ا
ذ:ا
ا
ﺴﻢ ﷲ اﻟﺮﲪﻦ اﻟﺮﺣﲓ ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻝﺤﻤد ﷲ رب اﻝﻌﺎﻝﻤﻴن ،واﻝﺼﻼة واﻝﺴﻼم ﻋﻠﻰ رﺴول اﷲ ﺴﻴدﻨﺎ ﻤﺤﻤد وﻋﻠﻰ آﻝﻪ وﺼﺤﺒﻪ. ﻴﺤﺘوي ﻫذا اﻝﻜﺘﺎب اﻝذي ﻨﻀﻌﻪ ﺒﻴن ﻴدﻴك ﻋزﻴزي اﻝﻘﺎرئ ﻋﻠﻰ ﺘﻤﺎرﻴن و ﺤﻠول ﻷوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝرﻴﺎﻀﻴﺎت، اﻝﻬدف ﻤﻨﻪ ﻫو إﻜﺴﺎب اﻝﻤﺘﻌﻠم ﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﻓﻌﺎﻝﺔ وطرﻴﻘﺔ ﺠﻴدة ﻝﺤل اﻝﺘﻤﺎرﻴن واﻝﻤﺴﺎﺌل اﻝرﻴﺎﻀﻴﺔ. ﻝﺒﻠوغ اﻝﻐﺎﻴﺎت اﻝﻤرﺠوة أﻨﺼﺤك ﻋزﻴزي اﻝﻘﺎرئ ﺒﺎﻝﺒﺤث اﻝﺸﺨﺼﻲ ﻋن اﻝﺤل اﻝواﻀﺢ واﻝﻤﻘﻨﻊ ،ﻷن ﻗراءﺘك ﻝﻠﺤل اﻝﻤﻘﺘرح ﻝن ﺘﻔﻴدك ﺒﺸﻲء ﺒل ﻤﺠﻬودك وﺒﺤﺜك ﻫو اﻷﻫم ﻗﺒل اطﻼﻋك ﻋﻠﻰ اﻝﺠواب. وأﻤﻠﻨﺎ ﻜﺒﻴر أن ﻴﺤﻘق ﻫذا اﻝﻜﺘﺎب اﻝﻐﺎﻴﺔ اﻝﺘﻲ أﻝف ﻤن أﺠﻠﻬﺎ ،وأن ﻴﺴﻬم ﻓﻲ ﻤﺴﺎﻋدة اﻝﺘﻼﻤﻴذ ﻋﻠﻰ ﺘﺠﺎوز اﻝﺼﻌوﺒﺎت اﻝﺘﻲ ﺘﻌﺘرﻀﻬم ،وأن ﻴﺴﺎﻫم ﻓﻲ إﺜراء ﻤراﺠﻊ اﻷﺴﺘﺎذ. واﷲ وﻝﻲ اﻝﺘوﻓﻴق
اﺴطﻴط ﻋﺒداﻝرﺤﻴم
https://sites.google.com/site/stitmath
2
ا
ذ:ا
ا
اﻟﻔﻬﺮس أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻷول 6................................................................................................ ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻷول 7............................................................................................ أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ 10 .............................................................................................. ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ 11 ......................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث 15 ............................................................................................. ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث 16 ......................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ 19 .............................................................................................. ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ 20 .......................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس23 ............................................................................................ ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس 24 ....................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس 27 ............................................................................................ ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس 28 ....................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ 31 ............................................................................................. ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ 32 ......................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن 34 ............................................................................................. ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن 35 ......................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺘﺎﺴﻊ 38 ............................................................................................. ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺘﺎﺴﻊ 39 ......................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﻌﺎﺸر 42 ............................................................................................. ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﻌﺎﺸر 43 ........................................................................................ أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺤﺎدي ﻋﺸر 46 ......................................................................................
https://sites.google.com/site/stitmath
3
ا
ذ:ا
ا
ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺤﺎدي ﻋﺸر 47 .................................................................................. أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ ﻋﺸر 50 ........................................................................................ ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ ﻋﺸر51 .................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث ﻋﺸر53 ........................................................................................ ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث ﻋﺸر 54 ................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ ﻋﺸر 57 ........................................................................................ ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ ﻋﺸر 58 .................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس ﻋﺸر 61 ...................................................................................... ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس ﻋﺸر 62 ................................................................................. أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس ﻋﺸر 65 ...................................................................................... ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس ﻋﺸر 66 .................................................................................. أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ ﻋﺸر 70 ....................................................................................... ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ ﻋﺸر 71 ................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن ﻋﺸر74 ........................................................................................ ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن ﻋﺸر 75 ................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺘﺎﺴﻊ ﻋﺸر 80 ....................................................................................... ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺘﺎﺴﻊ ﻋﺸر 81 ................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﻌﺸرون 84 ........................................................................................... ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﻌﺸرون 85 ...................................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝواﺤد واﻝﻌﺸرون 88 ................................................................................... ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝواﺤد واﻝﻌﺸرون 89 ............................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ واﻝﻌﺸرون 92 ................................................................................... ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ واﻝﻌﺸرون 93 ............................................................................... https://sites.google.com/site/stitmath
4
ا
ذ:ا
ا
أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث واﻝﻌﺸرون 95 ................................................................................... ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث واﻝﻌﺸرون 96 ............................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ واﻝﻌﺸرون 100 .................................................................................. ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ واﻝﻌﺸرون 101 .............................................................................. أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس واﻝﻌﺸرون 104 ............................................................................... ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس واﻝﻌﺸرون 105 ........................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس واﻝﻌﺸرون108 ................................................................................ ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس واﻝﻌﺸرون 109 ........................................................................... أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ واﻝﻌﺸرون 112 ................................................................................. أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ واﻝﻌﺸرون 113 ................................................................................. أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن واﻝﻌﺸرون 116 ................................................................................. ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن واﻝﻌﺸرون 117 .............................................................................
https://sites.google.com/site/stitmath
5
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد ا ٔول ﺗﻤﺮﻳﻦ 1 x
و
y
و
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
z
x2 y 2 z 2 + + ≥ x+ y+z y z x
ﺒﻴن أن :
ﲤﺮﻦ 2 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث : و
BA = AD
اﺤﺴب :
BA = BC
و ) ( AD ) ⊥ ( BC
ˆ + ADB ˆ BAC
ﲤﺮﻦ 3 EFG
ﻤﺜﻠث ﻤﺘﺴﺎوي اﻷﻀﻼع واﻝﻨﻘطﺔ
ارﺘﻔﺎع اﻝﻤﺜﻠث ﺒﻴن أن :
EFG
اﻝﻤﺎر ﻤن
E
P
داﺨﻠﻪ
ﻴﻘطﻊ ) ( FGﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ
D
PB + PC + PA = ED
ﲤﺮﻦ 4 x
و
y
ﺒﻴن أن :
و
z
و
w
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث :
x y z = = y z w
x 5 + y 2 z 2 + x3 z 2 x = 4 4 2 2 y z + w + y zw w
https://sites.google.com/site/stitmath
6
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد ا ٔول ﲤﺮﻦ 1 ﻝدﻴﻨﺎ :
≥0
ﻴﻌﻨﻲ :
x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0
إذن :
x2 + y ≥ 2x y
2
)(x − y
)
ﻴﻌﻨﻲ :
x 2 + y 2 ≥ 2 xy
ﻴﻌﻨﻲ :
x 2 + y 2 2 xy ≥ y y
(
1
وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : و
y2 + z ≥ 2y z z2 + x ≥ 2z x
)
2
)
( 3
(
x2 y2 z2 اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت 1و 2و 3طرف ﺒطرف + y + + z + + x ≥ 2 x + 2 y + 2 z : y z x 2 x y2 z2 )+ + + ( x + y + z) − ( x + y + z) ≥ 2( x + y + z) − ( x + y + z y z x
ﻨﺠﻤﻊ أي :
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
x2 y 2 z 2 + + ≥ x+ y+z y z x
ﲤﺮﻦ 2
ﻝدﻴﻨﺎ :
BA = BC
إذن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن وﻤﻨﻪ
و
BA = AD
ABC
و
ABD
ˆ = BCA ˆ BAC
و
ˆ = ADB ˆ ABD
ﺒﻤﺎ أن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎت
BAF
و
ﻤﺘﺴﺎوﻴﺎ اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ
AFC
و
BFD
https://sites.google.com/site/stitmath
B
و
A
ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ
ﻫﻲ ﻗﺎﺌﻤﺔ اﻝزاوﻴﺔ ﻜﻠﻬﺎ ﻓﻲ
F
7
ا
ˆ + BDA ˆ = 90° FBD
و
ˆ + ABC ˆ = 90° BAF
و
ا:ذ
: ﻓﺈن
ˆ + ACB ˆ = 90° FAC
: ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺎت اﻝﺜﻼﺜﺔ طرف ﺒطرف
ˆ + ACB ˆ + BAF ˆ + ABC ˆ + FBD ˆ + BDA ˆ = 90° + 90° + 90° FAC
ˆ + BAF ˆ ) + ACB ˆ + ( ABC ˆ + FBD ˆ ) + BDA ˆ = 90 + 90 + 90 ( FAC °
ˆ = ABC ˆ + FBD ˆ ABD
و
°
ˆ = FAC ˆ + BAF ˆ BAC
°
و
ˆ = BCA ˆ BAC
ﻷن
: أي
: ﻨﻌﻠم أن
ˆ + ACB ˆ + ABD ˆ + BDA ˆ = 90° + 90° + 90° BAC ˆ = ADB ˆ ABD
ا
: أي
ˆ + 2BDA ˆ = 270° 2 BAC
: أي
(
: أي
)
ˆ + BDA ˆ = 270° 2 BAC
ˆ + BDA ˆ = 135° BAC
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
3 ﲤﺮﻦ
: ﺒطرﻴﻘﺘﻴن ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴن (
1
)
EFG
S EFG =
ﻨﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث
ED × FG 2
: اﻝطرﻴﻘﺔ اﻷوﻝﻰ : اﻝطرﻴﻘﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ : ﻝدﻴﻨﺎ
S EFG = S PEG + S PFG + S PEF PB × EG PC × FG PA × EF + + 2 2 2 PB × EG + PC × FG + PA × EF = 2 =
FG = EG = EF 8
ﻨﻌﻠم أن
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
ا
PB × FG + PC × FG + PA × FG : إذن 2 FG ( PB + PC + PA ) ( 2 ) S EFG = : وﻤﻨﻪ 2 FG ( PB + PC + PA ) ED × FG = : ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن2 و1 ﻤن 2 2 2 FG ( PB + PC + PA ) 2 ED × FG × = × : أي FG 2 FG 2 =
S EFG
PB + PC + PA = ED
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
4 ﲤﺮﻦ x y z = = =k y z w
و
y = zk
و
z = kw
: ﻴﻌﻨﻲ
y = ( kw ) k
و
z = kw
: ﻴﻌﻨﻲ
و
و
z = kw
: إذن
x = yk x = yk
و
x = ( wk 2 ) k = k 3 w
y = wk 2
x5 + y 2 z 2 + x3 z 2 x − =0 4 4 2 2 y z + w + y zw w 5
2 2
2
3
( k w) + ( wk ) ( kw) + ( k w) ( kw) ( wk ) ( kw) + w + ( wk ) ( kw) w 3
x5 + y 2 z 2 + x 3 z 2 x − = 4 4 2 2 y z + w + y zw w
2 4
3
2 2
4
=
k 15 w5 + k 4 w2 k 2 w2 + k 9 w3 k 2 w2 − k3 8 4 4 4 2 2 k w kw + w + k w kww
=
k 15 w5 + k 6 w4 + k 11w5 − k3 k 9 w5 + w4 + k 5 w5
(
k 6 w4 k 9 w + 1 + k 5 w = w
4
( k w +1+ k w ) 9
= k6 − k3 =
5
3 2
(k )
) −k
2
2
−
: ﻝﻨﺒﻴن أن
wk 3 w
3
− k3 = k3 − k3 = 0 x 5 + y 2 z 2 + x3 z 2 x = 4 4 2 2 y z + w + y zw w
9
: ﻨﻀﻊ
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ ﲤﺮﻦ 1 x
و
y
و
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث :
x+ y+ z =3
y x z 3 + + ≥ y+ z x+ z x+ y 2
ﺒﻴن أن :
ﲤﺮﻦ 2 EFG
ﻤﺜﻠث ﻤﺘﺴﺎوي اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ
E
و
A
ﻨﻘطﺔ ﻤن ] [ FG
و ] [ FDاﻹرﺘﻘﺎع اﻝﻤواﻓق ﻝﻠﻀﻠﻊ ] [ EG و اﻝﻨﻘطﺘﺎن ﺒﻴن أن :
B
و
C
ﻫﻤﺎ اﻝﻤﺴﻘطﺎن اﻝﻌﻤودﻴﺎن ﻝﻠﻨﻘطﺔ
A
ﻋﻠﻰ ) ( EFو ) ( EGﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ
FD = AB + AC
ﲤﺮﻦ 3 x
و
y
و
ﺒﻴن أن :
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث :
1 1 1 = y+ = z+ y z x
x+
xyz = 1
ﲤﺮﻦ 4 ECDB
رﺒﺎﻋﻲ ﻤﺤﺎط ﺒداﺌرة
) أﻨظر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ( ﺒﻴن أن :
EC × DB + DC × EB = BC × ED
https://sites.google.com/site/stitmath
10
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ ﲤﺮﻦ 1 2
ﻝدﻴﻨﺎ :
x −1 ≥ 0
ﻴﻌﻨﻲ :
(
)
ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ :
)
)
( ) (x − 2
( )
)
− x −2≤0
(
− x x − 2 x + 2x + 4 x − x − 2 ≤ 0
−x x + 3 x − 2 ≤ 0
ﻴﻌﻨﻲ :
x (3 − x ) ≤ 2 1 1 ≥ x (3 − x ) 2
ﻴﻌﻨﻲ :
( x ) × 12 2
إذن :
x x ≥ y+z 2
)
1 ≥ ) x (3 − x
)
1
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : و ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت أي :
2
(
x −1 × − x − 2 ≤ 0 × − x − 2 x +1 × − x − 2 ≤ 0
ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ :
)
(
1
و
2
3− x = y + z > 0
(
2
× )( x
( y y ≥ x+z 2 z z ≥ x+ y 2
و
3
) )
2
3
( (
طرف ﺒطرف :
y x z x y z + + ≥ + + y+ z x+ z x+ y 2 2 2
y x z x+ y+ z + + ≥ y+ z x+ z x+ y 2
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
y x z 3 + + ≥ y+ z x+ z x+ y 2
ﲤﺮﻦ 2
https://sites.google.com/site/stitmath
11
ا
ا:ذ
S EFG = S EFA + S EAG
( EAG ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث: S EAG ،،
(
E
ﻤﺘﺴﺎوي اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ
EFG
EFA
ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث:
ﻷن اﻝﻤﺜﻠث
S EFA
،،
EFG
ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث:
EG × FD AB × EF AC × EG = + 2 2 2 EG × FD AB × EF + AC × EG = 2 2 EG × FD AB × EG + AC × EG EF = EG ) = 2 2 EG × FD EG ( AB + AC ) = 2 2 EG ( AB + AC ) 2 EG × FD 2 × = × EG 2 EG 2
FD = AB + AC
ا
: ﻝدﻴﻨﺎ S EFG )
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : إذن
3 ﲤﺮﻦ 1 1 = y + : ﻝدﻴﻨﺎ y z 1 1 x− y = − : ﻴﻌﻨﻲ z y x( y − z) xyz = : إذن x− y 1 1 y + = z + : ﻝدﻴﻨﺎ z x 1 1 y − z = − : ﻴﻌﻨﻲ x z x+
zy =
y−z x− y
: ﻴﻌﻨﻲ
x− y =
y−z zy
:ﻴﻌﻨﻲ (
xz =
12
z−x y−z
: ﻴﻌﻨﻲ
y−z =
z−x xz
1
)
: ﻴﻌﻨﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
)y ( z − x
إذن :
)
2
2
طرف ﺒطرف :
= xyz
y−z 1 1 ﻝدﻴﻨﺎ x + = z + : y x ﻴﻌﻨﻲ z − x = 1 − 1 :ﻴﻌﻨﻲ y x إذن ( 3 ) xy = x − y : z−x
ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن ) xy ( z − x
وﻤﻨﻪ : ﻤن
أي :
x− y
و
3
4
x>0
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
2
و
x− y
×
=
z−x
y>0
و
x− y xy
:
)
) ( xyz
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
z−x =1 x− y
ﺒﻤﺎ أن
=
1
و
(
4
=z−x
y−z
x− y
(
x− y )( z − x z−x = x− y 2
)) × y ( z − x
(
x y−z
= ) ( xyz ) × ( xyz
2
) ( xyz
) ( xyz
z>0
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻓﺈن :
xyz > 0
xyz = 1
ﲤﺮﻦ 4
ﻨﻀﻊ اﻝﻨﻘطﺔ
F
ˆ DBF
و
ﺒﻤﺎ أن ﻓﺈن: ﻤن
1
ﻋﻠﻰ ] [ BCﺒﺤﻴث : ˆ DEC
ˆ = DEC ˆ DBF
و
2
ˆ = BDF ˆ CDE
)
1
(
زاوﻴﺘﺎن ﻤﺤﻴطﻴﺘﺎن ﺘﺤﺼران ﻨﻔس اﻝﻘوس )
2
(
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن
CED
و
https://sites.google.com/site/stitmath
DBF
ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺎن 13
ا
(
3
)
أي
ˆ + EDF ˆ = BDF ˆ + EDF ˆ CDE
: ﻴﻌﻨﻲ
DFC
)
4
5
DB × CE + DC × BE = BF × DE + CF × DE
6
)
ˆ DEB
)
و
ˆ DCF
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن
5
و
:ﻓﺈن
6
4
ﻤن
: أي : وﻤﻨﻪ
DC × BE = CF × DE
: طرف ﺒطرف3 و
ﺒﻤﺎ أن
ˆ = DEB ˆ DCF
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﻴن
DB × CE + DC × BE = DE ( BF + CF ) EC × DB + DC × EB = BC × ED
14
: إذن
ˆ = EDB ˆ CDF
DC CF = DE BE
(
وﻤﻨﻪ : ﻝدﻴﻨﺎ
( و
DB BF = DE CE
ˆ = BDF ˆ CDE
زاوﻴﺘﺎن ﻤﺤﻴطﻴﺘﺎن ﺘﺤﺼران ﻨﻔس اﻝﻘوس
DBE
ا
DB × CE = BF × DE
(
ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺎن
ا:ذ
: أي
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ ﲤﺮﻦ 1 x
و
و
y
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
xy xz yz + + ≥ x+ y+z z y x
ﺒﻴن أن
ﲤﺮﻦ 2 AHB
ﻤﺜﻠث ﺒﺤﻴث :
ˆ = 120° ABH
و ) [ BCﻫو ﻤﻨﺼف اﻝزاوﻴﺔ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم اﻝﻤﺎر ﻤن
H
ˆ C ∈ [ HA] ) ABH
(
واﻝﻤوازي ﻝﻠﻤﺴﺴﺘﻘﻴم ) ( CBﻴﻘطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( ABﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ
D
.
1 1 1 + = BH AB CB
ﺒﻴن أن :
ﲤﺮﻦ 3 x
و
و
y
ﺒﻴن أن :
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث :
= x2 + y 2 + z 2
2
)(x + y + z
1 1 1 + + =0 x y z
ﲤﺮﻦ 4 ABC
ﻤﺜﻠث و اﻝﻨﻘطﺔ
D
ﻤﻨﺘﺼف ] [ BC
و ) ( AEاﻹرﺘﻔﺎع اﻝﻤواﻓق ﻝﻠﻀﻠﻊ ] [ BC و اﻝﻨﻘطﺘﺎن ﺒﻴن أن
F
و
G
)
) E ∈ ( BC
(
ﻫﻤﺎ اﻝﻤﺴﻘطﺎن اﻝﻌﻤودﻴﺎن ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﻝﻠﻨﻘطﺘﻴن
B
و
C
ﻋﻠﻰ ) ( AD
CG = BF
https://sites.google.com/site/stitmath
15
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ% 1 ﲤﺮﻦ c = xz
و
b = yz
و
a = xy
:أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث (c − a)
a 2 − 2ab + b 2 + b 2 − 2bc + c 2 + c 2 − 2ac + a 2 ≥ 0 2 ( a 2 + a 2 + a 2 ) ≥ 2 ( ab + bc + ac )
1
2
≥0
c
و
b
و
a
( وb − c )2 ( وa − b )2 ≥ 0 : ﻝدﻴﻨﺎ
: ( أيa − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ≥ 0 : أي
: أي
2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ac ≥ 0
1
× 2 ( a2 + b2 + c2 ) ≥
× 2 ( ab + bc + ac ) 2 abc b2 c2 ab bc ac + + ≥ + + abc abc abc abc abc abc
2 abc a2
a2 b2 c2 a 2b 2 b2c 2 a 2c 2 + + ≥ + + abc abc abc abc abc abc a2
+
abc
x2 y 2 x2 y2 z2
+
y2 z2 x2 y2 z 2
ﻝﺘﻜن
+
b2
c2
+
abc
≥
abc
x2 z 2 x2 y2 z 2
≥
: أي : أي : أي
ab bc ac + + c a b
xy 2 z + xz
: أي
: أي
yz 2 x x 2 yz + xy yz
: أي
x2 y 2 y 2 z 2 x2 z 2 + + ≥ y 2 + z 2 + x 2 : أي xyz xyz xyz xy yz xz + + ≥ y + z + x : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ z x y
2 ﲤﺮﻦ
ˆ ABH
16
[ ﻫو ﻤﻨﺼف اﻝزاوﻴﺔBC ) ﺒﻤﺎ أن
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
(
1
)
ا:ذ
ا
ˆ ˆ = HBC ˆ = ABH = 120 = 60 ABC 2 2
: ﻓﺈن
ˆ = HBD ˆ + ABH ˆ DBA
وﻝدﻴﻨﺎ
ˆ = DBA ˆ − ABH ˆ =180° −120° = 60° HBD
: إذن
( ﻗﺎطﻊ ﻝﻬﻤﺎHB ) ( ﻤﺘوازﻴﺎن وHD ) ( وCB ) ﺒﻤﺎ أن اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن (
ˆ = HBC ˆ = 60° BHD
: ﻓﺈن
ˆ + DHB ˆ + HBD ˆ = 180 : HDB
وﻝدﻴﻨﺎ
2
)
(
ˆ = 180 − DHB ˆ + HBD ˆ HDB
(
3
)
)
وﻤﻨﻪ
ˆ = 180° − ( 60° + 60° ) = 180° − 120° = 60° HDB
ﻤﺘﺴﺎوي اﻷﻀﻼع
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻝﻤﺜﻠث
HDB
3
و
2
و
HD = HB = DB
أي
1
ﻤن
وﻤﻨﻪ
( HD ) / / ( CB ) ﻝدﻴﻨﺎ AH AD DH = = AC AB CB
(
AD = AB + BD
و
: ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن
AD DH : أي = AB CB AB + BD BH : أي HD = HB = DB ) = AB CB AB + BH 1 : أي = AB × BH CB AB BH 1 : أي = + AB × BH AB × BH CB 1 1 1 : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ + = BH AB CB
3 ﲤﺮﻦ (x + y + z)
= x2 + y 2 + z 2
: ﻝدﻴﻨﺎ
+ 2 ( x + y ) z + z 2 = x2 + y2 + z 2
: أي
x 2 + 2 xy + y 2 + 2 ( x + y ) z + z 2 = x 2 + y 2 + z 2
: أي
( x + y)
2
2 ( xy + xz + yz ) = 0 xy xz yz + + =0 xyz xyz xyz
17
2
: أي
: أي
2 xy + 2 ( x + y ) z = 0 :
1 1 × 2 ( xy + xz + yz ) = 0 × 2 xyz 2 xyz
أي
: أي
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
1 1 1 + + =0 x y z
ﲤﺮﻦ 4
ﻨﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠﺜﻴن
ABD
و
ACD
ﺒطرﻴﻘﺘﻴن ﻤﺤﺘﻠﻔﺘﻴن
اﻝطرﻴﻘﺔ اﻷوﻝﻰ : ﻝدﻴﻨﺎ : )
S ABD
ﻨﻌﻠم أن إذن
AE × BD 2
و
= S ABD
ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث
AE × CD 2
ABD
و
= S ACD
S ACD
ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث
ACD
(
BD = CD
S ABD = S ACD
اﻝطرﻴﻘﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ : ﻝدﻴﻨﺎ :
AD × BF 2
ﺒﻤﺎ أن
S ABD = S ACD
= S ABD
و
AD × CG 2
= S ACD
AD × BF AD × CG ﻓﺈن : = 2 2 2 AD × BF 2 AD × CG × = × ﻴﻌﻨﻲ : AD 2 AD 2
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
BF = CG
https://sites.google.com/site/stitmath
18
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ ﲤﺮﻦ 1 x
و
ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤوﺠﺒﺎن ﻗطﻌﺎ
y
x y 1 + 4 ≤ 2 2 x +y y +x xy
ﺒﻴن أن
4
ﲤﺮﻦ 2 ABC
ﻤﺜﻠث واﻝﻨﻘط
D
و
E
و
F
ﻫﻲ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ
ﻤﻨﺘﺼﻔﺎت اﻝﻘطﻊ ] [ BCو ] [ ACو ][ AB ﺒﻴن أن :
AB + AC + BC < AD + CE + BF < AB + AC + BC 2
ﲤﺮﻦ 3 EFGﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
E
ﺒﻴن أن EF 4 + EG 4 < FG 4 :
ﲤﺮﻦ 4 ﺒﻴن ان :
1 3 5 2012 2014 1 × × × × ... × < 2 4 6 2013 2015 2016
https://sites.google.com/site/stitmath
19
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ ﲤﺮﻦ 1 ﻝدﻴﻨﺎ : أي :
2
+ y) ≥ 0
2
(x
x4 − 2x2 y + y 2 ≥ 0 x 1 ≤ 2 x +y 2 xy
إذن :
أي : )
4
1
x4 + y 2 ≥ 2x2 y
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : 2
طرف ﺒطرف :
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت وﻤﻨﻪ :
1
4
(
y 1 ≤ 2 y +x 2 yx
و
أي :
1 1 ≤ 2 2 x +y 2x y
أي :
x x ≤ 2 2 x +y 2x y 4
4
x y 2 + 4 ≤ 2 2 x +y y +x 2 xy
)
x y 1 1 + 4 ≤ + 2 2 x +y y +x 2 xy 2 yx
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
4
2
( 4
x y 1 + 4 ≤ 2 2 x +y y +x xy 4
ﲤﺮﻦ 2 ﻝﺘﻜن
ﻝدﻴﻨﺎ
M
D
ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ
A
ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
D
ﻤﻨﺘﺼف ] [ BC
https://sites.google.com/site/stitmath
20
ا
ذ:ا
إذن
C
ا
ﻫﻲ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ
ﺒﻤﺎ أن
و
C
ﻓﺈن : ﻤن
و
ﻨﻌﻠم أن أي
M
)
1
AM < AC + CM
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
2
ADC
AB < AD + DB
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن ﻨﻌﻠم أن :
4
3
ADB
)
5
و
5
طرف ﺒطرف :
D
)
4
(
AC + AB < AD + DC + AD + DB
BC = BD + DC
إذن :
AC + AB − BC < 2 AD
ﻤن
AC < AD + DC
(
أي : 3
A
ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
ﻴﻌﻨﻲ
D
ﻤﻨﺘﺼف ] ( [ AM
(
ﻝدﻴﻨﺎ :
AC + AB < 2 AD + BC
و
ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ
M
)
2 AD < AC + AB
و
)
2
(
AM < AC + AB
) ﻷن
AM = 2 AD
A
ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
D
(
ﻝدﻴﻨﺎ :
ACM
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن و
و
B
ﻫﻤﺎ ﻤﻤﺎﺜﻠﺘﻲ
AB = CM
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث 1
B
ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
D
6
ﻨﺴﺘﻤﻨﺞ أن :
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : و ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
7
و
8
)
6
(
AC + AB − BC < 2 AD < AC + AB AC + BC − AB < 2CE < AC + BC AB + BC − AC < 2 BF < AB + BC
و
9
)
7
(
)
8
(
)
9
(
طرف ﺒطرف :
AC + AB − BC + AC + BC − AB + AB + BC − AC < 2 AD + 2CE + 2 BF < AC + AB + AC + BC + AB + BC
أي : AC + AB − BC + AC + BC − AB + AB + BC − AC < 2 ( AD + CE + BF ) < 2 AC + 2 AB + 2 BC
1 1 1 أي × ( AB + AC + BC ) < × 2 ( AD + CE + BF ) < × 2 ( AC + AB + BC ) : 2 2 2 AB + AC + BC وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ < AD + CE + BF < AB + AC + BC : 2
ﲤﺮﻦ 3 ﻝدﻴﻨﺎ EFGﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ E
https://sites.google.com/site/stitmath
21
ا
ا:ذ
ا
EF 2 + EG 2 = FG 2 : إذن
: ( EF 4 + EG 4 ) − FG 4 2
ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق
2
FG 4 − EF 4 − EG 4 = ( FG 2 ) − EF 4 − EG 4 = ( EF 2 + EG 2 ) − EF 4 − EG 4 2
2
= ( EF 2 ) + 2 EF 2 × EG 2 + ( EG 2 ) − EF 4 − EG 4 = EF 4 + 2EF 2 × EG 2 + EG 4 − EF 4 − EG 4 = 2 EF 2 × EG 2 > 0 EF 4 + EG 4 < FG 4 :
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
4 ﲤﺮﻦ 2 4 6 2013 2015 Y = × × × ... × × 3 5 7 2014 2016
و
1 3 5 2012 2014 X = × × × ... × × 2 4 6 2013 2015
: ﻨﻀﻊ : ﻝدﻴﻨﺎ
1 2 < 2 3 3 4 < 4 5 M 2012 2013 < 2013 2014 2014 2015 < 2015 2016 1 3 5 2012 2014 2 4 6 2013 2015 × × × ... × × < × × × ... × × 2 4 6 2013 2015 3 5 7 2014 2016 X <Y
: ﻴﻌﻨﻲ
X 2 < XY
: ﻴﻌﻨﻲ
X2 = X <
: XY =
: ﻴﻌﻨﻲ
XY
: ﻴﻌﻨﻲ
XY
ﻝﻨﺤﺴب
1 2 3 4 5 6 2012 2013 2014 2015 1 × × × × × × ... × × × × = 2013 2014 2015 2016 2016 2 3 4 5 6 7
: ﻝدﻴﻨﺎ
1 1 : إذن = 2016 2016 1 3 5 2012 2014 1 : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ X = × × × ... × × < XY = 2 4 6 2013 2015 2016 XY =
22
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ ﲤﺮﻦ 1 x
و
و
y
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
1 1 1 + + ≥9 x y z
ﺒﻴن أن :
( x + y + z)
ﲤﺮﻦ 2 EFGH
رﺒﺎﻋﻲ ﻤﺤدب ﻗطراﻩ
] [ EGو ] [ FHﻴﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ
O
ﻜﻤﺎﻫو ﻤﺒﻴن
ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ : Pﻤﺤﻴط اﻝرﻴﺎﻋﻲ ﺒﻴن أن :
EFGH
1 P < EG + FH < P 2
ﲤﺮﻦ 3 اﺤﺴب
1 1 1 1 + + + .... + 1× 2 3 × 4 5 × 6 99 ×100 1 1 1 1 1 + + + ... + + 51× 100 52 × 99 53 × 98 99 × 52 100 × 51
ﲤﺮﻦ 4 أﻨﺸﺊ ﻗطﻌﺔ طوﻝﻬﺎ
10
) ﺘﺒرﻴر اﻹﻨﺸﺎء (
https://sites.google.com/site/stitmath
23
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ% 1 ﲤﺮﻦ : ( x + y + z ) 1 + 1 + 1 − 9 ﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق x
z
y
: ﻝدﻴﻨﺎ 1 1 1 x x x y y y z z z + + −9 = + + + + + + + + −9 x y z x y z x y z x y z
(x + y + z)
x x y y z z + + +1+ + + +1− 9 y z x z x y x x y y z z = + + + + + −6 y z x z x y x y y z z x = + −2+ + −2+ + −2 y x z y x z = 1+
=
x 2 + y 2 − 2 xy y 2 + z 2 − 2 zy x 2 + z 2 − 2 xz + + xy zy xz
( x − y) =
2
xy
( z − y) + zy
(z − y) xz > 0
و
2
zy > 0
و
2
(x − z) +
2
xz
≥0
xy > 0
( وx − y )2 ≥ 0 ( وx − z )2 ≥ 0 ﻨﻌﻠم أن : ﻓﺈن
z>0
و
2
y>0
و
2
x>0
ﺒﻤﺎ أن
2
1 1 1 ( x − y ) + ( z − y ) + ( x − z ) ≥ 0 : إذن (x + y + z) + + − 9 = xy zy xz x y z 1 1 1 ( x + y + z ) + + ≥ 9 : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ x y z
2 ﲤﺮﻦ : ﻫو
EFGH
ﻤﺤﻴط اﻝرﺒﺎﻋﻲ
P = EF + FG + GH + HE EG < EH + HG
و
EG < EF + FG
EG + EG < EF + FG + EH + HG
: ﻝدﻴﻨﺎ
EHG
و
EFG
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺜﻴن
: ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﻴﺘﻴن طرف ﺒطرف 2 EG < P
24
: أي
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
( و
FH < GF + HG
FH < EF + EH
FH + FH < EF + EH + GF + HG
: ﻝدﻴﻨﺎ
1
) و
HGF
ا:ذ P 2
EG < EHF
: إذن
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺜﻴن
: ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﻴﺘﻴن طرف ﺒطرف : أي
2FH < P
( ( : ﻝدﻴﻨﺎ
3
)
EG + FH < P
و
)
2
P 2
FH <
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
: إذن و
2
1
ﻤن
EOH
و
HGO
FOG
و
EFO
EH < OH + OE
و
HG < OG + OH
و
FG < OF + OG
EF < EO + OF
EF + FG + HG + EH < EO + OF + OF + OG + OG + OH + OH + OE :ﺒطرف P < 2 EG + 2 FH
(
ا
4
)
: أي
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎت
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت طرف : أي
P < 2 ( EO + OG ) + 2 ( OF + OH )
P < EG + FH : أي 2 1 P < EG + FH < P 2
و
: أي
P < 2 ( EG + FH )
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
4
و
3
ﻤن
3 ﲤﺮﻦ 1 1 1 1 : ﻨﻀﻊ + + + ... + 1× 2 3 × 4 5 × 6 99 × 100 1 1 1 1 1 و Y= + + + ... + + 51×100 52 × 99 53 × 98 99 × 52 100 × 51 1 1 1 1 : ﻝدﻴﻨﺎ X= + + + ... + 1× 2 3 × 4 5 × 6 99 × 100 1 1 1 1 1 1 1 X = 1 − + − + − + ... + − : ﻴﻌﻨﻲ 2 3 4 5 6 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X = 1 + − 2 × + + − 2 × + + − 2 × + ... + + − 2× : ﻴﻌﻨﻲ 2 3 4 4 5 6 6 100 2 99 100 X=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X = 1 + + + + + ... + + − 2 + + ... + 99 100 2 4 6 100 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X = 1 + + + + + ... + + − 1 + + ... + 99 100 2 3 50 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 X = + + ... + + 51 52 53 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X + X = + + ... + + + + + ... + + 99 100 51 52 53 99 100 51 52 53
25
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ﻴﻌﻨﻲ :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2X = + + + + + + + ... + + + 51 100 52 99 53 98 99 52 100 51 151 151 151 151 151 = 2X + + + ... + + 51×100 52 × 99 53 × 98 99 × 52 100 × 51 1 1 1 1 1 + + + ... + + 2 X = 151 99 × 52 100 × 51 51×100 52 × 99 53 × 98
ﻴﻌﻨﻲ :
2 X = 151Y
ﻴﻌﻨﻲ :
ﻴﻌﻨﻲ :
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
X 151 = Y 2
ﲤﺮﻦ 4 اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻷوﻝﻰ : ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻤﺜﻠث
ABC
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
ﺒﺤﻴث :
B
AB = BC = 1
ﺠﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : AC 2 = AB 2 + BC 2
ﻴﻌﻨﻲ :
AC 2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2
وﻤﻨﻪ :
AC = 2
اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ : ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ C
ﺒﺤﻴث :
D
ﺒﺤﻴث اﻝﻤﺜﻠث
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
ADC
DC = 2
ﺠﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : ﻴﻌﻨﻲ :
+ 22 = 2 + 4 = 6
2
)( 2
= AD 2
AD 2 = AC 2 + DC 2
وﻤﻨﻪ :
AD = 6
اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻝﺜﺎﻝﺜﺔ : ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ
'A
ﺒﺤﻴث اﻝﻤﺜﻠث
' ADA
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
ﺠﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : 2
ﻴﻌﻨﻲ :
= 4 + 6 = 10
وﻤﻨﻪ :
AA ' = 10
)( 6
D
ﺒﺤﻴث :
DA ' = 2
AA '2 = DA '2 + AD 2
AA '2 = 2 2 +
https://sites.google.com/site/stitmath
26
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس ﲤﺮﻦ 1 x
و
-1 -2
و
y
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ
)x >0
و
y>0
و
z>0
(
x y ﺒﻴن أن + ≥ 2 y x x+ y y+ z x+ z + + اﺴﺘﻨﺘﺞ أن ≥ 6 : z x y
ﲤﺮﻦ 2 x
و
و
y
ﺒﻴن أن :
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴث :
x − 7 y + 8z = 4 8 x + 4 y − z = 7
x2 − y 2 + z 2 = 1
ﲤﺮﻦ 3 ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﻝدﻴﻨﺎ : ) ( AC ) / / ( BDو و
و
BD = 4
E
AC = 8
ﻨﻘطﺔ
ﺘﻘﺎطﻊ ) ( BCو ) ( AD
و
F
ﻨﻘطﺔ ﻤن اﻝﻘطﻌﺔ ] [ ABﺒﺤﻴث ) ( EF ) / / ( BD
اﺤﺴب
EF
ﲤﺮﻦ 4 x
و
y
ﺒﺤﻴث : ﺒﻴن أن :
و
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
xyz = 1
1 2
و
وm
ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ
2 xm 2 ym 2 zm + + =1 xy + x + 1 yz + y + 1 xz + z + 1
=m
https://sites.google.com/site/stitmath
27
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس ﲤﺮﻦ 1 2
- 1ﻝدﻴﻨﺎ :
x y x2 + y 2 ) x 2 − 2 xy + y 2 ( x − y =+ −2 =−2 = ≥0 y x xy xy xy
) ﻷن ( x − y )2 ≥ 0و x y + ≥2 y x
إذن :
-2ﺤﺴب اﻝﺴؤال ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
أي : إذن :
xy > 0
(
1
x y اﻝﺴﺎﺒق ﻝدﻴﻨﺎ + ≥ 2 : y x y z ﻨﺒﻴن أن + ≥ 2 : z y x z و + ≥2 z x
و
2
و
3
)
1
(
)
2
(
)
3
(
طرف ﺒطرف :
x y y z x z + + + + + ≥ 2+2+2 y x z y z x x+ y y+ z x+ z + + ≥ 2+2+2 z x y x+ y y+ z x+ z + + ≥6 z x y
ﲤﺮﻦ 2 ﻨﻀﻊ :
)(1 )( 2
x − 7 y + 8 z = 4 8 x + 4 y − z = 7
ﻨﻀرب اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ) (1ﻓﻲ ﻴﻌﻨﻲ :
2
واﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ) ( 2ﻓﻲ
1
) (×2 : )(×1
x − 7 y + 8 z = 4 8 x + 4 y − z = 7
2 x − 14 y + 16 z = 8 8 x + 4 y − z = 7
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﻌﺎدﻝﺘﻴن اﻝﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ طرف ﺒطرف :
https://sites.google.com/site/stitmath
2 x − 14 y + 16 z + 8 x + 4 y − z = 8 + 7
28
ا
ا
ذ:ا
ﻴﻌﻨﻲ :
10 x − 10 y + 15 z = 15
ﻴﻌﻨﻲ :
) 10 ( x − y ) = 15 (1 − z
إذن :
15 3 ) (1 − z ) = (1 − z 10 2
ﻨﻀرب اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ )
1
)
= x− y
( ﻓﻲ
−1
3
(
واﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ )
2
( ﻓﻲ
2
:
) )(× ( −1 ) (×2
x − 7 y + 8 z = 4 8 x + 4 y − z = 7
− x + 7 y − 8 z = −4 16 x + 8 y − 2 z = 14
أي :
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﻌﺎدﻝﺘﻴن اﻝﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ طرف ﺒطرف : ﻴﻌﻨﻲ :
15 x + 15 y − 10 z = 10
ﻴﻌﻨﻲ :
) 15 ( x + y ) = 10 (1 + z
إذن :
10 2 ) (1 + z ) = (1 + z 15 3
ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن ﻴﻌﻨﻲ :
3
و
= x+ y
4
)
4
− x + 7 y − 8 z + 16 x + 8 y − 2 z = −4 + 14
(
3 2 طرف ﺒطرف ( x − y ) × ( x + y ) = (1 − z ) × (1 + z ) : 3
2
x2 − y 2 = 1 − z 2
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
x2 − y 2 + z 2 = 1
ﲤﺮﻦ 3 ﺒﺘطﺒﻴق طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث : ABC BF BE EF = = BA BC AC
وﻤﻨﻪ
BF EF = BA AC
)
1
(
ﺒﺘطﺒﻴق طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث : ADB AF EF AF AE EF وﻤﻨﻪ = = = AB DB AB AD DB
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن ﻴﻌﻨﻲ : إذن :
1
و
2
)
2
(
طرف ﺒطرف ﻨﺠد :
BF AF EF EF + = + BA AB AC DB 1 BF + AF AB 1 EF + = =1 = AB AB AC DB 1 1 1 + = AC DB EF
اﻝﺘطﺒﻴق اﻝﻌددي :
https://sites.google.com/site/stitmath
29
ا
ا:ذ
ا
1 1 1 4 + 8 12 = + = = EF 8 4 32 32 32 8 = EF = 12 3
4 ﲤﺮﻦ 1 وyz = 1 : ﻓﺈنxyz = 1 : ﺒﻤﺎ أن y x 2 xm 2 ym 2 zm + + = 1 : ﻝدﻴﻨﺎ xy + x + 1 yz + y + 1 xz + z + 1 2 xm 2 ym 2 zm + + = 1 : ﻴﻌﻨﻲ xy + x + 1 1 + y + 1 1 + z + 1 x y 2 xm 2 ym 2 zm + + = 1 : ﻴﻌﻨﻲ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + yz + y x y 2 xm 2 xym 2 yzm + + = 1 : ﻴﻌﻨﻲ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + yz + y 2 xm 2 xym 2 yxm + + = 1 : ﻴﻌﻨﻲ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + 1 + y x 2 xm 2 xym 2 yzm + + = 1 : ﻴﻌﻨﻲ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + xy + x x 2 xm 2 xym 2 xyzm + + = 1 : ﻴﻌﻨﻲ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + xy + x 2 xm + 2 xym + 2 ×1× m = 1 : ﻴﻌﻨﻲ xy + x + 1
xz =
(
) =1
: ﻴﻌﻨﻲ
2m = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
2m x + xy + 1 xy + x + 1
m=
30
1 2
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ ﲤﺮﻦ 1 x
و
y
و
z
-1ﺒﻴن أن -2اﺴﺘﻨﺘﺞ
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
1 1 4 ≥ + : x y x+ y 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + أن : 2x 2 y 2z x + y y + z z + x
ﲤﺮﻦ 2 ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﻝدﻴﻨﺎ
S ∈ [ PM ] :
و
] R ∈ [ NM
و ) ( AR ) / / ( NSو ) ( PR ) / / ( BS MA MB = MP MN
ﺒﻴن أن :
ﲤﺮﻦ 3 ABCﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ C ﺒﻴن أن BC K > AB k + AC K :
) ( K >2
ﲤﺮﻦ 4 x
و
y
و
z
و
'x
و
'y
و
'z
ﺒﻴن أن ( x + y + z )( x '+ y '+ z ') :
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث :
x y z = = =m 'x' y' z
= ' xx ' + yy ' + zz
https://sites.google.com/site/stitmath
31
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ% 1 ﲤﺮﻦ 2
2
x + y ) − 4 xy x 2 − 2 xy + y 2 ( ( x − y) ≥ 0 1 1 4 y+x 4 + − = − = = = x y x+ y xy x+ y xy ( x + y ) xy ( x + y ) xy ( x + y )
(
xy ( x + y ) ≥ 0
ﻴﻌﻨﻲ
و
y>0
x>0
: ﻝدﻴﻨﺎ-1
( و ﻝدﻴﻨﺎx − y )2 ≥ 0 : ) ﻷن 1 1 4 + ≥ x y x+ y
(
1
)
(
2
)
(
3
)
1 1 4 + ≥ x y x+ y 1 1 4 + ≥ y z y+z 1 1 4 + ≥ x z x+ z
1 1 1 1 1 1 4 4 4 + + + + + ≥ + + x y y z x z x+ y y+z x+z
: إذن
: ﺤﺴب اﻝﺴؤال اﻝﺴﺎﺒق ﻝدﻴﻨﺎ-2 : ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن و
: طرف ﺒطرف
3
و
2
و
1
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
1 2 2 2 1 1 + + ≥ 4 + + x y z x+ y y+ z x+ z
: أي
1 1 1 1 1 1 1 1 × 2 + + ≥ × 4 + + : أي 4 x y z 4 x+ y y+z x+z 11 1 1 1 1 1 + + : أي + + ≥ 2 x y z x+ y y+ z x+ z 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ 2x 2 y 2z x + y y + z z + x
2 ﲤﺮﻦ ( AR ) / / ( NS ) : ﻝدﻴﻨﺎ MA MR = MS MN
وﻤﻨﻪ
MA MR AR = = MS MN SN
1
)
MS × MR = MA × MN
( PR ) / / ( BS ) : ﻝدﻴﻨﺎ
وﻤﻨﻪ
MB MS BS = = MR MP PR
MRP
أي
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
: ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن (
32
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
: ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن (
MB MS = MR MP
MSN
2
)
MS × MR = MB × MP
أي
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
MA × MN = MB × MP
ا:ذ
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
2
MA MB = MP MN
و
1
ا
ﻤن
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
3 ﲤﺮﻦ C
ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲABC
: ﻝدﻴﻨﺎ : إذن
BC 2 = AB 2 + AC 2 BC 2 × BC K − 2 = AB 2 × BC K − 2 + AC 2 × BC K − 2
( BC K − 2 > AC K − 2
و
: ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ 1
)
2
: ﻴﻌﻨﻲ
BC K − 2 > AB K − 2
)
ﻨﻀرب طرﻓﻲ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺔ ﻓﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
BC K = AB 2 × BC K − 2 + AC 2 × BC K − 2
BC K − 2 × AC 2 > AC K − 2 × AC 2
(
BC K − 2
و
BC > AB
: ﻝدﻴﻨﺎ
BC K − 2 × AB 2 > AB K − 2 × AB 2
: ﻴﻌﻨﻲ
BC K − 2 × AC 2 > AC K
BC > AC
و
و
: إذن
BC K − 2 × AB 2 > AB k
BC K > AB k + AC K
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
2
و
1
ﻤن
4 ﲤﺮﻦ z = mz '
و
x y z = = =m x' y' z'
: ﻝدﻴﻨﺎ
و
: إذن
y = my '
x = mx '
:ﻝدﻴﻨﺎ xx ' + yy ' + zz ' = mx ' x ' + my ' y ' + mz ' z ' = mx '2 + my '2 + mz '2 = x' m + y' m + z' m = m ( x '+ y '+ z ')
و ( x + y + z )( x '+ y '+ z ') = ( mx '+ my '+ mz ')( x '+ y '+ z ') = m ( x '+ y '+ z ')( x '+ y '+ z ') = m ( x '+ y '+ z ')
xx ' + yy ' + zz ' =
33
( x + y + z )( x '+ y '+ z ') : إذن
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ ﲤﺮﻦ 1 x
و
ﻋددان ﻤوﺠﺒﺎن ﻗطﻌﺎ
y
ﺒﻴن أن :
x+ y x y ≤ + xy + x + 1 x + 1 y + 1
ﲤﺮﻦ 2 ﻤرﺒﻊ
EFGH
و اﻝﻨﻘطﺔ
P
ﺘوﺠد ﻓﻲ داﺨﻠﻪ
ﻜﻤﺎﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﻴن أن :
GP 2 + EP 2 = HP 2 + FP 2
ﲤﺮﻦ 3 x
و
ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن ﻤﺨﺘﻠﻔﻴن ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﻴن ﺒﺤﻴث ( x − y )( 3x − 2 y ) = xy :
y
x+ y x− y
اﺤﺴب
ﲤﺮﻦ 4 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث : ABDC
ﻤرﺒﻊ و
BD = 6cm
و
r
ﻫو
ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة ) ( C
ﺒﻴن أن :
r = 1cm
https://sites.google.com/site/stitmath
34
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ ﲤﺮﻦ 1 ﻝدﻴﻨﺎ :
x>0
ﻴﻌﻨﻲ : إذن :
و
y>0
x+ y ≥ x
ﻴﻌﻨﻲ :
x x ≤ x + y +1 x +1
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن :
)
x + y +1 ≥ x +1 1
ﻴﻌﻨﻲ :
1 1 ≤ x + y +1 x +1
(
y y ≤ y + x +1 y +1
)
2
(
x y x y + ≤ + ﻤن 1و 2ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن : x + y +1 y + x +1 x +1 y +1 x+ y x y ≤ + وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ : x + y +1 x +1 y +1
ﲤﺮﻦ 2
ﺘﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺔ
A
اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ
P
ﻋﻠﻰ ] [ EF
و اﻝﻨﻘطﺔ
C
اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ
P
ﻋﻠﻰ ] [ FG
و اﻝﻨﻘطﺔ
B
اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ
P
ﻋﻠﻰ ] [GH
https://sites.google.com/site/stitmath
35
ا
[ EH ] ﻋﻠﻰ : (
HB = DP
PHB
و
و
PCG
AF = PC
و
و
AFP
CG = PB
و و
AEP
P
اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ
ا:ذ
D
ا
و اﻝﻨﻘطﺔ
ﻨطﺒق ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎت
AE = DP )
EP 2 = AP 2 + AE 2 = AP 2 + DP 2 2 2 2 2 2 PG = PC + CG = PC + PB 2 2 2 2 2 PF = AP + AF = AP + PC PH 2 = PB 2 + HB 2 = PB 2 + DP 2
: إذن PG 2 + EP 2 = PC 2 + PB 2 + AP 2 + DP 2 = PB 2 + DP 2 + AP 2 + PC 2 = PH 2 + PF 2
3 ﲤﺮﻦ 3 x 2 − 2 xy − 3 xy + 2 y 2 − xy = 0
:ﻴﻌﻨﻲ
( x − y )( 3x − 2 y ) = xy : ﻝدﻴﻨﺎ
2 y2 3 x 2 − 2 xy + =0 3 y2 2 x − y − ( ) =0 3
:ﻴﻌﻨﻲ
3 x 2 − 6 xy + 2 y 2 = 0
:ﻴﻌﻨﻲ
2 y2 2 x − 2 xy + y − = 0 :ﻴﻌﻨﻲ 3 y y x− y+ x − y − = 0 :ﻴﻌﻨﻲ 3 3 y y x− y− =0 وx− y+ = 0 : ﻴﻌﻨﻲ 3 3 y x= y+ وx = y − y : ﻴﻌﻨﻲ 3 3
:ﻴﻌﻨﻲ
: إذن y y + y 2y − x+ y 3 3 = 2 3 −1 = 1− 2 3 = = y x− y y− y − y −1 − 3 3 y−
أو y y y+ + y 2y + x+ y 3 3 = 1+ 2 3 = = y y x− y y+ −y 3 3
36
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ﲤﺮﻦ 4 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺔ O
H
اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ
ﻋﻠﻰ ) ( CD
إذن :
ˆ = 90° OHD
ﺒﻤﺎ أن ) ( DNﻤﻤﺎﺴﺎ ﻝﻠداﺌرة ) ( Cﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ
N
ﻓﺈن ( DN ) ⊥ ( ON ) :وﻤﻨﻪ ﻝدﻴﻨﺎ :
ˆ = 90° DNO
ˆ = 360 − DNO ˆ − OHD ˆ − HDN ˆ HON
ﻴﻌﻨﻲˆ = 360° − 90° − 90° − 90° = 90° : HON
ﺒﻤﺎ أن
ˆ = DNO ˆ = OHD ˆ = HDN ˆ = 90° HON
ﻓﺈن اﻝرﺒﺎﻋﻲ وﻤﻨﻪ :
ONDH
ﻤﺴﺘطﻴل
OH = ND
وﻨﻌﻠم أن :
CH = CD − HD
ﻴﻌﻨﻲ :
CH = 6 − r
ﺤﺴﺎب
:
OH
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
OHC
و
و
CO = CM + MO
و
CO = 6 + r
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
DO = 6 − r
H
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : اي : أي :
OH 2 = CO 2 − CH 2 2
أي :
2
CO 2 = CH 2 + OH 2 2
) OH 2 = ( 6 + r ) − ( 6 − r
OH 2 = 36 + 12r + r 2 − 36 + 12r − r
ﺤﺴﺎب
r
ODN
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
D
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : اي :
2
أي :
36 − 12r + r 2 = r 2 + 24r
24r
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
وﻤﻨﻪ :
OH = 24r
:
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
)
و
DO = DP − PO
(
= r2 +
2
OD 2 = ON 2 + DN 2
) DO = 6 − r
) (6 − r
أي :
و
OH = ND
(
36r = 36
r =1
https://sites.google.com/site/stitmath
37
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺘﺎﺳﻊ ﲤﺮﻦ 1 x
و
ﻋددﻝن ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﺒﺤﻴث :
y
x >1
و
y >1
x2 y2 + ≥8 y −1 x −1
ﺒﻴن أن :
ﲤﺮﻦ 2 EFGﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
F
ﺒﺤﻴث :
اﻝﻨﻘطﺔ
M
ﻤﻨﺘﺼف ] [ EF
اﻝﻨﻘطﺔ
N
ﻫﻲ اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ
M
EF < FG
ﻋﻠﻰ ) ( EG
ﺒﻴن أن :
GN 2 − EN 2 = FG 2
ﲤﺮﻦ 3 m
ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤوﺠب ﻗطﻌﺎ ﻗطﻌﺎ 1 ≥2 m
-1ﺒﻴن أن -2
x
و
y
ﺒﻴن أن :
و
z
و
m+ t
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
1 1 1 1 + + + ≥ 16 x y z t
( x + y + z + t)
ﲤﺮﻦ 4 ABCD
ﻤﺘوازي اﻷﻀﻼع و
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث ﺒﻴن أن :
AMD
M
و
اﻹرﺘﻔﺎع اﻝﻤﺎر ﻤن
N D
ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ ] [ BCو ] [ ADﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﻴﻘطﻊ ) ( AMﻓﻲ
E
CE = CD
https://sites.google.com/site/stitmath
38
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺘﺎﺳﻊ ﲤﺮﻦ 1 ﻝدﻴﻨﺎ :
x >1
و
y >1
ﻴﻌﻨﻲ :
x −1 > 0
و
y −1 > 0
ﻨﻀﻊ :
a = x −1
و
b = y −1
ﻴﻌﻨﻲ : إذن :
2
و
x = a +1
y = b +1
و
)x 2 = ( a + 1
2
)y 2 = ( b + 1
ﻝدﻴﻨﺎ : 2
2
)( a + 1) + ( b + 1 x2 y2 + = y −1 x −1 b a
a 2 + 2a + 1 b 2 + 2b + 1 + b a 2 2 a +1 b +1 a b = + + 2 + b a b a =
ﻝدﻴﻨﺎ :
≥0
ﻴﻌﻨﻲ :
a 2 + 2ab + b 2 ≥ 0
2
)(a + b
ﻴﻌﻨﻲ :
a 2 + b 2 ≥ 2ab
1 1 ≥ ) × ( a 2 + b2 ﻴﻌﻨﻲ × 2 ab : ab ab a b )(1 إذن 2 + ≥ 4 : b a
ﻝدﻴﻨﺎ :
≥0
ﻴﻌﻨﻲ :
a 2 − 2a + 1 ≥ 0
إذن :
2
ﻴﻌﻨﻲ :
a b + ≥2 b a
)( a − 1
a 2 + 1 2a ≥ b b
ﻴﻌﻨﻲ : )
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن
2
و
3
2
a 2 + 1 ≥ 2a
ﻴﻌﻨﻲ :
1 1 × ( a 2 + 1) ≥ × 2a b b
(
b 2 + 1 2b ≥ a a
)
3
(
طرف ﺒطرف :
a 2 + 1 b 2 + 1 2a 2b + ≥ + b a b a
https://sites.google.com/site/stitmath
39
ا
(
)
4
ا:ذ
ا
a 2 + 1 b2 + 1 a b + ≥ 2 + b a b a
: أي
a 2 + 1 b2 + 1 a b + ≥ 2 + : b a b a
وﻤﻨﻪ
x2 y2 a 2 + 1 b2 + 1 a b + = + + 2 + ≥ 4 + 4 y −1 x −1 b a b a
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن x2 y2 + ≥8 y −1 x −1
و
4
1
ﻤن
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
2 ﲤﺮﻦ ﻗﺎﺌﻤﺎ اﻝزاوﻴﺔ و
MG 2 = MN 2 + GN 2
ME 2 = MN 2 + EN 2
MNG
و
MEN
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن
: ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن و
GN 2 = MG 2 − MN 2
EN 2 = ME 2 − MN 2
: وﻤﻨﻪ
GN 2 − EN 2 = MG 2 − MN 2 − ( ME 2 − MN 2 ) :
(
1
)
( [ EF ] ﻤﻨﺘﺼف
GN 2 − EN 2 = MG 2 − ME 2
: وﻤﻨﻪ
GN 2 − EN 2 = MG 2 − MF 2
: وﻤﻨﻪ
ﻷن اﻝﻨﻘطﺔ
M
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ MG 2 = MF 2 + FG 2
وﻤﻨﻪ
ME = MF
MGF
)
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن
: ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن (
2
)
FG 2 = MG 2 − MF 2
GN 2 − EN 2 = FG 2
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
2
: وﻤﻨﻪ و
1
ﻤن
3 ﲤﺮﻦ 1 m+ ≥ 2 m
2
: إذن
1 m2 + 1 m 2 + 1 − 2m ( m − 1) m+ −2= −2= = ≥0 m m m m
: ﻝدﻴﻨﺎ-1 : ﻝدﻴﻨﺎ-2
1 1 1 1 x x x y y y z z z t t t + + + = 1+ + + + +1+ + + + +1+ + + + +1 y z t x z t x y t x y z x y z t
(x + y + z + t)
x y x z x t = + + + + + + y x z x t x x x t x z + + ≥2 و + ≥2 و t x z x y 40
y z y t z t + + + + + +4 z y t y t z y ≥ 2 : ﻝدﻴﻨﺎ1 ﺤﺴب اﻝﺴؤال x
https://sites.google.com/site/stitmath
ا z t + ≥2 t z
و
y t + ≥2 t y
ا:ذ
ا
y z + ≥2و z y
و
: إذن 1 1 1 1 x x x y y y z z z t t t + + + = 1+ + + + +1+ + + + +1+ + + + +1 y z t x z t x y t x y z x y z t
(x + y + z + t)
x y x z x t y z y t z t = + + + + + + + + + + + +4 y x z x t x z y t y t z ≥ 2+2+2+2+2+2+4 1 1 1 1 + + + ≥ 16 x y z t
( x + y + z + t)
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
4 ﲤﺮﻦ
[ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲAD ] [ وBC ] ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ
و
N
M
ﻤﺘوازي اﻷﻀﻼع و
ﻝدﻴﻨﺎ
ABCD
( وMC ) / / ( AN ) : إذن
MC = AN
ﻤﺘوازي اﻷﻀﻼع
ANCM
اﻝرﺒﺎﻋﻲ: وﻤﻨﻪ
( AM ) / / ( NC ) : وﻤﻨﻪ
( ( AM ) ⊥ ( DE ) ) ﻷن
(
( CN ) / / ( AE ) [ وAD ] ﻤﻨﺘﺼف
(
2
)
1
) N
( CN ) ⊥ ( DE ) : وﻤﻨﻪ
ﻝدﻴﻨﺎ
ADE
( DE ) ( ﻴﻤر ﻤن ﻤﻨﺘﺼفCN ) إذن
[ DE ] ( ﻫو واﺴط اﻝﻘطﻌﺔCN ) ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن CE = CD
41
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
2
و
1
ﻤن
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻌﺎﴍ ﲤﺮﻦ 1 x
و
و
y
z
-1ﺒﻴن أن :
و
t
t +1 2
-1اﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﺒﺤﻴث :
x + y + z =1
≤t
2x + 1 + 2 y + 1 + 2z +1 ≤ 4
ﲤﺮﻦ 2 EFG
ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
اﻝﻨﻘطﺔ
M
ﺒﻴن أن :
E
اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ
E
ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( FG
EF + EG < EM + FG
ﲤﺮﻦ 3 ABCD
رﺒﺎﻋﻲ ﺒﺤﻴث ( AB ) ⊥ ( AC ) :
و ) ( DC ) ⊥ ( ACواﻝﻨﻘطﺔ اﻝﻨﻔطﺔ E
H
E
ﻤﻨﺘﺼف ][ BD
ﻫﻲ اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ
ﻋﻠﻰ ) ( AC
ﺒﻴن أن
2EH = AB + DC
ﲤﺮﻦ 4 اﺤﺴب : 1 1000 999 + 999 1000
https://sites.google.com/site/stitmath
+ ... +
1 3 2 +2 3
+
1 2 1 +1 2
=S
42
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻌﺎﴍ% 1 ﲤﺮﻦ ( 2 t ≤ t +1
: ﻴﻌﻨﻲ
: ﻴﻌﻨﻲ
−2 t ≥ −t − 1
(
)
)
2
t −1 ≥ 0
: ﻝدﻴﻨﺎ-1
2
t −1 = t − 2 t +1 ≥ 0
: ﻴﻌﻨﻲ
1 1 × 2 t ≤ ( t + 1) : ﻴﻌﻨﻲ 2 2 t +1 : إذن t≤ 2 2x + 1 ≤ 2 y +1 ≤
( 2 x + 1) + 1
: ﻝدﻴﻨﺎ1 ﺤﺴب اﻝﺴؤال-2
2 2 y + ( 1) + 1
2z + 1 ≤
و
2 ( 2 z + 1) + 1
2 ( 2 x + 1) + 1 + ( 2 y + 1) + 1 + ( 2 z + 1) + 1 2x +1 + 2 y +1 + 2z +1 ≤ 2 2 2
و
: ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت طرف ﺒطرف
2x + 2 y + 2z + 6 2 2( x + y + z) + 6 2x + 1 + 2 y + 1 + 2z +1 ≤ 2 ﻴﻌﻨﻲ2 x + 1 + 2 y + 1 + 2 z + 1 ≤ 2 ×1 + 6 2
: ﻴﻌﻨﻲ
2x +1 + 2 y +1 + 2z +1 ≤
2x +1 + 2 y +1 + 2z +1 ≤
8 2
:
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
2x + 1 + 2 y + 1 + 2z +1 ≤ 4
: إذن
2 ﲤﺮﻦ : ﻝدﻴﻨﺎ ( EM + FG )
S EFG
( ( 43
1
2
= EM 2 + 2 EM × FG + FG 2
EM × FG 2 = EM 2 + 4 + FG 2 EM × FG EF × EG : ﻨﻌﻠم أن = = 2 2
EFG
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث:
S EFG )
) ( EM + FG )2 = EM 2 + 4S EFG + FG 2 : إذن https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
ا
: ﻝدﻴﻨﺎ ( EF + EG )
2
= EF 2 + 2 EF × EG + EG 2 EF × EG = EF 2 + EG 2 + 4 2
(
E
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
EFG
(
2
ﻷن اﻝﻤﺜﻠث )
( EF + EG )
: طرف ﺒطرف 2
( EF + EG ) − ( EM + FG )
2
FG 2 = EF 2 + EG 2 )
2
و
2
= FG 2 + 4 S EFG
: إذن
ﻨﻘوم ﺒطرح اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﻴن
1
= FG 2 + 4 S ABC − ( EM 2 + 4 S ABC + FG 2 ) = FG 2 + 4 S ABC − EM 2 − 4 S ABC − FG 2 = − EM 2 < 0
( EF + EG )
2
< ( EM + FG )
EF + EG < EM + FG
2
: إذن
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
3 ﲤﺮﻦ
BG BE GE = = BC BD CD
: BCD ﺒﺘطﺒﻴق طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
( [ BD] ﻤﻨﺘﺼفE ) ﻷن
( GE ) / / ( CD ) [ وBD] ﻤﻨﺘﺼف
GE BE BE 1 :ﻴﻌﻨﻲ = = = CD BD 2 BE 2 ( 1 ) GE = 1 CD إذن 2 E اﻝﻨﻘطﺔBCD ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
[ BC ] ﻤﻨﺘﺼف 44
G إذن
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
ا
CH CG HG : ABC ﺒﺘطﺒﻴق طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث = = CA CB AB HG CG 1 وﻤﻨﻪ ( [ BC ] ﻤﻨﺘﺼفG ) = = AB CB 2 ( 2 ) HG = 1 AB : إذن 2 1 1 2 EH = 2 ( HG + GE ) = 2 AB + CD = AB + CD : ﻨﺴﺘﻤﻨﺞ أن2 و1 ﻤن 2 2
4 ﲤﺮﻦ : ﻝدﻴﻨﺎ x x − 1 − ( x − 1) x 1 1 = × x x − 1 + ( x − 1) x x x − 1 + ( x − 1) x x x − 1 − ( x − 1) x =
=
=
x x − 1 − ( x − 1) x 2
x 2 ( x − 1) − ( x − 1) × x x x − 1 − ( x − 1) x x − x 2 − x ( x 2 − 2 x + 1) 3
x x − 1 − ( x − 1) x x3 − x 2 − x3 + 2 x 2 − x
x x − 1 − ( x − 1) x x2 − x x x − 1 − ( x − 1) x = x ( x − 1) =
(
)
=
x −1 x x x −1 − x ( x − 1) x x − 1
=
x −1 x − x −1 x
(
)
: إذن S= =
1 1 1 + + ... + 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 1000 999 + 999 1000 1 2 2 3 999 1000 − + − + ...... + − 1 2 2 3 999 1000
= 1− 45
1000 10 10 10 = 1− = 1− 1000 1000 100 https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳊﺎدي ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث : اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( DEﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرة اﻝﺼﻐﻴرة و
DE = 8cm
اﺤﺴب
'S
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ
ﲤﺮﻦ 2 و
x
و
y
ﺒﻴن أن :
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث :
1 = 1287 xyz
1 = 10 y
x+
و
1 = 11 z
y+
و
1 = 12 x
z+
xyz +
ﲤﺮﻦ 3 EFG
ﻤﺜﻠث ﻤﺘﺴﺎوي اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ
E
و
A
ﻨﻘطﺔ ﻤن ] [ FG
و ] [ FDاﻹرﺘﻘﺎع اﻝﻤواﻓق ﻝﻠﻀﻠﻊ ] [ EG و اﻝﻨﻘطﺘﺎن ﺒﻴن أن :
B
و
C
ﻫﻤﺎ اﻝﻤﺴﻘطﺎن اﻝﻌﻤودﻴﺎن ﻝﻠﻨﻘطﺔ
A
ﻋﻠﻰ ) ( EFو ) ( EGﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ
FD = AB + AC
ﲤﺮﻦ 4 x
و
y
ﺒﻴن أن :
ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن )+ 1)( y 2 + 1) ≥ x ( y 2 + 1) + y ( x 2 + 1
https://sites.google.com/site/stitmath
2
(x
46
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳊﺎدي ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1
ﻨﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺔ
'O
و اﻝﻨﻘطﺔ ﻝدﻴﻨﺎ :
ﻤرﻜز اﻝداﺌرة اﻝﻜﺒﻴرة اﻝﺘﻲ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ
O
R
ﻤرﻜز اﻝداﺌرة اﻝﺼﻐﻴرة اﻝﺘﻲ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ
r
O 'E = O ' D = R
إذن ) ( O ' Gواﺴط اﻝﻘطﻌﺔ ] [ DE وﻤﻨﻪ اﻝﻨﻘطﺔ أي
G
ﻤﻨﺘﺼف ] [ DE
GE = GD = 4cm
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
O ' GE
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
G
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : أي :
O ' E 2 = O ' G 2 + GE 2
R 2 = r 2 + 16
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ
)'S
(
=
ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرة اﻝﻜﺒﻴرة – ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرة اﻝﺼﻐﻴرة
π ( r 2 + 16 ) π r 2 2
−
2
π 16
=
π r2 2
−
π R2 2
='S
=
2 = 8π https://sites.google.com/site/stitmath
47
ا
ا:ذ
ا
2 ﲤﺮﻦ z+
x+ y+ z+
1 = 12 x
1 1 1 + + = 33 x y z
و
y+
1 = 11 z
و
x+
1 = 10 y
: ﻝدﻴﻨﺎ
: ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺎت طرف ﺒطرف إذن
1 1 1 x + × y + × z + = 1320 :ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺎت طرف ﺒطرف y z x x 1 1 xy + + 1 + × z + = 1320 : ﻴﻌﻨﻲ z yz x 1 1 1 1 xyz + y + x + + z + + + = 1320 : ﻴﻌﻨﻲ z x y xyz 1 1 1 1 xyz + + x + y + z + + + = 1320 : ﻴﻌﻨﻲ xyz x y z 1 xyz + + 33 = 1320 xyz 1 xyz + = 1287 : xyz
: ﻴﻌﻨﻲ وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
3 ﲤﺮﻦ
S EFG = S EFA + S EAG
( EAG ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث: S EAG ،، 48
EFA
ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث:
S EFA
،،
EFG
ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث:
: ﻝدﻴﻨﺎ S EFG )
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
(
E
ﻤﺘﺴﺎوي اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ
EFG
ﻷن اﻝﻤﺜﻠث
ا:ذ
EG × FD AB × EF AC × EG = + 2 2 2 EG × FD AB × EF + AC × EG = 2 2 EG × FD AB × EG + AC × EG EF = EG ) = 2 2 EG × FD EG ( AB + AC ) = 2 2 EG ( AB + AC ) 2 EG × FD 2 × = × EG 2 EG 2
FD = AB + AC
ا
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : إذن
4 ﲤﺮﻦ ( y − 1)
2
= y2 − 2 y +1 ≥ 0
( وx − 1)2 = x 2 − 2 x + 1 ≥ 0 : ﻝدﻴﻨﺎ x2 + 1 ≥ 2x
: ﻴﻌﻨﻲ
y2 +1 x2 + 1 ≥y و ≥x 2 2 ( x2 + 1) y 2 + 1 ≥ x y 2 + 1 ( ) ( ) 2
: ﻴﻌﻨﻲ
y2 +1 ≥ 2 y
(y
2
+ 1)
2
(x
2
+ 1)
2
(y
2
+ 1) +
(x
2
+ 1) ≥ y ( x 2 + 1)
: ﻴﻌﻨﻲ
y2 +1 2 x + 1) ≥ x ( y 2 + 1) + y ( x 2 + 1) : ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن طرف ﺒطرف ( 2 2 ( x 2 + 1) × ( y 2 + 1) ≥ x × ( y 2 + 1) + y × ( x 2 + 1) : ﻴﻌﻨﻲ 2
(x
49
و
و
2
+ 1) × ( y 2 + 1) ≥ x × ( y 2 + 1) + y × ( x 2 + 1)
: إذن
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 x
و
و
y
z
أﻋدادا ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث :
xz + yz + xy = 0
x+ y y+ z z+ x + + =0 xy yz xc
ﺒﻴن أن :
ﲤﺮﻦ 2 ABC
ﻤﺜﻠث ﺒﺤﻴث :
ﺒﻴن أن اﻝﻤﺜﻠث
ABC
) AB 4 − AC 4 = BC 2 ( AB 2 − AC 2
و
AB ≠ AC
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ
ﲤﺮﻦ 3 x
و
و
y
ﺒﻴن أن :
z
أﻋدادا ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث :
x< y+z
x y z < + 1+ x 1+ y 1+ z
ﲤﺮﻦ 4 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﻴن أن
Aˆ + Dˆ + Bˆ + Eˆ + Cˆ = 180°
https://sites.google.com/site/stitmath
50
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ ﻋﴩ% 1 ﲤﺮﻦ : ﻝدﻴﻨﺎ x+ y y+ z z+ x z x+ y x y+ z y z+ x + + = × + × + × xy yz xc z xy x yz y xz xz + yz xy + xz yz + xy = + + xyz xyz xyz =
xz + yz + xy + xz + yz + xy xyz
=
2 xz + 2 yz + 2 xy xyz
= =
2 ( xz + yz + xy )
xyz 2× 0 =0 xyz
x+ y y+ z z+ x + + =0 xy yz xc
: إذن
2 ﲤﺮﻦ AB 4 − AC 4 = BC 2 ( AB 2 − AC 2 ) :
( AB
2
AB 4 − AC 4 = BC 2 × AB 2 − BC 2 × AC 2
: ﻴﻌﻨﻲ
AB 4 − AC 4 − BC 2 × AB 2 + BC 2 × AC 2 = 0
: ﻴﻌﻨﻲ
− AC 2 )( AB 2 + AC 2 ) − BC 2 ( AB 2 − AC 2 ) = 0
: ﻴﻌﻨﻲ
( AB
2
− AC 2 )( AB 2 + AC 2 − BC 2 ) = 0
AB 2 + AC 2 − BC 2 = 0
أو
AB 2 + AC 2 = BC 2
AB 2 + AC 2 = BC 2
51
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
ABC
: ﻴﻌﻨﻲ
AB 2 − AC 2 = 0
: ﻴﻌﻨﻲ
أو
: ﻴﻌﻨﻲ
AB 2 + AC 2 = BC 2
A
ﻝدﻴﻨﺎ
AB 2 = AC 2
أو
إذن
AB = AC AB ≠ AC
: ﻴﻌﻨﻲ وﻨﻌﻠم أن
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻗورس اﻝﻌﻜﺴﻴﺔ ﻓﺈن اﻝﻤﺜﻠث https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
ا
3 ﲤﺮﻦ y x z x y z − + − − = 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z = = =
x (1 + y )(1 + z ) − y (1 + x )(1 + z ) − z (1 + x )(1 + y ) (1 + x )(1 + y )(1 + z ) x + xz + xy + xyz − y − yz − xy − xyz − z − yz − xz − xyz
(1 + x )(1 + y )(1 + z ) x − y − z − 2 yz − xyz (1 + x )(1 + y )(1 + z )
x< y+z x− y−z <0
و
و
و
z>0
−2 yz − xyz < 0
و
y>0
x>0
: ﻝدﻴﻨﺎ
( و1 + x )(1 + y )(1 + z ) > 0 إذن
x − y − z − 2 yz − xyz <0 (1 + x )(1 + y )(1 + z ) x y z < + 1+ x 1+ y 1+ z
: وﻤﻨﻪ
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
4 ﲤﺮﻦ ( EB ) ( وAD ) ﺘﻘﺎطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴن ( EB ) ( وAC ) ﺘﻘﺎطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴن ˆ = 180 − AIF ˆ CIE
و
ˆ = 180 − AFI ˆ ) BFD
ˆ = 180 − AFI ˆ BFD
: إذن
: ﻝدﻴﻨﺎ
1
ˆ + Eˆ + Cˆ = 180 CIE ˆ = 180 − AIF ˆ ) CIE
3
)
ˆ + AIF ˆ = 180° Aˆ + AFI
Aˆ + Dˆ + Bˆ + Eˆ + Cˆ = 180°
52
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
)
ˆ = Dˆ + Bˆ AFI
: ﻝدﻴﻨﺎ
CEI
2
)
ˆ = Eˆ + Cˆ AIF
: ﻝدﻴﻨﺎ : ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
AFI
: ﻴﻌﻨﻲ : إدن
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
ˆ + Eˆ + Cˆ = 180 180 − AIF
( (
DFB
ˆ + Dˆ + Bˆ = 180 180 − AFI
( (
و ﻨﻀﻊ اﻝﻨﻘطﺔ : ﻝدﻴﻨﺎ
ˆ + Dˆ + Bˆ = 180 BFD
(
I
ﻨﻀﻊ اﻝﻨﻘطﺔ
ˆ + BFD ˆ = 180 AFI
و
ˆ + CIE ˆ = 180 AIF
F
: ﻴﻌﻨﻲ : إدن
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
3 و2 و1
ﻤن
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 x
و
ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤﺨﺘﻠﻔﺎن )
y
x≠ y
( و ﻤوﺠﺒﺎن ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث :
x + 2 y = 3 xy
x y
اﺤﺴب
ﲤﺮﻦ 2 أراد ﻤﺤﻤد أن ﻴرﺴم ﻤﺜﻠﺜﺎ ﻻﺤظ أن اﻝرأس
A
ABC
ﻝﻜن
ﻴوﺠد ﺨﺎرج اﻝورﻗﺔ
ﻜﻤﺎﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺴﺎﻋد ﻤﺤﻤد ﻋﻠﻰ رﺴم اﻝﻤﺘوﺴط اﻝﻤواﻓق
ﻝﻠﻀﻠﻊ ] [ BC
ﲤﺮﻦ 3 x
و
-1 -2
y
و
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
xy x+ y ≤ ﺒﻴن أن x+ y 4 xy xz zy x+ y+ z + + ≤ أﺴﺘﻨﺘﺞ أن x+ y x+ z z+ y 2
ﲤﺮﻦ 4 EFG
ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
ﺒﻴن أن :
F
EF + FG ≤ 2 EG
https://sites.google.com/site/stitmath
53
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﴩ% 1 ﲤﺮﻦ : ﻝدﻴﻨﺎ
x + 2 y = 3 xy x + 2 y 3 xy = y y
: ﻴﻌﻨﻲ
xy x +2=3 y y2
: ﻴﻌﻨﻲ
x xy +2=3 2 y y
: ﻴﻌﻨﻲ
x x +2=3 y y
: ﻴﻌﻨﻲ
x x −3 +2=0 y y
: ﻴﻌﻨﻲ
2
x x − − 2 y y x x − 2 − y y x − 2 y
x −1 = 0 y
x +2=0 y
x − 2 = 0 : ﻴﻌﻨﻲ y x − 1 = 0 : ﻴﻌﻨﻲ y
x −2=0 y
أو
x =1 y
x =2 y
أو
2
x 2 = 1 أو y x = 1 أو y
x ≠1 y
ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤﺨﺘﻠﻔﺎن إذن
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
2
2 = 2 x =4 : y
x y
y
و
x =4 y
54
: ﻴﻌﻨﻲ
x
: ﻴﻌﻨﻲ ﻴﻌﻨﻲ
وﻨﻌﻠم أن : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ﲤﺮﻦ 2
-ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ
P
ﻤﻨﺘﺼف ] [ BC
-ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم اﻝﻤﺎر ﻤن
P
واﻝﻤوازي ﻝﻠﻤﺴﺘﻘﻴم ) ∆ ( وﻴﻘطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( Dﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ
E
-ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم اﻝﻤﺎر ﻤن
P
واﻝﻤوازي ﻝﻠﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( Dوﻴﻘطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ∆ ( ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ
F
-ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
ABC
اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( PEﻴﻤر ﻤن
وﻴﻘطﻊ ) ( AC ) = ( Dﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ إذن اﻝﻨﻘطﺔ
E
ﻫﻲ ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ] [ AC
-ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
ABC
ﻤن
1
و
) P
(
1
ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ] [ BCوﻴوازي ) ( D ) = ( AC
F
ﻫﻲ ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ] [ AB
وﻤﻨﻪ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( CFﻫو ﻤﺘوﺴط اﻝﻤﺜﻠث 2
ABC
اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( PFﻴﻤر ﻤن
وﻴﻘطﻊ ) ∆ ( = ) ( ABﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ إذن اﻝﻨﻘطﺔ
P
E
وﻤﻨﻪ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( BEﻫو ﻤﺘوﺴط اﻝﻤﺜﻠث
F
ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ] [ BCوﻴوازي ) ( ∆ ) = ( AB
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻝﻨﻘطﺔ
G
ABC
)
2
ﻫﻲ ﻤرﻜز ﺜﻘل اﻝﻤﺜﻠث
( ABC
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( PGﻫو اﻝﻤﺘوﺴط اﻝﻤواﻓق ﻝﻠﻀﻠﻊ ] [ BCاﻝﻤﺎر ﻤن اﻝﻨﻘطﺔ
A
ﲤﺮﻦ 3 https://sites.google.com/site/stitmath
55
ا
ا:ذ
ا
: ﻝدﻴﻨﺎ-1 2
2
xy x + y 4 xy − ( x + y ) 4 xy − x 2 − 2 xy − y 2 2 xy − x 2 − y 2 − ( x − y ) − = = = = ≥0 4 4( x + y) 4( x + y) 4( x + y) 4( x + y) x+ y xy x+ y ≤ x+ y 4
: إذن
x+ y xy x+ y ≤ 4 z+ y xy xz zy x+ y x+ z z+ y zy ≤ + + ≤ + + : ﻴﻜﺎﻓﺊ : ﻝدﻴﻨﺎ1 ﺤﺴب اﻝﺴؤال-2 z + y 4 x+ y x+ z z+ y 4 4 4 xz x+ z ≤ 4 x+ z 2( x + y + z) xy xz zy xy xz zy 2x + 2 y + 2z + + ≤ : ﻴﻜﺎﻓﺊ + + ≤ : ﻴﻜﺎﻓﺊ x+ y x+ z z+ y 4 x+ y x+ z z+ y 4 xy xz zy x+ y+ z : إذن + + ≤ x+ y x+ z z+ y 2
4 ﲤﺮﻦ F
EG 2 = EF 2 + FG 2
ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
2
−
(
2 EG
)
2
ﻝدﻴﻨﺎ
: ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن
: ( EF + FG )2 − ( ( EF + FG )
EFG
2 EG
)
2
ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق
= EF 2 + FG 2 + 2 EF × FG − 2 EG 2 = EF 2 + FG 2 + 2 EF × FG − 2 EG 2 = EF 2 + FG 2 + 2 EF × FG − 2 ( EF 2 + FG 2 ) = EF 2 + FG 2 + 2 EF × FG − 2 EF 2 − 2 FG 2 = 2 EF × FGG − EF 2 − FG 2 = − ( EF 2 − 2 EF × FG + FG 2 ) 2
= − ( EF − FG ) ≤ 0
( EF + FG )
2
≤
(
2 EG
)
EF + FG ≤ 2 EG
56
2
: إذن : وﻤﻨﻪ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 3
xو yﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن ﻤوﺠﺒﻴن.
ﺒﻴن أن :
x3 + y 3 x+ y ≤ 2 2
ﲤﺮﻦ 2 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ : ﺤدد ﻨﻘطﺘﻴن
'O
و
N
ﻤن
اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴن ) ( OAو ) ( OBﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﺒﺤﻴث ﺘﻜون اﻝﻨﻘطﺔ
M
ﻤﻨﺘﺼف ]' [ NO
ﲤﺮﻦ 3 x
و
y
ﺒﻴن أن :
و
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث :
xy + yz + zx = 0
x+ y y+ z x+ z + + = −3 z x y
ﲤﺮﻦ 4 اﺤﺴب
S
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ
https://sites.google.com/site/stitmath
57
ا
ذ:ا
ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 3 2 3 3 3 3 3 ) x + y ) x3 + y 3 ( x + y ) ( x + y ) 4 ( x + y ( x+ y x + y = − = − − 2 23 2 23 4× 2 2 3 2 2 3 x + 3 x y + 3 xy + y 4 x3 + 4 y 3 = − 8 8 3 2 2 3 −3 x + 3 x y + 3 xy − 3 y = 8 3 2 ) −3 ( x − x y − xy 2 + y 3 = 8 2 ) ) −3 ( x ( x − y ) − y 2 ( x − y = 8 2 ) −3 ( x − y ) ( x − y 2 = 8 ) −3 ( x − y )( x − y )( x + y = 8 2
≤0
) ﻷن ( x − y )2 ≥ 0و
) −3 ( x − y ) ( x + y
x+ y ≥0
8
=
(
ﲤﺮﻦ 2
اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻷوﻝﻰ : ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( Dاﻝﻤوازي ﻝﻠﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( OBوﻴﻘطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( OAﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ
C
اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ : https://sites.google.com/site/stitmath
58
ا
ا
ذ:ا
ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ
'O
ﻤﻤﺎﺌﻠﺔ اﻝﻨﻘطﺔ
O
ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
C
اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻝﺜﺎﻝﺜﺔ : ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ
N
ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
ﺘﻘﺎطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴن ) ( O 'Mو ) ( OB
اﻝﺴﺘﻘﻴم اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( Dﻴﻤر ﻤن
O 'ON
وﻴﻘطﻊ ]' [ NOﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ إذن اﻝﻨﻘطﺔ
M
C
ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ]' [OOوﻴوازي ) ( ON
M
ﻫﻲ ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ]' [ NO
ﲤﺮﻦ 3 ) x + y y + z z + x xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( z + x + + = z x y xyz xy ( x + y ) + xyz − xyz + yz ( y + z ) + xyz − xyz + xz ( z + x ) + xyz − xyz xyz xy ( x + y + z ) − xyz + yz ( y + z + x ) − xyz + xz ( z + x + y ) − xyz
= =
xyz xy × 0 − xyz + yz × 0 − xyz + xz × 0 − xyz = xyz − xyz − xyz − xyz = xyz −3 xyz xyz
=
= −3
ﲤﺮﻦ 4 ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
ACE
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
C
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : وﻤﻨﻪ : أي :
AE 2 = AC 2 + CE 2
AE 2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5
AE = 5
و ﻝدﻴﻨﺎ :
AC = DC CE = DF ˆ ˆ ACE = FDC
إذن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن
ACE
و
FDC
ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺎن
https://sites.google.com/site/stitmath
59
ا
ا
ˆ = FCD ˆ CAE
: وﻤﻨﻪ
ˆ + HEC ˆ + HEC ˆ = 180° − 90° = 90° ˆ = CAE ˆ = 180° − ACE HCE
: ﻝدﻴﻨﺎ
AE = CF = 5
(
و
ا:ذ
)
ˆ + HEC ˆ = 180° − HCE ˆ = 180° − 90° = 90° CHE H
ﻗﺎﺌﻤﺎ اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
( ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ
S)
:
FHE
S= FH
و
و
AHC
وﻤﻨﻪ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن
AH × CH EH × FH + 2 2 EH
و
CH
و
: إذن
AH
: أي ﺤﺴﺎب
ˆ = CE = CH : ﻝدﻴﻨﺎ sin CAE AE AC ˆ = CA = AH و cos CAE AE AC FD EH ˆ = و sin FCD = FC EC 1 CH : ﻴﻌﻨﻲ = 2 5 2 AH = و 2 5 1 EH = و 1 5 2 CH = : إذن 5 4 AH = و 5 1 EH = و 5 2 3 FH = FC − CH = 5 − = : ﻝدﻴﻨﺎ 5 5
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ 4 2 1 3 × × 5+ 5 5 S= 5 2 2 4 3 = + 5 10 11 = 10
60
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 x
و
y
و
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
1 1 1 2 2 2 ≥ + + + + x y z x+ y y+ z x+ z
ﺒﻴن أن
ﲤﺮﻦ 2 ABC
ﻤﺜﻠث r p 2
ﺒﻴن أن ABC
و
) S ABCﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث
= S ABC
ﻫو ﻤﺤﻴط اﻝﻤﺜﻠث
p
ABC
ABC
و
r
ﻫو ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة اﻝﻤﺤﺎطﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠث
(
ﲤﺮﻦ 3 x
و
y
و
z
أﻋدادا ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﺒﺤﻴث :
2 ( z 2 − y 2 ) = 3x 2
ﺤدد أ ﻜﺒر ﻫدﻩ اﻷﻋداد
ﲤﺮﻦ 4 ABCﻤﺜﻠث ﺠﻤﻴﻊ زواﻴﺎﻩ ﺤﺎدة و اﻝﻨﻘطﺔ P
داﺨﻠﻪ .
اﻝﻨﻘط
D
و
E
اﻝﻌﻤودﻴﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
و
F P
ﻫﻲ اﻝﻤﺴﺎﻗط
ﻋﻠﻰ ] [ ABو ] [ BC
و ] [CAﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ. ﻨﻨﺸﺊ 6ﻤرﺒﻌﺎت ﺨﺎرج اﻝﻤﺜﻠث
ABC
ﻜﻤﺎ
ﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﻴن أن ﻤﺠﻤوع ﻤﺴﺎﺤﺎت اﻝﻤرﺒﻌﺎت اﻝرﻤﺎدﻴﺔ ﻴﺴﺎوي ﻤﺠﻤوع ﻤﺴﺎﺤﺎت اﻝﻤرﺒﻌﺎت اﻝﺒﻴﻀﺎء
https://sites.google.com/site/stitmath
61
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ ﻋﴩ% 1 ﲤﺮﻦ
(
: ﻝدﻴﻨﺎ
x − 2 xy + y ≥ 0
: ﻴﻌﻨﻲ
)
1
2
≥0
(
x+ y
)
x + y ≥ 2 xy
: إذن
2
1 1 + ≥0 y x 1 1 1 −2 + ≥0 x xy y
( 1 1 1 + ≥ 2 xy × 2 xy x y
( x + y)
2
1 1 1 + ≥2 x y xy
)
: طرف ﺒطرف
و
2
1
1 1 1 + ≥ 2 × 2 xy × xy x y
)
(
5
)
1 1 1 1 1 1 4 4 4 + + + + + ≥ + + x y y z x z x+ y y+z x+z
: ﻴﻌﻨﻲ
)
1 1 4 + ≥ x z x+ z
: طرف ﺒطرف
5
و
و 4
و
3
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
2 2 2 2× 2 2× 2 2× 2 + + ≥ + + x y z x+ y y+ z x+ z 1 1 1 2 2 2 2 + + ≥ 2 + + x y z x+ y y+z x+z
62
: إذن
1 1 1 1 × x + y + ≥ 4× : ﻴﻌﻨﻲ x+ y x+ y x y ( 3 ) 1 + 1 ≥ 4 : إذن x y x+ y 1 1 4 + ≥ : ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن y z y+z
(
4
: ﻴﻌﻨﻲ
ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن
( x + y)
(
: ﻝدﻴﻨﺎ
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
1 1 1 1 2 1 2 2 × 2 + + ≥ × 2 + + 2 x y z 2 x+ y y+ z x+ z 1 1 1 2 2 2 + + ≥ + + : x y z x+ y y+ z x+ z
ا
: ﻴﻌﻨﻲ وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
2 ﲤﺮﻦ
ﺸﻌﺎﻋﻬﺎr و [ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲAC ] [ وAB ] [ وBC ] ﻋﻠﻰ
ABC O
ﻫﻲ ﻤرﻜز اﻝداﺌرة اﻝﻤﺤﺎطﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠث
ﻫﻲ اﻝﻤﺴﺎﻗط اﻝﻌﻤودﻴﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
F
و
E
O
و
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻨﻘطﺔ D
و اﻝﻨﻘط
OF = OE = OD = r
: إذن : ﻝدﻴﻨﺎ
S ABC = S AOC + S ABO + SOBC AC × OF AB × OE BC × OD + + 2 2 2 AC × r AB × r BC × r = + + 2 2 2 r = ( AC + AB + BC ) 2 =
p = AC + AB + BC
: ﻫو
ABC
S ABC =
r r ( AC + AB + BC ) = p 2 2
ﻨﻌﻠم أن ﻤﺤﻴط اﻝﻤﺜﻠث : إذن
3 ﲤﺮﻦ 2 ( z 2 − y 2 ) = 3x 2 ≥ 0
z2 ≥ y2
63
: ﻴﻌﻨﻲ
z2 − y2 ≥ 0
: ﻝدﻴﻨﺎ : ﻴﻌﻨﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
(
y≥0
و
) ﻷن
z≥0
x≥0
1
)
ا
: إذن
z≥y
2z 2 − 2 y2 = 2x2 + x2
: ﻝدﻴﻨﺎ
2z 2 − 2x2 = 2 ( z 2 − x2 ) = 2 y 2 + x2 ≥ 0
: ﻴﻌﻨﻲ
z 2 ≥ x2
(
(
ا:ذ
و
z≥0
: ﻴﻌﻨﻲ
) ﻷن
ﻫو أﻜﺒر ﻫدﻩ اﻷﻋداد
z 2 − x2 ≥ 0
( z
2
)
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
z≥x 2
و
: ﻴﻌﻨﻲ : إذن 1
ﻤن
4 ﲤﺮﻦ AF 2 + CE 2 + BD 2 FC 2 + BE 2 + DA2
: ﻤﺴﺎﺤﺎت اﻝﻤرﺒﻌﺎت اﻝرﻤﺎدﻴﺔ ﻫﻲ: ﻤﺴﺎﺤﺎت اﻝﻤرﻴﻌﺎت اﻝﻤﺨدﺸﺔ ﻫﻲ-
AF 2 + CE 2 + BD 2 = FC 2 + BE 2 + DA2
:
PAF
و
PBD
و
PCE
و
PBE
و
PCF
و
APD
: ﻝﻨﺒﻴن أن
ﻨطﺒق ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎت
PA2 = AD 2 + PD 2 2 2 2 PC = CF + PF PB 2 = BE 2 + PE 2 2 2 2 PC = EC + PE PB 2 = DB 2 + PD 2 PA2 = FA2 + PF 2 AD 2 = PA2 − PD 2 2 2 2 CF = PC − PF BE 2 = PB 2 − PE 2 2 2 2 EC = PC − PE DB 2 = PB 2 − PD 2 FA2 = PA2 − PF 2
: ﻴﻌﻨﻲ
: إذن FA2 + EC 2 + DB 2 = PA2 − PF 2 + PC 2 − PE 2 + PB 2 − PD 2 = PA2 − PD 2 + PC 2 − PF 2 + PB 2 − PE 2 = AD 2 + CF 2 + BE 2
64
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 xو yو zأﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث : ) x (1 − x ) y (1 − y ) z (1 − z + + ﺒﻴن أن ≥ 6 : xz
xy
x + y + z =1
yz
ﲤﺮﻦ 2 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل أﺴﻔﻠﻪ ﺒﺤﻴث ﺒﻴن أن :
)
ABDC :
ﻤرﺒﻊ و
BD = R
و
r
ﻫو ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة ) ( C
(
r = R 3−2 2
ﲤﺮﻦ 3 ﺤل اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ :
=8
1
x+2+ x
+
1
x + x−2
ﲤﺮﻦ 4 x
و
y
ﺒﻴن أن :
ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤوﺠﺒﺎن ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺎن x y 1 1 + 2≥ + 2 y x x y
https://sites.google.com/site/stitmath
65
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس ﻋﴩ% 1 ﲤﺮﻦ ( x − y)
( ( (
3
2
)
)
1
: ﻴﻌﻨﻲ
x 2 + y 2 ≥ 2 xy
: ﻴﻌﻨﻲ
z × ( x 2 + y 2 ) ≥ z × 2 xy
: ﻴﻌﻨﻲ
)
: إذن
x ( y 2 + z 2 ) ≥ 2 xyz
3
: ﻝدﻴﻨﺎ
≥0
x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0
z ( x 2 + y 2 ) ≥ 2 xyz
: ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن
y ( x 2 + z 2 ) ≥ 2 xyz
: طرف ﺒطرف
2
و
و و
2
1
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
z ( x 2 + y 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + x ( y 2 + z 2 ) ≥ 2 xyz + 2 xyz + 2 xyz
y + z = 1− x
و
x + z = 1− y
و
zx 2 + zy 2 + yx 2 + yz 2 + xy 2 + xz 2 ≥ 6 xyz
: أي
x 2 ( y + z ) + y 2 ( x + z ) + z 2 ( y + x ) ≥ 6 xyz
: أي
x + y = 1− z
: ﻴﻌﻨﻲ
x + y + z =1
: وﻨﻌﻠم أن
x 2 ( y + z ) + y 2 ( x + z ) + z 2 ( y + x ) = x 2 (1 − x ) + y 2 (1 − y ) + z 2 (1 − z ) ≥ 6 xyz
: أي
1 1 × ( x 2 (1 − x ) + y 2 (1 − y ) + z 2 (1 − z ) ) ≥ × 6 xyz xyz xyz
: أي
x 2 (1 − x ) y 2 (1 − y ) z 2 (1 − z ) + + ≥ 6 : أي xyz xyz xyz x (1 − x ) y (1 − y ) z (1 − z ) + + ≥ 6 : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ yz xz xy
66
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ﲤﺮﻦ 2 ﻝدﻴﻨﺎ ) ( AMو ) ( APﻤﻤﺎﺴﺎ ﻝﻠداﺌرة ) ( C
إذن ( AM ) ⊥ ( OM ) :و ) ( AP ) ⊥ ( OP
وﻤﻨﻪ
ˆ = APO ˆ = 90° AMO
ﻝدﻴﻨﺎ :
ˆ = 360 − AMO ˆ ˆ − APO ˆ − MAP POM
إذن :
ˆ = 360° − 90° − 90° − 90° = 90° POM
ﺒﻤﺎ أن
ˆ = AMO ˆ = 90° ˆ = APO ˆ = MAP POM
ﻓﺈن اﻝرﺒﺎﻋﻲ ﺤﺴﺎب
AO
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
AMOP
ﻤرﺒﻊ
: AMO
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
M
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : اي :
AO 2 = AM 2 + MO 2
AO 2 = r 2 + r 2 = 2r 2
وﻤﻨﻪ : ﺤﺴﺎب
AO = r 2 2 = r 2 AD
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
: ABD
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
D
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : اي :
و
OP = OM
AD 2 = AB 2 + BD 2
AD 2 = R 2 + R 2 = 2 R 2
وﻤﻨﻪ :
AD = R 2 2 = R 2
ﺤﺴﺎب
r
ﻝدﻴﻨﺎ :
AD = AO + ON + ND
ﻴﻌﻨﻲ :
R 2 =r 2+r+R
ﻴﻌﻨﻲ :
R 2−R =r 2+r
ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ :
:
) )2 − 1 2 +1
2 +1
( ) (R =r
2 −1 = r
(
R
https://sites.google.com/site/stitmath
67
ا
ا:ذ
ا
: ﻴﻌﻨﻲ R r=
(
2 +1 R
=
)×
2 −1
(
)
2 −1 2 −1
2
2 −1 2
( 2 ) −1 R ( 2 − 2 2 + 1) = 2
1
(
= R 3− 2 2
)
(
r = R 3− 2 2
)
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
3 ﲤﺮﻦ 1
+
x + x−2 1 x + x−2
×
1 =8 x+2+ x
x − x−2 1 x+2 − x + × =8 x − x−2 x+2 + x x+2 − x
: ﻴﻌﻨﻲ
x − x−2 x+2 − x + =8 x − ( x − 2) x+2− x
: ﻴﻌﻨﻲ
x − x−2 x+2 − x + =8 2 2
: ﻴﻌﻨﻲ
x − x−2 + x+2 − 2
(− x− 2 −2
x
=8
: ﻴﻌﻨﻲ
− x−2 + x+2 =8
: ﻴﻌﻨﻲ
x−2 + x+2
)
2
= 82
: ﻴﻌﻨﻲ
( x − 2 )( x + 2 ) + x + 2 = 64 : ﻴﻌﻨﻲ 2 x − 2 x 2 − 4 = 64
)
(
: ﻴﻌﻨﻲ
2 x − x 2 − 4 = 64
: ﻴﻌﻨﻲ
x − x 2 − 4 = 32
: ﻴﻌﻨﻲ
− x 2 − 4 = 32 − x
: ﻴﻌﻨﻲ
(
68
: ﻝدﻴﻨﺎ
− x2 − 4
)
2
= ( 32 − x )
2
: ﻴﻌﻨﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
x 2 − 4 = 1024 − 64x + x 2
x=
ا
: ﻴﻌﻨﻲ
64 x = 4 + 1024
: ﻴﻌﻨﻲ
64 x = 1028
: ﻴﻌﻨﻲ
1028 257 = 64 16
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
4 ﲤﺮﻦ : ﻝدﻴﻨﺎ x y 1 1 x2 + y 2 y + x + − + = 2 2 − y2 x2 x y y x xy 3 3 x +y xy y + x = 2 2 − × y x xy xy x 3 + y 3 xy 2 + x 2 y = 2 2 − y x x2 y2 =
x 3 + y 3 − xy 2 − x 2 y x2 y 2
=
x2 ( x − y ) − y2 ( x − y ) x2 y 2
= =
( x − y ) ( x2 − y 2 ) x2 y 2
( x − y )( x − y )( x + y ) x2 y 2 2
( x − y) ( x + y) ≥ 0 = x2 y 2
(
y>0
و
x >0)
x2 y 2 > 0
( وx + y ) > 0 ( وx − y )2 ≥ 0 ﻷن x y 1 1 + 2≥ + 2 y x x y
69
: إذن
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 x
و
ﻋددان ﺼﺤﻴﺤﺎن طﺒﻴﻌﻴﺎن ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺎن )
y
ﺒﻴن أن :
2
y>x
(
2
) x 2 + y 2 + ( xy ) = ( x 2 + y
ﲤﺮﻦ 2 x
و
ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﺒﺤﻴث :
y
ﺒﻴن أن :
x >1
و
y >1
y x − 1 + x y − 1 ≤ xy
ﲤﺮﻦ 3 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺘﻴن
أﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ
A
H
و
O
ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ
ﻤن اﻝﻤﺴﺘوى
A
ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
O
و اﻝﻨﻘطﺔ
F
ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ
O
ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
A
ﺒواﺴطﺔ اﻝﺒرﻜﺎر ﻓﻘط ) ﺘﺒرﻴر اﻹﻨﺸﺎء (
ﲤﺮﻦ 4 DGFE
اﻝﻨﻘطﺘﺎن
ﻤرﺒﻊ ﺒﺤﻴث : A
و
B
DG = 8cm
ﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ
ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ ] [ DEو ] [ EF اﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ
https://sites.google.com/site/stitmath
70
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 ﺒﻤﺎ أن ﻓﺈن
x
و
y
ﻋددان ﺼﺤﻴﺤﺎن طﺒﻴﻌﻴﺎن ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺎن و
y>x
y = x +1
ﻝدﻴﻨﺎ : 2
2
2
)x 2 + y 2 + ( xy ) = x 2 + y 2 + ( x ( x + 1) ) = x 2 + y 2 + x 2 ( x + 1
)= x 2 + y 2 + x 2 ( x 2 + 2 x + 1 = x2 + y 2 + x4 + 2 x3 + x2 = x 4 + y 2 + 2 x 2 + 2 x3 ) = x 4 + y 2 + 2 x 2 (1 + x 2
= ( x2 ) + y 2 + 2 x2 y
ﻨﻌﻠم أن :
+ y ) = ( x2 ) + y 2 + 2 x2 y
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
2
2
2
2
(x
2
) x 2 + y 2 + ( xy ) = ( x 2 + y
ﲤﺮﻦ 2 ﺒﻤﺎ أن ﻝدﻴﻨﺎ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : إذن :
ﻓﺈن
x >1 2
x −1 > 0
)
x −1 −1 ≥ 0
( 2
(
)
x −1 − 2 x −1 +1 ≥ 0
ﻴﻌﻨﻲ :
−2 x − 1 ≥ − x xy 2
≤ y x −1
)
1
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
1
−1 −1 )× − 2 x −1 ≤ × ( − x 2 2
)
)
xy 2
وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : ﻨﺠﻤﻊ طرﻓﻲ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن
(
ﻴﻌﻨﻲ :
و
(
)
ﻴﻌﻨﻲ :
x 2
≤ x −1
(
y >1
≤ x y −1 2
x − 1 − 2 x −1 + 1 ≥ 0
2
(
طرف ﺒطرف :
2 xy 2
≤ y x −1 + x y −1
y x − 1 + x y − 1 ≤ xy
ﲤﺮﻦ 3 https://sites.google.com/site/stitmath
71
ا
ا
ذ:ا
-ﻨرﺴم اﻝداﺌرة ) ( C1اﻝﺘﻲ ﻤرﻜزﻫﺎ
O
وﺸﻌﺎﻋﻬﺎ
OA
-ﻨرﺴم اﻝداﺌرة ) ( C2اﻝﺘﻲ ﻤرﻜزﻫﺎ
A
وﺸﻌﺎﻋﻬﺎ
OA
اﻝداﺌرﺘﺎن ) ( C1و ) ( C2ﺘﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺘﻴن -ﻨرﺴم اﻝداﺌرة ) ( C3اﻝﺘﻲ ﻤرﻜزﻫﺎ
C
وﺸﻌﺎﻋﻬﺎ
C
و
B
CB
اﻝداﺌرة ) ( C3ﺘﺘﻘﺎطﻊ ﻤﻊ ) ( C1و ) ( C2ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﻴﺘﻴنوﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ اﻝﻨﻘطﺔ و اﻝﻨﻘطﺔ
H F
ﻫﻲ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻫﻲ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ
A
O
ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ
H
و
F
O A
ﲤﺮﻦ 4 ﺤﺴﺎب
S ADC
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث
ADC
:
https://sites.google.com/site/stitmath
72
ا
ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺎن
و
DEB
DGA
إذن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن
ا:ذ
DG = DE AD = EB ˆ ˆ ADG = DEB
:ﻝدﻴﻨﺎ
ˆ = DBE ˆ DAG
ﻤﺘﺸﺎﻴﻬﺎن
و
DEB
( DC ) ⊥ ( AG ) إذن
C
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
: اﻝﻘﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ
اﻝﻤﺜﻠث
DAC
DGA
S ADC =
DA × DG 2 AG 2
: ﻴﻌﻨﻲ
S ADC
S ADC =
64 × 4 2 (16 + 64 )
: أي
S ADC =
ˆ = DEB ˆ = 90° DCA
DC × AG = DA × DG
DA2 AG
و
DC =
ﻓﺈن
D
: ﻴﻌﻨﻲ
S ADC =
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
43 × 8 2 ( 4 2 + 82 )
:
: أي
S ADC =
S DAG − S DBG = S DAC + S DCG − S BCG − S DCG
: أي
DC × AC 2
ADG
و
: أي ﻝدﻴﻨﺎ
ﺒﻤﺎ أن اﻝﻤﺜﻠث
DA3 × DG 2 ( AD 2 + DG 2 )
512 = 3.2 160
: أي
: ﻴﻌﻨﻲ
S BCG
ﺤﺴﺎب
S DAG = S DAC + S DCG
: ﻝدﻴﻨﺎ
: ﻨطرح اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن طرف ﺒطرف
: أي
S BCG = S DAC + S DBG − S DAG
DA × DG AG
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث
BCG
S DBG = S BCG + S DCG
8×8 4×8 − 2 2
وﻤﻨﻪ
و
S ADC =
S BCG = 5 +
ﺒﻤﺎ أن
DA2 = AC × AG
DA × DG DA2 × AG AG = 2
AG 2 = AD 2 + DG 2
أي
ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل اﻝﻌﻼﻗﺎت اﻝﻤﺘرﻴﺔ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
AC = 3
ˆ = DAC ˆ = DBE ˆ DAG ˆ = EDB ˆ ADC
ﻓﺈن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن
DAC
ا
S DAG − S DBG = S DAC − S BCG
: أي
DE × DG DA × DG − 2 2
: أي
S BCG = 5 +
S BCG = 21
: إذن
S BCG = 5 + 32 − 16
: أي
: ﺤﺴﺎب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ BCG
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث
+ ADC
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث
=
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ
S ADC + S BCG = 3.2 + 21 = 24.2
73
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 x
و
و
y
z
إﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث :
y z = x y
x2 − y2 + z 2 = y4 x −2 − y −2 − z −2
ﺒﻴن أن :
ﲤﺮﻦ 2 ﻤﺜﻠث ﺒﺤﻴث :
EFG
EF = 8cmو EG = 6cm
و FG = 10cm
) ( C1و ) ( C2و ) ( C3ﺜﻼث دواﺌر ﺘوﺠد داﺨل اﻝﻤﺜﻠث
ﻜﻤﺎ ﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ
EFG
ﻤرﻜزﻫﻤﺎﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ:
M
و
N
و
P
-1ﺤدد ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة ) ( C2 -2ﺤدد ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة ) ( C1
ﲤﺮﻦ 3 x
و
و
y
ﺒﻴن أن :
z
إﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ
x z y 3 + + ≥ y+z x+ y x+z 2
ﲤﺮﻦ 4 x
و
y
ﺒﻴن أن :
ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﺒﺤﻴث :
)
y2 +1 = 1
)( y +
x2 + 1
(x +
x+ y =0
https://sites.google.com/site/stitmath
74
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ ﻋﴩ% 1 ﲤﺮﻦ z = yt
و
y = xt
: ﻓﺈن
y z = = t : ﻨﻀﻊ x y y z = = t : ﺒﻤﺎ أن x y
z = xt 2
و
y = xt
: أي : ﻝدﻴﻨﺎ
2
2
x 2 − ( xt ) + ( xt 2 ) x2 − y 2 + z 2 = x −2 − y −2 − z −2 x −2 − ( xt )−2 − ( xt 2 )−2 x 2 − x 2t 2 + x 2t 4 = −2 x − x −2 t −2 − x −2 t −4 x 2 (1 − t 2 + t 4 ) = −2 x (1 − t −2 − t −4 ) 1− t2 + t4 1 1 1− 2 − 4 t t 4 2 t − t +1 = x4 4 2 t − t +1 t4 4 2 4 4 t − t +1 =xt 4 2 t − t +1 = x2 x2
4
= ( xt ) = y 4
x2 − y2 + z 2 = y4 −2 −2 −2 x −y −z
: إذن
2 ﲤﺮﻦ : ( C2 ) ﺤﺴﺎب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة-1 D
( ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔC2 ) ( ﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرةEF ) ﺒﻤﺎ أن ( EF ) ⊥ ( DN ) ﻓﺈن D ﻓﻲ
75
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ
DNF
أي اﻝﻤﺜﻠث
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : وﻤﻨﻪ
FN 2 = FD 2 + DN 2
)
FD 2 = FN 2 − DN 2
1
(
ﺒﻤﺎ أن ) ( GFﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرة ) ( C2ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ
I
ﻓﺈن ) ( GF ) ⊥ ( IN
أي اﻝﻤﺜﻠث
INF
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
I
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : وﻤﻨﻪ
FN 2 = FI 2 + IN 2
FI 2 = FN 2 − IN 2
وﻨﻌﻠم أن ﻤن
)
و
1
أي :
)
DN = IN 2
و
3
2
(
3
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
FD 2 = FI 2
FI = FD
إذن :
)
FI = 8 − DE
4
وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : ﻝدﻴﻨﺎ : و
(
( )
GI = 6 − EK
5
FG 2 = 102 = 100
EF 2 + EG 2 = 82 + 6 2 = 64 + 36 = 100
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻌﻜﺴﻴﺔ ﻓﺈن اﻝﻤﺜﻠث ﻝدﻴﻨﺎ
ˆ = Eˆ = EDN ˆ = EKN ˆ = 90° DNK
وﻤﻨﻪ : ﻤن
5
DE = EK
و
6
)
6
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
GI = 6 − DE
وﻨﻌﻠم أن : 7
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
و
و
8
أي :
−2 DE + 14 = 10
أي :
−2 DE = −4
و
DN = IN
ﻓﺈن اﻝرﺒﺎﻋﻲ
DNKE
ﻤرﺒﻊ
(
FG = FI + GI = 5
4
EFG
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
E
وﻤﻨﻪ
Eˆ = 90°
ˆ = 360 − EDN ˆ − EKN ˆ − Eˆ = 360° − 90° − 90° − 90° = 90° DNK
ﺒﻤﺎ أن
ﻤن
(
)
8
)
7
(
(
FI + GI = 8 − DE + 6 − DE = 10
https://sites.google.com/site/stitmath
76
ا
ا
ذ:ا 4 =2 2
إذن :
= DE
-2ﺤﺴﺎب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) : ( C1 ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
FND
D
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : أي :
2
FN 2 = ( FE − DE ) + DN 2
أي :
FN 2 = ( 8 − 2 ) + 2 2
أي :
FN 2 = 36 + 4 = 40
2
وﻤﻨﻪ :
FN = 2 10
ﻨﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺔ ﻝدﻴﻨﺎ
FN 2 = DF 2 + DN 2
J
اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ
ˆ = 360° − 90° − 90° − 90° = 90° ˆ = 360 − MJD ˆ − JDC ˆ − DCM CMJ
ﺒﻤﺎ أن
ˆ = 90° ˆ = MJD ˆ = JDC ˆ = DCM CMJ
وﻤﻨﻪ :
CM = JD
ﻝدﻴﻨﺎ :
NJ = DN − DJ = 2 − CM
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث ﻴﻌﻨﻲ : إذن : ﻴﻌﻨﻲ : إذن : 9
FDN
ﻝدﻴﻨﺎ :
و
MN = CM + 2
ˆ + FDN ˆ + FND ˆ = 180° DFN
ˆ = 180° − 90° − FND ˆ = 90° − FND ˆ DFN MNJ
ﻝدﻴﻨﺎ :
)
9
(
ˆ + MJN ˆ + MNJ ˆ = 180° NMJ
ˆ = 180° − MJN ˆ − MNJ ˆ NMJ ˆ = 180° − 90° − FND ˆ = 90° − FND ˆ NMJ
و
10
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
)
10
(
ˆ = NMJ ˆ DFN
أي :
ˆ = sin NMJ ˆ sin DFN
اي :
DN NJ = FN NM 2 2 − CM = 2 10 CM + 2
أي :
2CM + 4 = 4 10 − 2 10CM
أي :
ﻓﺈن اﻝرﺒﺎﻋﻲ
CMJD
ﻤﺴﺘطﻴل
ˆ = 180° − FDN ˆ − FND ˆ DFN
ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث
ﻤن
M
ﻋﻠﻰ ) ( DN
https://sites.google.com/site/stitmath
77
ا
ا:ذ
2CM + 2 10CM = 4 10 − 4
(
) (
2CM 1 + 10 = 2 2 10 − 2 CM =
)
2 10 − 2 1 + 10
ا
: أي : أي : إذن
3 ﲤﺮﻦ 2
2
x+ y − 1 ≥ 0 y+z
: ﻝدﻴﻨﺎ
: ﻴﻌﻨﻲ x + y − 2 x + y + 1 ≥ 0 y+z y+z x + y 2 1 1 x+ y × + 1 ≥ ×2 x + y y + z x+ y y+z y+z y+z
: ﻴﻌﻨﻲ
x+ y 1 1 x+ y ×2 + ≥ y+ z x+ y y+z x+ y y+z y+z
: ﻴﻌﻨﻲ
2
x+ y x+ y +1 ≥ 2 y+z y+z
( (
2
(
) 3
)
1
x+ y y+ z + ≥2 y+ z x+ y
)
x+z y+z + ≥2 : y+z x+z x+ y x+ z + ≥2 x+ z x+ y
: طرف ﺒطرف
3
و
2
: ﻴﻌﻨﻲ
: إذن
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن و و
1
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
x+ y y+ z x+ z y+ z x+ y x+ z + + + + + ≥ 2+2+2 y+ z x+ y y+ z x+ z x+ z x+ y x+ y x+ z y+ z x+ z y+ z x+ y + + + + + ≥ 2 + 2 + 2 : أي y+ z y+ z x+ y x+ y x+ z x+ z 2x + y + z 2z + x + y 2 y + x + z + + ≥ 6 : أي y+z x+ y x+z 2x y+z 2z x + y 2y x+ z + + + + + ≥ 6 : أي y+ z y+ z x+ y x+ y x+ z x+ z 2x 2z 2y 2x 2z 2y + + + 3 ≥ 6 : أي +1+ +1+ + 1 ≥ 6 : أي y+z x+ y x+z y+z x+ y x+z x 1 x z y 1 z y × 2 + + + + ≥ × 3 : أي2 ≥ 6 − 3 : أي 2 y+ z x+ y x+ z 2 y+z x+ y x+z x z y 3 + + ≥ : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ y+ z x+ y x+ z 2
78
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
ا
4 ﲤﺮﻦ
( x + x + 1)( y + x +1 × ( x + x + 1 )( y + x +1 x − ( x + 1) ×( y + x − x +1 2
x− x−
) : ﻝدﻴﻨﺎ + 1 ) = 1 : ﻴﻌﻨﻲ
y2 +1 = 1
2
2
y2
2
2
2
2
)
x2 − x2 −1 2
x − x +1
: ﻴﻌﻨﻲ
y2 + 1 = 1
2
( −( y +
) : ﻴﻌﻨﻲ +1) = 1 : ﻴﻌﻨﻲ
× y + y2 +1 = 1 y2
x − x2 + 1
: ﻴﻌﻨﻲ
− y − y2 + 1 = x − x2 + 1
(
1
)
(x +
(
)(
(
)( y + y− +1) × y−
x2 + 1
x + x2 + 1 y + y 2
(x +
)
y2 −
x2 + 1 ×
(
y2 +1 = 1
)
: ﻝدﻴﻨﺎ
y2 +1
=1
: ﻴﻌﻨﻲ
=1
: ﻴﻌﻨﻲ
=1
: ﻴﻌﻨﻲ
y2 +1
y2 +1
)
2
y − y2 +1
)
x + x2 + 1 ×
y2 − y2 −1 y − y2 +1
(
− x + x2 + 1 y − y2 +1
) = 1 : ﻴﻌﻨﻲ
− x − x2 + 1 = y − y 2 + 1
( 2( x + y) =
x2 + 1 −
y2 +1 +
y2 +1 −
x2 + 1
2
)
: إذن
x + y = x2 + 1 − y 2 + 1
y2 + 1 − x2 + 1
x+ y =
: طرف ﺒطرف
: ﻴﻌﻨﻲ
2
و
1
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن
2( x + y) = 0 x+ y =0
79
: إذن : أي
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺘﺎﺳﻊ ﻋﴩ ﲤﺮﻦ 1 x
و
و
y
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث :
3 9 4 + + ≥ 13 x 2y z
ﺒﻴن أن :
x + 2 y + 3 z ≥ 20
x+ y+ z+
ﲤﺮﻦ 2 ﻤﻌﻴن ﻤرﻜزﻩ
EGDF
وﻤﺴﺎﺤﺘﻪ
S = 10cm 2
ﻤﺤﻴطﻪ
A
P = 2 41cm
ﻜﻤﺎ ﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل
ﺠﺎﻨﺒﻪ. اﻝداﺌرة ) ( C1ﻫﻲ ﻤﻤﺎﺴﺔ ﻷﻀﻼع اﻝﻤﻌﻴن اﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) ( C1
ﲤﺮﻦ 3 x
و
و
y
ﺒﻴن أن :
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث :
= y 2 + x2 + z 2
2
1 1 1 + + =0 x y z
)( y + x + z
ﲤﺮﻦ 4 x
و
y
اﺤﺴب
ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﺒﺤﻴث :
x≠ y
و
x 2 = 2016 + y
و
y 2 = 2016 + x
xy
https://sites.google.com/site/stitmath
80
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺘﺎﺳﻊ ﻋﴩ% 1 ﲤﺮﻦ : ﻝدﻴﻨﺎ x+ y+ z+
(
1
)
3 9 4 4x 2 y 4z 3 9 4 + + = + + + + + x 2y z 4 2 4 x 2y z 3x + x y + y 3z + z 3 9 4 = + + + + + 4 2 4 x 2y z 3x x y y 3 z z 3 9 4 = + + + + + + + + 4 4 2 2 4 4 x 2y z
x+ y+ z+
3 9 4 3x 3 y 9 z 4 x + 2 y + 3z + + = + + + + + + 4 x 2y z 4 x 2 2y 4 z
: إذن
2
3x 3 + ≥ 0 4 x 2
3
(
: ﻴﻌﻨﻲ
3x 3x 3 3 +2 × + ≥0 4 4 x x
: ﻴﻌﻨﻲ
3x 3 3x 3 + ≥2 × : إذن 4 x 4 x y 9 y 9 : ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن + ≥2 × 2 2y 2 2y
)
4
2
3x 3x 3 3 × + + 2 ≥0 4 x x 4
(
(
: ﻝدﻴﻨﺎ
)
2
)
z 4 z 4 + ≥2 × 4 z 4 z
: طرف ﺒطرف
و
4 و3
و
2
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
y 3x 3 9 3z 4 3x 3 y 9 z 4 × +2 × +2 × + + ≥ 2 + + + 4 x 2 2y 4 z 4 x 2 2y 4 z =2
y 3x 3 9 z 4 × +2 × +2 × 4 2 2y x 4 z
3 3 = 2× + 2× + 2 2 2 ( 5 ) 3x + 3 + y + 9 + z + 4 ≥ 8 4 x 2 2y 4 z
81
: وﻤﻨﻪ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
وﻨﻌﻠم أن : ﻤن
1
و
)
x + 2 y + 3 z ≥ 20
و
5
6
(
6
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
3 9 4 3x 3 y 9 z 4 x y 3z 20 + + = + + + + + + + + ≥8+ x 2y z 4 x 2 2y 4 z 4 2 4 4 3 9 4 x+ y+ z+ + وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ + ≥ 13 : x 2y z
x+ y+ z+
ﲤﺮﻦ 2 ﻝدﻴﻨﺎ :
P = 4 × EG = 2 41
إذن :
2 41 41 = 4 2
وﻝدﻴﻨﺎ : )
S EGDF
إذن : ﻨﻌﺘﺒر
= EG
1 S EGDF = × ED × FG = 10 2
:ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻌﻴن
EGDF
(
1
(
)
ED × FG = 10 × 2 = 20
ﻨﻘطﺔ اﻝﺘﻤﺎس ﺒﻴن اﻝداﺌرة ) ( C1
H
واﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( EF
إذن ( EF ) ⊥ ( AH ) :
أي [ AH ] :ارﺘﻔﺎع ﻓﻲ
اﻝﻤﺜﻠث EAF
أي :
AH × EF = AE × AF
أي :
AE × AF EF
إذن :
ED × FG 2 41
ﻤن
1
و
2
) ﻋﻼﻗﺔ ﻤﺘرﻴﺔ (
أي :
= AH
= AH
)
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) : ( C1
اﻝﻘﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
A
2
ED FG × 2 AH = 2 EF
أي :
ED × FG = AH 41 ×4 2
(
20 2 41
= AH
وﻤﻨﻪ :
10 41 10 41 × = 41 41 41
= AH
S( C1 ) = π × AH 2
2
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
10 41 2 = 3.14 × = 7.65cm 41
) S( C1
ﲤﺮﻦ 3 https://sites.google.com/site/stitmath
82
ا
xyz xyz xyz + + =0 x y z
ا:ذ
1 1 1 + + = 0 : ﻝدﻴﻨﺎ x y z 1 1 1 xyz × + + = xyz × 0 : ﻴﻌﻨﻲ x y z
: ﻴﻌﻨﻲ
yz + xz = − xy
: ﻴﻌﻨﻲ
− xy +z z
: ﻴﻌﻨﻲ
( y + x + z)
: ﻴﻌﻨﻲ
y+x=
2
− xy z
− xy = + z z
( y + x + z)
(
2
2
2 − xy xy = = ( y + x) z z
)
2
xy = − 2 xy + z 2 z
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
= ( y + x ) − 2 xy + z 2
: ﻴﻌﻨﻲ
= y 2 + 2 xy + x 2 − 2 xy + z 2
: ﻴﻌﻲ
( y + x + z) ( y + x + z)
: ﻴﻌﻨﻲ
2
2
2
: ﻴﻌﻨﻲ
yz + xz + xy = 0
z ( y + x ) = − xy y+ x+ z =
ا
2
2
( y + x + z)
2
= y 2 + x2 + z 2
: إذن
4 ﲤﺮﻦ x 2 = 2016 + y
: ﻝدﻴﻨﺎ
x 2 − y 2 = 2016 + y − 2016 − x
: ﻴﻌﻨﻲ
y 2 = 2016 + x
و
( x − y )( x + y ) = − ( x − y ) : ﻴﻌﻨﻲ −( x − y) x+ y = = −1 : ﻴﻌﻨﻲ ( x≠ y) x− y
( x + y)
2
= ( −1)
2
: ﻴﻌﻨﻲ
x 2 + 2 xy + y 2 = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
y + 2016 + 2 xy + x + 2016 = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
( x + y ) + 2032 + 2 xy = 1 : ﻴﻌﻨﻲ
(
x + y = −1
)
−1 + 2032 + 2 xy = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
2 xy = −2030
: ﻴﻌﻨﻲ
xy = −2015
83
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 x
و
و
y
ﺒﻴن أن :
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث :
z
x+ y+ z =3
y 3 x z + + ≥ y+z x+z x+ y 2
ﲤﺮﻦ 2 1 99 + 100
اﺤﺴب
+ 99
1 98 +
+ LL + 4
1 3+
1 + 2+ 3
1
+ 2
1+
=A
ﲤﺮﻦ 3 u- 1و
v
ﺒﻴن أن :
) ≤ 3 ( u 2 + v 2 + w2
-2
x
و
ﺒﻴن أن :
y
و
w
و
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ 2
)( u + v + w
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث :
6x +1 + 6 y +1 + 6z +1 ≤ 3 3
x + y + z =1
) اﺴﺘﻌﻤل اﻝﺴؤال
1
(
ﲤﺮﻦ 4 ABC
ﻤﺜﻠث ﺒﺤﻴث :
و BC = 15cm
اﻝﻨﻘطﺔ
O
و
AB = 13cm
AC = 14cm
ﻫﻲ ﻤرﻜز اﻝداﺌرة
اﻝﻤﺤﺎطﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠث اﻝﺘﻲ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ
ABC
R
اﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ
https://sites.google.com/site/stitmath
84
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 2
ﻝدﻴﻨﺎ :
x −1 ≥ 0
ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ :
( ) ) x + 1) × ( − x − 2 ) ≤ 0
( ) (x −2
ﻴﻌﻨﻲ :
ﻴﻌﻨﻲ :
−x x + 3 x − 2 ≤ 0
ﻴﻌﻨﻲ :
x (3 − x ) ≤ 2
ﻴﻌﻨﻲ :
)
( (
x −1 × − x − 2 ≤ 0 × − x − 2
( ) × 12 2
x
1 ≥ ) x (3 − x
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : و ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت أي :
2
1
و
2
2
×
) ( x
y y ≥ x+ z 2 z z ≥ x+ y 2
و
3
)
− x x − 2 x + 2x + 4 x − x − 2 ≤ 0
إذن :
)
2
(
)
3
(
− x −2≤0
(
طرف ﺒطرف :
1 1 ≥ x (3 − x ) 2
ﻴﻌﻨﻲ : x x ≥ y+z 2
)
1
(
y x z x y z + + ≥ + + y+ z x+ z x+ y 2 2 2
y x z x+ y+ z + + ≥ y+ z x+ z x+ y 2
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
y x z 3 + + ≥ y+ z x+ z x+ y 2
ﲤﺮﻦ 2 ﻨﻀرب ﻓﻲ اﻝﻤراﻓق 1 1 1 1 1 + + +LL+ + 1+ 2 2 + 3 3 + 4 98 + 99 99 + 100 1 1− 2 1 2− 3 1 3− 4 1 98 − 99 1 99 − 100 × + × + × +LL+ × + × 1+ 2 1− 2 2 + 3 2 − 3 3 + 4 3 − 34 98 + 99 98 − 99 99 + 100 99 − 100
=A =
1− 2 2 − 3 3 − 4 98 − 99 99 − 100 + + +LL+ + 1− 2 2 −3 3− 4 98−99 99 −100 1− 2 2 − 3 3 − 4 98 − 99 99 − 100 =− − − −LL− − 1 1 1 1 1
=
=−1+ 2 − 2 + 3 − 3 + 4 −LL− 98 + 99 − 99 + 100 =−1+ 100 =−1+10 = 9 https://sites.google.com/site/stitmath
85
ا
ا:ذ
ا
3 ﲤﺮﻦ 3 ( u 2 + v 2 + w2 ) − ( u + v + w )
: ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق-1
2
ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق : ﻝدﻴﻨﺎ 2
3 ( u 2 + v 2 + w2 ) − ( u + v + w ) = 3u 2 + 3v 2 + 3w2 − ( ( u + v ) + w )
2
2
= 3u 2 + 3v 2 + 3w2 − ( u + v ) − 2 × ( u + v ) × w − w2 = 3u 2 + 3v 2 + 3w2 − u 2 − 2uv − v 2 − 2uw − 2vw − w2 = 2u 2 + 2v 2 + 2w2 − 2uv − 2uw − 2vw = u 2 − 2uv + v 2 + u 2 − 2uw + w2 + v 2 − 2vw + w2 2
2
2
= ( u − v ) + (u − w) + ( v − w) ≥ 0
( u + v + w) w = 6z + 1
(
6x +1 + 6 y +1 + 6z +1
( (
و
x + y + z =1
)
)
v = 6 y +1 2
≤ 3 ( u 2 + v 2 + w2 )
u = 6x +1
≤ 3 ( 6 x + 1 + 6 y + 1 + 6 z + 1)
6x +1 + 6 y +1 + 6z +1
(
و
2
)
2
(
: ﻨﻀﻊ-2
: 1 ﺤﺴب اﻝﺴؤال
≤ 3 ( 6 ( x + y + z ) + 3)
6x +1 + 6 y +1 + 6z +1
)
2
: إذن
≤ 3 ( 6 × 1 + 3) = 27
6x +1 + 6 y + 1 + 6z +1
)
2
≤ 27
6x + 1 + 6 y +1 + 6z +1 ≤ 3 3
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
4 ﲤﺮﻦ
86
https://sites.google.com/site/stitmath
ذ:ا
ا
ا
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
ADB
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
D
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : وﻤﻨﻪ :
)
AD 2 = AB 2 − DB 2
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
ADC
AB 2 = AD 2 + DB 2
(
1
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
D
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : وﻤﻨﻪ : ﻤن
1
أي :
)
AD 2 = AC 2 − DC 2
و
2
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ان :
AC 2 = AD 2 + DC 2
(
2
AD 2 = AB 2 − DB 2 = AC 2 − DC 2
أي ( DB − DC )( DB + DC ) = AB 2 − AC 2 :
DB 2 − DC 2 = AB 2 − AC 2
أي ( DB − DC ) AC = AB 2 − AC 2 :أي ( DB − DC ) ×15 = 132 − 142 :
اي :
169 − 196 15
أي :
= DB − DC
ﻝدﻴﻨﺎ :
BD + DC = 15
ﻴﻌﻨﻲ :
BD + ( DB + 1,8 ) = 15
ﻝدﻴﻨﺎ :
AD 2 = AB 2 − DB 2
إذن :
AD = 11, 2
ﻴﻌﻨﻲ :
أي :
ﻝدﻴﻨﺎ :
S ABC = S AOB + SOBC + S AOC
ﻴﻌﻨﻲ :
13 × R 15 × R 14 × R + + 2 2 2
إذن :
DB − DC = −1,8
2 BD = 15 − 1,8
AD 2 = 132 − 6.62
= 84
ﻴﻌﻨﻲ :
إذن :
DC = DB + 1,8
إذن :
أي :
BD = 6, 6
AD = 169 − 43,56
13 15 14 84 = R + + 2 2 2
ﻴﻌﻨﻲ :
84 = R × 21
R = 4cm
ﻝدﻴﻨﺎ :ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ
=
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث
− ABC
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة
ﻴﻌﻨﻲ : 1 1 × AD × BC − π R 2 = ×11, 2 × 15 − 3,14 × 42 2 2 = 84 − 50, 24 = 33, 76cm 2
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ ﻫﻲ :
https://sites.google.com/site/stitmath
33, 76cm 2
87
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻮا%ﺪ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 x
و
و
y
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴث :
x >1
و
y >1
و
z >1
1 1 1 1 xyz + + + > y + x + z + z x y xyz
ﺒﻴن أن :
ﲤﺮﻦ 2 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث : )∆( ( D) / /
ﺒﻴن أن :
A + B + D = 360°
ﲤﺮﻦ 3 x
و
y
و
ﺒﻴن أن :
z
ﻫﻲ أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث
< 4 xz
2
)( x + z − y
ﲤﺮﻦ 4 x
ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدم ﺒﺤﻴث :
أﺤﺴب :
1 x
1 =7 x2
x2 +
x+
https://sites.google.com/site/stitmath
88
ا
ا:ذ
ا
ﺪ واﻟﻌﴩون%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻮا% 1 ﲤﺮﻦ − y < −1
: ﻓﺈن
y >1
1 > −1 y
: وﻤﻨﻪ
1 > −1 y 1 x− >0 y
: ﻝدﻴﻨﺎ
−
1 x + − > 1 + ( −1) y
: ﻴﻌﻨﻲ
x >1
( (
2
)
(
3
)
1 >0 z 1 z− >0 x y−
1
و )
: ﺒﻤﺎ أن
−
: إذن
: ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن و
1 1 1 x − y − z − > 0 : طرف ﺒطرف3 و2 و1 ﻨطرب اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت y z x x 1 1 1 1 1 1 xyz − y − x + − z + + − > 0 : أي xy − − 1 + z − > 0 : أي z x y xyz z yz x 1 1 1 xyz + + + − y + x + z + z x y 1 1 1 xyz + + + > y + x + z + z x y
1 > 0 : أي xyz 1 : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ xyz
2 ﲤﺮﻦ
89
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ﺒﻤﺎأن ) ∆ ( ( D ) / /و ) ( Kﻗﺎطﻊ ﻝﻬﻤﺎ ﻓﺈن
'S = A
ﻝدﻴﻨﺎ :
S = A ' = 180° − A
و
B ' = 180° − B
و
D ' = 180° − D
وﻨﻌﻠم أن ﻤﺠﻤوع زواﻴﺎ ﻤﺜﻠث ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
ﺘﺴﺎوي 180°
S+ B '+ D ' = 180° 180° − A + 180° − B + 180° − D = 180° :
ﻴﻌﻨﻲ :
A + B + D = 180° + 180° + 180° − 180°
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
A + B + D = 360°
ﲤﺮﻦ 3 ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق : ( x + z − y )2 − 4 xz 2
− 4 xz = ( ( x + z ) − y ) − 4 xz
2
)( x + z − y
2
= ( x + z ) − 2 × ( x + z ) × y + y 2 − 4 xz = x 2 + 2 xz + z 2 − 2 xy + 2 yz + y 2 − 4 xz ) = x 2 + z 2 + y 2 − 2 ( xy + yz + xz
و
و
ﻫﻲ أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث
ﻝدﻴﻨﺎ :
x
ﻴﻌﻨﻲ :
x+ y > z
ﻴﻌﻨﻲ :
z ×( x + y) > z × z
إذن :
y
z
) ﻤﺘﻘﺎوﺜﺔ ﻤﺜﻠﺜﻴﺔ (
xz + yz > z 2
)
1
) (
وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن :
yz + xy > y 2
و ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
1
و
2
z>0
(
xy + xz > x 2
و
3
) )
2
(
3
(
طرف ﺒطرف : xz + yz + yz + xy + xy + xz > z 2 + y 2 + x 2
أي :
2 ( xy + yz + xz ) > x 2 + y 2 + z 2
https://sites.google.com/site/stitmath
90
ا
ذ:ا
أي :
ا
− 4 xz = x 2 + z 2 + y 2 − 2 ( xy + yz + xz ) ≤ 0
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
2
< 4 xz
2
)( x + z − y
)(x + z − y
ﲤﺮﻦ 4 ﻨﻀﻊ :
1 x
ﻴﻌﻨﻲ :
1 1 y = x+ = x+2+ x x 1 y2 − 2 = x + x 2 2 1 2 y − 2 = x + ( ) x 2 ( y 2 − 2 ) = x 2 + 2 + x12 = 7 + 2 = 9
y= x+ 2
2
ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ :
ﻴﻌﻨﻲ ( y − 2 ) − 9 = 0 : ﻴﻌﻨﻲ ( y − 2 + 3)( y − 2 − 3) = 0 : ﻴﻌﻨﻲ ( y + 1)( y − 5 ) = 0 : 2
2
2
2
2
ﻴﻌﻨﻲ :
y2 + 1 = 0
ﻴﻌﻨﻲ :
y 2 = −1
أو
2
أو
y2 − 5 = 0
اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ﻝﻴس ﻝﻬﺎ ﺤل
( y − 5 )( y + 5 ) = 0
ﻴﻌﻨﻲ :
y− 5 =0
ﻴﻌﻨﻲ :
أو
y= 5
وﻨﻌﻠم أن وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
1 >0 x
أو
y+ 5 =0
y=− 5
y= x+
1 = 5 x
y= x+
https://sites.google.com/site/stitmath
91
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 x
ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴث :
ﺒﻴن أن :
x >1
2x2 + 2 20
و
=x
14 x + 1 = x 2
ﲤﺮﻦ 2 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث : CDEF
ﻤرﺒﻊ طول ﻀﻠﻌﻪ ﻴﺴﺎوي
2cm
)' ( Cداﺌرة ﻤرﻜزﻫﺎ
O
ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ
1cm
) ( Cداﺌرة ﻤرﻜزﻫﺎ
'O
ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ
r
ﺒﻴن أن
r = 3− 2 2
ﲤﺮﻦ 3 x
و
y
ﺒﻴن أن :
و
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴث :
x+ y+z ≠0
و
x2 y2 z2 + + =0 y+ z x+ z x+ y
x y z + + =1 y+z x+z x+ y
ﲤﺮﻦ 4 EFGﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ E
ﺒﻴن أن EF 3 + EG 3 < FG 3 :
https://sites.google.com/site/stitmath
92
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ واﻟﻌﴩون% 1 ﲤﺮﻦ x
2
( =
2 x2 + 2
)
202
200 x 2 = x 4 + 2 x 2 + 1
2
: ﻴﻌﻨﻲ
: ﻴﻌﻨﻲ
x2 =
2x2 + 2 x = 20 2 ( x 4 + 2 x 2 + 1) 2
2x2 + 2 20
: ﻝدﻴﻨﺎ
2x4 + 4x2 + 2 400
: ﻴﻌﻨﻲ
196 x 2 + 4 x 2 = x 4 + 2 x 2 + 1
: ﻴﻌﻨﻲ
: ﻴﻌﻨﻲ
: ﻴﻌﻨﻲ
2 × 200
196 x 2 = x 4 − 2 x 2 + 1
2
: ﻴﻌﻨﻲ
14 x = x 2 − 1
x=
x2 =
: ( ﻴﻌﻨﻲ14 x )2 = ( x 2 − 1) : ﻴﻌﻨﻲ 2
14 x + 1 = x 2
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
2 ﲤﺮﻦ x2 y2 z2 + + =0 y+ z x+ z x+ y x2 y2 z2 + + + ( x + y + z) = 0 + ( x + y + z) y+z x+z x+ y
: ﻴﻌﻨﻲ
x2 y2 z2 + x + + y + z = ( x + y + z) + y+z x+ z x+ y 2 2 2 x + x ( y + z) y + y ( x + z) z + z ( x + y) + + = (x + y + z) y+z x+z x + yz x( x + y + z) y( x + y + z) z ( x + y + z) + + = ( x + y + z) y+z x+ z x+ y x y z + + ( x + y + z) = (x + y + z) y+ z x+ z x+ y
: ﻴﻌﻨﻲ
x 1 y z 1 × x+ y+z + + × x+ y+ z = x+ y+ z y+z x+z x+ y x+ y+z x y z + + =1 : y+z x+z x+ y
(
: ﻝدﻴﻨﺎ
)
(
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
)
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
3 ﲤﺮﻦ OO ' = OL + LO '
و
KO ' = JD − r OK = 1 − r 93
و
: ﻝدﻴﻨﺎ
OK = OJ − KJ OO ' = 1 + r
و
: إذن
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
و
KO ' = 1 − r
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
K
ا
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
OKO '
: ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن OO '2 = OK 2 + O'K 2
(1 + r )
2
2
= (1 − r ) + (1 − r )
(1 + r )
2
= 2 (1 − r )
1 + r = 2 (1 − r )
: أي
(
)
r 1+ 2 = 2 −1
: أي
2
: أي
2
: أي
2
1 + r = 2 (1 − r )
: أي
: أي
r + 2r = 2 − 1
: اي r=
(
)
2
2 −1 1− 2 − 2 −1 × = 1− 2 1+ 2 1− 2
r = 2 − 2 2 +1 = 3 − 2 2
=
(
)
2
2 −1
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
4 ﲤﺮﻦ E ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲEFG ﻝدﻴﻨﺎ
EF 2 + EG 2 = FG 2 : إذن EF 3 + EG 3 − FG 3 < 0 : ﻝﻨﺒﻴن أن
EF 3 + EG 3 − FG 3 = EF 2 × EF + EG 2 × EG − FG 2 × FG = EF 2 × EF + EG 2 × EG − ( EF 2 + EG 2 ) × FG = EF 2 × EF + EG 2 × EG − EF 2 × FG − EG 2 × FG = EF 2 × ( EF − FG ) + EG 2 × ( EG − FG ) < 0
( EG < FG وEF < FG ) ﻷن EF 3 + EG 3 < FG 3 :
94
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 x
ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدم )
x≠0
( ﺒﺤﻴث :
x 1 = x +1 3 2
x3 1 = 6 5 4 3 2 x + x + x + x + x + x + 1 29
ﺒﻴن أن :
ﲤﺮﻦ 2 a
و
b
و
c
-1ﺒﻴن أن -2ﺒﻴن أن :
أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث a b c + + <2 b+c c+a a+b a+b−c + b+c−a ≤ 2 b
-3اﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
a +b−c + b+c −a + a +c −b ≤ a + b + c
ﲤﺮﻦ 3 x
و
و
y
ﺒﻴن أن :
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث :
xyz 2
= xy + yz + zx
1 1 1 1 + + < 2+ x 2+ y 2+ z 2
ﲤﺮﻦ 4 x
و
y
اﺤﺴب
ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺎن ﺒﺤﻴث :
x 2 − xy + y 2 1 = x 2 + xy + y 2 3
x y
https://sites.google.com/site/stitmath
95
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﻌﴩون% 1 ﲤﺮﻦ : ﻝدﻴﻨﺎ x3 = x 6 + x 5 + x 4 + x3 + x 2 + x + 1
x3
1 1 1 x3 x 3 + x 2 + x + 1 + + 2 + 3 x x x 1 = 1 1 1 1 + x + + x 2 + 2 + x3 + 3 x x x
: 1 1 x+ x
=
1 3
: ﻴﻌﻨﻲ
x 1 x x+ x
=
1 3
: ﻴﻌﻨﻲ
x+
1 x
x 1 = x +1 3
: ﻝدﻴﻨﺎ
1 =3 x
: إذن
2
x+
: 1 x +2+ 2 = 9 x 2
: ﻴﻌﻨﻲ
2
1 2 x+ =3 x
:
1 ﻝﻨﺤدد ﻗﻴﻤﺔ x2 1 x + = 3 : ﻝدﻴﻨﺎ x 1 x 2 + 2 = 7 : إذن x
x2 +
: ﻴﻌﻨﻲ
1 ﻝﻨﺤدد ﻗﻴﻤﺔ x3 1 1 2 ﻴﻌﻨﻲ x + 1 x + 2 = 3 × 7 x + = 3 : ﻝدﻴﻨﺎ x x x 1 1 x3 + 3 = 18 : إذنx3 + 3 + 3 = 21 : ﻴﻌﻨﻲ x x
:
1 1 x3 + + x + 3 = 21 x x
ﻝﻨﺤدد ﻗﻴﻤﺔ
x3 +
: ﻝدﻴﻨﺎ 96
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
x3 = x 6 + x 5 + x 4 + x3 + x 2 + x + 1
ا:ذ
ا
1
1 1 1 1 + x + + x2 + 2 + x3 + 3 x x x 1 = 1 + 3 + 7 + 18 x3 1 = 6 5 4 3 2 x + x + x + x + x + x + 1 29
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
2 ﲤﺮﻦ : ﻝدﻴﻨﺎ-1 a b c 2a 2b 2c + + = + + b + c c + a a + b 2 (b + c ) 2 ( c + a ) 2 ( a + b ) =
2a 2b 2c + + (b + c ) + (b + c ) ( c + a ) + ( c + a ) ( a + b ) + ( a + b)
أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث b + c + (b + c ) > a + b + c
و
c
و
و
b
و
a
: ﻝدﻴﻨﺎ
b+c > a
و
c+a >b
: ﻴﻌﻨﻲ
c + a + (c + a) > b + c + a
و
a + b + ( a + b) > c + a + b
: ﻴﻌﻨﻲ
a+b > c
1 1 < b + c + (b + c) a + b + c
و
1 1 < c + a + (c + a) b + c + a
و
1 1 < a + b + ( a + b) c + a + b
: ﻴﻌﻨﻲ
2a 2a < b + c + (b + c) a + b + c
و
2b 2b < c + a + (c + a) b + c + a
و
2c 2c < a + b + ( a + b) c + a + b
: ﻴﻌﻨﻲ : إذن
a b c 2a 2b 2c + + = + + b + c c + a a + b (b + c ) + (b + c ) ( c + a ) + (c + a ) ( a + b ) + ( a + b ) <
b+c−a > 0
و
c+ a −b > 0
و
(
)
2 a+b+c 2a 2b 2c + + = =2 a+b+c b+c+a c+a+b a+b+c
a+b−c > 0
: ﻴﻌﻨﻲ
z =b+c−a >0
b+c > a
و
c+a >b
y = c + a −b > 0 y + z = 2c
x+ z = 2 b
و
و
و
و
و
: ﻝدﻴﻨﺎ-2
a+b > c
x = a+b−c > 0
x + z = 2b
و
x + y = 2a
a+b−c + b+c−a = x + z x + z ≤ 2 x+z
2( x + z) −
97
(
x+ z
)
2
= 2x + 2z − x − 2 x z − z = x − 2 x z + z =
(
x− z
)
: ﻨﻀﻊ : ﻴﻌﻨﻲ : إذن
: ﻝﻨﺒﻴن أن
2
≥0
: ﻝدﻴﻨﺎ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ﻴﻌﻨﻲ :
2
ﻴﻌﻨﻲ :
2
إذن :
) )z
x+ z x+
( (
≥ )2( x + z ≥ )2(x + z
x + z ≤ 2 x+z
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
a+b−c + b+c−a ≤ 2 b
-3ﺤﺴب اﻝﺴؤال اﻝﺴﺎﺒق ﻝدﻴﻨﺎ : وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : و
a+b−c + b+c−a ≤ 2 b
b+c −a + c + a−b ≤ 2 c
c +a −b + a +b−c ≤ 2 a
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
و
1
2
و
3
)
)
3
)
2
1
(
(
(
طرف ﺒطرف :
2 a+b−c +2 b+c−a +2 c +a −b ≤ 2 b + 2 c + 2 a
أي :
)
b+ c+ a
( )
a +b−c + b+c −a + c+a −b ≤ 2
(
2
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ a + b − c + b + c − a + a + c − b ≤ a + b + c :
ﲤﺮﻦ 3 ﻝدﻴﻨﺎ : ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ : إذن :
xyz 2 xy + yz + zx 1 = xyz 2 xy yz zx 1 + + = xyz xyz xyz 2 1 1 1 1 = + + ) 1 z x y 2 = xy + yz + zx
ﻝدﻴﻨﺎ :
2>0
ﻴﻌﻨﻲ :
2> x−x
ﻴﻌﻨﻲ :
2+ x > x
إذن :
1 1 < 2+ x x
)
2
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن : ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
2
و
3
(
( 1 1 و ( 3 ) 1 <1 < 2+ z z 2+ y y 1 1 1 1 1 1 + + < + + 4ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن : 2+ x 2+ y 2+ z x y z
)
و
https://sites.google.com/site/stitmath
4
(
98
ا 1 1 1 1 + + < 2+ x 2+ y 2+ z 2
ا:ذ
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
و
5
1
ا
ﻤن
4 ﲤﺮﻦ x 2 − xy + y 2 1 = : ﻝدﻴﻨﺎ x 2 + xy + y 2 3 x y xy × − 1 + x 1 y = : ﻴﻌﻨﻲ x y 3 xy × + 1 + x y x y −1+ y x 1 = : ﻴﻌﻨﻲ x y 3 +1+ y x x k= : ﻨﻀﻊ y 1 k −1+ k = 1 : ﻴﻌﻨﻲ 1 3 k +1+ k 2 k − k +1 1 k = : ﻴﻌﻨﻲ 2 k + k +1 3 k 2 k − k +1 k 1 × 2 = : ﻴﻌﻨﻲ k + k +1 3 k k2 − k +1 1 = k 2 + k +1 3 k 2 + k + 1 = 3k 2 − 3k + 3 2k 2 − 4k + 2 = 0
: ﻴﻌﻨﻲ
k 2 − 2k + 1 = 0
k −1 = 0
2 ( k 2 − 2k + 1) = 0
: ﻴﻌﻨﻲ
( k − 1)
2
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
=0
: ﻴﻌﻨﻲ
k =1
: إذن
x =1 y
99
: ﻴﻌﻨﻲ
3k 2 − 3k + 3 − k 2 − k − 1 = 0
: ﻴﻌﻨﻲ
: ﻴﻌﻨﻲ
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 x
و
و
y
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴث :
x + y + z = 1 2 2 2 x + y + z = 3 x3 + y3 + z 3 = 5
ﺒﻴن أن :
1 = xyz 3
ﲤﺮﻦ 2 X = 12 − 22 + 32 − 42 + ..... + 992 − 100 2
Y = 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 99 + 100
ﺒﻴن أن :
X +Y = 0
ﲤﺮﻦ 3 ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل أﺴﻔﻠﻪ ﺒﺤﻴث :اﻝدواﺌر
) C1 ( M , a
واﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ∆ ( ﻤﻤﺎس ﻝﻠدواﺌر اﻝﺜﻼﺜﺔ ﺒﻴن أن :
و
) C2 ( N , c
و
) C3 ( P, b
ﻤﺘﻤﺎﺴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﺎ
1 1 1 = + c b a
ﲤﺮﻦ 4 a
و
b
و
c
أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث .ﺒﻴن أن ( a + b − c )( a + c − b )( b + c − a ) ≤ abc
https://sites.google.com/site/stitmath
100
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ واﻟﻌﴩون% 1 ﲤﺮﻦ x + y + z =1
(x + y + z)
3
: ﻝدﻴﻨﺎ
: ﻴﻌﻨﻲ
= 13
2 ( x + y + z ) × ( x + y + z ) = 1 : ﻴﻌﻨﻲ
+ y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz ) × ( x + y + z ) = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
x3 + y 3 + z 3 + 3 x 2 y + 3 x 2 z + 3 y 2 x + 3 y 2 z + 3 z 2 x + 3 z 2 y + 6 xyz = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
x3 + y 3 + z 3 + 3 x 2 ( y + z ) + 3 y 2 ( x + z ) + 3z 2 ( x + y ) + 6 xyz = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
(x
x + z = 1− y
(
و
2
y + z = 1− x
و
x + y = 1− z
: ﻓﺈن
x + y + z =1
: ﺒﻤﺎ أن
x3 + y 3 + z 3 + 3x 2 (1 − x ) + 3 y 2 (1 − y ) + 3z 2 (1 − z ) + 6 xyz = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
x3 + y 3 + z 3 + 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 3 x 3 − 3 y 3 − 3 z 3 + 6 xyz = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
x 3 + y 3 + z 3 + 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) + 6 xyz = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
x3 + y 3 + z 3 = 5
و
x2 + y 2 + z 2 = 3
)
5 + 3 × 3 − 3 × 5 + 6 xyz = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
−1 + 6 xyz = 1
: ﻴﻌﻨﻲ
xyz =
2 1 = 6 3
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
2 ﲤﺮﻦ X + Y = (12 − 22 + 32 − 42 + ..... + 992 − 1002 ) + (1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 99 + 100 ) = (1 + 1) + ( 2 − 22 ) + ( 3 + 32 ) + ( 4 − 42 ) + ... + ( 99 + 992 ) + (100 − 1002 ) = 2 + ( 2 × (1 − 2 ) ) + ( 3 × (1 + 3) ) + ( 4 × (1 − 4 ) ) + ... + ( 99 × (1 + 99 ) ) + (100 × (1 − 100 ) ) = 2 + ( 2 × ( −1) ) + ( 3 × ( 4 ) ) + ( 4 × ( −3) ) + ... + ( 99 × (100 ) ) + (100 × ( −99 ) ) = 2 − 2 + 12 − 12 + ... + 9900 − 9900 =0
101
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ﲤﺮﻦ 3
ﻝدﻴﻨﺎ
MAN
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
A
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : أي :
أي :
AN 2 = MN 2 − MA2
2 2 أي ( a + c ) − ( a − c ) :
وﻤﻨﻪ : و ﻝدﻴﻨﺎ
)
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
2
) AN 2 = ( a + c ) − ( a − c
أي :
= AN
AN = 4ac = 2 ac
NDP
2
1
أي :
2 2 أي ( c + b ) − ( b − c ) :
D
أي :
وﻤﻨﻪ : و ﻝدﻴﻨﺎ
MFP
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
)
2
2
NP 2 = ND 2 + DP 2 2
) ND 2 = ( c + b ) − ( b − c
أي :
= ND
ND = 4cb = 2 cb
a 2 + 2ac + c 2 − a 2 + 2ac − c 2
= AN
(
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : ND 2 = NP 2 − DP 2
MN 2 = MA2 + AN 2
c 2 + 2cb + b 2 − c 2 + 2cb − b 2
= ND
(
F
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : https://sites.google.com/site/stitmath
MP 2 = MF 2 + PF 2
102
ا 2
MF 2 = ( a + b ) − ( b − a ) MF =
: أي
2
: أي
a 2 + 2ab + b 2 − b 2 + 2ab − a 2
( (
4
2 ab = 2 ac + 2 cb
)
)
ا
: أي
MF 2 = MP 2 − PF 2
2 2 ( a + b ) − ( b − a ) : أي
MF =
3
ا:ذ
MF = 4ab = 2 ab
: وﻤﻨﻪ
MF = AD = AN + ND
: ﻝدﻴﻨﺎ
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
و
4
3
و
2
و
1
ﻤن
1 1 × 2 ab = × 2 ac + 2 cb : أي 2 abc 2 abc 1 1 1 : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ = + c b a
(
)
4 ﲤﺮﻦ أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث b+c > a
و
b+c−a > 0 z = c + a −b > 0
2 xy ≤ x + y
: ﻴﻌﻨﻲ
و
و
c+a >b
c+ a−b > 0
و
و
و
b
a
a+b−c > 0
x − 2 xy + y ≥ 0
: ﻴﻌﻨﻲ
(
2
)
(
3
)
x+ y x+z y+z : ﺒطرف × × 2 2 2 x+ y x+z y+z : أي xyz ≤ × × 2 2 2
1
(
x− y
)
xy ≤
x+ z : 2 y+z و yz ≤ 2 xz ≤
طرف
و
3
( xyz )
2
≤
2
)
ﻝدﻴﻨﺎ
: ﻴﻌﻨﻲ
a+b > c
: ﻴﻌﻨﻲ
y = b + c − a > 0 وx = a +b −c > 0
(
xy × xz × yz ≤
و
c
: ﻨﻀﻊ
2
≥0
x+ y 2
: ﻝدﻴﻨﺎ : إذن
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن
و
1
ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
x+ y x+ z y+ z × × 2 2 2
: أي : أي
( a + b − c )( b + c − a )( a + c − b ) ≤
a +b− c +b+ c − a a+ b − c +a+ c − b b +c− a + a +c− b × × 2 2 2 2b 2 a 2c : أي ( a + b − c )( b + c − a )( a + c − b ) ≤ × × 2 2 2
( a + b − c )( b + c − a )( a + c − b ) ≤ abc : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
103
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 xو yو zأﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
ﺒﻴن أن ( x + y )( x + z )( y + z ) ≥ 8 xyz :
ﲤﺮﻦ 2 ﻨﻌطﻲ :
13 + 23 + .... + 143 + 153 = 14400
أﺤﺴب
23 + 43 + 63.... + 283 + 303
ﲤﺮﻦ 3 اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ) ( Dو ) ∆ ( ﻴﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ وﻤﻤﺎﺴﺎن ﻝﻠدواﺌر واﻝداﺌرﺘﺎن
C1
واﻝداﺌرﺘﺎن
C3
اﺤﺴب
r
) C1 ( J ,30
و و
C2
و
) C2 ( H ,18
و
O ) C3 ( I , r
ﻤﺘﻤﺎﺴﺘﺎن
C2
ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة
ﻤﺘﻤﺎﺴﺘﺎن C3
ﲤﺮﻦ 4 ﺒﻴن أن :
2016 × 2015 × 2014 × 2013 + 1 4058209 = 4 2
https://sites.google.com/site/stitmath
104
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 2
ﻝدﻴﻨﺎ :
−2 x× y ≥0
إذن :
x + y − 2 xy ≥ 0
وﻤﻨﻪ :
)
x + y ≥ 2 xy
2
1
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن :
x + z ≥ 2 xz
ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
1
2
x− y
(
و و
2
)) = ( x) +( y
y + z ≥ 2 yz
و
3
)
2
(
)
3
(
طرف ﺒطرف :
xy × 2 xz × 2 yz
أي :
2
2
2
) ) ×( z ) ×( y
x
(
( x + y )( x + z )( y + z ) ≥ 2
( ( x + y )( x + z )( y + z ) ≥ 8
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ( x + y )( x + z )( y + z ) ≥ 8 xyz :
ﲤﺮﻦ 2 ﻝدﻴﻨﺎ : 23 + 43 + 63.... + 283 + 303 3
23 = ( 2 ×1) = 23 ×13 3
43 = ( 2 × 2 ) = 23 × 23 3
63 = ( 2 ×1) = 23 ×13 M 3
283 = (14 × 2 ) = 143 × 23 3
303 = (15 × 2 ) = 153 × 23
إذن : 23 + 43 + 63.... + 283 + 303 = 23 ×13 + 23 × 23 + 23 × 33 + .... + 143 × 23 + 153 × 23 ) = 23 (13 + 23 + .... + 143 + 153 = 8 ×14400 https://sites.google.com/site/stitmath
105
ا
ا:ذ
ا
3 ﲤﺮﻦ ( و ) ∆ ( ﻤﻤﺎﺴﺎن ﻝﻠدواﺌرD ) ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن L
و
A
( ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﻓﻲC3 ) ( وC2 ) ( وC1 ) E
و
( IE ) ⊥ ( ∆ ) ( وHL ) ⊥ ( ∆ ) ( وJA) ⊥ ( ∆ ) : ﻴﻌﻨﻲ ˆ = sin HOL ˆ = sin JOA ˆ sin IOE
: ﻴﻌﻨﻲ
IE HL JA = = OI OH OJ
: ﻴﻌﻨﻲ : ﻴﻌﻨﻲ
r 18 30 = = OM + r OM + 2r + 18 OM + 2r + 2 ×18 + 30
r 18 30 = = OM + r OM + 2r + 18 OM + 2r + 66 r 18 : ﻝدﻴﻨﺎ1 اﻝﻨﺘﻴﺠﺔ = OM + r OM + 2r + 18
ﺤﺴب
r × OM + 2r 2 + 18r = 18 × OM + 18r
: ﻴﻌﻨﻲ
2r 2 = 18 × OM − r × OM
: ﻴﻌﻨﻲ
2r 2 = OM (18 − r )
: ﻴﻌﻨﻲ
(
1
18 30 = OM + 2r + 18 OM + 2r + 66
)
OM =
: ﻝدﻴﻨﺎ
1
2r 2 18 − r
: إذن
ﺤﺴب اﻝﻨﺘﻴﺠﺔ
18 × OM + 36r + 1188 = 30 × OM + 60r + 540
: ﻴﻌﻨﻲ
30 × OM − 18 × OM + 60r − 36r = 1188 − 540
: ﻴﻌﻨﻲ
(
2
)
12 × OM + 24r = 648
2r 2 12 × + 24r = 648 18 − r
106
: إذن
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن
2
: إذن و
1
ﻤن
24r 2 + 432r − 24r 2 = 648 18 − r
: أي
432r = 11664 − 648r
: أي
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
1080r = 11664 r=
11664 = 10,8 1080
ا
: أي
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
4 ﲤﺮﻦ x = 2013 2016 × 2015 × 2014 × 2013 + 1 = 4
=
=
: ﻨﻀﻊ
( x + 3) × ( x + 2 ) × ( x + 1) × x + 1 4
x × ( x + 3 ) × ( x + 2 ) × ( x + 1) + 1 4
(x
2
+ 3x ) × ( x 2 + 3x + 2 ) + 1 4 t = x2 + 3x
2016 × 2015 × 2014 × 2013 + 1 = 4 = = =
(x
2
: ﻨﻀﻊ
+ 3x ) × ( x 2 + 3x + 2 ) + 1 4
t × (t + 2) + 1 4 t 2 + 2t + 1 4
( t + 1)
2
4
t +1 2 x 2 + 3x + 1 = 2 20132 + 3 × 2013 + 1 = 2 4052169 + 6039 + 1 4058209 = = 2 2 =
107
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 xو
ددان
y
ن أن :
ن و
ن ط
x y x2 y 2 3 + 2 + 2 ≥ 2 + y x y x
ﲤﺮﻦ 2 a
و
b
و
ﺒﻴن أن :
و
x
y
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث :
x≤ y
x ax + by y ≤ ≤ y ay + bx x
ﲤﺮﻦ 3 -1
x
أﺤﺴب
و
y
ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤوﺠﺒﺎن ﺒﺤﻴث :
x − y = 16 2
و
xy = 224
x+ y
-2اﺤﺴب :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + 4 28 70 130 208 304 418 550 700
=S
ﲤﺮﻦ 4 اﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ
https://sites.google.com/site/stitmath
108
ا
ا:ذ
ا
ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس واﻟﻌﴩون% 1 ﲤﺮﻦ : ﻝدﻴﻨﺎ x y x2 y 2 x y x2 y2 3 + 2 + 2 − 2 + = 2 + 2 + 2 − 2 + +1 y x x y x y y x 2
x y x y = + − 2 + +1 y x y x 2
x y = + − 1 ≥ 0 y x
3+
x y x2 y2 + 2 ≥ 2 + 2 y x y x
: إذن
2 ﲤﺮﻦ
(
ay > 0
و
bx > 0
)
x≤ y
: ﻝدﻴﻨﺎ
x2 ≤ y2
: ﻴﻌﻨﻲ
( ay ) × x2 ≤ ( ay ) × y 2 ( وbx ) × x 2 ≤ ( bx ) × y 2 : ﻴﻌﻨﻲ bx3 ≤ bxy 2
: ﻴﻌﻨﻲ
bx3 + ( ax 2 y ) ≤ bxy 2 + ( ax 2 y )
: ﻴﻌﻨﻲ
و
: ﻴﻌﻨﻲ
ayx 2 ≤ ay 3 ayx 2 + ( bxy 2 ) ≤ ay 3 + ( bxy 2 )
و
xy ( ax + by ) ≤ y 2 ( ay + bx )
و
x 2 ( bx + ay ) ≤ xy ( by + ax )
1 1 1 1 × xy ( ax + by ) ≤ 2 × y 2 ( ay + bx ) و2 × x 2 ( bx + ay ) ≤ 2 × xy ( by + ax ) : ﻴﻌﻨﻲ 2 y y x x x y × ( ax + by ) ≤ ( ay + bx ) وbx + ay ≤ × ( by + ax ) : ﻴﻌﻨﻲ y x y 1 1 × و1 ≥ x × 1 : ﻴﻌﻨﻲ ≥ x ax + by ay + bx bx + ay y by + ax y ax + by ≥ وax + by ≥ x : ﻴﻌﻨﻲ x ay + bx bx + ay y x ax + by y ≤ ≤ : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ y ay + bx x
3 ﲤﺮﻦ 109
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
x − y = 16 2
( x − y)
(
1
) (
x 2 − 2 xy + y 2 + 4 × xy = 512 + 896
2
(
ا
: ﻝدﻴﻨﺎ-1
= 16 2
)
2
: ﻴﻌﻨﻲ
x 2 − 2 xy + y 2 = 256 × 2 = 512
: إذن
xy = 224
: ﻝدﻴﻨﺎ
2
)
4 × xy = 4 × 224 = 896
: طرف ﺒطرف
2
و
1
:إذن
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺴﺎوﻴﺘﺎن
x 2 + 2 xy + y 2 = 1408
( x + y)
2
= 1408
x + y = 1408 = 2 352
: أي : أي
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ -2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 S= + + + + + + + + 1×4 4×7 7×10 10×13 13×16 16×19 19×22 22×25 25×28 1 4−1 1 7−4 1 10−7 1 13−10 1 16−13 1 19−16 1 22−19 1 25−22 1 28−25 = × + × + × + × + × + × + × + × + × 3 1×4 3 4×7 3 7×10 3 10×13 3 13×16 3 16×19 3 19×22 3 22×25 3 25×28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ×1− + × − + × − + × − + × − + × − + × − + × − + × − 3 4 3 4 7 3 7 10 3 10 13 3 13 16 3 16 19 3 19 22 3 22 25 3 25 28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + − + − + − + − + − + − 3 4 4 7 7 10 10 13 13 16 16 19 19 22 22 25 25 28 1 1 = 1− 3 28 1 27 = × 3 28 1 9× 3 = × 3 28 9 = 28
4 ﲤﺮﻦ π × 22 4
π × 12 2
110
=
π 2
:
2
=π
: ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺸﻜل-
ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرة اﻝﺘﻲ ﻗطرﻫﺎ ﻴﺴﺎويhttps://sites.google.com/site/stitmath
ا
ذ:ا
ا
-ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرﺘﻴن اﻝﺘﻲ ﻗطراﻫﻤﺎ ﻴﺴﺎوﻴﺎن
2
2π =π 2
:
=
π 2
+
π 2
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺸﻜل اﻝﺒﻴﻀﺎوي : 2 π × 12 π 1 − 2 1 − = 1 − 2 1 − 4 4 4 −π = 1− 2 π −2 = 2 2
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ :ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ = ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺸﻜل) -ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرﺘﻴن -ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺸﻜل اﻝﺒﻴﻀﺎوي (
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ ﻫﻲ :
π − 2 2 −π π − π − cm 2 = 2 2 2 −π cm 2 2
https://sites.google.com/site/stitmath
111
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﻴﻤﺜل ﺼﻬرﻴﺞ ﻴﺤﺘوي ﻋﻠﻰ ﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻝﻤﺌﻪ ﺒﺎﻝﻤﺎء اﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻷوﻝﻰ ﺘﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻓﻲ ﺴﺎﻋﺘﺎن واﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻓﻲ
3
ﺴﺎﻋﺎت
إذا ﻓﺘﺤﻨﺎ اﻝﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻓﻲ ﻨﻔس اﻝوﻗت ﻓﻜم ﺴﻴﺴﺘﻐرق ﻤن اﻝوﻗت ﺤﺘﻰ ﻴﻤﺘﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ
ﲤﺮﻦ 2 x
و
و
y
ﺒﻴن أن :
z
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ
1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 ≤ + + x + yz y + xz z + xy 2 yz xz xy 2
ﲤﺮﻦ 3 ABCD
ﻤﺴﺘطﻴل ﻤﺴﺎﺤﺘﻪ
ﺤدد ﻤﺤﻴط اﻝﻤﺴﺘطﻴل
S = 30cm 2
و طول ﻗطرﻩ
BD = 65
P
ﲤﺮﻦ 4 ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ : واﻝﻤﺜﻠﺜﺎن
BAD
و
ABC ACE
اﻝﻸﻀﻼع ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﺒﻴن أن :
ﻤﺜﻠث ﻤﺘﺴﺎوﻴﺎ ﻓﻲ Dو E
DC = BE
https://sites.google.com/site/stitmath
112
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 ﻨﻀﻊ :
V
:ﺤﺠم اﻝﺼﻬرﻴﺞ
S1
:ﺼﺒﻴب اﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻷوﻝﻰ
S2
:ﺼﺒﻴب اﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ
t
:اﻝﻤدة اﻝزﻤﻨﻴﺔ ﺤﺘﻰ ﻴﻤﺘﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒواﺴطﺔ اﻝﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻤﻌﺎ
ﻋﻨد ﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒﺎﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻷوﻝﻰ ﻓﺈن ﺤﺠم اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻫو :ﻴﻌﻨﻲ :
V 2
= S1
ﻋﻨد ﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒﺎﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﺈن ﺤﺠم اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻫو :ﻴﻌﻨﻲ :
V 3
إذن :
V S1 + S 2 6 h 5
V = S2 × 3
= S2
ﻋﻨد ﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒﺎﻝﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻤﻌﺎ ﻓﺈن ﺤﺠم اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻫو :ﻴﻌﻨﻲ :
V = S1 × 2
V 6 × =V 5V 5V 6
ﻴﻌﻨﻲ :
=t
=
V V V + 2 3
V = ( S1 + S2 ) × t
=t
=t
اﻝﻤدة اﻝزﻤﻨﻴﺔ ﻝﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒواﺴطﺔ اﻝﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻤﻌﺎ ﻫﻲ :
1h12 m in
ﲤﺮﻦ 2 2
ﻝدﻴﻨﺎ :
≥0
ﻴﻌﻨﻲ :
x 2 − 2 x yz + yz ≥ 0
ﻴﻌﻨﻲ :
yz 1 1 ≤ × x + yz 2 x yz yz
إذن :
yz 1 ≤ x + yz 2 xyz
)
yz
(x − ﻴﻌﻨﻲ :
x 2 + yz ≥ 2 x yz
ﻴﻌﻨﻲ :
1 1 ≤ x + yz 2 x yz 2
2
2
ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن :
)
1
(
1 xz ≤ y + xz 2 xyz 2
https://sites.google.com/site/stitmath
)
2
(
113
ا
(
3
yz xy 1 1 1 xz + 2 + 2 ≤ + + x + yz y + xz z + xy 2 xyz 2 xyz 2 xyz 4
)
و2و
3
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
1 1 1 1 yz + xz + xy + 2 + 2 ≤ x + yz y + xz z + xy 2 xyz
(
xy + xz + yz ≤
1
: وﻤﻨﻪ
2
( (
6
)
(
7
)
x+ y x+ z y+ z + + 2 2 2
5
x+ z ≥ xz 2 y+z ≥ yz 2
: طرف ﺒطرف
7
)
1 1 1 1 yz + xz + xy + + ≤ ≤ x 2 + yz y 2 + xz z 2 + xy 2 xyz
2
: ﻝدﻴﻨﺎ
≥0
x − 2 xy + y ≥ 0
: ﻴﻌﻨﻲ
x + y ≥ 2 xy
: ﻴﻌﻨﻲ
x+ y ≥ xy 2
: إذن
)
: ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن و
و6و
5
xy + xz + yz ≤ 8
)
x− y
xy + xz + yz ≤
(
ا
و
2
: طرف ﺒطرف
2
(
xy 1 ≤ z + xy 2 xyz
)
ا:ذ
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
2x + 2 y + 2z 2 2 ( x + y + z)
: اي
2
: وﻤﻨﻪ
xy + xz + yz ≤ x + y + z 1 x+ y+z 2 xyz
: اي
: ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن8 و
y 1 1 1 1 x z + 2 + 2 ≤ + + x + yz y + xz z + xy 2 x yz x y z xy z 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 ≤ + + : 2 x + yz y + xz z + xy 2 yz xz xy 2
4
ﻤن
: أي
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
3 ﲤﺮﻦ B
AB 2 + AD 2 = BD 2
(
114
ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
ABD
ﻝدﻴﻨﺎ
: ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن 1
)
AB 2 + AD 2 =
(
2
= 65
: وﻤﻨﻪ
S = 30cm 2
: ﻝدﻴﻨﺎ
65
)
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
(
2
ا
AB × AD = 30
: ﻴﻌﻨﻲ
2 × AB × AD = 2 × 30
: ﻴﻌﻨﻲ
)
: إذن
2 × AB × AD = 60
: طرف ﺒطرف
AB 2 + AD 2 + 2 × AB × AD = 65 + 60 = 125
ا:ذ
2
و
1
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن
( AB + AD )
2
: وﻤﻨﻪ
= 125
: أي
AB + AD = 125 = 5 5 P = 2 × ( AB + AD ) = 2 × 5 5 = 10 5cm
: وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
4 ﲤﺮﻦ
( ﻤﺘﺴﺎوي اﻷﻀﻼع
ACE
( ﻤﺘﺴﺎوي اﻷﻀﻼع
ﻷن اﻝﻤﺜﻠث
BAD
)
ˆ = BAC ˆ + CAE ˆ = BAC ˆ + 60° BAE
: ﻝدﻴﻨﺎ
ˆ = 60° ) ﻷن اﻝﻤﺜﻠثBAD
ˆ = CAB ˆ + BAD ˆ = CAB ˆ + 60° CAD
و
ˆ = 60° CAE
ˆ = CAD ˆ BAE
ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺎن
CAD
و
BAE
اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن: ﻓﺈن
ˆ = CAD ˆ BAE AE = AC AB = AD
DC = BE
115
: إذن
: ﺒﻤﺎ أن : وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا
ذ:ا
ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1 ﻨﻌﺘﺒراﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث : اﻝﻨﻘطﺔ
ﻫﻲ ﻤرﻜز ﻤﺸﺘرك ﻝﻠداﺌرة
O
) ( C1اﻝﺘﻲ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ
r
واﻝداﺌرة ) ( C2اﻝﺘﻲ
( DE ) .ﻫو ﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرة
R
) ( C1و DE = 7cm
اﺤﺴب
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ
S
ﲤﺮﻦ 2 x
و
y
ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن ﺒﺤﻴث : 1 4
ﺒﻴن أن :
x + y =1
≤ xy
ﲤﺮﻦ 3 x
و
y
و
z
-1ﺒﻴن أن :
أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ − 1) ≤ xy
-2اﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
2
(y
− 1) +
xy + yz + xz 2
2
≤ )− 1
(x 2
(z
− 1) +
2
(y
− 1) +
2
(x
ﲤﺮﻦ 4 -1
a
اﺤﺴب
ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤوﺠب ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث : 1 a2
a2 +
-2ﺒﻴن أن :
و
1 a3
a3 +
و
1 a6
a6 +
1 =2 a
a+
و
1 a
a+
5555552 − 3333332 = 444444
https://sites.google.com/site/stitmath
116
ا
ا
ذ:ا
%ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ واﻟﻌﴩون ﲤﺮﻦ 1
ﻝدﻴﻨﺎ ) ( DEﻫو ﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرة ) ( C1ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ
F
إذن ) ( OF ) ⊥ ( DE
ﺒﻤﺎ أن ) ( OF ) ⊥ ( DEو وﻤﻨﻪ :
DE 7 = = 3cm 2 2
ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث
OFE
OE = OD = R
ﻓﺈن ) ( OFواﺴط اﻝﻘطﻌﺔ ] [ DE
= FD = FE
ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ
F
ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن : أي :
R 2 = r 2 + 3,52
أي :
R 2 − r 2 = 12.25cm
)
ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ )
OE 2 = OF 2 + FE 2
1
(
S
( = ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) - ( C2ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) ( C1 ) S = π R2 − π r 2 = π ( R2 − r 2
ﻤن
1
و
2
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن :
S = π ( R 2 − r 2 ) = 3,14 × 12, 25 = 38, 465cm 2
https://sites.google.com/site/stitmath
117
ا
ا
ذ:ا
ﲤﺮﻦ 2 ﻝدﻴﻨﺎ :
ﻴﻌﻨﻲ ( x + y )2 = 12 :ﻴﻌﻨﻲ :
x + y =1
ﻴﻌﻨﻲ :
ﻴﻌﻨﻲ :
x 2 + 2 xy + y 2 − 4 xy = 1 − 4 xy
x 2 + 2 xy + y 2 = 1 x 2 − 2 xy + y 2 = 1 − 4 xy
ﻴﻌﻨﻲ :
= 1 − 4 xy
2
)(x − y
) ﻨﻌﻠم أن ( ( x − y )2 ≥ 0 : ﻴﻌﻨﻲ :
ﻴﻌﻨﻲ :
1 − 4 xy ≥ 0
1 4
إذن :
1 ≥ 4 xy
≤ xy
ﲤﺮﻦ 3 ﻝدﻴﻨﺎ :
2
)
− 1)( y 2 − 1) + 1 ≥ 0
2
ﻴﻌﻨﻲ ( x − 1)( y − 1) + 1 ≥ 0 : ﻴﻌﻨﻲ ( x − 1)( y − 1) + 1 ≥ 0 : ﻴﻌﻨﻲ ( x − 1)( y − 1) ≤ x y : 2
ﻴﻌﻨﻲ : إذن :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
) ≤x y 2
− 1) ≤ xy
2
(y
)− 1
2
(y
− 1) +
(
(x
− 1)( y 2 − 1) + 2
x2 y 2 − x2 − y 2 + 1 + 2 x2 − 1 + y2 − 1 + 2
− 1) + 2
2
(x
2
(x
(
2
ﻴﻌﻨﻲ :
≤ x2 y 2
− 1) +
2
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت
1
و
2
3
2
2
2
2
2
)
(x )
1
2
3
(
طرف ﺒطرف :
2
2
2
2
2
2
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :
(
(
)
( z − 1) + ( x − 1) + ( z − 1) ≤ xy + yz + xz أي 2 ( x − 1) + 2 ( y − 1) + 2 ( z − 1) ≤ xy + yz + xz : أي ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ) ≤ 12 × ( xy + yz + xz ) : xy + yz + xz 2
(
(x
-2ﺤﺴب اﻝﺴؤال 1ﻝدﻴﻨﺎ ( y − 1) ≤ xy : ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ( y −1) + ( z − 1) ≤ yz : و ( x − 1) + ( z − 1) ≤ xz و
)
)( y 2 − 1
( x2 − 1) +
≤ )− 1
2
2
2
(z
− 1) +
2
(y
− 1) +
2
(y
− 1) +
2
(x
− 1) +
2
2
(y
− 1) +
2
(
1 ×2 2
(x
ﲤﺮﻦ 4 -1 ﺤﺴﺎب
1 a2
a2 +
https://sites.google.com/site/stitmath
118
ا
ا:ذ
a+
1 =2 a
2
1 2 a + = 2 a
ا
: ﻝدﻴﻨﺎ : ﺒﻌﻨﻲ
2
1 1 a 2 + 2 × a × + = 4 : ﻴﻌﻨﻲ a a 1 a 2 + 2 + 2 = 4 : ﻴﻌﻨﻲ a 1 a 2 + 2 = 2 : إذن a 1 a 3 + 3 ﺤﺴﺎبa 1 2 1 a + a + 2 = 2 × 2 : ﻝدﻴﻨﺎ a a 1 1 1 1 a × a 2 + a × 2 + × a 2 + × 2 = 4 : ﻴﻌﻨﻲ a a a a 1 1 a 3 + + a + 3 = 4 : ﻴﻌﻨﻲ a a 1 a 3 + 2 + 3 = 4 : ﻴﻌﻨﻲ a 1 a 3 + 3 = 2 : إذن a 1 a 6 + 6 ﺤﺴﺎبa 1 a 2 + 2 = 2 : ﻝدﻴﻨﺎ a 2
2 1 2 a + 2 = 2 : a 2
( a ) + 2 × a × a12 + a12 = 4 : 1 a4 + 2 + 4 = 4 : a 1 a4 + 4 = 2 : a 4 1 2 1 a + 4 a + 2 = 2× 2 : a a 1 1 1 1 a4 × a2 + a4 × 2 + 4 × a2 + 4 × 2 = 4 : a a a a 1 1 a6 + 2 + a2 + 6 = 4 : a a 2 2
119
2
ﻴﻌﻨﻲ ﻴﻌﻨﻲ ﻴﻌﻨﻲ إذن ﻝدﻴﻨﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﻴﻌﻨﻲ
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
ا
1 = 4 : ﻴﻌﻨﻲ a6 1 a 6 + 6 = 2 : إذن a 1 a+ ﺤﺴﺎبa
a6 + 2 +
: ﻝدﻴﻨﺎ 2
1 a+ = a
1 1 a + 2× a × + a a 1 = a+2+ a = 2+2
( )
2
2
=4 a+
1 =2 a
: إذن -2
2
2
5555552 − 3333332 = (111111× 5 ) − (111111× 3) = 1111112 × 52 − 1111112 × 32 = 1111112 × ( 52 − 32 ) = 1111112 × ( 25 − 9 ) = 1111112 ×16 = 1111112 × 42 2
= (111111× 4 ) = 4444442
120
https://sites.google.com/site/stitmath
ا
ا:ذ
ا
ﻠﺘﻮاﺻﻞ9 abderrahimstit@gmail.com
: اﻟﱪﻳﺪ اﻻٕﻟﻜﱰوﱐ
https://sites.google.com/site/stitmath : اﳌﻮﻗﻊ اﻻٕﻟﻜﱰوﱐ : ﺒﻮكQﺴRﲆ اﻟﻔﺎT ﺔUاﻟﺼﻔ https://www.facebook.com/profile.php?id=100009542156143
121
https://sites.google.com/site/stitmath