Ecuaciones Diofánticas y engranajes cilíndricos

Sociedad Colombiana de Matem´ aticas XV Congreso Nacional de Matem´ aticas

Lecturas Matem´ aticas Volumen Especial (2006), p´ aginas 285–298

2005 Apuntes

Ecuaciones diof´ anticas y engranajes cil´ındricos Carlos Alberto Casas Figueroa

Universidad Javeriana, Cali, Colombia Abstract. The problem of designing a cylindrical gear in order to transmit fast wheel work starting from an existent ratio between the number of teeth of two sprockets, can be approached as integer positive solutions of Diophantine equations of the form ax + by = c.

Key words and phrases. Diophantine equations, Gears, Continued fractions, Convergents.

2000 AMS Mathematics Subject Classification.Primary: 54H25. Secondary: 47H10.

Resumen. El problema de dise˜ nar un engranaje cil´ındrico en el cual se transmite un movimiento r´ apido de rodaje o desfogue del engranaje a partir de una relaci´ on existente entre el n´ umero de dientes de dos pi˜ nones, se puede abordar como las soluciones enteras positivas de una ecuaci´ on diof´ antica de la forma ax + by = c .

1. Introducci´ on Las ruedas dentadas sirven para la transmisi´ on de potencia o movimientos entre dos o m´ as ejes.

La absorci´on de los choques en un engranaje cil´ındrico es igual en cada uno de los dientes, si la relaci´ on de transformaci´ on es de la forma a/b, donde a y b son n´ umeros primos relativos entre s´ı. La obtenci´ on de esta relaci´on de transformaci´ on donde a y b son el n´ umero de dientes del engranaje cil´ındrico, se puede apoyar en las ecuaciones diof´anticas y el concepto fundamental de las reducidas. El proceso abordado con las ecuaciones diof´anticas y las reducidas de una

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Carlos Alberto Casas Figueroa

fracci´ on es un m´etodo alternativo para el c´ alculo de las relaciones de transformaci´on que conlleva a disminuir el error en las relaciones de transformaci´ on.

Inicialmente se desarrolla el punto de vista te´ orico del problema como soporte, para finalmente aplicarlo a los engranajes cil´ındricos.

2. Ecuaciones diof´ anticas Una ecuaci´on lineal con dos inc´ ognitas no es suficiente para determinar el valor de ´estas, si deseamos encontrar una soluci´on u ´nica. Pues dos cantidades x e y no est´an un´ıvocamente determinadas m´as que en el caso de haber entre ellas dos ecuaciones independientes. Pero si alguna de las inc´ ognitas x e y, se les exige que sean n´ umeros enteros positivos, esta condici´on puede reemplazar la segunda ecuaci´on. En este caso la ecuaci´on se llama diof´ antica, en recuerdo del matem´atico Diofanto, quien vivi´ o en Alejandr´ıa hacia el a˜ no 275 de nuestra era y cre´o el an´ alisis indeterminado o an´ alisis diof´ antico, que es un m´etodo para buscar soluciones enteras de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones algebr´aicas con coeficientes enteros.

Reciben el nombre de ecuaciones diof´ anticas de primer grado con dos inc´ ognitas, las ecuaciones de la forma ax + by = c, donde las inc´ ognitas x, y son n´ umeros enteros positivos.

Soluciones posibles: A´ un en el caso de ser posible hallar valores de x e y que, satisfaciendo la condici´ on de ser enteros y positivos, verifiquen estas ecuaciones, existir´a siempre, una notable diferencia entre las ecuaciones diof´ anticas de primer grado y las ecuaciones ordinarias de primer grado con dos inc´ ognitas.

En efecto ocurre que mientras: Una ecuaci´ on lineal con dos inc´ ognitas

Una ecuaci´ on diof´ anticas de primer grado

Tiene infinitas soluciones en los n´ umeros reales

1. No tiene soluci´ on 2.Tiene una o un n´ umero finito de soluciones 3. Tiene infinidad de soluciones

Condici´ on para la existencia de soluciones: Una ecuaci´on Diof´ antica ax + by = c, en la cual los coeficientes de las inc´ ognitas tienen un factor com´ un, que no divide exactamente al segundo miembro, no tiene soluci´ on.

Si se divide la ecuaci´ on por el factor com´ un a esos coeficientes enteros, en el primer miembro, se obtienen coeficientes enteros para las inc´ognitas, mientras que en el segundo miembro, resulta una fracci´ on. Como un par de valores enteros x e y hacen que el primer miembro sea entero, ser´ıa preciso, para que existiera soluci´ on, que un n´ umero entero fuera igual a una fracci´ on. Esto no es posible.

´ nticas y engranajes cil´ındricos Ecuaciones Diofa

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Ejemplo: Sea la ecuaci´ on 20x + 15y = 7 Factor com´ un para 20 y 15 es 5 y no lo es para 7 luego la ecuaci´ on ser´ıa: 4x + 3y = 7/5 Por lo tanto: Para que una ecuaci´ on Diof´ antica ax+by = c tenga soluciones, es preciso que los coeficientes a, b de las inc´ognitas sean n´ umeros primos relativos. Es decir factores comunes para (a, b) = 1.

Ejemplo: Sea la ecuaci´ on 12x − 7y = 4.

Cumple la condici´ on factores comunes (12, 7) = 1. Algunas posibles soluciones son: x y

12 20

19 32

12(12) − 7(20) = 4 12(19) − 7(32) = 4 144 − 140 = 4 228 − 224 = 4 ¿Pero c´omo se obtuvieron estas soluciones?

Veamos como hallar una soluci´ on cualquiera de la ecuaci´ on 127x − 52y = −1 127 Sea la relaci´on donde a = 127 y b = 52.

52 Verifiquemos:

Ejecutemos la divisi´ on entre el numerador y el denominador de la fracci´ on, esto origina un cociente incompleto y un residuo, en seguida se efectuan divisiones a partir del divisor original as´ı: primera divisi´ on, el divisor original dividido por el primer residuo y cada nueva divisi´ on, el nuevo residuo dividir´ a al anterior residuo, hasta que se logre un residuo cero.

Sean las divisiones, donde: ai : Los cocientes incompletos ri : Los residuos a1 b r2

a r1

a2 r1 r3

a3 r2 r4

a4 r3 r5

a5 r4

La expresi´on obtenida da como resultado: 127 23 1 1 =2+ =2+ =2+ =2+ 52 52 52/23 2 + 6/23

=2+

1 1 2+ 3 + 5/6

1

=2+ 2+

1 3+

1 6/5

1 2+

1 23/6 1

=2+

1

2+ 3+

1 1 + 1/5

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La expresi´on obtenida se llama fracci´ on continua limitada o finita.

Suprimiendo el u ´ltimo t´ermino de esta fracci´on, que es 1/5, transformamos la fracci´on continua que acabamos de obtener en una fracci´ on ordinaria y la restamos de la fracci´on inicial.

1 1 1 4 22 1 2+ =2+ =2+ =2+ = =2+ 9 9 8+1 9 1 1 2+ 2+ 4 4 4 1 3+ 1 1 127 22 1143 − 1144 − = = 52 9 52 × 9 52 × 9 Reduciendo la expresi´on hallada a un denominador com´ un, se obtiene: 127 × 9 − 52 × 22 = −1 ⇒ 127(9) − 52(22) + 1 = 0 127X − 52Y + 1 = 0 Comparando esta igualdad obtenida con la ecuaci´ on. Concluimos que: x = 9 e y = 22 son soluci´ on de esta ecuaci´on.

La validez de esta soluci´on se apoya en el concepto de las reducidas de una fracci´ on. Ll´ amase reducida de una fracci´ on al proceso de suprimir el u ´ltimo t´ermino en una fracci´ on continua, esto significa que se obtiene de una fracci´ on continua, tantas reducidas como cocientes incompletos se haya podido efectuar.

Observemos en nuestro ejemplo el n´ umero de reducidas que se pueden plantear. ai 2 2 3 1 5 Recuerde: 127 52 23 6 5 1 ai : conciente incompleto 23 6 5 1 0 ri : residuo ri Luego: ai

2

2

3

1

5

La expresi´on obtenida da como resultado: 127 =2+ 52

1 1

2+ 3+

1

1 5 Tenemos cinco cocientes incompletos luego podemos plantear: n = 5 reducidas as´ı: Sea Ri una reducida cualquiera 1+

´ nticas y engranajes cil´ındricos Ecuaciones Diofa 1

R5 = 2 +

=

1

2+ 3+

p5 pn 127 = = qn q5 52

1

R4 = 2 + 2+

1

3+

1 1+ 5 p3 pn−2 1 17 R3 = 2 + = = = q q3 7 1 n−2 2+ 3 pn−4 p1 R1 = 2 = = qn−4 q1

=

1

p4 pn−1 22 = = qn−1 q4 9

1 1

R2 = 2 +

p2 pn−3 1 5 = = = q q2 2 2 n−3

El c´ alculo de cada una de ellas se vuelve un proceso dispendioso. ¿C´ omo se pueden obtener? ai

2

2

3

1

5

R1 = a1 = 2 ⇒ p1 = 2; q1 = 1 R2 =

2 × 2 + 1 (a1 ) × (a2 ) + 1 5 = = ⇒ p2 = 5; q2 = 2 a2 2 2 3×2×2+3+2 1 3 = =2+ 2×3+1 2×3+1 2×3+1 3 3(2 × 2 + 1) + 2 a3 × (a1 × a2 + 1) + a1 = = a3 × a2 + 1 3×2+1

R3 = 2 +

Observemos detenidamente P2 = a1 × a2 +1; P 1 = a1 ; q 2 = a2 ; q 1 = 1. Luego: R3 =

a3 × p2 + p1 3 × 5 + 2 17 = ⇒ p3 = 17; q3 = 7 . = a3 × q2 + q1 3×2+1 7

Seg´ un lo anterior, entonces R4 y R5 ser´an: R4 =

a4 × p3 + p2 1 × 17 + 5 22 = ⇒ p4 = 22; q4 = 9 . = q q a4 × 3 + 2 1×7+2 9

a5 × p4 + p3 5 × 22 + 17 127 = ⇒ p5 = 127; q5 = 52 . = a5 × q4 + q3 5×9+7 52 De lo anterior se puede plantear lo siguiente: R5 =

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290

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Teorema 2.1. Utilizando el m´etodo de inducci´ on matem´atica se demuestra que las relaciones de este mismo tipo: Pk = ak Pk−1 + Pk−2 ; q = ak qk−1 + qk−2

(2.1)

son v´ alidas para k ≥ 3.

Demostraci´ on: Supongamos que las igualdades (??) se cumplen para cualquier k ≥ 3. De la definici´ on de las fracciones reducidas se desprende directamente, 1 . La que sustituyendo en la expresi´ on Rk las magnitudes ak por: ak + ak+1 on tenemos que: expresi´on Rk se convierte en Rk+1 . Por inducci´ pk ak pk−1 + pk−2 Rk = q = q ak k−1 + qk−2 k 1 Sustituyendo aqu´ı ak por ak + ak+1 resulta

1 pk−1 + pk−2 ak + ak pk−1 + ak+1

= Rk+1 = 1 ak qk−1 + qk−1 + qk−2 ak + ak+1

ak pk−1 + pk−2 + Rk+1 = ak qk−1 + qk−2 +

Rk+1

pk−1 ak+1 = qk−1 ak+1

pk + qk +

pk−1 ak+1 qk−1 ak+1

+ pk−2 + qk−2

pk−1 ak+1 qk−1 ak+1

(ak+1 ) pk + pk−1 pk+1 (ak+1 ) pk + pk−1 ak+1 = = = qk+1 (ak+1 ) q k + qk−1 (ak+1 ) q k + qk−1 ak+1

As´ı, pues, de la validez de las igualdades (??) para cualquier k ≥ 3, se deduce

su validez para k + 1.

3. Propiedad de la diferencia entre dos reducidas consecutivas La diferencia de dos reducidas es: (k)

(−1) Rk − Rk−1 = q q k k−1

(k > 1) .

En efecto, pk pk−1 pk qk−1 − qk pk−1 = Rk − Rk−1 = q − q qk qk−1 k k−1

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´ nticas y engranajes cil´ındricos Ecuaciones Diofa

Apoy´ andonos en las igualdades (??) reemplacemos k por k − 1 Pk q−1 − qk Pk−1 = (ak Pk−1 + Pk−2 )qk−1 − (ak qk−1 + qk−2 )Pk−1 = ak Pk−1 qk−1 + qk−1 Pk−2 − ak Pk−1 qk−1 − Pk−1 qk−2 = −(Pk−1 qk−2 − qk−1 Pk−2 ) , reduciendo t´erminos. Repitiendo la misma transformaci´on en las expresiones obtenidas, resulta una sucesi´on de igualdades: (Pk qk−1 − qk Pk−1 ) = (−1)(Pk−1 qk−2 − qk−1 Pk−2 ) = (−1)2 (Pk−2 qk−3 − qk−2 Pk−3 ) = (−1)3 (Pk−3 qk−4 − qk−3 Pk−4 ) . . . = (−1)k−2 (P2 q1 − q2 P1 ) ; como P2 = a1 a2 + 1, q2 = a2 , P1 = a1 , q1 = 1, (Pk qk−1 − qk Pk−1 ) = (−1)k−2 ((a1 a2 + 1) × 1 − a2 (a1 )) = (−1)k−2 .

De esto se deduce que: Rk − Rk−1 =

k−2 k pk qk−1 − qk pk−1 (−1) (−1) = = .

2 qk qk−1 qk qk−1 (−1) q k qk−1 k

(−1) .

Rk − Rk−1 = q q k k−1

(3.1)

Cuando el desarrollo de a/b en fracci´on continua posee n t´erminos, la n−´esima fracci´on reducida Rn coincide con a/b. Por lo tanto Rk − Rk−1 = k (−1) si k = n, entonces; qk qk−1 a = Rn , b luego n (−1) a − Rk−1 = . qn qn−1 b Apliquemos lo anterior a la ecuaci´ on ax − by = c, con factores comunes para (a, b) = 1. Luego a/b es continua y a/b = Rn ; entonces n (−1) a pn−1 − = qn qn−1 b qn−1

haciendo com´ un denominador y simplificando n aqn−1 − bpn−1 (−1) = qn qn−1 bqn−1

como a/b y pn−1 /q n−1 son reducidas consecutivas, entonces b = qn .

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Por lo tanto aqn−1 − bPn−1= (−1)n multiplicando la expresi´ on (??) por (-1) tante entera

n−1

(3.2)

C tenemos, donde C es una cons-

a[(−1)n−1 Cqn−1 ] − b[(−1)n−1 CPn−1 ] = (−1)n (−1)n−1 C = (−1)2n−1 C, como 2n − 1 es impar a[(−1)n−1 Cqn−1 ] − b[(−1)n−1 CPn−1 ] = −C a[(−1)n−1 Cqn−1 ] − b[(−1)n−1 CPn−1 ] + C = 0 a(x) − b(y) + C = 0.

De donde X = (−1)n−1 Cqn−1 ; Y = (−1)n−1 CPn−1 , conforman una soluci´ on de esta ecuaci´on.

Para otras soluciones se utiliza lo siguiente: Teorema 3.1. Sean a, b n´ umeros primos entre s´ı y [xo , yo ] es una soluci´on arbitrar´ıa de la ecuaci´on lineal aX − bY + C = 0. Entonces: X = xo + bt; Y = yo + at, t = 0, ±1, ±2, ±3, . . . , ±n, ser´an otras soluciones.

Demostraci´ on: Sea [x, y] soluci´ on arbitraria de la ecuaci´ on, entonces de las igualdades ax − by + c = 0 y axo − byo + c = 0 tenemos que: a(x − x0 ) , (3.3) b como y − yo es un n´ umero entero; a y b n´ umeros primos entre s´ı, la expresi´on x−xo debe dividirse por b sin resto, es decir, x−xo adquiere la forma x−xo = bt en la que t es n´ umero entero. Por lo tanto, x = xo + bt; reemplazando este valor en (??) tenemos: ax − axo − by + byo = 0,

y − y0 =

y − y0 =

abt ⇒ y = y0 + at. b

4. Aplicaciones Ruedas dentadas y transmisiones por medio de ellas mismas. Las ruedas dentadas sirven para la transmisi´ on directa de potencia o movimientos entre dos o m´as ejes. La transmisi´on del esfuerzo tiene lugar por medio del engrane de los flancos de los dientes.

La velocidad tangencial com´ un es v = v1 = v2 = do1 n1

π π π π = do2 n2 = ro1 n1 = ro2 n2 [m/s] 60 60 30 30

´ nticas y engranajes cil´ındricos Ecuaciones Diofa

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Si do y ro se miden en metros. De aqu´ı se deduce: n1 do2 ro2 = = , n2 do1 ro1 con v1 = ro1 w1 = ro2 w2 .

La relaci´on de transformaci´ on vale: i=

do2 ro2 n1 z2 w1 = = = = . w2 do1 ro1 n2 z1

Para la elecci´on de la relaci´ on de transformaci´ on hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones: Si se requiere un r´apido rodaje o desfogueo del engranaje, la relaci´ on de transformaci´ on deber´ a ser un n´ umero entero, porque as´ı siempre engranan los mismos pares de dientes.

Para i = 1/1 son los mismos en cada vuelta; para i = 2/1 cada diente de la rueda menor engrana alternativamente con solo dos dientes de la rueda antagonista, pero si presentan oscilaciones peri´ odicas en el esfuerzo a transmitir (prensas de rodillera, prensas de estampar, . . . ) entonces las transformaciones por n´ umeros enteros han de evitarse a toda costa, de no hacerlo, siempre soportar´ıan las puntas de carga los mismos pares de dientes y se desgastar´ıan prematuramente.

En tales casos, a ser posible, cada diente de la rueda menor debe engranar sucesivamente con todos los de la mayor, de manera que todos los dientes se repartan por igual la absorci´ on de los choques. Esto se consigue con relaciones de transformaci´ on que no se pueden simplificar, por ejemplo 19 : 45.

Las ecuaciones diof´ anticas nos permite calcular engranajes cil´ındricos dada la relaci´ on de velocidad o relaci´ on de transmisi´ on de ellos.

Ejemplo N◦ 1. Se desean construir dos ruedas dentadas para un engranaje que den una relaci´ on de transmisi´on: i = 131/85, esto podr´ıa realizarse, si una de las ruedas tuviese 131 dientes y la otra 85; no obstante, no conviene que las ruedas tengan menos de 10 dientes ni m´ as de 30. Calcular el n´ umero de dientes que debe tener cada rueda para que esto se cumpla.

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Por la propiedad de la diferencia de reducidas consecutivas y el Teorema ??, tenemos: n pn pn−1 (−1) − = i = 131/85 = 1.541 qn qn−1 qn qn−1 Pn = 131, qn = 85, Pn−1 = y, qn−1 = x. Por lo tanto n

(−1) 131 y n − = ⇒ 131x − 85y = (−1) .

85 x 85x

(4.1)

Como (131, 85) = 1, (??) es una ecuaci´on diof´ antica. Calculemos las reducidas: ai 131 46 ri

1 85 39

1 46 7

1 39 4

p1 1 = q1 1 p3 a3 p2 + p1 3 = = R3 = q q3 a3 2 + q1 2 p5 a5 p4 + p3 20 = = R5 = q q q5 a5 4 + 3 13 p p7 p a7 6 + 5 131 = = R7 = q q7 a7 6 + q5 85 R1 =

5 7 3

1 4 1

1 3 0

3 1

p2 2 = q2 1 p4 a4 p3 + p2 17 = = R4 = q q4 a4 3 + q2 11 p6 a6 p5 + p4 37 = = R6 = q q6 a5 5 + q4 24 R2 =

De donde Pn−1 = 37 y qn−1 = 24. Como la ecuaci´on es de la forma ax − by = c entonces tenemos: 131(X) − 85(Y ) + (−1)6 = 0.

La soluci´ on es: X = (−1)n−1 CQn−1 = (−1)6 (1) ∗ 24 = 24 Y = (−1)n−1 CPn−1 = (−1)6 (1) ∗ 37 = 37 Pero el ejercicio nos pide que las ruedas no deben tener menos de 10 dientes ni m´ as de 30. Luego i = 24/37, entonces planteamos una nueva ecuaci´on

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´ nticas y engranajes cil´ındricos Ecuaciones Diofa

diof´ antica

n

(−1) 24 y n − = ⇒ 24x − 37y = (−1) .

37 x 37x

(4.2)

Calculemos las reducidas: Calculadas sus reducidas, se halla que 0 37 13

24 24

1 24 11

1 13 2

1 11 1

5 2 0

pn−1 11 = , qn−1 17

2 1

de donde, las ruedas deben tener 11 y 17 dientes respectivamente. Luego i = 17/11 = 1.545.

Error 131/85 − 17/11 = −0.0042 por exceso.

Error relativo: 0.0042/(131/85) = 0.0027.

Ejemplo N◦ 2. Para calcular el menor n´ umero de vueltas n0 que se debe dar al husillo desembragado del carro de un torno, para pasar de una a otra entrada al roscar un tornillo de filete m´ ultiple de cuatro entradas, de paso 3/2, siendo la constante del torno 5/8, se llega a la ecuaci´on: 4(5/8)n0 − 4(3/2)n1 = 3/2

⇔

5n0 − 12n1 = 3;

entonces 5(n0 )−12(n1 )−3 = 0, que es una ecuaci´ on diof´ antica, con (5, 12) = 1.

Calculemos las reducidas:

5 5

0 12 2

p1 0 = q1 1 p3 a3 p2 + p1 2 = = R3 = q q q3 a3 2 + 1 5 R1 =

2 5 1

2 2 0

2 1

p2 1 = q2 2 p4 a4 p3 + p2 5 = = R4 = q q q4 a4 3 + 2 12 R2 =

Como no = (−1)3 Cqn−1 = (−1)3 (−3)5 = 15 y n1 = (−1)3 CPn−1 = (−1)3 (−3)2 = 6 y nos piden el menor valor de no , entonces por el Teorema ??, no = 15 + 12t =⇒ no = 15 + 12(−1) = 3. n1 = 6 + 5t =⇒ n1 = 6 + 5(−1) = 1.

Ejemplo No 3. Se necesitan dos ruedas: Una de 237 dientes y otra de 295.

No disponemos m´as que de ruedas de 10, 15, 20, 25, 30, 35, y 40 dientes.

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Determinar los que debe tener la otra para que con ellas se pueda efectuar el trabajo.

237 , entonces los posibles juegos de ruedas son: Si i = 295 (10, 15); (10, 20); (10, 25); (10, 30); (10, 35); (10, 40) (15, 20); (15, 25); (15, 30); (15, 35); (15, 40) (20, 25); (20, 30); (20, 35); (20, 40) (25, 30); (25, 35); (25, 40) (30, 35); (30, 40) (35, 40) n

Tenemos:

237 237

(−1) 237 y n − = ⇒ 237x − 2957y = (−1) 237 Y (-1)n .

295 x 295x 0 295 58

1 237 5

4 58 3

11 5 2

1 3 1

1 2 0

2 1

Podemos observar que aqu´ı se generar´ıan siete (7) reducidas. Luego la ecuaci´on es 237X − 295Y = (−1)7 y entonces tenemos: 237X − 295Y + 1 = 0 ;

(4.3)

237 94 = 0.8033, R6 = , donde Pn−1 = 94 y Qn−1 = 117 la relaci´ on es i = 295 117 que est´an muy lejos de lo que se tiene.

Planteamos otra ecuaci´ on: 94X − 117Y = (−1)n

(4.4)

se calculan sus reducidas

94 94

0 117 23

1 94 2

4 23 1

11 2 0

2 1

´ nticas y engranajes cil´ındricos Ecuaciones Diofa

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45 , que est´a lejos de nuestra condici´ on 94X − 117Y = (−1)5 .

56 De nuevo planteamos una nueva ecuaci´ on:

R4 =

45X − 56Y = (−1)n

(4.5)

se calculan sus reducidas 45 45

0 56 11

1 45 1

4 11 1

11 1 0

4 Si R3 = estos valores est´an por debajo de lo deseado, pero 4 y 5 s´ı son 5 factores a la vez de 20 y 25, respectivamente, que es uno de los juegos de ruedas que se puede combinar. Por tanto Pn−1 = 4 y Qn−1 = 5.

Sustituyamos en la ecuaci´ on (??)

45X − 56Y = (−1)4 ⇔ 45X − 56Y = 1 multiplicada por 5 45(5Qn−1 ) − 56(5Pn−1 ) = 5 Por lo tanto X = 5Qn−1 = 25 Y = 4Pn−1 = 20.

20 = 0.80.

25 237 20 Error − = 0.003 por defecto.

295 25 0.003 Error relativo = = 0.004 237/295

entonces i =

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Carlos Alberto Casas Figueroa

(Recibido en mayo de 2006. Aceptado para publicaci´on en diciembre de 2006) Facultad de Ingenier´ıa Universidad Javeriana Cali, Colombia e-mail: ccasasf@puj.edu.co