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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA SECRETARÍA GENERAL DE EDUCACIÓN Y RECREACION DEL ESTADO LARA INSTITUCION DIOCESANO DE BARQUISIMETO

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS REFERENTE AL CONJUNTO Q DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Reporteros: Fabiana Arcalla N° 2 Celiannys Castillo N° 5 Josnalith Díaz N° 8 Yeximar Graterón N° 14 Samuel Jerardo N° 15 1° Año Sección “C” Prof. Namías


CONJUNTO Q DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales permiten expresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se

NÚMEROS RACIONALES

obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por

En las matemáticas se conoce el concepto de números

ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos

racionales para hacer referencia a aquellos indicadores

mitades. Cada porción será 1/2 de la pizza (una parte de

que permiten conocer el cociente entre dos números

dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener

enteros. La noción de racional proviene de ración (parte

la pizza entera (2/2= 1), pueden ser sumados, restados,

de un todo). Los números racionales están formados por

multiplicados o divididos (excepto por cero). El resultado

los números enteros (que pueden expresarse como

de estas operaciones será siempre otro número racional.

cociente: 5= 5/1, 38=38/1) y los números fraccionarios

Como los números enteros pueden ser positivos o

(los números racionales

negativos, se aplica la Ley de Signos. La forma de

no enteros: 2/5, 8/12,

concretar las operaciones variará de acuerdo a la

69/253); cada uno de los

existencia o ausencia de igual denominador en las

números enteros posee

fracciones.

otro

carácter

que

le

sigue; de tal modo que al

LA HISTORIA DE LOS NÚMEROS RACIONALES

-1 le sigue el 0 y a éste el

Hubo una época en que los números no formaban parte

1, sucesivamente, y a su

de la vida cotidiana; existió un día en el que fueron

vez entre cada uno de

descubiertos y durante siglos se creyó que se trataban

éstos existen infinitos números no racionales.

de un elemento independiente del ser humano y de carácter universal y abstracto (cada número representa


la misma cantidad en todos los idiomas y culturas). Sin

aquel momento este aspecto de los conocimientos se

embargo, no siempre fue así y eso nos permite saber

consolidó al punto de que hoy nos resulta difícil separar

que existió un descubrimiento-creación de los números

las matemáticas de nuestra vida y, por ende, los

tal cual hoy lo conocemos y, siendo un producto de la

números racionales.

actividad humana, no es perfecto. número puesto que no podía compararse con algo real,

ORDEN EN Q

representaba la nada y la nada no existe por tanto lo

Relación de orden en Q

tenían absolutamente anulado; a su vez, el 1 tampoco tenía carácter numeral pues era con el que se formaban el resto de los números y por ende no podía tomarse en cuenta de forma independiente. Números Racionales posiblemente hayan sido los pobladores del Antiguo Egipto quienes comenzaron a establecer parámetros claros que definieron a los números racionales tal cual nosotros los conocemos. Los

En

matemáticos de

un orden entre ellas, es decir, podemos encontrar

aquella

época

usaban

fracciones

fracciones

también

es

posible

establecer

unitarias, que son aquellas cuyos denominadores son

fracciones mayores, menores o iguales que otras.

números enteros positivos. En los casos en que

Existe un método sencillo para determinar cuando un

necesitaban fracciones con numeradores no unitarios, los

fraccionario representa más que otro. Aprenderlo te

egipcios apelaban a la suma de fracciones unitarias

permitirá comparar cualquier par de números racionales.

distintas (conocidas como fracción egipcia). A partir de


Los números racionales también representan cantidades,

de la primera fracción por el denominador de la segunda,

por lo tanto unos pueden representar más y otros menos,

luego ponemos el resultado de la multiplicación debajo

es decir, hay una relación de orden entre los mismos.

de la primera fracción.

Debes entonces estar en la capacidad de poder determinar cuando un número fraccionario es mayor que otro. Supón que debemos comparar los números 5959 y 4747, esto es equivalente a responder la pregunta: ¿qué es

Paso 3:

mayor, cada una de las partes que quedan cuando se

Nuevamente sin fijarnos en los −-, multiplicamos el

dividen cinco unidades en nueve pedazos, o las que

numerador de la segunda fracción por el denominador de

resultan de dividir cuatro unidades en siete?

la primera, después ubicamos este resultado debajo de la segunda fracción.

Procederemos de la siguiente manera:

Paso 4:

Paso 1:

Ponemos, entre las fracciones, el mismo símbolo de

Ubicamos las fracciones una a

orden que se deba poner entre las multiplicaciones

lado de la otra.

hechas. En este caso como 3535 es menor que 36,36, ubicamos el símbolo << entre ellos.

Paso 2: Sin tener en cuenta los signos menos (-) que pueda haber, multiplicamos el numerador


Paso 5:

Sin tener en cuenta los signos −-, multiplicamos tres por

Por cada signo negativo que haya en la fracción que

seis: 3×6=183×6=18, luego ponemos el resultado de la

quede del lado mayor, cambiamos el sentido del

multiplicación debajo de la primera fracción.

signo << ó >> que hayamos puesto. En este caso, al no haber signos (-) en el número 4747, dejamos el símbolo << tal y como está.

Paso 3: Nuevamente,

sin

tener

en

cuenta

los

signos −-,

Podemos concluir entonces que 4747 representa más, o

multiplicamos ahora cuatro por cinco: 4×5=204×5=20,

es mayor, que 5959: 47>5947>59. Veamos otro ejemplo,

después ubicamos este resultado debajo de la segunda

comparemos los racionales 3535 y −46-46:

fracción.

Paso 1: Ubicamos los números uno al lado del otro. Paso 2:


ADICIÓN

Y

SUSTRACCIÓN

DE

NÚMEROS

RACIONALES Para suma y resta de números racionales se realiza el mismo procedimiento que ya has estudiado en cursos anteriores para las fracciones y números decimales. Paso4:

Para sumar o restar números decimales infinitos

Como dieciocho es menor que veinte debemos usar el

periódicos o semi-periódicos debes transformarlos a

símbolo

menor

fracción para poder sumarlos con otro número racional.

entonces

el

que así: 18<2018<20. mismo

símbolo

Ponemos entre

las

fracciones: 35<−46.35<-46.

1.1- Adición y sustracción de fracciones con igual

Paso 5:

denominador

Como hay un signo −- en la

Para sumar fracciones con igual denominador, se

fracción que quedo al lado

conserva en denominador y se suman los numeradores.

mayor, −46-46, cambiamos el

Siendo a, b, c diferentes a 0, lo podemos representar de

sentido del signo << una vez,

la siguiente forma;

escribimos entonces >>entre las fracciones. Podemos concluir que 3535 es mayor que −46-46. Esto era

de

esperarse

pues

los

números

negativos

representan deudas y los positivos tenencias. Ahora lo mejor es practicar, así afianzarás lo aprendido y lo recordarás mucho más fácil.


1.2- Adición y sustracción de fracciones con distinto

corresponda. Luego, se realiza la adición o sustracción

denominador

de la misma forma que en el caso anterior (igual

Para sumar fracciones con distinto denominador, se

denominador).

igualan los denominadores de las fracciones, buscando

En el caso que sean 2 fracciones, siendo a, b, c, d

el mínimo común múltiplo entre los denominadores y

diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma;

1.3- Propiedades de la adición en los números racionales En la adicción de números racionales se cumplen las propiedades

de

clausura,

asociativa,

Conmutiva,

elemento neutro y elemento opuesto.

a) Clausura: Quiere decir que si sumamos 2 números racionales, el resultado será un número racional. Por lo tanto, el conjunto de números racionales adición.

es cerrado para la


b) Asociativa: Quiere decir que independiente de como se agrupen los números racionales dentro de la suma, el Ejemplo:

resultado será el mismo.

Entonces; 1/3 y 5/6 son números racionales y su suma,

c)Conmutativa: Quiere decir que puede variar el orden

que es 7/6, también es un número racional.

de los números racionales y el resultado será el mismo.

Ejemplo:


d)Elemento neutro: El cero es el número racional que

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Q

tiene un efecto neutro en la adicción. Procedemos según sea el caso de los denominadores. Cabe destacar que los enteros pueden ser positivos o Ejemplo:

negativos así que debe recordarse la Ley de los signos. Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo + = +;-=Signos diferentes se restan y se coloca el signo del

e) Elemento opuesto: El opuesto de un número racional a, es otro número racional –a, que sumados el resultado es 0.

mayor + - = - ; - + = -

IGUAL DENOMINADOR: Para sumar fracciones con igual denominador, se suman

Ejemplo:

los denominadores y se deja el mismo denominador. En general:


DISTINTO DENOMINADOR:

b.-) Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los

Para esto de buscan dos fracciones equivalentes de los

sumandos no altera la suma, esta propiedad se verifica

dados que tengan el mismo denominador, después se

para cualquiera que sea la terna de números racionales

suman dichas fracciones equivalentes.

que se sumen, y recibe el nombre de propiedad

PROPIEDADES DE LA ADICION EN Q

asociativa de la adición.

Adicion: es la operación matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para

c.-) Elemento Neutro: Cualquier número racional a/b

obtener una cantidad final o total.

sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se llama

Clasificación de la Adición:

elemento neutro de la adición.

Heterogéneas

Homogéneas

d.- Elemento simétrico: en general si a/b es un número

De un mixto y una fracción

racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número

De un mixto con un entero

racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición.

a.-) Propiedad Conmutativa: "El orden de los sumandos no altera la suma" esta propiedad se cumple para

Ejemplos:

cualquiera que sena los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de

4 + 5 = 9 operación : Adición

la adición.

operador : + sumandos : 4 y 5 suma : 9


12 + 8 = 20 operación: Adición

Sumar los términos positivos.

operador : +

Sumar los términos negativos.

sumandos : 12 y 8

Ejemplo:

suma : 20

SUMA ALGEBRAICA Concepto de suma algebraica

Supresión de paréntesis, corchetes y llaves 

Cuando el paréntesis, corchete o llave está

“Es la combinación de suma y resta de números

precedido por el signo más, se suprime, quedando

naturales”. Se llaman términos, a los números de la suma

los

algebraica separados por signos más (términos positivos)

correspondientes signos.

o menos (términos negativos). Si el primer término no

términos

que

encierra

con

sus

precedido por el signo menos, se suprime,

tiene escrito signo, se sobreentiende que tiene signo

cambiando los signos de los términos que

más.

encierra. 

Forma práctica de resolver la suma algebraica 

Dada una expresión, observar primero

orden, para suprimir, primero los paréntesis, en si un

segundo pasó los corchetes, y, por último las

mismo número figura dos veces el mismo 

En la suma algebraica se da un seguimiento y un

llaves.

miembro pero con distinto signo y suprimir.

Se resuelve la suma algebraica

Sumar los términos positivos y restar la suma de

Precediendo del signo, no cambian los signos de

los términos negativos.

los términos que encierra el paréntesis.


Cambia los signos de los términos que encierra.

MULTIPLICACION DE LOS NUEMROS RACIONALES

El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene:  Pasaje de términos Para que no se altere la igualdad, se deben seguir los siguientes pasos. 

El signo igual separa la igualdad en primero y

Obtenemos el numerador por el producto de los numeradores.

Obtenemos el denominador por el producto de los denominadores.

Ejemplo:

segundo miembro 

Cada término pasa de un miembro a otro con la operación contraria; es decir, si está sumando pasa restando y viceversa.

Ejemplo: Si en una igualdad dada se quiere pasar del primer miembro al segundo el número 5, como en el primer miembro está restando, pasa sumando y la igualdad se mantiene. 7+3=4+1+5 10=10

Propiedades

de

la

multiplicación

de

números

racionales Pulsa en las siguientes pestañas para analizar cada una de las propiedades de la multiplicación: 1. Interna 2. Asociativa 3. Conmutativa 4. Elemento neutro 5. Elemento opuesto 6. Distributiva


7. Sacar el factor común

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES La multiplicación entre fracciones es sencilla si se sabe

Interna: El resultado de multiplicar dos números

cómo hacer. En primer lugar, se multiplican los

racionales es otro número racional.

numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera:

La

división

de

dos números

racionales es

43×56×12=4×5×13×6×2=2036=1018=59

otro número racional que tiene:

En este caso el resultado pudo ser simplificado,

Por numerador el producto de los extremos.

dividiendo el numerador y el denominador para el mismo

Por denominador el producto de los medios.

número hasta obtener el mínimo número entero en los dos cocientes. En la multiplicación también existe un elemento inverso

También podemos definir la división de dos números

que da como resultado una unidad, tomando en cuenta

racionales como producto del primero por el inverso

que

del segundo.

racionales si se los expresa como fracción, para

los

números

enteros

también

son

números

explicarlo mejor, se ofrece algunos ejemplos: 13×3=13×31=33=1 Aunque entre fraccionarios no enteros, también sucede el mismo fenómeno:


57×75=3535=1 El producto entre dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador y denominador son los

ejemplo:

productos de los numeradores y denominadores de cada uno de los factores. Veamos un ejemplo:

Para operar más sencillamente conviene simplificar. En

luego:

la multiplicación entre fracciones se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador. c.-) Elemento neutro: el (1) es el elemento neutro de la PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION EN Q

multiplicación de números racionales. Es decir a/b · 1 =

a.-) Conmutativa: en la multiplicación de números

a/b · 1/1 = a/b

racionales del orden de los factores no altera el producto.

ejemplo:

Es decir:

ejemplo:

d.-) Elemento simétrico: cada número racional, distinto de cero, tiene un simétrico o inverso respecto la

b.-) Asociativa: en la multiplicación de los números

multiplicación. Es decir:

racionales la forma de agrupar los factores no altera el

ejemplo:

producto. Es decir:


Para calcular el cociente de un número racional a/b

c/

d basta con multiplicar el dividendo a/b por el inverso del e.-) Distributividad: al multiplicar un número racional por una suma indicada se obtiene el mismo resultado que si

divisor c/d es decir:

multiplicamos este número por cada sumando, luego

Ejemplo:

sumamos. Es decir: ejemplo: dividendo - divisor - cociente

POTENCIACION EN Q Potenciación de los números racionales: =

= Es una multiplicación de factores iguales. En los números

=

iguales

=

enteros vimos que la potencia de b elevado a la n, es decir bn, se obtiene multiplicando la base b por si misma tantas veces como lo indica el exponente n, es decir:

DIVISION EN Q División de Números Racionales:

ejemplo: 24 = 2·2·2·2 = 16 Operaciones de las potencias:


Multiplicación de potencias de igual base: es decir: ejemplo:

ejemplo: 

Potencia de una potencia, es decir

Potencia de un producto, es decir: ejemplo:

ejemplo: Teoremas del conjunto de números racionales: 1. 

División de potencias de igual base:, es decir: 2.


10. 3. 11. bn = b路b路b路 . . . 路 b n veces 4. 12. 5. 13. 6.

7.

8.

9.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

R

A

C

I

O

N

A

L

E

S

2

E

C

U

A

C

I

O N

E

S

3

S

4

T

D

S

5

A

I

U

V

M

I

A

O L

G

E

B

6

A

D

7 8

R

O

R

P

O

T

E

T

U

E

N

C

Q

I

9 10 L

L

A

V

E

11

F

R

A

C

N C

O C

I

O

N

HORIZONTALES 1. Son los números que indican el cociente entre dos números. 2. Igualdad entre dos expresiones algebraicas 5. Ciencia que permite el desarrollo de operaciones matemáticas empleando signos más y/o menos, es decir, términos positivos y negativos.

7. Se obtiene de multiplicar la base tantas veces como lo indique el exponente. 8. Propiedad que consiste en sumar cualquier numero racional con el numero 0 (palabra invertida). 10. Elemento que se usa para resolver sumas o restas con diferentes signos u operaciones combinadas. 11. Operación matemática por la cual se obtiene un numero al dividir un numero entero en partes iguales. VERTICALES 1. Resultado de sustraer una cantidad dada a otro número. 6. Termino con que se conoce el orden entre un conjunto de números, por el cual se establece que unos son mayores que otros. 9. Operación matemática que permite obtener un resultado entre un dividendo y un divisor. 10. Consiste en adicionar un número a otro.


BIBLIOGRAFÍAS

CALCULADORAS NO-REPROVAX

https://definicion.de/numeros-racionales/

http://www.monografias.com/trabajos42/numerosracionales/numeros-racionales2.shtml

https://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curs o/los_numeros/clases_de_numeros/1.do

https://www.portaleducativo.net/primeromedio/25/adicion-sustraccion-numeros-racionales

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Revista matemáticas  
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