Issuu on Google+

GoBack


Monte Carlo Sim羹lasyonlar覺 Center for Computational Finance March 26, 2011

1 / 20


Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

Giriş

İlişkili (Correlated) Süreçler

2 / 20


Yöntem Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

■ Opsiyon fiyatlama ve integraller konusunu ele

alacağız. ■ Monte Carlo yöntemi ile opsiyon fiyatlamasını

inceleyeceğiz ■ Monte Carlo yöntemi varyans azaltma tekniklerini

ele alacağız. Bu teknikler: ◆ Antitetik Değişken Kullanma ◆ Önemli yolları Örnekleme ◆ Yarı Rassal Monte Carlo

3 / 20


Giriş Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Black Scholes modelinde opsiyon fiyatlamasında kullanılan integral: Z ∞  n o √ V0 = e−rT Λ S0 exp (r − 0.5σ 2 )T + σX T −∞

1 −X 2 /2 √ e dX 2π Λ = (ST − K)+ X N(0,1) dağılımına tabi Standart Normal Değişken

4 / 20


Giriş Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

■ Sonsuz aralıkta verilen bir integrali klasik nümerik

teknikler ile çözmek mümkün değildir. ■ Yukarıda verdiğimiz integralin, birden fazla boyutu

olduğunu düşünelim, hesaplamak daha da zorlaşacaktır. ■ Bu tip zorlukların üstesinden gelebilmek için

Monte Carlo yöntemi Avrupa ve Amerikan tipi opsiyonların fiyatlamasında ve pekçok stokastik sürecin simülasyonunda kullanılabilir.

4 / 20


Giriş Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon

Monte Carlo yöntemlerini kullanma sebeplerimizi iki temel faktörle açıklayabiliriz: 1. İntegral işleminin zorlukları

Varyans Azaltma Teknikleri

■ Kuadratik yapı (Quadrature)

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

■ Sınırsız integral (Unbounded Variation)

İlişkili (Correlated) Süreçler

2. Çok boyutlu integraller (Multi Dimensional)

4 / 20


Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon

■ 20 boyutlu bir integral, gerçek değerine N

1 − 10

ifadesi ile yaklaşır. ■ Doğruluk değerini 10 kat iyileştirmek için yaklaşık

Varyans Azaltma Teknikleri

10 milyar nokta daha ilave etmemiz gerekir.

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

■ Pratikte böyle birşeyin mümkün olamayacağını

İlişkili (Correlated) Süreçler

rahatlıkla söyleyebiliriz.

5 / 20


Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Çok boyutlu problemi nasıl formüle etmemiz gerekir? Düzgün olarak hesaplanan aralıklar yerine rassal olarak seçilen noktalar kullanabiliriz: Z b 1 (f1 + f2 +, . . . , fN ) F ≡ f (x)dx = N a fi = f (xi ) xi , değerler kümesinden rassal olarak seçilen noktalardır. Bu yöntem Monte Carlo olarak adlandırılır.

5 / 20


Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Monte Carlo yönteminde örnekleme yolu ile elde edilen fonksiyon değeri gerçek değere nasıl yaklaşır? Olasılık kullanarak örnekleme ile elde edilen değerin gerçek değere yaklaşmasını formüle etmek için beklenen değer operatöründen yararlanabiliriz: Z b f (x)dx = F E[fi ] = a

N 1 X E[fi ] = E[fi ] = F E[FN ] = N 1

5 / 20


Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Örnek ortalaması, gerçek ortalamaya nasıl yaklaşır sorusunu hala cevaplayamadık? Popülasyon varyansı: σf2 V ar[Fn ] = N Merkezi limit teoremini kullanırsak: ( ) FN − F √ < b = N (b) − N (a) lim P r a ≤ N →∞ σf / N aσf |FN − F | ≤ √ N

5 / 20


Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Giriş Yöntem Giriş Çok Boyutlu İntegraller ve Monte Carlo Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Monte Carlo simülasyonu: ■ Değeri konu finansal varlığın izlediği yola bağlı

olan opsiyonların fiyatlamasında, değeri birden fazla değişkene bağlı opsiyonların fiyatlanmasında ve karmaşık vade sonu değerleri olan opsiyonların fiyatlamasında kullanılabilir. ■ Amerikan tipi opsiyonlarda erken kullanım özelliği

dolayısı ile, Amerikan tipi opsiyonların fiyatlanmasında yeterince başarılı değildir. ■ Küçük Kareler Monte Carlo yöntemi Amerikan tipi

opsiyonların fiyatlanmasında kullanılan yeni bir yaklaşımdır. 5 / 20


Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

Simülasyon

İlişkili (Correlated) Süreçler

6 / 20


Hisse Simülasyonu Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Risk-nötr ölçekte hisse senedi fiyat modeli dS = rS dt + σS dW Zaman aralığı olarak δt seçip formülasyonun kesikli versiyonunu kullanarak hisse senedi için simülasyon yapabiliriz: √ dS = rS δt + σS ǫ δt ǫ, N (0, 1) dağılımından rassal olarak elde edilen bir sayıdır.

7 / 20


Hisse SimĂźlasyonu GiriĹ&#x; SimĂźlasyon Hisse SimĂźlasyonu Standart Normal DeÄ&#x;iĹ&#x;ken SimĂźlasyon Ă&#x2013;rnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri

Kesikli zamanÄą Geometrik Brown Hareketinde kullanÄąrsak:    â&#x2C6;&#x161; 1 2 St+δt = St exp r â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x192; δt + Ď&#x192;ÇŤ δt 2

Monte Carlo YĂśntemlerinin KarĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąlmasÄą Ä°liĹ&#x;kili (Correlated) SĂźreçler

7 / 20


Standart Normal Değişken Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar

Standart normal örnekler elde etmek için kullanılabilecek birkaç yöntem:

Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

8 / 20


Standart Normal Değişken Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Standart normal örnekler elde etmek için kullanılabilecek birkaç yöntem: φ(0, 1) uniform dağılımından rassal olarak çekilen 12 adet sayıyı toplayıp 6 çıkarmak: ǫ=

12 X i

Rndi − 6

8 / 20


Standart Normal Değişken Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Standart normal örnekler elde etmek için kullanılabilecek birkaç yöntem: Kümülatif standart dağılım fonksiyonunun tersini almak: ǫ = Φ−1 (R) Excel ortamında =Normsinv(Rand()) fonksiyonu ile standart normal değişkenler elde edilebilir.

8 / 20


Standart Normal Değişken Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Standart normal örnekler elde etmek için kullanılabilecek birkaç yöntem: Standart normal değişken elde etmek için kullanılabilecek bir başka yöntem Box-Muller algoritması olabilir: p ǫ = −2ln (Rnd1 ) cos(2πRnd2 ) r −2ln(r) = Rnd1 , r = Rnd21 + Rnd22 < 1 r

8 / 20


Simülasyon Örnek Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar

Önümüzdeki 100 gün için 5,10 ve 250 muhtemel hisse senedi fiyat patikası Monte Carlo simülasyonu kullanılarak oluşturuldu. Grafikleri oluştururken kullanılan değişkenler:

Varyans Azaltma Teknikleri

■ S0 = 100;

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

■ t = 1/365 yıl

İlişkili (Correlated) Süreçler

■ σ = %35; ■ r = %16.75

9 / 20


Simülasyon Örnek Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri

130,00

Spot

120,00

110,00

100,00

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

90,00

İlişkili (Correlated) Süreçler

80,00 Zaman 70,00

9 / 20


Simülasyon Örnek Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar

150,00 Spot 140,00

130,00

120,00

Varyans Azaltma Teknikleri

110,00

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

100,00

İlişkili (Correlated) Süreçler

90,00

80,00 Zaman 70,00

9 / 20


Simülasyon Örnek Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

180,00

Spot

160,00

140,00

120,00

100,00

80,00

60,00 Zaman 40,00

9 / 20


Monte Carlo ve Opsiyonlar Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Monte Carlo simülasyonu kullanarak Avrupa tipi opsiyonları fiyatlamak için aşağıdaki yöntemi takip edebiliriz: ■ Risk-nötr ölçekte hisse için bir adet olası fiyat

patikası oluştur ■ Opsiyon tanımından yararlanarak oluşturulan

patika için opsiyon getirisini hesapla. Avrupa tipi opsiyonlar için vade sonu getiri fonksiyonu: c = max (St − K, 0)

p = max (K − St , 0)

10 / 20


Monte Carlo ve Opsiyonlar Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

■ Bir ve ikinci adımları çok sayıda tekrar ederek

örnek sayısını arttır ■ Ortalama opsiyon getirisini hesapla ■ Ortalama opsiyon getirisini risksiz faiz ile

iskontolayarak bugünkü opsiyon değerini elde et.

İlişkili (Correlated) Süreçler

10 / 20


Monte Carlo ve Opsiyonlar Giriş Simülasyon Hisse Simülasyonu Standart Normal Değişken Simülasyon Örnek Monte Carlo ve Opsiyonlar Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Monte Carlo vanilya opsiyon fiyatlama modeli için genel bir ifade yazabiliriz: n X −rt 1 c=e max(St − K, 0) n i=1 n

X 1 p = e−rt max(K − St , 0) n i=1 r risksiz faiz oranı t vade.

10 / 20


Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme

Varyans Azaltma Teknikleri

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

11 / 20


Giriş Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme

Monte Carlo yönteminin standart hatasını: s se = √ N

s, örnek varyansı, N örnek sayısı

formülü ile ifade edebiliriz. 10.000 simülasyon ile elde ettiğimiz sonucun varyansını yarıya düşürebilmek için simülasyon sayısını 40.000’e çıkarmamız gerekir.

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

12 / 20


Giriş Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Monte Carlo yönteminde kulanılabilecek varyans azaltma tekniklerinden bazıları: ■ Antitetik değişken kullanma (Anthitetic Variable) ■ Kontrol Değişkeni kullanma (Control Variate) ■ Önemli fiyat yollarını örnekleme (Importance

Sampling) ■ Yarı rassal örnekleme (Quasi RAndom Sampling)

12 / 20


Antitetik Değişken Kullanma Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Monte Carlo opsiyon fiyatını bulurken kullandığımız yöntemi aşağıdaki formül ile gösterebiliriz: o n √ (1) Si (T ) = S(0)exp (r − 0.5σ 2 )T + σǫi T

Avrupa tipi alım opsiyonu vade sonu değeri için ise şöyle bir ifade kullanmıştık: Vi = max[Si (T ) − K, 0] Avrupa tipi alım opsiyonu Monte Carlo fiyatı: N X −rT 1 M C fiyat = V = e Vi N i

13 / 20


Antitetik Değişken Kullanma Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

Normal dağılımın simetri özelliğinden faydalanarak oluşturulan her N (0, 1) rassal değişken için onun tam karşıtı Antitetik bir değişken kullanarak varyansı azaltmayı deneyebiliriz. 1 Numaralı denklemde oluşturulan herbir pozitif ǫ için hisse fiyatı: n o √ Si− (T ) = S(0)exp (r − 0.5σ 2 )T + σ(ǫi ) T

İlişkili (Correlated) Süreçler

13 / 20


Antitetik Değişken Kullanma Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme

Bu sürece karşılık gelen negatif bir süreç yazacak olursak: n o √ Si− (T ) = S(0)exp (r − 0.5σ 2 )T + σ(−ǫi ) T

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

13 / 20


Antitetik Değişken Kullanma Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

Pozitif standart normal değişken ile hesaplanan Avrupa tipi alım opsiyonu vade sonu getirisi: Vi = max[Si (T ) − K, 0] Negatif standart normal değişken ile hesaplanan Avrupa tipi alım opsiyonu vade sonu getirisi: Vi− = max[Si− (T ) − K, 0]

İlişkili (Correlated) Süreçler

13 / 20


Antitetik Değişken Kullanma Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Pozitif ve negatif standart normal değişkenleri kullanarak Monte Carlo Avrupa tipi opsiyon fiyatı: N X  1 − + −rT 1 ¯ M C fiyat = V = e Vi + Vi N i 2

Antitetik değişken kullanarak beklentimiz varyansın azaltılmasıdır:    1 + − ¯ var[V ] = var V +V ≤ var[V ] 2

13 / 20


Karşılaştırma Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma

Antitetik değişken kullanılan ve kullanılmayan durumlarda hesaplanan standart hata terimlerini takibeden grafikte gösterdik.

Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

14 / 20


Karşılaştırma Giriş

Standart Hata MC

Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma

2,5000

Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme

1,5000

Standart Hata Anti

2,0000

1,0000

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

0,5000

İlişkili (Correlated) Süreçler

0,0000 0

5000

10000

15000

20000

Simülasyon Sayısı

14 / 20


Karşılaştırma Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme

Grafikten de rahatlıkla görüleceği üzere: ■ Standart hata simülasyon sayısının artması ile

azalıyor ■ Antitetik değişken kullandığımız metodun standart

hatası kullanmadığımız metottan daha düşük.

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

14 / 20


Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Sadece parada bitecek yolları ele alıp opsiyon fiyatlamasını gerçekleştirerek varyansı azaltabilir miyiz? Hisse eğilim katsayısını r’den r + c değerine değiştirerek daha fazla patikanın parada bitmesini sağlamak için Girsanov dönüşümünü kullanabiliriz:  n o +  2 f(T ) − K S(0)exp (r + c − 0.5σ )T + σ W  −rT  o n V0 = e   2 f (T ) exp 0.5 σc 2 T + σc W

15 / 20


Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Avrupa tipi alım opsiyonu için parada bitecek bir yolu hesaplayabiliriz: o n √ K = S(0)exp (r − 0.5σ 2 )T + σ T N −1 (ǫ) ǫ için çözersek: N

−1

ln(K/S(0) − (r − 0.5σ 2 )T √ (ǫ) = σ T   2 ln(K/S(0) − (r − 0.5σ )T √ ǫ=N σ T

15 / 20


Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

Bir önceki eşitlikte N (.) içerisindeki ifadeyi d olarak isimlendirirsek ■ Avrupa tipi alım opsiyonununu parada bitirecek

rassal sayıların [N (d), 1] aralığında olması gerekir, ■ Avrupa tipi satım opsiyonu fiyat yolunu parada

bitirecek rassal sayıların ise [0, N (d)] aralığında olması gerekir.

İlişkili (Correlated) Süreçler

15 / 20


Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

[0,1] aralığında rassal sayılar üreten bir algoritma (Örnek: Excel Rand()) kullanılarak koşulları sağlayacak yeni rassal sayılar elde edilebilir: Avrupa tipi alım opsiyonu için: ǫc = (1 − N (d))ǫ + N (d) Satım opsiyonu için: ǫp = N (d)ǫ

İlişkili (Correlated) Süreçler

15 / 20


Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

■ Yeni rassal değişkenleri kullanarak opsiyonların

vade sonu değerlerini bulabiliriz. ■ Klasik Monte Carlo yönteminden farklı olarak,

elde edilen değerlerin sadece gözlem sayısı ile değil risk nört gerçekleşme olasılıkları ile de ağırlıklandırılması gerekir. ■ Bu değer

◆ Avrupa tipi alım opsiyonu için N (d2 ), ◆ satım opsiyonu için N (−d2 ) ile ifade edilir.

15 / 20


Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Önemli fiyat yollarını örneklediğimiz Monte Carlo simülasyonunda Avrupa tipi alım opsiyonu fiyatı: c = N (d2 )exp {−rT } n h n o i X √ 1 × Sexp (r − 0.5σ 2 )T + σ T N −1 (ǫc ) − K N 0 Satım opsiyonu fiyatı: p = N (−d2 )exp {−rT } n n oi √ 1 Xh × K − Sexp (r − 0.5σ 2 )T + σ T N −1 (ǫp ) N 0 15 / 20


Yarı Rassal Modelleme Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

Monte Carlo metodları içerisinde tamamen rassal yöntemler yerine yarı rassal olarak adlandırılan algoritmaları kullanarak rassallık ve varyansı azaltabiliriz. Yarı rassal algoritmalara örnek olarak: ■ Faure, ■ Halton, ■ Van Der Corput, ■ Sobol

algoritmaları sayılabilir.

16 / 20


Yarı Rassal Modelleme Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

İki tabanında yarı rassal Faure sayılarını oluşturmak için kullanılabilecek VBA kodu: Public Function FaureBase2(n) As Double Dim f As Double, sb As Double Dim i As Long, n1 As Long, n2 As Long n1 = n f=0 sb = 1 / 2 Do While n1 > 0 n2 = Int(n1 / 2) i = n1 - n2 * 2 f = f + sb * i sb = sb / 2 n1 = n2 Loop FaureBase2 = f End Function 16 / 20


Yarı Rassal Modelleme Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Giriş Antitetik Değişken Kullanma Karşılaştırma Önemli Fiyat Yollarını Örnekleme Yarı Rassal Modelleme Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler

■ Yarı rassal algoritmalar, oldukça uniform bir

dağılımdan rassal sayılar üretir. ■ Problemin boyutuna uygun olarak kullanılan

algoritma tabanı arttırılmalıdır. ■ Yarı rassal algoritmalar genelde 20 boyutlu

problemlerin çözümüne kadar iyi sonuç verir. ■ Yarı rassal algoritma, normal Monte Carlo,

Antitetik Monte Carlo ve Önemli Yollarını örnekleme metodları ile birlikte kullanılabilir.

16 / 20


Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması Monte Carlo Yöntemleri Analizi İlişkili (Correlated) Süreçler

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması

17 / 20


Monte Carlo Yöntemleri Analizi Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması Monte Carlo Yöntemleri Analizi İlişkili (Correlated) Süreçler

Detayları aşağıdaki tabloda gösterilen opsiyon için gerçekleştiren Monte Carlo simülasyonları standart hataları 2000 simülasyona kadar takipeden grafikte gösterildi

Call/Put Spot c

100

K 100

Vade Faiz Volatilite 0,5

12%

30%

BS Fiyatı 11,43735

18 / 20


Monte Carlo Yöntemleri Analizi Giriş MC

Antitetik

QMC

QMC Antitetik

Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri

2,0000

Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması Monte Carlo Yöntemleri Analizi

1,6000

İlişkili (Correlated) Süreçler

0,6000

1,8000 1,4000 1,2000 1,0000 0,8000 0,4000 0,2000 0,0000 0

500

1000

1500

2000

Simülasyon Sayısı

18 / 20


Monte Carlo Yöntemleri Analizi Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması Monte Carlo Yöntemleri Analizi İlişkili (Correlated) Süreçler

Grafikte: ■ Standart Monte Carlo ■ Antitetik Değişken Monte Carlo ■ Yarı Rassal Monte Carlo ■ Yarı Rassal Antitetik Monte Carlo

yöntemleri standart hataları gösterildi.

18 / 20


Monte Carlo Yöntemleri Analizi Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması Monte Carlo Yöntemleri Analizi İlişkili (Correlated) Süreçler

■ Yarı rassal Monte Carlo yöntemleri standart

hataları düzgün bir biçimde azalırken, ■ Diğer yöntemlerin standart hataları simülasyon

arttıkça düşmesine rağmen kendi içinde oldukça değişken olarak hareket etmiş. ■ Grafiğe göre QMC Antitetik Monte Carlo

yönteminin diğer yöntemlere göre varyans azaltmada daha başarılı olduğunu söyleyebiliriz

18 / 20


Monte Carlo Yöntemleri Analizi Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması Monte Carlo Yöntemleri Analizi İlişkili (Correlated) Süreçler

■ Takibeden tabloda Alım opsiyonu: S=100, K=100

(150), Vade=0,5 yıl, Faiz=%12, Volatilite=%30 parametrelerini kullanarak yapılan Monte Carlo analizleri standart hata değerleri gösterildi. ■ Başabaş opsiyonda yarı rassal metodların

tamamında standart hata 100.000 simülasyondan itibaren diğer yöntemlere göre düşük gerçekleşiyor. ■ Paradan uzak opsiyon fiyatlanmasında ise yarı

rassal ve yarı rassal antitetik yöntemleri standart hataları diğer yöntemlere göre daha düşük.

18 / 20


Monte Carlo Yöntemleri Analizi Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması Monte Carlo Yöntemleri Analizi İlişkili (Correlated) Süreçler

Simülasyon

MC

MC Anti

MC IS

QMC

QMC Anti QMC IS

Alım opsiyonu: S=100, K=100, Vade=0,5 yıl, Faiz=%12, Volatilite=%30 100.000 200.000 400.000 1.000.000 5.000.000

0,0534 0,0379 0,0267 0,0169 0,0076

0,0264 0,0186 0,0132 0,0084 0,0037

0,0861 0,0608 0,0430 0,0272 0,0122

0,0526 0,0372 0,0263 0,0166 0,0074

0,0257 0,0181 0,0128 0,0081 0,0036

0,0861 0,0609 0,0430 0,0272 0,0122

Alım opsiyonu: S=100, K=150, Vade=0,5 yıl, Faiz=%12, Volatilite=%30 100.000 200.000 400.000 1.000.000 5.000.000

0,0779 0,0087 0,0062 0,0039 0,0017

0,0563 0,0061 0,0043 0,0027 0,0012

0,0512 0,0361 0,0256 0,0162 0,0072

0,0103 0,0073 0,0051 0,0032 0,0015

0,0072 0,0051 0,0036 0,0023 0,0010

0,0511 0,0361 0,0256 0,0162 0,0072

MC=Monte Carlo Anti=Antitetik Değişken IS=Importance Sampling, Önemli Yolları Örnekleme Q=Quasi, Yarı Rassal

18 / 20


Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler İlişkili Süreçlerin Simülasyonu

İlişkili (Correlated) Süreçler

19 / 20


İlişkili Süreçlerin Simülasyonu Giriş Simülasyon Varyans Azaltma Teknikleri Monte Carlo Yöntemlerinin Karşılaştırılması İlişkili (Correlated) Süreçler İlişkili Süreçlerin Simülasyonu

■ Bir portföye bulunan finansal menkul kıymetlerin

birbirleri ile olan ilişkilerini -ortak varyans- göz önüne almadan simülasyon yapamayız. ■ Birden fazla finansal menkul kıymetten oluşan

portföyler ilişkili Wiener Süreçlerine bağlı hareket eder. x1 ve x2 bağımsız normal değişkenleri için ǫ1 = x 1 ǫ2 = ρx1 + x2

p

1 − ρ2

denklemlerini yazabiliriz. İki veya daha fazla normal değişken için örnekleme gerektiğinde Cholesky ayrışımı kullanılabilir. 20 / 20


Monte Carlo Simulasyonu Ders Notları