форме, предварительно выполнив некоторые преобразования, поскольку   an bn a n cos(nωt ) + bn sin( nωt ) = a n2 + bn2 ⋅  cos(nωt ) + sin( nωt )  =  a2 + b2  a n2 + bn2 n  n  = Amn sin(nωt + ψ n ), 2 2 где Amn = a n + bn , ψ n = arctg

an . bn

При условии, что если n=0, Amn =

a0 π , ψ 0 = , выражение (17.3) можно записать так: 2 2

x(t ) = ∑ Amn sin(nωt +ψ n ) .

(17.8)

n =0

Пример 17.1. Определим спектр периодической функции, вид которой показан на рис. 17.5.

Рис. 17.5. График функции x(t) 170


Решение Постоянная составляющая сигнала равна

a0 1 = 2 T

+

T 2

∫ x(t )dt = −

T 2

1 T

+

τ 2

∫τ X

m

dt =

X mτ . T

2

Ряд Фурье содержит только четные гармоники, амплитуды которых равны 2 an = T

+

T 2

+

τ

2X m 2 2  2π   2π   πτ x ( t ) cos nt dt = X m cos nt dt = sin    ∫T ∫ T τ πn  T   T  T − − 2

 n  . Отсюда следует, что 

2

πτ  πτ  = πn . an обращается в ноль при sin n  = 0 , то есть при T T  Таким образом, функция x(t) может быть представлена следующей суммой гармоник: X τ ∞ 2 X m  πτ   2π  x(t ) = m + ∑ nt  . sin n  cos T T  T  n =1 πn Дискретный спектр амплитуд гармоник функции x(t) показан на рис. 17.6. Необходимо отметить, что с уменьшением длительности импульса τ спектр становится шире и при τ → 0 превращается в последовательность равных по величине 1 [55]. линий, отстоящих друг от друга на расстоянии T

Рис. 17.6. Дискретный спектр амплитуд гармоник функции x(t) Рассмотренный нами математический способ разложения в ряд Фурье работает для функций, записанных в виде аналитических выражений. К сожалению, записать функцию в виде аналитического выражения возможно лишь в единичных случаях. В реальности чаще всего приходится работать с изменяющимися во времени величинами, никак не поддающимися аналитической записи. Кроме того, значения анализируемой величины чаще всего известны не в любой момент времени, а лишь тогда, когда выполняется их регистрация цифровой техникой (иными словами, значения анализируемой величины будут дискретны). На практике при изучении спектра, например, той же синусоиды мы с помощью анализатора спектра изучаем не весь спектр бесконечного синусоидального колебания, а его более или менее протяженный отрезок. Это значит, что фактически исследуется спектр прямоугольного импульса с синусоидальным заполнением. Вот почему даже для синусоидального колебания при уменьшении времени интегрирования спектральная линия расширяется (рис. 17.7, рис. 17.8) [39].

171


Рис. 17.7. Осциллограмма тона частотой 2 кГц (программа Audacity 1.2.6)

Рис. 17.8. Амплитудно-частотный спектр синусоидального тона с частотой 2кГц в программе Audacity (линия на частоте ν = 2 кГц) Голосовой аппарат человека представляет систему, создающую звук путем колебаний эластичных голосовых связок, мягкого неба, языка и губ [50, 53]. В звукообразовании также принимают участие воздушные пути (легкие, бронхи, трахея) и полости (глоточная, ротовая, носовая). Звуковые волны, образующиеся в голосовой щели – это набор большого числа всевозможных тонов. Носовая и ротовая полости являются резонаторами. Изменяя размер и форму этих полостей посредством изменения положения языка, зубов, губ, можно усилить или ослабить отдельные тоны звуковой волны, тем самым произнести тот или иной звук. На рис. 17.9 показаны конфигурации рта и глотки при произнесении звуков «э» и «а». На рис. 17.10 приведена осциллограмма гласной буквы «а», записанная программой Cool Edit Pro. Пример спектра сложного звука, полученного в музыкальном редакторе Audacity, приведен на рис. 17.11.

Рис. 17.9. Конфигурации рта и глотки при произнесении звуков «э» и «а» 172


Наиболее сильно колеблются голосовые связки при произнесении гласных звуков. При образовании согласных звуков в самостоятельные колебания приходят различные участки мягкого неба, кончика языка и губ. Эти колебания в отдельности или совместно со звуками, производимыми голосовыми связками, и создают сложный звук. Глухие согласные изображаются широкими непрерывными спектрами разнообразной формы. Их важнейшие спектральные линии, называемые формантами, лежат независимо от диапазона голоса (бас, тенор и т. д.) в одной области частот.

Рис. 17.10. Осциллограмма гласной буквы «а» в программе Cool Edit Pro

Рис. 17.11. Пример спектра (частотный анализ) в звуковом редакторе Audacity 17.2. Спектры непериодических сигналов. Понятие спектральной плотности, ее физический смысл Непериодические сигналы также можно представить в виде суммы гармоник, которые имеют бесконечно малые амплитуды, частоты которых не дискретны, а занимают некоторую полосу повсюду плотно (т.е. спектр становится сплошным). Поэтому такие спектры характеризуются не амплитудами дискретных гармоник, а отношением бесконечно малых амплитуд к бесконечно малой полосе частот, и это отношение называется спектральной плотностью. Рассмотрим вначале периодический сигнал с периодом Т, который можно представить в виде ряда Фурье (рис. 17.12): 173


1 +∞ An e jnω1t . (17.9) ∑ 2 n = −∞ Здесь при частоте ω1 стоит индекс 1, который подчеркивает тот факт, что речь идет о первой гармонике. x(t ) =

Рис. 17.12. Периодический сигнал Запишем комплексную формулу для коэффициентов ряда Фурье: T 2 An = ∫ x(t )e − jnω1t dt . T 0 Подставим формулу (17.10) в (17.9): T 1 +∞ 2 x(t ) = ∑ ( ∫ x(t )e − jnω1t dt )e jnω1t . 2 n = −∞ T 0 Учитывая, что T =

ω1

(17.10)

(17.11)

, получаем:

ω x(t ) = 1 2π

+∞

T

∑ (∫ x(t )e

− jnω1t

dt )e jnω1t .

(17.12)

n = −∞ 0

Если устремить Т к бесконечности, то в пределе получим исходную непериодическую функцию x(t), заданную в интервале t1 < t < t 2 . При T → ∞ частота ω1 превращается в dω1 , nω1 – в текущую частоту ω1 , а операция суммирования – в операцию интегрирования. Таким образом, получим двойной интеграл Фурье: t2 +∞ 1 jωt x(t ) = e dω ∫ x(t )e − jωt dt . (17.13) 2π −∫∞ t1 Интеграл, являющийся функцией ω , обозначим X (ω ) : t2

X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt .

(17.14)

t1

X (ω ) называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции x(t). В общем виде, когда не уточнены пределы t1 и t2, спектральную плотность +∞

представляют выражением X (ω ) =

∫ x(t )e

− jω t

dt , которое называется прямым интегральным

−∞

преобразованием Фурье. Обратное преобразование имеет вид: +∞ 1 x(t ) = X (ω )e jωt dω . ∫ 2π − ∞ 174

(17.15)


Спектральная плотность получается путем деления амплитуды гармоники на частоту, отделяющую соседние линии дискретного спектра, то есть X (ω ) имеет смысл плотности амплитуд [50, 55]. В музыкальном редакторе Cool Edit Pro используется следующая форма отображения текущего спектра по двум каналам – по горизонтальной оси отображается время, по вертикальной – частота, а спектральная плотность обозначается цветом: белым цвето�� – максимальный уровень спектральной функции, черным – минимальный. Промежуточным значениям спектра соответствуют другие цвета. Пример 17.2. Определим спектральную плотность непериодического сигнала x(t) (рис. 17.13).

Рис. 17.13. Непериодический сигнал x(t) Решение t2

+

τ

+

2

τ

2 X X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt = ∫ X m e − jωt dt = m e − jωt = X mτ - jω τ τ t1 − −

sin

ωτ 2 .

ωτ

2 График функции спектральной плотности показан на рис. 17.14 2

2

Рис. 17.14. Спектр функции спектральной плотности Как видно из графика, спектральная плотность непериодического сигнала совпадает с огибающей спектра периодической последовательности импульсов амплитудой Xm и длительностью τ (пример 17.1).

175


17.3. Распределение мощности в спектрах 17.3.1. Спектр периодического сигнала Пусть X(t) – сложная периодическая функция времени. Под средней за период мощностью понимают величину T 2 1 S = ∫ X 2 (t )dt . (17.16) T 0 Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Эту энергию можно связать с коэффициентами Фурье. Можно показать, что для ряда Фурье: 2 a2 1 ∞ a2 1 ∞ 1 ∞ S = 0 + ∑ Am2 n = S 02 + ∑ Am2 n = 0 + ∑ (a n2 + bn2 ) . (17.17) 4 2 n =1 2 n =1 4 2 n =1 Уравнение (17.17) называют «теоремой об энергии», которая говорит, что полная энергия волны равна сумме энергий всех ее Фурье-компонентов. При использовании комплексного ряда Фурье этот результат может быть представлен в форме: 2 1 +∞ S = ∑ S n2 . (17.18) 4 n = −∞ 17.3.2. Спектр непрерывного сигнала Пусть задан сигнал X(t), обладающий конечной энергией. Это означает, что интеграл +∞

A=

∫X

2

(t )dt , пропорциональный величине энергии, является сходящимся (функция X(t)

−∞

может быть задана электрическим током, напряжением, напряженностью поля и др.): 2 1 +∞ S (t ) = ∑ S n2 , 4 n = −∞ (17.19) +∞ +∞ 1 1 2 2 A= ( S (Ω)) dΩ = ∫ ( S (ω )) dΩ . π 0 2π −∫∞

17.4. Дискретизация аналогового сигнала. Теорема Котельникова Перед обработкой в ПК аналоговый сигнал должен быть подвергнут соответствующему преобразованию, поскольку процессор ПК выполняет операции только над числами. В ПК должна поступать последовательность чисел, эквивалентных данному аналоговому сигналу. Самым идеальным было бы обрабатывать в ПК все значения аналогового сигнала [28, 55]. Частота, с которой производятся отсчеты дискретных значений сигнала (частота дискретизации), должна быть такой, чтобы сигнал не терял или в допустимых пределах терял информацию, носителем которой он является. Дискретизация непрерывного во времени сигнала x(t) является линейной операцией умножения функции x(t) на функцию дискретизации во времени p(t). Функция р(t) представляет собой последовательность единичных импульсов с периодом повторения Т0, длительностью, равной 0, и площадью, равной единице, то есть является δ – функцией (функцией Дирака). Формирование дискретного сигнала показано на рис. 17.15.

176


Рис. 17.15. Дискретизация аналогового сигнала Дискретизация аналогового сигнала (рис. 17.15,а) выполняется импульсным элементом (ИЭ) (рис. 17.15,г), который представляет собой ключ, замыкающий на бесконечно малый промежуток времени цепь с периодом Т0. На вход ИЭ подается аналоговый сигнал x(t) (рис. 17.15,а), ключ управляется импульсами p(t) (рис. 17.15,б) и на выходе формируется дискретизированный сигнал xД(t) (рис. 17.15,в). Операцию дискретизации можно представить так (рис. 17.15,д):

x Д ( t ) = x(t ) ⋅ p(t ) .

(17.20)

Дискретизирующая последовательность импульсов представляется в виде суммы: ∞

∑ δ (t - nT ) ,

p(t) =

(17.21)

0

n =-∞

то есть состоит из дельта-импульсов, которые следуют с периодом Т0. Из (17.21) следует, что x Д ( t ) =

∑ x(nT ) ⋅ δ (t - nT ) . 0

n =-∞

0

Поскольку функция p(t) периодическая, ее можно представить рядом Фурье комплексных экспоненциальных функций:

p(t) =

∑C

k

⋅e

- jk

k =- ∞

2π ⋅t T0

.

Коэффициенты ряда находятся из соотношения: 177

(17.22)


1 Ck = ⋅ T0

T0

2

T0

δ (t ) ⋅ e

- jk

2

2π ⋅t T0

1 - jk ⋅0 1 dt = ⋅e T0 = . T0 T0

(17.23)

Тогда импульсный сигнал x Д ( t ) , получаемый в результате дискретизации, можно описать следующим образом: 2π

1 -jk T0 ⋅t x Д ( t ) = ∑ x(t ) ⋅ ⋅ e . T0 k =- ∞

(17.24)

Найдем спектральную плотность дискретизированного сигнала [55]: ∞

-j t 1 - jk T0 ⋅t 1 x Д (ω ) = ∫ ∑ ( x (t ) ⋅ ⋅ e ) ⋅ e T0 dt = T0 T0 − ∞k = - ∞

∑ x(ω − T

k = −∞

k) ,

(17.25)

0

где x(ω ) – спектральная плотность исходного недискретизированного сигнала x(t). Таким образом, спектральная плотность дискретизированного сигнала x Д ( t ) равна средневзвешенной сумме спектральных плотностей аналогового сигнала x(t), сдвинутых на 2π k . Иными словами, спектральная плотность дискретизированного сигнала величину T0 2π является периодической функцией с периодом ω 0 = (рис. 17.16). T0

Рис. 17.16. Спектры аналогового и дискретизированного сигналов На рис. 17.16 для спектров справедливо соотношение 2ω В < ω0 . Если выполняется условие ω0 ≥ 2ω В , то спектры дискретного сигнала не накладываются друг на друга и не происходит искажение спектров. Таким образом, для того чтобы спектры дискретизированной функции, которые 2π повторяются с периодом ω 0 = , не перекрывались (не мешали друг другу), необходимо, Т0 чтобы частота дискретизации ω0 была в два раза больше, чем верхняя частота спектра непрерывного сигнала. Предельным значением этого условия будет ω0 = 2ω В или 1 π Т0 = = . (17.26) 2ν В ω В В этом и заключается смысл теоремы Котельникова (Найквиста – Шеннона), которая формулируется следующим образом. Если функция с верхней граничной частотой спектра 178


ν В дискретизирована циклически с периодом Т 0 ≤

1

, то она может быть восстановлена 2πν В по этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности. Величину, соответствующую половине частоты дискретизации, часто называют пределом Найквиста. В аудио компакт-дисках используется частота дискретизации 44100 Гц. Частота дискретизации (сэмплирования – от англ. sample rate) показывает, какое количество раз микросхема аналого-цифрового преобразователя (АЦП) произведёт выборку аналогового сигнала в единицу времени. Еще одной важной характеристикой АЦП является разрешающая способность, т.е. число, которым описывается каждый отсчет (выборка). Так, аудио CD представлен 16 битами. Теорема Котельникова имеет строгое доказательство, которое здесь не приводится и которое сводится к тому, что аналоговый сигнал, при выполнении условия (17.26), можно восстановить из дискретного с помощью ряда Котельникова.

17.5. Спектры модулированных аналоговых сигналов Модуляция – (от лат. modulatio – размерность) – процесс изменения одного или нескольких параметров высокочастотного модулируемого колебания по закону информационного низкочастотного сообщения (сигнала). В результате спектр управляющего сигнала переносится в область высоких частот. Передаваемая информация заложена в управляющем сигнале. Роль переносчика информации выполняет высокочастотное колебание, называемое несущим. В качестве несущего могут быть использованы колебания различной формы (прямоугольные, треугольные и т. д.), однако чаще всего применяются гармонические колебания. Модуляция бывает аналоговой, цифровой и импульсной. Рассмотрим амплитудную, частотную и фазовую модуляции. Поскольку модуляция проводится над электрическими сигналами, аналитическое представление гармонического колебания запишем уравнением, описывающим изменение напряжения U (t ) = U m (t ) cos[ω (t )t + ψ (t )] , где U m – амплитуда, ω (t ) – частота, ψ (t ) – начальная фаза гармонического сигнала. При модуляции один из параметров (амплитуда, частота, фаза) вспомогательного колебания, которое называют несущим, изменяется (модулируется) по закону изменения информационного сигнала. Соответственно получают амплитудную, частотную, фазовую модуляцию или модуляцию других видов. 17.5.1. Амплитудная модуляция Изменение параметра Um модулированного колебания по закону изменения информационного сигнала называется амплитудной модуляцией. Допустим, что гармонические колебания мы модулируем также гармоническим сигналом, но с более низкой частотой ( Ω << ω0 ) U m (t ) = U 0 + ∆U m cos(Ωt ) , тогда:

U (t ) = [U 0 + ∆U m cos(Ωt )]cos[ω0t + ψ 0 ] ,

(17.27)

где ω0 – несущая частота. Амплитуда модулированного сигнала изменяется от ( U 0 − ∆U m ) до ( U 0 + ∆U m ). Выражение (17.27) можно записать так: U (t ) = U 0 [1 +

∆U m cos( Ωt )] cos[ω 0 t + ψ 0 ] = U 0 [1 + m ⋅ cos( Ωt )] cos[ω 0 t + ψ 0 ], U0

∆U m – коэффициент глубины модуляции. U0 Выражение (17.28) при использовании тригонометрической

(17.28)

где m =

179

тождественности


1 cos α ⋅ cos β = [cos(α − β ) + cos(α + β )] преобразуется в выражение (17.29): 2 U (t ) = U 0 cos(ω 0 t + ψ ) + U 0 m cos(Ωt ) cos(ω 0 t ) = U 0 cos(ω 0 t + ψ ) + (17.29) 1 1 + U 0 m cos[(ω 0 + Ω)t + ψ 0 ] + U 0 m cos[(ω 0 − Ω)t − ψ 0 ]. 2 2 Как видно из (17.29) модулированный сигнал является суммой трех гармонических колебаний. Одно из них – несущее с частотой ω 0 , два других располагаются симметрично относительно несущего колебания на оси частот, соответственно выше и ниже него на частоту Ω – ( ω0 − Ω ) и ( ω0 − +Ω ). Эти колебания называют боковыми составляющими модулированного сигнала. Амплитуда этих двух колебаний одинакова и не может превышать половины амплитуды несущего колебания. Спектр АМ сигнала приведен на рис. 17.17,б. Этот спектр дискретный, так как содержит составляющие трех частот. Ширина полосы частот, занимаемая спектром, равна 2Ω. Процесс модуляции переносит спектр информационного сигнала в точку ω0 по шкале частот. При этом носителями информации и являются боковые составляющие, т.е. при демодуляции приемником весомым является только величина мощности ��оковой составляющей. Мощность боковой составляющей будет максимальной при m=1, т.е. при 100 %–ой модуляции.

а б Рис. 17.17. Тональная амплитудная модуляция: несущее колебание; модулирующий сигнал; амплитудно-модулированное колебание (а) и его спектр (б) Если

модулирующий

сигнал

имеет

несколько

составляющих

( ∑ ∆Umn cos(nΩt +ψ n ) ), то соответственно боковые частоты преобразуются в боковые n =1

полосы с симметричными линейчатыми спектрами. Рассмотрим модулирующий сигнал – ∞

Umn (t ) = U 0 + ∑ ∆Umn cos(nΩt + ψ n ) , тогда n =1

180


U (t ) = [U 0 + ∑ ∆Umn cos(nΩt + ψ n )] cos(ω 0 t +ψ 0 ) .

(17.30)

n =1

Выражение (17.30) легко преобразуется в (17.31): ∞ 1 U (t ) = U 0 cos(ω 0 t + ψ 0 ) + ∑ mU 0 cos[(ω 0 + nΩ)t + ψ 0 + ψ n ] + n =1 2 ∞ 1 + ∑ mU 0 cos[(ω 0 − nΩ)t + ψ 0 − ψ n ]. n =1 2

(17.31)

Спектр амплитуд приведен на рис. 17.18. При амплитудной модуляции непериодическим сигналом, обладающим сплошным спектром, по обе стороны от несущей частоты ω0 находятся две сплошные боковые полосы частот ω0 + Ω и ω0 − Ω . Спектральная плотность АМ непериодического сигала (модулирующий – информационный сигнал является непериодической функцией) приведена на рис. 17.19. Существует также понятие балансной модуляции, спектр которой состоит только из боковых частот, математически это выражается тем, что амплитуда несущей частоты умножается не на (1+ ∆U m (t ) ), а непосредственно на ∆U m (t ) .

Рис. 17.18. Спектральное представление АМ сигнала при условии, что модулирующий сигнал имеет несколько составляющих

181


Рис. 17.19. АМ непериодического сигнала и его спектральная плотность

17.5.2. Угловая модуляция Если при амплитудной модуляции частота и начальная фаза несущего колебания сохраняются неизменными, а по закону передаваемого сообщения изменяется амплитуда, то при угловой модуляции амплитуда сохраняется постоянной, а изменяться может частота, либо начальная фаза несущего колебания (изменяется полная фаза колебаний). Поскольку частота и начальная фаза являются составляющими обобщенного угла несущего колебания, то такую модуляцию называют угловой. Тогда U (t ) = U 0 cos ϕ (t ) , где

ϕ (t ) = ω0t + ψ , для упрощения математических выкладок рассмотрим косинусоидальную функцию без начальной фазы. Пусть мгновенная частота несущего колебания изменяется по закону ω (t ) = ω 0 + ω Д cos Ωt , где

ωД

– девиация частоты, равная максимальному

отклонению частоты

модулированного колебания от несущей частоты ω0 . Полная фаза частотно-модулированных колебаний t t ω ϕ (t ) = ∫ ω (t ) dt = ∫ (ω 0 + ω Д cos Ωt )dt = ω 0 t + Д sin Ωt = ω 0 t + m sin Ωt , Ω 0 0 где m =

ωД Ω

(17.32)

– индекс угловой модуляции, характеризующий максимальное отклонение 182


фазы колебаний. Тогда частотно модулированное колебание описывается уравнением (17.33):

U (t ) = U 0 cos ϕ (t ) = U 0 cos(ω 0 t + m sin Ω) .

(17.33)

После тригонометрических преобразований получим U (t ) ≈ U 0 cos( m sin Ωt ) cos(ω 0 t ) − U 0 sin( m sin Ωt ) sin(ω 0 t ).

(17.34)

Таким образом, ЧМ сигнал состоит из двух амплитудно-модулированных колебаний и для нахождения его спектра нужно определить спектры функций cos(m sin Ωt ) и sin(m sin Ωt ) . Однако эти функции нелинейные. Поэтому рассмотрим два отдельных случая: при малом индексе угловой модуляции (m<<1) сигнала и при большом его значении (m>>1). При m<<1 имеем cos(m sin Ωt ) ≈ 1 (17.35)  sin(m sin Ωt ) ≈ m sin Ωt. С учетом приближенных значений функций в выражениях (17.35) после тригонометрических преобразований получим mU 0 mU 0 U (t ) ≈ U 0 cos(ω 0 t ) + cos[(ω 0 + Ω)t ] − cos[(ω 0 − Ω)t ]. (17.36) 2 2 Анализируя выражение (17.36) следует отметить, что при малом m спектр колебания с ЧМ отличается от спектра колебаний с АМ только фазой для нижней боковой частоты (рис. 17.20).

Рис. 17.20. Спектр колебаний с угловой модуляцией при m<<1 Для анализа спектрального состава при m>>1следует воспользоваться теорией бесселевых функций и разложить выражения (17.35) в ряды по этим функциям: U (t ) = U 0 I 0 (m) cos(ω 0 t ) − U 0 I 1 (m) cos[(ω 0 − Ω)t ] + U 0 I 1 (m) cos[(ω 0 + Ω)t ] + + U 0 I 2 (m) cos[(ω 0 − 2Ω)t ] + U 0 I 2 (m) cos[(ω 0 + 2Ω)t ] − − U 0 I 3 (m) cos[(ω 0 − 3Ω)t ] + U 0 I 3 (m) cos[(ω 0 + 3Ω)t ] + + U 0 I 4 (m) cos[(ω 0 − 4Ω)t ] + U 0 I 4 (m) cos[(ω 0 + 4Ω)t ] − ... где I n (m) – бесселевая функция n-го порядка.

183

(17.37)


Рис. 17.21. Спектр колебаний с угловой модуляцией при m>>1 Частотной спектр при таком подходе в боковых полосах содержит бесконечно большое количество боковых частот, амплитуды которых уменьшаются с увеличением номеров их порядков (рис. 17.21). С некоторым приближением можно считать, что практическая ширина спектра полосы равна удвоенной девиации частоты. Помехоустойчивость ЧМ и ФМ выше АМ, так как изменение или искажение амплитуды под воздействием помехи при ЧМ и ФМ мало сказывается на переносимой сигналом информации. Следует заметить, что при гармонической ЧМ и ФМ различия в форме модулированных колебаний усмотреть нельзя. Но различие это становится очевидным при более сложном законе модуляции. Предположим, что модулирующая функция представляет собой импульс (рис. 17.22), тогда при АМ скачкообразно меняется амплитуда, при ЧМ – частота и при ФМ – фаза. Как правило, речевой сигнал в каскадах приемопередатчиков с угловой модуляцией подвергается специальной обработке для улучшения качества звука и снижения шумов. Динамический диапазон речевых сигналов, полученных с микрофона или принятых из телефонной линии (в случае радиотелефона), сжимается перед модуляцией в передатчике и расширяется после приема. Устройство, осуществляющее сжатие динамического диапазона называется компрессором, а расширение – экспандером. Комбинация этих устройств называется компандером. Сжатие динамического диапазона – это снижение максимальных уровней более сильных сигналов и одновременное повышение уровня слабых сигналов (компрессор уменьшает разность уровней громких и тихих звуков). Компрессор и экспандер являются авторегуляторами коэффициента усиления (АРУ).

184


Рис. 17.22. Сравнение АМ, ЧМ и ФМ при импульсной модулирующей функции

Контрольные вопросы и вопросы для самоподготовки 1. Дайте определение понятию «сигнал». 2. Модели детерминированных сигналов. Временное и частотное представление сигналов. Случайные сигналы, их основные характеристики. Какие сигналы называются аналоговыми, дискретными, цифровыми? Каким 3. условиям удовлетворяют аргумент и функция сигналов? 4. Каким условиям удовлетворяют функции, соответствующие периодическим аналоговым сигналам? Что такое «спектральный анализ» и где его применяют? 5. 6. Какими вопросами занимается гармонический анализ? 7. Запишите обобщенный ряд Фурье в тригонометрической или экспоненциальной форме по системе ортогональных функций. 8. Как записать ряд Фурье для периодической функции? Каков алгоритм расчета коэффициентов разложения а0, аn, bn ряда Фурье? 9. 10. Каким условиям удовлетворяют четные и нечетные функции? 11. При каких условиях коэффициенты Фурье аn или bn равны нулю? 12. Энергетические соотношения в спектральном анализе. 13. Чем отличаются амплитудные спектры периодических и непериодических сигналов? 14. Как влияет изменение длительности импульса и периода повторения на спектральные характеристики сигналов? 15. Получите и изобразите спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при различных значениях скважности. 16. Каков алгоритм расчета сигнала на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ)? 17. Чем отличаются спектры непрерывного и дискретизированного сигналов? Назовите условия, при которых возникает наложение спектральных отсчетов 18. при спектральном анализе дискретизированных сигналов. 185


19. Передача аналоговых информационных сигналов по каналам связи. Радиосигналы с амплитудной модуляцией. Спектры амплитудно-модулированных сигналов. 20. Радиосигналы с угловой модуляцией. Передача информации с помощью угловой модуляции. Спектры ЧМ сигналов. 21. В частотной модуляции часто применяется термин «система с расширением полосы частот». Поясните, что это означает.

Задачи для самостоятельного решения 1. Телефонный речевой сигнал имеет полосу частот от 300 Гц до 3400 Гц и используется для модуляции несущей, частота которой равна 120 кГц. Нарисуйте двухсторонний спектр АМ сигнала. 2. Амплитудно-модулированный сигнал описывается математической функцией U (t ) = 5[1 + 0,5 cos( 3140 t )]sin [ 2π 10 5 t ], В. Определите: а) глубину модуляции; б) частоту модулирующего сигнала; в) несущую частоту; г) максимальную величину мгновенного значения амплитуды модулированного сигнала. 3. Изобразите график амплитудно-модулированного сигнала с амплитудой несущей 4 В и глубиной модуляции 0,35. Соблюдайте масштаб графического изображения. Огибающая амплитудно-модулированного сигнала имеет максимальную 4. амплитуду 4,5 В и минимальную – 2,3 В. Определите глубину модуляции сигнала. Домашняя стереофоническая радиосистема с частотной модуляцией имеет 5. девиацию частоты 75 кГц, а максимальная модулирующая частота равна 15 кГц. Определите индекс модуляции данной системы. 6. Система с частотной модуляцией имеет максимальную девиацию частоты 100 кГц, а частоту модуляции – 15 кГц. Рассчитайте индекс модуляции. Оцените ширину полосы частот для этого сигнала. Определите соответствующую ширину полосы частот сигнала, используя функции Бесселя. 7. Рассчитайте и изобразите плотность спектра одиночного импульса амплитудой 5 В и длительностью T=10-6 с (рис. Д.1).

Рис. Д.1. График одиночного импульса

186


Е

ОПТИКА

XVIII. ОСНОВНЫЕ ЗАК��НЫ. ЛИНЗЫ. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ, ДИФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ СВЕТА. ПОЛЯРИЗАЦИЯ 18.1. Геометрическая оптика Рассмотрим основные законы оптики [16, 23, 41, 43, 47, 54]. 1. Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно. 2. Закон независимости световых пучков: эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. 3. Закон отражения – отраженный луч лежит в плоскости падения, причем угол отражения равен углу падения (i/=i). 4. Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела двух сред в точке падения, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для sin i1 = n 21 (рис. 18.1), n21 – относительный показатель преломления второй данных сред sin i 2 среды относительно первой.

Рис. 18.1. Падающий, отраженный и преломленный световые лучи Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных n показателей преломления n 21 = 2 . С учетом этого закон преломления запишем в виде: n1 n1sini1=n2sini2. Абсолютным показателем преломления среды называется величина, равная отношению скорости электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости в среде [54]: c n = = εµ , (18.1)

υ

где ε и µ – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды. Если свет распространяется из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную (n1>n2), то угол преломления i2 больше, чем угол падения i1 (рис. 18.2,а). С увеличением угла падения увеличивается угол преломления. При угле падения i1, равному 187


предельному углу iпр, угол преломления равен

π

. При углах i1>iпр весь падающий свет 2 полностью отражается (рис. 18.2,б), это явление называется полным отражением: n sin iпр = 2 = n21 . (18.2) n1 Полное отражение имеет место только при падении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную: n2 ≤n1 [47].

а б Рис. 18.2. Распространение света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную

18.2. Тонкие линзы. Изображение предметов с помощью линз Линзы представляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя поверхностями, преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изображения предметов. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие (выпуклые линзы) и рассеивающие (вогнутые линзы). Линза называется тонкой, если ее толщина значительно меньше радиусов поверхностей, ограничивающих линзу. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью. Точка, лежащая на главной оптической оси и обладающая свойством не преломлять проходящие сквозь нее лучи, называется оптическим центром линзы. Для двояковыпуклой и двояковогнутой линз оптический центр совпадает с геометрическим центром средней части линзы. Формула тонкой линзы:   (N − 1) 1 + 1  = 1 + 1 , (18.3)  R1 R2  a b где R1 и R2 – радиусы кривизны поверхностей линзы (рис. 18.3); а и b – n соответственно расстояния от линзы до предмета и его изображения; N = – n1 относительный показатель преломления; n и n1 – соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды.

188


Рис. 18.3. Тонкая линза: z и z/ - положение источника А и промежуточного изображения В/ относительно точки пересечения оптической оси с первой преломляющей поверхностью О1, z1/ и z2 – положение промежуточного В/ и результирующего В изображения относительно точки О2

1 1  1 Если лучи попадают на линзу параллельным пучком (а=∞), то (N − 1) +  = . В  R1 R2  b этом случае b = OF = f (рис. 18.4, а) называется фокусным расстоянием линзы: 1 . Если изображение находится в бесконечности, при этом лучи выходят f =  1 1  (N − 1) +   R1 R 2  из линзы параллельным пучком (рис. 18.4,б), то a = OF = f .

а б Рис. 18.4. Собирающая (а) и рассеивающая (б) линзы Точки F, лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы.  1 1 1   называется оптической силой линзы. Единица Величина Φ = = ( N − 1) + f  R1 R2  1 измерения оптической силы линзы – диоптрия (дптр): 1 дптр = . Линзы с Ф > 0 – м собирающие, с Ф < 0 – рассеивающие. Учитывая предыдущую формулу, формулу линзы можно записать в виде: 1 1 1 + = . (18.4) a b f 189


Фокальными называются плоскости, проходящие через фокусы линзы перпендикулярно оптической оси. Построение изображения предмета в линзах осуществляется с помощью следующих лучей: 1) луча, проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего направления; 2) луча, идущего параллельно главной оптической оси; после преломления в линзе этот луч (или его продолжение) проходит через второй фокус линзы; 3) луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы (после преломления в ней он выходит из линзы параллельно ее главной оптической оси). Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным увеличением линзы.

18.3. Когерентность и монохроматичность световых волн. Интерференция света Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, то есть согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Механизм испускания атомами света состоит в следующем. Возбужденный атом излучает волновой цуг в течение времени порядка 10-8 с, за это время он возвращается в первоначальное состояние и излучение света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова испускает световые волны, но уже с новой начальной фазой. Поскольку разность фаз между излучением двух независимых атомов изменяется при каждом новом акте испускания, то волны, спонтанно излучаемые атомами любого источника света, не когерентны. Прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов называется волновым цугом. Монохроматический свет можно представить в виде сменяющих друг друга гармонических цугов. Средняя продолжительность одного цуга τ ког , называемая временем когерентности, не может превышать время излучения τ ког < τ . Кроме временной когерентности существует пространственная когерентность. Два источника при достаточной степени монохроматичности света, размеры и взаимное расположение которых позволяют наблюдать интерференцию, называются пространственно когерентными. Радиусом когерентности называется максимальное поперечное направлению распространения волны расстояние, на котором возможно проявление интерференции. Радиус когерентности rког ~ λ /φ, где λ – длина световых волн, φ – угловой размер источника. Радиус когерентности для солнечных лучей составляет 0,05 мм при угловом размере Солнца на Земле φ ≈ 10 рад и λ ≈ 0,5 мкм. В 1802 г. Т. Юнг пропустил солнечные лучи через очень малое отверстие, уменьшив этим на несколько порядков размер источника света и тем самым увеличив радиус когерентности. Рассмотрим две монохроматические световые волны х1=А1cos(ωt+φ1) и х2=А2cos(ωt+φ2), накладывающиеся друг на друга и возбуждающие в определенной точке пространства колебания одинакового направления. Под х понимают напряженности электрического Е или магнитного Н полей волны, векторы Е и Н колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Напряженности Е и Н подчиняются принципу суперпозиции, поэтому амплитуда результирующего колебания А2=А12+А22+2А1А2cos(φ2–φ1). Интенсивность результирующей волны І ~ А2: Ι = Ι 1 + Ι 2 + 2 Ι 1Ι 2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) .

(18.5)

Явление возникновения максимумов и минимумов интенсивности в результате наложения двух и более когерентных световых волн называется интерференцией света. 190


Произведение геометрической длины s пути световой волны в среде на показатель n преломления этой среды называется оптической длиной пути L, а ∆=L2–L1 – разность оптических длин проходимых волнами путей – называется оптической разностью хода. Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме ∆=±mλo (m = 0,1,2,…), то мы имеем интерференционный максимум. Если оптическая разность хода

∆ = ±(2m + 1)

λ0 2

(m = 0, 1, 2,…), то мы имеем интерференционный минимум.

18.4. Метод Юнга наблюдения интерференции света Источником света служит щель S, от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S1 и S2, играющие роль когерентных источников, и параллельные щели S (рис. 18.5,а). Интерференционная картина наблюдается на экране Э, расположенном параллельно S1 и S2 в области ВС. Щели S1 и S2 находятся на расстоянии d друг от друга. Рассмотрим интерференционную картину в произвольной точке А экрана (рис. 18.5,б), параллельного обеим щелям и находящимся от них на расстоянии l, причем l>>d. Интенсивность света в любой точке А экрана, лежащей на расстоянии х от начала отсчета О, определяется оптической разностью хода ∆=s2–s1. s22=l2+(x+d/2)2; (18.6) s12=l2+(x–d/2)2, откуда s22–s12=2хd или с учетом того, что s22–s12=(s2–s1)(s2+s1), получим:∆=s2– s1=2хd/(s2+s1). Из условия l >> d следует, что s1+s2≈2l, поэтому ∆=xd/l.

а б Рис. 18.5. Метод Юнга наблюдения интерференции света Подставив полученное значение ∆ в условия интерференционного максимума и минимума, получим, что максимум интенсивности будет наблюдаться при: l x max = ± m λ0 , ( m = 0,1,2,... ), (18.7) d а минимум – при: 1 l  x min = ± m +  λ0 , (m = 0,1,2,...) . (18.8) 2 d  Следовательно, интерференционная картина, создаваемая на экране двумя когерентными источниками света, будет представлять собой чередование светлых и темных полос, параллельных друг другу. Для монохроматического света (λo=const) главный максимум, соответствующий m=0, проходит через точку 0. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы первого (m=1), второго (m=2) порядков и т. д. Расстояние между двумя соседними максимумами, называемое шириной интерференционной полосы, равно 191


l λ0 , d ∆x не зависит от величины m и является постоянной для данных l, d и λo. ∆x =

(18.9)

18.5. Интерференция света в тонких пленках Пусть на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления n и толщиной d под углом i (рис. 18.6) падает плоская монохроматическая волна. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны, если оптическая разность их хода мала по сравнению с длиной когерентности падающей волны. Если на их пути поставить собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек Р фокальной плоскости линзы и дадут интерференционную картину.

Рис. 18.6. Интерференция света в тонкой пленке Оптическая разность хода, возникающая между двумя интерференционными лучами от точки О до плоскости АВ: (18.10)

∆=n(ОС+СВ)–(ОА±λo/2),

где показатель преломления окружающей пленку среды принят равным 1, а член ± λo/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. Если n>no, то потеря полуволны произойдет в точке О и вышеупомянутый член будет иметь знак минус, если же n<no, то потеря полуволны произойдет в точке С и λo/2 будет иметь знак плюс: ∆ = 2dn cos r = 2dn 1 − sin 2 r = 2d n 2 − sin 2 i . С учетом потери полуволны для оптической разности хода получим:

∆ = 2d n 2 − sin 2 i ± λ 0 / 2 .

(18.11)

∆ = 2d n 2 − sin 2 i + λ 0 / 2 .

(18.12)

Для случая n > no В точке Р будет максимум, если

2d n 2 − sin 2 i + λ 0 / 2 = mλ 0 , ( m = 0,1,2,... )

(18.13)

и минимум, если

2d n 2 − sin 2 i + λ 0 / 2 = (2m + 1)λ 0 / 2 ,

(m = 0,1,2,...) .

(18.14)

Интерференция наблюдается, только если удвоенная толщина пластинки меньше длины когерентности падающей волны. 192


18.6. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых условными источниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Френель предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии – такая же, как при отсутствии экрана. Френель, рассмотрев взаимную интерференцию вторичных волн и применив путь, получивший название метода зон Френеля, ответил на вопрос о прямолинейном распространении света. Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 18.7).

Рис. 18.7. Метод зон Френеля Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S. Разобьем волновую поверхность на зоны, отличающиеся расстояниями от краев зон до точки М на λ/2:

P1 M − P0 M = P2 M − P1 M = P3 M − P2 M = ... = λ / 2 .

(18.15)

Разбиение выполняется проведением сфер с центром в точке М радиусами b +

b+2

λ

; b+3

λ

; …b + m

λ

λ 2

;

. 2 2 Поскольку колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на λ/2, то в точку М они приходят в противоположной фазе, и при наложении эти колебания будут ослаблять друг друга. Амплитуда результирующего светового колебания в точке М будет:

2

А=А1–А2+А3–А4+…±Аm, где А1 ,А2, … Аm – амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й,… m-й зонами. При не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы. В качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебания Аm от некоторой m-ой зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон: Α + Α m +1 Α m = m −1 . Тогда амплитуду результирующего колебания можно записать в виде: 2 Α  Α Α  Α Α Α Α = 1 +  1 − Α 2 + 3  +  3 − Α 4 + 5  + ... = 1 . 2  2 2   2 2  2 193


Выражения в скобках равны нулю, а оставшаяся часть от амплитуды последней зоны ±Am/2 ничтожно мала. Таким образом, амплитуда, создаваемая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной центральной зоной. Действие всей волновой поверхности на точку М сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны. Следовательно, распространение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SМ, то есть прямолинейно.

18.7. Дифракция Френеля на круглом отверстии Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В (рис. 18.8), находящейся на расстоянии b от отверстия.

Рис. 18.8. Дифракция Френеля на круглом отверстии Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами: А=А1/2±Аm/2,

(18.16)

где знак плюс соответствует нечетным m, а минус – четным m. Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда будет равна нулю. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В. Если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное – то светлое кольцо. Интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

18.8. Дифракция Френеля на диске Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника света S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска (рис. 18.9).

194


Рис. 18.9. Дифракция Френеля на диске Закрытый диском участок фронта волны исключается из рассмотрения, и зоны Френеля строятся начиная с краев диска. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна: Α Α Α  Α = Α m +1 − Α m + 2 + Α m + 3 − ... = m +1 +  m +1 − Α m + 2 + m + 3  + ... 2 2   2 или А=Аm+1/2, так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Поэтому в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

18.9. Дифракция Фраунгофера на одной щели Дифракция Фраунгофера наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели. Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной а (рис. 18.10).

Рис. 18.10. Дифракция Фраунгофера на одной щели 195


Оптическая разность хода между крайними лучами МС и NД, идущими от щели в произвольном направлении φ ∆=NF=asinφ,

(18.17)

где F – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на луч ND. Разобьем открытую часть волновой поверхности щели МN на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели. Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна λ/2, т.е. всего на ширине щели уместится ∆/(λ/2) зон. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как выбранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения. Если число зон Френеля четное

a sin ϕ = ±2m

λ

(m=1,2,3,…), (18.18) 2 то в точке В наблюдается дифракционный минимум (полная темнота). Если же число зон Френеля нечетное

a sin ϕ = ±(2m + 1)

λ

(m = 1, 2, 3, …), (18.19) 2 то наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной некомпенсированной зоны Френеля. В прямом направлении (φ=0) щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке Во наблюдается центральный дифракционный максимум.

18.10. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке Одномерная дифракционная решетка – система параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Если перейти от одной щели к дифракционной решетке, то дифракционные картины, создаваемые каждой щелью в отдельности, будут одинаковыми. В дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей. Если ширина каждой щели равна а, а ширина непрозрачных участков между щелями – b (рис. 18.11), то величина d=a+b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, буд��т для данного направления φ одинаковы в пределах всей дифракционной решетки: ∆=CF=(а+b)sinφ=dsinφ.

196

(18.20)


Рис. 18.11. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке В тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, т. е. прежние (главные) минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (18.18): аsinφ=±mλ (m = 1, 2, 3, …).

(18.21)

Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т.е. возникнут дополнительные минимумы. Условие дополнительных минимумов:

d sin ϕ = ±(2m + 1)

λ

2

(m=1, 2, 3, …).

Действие одной щели будет усиливать действие другой, если d sin ϕ = ±2m

λ 2

= ± mλ ,

m = 1, 2, 3,… (условие главных максимумов). Чем больше щелей – тем большее количество световой энергии пройдет через решетку, тем больше минимумов образуется между соседними главными максимумами, тем, следовательно, более интенсивными и более острыми будут максимумы.

18.11. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Брэггов Пространственная (трехмерная) решетка – пространственное образование, в котором элементы структуры подобны по форме, имеют геометрически правильное и периодически повторяющееся расположение, а также постоянные (периоды) решеток, соизмеримые с длиной волны электромагнитного излучения. В качестве пространственных решеток могут быть использованы кристаллические тела. Расстояние между атомами в кристалле одного порядка с λ рентгеновского излучения (≈ 10-12 ÷ 10-8 м). Представим кристаллы в виде совокупности параллельных кристаллографических плоскостей (рис. 18.12), отстоящих друг от друга на расстоянии d.

197


Рис. 18.12. Дифракция на пространственной решетке Пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей (1,2) падает под углом скольжения Θ (угол между направлением падающих лучей и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической решетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1' и 2', интерферирующих между собой. Максимумы интенсивности (дифракционные максимумы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют формуле Вульфа-Брэггов: 2dsinΘ=mλ (m = 1, 2, 3,…),

(18.22)

т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристаллографических плоскостей, кратной целому числу длин волн λ, наблюдается дифракционный максимум. При произвольном направлении падения монохроматического рентгеновского излучения на кристалл дифракция не возникает. Чтобы ее наблюдать, надо, поворачивая кристалл, найти угол скольжения.

18.12. Дисперсия света Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты ν (длины волны λ) света или зависимость фазовой скорости υ световых волн от его частоты ν . Дисперсия света представляется в виде зависимости n=f(λ). Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму. Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с показателем преломления n под углом α1 (рис. 18.13).

Рис. 18.13. Дисперсия света в призме После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол φ: φ=(α1–β1)+(α2–β2)=α1+α2–А. 198

(18.23)


Предположим, что углы А и α1 малы, тогда углы α2 , β1 и β2 будут также малы, и вместо синусов этих углов можно воспользоваться их значениями. Поэтому α1/β1=n, β2/α2=1/n, а так как β1+β2=А, то α2=β2n=n(А–β1)=n(А–α1/n)=nА–α1; α1+α2=nА.

(18.24)

Из выражений (18.23) и (18.24) следует, что φ=А(n–1),

(18.25)

т. е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы. Из выражения (18.26) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от величины (n–1), а n – функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклоненными на разные углы, т. е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр. dn , называемая дисперсией вещества, показывает, как быстро Величина D = dλ изменяется показатель преломления с длиной волны.

18.13. Поляризация света Следствием теории Максвелла является поперечность световых волн: векторы напряженностей электрического Ē и магнитного Η полей волны взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости v распространения волны [47, 54]. Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора Ē называется естественным. Свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то образом упорядочены, называется поляризованным. Степенью поляризации называется величина Ι − Ι min Ρ = max , (18.26) Ι max + Ι min где Ιmax и Ιmin – максимальная и минимальная интенсивности света, соответствующие двум взаимно перпендикулярным компонентам вектора Ē. Для естественного света Ιmax=Ιmin и Р=0, для плоскополяризованного света Ιmin=0 и Р=1. Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный, используя поляризаторы, пропускающие колебания только определенного направления. В качестве поляризаторов могут быть использованы среды, анизотропные в отношении колебаний вектора Ē, например, кристаллы. Направим естественный свет перпендикулярно пластинке турмалина Т1, вырезанной параллельно оптической оси 00'. Вращая кристалл Т1 вокруг направления луча, никаких изменений интенсивности прошедшего через турмалин света не наблюдаем. Если на пути луча поставить вторую пластину турмалина Т2 и вращать ее вокруг направления луча (рис. 18.14), то интенсивность света, прошедшего через пластинки, меняется в зависимости от угла α между оптическими осями кристаллов по закону Малюса: Ι = Ι 0 cos 2 α , где І и Іo – соответственно интенсивности света, падающего на второй кристалл и вышедшего из него.

199


Рис. 18.14. Поляризация света Интенсивность света, прошедшего через два поляризатора, І=½Ιестcos2α, откуда Іmax=½Ιест (поляризаторы параллельны) и Іmin=0 (поляризаторы скрещены). Если естественный свет падает на границу раздела двух диэлектриков (например, воздуха и стекла), то часть его отражается, а часть преломляется и распространяется во второй среде. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения, в преломленном – колебания, параллельные плоскости падения (рис. 18.15,а). Д. Брюстер установил закон, согласно которому при угле падения iB (угол Брюстера), определяемого соотношением: tgiB=n21 (n21 – показатель преломления второй среды относительно первой), отраженный луч является плоскополяризованным (содержит только колебания, перпендикулярные плоскости падения) (рис. 18.15,б).

а б Рис. 18.15. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения, а в преломленном – колебания, параллельные плоскости падения (а), отраженный луч является плоскополяризованным (б) Преломленный же луч при угле падения iB поляризуется максимально, но не полностью. Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны (tgiB=siniB/cosiB, n21=siniB/sini2 (i2 – угол преломления), откуда cosiB=sini2). Следовательно, iB+i2=π/2, но i'B = iB (закон отражения), поэтому i'B+i2=π/2.

200


XIX. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ 19.1. Тепловое излучение и его характеристики Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым излучением. Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры. Тепловое излучение – единственный равновесный вид излучения. Количественной характеристикой теплового излучения служит спектральная плоскость энергетической светимости тела – мощность излучения с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины: dWνизл ,ν + dν (19.1) Rν ,T = , dν где dWν,ν+dν – энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в интервале частот от ν до ν + dν. Записанную формулу можно представить в виде функции длины волны: Rν ,T = Rλ ,T

λ2

. c Интегральная энергетическая светимость тела

(19.2)

RT = ∫ Rν ,T dν .

(19.3)

0

Способность тел поглощать падающее на них излучение характеризуется спектральной поглощательной способностью dWνпогл ,ν + dν Αν ,T = , (19.4) dWν ,ν + dν показывающей, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волнами с частотами от ν до ν + dν, поглощается телом. Тело, способное поглощать полностью при любой температуре все падающее на него излучение любой частоты, называется черным. Идеальной моделью черного тела является замкнутая полость с небольшим отверстием, внутренняя поверхность которой зачернена (рис. 19.1) [47, 54].

Рис. 19.1. Модель черного тела Серое тело – тело, поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности тела. Для серого тела Ανc ,T = Α T = const < 1 .

201

(19.5)


19.2. Закон Кирхгофа Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры: Rν ,T = rν ,T . (19.6) Αν ,T Согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости черного тела при той же температуре и частоте. Спектральная плотность энергетической светимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости черного тела при тех же значениях Т и ν, так как Аν,T < 1 и поэтому Rν,T < rν,T . Если тело не поглощает электромагнитные волны какой-либо частоты, то оно их и не излучает, так как при Аν,T = 0 Rν,T = 0. Используя закон Кирхгофа, выражению для энергетической светимости тела можно придать вид: ∞

RT = ∫ Αν ,T rν ,T dν .

(19.7)

0

Для серого тела ∞

R = Α T ∫ rν ,T dν = Α T Re , c T

(19.8)

0

где R e = ∫ rν,T dν – энергетическая светимость черного тела, зависящая только от 0

температуры. Излучение, которое не подчиняется закону Кирхгофа, не является тепловым.

19.3. Закон Стефана-Больцмана. Закон смещения Вина Энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры: Rе=σT4,

(19.9)

где σ – постоянная Стефана-Больцмана. Из экспериментальных кривых зависимости функции rλ ,T от длины волны λ при разных температурах (рис. 19.2) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным. Длина волны λmax, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости rλ,T черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре.

Рис. 19.2. Зависимость функции rλ ,T от длины волны λ при разных температурах 202


Согласно закону смещения Вина, λmax=b/Т,

(19.10)

где b – постоянная Вина. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение.

19.4. Формула Релея-Джинса и Планка Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина являются частными законами и не дают общей картины распределения энергии по частотам при различных температурах. Формула Релея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид: 2πν 2 2πν 2 rν ,T = 2 < ε >= 2 kT , (19.11) c c где <ε>=kT – средняя энергия осциллятора с собственной частотой ν (средняя энергия каждой колебательной степени свободы). Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено Планком. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, энергия кванта при этом пропорциональна частоте колебания εо=hν=hс/λ, где h=6,625·10-34 Дж·с – постоянная Планка. Поэтому энергия осциллятора ε может принимать дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии εо: ε=nhν (n=0, 1, 2,…).

(19.12)

При данном условии средняя энергия осциллятора hν < ε >= hν / (kT ) , (19.13) e −1 а спектральная плотность энергетической светимости черного тела по Планку: 2πhν 3 1 rν ,T = (19.14) . 2 hν / ( kT ) c e −1 Формула блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур.

19.5. Оптическая пирометрия. Тепловые источники света Законы теплового излучения используются для измерения температуры раскаленных и самосветящихся тел. Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости или интегральной энергетической светимости тел от температуры, называются оптической пирометрией. В зависимости от того, какой закон теплового излучения используется при измерении температуры тел, различают радиационную, цветовую и яркостную температуру. Радиационная температура – это такая температура черного тела, при которой его энергетическая светимость Re равна энергетической светимости RT исследуемого тела. В данном случае регистрируется энергетическая светимость исследуемого тела и по закону Стефана-Больцмана вычисляется его радиационная температура: T p = 4 RT / σ .

Радиационная температура тела всегда меньше его истинной температуры.

203

(19.15)


Для серых тел применим закон смещения Вина, то есть, зная длину волны λmax , соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости Rλ,T исследуемого тела, можно определить его температуру: Tц=b/λmax,

(19.16)

которая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Таким способом определяют температуру на поверхности Солнца и звезд. Яркостная температура TЯ – это температура черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела: rλ,Tя=Rλ,T,

(19.17)

где Т – истинная температура тела. Истинная температура тела всегда выше яркостной. В качестве яркостного пирометра используют пирометр с исчезающей нитью. Накал нити выбирают таким, чтобы выполнялось указанное условие, при этом нить пирометра становится неразличимой на фоне поверхности раскаленного тела. Используя проградуированный по черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную температуру. Зная поглощательную способность Аλ,T тела при той же длине волны, по яркостной температуре можно определить истинную: Аλ,T=(ehc/(kλT)–1)/(ehc/(kλTя)–1).

(19.18)

19.6. Фотоэлектрический эффект Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения. Внешний фотоэффект наблюдается в твердых телах (металлах, полупроводниках, диэлектриках), а также в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация). Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил следующие закономерности: 1) наиболее эффективное действие оказывает ультрафиолетовое излучение; 2) под действием света вещество теряет только отрицательные заряды; 3) сила тока, возникающая под действием света, прямо пропорциональна его интенсивности. На рис. 19.3 приведена экспериментальная установка для исследования вольтамперной характеристики фотоэффекта – зависимости фототока І, образуемого потоком электронов, испускаемых катодом под действием света, от напряжения U между электродами.

204


Рис. 19.3. Установка для исследования ВАХ фотоэффекта Максимальное значение тока Інас – фототок насыщения – определяется таким значением U, при котором все электроны, испускаемые катодом, достигают анода: Ιнас=en, где n – число электронов, испускаемых катодом в 1 с. Для того, чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение Uo. При U=Uо ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максимальной скоростью υmax , не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. Следовательно, mυ2max/2=eUо. Установлено три закона внешнего фотоэффекта. 1. Закон Столетова: при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещенности Еe катода). 2. Максимальная начальная скорость (максимальная начальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой υ, а именно линейно возрастает с увеличением частоты. 3. Для каждого вещества существует «красная граница» фотоэффекта, т. е. минимальная частота νо света (зависимая от химической природы вещества и состояния его поверхности), при которой свет любой интенсивности фотоэффекта не вызывает. Согласно Эйнштейну, свет частотой ν не только испускается, как это предполагал Планк, но и распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых εо=hν. Таким образом, распространение света нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью с распространения света в вакууме. Эти кванты электромагнитного излучения получили название фотонов. Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии m υ2max/2. По закону сохранения энергии 205


hν=Α+mυ2max/2

(19.19)

– уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

19.7. Масса и импульс фотона. Давление света Свет испускается, поглощается и распространяется дискретными порциями (квантами), названными фотонами. Энергия фотона εо = h ν. Его масса находится из закона взаимосвязи массы и энергии: mγ=hν/c².

(19.20)

Фотон – элементарная частица, которая всегда (в любой среде) движется со скоростью света с и имеет массу покоя, равную нулю. Импульс фотона pγ=εо/с=hν/с.

(19.21)

Если фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление, так как фотон при соударении с поверхностью передает ей свой импульс. Если в единицу времени на единицу площади поверхности тела перпендикулярно поверхности падает N фотонов (частота монохроматического излучения ν), то при коэффициенте отражения ρ света от поверхности тела ρN фотонов отразится, а (1-ρ)N – поглотится. Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс pγ=hν/с, а каждый отраженный –2pγ=2hν/с (при отражении импульс фотона изменяется на –pγ). Давление света на поверхность равно импульсу, который передают поверхности в 1с N фотонов: 2hν hν (1 − ρ )N = (1 + ρ ) hν N . ρN + p= c c c Nhν=Ee есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, т. е. энергетическая освещенность поверхности, а Еe/с= ω – объемная плотность энергии излучения. Давление света – E p = e (1 + ρ ) = ω (1 + ρ ) . (19.22) c

19.8. Эффект Комптона А. Комптон в 1923 г., исследуя рассеяние монохроматического рентгеновского излучения веществами с легкими атомами (парафин, бор), обнаружил, что в составе рассеянного излучения наряду с излучением первоначальной длины волны наблюдается также излучение более длинных волн. Разность ∆λ = λ'–λ не зависит от длины волны λ падающего излучения и природы рассеивающего вещества, а определяется только величиной угла рассеяния θ : ∆λ = λ'–λ = 2 λс sin2(θ/2),

(19.23)

где λ' – длина волны рассеянного излучения, λс – комптоновская длина волны. Эффект Комптона – упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и γ–излучений) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны. Рассмотрим упругое столкновение двух частиц (рис. 19.4) – налетающего фотона (с импульсом ργ=hν/c и энергией εγ=hν) с покоящимся свободным электроном (энергия покоя Wo=moc2, mo – масса покоя электрона). Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть своей энергии и импульса и изменяет направление движения (рассеивается). Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины волны рассеянного излучения. Пусть импульс и энергия рассеянного фотона равны: р'γ=hν'/c и ε'γ=hν'. Электрон, ранее покоившийся, приобретает импульс ре=mυ, энергию W = mc2 и приходит в движение – 206


испытывает отдачу. При каждом таком столкновении выполняются законы сохранения энергии и импульса:

(mυ )

Wо+εγ=W+ε'γ;

(19.24)

pγ = p e + pγ′ ;

(19.25)

m0 c 2 + hν = mc 2 + hν ′ ;

(19.26)

2

2

2

h2  hν   hν ′  =  +  − 2 2 νν ' cos θ . c  c   c 

(19.27)

Рис. 19.4. Упругое столкновение двух частиц – фотона с покоящимся свободным электроном Масса электрона отдачи m = m0 / 1 − (υ / c ) . Возведя уравнение (19.26) в квадрат, а затем, вычитая из него (19.27), получим: mос2(ν–ν')=hνν'(1–cosθ). Поскольку ν=с/λ, ν'=с/λ' и ∆λ=λ'–λ, получим: h (1 − cos θ ) = 2h sin 2 θ . ∆λ = (19.28) m0 c m0 c 2 Выражение (19.28) есть не что иное, как полученная Комптоном экспериментально формула (19.23). Подстановка в нее значений h, mo и с дает комптоновскую длину волны электрона λc=h/(moc)=2,426 пм. 2

Контрольные вопросы и вопросы для самоподготовки 1. В чем заключается физический смысл абсолютного показателя преломления среды? Что такое относительный показатель преломления? Что такое оптическая длина пути? Оптическая разность хода? 2. 3. Почему центр колец Ньютона, наблюдаемых в проходящем свете, обычно светлый? 4. Почему интерференцию можно наблюдать от двух лазеров и нельзя от двух электроламп? 5. В чем заключается принцип построения зон Френеля? 6. Когда наблюдается дифракция Френеля? Дифракция Фраунгофера? 7. Запишите условия дифракционных максимумов для одной щели и главных максимумов для решетки. Каков характер этих дифракционных картин? 8. Почему на кристаллах не наблюдается дифракция видимого света и наблюдается дифракция рентгеновского излучения? 9. Интенсивность естественного света, пропущенного через два поляризатора, уменьшилась вдвое. Как ориентированы поляризаторы? 10. Чем замечателен угол Брюстера? Чем отличается серое тело от черного? 11. 12. Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость черного тела, если его термодинамическая температура уменьшилась вдвое? 207


13. Как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости rν,T черного тела с повышением температуры? 14. Используя формулу Планка, найдите постоянную Стефана-Больцмана. 15. При каких условиях из формулы Планка получаются закон Вина и формула Релея-Джинса? Как при заданной частоте света изменится фототок насыщения с уменьшением 16. освещенности катода? 17. Как из опытов по фотоэффекту определяется постоянная Планка? 18. Как с помощью уравнения Эйнштейна объяснить І и ІІ законы фотоэффекта? 19. В чем отличие характера взаимодействия фотона и электрона при фотоэффекте и эффекте Комптона? 20. В чем заключается диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения?

Задачи для самостоятельного решения 1. На мыльную пленку падает белый свет под углом 45˚ к поверхности пленки. При какой наименьшей толщине h пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет (λ=600 нм)? Показатель преломления мыльной воды n=1,33. 2. Точечный изотропный источник создает полный световой поток Фo = 200 лм. Какова сила света I этого источника? Какой световой поток Ф падает на лист бумаги площади S = 1 дм2, расположенный на расстоянии R = 2 м от источника так, что лучи света падают на него под углом 45°? Определите освещенность E этого листа бумаги. На какую длину волны λ приходится максимум спектральной плотности 3. энергетической светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру, равную температуре t=370С человеческого тела, т.е. Т=310 К? 4. Определите скорость света в некоторой жидкости, если при падении луча на поверхность жидкости из воздуха под углом 45° угол преломления равен 30°. 5. Могут ли солнечные лучи испытать полное внутреннее отражение внутри дождевой капли? Каплю считать шаром. На собирающую (рассеивающую) линзу падает параллельный пучок лучей, 6. образующих некоторый угол с главной оптической осью линзы. Постройте ход преломленных лучей, считая положение фокуса известным. 7. Предмет находится на расстоянии 5 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. На каком расстоянии L от предмета находится его изображение?

208


МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Следует помнить, что задачи по физике в моделях отражают физическую реальность окружающего мира. Поэтому, приступая к решению очередной задачи, пусть даже очень простой, попытайтесь распознать явление, представить его мысленно, а уж затем приступать к поиску ответа на поставленный вопрос задачи. Необходимо кратко записать условие, где важно отразить не только данные числовые значения, но и все дополнительные условия, которые следуют из текста задачи. Неизменность или кратность каких-либо параметров, их граничные значения, условия, которые определяются физическим содержанием задачи (например, отсутствие трения, постоянство ускорения и т.п.). Необходимо установить, какие физические закономерности лежат в основе данной задачи. Затем из формул, выражающих эти закономерности, нужно найти решение задачи в символьном виде. После этого переходят к подстановке численных данных, выраженных в единицах СИ, т.к. в условиях задач численные данные приводятся не всегда в СИ, что объясняется использованием на практике других систем и внесистемных единиц. Поэтому для решения задач в СИ все данные, приведенные в условиях задач, а также взятые из справочных таблиц, должны быть переведены в единицы СИ. При таком подходе и ответ получится в единицах этой же системы. Однако иногда нет необходимости все данные выражать в одной и той же системе. Так, например, если в формуле какая-либо величина входит множителем и в числитель и в знаменатель, то очевидно, безразлично в каких единицах выражать эту величину (тогда они сократятся), необходимо только, чтобы единицы были одинаковыми. При получении численного ответа нужно обращать внимание на степень точности окончательного результата. После подстановки чисел вместо символьных обозначений ответ нужно писать с размерностью. Точность ответа не может превышать точности заданных исходных величин. В тех задачах, где требуется начертить график, следует выбрать масштаб и начало координат, а на графике указать масштаб.

209


ЗАКЛЮЧЕНИЕ Учебное пособие «Краткий курс физики для институтов искусств» будет полезным для студентов специализации «Звукорежиссура» дневной, заочной и дистанционной форм обучения как основа и введение в теорию и практику физики звука. В книге нашли отражение следующие разделы физики: основы механики, молекулярной физики и термодинамики, основы электродинамики, физики звука – акустики, спектрального анализа и оптики. Изучение основ механики объясняется необходимостью формирования понятийного аппарата и физико-математической базы для последующего описания волновых процессов. Из молекулярной физики в учебном пособии рассматриваются только те законы, которым подчиняются физические явления, сопровождающие колебания и звуковые волны. Знание фундаментальных законов электродинамики позволит понять процессы, происходящих в устройствах преобразования электрической энергии в звуковую, а также звукоснимателях и микрофонах. Ядром курса являются вопросы образования колебаний и волн, основ физиологической и музыкальной акустики, акустики помещений. Отдельный раздел посвящен гармоническому анализу звуковых сигналов, рассматриваются методы модуляции и спектры модулированных колебаний. Учитывая то, что исторически в акустику из оптики были введены ряд волновых идей, таких как интерференция, дифракция, рассеяния волн, принцип Доплера, необходимым является их рассмотрение в разделе, посвященном оптике. В пособии даны определения физических понятий, сформулированы физические законы и закономерности, приведены разъяснения, а в ряде случаев и выводы. Краткие пояснения понятий и определений написаны в лаконичной, доступной форме, сопровождаются множеством иллюстраций. Материал отдельных подразделов является исключительно справочным, что объясняется ограниченным объемом учебного пособия. Расположенный в конце книги словарь базовых терминов дает описание 119 акустических понятий. Предложенный материал станет достаточной базой для изучения ряда разделов специальных профилирующих курсов, таких как: «Основы электроакустики», «Звукорежиссура», «Средства звукозаписи», «Материаловедение», «Основы электротехники» и др.

210


I

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица I.I. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ Название константы Значение Гравитационная постоянная 6,672·10-11 Ускорение свободного падения

9,8065

Атмосферное давление Постоянная Авогадро

101325

Измерение Н·м2/кг2 м/с2 Па Моль-1

Объем 1моль идеального газа

6,022045·1023 22,41383

Газовая постоянная

8,31441

Дж моль*К

Постоянная Больцмана

Дж/К

Скорость света в вакууме

1,380662·10-23 2,99792458·108

Магнитная постоянная

4π·10-7=1,25663706·10-6

Электрическая постоянная

8,8541878·10-12 9,109534·10-31

Масса покоя электрона Масса покоя протона

1,6726485·10-27 1,6749543·10-27