y QC , por ser vectores del n´ ucleo de C T , cumplir´an ³
´
C · Kd−1 · C T · QH = 0 = 0 QH ³ ´ C · Kd−1 · C T · QC = 0 = 0 QC
(5.41)
por lo que ser´ ³ ´ an autovectores asociados a autovalores nulos de la matriz C · Kd−1 · C T . En segundo lugar se observa que, como esta matriz es sim´etrica, el resto de sus autovectores (en total N P − 2) ser´an todos ortogonales a los modos de presi´on QH y QC (y ortogonales entre s´õ) por lo que formar´an una base del complemento ortogonal de Ker(C T ). Entonces, P ∗ que es la parte de P que pertenece a este u ´ ltimo conjunto (es decir, es ortogonal a los modos de presi´on) podr´a ser expresado como combinaci´on lineal de dicha base de autovectores, es´ ³ −1 T decir, llamando φE (con 1 ≤ E ≤ NP − 2) a los autovectores de C · Kd · C ortogonales a los modos de presi´on φH y φC (normalizados), que son los vectores que cumplen ³
´
C · Kd−1 · C T · φE = λE · A · φE φE T · A · φE = 1
(5.42) (5.43)
(donde A es la matriz del producto interno y λE es el autovalor correspondiente al autovector φE ), P ∗ podr´a escribirse como P∗ =
NP −2 X
x E φE
(5.44)
E=1
donde xE son par´ametros que depender´an de la “participaci´on” que tenga cada autovector φE en P ∗ . Sustituyendo las igualdades (5.37) y (5.44) en las ecuaciones (5.36) y teniendo en cuenta que los autovectores φE veriÞcan la igualdad (5.42) y A esta matriz se la denomina matriz del producto interno. Recordando que cada elemento n ˜ de la base de Qh vale 1 en el elemento E y cero en los restantes y que ¢ ¡ E T ˜ ˜ E · · · , se deduce que esta matriz ser´ a una matriz diagonal con ˜1 n ˜2 · · · n N = n AEE = Area(ΩE ). En particular si los elementos son cuadrados o tienen todos el mismo a´rea, a m´ ultiplo de la matriz identidad. entonces la matriz A ser´ De la igualdad (5.40) se deduce que la norma de una funci´on ph estar´a dada por kph k2 = hph , ph i = P T · A · P por lo que kph k = 1 implica que P T · A · P = 1 y que dos vectores ph y qh ser´ an ortogonales cuando hph , qh i = P T · A · Q = 0
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