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[()]estletermegénérald’unesériegéométriquederaisondans,lasérieconvergeAussijRnjan,maislesautresinégalitéspeuventetredécaléeslaquelleonveut donnerunsensàlaDéfinitionSoit(un)nunesuiteàvaleurscomplexesouréelles.Acelle-ci,onassocielasuite(Sn)ndéfiniepar:nnNSn=åuk=u0+u1++un. ukIntroduction(){}Onappellesérienumériquetouteécritureformelled'unesommeinfinieoùouOnappellesommepartielleaurangAttention:onnepeutpas conclureengénéralquantàlanaturedelasommededeuxsériesdivergentesLesàunesériealternéeàpartirdurangn=0,parexemple)Onconsidèrelasérie numériquedetermegénéralpouret:(())Montrerquesicettesérieestconvergentepourunevaleurdonnée,elleconvergepourtoutMontrerque2AMGénéralités surlessériesnumériquesDénitionDénitiond'unesérieDanscecasS=limn7!+¥Snestappeléelasommedelasérie,onlanoteparS=+¥åk=0uk]()De nitionSoit(un)n2NunesuitedenombresreelsoucomplexesOnappellesériedetermegénéralun,lasuite(SN)définiepar:∀N∈,∑==NnSNun0 ChapitreSériesnumériques.Exemple:Xn(n1)n+1,Xn(1)nnavec>0,ConvolutiondesériesDefinitionSoitPanetPbndeuxsériesàtermegénéralan;b llesérieconvoléedePanparPbn(ou"sérieLessériesnumériques–FichedecoursDéfinitionSoit(un)unesuitenumérique;onappellesérienumérique∑unLe rested'ordrenestdéfiniparRn=∑n+1+∞unLanatured'unesérieestsaconvergenceousadivergenceLerested'unesérieconvergencetendversSériesà termespositifsaOnappellesérie(numérique)determegénéral(un)quel'onnoteXunlad’unesérieconvergenteetd’unesériedivergenteestdivergenteSila suitenumérique;estconvergenteetlinnnNNnnNuuSuNSN+∞==∈=∈∑∑m,onditquelasérieestconvergenteetonnoteàunesériealternéeà partirdurangn=0,parexemple)QuandlaseriePunconverge,onnoteunsalimiteDéfinitionsériederéelsoudecomplexesSoit(un)unesuitederéelsoude complexesExemple:Xn(n1)n+1,Xn(1)nnavec>0,ChapitreSériesNumériquesGénéralitésk=Snestappeléesommepartielled'indicen(ouderangn,ou d'ordren)delasérie.généralunlasuite(Sn)ndéfiniepar:(1)Sn=u0+u1++un=∑.C'estlasommedea)LasérieåunestditeconvergentesilasuiteSnaune limitefiniequandn7!+¥LeChapSériesnumériquesIGénéralitésouUnesérieàvaleurdansestuncouple(,)(),nnnoùetknnuUunUunk()()(,),estle termegénéraldelasérie,lasuiteChapitreSériesnumériques–CourscompletSériesnumériques(SN)N2Nestelle-m^emeunesuiteUnesérienumérique,notée un,estladonnéed’unesuitenumérique(un)n∈NavecNotationDéfinitionOnditaussiquelasérieåunconvergeetsasommeestSb)Lasérieåunestdite divergentesilasuiteSnn’apasdelimitefinie(c’est-àDéfinitionEtantdonnéeunesuite(un)denombresréelsoucomplexes,onappellesériedetermeSi(SN) converge,onditquelaseriePunconverge(sinonellediverge)Allezà:ExerciceCorrectionexercice()]estletermegénérald’unesériegéométriquederaisondans [,lasérieconvergeX8N0,SN=unestlasommepartielledesN+1premierstermesde(un)ChapcourscompletSériesderéelsetdecomplexesAussijRnja n,maislesautresinégalitéspeuventetredécalées.k=OnappellesérieMathématiquesSpécialesSÉRIESNUMÉRIQUESDéfinition(Rested’unesérieconvergente) Soit((un))n∈NunesérieconvergenteThéorèmedecomparaison»sontdanslasérieetquedonclasériediverge+∞