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aveclesconditionsinitialesx(0)=ety(0)=ExerciceDémontrerlethéorèmedelavaleurinitialeTransformation"changeante"enmultipliantunefonctionparune exponentielle.transforméedeLaplacedeflafonctiondevariableréelleoucomplexe:F(p)=LLLLf(p)=∫ept.AppliquonslatransforméedeLaplace:LLL(f)+ LLL(exp(-t))LLLL(f)=LLLL(cos)F(p)+p+F(p)=p+²p,doncF(p)=(2)(²1)(1)+++pppp=(p++²+ pp)TransforméedeLaplace:Cours-RésumésExercicescorrigésUnedesméthodeslesplusefficacespourrésoudrecertaineséquationsdifférentiellesestd’utiliserlatransformationdeLaplaceExemplesde transformationinversedeLaplaceOnseproposed'utiliserlatransforméedeLaplacepourrésoudredeséquationsdifférentielles()ftHt()dt+∞ ∞ =eptf tOnconsidèrel'équationdifférentielley′+y=etU(t),y(0)=1ExerciceOnconsid`erelesfonctionssuivantesdefiniessurR+Pourchacunedecesfonctions,on vousdemandededeterminerlatransformeedeLaplaceetdepreciserledomained’existence→2e6t,t7→5e2t,t7→2t4,t7→(t2+1)2,t7→αcos3t+β sin3t,t7→αch3t+βsh3tTransformeedeLaplaceExercicesSimples1)LaplaceCalculerlestransformeesdeLaplacesuivantes:a)Lht2+te3tU(t)ib)Lh t+U(t)+t+U(t2)ic)Lht2+t+etU(t)i2)LaplaceinverseCalculerlesoriginauxsuivants:a)Lp+(p+3)(p+4)b)L(p+5)2c)Lp(p2+2p+5)3)Equationsdi erentiellesL’équationintégrale(2)estuneéquationdeconvolution,quis’écritf+exp(-t)∗f=cosTransformationdeLaplacedet:L{t}Transformationde Laplacedet^n:L{t^n}TransforméedeLaplacedelafonctionéchelonunitéoùH(t)estlafonctiondeTransformation"changeante"enmultipliantunefonction paruneexponentielle=xy+1;=x+y;dtdtOrtsin(t)estladérivéedelafonctionh(t)=tcos(t)+sin(t)quisatisfaitlimt!0+h(t)=TransformeedeLaplace ExercicesSimples1)LaplaceCalculerlestransformeesdeLaplacesuivantes:a)Lht2+te3tU(t)ib)Lht+U(t)+t+U(t2)ic)Lht2+t+Uneéquation différentiellegarnieimpliquantunefonctionéchelon,etoùnousallonsutiliserlatransformationdeLaplacepourlarésoudreLafonctiondeltadeDiracCorrigédu TDtransforméedeLaplaceN°2TransforméedeLaplaceTDN°2ExerciceRésoudrel’équationdifférentielle:dy(t)dy(t)y(t)6tu(t)dtdt++=avecy(0)=et2(0) =yThéorèmedesdérivéesereetième:L[y’’]=p2Y(p)-2p;L[y’]=pY(p)D’oùppY(p)p4ppY(p()dt∫+∞ CrééparSalKhanTransforméedeLaplace ExerciceCalculerparintégrationlatransforméedeLaplacedesfonctionssuivantes:a/eatγ(t)pab/Cos(ωt)γ(t)p²+ω²pc/Sin(ωt)γ(t)p²ω²ω ExerciceÉquationsdifférentiellesettransforméedeLaplace[Signaleruneerreur][Ajouteràmafeuilled'exos]EnoncéUneanalogieestdonnéeparles logarithmes,quitransformentlesproduitsensommes,etdoncsimplifientlescalculs2[1;3[;t[3;4[;g(t)=sitUtiliserlatransformationdeLaplacepourrésoudre lesystèmedi¤érentiel[4;+1[TransformationdeLaplacedet:L{t}TransformationdeLaplacedet^n:L{t^n}TLMTransformationdeLaplaceDenouveau,si p>0;l™intØgralegØnØralisØequidØ–nitlatransformØedeLaplaceconvergecarlesexponentiellestendentvers0etonobtientCorrigéduTDtransforméede LaplaceN°2TransforméedeLaplaceTDN°2ExerciceRésoudrel’équationdifférentielle:dy(t)dy(t)y(t)6tu(t)dtdt++=avecy(0)=larèglededérivationdela transforméedeLaplace),soitencoreL(tsin(t))(z)=2z(1+z2)dxdy