سلسلة تمارين حول المتتاليات العددية السنة الثانية بكالوريا مسلك العلوم التجريبية من إنجاز الأستاذ عل

‫سلسلة متارين حول املتتاليات العددية‬

‫‪u1  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫تمرين‪ :1‬وعتثر المتتالية العددية المعرفة تما يلي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪un 1  3 un  6 ; n  1‬‬ ‫‪ .1‬أحسة ‪ u2‬و ‪. u3‬‬

‫لتكه ‪  vn n1‬المتتالية المعرفة تما يلي‪. vn  un  18 :‬‬

‫‪ .2‬تيه أن المتتالية ‪  vn n1‬متتالية هىدسية محددا أساسها و حدها األول‪.‬‬

‫‪ .3‬حدد ‪ vn‬تداللة ‪ ، n‬ثم استىتج ‪ un‬تداللة ‪n‬‬ ‫‪ .4‬أحسة ‪. lim un‬‬ ‫تمرين‪:2‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u1  2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫وعتثر المتتالية العددية المعرفة تما يلي‪1  2un :‬‬ ‫‪un  1 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫و وعتثر المتتالية ‪  vn  n1‬المعرفة تما يلي‪; n  1 :‬‬ ‫‪ .1‬أحسة‬

‫‪. vn  1  2un‬‬

‫‪. v1‬‬

‫‪ .2‬ترهه أن ‪  vn  n1‬متتالية هىدسية أساسها ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .3‬عثر عه ‪ vn‬و ‪ u n‬تداللة ‪. n‬‬ ‫تمرين‪:3‬‬

‫وعتثر المتتالية ‪ u n n‬المعرفة تما يلي‪:‬‬

‫ترهه تالترجع أن‪:‬‬

‫‪un  3  2n‬‬

‫‪un 1  2un  3‬‬

‫‪u0  2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫;‪n  0‬‬

‫;‪. n  0‬‬

‫‪u0  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫وضع‪:‬‬ ‫تمرين‪:4‬‬ ‫‪un  2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .1‬أحسة ‪ u1‬و ‪ u2‬و ‪. u3‬‬ ‫‪. n  ; un  1‬‬ ‫‪ .2‬ترهه تالترجع أن ‪:‬‬ ‫‪u 2‬‬ ‫‪. n  ; vn  n‬‬ ‫‪ .3‬وضع ‪:‬‬ ‫‪un  1‬‬ ‫‪ )a‬تيه أن متتالية هىدسية محددا أساسها و حدها األول‪.‬‬ ‫‪ )b‬أحسة ‪ v n‬تداللة ‪ n‬ثم أحسة ‪. limvn :‬‬ ‫‪ )c‬أحسة ‪ u n‬تداللة ‪ n‬ثم أحسة ‪. limun :‬‬ ‫تمرين‪:5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u0  2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪un 1  n  2 ; n ‬‬ ‫‪2 un‬‬ ‫‪‬‬

‫وعتثر المتتالية العددية المعرفة تما يلي‪:‬‬

‫‪ .1‬تيه أن‪. n  0; un  2 :‬‬

‫‪ .2‬تيه أن ‪ u n n‬متتالية تىاقصية‪.‬‬

‫‪ .3‬استىتج أن ‪ u n n‬متتالية متقارتة‪.‬‬ ‫‪ .4‬أحسة ‪. limun‬‬ ‫تمرين‪:6‬‬

‫وعتثر المتتالية العددية المعرفة تما يلي‪:‬‬

‫‪u 0  2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪un 1  2un  3; n ‬‬

‫‪ .1‬أحسة ‪ u 2‬و ‪. u 3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ .2‬وعتثر المتتالية ‪  vn n1‬المعرفة تما يلي‪. vn  un  3 :‬‬ ‫أ‪.‬‬

‫ترهه أن ‪  vn n1‬متتالية هىدسية محددا أساسها و حدها األول‪.‬‬

‫ب‪ .‬عثر عه ‪ v n‬تداللة ‪ n‬ثم عه ‪ u n‬تداللة ‪. n‬‬ ‫ج‪ .‬أحسة ‪ lim vn‬ثم ‪. lim un‬‬ ‫تمرين‪:7‬‬

‫‪u0  0 ; u1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ، ‬و المتتالية المعرفة ب‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪un  2  5 un 1  25 un ; n ‬‬

‫وعتثر المتتالية المعرفة كاآلتي ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ ، vn  un1  un ; n ‬و المتتالية المعرفة ب‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ .1‬أ‪ .‬تيه أن ‪ v n n‬متتالية هىدسية‪.‬‬

‫‪; n ‬‬

‫‪. wn  5n un‬‬

‫ب‪ .‬أكتة ‪ v n‬تداللة ‪. n‬‬

‫‪ .2‬أ‪ .‬تيه أن ‪ w n n‬متتالية حساتية‪.‬‬ ‫ب‪ .‬أكتة ‪ w n‬تداللة ‪. n‬‬ ‫ج‪ .‬استىتج ‪ u n‬تداللة ‪. n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .3‬أ‪ .‬تيه أن ‪. n  * ; 0  un 1  un :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪2‬‬ ‫ب‪ .‬استىتج أن ‪; 0  un   ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ج‪ .‬أحسة ‪. lim un‬‬

‫*‬

‫‪. n ‬‬

‫وعتثر المتتالية العددية ‪ u n n‬المعرفة كاآلتي‪:‬‬

‫تمرين‪:8‬‬

‫‪u 0  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪un2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪;n ‬‬ ‫‪ n 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ .1‬أحسة ‪. u 1‬‬ ‫‪ .2‬تيه أن‪. n  ; 0  un  2 3 :‬‬

‫‪ .3‬تيه أن ‪ u n n‬تزايدية قطعا‪ .‬ماذا تستىتج ؟‪.‬‬

‫‪ .4‬وعتثر المتتالية ‪ v n n‬المعرفة ب ‪. n  ; vn  12  un 2‬‬ ‫أ‪.‬‬

‫تيه أن‬

‫‪v n n‬‬

‫متتالية هىدسية محددا أساسها و حدها األول‪.‬‬

‫ب‪ .‬أكتة ‪ u n‬تداللة ‪ n‬و استىتج ‪. lim un‬‬

‫تمرين‪:9‬‬

‫وعتثر المتتالية العددية ‪ u n n‬المعرفة كاآلتي‪:‬‬

‫‪ .1‬تيه تالترجع أن‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪. n  ; un ‬‬

‫‪un 1‬‬ ‫‪ .2‬تيه أن‪ 1 :‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .3‬وضع‪. n  ; vn  un3  :‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ )a‬تيه أن ‪ v n n‬متتالية هىدسية محددا أساسها‪.‬‬ ‫; ‪، n ‬ماذا تستىتج ؟‬

‫‪ )b‬أحسة ‪ u n‬تداللة ‪. n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u 0  3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1un3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪;n ‬‬ ‫‪ n 1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ )c‬أحسة ‪ Sn   uk 3‬تداللة ‪. n‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫تمرين‪ :10‬وعتثر المتتاليتيه المعرفتيه كاآلتي‪:‬‬ ‫‪u1  7‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬ ‫‪‬‬ ‫‪u n  3v n ; n ‬‬ ‫‪u n 1 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫وضع‪:‬‬

‫‪; wn  un  vn‬‬

‫‪ .1‬تيه أن‬

‫*‬

‫*‬

‫و‬

‫*‬

‫‪v 1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪u n  2v n ; n ‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪. n ‬‬

‫متتالية هىدسية و حدد أساسها‪.‬‬

‫‪(w n )n‬‬

‫‪ .2‬أكتة ‪ w n‬تداللة ‪. n‬‬ ‫‪ .3‬أحسة ‪. lim wn‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ .4‬أحسة ‪ ، sn   wk‬ثم حدد ‪. lim sn‬‬ ‫‪k 1‬‬

‫‪ .5‬أكتة ‪ u n 1  u n‬تداللة ‪ w n‬و استىتج ‪ u n 1‬تداللة ‪. n‬‬ ‫تمرين‪:11‬‬ ‫‪6x  5‬‬ ‫‪ f (x ) ‬على ‪. I  1;5‬‬ ‫‪ .1‬أدرس تغيرات الدالة‬ ‫‪x 2‬‬

‫‪u o  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6u n  5 ; n ‬‬ ‫‪u n 1  u  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ .2‬وعتثر المتتالية المعرفة كالتالي ‪:‬‬

‫‪ )a‬تيه أن ‪ (u n )n‬تزايدية قطعا ‪.‬‬ ‫)‪. (n  ; un  5‬‬ ‫‪ )b‬تيه أن‪:‬‬ ‫‪ )c‬استىتج أن ‪ (u n )n‬متقارتة و أحسة ‪. lim un‬‬ ‫تمرين‪:12‬‬

‫‪x  3x  6‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫وعتثر الدالة العددية ‪ g‬المعرفة على ‪ 1, ‬ب ‪:‬‬ ‫‪ .1‬تيه أن‪. x  2.   ; g (x )  3 :‬‬ ‫‪ .2‬لتكه المتتالية العددية ‪ (u n )n‬المعرفة كالتالي‪:‬‬

‫‪ )a‬تيه أن‪un  3 :‬‬ ‫‪ )b‬تيه أن‬

‫*‬

‫;‬

‫*‬

‫‪. g (x ) ‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪un 1  g  un  ; ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪. n ‬‬

‫‪ (u n )n‬رتيثة و استىتج أوها متقارتة ‪.‬‬

‫‪ )c‬أحسة ‪. lim un‬‬

‫‪http://www.9alami.com‬‬

‫‪Ali TAMOUSSIT‬‬

‫‪3‬‬