سلسلة تمارين حول دراسة الدوال السنة الثانية بكالوريا مسلك العلوم التجريبية من إنجاز الأستاذ علي تامو

‫‪www.9alami.com‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻔﻬﺮﺱ‬

‫‪ ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 1 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 2 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 3 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 4 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 5 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 6 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 7 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 8 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪9 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 10 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 11 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 12 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 13 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 14 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 15 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 16 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 17 ‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪18 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:1 ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:2 ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:3 ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:4 ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:5 ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:6 ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:7 ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:8 ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:9 ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪: 10 ‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫وﻟﻴﻜﻦ ) ‪ (C‬ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(o, i, j‬‬ ‫‪ -a-1‬ﺣﺪد ‪ D‬ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪-b‬اﺣﺴﺐ آﻼ ﻣﻦ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫) ‪ lim f ( x‬و ) ‪ lim f ( x‬و ) ‪ lim+ f ( x‬و ) ‪lim− f ( x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪ – a-2‬ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪x +1 x +1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫=)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( ‪∀x ∈ D : f ( x) −‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x 2 + 27 + x‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫= ‪ ( Δ1 ) : y‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ل ) ‪ (C‬ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬ ‫‪ -b‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪ – C‬ﺑﻴﻦ أن‬ ‫‪ ( Δ 2 ) : y = −‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ل ) ‪ ( C‬ﺑﺠﻮار ∞‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 3 − 27‬‬ ‫= ) ‪ f '(x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. D‬‬ ‫‪ -a-3‬ﺑﻴﻦ أن‬ ‫‪2x 2 x 2 + 27‬‬ ‫‪ -b‬ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪ [3, +‬وﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ [‪ ]−∞, 0‬و ]‪. ]0,3‬‬ ‫‪ -c‬اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ – a-4‬ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (C‬ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‪.‬‬ ‫‪ -b‬ﻧﻘﺒﻞ أن ) ‪ A( x0 , y0‬ﺣﻴﺚ ‪ x0 ≈ −5, 2‬و ‪ y0 ≈ 2,9‬هﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﻧﻌﻄﺎف اﻟﻮﺣﻴﺪة ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬وأن )‪ f’(x‬ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [‪ [ x0 , 0‬وﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ ] ‪ ]−∞, x0‬و [∞‪ . ]0, +‬ﻧﺄﺧﺬ ‪i = j = 1cm‬‬ ‫أﻧﺸﺊ ‪. C‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪: 11 ‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪2 x2 −1‬‬ ‫‪. 1 + x2‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫وﻟﻴﻜﻦ ) ‪ (ζ‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(o, i, j‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ،f‬وﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن ‪ f‬ﻓﺮدﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪ -2‬اﺣﺴﺐ ) ‪ lim f ( x‬و ) ‪ lim f (x‬وأول هﻨﺪﺳﻴﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ D‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪. :‬‬

‫‪ -4‬أﻧﺸﺊ ) ‪. (ζ‬‬

‫‪x →0‬‬ ‫‪x ;0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪x . 1 + x2‬‬ ‫‪4‬‬

‫= )‪ f '( x‬واﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات ‪. f‬‬

‫‪ -5‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]0, +‬‬ ‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [∞‪ ]0, +‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ g −1‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ‪ g −1 ) . J‬هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪( g‬‬ ‫ج‪ -‬أﻧﺸﺊ ) ' ‪ (ζ‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪. g −1‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪: 12 ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ [ 0, +‬ب ‪f ( x) = 6 x − 4 x :‬‬ ‫) ‪f (x‬‬ ‫‪ -1‬اﺣﺴﺐ‬ ‫‪x‬‬

‫‪ . lim‬أول هﻨﺪﺳﻴﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪.‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x ;0‬‬

‫‪ -2‬ﺣﺪد اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ل ) ‪ (ζ‬ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪. f‬‬ ‫‪ -3‬اﺣﺴﺐ )‪ f’(x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪ ]0, +‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪. f‬‬ ‫‪-4‬أ‪ -‬ﺣﺪد ﻧﻘﻄﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (ζ‬ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‪.‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( Δ‬ﻣﻤﺎس ) ‪ (ζ‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل‬ ‫‪8‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫ج‪ -‬أﻧﺸﺊ ) ‪ ( Δ‬و ) ‪ (ζ‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(o, i, j‬‬

‫) وﺣﺪة اﻟﻘﻴﺎس ‪.( 1 cm :‬‬ ‫‪ g -5‬ﻗﺼﻮر ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪I = [1, +‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ ‪ .‬اﺣﺴﺐ ) ‪(.g ) ' ( 0‬‬ ‫‪−1‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪: 13 ‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪f ( x) = ( 1 + x 2 − x) 2‬‬

‫‪GG‬‬ ‫) ‪ (ζ‬هﻮ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(o, i, j‬‬

‫‪-1‬أ‪ -‬اﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ) ‪lim f (x‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪lim f ( x ) = 0 :‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫)‪−2 f ( x‬‬

‫= )‪f '( x‬‬

‫‪-2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪: IR‬‬ ‫‪1 + x2‬‬ ‫ب‪ -‬أﺛﺒﺖ أن ‪ f '( x ) ≠ 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ IR‬ﺛﻢ ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪ lim‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ل ) ‪ (ζ‬ﺟﻮار ∞‪−‬‬ ‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن ∞‪= −‬‬ ‫∞‪n →−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-4‬أ‪ -‬اآﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (T‬ﻣﻤﺎس اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (ζ‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل ‪.0‬‬ ‫ب‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (T‬واﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ) (ζ‬اﻟﻮﺣﺪة ‪( 2cm‬‬ ‫‪-5‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ IR‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬اﺣﺴﺐ )‪( f −1 ) ' (1‬‬ ‫ج‪ -‬اﺣﺴﺐ )‪ f’(x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. J‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪: 14 ‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ [ 0, +‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪f ( x) = x − 2 + 3 x 2 + 1‬‬

‫وﻟﻴﻜﻦ ) ‪ (ζ‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(o, i, j‬‬ ‫‪-1‬أ‪ -‬اﺣﺴﺐ ) ‪lim f (x‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ب‪ -‬ادرس اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫‪3 3 ( x 2 + 1) 2 + 2 x‬‬

‫) ‪(ζ‬‬ ‫= )‪(∀x ∈ [ 0, +∞[) , f '( x‬‬

‫‪-2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪3 3 ( x 2 + 1) 2‬‬ ‫ب‪ -‬اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [∞‪ [ 0, +‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻳﺠﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‬

‫‪1‬‬ ‫‪-4‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f(x) =0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا ‪ α‬ﺑﺤﻴﺚ ‪≺ α ≺ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (ζ‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( Δ‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪. y =x‬‬

‫ج‪ -‬أﻧﺸﺊ ) ‪ (ζ‬ﺛﻢ )' ‪ (ζ‬ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f −1‬اﻟﺘﻘﺎﺑﻞ اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫) دون ﺣﺴﺎب ‪.( α‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪: 15 ‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ *‪ IR‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎧‬ ‫)[‪( x ∈ ]−∞, 0[ ∪ ]0,1‬‬ ‫‪⎪⎪ f ( x) = − x + x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ f ( x) = 1 + x‬‬ ‫[∞‪( x ∈ [1, +‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫⎪⎩‬ ‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪x0 = 1‬‬ ‫‪-2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ x0 = 1‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ x0 = 1‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ) ﻻﺣﻆ أن ‪(1 + x − 2 x = ( x − 1) 2‬‬

‫‪ -3‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪(∀x ∈ ]−∞, 0[ ∪ ]0,1[) f '( x ) ≺ 0‬‬

‫‪x −1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن‬ ‫‪4 x‬‬ ‫ج‪ -‬اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪.f‬‬ ‫‪ -4‬ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ (ζ‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(o, i, j‬‬

‫= )‪(∀x ∈ ]1, +∞[) f '( x‬‬

‫أ‪ -‬ادرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (ζ‬‬ ‫ب‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ) (ζ‬ﻧﻘﺒﻞ أن ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (ζ‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف وﺣﻴﺪة أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ ‪(3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪: 16 ‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫‪⎧ f ( x) = x − 1 + 2 1 − x ; x ≤ 1‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫‪x3 − 1‬‬ ‫‪; x ≥1‬‬ ‫‪⎪ f ( x) = 3‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫⎩‬ ‫‪GG‬‬ ‫وﻟﻴﻜﻦ )‪ ( C‬ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(o, i, j‬‬ ‫‪ -1‬اﺣﺴﺐ ) ‪ lim f ( x‬وﺑﻴﻦ أن ‪lim f (x ) = −∞ :‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪ -2‬ادرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪ 1‬ﺛﻢ اﻋﻂ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ -3‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪[1, +‬‬

‫‪−x‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن‬ ‫)‪1 − x (1 + 1 − x‬‬ ‫ج‪ -‬اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪-4‬أ‪ -‬ادرس اﻟﻔﺮﻋﻴﻦ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﻴﻦ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪(C‬‬ ‫ب‪ -‬ارﺳﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ) ( C‬ﻻﺣﻆ أن ‪f(-3)=0‬‬ ‫‪ -5‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪[1, +‬‬ ‫= )‪f '( x‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫[‪]−∞,1‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [∞‪ [1, +‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ) ‪ g −1 ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫ج‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ g −1‬هﻲ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪3 3 ( x − x − x + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫→ ‪ x‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪: 17 ‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]0, +‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫وﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C‬ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(o, i, j‬‬ ‫‪-1‬أ‪ -‬اﺣﺴﺐ )‪ lim f ( x‬و )‪lim f ( x‬‬ ‫‪f ( x) = x − x +‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪x →0‬‬ ‫‪x;0‬‬

‫ب‪ -‬ﺣﺪد اﻟﻔﺮﻋﻴﻦ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﻴﻦ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪(C‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 2x + x + 1‬‬ ‫⎜⎜ = ) ‪ f '(x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪]0, +‬‬ ‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن ‪⎟⎟ ( x − 1) :‬‬ ‫⎠ ) ‪⎝ 2x x‬‬ ‫ب‪ -‬اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪-3‬أ‪ -‬ادرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( Δ‬ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. y=x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ب‪ -‬ارﺳﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ f (4) = ) ( C‬و = ) ( ‪( f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -4‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪[1, +‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔﻋﻜﺴﻴﺔ ‪ g −1‬وﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪g −1‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫ب‪ -‬ارﺳﻢ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ ، (o, i, j‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪. g −1‬‬ ‫‪ -5‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ ( an ) n∈IN‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪: 18 ‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ ان ‪( ∀n ∈ IN ) an ; 1 :‬‬

‫‪⎧a0 = 2‬‬ ‫⎨‬ ‫) ‪⎩an +1 = f (an‬‬

‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ( an ) n∈IN‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‪.‬‬ ‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ( an ) n∈IN‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﺛﻢ ﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪⎧⎪ f ( x) = x − 2 x − 1 ; x ≥ 1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩ f ( x) = x + 2 x − x ; x ≺ 1‬‬ ‫وﻟﻴﻜﻦ )‪ (C‬ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ م‪.‬م‪.‬م ) ‪(o, i, j‬‬ ‫‪ -1‬اﺣﺴﺐ )‪ lim f ( x‬و )‪lim f ( x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫‪-2‬أ‪ -‬ادرس اﺗﺼﺎل ‪ f‬ﻓﻲ ‪.1‬‬ ‫ب‪ -‬ادرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪ ،1‬ﺛﻢ اﻋﻂ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪-3‬أ‪ -‬اﺣﺴﺐ )‪ f’(x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ }‪IR − {1‬‬ ‫ب‪ -‬اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪. f‬‬ ‫‪-4‬أ‪ -‬ﺣﺪد اﻟﻔﺮﻋﻴﻦ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﻴﻦ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (C‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‪.‬‬ ‫ج‪ -‬ارﺳﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪(C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -5‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪ [ 2, +‬واﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫‪3‬‬ ‫أ‪ -‬اآﺘﺐ )‪ g(x‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ب‪ -‬اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. g‬‬

‫= )‪g (2‬‬

:1 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ x ∈ Df ⇔ ( x ≠ 1 ‫ ( و‬x + 1)( x − 1) ≥ 0) (-‫أ‬-1

⇔ [ x ≠ 1 ‫ ( و‬x ≥ 1 ‫ أو‬x ≤ −1)]

⇔ x ∈ ]−∞, −1] ∪ ]1, +∞[ D f = ]−∞, −1] ∪ ]1, +∞[

‫إذن‬

x +1 (-‫ب‬ =1 x →+∞ x − 1 lim f ( x ) = −∞ ‫ و‬lim f ( x) = +∞ ‫إذن‬ lim

x →−∞

x →+∞

x +1 = +∞ ‫ﺑﻤﺎ أن‬ x →1 x − 1 lim+ f ( x) = +∞ ‫ﻓﺈن‬ lim+

x →1

f ( −1) = 0

lim−

x →−1

‫و‬

f ( x) − f (−1) x +1 = lim− = 0 (-‫ أ‬-2 x →−1 x +1 x −1 .-1 ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻞ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ‬f ‫إذن‬ f g' (−1) = 0 ‫و‬

x ∈ D f − {−1} ( -‫ب‬ −2 x +1 ( x − 1) 2 + ( x + 1) f '( x) = x −1 x +1 2 x −1 x +1 ( x − 1) 2 − ( x + 1) 1 x − = x +1 ( x − 1) 2 x −1 ‫إذن‬ ( x + 1)( x − 2) D f − {−1} ‫ ﻣﻦ‬x ‫ﻟﻜﻞ‬ f '( x) = x +1 2 ( x − 1) x −1 ( x + 1)( x − 2) ‫ هﻲ إﺷﺎرة‬f '( x ) ‫( إﺷﺎرة‬-‫ج‬

f (2) = 3 3

( -‫أ‬-3

x +1 − ( x + 2) x −1 x +1 ( x + 1) 2 − ( x + 2) 2 x −1 = lim x →+∞ x +1 ( x + 1) + ( x + 2) x −1 3x + 5 = lim x →+∞ x +1 + ( x + 2)( x − 1) ( x 2 − 1) x −1 5 3+ x = lim =0 x →+∞ 1 x +1 2 (x − ) + (1 + )( x − 1) x x −1 x y = x + 2 ‫( اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬D) ‫إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ −∞ ‫ و‬+∞ ‫( ﺑﺠﻮار‬C ) ‫ﻣﻘﺎرب ل‬ (C ) ‫ب( إﻧﺸﺎء‬

lim [ f ( x) − ( x + 2)] = lim ( x + 1)

x →+∞

x →+∞

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:2 ‬‬ ‫⎤ ‪2‬‬ ‫⎡‬ ‫‪lim f ( x) = lim ( x − 4) ⎢ −1 +‬‬ ‫‪⎥ = −∞ -1‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫⎦ ‪4− x‬‬ ‫⎣‬ ‫‪-2‬‬ ‫)‪f ( x) − f (4‬‬ ‫‪x−4+2 4− x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫‪x≺ 4‬‬ ‫‪x≺ 4‬‬ ‫⎞ ‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫‪= lim ⎜1 −‬‬ ‫∞‪⎟ = −‬‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪x≺ 4‬‬ ‫‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪4‬‬ ‫ﻳﻘﺒﻞ )‪ (C‬ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A(4,0‬ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪-3‬أ‪ ( -‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫[‪]−∞, 4‬‬

‫‪−1‬‬ ‫‪2 4− x‬‬

‫‪f '( x) = 1 + 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4 − x −1‬‬ ‫=‬ ‫‪4− x‬‬ ‫‪4− x‬‬ ‫ب‪ (-‬إﺷﺎرة )‪ f’(x‬هﻲ إﺷﺎرة ‪4 − x − 1‬‬ ‫‪4 − x −1‬‬ ‫‪3− x‬‬ ‫=‬ ‫= ‪4 − x −1‬‬ ‫‪4 − x +1‬‬ ‫‪4 − x +1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪∀x ≺ 4 4 − x + 1 0 :‬‬ ‫إذن إﺷﺎرة )‪ f’(x‬هﻲ إﺷﺎرة ‪3 − x‬‬ ‫‪x ≺ 3 ⇔ f '( x ) 0‬‬ ‫‪3 ≺ x ≺ 4 ⇔ f '( x ) ≺ 0‬‬ ‫‪= 1−‬‬

‫‪f (3) = −1 + 2 = 1‬‬

‫‪-4‬‬

‫⎞ ‪⎛ 4 2 4− x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪= lim ⎜⎜ 1 + +‬‬ ‫⎟⎟‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⎝ x‬‬ ‫⎠‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫‪⎛ 4‬‬ ‫⎞‪4 1‬‬ ‫‪= lim ⎜⎜1 + − 2 2 − ⎟⎟ = 1‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎠‪x‬‬ ‫‪⎝ x‬‬

‫)‬

‫(‬

‫∞‪lim ( f ( x) − x ) = lim −4 + 2 4 − x = +‬‬ ‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫إذن ﻳﻘﺒﻞ )‪ (C‬ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ اﺗﺠﺎهﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪y = x‬‬

‫‪x≺4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪f ( x) = 0 ⇔ x − 4 + 2 4 − x = 0‬‬

‫‪⇔ 2 4− x = 4− x‬‬ ‫‪⇔ 4 = 4− x‬‬ ‫‪⇔ x=0‬‬ ‫إذن )‪ (C‬ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻓﻲ أﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (0) = 0 -6‬و‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(T ) : y = x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (−5) = − 3 -7‬‬

‫= )‪f '(0‬‬

:3 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ x ∈ D f ⇔ x 2 + x 0 (-1 ⇔ x ( x + 1) 0

x ∈⇔ x ]−∞, −1[ ∪ ]0, +∞[

D f = ]−∞, −1[ ∪ ]0, +∞[ ‫إذن‬ ‫( ﻧﻌﻠ ﻢ أن‬-2 1 ‫ و‬lim x 2 + x = +∞ lim = 2 x →+∞ x →+∞ x +x lim f ( x ) = −∞ ‫إذن‬ x →+∞

1 = +∞ ‫ و‬lim+ x 2 + x = 0 ‫وﺑﻤﺎ أن‬ lim+ 2 x →0 x →0 x + x lim f ( x) = +∞ ‫ﻓﺈن‬

x→0+

⎡ ⎛ 1⎞ ⎤ f ⎢ 2 ⎜ − ⎟ − x ⎥ = f (−1 − x ) (-3 ⎣ ⎝ 2⎠ ⎦ 1 = − (x + 1) 2 − 1 − x 2 (x + 1) − 1 − x 1 = 2 − x 2 + 2x + 1 − 1 − x = f ( x ) x + 2x − 1 − x ⎡ ⎛ 1⎞ ⎤ (∀x ∈ D f ) f ⎢ 2 ⎜ − ⎟ − x ⎥ = f (x ) ‫إذن‬ ⎣ ⎝ 2⎠ ⎦ . (C ) ‫ ( ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ‬Δ ) ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ D f ‫ ﻣﻦ‬x ‫( ﻟﻴﻜﻦ‬-4 2x + 1

2x + 1 − (x 2 + x ) 2 2 x 2 + x ⎡ ⎤ 1 1 = −(2x + 1) ⎢ 2 + ⎥ 2 2 ⎣ (x + x ) 2 x + x ⎦

f '(x ) = −

1 1 + 0 (-5 2 (x + x ) 2 x 2 + x ]0, +∞[ ‫ ﻋﻠﻰ‬2x + 1 ‫ إﺷﺎرة ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة‬f '(x ) ‫إذن ﺗﻘﺒﻞ‬

(∀x ∈ D f ]0, +∞[)

2

(∀x〉 0) 2x + 1 0 : ‫ﺑﻤﺎ أن‬ ∀x 0 f '( x ) ≺ 0 : ‫ﻓﺈن‬

x f’(x) f(x)

+∞

0

+∞

−∞

‫‪-6‬‬ ‫‪⎛ 1‬‬ ‫) ‪f (x‬‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim ⎜⎜ 3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪⎟ = −1‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x →+∞ x + x 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎠⎟ ‪x‬‬ ‫⎝‬ ‫‪⎛ 1‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟⎤ ‪− ⎡ x 2 + x −x‬‬ ‫‪lim (f (x ) + x ) = lim ⎜ 2‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x →+∞ x + x‬‬ ‫⎣‬ ‫⎠⎦‬ ‫⎝‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim ( x 2 + x − x ) = lim‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x 2 +x +x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1+ +1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن ‪lim (f (x ) + x ) = −‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = − x −‬ﻣﻘﺎرب ل ) ‪ (c‬ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬

‫‪0 f (x ) = 0 (-7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x ) = 0 ⇔ 2‬‬ ‫‪= x 2 +x‬‬ ‫‪x +x‬‬ ‫‪⇔ (x 2 + x )2 = 1‬‬ ‫‪⇔ x 2 + x −1 = 0‬‬ ‫‪Δ = 1+ 4 = 5‬‬ ‫‪−1 + 5‬‬ ‫إذن‬ ‫= ‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1 − 5‬‬ ‫ﻏﻴﺮ ﻣﻘﺒﻮل ﻷﻧﻪ ﺳﺎﻟﺐ(‬ ‫) اﻟﺤﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫⎫⎪ ‪⎪⎧ −1 + 5‬‬ ‫⎨= ‪S‬‬ ‫⎬‬ ‫⎪⎭ ‪⎩⎪ 2‬‬ ‫‪x‬‬

‫⎛‬ ‫⎞ ‪−1 + 5‬‬ ‫= ‪ ⎜⎜ A‬هﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (C‬وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻋﻠﻰ ‪*+‬‬ ‫⎟⎟ ‪, 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬

‫‪.‬‬

:4 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

lim+

x →−

1 2

x ∈ D ⇔ 2x + 1 0 -1 ⎤ 1 ⎡ ⇔ x ∈ ⎥ − , +∞ ⎢ ⎦ 2 ⎣ ⎤ 1 ⎡ D = ⎥ − , +∞ ⎢ ⎦ 2 ⎣ 1 2x + 1 = 0+ ‫ و‬lim+ (x + 1) = ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ 1 2 x →− 2

lim+ f (x ) = +∞ ‫إذن‬

x →−

1 2

lim f ( x) = lim

x →+∞

1 x = +∞ 2 1 + x x2

1+

x →+∞

(C ) ‫( ﻣﻘﺎرب ل‬D ) : y = −

1 -2 2

1 f ( x) x =0 lim = lim x →+∞ x →+∞ x 2x +1 ‫( ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬C )‫إذن‬ 1+

. D ‫ ﻣﻦ‬x ‫( ﻟﻴﻜﻦ‬-‫أ‬-3 1 2x + 1 − (x + 1) 2x + 1 f '(x ) = (2x + 1) 2x + 1 − x − 1 = (2x + 1) 2x + 1 =

x (2x + 1)

3 2

= x (2x + 1)

−3 2

(-‫ب‬

. D ‫ ﻣﻦ‬x ‫( ﻟﻴﻜﻦ‬-‫أ‬-4 −5 3 f ''( x) = (2 x + 1) − × (2 x + 1) 2 × 2 2 3 2

‫‪−5‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪= (1 − x )(2x + 1‬‬

‫‪−5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− ) f ''(x ) = (1 − x )(2x + 1) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪x − (-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ''(x ) ≥ 0 ⇔ 1 − x 0‬‬ ‫‪⇔ x ≺1‬‬ ‫إذن '' ‪ f‬ﺗﻨﻌﺪم وﺗﻐﻴﺮ اﻹﺷﺎرة ﻓﻲ ‪x 0 = 1‬‬

‫‪(∀x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎞‪⎛ 2 3‬‬ ‫‪ A ⎜⎜1,‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ل ) ‪.(C‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ⎟‬ ‫⎠⎟ ‪3‬‬ ‫⎝‬ ‫= )‪f (1‬‬

‫‪-6‬أ‪ g (-‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫و [∞‪J = g (I ) = [1, +‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ ‪.J‬‬ ‫ب‪ (-‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ I‬و ‪ y‬ﻣﻦ ‪. J‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪=y‬‬ ‫⇔ ) ‪y = g (x‬‬ ‫‪2x + 1‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪x 2 + 2x + 1‬‬ ‫= ‪⇔y2‬‬ ‫‪2x + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⇔ x + 2x (1 − y ) + 1 − y 2 = 0‬‬ ‫‪Δ ' = y 2 ( y 2 − 1) ≥ 0‬‬ ‫إذن ‪ x 1 = y 2 − 1 − y y 2 − 1‬و ‪y 2 − 1‬‬

‫‪x 2 = y 2 −1+ y‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪ x1 = y 2 − 1 − y y 2 − 1‬ﻏﻴﺮ ﻣﻘﺒﻮل ﻷﻧﻪ ﺳﺎﻟﺐ ‪.‬‬ ‫إذن ‪x = x2 = y 2 − 1 + y y 2 − 1‬‬

‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪g −1 (x ) = x 2 − 1 + x x 2 − 1 :‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:5 ‬‬ ‫‪0 h '(x ) = 3(1 − 2 x ) -1- I‬‬ ‫‪0 ⇔ 1− 2 x‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≺ ‪⇔ x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≺ ‪⇔0≺ x‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪∀x‬‬

‫) ‪h '( x‬‬

‫⎞‪⎛1‬‬ ‫‪ h ⎜ ⎟ -2‬ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮﻳﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪. h‬‬ ‫⎠‪⎝4‬‬ ‫⎞‪⎛1‬‬ ‫إذن ⎟ ⎜ ‪(∀x ∈ + ) h ( x ) ≤ h‬‬ ‫⎠‪⎝4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫أي أن ‪(∀x ∈ ) h ( x ) ≤ 0‬‬

‫‪-1 II‬‬ ‫)‪f (x ) − f (0‬‬ ‫‪⎛ 4x − 1‬‬ ‫⎞‬ ‫⎜ ‪= lim+‬‬ ‫∞‪− 4x ⎟ = −‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⎝ x‬‬ ‫⎠‬ ‫إذن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ‪.‬‬ ‫ﻳﻘﺒﻞ) ‪(C‬ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل ‪0‬‬ ‫‪lim+‬‬

‫‪*+‬‬

‫‪-2‬أ‪ (-‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬ ‫‪1‬‬ ‫× )‪f '(x ) = 4 x + (4x − 1‬‬ ‫‪− 8x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪8x − 4x − 1 − 16x x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫⎟ ‪4 ⎜ 3x − 4x x −‬‬ ‫‪12x − 16x x − 1‬‬ ‫⎠‪4‬‬ ‫=‬ ‫⎝ =‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫) ‪2h ( x‬‬ ‫وﺑﺎﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪: *+‬‬ ‫= ) ‪f '(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬

‫ب‪(-‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x x →+∞ x x x →+∞ 2x‬‬ ‫إذن ∞‪lim f ( x ) = −‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪0‬‬ ‫‬‫‪1/2‬‬

‫∞‪+‬‬ ‫) ‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞ ‪1‬‬ ‫‪⎛ 4‬‬ ‫⎜ ‪= lim‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ج‪− 4 + 2 ⎟ = −∞ ( -‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎠ ‪2x‬‬ ‫‪⎝ x x x‬‬ ‫ﻳﻘﺒﻞ ) ‪(C‬ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ‪.‬‬ ‫‪lim‬‬

‫‪-3‬أ‪ g (-‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫إذن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ ‪. J‬‬ ‫⎤‬ ‫⎤⎞ ‪⎛ 1‬‬ ‫⎥ ⎟ ⎜ ‪J = g (1) ⎥ lim g (x ), g‬‬ ‫⎦⎠ ‪⎝ 4‬‬ ‫∞‪⎦ x →+‬‬ ‫⎤‪1‬‬ ‫⎤‬ ‫وﻣﻨﻪ ⎥ ‪J = ⎥ −∞,‬‬ ‫⎦‪4‬‬ ‫⎦‬

‫ب‪ (-‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ ‪ J‬و ‪0 ∈ J‬‬ ‫إذن ‪ 0‬ﻳﻘﺒﻞ ﺳﺎﺑﻖ وﺣﻴﺪ ﻓﻲ ‪. I‬‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ x ∈ I g ( x ) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا ‪α‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 2 +1‬‬ ‫= ) (‪ g‬و ‪g( ) = 3− ≺ 0‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎡‪⎤1 3‬‬ ‫إذن ⎢ ‪α ∈ ⎥ ,‬‬ ‫⎣‪⎦2 4‬‬ ‫‪-4‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f’(x‬‬ ‫)‪fx‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:6 ‬‬ ‫‪ -1‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ∞‪lim ( x 2 − 1 ) = lim x 2 = +‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫ﻳﻌﻨﻲ أن ∞‪x 2 − 1 = +‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫إذن ∞‪lim f ( x ) = +‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x − x 2 −1‬‬

‫‪= lim‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ∞‪x 2 − 1 = +‬‬

‫)‪x 2 − (x 2 − 1‬‬ ‫‪x − x 2 −1‬‬

‫‪lim f (x ) = lim‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫ﻓﺈن ∞‪lim(x − x 2 − 1 = −‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪lim f ( x ) = 0‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫‪-2‬أ‪(-‬‬

‫‪+ x −1 −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫⎞ ‪x +1‬‬ ‫∞‪⎟ = +‬‬ ‫⎠ ‪x 2 −1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f (x ) − f (1) lim x‬‬ ‫=‬ ‫‪x −1‬‬ ‫⎛‬ ‫⎛‬ ‫⎞ ‪x 2 −1‬‬ ‫‪lim ⎜1 +‬‬ ‫‪⎟ = lim ⎜1 +‬‬ ‫⎜ ‪x →1‬‬ ‫⎝ ‪x − 1 ⎟⎠ xx →11‬‬ ‫⎝ ‪x 1‬‬ ‫‪lim‬‬

‫ﻷن ‪ lim( x + 1) = 2‬و ‪lim x 2 − 1 = 0+‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪x →1‬‬

‫)‪f (x ) − f (1‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪x −1‬‬

‫‪lim‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ ‪ 1‬و ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷراﺗﻴﺐ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪A (1,1‬‬

‫)‪f (x ) − f ( −1‬‬ ‫‪x + x 2 −1 +1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x →−1‬‬ ‫‪x →−1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x ≺ −1‬‬ ‫‪x ≺ −1‬‬ ‫‪lim‬‬

‫⎛‬ ‫⎞ ‪x −1‬‬ ‫‪= lim ⎜1 +‬‬ ‫∞‪⎟ = −‬‬ ‫‪x →−1‬‬ ‫⎠ ‪x 2 −1‬‬ ‫⎝ ‪x ≺ −1‬‬ ‫ﻷن ‪ lim (x − 1) = −2‬و ‪lim x 2 − 1 = 0+‬‬

‫‪x →−1‬‬ ‫‪x ≺ −1‬‬

‫‪x →−1‬‬

‫)‪f (x ) − f (−1‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫‪x →−1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x ≺ −1‬‬ ‫‪lim‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر ‪ 1‬و ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫)‪B (−1, −1‬‬

‫ب‪x ∈ ]−∞,1[ ∪ ]1, +∞[ (-‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f '(x ) = 1 +‬‬

‫‪x 2 −1‬‬

‫‪x2 −1 + x‬‬

‫= )‪(∀x ∈ ]−∞,1[ ∪ ]1, +∞[ ) f '( x‬‬

‫ج‪ ( -‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪0 :‬‬

‫‪(∀x ∈ ]+1, +∞[ ) x 2 − 1 + x‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪0‬‬

‫) ‪(∀x ∈ ]1, +∞[ )f '(x‬‬

‫‪x2 −1‬‬

‫إذن ‪ f‬داﻟﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪]1, +‬‬ ‫) [∞‪(∀x ∈ ]−∞, −1[ ∪ ]1, +‬‬ ‫‪x 2 −1 − x 2‬‬

‫= ) ‪f '(x‬‬

‫) ‪x 2 − 1( x 2 − 1 − x‬‬ ‫‪−1‬‬

‫=‬

‫) ‪x 2 − 1( x 2 − 1 − x‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‬

‫‪x 2 −1 − x‬‬

‫(‬

‫)[‪(∀x ∈ ]−∞, −1‬‬

‫إذن ‪(∀x ∈ ]−∞, −1[) f '(x ) ≺ 0‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫[‪]−∞, −1‬‬

‫‪-3‬أ‪x ∈ ]1, +∞[ (-‬‬

‫)‬

‫‪x 2 −1 − x‬‬

‫‪=0‬‬

‫(‬

‫‪−1‬‬ ‫‪x 2 −1 + x‬‬

‫)‬

‫‪lim [ f (x ) − 2x ] = lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ﻷن ∞‪x 2 − 1 + x = +‬‬

‫(‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫إذن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرب ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪y = 2x‬‬

‫ب‪(-‬‬

‫‪ g -1‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫و ‪g (I ) = I‬‬ ‫إذن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ ‪.I‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪ g‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‬ ‫‪ g −1‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:7 ‬‬ ‫‪-1‬أ‪= ]−∞, 0[ ∪ ]0, +∞[ (-‬‬ ‫ب‪ ( -‬إذا آﺎن‬

‫‪x 2 +3‬‬ ‫و‬ ‫‪−x‬‬

‫∈ ‪ x‬ﻓﺈن‬

‫*‬

‫= ‪Df‬‬

‫*‬

‫∈ ‪−x‬‬

‫*‬

‫‪f (−x ) = −2x −‬‬

‫‪x2 + 3‬‬ ‫‪= −2 x +‬‬ ‫)‪= − f ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫إذن ) ‪∀ ∈ * f (− x ) = −f (x‬‬ ‫إذن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ‪.‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞⎞ ‪3‬‬ ‫⎛‬ ‫⎟ ⎟ ‪x 2 ⎜1 + 2‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟⎠ ‪⎝ x‬‬ ‫‪lim f (x ) = lim ⎜ 2x −‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫⎜ ∞‪x →+‬‬ ‫⎟‬ ‫‪x‬‬ ‫⎜⎜‬ ‫⎟⎟‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎞ ‪3‬‬ ‫∞‪= lim ⎜⎜ 2 x − 1 + 2 ⎟⎟ = +‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫⎠ ‪x‬‬ ‫⎝‬ ‫إذن ∞‪lim f ( x ) = +‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫‪x ∈ I (- 1-3‬‬

‫‪x +3‬‬ ‫‪− 2x + 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f (x ) − (2x − 1) = 2x −‬‬

‫‪x 2 +3 x − x 2 +3‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪= 1−‬‬

‫ب‪(-‬‬

‫‪−3‬‬

‫=‬

‫)‪x − (x + 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪) x (x + x + 3‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ∞‪lim x ( x + x + 3 ) = +‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪x x + x 2 +3‬‬

‫= )‪f (x ) − (2x − 1‬‬

‫‪2‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ﻓﺈن ‪= 0‬‬

‫)‬

‫‪−3‬‬

‫‪lim‬‬

‫(‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪x x + x 2 +3‬‬

‫إذن ‪lim [ f (x ) − (2x − 1)] = 0‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ) ‪ ( Δ‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬ ‫ج‪ (-‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

‫)‬

‫‪−3‬‬

‫(‬

‫‪x x + x 2 +3‬‬

‫أي أن ‪f ( x ) ≺ 2 x − 1‬‬

‫) ‪(∀x ∈ I‬‬

‫) ‪(∀x ∈ I‬‬

‫إذن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻮﺟﺪ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( Δ‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫[∞‪]0, +‬‬

‫‪− x2 + 3‬‬ ‫‪-4‬أ‪(-‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪x +3‬‬

‫‪x2‬‬

‫)‪x 2 − (x 2 + 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x ≠ 0; f '( x) = 2 −‬‬

‫‪= 2−‬‬

‫‪x 2 x 2 +3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x x 2 +3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2 + 3‬‬

‫ب‪(-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(∀x ∈ I ) f '( x) = 2 +‬‬ ‫‪x‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬

‫∞‪+‬‬

‫)‪f(x‬‬ ‫∞‪−‬‬

‫‪-5‬أ‪ (-‬ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (C‬ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪x ∈I‬‬ ‫⎪⎧‬ ‫‪⎧x ∈ I‬‬ ‫‪⇔⎨ 2‬‬ ‫⎨‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎩ f (x ) = 0‬‬ ‫‪⎪⎩ x − x + 3 = 0‬‬ ‫‪⎧⎪ x 2 = x 2 + 3‬‬ ‫⎨⇔‬ ‫‪⎪⎩ x ∈ I‬‬ ‫‪⎧ 4x 4 − x 2 − 3 = 0‬‬ ‫⎨⇔‬ ‫‪⎩ x ∈I‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ 4x 4 − x 2 − 3 = 0‬ﻳﺆول ﺣﻠﻬﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪ x 2 = −‬أو ‪4 x 4 − x 2 − 3 = 0 ⇔ ( x 2 = 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪ x = −1‬أو ‪⇔ ( x = 1‬‬ ‫⎫ ‪f (x ) = 0‬‬ ‫‪⎬ ⇔ x =1‬‬ ‫‪x ∈I‬‬ ‫⎭‬ ‫إذن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A (1, 0‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ (T‬ﻣﻤﺎس ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬هﻲ‪:‬‬ ‫)‪y = f '(1)( x − 1) + f (1‬‬ ‫‪T : y = 3x − 3‬‬ ‫ب‪-‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ '‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ‬ ‫إذن ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ) ‪ (C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬أﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ‪.‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪ g‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫و = )‪g (1‬‬ ‫إذن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f’(x‬‬

:8 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ (-‫أ‬-1 lim (x + 2)(x − 3) = lim x = +∞ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ 2

x →+∞

x →+∞

lim f ( x ) = +∞ ‫إذن‬

x →+∞

2 (x + 2)(x + 3) f (x ) -‫ب‬ = lim x →−2 x + 2 x →−2 x +2 x −2 x −2 lim

2( x + 2)(x + 3) 2(x + 3) = lim x →−2 ( x + 2) ( x + 2)( x + 3) x →−2 (x + 2)(x + 3) x −2 x −2

= lim

lim 2(3 − x ) = 10 ‫ﺑﻤﺎ أن‬

x →−2

lim (x + 2)(x + 3) = 0+

x →−2 x −2

lim

x →−2 x −2

lim x →3 x 3

f (x ) = +∞ ‫ﻓﺈن‬ x +2

2 (x + 2)( x − 3) f (x ) = lim x → 3 x −3 x 3 x −3 = lim x →3 x 3

lim x →3 x 3

2(x + 2) = +∞ (x + 2)(x + 3) f (x ) = +∞ x −3

2 (x + 2)(3 − x ) f (x ) = lim x →3 x − 3 x →3 x −3 x ≺3 x ≺3

lim

lim x →3 x ≺3

−2(x + 2) = −∞ (x + 2)(3 − x )

f ( x) = −∞ lim x − 3 x→3 x≺3 (-‫أ‬-2

⎧⎪f (x ) = 2 (x + 2)(3 − x ); −2 ≺ x ≺ 3 ⎨ ⎪⎩ f (x ) = 2 (x + 2)(x − 3); x 3 x ∈ ]−2,3[ ‫إذا آﺎن‬ f '(x ) =

2 [ (x + 2)(3 − x ) ]

‫ﻓﺈن‬ 2 (x + 2)(3 − x ) 1 − 2x (∀x ∈ ]−2,3[) f '(x ) = ‫أي أن‬ (x + 2)(3 − x )

( ( x − 2)(3 − x)

0 ‫ ) ﻷن‬1 − 2x ‫] هﻲ إﺷﺎرة‬−2,3[ ‫ ﻋﻠﻰ‬f '( x ) ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن إﺷﺎرة‬ x ∈ ]3, +∞[ ‫إذا آﺎن‬

[(x + 2)(x − 3)] '(x ) = 2

'

‫ﻓﺈن‬ 2 (x + 2)(x − 3) 2x − 1 (∀x ∈ ]3, +∞[) f '(x ) = (x + 2)(x − 3) f

x

3⇒ x

1 ⇒ 2x − 1 0 2 ⇒ f '( x ) 0

∀x ∈ ]3, +∞[ f '(x )

0 ‫إذن‬ -‫ب‬

(‫أ‬-3 2 (x + 2)(x − 3) f (x ) lim = lim x →+∞ x →+∞ x x

2 x2 − x − 6 x →+∞ x

= lim

⎛ 1 6 ⎞ 2 x 2 ⎜1 − − 2 ⎟ ⎝ x x ⎠ = lim x →+∞ x 1 6 2x x 2 1 − − 2 x x = lim x →+∞ x 1 6 = lim 2 1 − − 2 = 2 x →+∞ x x 1 6 lim = lim 2 = 0 ‫ﻷن‬ x →+∞ x x →+∞ x lim [ f ( x ) − 2x ] = lim ⎡⎣ 2 ( x + 2)( x − 3) − 2x ⎤⎦ x →+∞ x →+∞ (x + 2)(x − 3) − x 2 = 2 lim x →+∞ (x + 2)(x − 3) + x 6−x = 2 lim x →+∞ (x + 2)(x − 3) + x

‫‪6‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= 2 lim‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪1 6‬‬ ‫‪1− − +1‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ (D‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬

‫ب‪ (-‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ [∞‪]3, +‬‬ ‫)‪f (x ) − (2x − 1) = 2 (x + 2)(x − 3) − (2x − 1‬‬ ‫‪4( x + 2)(x − 3) − (2x − 1) 2‬‬ ‫)‪2 (x + 2)( x − 3) + (2x − 1‬‬ ‫‪−25‬‬ ‫=‬ ‫‪≺0‬‬ ‫)‪2 (x + 2)(x − 3) + (2x − 1‬‬ ‫=‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪f (x ) ≺ 2x − 1; ]3, +‬‬ ‫إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﻳﻮﺟﺪ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]3, +‬‬

:9 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ -1 x ∈ D f ⇔ x + 2x ≥ 0 ⇔ x ( x + 2) ≥ 0 2

x ∈ ]−∞, 2] ∪ [ 0, +∞[

D f = ]−∞, 2] ∪ [ 0, +∞[ lim (x 2 + 2x ) = lim x 2 = +∞ ‫ﺑﻤﺎ أن‬

x →+∞

x →+∞

lim

x →+∞

x 2 + 2x = +∞ ‫و‬ lim x = +∞ ‫و‬

x →+∞

lim f ( x ) = +∞ ‫ﻓﺈن‬

x →+∞

lim (x + x 2 + 2x ) = lim

x →+∞

x 2 + 2x − x 2

-2 x 2 + 2x − x 2x 2x = lim x 2 + 2 − x x →−∞ x 1 + 2 − x x 2 = lim x →−∞ 2 − 1 + −1 x 2⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = 1 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ x →−∞ ⎝ x ⎠ ⎛ ⎞ 2 lim ⎜⎜ − 1 + − 1⎟⎟ = −2 ‫إذن‬ x →−∞ x ⎝ ⎠ x →+∞

= lim

x →−∞

lim f (x ) = −1 ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن‬

x →−∞

y = −1 ‫ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬−∞ ‫( ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرب ﺑﺠﻮار‬C) ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ -3

f (x ) − f (−2) x + x 2 + 2x + 2 lim = lim x →−2 x →−2 x +2 x +2 x ≺ −2 x ≺ −2 ⎛ x 2 + 2x = lim ⎜ 1 + x →−2 ⎜ x +2 x ≺ −2 ⎝

⎞ ⎛ ⎞ x 2 + 2x lim 1 = + ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ x →−2 ⎜ (x + 2) x 2 + 2x ⎟ ⎠ ⎠ x ≺ −2 ⎝ ⎛ ⎞ x = lim ⎜1 + = −∞ ⎟ 2 x →−2 + 2 x x ⎠ x ≺ −2 ⎝ .-2 ‫ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر‬f ‫إذن اﻟﺪاﻟﺔ‬ ⎛ f (x ) − f (0) x 2 + 2x ⎞ lim = lim ⎜1 + ⎟ x →0 x →0 ⎜ ⎟ x x x 0 x 0 ⎝ ⎠

‫⎛‬ ‫⎛‬ ‫⎞ )‪x (x + 2‬‬ ‫⎞ ‪x +2‬‬ ‫‪= lim ⎜1 +‬‬ ‫‪⎟ = lim‬‬ ‫‪⎜1 +‬‬ ‫⎟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫⎝ ‪x x + 2x ⎠ x 0‬‬ ‫⎠ ‪x 2 + 2x‬‬ ‫⎝ ‪x 0‬‬ ‫)‪f (x ) − f (0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫إذن ∞‪= +‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ ‪.0‬‬ ‫‪-4‬أ‪ (-‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻣﻦ‬ ‫‪x +1‬‬

‫[∞‪]−∞, −2[ ∪ ]0, +‬‬ ‫‪2x + 2‬‬

‫‪= 1+‬‬

‫إذن‬ ‫‪x 2 + 2x‬‬ ‫)}‪(∀x ∈ D − {−2, 0‬‬

‫‪2 x 2 + 2x‬‬

‫‪f '(x ) = 1 +‬‬

‫‪0 ⇒ x + 1 0 ⇒ x + 1 + x 2 + 2x‬‬ ‫) ‪∀x ∈ ]0, +∞[ f '(x‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫إذن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. D‬‬ ‫) ‪(x + 1) − (x 2 + 2x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(x + 1) − x 2 + 2x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫[∞‪]0, +‬‬ ‫= ‪x + 1 + x 2 + 2x‬‬

‫=‬

‫‪(x + 1) − x 2 + 2x‬‬ ‫‪⎧⎪x + 1 ≺ −1 ≺ 0‬‬ ‫⎨ ⇒ ‪x ≺ −2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎪⎩ − x + 2x ≺ 0‬‬ ‫إذن ‪∀x ∈ ]−∞, −2[ f '(x ) ≺ 0‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫[‪]−∞, −2‬‬ ‫∞‪−‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f’(x‬‬

‫‬‫‪-1‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-5‬أ‪(-‬‬ ‫‪lim [ f (x ) − (2x + 1) ] = lim ⎡ x + x + 2x − 2x − 1‬‬ ‫⎣ ∞‪x →+‬‬ ‫)‪= lim ⎡ x 2 + 2 x − ( x + 1‬‬ ‫⎣ ∞‪x →+‬‬ ‫‪x 2 + 2x − (x + 1)2‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫)‪x 2 + 2x + (x + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪= lim‬‬

‫‪x 2 + 2x + x + 1‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن ∞‪ lim ( x + 1) = +‬و ∞‪x 2 + 2x = +‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪= 0‬‬ ‫‪x 2 + 2x + x + 1‬‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ أن ‪lim [ f (x ) − (2x + 1)] = 0‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = 2x + 1‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬

‫‪-6‬أ‪ g (-‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ [∞‪ [ 0, +‬و [∞‪g ([ 0, +∞[ ) = [ 0, +‬‬ ‫‪+‬‬

‫ﻧﺤﻮ‬

‫‪+‬‬

‫‪.‬‬

‫إذن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y‬ﻣﻦ ‪. +‬‬ ‫ﻧﻘﻮم ﺑﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪x ≥ 0 y = g ( x‬‬ ‫‪⎧⎪ y = x + x 2 + 2x‬‬ ‫⎞ ) ‪⎛ y = g (x‬‬ ‫⇔‬ ‫⎨‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫‪⎝x ≥ 0‬‬ ‫⎠‬ ‫‪⎪⎩ x ≥ 0‬‬ ‫‪⇔ ⎡ y − x = x 2 + 2, x ≥ 0‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦⎤ ‪⇔ ⎡⎣( y − x ) 2 = x 2 + 2x , x ≥ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪⎣⎡⇔ ( y − 2xy + x = x + 2x , x ≥ 0‬‬ ‫⎦⎤ ‪⇔ ⎡⎣(2 y + 2)x − y 2 = 0, x ≥ 0‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪ y ≥ 0‬ﻓﺈن ‪2 y + 2 ≠ 0‬‬

‫‪y2‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن‬ ‫‪2y + 2‬‬ ‫‪g −1 : + → +‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2x + 2‬‬

‫‪x‬‬

‫= ‪x‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:10 ‬‬ ‫‪ – a-1‬ﺗﺤﺪﻳﺪ ‪. D‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪27 + x 2 ≥ 0} :‬‬

‫و ‪D = {x ∈ IR / 2x ≠ 0‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪ 27 + x 2 ≥ 0 :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪IR‬‬ ‫ﻓﺈن ‪D = {x ∈ IR / 2x ≠ 0} :‬‬

‫}‪= {x ∈ IR / x ≠ 0‬‬

‫*‪D = IR‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫[∞‪= ]−∞, 0[ ∪ ]0, +‬‬ ‫‪ -b‬ﺣﺴﺎب ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪D‬‬ ‫∞‪27 + x 2 = +‬‬

‫‪x +1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫و =‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫إذن ‪lim f (x ) = +∞ :‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫•‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪lim 27 + x 2 = 27 :‬‬ ‫‪x →0‬‬

‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪ lim+‬و ∞‪= −‬‬ ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪= +∞ :‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫إذن ∞‪ lim+ f ( x) = +‬و ∞‪lim− f ( x ) = −‬‬ ‫‪lim−‬‬

‫‪x→0‬‬

‫‪x→0‬‬

‫‪ a-2‬اﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ اﻟﻤﺘﺴﺎوﻳﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ * ‪IR‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪⎛ x +1 ⎞ x +1‬‬ ‫‪27 + x 2 −‬‬ ‫⎜ ‪f (x ) −‬‬ ‫=⎟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎝ 2 ⎠ 2x‬‬

‫‪x +1‬‬ ‫) ‪x + 1 ( 27 + x 2 − x )( 27 + x 2 + x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪27‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪27 + x 2 + x‬‬ ‫‪x + 1 27 + x 2 − x 2‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪27 + x 2 + x‬‬

‫⎞‬ ‫‪27‬‬ ‫⎛‪⎛ x +1 ⎞ x +1‬‬ ‫⎜ ‪ f (x ) −‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ *‪IR‬‬ ‫⎜‬ ‫إذن ‪⎟ :‬‬ ‫=⎟‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 2 ⎠ 2x ⎝ x + 27 + x‬‬ ‫‪ -b‬اﻻﺳﺘﻨﺘﺎج‬ ‫⎞‬ ‫‪27‬‬ ‫⎛‪⎛ x +1 ⎞ x +1‬‬ ‫⎜ ‪ f (x ) −‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ * ‪IR‬‬ ‫⎜‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪⎟ :‬‬ ‫=⎟‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 2 ⎠ 2x ⎝ x + 27 + x‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪x +1 1‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن =‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ lim‬و ‪= 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x →+∞ 2 x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + 27 + x‬‬ ‫⎞‬ ‫⎛‪x +1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫⎜‬ ‫ﻓﺈن ‪⎟ = 0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x →+∞ 2x‬‬ ‫⎠ ‪⎝ x + 27 + x‬‬ ‫⎞‪⎛ x +1‬‬ ‫⎜ ‪lim f (x ) −‬‬ ‫إذن ‪⎟ = 0 :‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 2x‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( Δ1‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫= ‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬

‫هﻮ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬ ‫‪ -c‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ) ‪ ( Δ 2‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﺑﺠﻮار ∞‪−‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ *‪IR‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪⎛ x +1⎞ x +1‬‬ ‫‪27 + x 2 +‬‬ ‫‪f (x ) − ⎜ −‬‬ ‫=⎟‬ ‫‪2 ⎠ 2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪x +1‬‬ ‫) ‪(x + 1)(27 + x 2 − x 2‬‬ ‫= ) ‪( 27 + x 2 + x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫) ‪2x ( 27 + x 2 − x‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪27 + x 2 − x‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪x +1 1‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪ lim‬و ‪= 0‬‬ ‫‪x →−∞ 2 x‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪27 + x 2 − x‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫ﻓﺈن ‪= 0 :‬‬ ‫‪x→−∞ 2 x‬‬ ‫‪27 + x 2 − x‬‬ ‫⎞‪⎛ x +1‬‬ ‫‪lim f ( x) − ⎜ −‬‬ ‫إذن ‪⎟ = 0 :‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫⎠ ‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪ y = −‬هﻮ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﺑﺠﻮار ∞‪−‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( Δ 2‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -a -3‬ﺣﺴﺎب ) ‪f '( x‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ * ‪ IR‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ * ‪IR‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫= ) ‪f '(x‬‬ ‫‪27 + x 2 +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪2x 2 27 + x 2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫) ‪x 2 (x + 1) − (27 + x 2‬‬ ‫‪− 27 + x 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫‪2 27 + x 2‬‬ ‫‪2x 2 x 2 + 27‬‬ ‫‪x 3 + x 2 − 27 − x 2‬‬ ‫‪x 3 − 27‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2x 2 − x 2 + 27‬‬ ‫‪2x 2 x 2 + 27‬‬ ‫‪ -b‬ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إﺷﺎرة ) ‪ f '( x‬هﻲ إﺷﺎرة ‪x − 27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ * ‪f '(x ) = 0 ⇔ x − 27 = 0 : IR‬‬ ‫‪⇔ x 3 = 27‬‬ ‫‪⇔x =3‬‬ ‫‪f '(x ) 0 ⇔ x 3 − 27 0‬‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫و‬ ‫‪f '( x ) ≺ 0 ⇔ x ≺ 3‬‬

‫=‬

‫إذن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪ [3, +‬وﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ‬ ‫‪ -c‬ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫[‪ ]−∞, 0‬و ]‪]0,3‬‬

‫‪ -a-4‬ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (C‬ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬

‫‪(x + 1) 27 + x 2‬‬ ‫⇔ ‪f (x ) = 0‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪= 0 :‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪⇔ x +1 = 0‬‬ ‫‪⇔ x = −1‬‬ ‫ﻓﺈن ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻳﻘﻄﻊ ) ‪ (C‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪B ( −1, 0‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:11 ‬‬ ‫‪ * -1‬ﺗﺤﺪﻳﺪ ‪D‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ 1 + x 2 ≥ 0‬و ‪x ∈ D ⇔ x ≠ 0‬‬ ‫‪ 1+ x 2 ≥ 0‬و ‪x ≠ 0‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪ 1 + x 2 ≥ 0 :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪IR‬‬ ‫*‪D = IR‬‬ ‫[∞‪= ]−∞, 0[ ∪ ]0, +‬‬

‫• اﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن ‪ f‬ﻓﺮدﻳﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ *‪IR‬‬

‫‪2(−x 2 ) − 1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ( −x ) ∈ IR * :‬و ‪. 1 + (−x )2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪(−x‬‬

‫= ) ‪f (−x‬‬

‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫) ‪1 + x 2 = −f ( x‬‬ ‫‪−x 3‬‬ ‫إذن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬هﻲ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻓﺮدﻳﺔ‪.‬‬

‫=‬

‫‪ -2‬ﺣﺴﺎب اﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ واﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ‬ ‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫‪. 1+ x 2‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪lim f (x ) = lim‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫⎞ ‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫⎟ ‪. x 2 ⎜1 + 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎠ ‪⎝ x‬‬

‫‪= lim‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪.x 1 + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪= lim‬‬

‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. 1+ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪= 2 :‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x →+∞ x 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim 1 + 2 = 1 + 0 = 1‬‬ ‫و‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪lim f ( x ) = 2.1 = 2‬‬

‫‪= lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫وهﺬا ﻳﻌﻨﻲ هﻨﺪﺳﻴﺎ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = 2‬هﻮ ﻣﻘﺎرب أﻓﻘﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (ζ‬ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬ ‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪= −∞ :‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫إذن ‪lim+ f ( x ) = −∞ :‬‬

‫‪ lim+‬و ‪lim+ 1 + x 2 = 1‬‬ ‫‪x →0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫وهﺬا ﻳﻌﻨﻲ هﻨﺪﺳﻴﺎ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ x =0‬أي ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ هﻮ ﻣﻘﺎرب رأﺳﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (ζ‬‬ ‫‪ -3‬ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ‪ D‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪: D‬‬ ‫'‬

‫⎞ ‪⎛ 2x 2 − 1‬‬ ‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫') ‪( 1 + x 2‬‬ ‫⎜ = ) ‪f '(x‬‬ ‫⎟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⎝ x‬‬ ‫⎠‬

‫)‪4x .x 3 − 3x 2 (2x 2 − 1‬‬ ‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 1+ x 2‬‬ ‫‪4x 2 − 6x 2 + 3‬‬ ‫‪2x 2 − 1 2 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1+ x 2‬‬ ‫=‬

‫‪3 − 2x 2‬‬ ‫‪2x 2 − 1‬‬ ‫)‪(3 − 2x 2 )(1 + x 2 ) + x 2 (2x 2 − 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪x 1+ x 2‬‬ ‫‪x 1+ x 2‬‬ ‫‪3 + 3x 2 − 2x 2 − 2x 4 + 2x 4 − x 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪= 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x 1+ x 2‬‬ ‫‪x 1+ x 2‬‬ ‫إذن ‪ f '( x ) ; 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ * ‪IR‬‬ ‫وهﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ‬

‫[‪ ]−∞, 0‬و [∞‪]0, +‬‬

‫وﻣﻨﻪ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫ﻻﺣﻆ أن ‪:‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪lim− f (x ) = +∞ :‬‬

‫‪x →0‬‬

‫و ‪lim f (x ) = −2‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫ﻷن ‪ lim+ f ( x ) = −∞ :‬و ‪lim f ( x ) = 2‬‬ ‫‪x →0‬‬

‫و ‪ f‬ﻓﺮدﻳﺔ‪.‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫=‬

‫‪ -4‬أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ *‪ IR +‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪J‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ [∞‪]0, +‬‬

‫ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [∞‪ ]0, +‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ‪J = g (]0, +∞[) = ]−∞, 2[ :‬‬ ‫إذن ﻓﻬﻲ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ‪ g −1‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ [‪ ]−∞, 2‬ﻧﺤﻮ‬ ‫ب‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ g −1‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪.J‬‬

‫[∞‪]0, +‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0, +‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬ ‫‪g '( x ) ≠ 0‬‬ ‫إذن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g −1‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪. J‬‬ ‫ج‪ -‬رﺳﻢ‬

‫[∞‪]0, +‬‬

‫)' ‪(ζ‬‬

‫ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ f‬ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0, +‬هﻮ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )' ‪ (ζ‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ) y = x‬أﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ(‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:12 ‬‬ ‫) ‪f (x‬‬ ‫‪ *-1‬ﺣﺴﺎب‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim+‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪f ( x ) 6x‬‬ ‫=‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−1‬‬ ‫‪6x 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪− 4 = 6x 3 − 4 = 3 − 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪lim+ = 3 = +∞ :‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪f (x‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x → 0+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪0‬‬ ‫• اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (ζ‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ O(0,0‬ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس رأﺳﻲ ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﻋﻠﻰ‪.‬‬

‫‪ -2‬ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ‬ ‫) ‪f (x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪= lim 3 − 4 :‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= 0-4 = -4‬‬ ‫و‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪lim f ( x ) + 4x = lim 6x‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪= lim 6 3 x 2 = +‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (ζ‬ﻳﻘﺒﻞ ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ اﺗﺠﺎهﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y = −4x‬‬

‫‪ -3‬ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬

‫*‪+‬‬

‫‪ IR‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫‪2‬‬

‫‪2 −1‬‬ ‫‪f '( x) = 6. x 3 − 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎞ ‪⎛ −1‬‬ ‫‪⎛ 1‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟‪= 4 ⎜ x 3 − 1⎟ = 4 ⎜ 3 − 1‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ x‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬

‫) ‪(1 − x‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫إﺷﺎرة ) ‪ f '( x‬هﻲ إﺷﺎرة ‪1 − 3 x‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫*‪+‬‬

‫‪IR‬‬

‫‪⎛ 2‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟ ‪lim f (x ) = lim x ⎜ 6x 3 − 4‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪ :‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪⎛ 23 −1‬‬ ‫⎞‬ ‫‪⎛ −31‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟ ‪= lim x ⎜ 6x − 4 ⎟ = lim x ⎜ 6x − 4‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫⎝‬ ‫⎝ ∞‪⎠ x →+‬‬ ‫⎠‬ ‫‪⎛ 6‬‬ ‫⎞‬ ‫∞‪= lim x ⎜ 3 − 4 ⎟ = −‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪⎝ x‬‬ ‫⎠‬ ‫‪6‬‬ ‫) ﻷن ‪ lim x 3 − 4 = 0 − 4 = −4‬و ∞‪( lim x = +‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-4‬أ‪ -‬ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻘﻄﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (ζ‬ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪IR +‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪f (x ) = 0 ⇔ 6x 3 − 4x = 0 :‬‬ ‫⎛ ‪2‬‬ ‫⎞ ‪2x‬‬ ‫‪⇔ 2x 3 ⎜ 3 − 2 ⎟ = 0‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫⎠‪x3‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞ ‪1−‬‬ ‫⎛‬ ‫‪⇔ 2x 3 ⎜ 3 − 2x 3 ⎟ = 0‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫‪⇔ 2x 3 ⎜ 3 − 2x 3 ⎟ = 0‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ x 3‬أو ‪⇔ x = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫⎞‪⎛ 1 ⎞ ⎛3‬‬ ‫⎟ ⎜ = ⎟ ‪ ⎜ x 3‬أو ‪⇔ x = 0‬‬ ‫⎠‪⎝ ⎠ ⎝2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫= ‪ x‬أو ‪⇔ x = 0‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪27‬‬ ‫إذن ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻳﻘﻄﻊ ) ‪ (ζ‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ O(0,0‬و )‪, 0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ب‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( Δ‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( Δ‬ﻣﻤﺎس ) ‪ (ζ‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل‬ ‫‪8‬‬ ‫⎞ ‪27‬‬ ‫⎛ ⎞ ‪⎛ 27‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 27‬‬ ‫⎟ ⎜ ‪y = f ⎜ ⎟×⎜ x − ⎟ + f‬‬ ‫⎠ ‪8‬‬ ‫⎝ ⎠ ‪⎝ 8‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 8‬‬ ‫⎛‪4‬‬ ‫⎞ ‪27‬‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ أن ‪:‬‬ ‫‪y = − ⎜x − ⎟+0‬‬ ‫⎝‪3‬‬ ‫⎠ ‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪y =− x +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫هﻲ‪:‬‬

‫(‪A‬‬

‫‪ *-5‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪I = [1, +‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ]‪g (I ) = ]−∞, 2‬‬ ‫أي أﻧﻬﺎ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ‪ g −1‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ]‪ ]−∞, 2‬ﻧﺤﻮ‬

‫•‬

‫ﺣﺴﺎب )‪( g −1 ) '(0‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫))‪g ( g −1(0‬‬

‫= )‪( g −1) '(0‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪ g ( ) = 0 :‬ﻓﺈن‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 27‬‬ ‫⎟ ⎜' ‪g‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 8‬‬

‫= )‪( g −1 )(0‬‬

‫= )‪( g −1) '(0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‬

‫[∞‪[1, +‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:13 ‬‬ ‫‪-1‬أ‪ -‬ﺣﺴﺎب ) ‪lim f ( x‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫∞‪1 + x 2 = +‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪lim − x = +∞ :‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫ﻓﺈن ‪1 + x 2 − x = +∞ :‬‬ ‫إذن ‪f ( x ) = +∞ :‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪1 + x2 − x2‬‬

‫‪1+ x 2 + x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫ب‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪f ( x) = 0‬‬

‫‪1 + x2 + x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫‪1 + x 2 − x = lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫‪= lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ﻓﺈن ‪lim f (x ) = 02 = 0 :‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫) ‪−2 f (x‬‬

‫= ) ‪f '(x‬‬

‫‪ -2‬أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪1+ x 2‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ‪ IR‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪: IR‬‬ ‫' ) ‪f '(x ) = 2( 1 + x 2 − x )( 1 + x 2 − x‬‬

‫‪⎛ 2x‬‬ ‫⎞‬ ‫⎜ ) ‪= 2( 1 + x 2 − x‬‬ ‫⎟‪− 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎝ 2 1+ x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎞‬ ‫⎟‬ ‫⎟‬ ‫⎠‬

‫‪⎛ x − 1+ x 2‬‬ ‫‪⎛ x‬‬ ‫⎞‬ ‫‪2‬‬ ‫⎜ ) ‪= 2( 1 + x − x‬‬ ‫⎜ ) ‪− 1⎟ = 2( 1 + x − x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎜‬ ‫‪1+ x 2‬‬ ‫‪⎝ 1+ x‬‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬

‫‪−2( 1 + x 2 − x ) 2‬‬ ‫‪1+ x 2‬‬

‫=‬

‫) ‪−2( 1 + x 2 − x )( 1 + x 2 − x‬‬ ‫‪1+ x 2‬‬

‫) ‪−2f ( x‬‬ ‫‪1+ x 2‬‬

‫ب‪ *-‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ f '(x ) ≠ 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪IR‬‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﺳﻨﺒﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f '( x ) = 0‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ أي ﺣﻞ ﻓﻲ ‪. IR‬‬ ‫) ‪−2f (x‬‬ ‫⇔ ‪f '(x ) = 0‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪= 0 :‬‬ ‫‪1+ x 2‬‬ ‫‪⇔ f (x ) = 0‬‬

‫‪⇔ ( 1 + x 2 − x )2 = 0‬‬ ‫‪⇔ 1+ x 2 − x = 0‬‬ ‫‪⇔ 1+ x 2 = x‬‬ ‫‪⎧1 + x 2 = x 2‬‬ ‫⎨⇔‬ ‫‪⎩x ≥ 0‬‬ ‫‪⎧1 = 0‬‬ ‫⎨⇔‬ ‫‪⎩x ≥ 0‬‬ ‫وهﺬا ﻏﻴﺮ ﻣﻤﻜﻦ‬ ‫إذن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f '( x ) = 0‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ أي ﺣﻞ ﻓﻲ ‪IR‬‬ ‫وهﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ‪ f '(x ) ≠ 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. IR‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺛﺎﻧﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫‪x 2 +1 x 2‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪x 2 +1‬‬

‫ﻓﺈن ‪x 2 :‬‬

‫‪x 2 +1‬‬

‫ﻳﻌﻨﻲ أن ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬

‫‪x ≥x‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x 2 +1‬‬

‫ﻳﻌﻨﻲ أن ‪x + 1 − x 0 :‬‬ ‫إذن ‪f ( x ) 0 :‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪f (x ) ≠ 0‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ f '(x ) ≠ 0 :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. IR‬‬ ‫• ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫) ‪− 2f ( x‬‬ ‫= ) ‪ f '(x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. IR‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪1+ x 2‬‬ ‫ﻓﺈن إﺷﺎرة ) ‪ f '( x‬هﻲ إﺷﺎرة ) ‪− f ( x‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪ f ( x ) 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. IR‬‬ ‫ﻓﺈن ‪ f '( x ) ≺ 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. IR‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪2‬‬

‫∞‪+‬‬

‫∞‪−‬‬

‫‪-‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪x‬‬ ‫) ‪f '( x‬‬ ‫) ‪f (x‬‬

‫‪0‬‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫‪ *-3‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪= −∞ :‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬

‫‪f (x ) ( 1 + x 2 − x )2‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ * ‪، IR‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 + x 2 − 2x 1 + x 2 + x 2 1 + 2x 2 − 2x 1 + x 2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= + 2x − 2 1 + x 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ lim‬و ∞‪lim 2 x − 2 1 + x 2 = −‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪= 0 :‬‬ ‫‪x→−∞ x‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫ﻓﺈن ‪= −∞ :‬‬ ‫‪x→−∞ x‬‬ ‫• اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (ζ‬ﻳﻘﺒﻞ ﺑﺠﻮار ∞‪ −‬ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ اﺗﺠﺎهﻪ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‪.‬‬ ‫=‬

‫‪-4‬أ‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻤﺎس )‪(T‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (T‬ﻣﻤﺎس‬ ‫)‪y = f '(0)( x − 0) + f (0‬‬ ‫أي‬ ‫‪y = −2( x − 0) + 1 :‬‬ ‫أي ‪:‬‬ ‫‪y = −2 x + 1‬‬ ‫ب‪ -‬رﺳﻢ )‪ (T‬و‬

‫) ‪ (ζ‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل ‪ 0‬هﻲ‪:‬‬

‫) ‪(ζ‬‬

‫‪-5‬أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ IR‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪. J‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪IR‬‬ ‫إذن ﻓﻬﻲ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ IR‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪J = f (IR ) = ]0, +‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻬﻲ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ '‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻦ [∞‪ ]0, +‬ﻧﺤﻮ ‪IR‬‬

‫ب‪ -‬ﺣﺴﺎب )‪) '(1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪(f‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫))‪f '( f −1 (1‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪ ( f )(0) = 1 :‬ﻓﺈن ‪f −1 (1) = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪( f −1 )(1‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪f '(0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫ج‪ -‬ﺣﺴﺎب ) ‪f '( x‬‬

‫= )‪( f −1 ) '(1‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ [∞‪ ]0, +‬و ‪ y‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪IR‬‬ ‫‪f −1 ( x) = y ⇔ f ( y ) = x‬‬ ‫‪⇔ ( 1 + y 2 − y )2 = x‬‬

‫‪ ⇔ 1 + y 2 − y = − x‬أو ‪⇔ 1 + y 2 − y = x‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪0 :‬‬

‫‪1+ y 2 − y‬‬

‫‪( 1+ y 2‬‬

‫) ﻷن ‪y‬‬

‫أي ‪1 + y 2 − y = x :‬‬ ‫أي ‪1 + y 2 = x + y :‬‬

‫أي ‪( 1 + y 2 ) 2 = ( x + y ) 2 :‬‬

‫أي ‪1 + y 2 = 2 y x + y 2 :‬‬

‫‪1− x‬‬ ‫أي ‪ 2 y x = 1 − x :‬أي ‪:‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫= )‪ f −1 ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪IR‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪2 x‬‬

‫=‪y‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:14 ‬‬ ‫‪-1‬أ‪ -‬ﺣﺴﺎب ) ‪lim f ( x‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪lim = 3 x 2 + 1 = +∞ :‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫و ∞‪lim (x − 2) = +‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ﻓﺈن ‪lim f ( x) = +∞ :‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ب‪ -‬دراﺳﺔ اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫‪2 3 x 2 +1‬‬ ‫‪= lim 1 − +‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪2 3 x2 + 1‬‬ ‫‪2 3 x2 + 1‬‬ ‫‪= lim 1 − +‬‬ ‫‪= lim 1 − +‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪= lim 1 − + 3 + 3 = 1 − 0 + 0 = 1‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x‬‬

‫و ‪= lim f ( x) − x = lim − 2 + 3 x 2 + 1‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪= +‬‬ ‫إذن ) ‪ (ζ‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬اﺗﺠﺎهﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y =x‬‬ ‫‪-2‬أ‪ -‬ﺣﺴﺎب ) ‪f '( x‬‬ ‫‪+‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ‪IR‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪IR +‬‬ ‫'‬

‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫⎥ ‪f '( x) = ⎢ x − 2 + ( x 2 + 1) 3‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫‪1−1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪= 1 + 2 x( x + 1‬‬ ‫‪= 1 + ( x + 1) 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪3 3 ( x 2 + 1) 2 + 2 x‬‬ ‫‪3 3 ( x 2 + 1) 2‬‬

‫=‬

‫ب‪ -‬ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪ f '( x ) 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪IR‬‬ ‫ﻓﺈن ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻳﻜﻮن آﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪ -1‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ IR +‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪.I‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪، IR +‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ IR +‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ‪I = f ( IR + ) = [ −1, +∞[ :‬‬ ‫إذن ﻓﻬﻲ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ‪ f −1‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ [∞‪ [ −1, +‬ﻧﺤﻮ ‪IR +‬‬

‫‪-4‬أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f(x) =0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎞‪⎛1‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪ f (1) = −1 + 3 2 0 :‬و ‪f ⎜ ⎟ = − + 3 ≺ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎠‪⎝2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن ‪f (1) . f ( ) ≺ 0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ⎦⎥‪⎢⎣ 2 ,1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f(x)=0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا ‪ α‬ﺑﺤﻴﺚ ‪≺ α ≺ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب‪ -‬ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (ζ‬و ) ‪( Δ‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪IR +‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪f ( x) = x ⇔ −2 + 3 x 2 + 1 = 0 :‬‬

‫‪⇔ 3 x2 + 1 = 2‬‬ ‫‪⇔ x2 = 7‬‬ ‫) ﻷن ‪⇔ x = 7 ( x ≥ 0‬‬

‫)‬

‫إذن ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (ζ‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( Δ‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y =x‬هﻲ ‪7, 7 :‬‬ ‫ج‪ -‬رﺳﻢ‬

‫(‬

‫‪A‬‬

‫) ‪ (ζ‬و )' ‪(ζ‬‬

‫ﻣﻠﺤﻮﻃﺔ ‪ :‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﺤﺎﻣﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ) ‪ (ζ‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ B (0, −1‬هﻲ ‪y = x − 1‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:15 ‬‬ ‫‪ -1‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪.1‬‬ ‫‪1+1‬‬ ‫= )‪f (1‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫و ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim+‬‬ ‫‪x →1+‬‬ ‫‪x →1 2 x‬‬ ‫‪1+1 2‬‬ ‫=‬ ‫)‪= = 1 = f (1‬‬ ‫‪2 1 2‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪. I‬‬ ‫⎞‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪lim f ( x) = lim− ⎜ − x + ⎟ :‬‬ ‫‪x →1−‬‬ ‫⎝ ‪x →1‬‬ ‫⎠‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪= −1 + = −1 + 2 = 1 = f (1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ x0 = 1‬ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫‪-2‬أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− x + −1‬‬ ‫)‪f ( x) − f (1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim−‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x →1−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪− x2 + 2 − x‬‬ ‫)‪( x − 1)(− x − 2‬‬ ‫‪= lim−‬‬ ‫‪= lim−‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫)‪x( x − 1‬‬ ‫)‪x( x − 1‬‬ ‫‪− x − 2 −1 − 2‬‬ ‫‪= lim−‬‬ ‫=‬ ‫‪= −3‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫إذن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫و ‪f g' (1) = −3 :‬‬ ‫ب‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪f ( x) − f (1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim+‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪x →1+‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪1+ x − 2 x‬‬ ‫‪( x − 1) 2‬‬ ‫‪= lim+‬‬ ‫‪= lim+‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫)‪2 x ( x − 1) x →1 2 x ( x − 1)( x + 1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪= =0‬‬ ‫‪2 x ( x + 1) 2(1 + 1) 4‬‬ ‫إذن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫و ‪f d ' (1) = 0 :‬‬ ‫‪-3‬أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪f '( x ) ≺ 0‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬ ‫⎞‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫⎟ ‪f '( x) = ⎜ − x +‬‬ ‫⎠‪x‬‬ ‫⎝‬ ‫⎛ ‪2‬‬ ‫⎞ ‪2‬‬ ‫⎟ ‪= −1 − 2 − ⎜ 1 + 2‬‬ ‫⎠ ‪x ⎝ x‬‬

‫‪= lim+‬‬ ‫‪x →1‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [‪]−∞, 0[ ∪ ]0,1‬‬ ‫[‪ ]−∞, 0[ ∪ ]0,1‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ x‬ﻣﻦ [‪]−∞, 0[ ∪ ]0,1‬‬

‫‪2‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪0 :‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻓﺈن ‪ f '( x) ≺ 0 :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [‪]−∞, 0[ ∪ ]0,1‬‬

‫‪ 1 +‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫[‪]−∞, 0[ ∪ ]0,1‬‬

‫‪x −1‬‬ ‫أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪4x x‬‬ ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ [∞‪ ]1, +‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪]1, +‬‬ ‫= )‪f '( x‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫[∞‪]1, +‬‬

‫'‬

‫⎞ ‪⎛ 1+ x‬‬ ‫⎜ = )‪f '( x‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠‪⎝2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤‬ ‫‪x−‬‬ ‫⎥ )‪(1 + x‬‬ ‫‪1 2x −1 − x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪⎥= .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⎥ 2 2x x‬‬ ‫⎥⎦‬

‫إذن ‪0‬‬

‫) ‪ f '( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫[∞‪]1, +‬‬

‫⎡‬ ‫⎢‪1‬‬ ‫⎢ =‬ ‫⎢‪2‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫‪x −1‬‬ ‫=‬ ‫‪4x x‬‬

‫ج‪ -‬ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪: f‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫⎞‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫* ∞‪lim f ( x) = lim ⎜ − x + ⎟ = +‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫⎠‪x‬‬ ‫⎝‬ ‫⎞‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫* ∞‪lim− f ( x) = lim− ⎜ − x + ⎟ = −‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫⎝ ‪x →0‬‬ ‫⎠‪x‬‬ ‫⎞‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫* ∞‪lim+ f ( x) = lim+ ⎜ − x + ⎟ = +‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫⎝ ‪x →0‬‬ ‫⎠‪x‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫* ∞‪= +‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x→+∞ 2 x x→+∞ 2 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-4‬أ‪ -‬دراﺳﺔ اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ‪:‬‬ ‫*ﺑﻤﺎ أن ‪ lim+ f ( x ) = + ∞ :‬و ∞ ‪lim− f ( x ) = −‬‬ ‫‪x →0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (ζ‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ رأﺳﻴﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ x =0‬أي ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [‪، ]−∞, 0[ ∪ ]0,1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f ( x) = − x +‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪= 0 :‬‬ ‫‪x→−∞ x‬‬ ‫إذن ) ‪ (ζ‬ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = -x‬ﻳﻘﺒﻞ ﺑﺠﻮار ∞‪−‬‬ ‫‪lim‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫* ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2x x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= 0+0 = 0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x →+∞ 2 x x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫إذن ) ‪ (ζ‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ اﺗﺠﺎهﻪ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﺑﺠﻮار ∞‪. +‬‬ ‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪ :‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎ ﺣﺎﻣﻠﻲ ﻧﺼﻔﻲ ﻣﻤﺎس ) ‪ (ζ‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل ‪ 1‬هﻤﺎ ‪ y = 1 :‬و ‪y = −3 x + 4‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:16 ‬‬ ‫‪ *-1‬ﺣﺴﺎب ) ‪f ( x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫‪x3 − 1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x →+∞ x 3 + 1‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪= lim 3 = 1‬‬ ‫‪x→+∞ x‬‬ ‫* ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪lim f ( x) = −∞ :‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [‪f ( x) = x − 1 + 2 1 − x . ]−∞,1‬‬

‫) ‪= 1 − x (2 − 1 − x‬‬

‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪1 − x = +∞ :‬‬ ‫إذن ‪f ( x ) = −∞ :‬‬

‫‪ lim‬و ∞‪lim 2 − 1 − x = −‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫‪ *-2‬دراﺳﺔ ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫‪x3 − 1‬‬ ‫‪−0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪f ( x) − f (1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim+‬‬ ‫‪x →1+‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x3 − 1‬‬ ‫‪( x − 1)( x 2 + x + 1‬‬ ‫‪= lim+‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪x →1 ( x − 1)( x + 1‬‬ ‫)‪x →1+ ( x − 1)( x + 1‬‬ ‫‪x2 + x + 1 3‬‬ ‫=‬ ‫‪x3 + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪= lim+‬‬ ‫‪x →1‬‬

‫‪3‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪ 1‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* دراﺳﺔ ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫)‪f ( x) − f (1‬‬ ‫‪x −1+ 2 1− x‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim−‬‬ ‫‪x →1−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1 2 1− x‬‬ ‫‪= lim−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x →1 x − 1‬‬ ‫)‪−(1 − x‬‬ ‫= )‪f ' (1‬‬

‫‪2 1− x 1− x‬‬ ‫)‪2(1 − x‬‬ ‫‪= lim− 1 −‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪(1 − x ) 1 − x‬‬ ‫‪(1 − x ) 1 − x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= lim− 1 −‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪.1‬‬ ‫* اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ‪:‬‬ ‫) ‪ (ζ‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A(1, 0‬ﻧﺼﻔﻲ ﻣﻤﺎس أﺣﺪهﻤﺎ رأﺳﻲ ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﻋﻠﻰ واﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺣﺎﻣﻠﻪ هﻲ‬ ‫‪= lim− 1 −‬‬

‫‪3‬‬ ‫)‪( x − 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -1-3‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ [∞‪[1, +‬‬ ‫=‪y‬‬

‫‪ f‬داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬

‫[∞‪[1, +‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪. ]1, +‬‬ ‫'‬

‫⎞ ‪⎛ x3 − 1‬‬ ‫⎟ ‪f '( x) = ⎜ 3‬‬ ‫⎠‪⎝ x +1‬‬

‫)‪3x 2 ( x3 + 1) − 3x 2 ( x3 − 1) 3x 2 ( x3 + 1 − x3 + 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪( x3 + 1) 2‬‬ ‫‪( x3 + 1)2‬‬ ‫‪6 x2‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫‪( x + 1) 2‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪ f '( x) ; 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪]1, +‬‬ ‫إذن ‪ f‬هﻲ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ داﻟﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫‪−x‬‬ ‫ب‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن‬ ‫)‪1 − x (1 + 1 − x‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬ ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫[∞‪[1, +‬‬

‫= )‪ f '( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫[‪]−∞,1‬‬

‫[‪]−∞,1‬‬

‫')‪f '( x) = ( x − 1 + 2 1 − x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪= 1 + 2.‬‬ ‫‪= 1−‬‬ ‫‪2 1− x‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫‪1 − x − 1 ( 1 − x − 1)( 1 − x + 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1− x‬‬ ‫)‪1 − x ( 1 − x + 1‬‬ ‫‪1− x −1‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪1 − x ( 1 − x + 1‬‬ ‫)‪1 − x ( 1 − x + 1‬‬

‫ج‪ -‬ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬

‫‪ -4‬أ‪ -‬دراﺳﺔ اﻟﻔﺮﻋﻴﻦ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﻴﻦ‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪lim f ( x ) = 1 :‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫إذن )‪ ( C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ أﻓﻘﻴﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = 1‬ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪x −1+ 2 1− x‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 2 1−x‬‬ ‫‪= lim 1 − +‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪1 2(1 − x‬‬ ‫‪= lim 1 − +‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪x x 1− x‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪= lim 1 − + ( − 2).‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪1− x‬‬

‫[‪]−∞,1‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪lim f ( x) − x = lim x − 1 + 2 1 − x − x‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪= lim 2 1 − x − 1 = +‬‬ ‫∞‪x→−‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﺑﺠﻮار ∞‪ −‬ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ اﺗﺠﺎهﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y= x‬‬

‫‪ -5‬أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [∞‪ [1, +‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫[∞‪[1, +‬‬

‫ﻓﺈن ﻓﻬﻲ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [∞‪ [1, +‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ‪:‬‬

‫[‪J = f ([1, +∞[) = [ 0,1‬‬ ‫إذن ﻓﻬﻲ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‬

‫‪−1‬‬

‫‪g‬‬

‫ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ [‪ [0,1‬ﻧﺤﻮ [∞‪[1, +‬‬

‫ب‪ -‬ﺣﺴﺎب )‪g −1 ( x‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ [‪ [ 0,1‬و ‪ y‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪g −1 ( x) = y ⇔ g ( y ) = x :‬‬

‫‪y3 − 1‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫‪y3 + 1‬‬ ‫)‪⇔ y 3 − 1 = x( y 3 + 1‬‬ ‫‪⇔ y 3 − 1 = xy 3 + x‬‬ ‫‪⇔ y 3 − xy 3 = x + 1‬‬ ‫‪⇔ y 3 (1 − x) = x + 1‬‬ ‫⇔‬

‫[∞‪[1, +‬‬

‫‪x +1‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪⇔ y=3‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫= ‪⇔ y3‬‬

‫‪1+ x‬‬ ‫إذن‬ ‫‪1− x‬‬

‫‪3‬‬

‫= )‪g −1 ( x‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [‪[0,1‬‬

‫ج‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ g −1‬داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪( x − x − x + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫→ ‪x‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل [‪]0,1‬‬ ‫'‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫'‬

‫⎞ ‪⎛ x +1‬‬ ‫‪⎡⎣ g ( x) ⎤⎦ = ⎜ 3‬‬ ‫⎟⎟ ‪⎜ 1 − x‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫'‬

‫‪−1‬‬

‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫⎥‬ ‫⎜⎢ =‬ ‫⎥ ⎠⎟ ‪⎢⎝ 1 − x‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎞ ‪1 ⎛ x +1 ⎞ ⎛ x +1‬‬ ‫‪1 −1 1 ⎛ x + 1 ⎞ 3‬‬ ‫⎜‪.‬‬ ‫⎜ =‬ ‫⎜⎟‬ ‫= ⎟‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪3 ⎝ −x + 1 ⎠ ⎝ −x + 1‬‬ ‫⎠ ‪3 (1 − x ) 2 ⎝ 1 − x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪3 (1 − x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎛ x +1 ⎞3‬‬ ‫⎞ ‪3 3 ⎛ x +1‬‬ ‫⎜ ⎦⎤ )‪⎡⎣(1 − x‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ 1− x‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 1− x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎛ (1 − x)3 ( x + 1) ⎞ 3‬‬ ‫‪⎡⎣(1 − x)2 ( x + 1) ⎦⎤ 3‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫‪1− x‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎡⎣(1 − 2 x + x 2 )( x + 1) ⎦⎤ 3‬‬ ‫‪( x + 1 − 2 x 2 − 2 x + x3 + x 2 ) 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪=.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 3 2‬‬ ‫‪3 3 ( x3 − x 2 − x + 1) 2‬‬ ‫‪( x − x − x + 1) 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن ‪ g −1‬هﻲ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫‪ x → 3 3 2‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [‪]0,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪3 ( x − x − x + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬

‫'‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:17 ‬‬ ‫‪-1‬أ‪ -‬ﺣﺴﺎب‬

‫) ‪ lim f (x‬و‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪x ( x − 1) :‬‬

‫) ‪lim f ( x‬‬

‫‪x → 0+‬‬

‫‪lim x − x = lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪= +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫و‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﺈن ‪lim f ( x ) = +∞ :‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫‪1‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪= +∞ :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﺈن ‪lim+ f (x ) = +∞ :‬‬

‫‪ lim+‬و ‪lim x − x = 0‬‬

‫‪x → 0+‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫ب‪ -‬ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻔﺮﻋﻴﻦ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﻴﻦ‬ ‫* ﺑﻤﺎ أن ‪lim+ f (x ) = +∞ :‬‬

‫‪x →0‬‬

‫ﻓﺈن ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ رأﺳﻴﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ x = 0‬أي ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‪.‬‬ ‫) ‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim 1 −‬‬ ‫‪+‬‬ ‫• ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim 1 −‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= 1− 0 + 0 = 1‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‪− x :‬‬ ‫‪lim f (x ) − x = lim‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﺈن ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ اﺗﺠﺎهﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y = x‬‬ ‫‪-2‬أ‪ -‬ﺣﺴﺎب ) ‪f '(x‬‬ ‫*‪+‬‬ ‫*‪+‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ‪ IR‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪: IR‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 2 x‬‬ ‫‪f '(x ) = 1 −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x x − x − 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪2 x 2x x‬‬ ‫‪2x x‬‬ ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪(2x + x + 1)( x − 1) = 2x x − 2x + x − x + x − 1 :‬‬ ‫‪= 1−‬‬

‫‪= 2x x − x − 1‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 2x + x + 1‬‬ ‫⎜⎜ = ) ‪ f '(x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪]0, +‬‬ ‫إذن ‪⎟⎟ ( x − 1) :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫ب‪ -‬ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪: f‬‬ ‫إﺷﺎرة ) ‪ f '( x‬هﻲ إﺷﺎرة ‪x − 1‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪:f‬‬

‫‪-3‬أ‪ -‬دراﺳﺔ اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬و‬

‫)‪(Δ‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ *‪IR +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪f (x ) − x‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪− x :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫إﺷﺎرة ‪ f ( x ) − x‬هﻲ إﺷﺎرة ‪1 − x‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﺬي ﻳﻌﻄﻲ إﺷﺎرة ‪ f ( x ) − x‬واﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)‪(Δ‬‬

‫‪-4‬أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ‪g −1‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪[1, +‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [∞‪ [1, +‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪[1, +‬‬ ‫[∞‪f ([1, +∞[) = [1, +‬‬ ‫إذن ﻓﻬﻲ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ‪ g −1‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ [∞‪ [1, +‬ﻧﺤﻮ [∞‪[1, +‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪D g −1 = [1, +∞[ :‬‬

‫ب‪ -‬رﺳﻢ ) ‪(C‬‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬هﻮ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ f‬ﻋﻠﻰ [∞‪ [1, +‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( Δ‬ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y = x :‬‬ ‫‪g −1‬‬

‫‪g −1‬‬

‫‪-5‬أ‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن ‪ an 1‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪IN‬‬ ‫* ﻟﺪﻳﻨﺎ‪ ، a0 = 2 :‬إذن ‪a0 1‬‬ ‫وهﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻣﻦ أﺟﻞ ‪n =0‬‬ ‫• ﻟﻴﻜﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪IN‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ‪ an 1‬وﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪an +1 1‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪an 1 :‬‬ ‫و‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫[∞‪[1, +‬‬

‫ﻓﺈن ‪f (an ) f (1) :‬‬ ‫أي أن ‪an +1 1‬‬ ‫إذن‪1 :‬‬

‫‪( ∀n ∈ IN ) an‬‬

‫ب‪ -‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ) ‪ (an‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﺳﻨﺒﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن ‪ an +1 ≺ an :‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪IN‬‬ ‫•‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪a0 = 2 :‬‬

‫‪2 2 −1‬‬ ‫و‬ ‫‪2‬‬

‫= )‪a1 = f (a0 ) = f (2‬‬

‫)أﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ(‬

‫ﻓﺈن ‪a1 ≺ a0 :‬‬ ‫إذن اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻣﻦ أﺟﻞ ‪n = 0‬‬ ‫• ﻟﻴﻜﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪IN‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ‪ an +1 ≺ an :‬وﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪an +1 ≺ an :‬‬ ‫و ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫‪an + 2 ≺ an +1‬‬

‫[∞‪[1, +‬‬

‫إذن ‪f (an +1 ) ≺ f (an ) :‬‬ ‫إذن ‪an + 2 ≺ an +1 :‬‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺛﺎﻧﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪IN‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪1 − −an‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= an − an +‬‬ ‫= ‪− an‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪an‬‬

‫‪an +1 − an = f (an ) − an‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪0 :‬‬

‫‪an‬‬

‫و ‪ ) 1 − an ≺ 0‬ﻷن ‪1‬‬

‫‪( an‬‬

‫‪1 − an‬‬ ‫ﻓﺈن ‪≺ 0 :‬‬ ‫‪an‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (an‬ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‬ ‫ج‪ * -‬اﺳﺘﻨﺘﺎج أن ) ‪ (an‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬ ‫ﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (an‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ وﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ ) 1‬ﻷن ‪1‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻬﺎ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬ ‫• ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪(an‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ‬ ‫أي ‪:‬‬

‫=‬

‫إذن‪= 1 :‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫[∞‪[1, +‬‬

‫=) ( ‪f‬‬

‫‪ −‬أي ‪= 0 :‬‬

‫‪1−‬‬

‫‪ an‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪( IN‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:18 ‬‬

‫‪lim f (x ) = lim x − 2 1 − x‬‬

‫‪ -1‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫⎞ ‪⎛ 2 x −1‬‬ ‫‪⎜⎜ 1 −‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠⎟ ‪x 2‬‬ ‫⎝‬

‫و‬

‫∞‪x →+‬‬

‫⎞ ‪⎛ 2 1− x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= lim x ⎜⎜1 −‬‬ ‫‪⎟⎟ = xlim‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎛‬ ‫⎞ ‪1 1‬‬ ‫‪= lim x ⎜⎜1 − 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‪⎟ = +‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫⎠⎟ ‪x x 2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪lim f (x ) = lim x + 2 1 − x‬‬ ‫∞‪x →+−‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫⎞ ‪⎛ 2 1− x‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 2 1− x‬‬ ‫‪= lim x ⎜⎜1 −‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫⎟‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫⎝⎜ ∞‪− x ⎟⎠ x →−‬‬ ‫⎠⎟ ‪x 2‬‬ ‫⎝‬ ‫⎛‬ ‫⎞‪1 1‬‬ ‫∞‪= lim x ⎜⎜ 1 − 2 2 − ⎟⎟ = −‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎠‪x‬‬ ‫⎝‬ ‫‪-2‬أ‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪ 1‬ﻷن ‪:‬‬ ‫)‪ lim1+ f ( x ) = f (1‬و )‪lim− f ( x ) = f (1‬‬ ‫‪x →1‬‬

‫‪x →1‬‬

‫ب‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪.1‬‬ ‫)‪f (x ) − f (1‬‬ ‫)‪f ( x ) − f (1‬‬ ‫‪ lim+‬و ∞‪= −‬‬ ‫‪lim−‬‬ ‫ﻷن ‪= −∞ :‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫وهﺬا ﻳﻌﻨﻲ هﻨﺪﺳﻴﺎ أن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A (1,1‬ﻣﻤﺎﺳﺎ رأﺳﻴﺎ‬ ‫‪-3‬أ‪-‬‬ ‫⎧‬ ‫‪x −1 −1‬‬ ‫‪;x 1‬‬ ‫= ) ‪⎪f '(x‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪f '(x ) = 1 − x − 1 ; x ≺ 1‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪1− x‬‬ ‫ب‪-‬‬

‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪0 -‬‬‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫∞‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x‬‬ ‫) ‪f '( x‬‬ ‫) ‪f (x‬‬

‫‪0‬‬ ‫∞‪−‬‬

‫‪ -4‬أ‪ (C ) -‬ﻳﻘﺒﻞ ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬و ∞‪ −‬ﻓﺮﻋﻴﻦ ﺷﻠﺠﻤﻴﻴﻦ اﺗﺠﺎهﻬﻤﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y =x‬‬ ‫ب‪ -‬ﻳﻘﻄﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ I (2, 0‬و )‪J (−2 − 2 2,0‬‬

‫‪-5‬أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫[∞‪[ 2, +‬‬

‫‪f ( x) = x − 2 x − 1‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪= x − 2( x − 1) 2 = x − 2( x − 1)' ( x − 1) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪( x − 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 2.‬‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ أن ‪+ c :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 4‬‬ ‫إذن ‪= − . ( x − 1)3 + c‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫ﻣﻊ ‪ c‬ﺛﺎﺑﺘﺔ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪ g (2) = .‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫= ‪− +c‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إذن ‪c=0 :‬‬ ‫‪x2 4‬‬ ‫‪2,‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫=‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪− ( x − 1) x − 1 :‬‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫‪g‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ب‪ -‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟‬ ‫⎟‬ ‫⎠‬

‫⎞‬ ‫‪⎛ 1 4 ( x − 1)3‬‬ ‫‪⎟ = lim x 2 ⎜ −‬‬ ‫‪⎟ x →+∞ ⎜ 2‬‬ ‫‪3 x4‬‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫‪x2 4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪( x − 1)3‬‬ ‫‪x→+∞ 2 3‬‬ ‫‪⎛ 1 4 ( x − 1)3‬‬ ‫‪= lim x 2 ⎜ −‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪⎜2‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫⎝‬

‫‪lim g ( x) = lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫⎞ ‪⎛ 1 4 ( x − 1)3‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪= lim x 2 ⎜ −‬‬ ‫∞‪⎟ = +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪⎜2 3‬‬ ‫⎟‬ ‫‪x‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫*ﻟﺪﻳﻨﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ [∞‪ ]2, +‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪ ) g '( x ) = f ( x) , ]2, +‬ﻷن ‪ g‬داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫‪(f‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن إﺷﺎرة )‪ g '( x‬هﻲ إﺷﺎرة )‪ f ( x‬ﻋﻠﻰ [∞‪]2, +‬‬ ‫وﺣﺴﺐ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬أو اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ أن ‪ f ( x) 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪]2, +‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪[ 2, +‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻧﺠﺪ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪: g‬‬