metodologia analisis estatico by Editorial Científica 3Ciencias

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ÁREA DE INNOVACIÓN Y DESARROLLO, S.L. C/Santa Rosa, 15 - 03802 - ALCOY (ALICANTE) info@3ciencias.com Primera edición: Mayo 2013 ISBN: 978-84-940352-8-9 Depósito legal: A 115 - 2013 Registro: 201318256 - 05/03/2013

Autor

Ing. Juan David Cano Moreno UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Departamento de Ingeniería Mecánica y Fabricación

Director Dr. Ing. José María Cabanellas Becerra

MADRID, 2008

La caminata mĂĄs larga comienza con un paso, por esto quiero agradecer su apoyo

A mis padres A mis hermanos A Patricia A mi familia y amigos A todos los compaĂąeros del trabajo

ÍNDICE Capitulo 1: Introducción……………………………………………………………………………………………………….29 I.

Marco y motivación del trabajo fin de máster ............................................................ 29

II. Alcance e interés del trabajo fin de máster ................................................................. 29 III. Objetivos del trabajo fin de máster ............................................................................ 30 IV. Estructura del trabajo fin de máster ........................................................................... 30 Capitulo 2: Estado del arte…………………………………………………………………………………………………..32 I.

Transporte vertical .................................................................................................... 32

II. Evolución de la escalera mecánica .............................................................................. 35 III. Estado actual de la escalera mecánica ........................................................................ 37 

Leyes de evolución de los sistemas técnicos .............................................................. 37

TRIZ .................................................................................................................................. 38 Curva de la S ...................................................................................................................... 39 Transición de la Macroestrura a la Microestructura .......................................................... 40 

Principales problemas existentes en las escaleras mecánicas actuales ...................... 40

Movimientos relativos ....................................................................................................... 41 Poligonalización ................................................................................................................. 43 

Últimos avances en la escalera mecánica actual ........................................................ 45

Modelos de simulación...................................................................................................... 45 Velocidad variable ............................................................................................................. 46 Zócalo móvil ...................................................................................................................... 46 

Estado de evolución de la escalera mecánica ............................................................. 47

Capitulo 3: Descripción de una escalera mecánica convencional………………………………………....48 I.

Sistema de tracción ................................................................................................... 50 

Tracción por rueda dentada ....................................................................................... 50

Mediante un motor y una cadena ..................................................................................... 51 Mediante un motor y un tren de engranajes..................................................................... 51 Mediante dos motores y dos trenes de engranajes .......................................................... 51



Tracción lineal ............................................................................................................ 52

IV. Sistema de accionamiento ......................................................................................... 53 V. Estación tensora ........................................................................................................ 54 VI. Bastidor o estructura metálica ................................................................................... 54 VII. Balaustradas.............................................................................................................. 55 Capitulo 4: Análisis empleados…………………………………………………………………………………………….56 I.

Análisis estático ......................................................................................................... 56 Descripción del análisis realizado ...................................................................................... 57

II. ANÁLISIS CINEMÁTICO ............................................................................................... 58 

Definición de juntas cinemáticas ................................................................................ 58



Leyes de movimiento ................................................................................................. 59



Cálculo del radio mínimo ............................................................................................ 60



Sensorización y salida de resultados .......................................................................... 63

III. ANÁLISIS DINÁMICO .................................................................................................. 65 

Introducción al programa SIMPACK ........................................................................... 65



Modelización de sistemas multicuerpo con SIMPACK ................................................ 66

Preproceso ........................................................................................................................ 67 Cálculo ............................................................................................................................... 67 Postproceso ....................................................................................................................... 67 

Componentes básicos para la modelización en SIMPACK .......................................... 67

Sistemas de Referencia...................................................................................................... 67 Datos requeridos para la definición de sistemas de referencia ......................................... 68 Cuerpos ............................................................................................................................. 68 Datos requeridos para la definición de cuerpos rígidos .................................................... 68 Marcadores ....................................................................................................................... 69 Marcadores Fijos ............................................................................................................... 69 Fuerzas .............................................................................................................................. 71 Valores de salida obtenidos en el etapa de Postprocesado ............................................... 72 

Descripción del módulo SIMPACK CHAIN ................................................................... 73

Ruedas dentadas ............................................................................................................... 73 Guías tensoras ................................................................................................................... 74 Eslabones........................................................................................................................... 74 Elementos de contacto ...................................................................................................... 75 Proceso de modelización de una cadena con SIMPACK CHAIN ......................................... 76 IV. ANÁLISIS ESTADÍSTICO ............................................................................................... 77 Objetivos ........................................................................................................................... 77 Métodos Empleados .......................................................................................................... 77 Capitulo 5: Modelos Desarrollados……………………………………………………………………………………….79 I.

MODELOS ESTÁTICOS ................................................................................................ 79 

Geometría de la guía .................................................................................................. 80



Módulo de cálculo ...................................................................................................... 80



Tensión y Reacción en la zona de volteo .................................................................... 81

Curva definida por un radio ............................................................................................... 82 Curva definida por dos radios y una zona recta inclinada ................................................. 87 Curva antipoligonalización ................................................................................................ 88 

Tensión y Reacción en toda la escalera ...................................................................... 89

Guía con transiciones circulares ........................................................................................ 90 Guía con transiciones antipoligonalización........................................................................ 96 II. MODELOS CINEMÁTICOS ........................................................................................... 98 

Escalera Mecánica Convencional................................................................................ 98

Descripción del modelo ..................................................................................................... 99 Resultados obtenidos ...................................................................................................... 104 

Modelo con dos eslabones por peldaño................................................................... 105

Descripción del modelo ................................................................................................... 105 Resultados obtenidos ...................................................................................................... 106 Otros diseños de dos eslabones por peldaño .................................................................. 108 

Modelo con un eslabón por peldaño........................................................................ 108

Descripción del modelo ................................................................................................... 109 Resultados obtenidos ...................................................................................................... 110

III. MODELOS DINÁMICOS............................................................................................. 111 

Escalera Mecánica Convencional.............................................................................. 112

Descripción del modelo ................................................................................................... 112 Parámetros de diseño...................................................................................................... 113 Diagrama topológico ....................................................................................................... 120 Diseño de la cadena......................................................................................................... 121 Introducción del contacto rodillo-guía ............................................................................ 122 Introducción de los peldaños .......................................................................................... 123 Resultados obtenidos ...................................................................................................... 123 

Cadena de rodillos con tracción lineal ...................................................................... 125

Modelos preliminares...................................................................................................... 125 Descripción del Modelo ................................................................................................... 128 Diagrama Topológico ....................................................................................................... 128 Definición de Geometrías ................................................................................................ 129 Diseño del Tensor ............................................................................................................ 132 Definición de Juntas ........................................................................................................ 136 Sistema de tracción ......................................................................................................... 136 Resultados obtenidos ...................................................................................................... 138 IV. MODELOS ESTADÍSTICOS ......................................................................................... 150  Análisis de la reacción y la tensión en una curva de volteo definida por dos radios y una zona recta .................................................................................................................... 150 Reacción máxima ............................................................................................................. 169 Reacción media ............................................................................................................... 178 Tensión máxima .............................................................................................................. 188 Tensión media ................................................................................................................. 198 

Diseño Robusto del Tensor para un Pasillo Horizontal ............................................. 209

Descripción del Sistema ................................................................................................... 209 Selección de parámetros. ................................................................................................ 210 Señales de Ruido ............................................................................................................. 211 Resultados obtenidos ...................................................................................................... 213 Relación S/R de Taguchi .................................................................................................. 215

Análisis de la Varianza ..................................................................................................... 217 Análisis de Regresión Múltiple ........................................................................................ 219 Conclusiones.................................................................................................................... 220 Inferencia del resultado................................................................................................... 222 Capitulo 6: Discusión de resultados…………………………………………………………………………………….222 I.

Resultados estáticos ................................................................................................ 224 

Análisis de la reacción y la tensión en la zona de volteo .......................................... 224

Variando la relación cuerda/arco .................................................................................... 225 Variando la forma de la curva.......................................................................................... 226 Variando el estado de carga ............................................................................................ 228 

Análisis de la reacción y la tensión en la escalera completa ..................................... 232

II. Resultados Cinemáticos ........................................................................................... 233 III. Resultados Dinámicos .............................................................................................. 237 

Variación de curvas de transición ............................................................................. 237

Velocidad ......................................................................................................................... 237 Tensión ............................................................................................................................ 238 Reacción .......................................................................................................................... 238 

Variación de los parámetros del tensor .................................................................... 238

Velocidad ......................................................................................................................... 239 Tensión ............................................................................................................................ 240 Reacción .......................................................................................................................... 241 

Variación del tipo de carga ....................................................................................... 241

Velocidad ......................................................................................................................... 242 Tensión ............................................................................................................................ 242 Reacción .......................................................................................................................... 243 IV. Influencia de la componente dinámica frente a la estática y a la cinemática .............. 243 

Análisis de la velocidad ............................................................................................. 243



Análisis de la reacción y tensión ............................................................................... 244

Capitulo 7: Conclusiones………………………………………………………………………………………………….….245 Capitulo 8: Publicaciones………………………………………………………………………………………………..…..247

Capitulo 9: Trabajos Futuros…………………………………………………………………………………………….248 Capitulo 10: Referencias…………………………………………………………………………………………………..249

RELACIÓN DE FIGURAS Figura 1. Ejemplos de tipos de transporte de elevación vertical ................................................ 32 Figura 2. Tipo de transporte vertical de comienzos del siglo XVIII ............................................. 32 Figura 3. Dibujo de la patente de E.G.Otis (1861) ...................................................................... 33 Figura 4. Máquina de un ascensor accionado mediante un tambor movido a vapor (Elisha Graves Otis) 33 Figura 5. Ascensores hidráulicos de 21 metros de recorrido (Leon Edoux) ................................ 34 Figura 6. Pasillo de aceleración instalado en Toronto, Canadá .................................................. 35 Figura 7. Escalera triangular de Nathan Ames (1859) ................................................................ 35 Figura 8. Rampa inclinada móvil de Jesse Reno (1892) .............................................................. 35 Figura 9. Escalera mecánica con peldaños planos de G.A. Wheeler (1887)................................ 36 Figura 10. Diseños de escaleras mecánicas en forma de C y en forma de doble espiral. ........... 36 Figura 11. Curva de la S .............................................................................................................. 39 Figura 12. Desplazamiento relativo entre peldaños en la zona de transición ............................ 41 Figura 13. Detalle sobre el ranurado de las huellas de los peldaños y su movimiento relativo con los peines de la cabecera superior ............................................................................................. 42 Figura 14. Detalle del zócalo ...................................................................................................... 42 Figura 15. Parámetros para el estudio de la poligonalización en una cadena ............................ 43 Figura 16.Modelo cinemático para simular la tracción lineal ..................................................... 44 Figura 17. Perfil de velocidad en el volteo para un modelo cinemático de tracción lineal ......... 44 Figura 18. Modelo realizado en DADS de una escalera mecánica .............................................. 45 Figura 19. Sistema de accionamiento del pasamanos simulado por Yi Sug Kwon ...................... 46 Figura 20. Prototipo de escalera de velocidad variable de Mitsubishi Electric ........................... 46 Figura 21. Diseño de zócalo móvil de la empresa Otis. .............................................................. 46 Figura 22.-Principales Componentes de una Escalera Mecánica ................................................ 48 Figura 23.- Detalle del sistema de tracción de las escaleras mecánicas convencionales ............ 50

Figura 24.- Detalle del sistema de tracción de las escaleras mecánicas convencionales: Rueda dentada accionada por cadena sin ensamblar ........................................................................... 51 Figura 25. Sistema de tracción: un motor y una cadena ............................................................ 51 Figura 26. Sistema de tracción: un motor y un tren de engranajes ............................................ 51 Figura 27. Sistema de tracción: dos motores y dos trenes de engranajes .................................. 52 Figura 28. Detalle de los eslabones en forma de cremallera. Patente WO0244071A1 (2001) .. 52 Figura 29. Escalera mecánica con tracción lineal (patente ES8606186A) ................................... 52 Figura 30.- Peldaño de la Escalera Mecánica Convencional ....................................................... 53 Figura 31.- Detalle del sistema de accionamiento de las escaleras mecánicas convencionales . 53 Figura 32. Elementos de la estación tensora de una escalera mecánica convencional .............. 54 Figura 33. Ejemplos de estructura autoportante ....................................................................... 55 Figura 34. Ejemplos de balaustradas de cristal y metálica ......................................................... 55 Figura 35. Esquema de fuerzas tenidas en cuenta en el análisis estático ................................... 57 Figura 36. Parámetros para el cálculo del radio mínimo ............................................................ 60 Figura 37. Simplificación para el cálculo del radio mínimo......................................................... 60 Figura 38. Posición relativa de los peldaños en las zonas de transición ..................................... 63 Figura 39. Posición relativa de los peldaños en el volteo ........................................................... 63 Figura 40. Posición de los peldaños reales de una escalera convencional en la posición de volteo 63 Figura 41.Ejemplo de salida gráfica en CATIA: Velocidad lineal absoluta ................................... 64 Figura 42. Ejemplo de salida de datos en CATIA: Velocidad lineal absoluta ............................... 65 Figura 43. Camión y remolque como ejemplo de sistema físico y modelo meánico .................. 66 Figura 44. Elemento de fuerza con sistemas de referencia y de medida. .................................. 71 Figura 45. Elemento de fuerza de punto a punto ....................................................................... 72 Figura 46. Ejemplo de un elemento multi-fuerza ....................................................................... 72 Figura 47: Definición de la geometría de las ruedas dentadas ................................................... 74 Figura 48: Definición de la geometría de las guías tensoras ....................................................... 74 Figura 49: Conexión entre eslabones interiores y exteriores ..................................................... 74

Figura 50: Parámetros de geometría izda.) eslabón exterior, dcha.) eslabón interior ............... 75 Figura 51: Contacto eslabón interior-eslabón exterior ............................................................... 75 Figura 52: Contacto eslabón-guía tensora .................................................................................. 75 Figura 53: Contacto eslabón-rueda dentada .............................................................................. 76 Figura 54. Flujograma de funcionamiento del programa desarrollado en MATLAB ................... 79 Figura 55.Vectores directores para el cálculo del equilibrio estático ......................................... 81 Figura 56: Colocación rodillos en la guía para el cálculo de las reacciones y tensiones en el volteo 82 Figura 57: Reacciones y tensiones en el volteo .......................................................................... 83 Figura 58: Valores máximos de las reacciones en el volteo en función del radio ....................... 83 Figura 59. Reacción y tensión frente a la relación cuerda/arco ................................................. 85 Figura 60. Posición de los eslabones y gráficas de tensión y reacción para tres pasos distintos del eslabón de la cadena .................................................................................................................. 86 Figura 61.Curva definida por dos radios y un ángulo ................................................................. 87 Figura 62. Geometría, reacción y tensión en una zona de volteo definida por dos radios y una zona recta inclinada ................................................................................................................... 88 Figura 63.Esquema de funcionamiento de las guías antipoligonalización .................................. 88 Figura 64.Distribución de fuerzas para el caso de la curva de volteo antipoligonalización ........ 89 Figura 65.Curvas de reacción y tensión en el volteo para una curva antipoligonalización ........ 89 Figura 66. Curva de reacción sobre un rodillo cargado de la guía circular de 1.5m de altura y tres eslabones por peldaño ............................................................................................................... 91 Figura 67. Diagrama polar de la curva de reacción sobre un rodillo cargado de la guía circular de 1.5m de altura y tres eslabones por peldaño ............................................................................. 92 Figura 68. Diagrama polar de las curvas de reacción de un rodillo cargado y otro descargado del modelo de la guía circular de 1.5m de altura y tres eslabones por peldaño .............................. 92 Figura 69. Zoom del diagrama polar de la Figura 68 .................................................................. 93 Figura 70. Diagrama polar de la resta de reacciones de los rodillos cargado y descargado del modelo de una guía circular de 1.5 metros de altura ................................................................. 93 Figura 71. Tensión durante un ciclo de un eslabón que articula con un rodillo cargado ............ 93 Figura 72. Tensión durante un ciclo de un eslabón que articula con dos rodillos descargados.. 94

Figura 73. Curvas de reacción y tensión para una guía circular completa de 4.5m. de altura. Caso de carga: escalera en vacío ........................................................................................................ 95 Figura 74. Curvas de reacción y tensión para una guía circular completa de 4.5m. de altura. Caso de carga: escalera llena .............................................................................................................. 95 Figura 75. Curvas de reacción y tensión para una guía circular completa de 4.5m. de altura. Caso de carga: escalera llena con tracción convencional ................................................................... 96 Figura 76.Curvas de reacción y tensión para una guía antipoligonalización completa de 4.5m. de altura. Caso de carga: escalera en vacío ..................................................................................... 97 Figura 77.Diagrama polar de reacción y tensión sobre una guía antipoligonalización completa de 4.5m. de altura ........................................................................................................................... 97 Figura 78.Diagrama polar ampliado en la zonas de volteo de la guía antipoligonalización completa de 4.5m. de altura ...................................................................................................... 98 Figura 79. Perspectiva del modelo cinemático de una escalera convencional ........................... 99 Figura 80. Vista lateral del modelo cinemático de una escalera convencional .......................... 99 Figura 81. Detalle del rodillo conductor en el modelo cinemático de la escalera convencional100 Figura 82.Comandos definidos para simular el modelo cinemático de dos eslabones por peldaño 101 Figura 83. Esquema para el cálculo de la relación teórica entre las velocidades lineales del eje y de un punto de la periferia del rodillo, cuando rueda por dentro de una curva circular ......... 101 Figura 84. Velocidad lineal del eje del rodillo director para el modelo cinemático de tres eslabones por peldaño ............................................................................................................. 102 Figura 85. Nomenclatura y sensorización de los peldaños del modelo cinemático de escalera convencional ............................................................................................................................ 103 Figura 86. Distancia mínima entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica convencional .............................................................................................. 104 Figura 87. Velocidad linear absoluta de cada peldaño del modelo cinemático de escalera convencional ............................................................................................................................ 104 Figura 88. Velocidad relativa entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica convencional .............................................................................................. 105 Figura 89. Perspectiva del modelo cinemático de escalera convencional con dos eslabones por peldaño .................................................................................................................................... 106 Figura 90. Sensores principales para el modelo cinemático de una escalera mecánica con dos eslabones por peldaño ............................................................................................................. 106

Figura 91. Distancia mínima entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica con dos eslabones por peldaño .................................................................. 107 Figura 92. Velocidad linear absoluta de cada peldaño del modelo cinemático de escalera mecánica con dos eslabones por peldaño ................................................................................ 107 Figura 93. Velocidad relativa entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica con dos eslabones por peldaño.................................................................. 107 Figura 94. Modelo cinemático de una guía definida en el volteo por dos radios un una zona inclinada ................................................................................................................................... 108 Figura 95. Velocidad lineal de los rodillos de peldaño para el segundo modelo cinemático de una escalera con dos eslabones por peldaño .................................................................................. 108 Figura 96. Modelo cinemático de una escalera mecánica con un eslabón por peldaño .......... 109 Figura 97. Definición de dimensiones en el modelo cinemático de un eslabón por peldaño ... 109 Figura 98. Distancia mínima entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica con un eslabón por peldaño ....................................................................... 110 Figura 99. Velocidad linear absoluta de cada peldaño del modelo cinemático de escalera mecánica con un eslabón por peldaño ..................................................................................... 110 Figura 100. Velocidad relativa entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica con dos eslabones por peldaño .................................................................. 111 Figura 101. Modelo dinámico de una escalera convencional de 1.5m. de altura ..................... 112 Figura 102. Sistema de referencia ............................................................................................ 120 Figura 103. Cuerpo ................................................................................................................... 120 Figura 104. Junta cinemática .................................................................................................... 120 Figura 105. Restricción cinemática ........................................................................................... 120 Figura 106. Elemento de fuerza ............................................................................................... 120 Figura 107: Diagrama topológico del modelo de escalera mecánica preliminar ...................... 121 Figura 108: Modelo con guías tensoras para dar forma a la cadena ........................................ 121 Figura 109: Características del contacto bidireccional ............................................................. 122 Figura 110: Geometría de las guías con contactos bidireccionales .......................................... 122 Figura 111: Introducción de un peldaño en el modelo ............................................................. 123 Figura 112. Velocidad longitudinal del eslabón y de rotación de la rueda dirigida en el modelo dinámico de una escalera convencional ................................................................................... 123

Figura 113. Fuerzas de reacción (N) de los rodillos externo (rodillo articulado en el peldaño) e interno respectivamente .......................................................................................................... 124 Figura 114. Tensión (N) del eslabón de la cadena de rodillos................................................... 124 Figura 115. Fuerza del tensor en la rueda dirigida ................................................................... 125 Figura 116.Sistema de tracción lineal mediante ruedas de gran diámetro definiendo la cadena usando el módulo SIMPACK CHAIN .......................................................................................... 126 Figura 117. Geometría seguida por un rodillo y perfil de velocidad para el mismo dentro del modelo de tracción lineal usando ruedas dentadas ................................................................. 126 Figura 118. Modelo de pasillo móvil con sistema de tracción lineal ........................................ 127 Figura 119 Geometría seguida por un rodillo y perfil de velocidad para el mismo dentro del modelo de tracción lineal usando un control proporcional ..................................................... 127 Figura 120.Modelo de una guía con tensor de 4.5m. de altura ................................................ 128 Figura 121. Diagrama del modelo dinámico de una guía ......................................................... 129 Figura 122. Cuerpos del modelo de una guía de 4.5 metros de altura ..................................... 129 Figura 123. Geometría de un Rodillo (sólido) ........................................................................... 130 Figura 124. Geometría de un Eslabón (modo alambre) ............................................................ 130 Figura 125.Partes de una Guía de una Escalera Mecánica ....................................................... 131 Figura 126. Esquema de definición del contacto entre cada rodillo y la guía para el modelo de una guía de 4.5 metros de altura ............................................................................................. 133 Figura 127. Fuerzas de contacto entre rodillo y guía y tensor: ejemplo marcadores mal posicionados ............................................................................................................................ 134 Figura 128. Solución del diseño del sistema tensor.................................................................. 134 Figura 129. Detalle del tensor y la guía del modelo simulado .................................................. 135 Figura 130. Dos fuentes de reacción del rodillo: tensor (arriba) y guía (medio)....................... 135 Figura 131. Situación del sistema de tracción del modelo de una guía de 4.5metros de altura137 Figura 132. Zona de control del sistema de tracción, esquema en ejes locales ....................... 137 Figura 133. Diagrama del Sistema de Control de Velocidad de SIMPACK ................................ 138 Figura 134.Reparto de pesos en una cadena de dos eslabones por peldaño ........................... 151 Figura 135. Análisis Cluster para un grupo, método Ward y medida Euclidean Cuadrado ....... 167

Figura 136. Análisis Cluster para dos (izqda.) y tres (dcha.) grupos, método Ward y medida Euclidean Cuadrado ................................................................................................................. 167 Figura 137. Análisis Cluster para 4 grupos, método Ward y medida Euclidean Cuadrado ....... 168 Figura 138. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Efecto de los componentes 171 Figura 139. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Observado frente a predicho ................................................................................................................................... 172 Figura 140. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Observado frente a predicho ................................................................................................................................... 174 Figura 141. Efecto de las nueve componentes del cuarto modelo de regresión múltiple para la variable Reacc_max .................................................................................................................. 177 Figura 142. Cuarto análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Observado frente a predicho ................................................................................................................................... 178 Figura 143. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Efecto de los componentes ........................................................................................................................... 179 Figura 144. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Observado frente a predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1(dcha.) ......................................................... 180 Figura 145. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Efecto de los componentes ........................................................................................................................... 182 Figura 146. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Observado frente a predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1(dcha.) ........................................... 182 Figura 147. Efecto de las nueve componentes del tercer modelo de regresión múltiple para la variable Reacc_media .............................................................................................................. 187 Figura 148. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Observado frente a predicho ................................................................................................................................ 187 Figura 149. Efecto de las 16 componentes del primer modelo de regresión múltiple para la variable Tens_max ................................................................................................................... 192 Figura 150. Análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max: Observado frente a predicho 192 Figura 151. Efecto de las 4 componentes del segundo modelo de regresión múltiple para la variable Tens_max ................................................................................................................... 195 Figura 152. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max: Observado frente a predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1(dcha.) ......................................................... 195

Figura 153. Efecto de las 3 componentes del tercer modelo de regresión múltiple para la variable Tens_max ................................................................................................................................. 197 Figura 154. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max: Observado frente a predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1(dcha.) ......................................................... 198 Figura 155. Efecto de las 10 componentes del primer modelo de regresión múltiple para la variable Tens_media ................................................................................................................ 201 Figura 156. Análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media: Observado frente a predicho ................................................................................................................................... 201 Figura 157. Efecto de las 5 componentes del segundo modelo de regresión múltiple para la variable Tens_media ................................................................................................................ 204 Figura 158. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media: Observado frente a predicho ................................................................................................................................ 204 Figura 159. Efecto de las 3 componentes del tercer modelo de regresión múltiple para la variable Tens_media .............................................................................................................................. 206 Figura 160. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media: Observado frente a predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1(dcha.) ......................................................... 207 Figura 161. Efecto de las 2 componentes del cuarto modelo de regresión múltiple para la variable Tens_media ................................................................................................................ 208 Figura 162. Cuarto análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media: Observado frente a predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1(dcha.) ......................................................... 209 Figura 163. Pasillo Rodante diseñado en SIMPACK .................................................................. 210 Figura 164. Detalle Tensor del Pasillo Rodante ........................................................................ 210 Figura 165. Flujograma de la Señal Ruido ................................................................................ 211 Figura 166. Ejemplo de una Señal de Ruido ............................................................................. 212 Figura 167. Señal de Ruido empleada para los niveles 1 de media y varianza ......................... 213 Figura 168. Desviación estándar frente a Rigidez y Amortiguamiento ..................................... 218 Figura 169. Desviación estándar frente a Precarga y Amortiguamiento .................................. 218 Figura 170. Desviación estándar frente a Precarga y Rigidez ................................................... 218 Figura 171. Regresión Múltiple: Observado frente a Predicho ................................................. 220 Figura 172. Velocidad Lineal en los Casos Extremos ................................................................ 221 Figura 173. Modelo de pasillo horizontal y de una guía de 4.5 metros de altura ..................... 222

Figura 174. Perfil de velocidad de las simulaciones del modelo de una guía antipoligonalización de 4.5 metros de altura con los parámetros correspondientes al mejor y al peor caso predichos por el modelo estadístico de diseño robusto del tensor de un pasillo móvil ........................... 223 Figura 175.Variación de las curvas de tensión y reacción al variar el paso del eslabón ........... 225 Figura 176. Variación de la relación cuerda/arco al variar el radio y mantener el paso constante 225 Figura 177. Curvas de tensión y reacción en la zona de volteo para los casos circular y antipoligonalización ................................................................................................................. 226 Figura 178. Curvas de tensión y reacción para diversos valores de los parámetros que definen la guía definida por dos radios y una zona recta .......................................................................... 227 Figura 179. Curvas de tensión y de reacción para tres casos de carga distintos en la zona de volteo ....................................................................................................................................... 228 Figura 180. Valores máximos de la reacción en la zona de volteo en función de la carga por rodillo ....................................................................................................................................... 229 Figura 181. Valores máximos de la tensión en la zona de volteo en función de la carga por rodillo 230 Figura 182. Valores medios de la reacción en la zona de volteo en función de la carga por rodillo 231 Figura 183. Valores medios de la tensión en la zona de volteo en función de la carga por rodillo 232 Figura 184. Cálculo estático de la reacción y la tensión para una guía de 4.5 metros de altura empleando geometrías antipoligonalización y circulares en las zonas de transición ............... 233 Figura 185. Velocidad lineal del rodillo 01 para las guías de 4.5m circular y antipoligonalización en el caso de menor desviación estándar ................................................................................ 237 Figura 186. Curvas de tensión para guías con curvas circular y antipoligonalización, en el peor caso de combinación de parámetros del tensor ...................................................................... 238 Figura 187. Curvas de reacción para guías con curvas circular y antipoligonalización, en el peor caso de combinación de parámetros del tensor ...................................................................... 238 Figura 188. Perfiles de velocidad para las geometrías de guía antipoligonalización y circular y dos combinaciones de parámetros del tensor ................................................................................ 239 Figura 189. Tensión para las geometrías de guía antipoligonalización y circular y dos combinaciones de parámetros del tensor ................................................................................ 240 Figura 190. Reacción para las geometrías de guía antipoligonalización y circular y dos combinaciones de parámetros del tensor ................................................................................ 241

Figura 191.Velocidad para dos casos de carga y guía antipoligonalización .............................. 242 Figura 192. Tensión para dos casos de carga y guía antipoligonalización ................................ 242 Figura 193. Reacción para dos casos de carga y guía antipoligonalización............................... 243 Figura 194.Ejemplo de perfil de velocidad de una curva antipoligonalización, procedente de un modelo dinámico ..................................................................................................................... 244 Figura 195. Curvas de tensión y reacción en la zona de volteo para los casos circular y antipoligonalización en los modelos estático y dinámico ......................................................... 244 Figura 196. Comparación de la curva de reacción para el modelo estático y el modelo dinámico de una escalera convencional de 1.5 metros de altura…………………………………………………….246

Índice de Tablas Tabla 1. Efecto de la variación del paso para una curva de volteo de radio constante ............. 84 Tabla 2. Parámetros de definición para dos casos del modelo de curva de volteo definida por dos radios un ángulo .......................................................................................................... 87 Tabla 3.Parámetros de definición del modelo de guía circular de 1.5m. de altura para el modelo estático ............................................................................................................................. 90 Tabla 4.Parámetros de definición del modelo de guía circular de 4.5m. de altura para el modelo estático ............................................................................................................................. 94 Tabla 5.Parámetros de definición del modelo de guía circular de 1.5m. de altura para el modelo cinemático ....................................................................................................................... 100 Tabla 6. Valores de la velocidad lineal del eje del rodillo director para el modelo de 3 eslabones por peldaño ..................................................................................................................... 102 Tabla 7: Propiedades de las ruedas dentadas del modelo preliminar de escalera ................. 114 Tabla 8: Propiedades del tensor del modelo de escalera convencional ................................ 115 Tabla 9: Propiedades de las guías tensoras del modelo de escalera convencional ................. 115 Tabla 10: Propiedades de la modelización de los rodillos internos y externos ....................... 116 Tabla 11: Propiedades de rigidez y amortiguamiento de los contactos rodillo-guía ............... 116 Tabla 12: Propiedades inerciales de los peldaños .............................................................. 117 Tabla 13: Datos generales de la cadena ............................................................................. 117 Tabla 14: Datos necesarios para que el programa genere la traza de la cadena .................... 118 Tabla 15: Datos para generar los eslabones ....................................................................... 119 Tabla 16. Parámetros del tensor para la simulación de una guía de 4.5m de altura y guía completa antipoligonalización........................................................................................... 139 Tabla 17. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía antipoligonalización. Caso 1 ...... 140 Tabla 18. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía antipoligonalización. Caso 2 ...... 141 Tabla 19. Resultados dinámicos de escalera cargándose y guía antipoligonalización. Caso 1 . 142 Tabla 20. Resultados dinámicos de escalera cargándose y guía antipoligonalización, segundos del 15 al 35. Caso 1 ........................................................................................................... 143

Tabla 21. Parámetros del tensor para la simulación de una guía de 4.5m de altura y guía con curvas circulares .............................................................................................................. 144 Tabla 22. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía circular. Caso 1 ......................... 145 Tabla 23. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía circular. Caso 2 ......................... 146 Tabla 24. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía circular. Caso 3 ......................... 147 Tabla 25. Resultados dinámicos de escalera cargándose y guía circular. Caso 1 .................... 148 Tabla 26. Resultados dinámicos de escalera cargándose y guía circular, segundos del 15 al 35. Caso 1 ............................................................................................................................. 149 Tabla 27. Rango de variación de los parámetros para el modelo estadístico de la curva de volteo definida por dos radios y un ángulo ......................................................................... 150 Tabla 28. Centroides del análisis Cluster inicial de 4 grupos................................................. 168 Tabla 29. Centroides del segundo análisis Cluster de 4 grupos ............................................ 169 Tabla 30. Análisis de la varianza para la variable Reacc_max ............................................... 169 Tabla 31. Análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max .................................. 170 Tabla 32.Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max ...................... 172 Tabla 33.Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max......................... 174 Tabla 34.Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste .......................................................................................... 176 Tabla 35.Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max: porcentaje de importancia estadística de cada variable ........................................................................... 177 Tabla 36. Análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media ............................... 178 Tabla 37. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media .................. 180 Tabla 38. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste ......................................................................................... 181 Tabla 39.Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media ...................... 183 Tabla 40.Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste .......................................................................................... 185 Tabla 41.Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media: porcentaje de importancia estadística de cada variable ........................................................................... 186 Tabla 42. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max .................................... 189

Tabla 43. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: Listado de coeficientes y variables del modelo ........................................................................................................ 190 Tabla 44.Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste ................................................................................................................ 191 Tabla 45. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max ....................... 193 Tabla 46. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: Listado de coeficientes y variables del modelo ................................................................................... 193 Tabla 47.Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste .......................................................................................... 194 Tabla 48. Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max .......................... 196 Tabla 49. Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: Listado de coeficientes y variables del modelo ................................................................................... 196 Tabla 50.Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste .......................................................................................... 197 Tabla 51. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media ................................. 198 Tabla 52. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: Listado de coeficientes y variables del modelo ........................................................................................................ 199 Tabla 53.Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste ............................................................................................................ 200 Tabla 54. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media .................... 202 Tabla 55. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: Listado de coeficientes y variables del modelo ................................................................................... 203 Tabla 56.Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste .......................................................................................... 203 Tabla 57. Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media ....................... 205 Tabla 58. Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: Listado de coeficientes y variables del modelo ................................................................................... 205 Tabla 59.Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste .......................................................................................... 206 Tabla 60. Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media ...................... 207 Tabla 61. Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: Listado de coeficientes y variables del modelo ................................................................................... 208

Tabla 62.Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste .......................................................................................... 208 Tabla 63. Parámetros de Control y sus Niveles ................................................................... 211 Tabla 64. Parámetros y niveles de Ruido ............................................................................ 212 Tabla 65. Resultados Obtenidos ........................................................................................ 214 Tabla 66. Relación Señal-Ruido.......................................................................................... 216 Tabla 67. Análisis de la Varianza ........................................................................................ 217 Tabla 68. Regresíon Múltiple ............................................................................................. 219 Tabla 69. Parámetros del tensor de los dos casos extremos ................................................ 223 Tabla 70. Valores mínimos y máximos de las variables medidas en los modelos cinemáticos 234 Tabla 71. Comparación de los valores extremos de los tres modelos cinemáticos................. 236 Tabla 72. Variación de la velocidad máxima en el retorno para las geometrías de guía antipoligonalización y circular y dos combinaciones de parámetros del tensor ..................... 239 Tabla 73.Valores máximos de tensión y reacción para los estudios estático y dinámico ........ 245

Índice de Ecuaciones Ecuación 1.Ley de idealidad de un sistema técnico ............................................................... 40 Ecuación 2.Efecto de la poligonalización de la velocidad ....................................................... 43 Ecuación 3. Ecuaciones empleadas para el análisis estático: equilibrio de fuerzas .................. 58 Ecuación 4. Ley de movimiento cinemático: ángulo en función del tiempo ............................ 59 Ecuación 5. Condición de no interferencia para n eslabones por peldaño .............................. 61 Ecuación 6. Desarrollo del seno para su uso en la Ecuación 5 ................................................ 61 Ecuación 7. Desarrollo de la Ecuación 6 para el caso de n=2 .................................................. 61 Ecuación 8. Sustitución de la ecuación de no interferencia por el resultado obtenido en la Ecuación 7 ......................................................................................................................... 62 Ecuación 9. Expresión del radio mínimo para n=2 ................................................................. 62 Ecuación 10. Desarrollo de la Ecuación 6 para el caso de n=3 ................................................ 62 Ecuación 11. Sustitución de la ecuación de no interferencia por el resultado obtenido en la Ecuación 10 ....................................................................................................................... 62 Ecuación 12. Expresión del radio mínimo para n=3 ............................................................... 62 Ecuación 13. Sistema de ecuaciones para el equilibrio estático ............................................. 81 Ecuación 14. Comandos y leyes de movimiento asociadas para el modelo cinemático de dos eslabones por peldaño ..................................................................................................... 101 Ecuación 15. Relación entre las velocidades lineales del centro del rodillo y de un punto de su periferia cuando el rodillo rueda por dentro de la curva ..................................................... 101 Ecuación 16. Relación entre las velocidades lineales del centro del rodillo y de un punto de su periferia cuando el rodillo rueda por fuera de la curva ....................................................... 102 Ecuación 17. Radio de volteo de la guía ............................................................................. 131 Ecuación 18. Longitud de la parte inclinada superior .......................................................... 132 Ecuación 19. Longitud de la parte inclinada inferior ............................................................ 132 Ecuación 20. Expresión de la fuerza aplicada en la zona de control sobre cada eslabón ........ 138 Ecuación 21. Radio máximo en función de R1, D y ........................................................... 150 Ecuación 22. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Primer modelo ........ 171

Ecuación 23. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Segundo modelo ..... 173 Ecuación 24. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Tercer modelo ........ 173 Ecuación 25. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Cuarto modelo ........ 175 Ecuación 26. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Primer modelo ..... 179 Ecuación 27. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Segundo modelo .. 181 Ecuación 28. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Tercer modelo ..... 184 Ecuación 29. Análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max .................................. 190 Ecuación 30. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max .................... 194 Ecuación 31. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max ........................ 197 Ecuación 32. Análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media ............................... 199 Ecuación 33. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media ................. 203 Ecuación 34. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media ..................... 205 Ecuación 35. Cuarto análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media .................... 208 Ecuación 36. Expresión de la reacción media y máxima con función de la tensión media ...... 232

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

RESUMEN Las escaleras mecánicas llevan más de un siglo funcionando sin variar de forma notoria su diseño. Después del análisis de las patentes que conforman su historia, y del desarrollo de algún modelo preliminar para evaluar la viabilidad de estos, se ha desarrollado una metodología que permite el análisis del comportamiento de este sistema multicuerpo desde diversos puntos de vista como pueden ser el estático, el cinemático y el dinámico. Estos análisis se basan en los outputs de los modelos de simulación desarrollados a la vez que la metodología. Estos resultados deben ser coherentes a la vez que complementarios para poder definir el comportamiento de este sistema de forma completa. En este Trabajo Fin de Máster se han diseñado, simulado y analizado diversos modelos de escalera mecánica implementados en MATLAB, CATIA y SIMPACK. También han sido tratados estadísticamente los outputs de algunos modelos parametrizados con el fin de definir cuantitativamente las tendencias de algunas variables y, en algún caso, como herramienta para establecer la robustez del sistema como criterio de diseño. El fin último de esta metodología es que sea contrastada algún día mediante la comparación de los resultados de un prototipo experimental y del modelo de simulación desarrollado que se corresponda con dicho prototipo.

Capitulo 1:

Introducción

I. MARCO Y MOTIVACIÓN DEL TRABAJO FIN DE MÁSTER El presente Trabajo Fin de Máster ha sido realizado en el Centro de Investigación en Tecnologías Ferroviarias (CITEF), de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM). Este trabajo forma parte de un proyecto de desarrollo e innovación en escaleras mecánicas. Este proyecto parte de un análisis previo y clasificación de las patentes desarrolladas a lo largo de toda la historia e incluye un estudio de viabilidad del empleo de SIMPACK y otras herramientas informáticas para la modelización de escaleras mecánicas convencionales. En una fase previa se desarrolló un modelo completo de escalera mecánica convencional pequeño, modelo que se describirá brevemente y se empleará como punto de partida y de comparación con los modelos desarrollados en este trabajo. El mecanismo de las escaleras mecánicas lleva más de 100 años sin grandes variaciones en su diseño inicial, y este trabajo pretende definir nuevas líneas de investigación mediante el empleo de herramientas que permitan analizar el comportamiento estático, cinemático y dinámico de este sistema multicuerpo.

II. ALCANCE E INTERÉS DEL TRABAJO FIN DE MÁSTER Este Trabajo Fin de Máster se enmarca en el estudio, simulación y análisis de las escaleras mecánicas convencionales y de nuevos conceptos relacionados con ellas. En este trabajo se pretenden desarrollar metodologías que permitan analizar estática, cinemática y dinámicamente tanto las escaleras mecánicas convencionales como cualquier variante de las mismas. De esta manera se podrán estudiar y comparar los resultados obtenidos para las distintas disposiciones de escaleras mecánicas diseñadas. Estos modelos, dada la complejidad de este tipo de sistema multicuerpo, y de su laboriosa implementación así como los largos tiempo de integración, se han realizado de forma simplificada: 

Análisis estático de cadenas cuyos rodillos ruedan por guías con diversas formas. Este análisis se hace cadena a cadena y nunca en su conjunto.



Reduciendo el número de elementos por cadena en modelos cinemáticos, dados que los resultados son repetitivos en función del paso del eslabón de la cadena y de cada peldaño.



Estudiando la dinámica de las cadenas de forma aislada en modelos 2D, ya que el movimiento de las cadenas es lo que determina al final el confort del usuario.



Realizando análisis estadísticos en modelos de bajo número de eslabones y, por tanto, que suponen un bajo coste computacional.

En estos modelos parciales se han parametrizado la mayoría de los valores característicos como pueden ser leyes de movimiento, velocidad nominal, rigidez, amortiguamiento, precarga del tensor, etc. Esta parametrización permitirá el cambio sencillo de los valores asignados al modelo, aunque su mayor funcionalidad se presenta al permitir el análisis estadístico de estos modelos mediante la simulación de los mismos para las distintas combinaciones de parámetros elegidas. Estos análisis estadísticos permitirán conocer la influencia de cada parámetro independiente en las variables de salida elegidas e inferir resultados en modelos más complicados. Todo esto, es susceptible de emplearse como herramienta para la obtención de diseños robustos. Con esto puede resumirse el alcance en interés de este Trabajo Fin de Máster como el desarrollo líneas de modelización o metodologías que permitan recrear el comportamiento de las escaleras mecánicas para que, en un futuro, puedan ser validados experimentalmente.

III. OBJETIVOS DEL TRABAJO FIN DE MÁSTER 

Desarrollo de modelos avanzados para la simulación y estudio de los comportamientos estático, cinemático y dinámico de una escalera mecánica.



Desarrollo de una metodología que agilice y automatice la creación de estos modelos así como el análisis de sus resultados.



Simulación de nuevas ideas que mejoren un diseño que lleva más de 100 años funcionando.



Estudio de la sensibilidad y el diseño robusto de parámetros, como pueden ser los que definen el sistema tensor.



Análisis y comparación de las variables de salida de los nuevos diseños propuestos.

IV. ESTRUCTURA DEL TRABAJO FIN DE MÁSTER El Trabajo Fin de Máster se encuentra dividido en 12 capítulos, de lo que 4 de ellos se han dedicado a la Introducción, Publicaciones, Referencias y Anexos. El resto corresponden al desarrollo del trabajo realizado y a sus principales conclusiones y trabajos futuros derivados. A continuación se hace una breve descripción del contenido de cada uno de ellos: Capítulo 1 : Se presenta el marco en el que se sitúa el Trabajo Fin de Máster, su motivación e interés que tiene en el ámbito internacional. Posteriormente, se presentan los objetivos principales del mismo, finalizando con la descripción de su estructura. Capítulo 2 : Se define el estado de la técnica de la escalera mecánica, describiendo brevemente en qué marco de la industria se sitúa (transporte vertical) así como sus inicios y su evolución. Capítulo 3 : Se describen las partes principales que forman una escalera mecánica, indicando su situación física dentro del sistema y explicando en más detalle las partes que posteriormente serán objeto de estudio en este trabajo.

Capítulo 4 : Este apartado muestra los cuatro tipos de análisis que se han desarrollado en este trabajo, puntos de vista con zonas de encuentro que permiten dar una vista panorámica del camino o metodología a seguir para el estudio de un sistema multicuerpo de este tipo. Capítulo 5 : Los modelos aquí presentados corresponden a los tipos de análisis propuestos en el Capítulo 4. Estos modelos serán descritos y caracterizados convenientemente además de presentar los resultados correspondientes a la simulación de los mismos. Capítulo 6 : Este capítulo permitirá contrastar, comparar y analizar todos los resultados obtenidos de las simulaciones estáticas, cinemáticas y dinámicas y de los modelos estadísticos. Capítulo 7 : Se recogerán y resumirán todos los resultados significativos que este trabajo ha permitido obtener. También se evaluará de forma global la metodología desarrollada. Capítulo 8 : Se indicarán las publicaciones relativas al trabajo de investigación que este trabajo supone, adjuntando los abstract correspondientes a las mismas. Capítulo 9 : Se listarán los trabajos que proponen como necesarios para proseguir con esta investigación incluyendo las posibles mejoras del presente proyecto y líneas nuevas que permitirán la ampliación de este proyecto. Capítulo 10 : Se han resumido las referencias más significativas para el presente trabajo. La mayoría de ellas corresponden a la parte descriptiva e histórica de la escalera mecánica que a la parte técnica, debido a la escasez de este tipo de publicaciones.

Capitulo 2: I.

Estado del arte

TRANSPORTE VERTICAL

El transporte vertical de personas engloba mecanismos tan conocidos y empleados actualmente como son los ascensores, las escaleras mecánicas y rampas o pasillos móviles.

Figura 1. Ejemplos de tipos de transporte de elevación vertical. Fuente: Elaboración propia.

Desde que el hombre ha habitado en edificios de más de una planta, ha comenzado a tenerse en cuenta la importancia del transporte vertical. Las primeras manifestaciones de estas preocupaciones se materializaron en rampas, escaleras, montacargas de tracción animal y poleas manuales. En las ruinas romanas antiguas se pueden encontrar signos de la existencia de huecos verticales por dónde se desplazaron plataformas móviles a modo de montacargas. Las primeras referencias datan del años 200-300 a.c. Los raíles verticales y las guías son elementos comunes en los ascensores de hoy día. En el Tíbet, las personas eran subidas a las montañas en cestas con la ayuda de una polea y un cable, movidos manualmente con la ayuda de una manivela o molinete. En el siglo XVIII se desarrolló una técnica de transporte vertical rudimentario empleando guías para el contrapeso, como puede apreciarse en la Figura 2. .

Figura 2. Tipo de transporte vertical de comienzos del siglo XVIII. Fuente: Elaboración propia.

A principios del siglo XIX de nuestra era se construyeron ascensores en Moscú, Londres y Nueva York, pero no fue hasta 1853 cuando Elisha Graves Otis diseñó un mecanismo que evitaba la caída libre del ascensor si el cable se rompía. En la Figura 3 se ilustra el dibujo presente en su patente de 1861.

Figura 3. Dibujo de la patente de E.G.Otis (1861). Fuente: Elaboración propia.

En el año 1857 se instaló el primer ascensor para personas en los Grandes Almacenes E.V.Haughwout & Co en la ciudad de Nueva York, movido por una máquina de vapor. Este edificio tenía 5 plantas y el ascensor permitía elevar hasta 450 kg a 0.2 m/s (Figura 4).

Figura 4. Máquina de un ascensor accionado mediante un tambor movido a vapor (Elisha Graves Otis).

En 1867 el francés Leon Edoux presentó en la Exposición Universal de París un aparato elevador que aprovechaba la presión del agua para elevar una cabina dispuesta en el extremo de un pistón hidráulico, tal y como muestra la Figura 5.

Figura 5. Ascensores hidráulicos de 21 metros de recorrido. (Leon Edoux).

Este ascensor tuvo una gran aceptación mundial, aumentando cuando las posibilidades de velocidad y recorrido fueron aumentando. Este sistema se denominó de acción indirecta, pues el émbolo no impulsaba a la cabina directamente, sino que esta era impulsada por un juego de poleas, o una cremallera y un tambor, que enrollaba y desenrollaba uno o varios cables de los que pendía la cabina. En 1868 se construyó la primera fábrica de ascensores en Nueva York, mientras que en Europa se fundó en 1874 la empresa Schindler, que construyó su primer ascensor para la Oficina de Correos de Londres, en 1876. El ascensor hidráulico fue evolucionando hasta alcanzar en 1908, en el City Investing Building de Nueva York, una capacidad para 1360 kg de carga, una velocidad de 3m/s y un recorrido vertical de 108m. A finales del siglo XIX se sustituyó la fuente de energía de los ascensores accionados a vapor por energía eléctrica, que disminuía los costes de instalación y funcionamiento. Desde entonces hasta nuestros días se han ido introduciendo mejoras electromecánicas así como sistemas de gestión del tráfico vertical para edificios con varios ascensores desarrollando para esto complejos programas informáticos, siendo las última tendencias el empleo de redes neuronales, lógica difusa y algoritmos genéticos, que permiten definir funciones de evaluación que ayuda a decidir qué ascensor es más adecuado para realizar una acción determinada. El primer pasillo móvil fue inaugurado en la World’s Columbian Exposicion en 1893, en Chicago, Illinois. Seis años después se presentó al público otro pasillo móvil en la Exposition Universelle de París (1900). El primer pasillo móvil comercial en EEUU fue instalado en 1954 en Jersey City. Fue denominado como speedwalk y fue construido por Goodyear. Su longitud era de 84.5 metros y tenía una inclinación del 10% (5.71º) siendo su velocidad nominal de 0.67 m/s. La última innovación en pasillos móviles es un pasillo de aceleración abierto en el año 2007 en el aeropuerto Pearson International, en Toronto, Canadá. En este pasillo se deslizan unas paletas sobre otras en la zona central hasta alcanzar la velocidad de 2m/s.

Figura 6. Pasillo de aceleración instalado en Toronto, Canadá.

El nacimiento y evolución de la escalera mecánica se presentan en detalle en el siguiente apartado.

II.

EVOLUCIÓN DE LA ESCALERA MECÁNICA

La historia de las escaleras mecánicas comenzó hace más de un siglo, con la aparición de las primeras patentes a finales del siglo XIX. La primera patente fue concedida en EEUU, en 1859, a Nathan Ames, por su escalera giratoria, que tenía forma de un triángulo equilátero.

Figura 7. Escalera triangular de Nathan Ames (1859).Fuente: Elaboración propia.

En la última década de este siglo, Jesse Reno diseñó y patentó una rampa inclinada móvil con plataformas curvadas triangulares que se desplazaba de forma continua sobre una cinta transportadora que podía cambiar de sentido y que en cada escalón presentaba los típicos peines que podemos observar en las escaleras actuales.

Figura 8. Rampa inclinada móvil de Jesse Reno (1892).

Una de las primeras instalaciones de esta rampa se ubicó en la estación 5th Avenue Elevated Line en la 59th Street Station en Nueva York entorno a 1900 y estuvo operativa unos 55 años, cuando quedó fuera de servicio.

En 1893, J.W.Reno instala en su ciudad natal, en la estación de Cortland Street un dispositivo elevador para personal que estaba formado por una cinta transportadora, la cual era una cadena sin fin de planchas que ascendía y descendía, con un ángulo de inclinación de unos 25º30º. Durante la ascensión las personas se sitúan sobre dichas placas que poseían acanaladuras en el sentido de la marcha. En 1894 se instaló un sistema similar en Coney Island, repitiéndose esta operación en 1896 en los grandes almacenes Siegel Cooper y, en 1898, se instaló en los famosos grandes almacenes londinenses de Harrods. G.H. Wheeler inventó y patentó en 1892 una escalera móvil con los escalones planos que se desplazaban junto a una balaustrada. Esta invención fue comercializada por C.D. Seeberg y la Otis Elevator Company, siendo presentada en la Exposición de París de 1900.

Figura 9. Escalera mecánica con peldaños planos de G.A. Wheeler (1887).

Entre 1900 y 1910 Seeberg desarrolló escaleras en forma de C y en forma de espiral, aunque la primera no fue llevada a cabo y la segunda ha tenido que esperar 85 años desde su invención. En la Figura 10 se muestran estos diseños.

Figura 10. Diseños de escaleras mecánicas en forma de C y en forma de doble espiral.

A continuación se resumen cronológicamente las tendencias observadas en las patentes: 

1898, accionamiento sin cadena



1899, escalera mecánica común



1899, articulación huella-contrahuella



1899, uso de peldaños como cadena



1902, variación de la velocidad



1904, eliminación del volteo de los peldaños



1928, cadenas desfasadas



1957, guías auto portantes y ángulo variable



1984, ahorro de peldaños



1988, uso de contrahuella flexible



1989, variación de la longitud de la cadena



1999, reducción del diámetro de volteo



2001, introducción del zócalo móvil



2005,empleo de la huella partida

Desde su nacimiento, las escaleras mecánicas se han ido estableciendo como un medio de transporte vertical seguro que permite un elevado flujo de personas, siendo su mayor campo de aplicación las alturas medias. Actualmente, las escaleras mecánicas forman parte de la vida cotidiana de los medios urbanos destacando su presencia en transportes suburbanos, centros comerciales, museos, etc.

III.

ESTADO ACTUAL DE LA ESCALERA MECÁNICA

El análisis de la situación actual de un sistema técnico como lo es la escalera mecánica requiere hacer un estudio de su evolución histórica para determinar en qué punto de su curva de desarrollo se encuentra y, con esto, poder pronosticar, apoyándonos en leyes de evolución de sistemas técnicos, las nuevas líneas que debería seguir este sistema.

 Leyes de evolución de los sistemas técnicos Existen teorías que permiten predecir la evolución de un sistema técnico, como lo es en nuestro caso la escalera mecánica. A continuación se describirá la predicción que proponen algunas teorías con el fin de situar mejor el momento en el que se encuentra la escalera mecánica actualmente y así, determinar cuál sería su evolución lógica.

TRIZ El ingeniero ruso Genrich Altshuller, entre los años 1960-1970 desarrolló una técnica de creatividad, basada en patrones comunes o principios inventivos extraídos del análisis de multitud de patentes. Esta técnica denominada TRIZ, se traduce como “Teoría para la resolución de problemas inventivos”, siendo los problemas inventivos aquellos problemas que contienen contradicciones técnicas y/o físicas. TRIZ ha reconocido que los desarrollos tecnológicos tienen direcciones comunes a lo largo del tiempo y de diferentes campos técnicos e industriales. Al aprender estas tendencias de la tecnología, podemos entender el estado actual de desarrollo de nuestro producto y ser capaces de anticipar la dirección de su desarrollo futuro, encaminando así los esfuerzos de investigación. Las fases o períodos de un sistema técnico pueden resumirse en cuatro: selección de las partes del sistema, mejora de estas partes, dinamización y flexibilización del sistema y autoevaluación del sistema. A continuación se describe el clásico ejemplo del avión, para explicar brevemente esta teoría.

 PRIMER PERÍODO: SELECCIÓN DE LAS PARTES DEL SISTEMA. El desarrollo empezó hace unos cien años cuando los inventores intentaban determinar -¿Qué es un aparato volador? ¿De qué partes debe componerse? ¿Debemos poner alas más motor o alas sin motor? ¿Qué tipo de alas: flexibles y móviles como un pájaro, estáticas...? ¿Qué clase de motor: de vapor, a gas o eléctrico? Finalmente dieron con la "fórmula". Las alas fueron estacionarias y el motor, de combustión interna.

 SEGUNDO PERÍODO: MEJORA DE LAS PARTES. Comenzó con la corrección de las partes poco eficientes, "las malas notas" que los inventores intentaban mejorar. Buscaban mejores formas, mejor aerodinámica y cómo optimizar la relación entre las partes. Cuáles eran los mejores materiales, dimensiones, etc. ¿Cuántas alas debe tener un avión? ¿Debe ser un triplano, biplano o monoplano? ¿Dónde deben colocarse los controles, delante o detrás? ¿Y el motor? ¿Qué clase de hélice usar y cómo diseñarla: que empuje o que tire? ¿Y el tren de aterrizaje? Al final de este segundo período, el avión tenía una forma que no nos resulta extraña en la actualidad.

 TERCER PERÍODO: DINAMIZACIÓN Y FLEXIBILIZACIÓN DEL SISTEMA. Las partes empezaron a perder su propia imagen. Las partes que estaban permanentemente conectadas empezaron a tener conexiones flexibles. Se inventó el tren de aterrizaje retráctil. A partir de entonces las alas variaban su geometría. Ahora el fuselaje puede variar también, la parte frontal puede subir o bajar. Existen aviones con motores orientables que pueden despegar verticalmente. Se han patentado aviones en los que parte del fuselaje se puede sacar, cargarlo y volver a su posición.

 CUARTO PERÍODO: AUTO-EVOLUCIÓN DEL SISTEMA. No se ha entrado de lleno aún en este período. Estamos presenciando unos pocos y tímidos pasos en el cuarto período: los sistemas espaciales. Tales ingenios espaciales se reorganizan por sí mismos durante su operación: desechar etapas propulsoras, abrir paneles solares una vez en órbita, colocar otros satélites en órbita, etc. Por supuesto, se trata solo de primeros pasos de sistemas que pueden auto adaptarse en un entorno cambiante. Estos sistemas son todavía fantasías en las mentes de algunos, pero también en su época lo que escribió Julio Verne.

CURVA DE LA S

Nivel de desarrollo

Otra ley para predecir la evolución de los sistemas técnicos, se describe con la curva de la S. Esta curva distingue cinco estadios o fases para cada sistema técnico. Obsolescencia Saturación Madurez Crecimiento Nacimiento Tiempo Figura 11. Curva de la S.

1) Emergente. La tecnología parece prometedora. 2) Crecimiento. La tecnología va mejorando haciéndose más útil. 3) Madurez. Ha alcanzado su nivel de rendimiento adecuado para su incorporación a todo tipo de proyectos. 4) Saturación. No es posible mejorar más su rendimiento. 5) Obsolescencia. Tras un periodo en saturación, la tecnología se hace obsoleta porque el rendimiento comparativo con otra posible tecnología competidora la convierte en perdedora. Si no se alcanza nunca la obsolescencia del producto, y no es posible mejorar su rendimiento, se dice que este sistema se ha convertido en un “commodity”. La evolución de los sistemas técnicos se puede definir también con la ley de la idealidad creciente. Esta supone que los sistemas técnicos van aumentando grados de idealidad, cuando esta se define como el cociente

de la suma de los efectos útiles del sistema, entre la suma de la suma de efectos dañinos para el sistema:

Idealidad 

 Efectos útiles  Efectos dañinos

Ecuación 1. Ley de idealidad de un sistema técnico.

Los efectos útiles incluyen todos los resultados valiosos de funcionamiento del sistema. Los efectos dañinos incluyen entradas indeseadas como el costo, la energía consumida, la contaminación del medio ambiente, falta de confort o de seguridad, etc. La condición ideal es cuando sólo hay prestaciones y no hay efectos dañinos. Y los productos se desarrollarán buscando esta condición. Aunque esta ley es obvia, representa lo mismo que la curva de la S, pues es una curva con pendiente positiva en todo su recorrido.

TRANSICIÓN DE LA MACROESTRURA A LA MICROESTRUCTURA Otra forma de conocer la evolución de un sistema es la ley denominada: “Transición de la Macroestructura a la Microestructura”. Esta ley marca dos direcciones para el desarrollo de los sistemas, las cuáles parecen haber agotado todas sus posibilidades de desarrollo: 

La primera dirección es la consolidación de un sistema existente con otros sistemas, o la fragmentación de subsistemas y la subsiguiente recombinación en un nuevo sistema. Por ejemplo, la bicicleta combinada con un motor de combustión interna dio lugar a la motocicleta.



La segunda dirección es la transición de una macroestructura, a una microestructura donde el mundo interno del sistema (partículas, moléculas, átomos...) entra en juego.

La transición de los sistemas técnicos hacia el micronivel es una ley. Sin embargo la ley de evolución en el desarrollo de los sistemas técnicos nos dice que “el sistema debe agotar sus recursos antes de pasar al micronivel”.

 Principales problemas mecánicas actuales

existentes

las

escaleras

Se ha ido generalizando el uso de escaleras móviles como medio de transporte vertical habitual, seguro y de gran rendimiento, que permite el transporte de una gran cantidad de pasajeros, entre alturas medias, siendo muy empleadas en centros comerciales, hoteles y edificios emblemáticos, en estaciones de metro y autobús subterráneas, aeropuertos, etc. Las tendencias actuales de investigación de las escaleras mecánicas apuntan a la mejora de diversos aspectos como son aumento del confort, aumento de la seguridad, reducción de costes, reducción del tamaño y número de piezas y dar una nueva imagen más tecnológica.

MOVIMIENTOS RELATIVOS Las escaleras mecánicas comprenden una pluralidad de peldaños que son progresivamente guiados entre dos paneles de zócalos espaciados entre sí. Esto supone la existencia de movimientos relativos, que pueden dar lugar a atrapamientos de objetos y provocar accidentes indeseados. Los movimientos relativos más importantes se dan entre las siguientes partes de la escalera mecánica convencional:

 ENTRE PELDAÑOS CONSECUTIVOS EN LAS ZONAS DE TRANSICIÓN. En las zonas de transición de las zonas horizontales de la escalera a la zona inclinada, o viceversa, los peldaños se mueven uno respecto de otro como se muestra en la Figura 12.

Figura 12. Desplazamiento relativo entre peldaños en la zona de transición.

Este movimiento es, a priori, inevitable. Solo se puede minimizar el espaciado entre peldaños y ranurar la contrahuella. Esta distancia entre peldaños está condicionada por el acercamiento que se produce entre dos peldaños consecutivos en la zona de transición de la parte baja de una escalera mecánica, así como por la norma europea EN115.Además, cuando un pasajero sube a una escalera debe de situar todo el pie en un mismo peldaño, aunque existe el riesgo de que lo haga entre dos peldaños consecutivos, quedándose parte del pie sobresaliendo del peldaño al entrar en las zonas de transición; este caso es más peligroso en la subida que en la bajada debido a la ubicación del centro de gravedad de una persona.

 ENTRE CADA PELDAÑO Y LOS RELLANOS DE ENTRADA Y SALIDA DE LA ESCALERA La velocidad lineal nominal de las escaleras mecánicas oscila entre 0.5m/s y 0.75m/s, respecto de cualquier elemento fijo como lo son los rellanos de entrada y salida de la misma. Esta velocidad, junto con la pequeña holgura existente entre los peines y los escalones que entran y salen de los mismos, crea una situación de peligro debido a la existencia de la posibilidad de atrapamientos de pequeños objetos. En este caso también es posible que se inestabilice el usuario al subir o bajar de la escalera puesto que su cuerpo es acelerado y frenado respectivamente. El ranurado de las huellas y los peines, así como la escasa distancia entre ambos, minimizan este efecto. En la Figura 13 se muestra el ranurado de estas huellas en una

escalera mecánica convencional, así como la entrada de los peldaños en la zona de los peines de la cabecera superior.

Figura 13. Detalle sobre el ranurado de las huellas de los peldaños y su movimiento relativo con los peines de la cabecera superior.

Las escaleras mecánicas poseen dos pasamanos en sus laterales accionados normalmente por el mismo motor que fracciona la cadena de peldaños, y su velocidad nominal es idéntica a la de los peldaños. Esto es la teoría, pero en la práctica, los pasamanos tienen pequeños deslizamientos que podrían desestabilizar a un pasajero agarrado a él.

 ENTRE LOS PELDAÑOS Y EL ZÓCALO Existe un movimiento relativo intrínseco entre los peldaños móviles y el faldón o zócalo fijo. Este movimiento presenta una velocidad relativa igual a la velocidad lineal del peldaño respecto de un sistema de coordinas fijo. Puede observarse el zócalo en la ¡Error! No se encuentra el origen e la referencia., donde se observa también la disposición de un cepillo en la parte baja del faldón, que tiene como función evitar atrapamientos entre los peldaños y el zócalo.

Figura 14. Detalle del zócalo.

POLIGONALIZACIÓN Estos movimientos relativos descritos en el apartado anterior entre las distintas piezas de una escalera mecánica suponen falta de seguridad y de confort para los usuarios. Los peldaños actuales están unidos mediante juntas cilíndricas a cuatro rodillos, dos en cada lateral. Existen cuatro guías que son los caminos de rodadura de estos rodillos. Los rodillos inferiores ruedan libremente por sus guías correspondientes, estando ligados al peldaño solamente. Los rodillos superiores de cada lado pertenecen a una cadena de rodillos. Estas dos cadenas son las que mueven la escalera mecánica. El sistema de tracción tradicional se sitúa en la parte superior de las escaleras mecánicas, y consiste en sendas ruedas dentadas que engranan con los rodillos de las cadenas. A estas ruedas dentadas se les transmite la potencia desde un motor, empleando como medio de conexión un reductor sinfín-corona, y una transmisión de cadena. Aunque este es el sistema de tracción más extendido, existen otros que engranan directamente con los eslabones de la cadena en las zonas rectas, sistema en el que el eslabón de la cadena posee dientes de engrane, formando una cremallera. El movimiento de los peldaños está determinado por el movimiento de las cadenas. Las transmisiones por cadenas tienen ventajas, pero también poseen inconvenientes intrínsecos como es el conocido “efecto cadena” o poligonalización, fenómeno que se produce por la variación de la longitud de cuerda recorrida frente a la longitud del eslabón de la cadena. En la Figura 15 se muestran los parámetros que se emplearán para el cálculo del efecto de la poligonalización de una cadena.

Figura 15. Parámetros para el estudio de la poligonalización en una cadena.

La velocidad de un rodillo que entra en la rueda puede expresarse según la siguiente ecuación:

v

L  cos( )    R  cos( )     [0,2 ] 2  sin(  )

Ecuación 2. Efecto de la poligonalización de la velocidad.

La poligonalización se traduce en cambios de velocidad de la misma que se transmiten a toda la cadena. Estos cambios, apoyándonos en la Ecuación 2, varían según el coseno del ángulo , variando entre 0 y , por lo que cuanto menor sea el paso del eslabón, menor será la amplitud de la velocidad. Como ejemplo se va a mostrar los resultados de la simulación cinemática de un modelo de cadena que correspondería a un eslabón por peldaño (eslabón de 0.405m), que se muestra en la Figura 16. El rodillo señalado como director tiene impuesta una velocidad de 0.5 m/s.

Figura 16. Modelo cinemático para simular la tracción lineal.

Si simulamos el modelo para 0.81 segundos, que coincide con paso del eslabón, y superponemos las gráficas correspondientes a las velocidades lineales de cada rodillo consecutivo, desfasadas el paso del eslabón, se obtiene el perfil de velocidad correspondiente a un sistema de tracción lineal situado en la zona donde está situado el rodillo director, antes de un volteo. Los perfiles de velocidad se han obtenido en CATIA y en MATLAB, y se muestran en la Figura 17, como cabía esperar, son idénticos. En la gráfica solamente se han superpuesto cuatro perfiles de velocidad correspondientes a cuatro rodillos consecutivos, comenzando por el rodillo director.

Figura 17. Perfil de velocidad en el volteo para un modelo cinemático de tracción lineal.

Además de los elementos descritos anteriormente, existen otros elementos estructurales con diversas funciones como son el dar suficiente rigidez al conjunto de la escalera móvil, sujetar y guiar los pasamanos en caso de la balaustrada o minimizar los atrapamientos en caso de los peines y el zócalo lateral.

 Últimos avances en la escalera mecánica actual En este apartado se describirán las últimas líneas de innovación que han seguido las escaleras mecánicas. Las tendencias que se presentan hacen referencia a la parte mecánica del sistema. Cabe destacar la ausencia de documentación técnica respecto a la parte técnica que hay detrás de un sistema multicuerpo tan explotado industrialmente a nivel mundial. Como dato anecdótico se puede decir que en el congreso por excelencia de elevación vertical, ELECON 2008, celebrado en Tesalónica (Grecia), tan sólo ha habido dos artículos referentes a escaleras mecánicas, el presentado por CITEF y otro que analizaba estadísticamente los accidentes en este medio de transporte. El resto de artículos hacían referencia a los ascensores, un sistema del que se dispone de mucha más información si lo comparamos con la escalera o los pasillos móviles. La fuente que proporciona más información en este campo son las patentes existentes.

MODELOS DE SIMULACIÓN Los modelos de simulación están a la orden del día en la simulación de multitud de máquinas y mecanismos. Existen modelos dinámicos de vehículo, trenes, etc. desarrollados en diversas herramientas informáticas, existiendo muchos artículos y libros que lo referencian. Sin embargo, en cuanto a escaleras dinámicas se refiere tan solo hemos encontrado dos artículos que hacen referencia a modelos dinámicos de escaleras mecánicas. En ambos participa como autor principal Yi Sug Kwon representando a Otis-LG elevator. En uno de estos artículos describe un modelo dinámico de escalera mecánica realizado en DADS, este modelo es un modelo completo con todas las partes de una escalera mecánica convencional, incluyendo los pasamanos.

Figura 18. Modelo realizado en DADS de una escalera mecánica.

En el otro artículo, el modelo que presenta está focalizado en la simulación del comportamiento del pasamano con una orientación clara de emplear dicho modelo como base para el diseño del mismo.

Figura 19. Sistema de accionamiento de los pasamanos simulado por Yi Sug Kwon.

VELOCIDAD VARIABLE Este estado de madurez podría romperse sí se produjera una auto-evolución significativa del sistema, como pudiera serlo el desarrollo de la escalera mecánica de velocidad variable que está desarrollando la empresa japonesa Mitsubishi Electric, si esta diese buenos resultados experimentales.

Figura 20. Prototipo de escalera de velocidad variable de Mitsubishi Electric.

La escalera de velocidad variable, permitiría al usuario emplear menos tiempo en salvar dos rellanos a distinto nivel, aunque habría que estudiar si disminuye en algún caso la seguridad del usuario.

ZÓCALO MÓVIL Uno de los aspectos necesario mejorar actualmente es la seguridad y confort del usuario, aspectos cada vez más importantes en la vida actual. Con este objetivo, Otis, diseñó en su patente WO0244071A1 un zócalo móvil que resolviese la velocidad relativa entre los peldaños y el zócalo fijo existente.

Figura 21. Diseño de zócalo móvil de la empresa Otis.

La realización técnica de esta escalera aún no ha tenido éxito, pero sí marca una línea correcta de investigación.

 Estado de evolución de la escalera mecánica Para situar la escalera actual en su nivel de desarrollo tecnológico y así, poder predecir su evolución, se van a analizar las últimas tendencias de investigación conocidas, así como las últimas patentes. La escalera mecánica nació hace más de un siglo, mejorando rápidamente hasta su puesta en funcionamiento, una vez fijas las partes más importantes de la escalera, comenzó su optimización así como la dinamización y flexibilización del sistema (escaleras en espiral, contrahuellas flexibles, velocidad variable…). Y en esta etapa situamos a la escalera mecánica, muy lejos de llegar a la obsolescencia, creemos que está entrando en su etapa de madurez y que, posiblemente, llegue a convertirse en un producto “commodity” después de unos años. Actualmente, las escaleras de los distintos fabricantes son prácticamente iguales, por lo que para competir necesitan marcar la diferencia, ofrecer algo que los demás no ofrezcan, o simplemente, ser más baratos. Para conseguir esto hay que aumentar la idealidad de la escalera actual, es decir, aumentar los efectos beneficiosos frente a los dañinos, aumentando los primeros, disminuyendo los segundos o mucho mejor, consiguiendo ambos efectos a la vez.

Capitulo 3:

Descripción de una

escalera mecánica convencional En este apartado se describirán los elementos y sistemas necesarios para comprender el funcionamiento mecánico de una escalera mecánica convencional. Se comenzará explicando el esquema mostrado en la Figura 22 dónde se han señalado las principales partes y componentes de la misma. La foto corresponde a un catálogo de Thyssenkrupp Elevadores para el modelo Tugela de escalera mecánica.

Figura 22. Principales Componentes de una Escalera Mecánica.

Aunque se han señalado 19 partes de la escalera mecánica, muchas de estas partes son muy genéricas (grupo motor, estación tensora, etc.) y engloban por tanto un gran número de componentes importantes, mientras que algunas de estas partes son simples componentes (guías, pasamanos, peldaños, etc.). De estos componentes, excluyendo el pasamano, sólo ha sido estudiado el comportamiento mecánico de la escalera sin entrar en la parte eléctrica ni estructural. Las características más importantes que definen las escaleras mecánicas son: 

Su inclinación o

El ángulo de inclinación respecto de la horizontal oscila entre 27º y 35º, siendo la construcción habitual con ángulos de 30º.



Su anchura o



Su velocidad. o



La velocidad nominal (determinada por el fabricante, funcionando sin carga), no deberá superar los 0.75m/s para inclinaciones hasta 30º y los 0.5m/s para escaleras entre 30º y 35º. La velocidad más habitual en España es de 0.5m/s.

Su disposición. o

En tijera, en una dirección continuada.

En paralelo, en una dirección interrumpida.

En dos direcciones cruzadas.

En dos direcciones paralelas.

Su capacidad de transporte. o

Las distancias más habituales entre balaustradas son aproximadamente de 600mm, 800mm y 1000mm. También las hay de 1100mm y 1200mm en lugares como aeropuertos dónde las personas suelen llevar equipaje.

Depende de la anchura de la escalera y de su velocidad. Suele suponerse la escalera totalmente ocupada y un rendimiento nominal del 65% al 85%. Para una escalera de 1000mm de ancho (2 personas por peldaño), una velocidad real de 0.45m/s y una inclinación de 30º, se tendría una capacidad de transporte de 8000 personas/hora.

Desde un punto de vista funcional se pueden distinguir cinco elementos principales en la escalera mecánica, que se describirán en los siguientes apartados.

SISTEMA DE TRACCIÓN

El grupo tractor está formado por un motor eléctrico generalmente trifásico de rotor de jaula de ardilla, acoplado a un reductor de velocidad, por medio de correas trapezoidales, o en una ejecución muy corriente, acoplado directamente, con el eje del motor vertical. El grupo reductor se compone de un engranaje sinfín de acero y una corona de bronce, que trabajan en baño de aceite contenido en un cárter cerrado. El eje de la corona transmite el movimiento a través de la cadena principal, al eje de las ruedas dentadas que arrastran las cadenas de peldaños. Y a través de otra transmisión, mueve también las poleas que arrastran los pasamanos. En la actualidad se están impulsando tecnologías basadas en engranajes planetarios, cuya principal ventaja radica en que tienen un rendimiento muy superior al de una transmisión sinfíncorona. El sistema de tracción usual de las cadenas de rodillos de las escaleras mecánicas convencionales consiste en una rueda dentada que engrana con los rodillos de ambas cadenas, y está situada en la cabecera superior.

Figura 23. Detalle del sistema de tracción de las escaleras mecánicas convencionales.

Existen otros sistemas de tracción que coexisten hoy día con la rueda dentada, así hay sistemas de tracción lineal piñón-cremallera. Se sitúa en la zona inclinada superior. En este sistema, los eslabones dentados hacen las veces de cremallera y unas ruedas dentadas, transmiten el movimiento a la escalera mecánica. A continuación se detallarán dos de los sistemas más empleados hoy día como sistemas de tracción, destacando que la tracción por rueda dentada es el sistema impuesto por excelencia en el mercado actual.

 Tracción por rueda dentada Este sistema de tracción es el más extendido hoy día. Dependiendo de la potencia requerida, pueden emplearse distintos tipos de motores y de accionamiento de dicha rueda dentada, que se muestra en la Figura 24.

Figura 24. Detalle del sistema de tracción de las escaleras mecánicas convencionales: Rueda dentada accionada por cadena sin ensamblar.

La rueda dentada que engrana la cadena de rodillos puede ser accionada de varias formas:

MEDIANTE UN MOTOR Y UNA CADENA En este caso se puede emplear una cadena doble de 1 1/4” o 1 1/2” dependiendo de la potencia requerida. También se usan dos cadenas simples en lugar de una doble.

Figura 25. Sistema de tracción: un motor y una cadena.

MEDIANTE UN MOTOR Y UN TREN DE ENGRANAJES Las ruedas que mueven los rodillos son accionadas por un engranaje helicoidal en lugar de usar cadenas, disminuyendo el nivel de vibraciones y de ruido.

Figura 26. Sistema de tracción: un motor y un tren de engranajes.

MEDIANTE DOS MOTORES Y DOS TRENES DE ENGRANAJES Mediante este diseño se elimina el mantenimiento que requiere el ajuste de la cadena tractora, siendo un diseño empleado cuando se requieren granes potencias, es decir, para mover escaleras mecánicas que tienen que salvar grandes alturas.

Figura 27. Sistema de tracción: dos motores y dos trenes de engranajes.

 Tracción lineal Existen diversas patentes en las que se muestran sistemas de tracción lineal empleando los eslabones como elementos de engrane, a modo de cremalleras. A modo de ejemplo se muestra en la Figura 28 un detalle de la patente WO0244071A1.

Figura 28. Detalle de los eslabones en forma de cremallera. Patente WO0244071A1 (2001).

El elemento que engrana con estos eslabones pueden ser ruedas dentadas o rodillos si la forma del diente tallado en el eslabón lo permite. Un ejemplo de este tipo de tracción, con un dentado diferente al de la Figura 28, se muestra en la Figura 29, dónde se puede observar que son rodillos los que engranan con dientes pertenecientes a los eslabones.

Figura 29. Escalera mecánica con tracción lineal (patente ES8606186A).

IV.

SISTEMA DE ACCIONAMIENTO

El sistema de accionamiento de una escalera mecánica explica cómo se transmite el movimiento del sistema de tracción a los peldaños. En la escalera convencional, cada peldaño tiene 4 rodillos, tal y como puede observarse en la Figura 30.

Figura 30. Peldaño de la Escalera Mecánica Convencional.

En la Figura 30 sólo se observan dos rodillos por peldaño en su zona inferior, esto es debido a que existen dos tipos de rodillos: 1) Rodillos interiores: Son los rodillos que ruedan por las guías interiores, sin formar parte de ninguna cadena, son los que se ven en la figura anterior. 2) Rodillos exteriores: Estos rodillos forman parte de cadenas de rodillos. Estas cadenas tienen habitualmente tres rodillos por peldaño. Esta cadena de rodillos, como muestra la Figura 31, sigue la guía más externa.

Figura 31. Detalle del sistema de accionamiento de las escaleras mecánicas convencionales.

El sistema de accionamiento de los peldaños está directamente relacionado con el sistema de accionamiento del pasamano, ya que este acciona una serie de poleas que sincronizan el movimiento del pasamano con el de los peldaños.

ESTACIÓN TENSORA

La escalera mecánica convencional está compuesta por dos cadenas encargadas de transmitir el movimiento a los peldaños. Como toda cadena necesita algún elemento tensor que asegure una tensión mínima en la cadena, este elemento se denomina estación tensora y se muestra en la Figura 32. Como puede observarse consta de dos partes móviles situadas en la cabecera inferior de la escalera, estas cabeceras enlazan con la parte horizontal inferior de las guías fijas. Su único movimiento permitido es el movimiento horizontal y se compone de dos muelles, uno para cada guía por dónde ruedan los rodillos de la cadena (rodillos exteriores). Existen tres parámetros principales para la definición de esta estación tensora: 

Precarga (N)



Rigidez del muelle (N/m)



Amortiguamiento del muelle (Ns/m)

Figura 32. Elementos de la estación tensora de una escalera mecánica convencional.

VI.

BASTIDOR O ESTRUCTURA METÁLICA

Debe existir una estructura sobre la que descansen las guías y asegure la estabilidad de la escalera sometida a las cargas habituales. La estructura auto portante se diseña de forma que sujete todo el peso muerto de la escalera más un peso de pasajeros de 5000N/m2. Existen una serie de estándares que debe cumplir una estructura de este tipo, recogidos todos en la norma EN115, donde se determina la flecha máxima en caso de carga total de explotación. En la Figura 33 se muestran dos fotos correspondientes a un ejemplo de estructura auto portante dónde se muestra el entramado de perfiles que hacen posible la sustentación de una escalera mecánica convencional.

Figura 33. Ejemplos de estructura auto portante.

VII.

BALAUSTRADAS

Las balaustradas se sitúan una a cada lado de la escalera con el objetivo de proteger a los usuarios de la misma. Las balaustradas ejercen de límite físico sin el cual sería muy peligroso el uso de este sistema de elevación vertical. Las balaustradas se componen de un zócalo o rodapiés, que se alza unos 20cm por encima de los peldaños, que se desplazan junto a él pero sin rozarlo. En este rodapiés se encuentran los dispositivos de seguridad contra atasco lateral, una especie de cepillo continuo, que previene la existencia de accidentes por introducción de algún objeto entre los peldaños y el faldón. Las balaustradas pueden ser rectas o inclinadas hacia afuera después de la terminación del faldón. Su longitud debe ser suficiente para proteger la escalera además de los dos andenes de embarque, para permitir a los pasajeros asirse al pasamano a la entrada y a la salida de la escalera. Así, debe existir al menos un peldaño horizontal en los tramos de entrada y salida. La altura debe de ser al menos 0.95m sobre los escalones. Las balaustradas de las escaleras localizadas en el interior de algún edificio están revestidas generalmente de laminados de plástico o formadas por cristal securit encuadrado por un bastidor de aluminio anodizado. Si la escalera está a la intemperie, las balaustradas deben ser de acero inoxidable. En la Figura 34 se muestran dos tipos de balaustrada, una de cristal y recta y la otra con acabado metálico e inclinada hacia fuera.

Figura 34. Ejemplos de balaustradas de cristal y metálica.

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Capitulo 4:

Análisis empleados

Como ya se ha explicado anteriormente, la escalera mecánica posee un diseño mecánico que no ha variado sustancialmente en los últimos 100 años. Durante este tiempo, casi todas las mejoras propuestas han demostrado su viabilidad sólo de forma experimental. Esto supone un gran gasto de recursos y de tiempo, lo que supone un estrecho cuello de botella para la evolución de este sistema multicuerpo. Para agilizar el proceso de análisis de nuevas propuestas, así como para analizar el propio mecanismo existente, se han desarrollado modelos estáticos, cinemáticos y dinámicos. Los modelos estáticos, programados en MATLAB, nos darán una idea de dónde se producen las máximas reacciones y tensiones en función de la geometría analizada. También podremos obtener de ellos un primer análisis de velocidades. Los modelos cinemáticos, desarrollados en CATIA V5, aportarán una completa información cinemática de cada modelo (velocidades, aceleraciones, ángulos, distancias, etc.). Los modelos dinámicos, implementados en SIMPACK, nos acercarán más que ninguno al comportamiento real de cada modelo, además de informarnos de la importancia de la componente dinámica frente a la cinemática y a la estática. El conjunto de modelos nos dará una completa información que servirá para el análisis y viabilidad de cada modelo. Los resultados deberán ser coherentes además de complementarios. Con estos modelos se pretende marcar una metodología de trabajo que permita analizar la viabilidad de nuevos conceptos y diseños en escaleras mecánicas.

ANÁLISIS ESTÁTICO

Los primeros cálculos para conocer el comportamiento de una escalera mecánica han sido estáticos. Para esto se han creado en MATLAB diversos programas que permiten obtener los valores de la reacción del rodillo sobre la guía y la tensión de los eslabones. Para estos programas, calculados para una sola cadena, en 2D, se ha supuesto: 1) Contacto rodillo-guía puntual Medido en Newtons, siempre normal a la geometría de la guía. 2) Tensión del eslabón Medida en Newtons, en el sentido longitudinal del eslabón. Estos cálculos pretenden dar un orden de las variables medidas, sabiendo que en realidad el contacto rodillo-guía es superficial y lo más real sería definirlo como una presión de reacción. La tensión del eslabón también debería referirse al área transversal que soporta dicho valor de fuerza.

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DESCRIPCIÓN DEL ANÁLISIS REALIZADO Para el análisis estático se han supuesto las siguientes simplificaciones: 

Rigidez infinita en el contacto entre el rodillo y la guía, eliminando la posibilidad de deformación de ambos cuerpos.



No existencia de deslizamiento, suponiendo que los rodillos avanzan por rodadura pura.



Cuerpo rígidos, tanto guía como rodillos y eslabones.



No existencia de resistencia a la rodadura.



La reacción sobre el rodillo tiene la misma dirección que el radio de curvatura de la guía en el punto de contacto con el rodillo.



La tensión de cada eslabón, tanto la que se ha denominado tensión inferior como la que se ha denominado tensión superior, se ha supuesto que sigue la misma dirección que el eje longitudinal de cada eslabón.



Las juntas entre cada eslabón y cada rodillo, así como las juntas entre cada par de eslabones consecutivos se consideran juntas cilíndricas perfectas, eliminando las holguras existentes.



Se parte del conocimiento de la tensión de uno de los eslabones para el recorrido del mismo de un paso. En los modelos simulados se partirá del valor de la tensión inferior de un eslabón de zona horizontal inferior de la guía, en la cabecera inferior. Este valor se ha hecho coincidir con la precarga del tensor. Otra opción es obtener el valor de la tensión de ese eslabón del postprocesado dinámico.

Con estas hipótesis de partida el análisis estático se reduce a obtener para cada rodillo su reacción sobre la guía (o viceversa) y la tensión superior. Como se muestra en la Figura 35, la tensión conocida de la que se parte para el cálculo del equilibrio de fuerzas en cada rodillo, es la tensión inferior.

Figura 35. Esquema de fuerzas tenidas en cuenta en el análisis estático.

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Las fuerzas incógnita se calcularán estableciendo el equilibrio vectorial de fuerzas, igualando la suma de las componentes x e y a cero se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, fácilmente solucionable. Como se muestra en la Ecuación 3, una vez obtenido para un rodillo los valores de reacción y de la tensión superior asociada al eslabón articulado en él, se obtiene la tensión inferior del siguiente de forma simple.

Ecuación 3. Ecuaciones empleadas para el análisis estático: equilibrio de fuerzas.

II.

ANÁLISIS CINEMÁTICO

Para la simulación cinemática se ha empleado la herramienta de CAD 3D denominada CATIA V5. Este programa está dividido en múltiples módulos de trabajo. Para los modelos desarrollados se han empleado principalmente submódulos de dos de esos módulos, que se indican a continuación: 

Mechanical Design



Sketcher para la generación de perfiles 2D



Part Design para la creación de sólidos



Assembly para la realización de ensamblajes



Drafting para la elaboración de planos



Digital Mockup



DMU Kinematics para la simulación cinemática

El módulo Mechanical Design permite como otros programas comerciales, la definición de bocetos 2D que, mediante una serie de operaciones como pueden ser extrusión o perforado permite la creación de sólido 3D para proceder posteriormente al ensamblaje de los mismos, así como la obtención de planos del conjunto. Como CATIA es un programa comercial ampliamente conocido, no se detallará el uso del módulo Mechanical Design, aunque sí se describirá un módulo algo menos común, que es el módulo que permite, mediante la definición de juntas, definir, sensorizar y analizar el comportamiento cinemático del conjunto de sólidos.

 Definición de juntas cinemáticas Para la simulación cinemática en CATIA V5, después del diseño de piezas aisladas y su ensamblaje, se han definido las siguientes juntas que definen el movimiento posible entre las distintas piezas del mecanismo:

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Rodillo-Eslabón: junta de revolución (permite el giro de un elemento sobre el otro, fijando un eje común de giro y una distancia o contacto superficial constante).



Eslabón-Eslabón: junta de revolución.



Eslabón-Peldaño: junta de revolución y junta planar (distancia constante entre el plano transversal del peldaño y el plano interior del zócalo).



Rodillo-Guía: junta cinemática, que establece que la circunferencia que forma unos de los bordes del rodillo, rueda por la curva que define uno de los bordes externos de la guía.



Guía-Guía: junta rígida (se fija una guía a la otra).



Guía-Sistema de Referencia: junta rígida (se fija la guía al sistema de referencia).

 Leyes de movimiento Una vez definidas las juntas, en el módulo DMU kinematics, se necesitan definir las leyes o comandos que seguirán las piezas del mecanismo para que este funcione. En nuestro caso basta con fijar un comando o una ley para que el mecanismo simule. Así, podemos definir: 



Por comandos: o

Una “longitud conductora” referente a la junta entre un rodillo y la guía.

Un “ángulo conductor” referente a la junta entre un rodillo y la guía.

Por leyes: o

Consiste en definir una ley matemática que defina cualquiera de los comandos que se hayan definido. Para obtener un rodillo con velocidad constante se define un ángulo conductor (el que gira el rodillo) como:

 Velocidad _ Lineal    Tiempo  RadioRodil lo 

 

Ecuación 4. Ley de movimiento cinemático: ángulo en función del tiempo.

Para la definición de leyes hay que tener en cuenta que se definen respecto a ángulos o longitudes recorridas por elementos entre los que existe una junta. Por esto, en algunos casos se han empleado elementos auxiliares como puede ser un prisma con una arista coincidente con el eje de un rodillo y una cara paralela a algún plano horizontal. De esta forma si definimos la ley que consta en la Ecuación 4, asegura que ese rodillo posee una velocidad constante igual a la velocidad lineal impuesta.

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 Cálculo del radio mínimo En este apartado se va a calcular el radio de guía mínimo requerido para evitar la interferencia entre peldaños consecutivos. Esta interferencia se debe a que los rodillos correspondientes a los peldaños se acercan en las zonas curvas una distancia que depende de la relación existente entre la longitud del eslabón de la cadena y el radio que describen los centros de los rodillos, el cual siempre vendrá definido por el radio de la guía y el del rodillo. En la Figura 36 se muestra un esquema con los parámetros necesarios para el cálculo, en función del número de eslabones por peldaño del radio mínimo para la no existencia de interferencias.

Figura 36. Parámetros para el cálculo del radio mínimo.

En la figura anterior se han definido las siguientes variables: 

D, distancia entre los centros de los rodillos asociados a dos peldaños consecutivos.



L, longitud de cada eslabón.



R, radio de la curva descrita por el centro de los rodillos.



h, ancho de la huella del peldaño.



: ángulo definido por el centro de la curva de radio R y las rectas que unen dicho centro con los puntos de articulación de un peldaño.



n: número de eslabones por peldaño.

Como hipótesis de simplificación se ha supuesto que la contrahuella de cada peldaño es una superficie cilíndrica cuyo eje coincide con el punto de articulación del rodillo de cada peldaño (sólo estamos analizando un lado, dada la simetría del problema). Se supone además que el radio de dicha superficie es constante con centro en el eje del rodillo, tal y como muestra la Figura 37. En esta misma figura se muestra, a la izquierda, el diseño correspondiente al peldaño real.

Figura 37. Simplificación para el cálculo del radio mínimo.

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La condición para que no exista interferencia se define como el radio mínimo que cumpla la Ecuación 5.

Ecuación 5. Condición de no interferencia para n eslabones por peldaño.

A continuación se particularizará esta ecuación para n=1, 2 y 3. Para una n general podría descomponerse la ecuación usando las propiedades de los números complejos de la siguiente manera. Con la expresión del seno con la forma del Binomio de Newton, se simplifica este cálculo ya que para un valor de n bajo, basta con emplear el triángulo de Tartaglia.

Ecuación 6. Desarrollo del seno para su uso en la Ecuación 5.



Un eslabón por peldaño, n=1

Para este caso, si particularizamos la Ecuación 5 para n=1, se obtiene la condición algo que se cumple siempre, luego para este caso se puede afirmar que no existe interferencia entre dos peldaños .



Dos eslabones por peldaño, n=2

Para este caso no es tan rápido la resolución de la condición de no interferencia. Desarrollamos para esto la Ecuación 6 particularizando para n=2, con esto obtenemos una expresión del .

Ecuación 7. Desarrollo de la Ecuación 6 para el caso de n=2.

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Una vez obtenido esto, si sustituimos en la ecuación de origen se tiene lo siguiente:

Ecuación 8. Sustitución de la ecuación de no interferencia por el resultado obtenido en la Ecuación 7.

Despejando el radio R:

Ecuación 9. Expresión del radio mínimo para n=2.



Tres eslabones por peldaño, n=3

Desarrollando la Ecuación 6 para n=3, se obtiene la siguiente expresión:

Ecuación 10. Desarrollo de la Ecuación 6 para el caso de n=3.

Sustituyendo en la ecuación de origen:

Ecuación 11. Sustitución de la ecuación de no interferencia por el resultado obtenido en la Ecuación 10

Despejando el radio R:

Ecuación 12. Expresión del radio mínimo para n=3.

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Estos radios obtenidos se emplearían como radio mínimo para las zonas curvas dónde los peldaños no volteen, es decir, en las llamadas zonas de transición, en las que la posición relativa de los peldaños será cualquiera de las presentadas en la Figura 38.

Figura 38. Posición relativa de los peldaños en las zonas de transición.

Este cálculo no es válido para las zonas de volteo puesto que la posición relativa de los peldaños es distinta, como puede observarse en la Figura 39.

Figura 39. Posición relativa de los peldaños en el volteo.

Si nos fijamos en el diseño del peldaño real, en la posición de volteo es muy difícil que exista interferencia, según se muestra en la Figura 40.

Figura 40. Posición de los peldaños reales de una escalera convencional en la posición de volteo.

 Sensorización y salida de resultados Para el análisis cinemático, CATIA, cuando simula el movimiento, crea sensores que permiten medir el estado de cada junta: ángulo girado, longitud recorrida, etc. Además de estos sensores, se pueden crear otros sensores entre:



Un cuerpo y un punto



Velocidad lineal absoluta o por componentes

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Velocidad angular absoluta o por componentes



Aceleración lineal absoluta o por componentes



Aceleración angular absoluta o por componentes



Dos cuerpos



Distancia mínima entre los dos cuerpos o por componentes

Además de esto también se ha activado en cada modelo el análisis de interferencias entre sólidos de tal modo que la simulación se para si existe algún tipo de interferencia. La salida de resultados de estos sensores puede obtenerse en varios formatos: 

Formato gráfico: se obtiene una sola gráfica con los resultados de todos los sensores activados. Si hay más de un resultado, hay que ir seleccionando en la leyenda cada resultado para observar este en la escala correcta. Es poco práctico si hay muchos sensores activados. En la Figura 41 se muestra como ejemplo la salida gráfica de un sensor cinemático.

Figura 41. Ejemplo de salida gráfica en CATIA: Velocidad lineal absoluta.



Formato Excel: CATIA permite la exportación de los resultados de cada sensor activado en la simulación correspondiente a un fichero Excel, a partir del cual se puede representar gráficamente dichos resultados. Este formato es muy práctico puesto que los conjuntos de datos están separados en columnas, por lo que es muy sencillo crear gráficos con los resultados de uno o varios sensores. En la Figura 42 se ha presentado el formato con el que CATIA exporta los datos de la simulación. A la derecha de la figura se muestra la gráfica correspondiente a las columnas A y D de la tabla, idéntica a la mostrada en la Figura 41.

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Figura 42. Ejemplo de salida de datos en CATIA: Velocidad lineal absoluta.



III.

Formato texto: se puede obtener un archivo de texto todos los datos de los sensores activados en cada simulación. Esto es útil si la versión empleada de CATIA no es compatible con la versión de office empleada (por ejemplo, si se emplea Office 2007, puede ocurrir), ya que de este fichero puede pegarse en un archivo Excel y, tras separar el texto convenientemente en columnas, se podrán obtener las gráficas buscadas.

ANÁLISIS DINÁMICO

El análisis de comportamiento que más nos acercará al comportamiento real de cada uno de los sistemas multicuerpo diseñados es el análisis dinámico, puesto nos permitirá tener en cuenta variables excluidas en los modelos estáticos y cinemáticos. Con este análisis se podrá también estudiar la importancia de la componente dinámica en variables como pueden ser la velocidad, tensión de la cadena, reacción de un rodillo, etc. En este apartado se describirá brevemente el programa que se ha empleado para modelizar y analizar el comportamiento dinámico de los diferentes modelos que se presentarán posteriormente. Inicialmente se describe el funcionamiento del programa genérico SIMPACK para después pasar a describir un módulo específico para el diseño de cadenas, SIMPACK CHAIN.

 Introducción al programa SIMPACK SIMPACK (Simulation of Multibody systems PACKage), es un programa de simulación que permite analizar el comportamiento cinemático y dinámico de sistemas multicuerpo complejos, entendiéndose por sistema multicuerpo cualquier conjunto de cuerpos rígidos y flexibles unidos entre sí por medio de juntas cinemáticas y elementos de fuerza. SIMPACK permite incluso la posibilidad de conectar este tipo de sistemas con otros de tipo eléctrico, hidráulico o neumático, lo que extiende su campo de aplicación a terrenos tales como la aviación, la biomecánica, la robótica, la dinámica vehicular, la dinámica ferroviaria, y algunos otros. La finalidad de esta herramienta es la de proporcionar un apoyo en la toma de decisiones respecto a las posibles variantes de un diseño, desde la etapa de desarrollo hasta la puesta en funcionamiento. Incluye las siguientes opciones:

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Optimización de los parámetros de diseño.



Cálculo de las fuerzas de interacción dinámica en cualquier punto de un componente en condiciones críticas de funcionamiento.



Diseño de sistemas de control.



Análisis del comportamiento de distintas variantes de diseño sin necesidad de recurrir a la fabricación de prototipos.



Determinación de los principales parámetros de diseño que se ven afectados por el comportamiento dinámico.



Análisis de los puntos débiles de los diseños mecánicos.

 Modelización de sistemas multicuerpo con SIMPACK Para analizar el comportamiento dinámico de un sistema multicuerpo con SIMPACK, el primer paso a seguir, tras la definición del problema que se pretende estudiar, consiste en la generación de un modelo del sistema físico real que se va a analizar, para lo que es preciso descomponerlo en sus componentes mecánicos básicos, tales como: 

cuerpos



juntas



y elementos de fuerza

Figura 43. Camión y remolque como ejemplo de sistema físico y modelo mecánico.

Hecho esto, deben determinarse los valores de los distintos parámetros del modelo, tales como: 

Masas, momentos de inercia y posición de los centros de gravedad de cada cuerpo.



Posición de los puntos de acoplamiento entre elementos contiguos.



Coeficientes de rigidez y de amortiguamiento, coeficientes de rozamiento, etc.

Los pasos descritos hasta ahora son comunes a cualquier otro proceso típico de ingeniería. Las siguientes etapas, en cambio, son llevadas a cabo con SIMPACK.

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PREPROCESO Esta etapa del estudio consiste en introducir en el programa los parámetros del modelo que se determinaron en los pasos previos, y en establecer las características del proceso de cálculo y de la salida de resultados que se van a realizar a continuación. Si además se desea obtener una representación gráfica del sistema, deben proporcionarse también las características geométricas de sus distintos componentes. Una vez definidas todas las características del sistema Multicuerpo (MBS) se almacenan en una base de datos, que puede leerse con un editor ASCII.

CÁLCULO Durante esta etapa el programa utiliza los datos de entrada proporcionados por el usuario para formular y resolver las ecuaciones que definen el comportamiento del sistema que se ha modelizado en la fase de pre proceso. Existen varias opciones de cálculo, tales como determinación del equilibrio estático, cálculo de frecuencias propias y modos de vibración, integración temporal, variación paramétrica, optimización, etc.

POSTPROCESO En esta etapa el programa presenta los resultados de los cálculos anteriores, en forma de gráficas, valores numéricos o animaciones tridimensionales. También es posible aplicar filtros a los resultados obtenidos, de modo que se puedan realizar con ellos operaciones aritméticas básicas, análisis estadísticos, e incluso estudios en el dominio de la frecuencia. Naturalmente, el siguiente paso consiste en la interpretación y análisis, por parte del ingeniero, de los resultados obtenidos.

 Componentes básicos para la modelización en SIMPACK SISTEMAS DE REFERENCIA Para poder describir el movimiento de un sistema físico con SIMPACK, debe definirse en primer lugar un sistema de coordenadas de referencia. Al crear un nuevo modelo, SIMPACK genera automáticamente un sistema de referencia inercial, denominado “Isys”. SIMPACK permite definir sistemas de referencia adicionales, que pueden ser fijos o guiados cinemáticamente. Estos últimos presentan un movimiento relativo respecto al sistema inercial que está perfectamente definido, lo que significa que no tienen comportamiento dinámico por sí mismos.

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DATOS REQUERIDOS PARA LA DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE REFERENCIA 

Nombre del sistema de referencia (definido por el usuario).



Tipo (ej.: velocidad de giro constante alrededor del eje x).



Velocidad de traslación o de giro (sólo en el caso de referencias guiadas cinemáticamente).

CUERPOS SIMPACK permite definir tres tipos diferentes de cuerpos: 

Cuerpos rígidos (definidos únicamente por sus propiedades inerciales).



Vigas elásticas.



Cuerpos elásticos de forma arbitraria (con propiedades inerciales y elásticas definidas mediante matrices procedentes de un fichero de entrada usado como conexión con programas basados en el Método de los Elementos Finitos).

Con el fin de proporcionar un modelo consistente en cada etapa del proceso de modelización, SIMPACK genera automáticamente los siguientes elementos al definir un nuevo cuerpo: 

Un sistema de referencia solidario al cuerpo.



Un sistema de referencia marcador (que en adelante denominaremos simplemente como marcador), idéntico al sistema de referencia solidario al cuerpo.



Una junta de cero grados de libertad entre la referencia inercial y el marcador del nuevo cuerpo.



Un sensor entre la referencia inercial y el marcador del nuevo cuerpo.



Una primitiva para representar gráficamente el nuevo cuerpo, y otra para representar el sistema de referencia solidario a él.

Por lo tanto, el usuario debería tener siempre en mente que estos elementos deben ser modificados en consonancia con el modelo mecánico con el fin de obtener resultados correctos.

DATOS REQUERIDOS PARA LA DEFINICIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS



Nombre del cuerpo rígido (definido por el usuario



Masa



Posición del centro de gravedad respecto a la referencia solidaria al cuerpo



Tensor de inercia, definido respecto a:

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El sistema de referencia ligado al cuerpo,

A una referencia situada en el centro de gravedad con la misma orientación que el sistema ligado al cuerpo

Otro marcador fijo perteneciente al cuerpo

MARCADORES Los marcadores se utilizan, por ejemplo, como puntos de anclaje para los elementos de fuerza, tales como los resortes, o como puntos de enlace para las juntas, tales como las de revolución. Además, las mediciones cinemáticas se llevan a cabo a través de los sensores en relación con determinados marcadores. Los puntos marcadores pueden definirse en todos los cuerpos (incluidos los sistemas de referencia guiados cinemáticamente), y dentro de cada cuerpo pueden presentar cualquier posición y orientación en relación con el sistema de referencia local. SIMPACK proporciona dos tipos de marcadores: 

Marcadores fijos a los cuerpos (opción por defecto)



Marcadores móviles

Los marcadores móviles suelen emplearse de forma habitual para la simulación de contactos entre dos cuerpos, son un ejemplo de ello los marcadores parent/child que se emplearán en los modelos dinámicos.

MARCADORES FIJOS La posición constante (con respecto al tiempo) de un marcador dentro de un cuerpo se define mediante las coordenadas del vector que une la referencia ligada al cuerpo con el marcador, expresándose dichas coordenadas en la referencia local. Por defecto, el marcado se sitúa en el origen de dicho sistema, si no se introduce ningún dato para dicho vector. Los marcadores pueden presentar una orientación constante en relación con el sistema ligado al cuerpo. Si no se introduce ningún dato referente a la orientación, el marcador, por defecto, toma la misma orientación que el sistema solidario al cuerpo. SIMPACK permite tres métodos diferentes para introducir la orientación de los marcadores:



Ángulos de Cardan



Matriz de transformación



Por tres puntos

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 MARCADORES MÓVILES Para muchas aplicaciones resulta necesario o útil el tener la capacidad de modelizar puntos de contacto, que no adoptan ni una posición ni una orientación constantes sobre el cuerpo con respecto al tiempo. Estos marcadores pueden trasladarse o girar respecto al cuerpo y su movimiento puede depender del estado de las juntas, de funciones dependientes del tiempo, o de alguna otra dependencia definida por el usuario. La principal aplicación de los marcadores móviles se encuentra en los problemas de contacto, o la realización de efectos especiales 3-D, tales como cámaras móviles.

 JUNTAS Las juntas son conexiones sin masa entre cuerpos, que restringen el movimiento relativo entre estos. En un extremo, una junta tiene cero grados de libertad, y en el otro extremo tiene seis grados de libertad. Mientras que en estos casos extremos el término “junta” apenas se utiliza, en el caso de trabajar con SIMPACK se requiere que se definan estos casos especiales mediante el empleo de juntas. La filosofía de trabajo de SIMPACK obtiene el movimiento absoluto de los cuerpos a partir del estado de las juntas que los conectan (cinemática recursiva). Cuando se calcula el movimiento de un sistema mecánico, SIMPACK construye internamente una cadena de vectores, representando cada vector un cuerpo, y cada extremo una junta. Recuérdese que los sistemas mecánicos con estructura de árbol son aquellos en los que existe un único camino desde un cuerpo a otro a través de las juntas, mientras que si existe más de un camino, entonces el sistema mecánico se denomina cerrado. En consecuencia, un sistema con estructura de árbol se representa mediante una cadena vectorial abierta y carente de ambigüedades, mientras que los sistemas con bucles cinemáticos cerrados dan lugar a cadenas vectoriales también cerradas, que presentan cierta ambigüedad. Con el fin de resolver este problema, SIMPACK distingue entre: 

Juntas y



Restricciones (Juntas de cierre de bucle)

La entrada de datos de una junta de cierre de bucle indica al programa cómo partir la cadena vectorial ambigua en otras dos cadenas vectoriales no ambiguas que apuntan al mismo punto, que coincide con la junta de cierre del bucle. Es el propio usuario quien decide cuál de las juntas que pertenecen al bucle cerrado debe considerarse como la junta de cierre del mismo. A la hora de definir la junta de cierre del bucle, el usuario debe tener mucho cuidado de no crear un sistema estáticamente sobredeterminado mediante la selección de demasiadas restricciones. A continuación se describen los datos requeridos para la definición de juntas:

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación 

Nombre de la junta (definido por el usuario)



Marcadores i y j conectados por la junta



Tipo de junta



Estados iniciales de la junta (posición y velocidad)



Parámetros propios de ese tipo de junta

FUERZAS Un elemento de fuerza se define desde del marcador Mi, el marcador ‘From’ en el cuerpo Bi hasta el marcador Mj, el marcador ‘To’, en el cuerpo Bj. Este elemento se considera que tiene masa nula. La forma en que actúa la fuerza entre dos marcadores Mi y Mj viene determinada por si es un elemento de fuerza que va de punto a punto o por si es un elemento definido por componentes.

Figura 44. Elemento de fuerza con sistemas de referencia y de medida.

SIMPACK posee tres tipos principales elementos de fuerza:



Definidos por componentes.



Actúan según los ejes del marcador ‘From’, Mi.



Las medidas calculan el movimiento relativo del marcador ‘To’, Mj, respecto al marcador ‘From’, Mi, en el sistema de coordenadas del marcador ‘From’.



La ley de fuerza puede extenderse a más de un eje del marcador Mi, de forma independiente.



Las fuerzas y los momentos actúan en ambos cuerpos. La fuerza de reacción está siempre aplicada en el marcador ‘To’, Mj. El marcador sobre el cual actúa la fuerza aplicada se determina seleccionando un parámetro general del programa (wpar(41))

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación 

Estos elementos de fuerza no son simétricos, ya que el comportamiento viene determinado por la posición del sistema de coordenadas del marcador ‘From’, Mi.



La longitud nominal se refiere a la posición nominal del marcador Mj respecto del marcador Mi. La fuerza total aplicada es igual a la fuerza nominal.



Definidos punto a punto: la fuerza actúa en la dirección de la línea de conexión entre los marcadores seleccionados Mi y Mj. Todas las entradas (medidas) y la salidas (fuerzas, momentos) se aplican en esta dirección. Las fuerzas y los momentos actúan desde el centro de los marcadores, con signos opuestos. Los elementos punto a punto son totalmente simétricos y las orientaciones de los marcadores seleccionados no influye en su comportamiento ( Figura 45).

Figura 45. Elemento de fuerza de punto a punto.



Elementos Multi-fuerza: se diferencian de los anteriores elementos en que las fuerzas se aplican en un número de localizaciones internas del sistema. Los marcadores ‘From’ y ‘To’ no se emplean para definir dónde se aplican las fuerzas. En la Figura 46 se muestra como ejemplo un soporte anti-giro con fuerzas aplicadas en 4 lugares distintos. Este elemento de fuerza no contempla la existencia de reacciones.

Figura 46. Ejemplo de un elemento multi-fuerza.

VALORES DE SALIDA OBTENIDOS EN EL ETAPA DE POSTPROCESADO



Estados de las juntas.



Fuerzas de reacción en las juntas que actúan sobre los cuerpos i y j, referidas al sistema de referencia solidario al cuerpo j.

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 Descripción del módulo SIMPACK CHAIN La herramienta de simulación dinámica SIMPACK incorpora un módulo denominado CHAIN creado exclusivamente para la simulación dinámica de cadenas. Para conocer con mayor detalle el proceso de modelización de una cadena con el módulo 1 SIMPACK CHAIN se recomienda consultar la bibliografía , en el caso de que interese. En este apartado se van a comentar algunas particularidades importantes de la simulación de cadenas con esta herramienta. Conviene recalcar que el módulo SIMPACK CHAIN está diseñado principalmente para la simulación de cadenas convencionales, que se utilizan usualmente para transmitir potencia entre dos o más ruedas dentadas. En el caso de una escalera mecánica, la configuración de los elementos mecánicos es algo distinta, ya que no se persigue este fin. Por ello presenta algunas particularidades en su modelizado que el programa no contempla de forma directa y, por esta razón, aumenta la dificultad de la modelización. Se comentan, a continuación, las características más relevantes del módulo para el modelado de una cadena convencional: El modelo de cadena es un modelo plano, es decir, todos los elementos que componen la cadena tienen sus grados de libertad definidos en un plano, pero no en dirección perpendicular a dicho plano. Para modelizar una cadena es preciso definir una serie de elementos, como son las ruedas dentadas, las guías tensoras, el tensor de cadena, y los eslabones. Con todos ellos el programa es capaz de generar los cuerpos, contactos y elementos en general de la cadena y ensamblarlos en una posición inicial coherente. Estos elementos pasan a describirse a continuación.

RUEDAS DENTADAS Los parámetros geométricos que son necesarios definir para la realización de una rueda dentada se muestran en la Figura 47. De estas cotas tienen especial relevancia, para el caso de la escalera mecánica, el diámetro interior (root diameter), el radio del asiento del rodillo (roll radius) y el ángulo del asiento del rodillo (roll Seating gamma). A su paso por las ruedas dentadas, el programa establece contacto entre los rodillos de los eslabones y los dientes de las ruedas.

SIMPACK CHAIN assistant

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Figura 47. Definición de la geometría de las ruedas dentadas.

GUÍAS TENSORAS Estas guías, que denominaremos guías tensoras, sirven para guiar la cadena en su recorrido entre las ruedas dentadas. En el caso del modelizado de la escalera convencional resultan muy útiles para dar la forma inicial a la cadena. La geometría de la zona de contacto de las guías tensoras es muy limitada, ya que en el caso más general consiste en una sucesión de arcos de circunferencia. (Zona en rojo de la figura)

Figura 48. Definición de la geometría de las guías tensoras.

ESLABONES Existen eslabones de dos tipos, interiores y exteriores:

Eslabón interior Eslabones exteriores

Figura 49. Conexión entre eslabones interiores y exteriores.

Para cada uno de los tipos es posible modificar los datos geométricos (puede considerarse holgura entre ellos, por ejemplo) y las propiedades inerciales. La geometría de los eslabones puede definirse según los parámetros que se muestran en la figura.

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Figura 50. Parámetros de geometría izda.) Eslabón exterior, dcha.) Eslabón interior.

ELEMENTOS DE CONTACTO El modelo de cadena incluye varios contactos entre los diversos componentes de la cadena. Estos son los siguientes: 

Contacto entre los eslabones

Eslabón exterior

Eslabón interior Eslabón interior Figura 51. Contacto eslabón interior-eslabón exterior.

Se establece contacto entre las articulaciones de los eslabones. El bulón hueco del eslabón interior se aloja en el bulón del eslabón exterior. El contacto se establece entre la cara externa del primero y la cara interna del segundo. Este contacto se modeliza mediante una rigidez y amortiguamiento, también se puede definir un par de fricción entre los cuerpos. Las características de rigidez y amortiguamiento pueden ser lineales o no lineales. 

Contacto entre los eslabones y las guías tensoras

Guía tensora Figura 52. Contacto eslabón-guía tensora.

Se establece contacto entre las zonas laterales o flancos de cada uno de los eslabones y el perfil de la guía.

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Contacto entre los eslabones y las ruedas dentadas

Figura 53. Contacto eslabón-rueda dentado.

Se establece contacto entre el bulón de cada uno de los eslabones (en este caso, solo eslabones interiores) y los dientes de la rueda. Para estos dos últimos tipos de contacto, las características de rigidez y amortiguamiento que permite definir el programa son las mismas aunque son independientes del contacto entre eslabones.

PROCESO DE MODELIZACIÓN DE UNA CADENA CON SIMPACK CHAIN Los pasos a seguir para la construcción de un modelo de una cadena convencional con el módulo CHAIN se describen a continuación de forma esquemática:



Se crean las geometrías correspondientes a las ruedas dentadas y se define el tipo de juntas cinemáticas que tienen con el sistema inercial, así como su posición en el espacio. En este caso la junta cinemática a definir suele permitir el giro de la rueda en torno a un eje perpendicular al plano de la cadena.



Se crean las geometrías de las guías tensoras y se colocan en la posición correcta en el modelo.



Se define una de las guías tensoras como tensor de la cadena. Esta guía no estará fija en el sistema inercial, sino que se le permite un desplazamiento en alguna dirección y se restringe ese movimiento mediante un elemento de fuerza, como un muelle, que actúa como un tensor para la cadena.



Se define un elemento cadena, donde se define un conjunto de parámetros generales como son:



Paso de la cadena



Número de eslabones



Pretensado de la cadena



Cadena convencional o de rodillos

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IV.



Geometría y propiedades inerciales de los eslabones



Secuencia de paso de la cadena por las ruedas y guías tensoras y el sentido de giro en torno a ellas. Con esto el programa genera la traza de los puntos medios de la cadena.



El programa genera la cadena con los datos previamente definidos, ensamblando los distintos elementos que la conforman en su posición inicial.



Se actualizan las velocidades de todos los cuerpos.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO

El último análisis empleado ha sido de tipo estadístico. Este análisis nos permitirá extraer tendencias de un conjunto de simulaciones y caracterizar cada simulación con una serie de estadísticos como pueden ser la media y la varianza de una variable. El análisis estadístico no se ha empleado solamente para analizar, sino también como herramienta de diseño robusto de parámetros.

OBJETIVOS Como ya se ha introducido, se ha empleado el análisis estadístico con distintos objetivos, los cuales se exponen a continuación: 

Caracterización de variables y compactación de resultados.



Obtención de dependencia entre variables.



Explicación de ciertas variables (dependientes) en función de otras que han sufrido una variación paramétrica (independientes).



Diseño y análisis de experimentos, realizados mediante simulación.



Diseño robusto de parámetros.

MÉTODOS EMPLEADOS Los métodos estadísticos empleados varían en cada caso del objetivo perseguido, así que se asociarán dichos métodos a los objetivos ya expuestos. 



Caracterización de variables o

Para esto se ha recurrido a los estadísticos más comunes como son la media y la desviación típica de una población.

Análisis Clúster, para crear e identificar grupos comportamiento respecto a la variable a explicar.

Dependencia entre variables

con

distinto

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

Análisis de la varianza, para identificar la significancia de las variables independientes empleadas, así como su peso relativo en la explicación de la varianza de la variable dependiente.

Matriz de correlación, que permitirá ver la correlación entre las distintas variables independientes empleadas.

Explicación de variables o



Análisis por regresión múltiple, para obtener las distintas variables dependientes elegidas en función de las variables independientes seleccionadas.

Diseño de experimentos o

Diseño factorial

Diseño robusto, según los métodos Taguchi.

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Capitulo 5:

Modelos

Desarrollados Se han desarrollado varios modelos para el análisis estático parcial y total de los modelos que, posteriormente, se estudiará su comportamiento cinemático y dinámico. Estos análisis permitirán la obtención de guías para nuevos diseños, la definición de líneas de mejora de este diseño centenario y, sobre todo, la creación de una metodología de trabajo para analizar cualquier diseño relativo a las escaleras mecánicas. Este análisis supondrá un ahorro de tiempo y costes, al evitar la construcción de modelos con resultados no satisfactorios.

MODELOS ESTÁTICOS

Para el estudio estático de los diversos modelos, tanto convencionales como nuevos, se han desarrollado diversos programas en EXCELL y en MATLAB. A continuación se explicará un programa desarrollado en MATLAB que engloba los objetivos de todos los anteriores. Este programa consta de diversos bloques a los que se llama desde un programa principal con un esquema de funcionamiento como el que se muestra en la Figura 54, donde se han desglosado los bloques principales.

Figura 54. Flujo grama de funcionamiento del programa desarrollado en MATLAB.

El conjunto de bloques descritos definen paso a paso el funcionamiento del programa principal. En los siguientes apartados se describirán los bloques más importantes.

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 Geometría de la guía El formato de la geometría obtenida debe de ser una matriz con dos columnas y con tantas filas como puntos de la guía se han definido. La primera columna corresponderá a los valores de abscisas y la segunda a los correspondientes valores de ordenadas. Para obtener esta geometría puede procederse de diferentes maneras: 

Cargar un fichero *.mat, que es un fichero de datos que lo único que debe cumplir es con el formato previamente definido que debe tener la geometría. Este fichero se habrá creado al guardar una variable obtenida en la ejecución de otro programa. Permite optimizar el coste computacional.



Ejecutar un fichero *.m que proporcione como una matriz de dos columnas y tantas filas como puntos. Se debe conocer el nombre de la variable que almacena la geometría para poder llamarla desde el programa principal.



Ejecutar una función, que puede tener inputs tales como variables geométricas: radios, altura, número de puntos de representación por tramo, etc. Esta función deberá proporcionar como output una variable que defina la geometría en cuestión tal y como el programa principal va a entenderla. Esta forma de definir la geometría de la guía es la más dinámica pues permite la variación de parámetros y, mediante un bucle, simular tantos casos como queramos.

Para la creación del fichero, función o, incluso el fichero *.mat, es necesario haber programado la geometría de la guía deseada. Para esta programación se ha tenido en cuenta una sectorización de la geometría de la guía en tramos rectos y circulares, que se han creado mediante llamadas a dos funciones de utilidad. Esto se explicará de forma más detallada en el modelo dinámico, puesto que esta forma de generar la geometría es común para el análisis estático y para el posterior análisis dinámico en SIMPACK. Esto nos permitirá por tanto analizar las mismas curvas desde dos puntos de vista distintos, estáticos y dinámicos.

 Módulo de cálculo Una vez obtenida la geometría de la guía, y definidos los valores del paso de la cadena y el número de eslabones a colocar en la geometría, se entra en el bloque de cálculo. Este bloque comienza con la inicialización de variables así como definición de los valores de carga por rodillo y precarga o tensión inferior asociada al eslabón que articularía con el primer rodillo, tal y como se definió en el Capítulo 4, en la página ¡Error! Marcador no definido.. En este bloque se llama a una función que calcula: 

La posición de todos los rodillos a partir de la posición del rodillo inicial. Esta posición se calcula mediante un bucle en el que, a partir del punto inicial, se va calculando la distancia de este a los siguientes puntos de la curva hasta que esta distancia supera el valor de paso del eslabón, en este momento, se almacena ese valor como la posición del siguiente rodillo y se procede al cálculo de las coordenadas del siguiente. Este bucle necesita un alto número

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de puntos de definición de la geometría de la curva para que la precisión sea elevada. 

Los vectores directores de la reacción, tensión inferior y tensión superior con origen en el centro de cada rodillo. Estos vectores se han representado en la Figura 55. Con estos vectores conocidos, es sencillo establecer el equilibrio estático tal y como se describió en la Ecuación 3. Los vectores de tensión son sencillos de calcular una vez que se tienen las posiciones de los rodillos. El vector director de la reacción se ha calculado como un vector normal a la guía, definiendo esta normalidad mediante el producto vectorial de los vectores:



Vector definido para cada rodillo como el vector que une los puntos anterior y posterior al punto del rodillo, obtenidos del la matriz que contiene la geometría de la guía.



, normal al plano del dibujo, formando una terna a derechas con los vectores unitarios

Figura 55. Vectores directores para el cálculo del equilibrio estático.

Una vez obtenidos los vectores directores, se plantean para los n rodillos el equilibrio estático definido según la Ecuación 13 por un sistema de dos ecuaciones escalares y dos incógnitas, y , ya que el y la son conocidas siempre.

Ecuación 13. Sistema de ecuaciones para el equilibrio estático.

 Tensión y Reacción en la zona de volteo En las zonas de volteo es donde se dan los valores máximos de tensión de la cadena y de reacción sobre la guía. La reacción, como se expresa en la Ecuación 13, depende del peso y de las tensiones. En las zonas con una relación cuerda/arco pequeña la componente de la reacción debido a la proyección de las tensiones inferior y superior crece drásticamente, por esto es muy interesante el estudio de estas variable sólo en la zona de volteo, ya que es la zona más crítica para la guía y dónde los rodillos se ven sometidos a mayores aplastamientos.

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Primero se estudiará la forma de la curva de reacción para la guía circular convencional, que es una aproximación a la trayectoria que siguen en la realidad, puesto que los rodillos engranan en las ruedas dentadas: motriz y dirigida.

CURVA DEFINIDA POR UN RADIO En la zona de volteo para el diseño de eslabón de 405 mm., suponiendo una precarga en la parte inferior de la cabecera de debajo de 3000 newtons, y un peso por rodillo de 120 newtons, la mitad del peso del un peldaño. Los pasos para la programación de este cálculo se detallan a continuación: 1) Se suponen cuatro rodillos dispuestos como muestra la siguiente figura. 0.25

0.2

0.15

0.1

0.05 Recorrido Recorrido Recorrido Recorrido

Rodillo Rodillo Rodillo Rodillo

1 2 3 4

-0.05

-0.1

-0.15

-0.2

-0.25 -0.3

2 -0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Figura 56. Colocación rodillos en la guía para el cálculo de las reacciones y tensiones en el volteo.

2) Se impone una velocidad lineal constante de 0.5 m /s al rodillo 1, y a partir de él se calculan las posiciones de los otros tres. De esta forma se puede calcular el perfil de velocidad por superposición. 3) El rodillo 1 recorre exactamente L, la longitud de un eslabón, 405mm. en este caso. Esto se realiza en el número de pasos que se fijen. 4) Para cada paso se calcula el equilibrio estático, partiendo de que el rodillo 1 tiene una tensión por su derecha de 3000 newtons. En este equilibrio intervienen las tensiones de los eslabones y la reacción en la guía. Para cada rodillo, se ha denominado tensión inferior a la que tendrá el eslabón que le une con el rodillo anterior, y superior al del otro eslabón que está articulado en él. Después se superponen las tensiones y reacciones almacenadas para cada rodillo .Para un radio primitivo de 226 mm., menor que el crítico: 202.5 mm., se tiene la siguiente distribución.

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Figura 57. Reacciones y tensiones en el volteo.

Si variamos el radio desde uno cercano al mínimo hasta el correspondiente a que entrasen dos eslabones enteros en la zona curva de la zona de volteo, se obtiene la siguiente gráfica, que representa los valores máximos de la reacción para cada radio. 4

4.5

x 10

Reacciones máximas en la guía en función del radio de volteo primitivo Precarga=3000N Peso Por Rodillo=120N

Valor Máximo de REACCION (N)

3.5

2.5

1.5

0.5 0.2

0.22

0.24 0.26 Radio de VOLTEO primitivo (m)

0.28

0.3

Figura 58. Valores máximos de las reacciones en el volteo en función del radio.

Cuando nos acercamos al radio crítico la reacción se dispara, tendiendo a infinito, mientras que a partir de los 220 mm aproximadamente, nos encontramos con reacciones por debajo de 10 kN.

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 EFECTO DE LA VARIACIÓN DEL PASO DEL ESLABÓN Para estudiar el efecto de la variación del paso manteniendo el radio constante de volteo se han simulado tres pasos de eslabón distintos. Los pasos de eslabón elegidos, así como los valores máximos y medios de la tensión y reacción obtenidos en la simulación se han recogido en la Tabla 1. En los tres casos se ha supuesto un peso por rodillo constante e igual para cada uno de los rodillos. El peso supuesto por rodillo, 62.5 N, es muy pequeño por lo que se considera que su influencia en el equilibrio de fuerzas en ínfima. En la realidad sólo en el primer caso es cierto, puesto que en los otros el peso correspondiente al peldaño afecta a uno de cada dos y a uno de cada tres, de los modelos segundo y tercero, respectivamente. Esto quiere decir que las tensiones y reacciones serían aún algo menores para dichas simulaciones. Estos modelos así simulados permiten estudiar la enorme influencia de la relación cuerda/arco tiene en las variables estáticas. Esta tendencia también se manifiesta en las variables cinemáticas, aumentando como veremos más adelante, el efecto de poligonalización de la velocidad al disminuir esta relación.

Paso

NºRodillos Cuerda/arco

Rmax

Rmedia

Tsup_max Tsup_media

0,405

0,82699334

8018,48 2983,16

6000,27

3584,23

0,2025

0,96690794

2886,08 1218,65

3333,11

3091,53

0,135

0,98576835

1815,36

3141,73

3044,17

798,11

Tabla 1. Efecto de la variación del paso para una curva de volteo de radio constante.

En la Figura 59 se han representado las cuatro columnas de la derecha de la Tabla 1 en ordenadas frente a la relación cuerda/arco. Como puede observarse, al aumentar esta relación, es decir, cuando disminuye el paso de la cadena, los valores de tensión y reacción disminuyen de forma drástica sus valores. También se puede comprobar que al aumentar esta relación los valores medio y máximo de la tensión convergen a valores cercanos, acortando la reacción también su distancia entre su valor máximo y su valore medio. Esta tendencia supone que existe un aumento de la robustez del sistema para relaciones cuerda/arco elevadas.

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Figura 59. Reacción y tensión frente a la relación cuerda/arco.

En las siguientes gráficas se recogen los resultados de estas tres simulaciones, dónde pueden observarse los efectos del cambio del paso del eslabón, efectos que han sido compactados previamente en la Tabla 1 y en la Figura 59. En la columna de la izquierda se representan los eslabones colocados en una de sus pasos de cálculo sobre la geometría que seguirían los centros de los rodillos. En la figuras de la columna derecha se han representado la reacción y tensión de dicho caso.

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Eslabones colocados en la geometría

Curvas de Tensión y Reacción

Figura 60. Posición de los eslabones y gráficas de tensión y reacción para tres pasos distintos del eslabón de la cadena.

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CURVA DEFINIDA POR DOS RADIOS Y UNA ZONA RECTA INCLINADA En este caso se ha estudiado la reacción sobre la guía y la tensión sobre la cadena para una curva de volteo definida por dos radios y por el ángulo de inclinación de una zona inclinada, tangente a ambas curvas. Se ha supuesto un paso de eslabón de 0.2025 m., esto es, dos eslabones por peldaño. Este modelo, analizado con el programa principal de MATLAB, tiene parametrizado la creación de la geometría en función de los tres parámetros indicados en la Figura 61, dos radios y un ángulo.

Figura 61. Curva definida por dos radios y un ángulo.

Se muestran dos ejemplos de la simulación de este modelo de geometría en la Figura 62. Este modelo ha sido estudiado estadísticamente para obtener tanto la reacción como la tensión máximas y medias explicadas por esos tres parámetros que definen la curva, R1, R2 y Ang_inc.

Número R1 (mm.)

R2 (mm)

Ang_inc (ª)

398

111.2756 270.7362

578

152.126

288.8659

Tabla 2. Parámetros de definición para dos casos del modelo de curva de volteo definida por dos radios un ángulo.

En la Figura 62 se muestran dos casos de esos 1000 calculados. Los casos presentados, el 398 y el 578 presentan los parámetros expuestos en la Tabla 2. En estas figuras se puede observar la diferencia existente en el perfil tanto de reacción como de tensión debido al cambio de parámetros.

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Figura 62. Geometría, reacción y tensión en una zona de volteo definida por dos radios y una zona recta inclinada.

CURVA ANTIPOLIGONALIZACIÓN En este caso, la geometría introducida como curva de volteo para el cálculo de la reacción en la guía y la tensión de la cadena ha sido una curva antipoligonalización, recordando que estas curvas tienen la propiedad de asegurar una velocidad de salida igual a la velocidad de entrada, tal y como se muestra en la Figura 63. Estas curvas dependen de la longitud del eslabón (L) y de la distancia vertical entre guías (D-2*Rodillo) y el radio del rodillo, ya que así definen la distancia vertical entre centro de rodillos (D).

Figura 63. Esquema de funcionamiento de las guías antipoligonalización.

En este caso se ha calculado para una cadena de un eslabón por peldaño, esto es, con un paso de 0.405m. Para este caso se ha tenido en cuenta una carga vertical por rodillo de 120 N y se ha supuesto una carga horizontal en el primer eslabón, debido a la precarga, de 3000 N, según se indica en la Figura 64.

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Figura 64. Distribución de fuerzas para el caso de la curva de volteo antipoligonalización.

En la Figura 65 se puede observar una forma simétrica tanto de la reacción como de la tensión, algo poco habitual. La simetría de la tensión se debe precisamente a la propiedad de la curva usada, puesto que al mantener la velocidad de salida constante, la tensión de salida debe ser constante.

Figura 65. Curvas de reacción y tensión en el volteo para una curva antipoligonalización.

 Tensión y Reacción en toda la escalera Empleando el mismo programa de MATLAB empleado hasta ahora, basta ampliar la geometría de la zona de volteo a toda la guía, así como el número de eslabones necesarios para recorrerla. En este apartado se han diferenciado dos casos, uno es el caso de una guía convencional, con todas las zonas de transición circulares, y un segundo caso, en el que se considera la existencia de curvas antipoligonalización en esas transiciones. En la mayoría de los análisis estáticos presentados no se ha tenido en cuenta la fuerza que aplica el sistema de tracción para equilibrar la tensión descompensada del sistema.

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GUÍA CON TRANSICIONES CIRCULARES En este apartado se mostrarán modelos en los que todas las curvas de transición entre las distintas zonas rectas, son circulares. Dada la flexibilidad del programa de MATLAB se podría analizar para cualquier radio, altura y longitud de eslabón, tanto la reacción sobre cada rodillo, cargado o no, como la reacción sobre la guía para un paso de eslabón o la tensión de la cadena de rodillos. Se van a desarrollar únicamente dos ejemplos que se emplearán posteriormente como punto de comparación con los modelos dinámicos desarrollados.

 GUÍA DE 1.5 METROS DE ALTURA Los parámetros de este modelo están basados en los valores de definición del modelo dinámico realizado del que parte este Trabajo Fin de Máster. Un modelo desarrollado en SIMPACK, realizando el diseño de las cadenas en el módulo CHAIN. Los parámetros empleados en el modelo estático están recogidos en la Tabla 3. Estos parámetros son parámetros de entrada para la función que calcula la geometría de la guía que, como se ha dicho antes, son susceptibles de variarse y el mismo programa calcularía los nuevos perfiles de fuerzas. PARÁMETRO Altura (m) Radio volteo (m)

VALOR 1.5 0.44082275

Radios de transición R1 y R3 (m)

0.74

Radios de transición R2 y R4 (m)

1.59

Eslabones por peldaño Paso del eslabón (m) Número eslabones simulación

3 0.1667 79

Peso en rodillo cargado (N)

62.5

Peso en rodillo descargado (N)

2.5

Tabla 3. Parámetros de definición del modelo de guía circular de 1.5m. de altura para el modelo estático.

En este caso y en todos los que haya más de un eslabón por peldaño hay que tener en cuenta diversos aspectos que se listan a continuación:

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Aunque existan rodillos en cada articulación que une dos eslabones, solamente uno de los rodillos de los que haya por peldaño, estará unido al peldaño y, por tanto, será el único que soportará una reacción debida al peso que le corresponda del peldaño de la carga que exista sobre él. Los rodillos situados entre estos rodillos, llamémoslos rodillos de carga, sólo soportarán su propio peso.



La otra componente que produce reacción, la tensión de los eslabones, se produce en todos los rodillos, los de carga y el resto.



Hay que diferenciar entre la reacción que recibe un rodillo de carga y otro cualquiera a lo largo de su recorrido por la guía y la reacción que recibe la guía. Esto se debe a que, si recorremos un solo paso de eslabón, la reacción de la guía será igual y de sentido contrario a la que reciba el rodillo que pase por ella. Así, será mayor por las zonas que pasen los rodillos de carga que los otros rodillos, sometiéndose así la guía a ciclos de carga y descarga continuamente.

En nuestro caso, existen tres rodillos por peldaño, uno cargado y dos descargados. En la Figura 66 se muestra la reacción sobre un rodillo de carga a lo largo de un ciclo completo.

Figura 66. Curva de reacción sobre un rodillo cargado de la guía circular de 1.5m de altura y tres eslabones por peldaño.

Aunque en el modelo solamente se ha dibujado una guía, se puede deducir la existencia o la necesidad de la existencia de las contraguías en las zonas de transición, dónde la reacción cambia de signo debido a su componente debido a la tensión de la cadena. Esto se puede apreciar en el diagrama polar representado en la Figura 67, que representa mediante un offset escalado normal al recorrido del centro de los rodillos, el valor y signo la curva de reacción de la Figura 66.

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Figura 67. Diagrama polar de la curva de reacción sobre un rodillo cargado de la guía circular de 1.5m de altura y tres eslabones por peldaño.

Si representamos la reacción de uno de los rodillos descargados sobre el diagrama polar representado en la Figura 67, puede observarse en la Figura 68, que las curvas, representadas a la misma escala, coinciden en la mayoría de los puntos. Este resultado es lógico puesto que la diferencia de carga entre un rodillo y otro es de 60 N. En esta gráfica se pone de manifiesto la mayor importancia de la tensión como fuente de reacción frente al peso para el modelo estudiado.

Figura 68. Diagrama polar de las curvas de reacción de un rodillo cargado y otro descargado del modelo de la guía circular de 1.5m de altura y tres eslabones por peldaño.

Para observar mejor la Figura 68, se ha realizado un zoom de la misma alrededor de las zonas de cabecera, que se muestra en la Figura 69. En estas figuras aún no se aprecia realmente dónde hay diferencia y dónde no, para esto se han restado ambas curvas en los puntos en los que están definidas ambas, se han restado ambas gráficas y se ha aumentado el factor de escala lo suficiente para que estas diferencias se hagan visibles.

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Figura 69. Zoom del diagrama polar de la Figura 68.

El resultado de la operación descrita en el párrafo anterior se muestra en la Figura 70. Como puede apreciarse, estas diferencias se hacen visibles al inicio y a la finalización de las zonas curvas, manteniendo una diferencia constante en las zonas rectas, como cabía de esperar, puesto que la única diferencia es que varía el valor de la componente de reacción debida al peso.

Figura 70. Diagrama polar de la resta de reacciones de los rodillos cargado y descargado del modelo de una guía circular de 1.5 metros de altura.

Una vez estudiado realizados los estudios correspondientes a la reacción, procedemos estudiar la tensión de la cadena. Esta dependerá del eslabón en el cual se mida, pues existen dos tipos de eslabones: 

Eslabones que articulan en uno de sus extremos en un eje coincidente con el eje de un rodillo cargado.

Figura 71. Tensión durante un ciclo de un eslabón que articula con un rodillo cargado.

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Eslabones que articulan en ambos extremos con rodillos descargados.

Figura 72. Tensión durante un ciclo de un eslabón que articula con dos rodillos descargados.

En las gráficas anteriores se observan las mismas conclusiones comentadas anteriormente en el estudio de la reacción: los resultados de la tensión para cualquier eslabón es prácticamente la misma, aumentado ligeramente en aquellos que están articulados en los llamados rodillos de carga.

 GUÍA DE 4.5 METROS DE ALTURA En este apartado se van a simular el modelo de una guía de 4.5 metros de altura con transiciones circulares. Se ha elegido esta altura porque coincide con la altura correspondiente a uno de los modelos dinámicos y esto nos permitirá la comparación entre ambos. Se realizará la simulación para un modelo de un eslabón por peldaño, usando la misma geometría de guía que se empleará en el correspondiente modelo dinámico. Los parámetros generales del modelo se recogen en la Tabla 4.

PARÁMETRO Altura (m) Radio volteo (m)

VALOR 4.5 0.196326859

Radios de transición R1 y R3 (m)

1.05

Radios de transición R2 y R4 (m)

1.05

Eslabones por peldaño Paso del eslabón (m) Número eslabones simulación

1 0.405 58

Peso en rodillo cargado (N)

62.5

Peso en rodillo descargado (N)

2.5

Tabla 4. Parámetros de definición del modelo de guía circular de 4.5m. de altura para el modelo estático.

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En este caso todos los rodillos de la cadena articulan con los peldaños, es decir, todos están cargados. En la Figura 73 se muestra la tensión (rojo) y la reacción (azul) correspondiente a una guía completa con todas las zonas de transición circulares de radio constante. Esta representación corresponde con los parámetros de carga definidos en la Tabla 4, es decir, suponiendo que la escalera está libre de pasajeros.

Figura 73. Curvas de reacción y tensión para una guía circular completa de 4.5m. de altura. Caso de carga: escalera en vacío.

Si añadimos la carga por rodillo correspondiente a los pasajeros en la zona accesible a los mismos, obtenemos un perfil como el que muestra la Figura 74. En esta simulación simplemente se ha cambiado la carga de los rodillos correspondientes con los peldaños pisables por los pasajeros, que pasa de ser 62.5 N a ser 462.5 N, suponiendo que el peldaño es lo suficientemente ancho para permitir que suban dos personas a la vez, asignando una masa de unos 80kg por persona y asignando de esos 80 kg, unos 40 a cada rodillo de cada lado. El otro rodillo de este lado, el rodillo que no pertenece a la cadena, no se ha analizado.

Figura 74. Curvas de reacción y tensión para una guía circular completa de 4.5m. de altura. Caso de carga: escalera llena.

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Como se observa en la figura anterior, la tensión del inicio y del final del ciclo no coincide, existe una tensión descompensada. Esta tensión debe de ser compensada por el sistema de tracción que corresponda, en la zona que se le asigne. Así, si suponemos el sistema de tracción tradicional situado en la cabecera superior, los perfiles de tensión y reacción cambian, transformándose la Figura 74 en la figura siguiente.

Figura 75. Curvas de reacción y tensión para una guía circular completa de 4.5m. de altura. Caso de carga: escalera llena con tracción convencional.

GUÍA CON TRANSICIONES ANTIPOLIGONALIZACIÓN Una vez calculadas las distintas distribuciones de tensión y reacción para perfiles circulares, combinación de circulares y rectos y perfiles antipoligonalización, se ha observado que el que parece más conveniente es el perfil antipoligonalización, pues presenta, fuera de las zonas de transición, un perfil de tensión más suave. Para el cálculo de las reacciones y tensiones siguiendo los centros de los rodillos la geometría de una guía que se eleva 4.5 metros en altura se ha supuesto el mismo esquema de carga que se muestra en la Figura 64. Es sólo un ejemplo de carga que muestra no obstante el perfil típico para esta geometría. Estos casos de carga se variarán cuando se quiera observar el comportamiento de la escalera bajo otro tipo de carga o cuando se compare con el modelo dinámico más adelante. Se observa que los máximos se alcanzan en las zonas curvas de volteo inferior (primer máximo) y superior (segundo máximo). Los máximos dependen principalmente del valor de la tensión antes de entrar en dichas zonas, por lo que bastaría variar el valor de 3000 N introducido en el modelo en el que se ha estudiado sólo el volteo para obtener esos valores máximos. La tensión de las zonas horizontales es prácticamente constante, mientras que en las zonas inclinadas, aumenta con una frecuencia que coincide con el paso del eslabón y con una amplitud muy baja, puesto que el aumento de esta tensión se debe al peso por rodillo supuesto y, en este caso, es como si estuviese la escalera vacía.

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Figura 76. Curvas de reacción y tensión para una guía antipoligonalización completa de 4.5m. de altura. Caso de carga: escalera en vacío.

Para una mejor visualización de cómo varían la reacción y la tensión a lo largo de la geometría de la guía, se ha generado un programa en MATLAB que dibuja como offset de una geometría dada, la guía en este caso, las propiedades que se indiquen, en este caso, la reacción y la tensión, aplicando una escala conveniente para su correcta visualización. Puede verse la tensión y reacción recogida en la Figura 76 dibujada de esta manera alrededor de la guía en la Figura 77.

Figura 77. Diagrama polar de reacción y tensión sobre una guía antipoligonalización completa de 4.5m. de altura.

Para una escalera de este tamaño es muy difícil de observar con claridad la variación de estas variables. Con este objeto se ha creado la Figura 78, en la que pueden observarse ampliadas las zonas de los dos volteos. En estas dos gráficas recogidas en dicha figura se aprecia claramente dónde y cómo aumenta y disminuye la reacción sobre la guía (en este caso igual a la que sufre cualquier rodillo), y la tensión sobre la cadena de rodillos.

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Figura 78. Diagrama polar ampliado en la zonas de volteo de la guía antipoligonalización completa de 4.5m. de altura.

II.

MODELOS CINEMÁTICOS

Como ya se ha indicado previamente, el análisis cinemático se ha llevado a cabo en su gran mayoría mediante simulaciones de modelos realizados en CATIA V5. Los modelos realizados en este soporte de CAD 3D se corresponden en su mayoría a modelos simulados estática y dinámicamente. Los modelos cinemáticos han servido como filtro de viabilidad de algunos modelos nuevos, ya que permite medir interferencias entre los distintos cuerpos que forman el denominado product. Las simulaciones realizadas con los modelos presentados en este capítulo permitirán observar todas las variables cinemáticas para las cuales se han dispuesto los sensores pertinentes y servirán también, estos resultados, para evaluar la importancia de la componente dinámica en estas variables medidas.

 Escalera Mecánica Convencional Como primer modelo cinemático se muestra el correspondiente a una escalera mecánica convencional. Al igual que en el resto de los modelos, sólo se han incluido una representación de peldaños y eslabones, al igual que se ha simulado el movimiento de estos en una sola guía debido a las características intrínsecas de este tipo de modelos. La altura de las guías a recorrer no es demasiado elevada puesto que esto no aporta nada a la caracterización de las variables cinemáticas medidas. En la Figura 79 se muestra en perspectiva el modelo que posteriormente se describirá con más detalle y del que se presentarán los resultados obtenidos.

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Figura 79. Perspectiva del modelo cinemático de una escalera convencional.

DESCRIPCIÓN DEL MODELO  GEOMETRÍA En la Figura 80 puede observarse la forma de las dos guías, por la que ruedan los rodillos pertenecientes a la cadena (guía externa) y por la que ruedan los rodillos internos que no forman parte de ninguna cadena (guía interna). La altura que salva esta escalera es de 1.5 metros.

Figura 80. Vista lateral del modelo cinemático de una escalera convencional.

En la Tabla 5 se recogen los principales parámetros que resumen este modelo en cuanto a geometría se refiere.

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PARÁMETRO

MEDIDA

Altura salvada (m)

1.5

Ángulo de inclinación (º)

Radios de transición guía interior (m) Radios de volteo guía interior (m) Radios de transición guía exterior (m) Radios de volteo guía exterior (m)

1.2 y 1.5 0.2 1.2 y 1.5 0.4

Paso eslabón de la cadena(m)

0.135

Radio del rodillo (m)

0.03

Número de rodillos por peldaño

Tabla 5. Parámetros de definición del modelo de guía circular de 1.5m. de altura para el modelo cinemático.

Para simular cinemáticamente este modelo se ha definido un ángulo director que es el correspondiente al ángulo girado por el rodillo seleccionado (ver Figura 81) respecto a una pieza auxiliar que se ha añadido para facilitar la definición de la ley de movimiento. Esta pieza se ha situado con una arista coincidente con el eje de revolución.

Figura 81. Detalle del rodillo conductor en el modelo cinemático de la escalera convencional.

Como ley de movimiento se ha definido la velocidad angular del rodillo director constante e igual a la velocidad necesaria para que la velocidad lineal de los puntos de rodadura sea igual a 0.5m/s.

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Figura 82. Comandos definidos para simular el modelo cinemático de dos eslabones por peldaño.

Esto se ha conseguido definiendo dos comandos que se muestran en la Figura 82, uno de longitud y otro de ángulo, asociándole una ley a cada uno, que se muestran a continuación en la Ecuación 14.

Ecuación 14. Comandos y leyes de movimiento asociadas para el modelo cinemático de dos eslabones por peldaño.

Esta velocidad angular constante asegura una velocidad lineal del eje del rodillo respecto de una superficie recta igual a 0.5m/s, mientras que en las zonas en las que el radio es menor que infinito, variará según las siguientes ecuaciones.

Figura 83. Esquema para el cálculo de la relación teórica entre las velocidades lineales del eje y de un punto de la periferia del rodillo, cuando rueda por dentro de una curva circular.

Ecuación 15. Relación entre las velocidades lineales del centro del rodillo y de un punto de su periferia cuando el rodillo rueda por dentro de la curva.

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Realizando el mismo razonamiento, se llega a que para las curvas en las que el rodillo rueda por fuera, se obtiene la relación entre velocidades lineales que se muestra en la Ecuación 16.

Ecuación 16. Relación entre las velocidades lineales del centro del rodillo y de un punto de su periferia cuando el rodillo rueda por fuera de la curva.

En ambos caso se comprueba que si el radio de la guía tiende a infinito, ambas velocidades lineales tienden a valer lo mismo ya que se anula el segundo miembro de cada ecuación. Se recuerda que el radio del rodillo considerado en los modelos cinemáticos es de 0.03metros.

0.400

0.4625

0.5375

1.200

0.4875

0.5125

1.500

0.49

0.51

Tabla 6. Valores de la velocidad lineal del eje del rodillo director para el modelo de 3 eslabones por peldaño.

Estos resultados se pueden comprobar sensorizando el prisma que acompaña al rodillo director en todo su recorrido, como se muestra en la Figura 84, dónde los valores predichos coinciden totalmente con los obtenido por CATIA, algo lógico teniendo en cuenta que el análisis realizado es cinemático, pues no tiene en cuenta otra cosa que la geometría y las leyes de movimientos definidas.

Figura 84. Velocidad lineal del eje del rodillo director para el modelo cinemático de tres eslabones por peldaño.

En el resto de modelos dinámicos se aplicarán las mismas leyes de movimiento que en este para facilitar la comparación posterior.

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 SENSORIZACIÓN Para explicar la salida de resultados es necesario conocer la denominación de los cuerpos sensorizados y cómo se han definido dichos sensores. Los sensores cinemáticos que permite definir CATIA son sensores entre un cuerpo de referencia y un punto. Para la obtención de las velocidades absolutas se ha elegido como cuerpo de referencia cualquiera que esté fijo, es decir, cualquiera de las dos guías. Si se elige cualquier otro cuerpo de referencia, se obtendrán velocidades relativas, que también es interesante. Además de los sensores cinemáticos, como ya se introdujo en el Capítulo 4, existen la posibilidad de controlar la existencia o no de interferencias así como la distancia mínima entre dos cuerpos. También se ha medido la existencia de interferencia entre cualquier par de cuerpos del modelo. Esta medida puede actuar a modo de filtro de tal manera que se pare la simulación si existe penetración entre dos cuerpos. En la Figura 85 se indica la nomenclatura para poder entender la descripción de sensores que se realiza posteriormente: denominación de los peldaños e ilustración de un punto de ejemplo donde puede medirse la velocidad absoluta de cada peldaño respecto a una guía.

Figura 85. Nomenclatura y sensorización de los peldaños del modelo cinemático de escalera. Convencional.

En este modelo se han definido los siguientes sensores cinemáticos: 



De velocidad absoluta o

Entre una guía y el peldaño inferior

Entre una guía y el peldaño medio

Entre una guía y el peldaño superior

De velocidad relativa o



De distancia mínima o

103

Entre el peldaño medio y el peldaño superior

Entre el peldaño inferior y el peldaño medio

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación 

De interferencia o

Total: entre cada cuerpo con el resto.

RESULTADOS OBTENIDOS La distancia mínima entre dos peldaños se muestra en la Figura 86, para esto se recuerda que se estableció el sensor entre los peldaños inferior y medio. La distancia máxima se alcanza como es lógico en los volteos, estando dicho valor entorno a los 49mm, mientras que el valor mínimo se alcanza en las zonas de transición, alcanzando el valor de 0.9319 mm. En las zonas rectas se mantiene constante esta distancia, siendo de 3 mm para las zonas horizontales y de 2.08mm en las inclinadas.

Figura 86. Distancia mínima entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica convencional.

En la Figura 87 se muestran las velocidades lineales absolutas frente al tiempo de simulación, se han sensorizado los tres peldaños coincidiendo la nomenclatura de la gráfica con la expuesta en la Figura 85. Se observa que la velocidad del peldaño correspondiente al rodillo director es la más baja de las tres, manteniéndose constante e igual a 0.5m/s en los tramos en los que el peldaño no voltea. Esta velocidad se ve amplificada en el peldaño del medio, llegando al valor máximo de 0.6811 en el peldaño superior. Este aumento de la velocidad pone de manifiesto la existencia del efecto cadena o poligonalización de la velocidad, que se transmite de unos eslabones a otros.

Figura 87. Velocidad linear absoluta de cada peldaño del modelo cinemático de escalera convencional.

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La variación de la distancia entre los peldaños respecto al tiempo mostrado en la figura anterior, no proporciona la velocidad relativa entre ellos, que se muestra en la Figura 88. Esta velocidad debe ser controlada al igual que la existente entre todos los componentes de la escalera accesibles al pasajero, pues pueden ser fuentes de accidentes. La velocidad relativa máxima es de 0.168764 m/s.

Figura 88. Velocidad relativa entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica convencional.

 Modelo con dos eslabones por peldaño En este apartado se va a proceder a la realización de los mismos pasos que para el modelo de tres eslabones por peldaño. La longitud de eslabón aquí empleada no es tan común como la anterior y la de un eslabón por peldaño. Su estudio se justifica puesto que un modelo de escalera mecánica convencional con dos eslabones por peldaño disminuye el número de piezas frente al diseño habitual y la amplitud del efecto poligonalización será menor que en el caso de un solo eslabón por peldaño. Se puede decir pues que este diseño corresponde a un diseño intermedio entre los otros dos que se proponen en el apartado de modelos cinemáticos.

DESCRIPCIÓN DEL MODELO Este modelo, a diferencia del anterior, tiene dos eslabones por peldaño, por lo que su paso es de 202.5mm. Este modelo se ha simulado con la misma geometría de guía que el anterior para facilitar la comparación entre ambos. Como puede observarse en la Figura 89, tan solo ha cambiado la disposición de los eslabones respecto al modelo anterior.

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Figura 89. Perspectiva del modelo cinemático de escalera convencional con dos eslabones por peldaño.

 SENSORIZACIÓN La sensorización es la misma que para el caso de tres eslabones por peldaño, como puede comprobarse en la Figura 90. Se ha mantenido también la nomenclatura.

Figura 90. Sensores principales para el modelo cinemático de una escalera mecánica con dos eslabones por peldaño.

RESULTADOS OBTENIDOS Análogamente al anterior modelo se muestra en primer lugar la distancia mínima entre el peldaño inferior y medio, en la Figura 91. La distancia mínima se establece en 1.16 mm, que se alcanza en una zona de transición y la máxima, de 50.26 mm, se obtiene en el volteo. La distancia mínima es menor que en el caso de los tres eslabones por peldaño, y la máxima es similar. En las zonas rectas, ya sean horizontales o inclinadas, se mantiene como es obvio los mismos valores.

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Figura 91. Distancia mínima entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica con dos eslabones por peldaño.

Los perfiles de velocidad obtenidos de la sensorización de los tres peldaños están representados en la Figura 92. En este caso se comprueba que la tendencia del anterior modelo se mantiene en la medida que según nos alejamos del rodillo director el valor máximo de la velocidad se mantiene prácticamente constante, existiendo diferencias tan sólo del orden de la cien milésima.

Figura 92. Velocidad linear absoluta de cada peldaño del modelo cinemático de escalera mecánica con dos eslabones por peldaño.

La velocidad relativa máxima entre los peldaños ha disminuido tan sólo 6 diezmilésimas, por lo que puede considerarse constante respecto del anterior modelo.

Figura 93. Velocidad relativa entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica con dos eslabones por peldaño.

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OTROS DISEÑOS DE DOS ESLABONES POR PELDAÑO En este apartado se ha analizado la viabilidad cinemática del empleo de curvas de volteo con radio variable con el objeto de reducir la distancia entre guías en las zonas de cabecera. Al disminuir el radio sensiblemente de las guías, aumenta considerablemente el efecto de poligonalización de la velocidad. Así, se ha simulado el modelo mostrado en la Figura 94.

Figura 94. Modelo cinemático de una guía definida en el volteo por dos radios un una zona inclinada.

Para la simulación se ha definido una ley de velocidad lineal constante para un rodillo de los que articulan con los peldaños, que corresponde con el rodillo azul inferior de la Figura 94 (driving roller). Este modelo está en desarrollo y sólo se presentarán los resultados correspondientes a la velocidad, que se muestran en la Figura 95. En esta figura se observa que los máximos valores de velocidad son menores que en el caso de volteos con radio constante, lo que abre una línea de investigación futura.

Figura 95. Velocidad lineal de los rodillos de peldaño para el segundo modelo cinemático de una escalera con dos eslabones por peldaño.

 Modelo con un eslabón por peldaño Este modelo correspondería con el modelo que menos piezas tiene si lo comparamos con los diseños de cadena con dos y tres eslabones por peldaño. En este modelo todos los eslabones articulan en rodillos correspondientes a peldaños. Como ya se justificó previamente, no pueden existir problemas de interferencia entre peldaños consecutivos por la propia construcción geométrica del modelo para cualquier geometría habitual de la guía. Este diseño, mostrado en la Figura 96, presenta un eslabón con una longitud de 0.405 m.

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Figura 96. Modelo cinemático de una escalera mecánica con un eslabón por peldaño.

DESCRIPCIÓN DEL MODELO Al igual que en los dos modelos previos de tres y dos eslabones por peldaño respectivamente, no se ha modificado nada de la geometría de la guía inicialmente descrita para el modelo de escalera convencional. En la Figura 97 se muestran las dimensiones relativas a la huella del peldaño y la longitud del eslabón. Su diferencia, igual a 3mm es la distancia mínima entre peldaños que presentan en tramos horizontales.

Figura 97. Definición de dimensiones en el modelo cinemático de un eslabón por peldaño.

La sensorización de este modelo es similar a la ya descrita para los modelos de tres y dos eslabones por peldaño. La forma de definir el movimiento mediante leyes es idéntica a la descrita en la Ecuación 14, siendo el perfil de velocidad del prisma que acompaña al rodillo director, el mismo que el mostrado en la Figura 84. A continuación se procederá a mostrar los resultados obtenidos para este modelo.

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RESULTADOS OBTENIDOS Como primer resultado de este modelo dinámico, y siguiendo las pautas seguidas en los modelos anteriores, se muestra la distancia mínima entre dos peldaños. En este caso el valor máximo es de 57.1662 mm y la mínima es de 2.08 mm, que se alcanza en la zona recta inclinada. Como puede comprobarse este valor máximo es unos 7 mm mayor que en los otros dos casos, no apareciendo en los volteos ningún pico. El valor mínimo también es mayor, del orden del doble que los valores mínimos de los otros casos.

Figura 98. Distancia mínima entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica con un eslabón por peldaño.

En segundo lugar se muestran los perfiles de velocidades correspondientes a los tres peldaños sensorizados. La tendencia de aumento de la velocidad según nos alejamos del rodillo director sigue manteniéndose, alcanzándose el valor máximo de velocidad en el peldaño superior, con un valor de 0.6811 m/s, unas 8 cienmilésimas más que en los casos anteriores. Lo que si cambia es la forma de la curva y que en cada volteo alcanza 3 máximos locales frente a dos que presentan los anteriores modelos.

Figura 99. Velocidad linear absoluta de cada peldaño del modelo cinemático de escalera mecánica con un eslabón por peldaño.

Por último se muestra la velocidad relativa entre dos peldaños a lo largo de un ciclo. En este modelo se ha obtenido un valor máximo de 0.182 m/s, mayor que en los dos casos precedentes.

110

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Figura 100. Velocidad relativa entre los peldaños inferior y medio en el modelo cinemático de escalera mecánica con dos eslabones por peldaño.

III. MODELOS DINÁMICOS Se han desarrollado diversos modelos dinámicos, simplificados, parciales y completos para tratar de explicar y caracterizar su comportamiento dinámico, tanto para diseños convencionales como innovadores. En este apartado se presentarán los modelos siguientes: 

Escalera convencional



Pasillo móvil



Horizontal



Inclinado



Guía completa con tracción lineal



Transiciones circulares



Transiciones antipoligonalización

En todos estos modelos es necesario diseñar los elementos básicos que forman una escalera en el caso de modelo completo o una cadena en el resto de modelos. Los principales elementos presentes en estos diseños dinámicos son:

111



Geometrías de los cuerpos y sus propiedades inerciales



Juntas y restricciones entre cuerpos y sistemas de referencia



Contacto entre los rodillos y las guías correspondientes



Sistema de tracción



Lineal



Circular



Sistema de accionamiento



Cadena de rodillos con distinto paso de eslabón



Tensor de la cadena

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 Escalera Mecánica Convencional El primer modelo que se presenta, es un modelo de escalera mecánica convencional de 1.5m. de altura, que se muestra en la Figura 101. Este modelo pretendió definir tanto la viabilidad del módulo CHAIN para la modelización de cadenas como una metodología de trabajo para el diseño de escaleras mecánicas convencionales. Como ya se indicó anteriormente, este modelo es el punto de partida de este Trabajo Fin de Máster, punto que se ha empleado como primera toma de contacto con el comportamiento dinámico de una escalera mecánica convencional.

Figura 101. Modelo dinámico de una escalera convencional de 1.5m. de altura.

DESCRIPCIÓN DEL MODELO El modelo consta de los siguientes elementos: 



112

Dos ruedas dentadas: o

Una motriz en la parte superior de la escalera, que está unida al sistema de referencia inercial con una junta reonómica (velocidad determinada en todo momento) de giro en torno al eje perpendicular al plano de la escalera.

Y otra, dirigida, en la parte inferior, con junta libre también de giro en torno al mismo eje. Esta rueda tiene permitido el desplazamiento en sentido horizontal y está conectada a través de un muelle con el sistema inercial. Es, por tanto, la que hace desempeña el papel de tensor de cadena.

Cuatro guías tensoras, que son las que dan forma a la cadena. Estas guías son las que utiliza el programa SIMPACK CHAIN para definir la geometría de la cadena al establecer el contacto entre los eslabones y las guías tensoras.

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Tienen geometría circular en su zona de contacto con los eslabones, y están situadas en las cuatro zonas de transición del recorrido de la cadena. Estas guías están unidas con cero grados de libertad al sistema inercial. 

Una cadena que contiene los siguientes elementos: o

82 eslabones (41 interiores y 41 exteriores).

81 Elementos de fuerza de contacto entre eslabones.

82 elementos de fuerza de contacto eslabón- guía tensora.

164 contactos eslabón- rueda dentada.

27 peldaños, que poseen las propiedades inerciales correspondientes a la mitad de un peldaño, debido a que se modeliza solamente una de las dos cadenas de la escalera. Cada peldaño se encuentra unido a la articulación de un eslabón, de tal manera que cada tres eslabones se sitúa un peldaño en la escalera. El peldaño puede girar en torno al eslabón al que está unido.

27 rodillos interiores. Son cuerpos con una geometría circular. Estos rodillos están unidos a cada peldaño de forma que pueden girar libremente respecto a él. Por otra parte, se ha establecido un elemento de fuerza de tipo muelle bidireccional entre el rodillo y la guía interior. Este elemento de fuerza se define entre dos marcadores móviles (uno perteneciente al rodillo y otro a la guía interior) que se mueven respectivamente por la geometría del rodillo y de la guía interior, situándose en todo momento a la menor distancia posible entre ellos.

27 rodillos exteriores. Se definen de igual manera que los rodillos interiores, salvo que en este caso el contacto se establece con la guía exterior.

54 elementos de fuerza de contacto rodillo-guía.

2 guías para rodillos (externa e interna).

PARÁMETROS DE DISEÑO Se presentan en este apartado los parámetros de definición del modelo. Todas las dimensiones de longitud están en metros. El eje X corresponde al eje horizontal, y el Y al vertical. El eje Z es perpendicular al plano de la escalera.

113

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 RUEDAS DENTADAS PROPIEDAD

RUEDA MOTRIZ

RUEDA DIRIGIDA

Número dientes

Excentricidad en X

Excentricidad en Y

Angulo de torsión inicial (rad)

Diámetro interior (root_diam)

0.8

Diámetro exterior (tip_diam)

0.963291

Radio de asiento de rodillos (Roller Seating radius)

0.035

Radio de los flancos de los dientes (Tooth flanck)

1.728

2.1

Posición del centro en X

2.53113

-2.634941

Posición del centro en Y

0.75

-0.75

Reonómica de giro en torno a Z

Giro en torno a Z

Angulo de asiento de rodillos (Roller seating) (rad)

Junta

Traslación en X

Tabla 7. Propiedades de las ruedas dentadas del modelo preliminar de escalera.

Es necesario que el radio de asiento de los rodillos en las ruedas sea igual o mayor que el radio de los rodillos. En este caso es el mismo.

 TENSOR EN LA RUEDA DIRIGIDA En este caso se trata de un elemento de fuerza entre la rueda y el sistema inercial, en dirección horizontal, con las características siguientes:

114

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PROPIEDAD

VALOR

Pretensión (N)

- 3000

Rigidez (N/m)

1.0 E 7

Amortiguamiento (Ns/m)

15000

Tabla 8. Propiedades del tensor del modelo de escalera convencional.

El tensor tiene una tensión inicial, tal y como ocurre en una escalera convencional real para tensar la cadena.

 GUÍAS TENSORAS GUÍA SUPERIOR DERECHA

GUÍA SUPERIOR IZQUIERDA

GUÍA INFERIOR DERECHA

GUÍA INFERIOR IZQUIERDA

1.59

0.74

1.59

Posición en X

-1.49002

1.75113

Posición en Y

0.45

-0.45

PROPIEDAD Radio

Tabla 9. Propiedades de las guías tensoras del modelo de escalera convencional.

 GUÍAS PARA EL CONTACTO CON LOS RODILLOS Para la guía externa conviene tener en cuenta que, una vez colocada, las circunferencias que definen el contorno de la guía tienen que coincidir en el volteo con la posición inicial de las circunferencias interiores (root_diam) de las ruedas dentadas (recuérdese que la rueda dirigida es tensora, pudiendo variar su posición en sentido longitudinal). Las guías se han dibujado en Autocad y se ha seleccionado un conjunto de puntos uniformemente repartidos sobre su contorno. Posteriormente se han introducido en SIMPACK por medio de archivos de texto que contienen las coordenadas de dichos puntos. En SIMPACK se crean dos cuerpos con dicha geometría y se unen rígidamente con el sistema inercial.

115

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 RODILLOS EXTERNOS E INTERNOS PROPIEDAD

VALOR

Radio

0.035

Junta

Giro en torno a Z respecto al peldaño

Masa (kg)

0.1

Momento de inercia, Izz (kg m2)

0.01

Tabla 10. Propiedades de la modelización de los rodillos internos y externos.

Estos valores se han estimado, ante la falta de datos, si bien no supondrá diferencias apreciables en la simulación.

 CONTACTOS ENTRE RODILLOS Y GUÍAS PARA RODILLOS Para los contactos rodillo exterior-guía exterior y rodillo interior-guía interior, se crean sendos marcadores móviles en ambos cuerpos, que recorren las curvas que definen la geometría de la guía y del rodillo. Como ya se ha comentado, es preciso posicionar los marcadores móviles en ambas curvas de forma que se sitúen cerca de su posición de contacto, ya que, posteriormente, cuando se ensambla el mecanismo los marcadores pueden descolocarse a no ser que se les sitúe previamente próximo entre sí. Los elementos de fuerza que unen estos marcadores tienen las siguientes características: PROPIEDAD Rigidez (N/m) Amortiguamiento (Ns/m)

VALOR 1.0E6 500

Tabla 11. Propiedades de rigidez y amortiguamiento de los contactos rodillo-guía.

116

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

 PELDAÑOS Los peldaños se introducen como cuerpos con las siguientes características:

PROPIEDAD

VALOR

Masa (kg)

11.33

Momento de inercia IZZ (Ns/m)

0.24

Tabla 12. Propiedades inerciales de los peldaños.

Estos valores se han calculado de forma aproximada después de dibujar un modelo simple de un escalón en CATIA. Se encuentran unidos a eslabones de la cadena de forma que cada tres eslabones se sitúa un peldaño. Es preciso girar inicialmente cada peldaño para que sus rodillos externo e interno se encuentren en contacto con las guías externa e interna respectivamente.

 CADENA Por último se genera una cadena, para lo que en primer lugar se definen unos datos geométricos generales y se define la secuencia del paso de los eslabones por los diferentes elementos de guiado y por las ruedas dentadas. También se definen los parámetros del contacto entre los eslabones con las guías y las ruedas dentadas, así como los del contacto entre eslabones. 

Datos generales PROPIEDAD Numero de eslabones Paso del eslabón Pretensión de la cadena (N)

VALOR 82 0.1667 3000

Tabla 13. Datos generales de la cadena.

117

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Datos para generar la traza de la cadena: Secuencia de paso de la cadena 1º

Rueda motriz

2º

Guía inferior derecha

3º

Guía inferior izquierda

4º

Rueda dirigida

5º

Guía superior izquierda

6º

Guía superior derecha

Parámetros del contacto eslabón-rueda y eslabón- guía tensora Rigidez (N/m)

1.0E7

Amortiguamiento (Ns/m)

2000

Profundidad de amortiguamiento (m)

-0.0002

Parámetro de fricción contacto eslabón-guías y eslabón-rueda Tipo

Coulomb

Coeficiente de rozamiento

0.2

Limite de velocidad (m/s)

0.01

Tabla 14. Datos necesarios para que el programa genere la traza de la cadena.

118

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación 

Datos para generar los eslabones MASA Y GEOMETRÍA DE ESLABONES

Masa (kg) Momento de inercia en torno a Z (kg m2)

INTERIORES EXTERIORES 1

0.7

0.002

0.0028

Diámetro del bulón (Pin bearer)

0.042

Diámetro interior del bulòn (bush bore)

0.042

Diámetro exterior del bulón (bush diameter)

0.06

Anchura máxima de eslabón

0.06

Anchura mínima de eslabón

0.06

PARÁMETROS DEL CONTACTO ESLABÓN- ESLABÓN Rigidez (N/m)

1.0E8

Amortiguamiento (Ns/m)

200

Holgura de amortiguamiento (Ns/m)

PARÁMETROS DE FRICCIÓN ESLABÓN-ESLABÓN Tipo

Coeficiente de rozamiento

Límite de velocidad

Tabla 15. Datos para generar los eslabones.

Por último se actualizan las velocidades de todos los elementos de la cadena en función de la velocidad que se le da a la junta reonómica (velocidad angular constante durante toda la simulación). La velocidad angular es de 1,16 rad/s, que para una rueda de 0,43 m de radio da lugar a una velocidad lineal de 0,5 m/s.

119

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DIAGRAMA TOPOLÓGICO  SIMBOLOGÍA La simbología que se ha seguido para representar la topología del sistema (diagrama topológico) es la que se muestra a continuación: 

Sistema de Referencia.

Figura 102. Sistema de referencia.



Cuerpos cuerpo Figura 103. Cuerpo.

En el interior del recuadro se indica el nombre del cuerpo en cuestión. 

Juntas

Figura 104. Junta cinemática.

El sentido de la flecha indica de qué marcador a qué marcador va definida la junta. Es decir la flecha va del marcador “from –i” al marcador “to –j”. Junto al símbolo suele indicarse en un recuadro el tipo de junta utilizada en SIMPACK, precedido de la letra J (de Joint), y los grados de libertad de la misma. 

Restricciones

Figura 105. Restricción cinemática.

El sentido de la flecha indica de qué marcador a qué marcador va definida la restricción. Es decir, la flecha va del marcador “from –i” al marcador “to –j”. Junto al s símbolo suele indicarse en un recuadro el tipo de restricción utilizada en SIMPACK, precedido de la letra L (de Lock), y la dirección del movimiento bloqueada. 

Elementos de fuerza.

Figura 106. Elemento de fuerza.

Esta es la representación de los elementos de fuerza. Junto al símbolo suele indicarse el tipo de elemento de fuerza utilizado en SIMPACK.

120

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Una vez vista la representación simbólica a utilizar, se muestra en el diagrama topológico correspondiente al modelo de la escalera convencional. Por simplicidad, sólo se han incluido tres peldaños en el esquema.

Figura 107. Diagrama topológico del modelo de escalera mecánica preliminar

DISEÑO DE LA CADENA La cadena, diseñada en SIMPACK CHAIN, debe tener la forma deseada. Para esto se han empleado guías tensoras en las zonas de transición, cuya curvatura es de radio constante. Gracias a la tensión que estas guías ejercen, junto con las ruedas motriz y dirigida, se consigue la forma deseada. En la Figura 108 se muestra la forma conseguida siguiendo los pasos indicados.

Guías tensoras Figura 108. Modelo con guías tensoras para dar forma a la cadena.

Para asegurar el contacto de cada rodillo con la guía, puesto que en la realidad existen rodadura rodillo-guía, debemos crear un cuerpo con la forma deseada de la guía para poder establecer el contacto con los rodillos de la cadena. Además, hay que establecer también el

121

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contacto entre los rodillos interiores que no forman parte de ninguna cadena y su guía correspondiente.

INTRODUCCIÓN DEL CONTACTO RODILLO-GUÍA Se ha definido el contacto entre cada rodillo y su guía correspondiente mediante elementos de fuerza de tipo muelle, es decir, que siguen la ley de Hooke. Estos elementos actúan entre dos puntos aplicando una fuerza proporcional al desplazamiento en cualquier sentido. La fuerza actúa en todo momento mientras estén separados los puntos de aplicación en cada cuerpo, tanto si se separan como si se penetran, tal y como se muestra en la Figura 109.

Figura 109. Características del contacto bidireccional.

Las geometrías utilizadas para las guías exterior e interior se muestran en la Figura 110. Como el contacto el bidireccional no necesitamos contraguía, ya ejerce de cómo tal el propio contacto, incluso se podría definir un juego entre ambas guías en la curva de rigidez del contacto.

Figura 110. Geometría de las guías con contactos bidireccionales.

Para los contactos rodillo exterior-guía exterior y rodillo interior-guía interior, se crea un marcador o punto móvil en cada cuerpo. Dicho marcador es capaz de recorrer libremente las curvas. Uno de los marcadores, el situado en el rodillo, se caracteriza como parent y el marcador en la curva de la guía se caracteriza como child. Durante el movimiento de la cadena, el marcador child sigue al marcador parent, de tal forma que siempre la distancia entre ellos es mínima en todo momento. Seguidamente se define un elemento de fuerza de tipo muelle con características de rigidez y amortiguamiento (tipo 5 en SIMPACK) entre el marcador móvil de la guía y el del rodillo. La laboriosidad de este método radica en que, una vez creados los marcadores en cada curva, es preciso colocarlos a lo largo de las mismas de forma que se sitúen lo más próximos posible

122

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porque a la hora de que el programa ensamble los elementos del modelo en su posición inicial, SIMPACK lo hace por proximidad por lo que si no se es preciso, el ensamblaje puede resultar erróneo. Esto no sería un problema cuando son pocos los contactos, pero en el modelo hay 54 contactos de este tipo, y prácticamente cada uno tiene una posición diferente.

INTRODUCCIÓN DE LOS PELDAÑOS Una vez creado el guiado de la cadena se incluyen los peldaños, como cuerpos que van articulados en su unión con los eslabones, tal y como se muestra como ejemplo en la Figura 111. Cada peldaño tiene que ser colocado en la posición correspondiente y darle el giro adecuado para su posición inicial, siendo este un proceso es laborioso y muy poco automatizable.

Figura 111. Introducción de un peldaño en el modelo.

RESULTADOS OBTENIDOS En este apartado se recogerán los resultados más relevantes del modelo dinámico de escalera mecánica convencional realizado con el módulo auxiliar de cadenas CHAIN. En primer lugar, se muestran las velocidades longitudinales de un eslabón y de rotación de la rueda dirigida. Puede observarse que la velocidad del eslabón oscila en torno a la velocidad nominal prefijada, 0.5 m/s.

Figura 112. Velocidad longitudinal del eslabón y de rotación de la rueda dirigida en el modelo dinámico de una escalera convencional.

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A continuación se muestra en la Figura 113 los valores de reacción de los rodillos externo o perteneciente a la cadena e interior. Se observa que el primero tiene valores mucho mayores que el segundo, esto se debe a que la reacción de un rodillo en la cadena tiene dos componentes que se pueden desglosar: 

Reacción debida al peso recibido por rodillo



Reacción debida a la tensión y configuración geométrica de los eslabones adyacentes.

Figura 113. Fuerzas de reacción (N) de los rodillos externo (rodillo articulado en el peldaño) e interno respectivamente.

En la Figura 114 se muestra el esfuerzo longitudinal sobre el eslabón, llamado también tensión a lo largo de este trabajo, recordando que se está midiendo en newton, sin referenciarlo pues al área transversal que soporta esta resultante. Al igual que en todas las gráficas de este modelo dinámico, se observa un tiempo inicial en el que existe un régimen transitorio, para después oscilar la curva de la tensión con una frecuencia principal coincidente con el paso del eslabón.

Figura 114. Tensión (N) del eslabón de la cadena de rodillos.

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Por último se muestra en la Figura 115 la fuerza longitudinal y horizontal que ejerce el tensor en la rueda dirigida. Se observa que los valores son casi siempre mayores que la precarga inicial establecida de 3000 N.

Figura 115. Fuerza del tensor en la rueda dirigida.

 Cadena de rodillos con tracción lineal En este apartado de describirá la metodología seguida para el diseño de un modelo de una guía completa de 4.5 metros de altura, totalmente extensible a la creación de modelos de mayor o menor altura, con un ángulo de inclinación u otro. Este modelo se ha desarrollado sin el empleo del módulo CHAIN, que se empleaba para generar la cadena del modelo de escalera convencional. Como ejemplos se mostrarán los resultados correspondientes a dos modelos iguales en todo menos en la geometría de la guía. Así, en el primero de ellos se presenta un modelo de guía completamente antipoligonalización, mientras que en el segundo todas las curvas son circulares, tal y como son en las escaleras mecánicas convencionales.

MODELOS PRELIMINARES Se pretendía realizar un modelo con un sistema de tracción lineal, algo que no se puede simular con el módulo específico de cadenas de SIMPACK, aunque si existieron intentos empleando ruedas con radios suficientemente grandes engranando en zonas rectas, como se muestra en la Figura 116.

125

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 116. Sistema de tracción lineal mediante ruedas de gran diámetro definiendo la cadena usando el módulo SIMPACK CHAIN.

Al simular este modelo se obtenían resultados como los mostrados en la Figura 117, donde se observa que la geometría que sigue el centro de un rodillo no coincide con una recta y que la velocidad lineal que se pretende seguir presenta picos en la zona de tracción que se multiplican en la zona de la rueda dirigida, por lo que no resultaron satisfactorios los resultados del modelo.

Figura 117. Geometría seguida por un rodillo y perfil de velocidad para el mismo dentro del modelo de tracción lineal usando ruedas dentadas.

El siguiente modelo desarrollado tenía los mismos objetivos que el que se acaba de presentar, simular la tracción lineal de una cadena. Para esto se dejó de lado el uso del módulo CHAIN puesto que además de presentar deficiencias a la hora de simular la tracción lineal, presenta un número mínimo de dientes que puedan tener las ruedas motriz y dirigida que es 6, cuando en este modelo se pretendían simular cadenas con radios de volteo equivalentes a usar ruedas motrices de tres dientes.

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Habiendo agotado este camino se desarrolló una metodología para el análisis dinámico de cadenas movidas por tracción lineal a través de un modelo simplificado que consistía en un pasillo móvil con un eslabón por peldaño y un total de 12 eslabones, 12 rodillos, una guía fija y un tensor, todo traccionado por un sistema de tracción lineal situado en la zona central superior del mismo que aseguraba la velocidad de consigna, al menos, en la zona pisable por los pasajeros. El modelo, que se muestra en la Figura 118, está diseñado para darle cualquier orientación sobre la horizontal, permitiendo el análisis de la influencia del ángulo de inclinación para este modelo. Esto es posible gracias a que todo él está realizado tomando como sistema de referencia fijo uno asociado a un cuerpo dumie.

Figura 118. Modelo de pasillo móvil con sistema de tracción lineal.

En este modelo se ha simulado un sistema de tracción lineal basado en un control de velocidad tipo proporcional, será explicado más extensamente en la descripción del modelo de la guía de 4.5 metros. En este apartado solo se pretende mostrar los inicios del modelo dinámico que se describirá a continuación. Así, se puede observar en la Figura 119 el perfil que sigue un rodillo en este sistema, que coincide con su rodadura por la guía fija y por la estación tensora definida, estableciéndose una velocidad constante en la zona horizontal de control. Puede observarse que en la zona horizontal inferior la amplitud de las oscilaciones de velocidad disminuye drásticamente respecto del modelo de tracción lineal con ruedas dentadas.

Figura 119. Geometría seguida por un rodillo y perfil de velocidad para el mismo dentro del modelo de tracción lineal usando un control proporcional.

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DESCRIPCIÓN DEL MODELO El modelo de ejemplo elegido, que puede observarse en la Figura 120 es una guía de una escalera mecánica cuyas principales características se recogen a continuación: 

Una guía de rodadura, por donde ruedan los rodillos de la cadena.



Sistema de tracción lineal (piñón- cremallera, motor de inducción magnética, etc.).



Cada guía posee su propio tensor de la cadena.

Los cuerpos se consideran sólidos rígidos: 

Guía y Tensor



Eslabones de la cadena



Rodillos

Figura 120. Modelo de una guía con tensor de 4.5m. de altura.

DIAGRAMA TOPOLÓGICO La relación cinemática y dinámica entre los distintos cuerpos se muestra en la Figura 121, que es un diagrama topológico del modelo reducido a 4 eslabones. Estas juntas, restricciones y fuerzas, definirán las ecuaciones y el comportamiento de nuestro sistema multicuerpo.

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Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 121. Diagrama del modelo dinámico de una guía.

DEFINICIÓN DE GEOMETRÍAS En este apartado se detallará cómo se han obtenidos las geometrías de los diferentes cuerpos del modelo de simulación dinámica de una sola guía. Existen tres tipos de cuerpos: rodillos, eslabones, guía y tensor, de los cuales pueden observarse los tres primeros en la Figura 122 .

Figura 122. Cuerpos del modelo de una guía de 4.5 metros de altura.

Los dos primeros cuerpos se obtienen como combinación de geometrías básicas del programa SIMPACK, mientras que la guía, dada su complejidad, hay que definirla por puntos en un archivo de texto que pueda interpretar SIMPACK, este proceso se detallará a continuación. El tensor, dado su peculiar diseño no se ha mostrado en la Figura 122 puesto que se explicará detalladamente en el apartado correspondiente.

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Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

 RODILLOS Los rodillos se han generado a través de la primitiva “cilindro”, definiendo su diámetro, la distancia entre bases, el número de aristas así como el modo de visualización.

Figura 123. Geometría de un Rodillo (sólido).

 ESLABONES Los eslabones de la cadena se han creado como combinación de dos tipos básicos de geometría, prisma y cilindro, como se muestra en la Figura 124, que se ha representado en modo de alambre (wireframe). Para el caso del cilindro, el programa permite definir el número de lados del polígono que aproxima la base.

Figura 124. Geometría de un Eslabón (modo alambre).

 GUÍA La geometría de cada guía (el perfil) se ha programado en MATLAB, definiéndose desde este programa los ficheros de texto necesarios para que sean legibles por SIMPACK. De esta forma se ha parametrizado y automatizado la creación de este tipo de geometrías, según los parámetros definidos en la Figura 125. En esta figura se muestra además una sectorización de la geometría, que refleja el modo en el que se ha programado, utilizando simplemente dos funciones de utilidad, para generar puntos de un segmento que forma cierto ángulo con la horizontal y arcos de circunferencia de un radio y ángulo inicial y final determinados.

130

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 125. Partes de una Guía de una Escalera Mecánica.

A continuación se listan los parámetros que definen la guía: 

h, altura entre los dos rellanos. Se ha establecido 4.5m por ser la altura previsible del prototipo a realizar.



paso, o longitud del eslabón. Se ha fijado 405mm, que corresponde a un eslabón por peldaño.



Rodillo, radio del rodillo. Se ha establecido el radio de los rodillos actuales, 37.5mm.



alfa, ángulo de inclinación. Se ha fijado 30º por ser uno de los ángulos más comunes.



Rguia, radio de la guía. Es el equivalente al radio de pie de una rueda dentada con tres dientes y el paso el del eslabón:

Ecuación 17. Radio de volteo de la guía.

131



Rtrans, radio de transición (si solamente se emplease uno). No se ha empleado.



R1, R2, R3, R4 radios de la guía en las zonas de transición 1, 2, 3 y 4. Se ha fijado para cada valor Ri (i=1 a 4), 1050mm, por ser una escalera de menos de 6 metros de altura.



L_down_1, longitud horizontal superior del rellano inferior. Se fija el valor de 0.810 que permite que estén dos peldaños exactos en dicha zona.

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación 

L_up_1, longitud horizontal superior del rellano superior. Su valor es dos veces la longitud del eslabón más un cierto valor de ajuste, que es el necesario para que haya un número entero de eslabones desde la zona del volteo inferior a la zona del rellano superior-superior. El valor de ajuste se ha obtenido de SIMPACK.



L_up_2, longitud horizontal inferior del rellano superior. Por simetría central, se establece que su valor coincida con L_down_1.



L_down_2, longitud horizontal inferior del rellano inferior. Por simetría central, coincidirá su valor con el de L_up_1, aunque el programa permitiría que no fuese así.



L_inc_sup, longitud del tramo inclinado superior. Se calcula a partir de la altura h, según la siguiente fórmula:

Ecuación 18. Longitud de la parte inclinada superior.



L_inc_inf, longitud del tramo inclinado inferior. Análogamente, se calcula esta longitud:

Ecuación 19. Longitud de la parte inclinada inferior.

DISEÑO DEL TENSOR En este apartado se describirá el diseño del tensor comenzando por su geometría. El tensor es necesario en este sistema ya que no se mantiene constante la relación cuerda/arco en cada instante, además, también posee como función el mantener una tensión mínima de la cadena.

 GEOMETRÍAS DE CONTACTO Para definir el contacto entre dos cuerpos en SIMPACK, es necesario definir una fuerza entre dos marcadores, uno de cada cuerpo. Para simular el contacto entre cada rodillo y la guía, se han empleado un tipo de marcadores móviles denominados parent y child. A cada marcador hay que definirle una geometría asociada al cuerpo correspondiente, por la cual podrá moverse. Habrá un marcador móvil en cada rodillo y tantos marcadores móviles como rodillos, asociados a la guía. Como puede observarse en la Figura 126, la posición relativa entre cada par de marcadores parent/child viene dada por su distancia mínima, el parent se mueve y el child le sigue, siguiendo cada uno la geometría que se le ha asociado a este efecto.

132

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 126. Esquema de definición del contacto entre cada rodillo y la guía para el modelo de una guía de 4.5 metros de altura.

En el caso analizado se define: 

Para cada rodillo, una circunferencia del mismo radio que el cilindro.



Para cada guía, tantas geometrías como rodillos, coincidentes con la geometría inicial de la guía.

Como puede deducirse de esto podríamos tener rodillos cúbicos y el comportamiento del sistema sería el mismo, siempre que la geometría de contacto se defina como la circunferencia ya mencionada y se mantengan las propiedades inerciales. Esto no se hace así debido a la pérdida de realismo que esto supondría.

 GEOMETRÍA DEL TENSOR El diseño del tensor de una cadena en Simpack no es trivial, puesto que el contacto que simula el contacto rodillo-guía se establece como una fuerza entre dos marcadores cada uno asociado a un cuero. Estos marcadores, como ya se ha indicado, deben seguir una línea cerrada. Al añadir el tensor al sistema aparecen dos curvas distintas que tienen que seguir los marcadores de los rodillos, una fija (la guía) y otra móvil (el tensor), para lo cual hay que doblar el número de marcadores y elementos de fuerza. En la zona del tensor, cada rodillo recibirá una reacción desde el marcador móvil correspondiente a la curva del tensor, y cuando no esté en la zona del tensor, esta fuerza tendrá su origen en un marcador móvil que recorrerá la curva fija. Mientras que un rodillo esté en la zona que no corresponde al tensor, el marcador parent asociado al tensor seguirá moviéndose por la curva asociada a este, y puede dar lugar a que la mínima distancia entre los marcadores parent/child que se corresponden no sea la correcta, pudiéndose descolocar tanto el marcador asociado al rodillo como el asociado a la guía, como se muestra en la Figura 127. Esto daría lugar a la aparición de fuerzas no reales que daría una idea del comportamiento dinámico del modelo proporcionando un análisis erróneo de los resultados.

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Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 127. Fuerzas de contacto entre rodillo y guía y tensor: ejemplo marcadores mal posicionados.

La solución propuesta se ilustra en la que solventa estas contradicciones tiene las siguientes características: 

La guía móvil y la fija tendrán la misma geometría (el tensor y la guía), eliminando el riesgo de pérdida de marcadores y la aparición de fuerzas no reales.



Se definirán dos fuerzas de contacto mediante expresiones que detecten en qué zona se encuentra cada rodillo. Así, la expresión que defina la fuerza de contacto entre el tensor y un rodillo concreto, se anulará cuando ese contacto se dé con la guía fija.

Figura 128. Solución del diseño del sistema tensor.

Este diseño vale para cualquier geometría que deba seguir la cadena siempre que permita una transición suave de la zona del tensor a la zona de la guía. Este es el caso del modelo de una guía, puesto que dicha zona de transición es la zona horizontal inferior de la guía, como se muestra en la Figura 129.

134

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 129. Detalle del tensor y la guía del modelo simulado.

La reacción que recibe cada rodillo tendrá dos fuentes, una la guía y otra el tensor, dependiendo de en qué zona se encuentre, siendo su suma la reacción real que recibe el rodillo. Para un ciclo puede observarse en la Figura 130, se diferencia bien el punto en el que pasa el contacto de una zona a otra, siendo esta transición de forma suave.

Figura 130. Dos fuentes de reacción del rodillo: tensor (arriba) y guía (medio).

 IMPLEMENTACIÓN DEL TENSOR EN SIMPACK A continuación se detallan los pasos a seguir para la introducción del tensor en SIMPACK partiendo de que el resto de cuerpos están ya creados: 

Definición del cuerpo tensor. Hay que definirlo exactamente igual a la guía, en teoría usando la línea “identity to”. Si esto no funcionase, basta con copiar en el archivo *.sys los marcadores de la guía cambiando el nombre del cuerpo. Los q-states no hay que modificarlos, valen los de la guía, pues suponemos que el tensor en su momento de ensamblaje está en la misma posición que la guía. La junta de este cuerpo debe ser prismática en x, respecto del Isys.

135

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación 

Definición de los marcadores móviles de los rodillos. Seguirán a los marcadores móviles definidos en el cuerpo tensor. Esta parte conviene hacerla mediante la creación de código automático en MATLAB.



Introducción de las expresiones de las fuerzas de contacto rodillo-guía y rodillotensor. Estas expresiones, seleccionarán a partir de qué posición el rodillo hace contacto con la guía fija y cuándo con el tensor. Esta zona de transición debe ser una zona recta, para asegurar una transición continua de la curva de reacción de cada rodillo.



Definición de las fuerzas de contacto. Este punto consiste en la definición de fuerzas entre los pares de marcadores móviles Rodillo_0i-Guía_0i y Rodillo_0i-Tensor_0i. El valor de estas fuerzas vendrá dado por las expresiones definidas en el punto anterior.



Definición de los parámetros del tensor. Hay que definir una fuerza (precarga, rigidez y amortiguamiento) entre un punto del tensor y un marcador fijo del Isys en dirección horizontal.

DEFINICIÓN DE JUNTAS La definición de juntas entre cada par de cuerpos definen los grados de libertad relativos

existentes entre estos. Las juntas definidas se recogen a continuación: 

Entre Guía y Isys (sistema de referencia fijo): 0 grados de libertad.



Entre Tensor y Guía: junta prismática que permite el movimiento sólo en sentido horizontal.



Entre Eslabón y Eslabón: junta cilíndrica, tomando como eje de revolución, el de las respectivas primitivas cilíndricas de cada eslabón.



Entre Eslabón y Rodillo: junta cilíndrica, tomando como eje de revolución, el de la primitiva cilíndrica correspondiente del eslabón y el de la geometría del rodillo.

SISTEMA DE TRACCIÓN En este modelo se ha diseñado un sistema de tracción que simula el funcionamiento de un motor lineal. Este sistema, como muestra la Figura 131 , se ha situado en la parte superior de la zona inclinada superior de la guía, antes de llegar a la zona de transición que une el tramo inclinado con el rellano superior.

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Figura 131. Situación del sistema de tracción del modelo de una guía de 4.5metros de altura.

Este sistema consta de varios elementos que, en conjunto, hacen posible su funcionamiento: 

Sistema de control de velocidad, que se detalla en el apartado siguiente.



Una expresión cuyo valor coincide con la fuerza de salida obtenida en el control de velocidad cuando el rodillo se encuentra en la zona de control, siendo nula cuando no es así.



Una fuerza en dirección del eje X local aplicada sobre el marcador correspondiente de cada eslabón, que puede observarse en el esquema de la Figura 132. Esta fuerza está definida por la expresión explicada en el párrafo anterior.

Figura 132. Zona de control del sistema de tracción, esquema en ejes locales.

 SISTEMA DE CONTROL DE VELOCIDAD En la Figura 133 se muestra el diagrama general que describe el control de velocidad diseñado como parte del sistema de tracción del modelo diseñado en SIMPACK.

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Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 133. Diagrama del Sistema de Control de Velocidad de SIMPACK.

El sistema de control de velocidad, es el sistema de control propiamente dicho aunque interactúe con las otras definidas en el apartado anterior para conseguir el control eficaz de la velocidad y la simulación por tanto de un motor lineal. Este sistema se compone de cuatro partes principales: 

Sensor, mide la velocidad del marcador asociado a cada eslabón, en la dirección paralela al movimiento, según el eje x local.



Velocidad de Referencia, es el perfil de velocidad, ya sea fija o variable (input function) que se quiere que sigan los cuerpos controlados en cada instante (puede ser una función del tiempo o un valor nominal constante).



Controlador, compara la velocidad real, proporcionada por el sensor y la velocidad de referencia.



Actuador, aplica una fuerza en dirección del eje X local con un valor que depende de las constantes del control (Kp, Kd, Ki), y de la diferencia entre la velocidad real y la de referencia. Para un control proporcional se obtiene que el valor de la fuerza de salida coincide con el expresado en la Ecuación 20.

Ecuación 20. Expresión de la fuerza aplicada en la zona de control sobre cada eslabón.

RESULTADOS OBTENIDOS En este apartado se presentarán los resultados obtenidos en el postprocesado de las simulaciones de este modelo variando la geometría de la guía así como algún parámetro de definición del modelo y el estado de carga. En cuanto a la geometría de la guía, se emplearán curvas con transiciones circulares y curvas con transiciones antipoligonalización.

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Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

 GUÍA CON CURVAS DE TRANSICIÓN ANTIPOLIGONALIZACIÓN Partiendo de los parámetros definidos para el modelo de una guía de 4.5 metros de altura, recogidos en la Tabla 4, en la página 94, se muestran los parámetros particulares de definición del tensor para lo que se mostrarán el conjunto de resultados para una guía cuyas curvas de transición y volteo son todas antipoligonalización. Se han distinguido dos casos, correspondientes a los parámetros que el modelo estadístico del pasillo de 12 eslabones predice como mejor y peor caso en cuanto a la desviación estándar de la velocidad. PARÁMETROS DEL TENSOR

CASO 1

CASO 2

Precarga (N)

1500

4500

Rigidez (N/m)

1E5

1E4

1.5E4

5000

Amortiguamiento (Ns/m)

Tabla 16. Parámetros del tensor para la simulación de una guía de 4.5m de altura y guía completa antipoligonalización.

En las siguientes páginas se mostrarán los resultados para dos tipos de carga, cuando la escalera está vacía y cuando la escalera se va llenando progresivamente hasta que está completa de pasajeros y sigue así durante un ciclo adicional.

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 PARÁMETROS DEL CASO 1. CASO DE CARGA: ESCALERA SIN PASAJEROS.

Tabla 17. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía antipoligonalización. Caso 1.

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 PARÁMETROS DEL CASO 2. CASO DE CARGA: ESCALERA SIN PASAJEROS

Tabla 18. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía antipoligonalización. Caso 2.

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 CASO DE CARGA: ESCALERA CON CARGA PROGRESIVA En este caso se ha simulado que, partiendo de la escalera vacía, han ido entrando personas, atribuyendo un peso a cada una de ellas, hasta llenarse la escalera, siguiendo esta llena hasta el fin de la simulación, que son 100 segundos. En la siguiente tabla se han representado las siguientes variables: 

Velocidad de un rodillo



Aceleración de un rodillo



Reacción sobre un rodillo



Tensión de un eslabón



Fuerza ejercida por el tensor



Fuerza ejercida por el sistema de tracción sobre un eslabón

Tabla 19. Resultados dinámicos de escalera cargándose y guía antipoligonalización. Caso 1.

En la tabla anterior es difícil apreciar la forma exacta que presentan los perfiles de las distintas variables representadas debido a largo tiempo de simulación. Para solventar esto se presenta a continuación un zoom de la misma entre los segundos 15 y 35 de simulación.

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Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Tabla 20. Resultados dinámicos de escalera cargándose y guía antipoligonalización, segundos del 15 al 35. Caso 1.

 GUÍA CON CURVAS DE TRANSICIÓN CIRCULARES En este apartado, de forma análoga al anterior se mostrarán los resultados correspondientes a las simulaciones del modelo con la geometría de la guía circular en los tramos curvos. Estas simulaciones, además de variar el estado de carga igual que en el apartado anterior, se han definido tres combinaciones de parámetros, que se muestran en la Tabla 21. Los dos primeros coinciden con los casos 1 y 2 de la guía antipoligonalización, y el tercero es distinto. La razón de añadir este tercer caso es mostrar cómo con esta geometría la cadena entra en compresión (ver cuándo la tensión alcanza valores negativos) para un valor de la constante del control proporcional, Kp=1.E6 (N/ (m/s)), valor que se ha mantenido en todas las simulaciones del apartado anterior.

143

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

PARÁMETROS DEL TENSOR

CASO 1

CASO 2

CASO 3

Precarga (N)

1500

4500

3000

Rigidez (N/m)

1E5

1E4

1E5

1.5E4

5000

1.5E4

Amortiguamiento (Ns/m)

Tabla 21. Parámetros del tensor para la simulación de una guía de 4.5m de altura y guía con curvas circulares.

144

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

 PARÁMETROS DEL CASO 1. CASO DE CARGA: ESCALERA SIN PASAJEROS.

Tabla 22. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía circular. Caso 1.

145

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

 PARÁMETROS DEL CASO 2. CASO DE CARGA: ESCALERA SIN PASAJEROS

Tabla 23. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía circular. Caso 2.

146

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

 PARÁMETROS DEL CASO 3. CASO DE CARGA: ESCALERA SIN PASAJEROS

Tabla 24. Resultados dinámicos de escalera en vacío y guía circular. Caso 3.

147

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

 CASO DE CARGA: ESCALERA CON CARGA PROGRESIVA Este caso de carga es idéntico al caso de carga progresiva realizado con la guía con transiciones antipoligonalización, sólo ha cambiado las curvas de transición que ahora son circulares. Se recuerdan las variables representadas en la siguiente tabla: 

Velocidad de un rodillo



Aceleración de un rodillo



Reacción sobre un rodillo



Tensión de un eslabón



Fuerza ejercida por el tensor



Fuerza ejercida por el sistema de tracción sobre un eslabón

Tabla 25. Resultados dinámicos de escalera cargándose y guía circular. Caso 1.

De la misma forma que se hizo en el caso de la guía antipoligonalización, se muestran en la siguiente gráfica los resultados entre los segundos 15 y 35 de simulación para que pueda apreciarse el perfil real de las variables medidas.

148

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Tabla 26. Resultados dinámicos de escalera cargándose y guía circular, segundos del 15 al 35. Caso 1.

149

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

IV.

MODELOS ESTADÍSTICOS

En este apartado se presentan modelos de tratamiento estadístico de datos, análisis que se considera imprescindible emplear para la compactación de resultados y la obtención de conclusiones respecto de los modelos simulados. Ambos análisis parten de un diseño factorial del experimento, aunque cada uno tiene un objetivo y metodología desarrollada diferente. Estos modelos permitirán obtener conclusiones sobre tendencias referentes a las variables dependientes e independientes elegidas en cada caso, así como proporcionar criterios de diseño que permitan optimizar el modelo en sí y, de forma cualitativa, servir de guía para la optimización de parámetros de otros modelos más complejos. En este apartado los resultados se van mostrando según se van desarrollando los modelos y análisis.

 Análisis de la reacción y la tensión en una curva de volteo definida por dos radios y una zona recta Los datos para la realización de estos análisis se han obtenido del modelo de cálculo de reacciones y tensiones creado en MATLAB. Las variables independientes consideradas han sido tres, dos radios y un ángulo, según se muestra en la Tabla 27. Este modelo ha sido simulado 1000 veces, dando por tanto 10 valores distintos a cada una de las variables independientes. El valor del radio denominado R2, una vez fijado la distancia en vertical de las zonas horizontales, posee un límite que depende en cada caso del valor de R1 y del ángulo de inclinación. Este valor se alcanza cuando ambas circunferencias son tangentes, es decir, cuando la longitud del tramo horizontal se anula. Este límite se puede expresar de la siguiente manera:

Ecuación 21. Radio máximo en función de R1, D y

R1 (metros) Valor mínimo

(grados)

. R2 (metros)

0.05

Valor máximo Tabla 28. Rango de variación de los parámetros para el modelo estadístico de la curva de volteo definida por dos radios y un ángulo.

En estas simulaciones se ha supuesto que la cadena cuyos centros de rodillos siguen los perfiles definidos, tiene una longitud de eslabón igual 0.2025 m., esto es, dos eslabones por peldaño. Debido a que cada peldaño solamente se ancla en un rodillo de estos, el peso debido

150

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

a la masa del peldaño y de los usuarios, se ha repartido en articulaciones alternas de eslabones según se muestra en la Figura 134.

Figura 134. Reparto de pesos en una cadena de dos eslabones por peldaño.

De cada simulación se han obtenido dos gráficas, una con la geometría correspondiente de la guía y otra con la reacción y tensión de dicho caso. En las siguientes páginas se mostrarán algunos casos representativos de los 1000 simulados. Los casos que se mostrarán a continuación se dividen en tres series de resultados para mostrar cómo varía cada parámetro al mantener el resto constante. En la primera serie de gráficas se ilustran los casos correspondientes a la variación de R1, en sus 10 valores, manteniendo R2 y constantes, e igual al 5º valor de los 10 que suponen su rango de variación.

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

0,05

0,61 Geometría

151

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

99173,14

6634,26

99218,76

616,17

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

145

0,07

0,57

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

147857,49

8647,81

48642,39

-4820,82

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

245

0,09

0,52 Geometría

152

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

58142,08

3942,50

58337,49

6812,01

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

345

0,11

0,48

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

6985,62

1549,40

7232,73

3368,32

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

445

0,13

0,43 Geometría

153

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,28

1354,83

4691,48

3231,84

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

545

0,15

0,38

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

4895,43

1306,76

4019,74

3196,03

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

645

0,17

0,34

Geometría

154

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

4332,64

1282,91

3728,71

3161,68

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

745

0,19

0,29

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

3698,71

1269,72

3565,20

3149,25

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

845

0,21

0,25 Geometría

155

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

3235,48

1263,94

3456,14

3144,81

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

945

0,23

0,20

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

2930,28

1264,68

3441,46

3142,89

Geometría

Reacción y Tensión

En la siguiente serie de gráficas se mostrarán 10 casos en los que solamente variará el ángulo de inclinación. Se escogerán como valores constantes de ambos parámetros el valor número 5 de R1 y de R2. Nótese, que R2, al tener como límite superior un límite dependiente de R1 y de , no se mantendrá constante, al igual que no se ha mantenido en la serie anterior.

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

405

0,13

5,33

Geometría

156

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

6588,24

1360,84

4691,23

3272,63

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

415

0,13

1,63

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

6308,51

1301,49

4691,54

3262,54

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

425

0,13

0,85 Geometría

157

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

6007,66

1303,19

4691,38

3253,18

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

435

0,13

0,56

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5691,65

1335,02

4691,37

3244,27

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

445

0,13

0,43 Geometría

158

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,28

1354,83

4691,48

3231,84

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

455

0,13

0,36

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5026,51

1360,11

4691,28

3221,44

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

465

0,13

0,31 Geometría

159

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

4678,65

1359,04

4691,46

3214,05

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

475

0,13

0,28

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

4359,06

1354,60

4691,26

3206,86

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

485

0,13

0,26

Geometría

160

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

4143,08

1349,94

4691,41

3202,18

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

495

0,13

0,25

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

3940,18

1346,00

4689,36

3199,74

Geometría

Reacción y Tensión

La tercera y última serie que se expone a continuación, muestra la variación de R2 para los valores constantes de R1 y , correspondientes a sus valores número 5 de los 10 que se han empleado en estas simulaciones.

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

441

0,13

0,23

Geometría

161

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,27

1371,53

4691,48

3243,86

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

442

0,13

0,28

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,28

1367,40

4691,48

3239,42

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

443

0,13

0,33 Geometría

162

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,27

1363,28

4691,48

3236,12

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

444

0,13

0,38

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,28

1359,10

4691,48

3233,64

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

445

0,13

0,43 Geometría

163

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,28

1354,83

4691,48

3231,84

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

446

0,13

0,48

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,26

1350,43

4691,48

3230,69

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

447

0,13

0,53 Geometría

164

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,26

1345,89

4691,48

3229,96

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

448

0,13

0,58

(º)

Reacción Reacción Máxima Media (N) (N) 5364,27

Geometría

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

449

0,13

0,63 Geometría

165

1341,32

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

4691,48

3229,39

Reacción y Tensión

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5364,26

1336,82

4691,48

3228,95

Reacción y Tensión

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Caso

R1 (m)

R2 (m)

450

0,13

0,68

Geometría

(º)

Reacción Máxima (N)

Reacción Media (N)

Tensión Máxima (N)

Tensión Media (N)

5365,89

1332,43

4691,48

3228,48

Reacción y Tensión

En los siguientes apartados se obtendrán expresiones que expliquen cada variable seleccionada en función de los tres parámetros variados. Después de los primeros análisis por regresión múltiple, empleando los 1000 datos no se supera para ninguna de las 4 variables el 72% de valor para el estadístico R-cuadrado que representa el porcentaje de variabilidad explicada. Esto se debe a la existencia de grupos bien diferenciados dentro de la población de observaciones; dentro de estos grupos también existen datos atípicos de las variables independientes y dependientes. Para la identificación de estos grupos se ha realizado un análisis de grupos o análisis Clúster. Inicialmente se ha realizado dicho análisis empleando el método Ward, usando la distancia métrica euclidiano cuadrado para un solo grupo. Con esto se obtiene como resultado la Figura 135, donde, efectivamente, se observa la existencia de grupos bien diferenciados dentro de la población compuesta por las 7 observaciones (R1, R2, reacción máxima, reacción media, tensión máxima y tensión media), anotadas en las 1000 simulaciones.

166

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 135. Análisis Clúster para un grupo, método Ward y medida Euclidean Cuadrado.

Si dividimos en dos o tres grupos, como muestra la Figura 136, se observa que aún quedan dos grupos bien diferenciados que no se han conseguido separar y están dentro de una misma rama. En el Clúster de dos grupos, los miembros se reparten en 990 y 10. Y en el Clúster de tres niveles, los grupos tienen 870, 120 y 10 miembros respectivamente, por lo que aún queda un grupo, el de 870, que recoge la mayoría de las observaciones.

Figura 136. Análisis Clúster para dos (izqda.) y tres (dcha.) grupos, método Ward y medida Euclidean Cuadrado.

Así, se ha realizado el análisis separando en 4 grupos el conjunto de observaciones, distinguiéndose en la Figura 137 dos grandes grupos, uno más pequeño y otro casi invisible. Esto se traduce en un reparto de miembros de 440, 120,430 y 10.

167

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 137. Análisis Clúster para 4 grupos, método Ward y medida Euclidean Cuadrado.

Estos grupos los podemos caracterizar según los centroides recogidos en la siguiente tabla, que indican el valor de referencia de cada grupo calculado según el método Ward y la medida métrica Euclidean Cuadrado.

Nº Miembros Ángulo

Reacción máxima

Reacción media

Tensión máxima

Tensión media

440

25,00

0,16 1,84

11207,60

1479,77

8921,16

2558,18

120

45,67

0,06 0,73

232674,00

9919,00

166986,00

3946,12

430

65,74

0,15 0,29

8138,92

1593,63

8481,19

3584,77

25,00

0,09 1,22 2594550,00

78379,50

34492,20

-99718,50

Tabla 29. Centroides del análisis Clúster inicial de 4 grupos.

Se observa a través de los centroides que los grupos 2 y 4 poseen unos valores de reacción y tensión que nunca podrían soportar los rodillos de la cadena, siendo especialmente desorbitado los valores del grupo cuarto. Esto es debido especialmente al valor reducido del centroide del ángulo de inclinación, en ambos grupos, menor de 0.1. Los grupos 1 y 3 poseen valores diferenciados entre sí, pero razonables, del orden de N. Es por esto que de aquí en adelante nos referiremos a las 870 observaciones que recogen los grupos primero y tercero. Si repetimos la misma operación, se tienen aún grupos muy heterogéneos. Al realizar otro análisis Clúster de estas 870 observaciones, separando 4 grupos, se obtienen los centroides de la Tabla 30.

168

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Nº Miembros Ángulo

Reacción máxima

Reacción media

Tensión máxima

Tensión media

15,00

0,06

6,15135

25016,80

1403,95

13059,20

-1285,31

17,00

0,08

4,13317

74526,90

3798,51

62143,70

-169,55

700

45,00

0,17 0,754202

4380,93

1317,69

4307,36

3199,35

100

66,60

0,08 0,345146

21279,6

2438,62

21703,9

4840,05

Tabla 30. Centroides del segundo análisis Clúster de 4 grupos.

Como puede observarse los valores mayores de Reacción y Tensión se presentan para los grupos en los que los centroides del radio R1 son más pequeños. Para el estudio por regresión simple de las 4 variables dependientes elegidas, se trabajará con las observaciones del Clúster número tres, esto es, con 700 observaciones. Para la explicación de las 4 variables dependientes se obtendrán distintas fórmulas y valores del estadístico R-cuadrado en función de los siguientes criterios: 

Explicación clara de la tendencia de cada variable.



Obtención de un porcentaje elevado de variabilidad explicada (R-cuadrado).



Simplicidad de las expresiones obtenidas.

REACCIÓN MÁXIMA  ANÁLISIS DE LA VARIANZA Si hacemos un análisis de la varianza de la reacción máxima explicada por R1, R2 y el ángulo de inclinación, se obtiene la Tabla 31. Fuente

Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio

Comp.Var.

Porcentaje

TOTAL(CORREGIDO)

1,29E+09

699

Ang_inc

1,24E+08

1,38E+07

1,17E+09

1,95E+07

1,95E+06

99,94

690976

621

1112,68

1080,5

0,06

ERROR

186,247

20,6942

Tabla 31. Análisis de la varianza para la variable Reacc_max.

169

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

La tabla de análisis de la varianza obtenida divide la varianza de Reacc_max en 3 componentes, uno por factor. El objetivo del análisis es estimar la cantidad con la que contribuye cada factor, es decir, los componentes de la varianza. En este caso, el factor que contribuye con la máxima varianza es R1, cuya contribución alcanza el 99.9434 % del total de la variación en Reacc_max.

 ANÁLISIS POR REGRESIÓN MÚLTIPLE Comenzando por el análisis por regresión múltiple más simple y clara, se obtiene la Tabla 32, donde se observa que los tres parámetros propuestos son significativos. Dado que todos los PValor son menores a 0.1, se puede decir que todos los parámetros son significativos para un nivel de confianza del 99%. Error Estimación

Estadístico estándar

P-Valor

CONSTANTE

9752,32

114,211

85,3883

90,2869

15,7627

5,72788

-27512,3

525,934

-52,3114

Ang_inc

-15,5307

1,02298

-15,1818

Parámetro

Tabla 32. Análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max.

A continuación se presentan los parámetros que resumen este análisis: 

R-cuadrado = 83,6769 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 83,6066 porcentaje



Error estándar de est. = 550,617



Error absoluto medio = 409,876



Estadístico de Durbin-Watson = 0,0391703 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,967296

El valor del estadístico R-cuadrado indica que el modelo explica un 83,6769% de la variabilidad de Reacc_max. El estadístico ajustado, que es más conveniente para comparar modelos con diferente números de variables independientes, es 83.6066%. La ecuación del modelo ajustado es:

170

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Ecuación 22. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Primer modelo.

Como muestran los signos de los coeficientes, si se mantienen el resto de parámetros constantes, el valor máximo de reacción aumenta al aumentar el valor de R2 y disminuye al aumentar los valores de R1 y del ángulo de inclinación. Siendo el parámetro más influyente, como se mostró en el análisis de la varianza, el parámetro R1. En la Figura 138 se muestran los efectos de los tres componentes. Se observa una clara tendencia para R1 y Ang_inc, siendo menos clara para R2. Esto se justifica porque el límite superior de R2 depende de R1 y de Ang_inc y porque el límite inferior, , ya evita la aparición de reacciones tan elevadas como las que han aparecido para valores de R1 menores de 0.1m. efecto de componente

efecto de componente

Gráfico de Componente+Residuo para Reacc_max Gráfico de Componente+Residuo para Reacc_max (X 1000) 4

1900 1400 900 400 -100 -600

-1100 0

3 2 1 0 -1 -2 0,11

0,14

0,17

0,2

0,23

0,26

efecto de componente

Gráfico de Componente+Residuo para Reacc_max 3400 2400 1400 400 -600

-1600 0

100

Ang_inc

Figura 138. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Efecto de los componentes.

En la Figura 139, se ha representado las observaciones frente al valor predicho por el modelo representado por la ecuación antes descrita. Se observa una curvatura marcada en los datos observados, lo que se intentará linealizar en los siguientes modelos.

171

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Gráfico de Reacc_max

observado

(X 1000) 10 8 6 4 2 0 0

10 (X 1000)

predicho

Figura 139. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Observado frente ha predicho.

En los siguientes análisis de ha aumentado el valor de R-cuadrado a costa de complicar el modelo. Aunque las principales tendencias se han obtenido del primer modelo. El siguiente modelo se ha obtenido transformando tanto la variable dependiente como las independientes en su logaritmo neperiano. Error Estimación

Estadístico estándar

P-Valor

CONSTANTE

6,88595

0,0295669

232,893

log(Ang_inc)

-0,0790074

0,0074908

-10,5473

log(R1)

-0,991652

0,015409

-64,3552

log(R2)

0,0323652

0,00609404

5,31096

Parámetro

Tabla 33. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max.

A continuación se presentan los parámetros que resumen este análisis: R-cuadrado = 90,6622 porcentaje R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 90,622 porcentaje 

Error estándar de est. = 0,0861188



Error absoluto medio = 0,0674355



Estadístico de Durbin-Watson = 0,105625 (P=0,0000)



Auto correlación residual en Lag 1 = 0,938523

El valor del estadístico R-cuadrado indica que el modelo explica un 90,6622% de la variabilidad de Reacc_max, que coincide con el valor ajustado de este estadístico. Por lo que hemos

172

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

aumentado respecto del modelo anterior un 7.0554% el valor ajustado de R-cuadrado.La ecuación de este modelo ajustado es:

Ecuación 23. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Segundo modelo.

Aunque según la Tabla 33, todos los parámetros son significativos para un nivel de confianza de un 99%, dado que el P-Valor es menor que 0.01, si eliminamos del modelo al parámetro menos significativo, R2, se obtiene la Ecuación 24, con un valor de R-cuadrado ajustado de 90,2559%, lo que supone una pérdida de sólo un 0.4063% de variabilidad explicada. Con esto se consigue la Ecuación 24, donde se expresa la reacción máxima con los parámetros R1 y el ángulo de inclinación.

Ecuación 24. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Tercer modelo.

En la Figura 140, se muestra la gráfica que representa las observaciones de la variable dependiente frente al valor predicho por la Ecuación 24, modelo que ha linealizado en gran parte el primer modelo definido por la Ecuación 22.

173

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Gráfico de log(Reacc_max)

observado

9,1 8,9 8,7 8,5 8,3 8,1 7,9 7,9

8,1

8,3

8,5

8,7

8,9

9,1

predicho Figura 140. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Observado frente ha predicho.

El cuarto y último modelo desarrollado para explicar el valor máximo de la reacción en este modelo simulado, consta de 9 parámetros, todos, combinaciones de los tres parámetros de partida. El parámetro R2 se ha eliminado por las mismas razones explicadas en modelos anteriores. PARÁMETRO

ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

CONSTANTE

0,00010039

1,2999E-05

7,72349

R1^2

-0,0102714

0,0028609

-3,59028

0,0003

R1^3

0,136381

0,0220691

6,17973

R1^4

-0,310653

0,0466452

-6,65992

-6,4182E-05

2,4292E-06

-26,4212

Ang_inc^3

6,81E-11

3,47E-12

19,6171

Ang_inc*R1

0,00152795

5,9745E-05

25,5743

Ang_inc*R1^2

-0,0130513

0,00054329

-24,0228

Ang_inc*R1^3

0,0482369

0,0021652

22,2783

Ang_inc*R1^4

-0,0658834

0,00318944

-20,6568

Ang_inc

Tabla 34. Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max.

174

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

A continuación se presentan los parámetros que resumen este análisis: 

R-cuadrado = 99,153 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 99,1419 porcentaje



Error estándar de est. = 0,00000582745



Error absoluto medio = 0,00000425368



Estadístico de Durbin-Watson = 0,258948 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,841293

El valor del estadístico R-cuadrado ajustado indica que el modelo explica un 99.1419% de la variabilidad de Reacc_max.Por lo que hemos aumentado respecto de los dos modelos anteriores un 8% y un 15% respecto del modelo inicial. Esto se ha conseguido añadiendo combinaciones de los parámetros R1 y Ang_inc. En la Ecuación 25 se muestran que la reacción máxima se explica con la combinación de 9 parámetros y una constante.

Ecuación 25. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Cuarto modelo.

Aunque hay muchas variables definidas, no todas contribuyen de la misma forma a explicar la variabilidad de la reacción máxima sobre la guía. En la Tabla 35 se muestra un análisis de la varianza, donde se han ordenado las fuentes de variabilidad de la Reacc_max de mayor a menor importancia estadística dentro del modelo.

175

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

FUENTE R1^2

SUMA DE CUADRADOS

2,3577E-06

CUADRADO MEDIO

COCIENTE-F

10,0000024

69425,84

P-VALOR

Ang_inc

1,80E-07

5291,78

Ang_inc*R1

1,10E-07

3237,8

R1^3

4,15E-08

1221,43

Ang_inc*R1^4

1,45E-08

426,7

Ang_inc^3

1,31E-08

384,83

Ang_inc*R1^3

1,18E-08

348,06

Ang_inc*R1^2

1,05E-08

308,85

R1^4

4,28E-09

125,89

2,7429E-06

Modelo

Tabla 35. Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

Aunque el cociente F muestra la importancia de cada fuente del modelo en términos absolutos, se ha recogido este cociente en forma de porcentaje en la Tabla 36, para hacernos una idea más certera de cuánta importancia tiene cada variable independiente elegida en este modelo estadístico.

176

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

FUENTE

PORCENTAJE

ACUMULADO

R1^2

85,95%

Ang_inc

6,55%

92,51%

Ang_inc*R1

4,01%

96,51%

R1^3

1,51%

98,03%

Ang_inc*R1^4

0,53%

98,55%

Ang_inc^3

0,48%

99,03%

Ang_inc*R1^3

0,43%

99,46%

Ang_inc*R1^2

0,38%

99,84%

R1^4

0,16%

100,00%

Tabla 36. Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max: porcentaje de importancia estadística de cada variable.

En este modelo los 9 parámetros elegidos son significativos para un nivel de confianza del 99% al ser todos los P-Valores inferiores a 0.01. En la Figura 141 se puede observar la alta linealidad de la mayoría dichos parámetros.

Figura 141. Efecto de las nueve componentes del cuarto modelo de regresión múltiple para la variable Reacc_max.

177

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

El aumento de linealidad de este modelo respecto de los anteriores se muestra en la Figura 142. Este modelo se podría completar con la definición de más parámetros, aunque el aumento del valor del estadístico R-cuadrado no sufriría grandes cambios. Gráfico de 1/Reacc_max

observado

(X 0,00001) 35 31 27 23 19 15 11 11

predicho

35 (X 0,00001)

Figura 142. Cuarto análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_max: Observado frente a predicho.

REACCIÓN MEDIA Para la obtención la reacción media explicada con los parámetros variados en la simulación, R1, R2 y Ang_inc, se han analizado diversos modelos de regresión múltiple. Se han seleccionado tres modelos, siguiendo los criterios expuestos anteriormente. Como modelo más simple se tiene la reacción media sobre la guía como una parábola en R1. Otros modelos aún más simples, como un modelo de regresión simple entre Reacc_media y R1, o un modelo de regresión múltiple entre Reacc_media y R1 y Ang_inc, proporcionan valores del estadístico R-cuadrado muy bajos, menores de un 57%. Este modelo alcanza un 84.236% de variabilidad explicada (R-cuadrado ajustado). En la Tabla se muestra un resumen de este análisis, y puede observarse que en todos los casos el P-Valor es inferior a 0.01, por lo que se las variables independientes elegidas son significativas para un nivel de confianza de un 99%. ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

CONSTANTE

2546,19

27,3339

93,1512

-13243

330,098

-40,1184

R1^2

33569,4

952,976

35,2259

PARÁMETRO

Tabla 37. Análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media.

178

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

A continuación se presentan los parámetros que resumen este análisis: 

R-cuadrado = 84,2811 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 84,236 porcentaje



Error estándar de est. = 36,4557



Error absoluto medio = 28,9638



Estadístico de Durbin-Watson = 0,0829108 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,950585

La ecuación del modelo ajustado es:

Ecuación 26. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Primer modelo.

En la Figura 143 se muestra el efecto de los componentes, cuyo efecto es coherente para valores de R1 menor que uno, ya que al aumentar R1 disminuye su cuadrado, y disminuye por tanto la reacción media sobre la guía.

Figura 143. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Efecto de los componentes.

Como puede observase tanto en la Figura 143 como en la Figura 144, los datos se acumulan en nubes de puntos separados, esto es debido a que en este análisis sólo se ha tenido en cuenta R1, que presenta una serie de valores no continua.

179

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 144. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Observado frente ha predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1 (dcha).

El segundo modelo, siguiendo la línea del anterior, expresa la variable Reacc_media como un polinomio de grado cuarto en R1. En la Tabla 38 se muestra un resumen de este análisis que, al igual que el anterior, todos sus parámetros son significativos para un nivel de confianza del 99%. ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

CONSTANTE

11699,6

524,17

22,3203

-226578

12950,2

-17,4961

R1^2

1,84E+06

117253

15,698

R1^3

-6,61E+06

461685

-14,3261

R1^4

8,85E+06

667966

13,256

PARÁMETRO

Tabla 38. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media.

En este caso el porcentaje de variabilidad explicada ha aumentado un 8.3511% respecto del primer análisis por regresión múltiple efectuado para explicar la reacción media sobre la guía. Con este análisis ya se consigue explicar un 92.5871% de la variabilidad (valor ajustado). Este, como otros datos de este análisis, se resume en la siguiente lista:

180



R-cuadrado = 92,6295 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 92,5871 porcentaje



Error estándar de est. = 24,9992



Error absoluto medio = 18,196



Estadístico de Durbin-Watson = 0,153159 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,914325

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

La ecuación del modelo ajustado es:

Ecuación 27. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Segundo modelo.

Para analizar la importancia estadística de cada variable independiente, se muestra en la Tabla 39 una tabla de ANOVA para variables en el orden de ajuste. La importancia de cada variable está ligada al valor del cociente F, a mayor valor de este cociente, mayor importancia tendrá la variable. FUENTE

SUMA DE CUADRADOS

CUADRADO MEDIO

COCIENTEF

P-VALOR

3,32E+06

5308,54

R1^2

1,65E+06

2638,78

R1^3

382160

611,5

R1^4

109819

175,72

5,46E+06

Modelo

Tabla 39. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

La importancia de las variables independientes seleccionadas disminuye al aumentar el grado del polinomio de forma exponencial. Esto supone una gran ayuda a la hora de simplificar un modelo, así, si eliminásemos las dos variables que menos contribuyen a explicar la variabilidad de la reacción media sobre la guía, llegaríamos al modelo anterior. En la Figura 145 se muestra el efecto de los cuatro componentes, lo que muestra en cada caso la tendencia marginal de cada variable, aunque en este caso se podría considerar ficticia, puesto que no puede variarse una variable independiente manteniendo constante el resto.

181

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 145. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Efecto de los componentes.

El aumento del estadístico R-cuadrado ajustado se refleja en las gráficas que representan los valores predichos por el modelo frente a R1 y en la gráfica que representa los valores observados frente a los predichos por el modelo obtenido. En la Figura 146 se muestran ambas gráficas, en las que se puede observar que los valores de la reacción media sobre la guía obtenidos para los distintos valores de R2 y de Ang_inc, para un mismo R1 están cortados por la línea de los valores predichos. En el modelo anterior no se cumplía para todos los valores de R1.

Figura 146. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Observado frente ha predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1 (dcha).

El tercer y último modelo que se presenta para la explicación del valor medio de reacción sobre la guía tendrá buscará un valor elevado del estadístico R-cuadrado ajusta, al igual que el modelo mostrado en la Ecuación 25.

182

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

13240

350,834

37,7387

-251323

8446,66

-29,7542

R1^2

1,97E+06

75018,9

26,2002

R1^3

-6,82E+06

292020

-23,3463

R1^4

8,85E+06

420950

21,0348

Ang_inc

-33,9889

2,62684

-12,9391

Ang_inc^3

-6,7031E-05

9,3887E-06

-7,13952

Ang_inc*R1

549,888

48,3868

11,3644

Ang_inc*R1^2

-2774,94

287,808

-9,64164

Ang_inc*R1^3

4521,59

554,407

8,15573

PARÁMETRO CONSTANTE

Tabla 40. Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media.

A continuación se presentan los parámetros que resumen este análisis: 

R-cuadrado = 97,0939 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 97,056 porcentaje



Error estándar de est. = 15,7544



Error absoluto medio = 10,9092



Estadístico de Durbin-Watson = 0,328501 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,829428

El valor del estadístico R-cuadrado ajustado indica que el modelo explica un 97.056% de la variabilidad de Reacc_max.Por lo que hemos aumentado respecto del modelo anterior un 5% y un 13% respecto del modelo inicial. Esto se ha conseguido añadiendo combinaciones de los parámetros R1 y Ang_inc. En la Ecuación 28 se muestran que la reacción máxima se explica con la combinación de 9 parámetros y una constante.

183

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Ecuación 28. Análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Tercer modelo.

Aunque hay muchas variables definidas, no todas contribuyen de la misma forma a explicar la variabilidad de la reacción máxima sobre la guía. En la Tabla 41 se muestra un análisis de la varianza, donde se han ordenado las fuentes de variabilidad de la Reacc_max de mayor a menor importancia estadística dentro del modelo.

184

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Suma de cuadrados

Cuadrado medio

Cociente-F

P-Valor

3,32E+06

13366,66

R1^2

1,65E+06

6644,31

R1^3

382160

1539,72

R1^4

109819

442,46

Ang_inc

32271,2

130,02

Ang_inc^3

12651,5

50,97

Ang_inc*R1

57313,5

230,92

Ang_inc*R1^2

144342

581,55

Ang_inc*R1^3

16509,3

66,52

Modelo

5,72E+06

Fuente

Tabla 41.Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

Aunque el cociente F muestra la importancia de cada fuente del modelo en términos absolutos, se ha recogido este cociente en forma de porcentaje en la Tabla 42, para hacernos una idea más certera de cuánta importancia tiene cada variable independiente elegida en este modelo estadístico.

185

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

FUENTE

PORCENTAJE

ACUMULADO

57,98%

R1^2

28,82%

86,80%

R1^3

6,68%

93,48%

Ang_inc*R1^2

2,52%

96,01%

R1^4

1,92%

97,92%

Ang_inc*R1

1,00%

98,93%

Ang_inc

0,56%

99,49%

Ang_inc*R1^3

0,29%

99,78%

Ang_inc^3

0,22%

100,00%

Tabla 42.Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Reacc_media: porcentaje de importancia estadística de cada variable.

En este modelo los 9 parámetros elegidos son significativos para un nivel de confianza del 99% al ser todos los P-Valores inferiores a 0.01. En la Figura 147 se puede observar la alta linealidad de la mayoría dichos parámetros.

186

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 147. Efecto de las nueve componentes del tercer modelo de regresión múltiple para la variable Reacc_media.

El aumento de linealidad de este modelo respecto de los anteriores se muestra en la Figura 148. En esta figura se representa las observaciones frente a los valores predichos por este modelo.

Figura 148. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Reacc_media: Observado frente ha predicho.

187

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

TENSIÓN MÁXIMA Para la obtención de los modelos que expliquen la tensión máxima que sufren los eslabones al recorrer el centro de los rodillos las distintas geometrías que presentan cada simulación de las 700 que se analizan, se va a proceder de forma diferente a cómo se ha trabajado en el cálculo de los modelos relativos a la reacción media y máxima sufrida por la guía. En estos, se buscaba inicialmente obtener modelos simples que permitiesen ver una tendencia clara de las variables dependientes al variar las variables independientes, para después aumentar el número de variables independientes y así conseguir un valor ajustado del estadístico R-cuadrado que fuese elevado ( más de un 95%). En este apartado se va a partir de un modelo completo y complejo que permita obtener un valor elevado del R-cuadrado ajustado, para después ir simplificándolo basándonos en el cociente-F que nos indica la importancia de cada variable en el modelo seleccionado. Para obtener el modelo completo se van a seleccionar un número suficiente de variables independientes para, después, realizar un análisis de regresión múltiple “hacia delante”, el cual ya elimina los parámetros menos significativos. Las 23 variables independientes de partida son:

Se han elegido estas basándonos en la experiencia en la obtención de los modelos para las variables Reacc_max y Reacc_media. Si realizamos el análisis “hacia delante”, se obtiene la Tabla 43, en la que se muestran las 16 variables significativas que representan este modelo para un nivel de confianza del 99%.

188

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

141000

2984,93

47,2373

-2,83E+06

70490,8

-40,1153

R1^2

2,17E+07

621332

34,9252

R1^3

-7,36E+07

2,42E+06

-30,338

R1^4

9,28E+07

3,53E+06

26,2584

Ang_inc

-384,929

26,9014

-14,3089

Ang_inc*R1

6290,16

490,224

12,8312

Ang_inc*R1^2

-33912,2

2895,03

-11,714

Ang_inc*R1^3

60408

5541,93

10,9002

-1295,56

178,907

-7,24154

R2^2

82,029

14,7441

5,56352

R2^4

-0,0482764

0,0160298

-3,01167

0,0026

R2*Ang_inc

7,15669

1,75792

4,07112

R1*R2

9371,98

1411,54

6,63954

R1*R2^2

-525,182

95,82

-5,48093

R2*R1^4

-304135

63508,3

-4,7889

R1/R2

233,839

58,3309

4,00884

0,0001

PARÁMETRO CONSTANTE

Tabla 43. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_máx.

Este modelo puede resumirse en la siguiente lista:

189



R-cuadrado = 98,7814 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 98,7528 porcentaje



Error estándar de est. = 129,046

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación 

Error absoluto medio = 99,5764



Estadístico de Durbin-Watson = 0,238327 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,863127Como se ha mostrado en el resumen, con este modelo tan complejo se ha conseguido en el primer intento un valor muy elevado del estadístico R-cuadrado ajustado, 98.7528%. Este valor irá disminuyendo en modelos posteriores que, partiendo de este, no contengan las variables con menor importancia estadística.

OEFICIENTES SIGNO VALOR COEFICIENTE

VARIABLE

141000

CONSTANTE

2,83E+06

2,17E+07

R1^2

7,36E+07

R1^3

9,28E+07

R1^4

384,929

Ang_inc

6290,16

Ang_inc*R1

33912,2

Ang_inc*R1^2

60408

Ang_inc*R1^3

1295,56

82,029

R2^2

0,0482764

R2^4

7,15669

R2*Ang_inc

9371,98

R1*R2

525,182

R1*R2^2

304135

R2*R1^4

233,839

R1/R2

Tabla 44. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: Listado de coeficientes y variables del modelo.

La ecuación del modelo, si nos apoyamos en las columnas de la Tabla 44, se puede expresar de la según:

Ecuación 29. Análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max.

190

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Para simplificar este modelo y conseguir modelos más sencillos de manejar y mantener a la vez un valor elevado del estadístico R-cuadrado, se ha obtenido un análisis de la varianza para variables en el orden de ajuste, que se muestra a continuación en la Tabla 45. En esta tabla se recoge además, en las columnas de la derecha el porcentaje que supone para cada variable su cociente-F respecto de la suma a de estos cocientes. Se ha sombreado todas aquellas filas que corresponden a variables con muy poca importancia estadística, ya que no llegan al 0.7% entre todas. Suma de cuadrados

Cuadrado medio

CocienteF

PValor

5,78E+08

34734,02

62,74%

R1^2

2,50E+08

15039,95

27,17%

89,90%

R1^3

6,37E+07

3827,54

6,91%

96,82%

R1^4

1,32E+07

791,86

1,43%

98,25%

Ang_inc*R1

9,95E+06

597,68

1,08%

99,33%

Ang_inc*R1^2

2,49E+06

149,38

0,27%

99,60%

Ang_inc*R1^3

1,63E+06

97,73

0,18%

99,77%

R1*R2

901685

54,15

0,10%

99,87%

R2*R1^4

387998

23,3

0,04%

99,91%

331654

19,92

0,04%

99,95%

R1/R2

267625

16,07

0,0001

0,03%

99,98%

Ang_inc

134570

8,08

0,0045

0,01%

99,99%

R1*R2^2

45734

2,75

0,0975

0,00%

100,00%

R2^4

7341,87

0,44

0,5067

0,00%

100,00%

R2^2

4201,98

0,25

0,6154

0,00%

100,00%

R2*Ang_inc

55,0848

0,9541

0,00%

100,00%

Modelo

9,22E+08

Fuente

Porcentaje Acumulado

Tabla 45. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

En la Figura 149 se muestran los efectos de las 16 componentes ordenadas según la Tabla 45. Se observa que de las variables sombreadas anteriormente, en algunas no existe una linealidad clara con la variable dependiente Tens_max, mientras que si nos fijamos en las 5 primeras imágenes, dicha linealidad es clara.

191

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 149. Efecto de las 16 componentes del primer modelo de regresión múltiple para la variable Tens_max.

En la Figura 150 se ha representados el conjunto de las 700 observaciones frente al valor predicho por el modelo definido en la Ecuación 29 con los datos de la Tabla 45. Se observa que la mayoría de estas simulaciones presentan una tensión máxima menor de 4300 N, que son las simulaciones que permiten alcanzar un porcentaje tan elevado de variabilidad explicada.

Figura 150. Análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max: Observado frente ha predicho.

Si eliminamos del modelo de regresión múltiple las todas las variables menos las 5 que poseen mayor importancia estadística, y volvemos a repetir el análisis hacia delante, se obtiene la Tabla 46, dónde se observa que los 4 parámetros seleccionados suponen un polinomio de grado cuarto en R1.

192

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

124547

4172,56

29,8491

-2,59E+06

103088

-25,0956

R1^2

2,07E+07

933372

22,2015

R1^3

-7,35E+07

3,68E+06

-19,9869

R1^4

9,70E+07

5,32E+06

18,2478

PARÁMETRO CONSTANTE

Tabla 46. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max.

Este modelo puede resumirse en la siguiente lista: 

R-cuadrado = 97,0511 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 97,0341 porcentaje



Error estándar de est. = 199,002



Error absoluto medio = 132,627



Estadístico de Durbin-Watson = 0,120985 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,931525

Como se ha mostrado en el resumen, con este modelo simplificado se ha conseguido un valor muy elevado del estadístico R-cuadrado ajustado, 97.0341%. Este valor ha disminuido tan sólo un 1.7187% respecto del modelo anterior, disminuyendo el número de variables de 16 a 4. En este modelo, después del análisis hacia delante, se ha eliminado la quinta variable que se proponía para el análisis, Ang_inc*R1. Algo lógico teniendo en cuenta que importancia estadística recogida en la Tabla 45 suponía tan sólo un 1.04% de la suma de los cocientes-F. COEFICIENTES

SIGNO VALOR COEFICIENTE

VARIABLE

124547

CONSTANTE

2,59E+06

2,07E+07

R1^2

7,35E+07

R1^3

9,70E+07

R1^4

Tabla 47. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: Listado de coeficientes y variables del modelo.

La ecuación del modelo, si nos apoyamos en las columnas de la Tabla 47, se puede expresar de la según la

193

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Ecuación 30. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max.

Para simplificar aún más este modelo, construimos la Tabla 48, en la cual se observa que R1^4 sería el candidato a eliminar, puesto que la fuente siguiente con menor importancia, R1^3, tiene casi 5 veces más importancia, con un porcentaje mayor que 7%. SUMA DE CUADRADOS

CUADRADO MEDIO

COCIENTE-F

P-VALOR

PORCENTAJE

ACUMULADO

5,78E+08

14606

63,86%

R1^2

2,50E+08

6324,45

27,65%

91,51%

R1^3

6,37E+07

1609,52

7,04%

98,54%

R1^4

1,32E+07

332,98

1,46%

100,00%

Modelo

9,06E+08

FUENTE

Tabla 48.Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

En la Figura 151 se han representado lo efectos de las 4 componentes, que muestran una linealidad alta, así como la tendencia de cada una. Como al aumentar el valor de R1 (valor menor que 1 para todas las simulaciones), disminuye el valor de sus potencias para exponentes mayores que uno, se puede decir que al aumentar R1 disminuye la tensión máxima de la cadena, teniendo en cuenta que R1 y R1^2 son las fuentes con mayor peso en este modelo, explicando entre ambas el 91.51% del mismo. Se puede interpretar que las fuentes R1^3 y R1^4, aportan correcciones al modelo que definirían las dos primeras, que marcan las tendencias principales.

194

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 151. Efecto de las 4 componentes del segundo modelo de regresión múltiple para la variable Tens_max.

Como tenemos un modelo que depende realmente sólo de R1, en la Figura 152 se ha representado (dcha.), los valores observados y predichos por este segundo modelo, de los valores de la tensión máxima sobre la cadena y R1. También se ha representado (izqda.) la gráfica “Observado frente a Predicho” del mismo modelo. Debido al filtro de las simulaciones, ya que se eliminaron los valores altos de reacción y, por tanto, también de tensión, la mayoría de los datos se refieren a valores altos de R1, lo que provoca una aglomeración de datos en todas las gráficas de este tipo.

Figura 152. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max: Observado frente ha predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1 (dcha.).

Al eliminar la variable R1^4 del modelo se obtiene la Tabla 49, que representa el tercer análisis por regresión múltiple para la variable dependiente Tens_max.

195

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

49688

926,31

53,6408

-7,23E+05

17068,2

-42,3865

R1^2

3,76E+06

101522

37,022

R1^3

-6,46E+06

1,96E+05

-33,0111

PARÁMETRO CONSTANTE

Tabla 49. Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max.

Este modelo puede resumirse en la siguiente lista: 

R-cuadrado = 95,6382 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 95,6194 porcentaje



Error estándar de est. = 241,849



Error absoluto medio = 191,371



Estadístico de Durbin-Watson = 0,0827362 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,951039

Como se ha mostrado en el resumen, con este modelo simplificado se ha conseguido un valor elevado del estadístico R-cuadrado ajustado, 95.6194%. Este valor ha disminuido tan sólo un 1.4147% respecto del modelo anterior, disminuyendo el número de variables de 4 a 3, lo que supone un modelo más sencillo. Respecto del modelo inicial se ha perdido solamente un 3.1334% del valor ajustado del porcentaje de variabilidad explicada. COEFICIENTES

SIGNO VALOR COEFICIENTE

VARIABLE

49688

CONSTANTE

7,23E+05

3,76E+06

R1^2

6,46E+06

R1^3

Tabla 50. Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: Listado de coeficientes y variables del modelo.

196

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

La ecuación del modelo, si nos apoyamos en las columnas de la Tabla 50, se puede expresar según:

Ecuación 31. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max.

Para simplificar aún más este modelo, habría que partir de la Tabla 51, pero como ya se indicó, la variable a eliminar en este caso, R1^3, tiene una importancia estadística no despreciable frente a las otras, y si se eliminase supondría bajar el estadístico R-cuadrado ajustado por debajo del 90%. Razón por la cual, junto con que ya hemos obtenido un modelo suficientemente simple, no se simplificará más este modelo.

SUMA DE CUADRADOS

CUADRADO MEDIO

COCIENTE-F

P-VALOR

PORCENTAJE

ACUMULADO

5,78E+08

9889,05

64,80%

R1^2

2,50E+08

4282

28,06%

92,86%

R1^3

6,37E+07

1089,73

7,14%

100,00%

Modelo

8,93E+08

FUENTE

Tabla 51.Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_max: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

En la Figura 153 se han representado lo efectos de las 3 componentes, que muestran su linealidad con la variable dependiente Tens_max, así como la tendencia de cada una.

Figura 153. Efecto de las 3 componentes del tercer modelo de regresión múltiple para la variable Tens_max.

Como tenemos un modelo que depende realmente sólo de R1, en la Figura 154 se ha representado (dcha.), los valores observados y predichos por este segundo modelo, de los valores de la tensión máxima sobre la cadena y R1. También se ha representado la gráfica “Observado frente a Predicho” del mismo modelo. La interpretación de estas figuras es análoga a las gráficas de la Figura 152.

197

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 154. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Tens_max: Observado frente ha predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1 (dcha).

TENSIÓN MEDIA Para la modelización de la tensión media de la cadena se va proceder de la misma manera que para la modelización de la tensión máxima de la cadena. Así, se va realizar un análisis hacia delante por regresión múltiple partiendo de las mismas 23 variables empleadas en el apartado anterior. Una vez realizado este análisis, se muestra un resumen del mismo en la Tabla 52. En este análisis, nos hemos quedado con 10 variables independientes de las 23 propuestas. Con estas 10 variables se consigue explicar un 99,2131% de la variabilidad de la variable dependiente del modelo, en este caso, Tens_media.

ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

CONSTANTE

10684,2

151,802

70,3825

-161588

3654,02

-44,2221

R1^2

1,32E+06

32452,2

40,6843

R1^3

-4,83E+06

126324

-38,2136

R1^4

6,61E+06

182097

36,3168

Ang_inc

5,09878

1,13625

4,48737

Ang_inc*R1

-136,114

20,9316

-6,50279

Ang_inc*R1^2

969,551

124,498

7,78767

Ang_inc*R1^3

-2047,19

239,822

-8,53628

4,18904

0,577349

7,25565

-0,435919

0,0664979

-6,55538

PARÁMETRO

Ang_inc*R2

Tabla 52. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media.

198

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Este modelo puede resumirse en la siguiente lista: 

R-cuadrado = 99,2243 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 99,2131 porcentaje



Error estándar de est. = 6,81493



Error absoluto medio = 5,48255



Estadístico de Durbin-Watson = 0,151866 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,923102

En la Tabla 53 se muestran los valores de los coeficientes asociados a cada variable y su signo, que se recogen como ayuda para la compactación de la ecuación del modelo (Ecuación 32).

COEFICIENTES SIGNO VALOR COEFICIENTE

VARIABLE

10684,2

CONSTANTE

161588

1,32E+06

R1^2

4,83E+06

R1^3

6,61E+06

R1^4

5,09878

Ang_inc

136,114

Ang_inc*R1

969,551

Ang_inc*R1^2

2047,19

Ang_inc*R1^3

4,18904

0,435919

Ang_inc*R2

Tabla 53. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: Listado de coeficientes y variables del modelo.

La ecuación del modelo, si nos apoyamos en las columnas de la Tabla 53, se puede expresar:

Ecuación 32. Análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media.

Para simplificar este modelo de forma análoga a como se hizo para la variable Tens_max, se ha obtenido un análisis de la varianza para variables en el orden de ajuste, que se muestra a continuación en la Tabla 54. En esta tabla se recoge además, en las columnas de la derecha el porcentaje que supone para cada variable su cociente-F respecto de la suma de estos cocientes. Se ha sombreado todas aquellas filas que corresponden a variables con muy poca importancia estadística, ya que no llegan al 1% entre todas.

199

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

SUMA DE CUADRADOS

CUADRADO MEDIO

COCIENTE-F

PVALOR

PORCENTAJE

ACUMULADO

2,84E+06

61134,65

69,36%

R1^2

9,06E+05

19508,15

22,13%

91,50%

R1^3

1,90E+05

4097,9

4,65%

96,15%

R1^4

6,11E+04

1316,29

1,49%

97,64%

Ang_inc*R1

5,71E+04

1229,33

1,39%

99,04%

Ang_inc

2,72E+04

585,35

0,66%

99,70%

Ang_inc*R1^2

6,42E+03

138,19

0,16%

99,86%

Ang_inc*R1^3

3,39E+03

72,9

0,08%

99,94%

Ang_inc*R2

2,00E+03

42,97

0,05%

99,99%

4,65E+02

10,02

0,0016

0,01%

100,00%

Modelo

4,09E+06

FUENTE

Tabla 54. Análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

En la Figura 155 se muestran los efectos de las 10 componentes ordenadas según la Tabla 54. En las últimas dos gráficas se observa una clara pérdida de linealidad de las variables R2 y Ang_inc*R2, mientras que el resto, presentan una linealidad bastante acentuada, destacando las cuatro primeras variables.

200

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 155. Efecto de las 10 componentes del primer modelo de regresión múltiple para la variable Tens_media.

En la Figura 156 se ha representados el conjunto de las 700 observaciones frente al valor predicho por este primer modelo para la estimación de la tensión media de la cadena. Se observa que la mayoría de estas simulaciones presentan una tensión máxima menor de 3300 N, habiendo un segundo grupo cuya tensión media es del orden de 100 Newtons mayor.

Figura 156. Análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media: Observado frente ha predicho.

201

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Si eliminamos del modelo de regresión múltiple las todas las variables menos las 5 que poseen mayor importancia estadística, y volvemos a repetir el análisis hacia delante, se obtiene la Tabla 55, dónde se observa que todos significativos para un nivel de confianza del 99%.

ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

CONSTANTE

10898,6

272,861

39,9419

-167501

6741,34

-24,8469

R1^2

1,36E+06

61036,9

22,3254

R1^3

-4,91E+06

240334

-20,4491

R1^4

6,61E+06

347715

18,9995

Ang_inc*R1

-0,974495

0,120839

-8,06439

PARÁMETRO

Tabla 55. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media.

Este modelo puede resumirse en la siguiente lista: 

R-cuadrado = 97,151 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 97,1305 porcentaje



Error estándar de est. = 13,0135



Error absoluto medio = 9,85103



Estadístico de Durbin-Watson = 0,0811472 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,952267

Como se ha mostrado en el resumen, con este modelo simplificado se ha conseguido un valor muy elevado del estadístico R-cuadrado ajustado, 97.1305%. Este valor ha disminuido tan sólo un 2.0826% respecto del modelo anterior, disminuyendo el número de variables a la mitad, de 10 a 5.

202

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

COEFICIENTES

SIGNO VALOR COEFICIENTE

VARIABLE

10898,6

CONSTANTE

167501

1,36E+06

R1^2

4,91E+06

R1^3

6,61E+06

R1^4

0,974495

Ang_inc*R1

Tabla 56. Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: Listado de coeficientes y variables del modelo.

La ecuación del modelo, si nos apoyamos en las columnas de la Tabla 47, se puede expresar:

Ecuación 33. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media.

Para simplificar aún más este modelo, construimos la Tabla 57, en la cual se observa que Ang_inc*R1 sería el primer candidato a eliminar, ya que su cociente-F supone un porcentaje de un 0.27% de la suma de todos los cocientes-F.

SUMA DE CUADRADOS

CUADRADO MEDIO

COCIENTE-F

P-VALOR

PORCENTAJE

ACUMULADO

2,84E+06

16765,66

70,84%

R1^2

9,06E+05

5349,95

22,61%

93,45%

R1^3

1,90E+05

1123,82

4,75%

98,20%

R1^4

6,11E+04

360,98

1,53%

99,73%

Ang_inc*R1

1,10E+04

65,03

0,27%

100,00%

Modelo

4,01E+06

FUENTE

Tabla 57.Segundo análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

203

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

En la Figura 151 se han representado lo efectos de las 5 componentes, que muestran una linealidad alta, así como la tendencia de cada una. En las cuatro primeras componentes, correspondientes a un polinomio de grado cuatro en R1, presentan un alta linealidad, mientras que la variable Ang_inc*R1, carece de ella.

Figura 157. Efecto de las 5 componentes del segundo modelo de regresión múltiple para la variable Tens_media.

En la Figura 158 se ha representado las observaciones frente a lo que predice el modelo según la Ecuación 33. Se distinguen en la misma tres grupos bien diferenciados, con tensiones medias entorno a 3150 N, 3250 N y 3400 N.

Figura 158. Segundo análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media: Observado frente ha predicho.

Al eliminar las variables Ang_inc*R1 y R1^4 del modelo se obtiene la Tabla 58, que representa el tercer análisis por regresión múltiple para la variable dependiente Tens_media.

204

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

CONSTANTE

5801,59

63,2286

91,7558

-40657,6

1165,05

-34,8978

R1^2

207657

6929,78

29,9658

R1^3

-352765

13348,9

-26,4265

PARÁMETRO

Tabla 58. Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media.

Este modelo puede resumirse en la siguiente lista: 

R-cuadrado = 95,4021 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 95,3823 porcentaje



Error estándar de est. = 16,5083



Error absoluto medio = 11,7309



Estadístico de Durbin-Watson = 0,0529743 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,96691

Si solamente se hubiese eliminado la variable Ang_inc*R1, el valor ajustado del estadístico Rcuadrado hubiera sido de 96.8661%, un 1.4838% menor que el obtenido para este modelo, lo que justifica su eliminación por permitir la obtención de un modelo más simple con un alto porcentaje de variabilidad explicada, un 95.3823%. COEFICIENTES

SIGNO VALOR COEFICIENTE

VARIABLE

5801,59

CONSTANTE

40657,6

207657

R1^2

352765

R1^3

Tabla 59. Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: Listado de coeficientes y variables del modelo.

La ecuación del modelo, si nos apoyamos en las columnas de la Tabla 59, se puede expresar:

Ecuación 34. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media.

205

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Para simplificar aún más este modelo, habría que partir de la Tabla 60. La única variable que podría eliminarse sería R1^3, y, aunque supondrá una pérdida de variabilidad explicada de 5% aproximadamente, se obtendrá un modelo con más de un 90% de valor para el R-cuadrado ajustado.

SUMA DE CUADRADOS

CUADRADO MEDIO

COCIENTE-F

P-VALOR

PORCENTAJE

ACUMULADO

2,84E+06

10418,52

72,14%

R1^2

9,06E+05

3324,57

23,02%

95,16%

R1^3

1,90E+05

698,36

4,84%

100,00%

Modelo

3,94E+06

FUENTE

Tabla 60.Tercer análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

En la Figura 159 se han representado lo efectos de las 3 componentes, que muestran su linealidad con la variable dependiente Tens_media, así como la tendencia de cada una.

Figura 159. Efecto de las 3 componentes del tercer modelo de regresión múltiple para la variable Tens_media.

Como tenemos un modelo que depende realmente sólo de R1, al igual que en otros análisis anteriores, en la Figura 160 se ha representado (dcha.), los valores observados y predichos por este segundo modelo, de los valores de la tensión máxima sobre la cadena y R1. También se ha representado la gráfica “Observado frente a Predicho” del mismo modelo. Se observa que la dispersión de los datos respecto a lo que predice el modelo aumenta para valores de R1 pequeños, mientras que para valores grandes, las observaciones se acumulan en la línea que corresponde al modelo desarrollado. Se puede decir entonces que este modelo es más robusto para valores de R1 mayores.

206

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 160. Tercer análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media: Observado frente ha predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1 (dcha.).

Si eliminamos la variable R1^3, basándonos en su baja importancia estadística recogida en la Tabla 60, se obtiene la Tabla 61: ERROR ESTIMACIÓN

ESTADÍSTICO ESTÁNDAR

P-VALOR

CONSTANTE

4163,01

17,5069

237,792

-10123,9

211,422

-47,8848

24882

610,365

40,7658

PARÁMETRO

R1^2

Tabla 61. Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media.

Este modelo puede resumirse en la siguiente lista: 

R-cuadrado = 90,7887 porcentaje



R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 90,7622 porcentaje



Error estándar de est. = 23,3493



Error absoluto medio = 17,213



Estadístico de Durbin-Watson = 0,0363479 (P=0,0000)



Autocorrelación residual en Lag 1 = 0,976107

Se ha obtenido por tanto un modelo con un valor de variabilidad explicada de un 90.7622%, y con sólo dos variables, R1 y R1^2. Así, tenemos explicada la tensión media de las 700 simulaciones como una parábola o polinomio de grado dos en R1.

207

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

COEFICIENTES

SIGNO VALOR COEFICIENTE

VARIABLE

4163,01

CONSTANTE

-10123,9

24882

R1^2

Tabla 62. Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: Listado de coeficientes y variables del modelo.

La ecuación del modelo, si nos apoyamos en las columnas de la Tabla 62, se puede expresar de la según la Ecuación 35.

Ecuación 35. Cuarto análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media.

Para observar cómo ha quedado nuestro modelo después de todas las simplificaciones sufridas, se ha recogido en la Tabla 63, un análisis de la varianza indicando la importancia estadística de cada una de las dos variables del modelo. En esta tabla se obtiene que la importancia entre R1 y R1^2 es de 3 a 1. SUMA DE CUADRADOS

CUADRADO MEDIO

COCIENTE-F

P-VALOR

PORCENTAJE

ACUMULADO

2,84E+06

5207,91

75,81%

R1^2

9,06E+05

1661,85

24,19%

100,00%

Modelo

3,75E+06

FUENTE

Tabla 63.Cuarto análisis por regresión múltiple para la variable Tens_media: ANOVA para variables en el orden de ajuste.

En la Figura 159 se han representado lo efectos de las 3 componentes, que muestran su linealidad con la variable dependiente Tens_media, así como la tendencia de cada una.

Figura 161. Efecto de las 2 componentes del cuarto modelo de regresión múltiple para la variable Tens_media.

Como tenemos un modelo que depende realmente sólo de R1, al igual que en otros análisis anteriores, en la Figura 162 se ha representado (dcha.), los valores observados y predichos por

208

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

este segundo modelo, de los valores de la tensión máxima sobre la cadena y R1. También se ha representado la gráfica “Observado frente a Predicho” del mismo modelo. Al igual que en el modelo anterior, se observa que la dispersión de los datos respecto a lo que predice el modelo aumenta para valores de R1 pequeños (o de tensiones media grandes), mientras que para valores grandes, las observaciones se acumulan muy cerca de la línea que corresponde al modelo desarrollado.

Figura 162. Cuarto análisis por regresión múltiple de la variable Tens_media: Observado frente ha predicho (izqda.) y Valores predichos frente a R1 (dcha).

 Diseño Robusto del Tensor para un Pasillo Horizontal En este ejemplo se va a diseñar el tensor de un modelo 2D de pasillo rodante utilizando la filosofía de Genichi Taguchi, pionero en el diseño robusto. El diseño de este experimento tiene por objeto medir la desviación estándar de la velocidad lineal absoluta. El experimento consta de 3 factores de control con tres niveles cada uno, por lo que corresponde con un diseño factorial simétrico . La aleatoriedad o el ruido se introducen mediante 4 señales de ruido que comprenden 2 factores y dos niveles cada uno. El criterio de diseño robusto elegido para definir la relación señal-ruido, es el denominado “Menor es mejor”. Posteriormente se realizará un análisis de la varianza para estudiar la significancia de cada factor en la variabilidad medida. Finalmente, para ver cuál es la variabilidad explicada por motivos geométricos se procederá a un análisis de regresión múltiple. La variabilidad geométrica se deba a las curvas de transición, en las que al variar la relación cuerda-arco recorrido respecto a las zonas rectas.

DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA El sistema ha sido diseñado en un programa de simulación dinámica de sistemas multicuerpo de propósito general, denominado SIMPACK. Este sistema consta de 12 eslabones, 12 rodillos, una guía fija y un tensor, necesario debido a que los eslabones forman una cadena.

209

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 163. Pasillo Rodante diseñado en SIMPACK.

En la Figura 163, se pueden observar todos los elementos indicados salvo el tensor, que está superpuesto a la guía y actúa en la zona izquierda de la imagen. En la siguiente figura se muestra un detalle de esa parte izquierda para poder apreciarlo.

Figura 164. Detalle Tensor del Pasillo Rodante.

Se indica también que la variable global “aceleración de la gravedad”, se define en el eje de ordenadas con un valor de . El sistema de tracción es lineal, es decir, existe un control proporcional de centrado en el eje y , en la parte horizontal superior, que controla la velocidad lineal horizontal de los rodillos, aplicándoles una fuerza cuando esta difiere de la velocidad consigna o de referencia, , para este diseño.

SELECCIÓN DE PARÁMETROS. Este sistema tiene definido una fuerza de contacto entre cada rodillo y la guía y el tensor, con su rigidez y amortiguamiento, obtenido de una tabla fuerza-deformación procedente de un ensayo real. Tomando esto como constante o robusto, los parámetros que se podrían modificar son los que atañen al tensor: 

Precarga



Rigidez



Amortiguamiento

Se han seleccionado tres niveles para cada parámetro de control. En la Tabla 64 se recogen dichos niveles:

210

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

PARÁMETROS DE CONTROL NIVEL 1 NIVEL 2

NIVEL 3

Precarga

1500

3000

4500

Rigidez

10000

55000

100000

Amortiguamiento

5000

10000

15000

Tabla 64. Parámetros de Control y sus Niveles.

SEÑALES DE RUIDO Las señales de ruido para este experimento consisten en distribuciones de carga aleatorias en el rellano superior, que simulan el efecto de subida aleatoria de pasajeros con una distribución uniforme de peso. Estas funciones se han programado en MATLAB según el siguiente esquema:

Figura 165. Flujograma de la Señal Ruido.

Como puede observarse en la Figura 165, las señales de ruido constan de dos orígenes de aleatoriedad: 

Si entra una persona o no.



Peso de la persona, que sigue una distribución uniforme de media M y varianza V.

Se han definido dos niveles para la media y dos niveles para la varianza, y se han definido las señales de ruido para 100 segundos de simulación (10 ciclos aproximadamente) para cada combinación de niveles. En la Tabla 65 se muestran los valores en kg. de dichos niveles de ruido.

211

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

PARÁMETROS DE RUIDO NIVEL 1 NIVEL 2 Media (kg) Varianza (kg)

33.33

300

Tabla 65. Parámetros y niveles de Ruido.

Hay que resaltar que esta función es distinta para cada ciclo tal como se muestra en Figura 166, en la que hay 10 ciclos de carga (sólo en 5 ocasiones se ha cargado dicho rodillo). Esta señal es negativa porque corresponde a la masa multiplicada por la aceleración de la gravedad, se puede observar que la línea verde correspondiente a la media se calcula:

Figura 166. Ejemplo de una Señal de Ruido.

En la Figura 167 se muestran las doce señales de ruido para los niveles 1 de media M y varianza V de la primera señal de ruido empleada en el experimento. Puede observarse la aleatoriedad al paso de cada rodillo por la zona de carga, puede estar cargado o no, así como la aleatoriedad en el valor de dicha carga.

212

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 167. Señal de Ruido empleada para los niveles 1 de media y varianza.

RESULTADOS OBTENIDOS En este apartado se recogen los datos de medida así como los resultados de los análisis realizados. Se analizará la desviación estándar de la velocidad obtenida en 9001 puntos donde se ha medido la velocidad en los 100 segundos de cada simulación. El análisis de este estadístico se llevará a cabo por tres vías, la primera, calculando la señal-ruido según la filosofía de diseño robusto de Taguchi. En segundo lugar, se ha analizado la varianza y posibles interacciones entre los distintos factores empleando la herramienta STATGRAPHICS. Y finalmente, se ha obtenido una fórmula que explica la desviación estándar de la velocidad cuantitativamente, permitiéndonos separar el efecto geométrico del sistema.

213

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Señales de Ruido Parámetros de Control Precarga

Media 1

Media 2

Varianza 1

Varianza 2

Varianza 1

Varianza 2

Rigidez

Amortiguamiento

0.05035487

0.05039451

0.0503093

0.05032551

0.05028682

0.05030687

0.05025189

0.05026155

0.05025064

0.05025584

0.05016934

0.05018949

0.05033293

0.05038224

0.05026215

0.05030809

0.05029464

0.05030315

0.05020243

0.05023506

0.05018448

0.0502245

0.0501298

0.05017251

0.05024918

0.05028295

0.05022537

0.05022857

0.05022218

0.05025923

0.05015736

0.05022306

0.05013844

0.05020301

0.05011749

0.05010182

0.0514687

0.05151958

0.05145038

0.05146555

0.05115783

0.0512085

0.0511315

0.05116183

0.05094546

0.05098092

0.05093295

0.05094221

0.05129242

0.0513526

0.05126571

0.05128881

0.0510515

0.05110126

0.05103615

0.051026

0.05085994

0.05090999

0.0508366

0.05085407

0.05115038

0.05118953

0.05113096

0.05115105

0.05093155

0.05098172

0.05090928

0.05093302

0.05080832

0.0508232

0.05078827

0.05079136

0.05316803

0.05322836

0.0531564

0.05317999

0.05246248

0.05254182

0.05248264

0.05249884

0.05198673

0.05205611

0.05200464

0.05202618

0.05280802

0.05286745

0.05282563

0.05284008

0.05222931

0.05227584

0.05222187

0.05223104

0.05179709

0.0518717

0.05181349

0.05183342

0.05251094

0.05256318

0.05251088

0.05252517

0.05210007

0.05206423

0.05199496

0.05201773

0.05162155

0.0517236

0.05165199

0.05165674

Tabla 66. Resultados Obtenidos.

214

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

RELACIÓN S/R DE TAGUCHI La búsqueda del diseño más robusto según los métodos de Genichi Taguchi se basa en aplicar un criterio de diseño del tipo “Nominal es mejor”, “Menor es mejor”, “Mayor es mejor” o “Ventana operativa dinámica”. En este caso se ha elegido, como ya se introdujo, el criterio de menor es mejor puesto que queremos que la desviación estándar de la velocidad sea mínima en función de cualquier estado de carga del pasillo. Nunca será nula debido a la existencia de tramos curvos. La fórmula aplicada para el cálculo de la relación señal- ruido corresponde con la siguiente ecuación:

215

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Señales de Ruido Parámetros de Control

MEDIA

1 M E D I A 1 MEDIA 2 MEDIA 2

Precar Amortigua V a r i a n z a 1 V a r i a n z a 2 V a r i a n z a 1 V a r i a n z a 2 M ed ia T o ta l Relación S/R Rigidez ga miento

0 . 0 5 0 3 5 4 8 7 0 . 0 5 0 3 9 4 5 1 0 . 0 5 0 3 0 9 3 0 . 0 50 3 2 5 5 1 0.0 5 03 46 0 5 25.96069029

0 . 0 5 0 2 8 6 8 2 0 . 0 5 0 3 0 6 8 7 0.0 5 02 51 8 9 0 . 0 50 2 6 1 5 5 0.0 5 02 76 7 8 25.97264961

0 . 0 5 0 2 5 0 6 4 0 . 0 5 0 2 5 5 8 4 0.0 5 01 69 3 4 0 . 0 50 1 8 9 4 9 0.0 5 02 16 3 3 25.98309884

0 . 0 5 0 3 3 2 9 3 0 . 0 5 0 3 8 2 2 4 0.0 5 02 62 1 5 0 . 0 50 3 0 8 0 9 0.0 5 03 21 3 5 25.96495046

0 . 0 5 0 2 9 4 6 4 0 . 0 5 0 3 0 3 1 5 0.0 5 02 02 4 3 0 . 0 50 2 3 5 0 6 0.0 5 02 58 8 2 25.97575117

0 . 0 5 0 1 8 4 4 8 0 . 0 5 0 2 2 4 5 0 . 0 5 0 1 2 9 8 0 . 0 50 1 7 2 5 1 0.0 5 01 77 8 2 25.98976217

0 . 0 5 0 2 4 9 1 8 0 . 0 5 0 2 8 2 9 5 0 . 0 5 0 2 2 3 7 0 . 0 50 2 2 8 5 7 0.0 5 02 46 5 2 25.97787964

0 . 0 5 0 2 2 2 1 8 0 . 0 5 0 2 5 9 2 3 0.0 5 01 57 3 6 0 . 0 50 2 2 3 0 6 0.0 5 02 15 4 6 25.983248 9

0 . 0 5 0 1 3 8 4 4 0 . 0 5 0 2 0 3 0 1 0.0 5 01 17 4 9 0 . 0 50 1 0 1 8 2 0.0 5 01 40 1 9 25.99627779

0 . 0 5 1 4 6 8 7 0 . 0 5 1 5 1 9 5 8 0.0 5 14 50 3 8 0 . 0 51 4 6 5 5 5 0.0 5 14 76 0 5 25.76789424

0 . 0 5 1 1 5 7 8 3 0 . 0 5 1 2 0 8 5 0 . 0 5 1 1 3 1 5 0 . 0 51 1 6 1 8 3 0.0 5 11 64 9 1 25.82055387

0 . 0 5 0 9 4 5 4 6 0 . 0 5 0 9 8 0 9 2 0.0 5 09 32 9 5 0 . 0 50 9 4 2 2 1 0.0 5 09 50 3 8 25.85705037

0 . 0 5 1 2 9 2 4 2 0 . 0 5 1 3 5 2 6 0.0 5 12 65 7 1 0 . 0 51 2 8 8 8 1 0.0 5 12 99 8 8 25.797670 6

0 . 0 5 1 0 5 1 5 0 . 0 5 1 1 0 1 2 6 0.0 5 10 36 1 5 0 . 0 5 1 0 2 6 0.0 5 10 53 7 3 25.839449 6

0 . 0 5 0 8 5 9 9 4 0 . 0 5 0 9 0 9 9 9 0 . 0 5 0 8 3 6 6 0 . 0 50 8 5 4 0 7 0.0 5 08 65 1 5 25.87159223

0 . 0 5 1 1 5 0 3 8 0 . 0 5 1 1 8 9 5 3 0.0 5 11 30 9 6 0 . 0 51 1 5 1 0 5 0.0 5 11 55 4 8 25.82215606

0 . 0 5 0 9 3 1 5 5 0 . 0 5 0 9 8 1 7 2 0.0 5 09 09 2 8 0 . 0 50 9 3 3 0 2 0.0 5 09 38 8 9 25.85900846

0 . 0 5 0 8 0 8 3 2 0 . 0 5 0 8 2 3 2 0.0 5 07 88 2 7 0 . 0 50 7 9 1 3 6 0.0 5 08 02 7 9 25.88224851

0 . 0 5 3 1 6 8 0 3 0 . 0 5 3 2 2 8 3 6 0 . 0 5 3 1 5 6 4 0 . 0 53 1 7 9 9 9 0 . 0 5 3 1 8 3 2 25.48450993

0 . 0 5 2 4 6 2 4 8 0 . 0 5 2 5 4 1 8 2 0.0 5 24 82 6 4 0 . 0 52 4 9 8 8 4 0.0 5 24 96 4 5 25.597400 6

0 . 0 5 1 9 8 6 7 3 0 . 0 5 2 0 5 6 1 1 0.0 5 20 04 6 4 0 . 0 52 0 2 6 1 8 0.0 5 20 18 4 1 25.67685665

0 . 0 5 2 8 0 8 0 2 0 . 0 5 2 8 6 7 4 5 0.0 5 28 25 6 3 0 . 0 52 8 4 0 0 8 0 . 0 5 2 8 3 5 3 25.54151652

0 . 0 5 2 2 2 9 3 1 0 . 0 5 2 2 7 5 8 4 0.0 5 22 21 8 7 0 . 0 52 2 3 1 0 4 0.0 5 22 39 5 1 25.64001662

0 . 0 5 1 7 9 7 0 9 0 . 0 5 1 8 7 1 7 0.0 5 18 13 4 9 0 . 0 51 8 3 3 4 2 0.0 5 18 28 9 3 25.708554 7

0 . 0 5 2 5 1 0 9 4 0 . 0 5 2 5 6 3 1 8 0.0 5 25 10 8 8 0 . 0 52 5 2 5 1 7 0.0 5 25 27 5 4 25.59225729

0 . 0 5 2 1 0 0 0 7 0 . 0 5 2 0 6 4 2 3 0.0 5 19 94 9 6 0 . 0 52 0 1 7 7 3 0.0 5 20 44 2 5 25.67254293

0 . 0 5 1 6 2 1 5 5 0 . 0 5 1 7 2 3 6 0.0 5 16 51 9 9 0 . 0 51 6 5 6 7 4 0.0 5 16 63 4 7 2 5. 7 3 6 3 2 6 Tabla 67. Relación Señal-Ruido.

216

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Según los datos obtenidos, la combinación de parámetros más robusta sería la [1, 3, 3], es decir, emplear la precarga más baja y la rigidez y amortiguamiento más altos de los empleados en las simulaciones. Esto nos proporciona el mayor valor de la relación señal-ruido, 25.996 dB, y también, como es lógico, la menor media de la varianza obtenida en cada uno de las 4 señales de ruido.

ANÁLISIS DE LA VARIANZA En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos tras analizas los datos obtenidos desglosados en los 108 casos distintos en función del factor de control y la función de ruido empleada. Análisis de la Varianza paraSTD - Sumas de Cuadrados de Tipo III -------------------------------------------------------------------------------Fuente

Suma de cuadrados

GL Cuadrado Medio Cociente-F

P-Valor

-------------------------------------------------------------------------------EFECTOS PRINCIPALES A:Precarga

0.0000781639

0.000039082

25074.16

0.0000

B:Rigidez

0.00000127435

6.37176E-7

408.80

0.0000

C:Amortiguamiento

0.00000500132

0.00000250066

1604.37

0.0000

5.16206E-7

1.29052E-7

82.80

0.0000

0.00000245359

6.13397E-7

393.54

0.0000

8.58564E-8

2.14641E-8

13.77

0.0000

1.3872E-7

1.55865E-9

INTERACCIONES

RESIDUOS

-------------------------------------------------------------------------------TOTAL (CORREGIDO)

0.000087634

107

-------------------------------------------------------------------------------Los cocientes F están basados en el error cuadrático medio residual.

Tabla 68. Análisis de la Varianza.

217

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Como puede observarse en la Tabla 68, las principales fuentes, pueden ordenarse de la siguiente manera: Precarga > Amortiguamiento > Rigidez > Interacc. (Precarga-Amortiguamiento) En las siguientes gráficas se muestra la variación de la desviación estándar en función de pares de parámetros de control, lo que nos permite observar sus tendencias. Gráfico de Interacción (X 0.0001) 518

Amortiguamiento 5000 10000 15000

STD

516 514 512 510 508 10000

55000

100000

Rigidez

Figura 168. Desviación estándar frente a Rigidez y Amortiguamiento.

Gráfico de Interacción (X 0.001) 53

Amortiguamiento 5000 10000 15000

52.5

STD

52 51.5 51 50.5 50 1500

3000

4500

Precarga

Figura 169. Desviación estándar frente a Precarga y Amortiguamiento.

Gráfico de Interacción (X 0.001) 53

Rigidez 10000 55000 100000

52.5

STD

52 51.5 51 50.5 50 1500

3000

4500

Precarga

Figura 170. Desviación estándar frente a Precarga y Rigidez.

En las figuras anteriores se observa una tendencia clara a disminuir la variación de la desviación estándar de la velocidad para una precarga de 1500 N. Así, en las figuras” Amortiguamiento” y “Desviación estándar frente a Precarga y Rigidez”, las tres líneas de cada una convergen para el valor de 1500 N, es decir, para este valor, da prácticamente igual el valor de la rigidez y del amortiguamiento seleccionados.

218

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE En la Tabla 69, se ha recogido el informe del análisis de regresión múltiple en el que se ha empleado la desviación estándar de la velocidad lineal absoluta como variable dependiente y los tres parámetros de control como variables independientes. Con estos resultados se pretende, además de proporcionar una fórmula aproximada que muestre la contribución de cada factor, analizar la importancia del factor geométrico, que será igual a la constante de dicho modelo. Variable dependiente: STD ----------------------------------------------------------------------------Error Parámetro

Estadístico

Estimación

estándar

P-Valor

----------------------------------------------------------------------------CONSTANTE

0.0498297 0.0000754988

Amortiguamiento Precarga Rigidez

-5.25323E-8

4.7371E-9

660.007

0.0000

-11.0895

0.0000

6.90286E-7 1.57903E-8

43.7157

0.0000

-2.95552E-9 5.26345E-10

-5.61518

0.0000

----------------------------------------------------------------------------R-cuadrado = 95.2064 porcentaje R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 95.0682 porcentaje Error estándar de est. = 0.000200978 Error absoluto medio = 0.000161514 Estadístico de Durbin-Watson = 1.64485 (P=0.0324) Autocorrelación residual en Lag 1 = 0.167351 Tabla 69. Regresión Múltiple.

De este análisis se deduce que todos los factores son significativos para un nivel de confianza del 99% ya que el p-Valor de la tabla es menor que 0.01. También puede expresarse la relación entre las variables dependientes e independientes de la siguiente forma:

219

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

La concordancia entre esta fórmula y los datos obtenidos es muy alta (lo indica el valor del R-cuadrado), y puede observarse en la siguiente gráfica que muestra lo observado frente a lo predicho. Gráfico de STD

observado

(X 0.001) 54 53 52 51 50 49 49

predicho

54 (X 0.001)

Figura 171. Regresión Múltiple: Observado frente a Predicho.

CONCLUSIONES El análisis inicial de la relación S/R nos proporciona el mejor caso aunque no nos da información sobre interacciones entre factores ni nos da ninguna idea de qué factor y en qué medida explica mejor la desviación medida. Aún así, se observa la coherencia de los dos análisis, puesto que en las gráficas de interacción se observa que el diseño óptimo corresponde para esos valores de los parámetros de control. El análisis de regresión múltiple corrobora esto pues basta observar el signo y valor absoluto de las constantes B, C y D. Estas constantes representan la sensibilidad de cada factor. El análisis de la varianza nos proporciona además, otra información ya comentada, como son las interacciones entre parámetros y la importancia o peso de cada uno en la explicación de la desviación estándar. Después de estos análisis, se puede comprobar los perfiles de la velocidad absoluta para los dos casos más extremos, aquellos que presentan el mínimo y máximo de relación S/R, se muestran en la Figura 172:

220

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 172. Velocidad Lineal en los Casos Extremos.

Gracias al análisis de regresión múltiple se ha podido separar el factor geométrico del dinámico en cuanto a explicar la variabilidad del la desviación estándar de la velocidad. La variabilidad geométrica puede observarse en la Figura 172, debido a la forma piramidal que se reconoce cada 4.86 segundos. En la zona del control proporcional, se observa que la variabilidad es mínima. A continuación se listan las principales conclusiones de este estudio:

221



La variación de velocidad depende de los tres parámetros de control.



El parámetro más influyente es la Precarga, y un valor de 1500 N proporciona un diseño robusto para cualquier valor de rigidez y amortiguamiento. Luego bastaría actuar sólo sobre un parámetro de control para conseguir la robustez del sistema.



Existe interacción de orden dos entre cada par de parámetros, siendo la más significativa la interacción entre la Precarga y el Amortiguamiento.



Existe una variabilidad geométrica imposible de eludir, aunque ha quedado cuantificada.



Este diseño podría haberse llamado también, diseño de un control de velocidad para el rellano inferior del pasillo, puesto que arriba no varía, y en las cabeceras la variación es sobretodo debida a la geometría.



Se ha conseguido realizar un experimento mediante simulación en un ordenador. Se ha sustituido el tiempo real que duraría dicho experimento, por un tiempo de simulación de unas 150 horas.

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

INFERENCIA DEL RESULTADO Como ya se ha explicado con anterioridad, uno de los objetivos de los modelos simplificados es poder inferir resultados, de modelos pequeños más simples a modelos más complejos. Esta inferencia permite el ahorro de tiempo al disminuir la carga computacional de los integradores. En la Figura 173 se muestran ambos modelos, el estudiado y sobre el que se inferirán los resultados.

Figura 173. Modelo de pasillo horizontal y de una guía de 4.5 metros de altura.

Así, en este apartado se van a trasladar los resultados del análisis estadístico del pasillo de 12 eslabones presentado en el apartado anterior, a un modelo que presenta las siguientes características: 

Modelo de una guía que representa la cadena de tracción de un lado de una escalera mecánica de 4.5m. de desnivel entre los rellanos inferior y superior.



Todas las curvas, tanto de transición como de volteo son curvas antipoligonalización, como en el caso del pasillo horizontal.



El número de eslabones asciende a 58, casi 5 veces más que el pasillo.



El sistema de tracción también es proporcional y se sitúa en la zona superior de la zona inclinada, cuya inclinación es 30º.



Posee un tensor con los mismos parámetros de definición que el modelo del pasillo.



Los parámetros de contacto rodillo-guía son idénticos al modelo de 12 eslabones.



Su velocidad de control es la misma que el modelo simplificado, 0.5 m/s.



Su período, el tiempo que tarda en dar una vuelta esta cadena, es igual a

222

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

El tiempo de simulación de un ciclo para el modelo de 58 eslabones es del orden de 16 horas, variando en función de los valores de los parámetros de diseño. Este tiempo de cálculo hace inviable el desarrollo del experimento realizado con el modelo de 12 eslabones, puesto que en este se simulaban 10 ciclos del mismo (unos 100 segundos), y el tiempo de integración oscilaba entre una y dos horas en función de la combinación de parámetros de cada caso. En este apartado se comprobará que la tendencia que marca el estudio estadístico del pasillo horizontal coincide con la que muestra el modelo de la guía que salva 4.5 metros de altura. Para comprobar esto se realizarán dos simulaciones de este modelo, con los parámetros del tensor coincidentes con el mejor y el peor caso, según se obtuvo en el apartado anterior. En la siguiente tabla se recuerdan las combinaciones de parámetros que correspondían a los casos en los que la desviación típica de la velocidad analizada en el caso del pasillo con carga aleatoria, era mínima y máxima. PRECARGA (N)

RIGIDEZ ( N/M) AMORTIGUAMIENTO (NS/M)

Mejor Caso

1500

1.e5

15000

Peor Caso

4500

1.e4

5000

Tabla 70. Parámetros del tensor de los dos casos extremos.

223

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Capitulo 6:

Discusión de

Resultados En este apartado se van a recoger, estudiar y analizar los diferentes resultados obtenidos en cada análisis. Además, se van a comparar los resultados obtenidos en los modelos dinámicos con los outputs de modelos correspondientes a otros tipos de análisis como son el análisis estático y cinemático. Esta comparación permitirá ver la importancia de la componente dinámicas del modelo en las siguientes variables: 

Velocidad



Reacción



Tensión

Además de la comparación cuantitativa se analizarán también las tendencias de los diversos modelos y las formas de sus curvas características. Este apartado servirá también para recordar algunos resultados relevantes mostrados con anterioridad. Los resultados de los análisis estadísticos se analizarán junto con los otros análisis sin dedicar un apartado exclusivo para esto.

RESULTADOS ESTÁTICOS

Los modelos estáticos desarrollados en este trabajo permiten estudiar la diferencia en los valores y forma de las curvas de reacción y tensión en función de las siguientes variables: 

Paso del eslabón



Radio de la curva



Relación cuerda/arco



Forma de la curva



Estado de carga

 Análisis de la reacción y la tensión en la zona de volteo En la zona de volteo, debido a la drástica disminución del radio de las guías, se produce un aumento considerable de la tensión del eslabón y del la reacción que debe soportar el rodillo. Esto explica la importancia del estudio de esta zona de forma particular.

224

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

VARIANDO LA RELACIÓN CUERDA/ARCO Como ya se desarrolló en el apartado correspondiente, la variación de la relación cuerda/arco tiene una gran importancia en la distribución de las reacciones y tensiones. Esta relación puede variarse de dos formas: 

Variando el paso del eslabón

Al disminuir el paso del eslabón, manteniendo el radio de volteo constante decrecen las tensiones y las reacciones de forma clara como se reflejan las curvas de la Figura 175, donde se ha pasado de un eslabón de 0.405 metros a uno de 0.135 metros. Al dividir el paso por tres, la reacción máxima se ha reducido en más de 4 veces, mientras que la tensión máxima tiende a parecerse a la media.

Figura 175. Variación de las curvas de tensión y reacción al variar el paso del eslabón.



Variando el radio de la curva

La otra forma de variar la relación cuerda/arco es variar el radio de la guía manteniendo el paso del eslabón constante. Esto es lo que representa la Figura 176, ya mostrada con anterioridad en este trabajo. Se observa que la sensibilidad ante radios bajos es mucho mayor que frente a radios mayores, donde tiene a estabilizarse dicho valor máximo. 4

4.5

x 10

Reacciones máximas en la guía en función del radio de volteo primitivo Precarga=3000N Peso Por Rodillo=120N

Valor Máximo de REACCION (N)

3.5

2.5

1.5

0.5 0.2

0.22

0.24 0.26 Radio de VOLTEO primitivo (m)

0.28

0.3

Figura 176. Variación de la relación cuerda/arco al variar el radio y mantener el paso constante.

225

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

VARIANDO LA FORMA DE LA CURVA Como ya se ha explicado a lo largo del trabajo, la reacción posee dos componentes, una debida al peso y otra debida a la tensión de los eslabones adyacentes. El peso por rodillo admite pocas variaciones salvo las posibles por cambio de materiales o aligeramiento del sistema multicuerpo, pero la tensión, partiendo de que debe existir una tensión mínima en la cadena para su correcto funcionamiento, depende totalmente de la configuración geométrica de los eslabones. Esta configuración geométrica de los eslabones viene determinada por la geometría de la guía. Esta geometría se ha definido a lo largo del trabajo de las siguientes formas: 

Mediante un radio constante.



Mediante una curva antipoligonalización para un paso y distancia entre guías determinadas.



Mediante dos radios y una recta inclinada.

Cada una de estas curvas determina una forma distinta de la reacción y la tensión para cada caso de carga. A continuación se van a recordar y a analizar estas curvas.

 CIRCULAR Y ANTIPOLIGONALIZACIÓN En la Figura 177 se muestran las curvas de tensión y reacción para los mismos casos de carga para dos curvas de volteo, una circular de radio constante y, la otra, una curva antipoligonalización que asegura la misma distancia horizontal entre guías que la curva anterior, además de asegura que la velocidad del rodillo de entrada es igual a la de salida.

Figura 177. Curvas de tensión y reacción en la zona de volteo para los casos circular y antipoligonalización.

Se observa una gran simetría en la curva antipoligonalización que asegura, además de que la velocidad de salida no sufre el efecto de poligonalización, que la tensión de salida constante, sin oscilar como lo hace en el caso de ser circular. Además los valores máximos son menores también en la segunda (unos 1000N). Así, ante el mejor reparto de esfuerzos tanto en los eslabones como en los rodillos y en la guía, como la no transmisión del efecto poligonalización de la velocidad, la curva antipoligonalización, promete una escalera más duradera que la guía circular.

226

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

 DEFINIDA POR DOS RADIOS Y UNA RECTA En este caso, presentado ampliamente dentro de los modelos estadísticos, se observa que la variación de los valores de los dos radios que definen la curva de volteo, para una distancia entre las zonas horizontales de la guía constante, tiene una gran influencia en los perfiles de las curvas de tensión y reacción. En la Figura 178 se muestran 9 ejemplos con diversas curvas, provenientes del programa de MATLAB desarrollado para el cálculo estático.

Figura 178. Curvas de tensión y reacción para diversos valores de los parámetros que definen la guía definida por dos radios y una zona recta.

Como ha podido observarse en las gráficas de la Figura 178, existen:

227



Perfiles con alta simetría en reacción como pueden serlo los casos 3, 5,8 y 9.



Perfiles parecidos a los de la curva de volteo circular con un eslabón de 0.405 m, como lo es el caso 1.



Curvas similares a las obtenidas para el caso de un eslabón de 0.2025 m, como lo es el caso 9.



Casos en los que la tensión presenta una amplitud de onda elevada, poniendo de manifiesto el efecto cadena, en los casos 2 y 4.

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación 

Curvas en las que la zona de máxima reacción se amplía frente a la curvas de volteo circular, como muestran los casos 2, 4, 6 y 7.



En los casos 2, 4, 6, 8 y 9, el valor máximo de reacción es menor que alcanzado en la curva de tensión. En el resto de casos ocurre lo contrario.



En los casos 3, 5 y 7, solo se alcanza un máximo local en la zona de volteo mientras que en el resto se alcanzan al menos dos.

VARIANDO EL ESTADO DE CARGA Al variar la carga que recibe cada rodillo la reacción y la tensión sufrirán cambios en cuanto a valores máximos, medios, incluso en cuanto a la forma de sus curvas en el sentido cualitativo. Y es en este último sentido en el que se aprecia dicho cambio al aumentar la carga por rodillo en la Figura 179. En esta se puede observar la lógica subida de los valores de tensión y reacción así como una pérdida de la simetría inicial de ambas curvas. Esta pérdida de simetría se debe al aumento de la importancia del peso en ambas variables.

Figura 179. Curvas de tensión y de reacción para tres casos de carga distintos en la zona de volteo.

Se ha analizado esta tendencia para 20 casos de carga variando entre 60N y 1500 N de peso por rodillo, añadiendo 2.5N del peso del propio rodillo. La longitud de eslabón considerada es de 0.405 m y el radio que describen los centros de los rodillos de resultado de cada simulación en el modelo estático se han obtenido: 

El valor máximo de reacción



El valor medio de reacción



El valor máximo de tensión



El valor medio de tensión

m. Como variables

Las cuatro variables que caracterizan cada modelo han sido representadas en función de la carga de cada caso y, además, se han obtenidos las ecuaciones de aproximación de cada curva a polinomios de primer, segundo y tercer orden, representando bajo cada gráfica los residuos frente a cada aproximación y la norma de los residuos correspondientes.

228

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación 

Valor máximo de la reacción

Los valores máximos de reacción en función del aumento de carga puede aproximarse a una recta que predice un valor mínimo del pico de reacción de 7000 N y una pendiente de 1.6 N /N. En este caso la aproximación presenta una norma elevada de los residuos, 222.0801 N, por lo que es más conveniente el aumentar el grado del polinomio de aproximación.

Figura 180. Valores máximos de la reacción en la zona de volteo en función de la carga por rodillo.

Como puede observarse en la Figura 180, la norma de los residuos para una aproximación cuadrática o cúbica varía muy poco. Así, si observamos estos dos modelos, ambos predicen un valor mínimo del extremo medido de la reacción de 7100 N, coincidiendo el coeficiente correspondiente a x en 1.1. Se comienzan a diferenciar en el coeficiente de . El cuarto coeficiente de la aproximación cúbica consigue ajustar el valor de los residuos frente al polinomio de grado dos en un 9%, siendo tan solo 1N la mejora aportada.



Valor máximo de la tensión

En este caso, procediendo de forma análoga al caso anterior, se aprecia en la Figura 181 que los residuos son relativamente bajos para las tres aproximaciones, existiendo una diferencia absoluta de unos 14 N entre ellos, despreciable frente a los valores de los que estamos hablando de miles de newton. El valor mínimo del valor máximo de la tensión se sitúa en 5700 N en las tres aproximaciones, valiendo el coeficiente de primer orden 1.9, 1.8 y 1.7 para los polinomios de grado 1 a 3 respectivamente. El resto de coeficientes corrigen estos valores para afinar el resultado final.

229

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 181. Valores máximos de la tensión en la zona de volteo en función de la carga por rodillo.



Valor medio de la reacción

Para la explicación del valor medio de la reacción se ha obtenido que los tres tipos de polinomio empleados permiten una aproximación a su valor real con un residuo relativamente bajo, siendo el máximo para la aproximación de la curva real a una recta, siendo en este caso la norma del residuo de 63.7832 N. El valor de la norma del residuo se divide por 8 al pasar al polinomio de aproximación siguiente, llegando a una norma de 1.4389 N en el caso de la aproximación cúbica. En la primera aproximación se establece el valor mínimo de la reacción media en 2900 N, mientras que en los otros el umbral mínimo se establece en 3000 N, coincidiendo con el valor de la precarga inicial.

230

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 182. Valores medios de la reacción en la zona de volteo en función de la carga por rodillo.



Valor medio de la tensión

En este caso los tres polinomios de aproximación presentan unos residuos muy bajos, todos del orden de 1.E-12. Se aprecia que la norma, dentro de que son valores bajos, aumenta al aumentar grado del polinomio de aproximación. El valor mínimo de la tensión media coincide en todas las ecuaciones en el valor de 3600 N, coincidiendo también el coeficiente correspondiente a término de grado uno, siendo este de 0.61. El siguiente término, presente tan sólo en las dos últimas ecuaciones, también coincide. Este estudio muestra la existencia de una gran linealidad de la variable de salida tensión media con la variable que representa la carga por rodillo. En la Figura 183 se muestran todos los resultados comentados en este apartado, concluyendo el estudio del efecto que la variación de la carga por rodillo tiene sobre la tensión del eslabón y la reacción sobre la guía, en este caso, también sobre el rodillo.

231

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 183. Valores medios de la tensión en la zona de volteo en función de la carga por rodillo.

Si resolvemos los sistemas de ecuaciones correspondientes a la expresión de la tensión media expresada como la ecuación de una recta y los correspondientes polinomios de grado dos de la reacción media y de la reacción máxima podemos expresar los valores característicos de la reacción sobre la guía de este modelo en función de la tensión media. La resolución de estos sistemas de ecuaciones se presenta en la Ecuación 36.

Ecuación 36. Expresión de la reacción media y máxima con función de la tensión media.

Estas ecuaciones relacionan los efectos que sufren los rodillos y la guía con los que sufre cada eslabón de la cadena, algo a tener en cuenta para el establecimiento de períodos de mantenimiento de la escalera, establecer criterios de diseño de los componentes de la escalera o como ayuda para la medida de los valores de reacción máxima y media en función de la tensión media medida en los eslabones en la zona de volteo.

 Análisis de la reacción y la tensión en la escalera completa Además de los fenómenos ya analizados en los anteriores apartados que mostraban las diferencias entre las curvas de reacción y tensión para un tipo de curva u otra en la zona de volteo, en el caso de la escalera completa, se aprecian los aspectos que se describen a continuación. El máximo de reacción es mayor en la guía circular, aunque del mismo orden. Ocurre lo mismo para los máximos de tensión en las cabeceras.

232

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La amplitud de las oscilaciones de la tensión a lo largo de la escalera es mucho mayor en el caso de guía circular, puesto que en el caso de guía con transiciones antipoligonalización la tensión crece de forma lineal en las zonas inclinadas, según puede apreciarse en la Figura 184. Aumentando dicha amplitud en la zona inclinada no accesible a los usuarios. En las zonas rectas, la reacción no varía, como era de esperar.

Figura 184. Cálculo estático de la reacción y la tensión para una guía de 4.5 metros de altura empleando geometrías antipoligonalización y circulares en las zonas de transición.

II.

RESULTADOS CINEMÁTICOS

Se han desarrollado tres modelos cinemáticos con uno, dos y tres eslabones por peldaño. En la Tabla 71 se recogen los valores máximos y mínimos de las principales variables cinemáticas medidas bajo simulaciones con las mismas leyes de movimiento, cambiando tan solo la longitud y número de eslabones por peldaño.

233

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Número de Eslabones por Peldaño

Distancia mínima

Velocidad Peldaño inferior

Velocidad Peldaño medio

Velocidad Peldaño superior

Velocidad relativa

VALORES MÍNIMOS Tres

0,931942

0,487485

0,487107

0,487042

Dos

1,16456

0,487486

0,48642

Uno

2,08367

0,487486

0,484167

VALORES MÁXIMOS Tres

49,4787

0,676827

0,681109

0,168764

Dos

50,2607

0,676827

0,681108

0,168103

Uno

57,1662

0,676827

0,681116

0,182006

Tabla 71. Valores mínimos y máximos de las variables medidas en los modelos cinemáticos.

Los casos sombreados son aquellos que presentan alguna diferencia significativa, mientras los que no se han señalado, son prácticamente iguales para los tres modelos desarrollados. Como cabía esperar, la velocidad del peldaño inferior, asociado al rodillo director, posee los mismos valores extremos para los tres casos. Ocurre lo mismo para los máximos de velocidad de los peldaños medio y superior que, aunque no son valores exactamente iguales, su diferencia puede considerarse despreciable. A continuación se listan los extremos que presentan alguna diferencia clara:

234



Valores mínimos



Distancia mínima



Velocidad del peldaño medio



Velocidad del peldaño superior



Valores máximos



Distancia mínima



Velocidad relativa

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Estas diferencias pueden apreciarse en la Tabla 72, donde se han recogido las 5 características cinemáticas listadas anteriormente y se han representado frente al número de eslabones por peldaño de cada modelo. A continuación se recogerán comentarios relativos a las gráficas de la tabla citada:

235



La distancia mínima entre dos peldaños, tanto si se analizan sus valores máximos como los mínimos, disminuye al aumentar el número de eslabones por peldaño.



La velocidad lineal de los peldaños medio y superior crecen de la misma manera y prácticamente en la misma cantidad al aumentar el número de eslabones.



La velocidad relativa entre peldaños, analizada en su valor máximo, disminuye al pasar de uno a dos eslabones, aumentando levemente al pasar de dos a tres eslabones.

Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Tabla 72. Comparación de los valores extremos de los tres modelos cinemáticos.

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III.

RESULTADOS DINÁMICOS

En este apartado se compararán los resultados obtenidos de las diversas simulaciones del modelo de una guía de 4.5 metros con un sistema de tracción lineal. Se analizarán los resultados obtenidos para: 

Curvas de transición circulares y antipoligonalización.



Diferentes combinaciones de parámetros del tensor



Varios estados de carga

 Variación de curvas de transición Las curvas de transición estudiadas en los modelos dinámicos se corresponden con curvas con zonas de transición y volteo circulares o diseñados como curvas antipoligonalización. Aunque existen muchos outputs, se van a analizar los más representativos, como son la velocidad, la tensión de un eslabón y la reacción de un rodillo.

VELOCIDAD En la Figura 185 se muestran superpuestas las gráficas de velocidad correspondiente a una guía con curvas circulares y antipoligonalización, ambas, con la misma combinación de parámetros del tensor, en este caso, la correspondiente al mejor caso predicho por el modelo estadístico desarrollado para el diseño robusto de un tensor en un pasillo móvil de 12 eslabones.

Figura 185. Velocidad lineal del rodillo 01 para las guías de 4.5m circular y antipoligonalización en el caso de menor desviación estándar.

En esta gráfica se observa que la amplitud de la velocidad en la zona de retorno de la guía con curvas circulares es unos 0.12 m/s mayor que en la guía con curvas circulares. En las zonas de transición se alcanzan como valores máximos 0.518m/s en la guía antipoligonalización y 0.6332m/s en la guía circular, lo que su pone un aumento de la amplitud de la velocidad en la zona de transición de un 22.2%, del mismo orden que con la combinación de parámetros que suponen la peor combinación de parámetros del tensor predichas en el

237

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modelo del pasillo móvil. En este caso los valores sería de 0.6523m/s en el caso circular y de 0.542m/s en el caso antipoligonalización.

TENSIÓN La guía circular aumenta la amplitud de la onda de tensión en las zonas inclinadas, aumentando de forma notable después del sistema de tracción lineal. Los valores máximos en las cabeceras son parecidos para ambas curvas.

Figura 186. Curvas de tensión para guías con curvas circular y antipoligonalización, en el peor caso de combinación de parámetros del tensor.

REACCIÓN El valor máximo de la reacción en las zonas curvas es mayor en el caso de la guía circular que en el de la guía antipoligonalización, coincidiendo en las zonas rectas.

Figura 187. Curvas de reacción para guías con curvas circular y antipoligonalización, en el peor caso de combinación de parámetros del tensor.

 Variación de los parámetros del tensor En este apartado se analizarán la influencia en la velocidad, tensión y reacción que tienen el empleo de dos combinaciones distintas de los parámetros del tensor, denominadas en el resto del trabajo como peor caso o mejor caso.

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VELOCIDAD En el apartado de modelos estadísticos se estudió la influencia que tenía cada parámetro del tensor (rigidez, amortiguamiento y precarga) sobre la desviación estándar de la velocidad de un modelo dinámico que representaba a un pasillo horizontal con 12 eslabones. En la Figura 188 se han representado los perfiles de velocidad correspondientes a dos tipos de geometría de guía, antipoligonalización y circula y, en para cada una de ellas, la velocidad para los casos denominados peor y mejor en cuanto a combinación de parámetros del tensor se refiere. Aunque la diferencia es pequeña, si se observa que las líneas negras (peor caso) sobresalen de las rojas (mejor caso) en las zonas de retorno.

Figura 188. Perfiles de velocidad para las geometrías de guía antipoligonalización y circular y dos combinaciones de parámetros del tensor.

Esta variación se ha cuantificado en la Tabla 73, dónde se recogen los valores máximos de la zona de retorno. En ambos tipos de geometría existe un incremento al pasar de unos parámetros del tensor a otros unos 0.02m/s. VELOCIDAD EN RETORNO

ANTIPOLIGONALIZACIÓN

CIRCULAR

Peor Caso

0.54656

0.6507

Mejor Caso

0.522671

0.631587

Tabla 73. Variación de la velocidad máxima en el retorno para las geometrías de guía antipoligonalización y circular y dos combinaciones de parámetros del tensor.

239

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TENSIÓN En el caso de la tensión, hay que recordar que al pasar del mejor caso al peor caso se aumentaba la precarga en un valor de 3000 N. Este aumento de precarga se ha traducido en un offset entre la tensión calculada en el peor caso y en el mejor caso. El valor del offset es de unos 1500 N en el caso de guía antipoligonalización y de unos 2500 N en el caso de guía circular, en ambos casos, medido en las zonas inclinadas.

Figura 189. Tensión para las geometrías de guía antipoligonalización y circular y dos combinaciones de parámetros del tensor.

Además de este offset, visible en las gráficas mostradas en la Figura 189, se produce una amplificación del máximo en una cantidad mayor al offset previamente analizado. Así, los máximos, se alejan unos 3000 N y 4000 N en los casos de guía antipoligonalización y circular, respectivamente. En el caso de guía circular, hay que señalar que con los parámetros correspondientes a peor caso sí trabaja a tracción, mientras que en el mejor caso, trabaja a compresión. En la guía antipoligonalización está trabajando siempre a tracción la cadena, incluso para la precarga de 1500 N.

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REACCIÓN En el caso de la reacción sobre el rodillo, que se muestra en la siguiente figura, no existen diferencias en las zonas rectas (horizontales e inclinadas). La sensibilidad a este cambio de parámetros se manifiesta en los valores de la reacción en las zonas curvas, esto es, en las zonas de transición y de volteo. Resultado lógico ya que se ha comprobado el aumento de tensión en esas zonas y, parte de la reacción, se debe a esta tensión. En el caso de la guía antipoligonalización existen una diferencia entre máximos de unos 4150 N, mientras que en la guía circular es de unos 5400 N.

Figura 190. Reacción para las geometrías de guía antipoligonalización y circular y dos combinaciones de parámetros del tensor.

 Variación del tipo de carga En este apartado se ha variado la carga por rodillo de forma sensible para estudiar su influencia en las variables mostradas a continuación. Se ha estudiado la sensibilidad a la variación de la carga por rodillo sobre la guía antipoligonalización y esta carga ha variado de la siguiente forma: 

Mayor carga por rodillo: 600.25 N



Menor carga por rodillo: 110.25 N

En general, las variables aumentarán su amplitud de oscilación y sus valores máximos.

241

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VELOCIDAD Al aumentar la carga por rodillo aumenta la amplitud de la velocidad en la zona de retorno más 1m/s, aumentando también el valor máximo en los volteos. En la zona accesible al pasajero la variación es mínima ante dicha variación de carga.

Figura 191. Velocidad para dos casos de carga y guía antipoligonalización.

TENSIÓN En la Figura 192 se recogen los perfiles de tensión para los dos casos de carga a estudiar. En esta gráfica se puede observar que: 

Aumento del valor de la tensión en todos los puntos.



Aumenta claramente la amplitud de las oscilaciones de tensión después del sistema de tracción lineal.



Disminución de la amplitud de las oscilaciones después de la cabecera superior hasta llegar a la cabecera inferior.



La mayor diferencia de tensión se presenta en la zona de volteo superior.

Figura 192. Tensión para dos casos de carga y guía antipoligonalización

242

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REACCIÓN En el caso de la reacción se multiplican los valores máximos de las zonas curvas, destacando su máximo aumento en la zona de volteo superior, aumentado más de 17kN.También aumenta la amplitud de oscilación de la curva de la reacción al aumentar la carga en las zonas curvas. En las zonas rectas debe existir tan sólo un offset debido a la diferencia de carga por rodillo.

Figura 193. Reacción para dos casos de carga y guía antipoligonalización.

IV.

INFLUENCIA DE LA COMPONENTE DINÁMICA FRENTE A LA ESTÁTICA Y A LA CINEMÁTICA

En este Trabajo Fin de Máster se han analizado el comportamiento de las cadenas desde diversos puntos de vista. Como se señaló anteriormente, uno de los objetivos de estos análisis es su complementariedad y coherencia. Para esto se compara en este apartado algunos resultados procedentes de análisis distintos.

 Análisis de la velocidad Si estudiamos la velocidad en una guía con transiciones antipoligonalización y tracción lineal, cinemáticamente se obtendría una velocidad constante e igual a la velocidad consigna del control de velocidad. Al observar la gráfica de velocidad de cualquier modelo dinámico con curvas antipoligonalización, como ejemplo se muestra una en la Figura 194, se aprecia que en la zona de retorno esto no se cumple.

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Desarrollo de una Metodología para el Análisis Estático, Cinemático y Dinámico de Escaleras Mecánicas mediante el empleo de Técnicas de Simulación

Figura 194. Ejemplo de perfil de velocidad de una curva antipoligonalización, procedente de un modelo dinámico.

Este fenómeno se debe tiene su origen en la necesidad de una precarga mínima en la cadena que asegure el buen funcionamiento de la misma. Esta precarga se consigue y se mantiene gracias a la estación tensora. Lo que producen estas variaciones de velocidad en el retorno son los pequeños desplazamientos del tensor, que tensan y destensan la cadena, variando los rodillos su posición teórica que asegura la antipoligonalización del sistema, por esto se han estudiado los parámetros del tensor, por su gran influencia en la amplitud de estas oscilaciones que, aunque no lleguen a propagarse de forma directa a la zona accesible por los pasajeros, si produce desgaste de la cadena, llegando de forma indirecta estos efectos, con el tiempo, a influir en el confort y seguridad del pasajero.

 Análisis de la reacción y tensión En la Figura 177 se muestran en las reacciones correspondientes al modelo estático y las correspondientes a modelos dinámicos, las primeras en la fila de arriba y la otra en la de abajo.

Figura 195. Curvas de tensión y reacción en la zona de volteo para los casos circular y antipoligonalización en los modelos estático y dinámico.

244

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Observando estas gráficas puede decirse que: 

La forma coincide en sentido cualitativo para los dos perfiles, circular y antipoligonalización



Los valores máximos son algo mayores en el caso dinámico, como puede comprobarse en la Tabla 74, las diferencias son inferiores a 200N en el caso de la curva antipoligonalización, mientras que en el caso de la guía circular son inferiores a 400N.

VALORES MÁXIMOS DE:

ANTIPOLIGONALIZACIÓN CIRCULAR

Reacción Dinámica

5444

5687

Tensión Dinámica

4334

4400

Reacción Estática

5253

5491

Tensión Estática

4322

4005

Tabla 74. Valores máximos de tensión y reacción para los estudios estático y dinámico.

Así se puede decir que la importancia de la componente dinámica frente a la estática en la zona de volteo es de: 

En la guía antipoligonalización



Tensión, 0.2%



Reacción, 3.6%



En la guía circular



Tensión, 9.8%



Reacción, 3.56%

En la Figura 196 se compara la reacción del modelo de escalera convencional cuya cadena está modelizada en el módulo CHAIN de SIMPACK y su valor obtenido en el modelo estático.

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Figura 196. Comparación de la curva de reacción para el modelo estático y el modelo dinámico de una escalera convencional de 1.5 metros de altura.

Las diferencias entre ambos modelos son mucho más grandes que en los casos del modelo de la guía movida mediante un sistema de tracción lineal. Las fuentes que marcan esta diferencia son: 

No existencia de tensor en el modelo estático



En el modelo dinámico existe contacto entre las guías tensoras y los eslabones de la cadena, lo que falsea el resultado real.



El contacto de los rodillos en el modelo dinámico en la zona de volteo se produce entre los dientes de la rueda y el rodillo, mientras que en el modelo estático se ha supuesto que el rodillo rueda por una guía.



En el modelo dinámico se tienen en cuenta holguras entre bulones y rodillos.

La diferencia notable entre ambos modelos pone de manifiesto que este modelo dinámico no está bien representado por el modelo estático.

246

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Capitulo 7:

Conclusiones

En términos generales se consideran cumplidos los objetivos iniciales de este Trabajo Fin de Máster, puesto que se ha desarrollado una metodología que permite simular el comportamiento estático, cinemático y dinámico el comportamiento una escalera mecánica. Esta metodología se ha puesto en práctica con modelos, lo cuales se han simulado y se han analizado posteriormente sus outputs. Se han propuesto ideas nuevas como son la tracción lineal y el uso de curvas antipoligonalización, que han sido simuladas mediante modelos dinámicos avanzados. Mediante el tratamiento estadístico de datos se ha conseguido un diseño robusto de un tensor para un modelo de pasillo horizontal de 12 eslabones, infiriendo el resultado al modelo de una guía de 4.5 metros de altura, de forma satisfactoria. La relación cuerda/arco ha sido analizada mediante la variación del paso del eslabón y del radio de volteo obteniéndose menores picos de reacción y tensión cuando esta relación se acerca a uno. Las distintas formas de curvas de volteo analizadas permiten afirmar que el mejor diseño para estas guías es el del perfil antipoligonalización, pues disminuye los máximos desde el punto de vista estático y dinámico. También disminuyen, frente a las guías circulares, la amplitud de la tensión en las zonas inclinadas. La metodología empleada en el análisis de los 1000 casos simulados para el caso de un perfil de volteo definido por dos radios y un ángulo, es válida para cualquier diseño de este tipo, en el que se varían parámetros que definen la geometría de la guía y, mediante el programa de cálculo estático de MATLAB y el correspondiente tratamiento estadístico se obtienen las tendencias de las variables medidas, tensión y reacción. Esto permite agrupar y optimizar conjuntos de parámetros de diseño, al emplear el análisis por grupos o análisis Clúster. La influencia de la carga por rodillo se aproxima en todos los casos estudiados a un polinomio de grado dos, con una norma de los residuos bastante baja en términos relativos. La tensión media es la variable que mejor se ajusta, destacando que la norma de su residuo en su aproximación a una recta es prácticamente nula. Se han desarrollado tres modelos cinemáticos con uno, dos y tres eslabones por peldaño, que ha sido simulado bajo las mismas leyes de movimiento. De estas simulaciones se ha obtenido la existencia de diferencias en la distancia mínima entre dos peldaño y en la velocidad relativa de estos. En los modelos dinámicos ha quedado patente que la variación de la velocidad aumenta al emplear curvas circulares frente a curvas antipoligonalización. Su variabilidad también depende de los parámetros del tensor, aumentado si aumenta la precarga y disminuyendo al aumentar la rigidez y el amortiguamiento.

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En los modelos dinámicos, la reacción sufre poca variación si comparamos un modelo con guía circular y otro con guía antipoligonalización. Solo se aprecia dicha diferencia en las zonas no rectas. La reacción si se ve afectada ante la variación de los parámetros que definen el tensor, aumentado su valor si nos situamos en llamado el peor caso. La tensión, en este caso, aumenta la amplitud de sus ondas. Se ha conseguido simular un sistema de tracción lineal que mejora los perfiles de todas las variables dinámicas de los modelos simulados. Los resultados dinámicos presentan una alta coherencia y correlación con los resultados del modelo estático, como se ha comprobado en la forma y valores de la tensión y reacción para los modelos de tracción lineal.

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Capitulo 8:

Publicaciones

A lo largo de este trabajo se han publicado dos artículos, en febrero y en julio del presente año. El primero se presentó en el Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica, dónde se mostraron las primeras líneas y modelos que pueden permitir el estudio e inferencia de mejoras en el diseño actual de escaleras mecánicas. En el segundo, presentado en el congreso internacional por excelencia de elevación vertical, se mostraron modelos dinámicos más avanzados, con nuevos resultados. Además de estos dos artículos ya publicados, existen otros artículos pendientes de revisión y, otros, que se escribirán más adelante.

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

Cabanellas, J.Mª, Cano, J.D., Suárez, B., Chover, J.A., Félez, J. (2008). Mejora de un diseño de más de 100 años. Nuevos conceptos en escaleras mecánicas. Anales de Ingeniería Mecánica, Revista de la Asociación Española de Ingeniería Mecánica, Vol.1, pp. 233-239



Cabanellas, J.Mª, Cano, J.D., Suárez, B., Chover, J.A., Félez, J. (2008).Methods for improving escalators. Elevator Technology 17, Proceedings of ELEVCON 2008 (The International Association of Elevator Engineers), pp. 22-33

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Capitulo 9:

Trabajos Futuros

Aplicación de la metodología desarrollada para la creación de modelos dinámicos completos incluyendo todas las guías y los peldaños. Desarrollo de nuevos modelos cinemáticos para simular otras leyes de movimiento del sistema y otras formas de las guías. Estudio de nuevas formas de guías que optimicen el espacio manteniendo los valores característicos de tensión y reacción dentro de unos límites, mediante el empleo del programa de cálculo estático. Comparación de los resultados del modelo dinámico de tracción lineal con resultados experimentales para el ajuste y validación, si procede, del modelo desarrollado. Adaptación y aplicación de la metodología a un ciclo completo de diseño de escaleras mecánicas, desde la fase conceptual a la mejora tras los resultados experimentales.

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Capitulo 10: Bibliografía [1] ADRIÁN, M. (2008). “Las Comunidades de Aprendizaje en Red”. Feria Tecnología Educativa. UCAB. [2] ASTUDILLO, C.; RIVAROSA, A.; Y ASTUDILLO, M. (2003). “Comunidad de aprendizaje: un proyecto colectivo para el abordaje de problemáticas socioambientales en la escuela”. En Tópicos de Educación Ambiental 5 (13), 8-20. [3] CHESNEY, L. (2008). “La concientización de Paulo Freire”. En: Rhec No. 11, pp. 53-74. [4] CREA. (1998). “Comunidades de Aprendizaje: propuesta educativa igualitaria en la sociedad de la información”. Aula de Innovación Educativa, nº 72, pp. 49-51. Barcelona: Graó. [5] DELORS, J. ET AL. (1996) “La educación encierra un tesoro, informe a la UNESCO de la Comisión Internacional sobre la educación para el siglo XXI”. Santillana – UNESCO. Madrid, España. [6] ELBOJ, C, PUIGDELLIVOL, I, SOLER, M. Y VALLS, R. (2002). “Comunidades de aprendizaje”. Transformar la educación. Barcelona: Graó. [7] FLECHA, R.; PADRÓS, M.; PUIGDELLÍVOL, I. (2003). “Comunidades de Aprendizaje: transformar la organización escolar al servicio de la comunidad”. Organización y gestión educativa, nº 5 septiembre-octubre 2003, pp.4-8. Bilbao: Fórum Europeo de Administradores de la Educación y CISSPRAXIS, S.A. [8] FLECHA, R., Y PUIGVERT, L. (2002). “Las Comunidades de Aprendizaje: una apuesta por la igualdad educativa”. En: Revista de Estudios y Experiencias en Educación. Facultad de Educación. Universidad de Barcelona. Disponible en: www.ucsc.cl Fecha de consulta: 14/03/2012. [9] FREIRE, P. (1997).”A la sombra de este árbol”. Esplugues de Llobregat: El Roure. [10] LEY 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación de Andalucía. [11] LEY ORGÁNICA 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. [12] MASI, A. “El concepto de praxis en Paulo Freire”. En publicación: Paulo Freire. Contribuciones para la pedagogía. Moacir Godotti, Margarita Victoria Gomez, Jason Mafra, Anderson Fernandes de Alencar (compiladores). CLACSO, Consejo Latinoamericano de Ciencias Sociales, Buenos Aires. Enero 2008. Disponible en: http://bibliotecavirtual.clacso.org.ar/ar/libros/campus/freire/09Masi.pdf [13] MORIN, E. (1999). “Los siete saberes necesarios para la educación del futuro”. Francia: Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura. [14] NÚÑEZ, C. “Educar para construir el sueño. La cátedra Paulo Freire: ideas y propuestas”. Revista Electrónica Sinéctica [en línea] 2000, [citado 2012-06-18]. Disponible en Internet:

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