SUMAS REIMANN

La sumatoria (llamada también notación sigma ) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos. Esta se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: " sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n " .

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior. Pero necesariamente debe cumplirse que: i ≤ n.

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

PROPIEDADES: PROPIEDADES:

1) Cuando el límite inferior sea un entero mayor que 1, la cantidad de términos (sumandos) de una sumatoria se obtiene haciendo: límite superior (n) menos límite inferior (a) más la unidad (1):

Ejemplo:

Hallar la cantidad de términos de la siguiente expresión:

2) La sumatoria de una constante (k) es igual al producto (la multiplicación) entre dicha constante (k) y la cantidad de sumandos (términos).

Ejemplo:

Hallar la sumatoria de la expresión

3) La suma del producto de una constante (k) por una variable (x), es igual a k veces la sumatoria de la variable.

Ejemplo: Hallar la sumatoria de la expresión:

AREA ENTRE CURVAS

si consideramos dos funciones continuas en un intervalo(a, b) en f y g por encima del ejes de los x y con f por encima de g en (a, b) es posible encontrar el área entre las curvas haciendo uso del concepto de integral.

Se puede interpretar el área entre las curvas como la recta de funciones f y g, como se ve en la figura.

Ejemplo 1: encuentre el área de la region limitada arriba por y=e^x abajo por y=x y a los lados por x=0 y x=1.

Solución: se muestra la region. la curva frontera superior es y=e^x y la curva frontera inferior es y=x. de modo que usamos la formula 2 del área con f(x)=e^x, g(x)=x, a=0 y b=1

En la figura 4 dibujamos un rectángulo típico aproximación, con ancho x, como un recordatorio del procedimiento por el cual se define el área en (1). en general, cuando planteamos una integral para un área, resulta útil dibujar la region para identificar la curva de arriba yT, la de abajo yB y un rectángulo de aproximación típico (Fig.5).

resume el procedimiento de sumar ( en el sentido de hallar un limite) las áreas de todos los rectángulos típicos.

LA INTEGRAL DEFINIDA

Es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

PROPIEDADES: PROPIEDADES:

·Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

·Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

·La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

·La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

·Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

·Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

·Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

TEOREMA: TEOREMA:

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).

Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por

CASO 1: RECTANGULOS VERTICALES

Area de una region Q encerrada por dos rectas verticales x=a, x=b y los gráficos de dos funciones continuas y=f(x) e y=g(x)

Teorema 3.12

Sean y=f(x) e y= g(x) dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x), ∀x en [a, b]. Si Q es la region encerrada por las rectas verticales x=a, x=b y los gráficos de f y g, entonces el área de Q es:

Demostración: la función h(x)= f(x)- g(x), por ser diferencias de dos funciones continuas, es continua. Por el teorema 3.4, h es integrable en [a, b]. Tomemos una participación regular de [a, b] de longitud ∆x= b-a/2. En cada subintervalo (Xi-1, Xi)tomamos un punto c, y construimos el rectángulo vertical de base ∆x=Xi-Xi-1 y altura h(Ci)= f(Ci)-g(Ci). el área de este rectángulo es

A este rectángulo se le llama elemento de área. la suma del área de estos rectángulos nos da una aproximación al área de Q. El área exacta es:

Observación: Geométricamente la relacion f(x) ≥ g(x) en [a, b] significa que el grafico de f esta arriba del grafico de g. En estos términos, el teorema anterior nos dice que

El área de una region bajo una curva, tratado en la sección anterior, es un caso particular del área de una region entre dos curvas; es el caso g=0.

CASO 2: RECTANGULOS HORIZONTALES

Área de una region Q encerrada por dos rectas horizontales y=c e y=d y los gráficos de dos funciones continuas x=f(y), x=g(y)

Teorema 11.132

sean x= f(x) y x= g(y) dos funciones continuas en [c, d ] tales que f(y) ≥ g(y) en [c, d ]. Si Q es la region encerrada por los gráficos de f y de g y las rectas horizontales y=c e y=d, entonces el área de Q esta dada por

Demostración:

Se produce como la prueba del teorema anterior, tomando una participación del intervalo [c, d] de longitud ∆y= d-c/n. El elemento de área, en este caso, es un rectángulo horizontal de base ∆y y altura h(y)= [f(y)-g(y)].

Observacion:

Geométricamente, la relacion f(y) ≥ g(y) significa que el grafico de f esta a la derecha del grafico de g. Luego, en estos términos, el teorema anterior dice que:

Ejemplo= Hallar el área de la region Q encerrada por los gráficos de las ecuaciones

Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemos realizar el siguiente cálculo yprom =

¿Cómo calculamos la temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito de valores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x) = x^3 en el intervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".

Se propone calcular el valor promedio de la función y = f(x), a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud

Si ti es un punto cualquiera del iésimo subintervalo, entonces el promedio aritmético o medio de los valores de la función en los ci viene dado por:

Multiplicamos y dividimos por (b - a) y resulta:

La expresión

veces la suma de Riemann de f en [a, b]. A medida que incrementamos la cantidad de subintervalos

es una suma de Riemann para f en [a, b]. Podemos asegurar que el promedio de los n valores es

se obtiene, teniendo en cuenta la definición de integral definida:

El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta fprom =

El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma.