Λέξειςκλειδιά: εικασία Collatz,ακολουθίαΣυρρακουσών, 3n +1 πρόβλημα,τροχιά,διευθετούμενακαι μη-διευθετούμεναπροβλήματα(unsettleableproblems).
ΣύμβουλοςΠΕ03ΑΑθήνας-Ζ.Λυγάτσικας-1Ιουνίου2023
ΣύμβουλοςΠΕ03ΑΑθήνας-Ζ.Λυγάτσικας-1Ιουνίου2023
1. (Κατανόηση)Ναδιατυπώνουνισχυρισμούς(στηπροκειμένηπερίπτωση,σχετικάμετηνεφαρμογήτουαλγορίθμου Collatz).
2. (Εφαρμογή)Νασχεδιάσουνένανστοιχειώδηαλγόριθμοέτσιώστεναπειραματίζοντεκάνονταςεπαγωγικούςσυλλογισμούς.
3. (Ανάλυση)Ναπειραματίζοντεμενέαψηφιακάεργαλείακαιλογισμικάώστεναμοντελοποιούν προβλήματακαιναοδηγούνταισεισχυρισμούς.
4. (Σύνθεση)Νασυντάσσουναναφορέςσχετικάμεαντικείμεναπουδενείναιστοαναλυτικό τουςπρόγραμμα,νακάνουναναφορέςκαιπροφορικές/γραπτέςπαρουσιάσεις.
5. (Αξιολόγηση)Νααξιολογούνμαθηματικέςμεθοδολογίεςπουσχετίζοντεμετηλύσηενός προβλήματος.
Στοτέλοςομαθητήςθαπρέπει:
1. (Ανάλυση)νααναλύειέναμαθηματικόπρόβλημασεστοιχειώδηυπολογιστικάυπο-προβλήματα,
2. (Ανάλυση)ναεξάγειτααπαραίτητασυστατικάτουπροβλήματοςαπόδιάφορεςστρατηγικές,
3. (Σύνθεση)ναελέγχεικαιναοργανώνειτονχώροεργασίαςπουθαπροκύπτειστοφύλλο εργασίαςτου Excel,
4. (Κατανόηση)ναεπεκτείνειτιςγνώσειςτουσχολικού curriculum σεάλλοπλαίσιο,
5. (Σύνθεση)ναχρησιμοποιείτηντεχνικήκαιτητεχνολογίαγιαναυπερβείέναεμπόδιο,
6. (Αξιολόγηση)ναέχειτηνικανότητανααναγνωρίζειπολλάπεδίακαικατευθύνσειςγιατη λύσηενόςπροβλήματος.
7. (Σύνθεση)νασυνθέτειταστοιχείααυτάπουμπορείναείναιδιαισθητικάσυνισταμένεςτου προβλήματος.
Ηκύριαερώτηση:
Οιμαθηματικοίπολύσυχνάλαμβάνανγράμματασήμερα e-mails σταοποίαοαποστολέαςισχυρίζεταιότιέλυσεέναάλυτοπρόβλημαόπωςαυτότηςεικασίας Collatz. Συνήθως,οαποστολέαςζητάειναελέγξουνανηλύσηείναισωστή.Πωςθααντιδρούσατεεσείςανλαμβάνατεένατέτοιο e-mail πουαφοράτηνεπίλυσητηςεικασίας Collatz;
2.1.1Προαπαιτούμενα
Πριναρχίσουμετημελέτη,καλόθαείναιναεξοικειωθείτεμεδυοσυναρτήσειςστο Excel.Αντιγράψτετοπαρακάτωσεέναφύλλο(sheet).
1. Ησυνάρτηση IF=Αν...τότεκάνε...
Σχήμα2.1:Ησυνάρτηση IF
2. Ησυνάρτηση MAX=ημεγαλύτερητιμήμιαςλίσταςαριθμών. ΣτοΣχήμα2.2βλέπουμετονμέγιστοαριμό,89,μιαςλίσταςαριθμώναποτοκελί A1 έως τοκελί G1.
3. Ησυνάρτηση ISEVEN =ανοαριθμός..είναιάρτιοςτότεΑλήθειαδιαφορετικά Λάθος.
ΣτοΣχήμα2.3βλέπουμεότιησυνάρτησηγιατοναριθμό4γυρνάει TRUE ενώγιατον αριθμό1γυρνάει FALSE,όπωςπεριμένουμε.
2.1Ανάλυση-Αλγόριθμοι
2.1.ΑΝΑΛΥΣΗ-ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ
Σχήμα2.2:Ησυνάρτηση MAX
4. Επίσης,εξοικειωθείτεμετηνκατασκευήδιαγραμμάτων.
Ορισμός2.1.1 Μια ακολουθία(τροχιά)του Collatz είναιμιαλίστααπόακεραίουςαριθμούςηοποίαείναιτοαποτέλεσματηςεφαρμογήςτουαλγορίθμου:
1. ΄Εστω n έναςθετικόςακέριαιος,
2. Αν n είναιάρτιοςτονδιαιρούμεμετο2,
3. Αν n είναιπεριττός,πολλαπλασιάζουμετον n με3καιπροσθέτουμετο1,
4. Επαναλαμβάνουμετηδιαδικασίααπότοβήμα1καιστηθέσητου n είναι τώραο n 2 αν n άρτιοςήο 3n +1 αν n περιττός.
Η εικασίατου Collatz λέειότιοπαραπάνωαλγόριθμοςμετάαπόέναπεπερασμένοαριθμό βημάτωνθαφτάσειστο1.
Το ύψοςμιαςτροχιάς είναιομεγαλύτεροςακέραιοςτηςακολουθίαςπουαρχίζειμετοναριθμό n καιτελειώνειμετο1.
Το μήκοςμιαςτροχιάς είναιτοπλήθοςτωναριθμώνμιαςακολουθίας Collatz.
ΣκηνοθετημένηΕρώτηση2.1.1 Εκτελέστεταπαρακάτωβήματα(inductivereasononig)
1. Βρείτεακολουθώνταςταβήματατουαλγορίθμου 3n +1 τιςακολουθίες(τροχιές) Collatz τωναριθμών:5,6,11,15,27,54.
2. Βρείτετονμέγιστούψοςκάθεμιαςεκτωντροχιώντωναριθμώνστοπροηγούμενοερώτημα.
3. Μπορείτεναπειραματισθείτεστοναλγόριθμοπηγαίνονταςστο[6].
4. Εφαρμόστετώραστουςίδιουςαριθμούς:5,6,11,15,27,54,τονπαρακάτω 5n +1 2 αλγόριθμο:
ΣύμβουλοςΠΕ03ΑΑθήνας-Ζ.Λυγάτσικας-1Ιουνίου2023 8
1. ΄Εστω n έναςθετικόςακέριαιος, 2. Αν n είναιάρτιοςτονδιαιρούμεμετο2, 3. Αν n είναιπεριττός,πολλαπλασιάζουμετον n με5καιπροσθέτουμετο1 καιτοαποτέλεσματοδιαιρώμετο2.
4. Επαναλαμβάνουμετηδιαδικασίααπότοβήμα1καιστηθέσητου n είναι
τώραο n 2 αν n άρτιοςήο 5n +1 2 αν n περιττός.
5. Υπάρχεισχέσημεταξύτωναλγορίθμων 3n +1 και 5n +1 2 ;Δώστεπαραδείγματαπου υποστηρίζουντονισχυρισμόσας.
ΣκηνοθετημένηΕρώτηση2.1.2 Γράψτεμιαέκθεσηστηνοποίαθαπαρουσιάζεταιτοπρόβληματου Collatz.Στηνέκθεσηναεξηγήστετηνέννοιατηςακολουθίαςχαλαζίου,δείτεστο[1].
Ο PaulErdos (1913-1996)είναιέναςδιάσημοςμαθηματικόςοοποίοςέδωσεπολύκομψέςαποδείξειςστηθεωρίααριθμών,στηθεωρίατωνγράφων,σταδιακριτάμαθηματικάκαιστησυνδυαστική. ΄Ητανέναςφανατικόςλύτηςμαθηματικώνπροβλημάτωνκαιγιααυτάταπροβλήματαπουοίδιος δενέλυσεταεπικήρυξεμε10.000 .Γράψτεμιαμικρήέκθεσημετηζωήτου P.Erdos.Επίσηςσε αυτήτηνέκθεσηνασυμπεριλάβετεπληροφορίεςπουέδωσεο Erdos γιατηνεικασία Collatz,δείτε στο[4].
ΣκηνοθετημένηΕρώτηση2.1.3 Ναυλοποιηθείοαλγόριθμος 3n +1 στο Excel έτσιώστε ναδίνειμιαακολουθία(τροχιά) Collatz
Επίσης,εύκολοείναιναυλοποιήσετεκαιτοναλγόριθμο 5n +1 2
Τώρα,επαληθεύστετονισχυρισμόσαςστοερώτημα5του2.1.2.
Τέλος,θέλωνακατασκευάσετεένανπίνακαμετοναλγόριθμο 3n +1 έτσιώστεναδείτεσε διάγραμματοπωςδιαμορφώνεταιτούψοςτωντροχιώντωναριθμών5,6,11,15,27,54,99.Στον οριζόντιοάξοναθαείναιταβήματαεκτέλεσηςτουαλγορίθμουμέχριναφτάσειστο1,ενώστον κατακόρυφοθαείναιταστοιχείατηςτροχιάς.Παρατηρείστεότικάθετροχιάτελικάσυγκλίνει άσχεταμετούψοςτης.
5n +1
Ανοικτή-ΚλειστήΕρώτηση2.1.1 Γιατίοιτροχιέςγιατοναλγόριθμο
ενώγιατον 3n +1
φαίνεταινασυγκλίνουν;
2 αποκλείνουν
Ανοικτή-ΚλειστήΕρώτηση2.1.2 Καιμετουςαρνητικούςακεραίουςτιγίνεται;Ναεφαρμόσετετοναλγόριθμο 3n +1 καιναβρείτετιςακολουθίες(τροχιές) Collatz γιατους: 2, 3,
Τιπαρατηρείταιδιαφορετικόαπόμιαακολουθίεςθετικώνακεραίων;
Ανοικτή-ΚλειστήΕρώτηση2.1.3 Υπάρχειμιαεξαιρετικήιδέαστο video στο[9]απότο και[8].Μπορείτενατηνεκμεταλευτείτε;
Ανοικτή-ΚλειστήΕρώτηση2.1.4 Μπορείςνααποδείξειςότι δενυπάρχεικύκλοςμήκους
5 στιςακολουθίες Collatz;(Τροχιέςμήκους3υπάρχουνείναιη 1 4 2).
ΣύμβουλοςΠΕ03ΑΑθήνας-Ζ.Λυγάτσικας-1Ιουνίου2023
2.2.ΤΕΛΙΚΗΕΡΓΑΣΙΑ
Ητελικήεργασίααπαιτείνααπαντήσετεσεδυοερωτήματα.Τοδεύτεροερώτημαθασαςδοθεί τηντελευταίαημέρακαιθαγίνειστητάξη.Τοπρώτοπρόβλημα,2.2.1,μπορείνααπαντηθείεκτός σχολείουκαιείναιτοεξής:
Πρόβλημα2.2.1 Περιέγραψεόσομπορείςκαλύτερατηνπροσπάθειαεντοπισμούτηςπεριπέτειας τηςαπόδειξηςτηςεικασίας Collatz.Δεςστα:[1],[5]καιτο[7].
Πρόβλημα2.2.2 1. Απαντήστεστηκύριαερώτηση2.
2. Νααναπαρασταθούνοιτροχιέςτωναριθμών15,18,24,25,44,56,68,84,92,104,116,128, 140,152,176,212,320.Ηαναπαράστασηναγίνεισεδέντρομεβάσητονκύκλο 4 2 1
1. Κάθεενδεχόμενηβιβλιογραφικήαναφοράπουθαχρησιμοποιήσετεθααναφερθείστηπαρουσίασητηςεργασίαςσας.
2. Σεένααρχείοτου word Θαγράψετετονορισμότουπροβλήματοςτου Collatz.Επίσηςθα γράψετετιςαπαντήσειςσαςστιςερωτήσεις2.1.1,2.1.2,2.1.3,2.1.1,2.1.2,2.1.3και2.1.4 (τοερώτημα,2.1.4,δενείναιαπαραίτητο).Επίσης,θααπαντήσετεσταπροβλήματα2.2.1και 2.2.2.
3. Θαπαρουσιάσετετηνεργασίασαςσε poster ήστο padlet ήσεαρχείοτου
σε powerpoint,ενσωματώνονταςενδεχομένως videos ήάλλουλικό.
4. Ηπαρουσίασηθαδιαρκέσει15λεπτάκαιπρέπειναέχετετοπολύ6 slides.
5. Μπορείτεναεμπλουτίσετετηνεργασίαμεδικάσαςνέαερωτήματα,πληροφορίεςήότιάλλο εσείςνομίζετεότιθαχαρακτηρίσειθετικάτοέργοσας.
ΣύμβουλοςΠΕ03ΑΑθήνας-Ζ.Λυγάτσικας-1Ιουνίου2023 10
[1] Wikipedia,CollatzConjecture,Βικιπέντια-Εικασία Collatz υπάρχεικαισταΕλληνικά.
[2] Guy,R.,(2004) Unsolvedproblemsinnumbertheory,3rded.,Springer
[3] LagariasJ.,in Στοιχεία-Επισκόπησημεθόδωνεπίλυσης.
[4] LagariasJ.,inThe3x+1problemanditsgeneralizations
[5] LagariasJ.,inAnAnnotatedBibliography
[6] Αλγόριθμος Colaltz στοΑλγόριθμος1.
[7] ConwayJ.,(2013): Conway-OnUnsettleableArithmeticalProblems,MAA,vol.120,No. 3,pp.192-198.
[8] ConwayJ.,TheCollatzconjectureandJohnConway’samusicalvariation
[9] ConwayJ.,FamilyMath201d
Βιβλιογραφία