bien existen, no pueden encontrarse directamente. Resumiendo entonces, cuando hay modos de presi´on (que son los vectores Q ∈ <N P distintos del vector nulo que veriÞcan C T · Q = 0) la soluci´on de las ecuaciones (5.34) (y la correspondiente a las presiones (5.36) que se deriva de ella) puede no existir. La condici´on necesaria y suÞciente para que dicha soluci´on s´õ exista es que el vector H ∈ <NP que es uno de los terminos independientes de estas ecuaci´ones y que se deriva de las condiciones de borde impuestas para las velocidades, est´e contenido en la im´agen de C, es decir, sea orotogonal a los modos de presi´on. Cuando existe, la soluci´on se caracteriza por ser u ´ nica para las velocidades y u ´ nica para las presiones salvo combinaciones lineales arbitrarias de dichos modos de presi´on y no puede ser hallada directamente dado que la matriz del sistema resulta no inversible. 5.3.5. PreÞltrado de los modos de presi´ on Como se dijo antes, la soluci´on del sistema (5.36) (que es la ecuaci´on para las presiones que se deriva de las (5.34)) se puede escribir (cuando existe) como P = P∗ + Q donde P ∗ es perpendicular a los modos de presi´on, (y esta componente es u ´ nica) y Q es un modo de presi´on (arbitrario). Como en general existen dos posibles modos independientes, el modo hidrost´atico QH y el modo “checkerboard” QC cualquier modo de presi´on arbitrario Q se podr´a escribir como combinaci´on de estos y la soluci´on m´as general para las presiones es (cuando existe), P = P ∗ + βH QH + βC QC
(5.37)
donde βH y βC son constantes arbitrarias. La parte P ∗ de esta soluci´on no puede encontrarse directamente, ya que la matriz del sistema (5.36) no es inversible. Una de las formas de solucionar esta diÞcultad num´erica es el preÞltrado o rigidizaci´on de los modos de presi´on (ver referencia [6]). Este m´etodo propone modiÞcar a la ecuaci´on de las presiones (5.36) de la siguiente manera: ³
´
C · Kd−1 · C T + ηH A · φH · φH T · A + ηC A · φC · φC T · A · P = −C · Kd−1 · F + H (5.38) donde ηH y ηC son dos constantes no nulas, φH y φC son los modos de presi´on
100