Formulario De Calculo Integral y Diferencial

Formulario A ➟ Integrales

277

➠ Formulario A: Integrales

En este formulario: a, b, p, q, C ∈ son constantes reales, m, n ∈ N son enteros positivos y u = u ( x ) y v = v( x ) son funciones que dependen x.

Fórmulas básicas 1.

2.

20.

∫ 0 dx = C ∫ k dx = kx + C

3.

∫ ( a ⋅ u ± b ⋅ v )dx = a ∫ udx ± b ∫ vdx + C

4.

n ∫ u du =

5.

∫ u dv = uv − ∫ v du

6.

a +C ln(a )

∫a

n

du =

u n+1 + C; ∀ n ≠ −1 regla de la potencia n +1

22. ∫ csc(u )cot(u ) du = − csc(c) + C

Fórmulas trigonométricas hiperbólicas

n

7.

du ∫ u = ln | u | +C

8.

∫e

u

integración por partes

21.

 u sen(2u ) + +C   2 4 2 ∫ cos (u ) du =  1  [ u + sen(u )cos(u )] + C  2 sec( u ) tan( u ) du = sec(u ) + C ∫

dx = e + C u

Fórmulas trigonométricas 9.

∫ sen(u ) du = − cos(u ) + C

10.

∫ cos(u ) du = sen(u ) + C

23. ∫ sen h(u ) du = cosh(u ) + C 24. ∫ cosh(u ) du = sen h(u ) + C 25. ∫ tanh(u ) du = ln [ cosh(u )] + C 26. ∫ coth(u ) du = ln [sen h(u )] + C  sen −1 [ tanh(u )] + C  u −1  2 tanh e + C

27. ∫ sech(u ) du = 

( )

   u  ln  tanh    + C ∫ csch(u ) du =    2    −2 coth −1 eu + C 

11. ∫ tan(u )du = 

28.

12. ∫ cot(u ) du = ln [sen(u )] + C

29. ∫ sech 2 (u ) du = tanh(u ) + C

 ln [ sen(u )] + C

 − ln [ cos(u )] + C

13.

 ln [ sec(u ) + tan(u )] + C  sec( u ) du =   u π ∫  ln  tan  2 + 4   + C   

14.

 ln [ csc(u ) − cot(u )] + C  csc( u ) du =    u ∫ ln  tan    + C    2  

15. ∫ sec

2

18. ∫ cot 2 (u ) du = − cot(u ) − u + C  u sen(2u ) − +C   2 4 ∫ sen (u ) du =  1  [ u − sen(u )cos(u )] + C  2 2

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

( )

30. ∫ csch2 (u ) du = − coth(u ) + C 31. ∫ tanh

2

(u ) du = u − tanh(u ) + C

32. ∫ coth 2 (u ) du = u − coth(u ) + C 33.

 sen h(2u ) u − +C   4 2 ∫ sen h (u ) du =  1  [ sen h(u )cosh(u ) − u ] + C  2

34.

 sen h(2u ) u + +C   4 2 ∫ cosh (u ) du =  1  [ sen h(u )cosh(u ) + u ] + C  2

(u ) du = tan(u ) + C

16. ∫ csc2 (u ) du = − cot(u ) + C 17. ∫ tan 2 (u ) du = tan(u ) − u + C

19.

2

2

35. ∫ sech(u ) tanh(u ) du = − sech(u ) + C 36. ∫ csch(u )coth(u ) du = − csch(u ) + C

Alfaomega

3

278

Formulario A ➟ Integrales

Fórmulas con

Fórmulas con 1

du

37. ∫ au + b = a ln ( au + b ) + C u

u

b

du = − 2 ln ( au + b ) + C 38. ∫ au + b a a

39. ∫ u du = (au + 3b) au + b 2a 2

u3

40. ∫ au + b du = −

2

2b(au + b ) b 2 + 3 ln ( au + b ) + C a3 a

−

(au + b )3 3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3 − 4 ln(au + b ) + C − + a4 a 3a 4 2a 4

3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3 + − 4 ln(au + b ) + C 2a 4 a4 a

du =

1

du

a

 =− + ln  42. ∫ 2 u (au + b ) bu b 2  du

=−

1 +C a(au + b )

u

58. ∫

u2 2(3a 2 u 2 − 4 abu + 8b 2 ) du = au + b + C 15 a 3 au + b

1

b

2b au + b b2 − ln(au + b ) + C − 3 a3 a (au + b ) a 3 du 1 1  u  ∫ u(au + b)2 = b(au + b) + b2 ln  au + b  + C du a 1 2 a  au + b  ∫ u 2 (au + b)2 = − b2 (au + b) − b2u + b 3 ln  u  + C u2

1

du

=− +C 48. ∫ (au + b )3 2(au + b )2 1

u

b

du = − 2 + +C 49. ∫ (au + b )3 a (au + b ) 2 a 2 (au + b )2 1 50. ∫ u 3 du = 3 2b − 3 b + ln(au + b ) + C (au + b ) a (au + b ) 2 a (au + b )2 a 3 2

2

51. ∫ (au + b) du = (au + b) 2a

2

+C

52. ∫ (au + b)n du = (au + b) (n + 1)a

n+1

53. ∫ u(au + b) du = (au + b) 2 (n + 2)a n

2 n 54. ∫ u (au + b) du =

(au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1 +C − + (n + 1)a 3 (n + 3)a 3 (n + 2)a 3

+C

n+ 2

−

 1  au + b − b   +C ln  b  au + b + b  du ∫ u au + b =   au + b 2 tan −1 +C  −b b − 

61. ∫

du = 45. ∫ (au + b )2

47.

u 2(au − 2b ) du = au + b + C 3a 2 au + b

60. ∫ 2 u

au + b   +C u 

44. ∫ (au + b)2 du = a 2 (au + b) + a 2 ln(au + b) + C

46.

57. ∫

u

  = ln  41. ∫  +C u (au + b ) b  au + b 

43. ∫ (au + b )2

2 au + b du = +C a au + b

59.

1

du

56. ∫

∀ n ≠ −1

b(au + b )n+1 (n + 1)a 2

au + b du =

62. ∫ u

2 (au + b )3 +C 3a

au + b du =

63. ∫ u 2

2(3au − 2b ) (au + b )3 + C 15 a 2

au + b du =

2(15 a 2 u 2 − 12 abu + 8b 2 ) (au + b )3 + C 105 a 3

64. ∫

au + b du du = 2 au + b + b ∫ u u au + b

65. ∫

au + b au + b a du + ∫ du = − u2 u 2 u au + b

66. ∫

um 2u m au + b 2 mb u m−1 du = du − (2 m + 1)a (2 m + 1)a ∫ au + b au + b

67. ∫ m u

du au + b (2 m − 3)a du =− − ( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1 au + b au + b

68. ∫ u m

au + b du =

3 2u m 2 mb (au + b ) 2 − u m−1 au + bdu (2 m + 3)a (2 m + 3)a ∫

69. ∫

au + b au + b a du du = − + ( m − 1)u m−1 2( m − 1) ∫ u m−1 au + b um

70. ∫

au + b au + b (au + b ) 2 (2 m − 5)a du = − − du um ( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1

3

∀ n ≠ −1, −2

(au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1 +C − + (n + 3)a 3 (n + 2)a 3 (n + 1)a 3 ∀n ≠ −1, −2, −3

du au + b a du =− − bu 2b ∫ u au + b au + b

m+ 2

∀n ≠ −1, −2, −3 m 2(au + b ) 2 +C 71. ∫ (au + b) 2 du = a( m + 2)

72.

m+ 4

m+ 2

2(au + b ) 2 2b(au + b ) 2 ∫ u(au + b) du = a2 (m + 4) − a2 (m + 2) + C m 2

 u m+1 (au + b )n nb m+ 6 m+ 4 m+ 2  + u m (au + b )n−1 du 55. m 2b 2 (au + b ) 2 2(au + b ) 2 4 b(au + b ) 2 m + n +1 m + n +1∫ 2  2 ∫ u (au + b) du = a 3 (m + 6) − a 3 (m + 4) + a 3 (m + 2) + C 73.  u m (au + b )n+1 mb m −1 n m n ( ) − u au + b du u au + b du = ( )  ∫ ∫ m+ 6 m+ 4 m+ 2  ( m + n + 1)a ( m + n +m 1)a 2 2 2 2 2 b ( au + b ) 2( au + b ) 4 b ( au b ) +  u m+1 (au + bu)n2+(1au m 2 + 2= m +C + n+1 − 3au + b ) 3 3 ∫ + + b+) n du ( u du  − a ( m + 2) a ( m + 4) (n + 1)b (n + 1)b ∫ a ( m + 6) 

Alfaomega

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

279

Formulario A ➟ Integrales

m

m

74.

(au + b ) 2 2(au + b ) 2 (au + b ) ∫ u du = m + b ∫ u

75.

(au + b ) 2 (au + b ) ∫ u 2 du = − bu

m

76. ∫

du u (au + b )

=

m 2

m+ 2 2

m− 2 2

93. ∫ u

du m

94. ∫

am (au + b ) 2 + du 2b ∫ u

2 b( m − 2)(au + b )

m− 2 2

+

1 b∫

du u (au + b )

du

=

m− 2 2

+a

(u

)

du = ∫

)

2 n

du 2

1 1 du + 2 a 2 (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 a 2 ∫ u (u 2 + a 2 )n−1

=

2 n

+a

)

2 n

=

(u

u m− 2 2

+a

)

2 n−1

du − a 2 ∫

1 du a2 ∫ u m u 2 + a2

(

)

n−1

−

u m−2 du (u 2 + a 2 )n

1 du a 2 ∫ u m− 2 u 2 + a 2

(

96.

1

78. ∫ 2 2 du = ln (u 2 + a 2 ) + C u +a 2

1

u

97. ∫ 2 2 du = ln(u 2 − a 2 ) + C u −a 2

79.

80.

u3 u 2 a2 2 2 ∫ u 2 + a2 du = 2 − 2 ln u + a + C

81.

 u2  du 1 ∫ u(u 2 + a2 ) = 2a2 ln  u 2 + a2  + C

82.

du 1 1 −1  u  ∫ u 2 (u 2 + a2 ) = − a2u − a 3 tan  a  + C

100. ∫

 u 2 − a2  du 1 = 2 ln  +C 2 u (u − a ) 2 a  u 2 

83.

 u2  du 1 1 ∫ u 3 (u 2 + a2 ) = − 2a2u 2 − 2a 4 ln  u 2 + a2  + C

101. ∫

du 1 1  u − a = + ln   +C u 2 (u 2 − a 2 ) a 2 u 2 a 3  u + a 

u 1  u = 2 2 + tan −1   + C  a 2 a (u + a 2 ) 2 a 3

102. ∫

 u2  du 1 1 = 2 2 − 4 ln  2 +C 2 2 u (u − a ) 2 a u 2a  u − a 2 

(

84. ∫ 85. ∫ 86. ∫ 87. ∫

(u (u (u (u

88. ∫ u

90. ∫ 3 u

92. ∫

(u (u

+ a2 u

2

+ a2 u2

2

+ a2 u

2

(u

89. ∫ 2 u

91. ∫

2

)

2

du = −

2

)

)

99. ∫ 2 u 2 du = u u −a 2 3

103. ∫

1 +C 2(u 2 + a 2 )

104. ∫

u 1  u du = − + tan −1   + C  a 2(u 2 + a 2 ) 2 a

2

105. ∫

a 1 du = + ln(u 2 + a 2 ) + C 2(u 2 + a 2 ) 2

2

)

+ a2

du + a2

du + a2 u +a

106. ∫

 1 1  u = 2 2 + +C 2 a (u + a 2 ) 2 a 4  u 2 + a 2 

2 2

du

2

2

2

+a 2

98. ∫ 2 u 2 du = u + a ln  u − a  + C u −a 2  u + a

2

du

(u

2

)

2

3

+ a2

(u

2

)

) )

n

2 n

) )

2

2

n

 1  u − a ln    +C du  2a  u + a  ∫ u 2 − a2 =  1 −1  u   − coth   + C  a a 

u2 −1  u  ∫ u 2 + a2 du = u − a tan  a  + C

du

)

Fórmulas con

1 −1  u  tan   + C  a a

u

(u

+a

um 2

95. ∫ um

Fórmulas con 77. ∫ u 2 + a 2

(u

du 2

107. ∫

1 u 3  u =− 4 − 4 2 − tan −1   + C  a a u 2 a (u + a 2 ) 2 a 5 =−

1 1 1  u2  − 4 2 − 6 ln  2 +C 4 2 2 2a u 2 a (u + a ) a  u + a 2 

u 2n − 3 =− 2 + 2 a (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 (2 n − 2)a 2 du = −

∫

(u

1 +C 2(n − 1)(u 2 + a 2 )n−1

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

du 2

+ a2

)

n−1

108. ∫ 109. ∫ 110. ∫

2

+

a2 ln(u 2 − a 2 ) + C 2

2

3

(u

du − a2

2

)

=−

2

u 1  u − a − ln   +C 2 a 2 (u 2 − a 2 ) 4 a 3  u + a 

u 1 du = − +C (u 2 − a 2 )2 2(u 2 − a 2 )

( (

u2 u − a2 2

u3 u 2 − a2

)

2

du = −

u 1  u − a + ln   +C 4a  u + a  2 u 2 − a2

)

2

du = −

a 1 + ln u 2 − a 2 + C 2 2 u 2 − a2

du

(

u u −a 2

(

)

du

u 2 u 2 − a2

(

du

u u −a 3

(u

2

du 2

− a2

=−

2 2

)

n

) )

2

2 2

(

)

(

(

)

)

 u2  1 1 + 4 ln  2 +C 2a  u − a 2  2a2 u 2 − a2

(

)

=−

u 3 1  u − a − − 5 ln  +C  u + a  4a a 4 u 2a 4 u 2 − a2

=−

1 1 1  u2  − + 6 ln  2 +C 2a 4 u 2 2a 4 u 2 − a2 a  u − a 2 

=−

(

)

(

u

(

2 a 2 ( n − 1) u 2 − a 2

)

)

n−1

−

2n − 3

du

( 2n − 2 ) a 2 ∫ (u 2 − a 2 )n−1

Alfaomega

280

Formulario A ➟ Integrales

111. ∫

(u

112. ∫ u 113. ∫

u −a

2

(u

(u

du

−a

2

um 2

114. ∫ m u

)

2 n

−a

(u

du = −

)

)

2 n

− a2

)

=

n

2 ( n − 1) u − a 2

)

2 n−1

1

(

2 a ( n − 1) u − a 2

du = ∫

du 2

=−

2 n

(

1

(u

u m− 2 2

−a

2

)

2 n−1

)

2 n−1

du + a 2 ∫

1 du a 2 ∫ u m− 2 u 2 − a 2

(

)

n

+

128. ∫

+C 1 du − 2∫ a u u 2 − a2

(

(u

u m−2 2

− a2

)

n

)

n−1

130. ∫

du

1 du a2 ∫ u m u 2 − a2

(

)

n−1

115.

1  a + u ln   +C 2a  a − u 

(a

−u

(a

2

− u2

1  u tanh −1   + C  a a

u u 1 u 116. ∫ 2 2 du = − ln ( a 2 −∫uu22) +uC2 + a 2 du = ( 2 a −u

+a

4

)

=

)

u

)

u +a 2

133. ∫ u 2 −

)

2 n

118. ∫ 2 u 2 du = − u 2 a −u 119.

−

(

)

)

120. ∫

du 1 1  a + u = 2 + 3 ln   +C a u 2a  a − u  u 2 a2 − u 2

136. ∫

121. ∫

 u2  du 1 1 = − 2 2 + 4 ln  2 +C 2 2 a u a 2 2  a − u 2  u a −u

137. ∫

122. ∫ 123. ∫ 124. ∫ 125. ∫ 126. ∫ 127. ∫

(

3

(

(a

2

)

)

du −u

)

u

(

a2 − u 2

(

a − u2

u2 2

(a

u 2

)

du =

)

2

du =

)

2 2

du

(

u a −u 2

(

du 2

Alfaomega

du =

)

2 2

u a −u 2

u 1  a + u + 3 ln   +C 4a  a − u  2a a2 − u 2 2

2

3

−u

=

2 2

)

2 2

=

(

)

1 +C 2 a2 − u 2

(

)

3

2

u

u2

u 2 + a2 u3

138. ∫

u 2 + a2

)

)

 u2  1 1 + 4 ln  2 +C 2 2 2a  a − u 2  2a a − u

=−

2

(

)

1 u 3  a + u + + 5 ln  +C  a − u  4a a 4 u 2a 4 a2 − u 2

(

)

+C

)

+ a2

2

3

(

)

3 2

+C

u u 2 + a2 4

)

3 2

−

(

2

(u du =

2

+ a2 5

)

5 2

−

(

(

a2 u 2 + a2 3

)

3 2

+C

)

u

du = u 2 + a 2 + C du =

du =

(

)

u u 2 + a2 a2 − ln u + u 2 + a 2 + C 2 2

(u

2

+ a2 3

)

3 2

− a2 u 2 + a2 + C

2

du

2

u +a 2

du

2

u 2 + a2

=−

u 2 + a2 +C a 2u

=−

 a + u 2 + a2  u 2 + a2 1 + 3 ln   +C 2 2 2a u 2a  u 

142. ∫

 a + u 2 + a2  u 2 + a2 du = u 2 + a 2 − a ln   +C u u  

143. ∫

u 2 + a2 u 2 + a2 + ln u + u 2 + a 2 + C du = − 2 u u

(

)

a 2u u 2 + a 2 a 4 − ln u + u 2 + a 2 + C 8 8

1  a + u 2 + a2  = − ln   +C a u u +a   2

141. ∫ u 3

(

n−1

du

a 1 + ln a 2 − u 2 + C 2 2 a − u2

(

u +a 2

u 2 + a2

140. ∫

2

)

du

 2 2  ln u + u + a + C  =  u u 2 + a2  sen h −1   + C  a 

139. ∫ u

)

2

(

2n − 3

( 2n − 2 ) a 2 ∫ ( a 2 − u 2 )n−1

)

u 1  a + u − ln   +C 4a  a − u  2 a2 − u 2

(

1

+

(

du

135. ∫

 u2  du 1 ∫ u a2 − u 2 = 2a2 ln  a2 − u 2  + C

(

)

2 n−1

u u 2 + a2 a2 + ln u + u 2 + a 2 + C 2 2

u + a du = 2

(

134. ∫ u

a ln a 2 − u 2 + C 2 2

2

2 a 2 ( n − 1) a 2 − u 2

(u du =

2

2

2

(

2 a ( n − 1) a − u 2

)

a2u u 2 + a 2 a 4 − ln u + u 2 + a 2 + C 8 8

117. ∫ 2 u 2 du = −u + a ln  a + u  + C a −u 2  a − u 3

(

u

du =

n

1 1 1  u2  + 4 2 + 6 ln  2 +C 4 2 2 2a u a  a − u 2  2a a − u

=−

2 2

u 2 + a 2 du =

132. ∫ u

3 2 2

du

2

131. ∫

2

2

Fórmulas con

Fórmulas con   du  = ∫ a2 − u 2    

129. ∫

(

du

u a −u 3

)

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

Formulario A ➟ Integrales

u 2 + a2 u 2 + a2 1  a + u 2 + a2  du = − − ln   +C 3 2 u 2u 2a  u 

144. ∫ 145. ∫ 146. ∫ 147. ∫ 148. ∫ 149. ∫ 150. ∫ 151. ∫

u

1

u +a

2

(u

2

2

+a

3 2 2

)

4

2

−

2a

3

4

u +a 2

2

+

du

(u

2

+a u

(u

2

+a u2

(

u +a 2

u

(u

2

) ) ) )

u u +a

)

du

(

u 2 u 2 + a2

)

du

(

u 3 u 2 + a2

)

152. ∫ (u

3 2

3 2

2

+a

3 2 2

)

2 2 154. ∫ u (u + a )

(

a 2u u 2 + a 24

)

−

a

=−

2a 2u 2 u 2 + a 2

(

u u 2 + a2 4

du =

(u

du =

2

+a

2

+a u

)

+

)

3 2

2

+C

−

2

+a u2

)

du = −

u2

u −a 2

2

u3

161. ∫

3 2

du = −

2a 4

)

166.

2u

u 2 − a2

(u

2

+a u

)

+

 a + u 2 + a2  3 2 3 u + a 2 − a ln   +C 2 2 u  

+

)

du = u 2 − a 2 + C

(

2

(

)

u u 2 − a2 a2 + ln u + u 2 − a 2 + C 2 2

du =

(u du =

du

u

u −a

3

2

2

2

− a2 3

)

3 2

+ a2 u 2 − a2 + C

u 2 − a2 1  u + 3 sec −1   + C  a 2a 2u 2 2a

=

u 2 − a 2 du =

∫

(

3 2 2 2

()

3 24 2

167. ∫ u

(u

u − a du =

2

2

2

)

2

2

6

(

2

 a + u 2 + a2  u 2 + a 2 − a 3 ln   +C u  

− a2

2

3

(

)

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

)

2

2

3 2

+C

u u 2 − a2 4

)

u −a

3

)

(u du =

2

− a2 5

)

)

5 2

3 2

+

+

(

(

a u 2 − a2 3

)

3 2

+C

u 2 − a2  u du = u 2 − a 2 − a sec −1   + C  a u

170. ∫

u 2 − a2 u 2 − a2 + ln u + u 2 − a 2 + C du = − 2 u u

171. ∫

u 2 − a2 u 2 − a2 1  u + du = − sec −1   + C 3  a u 2u 2 2a

172. ∫

(

du

(u

2

−a

3 2 2

)

=−

u

a2 u 2 − a2

)

a 2u u 2 − a 2 a 4 − ln u + u 2 − a 2 + C 8 8

169. ∫

3u u 2 + a 2 3 2 + a ln u + u 2 + a 2 + C 2 2

(

)

(

)

u u 2 − a2 a2 − ln u + u 2 − a 2 + C 2 2

2 2 ∫ u u − a du =

168. ∫ u

3 2 2

2

3 2

(

u u +a a u u + ua u − aa u u +2 a 2 a 2 a u u− − aln ua+4 u 2 + a 2 2+ C 2 2 2 2 − + − ln u + u − a + C ∫6 u u −− a du24= 16 4 8 16 8 2

)

+ a2

= ln u + u 2 − a 2 + C

+C

)

2

du 1  u = sec −1   + C  a + u 2 +162.

3 a2  ∫ u u 2 − a2 a  a + 5 ln   +C u u 2 + a2 2a   2 2 163. ∫ 2 du2 2 = u 2− a + C au u u −a

(

5 2 2

(u

3

3u u 2 + a 2 3 2 + a ln u + u 2 + a 2 + C 2 2

(

u

u 2 − a2

160. ∫

)

3 2 2

u 2 − a2

159. ∫

3a 2 u u 2 + a 2 3 4 + + a ln u + u 2 + a 2 + C 8 8 165.

)

u

3

)

du

158. ∫

164. ∫

5 2 2

5

(

)

+ a2

 a + u 2 + a2  3 2 3 u + a 2 − a ln   +C 2 2 u  

1  a + u 2 + a2  ln   +C a3  u 

−

1

(

∫

(u

+

a4u u 2 + a2 a6 − ln u + u 2 + a 2 + C 16 16

156. (u −

2u

)

2

2

Fórmulas con

u 2 + a2

3 (u 2 + a 2 ) 23 (u 2 + a2 )2 + a2 du = 155. ∫ u 3

3 2 2

+a

+ ln u + u 2 + a 2 + C

u + a2

)

3 2 2

2

u 2 + a2 u =− − +C 4 a4u a u 2 + a2

du =

(

(u

(

u

2

a2 u 2 + a2

du = −

3 2 2

+C

u + a2

3a 2 u u 2 + a 2 3 4 + + a ln u + u 2 + a 2 + C 8 8

3 2 2

u

)

3

 a + u 2 + a2  3 ln   +C 5 2a u  

153. ∫ u (u 2 + a )

−

1

2

1

=

3 2 2

3 2 2

5 2

∫

du = u 2 + a 2 +

3 2 2

2

(

2 + Cu + a

u 2 + a2

du = −

3 2 2

3

+a

a

u

2

du = −

3 2 2

du

(

=

3 2 2

3 2 2

157. ∫

(u

281

)

+C

Alfaomega

282 173. ∫ 174. ∫ 175. ∫ 176. ∫ 177. ∫ 178. ∫

Formulario A ➟ Integrales

u

(u

−a

2

u2

(u

−a

2

3 2 2

)

3 2 2

)

u3

(u

)

− a2

2

(

)

du

(

(

u u −a

+ ln u + u − a

u 2 − a2

=−

3 2

)

3 2 2

a2

u 2 − a2

)

1

−

191. ∫ 192. ∫

3

2a 4 u 2 − a2

−

)

5  3 1 = 2u u 2 − a 2  u 2 − a 2  − a 4 ln − u + u 2 − a 2 + C 8 16  8

5 2

180. ∫ u (u

−a

3 2 2

)

(u du =

+

(

a 2u u 2 − a

(u =−

24

)

−

(

(

183. ∫

−a u

)

5 2 2

)

6

+

(

a 2u u 2 − a 24

)

3

2

+C

a4u u 2 − a2 a6 + ln u + u 2 − a 2 + C 16 16 3 2 2 182. ∫ u (u − a ) 2 du =

3 2 2

5

5 2

u u2 − a

3

181. ∫ u 2 (u 2 − a2 ) 2 du = 3 2 2

)

− a2

2

184. ∫

(

u −a 2

3 2 2

)

u

(u

2

−a

3 2 2

u2

)

du =

(

(u

2

u −a

du = −

2

185. ∫

(u

2

− a2

2

u3

3 2

(u du = −

)

−a

2

− a2

2u 2

+

)

)

3 2

+

187. ∫

5

)

2

 u = sen −1   + C  a a2 − u 2

u

a −u

Alfaomega

2

du = − a 2 − u 2 + C

=−

a2 − u 2 +C a2u

=−

 a + a2 − u 2  a2 − u 2 1 − 3 ln   +C 2 2 2a u 2a  u 

2

u 3 a2 − u 2

u a2 − u 2 a2  u + sen −1   + C  a 2 2

a 2 − u 2 du =

a −u 2

2

(a du = −

195. ∫ u

2

a − u du = −

196. ∫ u

3

a −u

199. ∫

+C

200. ∫ 201. ∫

(

)

202. ∫ 203. ∫ 204. ∫

du

2

a −u 2

2

2

2

(

3u u − a 3 − a 2 ln u + u 2 − a 2 + C 2 2 2

− a2 a2 − u 2 + C

3

(

)

3 2

+C

u a2 − u 2

(a du =

2

− u2

2

2

4

− u2 5

)

5 2

)

3 2

a 2u a 2 − u 2 a 4  u + sen −1   + C  a 8 8

+

(

a2 a2 − u 2

−

3

)

3 2

+C

 a + a2 − u 2  a2 − u 2 du = a 2 − u 2 − a ln   +C u u   a4u u 2 − a2 a6 − + ln u + u 2 − a 2 + C 16 16 2 2 2 2 198. ∫ a −2 u du = − a − u − sen −1  u  + C u u a

3 u 2 − a2 3  u + − a sec −1   + C  a 2 2

Fórmulas con 186. ∫

(

a2 u 2 − a

5 2 2

)

3 2

2

du

2

197. ∫

 u − a 2 u 2 − a 2 + a 3 sec −1   + C  a

3 2 2

u

)

)

3 2 2

3

(u

)

7

3u u 2 − a 2 3 2 + − a ln u + u 2 − a 2 + C 2 2

(

−a

7 2 2

3 2 2

3

)

1  a + a2 − u 2  = − ln   +C a  u a −u  2

194. ∫ u

)

− u2

2

du

du

193. ∫

3  u sec −1   + C  a 2a5

(

u

u a2 − u 2 a2  u + sen −1   + C  a 2 2

(a du =

a2 − u 2

190. ∫ u

+C

du = −

2

u3

5  3 1 u 2 − a 2  u 2 − a 2  − a 4 ln −u + u 2 − a 2 + C 8 16  8

3

179. ∫ (u 2 − a 2 ) 2 du = 2u

2

a −u 2

189. ∫

1  u − 3 sec −1   + C  a u 2 − a2 a

2a 2u 2 u 2 − a 2

(

)+C

2

u 2 − a2 u − +C a4u a4 u 2 − a2

=−

=

2

1

a2

u2

188. ∫

(

u

du = −

3 2 2

u2 u2 − a du

+C

2

2

u u 2 − a2

2

u −a 2

du = u 2 − a 2 − 3

du

3

1

du = −

205. ∫

)

a2 − u 2 a2 − u 2 1  a + a2 − u 2  du = − + ln   +C 3 2 u 2u 2a  u  du

(a

2

(a

2

−u

u −u

3 2 2

)

3 2 2

)

u2

(a

2

2

)

−u u3

(a

3 2 2

−u

3 2 2

)

du

(

u a2 − u

(

u a −u 2

u

a2 a2 − u 2

+C

1

du =

+C

a2 − u 2

u

du =

 u − sen −1   + C  a

a2 − u 2

a2

du = a 2 − u 2 +

3 2 2

du 2

=

)

3 2 2

)

=

a

1

2

=−

a −u 2

2

a − u2 2

−

+C

1  a + a2 − u 2  ln   +C a3  u 

a2 − u 2 u + +C a4u a4 a2 − u 2

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

206. ∫ 1

a 2u 2 a 2 − u 2

3 2

283

Formulario A ➟ Integrales

+

2a 4

du

(

u 3 a2 − u

3 2 2

)

=−

2a u 2

2

− u2

2

)

−u

3 2

6

)

5 2

+

(

a 2u a 2 − u 2 24

)

3 2

+

3

)

3 2

2

3 2 2

)

−u

2

− u2

− u2

2u 2

)

3 2

 au 2 + bu + c  1 b 2 − 2 ac  a + a2 − u 2  du b du 3 − + 218. ln   + C ∫ u 2 au 2 + bu + c = 2 c 2 ln  5 u2 2 c 2 ∫ au 2 + bu + c  cu 2a u  

(

(

219. ∫

)

(

au 2 + bu + c

3a 2u a 2 − u 2 3 4  u  + + a sen   + C du 2a du 4 8 8 2 au + ba  ∫ au 2 + bu + c 2 = 4 ac − b2 au 2 + bu + c + 4 ac − b2 ∫ au 2 + bu + c

du = −

(a

(

2

−u

) (

5 2 2

5

)

(

u a 2u− u

)(

+C

5 2 2

)

220. ∫

(

a 2u a 2 − u

2 au + b 2a du + 2 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c + bu + c

2

=

2

du = −

) ( 4 ac − b )( au

)

2

)

3 2 2

) bu a+ 2uc a 4

2

− u2

a6 b

( au

u

221. ∫

u + bu + c

2

)

bu + 2 c b du − 2 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c + bu + c

( 4 ac − b )( au

)

2

du

( au

2c ( a − uu ) a ( a − u ) (b − 2ac) u + bc ) du =∫ ( au 7+ bu +−c) du =5 a ( 4 ac++Cb )( au + bu + c) + 4 ac − b ∫ au 2 7 2 2

2

3 2 2

2

5 2 2

2

2

2

2

2

2

2

)

3 2

(a du =

2

− u2

)

3 2

u2 + bu + c

2

)

2

3 2 2

)

(

)

(a

3 2 2

)

)

(

(

)

223. ∫ u 2

du =

(

(b

2

)

− 2 ac u + bc

)(

a 4 ac + b 2 au 2 + bu + c

)

+

du 2c 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c

du + bu + c

2

(

−u

du = −

(

)

2

−u

(

−

)

)

2

2

(

)

(

)

=

2

1 b du − 2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c

(

)

(

)

2

+

1 du c ∫ u au 2 + bu + c

(

du

(

)



∫ u ( au

du  = au + bu + c    2

2

2

)

(

 2 au + b − b 2 − 4 ac  ln   +C b − 4 ac  2 au + b + b 2 − 4 ac  1

2

1

u

b

du

u2 u b b 2 − 2 ac du du = − 2 ln au 2 + bu + c + au + bu + c a 2a 2 a 2 ∫ au 2 + bu + c

(

2

)

b b − 2 ac du ln au 2 + bu + c + 2a2 2 a 2 ∫ au 2 + bu + c

)

2

217.

 b du 1  u2 du ∫ u au 2 + bu + c = 2c ln  au 2 + bu + c  − 2c ∫ au 2 + bu + c

(

(

=−

1 3a du − c ∫ au 2 + bu + c cu au 2 + bu + c

(

)

(

)

2

−

2b du c ∫ u au 2 + bu + c

(

)

1

b du a du du 1 2 = − −1  2 au n+−1b−  ∫ n−1 − ∫ n− 2 c + uC au 2 + bu + c c u + bu + c 2 tanc ( n − 1) u au 2 + bu + c 2   4 ac − b  4 ac − b

215. ∫ au 2 + bu + c du = 2a ln ( au 2 + bu + c ) − 2a ∫ au 2 + bu + c 216. ∫

)

2

b

du

a

du

225. ∫ u n ( au 2 + bu + c ) = − c ( n − 1) u n−1 − c ∫ u n−1 ( au 2 + bu + c ) − c ∫ u n−2 ( au 2 + bu + c ) n

214. ∫

)

)

du

Fórmulas con

(

)

au + bu + c 3u a − u 3  u + a 2sen   + C 212. ∫ u 2  a 3a u 2 12 2b du du du ∫ u 2 au 2 + bu + c 2 = − cu au 2 + bu + c − c ∫ au 2 + bu + c 2 − c ∫ u au 2 + bu + c 2 3 3  a + a2 − u 2  a2 − u 2 2 a2 − u 2 2 3 a2 − u 2 3 m  +C 213. ∫ u 3 du = − 2u 2 − 2 + 2 a ln  u m−1 c u m− 2 b u m−1 u  du = − ∫ 2 du − ∫ 2 du 224. ∫ 2 u au + bu + c a ( m − 1) a au + bu + c a au + bu + c 2 2  2 2  3 a −u 3 a+ a −u − + a ln  um u m−1 c u m− 2 b u m−1  +C 2 2 u   ∫ au 2 + bu + c du = a ( m − 1) − a ∫ au 2 + bu + c du − a ∫ au 2 + bu + cdu 2

(

2

−

3 2 2

(

+ a2

(a

(a du = −

−

− u2

2

du  a + a2 − u 2  222. ∫ 2 3 2 2 2 + + − − u a ln a a C u au + bu + c

  211. ∫ u 3 u   1 du b du du 1 = − + ∫  a + a 2 −∫u 2  2 2 2 c u au 2 + bu + c 2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c u au+ C+ bu + c a 2 − u 2 − a 3 ln  u  

(a

2

a −u 2

a4u a2 − u 2 a6  u + sen −1   + C  a 16 16

210. ∫ u ( a

(a

2a

3

4

  2 2 2 +− sen −1 2 ∫  +2C + 209. ∫ u ( a − u ) 2 du ∫=( −au 2 + bu6 + c )2 +du = − (24 4 ac − b a au + bu + c 4 ac − b 2 )( au 2 +16 bu + c ) 16

3

du =

+

)

u a2 − u

du =

3

(

2

(

208. ∫ u ( a

u a2 − u 2

a −u 2

 au 2 + bu + c  1 b 2 − 2 ac du b du = 2 ln  ∫  − cu + 2 c 2 ∫ au 2 + bu + c 2 2 2 2  a + a − u  u au + bu + c 2c u2  3 3 − 5 ln   +C u a2 − u 2 2a   du

207. ∫ ( a

=−

1 2

)

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

)

(

)

Fórmulas con du

1



( a + u )2



226. ∫ u 3 + a 3 = 6a2 ln  u 2 − au + a2  + a 2 u

1

1

3

 2u − a  +C tan −1   a 3 

 u 2 − au + a 2  1  2u − a  +C tan −1  +  a 3   a 3

227. ∫ u 3 + a 3 du = 6a ln  (u + a )2 u2

1

228. ∫ u 3 + a 3 du = 3 ln (u 3 + a 3 ) + C

Alfaomega

)

2

284

Formulario A ➟ Integrales

229. ∫ u

(

 u3  du 1 = 3 ln  3 +C 3a  u + a 3  u 3 + a3

241. ∫

)

 u 2 − au + a 2  du 1 1 1 242. −1  2u − a  230. ∫ u 2 u 3 + a 3 = − a 3u − 6a 4 ln  (u + a )2  − a 4 3 tan  a 3  + C

(

)

231. ∫

(u

3

+ a3

)

2

=

 u4  du 1 = 2 ln  4 +C 4a  u + a 4  + a4

)

4

1

 u2 

 ( u + a )2  u a 1 2  2u − 244. +C + 5 ln  2 + 5 tan −1  2 3 3 3  a 3  9a 3a u + a  u − au + a  3a 3

(

)

 u2  du 1 1 = − 4 2 − 6 tan −1  2  + C 4 4 a u a 2 2 a  +a

∫ u (u 3

du

245. ∫ u 4 − a 4

)

=

1 1  u − a  u ln  tan −1   + C −  a 4 a 3  u + a  2a 3

 u 2 − a2  u 1 du = 2 ln  2 +C 246.

4 4 ∫  u 2 − au + a 2  u2 1 2 − 1 u a u − a 4 a  u + a 2    −1 232. ∫ u 3 + a 3 2 du = 3a5 u 3 + a 3 + 18a 4 ln  (u + a )2  + 3a 4 3 tan  a 3  + C u2 1  u − a 1  u ln  tan −1   + C du = 247. + 2 2 4 ∫  u − au + a   a 1 1 4 a  u + a  2a u − a4 −1  2u − a  +C + tan  ln  +  a 3  18 a 4  ( u + a )2  3a 4 3 3 248. ∫ 4 u 4 du = 1 ln u 4 − a 4 + C u −a 4 2 233. ∫ 3 u 3 2 du = − 31 3 + C 3 u +a  u 4 − a4  1 du u +a 249. ∫ u u 4 − a 4 = 4 a 4 ln  u 4  + C  u3  du 1 1 234. ∫ 3 3 2 = 3a 3 u 3 + a 3 + 3a 6 ln  u 3 + a 3  + C du 1 1 u−a 1 u u u +a 250. ∫ u 2 u 4 − a 4 = a 4 u + 4 a5 ln  u + a  + 2a5 tan −1  a  + C u

(

)

∫ u (u

)

243. ∫ u 4 + a 4 du = 2a2 tan −1  a 2  + C

 ( u + a )2  1 2  2u − a  +C + 5 ln  2 tan −1  5 2  a 3  9a  u − au + a  3a 3

u2 u 3 + a3

(

u

 u 2 − au + a 2  1 1  2u − a  +C ln  tan −1  − 4 2 4  a 3  6a  (u + a )  a 3 du

u3 1 du = ln u 4 + a 4 + C u 4 + a4 4

 u 2 + au n 2  u − au

 u 2 − au ln  2  u + au

(

)

)

(

(

(

235. ∫ 236. ∫

(

)

(

)

du

(

u2 u 3 + a3

)

)

2

(

)

1 u2 4 u =− 6 − 6 3 − 6∫ 3 du 3a u + a 3 a u 3a u + a 3

(

)

u u u du = du − a3 ∫ 3 u 3 + a3 m−2 u + a3 m− 2

m

(

)

 u 2 − a2  du 1 1 = 4 2 + 6 ln  2 +C 4 4 2a u 4a  u + a 2  u −a

)

m− 3

1

du

)

(

251. ∫ u 3

)

1

du

237. ∫ u n (u 3 + a 3 ) = − a 3 ( n − 1) u n−1 − a 3 ∫ u n−3 (u 3 + a 3 )

Fórmulas con

252. ∫ sen ( au )du = −

cos ( au ) +C a

253. ∫ usen ( au ) du =

sen ( au ) u cos ( au ) − +C a2 a

  u 2 + au 2 + a 2  1  −1  u 2 u 2 ln  2 − − tan −1  1 +  tan  1 − 2 +C a  4 a 2  u − au 2 + a 2  2 a 3 2      ( au ) du = 2u sen ( au ) +  2 − u  cos ( au ) + C 254. ∫au 2sen a2  a 3 a   2 + a2  1  −1  u 2 u 2 − tan −1  1 + − 3  tan  1 − +C  2 a a   2 + a  2 a 2      3u 2 6   6u u 3  255. ∫ u 3sen ( au ) du =  a 2 − a 4  sen ( au ) +  a 3 − a  cos ( au ) + C   u 2 − au 2 + a 2  u2 1 1  −1  u 2 u 2 −1 239. ∫ u 4 + a 4 du = 4 a 2 ln  u 2 + au 2 + a2  − 2a 2  tan  1 − a  − tan  1 + an   + C u n cos ( au ) n n−1  + ∫ u cos ( au ) du 256. ∫ u sen( au ) du = − a a 2  2+a  1  −1  u 2 u 2 −1 tan 1 tan 1 + − + − − C     u n cos ( au ) nu n−1 n ( n − 1) n−2 a  a   2 + a 2  2 a 2    + 2 sen ( au ) − u sen ( au ) du 257. ∫ u nsen ( au ) du = − a a a2 ∫ du

238. ∫ u 4 + a 4

=

3

n−1 u n cos  n ( nu −21) n−2 −1   u=2 −− au n du 1 1 2 +( au a 2)+ nu 1 sen ( au−)1 − u 2 ) du + 25 + ) du   + C = − 4 ∫−u sen5 ( auln  tan  1 − a 2  ∫−utansen 1( au   2 2 4 4 a u 4 a 2  u + au 2a+ a  2aa 2  a  a   +a  

240. ∫ u (u 2

1

Fórmulas con

)

 u 2 − au 2 + a 2   1  −1  u 2 u 2 n 2 + 5 − tan −1  1 +  tan  1 − +C 2 a  a    u + au 2 + a  2 a 2   

Alfaomega

u

258. ∫ sen 2 ( au )du = 2 −

sen ( 2 au ) +C 4a

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

Formulario A ➟ Integrales

cos ( au ) cos 3 ( au ) + +C a 3a

3 259. ∫ sen ( au )du = −

3u 4 260. ∫ sen ( au ) du = 8 −

Fórmulas con 275. ∫ cos ( au ) du =

sen ( 2 au ) sen ( 4 au ) + +C 4a 32 a

261.

262.

sen ( au ) ( au ) ( au ) ∫ u du = au − 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! − ...

263.

sen ( au ) sen ( au ) cos ( au ) ∫ u 2 du = − u + a ∫ u du

3

sen ( au ) +C a

276. ∫ u cos ( au )du =

u 2 usen ( 2 au ) cos ( au ) − − +C 4 4a 8a2

2 ∫ usen ( au )du =

285

cos ( au ) usen ( au ) + +C a2 a 2u

 u2 2  − sen ( au ) + C a a 3 

277. ∫ u 2 cos ( au )du = a 2 cos ( au ) + 

5

 3u 2 6   u 3 6u  − 4  cos ( au ) +  − 3  sen ( au ) + C 2 a a   a a 

278. ∫ u 3 cos ( au )du = 

u n sen ( au ) n n−1  1 u n cos ( au )du = − ∫ u sen ( au ) du 279. ∫  ln ( csc ( au ) − cot ( au )) + C a a du  a ∫ sen ( au ) =  1   au   u n sen ( au ) nu n−1 n ( n − 1) n−2  n ln tan   + C 280. ∫ u cos ( au )du = − a + a 2 cos ( au ) − a 2 ∫ u cos ( au )du  a   2   264.  n n−1 u sen ( au ) nu n ( n − 1) n−2 n ∫ u cos ( au )du3 = − 5a + a22n−1cos ( au ) − 2 n+a12 ∫ u cos ( au )du  2 2 − 1 Bn ( au ) 1  u ( au ) 7 ( au ) + ... 265. ∫ sen ( au ) du = a2 au + 18 + 1800 + ... + 2 n 1 ! + ( ) u sen ( 2 au )   2 281. ∫ cos ( au )du = 2 + 4 a + C 2 n+1 1  ( au )3 + 7 ( au )5 + ... + 2 2 2 n−1 − 1 Bn ( au ) + ... sen ( au ) sen 3 ( au ) du = 2 au +  − +C cos 3 ( au )du = 18 1800 2 n + 1)! a  ( 282. ∫   a 3a

(

(

)

)

1

du

3u 4 283. ∫ cos ( au ) du = 8 +

266. ∫ sen 2 ( au ) = − a cot ( au ) + C cos ( au )

du

1

u 2 284. ∫ u cos ( au )du = 4

2

 au    +C 2  



267. ∫ sen 3 ( au ) = − 2asen 2 ( au ) + 2a ln  tan  268.

∫ sen ( au )sen (bu ) du = 1

du

sen (( a − b ) u ) 2 (a − b)

π

269. ∫ 1 − sen ( au ) = a tan  4 + u

u

1

π

π

271. ∫ 1 + sen ( au ) = − a tan  4 − 272.

sen (( a + b ) u ) 2 (a + b)

+C

a≠b

au   +C 2

270. ∫ 1 − sen ( au ) du = a tan  4 + du

−

au  2   π au    + ln sen  +  + C 2  a 2   4 2  

au   +C 2

u u  π au  2   π au   ∫ 1 + sen ( au )du = − a tan  4 − 2  + a2 ln sen  4 + 2   + C

273. ∫ 274. ∫

du

du

(1 + sen ( au ))

+

usen ( 2 au ) cos ( 2 au ) + +C 4a 8a2 2

4

6

285. ∫

cos ( au ) ( au ) + ( au ) − ( au ) + ... du = ln ( u ) − u 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6!

286. ∫

cos ( au ) cos ( au ) sen ( au ) − a∫ du = − du u2 u u

287.

 1  ln sec ( au ) + tan ( au )  + C du  a = ∫ cos ( au )  1   π au    ln tan  +  + C  a   4 2    u

2 4 6 2 n+ 2 5 ( au ) E ( au ) 1  ( au ) ( au )  + + + ... + n + ... 2 8 144 ( 2n + 2 )( 2n )! 

288. ∫ cos ( au ) du = a 2  

2 4 6 2 n+ 2  5 ( au ) E ( au ) 1  ( au ) ( au ) u + + ... + n + ... 1  π au  1du =3 2π au  + + ) tan a + 2  + C 8 tan  +∫ cos( au 144 ( 2n + 2 )( 2n )!   4 2  6a 4 2  2a

2

=

2

=−

(1 − sen ( au ))

sen ( 2 au ) sen ( 4 au ) + +C 4a 32 a

1  π au  1  π au  tan  −  − tan 3  −  + C  4 2  6a 4 2  2a

du

tan ( au ) +C a

du

sen ( au )

289. ∫ cos2 ( au ) =

1



π

290. ∫ cos3 ( au ) = 2a cos2 ( au ) + 2a ln  tan  4 +

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

au    +C 2  

Alfaomega

286

Formulario A ➟ Integrales

sen (( a − b ) u )

291. ∫ cos ( au ) cos (bu ) du =

2 (a − b)

1

du

292. ∫ 1 − cos ( au ) = − a cot  u

u

1

du

u

u

297. ∫

du

(1 − cos ( au )) du

2

(1 + cos ( au ))

2

=−

=

2 (a + b)

+C

a≠b

au  2   au    + ln sen   + C 2  a 2   2  

au  2   au    + ln cos   + C 2  a 2   2  

312.

Fórmulas con

300.

sen ( au ) +C 2a

cos ( p − q ) u  2 ( p − q)

−

cos ( p + q ) u  2 ( p + q)

sen n+1 ( au ) ∫ sen ( au ) cos ( au )du = a ( n + 1) + C cosn+1 ( au )

301. ∫ cosn ( au ) sen ( au ) du = − a ( n + 1)

+C

sen ( 4 au ) +C 32 a

1   π au   1 du ∫ sen2 ( au ) cos ( au ) = a ln  tan  4 + 2   − asen ( au ) + C

du

1



305. ∫ sen ( au ) cos2 ( au ) = a ln  tan  

du

306. ∫ sen 2 ( au ) cos2 ( au ) = −

au   1 +C  + 2   a cos ( au )

2 cot ( 2 au ) +C a

307. ∫

sen 2 ( au ) sen ( au ) 1   π au   + ln  tan  +   + C du = − cos ( au ) a a   4 2 

308. ∫

cos2 ( au ) cos ( au ) 1   au   + ln  tan    + C du = sen ( au ) a a   2 

Alfaomega

cos ( au )

1

1

u

 1  − ln  cos ( au )  + C  a = au du tan ( )  ∫  1 ln sec ( au )  + C   a 

2 313. ∫ tan ( au ) du =

tan ( au ) −u+C a

3 314. ∫ tan ( au ) du =

tan 2 ( au ) 1 + ln  cos ( au )  + C 2a a

tan n+1 au

+C

( ) n 2 316. ∫ tan ( au ) sec ( au )du = a ( n + 1) + C

317. ∫

sec 2 ( au ) 1 du = ln  tan ( au )  + C tan ( au ) a du

1

318. ∫ tan ( au ) = a ln sen ( au ) + C 2 319. ∫ u tan ( au )du =

u tan ( au ) 1 u2 + 2 ln  cos ( au )  − +C 2 a a

1

303. ∫ sen ( au ) cos ( au ) = a ln  tan ( au ) + C 304.

u

tan n−1 au

n

du

sen ( au )

  π au   ln  tan  ±   + C   8 2 

( ) n n− 2 315. ∫ tan ( au ) du = a ( n − 1) − ∫ tan ( au )du

2

u 2 2 302. ∫ sen ( au ) cos ( au ) du = 8 −

2

Fórmulas con

1  au  1  au  tan   + tan 3   + C  2  6a  2 2a

299. ∫ sen ( pu ) cos ( qu )du = −

1

311. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) ± 2 + C

1  au  1  au  cot   − cot 3   + C  2  6a  2 2a

298. ∫ sen ( au ) cos ( au )du =

du

309. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) = a

310. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2 ∓ 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) + C

au   +C 2

295. ∫ 1 + cos ( au )du = a tan  296. ∫

sen (( a + b ) u )

au   +C 2

293. ∫ 1 − cos ( au ) du = − a cot  294. ∫ 1 + cos ( au ) = a tan 

−

Fórmulas con 1

320. ∫ cot ( au ) du = a ln sen ( au ) + C 321. ∫ cot 2 ( au ) du = −

cot ( au ) −u+C a

3 322. ∫ cot ( au ) du = −

cot 2 ( au ) 1 − ln sen ( au )  + C 2a a

cot n−1 au

( ) n 2 323. ∫ cot ( au ) csc ( au ) du = − a ( n + 1) + C

324. ∫

csc 2 ( au ) 1 du = − ln  cot ( au )  + C cot ( au ) a

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

Formulario A ➟ Integrales

du

1

325. ∫ cot ( au ) = − a ln  cos ( au ) + C 2 326. ∫ u cot ( au ) du = −

u cot ( au ) 1 u2 + 2 ln sen ( au )  − +C 2 a a

2 340. ∫ u csc ( au ) du = −

n 341. ∫ csc ( au ) du = −

287

u cot ( au ) 1 + 2 ln sen ( au )  + C a a

csc n−2 ( au ) cot ( au ) n − 2 + csc n−2 ( au ) du a ( n − 1) n −1 ∫

cot n−1 au

( ) n n− 2 327. ∫ cot ( au ) du = − a ( n − 1) − ∫ cot ( au ) du

Fórmulas con

 u

328.

 1  ln sec ( au ) + tan ( au )  + C  a ∫ sec ( au )du =  1   π au    ln tan  +  + C  a   4 2   

329.

2 ∫ sec ( au ) du =

tan ( au ) +C a

330.

3 ∫ sec ( au ) du =

sec ( au ) tan ( au ) 1 + ln sec ( au ) + tan ( au )  + C 2a 2a 

n 331. ∫ sec ( au ) tan ( au ) du =

332.

343. ∫ usen −1 

sec ( au ) +C an

1

sec n−2 ( au ) tan ( au ) n − 2 + sec n−2 ( au ) du a ( n − 1) n −1∫

3

345.

 1  ln  csc ( au ) − cot ( au )  + C  a ∫ csc ( au ) du =  1   au    ln tan   + C  a   2   

cot ( au ) +C a

csc ( au ) cot ( au ) 1   au   + ln tan   + C ∫ csc ( au ) du = − 2a 2 a   2   3

338. ∫ cscn ( au ) cot ( au ) du = − 339.

5

7

346.

347.

 u  u sen −1   sen −1    a  1  a + a2 − u 2   a +C ∫ u 2 du = − u − a ln  u   2

csc ( au ) +C na n

cos ( au ) du ∫ csc ( au ) = − a + C

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

2

 −1  u    −1  u   2 2 −1  u  ∫ sen  a   dx = u  sen  a   − 2u + 2 a − a sen  a  + C  u

 u

348. ∫ cos−1  a  du = u cos−1  a  −

Fórmulas con

337.

)

 u  u  u  u sen −1   1 ⋅ 3  1⋅ 3⋅ 5   a  a  a u  a  ∫ u du = a + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 7 + ⋅ ⋅ ⋅

349. ∫ u cos−1 

2 336. ∫ csc ( au ) du = −

(

2 2 a2 − u 2 u3  u  u + 2a +C sen −1   +   3 a 9

n

u

335.

a2 − u 2 + C

 u 2 a2  u u a2 − u 2 −1  u  +C  du =  −  sen   +  a 4 4 a  2

 u

333. ∫ u sec2 ( au ) du = a tan ( au ) + a 2 ln  cos ( au ) + C 334.

 u

342. ∫ sen −1  a  du = usen −1  a  +

344. ∫ u 2sen−1  a  du =

sen ( au ) du ∫ sec ( au ) = a + C

n ∫ sec ( au ) du =

Fórmulas con funciones trigonométricas inversas

 u 2 a2  u u a2 − u 2 −1  u  +C  du =  −  cos   −  a 4 4 a  2  u

350. ∫ u 2 cos−1  a  du = 351.

352.

a2 − u 2 + C

(

)(

)

u 2 − 2a2 a2 − u 2 u3  u +C cos −1   −  a 3 9

 u  u cos−1   sen −1    a  a π ∫ u du = 2 ln (u ) − ∫ u du  u  u cos−1   cos−1    a  1  a + a2 − u 2   a  +C ∫ u 2 du = − u + a ln  u 



353. ∫  cos

−1

2

2

  u −1  u   2 2 −1  u     du = u  cos    − 2u − 2 a − u cos   + C a  a a

 u

 u

a

354. ∫ tan −1  a  du = u tan −1  a  − 2 ln (u 2 + a 2 ) + C

Alfaomega

288

Formulario A ➟ Integrales

1

 u

 u

355. ∫ u tan −1  a  du = 2 (u 2 + a 2 ) tan −1  a  − u

356. ∫ u 2 tan −1  a  du =

2 u3 a3  u  au tan −1   − + ln u 2 + a 2 + C  a 3 6 6

(

3

5

357.

358.

 u tan −1    a u −1  u  1  u 2 + a 2  ∫ u 2 du = − a tan  a  − 2a ln  u 2  + C

359.

a  u −1  u  2 2 ∫ cot  a  du = u cot  a  + 2 ln u + a + C

360.

1 2 au  u 2 −1  u  ∫ u cot  a  du = 2 u + a cot  a  + 2 + C

(

−1

(

−1

u

)

7

 u  u  u  u tan −1        a u  a  a a ∫ u du = a − 32 + 52 − 72 + ⋅ ⋅ ⋅

361. ∫ u 2 cot −1  a  du =

371.

au +C 2

372. ∫

363.

2

au

u

du

374. ∫ p + peau

)

375. ∫

)

(

du p + qeau

2 u3 a3  u  au cot −1   + − ln u 2 + a 2 + C  a 3 6 6

(

eau a eau + du n−1 ∫ n − 1 u n−1 ( n − 1) u

=

)

2

u 1 ln p + qeau + C − p ap

(

 u  u cot −1   cot −1    a  a 1  u 2 + a2  ∫ u 2 du = − u + 2a ln  u 2  + C

du

au

(

sen ( bu )du =

u m+1 1 u m+1  u sen −1   − du  a  m + 1 ∫ a2 − u 2 m +1

378. ∫ e

au

cos ( bu ) du =

365. ∫ u m cos−1  u  du =

u m+1 1 u m+1  u cos −1   + du ∫  a  m + 1 a2 − u 2 m +1

379. ∫ e

au

ln ( u )du =

366. ∫ u m tan −1  u  du =

u m+1 a u m+1  u tan −1   − du 2 ∫  a  m + 1 u + a2 m +1

a

a

367.

u m+1 a u m+1 m −1  u  −1  u  ∫ u cot  a  du = m + 1 cot  a  + m + 1 ∫ u 2 + a2 du

368. ∫ eau du = e

au

a

+C

1   u −  + C a  a

369. ∫ ueau du = e 370. ∫ u 2 eau du =

Alfaomega

au

eau  2 2u 2  +  +C u − a  a a2 

q p  +C q + −  p − −

a2 − b2

+C

eau  a cos ( bu ) + bsen ( bu )  a2 + b2

+C

eau ln ( u ) 1 eau − ∫ du a a u

Fórmulas con 380. ∫ ln (u ) du = u ln (u ) − u + C 2

Fórmulas con

)

p au  e +C q 

eau  asen ( bu ) − b cos ( bu ) 

364. ∫ u msen −1  u  du = a

(

)

  1  tan −1   a pq     au = e 1  ln  2 a − pq  au   e  

376. ∫ peau + qe− au

377. ∫ e

)

u 1 1 + − 2 ln p + qeau + C p 2 ap p + qeau ap

=

)

 u  u cot   tan −1    a  a π = − du u du ln ( ) ∫ ∫ u u 2

3

eau au ( au ) ( au ) + + + ⋅⋅⋅ du = ln ( u ) + u 1 ⋅ 1! 2 ⋅ 2! 3 ⋅ 3!

373. ∫ e n du = −

−1

362.

  u n eau u n enau nn−1 au n−1 au   − ∫−u ∫e u due du a aa a   n au n au u e u du e = du =   n− 2 n− 2 au  au  n−1 n−1 ∫ ∫ n ( n −n1()nu− 1) u (⋅ −⋅ ⋅1+)n(n−!1)n+n! + C ∀ =∀ n =  e  uen − unun − nu + + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + + n    C  a  a  a a a a2 a n a n   

381. ∫  ln (u ) du = u  ln (u ) 382. ∫  ln (u )

n

− 2u ln ( u ) + 2u + C n

n−1

du = u  ln ( u )  − n ∫  ln ( u )  du

383. ∫ u ln (u )du =

u2 2

384. ∫ u m ln (u )du = 385. ∫

2

1   ln ( u ) − 2  + C

u m+1  1   ln ( u ) −  +C m + 1 m + 1

ln ( u ) 1 du = ln 2 ( u ) + C u 2

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

Formulario A ➟ Integrales

386. ∫

ln ( u ) ln ( u ) 1 − +C du = − u2 u u

404. ∫

387. ∫ ln 2 (u )du = u ln 2 (u ) − 2u ln (u ) + 2u + C 388. ∫

du

390.

391.

 u + a 2 2 2 2 ∫ ln u − a du = u ln u − a − 2u + a ln  u − a  + C

(

)

(

)

2

2

(

)

407. ∫ u cosh ( au ) du =

)

Fórmulas con 1

392. ∫ senh ( au )du = a cosh ( au ) + C 393.

u cosh ( au ) senh ( au ) ∫ usenh ( au ) du = a − a2 + C

394.

 u2 2  2u ∫ u senh ( au ) du =  a + a 3  cosh ( au ) − a2 senh ( au ) + C

395.

senh ( au ) ( au ) ( au ) ∫ u du = au + 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! + ⋅ ⋅ ⋅

396.

senh ( au ) senh ( au ) ∫ u 2 du = − u + a ∫ cosh ( au ) du

3



5

399.

usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au ) u 2 ∫ usenh ( au )du = 4 a − 8a2 − 4 + C

400.

coth ( au ) du ∫ senh2 ( au ) = − a + C

402.

2

u 2 412. ∫ cosh ( au )du = 2 +

senh ( au ) cosh ( au ) +C 2a

u 2 413. ∫ u cosh ( au )du = 4

+

−

usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au ) − +C 4a 8a2

tanh ( au ) +C a

n 417. ∫ cosh ( au )du =

2 ( p − q)

+C

u m cosh ( au ) m m−1 m − ∫ u cosh ( au ) du ∫ u senh ( au ) du = a a

n 403. ∫ senh ( au )du =

cosh ( au ) cosh ( au ) senh ( au ) + a∫ du = − du u2 u u

416. ∫ u m cosh ( au )du =

2

senh ( p − q ) u 

6

410. ∫

415. ∫ cosh ( pu ) cosh ( qu ) du =

398.

4

cosh ( au ) ( au ) + ( au ) + ( au ) + ⋅ ⋅ ⋅ du = ln ( u ) + 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6! u

du

senh ( au ) cosh ( au ) u − +C ∫ senh ( au )du = 2a 2

2 ( p + q)

2

409. ∫

414. ∫ cosh 2 ( au ) =

2

401. ∫ senh ( pu ) senh ( qu ) du =

2u cosh ( au )  u 2 2  +  + 3  senh ( au ) + C a2  a a 

2

 au    +C 2  

senh ( p + q ) u 

cosh ( au )du = −

du

397. ∫ senh ( au ) = a ln  tanh  

2

usenh ( au ) cosh ( au ) − +C a a2

411. ∫ cosh ( au ) = a tan −1 ( eau ) + C

2

1

du

senh ( au ) +C a

406. ∫ cosh ( au )du =

−1

408. ∫ u

du

n−2

Fórmulas con

 u ∫ ln u + a du = u ln u + a − 2u + 2a tan  a  + C

(

cosh ( au )

du

389. ∫ u ln (u ) = ln ( ln (u )) + C 2

senh ( au ) senh ( au ) cosh ( au ) a + du = − du un ( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1

405. ∫ senh n ( au ) = − a ( n − 1) senh n−1 ( au ) − n − 1 ∫ senh n−2 ( au )

ln n ( u ) ln n+1 ( u ) +C du = u n +1

2

289

senh ( p − q ) u  2 ( p − q)

+

senh ( p + q ) u  2 ( p + q)

+C

u m senh ( au ) m m−1 − ∫ u senh ( au ) du a a

cosh n−1 ( au ) senh ( au ) n − 1 + cosh n−2 ( au ) du an n ∫

418. ∫

cosh ( au ) cosh ( au ) senh ( au ) a + du = − du un ( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1

419. ∫

senh ( au ) du n−2 du = + cosh n ( au ) a ( n − 1) cosh n−1 ( au ) n − 1 ∫ cosh n−2 ( au )

senh n−1 ( au ) cosh ( au ) n − 1 − senh n−2 ( au ) du an n ∫

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

Alfaomega

Formulario B ➟ Derivadas

291

➠ Formulario B: Derivadas

En este formulario: c es una constante real, f , g y u son funciones derivables en x .

FÓRMULAS GENERALES 1.

d (c) = 0 dx

2.

d d ( cf ( x )) = c ( f ( x )) dx dx

3.

d [ f ( x ) ± g( x ) ] = f ′ ( x ) ± g′ ( x ) dx

4.

d [ f ( x )g ( x ) ] = f ( x )g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) dx

5.

d  f ( x )  g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x )g ′ ( x ) = dx  g( x )  [ g( x )]2

6.

d du  f ( u )  = f ′(u ) dx  dx

7.

d n du u = nu n−1 dx dx

( )

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8.

d (sen x ) = cos x dx

FUNCIONES LOGARÍTMICAS 20.

x x e )=e ( dx

21.

x x a ) = a ln a ( dx

22.

23.

24.

25.

26.

d

d

d dx d dx

( ln x ) =

1 x

(log a x ) =

1 x ln a

x x e )=e ( dx d

d dx

d

(a x ) = a x ln a ( ln x ) =

1

9.

d (cos x ) = −sen x dx

10.

d ( tan x ) = sec2 x dx

11.

d (cot x ) = − csc2 x dx

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

12.

d (sec x ) = sec x tan x dx

28.

13.

d (csc x ) = − csc x cot x dx

−1 sen x ) = ( dx

14.

d du (sen u ) = cos u dx dx

29.

−1 cos x ) = − ( dx

15.

d du ( cos u ) = −senu dx dx

30.

16.

d du ( tan u ) = sec2 u dx dx

1 −1 tan x ) = ( 2 dx 1+ x

31.

1 −1 cot x ) = − ( 2 dx 1+ x

32.

(sec−1 x ) = x dx

17.

d du ( cot u ) = − csc2 u dx dx

18.

d du (sec u ) = sec u tan u dx dx

19.

d du ( csc u ) = − csc u cot u dx dx

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

27.

dx d dx

x

(log a x ) =

1 x ln a

d

1 1− x

2

1

d

1− x

2

d

d

d

1 x

2

−1

Alfaomega

292

33.

Formulario B ➟ Derivadas

d dx

(

csc

−1

)

x =−

1 x x

2

−1

34.

d (sen−1u ) = 1 2 du dx 1 − u dx

35.

du d 1 cos−1 u = − dx 1 − u 2 dx

36.

d ( tan−1 u ) = 1 +1u 2 du dx dx

37.

(

)

49.

d du ( coth u ) = − csc h 2u dx dx

50.

d du (sec hu ) = − sec hu tanh u dx dx

51.

d du ( csc hu ) = − csc hu coth u dx dx

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 52.

d 1 du cot −1 u = − dx 1 + u 2 dx

d 1 sen h −1 x = dx 1 + x2

53.

38.

du d 1 sec −1 u = dx u u 2 − 1 dx

d 1 cosh −1 x = 2 dx x −1

54.

39.

d ( csc−1 u ) = − 12 du dx u u − 1 dx

1 d tanh −1 x = dx 1 − x2

55.

1 d coth −1 x = − dx 1 − x2

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

56.

d 1 sec h −1 x = − dx x 1 − x2

57.

d csc h −1 x = − dx x

58.

d du 1 sen h −1 u = 2 dx 1 + u dx

59.

d du 1 cosh −1 u = dx u 2 − 1 dx

60.

1 du d tanh −1 u = dx 1 − u 2 dx

61.

1 du d coth −1 u = − dx 1 − u 2 dx

62.

d du 1 sec h −1u = − dx u 1 − u 2 dx

63.

du d 1 csc h −1u = − 2 dx u u + 1 dx

40.

(

(

)

)

d (sen h x ) = cosh x dx

41.

d ( cosh x ) = sen h x dx

42.

d ( tanh x ) = sec h2 x dx

43.

d (coth x ) = − csc h2 x dx

44.

d (sec hx ) = − sec hx tanh x dx

45.

d (csc hx ) = − csc hx coth x dx

46.

d du (sen h u ) = cosh u dx dx

47.

d du ( cosh u ) = sen h u dx dx

48.

d du ( tanh u ) = sec h 2u dx dx

Alfaomega

(

(

( (

( (

(

(

(

(

(

(

)

)

)

)

)

)

1

x2 + 1

)

)

)

)

)

)

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

293

➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría Figuras geométricas Triángulo rectángulo

b

Triángulo equilátero

a

a

Cuadrado

b

a

h

A=

1 1 ch = ab 2 2

c

,

P = a + b + c , c2 = a2 + b2

h=

Rectángulo

3 a 2

a

,

A=

a

3 2 a , P = 3a 4

A = a2 , P = 4a

Romboide

Trapezoide a

h

h

h

b

b

b

P = 2b + 2 h, A = bh

A = bh

1 A = (a + b )h 2

Círculo

Corona circular

Sector circular

r

r

θ

R

s

r

A = π r 2 , P = 2π r

A = π ( R − r ), P = 3a

Esfera

Cono circular recto

2

A=

2

1 2 r θ, s = rθ 2

Cilindro circular recto

h h r 4 V = π r 3 , S = 4π r 2 3

CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN

r r

1 V = π r 3, S = π r r 2 + h 2 3

V = π r h , S = 2π rh lateral 2

S = 2π rh + 2π r 2 total

Alfaomega

294

FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Elipse

Elipsoide

Paralelepípedo rectangular

b

b

h

a

c

a

a

b A = π ab

V = abh, S = 2 ( ab + ah + bh )

4 A = π abc 3

Pirámide

Cono truncado

Pirámide Regular

r1

h

h

h H

r2

V=

1 V = π h(r12 + 2 r1 r2 + r22 ) 3

1 abh 3

V=

a

aH  1   h 2 3 

➠ Álgebra Fórmula cuadrática ax 2 + bx + c = 0 −b ± b − 4 ac 2a Discriminante b 2 − 4 ac x1,2 =

2

Desarrollo de productos notables y factorización ( x ± y )2 = x 2 ± 2 xy + y2 ( x ± y )3 = x 3 ± 3( x )2 ( y ) + 3( x )( y )2 ± y 3  n  1 n−1  n  n  n  n  n  n−1 1  n  n−2 2 x + x y + x y + ⋅⋅⋅ +  x y + y ∀n =    0 1 2  n    n − 1      

( x + y )n = 

 n  n! = Donde   k  k ! ( n − k )!

(x (x

Alfaomega

2 3

) ± y ) = ( x ± y)( x

− y 2 = ( x + y )( x − y ) 3

2

∓ xy + y 2

)

CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN

Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría

Reglas de exponentes y radicales x m x n = x m+n

(x )

m n

=x

Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos e− n =

1

e0 = 1

xn = n x

m⋅n

x = x m−n xn 1 x−m = m x

n m

x =

m

( xy ) = n x n y

n

x = y

( xy )n = x n yn m n x

n n

e∞ → ∞

n

n

n

xn  x  y  = y n

( x)

1 en

e−∞ → 0

n

x m = m xn

m

295

eln( x ) = x a loga x = x log a ( x ) =

x y

log10 ( x ) log10 ( a )

ln ( x ) = log e x

= mn x

ln ( x ) + ln ( y ) = ln ( xy )  x ln ( x ) − ln ( y ) = ln    y

( )

n ln ( x ) = ln x n

log a ( x ) + log a ( y ) = log a ( xy )  x log a ( x ) − log a ( y ) = log a    y

( )

b log a ( x ) = log a x b

➠ Geometría analítica Distancia entre dos puntos d=

Pendiente de una recta m=

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 y

∆y y2 − y1 = ∆x x2 − x1

y

(x2 , y2) P2

P2 (x2 , y2)

∆y

(x1 , y1)

(x1 , y1)

P1

P1

∆x

P3 (x2 , y1)

x Ecuación de la recta punto-pendiente

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

x Puntos de intersección de la recta

Alfaomega

296

Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría

Ecuación de la recta punto-pendiente y − y1 = m ( x − x1 )

Puntos de intersección de la recta x y + =1 a b

(x1 , y1)

∀a ≠ 0; b ≠ 0

y

y

(0 , b)

x x

(a , 0)

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.

x 2 + y2 = r 2

( x − h )2 + ( y − k ) 2 = r 2 y

y

r

r

x

(h , k) x

Parábola

x

Parábola

p  p   p x 2 = 2 py; Foco F=  0,  ; Extremos Izq  − p,  ; Der  p,   2   2 2

p p p    x 2 = −2 py; Foco F=  0, −  ; Extremos Izq  − p, −  ; Der  p, −     2 2 2

Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y = −

Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y =

p 2

y

y

y= F

(-h ,

p 2

)

(0 ,

p ) 2

y = - 2p

Alfaomega

p 2

( p,

p 2

)

x

(-p , 2p )

p 2

x F

(0 ,- 2p

)

( p ,- 2p )

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría

Parábola

Parábola

p  p  p  y 2 = 2 px; Foco F=  , 0  ; Extremos Inf  , − p  ;Sup  , p  2  2  2  p Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x = − 2

 p   p   p  y 2 = −2 px; Foco F=  − , 0  ; Extremos Inf  − , − p  ;Sup  − , p   2   2   2  p Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x = 2

y

y p ,p) 2

( p

x=-2

((-

x

F

(

p ,0 ) 2

(

p ,- p ) 2

(-

Elipse centro en el origen x 2 y2 + =1 a2 b2

p , p) 2 p ,0 ) 2

x

p ,- p ) 2

y2 x 2 + =1 a2 b2

dF= a 2 − b 2

dF= a 2 − b 2

F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF )

y

y

b

p

x=2

Elipse centro en el origen

F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF, 0 )

( 0, dF ) F2

a F2

F1 (- dF, 0)

297

dF

x

a

dF

(dF, 0) A

x

b

( 0, -dF )

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán

F1

Alfaomega

298

Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría

Hipérbola

Hipérbola x 2 y2 − =1 a2 b2

y2 x 2 − =1 a2 b2

dF= a 2 + b 2

F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF , 0 )

dF= a 2 + b 2

F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF )

y

y

F2 ( 0, dF ) F1

F2

(- dF, 0)

dF

dF

x

x

(dF, 0) F1 ( 0, -dF )

División de un segmento en una razón r=

x2 − x1 xr − x1

r=

Ecuación general de la recta Ax + By + C = 0

y2 − y1 yr − y1

y

P ( x1, y1 )

B ( x2 , y2 ) ( xr , yr ) R

Alfaomega

Entonces: dPr =

Ax1 + Bx2 + C A2 + B2

y P ( x1 , y1 )

D ( x2 , yr )

S

A ( x1 , y1 )

Distancia de un punto a una recta

dPr

x

x

E( xr , y1 )

C ( x2 , y1 )

Ax +By +C =0

Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán