Tema 26. Oposiciones Secundaria. Matemáticas. Claustro.

RESUMEN T. 26

´ OPOSICIONES SECUNDARIA. MATEMATICAS. 2015/2016

RESUME FORMULARIO

TEMA 26 ´ EN UN PUNTO. FUNCION ´ DERIVADA. DERIVADA DE UNA FUNCION DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES. ´ n derivada.

Conceptos de derivada y funcio Definici´ on. Sea I un intervalo abierto de R, sea x0 ∈ I, sea f una funci´on definida en I . f es derivable en x0 si existe f (x0 + h) −f (x0 ) f (x0 + h) −f (x0 ) = l´ım x→x0 h→0 h x − x0

f 0 (x0 ) = l´ım

Si f es derivable en todo x0 ∈ I, diremos que f es derivable en I La funci´on x → f 0 (x), definida en aquellos puntos de I en los que f es derivable, recibe el nombre de funci´ on derivada de f , y la representaremos por f 0 (x).

f (x0 + h) −f (x0 ) ım La derivada de f por la derecha en x0 ser´a f 0 x+ 0 = l´ + h h→0

f (x0 + h) −f (x0 ) ım La derivada de f por la izquierda en x0 ser´a f 0 x− 0 = l´ h h→0− Evidentemente, f es derivable en x0 de I si y s´olo si existen las derivadas laterales y coinciden. ´ n geome ´trica de la derivada.

Interpretacio Definici´ on. La recta que pasa por un punto P = (a, f (a)) y tiene pendiente f 0 (a) se denomina recta tangente a la curva en P .

Teorema. Sea I un intervalo abierto de R, sea x0 ∈ I, y f una funci´on de I en R. Si existe f 0 (x0 ) entonces f es continua en x0 . ´lculo de derivadas.

Ca (Funci´ on constante). f (x) = c ⇒ f 0 (a) = 0 ∀ a ∈ R. (Funci´ on identidad). f (x) = x ⇒ f 0 (a) = 1 ∀ a ∈ R. (Funci´ on suma). Sean f y g definidas en I y derivables en x0 ∈ I, se tiene: (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) (Funci´ on producto). Sean f y g funciones reales definidas en I y derivables en x0 ∈ I, se tiene: (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 )

http://www.claustro.net/oposiciones-secundaria/ Rodr´ıguez S´ anchez, Herminio.

Hans Uber, Bel´ en

1

RESUMEN T. 26

´ OPOSICIONES SECUNDARIA. MATEMATICAS. 2015/2016

Teorema. Sea f definida en un intervalo abierto I. Si f es derivable en x0 ∈ I y f (x0 ) 6= 0, se tiene: 0 1 f 0 (x0 ) (x0 ) = − f [f (x0 )]2 Teorema. Sean f y g funciones reales definidas en un cierto intervalo abierto I. Si f y g son derivables en x0 ∈ I, g(x0 ) 6= 0 se tiene: 0 f f 0 (x0 ) · g (x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 ) (x0 ) = g [g (x0 )]2 Teorema. (Regla de la cadena). Sean I y J dos intervalos abiertos de R. Sean una funci´on f : I → R, x0 ∈ I, f derivable en x0 . Sea g : J → R, con f (I) ⊂ J, g derivable en y0 = f (x0 ). Entonces g ◦ f es derivable en x0 y se tiene que (g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ).

Teorema. (Funci´ on inversa) Sea f : I → R continua e inyectiva sobre I, con derivada no nula en x0 ∈ I. Entonces la funci´on inversa f −1 : f (I) → R es derivable en y0 = f (x0 ), siendo: 0 f −1 (x0 ) =

1 1 = 0 f 0 (f −1 (y0 )) f (x0 )

Teorema. (Funci´ on logar´ıtmica). Sea f (x) = log a x, a ∈ R, a > 0, a 6= 1, x0 ∈ R, x0 > 0. Entonces: f 0 (x0 ) =

1 loga e x0

x0 > 0

Teorema. (Funci´ on exponencial). Sea f (x) = ax , a ∈ R, a > 0, x0 ∈ R. Entonces: x 0 0 ) = a log a

f 0 (x

Teorema. Si f (x) = xα , α ∈ R, entonces f 0 (x0 ) = αxα−1 ∀ x0 > 0 , x0 ∈ R. 0 Teorema. (Funciones trigonom´ etricas). f (x) = senx ⇒ f 0 (x) = cos x; ∀x ∈ R f (x) = cos x ⇒ f 0 (x) = −senx; ∀x ∈ R f (x) = tgx ⇒ f 0 (x) = 1 + [tgx]2 ; ∀x ∈ − π2 + kπ, π2 + kπ f (x) = arcsenx ⇒ f 0 (x) =

√ 1 ; ∀x 1−x2

∈ (−1, 1)

f (x) = arc cos x ⇒ f 0 (x) =

√ −1 ; ∀x 1−x2

∈ (−1, 1)

f (x) = arctgx ⇒ f 0 (x) =

1 ; ∀x 1+x2

∈R

http://www.claustro.net/oposiciones-secundaria/ Rodr´ıguez S´ anchez, Herminio.

Hans Uber, Bel´ en

2

´ OPOSICIONES SECUNDARIA. MATEMATICAS. 2015/2016

RESUMEN T. 26

Derivadas sucesivas. Teorema de Leibniz.

Definici´ on. Sea I un intervalo abierto de R, sea x0 ∈ I, sea f una funci´on de I derivable en x0 , a la derivada (f 0 )0 (x0 ) = f ”(x0 ) se le llama derivada segunda de f en x0 .

Si ∀ x ∈ I existe f ”(x), la funci´on que asigna a cada x el n´ umero f ”(x) se llama la derivada segunda de f en I. 0 En general, definidas las funciones f (1) = f 0 , f (2) = f ”, . . . , f (n) = f (n−1) , diremos que f (k) es la funci´ on derivada k-´ esima (o derivada de orden k) de f en I. Teorema (F´ ormula de Leibniz). Sean f y g dos funciones con derivada n-´esima en el intervalo abierto I. entonces f · g tiene derivada n-´esima en I y se verifica que: (f · g)(n) = f (n) g +

n 1

f (n−1) g (1) +

n 2

f (n−2) g (2) + . . . +

n n−1

f (1) g (n−1) + f g (n)

Derivada de una funci´ on en un intervalo.

Teorema de Rolle. Sea f una funci´on real definida y continua en un intervalo cerrado I = [a, b] , derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f (a) = f (b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) en el cual es f 0 (c) = 0.

Teorema del valor medio (de Lagrange). Si f es una funci´on continua en I = [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un n´ umero c en (a, b) tal que: f (b) − f (a) = f 0 (c) b−a Interpretaci´ on geom´ etrica. Considerando dos puntos cualesquiera de la curva G, gr´afica de la funci´on, existe siempre en el arco de curva que ellos determinan, un punto al menos en el cual la tangente es paralela a la recta definida por aquellos dos puntos.

Teorema de Cauchy. Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un n´ umero c en (a, b) tal que: [f (b) − f (a)] g 0 (c) = [g (b) − g (a)] f 0 (c) en el caso de que los n´ umeros g(b)−g(a) y g 0 (c) sean distintos de cero, podemos escribir: f (b) − f (a) f 0 (c) = 0 g (b) − g (a) g (c) Aplicaciones.

Monoton´ıa y extremos.

Teorema. Sea f : [a, b] → R una funci´on real n-veces derivable, al menos, en el punto x0 ∈ (a, b), tal que la primera derivada no nula de f en x0 es f n) (x0 ), es decir, f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = ... = f n−1) (x0 ) = 0 y f n) (x0 ) 6= 0. Entonces: 1. Si n es par y f n) (x0 ) > 0, entonces f tiene un m´ınimo relativo en x0 . http://www.claustro.net/oposiciones-secundaria/ Rodr´ıguez S´ anchez, Herminio.

Hans Uber, Bel´ en

3

RESUMEN T. 26

´ OPOSICIONES SECUNDARIA. MATEMATICAS. 2015/2016

2. Si n es par y f n) (x0 ) < 0, entonces f tiene un m´aximo relativo en x0 .

3. Si n es impar, entonces f no tiene extremo relativo en x0 , verificando: Si f n) (x0 ) > 0, entonces f es estrictamente creciente en un entorno de x0 .

Si f n) (x0 ) < 0, entonces f es estrictamente decreciente en un entorno de x0 .

Curvatura y puntos de inflexi´ on.

Teorema. Sea f : [a, b] → R una funci´on real n-veces derivable (n ≥ 2), al menos, en el punto x0 ∈ (a, b), tal que la primera derivada no nula de f en x0 es f n) (x0 ), es 00 0 decir, f (x0 ) = f 000 (x0 ) = ... = f n−1) (x0 ) = 0 y f n) (x0 ) 6= 0 (f (x0 ) puede ser o no nula).

Entonces: 1. Si n es par y f n) (x0 ) > 0, entonces f es convexa o c´oncava hacia arriba en x0 .

2. Si n es par y f n) (x0 ) < 0, entonces f es c´oncava o c´oncava hacia abajo en x0 .

3. Si n es impar, entonces f tiene un punto de inflexi´on en x0 .

´ ´ OTRAS FORMULAS NO INCLUIDAS EN EL TEMA Y UTILES PARA PROBLEMAS ´ n dada parame ´tricamente Derivada de una funcio

x = x(t) a<t<b y = y(t) yx0 =

yt0 , x0t

yx002 =

yt002 x0t − x00t2 yt0 (yx0 )0t = x0t (x0t )3

Funciones de varias variables Diferencial de la funci´ on f (x, y) df = siendo

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

∂f ∂f y las derivadas parciales de f ∂x ∂y

Derivaci´ on de una funci´ on compuesta 1. Si z = f (x, y), x = x(t), y = y(t): ∂f dx ∂f dy dz = + dt ∂x dt ∂y dt 2. Si z = f (x, y), x = x(t, s), y = y(t, s): dz ∂f dx ∂f dy = + , dt ∂x dt ∂y dt dz =

dz ∂f dx ∂f dy = + ds ∂x ds ∂y ds

∂z ∂z ∂z ∂z dx + dy = dt + ds ∂x ∂y ∂t ∂s

http://www.claustro.net/oposiciones-secundaria/ Rodr´ıguez S´ anchez, Herminio.

Hans Uber, Bel´ en

4