FORMULARIO ALGEBRA - RAIMONDI

Publicaciones Digitales

Formulario

Ă LGEBRA

Academia

Raimondi ... siempre los primeros

Academia Título de la Obra:

Formulario de Álgebra Edición 2018

Academia Preuniversitaria Antonio Raimondi E.I.R.L. Plaza San Francisco Nº 138.

Telf.: (084)247458 y (084)224961 www.academiaraimondi.pe Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin permiso de los editores.

Introducción

El Álgebra es la generalización de las matemáticas cuyas raíces pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica, que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático.

La Corporación Educativa RAIMONDI de Cusco tiene el agrado de poner en consideración de todos los estudiantes del Cusco, el Perú y el Mundo, este Formulario de Álgebra que describe, en general, los temas que constituyen un curso de Álgebra de nivel pre-universitario.

Este formulario responde a una necesidad que hemos sentido agudamente todos los que nos avocamos a la enseñanza de las Matemáticas en las aulas de la academia y colegio RAIMONDI de Cusco. La experiencia nos ha demostrado que el aprendizaje de las matemáticas, requiere no solamente de conocimientos teóricos, sino fundamentalmente de la capacidad de resolver situaciones matemáticas, denominadas, ejercicios o problemas.

La práctica constante de resolver ejercicios y problemas es la única manera de profundizar y cimentar los conceptos teóricos bien aprendidos, es por ello que en el desarrollo de esta publicación, ustedes deberán tener en cuenta las sugerencias planteadas y analizarlas.

Tenga presente que el objetivo en el estudio de las Matemáticas no es mecanizarse, sino en saber aplicar correcta y lógicamente una determinada definición, propiedad o teorema a cada problema que se esté resolviendo. Solo así, el estudiante encontrará en las Matemáticas una recreación amena y ágil.

Víctor Paredes Aucasime Promotor - Director

Índice de Contenidos

Capítulo I

Capítulo II

Capítulo III

LEYES DE EXPONENTES

POLINOMIOS

PRODUCTOS NOTABLES

Pág 05

Pág 08

Pág 11

Capítulo IV

Capítulo V

Capítulo VI

DIVISION DE POLINOMIOS COCIENTES NOTABLES

FACTORIZACION

MCD Y MCM FRACCIONES ALGEBRAICAS

Pág 14

Pág 19

Capítulo VII

Capítulo VIII

Capítulo IX

TEOREMA DEL BINOMIO

RADICACIÓN

NÚMEROS COMPLEJOS

Pág 26

Pág 30

Pág 34

Capítulo X

Capítulo XI

Capítulo XII

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

MATRICES Y DETERMINANTES

Pág 39

Pág 42

Pág 45

Capítulo XIII

Capítulo XIV

Capítulo XV

SISTEMAS DE ECUACIONES

INECUACIONES VALOR ABSOLUTO

RELACIONES Y FUNCIONES

Pág 52

Pág 56

Capítulo XVI

Capítulo XVII

LOGARITMOS

PROGRESIONES

Pág 71

Pág 76

Pág 24

Pág 63

y = f(x)

(a+b)(a-b) = a2-b2

ab

M=a

Capítulo I:

Leyes de Exponentes yij 2 D = bExponenciales - 4ac Ecuaciones

b2

ab

2

ab+b

(a+b) =a +2 2

2

POTENCIACIÓN

4. Exponente negativo a −n =

Es la operación matemática que tiene por objetivo encontrar una expresión llamada potencia (p), conociendo previamente otras dos expresiones denominadas base (b) y exponente (n).

Ejemplo: 2−1 = b = base; b ∈   b = p; donde n = exponente; n ∈  p = potencia; p ∈   n

1 21

=

1

; a≠0

an

1 1 1 ; 3−2 = 2 = 2 9 3

TEOREMAS 1. Multiplicación: Bases iguales

3 Así pues, en 2 = 8 : 2 es la base, 3 es el expo-

am ⋅ an = am + n

nente y 8 es la potencia.

Ejemplo: x 4 ⋅ x 2 = x 4 + 2 = x 6

DEFINICIONES

2. División: Bases iguales

1. Exponente cero

am

0

a = 1; a ≠ 0

an

0 Ejemplo: 50 = 1; ( −3) = 1; − 70 = −1

Ejemplo: 2. Exponente uno

x10 x7

= am −n; a ≠ 0

= x10 − 7 = x3

3. Potencia de potencia

a1 = a

(am )n = amn

1

Ejemplo: 4 = 4 5

Ejemplo: ( x 2 ) = x 2⋅5 = x10

3. Exponente entero positivo

4. Multiplicación: Exponentes iguales

an = a a⋅ a ⋅ ... ⋅ a; n ≥ 2 ⋅ 

n

an ⋅ bn = (ab)

" n " veces

Ejemplo: 73 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 343

3

Ejemplo: a3b3c 3 = (abc )

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5

( x2y3 )5 = ( x2 )5 ( y3 )5 = x10y15 ... siempre los primeros

Álgebra

a2

Academia

Formulario de ÁLGEBRA 5. División: exponentes iguales n

a

bn Ejemplos:

4

n

 a =  ; b≠0  b

−24 no existe en  2. Exponente fraccionario

2

2

3 4 ( x 4 ) x8  x  x  = ; = = 6     2 y3  y   y3  y y3

x3

36 existe en 

n m

a

( )

Ejemplo: 2 3

RADICACIÓN

2

( −8) = 3 −8 = ( −2)2 = 4

Es una de las operaciones matemáticas inversas a la potenciación cuyo objetivo es encontrar una expresión llamada raíz (b), conociendo otras dos expresiones denominadas radicando (a) e índice (n).

3. ∀a ∈  ∧ n ∈  + n

 = signo radical  +  n a = b; donde n = índice; n ∈  a = Radicando b = raíz; b ∈  

n a ; n = # impar a =  a ; n = # par

* |a|: valor absoluto de "a", significa el valor positivo de "a".

Ejemplo:

Así pues: en 3 64 = 4 : 3 es el índice, 64 el radicando y 4 la raíz.

3

x3 = x;

1. Multiplicación: índices iguales n

1. ∀a, b ∈ ; n ∈  +

Álgebra

n

Ejemplo:

n

a =b⇔a=b

3

2. División: índices iguales

m

x =p⇔x=p

9 = 3 ⇔ 9 = 32 Ejemplo:

3

−8 = −2 ⇔ −8 = ( −2)

Observación: Debemos tener en cuenta que dentro del conjunto de los números reales no se define a la radicación cuando el índice es par y el radicando negativo, como en los ejemplos:

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a ⋅ n b = n ab

x ⋅ 3 y = 3 xy

Ejemplos:

3

x2 = x

TEOREMAS:

DEFINICIONES:

m

m

= an

x y

=

n

a

n

b

a =n ; b≠0 b

x y

3. Raíz de raíz mn

6

a = mn a

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Academia

Formulario de ÁLGEBRA Observación: Para resolver algunas ecuaciones trascendentes, a veces es necesario recurrir al proceso de comparación comúnmente llamado método de analogía, el cual consiste en dar forma a una parte de la igualdad tomando como modelo la otra.

x = 3⋅2 x = 6 x

PROPIEDADES ADICIONALES  a 1.    b

−n

m

2. a b = 3.

m n

a =

n

 b =   ; ab ≠ 0  a

3

Ejemplo: x x = 3

m m

a b ; a>0

mk

Transformando al segundo miembro se tendrá:

ank ; k ∈  +

x

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES TRASCENDENTES

x

Ejemplo: 5 x +1 = 125 ; 23 = 16

En:

b) Como base y exponente a la vez Ejemplo: 2x − x = 5 ; x x = 3

x

33 3

x = 2 se observa que x = 2 2 = 4 4 , con lo cual tenemos:

Pero x

c) Afectada por algún operador Ejemplo: log x 2 − x = 1 ; Cos (2x ) = 0, 5

x = 4 4 de donde: x = 4 .

Expresiones Finitas e Infinitas 1.

ECUACIÓN EXPONENCIAL:

n

x n x n x ... n x = 

nm

x

nm −1 n −1

" m " radicales

Es la ecuación trascendente que presenta a su incógnita formando parte de algún exponente.

 m nm +1 n  x n+1 ; " m " impar n n n n 2. x ÷ x ÷ x ÷ ... x =      m nm n −1 " m " radicales  x n+1 ; " m " par 

= 25

Teorema: ax = ay ⇒ x = y ; a > 0 ; a ≠ 1 Ejemplo: Resolver: 7 x −1 = 75 − x

3.

m n m n m n

4.

m n

Igualando los exponentes: 5.

x − 1 = 5 − x ⇒ 2x = 6 ∴x = 3

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= 33

Sin embargo, debemos indicar que el método de analogía sólo nos brinda una solución, pudiendo haber otras, sino veamos el siguiente ejemplo:

a) Formando parte de algún exponente

2 −1

3

∴ x = 3 3 (representa un valor de "x").

Es aquella ecuación donde al menos uno de sus miembros no es una expresión algebraica:

Ejemplo: 5 x

x

x

x ÷

x ...∞ =

x

m n

x ÷

m n

m −1 n

x

x ÷ ...∞ =

m +1 n

x

n + 1 ⇔ ( + ) x ± x ± x ± ...∞ =  n ⇔ ( − ) Donde: x = n(n + 1)

7

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Álgebra

3

Ejemplo:

y = f(x) ab

a2

(a+b)(a-b) = a2-b2 M=a

Capítulo II:

Polinomiosij

b2

ab 2

2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2

NOTACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

3. Determinar P(5), si: P( x + 7) = 2x3 + 5 x − 1

Se utiliza para indicar las variables de una expresión.

Para este caso, se resuelve la ecuación: x + 7 = 5 ; de donde: x = −2

Ejemplos:

Al reemplazar: 3 P( −2 + 7) = 2 ( −2) + 5 ( −2) − 1 P(5) = −16 − 10 − 1 P(5) = −27

( x ) ⇒ variable: "x" * P  " P " de x

* F ( x, y ) ⇒ variables: "x e y"  " F " de x,y

Propiedades: Para un polinomio P(x). de la forma:

variables: → x,y,z * Q ( x, y, z ) = ax + by + cz    constantes: → a, b, c " Q " de x,y,z

P( x ) = an xn + an−1xn−1 + an− 2 xn− 2 + ... + a0

VALOR NUMÉRICO (V.N.)

Se cumple:

Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una expresión algebraica por valores determinados.

1. Suma de coeficientes = P(1).

2. Término independiente = P(0).

Cambio de variable

Ejemplo: P( x, y, z ) = x 2 + 3 yz para x = 5; y = −2; z = 3

Así como las variables pueden reemplazarse por números, también pueden ser reemplazadas por otros polinomios, así tenemos:

Reemplazando:

1. Dado: P( x ) = 2x + 11. Obtener P( x + 7) .

Álgebra

1.Determinar el V.N. de la siguiente expresión:

P(5, −2, 3) = 52 + 3 ( −2) (3) = 7

Para obtener lo pedido, se reemplaza: x por ( x + 7) en P(x).

3

2. Determinar P(3) , si: P( x ) = x + 2x − 10

P ( x) = 2  x + 11

En este caso, se pide el V.N. de P( x ) para: x = 3

x +7

x+7

P( x + 7) = 2( x + 7) + 11 P( x + 7) = 2x + 25

P(3) = 33 + 2 (3) − 10 P(3) = 23

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Formulario de ÁLGEBRA 2.Dado: P( x + 3) = 3 x + 4

Ejemplo: P( x, y ) = 2a3 x 4 y5

Determinar: P(2x − 5) .

G.A. = 5 + 4 G.R.( x ) = 4 G.R.( y ) = 5

Se reemplaza ( x + 3) por (2x − 5) previa preparación del polinomio como:

GRADOS DE UN POLINOMIO DE DOS O MÁS TÉRMINOS:

P( x + 3) = 3( x + 3 − 3) + 4 Entonces: P(2x − 5) = 3(2x − 5 − 3) + 4 P(2x − 5) = 6 x − 20

Grado Absoluto: Es el mayor grado absoluto de uno de sus monomios.

Grado Relativo: Es el mayor exponente de la variable en referencia.

POLINOMIO Es toda expresión algebraica racional y entera.

Cuando tiene un término se denomina monomio, con dos se denomina binomio, con tres trinomio, etc.

Ejemplo: Mayor Mayor

P( x, y ) = 2 x3 y + 7 x 2 y5 − 6 x 6 y 2   

Recordemos que en una expresión Algebraica Racional entera:

Grados→

Ninguna variable está afectada por algún signo radical o exponente fraccionario.

P( x, y, z ) = 2 x + 2y − z

No es polinomio

POLINOMIOS IDÉNTICOS Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen igual coeficiente, así pues: P( x ) = ax3 + bx + c Q( x ) = mx3 + nx + p

GRADO: Es la categoría que se asigna a un polinomio; y depende de los exponentes de sus variables.

son idénticos, si: a = m; b = n ; c = p.

Propiedad: dos polinomios idénticos tienen el mismo valor numérico para cada sistema de valores asignados a sus variables.

GRADOS DE UN MONOMIO: Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes de sus variables.

POLINOMIOS ESPECIALES

Grado Relativo: Es el exponente de la variable en referencia.

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8

1. Polinomio Homogéneo: Cuando sus términos son de igual grado absoluto.

9

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Álgebra

Polinomio (trinomio)

9

G.A. = 9 G.R.( x ) = 6 G.R.( y ) = 5

Ninguna variable se encuentra en el denominador.

Ejemplo: P( x, y ) = 3 x 2 + 7 y + 5

4

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Formulario de ÁLGEBRA Ejemplo:

4 3

5 2

Propiedad: todo polinomio idénticamente nulo tiene valor numérico igual a cero para cualquier sistema de valores asignados a sus variables.

6

P( x , y ) = 2x y − x y +5 x y   7

7

7

Homogéneo de grado 7.

5. Polinomio Entero en “x”: Aquel polinomio que depende únicamente de la variable “x” y sus coeficientes son números enteros.

2. Polinomio Completo: Cuando tiene todos los exponentes de la variable en referencia, desde el mayor hasta el cero incluido.

Ejemplo:

"x" tiene exponente 1

Ejemplo: P( x ) = 3 x 4 − 2x3 + 6 x − 8

"x" tiene exponente 0

6. Polinomios Equivalentes: Se denomina así a aquellos polinomios que teniendo formas distintas, al asignar cantidades iguales a sus variables dan como respuesta igual valor numérico.

P( x, y ) = 2xy3 + 7 x 2 y 4 − 5 y completo con respecto a "x" .

Ejemplo: P( x, y ) = ( x − y ) x 2 + xy + y 2  Q( x, y ) = x3 − y3

(

Propiedad: para un polinomio completo P(x). # términos = Grado + 1

)

Asignando valores: x = 4 ; y = 2 3.Polinomio Ordenado: es aquel cuyos exponentes de la variable en referencia (ordenatriz) van aumentado (orden creciente) o disminuyendo (orden decreciente).

Ejemplo:

P( 4, 2) = ( 4 − 2) ( 42 + 4 ⋅ 2 + 22 )  Q( 4, 2) = 43 − 23 P( 4, 2) = 56  Q( 4, 2) = 56

Aumenta

P( x, y ) = 4 x 4 y3 + 6 x7 y9 + 5 xy 20

P ( x, y ) < > Q( x, y )

Álgebra

ordenado ascendentemente respecto a "y".

4. Polinomio Idénticamente Nulo

7. Polinomio Mónico: Se denomina así al polinomio entero en “x” y se caracteriza porque su coeficiente principal es igual a la unidad.

Es aquel polinomio cuyos términos presentan coeficientes iguales a cero.

Recuerde: Se denomina coeficiente principal al coeficiente del término de mayor grado.

Ejemplo:

Ejemplo: P( x ) = x3 − 4 x + 3

P( x ) ≡ ax3 + bx 2 + c

El coeficiente del término de mayor grado (3°) es uno.

Por lo tanto P(x) es un Polinomio Mónico

será idénticamente nulo, si: a = 0; b = 0; c = 0

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y = f(x) ab

a2

(a+b)(a-b) = a2-b2 M=a

Capítulo III:

Productos Notablesij

b2

ab 2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2 2

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA Es la operación que tiene como objetivo determinar una expresión algebraica llamada producto, dadas otras expresiones algebraicas llamadas multiplicando y multiplicador, la igualdad obtenida es una identidad.

Ejemplo: ( x + 2)

2 ( 2x + 1) ≡ 2 + 5 x +2 x   

Multiplicando y Multiplicador

↓ Producto

PRODUCTOS NOTABLES O IDENTIDADES ALGEBRAICAS 1.Binomio al cuadrado 2

• (a + b) = a2 + 2ab + b2 2

• (a − b) = a2 − 2ab + b2 2 2 2m 2m Nota: (a − b) = (b − a) en general: (a − b) = (b − a) ; (m ∈  )

2.Identidades de Legendre • (a + b) + (a − b) = 2 (a2 + b2 ) 2

2

2

2

• (a + b) − (a − b) = 4ab 3.Diferencia de cuadrados

Álgebra

• (a + b) (a − b) = a2 − b2 4.Binomio al cubo 3 3 • (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ó (a + b) = a3 + b3 + 3ab (a + b) 3 3 • (a − b) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 ó (a − b) = a3 − b3 − 3ab (a − b)

5.Identidades de Steven • ( x + a) ( x + b) = x 2 + (a + b) x + ab • ( x + a) ( x + b) ( x + c ) = x3 + (a + b + c ) x 2 + (ab + ac + bc ) + abc

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Formulario de ÁLGEBRA 6.Suma y diferencia de cubos • (a + b) (a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 • (a − b) (a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 7.Trinomio al cuadrado 2

• (a + b + c ) = a2 + b2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc 8.Trinomio al cubo

(a + b + c )3 = a3 + b3 + c 3 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3c 2a + 3c 2b + 6abc

ó

(a + b + c )3 = a3 + b3 + c 3 + 3 (a + b) (a + c ) (b + c )

IDENTIDADES ADICIONALES 1.Identidad de Argan'd

(a2n + anbm + b2m ) (a2n − anbm + b2m ) = a4n + a2nb2m + b4m Caso particular: ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) = x 4 + x 2 + 1 2.Identidades de Lagrange

(

)

2 2 2 2 • (a + b ) x + y = (ax + by ) + (ay − bx )

(

2

2

)

2 2 2 2 2 2 2 • (a + b + c ) x + y + z = (ax + by + cz ) + (ay − bx ) + (az − cx ) + (bz − cy ) 2

2

3.Identidad de Gauss

• (a + b + c ) (a2 + b2 + c 2 − ab − ac − bc ) = a3 + b3 + c 3 − 3abc de donde: 1 • (a + b + c ) (a − b)2 + (b − c )2 + (c − a)2  = a3 + b3 + c 3 − 3abc 2 4.Otras identidades: • (a + b + c ) (ab + ac + bc ) = (a + b) (a + c ) (b + c ) + abc • (a + b) − (a − b) = 8ab (a2 + b2 )

Álgebra

4

4

2

• (ab + ac + bc ) = a2b2 + a2c 2 + b2c 2 + 2abc (a + b + c ) Algunas Relaciones Condicionadas: I. Si: a + b + c = 0

II. Si: x, y, z ∈ 

1. a2 + b2 + c 2 = −2 (ab + ac + bc )

x 2 + y 2 + z2 = xy + yz + zx

2. a3 + b3 + c 3 = 3abc

III. Si: x, y, z ∈  ∧ m, n, p ∈  +

2 1( 2 a + b2 + c 2 ) 2 4. a5 + b5 + c 5 = −5abc (ab + ac + bc )

x 2m + y 2m + z2p = 0 Entonces: x = 0; y = 0; z = 0

3. a4 + b4 + c 4 =

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y = f(x)

(a+b)(a-b) = a2-b2

ab

a2

M=a

Capítulo IV:

División de Polinomios yij D= b2- 4ac Cocientes Notables

b2

ab 2

2

2

ab+b

(a+b) =a +2

DIVISIÓN DE POLINOMIOS En álgebra, la división de polinomios (también división polinomial o división polinómica) es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo. Es la operación que tiene por objetivo determinar un polinomio llamado cociente (q) y otro polinomio denominado resto o residuo (R), conociendo otros dos polinomios llamados dividendo (D) y divisor (d).

El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga. Es fácilmente realizable a mano, porque separa un problema de división complejo, en otros más pequeños.

Esquema clásico:

D d R q

de donde deducimos el algoritmo de la división: D ≡ dq + R

(Identidad de la División).

Propiedades: Siendo el grado del dividendo mayor o igual que el grado del divisor, con respecto a una variable en particular, es decir: [D] ° ≥ [ d] ° .

Se cumple: 1. El grado del cociente es la diferencia entre el grado del dividendo y divisor.

[q] ° = [D] ° − [d] °

[R] °max = [d] ° − 1 MÉTODOS DE DIVISIÓN Para todos los métodos, el dividendo y divisor deben estar completos (si falta algún término se debe agregar "cero") y ordenados en forma decreciente.

I.MÉTODO DE HORNER Para este método sólo se utilizan coeficientes, colocándolos en el siguiente esquema:

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Álgebra

2. El máximo grado del resto es igual al grado del divisor disminuido en uno.

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Formulario de ÁLGEBRA Primer coeficiente del divisor los demás coeficientes del divisor con signo cambiado

D I V I D E N D O

d i v i s o r

# lugares = dº

COCIENTE

R E S T O

Ejemplo: Dividir:

8 x5 + 4 x 4 + 6 x 2 + 6 x − 1

4x2 − 4x + 2 Colocando según el esquema, los coeficientes del dividendo y divisor:

8

4 -2

4

0 -4

6

12

por

-6 8

por

2

3

2

2

Coeficientes del "q"

6

-1

suma

8

suma

4

suma

# lugares = dº = 2

-4 8

-4

10

-5

Coeficientes del "R"

Álgebra

Sólo se obtienen coeficientes. La variable se agrega de acuerdo al grado .

Así tenemos: q° = 5 − 2 = 3; R°max = 2 − 1 = 1 q = 2x3 + 3 x 2 + 2x + 2 ⇒ R = 10 x − 5 II. MÉTODO DE RUFFINI Al igual que en Horner, sólo utiliza coeficientes. Ruffini se aplica únicamente cuando el divisor es de la forma: ax + b .

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Formulario de ÁLGEBRA Esquema de Ruffini:

TEOREMA DEL RESTO El resto de dividir el polinomio P(x) entre ( x − a) es P(a).

DIVIDENDO

Observación: Si el divisor no es de primer grado, se calcula alguna expresión según el caso y tal cual, se reemplaza en el dividendo.

Siempre es un número

R

COCIENTE Valor de "x" al igualar el divisor a cero

Ejemplo: Hallar el resto:

3 x 4 − 8 x3 + 5 x 2 + 5 Ejemplo: x−2 Colocando los coeficientes en el esquema de Ruffini: x−2 = 0 3 2 ↓ por 3

−8 5 6 −4 −2 1

0 2 2

x50 + 3 x 21 − 7 x + 2 x +1

Por el Teorema del Resto: x + 1 = 0 → x = −1

5 4 9 →R

Reemplazando en el "D": 50

21

R = ( −1) + 3 ( −1) R = 1− 3 + 7 + 2

Coeficientes de "q"

− 7 ( −1) + 2

R=7

Las variables de "q" se agregan de acuerdo al grado: q° = 4 − 1 = 3 . q = 3 x3 − 2x 2 + 2x + 2 ⇒ R = 9

Ejemplo: Hallar el resto:

Observación: Si el divisor es ax + b (a ≠ 1) , luego de realizar la división, los coeficientes del cociente se dividen entre "a".

Por el Teorema del Resto: x 2 − 1 = 0 → x 2 = 1 (no se calcula "x").

x 20 + 7 x5 − 6 x 4 + x3 + 1 x2 − 1

2

Formando " x " en el dividendo: 10

D = ( x2 )

3 x3 − 2x 2 + 2x + 2 Ejemplo: 3x − 2 3x - 2 = 0 2 3

3

7

3

1

7

2

6

2

2

3

9

3

3

9

1

3

1

1

Reemplazando:

2

10

2

2

x 2 = 1 ⇒ R = (1) + 7 (1) x − 6 (1) + 1⋅ x + 1 R = 1 + 7x − 6 + x + 1 R = 8x − 4

3

DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

 q = x 3 + 3 x 2 + x + 1 qº = 4 - 1 = 3 ⇒   R = 9

Academia Raimondi

2

+ 7 ( x2 ) x − 6 ( x2 ) + x2 ⋅ x + 1

Se dice que un polinomio es divisible entre otro, si el resto de dividirlos es cero; es decir:

15

... siempre los primeros

Álgebra

-b

Academia

Formulario de ÁLGEBRA FÓRMULAS DE LOS COCIENTES NOTABLES

Si en: P( x ) ÷ f ( x ) → R = 0 Entonces P(x) es divisible entre f(x).

1er. Caso: n → par o impar

Propiedades: 1. Si un polinomio es divisible entre otros polinomios por separado, entonces será divisible entre el producto de dichos polinomios, siempre que estos sean primos entre sí, (no deben tener ningún factor en común); es decir: Si en: P( x ) ÷ f ( x ) → R = 0 P( x ) ÷ g( x ) → R = 0

xn − an = xn−1 + xn− 2a + xn− 3a2 + ... + an−1 x−a 2do. Caso: n

xn + an = xn−1 − xn− 2a + xn− 3a2 − ... − an−1 x+a

⇒ P( x ) ÷ f ( x ) ⋅ g( x ) → R = 0

3er. Caso: n → par

→R=0 * f(x) y g(x) son primos entre sí.

xn − an = xn−1 − xn− 2a + xn− 3a2 − ... − an−1 x+a

2. Si un polinomio es divisible entre un producto de varios polinomios, entonces será divisible entre cada uno por separado; es decir:

Observación: La forma

Si en: P( x ) ÷ f ( x ) ⋅ g( x ) → R = 0 P( x ) ÷ f ( x ) → R = 0 ⇒ P( x ) ÷ g( x ) → R = 0

Se llama así a un término cualquiera del C.N. se representa por Tk . La fórmula para obtener el término general en:

Se llama, así, a los cocientes exactos obtenidos de la división de binomios de la forma:

Álgebra

Donde: "k" lugar de término.

x, a: términos del divisor (denominador).

n: exponentes repetidos en el dividendo.

Condiciones: R = 0  n → entero y positivo

Observación: La misma fórmula puede aplicarse para los casos:

Propiedades: xn ± an , el número de términos del cox±a ciente será "n".

1. En:

xp ± aq que:

xn − an es: x−a

Tk = xn−k ak −1

xn ± an x±a

xm ± an

xn + an no genera un C.N. pues R ≠ 0 . x−a

TÉRMINO GENERAL (Tk)

COCIENTES NOTABLES (C.N.)

2. Si:

impar

k −1 xn − an xn + an y pero con el factor ( −1) x+a x+a

Así tendremos:

, es un C.N. entonces se cumple

Academia Raimondi

k −1 n −k k −1

Tk = ( −1)

16

x

a

... siempre los primeros

y = f(x) ab

M=a

Capítulo V:

Factorización de Polinomiosij

b2

ab

2

2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2

¿QUÉ ES FACTORIZAR?

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que, al multiplicarlos, se obtenga el polinomio original.

I.Método del Factor Común Se aplica cuando en todos los términos del polinomio se repite el mismo factor, el que se denomina factor común. Para factorizar, se extrae a cada término del polimonio el factor común, (si éste tuviese diferentes exponentes, se elige el de menor exponente).

Ejemplo: 2

2

x −y    

Sin factorizar

Ya factorizado    = (x + y) (x − y) 

Ejemplo:

Factores

1. Factorizar: xy + xz + xw .

Puede notarse que si multiplicamos ( x + y ) ( x − y ) 2

Solución:

2

se obtiene x − y que viene a ser el polinomio original (la factorización y la multiplicación son procesos inversos).

xy + xz + xw  → x (y + z + x)       se extrae "x"

" x " factor común

Polinomio factorizado

Factor Primo

4 7 3 2. Factorizar: xy + y z + y w

Es aquel polinomio que no se puede descomponer en otros polinomios.

Solución:

Se extrae y3 ; variable con menor exponente

(

2

2

x − y → no es primo (se puede descomponer). x 2 + y 2 → es primo (no se puede descomponer).

y3 menor exponente

Polinomio factorizado

Propiedades:

3. Factorizar: a2 + ab + ac + bc

1. El número máximo de factores primos que tiene un polinomio está dado por su grado.

Así por ejemplo:

x3 − 6 x 2 + 12x − 6 a los más tiene 3 factores primos.

Solución: Agrupando términos: = a2 + ab + ac + bc = a (a + b ) + c (a + b ) Observe que ahora aparece un nuevo factor común: = (a + b) (a + c ) ; polinomio factorizado

2. Los polinomios lineales (primer grado) necesariamente son primos.

3. Sólo se pueden factorizar los polinomios no primos.

Academia Raimondi

)

xy 4 + y7 z + y3 w = y3 xy + y 4 z + w      

Ejemplo:

17

... siempre los primeros

Álgebra

a2

(a+b)(a-b) = a2-b2

Academia

Formulario de ÁLGEBRA II.Método de las Identidades

3. Factorizar: a3 + 27

En este caso, se utilizan las identidades algebraicas (Productos Notables); pero en forma inversa, es decir teniendo el producto se calculan los factores que le dieron origen.

Solución:

2 a3 + 33 → ( a  + 3) (a − 3a +  9) Polinomio factorizado

Se puede utilizar cualquier Producto Notable estudiado; pero los que se utilizan con más frecuencia los recordamos en el siguiente cuadro: Prod. Notable

(a + b ) (a − b )

(a + b)2

a2 + 2ab + b2

(a − b)2

a2 − 2ab + b2

a3 + b3

(a + b) (a2 − ab + b2 )

a3 − b3

(a − b) (a2 + ab + b2 )

n

(a − b ) (a

n

n−1

a −b

Para "n" impar: n

n

a +b

a) Aspa Simple:

Polinomio Factorizado

a2 − b2

En general:

III.Método de las Aspas

Regla: Se descomponen dos de los términos, en dos factores, luego se calcula la suma del producto en aspa, tal que sea igual al término no descompuesto del trinomio.

n− 2

+a

Se aplica para factorizar trinomios, obteniéndose 2 factores binomios.

n−3

b+a

Ejemplo:

Factorizar: x 2 + 10 x + 9

n−1

b + ... + b

Solución:

)

x 2 + 7 x + 12 → ( x + 3) ( x + 4)

(a + b) (an−1 − an− 2b + an−3b − ... − bn−1)

↓

x

3 → 3x 4 → 4x

x

7x

Ejemplo:

b) Aspa Doble:

1. Factorizar: x 4 − y 2

Se aplica a polinomios de la forma:

Solución:

Álgebra

↓

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F

( x2 )2 − y2 → ( x2 + y ) ( x2 − y ) 

se obtienen dos factores trinomios.

2. Factorizar: x 2 + 10 x + 25

Regla: 1. Se descomponen en dos factores:

Solución: Dando forma de TCP a la expresión:

2. Mediante tres aspas, se comprueban: Bxy; Dx; Ey

Polinomio factorizado

Ax 2; Cy 2; F

2

) x 2 + 2 ( x ) (5) + 52 → ( x + 5  

Polinomio Factorizado

Academia Raimondi

Ejemplo: Factorizar: 10 x 2 + xy − 3 y 2 − 16 x − 14 y − 8

18

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Comprobaciones:

10 x + xy − 3 y − 16 x − 14 y − 8

Aspa 1 : 3 x 2 + 2x 2 = 5 x 2

5x

Aspa 2 : 4 x3 + x3 = 5 x3 Aspa 3 : 12x + 2x = 14 x

2

2

↓

↓

3y

1

2x

↓

−y

3

2

2 −4

2 Observe que 5 x es el resultado de restar 9 x 2

Comprobaciones: Aspa 1 : −5 xy + 6 xy = xy Aspa 2 : −12y − 2y = −14 xy Aspa 3 : 4 x − 20 x = −16 x

y 4x2 .

IV. Método de los Divisores Binomios o Evaluación Binómica

luego, tendremos: (5 x + 3 y + 2) (2x − y − 4)

Se aplica a polinomios de cualquier grado, generalmente con una sola variable, siempre que tengan por lo menos un factor lineal (primer grado).

c) Aspa Doble Especial Generalmente, se aplica a polinomios de cuarto grado de la forma:

"Ceros" de un Polinomio

Ax 4 + Bx3 + Cx 2 + Dx + E

Son todos los valores de la variable que anulan el polinomio.

Se obtienen dos factores trinomios de 2° grado.

Para obtener los posibles "ceros" de un polinomio, tendremos los siguientes casos:

Regla:

1. Se descomponen: Ax 4 y E , luego se calcula la suma del producto en aspa.

Caso A: Si el coeficiente principal es 1, los posibles ceros pueden ser:

2. La suma obtenida se resta de Cx 2 .

3. La diferencia que resulta se descompone en dos factores para comprobarlos con:

Divisores del término independiente Caso B: Si el coeficiente principal es diferente de 1, los posibles ceros están dados por:

Bx3 y Dx .

Ejemplo:

4

3

Divisores del término independiente Divisores del coeficiente principal

2

Factorizar: x + 5 x + 9 x + 14 x + 6

Regla para factorizar:

Solución: Encontremos el término cuadrático x 4 + 5 x3 + 9 x 2 + 14 x + 6

3x2

x2

2

2x 2

x2

3

5x2

• Se calcula los posibles ceros y se comprueba si alguno anula al polinomio.

Ejemplo: En el siguiente polinomio:

5 x3 + x 2 − 34 x + 24

Ahora la diferencia: 9 x 2 − 5 x 2 = 4 x 2

x = 2 ⇒ ( x − 2) es factor

x 4 + 5 x3 + 4 x 2 + 14 x + 6 x2 x2

2

4x 1

x

3

Academia Raimondi

x = 3 ⇒ ( x − 3) es factor 4 x = ⇒ (5 x − 4) es factorr 5

2 3

19

... siempre los primeros

Álgebra

Solución:

Academia

Formulario de ÁLGEBRA V. Método de los Artificios

• Al polinomio dado, se le divide entre el factor o factores binomios obtenidos en el primer paso, el cociente de esta división es el otro factor del polinomio.

Se utiliza en una gran variedad de ejercicios sobre factorizacion, por lo tanto es deducible que no existan reglas fijas. Pero si es importante la destreza del operador; pese a ello pero se puede recomendar las siguientes técnicas:

Ejemplos:

1. Factorizar: x3 − 6 x 2 + 12x − 7 Solución: * Posibles ceros → Coeficiente principal = 1 ± ± 2;± 3; ± 6 1;

• Si dos o más términos se repiten constantemente, se sugiere hacer cambio de variable.

* Se comprueba que se anula para: x = 1 ( x = 1) es factor.

(a + b + c − 2)2 + (a + b + c − 1)2 − 5 (a + b + c + 1)2

Ejemplo: Factorizar:

Divisores de 6

Solución: Cambio de variable: a+b+c = x

* Se divide por Ruffini al polinomio entre ( x = 1) : x-1 = 0 1 1 1

-6

12

-7

1

-5

7

-5

7

0

Porque es el término que más se repite Reemplazando:

( x − 2)2 + ( x − 1)2 − 5 ( x + 1)

x2 - 5x + 7 factor faltante

x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 2x + 1 − 5 x − 5

* Finalmente tenemos: (x − 1)(x 2 − 5 x + 7)

2x 2 − 11x x (2x − 11)

2. Factorizar: 6 x3 + 7 x 2 − 6 x + 1

Restituyendo el valor a la variable, tenemos: (a + b + c ) [2 (a + b + c ) − 11]

* Posibles ceros (coeficiente principal ≠ de 1): 1 1 1 ± 1, ± , ± , ± 6 2 3

Álgebra

(

• Si aparecen exponentes pares, trataremos de formar un TCP.

Divisores de "1" ) Divisores de "6"

Ejemplo:

Factorizar: x 4 + 4b4c 8

* Se comprueba que se anula para: 1/3. * Se divide por Ruffini entre: 3 x − 1 .

6 7 −6 1/3 ↓ 2 3 ÷3 6 9 − 3 ↓

↓

↓

Solución:

2

Ahora formemos el TCP, para lo cual necesitamos el término central:

2 3 −1 2 El polinomio cociente es: 2x + 3 x − 1

2 ( x 2 ) (2b2c 4 ) → 4 x 2b2c 4

2 Finalmente tenemos: (3 x − 1) (2x + 3 x − 1) .

Academia Raimondi

2

Observe que tenemos: ( x 2 ) + (2b2c 4 ) , que son los extremos cuadráticos de un TCP.

1 −1 0

20

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Artificio: Sumando y restando: 2 2 4

4 8

Solución:

2 2 4

Factorizamos " x 2 " 5 6  P( x ) = x 2  6 x 2 + 5 x + 6 + + 2   x x     1 1  P( x ) = x 2 6  x 2 + 2  + 5  x +  + 6   x x    

x  + 4x  b c + 4b c − 4 x b c 

( x2 + 2b

TCP 2 4 2

c

) − (2xbc 2 )2

Factorizando como diferencia de cuadrados:

( x2 + 2b2c 4 + 2xbc 2 ) ( x2 + 2b2c 4 − 2xbc 2 )

Hagamos un cambio de variable: 1 x + = y ; entonces: x

• Si aparecen exponentes impares, procuramos formar suma o diferencia de cubos.

x2 +

Ejemplo:

1 x2

= y2 − 2

Sustituyendo obtenemos:

Factorizar: x5 + x + 1

(

P( x ) = x 2 6 y 2 + 5 y + 6

Solución: * Como hay exponentes impares, buscamos suma o diferencia de cubos.

)

Ahora por aspa simple:

(

P( x ) = x 2 6 y 2 + 5 y + 6

* Si a " x5 " le factorizan " x 2 ", aparece " x3 ".

3y 2y

2

Artificio: Sumamos y restamos " x ".

)

−2 +3

x5 + x + 1 + x 2 − x 2

P( x ) = x 2 (3 y − 2) (2y + 3)

x 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + ( x 2 + x + 1)

Restituyendo la variable:

V. Factorización del Polinomio Recíproco

     1 1 P( x ) = x 2 3  x +  − 2 2  x +  + 3  x x      2 2     3 x + 3 − 2x 2x + 2 + 3 x P( x ) = x 2    x x    

x 2 ( x3 − 1) + ( x 2 + x + 1)

( x2 + x + 1) ( x3 − x2 + 1)

Polinomio Recíproco

P( x ) = (3 x 2 − 2x + 3) (2x 2 + 3 x + 2)

Es aquel cuyos coeficientes equidistantes de los extremos son iguales: 4

3

Importante:

2

Ax + Bx + Cx + Bx + A

Los polinomios recíprocos de grado impar siempre son divisibles por ( x + 1) ó ( x − 1) , esto implica que al hacer una factorización de este tipo de polinomio (de grado impar), previamente es necesario extraer el factor binomial ( x + 1) ó ( x − 1) mediante el uso del método de Ruffini y luego aplicar la técnica anteriormente expuesta.

Es un polinomio recíproco de 4to. grado A continuación exponemos su método de factorización: Ejemplo: Factorizar: P( x ) = 6 x 4 + 5 x3 + 6 x 2 + 5 x + 6

Academia Raimondi

21

... siempre los primeros

Álgebra

4

y = f(x) ab

a2

M=a

Capítulo VI:

MCD y MCM de Polinomiosij D = b2-Algebraicas 4ac Fracciones

b2

ab

2

2

2

ab+b

(a+b) =a +2

(a+b)(a-b) = a2-b2

MCD Y MCM DE POLINOMIOS

Ejemplo: *Son fracciones algebraicas

Regla para calcular el MCM y MCD de Polinomios:

x + 1 3 x x3 + 1 ; ; x − 1 xy x2

1. Se factorizan los polinomios dados.

2. El MCD estará formado por la multiplicación de todos los factores primos comunes de los polinomios dados, considerados con su menor exponente.

3. El MCM está formado por la multiplicación de factores primos no comunes y comunes, a los polinomios dados, considerados con su mayor exponente.

pero: x 2 no son fracciones algebraicas ; 7 5 Simplificación de Fracción Algebraica Para poder simplificar, debemos factorizar el numerador y denominador para luego simplificar los factores que presenten en común.

Ejemplo:

Ejemplo:

Hallar el MCD y MCM de los polinomios:

Simplificar:

P( x ) = x3 + x 2 − x − 1 ∧ Q( x ) = x3 − x 2 − 2x

x2 − 9

2

P( x ) = ( x + 1) ( x − 1)

2

x − 2x − 15

Q( x ) = x ( x − 2) ( x + 1)

=

( x + 3) ( x − 3) x − 3 = ( x − 5) ( x + 3) x − 5

Operaciones con Fracciones

MCD [P( x ); Q( x )] = ( x − 1)  2 MCM [P( x ); Q( x )] = ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2)

Álgebra

x − 2x − 15

Solución:

Factorizando:

I. Adición y/o Sustracción: En este caso, es necesario dar común denominador (MCM de los denominadores), salvo que las fracciones sean homogéneas (denominadores iguales). Así tenemos:

Propiedad: Dados los polinomios A y B. MCD ( A; B) ⋅ MCM ( A; B) = AB

A. Fracciones Homogéneas: Ejemplos: m n p m+n+p + + = x x x x ax by cx ax + by − cx + − = x+y x+y x+y x+y

FRACCIÓN ALGEBRAICA

A Es toda expresión de la forma donde por lo B menos "B" debe ser literal. Esto significa que el denominador debe ser necesariamente una cantidad variable.

Academia Raimondi

x2 − 9 2

22

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA B. Fracciones Heterogéneas:

Transformación de Fracciones en Fracciones Parciales

Ejemplos: A B C Ayz + Bxz + Cxy + + = x y z xyz

F=

P Q R + + x+a y+b z+c

P ( y + b) ( z + c ) + Q ( x + a) ( z + c ) + R ( x + a) ( y + b) ( x + a) ( y + b) ( z + c )

Caso 1: Cuando el denominador es un producto de factores lineales A1 A2 An P( x ) = + + ... + an xn + bn Q( x ) a1x1 + b1 a2 x 2 + b2

C.Regla Práctica (para 2 fracciones):

Ejemplo:

Dadas 2 fracciones heterogéneas, se multiplican en aspa y se pone como denominador el producto de los denominadores.

A C AD ± BC ± = B D BD

Caso 2: Cuando el denominador es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten A1 A2 An + + ... + 2 a1x1 + b1 (a x + b ) (a x + b )k

II. Multiplicación:

1 1

Para el caso de la multiplicación de fracciones, se multiplica numeradores entre sí, de igual manera los denominadores.

A C AC × = B D BD

Ejemplo:

Para el caso de la división de fracciones, se invierte la segunda fracción (fracción dividendo) y luego se ejecuta como una multiplicación.

A C A D AD ÷ = × = B D B C BC

Ejemplo:

1 1

1

5 x − 36 x + 48 2

x ( x − 4)

4x2 − 8x + 1 x3 − x + 6

Caso 4: Cuando el denominador contiene un factor irreductible repetido A1x + B1 A 2 x + B2 A k x + Bk + + ... + ax 2 + bx + c (ax 2 + bx + c )2 (ax2 + bx + c )2

A B = AD C BC D

Ejemplo:

Importante: Es necesario simplificar numerador y denominador de las fracciones, antes y después de realizar las operaciones.

Academia Raimondi

1

2

Caso 3: Cuando el denominador contiene factores cuadráticos irreductibles primos P( x ) Ax + B = Q( x ) ax 2 + bx + c

III. División de Fracciones:

ó también:

7x + 3 x2 + 3x − 4

1 − x + 2x 2 − x3 2

x ( x 2 + 1)

Importante: En caso de tratarse de fracciones impropias, es necesario hacer previamente la división y transformar a fracciones parciales el residuo.

23

... siempre los primeros

Álgebra

F=

Este es un proceso inverso a la adición o sustracción de fracciones. Es decir una fracción se transforma en la adición o sustracción de fracciones que le dieron origen, veamos:

y = f(x) ab

a2

M=a

Capítulo VII:

Teorema del Binomioij

b2

ab 2

2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2

(a+b)(a-b) = a2-b2

EL BINOMIO DE NEWTON

80 ! = 80 × 79 ! ..80 ! = 80 × 79 × 78 ! .

80 ! = 80 × 79 × 78 × ... × 2 × 1

Es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios.

Igualdad de Factorial: I. Si: a ! = 1 ⇒ a = 0 ó a = 1 II. Si: a ! = b ! ⇒ a = b (a, b ≠ 0, 1)

Trata del desarrollo o expansión de: para "n" entero y positivo. Previamente estudiaremos algunos conceptos básicos necesarios para este capítulo.

Semifactorial Se representa por: N!! y su definición depende, si "N" es par o impar.

Factorial El factorial de un número "n" (entero y positivo), es el producto de multiplicar todos los números consecutivos desde la unidad hasta el número "n".

N = 2n(par) ⇒ (2n) !! = 2 × 4 × 6 × ... × 2n

Notación de Factorial n! : Factorial de "n" n : Factorial de "n"

N = 2n − 1(impar ) ⇒ (2n − 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2n − 1)

(2n)!! = 2n n !

( ) (2n − 1)!! = 2n !

2n n !

Por definición:

Álgebra

n ! = 1 × 2 × 3... × n; (n ≥ 2)

Observación: n!! → Semifactorial de "n"

Ejemplo: 3! = 1× 2 × 3 = 6 6 ! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720

(n!)! → Factorial de factorial de "n"" Ejemplo: (3!)! = 6 ! = 72 3 !! = 1 × 3 = 6

Definiciones: Factorial de cero: 0 ! = 1 Factorial de la unidad: 1! = 1 Propiedad:

ANÁLISIS COMBINATORIO PERMUTACIONES

n ! = n (n − 1) !

Permutar "n" elementos es formar grupos de "n" elementos cada uno, tal que un grupo se diferencia del otro por el orden:

Ejemplo:

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24

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Ejemplo: Formar combinaciones con: a, b, c, d, de 2 en 2.

Ejemplo: Pemutar: a, b, c (3 elementos) Formando grupos: a b c a c b  b a c b c a  # de permutas = 6 c a b c b a 

Tendremos: ab ac ad  # de combinaciones = 6 bc bd cd  NÚMERO COMBINATORIO

Número de Permutaciones Se representa por: Pn y se obtiene por la siguiente fórmula:

El número de combinaciones formadas se denominan número combinatorio, se representa por n

Pn = n !

Ck . Fórmula:

VARIACIONES Ejemplo:

Formar variaciones con "n" elementos tomados de "k" en "k". Es formar grupos de "k" elementos cada uno, de tal manera que un grupo se diferencia del otro en el orden, o en algún elemento.

n

C1 = 1

2.Combinatorios Complementarios n

n

Ck = Cn − k

n Vk :

3.Suma de Combinatorios

n!

n

n +1

n

Ck + Ck +1 = Ck +1

4.Degradación de Combinatorios

3!

V 2 = ( 3 − 2) ! = 6

n

n

n −1

Ck = k Ck −1

COMBINACIONES

n

Ck =

Formar combinaciones con "n" elementos tomados de "k" en "k". Es formar grupos de "k" elementos cada uno, tal que un grupo se diferencia del otro por lo menos en un elemento.

Academia Raimondi

n

Cn = 1

n

n −k +1 n Ck −1 k n

n −1

Ck = n − k Ck 25

... siempre los primeros

Álgebra

3

n

C0 = 1

V k = (n − k )!

Ejemplo:

24

1. Combinatorios iguales a la unidad

Tendremos: ab ac bc   # de variaciones = 6 ba ca cb  El número de Variaciones se representa por Fórmula:

4!

4

C 2 = ( 4 − 2) ! 2 ! = 2 × 2 = 6

Propiedades del Número Combinatorio

Ejemplo: Formar variaciones con: a, b, c, de 2 en 2.

n

n!

n

Ck = (n − k )! k !

Ejemplo: P4 = 4 ! = 24

Academia

Formulario de ÁLGEBRA FÓRMULA DEL TEOREMA DEL BINOMIO

Ejemplo: Halle el término que ocupa el lugar 40 en el desarrollo

(

Esta fórmula atribuida a Newton nos permite ob-

2 3 de: x − y

n

tener el desarrollo de ( x + a) , siendo "n" entero y positivo. (El aporte de Newton fue el desarrollo cuando "n" es negativo y/o fraccionario).

Solución:

60 − 39

60 ( 2 ) T39 +1 = C39 x

OTRAS DEFINICIONES Y FÓRMULAS

Ejemplo:

( x + a)4 = C04x 4 + C14x3a + C 24x 2a2 + C34xa3 + C 44a4 ( x + a) = x + 4 x a + 6 x a + 4 xa + a 4

3

2 2

3

I. Coeficiente Binómico: Otra manera de representar los coeficientes binómicos es mediante la expresión equivalente:

4

( x + a)4 = x 4 + 4ax3 + 6a2 x 2 + 4a3 x + a4

 n n  k  = Ck

n

Observaciones del desarrollo de ( x + a)

1. El número de términos del desarrollo, es el exponente del binomio aumentado en uno.

Donde: n ∈ ; k ∈ 

# términos = n + 1

Siendo su desarrollo:  n n (n − 1) (n − 2) ... [n − (k − 1)]  k  = k!

2. Si el binomio es homogéneo, el desarrollo será homogéneo del mismo grado.

3. Si los coeficientes del binomio son iguales, los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos, son iguales.

II. Fórmula para: n : negativo y/o fraccionario (1 + x )n →  −1 < x < 1; x ≠ 0

4. Recordando que la suma de coeficientes se obtiene para x = a = 1 , tendremos: n n n n C0 + C1 + C 2 + ... + Cn

Álgebra

(− y3 )39

60 42 117 T40 = −C39 x y

( x + a)n = Cn0xn + C1nxn−1a + Cn2xn− 2a2 + ... + Cnnan

4

)60

(1 + x )n =  n +  n x +  n x 2 +  n x3 + ...

n

 0

=2

 1

 2

 3

III. Número de términos de:

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL

(a1 + a2 + a3 + ... + ak )n ; n: entero y positivo

Se utiliza para obtener un término cualquiera del desarrollo en función del lugar que ocupa.

Se representa por: Tk+1

# términos =

Fórmula: En ( x + a)n

(n + k − 1)! n ! (k − 1) !

Coeficiente de = a1α a2βa3 γ ... ak φ =

Tk +1 = Ckn xn−k ak

n! α ! β ! γ !...φ !

Donde: n: exponente; k + 1: Lugar del término

Academia Raimondi

26

... siempre los primeros

y = f(x)

(a+b)(a-b) = a2-b2

ab

M=a

Capítulo VIII:

Radicaciónij

b2

ab 2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2 2

RADICACIÓN

Ejemplo:

Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada raíz, tal que elevada al índice resulte otra expresión llamada radicando o cantidad subradical.

* Son radicales homogéneos 3

Si:

n n

A =b⇒ b =A

a;

3

zw 2

a ⋅ n b ⋅ n c = n abc

* División

En donde: n A → radical  n A → radicando o cantidad subradical  b → raíz  n → radicall  → signo radical 

n

a

n

b

=n

a b

Radicales Semejantes Son aquellos que tienen índices y radicandos iguales. Estos radicales son los únicos en los que se puede efectuar la adición o sustracción.

Valor Aritmético de un radical

Ejemplos:

Es aquel valor real, positivo y único, que elevado al índice, reproduce al radicando.

* 54 xy ;

Observación:

14 xy ; a4 xy radicales semejantes.

2

Adición: 3 2 + 7 2 = 10 2

Cuando se tiene n A implícitamente nos están pidiendo el valor aritmético.

3 3 3 Sustracción: 11 4 − 8 4 = 3 4

Transformación de radicales dobles en simples

Debemos tener en cuenta la definición: x2 = x

I.Radicales de la forma:

A± B

Primer Método: Donde:

Radicales Homogéneos Son aquellos que tienen índices iguales. Es importante tener en cuenta que las operaciones de multiplicación y división, sólo se pueden efectuar entre radicales homogéneos.

Academia Raimondi

3

* Multiplicación

Veamos: n

xy ;

A± B =

A+C ± 2

A−C 2

C = A 2 − B debe ser racional, debe tener raíz cuadrada exacta.

27

... siempre los primeros

Álgebra

a2

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Sugerencia: como "x" es racional entero, es recomendable "tantear" con valores enteros de "x", en la ecuación (1).

5 + 24 en radicales

Ejemplo: Descomponer: simples.

Solución: Calculemos "C" ; donde: A = 5 ; B = 24 .

Ejemplo: Transformar:

C = 52 − 24 = 1 5 + 24 =

3

3

C = 102 − 108 = −2 Luego en (1): 4 x3 = 10 + 3 ( −2) x

a ± b ) = a + b ± 2 ab 2

4 x3 = 10 − 6 x → Se verifica para: x = 1

Veamos: A + B = a + b ± 2 ab = A + B = a + b ± 2 ab = 1 2

(

a + b) = a + b

(

a + b) = a + b

2

Ahora en (2): x 2 − y = −2 → 12 − y = 2 y=3

2

Reemplazando en (α ) : 3

Ejemplo:

II. Radicales de la forma:

Álgebra

10 + 108 = 1 + 3

8 − 60 en radicales simples.

Observación: El mismo método se utiliza para la forma:

8 − 60 = 5 + 3 − 2 5 ⋅ 3 = 5 − 3 1 2

3

10 + 108 = x + y ... (α )

como: A = 10 ; B = 108 , entonces:

Segundo Método Se forma trinomio cuadrado perfecto, recordemos que:

Descomponer:

10 + 108

Solución:

5 +1 5 −1 + 2 2

= 3+ 2

(

3

(

3

3

reemplazando en todas las ecuaciones: A por "A" y x por "x".

A± B

A ± B = x ± y ; x ∈ ; y ∈ +

)

RACIONALIZACIÓN

Los valores de "x" e "y" y se obtienen resolviendo las siguientes ecuaciones: 4 x3 = A + 3Cx ... (1)  2 ... (2)  x − y = C Donde: 3

C = A 2 − B → racional

Academia Raimondi

(3

A± B

Es el proceso que consiste en transformar el denominador irracional de una fracción; en otro que sea racional.

Factor racionalizador (F.R.) Es aquella expresión irracional que, al multiplicarla, por una cierta expresión irracional dada la transforma en racional.

exacta)

28

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Propiedad

II. Racionalización de Suma o Resta de Radicales con índice 2 o sus potencias

Para racionalizar una fracción bastará con multiplicar sus términos por el factor racionalizante del denominador.

En este caso, el factor racionalizante se obtiene utilizando la diferencia de cuadrados.

Casos de Racionalización

Recordemos:

(

I. Racionalización de Expresiones Monomiales En este caso, el factor racionalizante es homogéneo con la expresión para racionalizar, debe cumplirse que luego de la multiplicación los exponentes del radicando deben ser iguales al índice o al menor de sus múltiplos.

Ejemplo 1: Racionalizar el denominador de: Q =

k 4

x− y

Solución: Hallemos el primer factor racionalizador:

Ejemplo: Racionalizar el denominador de: N P= 7 4 12 x y

F.R.1 = 4 x + y

(4 x + y ) (4 x − y ) (4 x + y ) k (4 x + y ) Q= k

Q=

Solución: Hallemos el factor racionalizador:

⋅

x−y

F.R. = 7 x3 y 2

Ahora el segundo factor racionalizador: F.R.2 = x + y

P=

N 7

x 4 y12

7

⋅

Q= 7

x3 y 2

7

x3 y 2

xy 2

Ejemplo 2: Racionalizar el denominador de:

14

7

x+y

Esta es la expresión racionalizada.

A=

Finalmente la expresión racionalizada sería: N

k

x − y2

Se han escogido los exponentes de "x" e "y" de tal manera que el factor racionalizador sea divisible por 7.

P=

(4 x + y ) ⋅ (

) ( x − y) ( x + y) k (4 x + y ) ( x + y) Q=

Múltiplo de 7 Múltiplo de 7

a

2+ 3+ 5

Solución: En este caso debemos buscar agrupaciones convenientes: F.R. = 2 + 3 − 5

x3 y 2

Racionalizando:

Academia Raimondi

29

... siempre los primeros

Álgebra

Observe: 4+3 = 7 12 + 2 = 14

A + B )( A − B ) = A − B

Academia

Formulario de ÁLGEBRA A= A=

( 5) (

a

(

⋅

2+ 3+

Racionalizando:

2 + 3 − 5) 2 + 3 − 5)

R=

a( 2 + 3 − 5)

5 − 2 ( 10 + 15 ) − 5

A=−

R=

a( 2 + 3 − 5)

2 ( 10 + 15 ) a ( 2 + 3 − 5 ) ( 10 − 15 ) A=− 2 ( 10 + 15 ) ( 10 − 15 ) a ( 2 + 3 − 5 ) ( 10 − 15 ) A=−

Álgebra

P x−3y

7

7

M

7

7

⋅

x−b

2

Academia Raimondi

7

(7 x6 + 7 x5b + 7 x4b2 + ... + 7 b6 ) ( x − b ) (7 x6 + 7 x5b + 7 x 4b2 + ... + 7 b6 ) (7 x6 + 7 x5b + 7 x4b2 + ... + 7 b6 ) M R= ⋅ (7 x − 7 b ) (7 x6 + 7 x5b + 7 x 4b2 + ... + 7 b6 ) 7 7 7 7 M ( x 6 + x5b + x 4b2 + ... + b6 ) R= R=

Solución: Hallemos el factor racionalizador: F.R. = x 2 + x 3 y + 3 y

a ±nb

Racionalizando:

( A + B ) ( A − AB + B ) = A + B (3 A − 3 B ) (3 A 2 + 3 AB + 3 B 2 ) = A − B Racionalizar el denominador de: R =

x −y

7

2

Ejemplo:

)

F.R. = x 6 + x5b + x 4b2 + ... + b6

Recordemos: 3

3

) )

Solución: Hallemos el factor racionalizador:

En este caso, el factor racionalizante se obtiene utilizando la suma o diferencia de cubos.

3

2

y

2

Ejemplo: Racionalizar el denominador de: M R= 7 x −7b

III. Racionalización de suma o resta de radicales con índice 3 o sus potencias

2

P x2 + x3 y + 3 y

y

+3

(n a − n b ) (n an−1 + n an− 2b2 + n an−3b3 + ... + n bn−1 ) (n a + n b ) (n an−1 − n an− 2b2 + n an−3b3 − ... − n bn−1 )

x+y

Esta es la expresión racionalizada.

3

+

x3

2

En este caso, el factor racionalizante se obtiene utilizando cocientes notables, de la siguiente manera:

x − y2

3

2

+ x3 y + 3 y

n

) Q= ( x − y) ( x + y) k (4 x + y ) ( x + y) Q=

3

(

2

IV. Racionalización de Radicales de la forma

10

(4 x + y ) ⋅ (

x−3

(x y ) (x ⋅

En este última expresión se visualiza claramente el denominador racional.

Ahora el segundo factor racionalizador: F.R.2 = x + y k

(

P

Esta es la expresión con el denominador racionalizado.

30

... siempre los primeros

y = f(x)

(a+b)(a-b) = a2-b2

ab

M=a

Capítulo IX:

Números Complejosij

b2

ab

2

2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2

CANTIDADES IMAGINARIAS

(a + r )n = a° + r n

Se obtienen al extraer raíz de índice par a un número negativo.

Ejemplo:

−2;

4

−7;

6

(a − r )n = a° + r n (n → par )

−4; ... etc.

(a − r )n = a° − r n (n → impar )

Unidad Imaginaria

Ejemplo:

La unidad imaginaria se obtiene al extraer raíz cuadrada de −1 , y se representa de la siguiente manera:

1112 910

i

1112 ( 4o +1)10

=i

=i

4o +110

1112

o +1

= i4

=i

NÚMEROS COMPLEJOS

−1 = i

Son aquellos números que tienen la forma:

también se define como:

z = a + bi = (a; b) ; a, b ∈ 

i2 = −1

Donde: a = Re( z ) se llama, parte real de z  maginaria de z b = Im( z ) se llama, parte im

Potencias de la Unidad Imaginaria i1 = i

i3 = −i

i2 = −1

i4 = 1

Clasificación de los Complejos

Propiedades:

Complejos Conjugados ( Z ) Son aquellos que sólo difieren en el signo de la parte imaginaria.

4n 1. i = 1; n ∈ 

(

)

Ejemplo: i480 = i4 120 = 1

Ejemplo:

2. i4n+ k = ik ; (n; k ∈  )

z = 3 + 4i ; su conjugado es: z = 3 − 4i

Ejemplo:

Complejos Opuestos (Zop)

i−10 = i−3( 4 )+ 2 = i2 = −1

Son aquellos que sólo difieren en los signos de la parte real e imaginaria, respectivamente.

Observación: Es conveniente recordar las siguientes propiedades aritméticas.

Ejemplo: z = 5 − 2i ; su opuesto es: zop = −5 + 2i

i47 = i4(11)+ 3 = i3 = −i

Academia Raimondi

31

... siempre los primeros

Álgebra

a2

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Complejos Iguales

Ejemplo: Graficar: z1 = 3 + 4i

Son aquellos que tienen partes reales e imaginarias, respectivamente, iguales.

z2 = 5 − 3i En el plano Gaussiano:

Ejemplo: De la igualdad: a + bi = 8 − 11i tenemos: a = 8 ; b = −11

Im

Eje imaginario

Complejo Nulo

5

Si: a + bi , es nulo, entonces a + bi = 0 Luego: a = 0 ; b = 0

Eje real

z 2 = (5; -3)

-3

Es aquel cuya parte real es igual a cero y su parte imaginaria distinta de cero.

Re

3

Origen

Complejo Imaginario Puro

Si: a + bi , entonces es imaginario puro ⇒ a = 0

Observación: Cada complejo se representa por un punto en el plano al cual se le llama afijo del complejo.

Complejo Real

II. Representación Polar o Trigonométrica:

Si un complejo es real, entonces su parte imaginaria es igual a cero:

En este caso, el complejo adopta la forma: z = ρ (Cosθ + iSenθ)

Si: a + bi , entonces es real ⇒ b = 0

Donde: ρ → módulo; ρ > 0 θ → argumento; 0 ≤ θ ≤ 2π

Representación de los Complejos I. Representación Cartesiana o Geométrica

Gráfica del Complejo

En este caso, el complejo está representado de la forma:

Álgebra

z1 = (3; 4)

4

Son aquellos que tienen su parte real e imaginaria, respectivamente, iguales a cero.

En este caso, se utiliza el sistema de coordenadas polares el cual está formado por un punto fijo llamado polo y una semirecta que parte del polo, llamado eje polar. El módulo (r) es la distancia del polo al punto que representa el complejo y el argumento (q) el ángulo positivo medido en sentido antihorario desde el eje polar hasta el  radio vector OZ .

z = a + bi Gráfica del Complejo Cada complejo es un punto en el plano, para ubicarlo se le representa en el llamado plano complejo, Gaussiano o de Argand, el cual está formado por un eje vertical (eje imaginario) y un eje horizontal (eje real).

Academia Raimondi

Graficar: z = 5 (Cos40° + iSen40°) En el sistema de coordenadas polares:

32

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA * 3 + 4i = 5 (Cos53° + iSen53°)

Z (5; 40º)

O

ρ=5

2. Transformar: z = 6 (Cos37° + iSen37°)

40º

z = 6 (Cos37° + iSen37°)

polo

 4 3 z = 6 + i   5 5

eje polar

z=

Relación entre la Representación Cartesiana y Polar

(a,

Sea el complejo: z = a + bi

III. Representación de Euler

b > 0)

En este caso, se tiene:

Im

ρ (Cosθ + iSenθ) = ρeiθ

z

b θ Polo

Expresado en radianes

Se cumple:

ρ

Origen

24 18 + i 5 5

Eje real positivo

a

Cosθ + iSenθ = eiθ

Re

Siendo: e = 2, 71828.... (base de los logaritmos naturales).

Eje polar

Asimismo: En la figura: ρ = a2 + b2  a = ρCosθ  b = ρSenθ  b  θ = ArcTan a

a + bi = ρ (Cosθ + iSenθ) = ρeiθ OPERACIONES CON COMPLEJOS I. Operaciones en forma cartesiana

Se utilizan las mismas reglas algebraicas.

Para transformar de cartesiana a polar se calcula ρ y θ . En el caso inverso, se calcula el valor de la función trigonométrica.

Ejemplo: (3 + i) (3 + 2i) − (5 − 4i) Solución: = 9 + 6i + 3i + 2i2 − 5 + 4i = 2 + 13i

Aplicación: 1. Transformar: z = 3 + 4i

b) División

2 2 * ρ= 3 +4 =5 4 * θ = ArcTan = 53° 3

Academia Raimondi

Se multiplica el numerador y denominador por el complejo conjugado de este último.

33

... siempre los primeros

Álgebra

a) Adición y multiplicación

a + bi = ρCosθ + (ρSenθ) i

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Ejemplo:

a = −3   ⇒ 5 + 12i = −3 − 2i b = −2 

Dividir: 2 + 3i por 3 + i z=

2 + 3i 3 + i 6 + 7i − 3i2 ⋅ = 3+i 3+i 9 − i2

z=

9 + 7i 10

z=

9 7 + i 10 10

Observación: * 1 ± i = ±2i 1+ i * 1− i = i 1− i = −i * 1+ i Operaciones en forma polar

c) Potenciación:

a) Multiplicación:

Se utiliza el teorema del binomio.

En este caso, los módulos se multiplican y los argumentos se suman. z1 = ρ1 (Cosθ1 + iSenθ1)

Ejemplo 1:

(2i + 3)2 = 4i2 + 12i + 9 = −4 + 12i + 9 = 5 + 12i

z2 = ρ2 (Cosθ2 + iSenθ2 )

z1z2 = ρ1ρ2 Cos (θ1 + θ2 ) + iSen (θ1 + θ2 )

Ejemplo 2:

(3 − 2i)3 = 33 − 3 (3)2 (2i) + 3 (3) (2i)2 − (2i)3 = 27 − 54i + 36 ( −1) + 8i

b) División: En este caso, los módulos se dividen y los argumentos se restan. z1 = ρ1 (Cosθ1 + iSenθ1)

= −9 − 46i d) Radicación:

z2 = ρ2 (Cosθ2 + iSenθ2 )

Álgebra

En general se asume que la raíz adopta la forma (a + bi) ; luego a y b se hallan por definición de radicación.

z1 ρ1 Cos (θ1 − θ2 ) + iSen (θ1 − θ2 ) = z2 ρ2 

Ejemplo: 5 + 12i 5 + 12i = a + bi

c) Potenciación: En este caso, el exponente eleva al módulo y multiplica al argumento.

Elevando al cuadrado: (5 + 12i) = a2 − b2 + 2abi Igualando: 5 = a2 − b2; 12 = 2ab

[ρ (Cosθ + iSenθ)]n = ρn [Cosnθ + iSennθ]n

Resolviendo: a = 3  ⇒ 5 + 12i = 3 + 2i b = 2

Academia Raimondi

34

... siempre los primeros

y = f(x)

(a+b)(a-b) = a2-b2

ab

M=a

Capítulo X:

Ecuaciones de Primer yij 2 D = bSegundo - 4acGrado

b2

ab 2

2

ab+b

(a+b) =a +2 2

ECUACIONES

la incógnita, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas. (Esto se evita simplificando previamente).

Son igualdades condicionales, en las que al menos debe existir una letra llamada incógnita:

Ejemplo:

Ejemplo: 2x − 1 = 7 + x

Resolver:

Es una ecuación de incógnita "x".

x2 − 1 =5 x −1

( x − 1) pasa a multiplicar: x 2 − 1 = 5 ( x − 1)

Solución de una ecuación

Resolviendo: ( x + 1) ( x − 1) = 5 ( x − 1)

Es el valor o valores de la incógnita que reemplazados en la ecuación, verifican la igualdad.

x +1= 5 x=4

Si la ecuación tiene una sola incógnita a la solución también se le llama raíz.

Obtenemos dos soluciones: Esta solución no verifica x = 1  x = 4 Solución correcta a 

Ejemplo: x − 3 = 10 Solución o raíz: x = 13 Observaciones:

Pero esta es la manera correcta: ( x + 1) ( x − 1) =5 ( x − 1)

1. Si de los dos miembros de una ecuación se simplifican o dividen, factores que contengan a la incógnita, entonces, se perderán soluciones. (Esto se evita, si la expresión simplificada se iguala a cero).

x +1= 5 x=4

Ejemplo: Resolver: ( x + 1) ( x − 1) = 7 ( x − 1)

Observe que este procedimiento nos permite hallar una única solución

Solución: Simplificando: ( x + 1) ⇒ x + 1 = 7 → x = 6

3. Si ambos miembros de una ecuación se elevan a un mismo exponente, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas.

Para no perder una solución: x −1= 0 ⇒ x = 1

Ejemplo:

Elevando al cuadrado:

(

2. Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una expresión que contiene a

Academia Raimondi

x2 + 7 = x − 7

35

x2 + 7

)2 = ( x − 7)2

... siempre los primeros

Álgebra

a2

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Resolución de la Ecuación:

x 2 + 7 = x 2 − 14 x + 49 14 x = 42 x=3 Esta solución no verifica la ecuación, por lo tanto es una solución extraña. Podemos afirmar que la ecuación no tiene solución, es incompatible.

1. Por Factorización: * Resolver la ecuación:

x2 − x − 6 = 0

Solución: Factorizando:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

x=3  x = −2

( x − 3) ( x + 2) = 0 ⇒ 

Son aquellas ecuaciones que adoptan la forma:

C.S. = {3; − 2}

ax + b = 0 Solución de la ecuación: En: ax + b = 0 b Solución o raíz: x = − a

* Resolver la ecuación:

4x2 − 9 = 0

Solución: Factorizando:

Discusión de la raíz

3   x = − 2 (2x + 3) (2x − 3) = 0 ⇒  x = 3  2

b En: ax + b = 0 → raíz : x = − a Entonces: Si: a = 0; b = 0 → Ec. Indeterminada Si: a = 0; b ≠ 0 → Ec. Incompatible Si: a ≠ 0 → Ec. Determinada.

{

3 3 C.S. = − ; 2 2

2. Por la Fórmula General:

Ejemplo: Hallar, "a" y "b", si la ecuación: (a − 3) x + b = 5 , es indeterminada.

Si: x1; x 2 son las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0

Álgebra

5−b Solución: x = a−3

Estas se obtienen a partir de la relación:

si es indeterminada: 5−b = 0 → b = 5 a−3 = 0 → a = 3

x=

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

−b ± b2 − 4ac 2a

Ejemplo: * Resolver la ecuación:

Forma General:

3 x 2 − 2x − 4 = 0

2

ax + bx + c = 0

Observe que: a = 3; b = −2; c = −4

Donde: x: incógnita, asume dos valores a, b ∧ c ∈  / a ≠ 0

Academia Raimondi

}

x=

36

2 − ( −2) ± ( −2) − 4 (3) ( −4) 2 (3 )

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA 2 ± 52 2 ± 2 13 = 6 6

x=

1 ± 13 3

Se tiene: x1 + x 2 = − x1 ⋅ x 2 =

1 + 13 1 − 13   C.S. =  ; 3   3

1 2

Observación: para determinar la diferencia de las raíces se recomienda utilizar la identidad de Legendre.

Discriminante ( ∆ ) dada la ecuación cuadrática

( x1 + x2 )2 − ( x1 − x2 )2 = 4 ( x1 ⋅ x2 )

en "x": ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 . Se define como: ∆ = b2 − 4ac

Casos Particulares: dada la ecuación cuadrática en "x", ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 de raíces x1; x 2 si éstas son:

* Para la ecuación: 2x 2 − 5 x + 1 = 0 su discriminante es: 2

∆ = ( −5) − 4 (2)(1) ∆ = 25 − 8

1. Simétricas, se cumple: x1 + x 2 = 0 2. Recíprocas, se cumple: x1 ⋅ x 2 = 1

∆ = 17

Reconstrucción de la Ecuación Cuadrática en "x": siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación:

Propiedad del Discriminante: el discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces presenta; es decir:

x 2 − sx + p = 0

1. Si: ∆ > 0 , la ecuación tiene raíces reales y diferentes.

2. Si: ∆ = 0 , la ecuación tiene raíces reales e iguales.

3. Si: ∆ < 0 , la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas.

Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes: Dadas: ax 2 + bx + c = 0

a1x 2 + b1x + c1 = 0 Se cumple:

Relación entre las Raíces y los Coeficientes (propiedades de las raíces) de una ecuación cuadrática: Si x1; x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x".

a b c = = a1 b1 c1

ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0

Ecuaciones Cuadráticas con una raíz común: Dadas:

Se cumple:

ax 2 + bx + c = 0

b a c 2. Producto: p = x1 ⋅ x 2 = a 1. Suma: s = x1 + x 2 = −

a1x 2 + b1x + c1 = 0 Se cumple:

(ab1 − a1b) (bc1 − b1c ) = (ac1 − a1c )2

*Para la ecuación: 2x 2 − 10 x + 1 = 0

Academia Raimondi

−10 =5 2

37

... siempre los primeros

Álgebra

x=

y = f(x) ab

a2

M=a

Capítulo XI:

Ecuaciones de Grado Superiorij

b2

ab

2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2 2

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

se cumple: k

Sk = ( −1) ⋅

Toda ecuación polinomial P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio de cualesquiera coeficiente numérico de grado mayor que la unidad, tiene por lo menos una raíz generalmente compleja.

2x3 + 5 x 2 + 10 x − 1 = 0

x1 + x 2 + x3 = −

* x 2 − x + 5 = 0 tiene 2 raíces * x7 + x = 1 tiene 7 raíces

5 2

x1x 2 + x1x3 + x 2 x3 =

10 =2 2

−1 1 = 2 2

Teorema de Cardano - Viette:

x1x 2 x3 = −

Dada la ecuación polinomial de grado "n", cuya estructura es:

Teoremas Adicionales:

a0 xn + a1xn−1 + a2 xn− 2 + a3 xn− 3 + ... + an = 0

1. Paridad de raíces imaginarias: Sea P( x ) = 0 una ecuación polinomial, donde P(x) es un polinomio de coeficientes reales, si una raíz de la ecuación es el número imaginario a + bi , otra raíz será a − bi .

Si sus raíces son: x1; x 2; x3 ; ..., xn Se cumple: 1. Suma de raíces: x1 + x 2 + x3 + ... + xn = −

2. Paridad de raíces irracionales: Sea P( x ) = 0 una ecuación polinomial, donde P(x) es un polinomio de coeficientes racionales, si una raíz de la ecuación es el número irracional: a + b / a ∈  ∧ b ∈  ' , entonces, otra raíz será: a− b .

a1 a0

2. Suma de productos binarios: a x1x 2 + x 2 x3 + x3 x 4 + ... + xn−1xn = 2 a0 3. Suma de productos ternarios: x1x 2 x3 + x 2 x3 x 4 + x3 x 4 x5 + ... + xn− 2 xn−1xn = −

ECUACIÓN DE TERCER GRADO: (CÚBICA) Forma general: ax3 + bx 2 + cx + d = 0 ... (1)

a3 a0

Donde: x: incógnita, asume tres valores: a, b, c ∧ d ∈  / a ≠ 0

En general, si " Sk " representa la suma de los productos de las raíces tomadas de "k" en "k",

Academia Raimondi

ak a0

Veamos un ejemplo para la ecuación:

Corolario: Toda ecuación polinomial de grado "n" tiene exactamente "n" raíces.

Álgebra

(a+b)(a-b) = a2-b2

38

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Propiedad de las Raíces: Siendo "m" y "n" las raíces no simétricas de la ecuación bicuadrada

b Si en la forma general se sustituye "x" por x − 3a , se obtiene la siguiente ecuación:

ax 4 + bx 2 + c = 0 , se cumple: b I. m2 + n2 = − a c 2 2 II. m n = a

x3 + px + q = 0 ... (2) cuyo discriminante se denota por D y se define según la relación:

Reconstrucción de la ecuación bicuadrada en "x":

2

Siendo "m" y "n" las raíces no simétricas, tenemos:

Con lo cual las raíces de (2) se obtienen según: q q x1 = 3 − + D + 3 − − D 2 2

x 4 − (m2 + n2 ) x 2 + m2n2 = 0

x2 = 3 −

q q + D ⋅ W + 3 − − D ⋅ W2 2 2

ECUACIÓN BINOMIA

x3 = 3 −

q q + D ⋅ W2 + 3 − − D ⋅ W 2 2

Forma general:

siendo: W = −

axn + b = 0

1 3 + i / i = −1 2 2

Donde: x: incógnita, asume "n" valores. a ∧ b ∈ / a ≠ 0 ∧ b ≠ 0

Observación: Es recomendable utilizar el proceso anterior siempre y cuando la ecuación dada no pueda resolverse por factorización.

Observación: Para resolver una ecuación binomia, se podrá aplicar algún producto notable, cierto criterio de factorización o la radicación de los números complejos.

Ecuación Bicuadrada: Es aquella ecuación polinomial de cuarto grado que presenta la siguiente forma:

ECUACIÓN TRINOMIA

ax 4 + bx 2 + c = 0

Forma general:

Donde: x: incógnita, asume cuatro valores a, b ∧ c ∈  / a ≠ 0

ax 2n + bxn + c = 0 Donde: x: incógnita, asume "2n" valores. n ∈  / n ≥ 2 a ∧ b ∧ c ∈  / a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

Teorema del Conjunto Solución Toda ecuación bicuadrada:

ax 4 + bx 2 + c = 0 , donde "m" y "n" son dos raíces no simétricas presenta por conjunto solución.

Observación: Para resolver una ecuación trinomia se recomienda que, en la forma general, se realice el siguiente cambio: xn por "y", con lo cual la ecuación sería:

C.S. = {m; − m; n; − n}

Academia Raimondi

39

... siempre los primeros

Álgebra

3

 q  p D =   +   2  3

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Una ecuación que no se reduce a una ecuación algebraica mediante transformaciones algebraicas se denomina ecuación trascendente, de otra manera, una ecuación H(x) = j(x) se llama trascendente , si por lo menos una de las funciones H(x) o j(x) no es algebraica. Estas ecuaciones conllevan logaritmos de cualquiera base de las incógnitas; las incógnitas como exponentes o como argumentos de expresiones trigonométricas. Su solución es posible gracias al análisis numérico, programación y algunos métodos como el de Newton Raphson o el de las tangentes.

ay 2 + by + c = 0 Donde los valores de "y" se podrían obtener, según los criterios vistos en la resolución de una ecuación cuadrática, para finalmente resolver la siguiente ecuación binomia: xn = y

Ecuación Recíproca: P( x ) = 0 , será una ecuación recíproca, si P(x) es un polinomio cuyos coeficientes de sus términos equidistantes son iguales.

Ejemplos:

x • xe = 1

Ejemplos:

x x +1 x • 5 = 9 ⋅ 3

2

* 2x + 5 x + 2 = 0 3

t +1 t −2 t −3 • 7 = 49 + 343 3 log11 (5 y − 1) + log11 (8 y − 7) = 1 • 1 2 • Cos x = Senx + 3 • 2sht = 5cht + 7 π 2 • Arcsenx + 2x = 4 −8r = 2r + 1 • re

2

* x + 4x − 4x − 1 = 0

4 3 2 * 5 x − 2x + 7 x − 2x + 5 = 0

5 4 3 2 * 4 x + 3 x + 2x + 2x + 3 x + 4 = 0

Propiedades: 1. En toda ecuación recíproca, se cumple que si: 1 r ≠ 0 es una raíz, entonces, otra raíz será . r 2. Toda ecuación recíproca de grado impar acepta como raíz a 1 ó − 1 .

3. Si: P( x ) = 0 es una ecuación recíproca de grado "n", se verifica lo siguiente:

• Coshx + ln (2x − 5) = 2

ECUACIÓN DIFERENCIAL Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología.

Álgebra

 1 P( x ) = xn ⋅ P    x ECUACIÓN TRASCENDENTE Una ecuación trascendente es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas propias del álgebra.

Ejemplos: x2

d2 y dy − 4 xy 2 = 2 dx dx

3 xy '+ 2x 2 y ''+ xy = 0

Academia Raimondi

40

... siempre los primeros

y = f(x) ab

M=a

Capítulo XII:

Matrices y Determinantesij

b2

ab 2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2 2

MATRICES

Donde: aij es el elemento genérico, ubicado en la fila "i", columna "j".

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.

En forma abreviada se tendrá:

Para representar a una matriz, se utiliza letras mayúsculas.

A = aij  m ×n

Ejemplos:

*

*

2 3 1 A=  0 − 1 2 

1. Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene una sola fila. *[1 5 7 10] 2. Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene una sola columna. 2 4   A = * 5    7 

− 1 0 3   1 1 B= 5  4 − 2 0  

Orden de una Matriz Viene dada por la representación , donde "m" es el número de filas y "n" el número de columnas de la matriz. Para los ejemplos citados anteriormente, tenemos: *A es una matriz de orden 2 *B es una matriz de orden 3 Forma General "n" Columnas:  a11   a 21 A =  a 31    a  m1

3. Matriz Rectangular: Es aquella matriz, donde el número de filas y el número de columnas son diferentes. 1 2 3 * A = 4 − 2 − 1  

3 3

4. Matriz Cuadrada: Es aquella matriz, donde el número de filas y el número de columnas son iguales. 2 4  * A = 1 7   

de una Matriz de "m" filas y

a12 a 22

am2

Academia Raimondi

j = 1, 2, 3, ... , n = 1;n n

Matrices Especiales

c o l u m n a

Fila

i = 1, 2, 3, ... , m = 1; m

a13  a1n   a 23  a 2n  a 3n      a mn   m× n

5. Matriz Nula: Es aquella matriz, donde todos sus elementos son iguales a cero. 0 0 0  * A = 0 0 0   

41

... siempre los primeros

Álgebra

a2

(a+b)(a-b) = a2-b2

Academia

Formulario de ÁLGEBRA 0 0 0    * A = 0 0 0  0 0 0   

K.A = K. aij 

 2 1 4  2 1 4 A=   ⇔ 2.A = 2 .  − 2 1 3 − 1 3 2  

Dadas las Matrices: A = [a ij]m× n ∧ B = [bij]m× n

 4 2 8 ∴ 2A =   − 2 6 4 

si estas son iguales, es decir: A = B, se verifican simultáneamente las condiciones:

II.2 Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna.

I. A y B son de igual orden: m × n .

II. Los elementos correspondientes son iguales: aij = b ji; ∀ i, j

Sean: A = [a11 a12 a13 .... a1n ]

Operaciones con Matrices

 b11     b 21    B =  b31       b  1 n  

I. Adición: Dadas las matrices de igual orden A = [a ij]m× n ∧ B = [bij]m× n se define: A + B = aij  + b  = aij+ bij  mxn  ij mxn mxn 

Se define: A.B =  A11.b11 + a12.b21 + a13 − b31 + .. + a1n.bn1

*Hallar la matriz A + B, a partir de: 2  1 2 5 1 3 A=   ∧ B=  − 1 4 3 0 − 1 2

*Multipliquemos A por B, donde:

2 1 3  1 2 5  A+B =   + 0 − 1 2 − 1 4 3

Álgebra

= K.aij  mxn

* Multipliquemos por 2 a la matriz.

Igualdad de Matrices:

2   A = [2 1 3] ∧ B = 4    6 

(2 + 1) (1 + 2) (3 + 5) A+B =   (0 − 1) (−1 + 4) (2 + 3)

2   A.B = [2 1 3] . 4    6 

 3 3 8 ∴A+B =   − 1 3 5

A . B = [(2).(2)+(1).(4)+(3).(6)]

II. Multiplicación:

A . B = [4+4+18]

II.1 Multiplicación de un escalar por una matriz.

A = [a ij]m× n ∧ k ε R Sean: , se define:

Academia Raimondi

mxn

A . B = [26]

III.3 Multiplicación de las Matrices Dadas las matrices A y B, existe el producto matricial de A por B denotado por A.B, si se verifica

42

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Teoremas: Sean A, B y C matrices para las cuales se define la adición y/o multiplicación, además al escalar "k".

lo siguiente: # de columnas de A = # de filas de B

n

1.K . (A+B) = K . A + K . B 2.A + B = B + A 3.A . B . C = (A.B).C = A.(B.C) 4.A.(B+C) = A.B + A.C 5.A.B = 0 no implica A = 0 B=0 6.A.B = A.C no implica B = C

= C m ×n

* Veamos un Ejemplo: 2 − 2  2 − 1 5 A=   ∧ B= − 2 3 1 1 3   

Propiedades: Sean las matrices A y B, de modo que existen A.B y B.A.

¿Existe A . B?, veamos: A tiene orden 2 2 B tiene orden 2 3

# col = 2 # fil = 2

1. Si: A.B = B.A, se dice que A y B son matrices conmutables.

2. Si: A.B = -B.A se dice a A y B son matrices anticonmutables.

como: # col de A = # fil de B se afirma que si existe A . B, cuyo orden es de 2 3.

III. Potenciación: Siendo A una matriz cuadrada y "n" un entero positivo, se define:

 2 − 1  2 − 2 5  A .B =    . 1 1 2 3 3 Ahora se multiplica de forma similar que el caso (II.2).

;n=1 A An =   A.A.A. ..... . A ; n ≥ 2 "n" veces

(2).( 2) + (−1).(1) (2).( −2) + (−1).( 2) (2)(5) + (−1)(−3) A.B =   (3)(5) + (1)(3)   (3).( 2) + (1)(1) (3)(−2) + (1).( 2)

 2 − 1 *Hallar A 2 si: A =   1 3  2 − 1  2 − 1 A 2 = A. A =   .  1 1 3 3

4 − 1 − 4 − 2 10 + 3 A.B =   6 + 1 − 6 + 2 15 − 3 3 − 6 13 ∴ A.B =   7 − 4 12

(2)(2) + ( −1) (3) (2) ( −1) + ( −1)(1) A2 =  (3) ( −1) + (1)(1)   (3) (2) + (1) (3)

¿Existe B.A?, veamos: # col de B = 3 y # fil de A = 2 como: # columnas de B ≠ # filas de A

 1 − 3 4 − 3 − 2 − 1 2 A2 =    ∴A =  9 − 2 6 + 3 − 3 + 1

Se podrá afirmar que BA no existe.

Transpuesta de una Matriz Dada una matriz A, existe su matriz transpuesta

En general: El producto matricial no es conmutativo.

Academia Raimondi

T

denotada por A y definida como aquella matriz que se obtiene al transformar todas las filas de A en columnas.

43

... siempre los primeros

Álgebra

luego: Am × p.Bp ×

Academia

Formulario de ÁLGEBRA recibe el nombre de Diagonal Secundaria (D.S.).

A = aij  ⇒ A T = aij  mxn nxm

Traza de A (Traz(A)) Se denomina así, a la suma de todos los elementos de la diagonal principal.

*Veamos un Ejemplo:

2 0 2 1 4   T A=  ⇒ A =  1 − 1 0 − 1 5   5  4

Traz( A ) = a11 + a22 + a33 + ... + ann *Para la matriz  2  A= 1  − 1

Propiedades: Siendo A y B matrices, y el escalar "K".

D.P. Traz(A) = (2)+(8) + (-4) Traz(A) = 6

T T T 1. (A + B) = A + B T T 2. (K .A) = K .A T T 3. (A ) = A

Propiedades:

T T T 4. (A.B) = B . A

Siendo A y B matrices y el escalar "K".

Estudio de las Matrices Cuadradas

Álgebra

A=

a11 a12 a13

a1n

a 21 a 22 a 23

a 2n

a 31 a 32 a 33

a3n

a n1 a n 2

a nn

DS

1.Traz (A+B) = Traz(A) + Traz(B) 2.Traz (K . A) = K . Traz (A) 3.Traz (A . B) = Traz (B . A) Matrices Cuadradas Especiales 1. Matriz Diagonal: Es aquella matriz no nula, donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.

Ejemplos:

2 0 0   = A 0 1 0  *   0 0 3 

n×n

DP

3 0 0   * B = 0 5 0    0 0 0 

Observaciones: 1. Toda matriz cuadrada de "n" filas y "n" columnas es de orden "n".

2. La diagonal trazada de izquierda a derecha recibe el nombre de Diagonal Principal (D.P.).

3. La diagonal trazada de derecha a izquierda

Academia Raimondi

4  7 0 − 4 

5 8

2. Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

44

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA 4 0 0   * A =  0 4 0 0 0 4  

3. Matriz Idempotente: Si A es una matriz idempotente, verifica:

3. Matriz Identidad (I): Es aquella matriz escalar donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

Ejemplo:

A2 = A 4. Matriz Involutiva: Si A es una matriz involutiva, verifica:

 1 0 0   * I = 0 1 0  0 0 1  

A 2 = I;(matrizidentidad)

5. Matriz Nilpotente: Si A es una matriz nilpotente, verifica:

4. Matriz triangular Superior: Es aquella matriz donde solamente todos los elementos ubicados debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:  5 4 2   = A  0 1 7 *  0 0 4  

A p = 0;(matriznula) p: índice de nilpotencia.

DETERMINANTES Un determinante es la relación funcional que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en un escalar (número real).

5. Matriz Triangular Inferior: Es aquella matriz donde solamente todos los elementos ubicados encima de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo: 3 0 0    = 1 4 0  A *  2 − 1 8   

Si A es una matriz cuadrada, su determinante se denota así: det(A) o |A|.

Determinante de Orden Uno

Características Notables de algunas Matrices Cuadradas:

a b  a b A=  → |A| = c d c d 

1. Matriz Simétrica: Si A es una matriz simétrica, verifica:

A = a.d − b.c

AT = A

Determinante de Orden Tres:

2. Matriz Antisimétrica: Si A es una matriz antisimétrica, verifica:

a b c    A = d e f    g h i 

AT = −A

Según, la Regla de Sarrus:

Academia Raimondi

45

... siempre los primeros

Álgebra

Ejemplo:

Academia

Formulario de ÁLGEBRA

c.e.g +

f.h .a i.b.d

a

b

e

d

e

f

g

h

i

a

b

c

d

e

f

+=N

A13 = (−1)1+ 3

a.e.i

d.h.c g.b.f

El menor complementario de la componente (elemento) denotado por Mij es el determinante de la matriz que resulta al eliminar la fila "i" y la columna "j" de la matriz dada.

Para:  2  A= 5   1

∴ C13 = 5 Teorema: El determinante de una matriz será igual a la suma de los productos obtenidos al multiplicar todos los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos cofactores.

Para:

2  A = 1  3

1 − 3  5 − 2 2 1

con los elementos de la primera fila: 4 3 -2

-1  2 3

el menor complementario de a2 = 4 es: 5 2 M12 = = (5).( 3) − (1).( 2) 1 3

M12 = 15 − 2 ∴ M12 = 13 Cofactor de una Componente

Álgebra

C13 = 3 + 2

+=M

Menor Complementario de una Componente

1 −1 3 2

A13 = (1) .[(1).( 3) − (2).( −1)]

+

A = M−N

M13 = (−1)4 .

El cofactor de la componente (elemento) aij denotado por A ij , se define de la manera siguiente: A ij = ( −1)i+ j.Mij Para:  2 -3  A =  1 -1   2 3

5  4  2 

el cofactor de la componente a13 es:

Academia Raimondi

| A |= 2 .

1 5 1 −2 5 −2 + (−3) . − 1.

3 2 1 3 1 2

|A| = (2)(9) - (1)(7) + (-3)(-13) |A| = 18 - 7 + 39 ∴ | A | = 50 Observación: Para aplicar el teorema anterior, se recomienda escoger la fila (o columnas) que presente más ceros.

Propiedades: Dadas las matrices cuadradas A y B, y el escalar "K".

1. |A . B| = |A| . |B| T 2. | A | = | A | n 3. | K . A |= K .| A | ; "n" orden de A. 4. Si dos filas (o columnas) son proporcionales, el determinante será igual a cero.

5. Si todos los elementos de una fila (o columna) son ceros, el determinante será igual a cero.

6. Si se permutan dos filas (o columnas) consecutivas, el determinante cambia de signo.

46

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA 7. El determinante no varía si a todos los elementos de una fila (o columna) se les aumenta un múltiplo de otra.

8. El determinante de una matriz triangular superior, triangular inferior y diagonal se obtiene multiplicando todos los elementos de la diagonal principal.

Propiedades: Sean A y B matrices cuadradas no singulares y el escalar "K".

Determinante de Vandermonde

4. (K . A) −1

= K −1. A −1

| = | A |−1 = 1 |A|

Cálculo de Matrices Inversas 1.De orden uno

A = [a] → A −1 = [ 1 ] ; a =/ 0 a

2.De orden tres:

b2

= B −1. A −1

−1 −1 3. (A ) = A

5.| A

1 1 = b−a a b

1 b

−1

2. (A . B)

−1

1.De orden dos:

1 a a2

1. A . A −1 = A −1. A = I

1 c = (c − b)(c − a)(b − a) c2

2.De orden dos a b  1 .  d − b −1 A=   →A = a c d A | − c |  

3.De orden cuatro: 1 1 1 1

a b c d = (d − c)(d − b)(d − a)(c − b)(c − a)(b − a) a 2 b2 c 2 d 2 a 3 b3 c 3 d 3 Una matriz cuadrada A es no singular, si, |A| 0, asimismo, si: |A| = 0, la matriz A será singular.

Observación: Para matrices de orden mayores o iguales a tres se recomienda utilizar el método de GaussJordan, el cual consiste en construir una matriz ampliada (A I) donde por operaciones elementales debemos encontrar otra matriz ampliada (I B), con lo cual se podrá afirmar que B es la inversa de A, es decir: B = A −1

MATRIZ INVERSA

Álgebra

Dada una matriz cuadrada no singular A, si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden, tal que: A . B = B . A = I (matriz identidad), entonces, definimos B como matriz inversa de A y lo denotamos por .

Teorema: Una matriz cuadrada tiene inversa, si y sólo si, es una matriz no singular; en tal caso se dice que la matriz es inversible.

Academia Raimondi

47

... siempre los primeros

y = f(x)

(a+b)(a-b) = a2-b2

ab

a2

M=a

Capítulo XIII:

Sistemas de Ecuacionesij

b2

ab 2

2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2

SISTEMAS LINEALES

x + 2y − z = 0 ....... (1)  2x + y + z = 0 ....... (2) x − 3 y − 2z = 0 ..... (3) 

Forma General: Consideremos un sistema lineal de "m" ecuaciones con "n" incógnitas.

Un sistema lineal homogéneo siempre es compatible donde una de sus soluciones es la solución trivial (cada incógnita es igual a cero). Para el ejemplo:

..........

..........

a11x1 + a12x 2 + a13x 3 + ......... + a1n x n = b1  a 21x1 + a 22x 2 + a 23x 3 + ......... + a 2nx n = b 2     a m1x1 + a m 2x 2 + a m3 + x 3 + ... + a mn x n = bn 

Solución trivial = (0; 0; 0).

Asimismo, el sistema lineal homogéneo puede tener otras soluciones, las llamadas no triviales.

Donde:

Resolución de un Sistema lineal según el Método de Cramer:

x1 , x , x , ......... ∧ x son las incógnitas, n 2 3 siendo el conjunto solución de la forma:

Dado un sistema lineal de "n" ecuaciones con "n" incógnitas:

CS = {( x1 ; x 2 ; x 3 ; ..... x n )}

a11x1 + a12x 2 + a13 x 3 + .... + a1n x n = b1  a 21x1 + a 22x 2 + a 23x 3 + .... + a 2nx n = b 2     a n 1 x1 + a n 2 x n + a n 3 x 3 + ... + a nn x n = bn  Consideremos:

Álgebra

..........

Observación: Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, existen diversos métodos como por ejemplo: * Método de Sustitución. * Método de Reducción. * Método de Igualación. * Método Matricial. * Método de Cramer (Determinantes).

1. Determinante del Sistema ( ∆ s ) a11 a12 a13  a1n

Sistema Lineal Homogéneo: Es aquel donde los términos independientes son nulos (ceros).

∆s =

a 21 a 22 a 23  a 2n  a n1 a n 2 a n 3  a nn

Ejemplo: 2. Determinante de una Incógnita ( ∆ i ) Se obtiene a partir del determinante anterior, reemplazando los elementos de la columna de coeficientes de la incógnita en referencia por los

Academia Raimondi

48

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA términos independientes.

a11 a12  b1  a1n a a 22  b 2  a 2n ∆ i = 21  a n1 a n 2  bn  a nn

a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + .... + a1nx n = 0  a 21x1 + a 22x 2 + a 23x 3 + .... + a 2n x n = 0     a x + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + ... + a nn x n = 0  n1 1 ..........

∆i ; ∀i = 1; n ∆s

si este admite soluciones aparte de la trivial, el determinante del sistema deberá ser nulo, es decir:

... (1) ... (2)

a11 a12 a 21 a 22

Observar que: 2 5 ∆s = = (2) ( −2) − (3)(5) 3 −2



a n1 a n 2

∆ s = −19

=0

a n 3  a nn

Dado el sistema: a11x1 + a12x 2 + a13 x 3 + .... + a1n x n = b1  a 21x1 + a 22x 2 + a 23x 3 + .... + a 2nx n = b 2     a x + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + ... + a nn x n = bn  n1 1

7 5 ∆x = = (7) ( −2) − (3)(5) 3 −2 ∆ x = −29 2 7 = ( 2) ( 3 ) − ( 3 ) ( 7 ) 3 3

donde la solución se obtiene a partir de:

∆ x = 6 − 21

xi =

∆ x = −15

∆i

∆s

, luego:

1. El sistema tiene solución única, si y sólo si: ∆ s =/ 0

Calculamos las soluciones: ∆ 29 x= x ⇒x= ∆s 19

2. El sistema tiene infinitas soluciones, si y sólo si: ∆ i = 0 ∧ ∆ s = 0

49

... siempre los primeros

Álgebra

..........

∆ x = −14 − 15

Academia Raimondi

a13  a1n a 23  a 2n

Análisis de las Soluciones de un Sistema Lineal

∆ s = −4 − 15

∆y =

→ y = 15 19

Teorema: Dado el sistema lineal homogéneo.

Ejemplo: Resolver: 2 x + 5 y = 7  3 x − 2y = 3

∆s

  ∴ CS = ( 29 ; 15 ) 19 19  

cada incógnita del sistema se obtendrá, según la relación. xi =

∆y

y=

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Resolver: x + y = 7   xy = 10

3. El sistema no tiene solución si siendo ∆ s = 0 . Existe algún ∆ i =/ 0 Propiedad Un caso particular de lo visto anteriormente se presenta en el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:

De la ecuación (1): x = 7 − y Reemplazando en (2): (7 − y ) y = 10

2 Efectuando, tenemos: y − 7 y + 10 = 0 ( y − 5 ) ( y − 2) = 0

ax + by = c .... (1) a x + b y = c .... (2)  1 1 1

De donde, obtenemos: y = 5 ∨ y = 2 Si: y = 5 en (2): x = 2 ⇒ Sol: (2; 5)

1. El sistema será compatible determinado, es decir, tendrá solución única, si se verifica:

Si: y = 2 en (2): x = 5 ⇒ Sol: (5; 2) ∴ C.S. = {(2; 5) , (5; 2)}

a b ≠ a1 b1

2.Si el sistema está formado por ecuaciones, cuya parte literal es homogéneo y de igual grado se recomienda realizar la siguiente sustitución: y = Kx , donde el parámetro "K" se determinará por eliminación de las incógnitas x ∧ y .

2. El sistema será compatible indeterminado, es decir, tendrá infinitas soluciones, si se verifica: a b c = = a1 b1 c1

Una vez encontrado el valor de "K", fácilmente se obtendrá el valor de cada incógnita del sistema.

Ejemplo: Resolver: 2 2  x + 3 xy + 3 y = 21 ... (1)  2 2  x + xy + 3 y = 15 ... (2)

3. El sistema será incompatible, es decir no tendrá solución si se verifica:

Álgebra

a b c = ≠ a1 b c1

Hagamos: x = Ky Reemplazando en (1):

SISTEMAS NO LINEALES

y 2 (K 2 + 3K + 3) = 21

Criterios de Resolución:

Reemplazando en (2): y 2 (K 2 + K + 3) = 15

1. Si el sistema está conformado por ecuaciones de diferentes grados se deberá encontrar una nueva ecuación en función de una sola incógnita, para a partir de ésta determinar las soluciones del sistema.

Dividiendo m.a-m:

K 2 + 3K + 3 2

K +K +3

=

7 5

De donde, obtenemos: K 2 − 4K + 3 = 0 K = 3∨K = 1

Ejemplo:

Academia Raimondi

... (1) ... (2)

Como: x = Ky ⇒ x = 3 y ∨ x = y

50

... siempre los primeros

y = f(x)

(a+b)(a-b) = a2-b2

ab

M=a

Capítulo XIV: b2

ab 2

2

2

ab+b

(a+b) =a +2

Desigualdades e Inecuacionesij 2 D = bValor - 4ac Absoluto

DESIGUALDADES

2. a < b < c ⇔ a < b ∧ b < c

Se denomina desigualdad a la comparación que se establece entre dos expresiones reales, mediante los signos de relación >, <; o .

Teoremas de la Desigualdad 1. ∀ a ε R : a 2 ≥ 0

Ejemplo:

2. a > 0 → 1 > 0 a

Siendo, a y b números reales:

a<0→ 1 <0 a

a > ba mayor que b a < ba menor que b a ≥ ba mayor o igual que b a ≤ ba menor o igual que b

3. a , b , c ∧ d ε R : a>b c>d a+c > b+d

Observación: A los signos de relación > o < se les da el nombre de signos simples mientras que a ≥ o ≤ se les denomina signos dobles.

4. a , b , c ∧ d ε R + : a>b c>d a.c > b.d

Axiomas de la desigualdad 1. Ley de Tricotomía ∀ a ∧ b ε R :a > b ∨ a < b ∨ a = b

5. a , b ∧ c ε R + ; o a , b ∧ c ε R − a<b<c→1 < 1 < 1 c b a

2. Ley de Transitividad ∀a,b∧c εR / a > b∧ b > c → a > c

6. ∀ a , b ∧ c ε R , n ε Z + /

a < b < c → a 2n +1 < b 2n +1 < c 2n +1

3. Ley Aditiva ∀a,b∧c εR / a > b→a + c > b + c

7. ∀ a , b ∧ c ε R + , n ε Z +

4. Ley Multiplicativa

a < b < c → a 2n < b 2n < c 2n

+ 4.1. ∀ a , b ε R ∧ c ε R / a > b → ac > bc 4.2. ∀ a , b ε R ∧ c ε R − / a > b → ac < bc

Propiedades de la desigualdad

Equivalencias Usuales:

1. a < 0 , c > 0 ∧ c 2 > a 2

Siendo a, b, c números reales.

a < b < c → 0 ≤ b2 < c 2 2. a > 0 : a + 1 ≥ 2 a

1. a ≥ b ⇔ a > b ∨ a = b

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51

... siempre los primeros

Álgebra

a2

Academia

Formulario de ÁLGEBRA 3. a < 0 : a + 1 ≤ −2 a

1.2. Intervalo cerrado: Se considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación doble.

En la recta real, se tendrá:

Propiedad adicional: Para números reales positivos, tenemos:

x

MP = Media potencial MA = Media aritmética MG = Media geométrica MH = Media Armónica

a

b

Donde: a ≤ x ≤ b ⇔ x ε [a ; b] También: x ε (a ; b) 1.3. Intervalo mixto (semi abierto o semi cerrado): Considera sólo a uno de sus extremos para:

MP ≥ MA ≥ MG ≥ MH Para dos números: a ∧ b; k ε Z +

a k + bk ≥ a + b ≥ ab ≥ 2 1+1 2 2 a b para tres números: a, b ∧ c; k ε Z +

x

k

k

a

para:

3 a k + bk + c k ≥ a + b + c ≥ 3 abc ≥ 1+1+1 3 3 a b c

x a

2. Intervalos no acotados: Son todos aquellos donde al menos uno de los extremos no es un número real.

Álgebra

Se denomina intervalo al conjunto cuyos elementos son números reales, dichos elementos se encuentran contenidos entre dos números fijos denominados extremos, a veces los extremos forman parte del intervalo.

2.1. Intervalo acotado inferiormente:

1. Intervalos acotados: Son todos aquellos intervalos cuyos extremos son reales, estos pueden ser:

x

+∞

a

Donde: a < x < ∞ ⇔ x > a x ε < a ;∞ >

1.1. Intervalo abierto: No considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación simple.

En la recta, se tendrá:

x a

x

Donde: a ≤ x < ∞ ⇔ x ≥ a x ε [a ; ∞ >

b

∞

2.2. Intervalo acotado superiormente:

Donde: a < x < b ⇔ x ε < a ; b > También: x ε] a ; b [

Academia Raimondi

b

a ≤ x < b ⇔ x ε [a ; b >

INTERVALOS

a

b

a < x ≤ b ⇔ x ε < a ; b]

52

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA se presenta en función de intervalos.

x a −∞ Donde: − ∞ < x < a ⇔ x < a x ε < −∞ ; a >

1.INECUACIONES RACIONALES: 1.1. Inecuaciones de primer grado (lineal) ax + b > < 0

x a −∞ Donde: − ∞ < x ≤ a ⇔ x ≤ a x ε < −∞ ; a]

a ∧ b ε R / a =/ 0 1.2. Inecuaciones de segundo grado (cuadrática)

Observaciones:

ax 2 + bx + c > < 0

1. Un conjunto se dice que es acotado si y solo si es acotado superiormente e inferiormente a la vez.

a , b ∧ c ε R / a =/ 0 Propiedades

2. Para el conjunto de los números reales R, se tiene: R = ] − ∞ ; ∞ [ = < −∞ ; ∞ > Es evidente que − ∞ y ∞ no son números reales.

I. Trinomio siempre positivo 2 Si: ax + bx + c > 0 ; ∀ x ε R

entonces: a > 0 ∧ b 2 − 4 ac < 0

3. Como los intervalos son conjuntos, con ellos se podrán efectuar todas las operaciones existentes para conjuntos, tales como la unión, intersección, diferencia simétrica, etc.

II. Trinomio siempre negativo Si: ax 2 + bx + c < 0 ; ∀ x ε R

entonces: a < 0 ∧ b 2 − 4 ac < 0

Clases de desigualdad

1.3. Inecuaciones de grado superior:

1. Desigualdad absoluta: Es aquella que mantiene el sentido de su signo de relación para todo valor de su variable. Vemos un ejemplo:

a0 xn + a1xn−1 + a2 xn− 2 + ... + an > < 0

nεN / n ≥ 3

2. Desigualdad relativa: Es aquella que tiene el sentido de su signo de relación para determinados valores de su variable.

Veamos un ejemplo: * 2x + 1 > x + 3 → x > 2

1.4. Inecuaciones fraccionarias: F( X) > 0 < 0; [H] ≥ 1 H( X)

INECUACIONES

Resolución de la inecuación: Se recomienda utilizar el método de los puntos de corte cuya aplicación consiste en los siguientes pasos:

Se denomina inecuación a cualquier desigualdad relativa. Los valores de la variable que verifican la inecuación forman el conjunto solución, el cual

Academia Raimondi

53

... siempre los primeros

Álgebra

a o , a1 , a 2 , .... ∧ a nε R / a º =/ 0

2 * x + 2x + 10 > 0 ; ∀ x ε R

Academia

Formulario de ÁLGEBRA 1. Se trasladan todos los términos al primer miembro, obteniendo siempre una expresión de coeficiente principal positivo.

+ -3

Ejemplo:

Resolver: 9 x + 10 < 2 x+2

3. Se calculan los puntos de corte. Son los valores reales de "x" obtenidos al igualar cada factor primo a cero.

Resolución: Procedemos de un modo similar que en el ejemplo anterior: 9 x + 10 − 2 < 0 x+2

4. Se ubican, ordenadamente, todos los puntos en la recta real, dichos puntos originan en la recta dos o más zonas.

7x + 6 < 0 x+2 Puntos:

5. Se marcan las zonas obtenidas a partir de la derecha alternando los signos "+" y "-".

x=−6 7 x = -2

7x + 6 = 0 x+2=0

6. Si el signo de relación es > o ≥ , el conjunto solución estará formado por todas las zonas positivas, pero si el signo de relación es < o ≤ el conjunto solución lo formarán todas las zonas negativas.

+ - 6 7

∴ x ε < −2 ; − 6 > 7

x2 + x > 6

Observación: En una inecuación fraccionaria, si el signo de relación es doble, sólo cerraremos los extremos que provienen del numerador.

Resolución: De acuerdo con el método de los puntos de corte, procedemos así:

x2 + x − 6 > 0

Ejemplo:

x2 − 5 ≥ 1 x − x − 12 Resolución: Resolver:

Factorizando: (x+3)(x-2) > 0

Álgebra

+ -2

Ejemplo: Resolver la inecuación:

Hallando puntos: x = -3; x = 2

2

x2 − 5 − 1 ≥ 0 x − x − 12 2

En la recta:

x +7 ≥0 x 2 − x − 12

2

marcando zonas: +

-3

2

∴ x ε < −∞ ; − 3 > ∪ < 2 ; ∞ >

2. Se factoriza totalmente a la expresión obtenida.

-3

+

Observar que: x 2 − x − 12 ≡ (x − 4)(x + 3) x +7 ≥0 (x − 4)(x + 3)

+ 2

Puntos: {−7 , 4 ∧ − 3}

como el signo de relación es > la solución viene dada por todas las zonas positivas.

Academia Raimondi

54

... siempre los primeros

Academia

Formulario de ÁLGEBRA +

+

+

-7 -3 ∴ x ε [−7 ; − 3 > ∪ < 4 ; ∞ >

4

+

∩

-1

∩ +

1

0

+

3

Intersectando:

2. INECUACIONES IRRACIONALES 2.1. Forma: se resuelve:

2n

-1

A > B ; n ε Z+

S1 = (A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 ∧ A > B

2n

0

)

+

S = [−1 ;1 > Observar que: 2 CS = S1 ∪ S 2 Finalmente: CS = S1 ∪ S 2

m ∧n ε Z+ Ejemplo: Resolver:

2m CS = A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 ∧ A 2n > < B

x−2 < 5−x

ReSolución: De acuerdo con la forma (2.3) se plantea:

Ejemplo:

x−2≥ 0∧5−x ≥ 0∧x−2< 5−x x − 2 ≥ 0 ∧ x − 5 ≤ 0 ∧ 2x − 7 < 0

x +1 > x −1

Resolución: De acuerdo con la forma (2.1), se plantea:

+

x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0 ∧ − x 2 + 3x > 0 2

∩

5

2

S1 : x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0 ∧ x + 1 > (x − 1)2

+

∩

+ 7 2

Intersectando:

x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0 ∧ x − 3x < 0 x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0 ∧ x(x − 3) < 0

Academia Raimondi

2

55

7 2

5

... siempre los primeros

Álgebra

Resolver:

1

-1

A < B ; n ε Z+

2m A > < 2n B ;

1

Intersectando:

CS = A ≥ 0 ∧ B > 0 ∧ A < B2n

2.3. Forma:

+

∩

-1

CS = S1 ∪ S2

2n

3

S = [1 ; 3 > Observar que: 1 S2 : x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 < 0

S 2 = (A ≥ 0 ∧ B < 0)

2.2. Forma:

1

Academia

Formulario de ÁLGEBRA 2x − 1 = 7 ∨ 2x − 1 = −7 2x = 8 ∨ 2x = −6 x = 4 ∨ x = −3

∴ CS = [2 ; 7 > 2 VALOR ABSOLUTO (V.A.)

∴ CS = {4 ; − 3}

Dado el número real "x", la relación funcional denotada por |x| es el valor absoluto de "x", definido de la manera siguiente:  x ;x>0  | x |=  0 ; x = 0 − x ; x < 0 

Ejemplo: Resolver: |5x - 1| = 2 - x Resolución: Se plantea lo siguiente:

2 − x > 0 ∧ (5 x − 1 = 2 ∨ 5 x − 1 = x − 2)

Según la definición: *|5|= 5 > 0 *|-7| = -(-7)-7 < 0 |-7| = 7

x − 2 < 0 ∧ (6 x = 3 ∧ 4 x = −1)

x < 2 ∧ (x = 1 ∨ x = − 1 ) 4 2

Teoremas: 1.| x |≥ 0 ; ∀ x ε R 2.| x | = | − x | ; ∀ x ε R 3.| x . y | = | x | .| y | ; ∀ x ∧ y ε R

Observar que: x = 1 verifica x < 2.

2 x = − 1 verifica x < 2.

4 ∴ CS = { 1 ; − 1 } 4 2

x = | x |; x ∧ y ε R / y = 0 / 4. y | y | 2 2 2 5.| x | = | x | = x ; ∀ x ε R 6. − | x |≤ x ≤| x |; ∀ x ε R 7.| x + y |≤| x | +| y |; ∀ x ∧ y ε R

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. | x | > b ⇔ x > b ∨ x < − b 2. | x | < b ⇔ b > 0 ∧ (− b < x < b) 3. | x | < | y |⇔ (x + y)(x − y) < 0 <

Álgebra

<

Propiedades:

Ejemplo:

1.Si: |x+y| = |x|+|y|, entonces: xy ≥ 0 2.Si: |x - y| = |x|+|y|, entonces: xy ≤ 0

Resolver: |3x + 4| < 5 Resolución: De acuerdo con la forma (2), se plantea: 5 > 0 ∧ (−5 < 3x + 4 < 5) 

Ecuaciones con valor absoluto:

R

¿ ? porque es una verdad

x = b; b > 0 ⇔ x = b ∨ x = −b

Luego, sólo se resuelve: -5 < 3x + 4 < 5 -5 - 4 < 3x < 5 - 4 -9 < 3x < 1 1 -3 < x < 3

Ejemplo: Resolver: |2x-1| = 7 Resolución: Observar que: b = 7 > 0. Luego, tenemos:

Academia Raimondi

56

... siempre los primeros

y = f(x) ab

a2

M=a

Capítulo XV:

Relaciones y Funcionesij

b2

ab 2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2 2

(a+b)(a-b) = a2-b2

RELACIONES

A × B = {(1; -1), (1; 2), (2; -1), (2; 2), (3; -1), (3; 2)}

1.Definiciones Previas

Para B × A , tenemos: B × A = {−1 ; 2} ∧ {1 ; 2; 3}

1.1. Par ordenado: Es un conjunto de dos elementos considerados en un determinado orden. Si los elementos del par ordenado son "a" y "b", al conjunto se le denota por (a; b) y se define de la manera siguiente:

B × A = {(-1; 2), (-1; 2), (-1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3)} Propiedades:

(a; b) = {{a}; {a; b}}

I. El producto cartesiano no es conmutativo: Donde: a = primera componente del par b = segunda componente del par

AxB ≠ BxA II. El número de elementos A × B es igual al número de elementos de B × A y se obtiene según la fórmula:

Propiedades: I.(a; b) =/ (b; a); ∀ a =/ b II.(a; b) = (c; d) a = c∧ b = d

n( AxB) = n(BxA ) = n( A ).n(B) 2.Relación Binaria

1.2. Producto Cartesiano: Dados los conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano de A por B (en ese orden), se denota así A × B y se define de la siguiente manera: AxB = {(a; b) / aεA ∧ bεB} Donde: A = conjunto de partida B = conjunto de llegada

R = {(a; b) / aεB ∧ bεB ∧ aRb}

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3} ∧ B = {-1; 2}

Donde: a R b, indica la relación que existe entre los componentes "a" y "b".

Determinar: A × B ∧ B × A

Ejemplo: Dados los conjuntos:

Resolución: Para , A × B , tenemos: A × B = {1 ; 2 ; 3} ∧ {−1 ; 2}

A = {1; 2; 4} ∧ B = {2; 3}

Academia Raimondi

Determinar la relación de R de A en B definida de la manera siguiente:

57

... siempre los primeros

Álgebra

2.1. Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se dice que R es una relación de A en B (en ese orden), si y sólo si, R es un subconjunto de A × B , es decir: R ⊂ A×B

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Reflexiva ∀ a ε R → (a ; a) ε R εR 1 ε A → (1; 1) ¡Correcto! εR ε → 2 A (2; 2) ¡Correcto! εR ε → 3 A (3; 3) ¡Correcto!

R = {(a ; b) / a ε A ∧ b ε B ∧ a < b} Resolución: Hallar el producto cartesiano de A por B. A × B = {1; 2; 4} {2; 3} A × B = {(1; 2), (1; 3), (2; 2), (2; 3), (4; 2), (4; 3)} observar que los elementos de R son todos los εA×B /a < b pares (a; b) . Luego, tenemos: R = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}

Evidentemente, R es reflexiva.

Simétrica (a ; b) ε R → (b ; a) ε R (1 ; 2) ε R → (2 ;1) ε R → ¡Correcto!

Evidentemente, R es simétrica.

2.2. Relación en A: Dado el conjunto no vacío A, se dice que R es una relación en A, si y solamente si, R ⊂ A × A .

Transitiva (a ; b) ε R ∧ (b ; c) ε R → (a ; c) ε R (1 ;1) ε R ∧ (1 ; 2) ε R → (1 ; 2) ε R ¡Correcto!

(1 ; 2) ε R ∧ (2 ; 2) ε R → (1 ; 2) ε R ¡Correcto!

(1 ; 2) ε R ∧ (2 ;1) ε R → (1 ;1) ε R ¡Correcto!

2.3.Clases de Relación: Sea R una relación en A ( R ⊂ A × B ), luego R podrá ser:

Evidentemente, R es transitiva. ∴ R es una relación de equivalencia.

I. Reflexiva ∀ a ε A → (a ; a) ε R

FUNCIONES

II. Simétrica (a ; b) ε R → (b ; a) ε R

1.Definición: Dada una relación F de A en B (F ⊂ A × B) , se dice que F es una función de A en B si y sólo si para cada x ε A existe a lo más un elemento y ε B , tal que el par (x ; y) ε F , es decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.

III. Transitiva (a ; b) ε R ∧ (b ; c) ε R → (a ; c) ε R

Álgebra

IV. De equivalencia Siempre y cuando sea a la vez reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo: ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones, R1 = {( 2 ;1), (0 ; 3), (−1 ; 7)}

Ejemplo: Dado el conjunto A = {1; 2; 3}

R 2 = {( 3 ; 0), (4 ; 0) , (5 ;1)}

Se define una relación en A de la manera siguiente: R = {(1; 1), (1; 2), (2; 2), (3; 3), (2; 1)}

R 3 = {(5 ;1), (4; − 1), (4; 2)} son funciones?

¿R es una relación de equivalencia?

Resolución: De acuerdo con la definición, se observa que: R1 es función R 2 es función R 3 no es función, ¿por qué?

Resolución: Si R es una relación de equivalencia, deberá ser reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.

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58

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Academia

Formulario de ÁLGEBRA 2.3.Propiedad:

Porque (4 ; − 1) ε R 3 ∧ (4 ; 2) ε R 3 , siendo pares ordenados distintos.

Sea F una función de A en B, luego se denota por: F : A → B y se cumple lo siguiente:

1.1.Propiedad Siendo F una función, se verifica lo siguiente:

DF ⊂ A ∧ RF ⊂ B

( x; y )εF ∧ ( X; Z )εF → y = z 3.Aplicación

2.Dominio y Rango de una función F

3.1.Definición

Dada una función F de A en B, F : A → B . Se dice que F es una aplicación, si y sólo si, su dominio es igual al conjunto de partida.

2.1.Dominio de F = Dom(F) (DF ) denominado también pre imagen, es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de partida.

F es aplicacion ↔ DF = A

2.2.Rango de F = Ran(F)

(R F ) denominado también imagen, recorrido o contra dominio, es el conjunto de segundos elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de llegada.

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Dada una función F de A en B, F : A → B , si A y B son subconjuntos de los números reales R, se afirmará que F es una función real de variable real.

Ejemplo: Dada la relación funcional representada por el diagrama digital.

A

1 2 3 4

0 -1 2 4

F : A → B,A ⊂ R ∧ B ⊂ R

Debido a ello, F tendrá una representación gráfica en el plano cartesiano (x.y), la cual viene dada por un conjunto de puntos generados al establecer la relación de correspondencia entre la variable independiente "x" y su imagen la variable dependiente "y", es decir:

Determinar la función, indicando su dominio y rango.

{

}

F = ( x; y ) εR2 / xεDF ∧ y = F( x )

Resolución: Del diagrama, se tiene: F = {(1; 2), (3; 0), (4; 2)}

la igualdad mostrada: y = F(x) expresa la regla de correspondencia de la función real F.

De donde es evidente que:

1.1.Teorema Toda recta vertical, trazada a la gráfica de una función, la corta sólo en un punto.

DF = {1; 3; 4} ∧ R F = {2; 0}

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59

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Álgebra

A

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Fig. (1)

y

A εR ↔ B = 0 / B A * B ε R ↔ B =/ 0 *

F

Ejemplo:

x

Determinar el dominio y el rango de la función F, donde:

F : R → R / y = F(x) = 2x + 1 x−3

F corresponde a la gráfica de una función.

y

Resolución:

H

De acuerdo con los criterios para el dominio: y = 2x + 1 x−3 y ε R ↔ x − 3 =/ 0

x

x =/ 3

Fig. (2)

x ε R − {3}

H no corresponde a la gráfica de una función.

∴ DF = R − {3}

1.2.Criterios para determinar el dominio y el rango

para el rango: y = 2x + 1 x−3 xy - 3y = 2x + 1 xy - 2x = 3y + 1 (y - 2)x = 3y + 1 3y + 1 x= y−2

I.Para el Dominio: Se despeja la variable "y", para luego analizar la existencia de su equivalente.

Álgebra

II.Para el Rango: Se despeja la variable "x", para luego analizar la existencia de su equivalente.

x ε R ↔ y − 2 =/ 0

A veces, el rango se determina a partir del dominio.

y =/ 2 y ε R − {2}

Observación: Frecuentemente, para determinar dominios y rangos es necesario reconocer la existencia de las expresiones dadas dentro del conjunto de los números reales, así pues, tenemos:

∴ R F = R − {2} Ejemplo: Determinar el rango de la función, la cual viene dada por: F = R → R / y = F(x) = 2x − 3 ; x ε < 5 ;10]

Ejemplo: Determinar el dominio y el rango de la función F, donde:

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60

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Academia

Formulario de ÁLGEBRA Resolución:

x =/ 0 → x ε R − {0}

Observar que el rango se puede encontrar a partir del dominio, pues con x ε < 5 ;10] bastará determinar la extensión de: y = 2x - 3. Veamos: Por condición: x ε < 5 ;10] de donde tenemos: 5 < x ≤ 10 multiplicando por 2 10 < 2x ≤ 20 sumando -3 7 < 2x − 3 ≤ 17 7 < y ≤ 17

∴ DF = R − {0} y=1 II.Para G: x y ε R ↔ x =/ 0 x =/ 0 → x ε R − {0} ∴ DG = R − {0} Observar que: DF = DG .

y ε < 7 ;17] observar que: ∴ R F = < 7 ;17]

II.Regla de correspondencia para F. F : y = F(x) = x2 x

2.Igualdad de Funciones

1 como x =/ 0: F(x) = x Regla de correspondencia para G. G : y = G(x) = 1 x Observar que: F(x) = G(x). ∴ F ∧ G son iguales

2.1.Definición Dadas las funciones F y G, tal que: F : R → R / y = F(x)

G : R → R / y = G(x) se dice que éstas son iguales: F = G, si y solo si verifican simultáneamente las condiciones: I. DF = DG II. F(x) = G(x) ; ∀ x ε DF = DG

1.FUNCIONES ESPECIALES 1.1. Función Lineal

Ejemplo:

F : y = F( x ) = mx + b

F : R → R / y = F(x) = x2 x

y

G : R → R / y = G(x) = 1 x ¿son iguales?

m = pendiente m = Tgθ

F

θ

Resolución:

x

De acuerdo con la definición, veamos si se verifican las condiciones:

DF = R ∧ FF = R

y = x2 I.Para F: x y ε R ↔ x 2 =/ 0

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61

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Álgebra

Dadas las funciones:

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Formulario de ÁLGEBRA y

1.2. Función Identidad

F

1

F : y = F( x ) = x

-1

y

1

x

F

DF = R ∧ R F = [0 ; ∞ >

45º x

1.5. Función Signo F : y = F( x ) = Sgn( x )

− 1 ; x < 0  y = Sgn(x) =  0 ; x = 0  1; x > 0 

DF = R ∧ FF = R 1.3. Función Constante

y

F : y = F( x ) = k; kεR

1

F

y

x -1

k

F

DF = R ∧ R F = {−1 , 0 , 1}

x

1.6. Función Escalón Unitario F : y = F( x ) = u( x )

DF = R ∧ R F = {k}

0 ; x < 0 y = u(x) =  1 ; x ≥ 0 y

Álgebra

1.4. Función Valor Absoluto F : y = F( x ) = x

F

 x; x > 0  y =| x |=  0 ; x = 0 − x ; x < 0 

x

DF = R ∧ R F = { 0 ; 1}

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Academia

Formulario de ÁLGEBRA 1.7. Función Máximo Entero

1.9. Función Cúbica Simple:

F : y = F( x ) =  x 

F : y = F( x ) = x3

Dado el número real "x", el máximo entero de "x" es la relación funcional denotada por [[x]] y definida como el mayor entero menor o igual que "x", veamos algunos ejemplos: * [[3 ;15]] = 3 ¿por qué? Porque 3 ≤ 3 ;15 * [[4]] = 4 ¿por qué? Por que 4 ≤ 4

y

F

x

Teorema:

 x  = y ↔ y ≤ x < y + 1; yεZ DF = R ∧ R F = R

y

1.10. Función Raíz Cuadrada:

F

3

F : y = F( x ) = x

2

-3 -2

-1

y

1

-1

1

2

3

F

x

-2 -3

x DF = [0 ; ∞ > ∧ R F = [0 ; ∞ >

DF = R ∧ R F = R

1.11. Función Raíz Cúbica

F : y = F( x ) = x 2

y

y F

F

x

x DF = R ∧ R F = [0 ; ∞ >

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DF = R ∧ R F = R

63

... siempre los primeros

Álgebra

F : y = F( x ) = 3 x

1.8. Función Cuadrática Simple:

Academia

Formulario de ÁLGEBRA 1.12. Función Inverso Multiplicativo

2.2.Desplazamiento Vertical y

1 F : y =F(x)= x

y

F(x)-h

F(x)+h

y

x

x

F

"h" unidades hacia abajo

x

"h" unidades hacia arriba

2.3.Giro con respecto al eje "x" y

-F(x)

DF = R − {0} ∧ R F = R − {0} 2. DESPLAZAMIENTOS Y GIROS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

x

Conociendo la gráfica de la función F, donde: F: y = F(x) y

El eje "x" se comporta como si fuese un espejo.

2.4.Giro con respecto al eje "y" y

x

F(-x) x

y considerando un número positivo "h", tenemos:

Álgebra

2.1.Desplazamiento Horizontal

El eje "y" se comporta como si fuese un espejo.

y

y

2.5.Giro producido por el valor absoluto

F(x-h)

F(x+h)

y x

x

"h" unidades hacia la izquierda

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|F(x)|

x

"h" unidades hacia la derecha

64

... siempre los primeros

y = f(x) ab

a2

(a+b)(a-b) = a2-b2 M=a

Capítulo XVI:

Logaritmosij

b2

ab 2

2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2

FUNCIÓN EXPONENCIAL

tona e inyectiva, por lo último se afirma que dicha función admite inversa.

Siendo "b" un número positivo distinto de la unidad.

Función logarítmica Siendo "b" un número positivo distinto de la unidad.

F : R → R / y = F( X) = expb ( X) = b x Donde:

F : R → R / y = F( X)Logb x

DF = R ∧ R F = < 0 ; ∞ >

Donde: DF = < 0 ; ∞ > ∧ R F = R

Análisis de la gráfica: 1. F : y = F(x) = Log x ; 0 < b < 1 b

Análisis de la gráfica 1. F : y = F(x) = Logb x ; 0 < b < 1

y

y 1 x 1

x

La función es decreciente.

2. F : y = F(x) = Logb x ; b > 1

y

y 1 x 1

x

La función es creciente.

La función es creciente.

Observación: La función exponencial es monó-

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65

... siempre los primeros

Álgebra

La función es decreciente.

2. F : y = F(x) = bx ; b > 1

Academia

Formulario de ÁLGEBRA Observación: La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa.

2. ∀ b > 0 ; b =/ 1 Logb b = 1

Logaritmo (Log)

Observación: En R no existe el logaritmo para números negativos.

Se define logaritmo de un número "N" en una base "b" positiva y distinta de la unidad, como el exponente " α " que debe afectar a dicha base, para obtener una potencia igual al número dado inicialmente.

*

Log7 (−10)

¡No existe en R!

Propiedades operativas:

Representación:

1. ∀ M, N > 0 ; ∀ b > 0 ; b =/ 1

Logb N = α ........ (1)

LogbM + LogbN = Logb (MN . )

Donde: 2. ∀ M, N > 0 ; ∀ b > 0 ; b =/ 1

Log = Operador de la logaritmación N = Número propuesto / N > 0 b = Base del logaritmo / b > 0; b 1 α = Logaritmo / α ε R.

M LogbM − LogbN = Logb ( ) N

Definición:

3. ∀ M > 0 ; ∀ n ε R ; ∀ b > 0 ; b =/ 1

bα = N ...... (2)

LogbMn = n.LogbM

Log28 = x ⇔ 2x = 8 * *

∴x = 3

4. ∀ M > 0 ; ∀ n ε R − {0} ; ∀ b > 0 ; b =/ 1

Log5 x = 2 ⇔ 5 2 = x

LogbM = Log nMn

Álgebra

∴ x = 25 Teorema: Reemplazando (1) en (2).

Log N b

b *5

Log 5 3

Casos especiales: 1. ∀ b > 0 ; b =/ 1 ; {m, n} ⊂ R − {0} Log n (bm ) = m n (b )

=N

=3

Log12 (x − 4 )

* 12

b

= 5 ⇔ x−4 = 5 ∴x =9

2. ∀ b > 0 ; b =/ 1 ; {m , n} ⊂ R

(m b ) = n m

Propiedades generales:

Log n

1. ∀ b > 0 ; b =/ 1 Logb 1 = 0

3. ∀ b > 0 ; b =/ 1 ; n ε R

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( b)

+

n = Logb bn

66

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Academia

Formulario de ÁLGEBRA Donde: N > 0 ∧ {m , b} ⊂ R + − {1} * Log3 12 en base 5, será: Log5 12 Log3 12 = Log5 3

Sistema de logaritmos Un sistema de logaritmos se genera al asumir el parámetro "b" un valor determinado, como: b > 0; b =/ 1, es fácil apreciar que existen infinitos sistemas de logaritmos, siendo los usuales los siguientes:

Caso especial: ∀ {a , b} ⊂ R + − {1}

1.Sistema de logaritmos naturales: Logba =

También llamado sistema de logaritmos neperianos o hiperbólicos. Aquí, la base es el número inconmensurable "e" cuyo valor aproximado es: 2,7182.

* Log7 18 =

1 Logab

1 Log18 7

Regla de la cadena:

LogeN = LnN;N > 0

Verificando la existencia de cada uno de los factores en el conjunto R, se cumple:

2.Sistema de logaritmos decimales: También llamado sistema de logaritmos vulgares o Briggs, aquí la base es el número 10.

Logb a.Loga c.Logc d.Logde = Logbe Log10N = LogN;N > 0

Log2 5 . Log5 7 . Log7 8 = Log2 8

Conversión de Sistemas:

*

1.De logaritmo natural a decimal

= Log2 23 = 3Log2 2

= 3 .1 = 3 LogN = 0, 4343.LnN;N > 0 Propiedad adicional:

Log c b

Ln N = 2, 3026.LogN > 0

a Log 7 12

=c

Log a b

Log 7 5

Cambio de base

*5

Dado un logaritmo en base "b", se le podrá representar en base "m", según la relación.

Ecuaciones logarítimicas Analizaremos cada uno de los casos frecuentes, veamos:

Log mN Log bN = Log mb

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= 12

Primer caso: Log x = a b se cumple: x > 0 ∧ b > 0 ; b =/ 1

67

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Álgebra

∀ a , b , c ε R + / b =/ 1

2.De logaritmo decimal a natural

Academia

Formulario de ÁLGEBRA a se plantea: b = x Segundo caso: Logb x = Logb y se cumple: x > 0 ∧ y > 0 ∧ b > 0 ; b =/ 1 se plantea: x = y

Cologaritmo (Colog) Teniendo en cuenta que: N>0 ∧ b>0,b = /1

Tercer caso: bx = a se cumple: a > 0 ∧ b > 0

Se define el cologaritmo del número "N" en la base "b", de la manera siguiente:

x se plantea: Logb b = Logba x . Logb b = Logba

 1 Co logb N = −LogbN = Logb    N

∴ x = Logba

Inecuaciones exponentes

*

Analizaremos cada uno de los casos existentes, veamos:

= −Log

(5 3 )

(5 2 )

=−2 3

Primer caso: Siendo, 0 < b < 1.

bx < b y ⇒ x > y

Antilogaritmo (Antilog)

bx > b y ⇒ x < y

También llamado exponencial, considerando que: N ε R ∧ b > 0 b =/ 1 , se define el logaritmo del número "N" en la base "b", de la manera siguiente:

Segundo caso: Siendo, b > 1.

bx < b y ⇒ x < y

bx > b y ⇒ x > y

Anti logb N = expb N = bN

Inecuaciones logarítmicas

Álgebra

Co l og125 25 = −Log125 25

Analizaremos cada uno de los casos existentes, veamos:

4 * A ntil og2 4 = 2 = 16 1 −2 * exp 3 (−2) = 3 = 9

Primer caso: Siendo, 0 < b < 1 ∧ x > 0 ∧ y > 0

Relación entre Operadores: Teniendo en cuenta que {x; b} se cumple:

Logb x < Logb y ⇒ x > y Logb x > Logb y ⇒ x < y

⊂ R + / b =/ 1

;

1. A ntil ogb (Logb x) = x

−1 2. A ntil ogb (C o l ogb x) = x 3. Logb (A ntil ogb x) = x 4. Logb (A ntil ogb x) = x

Segundo caso: Siendo, b > 1 ∧ x > 0 ∧ y > 0

Logb x < Logb y ⇒ x < y Logb x > Logb y ⇒ x > y

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68

... siempre los primeros

y = f(x)

(a+b)(a-b) = a2-b2

ab

M=a

Capítulo XVII:

Progresionesij

b2

ab 2

2

D = b2- 4ac

2

ab+b

(a+b) =a +2

Progresión aritmética (P.A.)

1.Razón (r)

Es aquella sucesión ordenada en la que cada término, excepto el primero, es igual al término anterior aumentado en un valor constante llamado razón de la progresión.

r = a2 − a1 = a3a2 = ... = an − an−1

2.Término n-ésimo ( a n )

Representación de una P.A.

an = a1 + (n − 1)r

÷ a1 . a 2 . a 3 . ...... . a n

÷ a1 . a1 + r . a1 + 2r . ....... . a1 + (n − 1) r

3.Número de términos (n)

Donde:

÷ = Inicio de la P.A. . = Separación de términos a n = Término n-ésimo

n=

a1

= Primer término

an − a1 +1 r

4.Términos equidistantes de los extremos ( ax y ay )

n = número de términos r = razón de la P.A.

÷ a1 . ... . a x . ... . a y . ... . a n

Clases de P.A.

"m" términos

1.Si: r > 0, la P.A. es creciente.

"m" términos

a x + a y = a1 + an

2.Si: r < 0, la P.A. es decreciente.

5.Término central ( a )

Observación:

c

Siendo "n" impar, la P.A. admite término central.

Si, r = 0, se dice que la progresión aritmética es trivial.

ac =

Propiedades de una P.A.

a1 + an 2

Dada la siguiente progresión aritmética,

÷ a1 . a 2 . a 3 . ...... . a n −1 − a n

6.Suma de los "n" primeros términos de una P.A. ( S n )

se cumple:

6.1.

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Álgebra

a2

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Formulario de ÁLGEBRA a1; a2; a3 ; ...... ; an

a +a  Sn =  1 n  .n  2 

es una progresión armónica, se verifica lo siguiente:

6.2.  2a + (n − 1).r  Sn =  1  .n 2  

÷

Medios Aritméticos

Progresión geométrica (P.G.)

Son los términos de una P.A. comprendido entre sus extremos, veamos un Ejemplo:

Es aquella sucesión ordenada en la cual el primer término es diferente de cero y se caracteriza porque cualquier término, excepto el primero, es igual al término anterior multiplicado por un valor constante llamado razón de la progresión.

÷3. 7 .15 .19 .23.27 .11     .31 Medios aritméticos

Representación de una P.G.

Interpolación de Medios Aritméticos

÷ ÷ t1 : t 2 : t 3 : ...... : tn

Consiste en formar una P.A., para lo cual se debe conocer los términos extremos y el número de medios que se quiere interpolar.

÷ ÷ t1 : t1q : t 2q2 : ...... : t1qn−1 Donde:

Sea la progresión aritmética: ÷a.

............... 

÷÷ = Inicio de la progresión. := Separación de términos. t1 = Primer término.

.b

Medios aritméticos

t n = Término n-ésimo. n= Número de términos. q= Razón de la P.G.

Por fórmula: a n = a1 + (n − 1) r Reemplazando:b = a + (m+1)r r=

Álgebra

1 1 1 1 . . . ..... . a1 a2 a3 an

Clases de P.G.

b−a m +1

1.Si: q > 1, la PG. es creciente.

2.Si: 0 < q < 1, la P.G. es decreciente.

3.Si: q < 0, la P.G. es oscilante.

Fórmula cuyo nombre es razón de interpolación.

Propiedades de una P.G.

Progresión armónica (P. H.)

Dada la siguiente progresión geométrica,

Es aquella sucesión ordenada, donde ninguno de sus términos es cero y los recíprocos de los mismos forman una progresión aritmética.

÷ ÷ t1 : t 2 : t 3 : ...... : tn−1 : tn

Si la sucesión:

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se cumple:

70

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Academia

Formulario de ÁLGEBRA 1.Razón (q) t 2 t3 t = = ... = n t1 t 2 tn−1

SLim = 2.Término n-ésimo ( t n ) tn = t1.qn−1

Pn =

Log( tn ) − Log( t1) +1 Log(q)

( t1 ⋅ tn )c

Medios geométricos Son los términos de una P.G. comprendidos entre sus extremos, veamos un Ejemplo:

4.Términos equidistantes de los extremos ( tx y ty ) ÷÷ t1 : ... : t x : ... : t y : ... : t n "m" términos

−1 < q < 1

8.Producto de los "n" primeros términos de una P.G. (Pn)

3.Número de términos (n) Teniendo en cuenta que t n , t1 y q son positivos. n=

t1 1− q

÷ ÷ 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64    Medios geométri cos

"m" términos

Interpolación de medios geométricos

t x .t y = t1.tn

Consiste en formar una P.G., para lo cual se debe conocer los términos extremos y el número de medios que se quiere interpolar.

t 5.Término Central ( c ), siendo "n" impar, la P.G. admite término central

Sea la progresión geométrica: ÷÷a:

t C = t1.tn

... ............ ....... 

:b

"m" medios geométricos

6.Suma de los "n" primeros términos de una P.G. (Sn)

Por fórmula: tn = t1qn−1 Reemplazando: b = a.qm +1

 qn − 1 Sn = t1.    q −1 

q≠1 q = m +1

b a

Fórmula cuyo nombre es razón de interpolación.

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71

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Álgebra

q=

7.Suma límite (Slim) Para P.G. de infinitos términos, es decir en caso → ∞ de que n .

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