Programación lineal

Programación Lineal (Método Grafico) Tutor Virtual: Ing. Carlos Chanta Módulo V Materiales didácticos para la virtualidad II (B)

San Salvador, mayo 2020.

PROGRAMACIÓN LINEAL

1

Programación Lineal (Método Grafico) El propósito del método grafico es desarrollar la técnica algebraica para problemas lineales con dos variables.

Método Grafico:

Este método se basa en la intersección de líneas en el plano cartesiano, específicamente en el primer cuadrante para realizar el enfoque bidimensional. La idea del método gráfico es graficar el espacio de soluciones a lo cual se le llamará región factible.

Pasos para resolver un problema de programación lineal utilizando el método gráfico. a) Definir matemáticamente el problema (formulación del problema) b) Determinación del espacio factible representando gráficamente las restricciones (ecuaciones) c) Determinación de la solución óptima.

Buscar el punto más cercano del origen (costo) utilidades (encontrar el punto máximo) La solución óptima se determina utilizando ecuaciones simultaneas; las fronteras de la región factible están formadas por la recta que conectan los diferentes puntos que la limitan. En esta frontera por lo menos uno de los puntos de intersección será la solución óptima. El proceso consiste en probar todos los puntos que queremos en la función objetiva.

PROGRAMACIÓN LINEAL

2

Los puntos factibles de un problema lineal son totalmente determinados por la solución básica factible de la ecuación que lo defina.

Ejercicio: Una empresa que fabrica dos tipos de escritorios, marca “X” y marca “Y”, quiere producir diariamente la cantidad de escritorios de tal forma que las utilidades obtenidas sean máximas. Pero el empresario se encuentra que tanto los recursos disponibles como el consumo de éstos son distintos y de acuerdo con el modelo del escritorio; le pide la información al jefe de planta que obtuvo los siguientes resultados: Por cada escritorio de la marca “X” obtiene utilidad de $200 y consume para su construcción en el área de máquinas 6 horas y para el área de pintura 8 horas, y para el escritorio “Y”, $240, 12 horas y 4 horas respectivamente.

Sabiendo que la capacidad en el área de máquinas es de 120 horas y en la de pintura 64 horas, determine la cantidad de escritorios que maximicen las utilidades y obtenga el valor de esas utilidades, para que el dueño de la empresa pueda tomar la decisión al respecto.

Solución: 1-

En primer lugar, analicemos el problema y extraigamos los datos que nos dan x

y

200

240

Horas trabajadas

6

12

Horas pintura

8

4

Dinero

PROGRAMACIÓN LINEAL

3

2- Elaboremos nuestras inecuaciones con los datos proporcionados 6x + 12y ≤ 120 y 8x + 4y ≤ 64

3- Como nos están pidiendo maximizar las utilidades, nuestra función objetivo quedaría de la siguiente manera: Zmax= 200x + 240y Esto es porque por cada escritorio marca “x” se obtiene una utilidad de 200 y por cada escritorio marca “y” 240.

4- Comencemos obteniendo los puntos con la primera inecuación para poder graficarlos en la recta numérica.

6x + 12y ≤ 120 Tracemos las coordenadas de la siguiente manera para que nos sea fácil de entender:

5- Lo mismo hacemos para la otra inecuación

6- Ya tenemos los puntos para graficar en la recta numérica y estos son los siguientes: (0,10), (20,0), (0,16) y (8,0) PROGRAMACIÓN LINEAL

4

Para encontrar los valores del punto C debemos realizarlo a través de un sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas. (Recuérdense que existen 3 métodos, por lo tanto podrá utilizar el que se les facilite más) Las ecuaciones ya las tenemos: 6x + 12y =120 8x + 4y = 64 Utilizaré el método de Sustitución o reducción 6x + 12y =120 8x + 4y = 64 (-3) Multiplicaremos esta ecuación por -3

PROGRAMACIÓN LINEAL

5

Sustituyendo el valor de X en cualquier ecuación: 6x + 12y =120 6(4) + 12y =120 24 + 12y = 120 12y = 120 – 24 y = 96/12 y=8 Por lo tanto, el punto C tiene las coordenadas (4,8) 7- Ahora con los puntos encontrados vamos a sustituirlos en nuestra función objetivo de la siguiente manera: Comenzaremos sustituyendo las primeras coordenadas (0,0)

Nos hemos dado cuenta de que los valores con los cuales se obtendrán máximas utilidades son con las coordenadas (4,8), por lo tanto, la respuesta es: Hay que producir 4 escritorios marca “X” y 8 escritorios marca “Y” para obtener una utilidad máxima de $2,720.

PROGRAMACIÓN LINEAL

6