Diseño por flexión de zapata aislada y de hormigón simple

DISEÑO POR FLEXIÓN

Profesor:

Ing. Daniel E. Weber

J.T.P.:

Ing. Sebastián Romero

Cimentaciones U.T.N. – Facultad Regional Santa Fe – 2008 E-Mail: cimentacionesutn@yahoo.com.ar

Diseño por Flexión En el diseño de secciones rectangulares con refuerzo de tracción, las dos condiciones de equilibrio son: C=T

(1)

y

Mn= (C ó T) (d – a/2)

b

εc

0,85 f’c a=β1c

c

(2)

C

d d – a/2 T

As εs Sección

Deformación

Esfuerzo equivalente

Diseño por Flexión Cuando el porcentaje de acero ρ = As / b.d se establece a partir de la ecuación (1) :

0,85 ⋅ f ' c ⋅ b ⋅ a = ρ ⋅ b ⋅ d ⋅ f y a=

ρ ⋅d ⋅ fy 0,85 ⋅ f ' c

A partir de la ecuación (2) :

 ρ ⋅d fy  M n = ρ ⋅ b ⋅ d ⋅ f y ⋅ d − 0,5 ⋅ ⋅ '  = T ⋅ (d − 0,5 ⋅ a ) 0,85 f c  

Diseño por Flexión Un coeficiente nominal de resistencia Rn se obtiene dividiendo por b.d2 :

ρ ⋅ fy   Mn  Rn = = ρ ⋅ f y ⋅ 1 − 0,5 ⋅ 2 '  b⋅d 0,85 ⋅ f c  

(3)

Cuando b y d se establecen, ρ se obtiene resolviendo la ecuación cuadrática para Rn :

0,85 ⋅ f ' c ρ= fy

 2 ⋅ Rn  ⋅ 1 − 1 − ' 0 , 85 ⋅ f c 

   

(4)

Porcentaje de refuerzo balanceado ρb para secciones rectangulares con refuerzo a tracción solamente

fy

2810

4220

f’c=211

f’c=281

f’c=352

f’c=422

β1=0,85

β1=0,85

β1=0,80

β1=0,75

ρb

0,0371

0,0495

0,0582

0,0655

0,75.ρb

0,0278

0,0371

0,0437

0,0491

ρb

0,0214

0,0285

0,0335

0,0377

0,75.ρb

0,0160

0,0214

0,0252

0,0283

Diseño por Flexión El procedimiento de diseño para secciones rectangulares sólo con refuerzo de tracción, mediante las ecuaciones (3) y (4), se realiza de la siguiente manera: Paso 1: seleccionar un valor aproximado del porcentaje de refuerzo de tracción ρ, igual o menor que 0,75 ρb, pero no mayor que el mínimo, donde el porcentaje de refuerzo balanceado, ρb, este dado por:

8,85 ⋅ β1 ⋅ f ' c  6115 ρb = ⋅  6115 + f fy y 

   

Diseño por Flexión

y

β1 = 0,85 → f 'c ≤ 281kg / cm 2  f ' c − 281   → 281kg / cm 2 < f ' c < 562kg / cm 2 β1 = 0,85 − 0,05 ⋅   70  β1 = 0,65 → f 'c ≥ 562kg / cm 2

Diseño por Flexión Paso 2: Con el porcentaje ρ establecido (14/fy ≤ ρ < 0,75 ρb), calcular el valor de b.d2 requerido.

b ⋅ d 2 (req.) = Donde:

Mu ϕ ⋅ Rn

ρ ⋅ fy    Rn = ρ ⋅ f y ⋅ 1 − 0,5 ⋅ '  0,85 ⋅ f c   ϕ = 0,90 Para flexión M u = Momento factorizado aplicado

Diseño por Flexión Paso 3: Dimensionar el elemento de tal manera que el valor dado b.d2 sea aproximadamente igual al valor b.d2 requerido.

Paso 4: Calcular y revisar el valor de ρ mediante uno de los métodos detallados a continuación: a) Por medio de la fórmula (Método exacto):

0,85 ⋅ f ' c ρ= fy

 2 ⋅ Rn  ⋅ 1 − 1 − ' 0 , 85 ⋅ f c 

   

Donde: Rn =

Mu ϕ ⋅ b⋅d2

(

)

Diseño por Flexión b) Por medio de las curvas de resistencia. Los valores de ρ están dados en términos de Rn para armaduras grado 42

Diseño por Flexión c) Por medio de las tablas de resistencia a momento. Los valores de ω = ρ.fy / f’c están dados en términos de resistencia a momento Mu / ϕ.f’c.b.d2

Diseño por Flexión d) Por medio de una relación aproximada:

( Rn revisado ) ρ ≈ (ρ original )⋅ (Rn original ) Paso 5: Calcular el As requerida.

As = ρ revisada ⋅ (b ⋅ d )dado Cuando b y d están establecidas, el As requerida se calcula directamente de:

As = ρ ⋅ (b ⋅ d )dado

Donde ρ se calcula usando uno de los métodos del paso 4.

Cálculo de Zapatas: Cargas y reacciones: El primer paso para el diseño consiste en determinar el área requerida para la base de la zapata. Teniendo en cuenta las presiones admisibles del suelo o de las cargas de los pilotes de cimentación y las cargas reales de servicio no factorizadas en cualquier combinación.

Cuando ya se han establecido las dimensiones en planta de la zapata, se continua con la altura y armadura de la misma.

Para ello, las presiones de contacto y todas las cargas se incrementan por los factores de carga apropiados.

Cรกlculo de Zapatas: Cargas y reacciones: Las cargas factorizadas o los momentos internos, y los esfuerzos de corte se utilizan para dimensionar la zapata, de modo que tenga la resistencia requerida al esfuerzo de corte y al momento flector.

Cálculo de Zapatas: Esfuerzo de Corte en Zapatas: La resistencia al corte de una zapata en los puntos cercanos al elemento soportado (columna o muro) debe ser determinado por la más estricta de las dos condiciones, una, la acción de la viga y otra, la acción en dos direcciones de la zapata.

En la acción de la viga se considera que la zapata actúa como una viga ancha con una sección crítica a través de su ancho total.

En la acción en dos direcciones de la zapata, se verifica la resistencia al corte por penetración.

Cálculo de Zapatas: Esfuerzo de Corte en Zapatas: La sección crítica para el esfuerzo de corte por penetración, es un perímetro b0 alrededor del elemento soportado.

La resistencia al corte para la acción en dos direcciones es una función del tamaño del apoyo βc, que es la relación del lado corto al largo de la columna o del área de apoyo.

Cálculo de Zapatas: Esfuerzo de Corte en Zapatas: Si el esfuerzo de corte factorizado, Vu, en la sección crítica excede de la resistencia al corte ϕ.Vc, debe colocarse armadura por corte.

Si se coloca armadura de corte, la resistencia puede incrementarse hasta un valor máximo de: 1,6 ⋅ f ' c ⋅ b0 ⋅ d Sin embargo, la armadura de corte debe diseñarse para que soporte un esfuerzo de corte superior a: 0,53 ⋅ f ' c ⋅ b0 ⋅ d Este límite es la mitad del permitido, con una relación de βc de 2 o menos.

Cálculo de Zapatas: Esfuerzo de Corte en Zapatas: Para el diseño de la zapata (sin armadura de corte), las ecuaciones de resistencia al corte se pueden resumir: Acción de la viga:

Vu ≤ ϕ ⋅ Vn

(

Vu = ϕ ⋅ 0,53 ⋅ f ' c ⋅ bw ⋅ d

)

Donde bw es el ancho de la zapata y Vu, el esfuerzo de corte factorizado, calculados para la sección crítica.

Cálculo de Zapatas: Esfuerzo de Corte en Zapatas: Acción en dos direcciones:

Vu ≤ ϕ ⋅ Vn  4  Vu = ϕ ⋅ 0,27 ⋅  2 +  ⋅ f ' c ⋅ b0 ⋅ d βc   ' 1 , 1 ⋅ ϕ ⋅ f Pero no mayor que: c ⋅ b0 ⋅ d

Donde el perímetro, b0, y el esfuerzo de corte factorizado, Vu, están calculados para la sección crítica.

Dise帽o de una zapata: 1,46

1,27

1,85

b0 para la acci贸n en ambas direcciones

1,01

75 cm + d

30 cm + d

d 1,85

1,495

4,00

1,495

1,27

d/2

1,625

bw para la acci贸n de la viga 0,75 4,00

1,625

Cálculo de Zapatas: Transmisión de fuerza en la base de la columna o muro reforzado: Todas las fuerzas aplicadas en la base de una columna o muro (elemento soportado) debe transmitirse a la base (elemento soportante), por medio del apoyo sobre el Hº o mediante la armadura.

La armadura debe resistir completamente los esfuerzos de tracción. La compresión del Hº, tanto para el elemento soportado, como para el soportante no debe exceder la resistencia a compresión del Hº.

Cálculo de Zapatas: Transmisión de fuerza en la base de la columna o muro reforzado: Para una columna soportada:

ϕ ⋅ Pnb = ϕ ⋅ (0,85 ⋅ f 'c ⋅ A1 ) Donde f’c es la resistencia del Hº de la columna.

Para el caso común de una zapata de apoyo con un área total considerablemente mayor que la columna soportada.

A2 > 2: A1

ϕ ⋅ Pnb = 2 ⋅ [ϕ ⋅ (0,58 ⋅ f ' c ⋅ A1 )]

Donde f’c es la resistencia del Hº de la zapata.

Cálculo de Zapatas: Cuando se supera la resistencia a compresión, se debe proporcionar un refuerzo para transferir el exceso. Se debe suministrar un área mínima de refuerzo a lo largo de la entrecara de la columna o muro y la zapata, aun cuando no se supere la resistencia a compresión del Hº.

Los requerimientos mínimos de refuerzo se basan en el tipo de elemento soportado: Columnas coladas en obra: As = 0,005 ⋅ Ag Muros colados en obra: As = Columnas prefabricadas de Hº: Ag: área del elemento soportado

Refuerzo mínimo vertical del muro.

As = 14 ⋅

Ag fy

Cálculo de Zapatas: Muros prefabricados de Hº: As = 3,5 ⋅

Ag fy

Para la construcción a base de Hº colado en obra, el refuerzo puede consistir en varillas de hierro prolongadas o anclajes de hierro entre la columna y la zapata.

Para la construcción a base de prefabricados, el refuerzo puede consistir en pernos de anclaje o conectores mecánicos.

Diseño de una zapata: Cálculo del área de una zapata: Determinar el área, Af , de la base de una zapata cuadrada aislada.

Datos: Carga muerta de servicio = 160 Tn. Carga viva de servicio = 125 Tn. Sobrecarga de servicio = 488 kg/m2 Peso promedio considerado para el suelo y Hº encima de la base de la zapata = 2.080 Kg/m3 Capacidad de carga del terreno = 22 Tn/m2 = 2,2 kg/cm2

Diseño de una zapata: Cálculo del área de una zapata: Datos: Columna = 75 cm x 30 cm

Diseño de una zapata: Cálculo y análisis: 1) Peso total de la sobrecarga: 2.080 kg/m3 x 1,50 m + 488 kg/m2 = 3.610 kg/m2 = 3,61 Tn/m2 2) Capacidad de carga neta del terreno: 22 Tn/m2 – 3,61 Tn/m2 = 18,39 Tn/m2 3) Área de la base de la zapata:

160Tn + 125Tn 2 Af = = 15 , 50 m 18,39Tn / m 2 Adoptamos una zapata cuadrada de 4 m x 4 m (Af = 16 m2)

Diseño de una zapata: Cálculo y análisis: El área de la base de la zapata se determina aplicando las cargas de servicio (no factorizadas) con la capacidad de carga del terreno.

4) Cargas factorizadas y reacción del terreno: U=1,4 x 160 Tn + 1,7 x 125 Tn = 436,50 Tn

qs =

U 436,50Tn 2 = = 27 , 28 Tn / m Af 16m 2

Para dimensionar la zapata por resistencia (altura y armaduras necesarias) deben utilizarse cargas factorizadas

Diseño de una zapata: Diseño de la altura de la zapata:

f ' c = 211kg / cm 2 Pu = 4,00m ⋅ 4,00m ⋅ 27,28Tn / m 2 = 436,50Tn qs = 27,28Tn / m 2

Dise帽o de una zapata: 1,46

1,27

1,85

b0 para la acci贸n en ambas direcciones

1,01

75 cm + d

30 cm + d

d 1,85

1,495

4,00

1,495

1,27

d/2

1,625

bw para la acci贸n de la viga 0,75 4,00

1,625

Diseño de una zapata: Determinar la altura con base en la resistencia al corte, sin armadura de corte.

Considerar un espesor total de 84 cm; d promedio ≈ 71 cm 1) Acción de la viga de la zapata:

Vu ≤ ϕ ⋅ Vn

(

Vu < ϕ ⋅ 0,53 ⋅ f ' c ⋅ bw ⋅ d

)

Vu = 27,28Tn / m 2 ⋅ (1,85m − 0,71m ) ⋅ (4 ) = 124,40Tn bw = 400cm

(

)

Vu ≤ 0,85 ⋅ 0,53 ⋅ 211kg / cm 2 ⋅ 400cm ⋅ 71cm / 1000 = 185,80Tn 124,40Tn < 185,80Tn → correcto

Diseño de una zapata: 1) Acción en dos direcciones de la zapata:

Vu ≤ ϕ ⋅ Vn  4  Vu < ϕ ⋅ (0,27 ) ⋅  2 +  ⋅ f ' c ⋅ b0 ⋅ d βc  

(

Pero no mayor que: 1,1 ⋅ ϕ ⋅ f ' c ⋅ b0 ⋅ d = 476 ,36 Tn

)

Vu = 27,28Tn / cm 2 16m 2 − 1,46m ⋅1,01m = 396,20Tn b0 = 2 ⋅ (75cm + 71cm ) + 2 ⋅ (30cm + 71cm ) = 494cm 75 = 2,5 βc = 30 4   Vu ≤ 0,85 ⋅ (0,27 ) ⋅  2 +  ⋅ 211kg / cm 2 ⋅ 494cm ⋅ 71cm / 1000 2,5   396,20Tn < 420,90Tn → correcto

Dise単o de una zapata: Por lo tanto la altura efectivo de 71 cm es suficiente para resistir el esfuerzo de corte.

Diseño de una zapata: Diseño de la armadura de la zapata:

f ' c = 211kg / cm 2 f y = 4220kg / cm 2 Pu = 4,00m ⋅ 4,00m ⋅ 27,28Tn / m 2 = 436,50Tn qs = 27,28Tn / m 2

Sección crítica para momento

Diseño de una zapata: Diseño de la armadura de la zapata: 1) La sección crítica se localiza en el plano de la columna

M u = 27,28Tn / m ⋅ 4 ⋅ (1,85m ) / 2 = 186,73Tn ⋅ m 2

2

2) Calcular el As requerida:

Mu 186,73Tn ⋅ m ⋅105 2 10 , 29 / Ru req. = = = kg cm ϕ ⋅ b ⋅ d 2 0,9 ⋅ 400cm ⋅ 71cm 0,85 ⋅ f ' c ρ= fy

 2 ⋅ Ru  ⋅ 1 − 1 − ' 0 , 85 ⋅ f c 

0,85 ⋅ 211kg / cm 2 ρ= 4220kg / cm 2

   

2  2 ⋅ 10 , 29 kg / cm ⋅ 1 − 1 − 2  0 , 85 ⋅ 211 / kg cm 

  = 0,0025  

Diseño de una zapata: Diseño de la armadura de la zapata: Hay que verificar el espesor mínimo requerido para losas estructurales:

ρ min . = 0,0018 < 0,0025 → correcto As req. = ρ ⋅ b ⋅ d As = 0,0025 ⋅ 400cm ⋅ 71cm = 71cm 2 Utilizamos 14 Ø 25 mm = 68,72 cm2 en cada sentido.

Diseño de una zapata: Diseño de la armadura de la zapata: 3) Revisar el desarrollo de la armadura La sección crítica para el desarrollo es la misma que se considera para el momento (plano de la columna) Para Ø 25 mm:

 0 ,06 ⋅ Ab ⋅ f y   ⋅ 0 ,8 ld =  '   f c    0 ,06 ⋅ 4 ,91 ⋅ 4220 kg / cm 2   ⋅ 0 ,8 ld =  2   211 kg / cm   ld = 68 ,5cm < 155 ,0 En la proyección corta

Diseño de una zapata: Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de la columna:

f ' c (columna ) = 352kg / cm 2

f ' c ( zapata ) = 211kg / cm 2 f y = 4220kg / cm 2

Pu = 4,00m ⋅ 4,00m ⋅ 27,28Tn / m 2 = 436,50Tn

Diseño de una zapata: Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de la columna: 1) Resistencia al aplastamiento del Hº de la columna:

f ' c = 352kg / cm 2

ϕ ⋅ Pnb = ϕ ⋅ (0,85 ⋅ f 'c ⋅ A1 ) = 0,70 ⋅ (0,85 ⋅ 352kg / cm 2 ⋅ 30cm ⋅ 75cm ) 471,00Tn > 436,50Tn → correcto 2) Resistencia al aplastamiento del Hº de la zapata: Para el apoyo en la zapata de Hº, la resistencia al aplastamiento se incrementa debido al gran tamaño del área de la zapata, lo que permite mayor distribución de la carga de la columna.

Diseño de una zapata: Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de la columna: El incremento permitido varia entre 1 y 2, de acuerdo con la expresión:

A2 ≤2 A1 Donde A1 es el área de la columna (área cargada) y A2 es el área máxima de la porción del área de la zapata que es geométricamente similar y concéntrica al área de la columna.

Diseño de una zapata: Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de la columna: Para la columna de 75 x 30 cm soportada por una zapata de 4 x 4 m:

A2 350cm ⋅ 400cm = = 7,89 > 2 A1 75cm ⋅ 30cm

Diseño de una zapata: Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de la columna: Cuando el área cargada A1 es la mitad o menos que el área apoyada A2, como en el caso de las zapatas, la resistencia al aplastamiento se incrementará con un factor de 2.

ϕ ⋅ Pnb = 2 ⋅ [ϕ ⋅ (0,85 ⋅ f 'c ⋅ A1 )]

[

(

= 2 0,70 ⋅ 0,85 ⋅ 211kg / cm 2 ⋅ 30cm ⋅ 75cm = 565Tn > 436,50Tn → correcto

)]

Diseño de una zapata: Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de la columna: 3) Anclajes requeridos entre la columna y la zapata: Aun cuando la resistencia al aplastamiento en el Hº de la columna y de la zapata sea adecuada para transmitir carga factorizada, se requiere un área mínima de refuerzo a través de la superficie de contacto.

As (mín ) = 0,005 ⋅ (75cm ⋅ 30cm ) = 11,25cm 2 Colocar 4 Ø 20 mm = 12,56 cm2 como anclajes.

Diseño de una zapata: Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de la columna: 4) Longitud de los anclajes:

 0,08 ⋅ d b ⋅ f y   ld =  '   f c  

Para varillas Ø 20 mm:

Pero no menor que: 0,00427 ⋅ d b ⋅ f y Longitud de desarrollo dentro de la columna:

ld =

0 ,075 ⋅ 2 ,00 ⋅ 4220 kg / cm 2 352kg / cm

2

= 33 ,74 cm

Diseño de una zapata: Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de la columna: 4) Longitud de los anclajes de hierro:

0 ,00427 ⋅ 2 ,00 ⋅ 4220 kg / cm 2 = 36 ,04 cm → (rige ) Longitud de desarrollo dentro de la zapata:

ld =

0 ,075 ⋅ 2 ,00 ⋅ 4220 kg / cm 2 211kg / cm

2

= 43 ,58 cm → (rige )

ld = 0 ,00427 ⋅ 2 ,00 ⋅ 4220 kg / cm 2 = 36 ,04 cm

Diseño de una zapata: Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de la columna: 4) Longitud de los anclajes de hierro: Longitud disponible para desarrollo por encima de la armadura de la zapata:

= 84 cm − 7 ,5cm(recubrimiento ) − 2 ⋅ 2 ,50 (hierros ) − 2 ,00( bastones ) = 69 ,5cm > 43 ,58 cm → correcto

Diseño de una zapata de Hº simple: Dimensionar una zapata cuadrada de Hº simple Datos: Carga muerta de servicio = 18,10 Tn. Carga viva de servicio = 27,20 Tn. Sobrecarga de servicio = 0 kg/cm2 Elemento soportado (pedestal) = 30,5 cm x 30,5 cm Capacidad de carga del terreno = 19,53 Tn/m2 f’c = 211 kg/cm2zapata y pedestal)

Diseño de una zapata de Hº simple: Cálculo y Análisis: 1) Área de la base de la zapata:

18,10Tn + 27,20Tn 2 Af = = 2 , 32 m 19,53Tn / m 2 Adoptamos una zapata cuadrada de 1,50 m x 1,50 m (Af = 2,25 m2) El área de la base de la zapata se determina aplicando las cargas de servicio (no factorizadas) con la capacidad de carga del terreno. Para diseñar la zapata por resistencia deben emplearse cargas factorizadas.

Diseño de una zapata de Hº simple: Cálculo y Análisis: Cargas factorizadas y reacción del terreno: U=1,4 x 18,10 Tn + 1,7 x 27,20 Tn = 71,60 Tn

qs =

U 71,60Tn 2 = = 31 , 82 Tn / m Af 2,25m 2

Diseño de una zapata de Hº simple: Cálculo y Análisis: 2) Determinar la altura de la zapata. Para Hº simple, la resistencia a flexión regirá el espesor. La sección crítica de momento está en el plano de la columna que interseca la base.

b b−c 2 2 M u = qs ⋅ ⋅   = 31,82Tn / m ⋅ 0,76m ⋅ (0,61m ) = 9,00Tn ⋅ m 2  2  2

Mu 6⋅ Mu ft ≥ = W b ⋅ h2 f t = 1,33 ⋅ ϕ ⋅ f ' c

Esfuerzo de flexión permisible

f t = 1,33 ⋅ 0,65 ⋅ 211kg / cm 2 = 12,56kg / cm 2

Diseño de una zapata de Hº simple: Cálculo y Análisis:

(

5 ⋅ tn ⋅ m ⋅ 6 9 , 00 10 12,56kg / cm 2 ≥ 152cm ⋅ h 2

) c=30,5cm

Despejando h = 53,2 cm Se considera que los 5 cm de espesor de Hº en contacto con el suelo no se pueden tomar en cuanta para los cálculos de resistencia.

Utilizar un espesor total de la zapata de 60 cm.

Sección crítica para momento

55 cm

h

qs b=152cm

Diseño de una zapata de Hº simple: Cálculo y Análisis: 3) Revisar la resistencia al corte para la altura de la zapata de 60 cm. Utilizar la altura efectiva por corte hef.=60-5=55cm La sección crítica para la acción de la viga (distancia igual a la altura efectiva, tomado a partir del plano que interseca al pedestal) está localizada a 0,60-0,55=0,05 m del borde de la zapata, por lo tanto no es crítica.

Acción en dos direcciones de la zapata:

3 ⋅ Vu 3 ⋅ (49,98Tn ) ⋅103 Vu = = = 3,98kg / cm 2 2 ⋅ b0 ⋅ h 2 ⋅ 342cm ⋅ 55cm

Diseño de una zapata de Hº simple: Cálculo y Análisis: Donde:

(

)

Vu = 31,82Tn / m 2 ⋅ 1,52 2 − 0,86 2 = 49,98Tn b0 = 4 ⋅ (30,5cm + 55cm ) = 342cm

ϕ

v

c

 4  = 0,27 ⋅ ϕ ⋅  2 +  ⋅ f ' c < ϕ ⋅1,1 ⋅ f ' c βc  

= 0,65 ⋅1,1 ⋅ 211kg / cm 2 = 10,39kg / cm 2 vu ≤ ϕ v c 3,98kg / cm 2 < 10,39kg / cm 2 → correcto Por lo tanto la altura efectiva de 55 cm es adecuada para el esfuerzo de corte.

Diseño de una zapata de Hº simple: Cálculo y Análisis: 4) Esfuerzo de penetración en el pedestal:

f b = 0,85 ⋅ ϕ ⋅ f ' c = 0,85 ⋅ 0,65 ⋅ 211kg / cm 2 = 116,6kg / cm 2 71600kg = 79,55kg / cm 2 < 116,6kg / cm 2 → correcto 30cm ⋅ 30cm