Lógica y Teoría de Conjuntos

222 espacios vectoriales est´a contenida en la clase de todos los grupos es una forma alternativa de decir que todo espacio vectorial es un grupo. Es una forma ilegal —pues no existe el conjunto de todos los espacios vectoriales ni el conjunto de todos los grupos—, pero a la vez inofensiva, pues la u ´ltima afirmaci´ on tiene pleno sentido en la teor´ıa. La consecuencia que extraemos es que el r´egimen de censura de Zermelo-Fraenkel es injusto, pues podr´ıa relajarse sin perjuicio para nadie. El problema es determinar hasta qu´e punto puede relajarse.

La primera teor´ıa de conjuntos “permisiva” fue dise˜ nada por von Neumann, aunque en un lenguaje un poco extra˜ no, pues sus t´erminos primitivos eran el de “funci´ on” y el de “argumento”. Bernays tradujo esta teor´ıa al lenguaje conjuntista usual y as´ı, la teor´ıa de von Neumann-Bernays conten´ıa dos conceptos b´ asicos (si se quiere, dos relatores mon´adicos) el de “clase” y el de “conjunto”.

Las clases son colecciones de conjuntos y la teor´ıa cuenta con un axioma similar al de Frege: para cada f´ ormula φ(x) que s´olo haga referencia a conjuntos, existe una clase cuyos elementos son los conjuntos que cumplen φ(x). Por otra parte, la teor´ıa cuenta con otros axiomas que, bajo ciertas hip´ otesis, permiten probar que una clase dada se corresponde con un conjunto que tiene los mismos elementos. De este modo, las “multiplicidades inconsistentes” de Cantor aparecen reflejadas en la teor´ıa a trav´es de las clases, que nos permiten hablar de la clase de todos los grupos o la clase de todos los espacios vectoriales (y —c´omo no—, la clase de todos los conjuntos o la clase de todos los conjuntos que no se pertenecen a s´ı mismos). Por otra parte, resulta mucho m´ as c´omodo probar de forma inmediata que existe una clase a la que poder hacer referencia y despu´es probar con m´ as cuidado que tiene asociado un conjunto.

La relaci´on entre clases y conjuntos, que en la teor´ıa de Bernays era un tanto t´ecnica, fue simplificada notablemente por G¨ odel. En lo que hoy se conoce como teor´ıa de von Neumann-Bernays-G¨ odel, los conjuntos son un tipo particular de clases, son clases con “derecho de pertenencia”, es decir, se define un conjunto como una clase que pertenece al menos a otra clase. Probar que una clase es un conjunto es probar que “tenemos permiso” para tomarla como elemento de otras clases, esto no depende de ellas misma, sino de los axiomas que especifican bajo qu´e condiciones podemos hacerlo.

Por supuesto, NBG tiene sus propias multiplicidades inconsistentes, como la clase de todas las clases (que puede probarse que no existe), lo que permitir´ıa hablar de clases de segundo nivel si fuera conveniente, pero en general los matem´aticos est´an interesados en estudiar los conjuntos, y para ello les es u ´til contar con las clases, mientras que las clases de segundo nivel s´olo har´ıan falta si pretendi´eramos tratar a las clases como objeto de estudio y no como un concepto auxiliar.10 En los cap´ıtulos siguientes desarrollaremos con detalle estas ideas, describiremos las dos teor´ıas de conjuntos de las que hemos hablado, veremos la relaci´ on entre ellas, su relaci´on con la metamatem´atica y, en fin, veremos c´omo se resuelve —o hasta qu´e punto— el problema de la fundamentaci´ on de la matem´atica.

10 En realidad este problema surge en la teor´ ıa de categor´ıas, pues sus objetos de estudio son normalmente clases propias, pero hay formas de resolver el problema que ser´ıa complicado exponer aqu´ı.