Proyecto semestral Matematicas

Universidad Intercontinental Bachillerato

Marian Alessa Gutierrez Pérez Ana Paola Sandoval González June Aitana Villaseñor Coronel 206 Pedro Tavera Cruz 09/03/2021 Avance proyecto semestral

Ángulos complementarios y suplementarios

Suplementarios : Supongamos que tenemos dos ángulos α = 60⁰ y β = 120⁰; Si los sumamos nos da como resultado 180⁰, por lo tanto, decimos que α y β “se suplementan”, es decir, son ángulos suplementarios. Son aquellos que al sumarlos dan como resultado 180⁰ (o π rad).

Complementarios : Supongamos que tenemos dos ángulos : α=50° β =40°, si los sumamos nos da como resultado 90⁰, por lo tanto, decimos que α y β “se complementan”, es decir, son ángulos complementarios. Estos ángulos son aquellos que al sumarlos dan como resultado 90⁰ (o π/2 rad).

Ejemplo 1 : Calcule el ángulo complementario sabiendo que uno de ellos es 37 °.

A + B = 90º 37º + B = 90º B = 90 – 37 B = 53 Ejemplo 2 :

Conversiones entre grados y radianes Los Grados son la unidad que nos permite dar una medida a los Ángulos. Nos indican qué tan abierto es un ángulo, y son la herramienta fundamental para la Trigonometría.

En una circunferencia, que es la abertura total, caben 360°. En el ángulo llano o semicírculo hay 180°, y en el ángulo Recto hay una medida de 90°.

Un Radián se define como la longitud de un arco que mide un Radio. Un Arco es un segmento de circunferencia, delimitada por los lados de un ángulo, y por tanto con longitud determinada por éste. El Radián es un Arco que mide un Radio. En una Circunferencia, también llamada Perímetro de Circulo, el Diámetro cabe π veces, es decir, 3.1416 veces.

El Radio cabe 2 veces en el Diámetro, entonces cabrá 2 * π veces en la Circunferencia. Esto equivale a 6.2832 Radios en la Circunferencia.

360° Grados hay en una Circunferencia 6.2832 o 2π Radianes hay en una Circunferencia 360° = 6.2832 Rad (360° / 6.2832) = 1 Rad 57.3° = 1 Rad Ejemplo 1: Hay un ángulo de 42°. ¿A cuántos Radianes equivale?

57.3° = 1 Rad 42° = X X = (42°)*(1 Rad) / (57.3°) X = 0.7329 Rad Ejemplo 2: 230° a radianes : 230 π180 → rad=4.01 rad X = 4.01 rad

Ángulos opuestos al vértice Los ángulos opuestos por el vértice se forman con un par de rectas no paralelas y que se cruzan en un vértice común, de tal suerte que, los lados de uno de los ángulos son las prolongaciones de los lados del otro ángulo. La siguiente figura ilustra el párrafo anterior. Se observa que las rectas AC y BD se cruzan en O, formando 4 ángulos: w, x, y, z.

De la figura también se observa que existen dos pares de ángulos opuestos por el vértice: x es opuesto por el vértice a z w es opuesto por el vértice a y Una propiedad importante que se puede observar de la figura es que los ángulos opuestos por el vértice son iguales, es decir: x=z

w=y También, se puede observar que los ángulos x y w comparten un lado y, el otro lado de cualquiera de los dos es la prolongación del otro, por lo tanto, la suma w+x resulta en 180º. Lo mismo ocurre con y+z. w+x=180º y+z=180º Ejemplo 1 : Supongamos que x=45º. Lo que se ilustra en la siguiente figura:

Sabemos que w+x=180º, entonces: w=180º -x w=180º -45º w=135º También, sabemos que: x=z Entonces: z=45º Y, también, sabemos que: w=y y=135º

Ejemplo 2 : Solo sabemos que w=2x.

Entonces, recordamos la relación w+x=180º y, sustituimos el valor de w: 2x+x=180º 3x=180º x=60º Ahora, ya conocemos el valor del ángulo x, por lo que calcular los otros tres ángulos se logra siguiendo el procedimiento del ejemplo 1. w=180º -x w=180º -60º w=120º También, sabemos que x=z y que w=y, entonces: z=60º y=120º

Rectas paralelas y una transversal Dos rectas que se cortan decimos que son secantes. Al cortarse determinan 4 ángulos, como puedes ver en la figura. Pero esos ángulos están relacionados entre sí, de modo que si conociéramos cuanto mide uno de ellos, podríamos determinar inmediatamente los otros tres.

Según la posición de los ángulos con respecto a las rectas, reciben distintos nombres. Los llamamos ángulos opuestos por el vértice cuando comparten el vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro, como sucede en los ángulos A y C. Decimos que son ángulos adyacentes cuando tienen el vértice y un lado común y los otros lados tales que uno es prolongación del otro. Son adyacentes, por ejemplo, el A y el B.

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, a la que llamaremos transversal se forman 8 ángulos, como puedes ver en la figura.

Estos ocho ángulos también guardan una estrecha relación entre sí, de modo que, como en el caso anterior, en cuanto conocemos uno de ellos podemos averiguar lo que valen los demás.

La posición relativa de los ángulos con respecto a las rectas hace que esos ángulos reciban unos nombres específicos. Así, llamamos ángulos

correspondientes a los que están situados al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. Son correspondientes, por ejemplo, el A y el E, o también el B y el F. Llamamos ángulos alternos internos los que están a distinto lado de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Son alternos internos el B y el H y también el C y el E. Son ángulos alternos externos los que están en la parte exterior de las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ejemplos: 1) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas:

Encuentra el valor de x x

6x+26=4x+66 6x -4x = 66-26 2x=40 X=20 3) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas:

Encuentra el valor de

x

6x+36 = 2x+84 6x-2x=84-36 4x=48 X=12

Propiedades de los triángulos ¿Qué es un triángulo?

Un triángulo es un polígono de tres lados. La notación que se utiliza habitualmente es nombrar a sus vértices con las letras mayúsculas A, B y C (pero pueden ser otras, siempre que sean mayúsculas) y a los lados opuestos a estos vértices, con las respectivas minúsculas, tal como se observa en la imagen. ¿Cuáles son sus propiedades más importantes?

Sus tres propiedades fundamentales son: 1) La suma de sus ángulos interiores es 180º.

Un ejemplo es el triángulo de la siguiente figura, donde consta la suma mencionada y su resultado:

2) La suma de sus ángulos exteriores es 360º. Observa la siguiente figura como ejemplo de esta propiedad:

3) Cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él (o sea sus opuestos). Queda más claro en la siguiente figura que sirve como ejemplo:

¿Cómo se clasifican los triángulos?

Los triángulos se clasifican tradicionalmente en base a dos criterios, que pueden utilizarse juntos o separados. Veamos de qué se trata cada uno de ellos Clasificación de triángulos según sus lados  Un triángulo es equilátero, si tiene sus tres lados iguales.  Un triángulo es isósceles, si tiene dos de sus lados iguales.  Un triángulo es escalenos, si tiene sus tres lados desiguales. La siguiente imagen nos muestra con claridad uno de cada uno de estos tipos de triángulos, observa con cuidado:

Clasificación de triángulos según sus ángulos En este caso, nos fijamos en los ángulos para realizar la clasificación. A saber: 

Un triángulo es acutángulo, si tiene todos sus ángulos agudos



Un triángulo es rectángulos, si tiene uno de sus ángulos recto, vale decir de 90º.



Un triángulo es obtusángulo, si tiene un ángulo obtuso.

Veamos la siguiente figura para observar bien esta clasificación:



¿Cómo se calcula el perímetro de un triángulo?

Al igual que el perímetro de cualquier otro polígono, se calcula el perímetro de un triángulo simplemente sumando sus lados.  ¿Cómo se calcula el área de un triángulo?

Como en casi todos los casos, tenemos una fórmula matemática que nos permite hallar el área o la superficie de un triángulo, cualquiera sea él, en relación a todas las categorías que vimos antes. En todos los casos, el área o superficie de un triángulo se calcula con la siguiente fórmula:

En el caso que vemos en la imagen, se observa que la altura es igual a 6 cm y que la base son 4 cm. Por tanto al aplicar la fórmula mencionada, estaríamos multiplicando estas dos medidas lo cual nos daría 24 cm, al dividirlo entre dos, el resultado final son 12 cm cuadrados. Recordemos que en las medidas de superficie, hablamos de cm cuadrados, metros cuadrados etc.

Teorema de Pitágoras Se conoce como el Teorema de Pitágoras a un postulado matemático hecho por el filósofo y matemático griego Pitágoras de Salmos (c. 569 – c. 475 a. C.), estudioso de las leyes de la matemática cuyos aportes a la aritmética y la geometría persisten hasta hoy en día. Este postulado reza que la suma del cuadrado de los catetos de un triángulo rectángulo es siempre igual al cuadrado de su hipotenusa.

Esta proposición es sin duda una de las más conocidas de la historia de la matemática, y la que cuenta con el mayor número de demostraciones a lo largo de los tiempos, a través de diferentes métodos y elaboradas por diversos filósofos y matemáticos.

Según algunos autores se pueden hallar hasta mil demostraciones diferentes, aunque se han catalogado formalmente 367. Esto se debe a que la demostración del teorema era requisito durante la Edad Media para alcanzar el título de Magíster matheseos (“Maestro de matemáticas”) en la academia.

Fórmula del Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras se formula de la siguiente manera: a2 + b2 = c2, donde a y b son los catetos de un triángulo rectángulo y donde c será su hipotenusa. De esta formulación se derivan tres corolarios o formulaciones posteriores, de aplicación práctica y verificación algebraica:

a = √ c2 – b2 (a es igual a la raíz cuadrada de c al cuadrado menos b al cuadrado) b = √c2 – a2 (b es igual a la raíz cuadrada de c al cuadrado menos a al cuadrado) c = √a2 + b2 (c es igual a la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado) Explicación del Teorema de Pitágoras teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras permite calcular los lados de un triángulo.

La lógica del teorema de Pitágoras es bastante simple y evidente. Dado un triángulo de lados a, b y c, en el que a y b formen un ángulo recto (léase: de 90°), será posible calcular la longitud de la hipotenusa sumando los cuadrados de los catetos o, a partir de dicha formulación, podremos calcular cualquiera de los lados del triángulo, pues esta proporción se mantendrá siempre estable.

Ejemplo del Teorema de Pitágoras Un ejemplo sencillo de la aplicación del teorema es el siguiente:

Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos a y b midan 3 y 4 cm respectivamente, podremos calcular su hipotenusa c sustituyendo los valores en la fórmula, de la siguiente manera: c2 = a2 + b2

cm9

luego c2 = 92 + 122 y por ende c2 = 81+144 y finalmente c = √225 = 15 la hipotenusa c mide 15 cm 2Hallar el área del triángulo equilátero:

Teorema de Tales El teorema de Tales es una ley de la geometría que nos indica que si se traza una línea paralela a cualquiera de los lados de un triángulo tendremos como resultado un triángulo semejante el triángulo original.

Dicho de otro modo, si cortamos un triángulo dibujando una recta paralela a uno de sus lados, obtendremos un triángulo semejante al previamente existente.

En este punto, cabe señalar que dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes (miden lo mismo) y sus lados homólogos son proporcionales entre sí.

Para entenderlo mejor, observemos la siguiente figura:

Por el teorema de Tales se puede concluir que α=δ y β=ε Además, como mencionamos previamente, los lados son proporcionales, por lo que se cumple que:

Una anécdota relatada por el historiador Plutarco cuenta que Tales de Mileto, en uno de sus viajes, hizo uso de este teorema para conocer la altura de las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino) en Egipto. Así, decidió poner una vara en vertical contra el suelo, esperando a que la longitud del objeto sea igual a la sombra que proyectaba. En ese momento, la sombra de la pirámide

también sería igual a la altura de esta. En este caso, los triángulos semejantes son: • El que tiene como dos de sus lados la vara y su sombra.

• El triángulo que tiene como uno de sus lados la altura de la pirámide y, como otro lado, la sombra de esta.

Para entenderlo mejor, imaginemos en la figura de arriba que la pirámide es aquella formada por los vértices D, E y F, su altura es el segmento HE y su sombra, IE. En tanto, la vara es el segmento AB y su sombra, CB. Por tanto, AB/CB=HE/IE. Esto, tomando en cuenta que los rayos del sol son paralelos (no se cruzan ni en su prolongación), por lo que formarán el mismo ángulo con la vara que con la pirámide (ángulos α y β son iguales) Ejemplo: 1)

Calcula la longitud del segmento x de la figura.

2)

Usa el teorema de Tales para calcular x .

Bibliografía: Cujó, S. R.. Ejercicios I | Paralelas y transversales. Ejercicios. Recuperado 9 de marzo de 2021, de https://rea.ceibal.edu.uy/elp/paralelasytransversales/ejercicios_i.html "Teorema de Pitágoras". Autor: Julia Máxima Uriarte. Para: Caracteristicas.co. Última edición: 14 de diciembre de 2019. Disponible en: https://www.caracteristicas.co/teorema-pitagoras/. Consultado: 09 de marzo de 2021.

Triángulos: propiedades y clasificación.Propiedades. Recuperado 9 de marzo de 2021, de http://contenedor.grupovida.biz/uploads/digitalcontents/interactive/366/tringulos_pr opiedades_y_clasificacin. html

Universidad Intercontinental Bachillerato Marian Alessa Gutierrez Pérez Ana Paola Sandoval Gonzales June Aitana Villaseñor Coronel 206 Pedro Tavera 26/04/2021 Avance del Provecto semestral 2

POLIGONOS

Introducción Un polígono es una porción de plano limitado por una línea poligonal cerrada.

Los elementos de un polígono son: los lados, Los ángulos, Vértices.

• • • •

LOS LADOS: Son los segmentos que forman el polígono.

LOS VÉRTICES: Son los puntos donde se interceptan cada par de lados del polígono. ÁNGULOS INTERIORES: Son los ángulos determinados por los lados del polígono.

DIAGONALES: Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Los polígonos se clasifican según su forma, según el número de sus lados, y según da medida de sus lados y ángulos internos.

Según su forma los polígonos pueden ser convexos y cóncavos.

• •

POLÍGONO CONVEXO: Cuando ninguno de sus ángulos internos mide más de 180°.

POLÍGONO CÓNCAVO: Si alguno de sus ángulos es mayor de 180°.

Los polígonos según la medida de sus de sus lados y ángulos interno se clasifican en Polígonos irregulares y Polígonos regulares: •

•

POLÍGONO IRREGULAR: Se le llama polígono irregular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores no son iguales entre sí. Los polígonos irregulares no tienen todos sus lados iguales. Sus vértices no están inscritos en una circunferencia.

POLÍGONO REGULAR: Es un polígono en el cual todos sus lados y ángulos tienen la misma medida. Los polígonos regulares reciben un nombre especial según el número de sus lados.

ÁREA DE POLÍGONOS El área de una figura plana es la medida de la superficie que encierra. Para medir el área utilizamos unidades cuadradas (como el m2, cm2, km2...). El área expresa, por tanto, el número de cuadrados unidad que ocupa la figura.

Sin embargo, para calcular el área de un polígono, en la mayoría de las ocasiones no será necesario tener que ir contando uno a uno los cuadrados unidad que ocupa, que es una tarea que, a veces, puede resultar muy laboriosa. Para hacer ese cálculo es muy frecuente emplear una fórmula.

EJEMPLOS: 1. Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular: a) A Las hectáreas que tiene. b) B El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15 €. a) Calculamos el área del rectángulo, para esto multiplicamos la base por la altura A = 170*28 = 4 760m^2 Sabemos que una hectárea es igual a 10 000m^2, por lo que el número de hectáreas del rectángulo es 4 760/10 000 = 0.476ha

b) Para calcular el precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15 €, realizamos 4 760*15 = 71 400 €

2. Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura.

1. Calculamos el área del rectángulo, para esto multiplicamos la base por la altura Ar = 4*3 = 12m^2 2. Sabemos que 1m^2 es igual a (100cm)^2 = 10 000cm^2, por lo que el área del rectángulo en centímetros cuadrados es 12*10 000 = 120 000cm^2 3. Calculamos el área de una baldosa Ab = 10*10 = 100cm^2 4. Para calcular el número de baldosas requeridas, dividimos el área del rectángulo entre el área de una baldosa 120 000/100 = 1 20cm^2 así, se requieren 1 200 baldosas

Circunferencia La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Los principales elementos de la circunferencia son: • • • • •

Centro de la circunferencia : El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia : El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Cuerda : La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro : El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro mide el doble del radio.

Arco : Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio es:

Ejercicio 1 : Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r = 3 cm.

Ejercicio 2 : Calculamos el área y el perímetro de un círculo de radio . R = 2 cm

El área del círculo es 4π cm² y el perímetro es 4π cm .

Ángulos de una circunferencia 1 Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

2 Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

3 Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semi-inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

4 Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

5 Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son secantes a ella

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son uno tangente y otro secante a ella

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son tangentes a ella

Ejercicio 1: Si el arco AC = 100˚, hallar el valor del ángulo ABC. Por estar el vértice B en la circunferencia y por ser las semirrectas BA y BC secantes a la misma, el ángulo ABC es un ángulo inscrito

Ejercicio 2: Si el arco DC = 40˚ y el arco AE = 80˚, hallar el valor del ángulo ABE Por ser el vértice B un punto interior a la circunferencia, el ángulo B es un ángulo interior. Aplicando el Teorema relativo a la medida de un ángulo interior, el valor del ángulo B está dado por

Referencias.

1. Serra, B. (2014). Circunferencia. Recuperado el 24 de Abril de 2021 : https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/circunferencia/

2. Maths, S. (2021). Área y perímetro de una circunferencia. Recuperado el 24 de Abril de 2021: https://www.sangakoo.com/es/temas/area-yperimetrode-una-circunferencia 3. Área y perímetro del círculo: calculadora y ejemplos. (2021). Recuperado el 24 de Abril de 2021: https://www.problemasyecuaciones.com/geometria2D/area/circulo/calculara rea-perimetro-circunferencia-circulo-calculadora-problemas.html

1. Ã. . A. Recuperado 26 de abril de 2021, de http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/anguloscircun.htm#:%7E:te xt=Angulo%20inscrito%20es%20aquel%20que%20tiene%20su%20v%C3%A9rtice %20en%20la%20circunferencia.&text=La%20medida%20del%20%C3%A1ngulo% 20interior,o%20secantes%20a%20la%20misma.

2. EcuRed. Ángulos en la circunferencia - EcuRed. Recuperado 26 de abril de 2021, de https://www.ecured.cu/%C3%81ngulos_en_la_circunferencia

Universidad Intercontinental Bachillerato Marian Alessa Gutierrez Pérez Ana Paola Sandoval Gonzales June Aitana Villaseñor Coronel 206 Pedro Tavera 01/06/2021 Avance del Provecto semestral 3 parte final

Razones trigonométricas Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

• El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

•

•

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

•

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se denota por tan B o tg B.

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se denota por csc B o cosec B.

•

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.

•

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cot B o ctg B.

Problema 1 Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30º.

Calcular el precio del cable si cada metro cuesta 12$.

Solución Como conocemos el lado opuesto, a=20ma=20m, utilizamos el seno para calcular la hipotenusa del triángulo:

Sustituimos el ángulo y el lado:

Luego el cable debe medir 40 metros y su precio es de 480$:

Problema 2

Calcular la altura, aa, de un árbol sabiendo que, si nos situamos 8 metros de la base del tronco, vemos la parte superior de su copa en un ángulo de 36.87º.

Solución Como la altura aa es el cateto opuesto al ángulo, utilizaremos el seno:

Pero como necesitamos calcular la hipotenusa hh del triángulo, utilizamos el coseno:

Sustituimos los datos:

La hipotenusa mide

Por tanto, la altura del árbol es

Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres ángulos. Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un lado. Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado.

Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera.Las razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) relacionan los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo .

Teorema de Pitágoras: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 -

Se conoce la hipotenusa y un ángulo

-

Se conoce un cateto y un ángulo

-

Se conoce la hipotenusa y un cateto

-

Se conocen los dos catetos

Ejemplos : 1. Obtener la longitud de una escalera recostada en una pared de 4,33 m de altura que forma un Ángulo de 60º con respecto al piso.

Procedimiento: Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.

2. El ángulo de elevación de una cometa cuando se han soltado 40 m de hilo es 40°. Determina la altura de la cometa :

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes del plano Cartesiano De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas ( radio vector) es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.

Primer cuadrante: En este cuadrante el cateto adyacente está sobre el eje “x” y el cateto opuesto sobre el eje “y”, la hipotenusa es el radio de la circunferencia.

Como el c, opuesto, c. adyacente y la hipotenusa son positivos, todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.

Segundo cuadrante: En este cuadrante, el cateto adyacente es negativo y el cateto opuesto es positivo también es positiva la hipotenusa. Por lo que el coseno, la tangente, la secante y la cotangente son negativas.

Tercer cuadrante: En este cuadrante el cateto adyacente y el cateto opuesto son negativos y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto, la tangente y la cotangente resultan positivas y las demás negativas.

Cuarto cuadrante: En este cuadrante el cateto adyacente es positivo y el cateto opuesto es negativo y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto, solo el coseno y la secante serán positivas.

En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

Ejercicio 1 Calcula las funciones trigonométricas de este plano cartesiano

C2= a2+b2

𝟒

𝑺𝒆𝒏 = 𝟓.𝟔𝟓

C2= (4)2 +(4)2 C2= 16+16

𝑺𝒆𝒄 =

𝟒

𝑪𝒔𝒄 =

𝟓.𝟔𝟓 𝟒

𝟒

𝑪𝒐𝒔 = 𝟓.𝟔𝟓 𝟒

C2= 32 C= 5.65

𝟓.𝟔𝟓

𝑪𝒐𝒕 = 𝟒 𝟒

𝑻𝒂𝒏 = 𝟒

Ejercicio 2

𝟑

C2=a2+b2

𝑺𝒆𝒏 = 𝟓

C2= (3)2+(-4)2 𝟒

C2=9+16

𝑪𝒐𝒔 = 𝟓

C2=25 𝟑

𝑻𝒂𝒏 = 𝟒

C=5

𝟒 𝟑 𝟓 𝑺𝒆𝒄 = 𝟒 𝟓 𝑺𝒆𝒏 = 𝟑 𝑪𝒐𝒕 =

Ley de senos La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos. Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos. Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños

Ejercicio 1: Calcula los lados faltantes de este triangulo

Ejercicio 2

En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

Ley de cosenos Un triángulo oblicuángulo es un triángulo que no es rectángulo. Puede ser un triángulo agudo (si sus tres ángulos son menores de 90°) o puede ser un triángulo obtuso (si uno de sus tres ángulos es mayor de 90°).

Por convención, se establece que los ángulos de un triángulo oblicuo son A, B, C y sus lados opuestos se identifican como a, b y c respectivamente. Esto se muestra en las siguientes figuras:

En cualquiera de los dos casos, la ley de los cosenos establece que:

Como puede apreciarse es semejante al teorema de Pitágoras excepto por el último término. En el caso de que C sea un ángulo recto, el término desaparece (porque cos 90°=0). Así que la ley de los cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras.

Como cada triángulo da tres ecuaciones para la ley de los cosenos, se pueden permutar las letras como se quiera, esto significa que las otras dos versiones son:

Al igual que la ley de los senos, esta ley relaciona los tres lados del triángulo con los tres ángulos, así que se puede usar en dos formas:

I) II)

Si se conoce un ángulo y los dos lados adyacentes, se puede determinar el lado opuesto Si se conocen los tres lados de un triángulo, entonces se puede encontrar cualquier ángulo.

Ejercicio 1 Calcula el ángulo a a = 90, b = 70, c = 40 a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

902 = 702 + 402 – 2(70)(40) cos α 8100 – 4900 – 1600 =– 5600 cos α 1600/ – 5600 = cos α -.2857 =cos α α = 106.6°

Ejercicio 2 Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado

Referencias Brizuela, M. C. (2014, 6 marzo). Funciones trigonométricas ejercicios resueltos. Matematicas Modernas. https://matematicasmodernas.com/funciones-trigonometricasejercicios-resueltos/ ::DIE:: (s. f.). Die. Recuperado 1 de junio de 2021, de https://uapa.cuaieed.unam.mx/sites/default/files/minisite/static/27d43 815-fded-43b5-8665-abab35c92638/Ley-senos-cosenos/index.html

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Resolución de triángulos rectángulos. Razones trigonométricas.

(2021, 26 enero). Clases de Matemáticas Online. https://ekuatio.com/apuntes-dematematicas/trigonometria/resolucion-de-triangulos-rectangulos/