REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA SECRETARÍA GENERAL DE EDUCACIÓN Y RECREACION DEL ESTADO LARA INSTITUCION DIOCESANO DE BARQUISIMETO
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS REFERENTE AL CONJUNTO Q DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Reporteros: Fabiana Arcalla N° 2 Celiannys Castillo N° 5 Josnalith Díaz N° 8 Yeximar Graterón N° 14 Samuel Jerardo N° 15 1° Año Sección “C” Prof. Namías
CONJUNTO Q DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales permiten expresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se
NÚMEROS RACIONALES
obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por
En las matemáticas se conoce el concepto de números
ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos
racionales para hacer referencia a aquellos indicadores
mitades. Cada porción será 1/2 de la pizza (una parte de
que permiten conocer el cociente entre dos números
dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener
enteros. La noción de racional proviene de ración (parte
la pizza entera (2/2= 1), pueden ser sumados, restados,
de un todo). Los números racionales están formados por
multiplicados o divididos (excepto por cero). El resultado
los números enteros (que pueden expresarse como
de estas operaciones será siempre otro número racional.
cociente: 5= 5/1, 38=38/1) y los números fraccionarios
Como los números enteros pueden ser positivos o
(los números racionales
negativos, se aplica la Ley de Signos. La forma de
no enteros: 2/5, 8/12,
concretar las operaciones variará de acuerdo a la
69/253); cada uno de los
existencia o ausencia de igual denominador en las
números enteros posee
fracciones.
otro
carácter
que
le
sigue; de tal modo que al
LA HISTORIA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
-1 le sigue el 0 y a éste el
Hubo una época en que los números no formaban parte
1, sucesivamente, y a su
de la vida cotidiana; existió un día en el que fueron
vez entre cada uno de
descubiertos y durante siglos se creyó que se trataban
éstos existen infinitos números no racionales.
de un elemento independiente del ser humano y de carácter universal y abstracto (cada número representa
la misma cantidad en todos los idiomas y culturas). Sin
aquel momento este aspecto de los conocimientos se
embargo, no siempre fue así y eso nos permite saber
consolidó al punto de que hoy nos resulta difícil separar
que existió un descubrimiento-creación de los números
las matemáticas de nuestra vida y, por ende, los
tal cual hoy lo conocemos y, siendo un producto de la
números racionales.
actividad humana, no es perfecto. número puesto que no podía compararse con algo real,
ORDEN EN Q
representaba la nada y la nada no existe por tanto lo
Relación de orden en Q
tenían absolutamente anulado; a su vez, el 1 tampoco tenía carácter numeral pues era con el que se formaban el resto de los números y por ende no podía tomarse en cuenta de forma independiente. Números Racionales posiblemente hayan sido los pobladores del Antiguo Egipto quienes comenzaron a establecer parámetros claros que definieron a los números racionales tal cual nosotros los conocemos. Los
En
matemáticos de
un orden entre ellas, es decir, podemos encontrar
aquella
época
usaban
fracciones
fracciones
también
es
posible
establecer
unitarias, que son aquellas cuyos denominadores son
fracciones mayores, menores o iguales que otras.
números enteros positivos. En los casos en que
Existe un método sencillo para determinar cuando un
necesitaban fracciones con numeradores no unitarios, los
fraccionario representa más que otro. Aprenderlo te
egipcios apelaban a la suma de fracciones unitarias
permitirá comparar cualquier par de números racionales.
distintas (conocidas como fracción egipcia). A partir de
Los números racionales también representan cantidades,
de la primera fracción por el denominador de la segunda,
por lo tanto unos pueden representar más y otros menos,
luego ponemos el resultado de la multiplicación debajo
es decir, hay una relación de orden entre los mismos.
de la primera fracción.
Debes entonces estar en la capacidad de poder determinar cuando un número fraccionario es mayor que otro. Supón que debemos comparar los números 5959 y 4747, esto es equivalente a responder la pregunta: ¿qué es
Paso 3:
mayor, cada una de las partes que quedan cuando se
Nuevamente sin fijarnos en los −-, multiplicamos el
dividen cinco unidades en nueve pedazos, o las que
numerador de la segunda fracción por el denominador de
resultan de dividir cuatro unidades en siete?
la primera, después ubicamos este resultado debajo de la segunda fracción.
Procederemos de la siguiente manera:
Paso 4:
Paso 1:
Ponemos, entre las fracciones, el mismo símbolo de
Ubicamos las fracciones una a
orden que se deba poner entre las multiplicaciones
lado de la otra.
hechas. En este caso como 3535 es menor que 36,36, ubicamos el símbolo << entre ellos.
Paso 2: Sin tener en cuenta los signos menos (-) que pueda haber, multiplicamos el numerador
Paso 5:
Sin tener en cuenta los signos −-, multiplicamos tres por
Por cada signo negativo que haya en la fracción que
seis: 3×6=183×6=18, luego ponemos el resultado de la
quede del lado mayor, cambiamos el sentido del
multiplicación debajo de la primera fracción.
signo << ó >> que hayamos puesto. En este caso, al no haber signos (-) en el número 4747, dejamos el símbolo << tal y como está.
Paso 3: Nuevamente,
sin
tener
en
cuenta
los
signos −-,
Podemos concluir entonces que 4747 representa más, o
multiplicamos ahora cuatro por cinco: 4×5=204×5=20,
es mayor, que 5959: 47>5947>59. Veamos otro ejemplo,
después ubicamos este resultado debajo de la segunda
comparemos los racionales 3535 y −46-46:
fracción.
Paso 1: Ubicamos los números uno al lado del otro. Paso 2:
ADICIÓN
Y
SUSTRACCIÓN
DE
NÚMEROS
RACIONALES Para suma y resta de números racionales se realiza el mismo procedimiento que ya has estudiado en cursos anteriores para las fracciones y números decimales. Paso4:
Para sumar o restar números decimales infinitos
Como dieciocho es menor que veinte debemos usar el
periódicos o semi-periódicos debes transformarlos a
símbolo
menor
fracción para poder sumarlos con otro número racional.
entonces
el
que así: 18<2018<20. mismo
símbolo
Ponemos entre
las
fracciones: 35<−46.35<-46.
1.1- Adición y sustracción de fracciones con igual
Paso 5:
denominador
Como hay un signo −- en la
Para sumar fracciones con igual denominador, se
fracción que quedo al lado
conserva en denominador y se suman los numeradores.
mayor, −46-46, cambiamos el
Siendo a, b, c diferentes a 0, lo podemos representar de
sentido del signo << una vez,
la siguiente forma;
escribimos entonces >>entre las fracciones. Podemos concluir que 3535 es mayor que −46-46. Esto era
de
esperarse
pues
los
números
negativos
representan deudas y los positivos tenencias. Ahora lo mejor es practicar, así afianzarás lo aprendido y lo recordarás mucho más fácil.
1.2- Adición y sustracción de fracciones con distinto
corresponda. Luego, se realiza la adición o sustracción
denominador
de la misma forma que en el caso anterior (igual
Para sumar fracciones con distinto denominador, se
denominador).
igualan los denominadores de las fracciones, buscando
En el caso que sean 2 fracciones, siendo a, b, c, d
el mínimo común múltiplo entre los denominadores y
diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma;
1.3- Propiedades de la adición en los números racionales En la adicción de números racionales se cumplen las propiedades
de
clausura,
asociativa,
Conmutiva,
elemento neutro y elemento opuesto.
a) Clausura: Quiere decir que si sumamos 2 números racionales, el resultado será un número racional. Por lo tanto, el conjunto de números racionales adición.
es cerrado para la
b) Asociativa: Quiere decir que independiente de como se agrupen los números racionales dentro de la suma, el Ejemplo:
resultado será el mismo.
Entonces; 1/3 y 5/6 son números racionales y su suma,
c)Conmutativa: Quiere decir que puede variar el orden
que es 7/6, también es un número racional.
de los números racionales y el resultado será el mismo.
Ejemplo:
d)Elemento neutro: El cero es el número racional que
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Q
tiene un efecto neutro en la adicción. Procedemos según sea el caso de los denominadores. Cabe destacar que los enteros pueden ser positivos o Ejemplo:
negativos así que debe recordarse la Ley de los signos. Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo + = +;-=Signos diferentes se restan y se coloca el signo del
e) Elemento opuesto: El opuesto de un número racional a, es otro número racional –a, que sumados el resultado es 0.
mayor + - = - ; - + = -
IGUAL DENOMINADOR: Para sumar fracciones con igual denominador, se suman
Ejemplo:
los denominadores y se deja el mismo denominador. En general:
DISTINTO DENOMINADOR:
b.-) Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los
Para esto de buscan dos fracciones equivalentes de los
sumandos no altera la suma, esta propiedad se verifica
dados que tengan el mismo denominador, después se
para cualquiera que sea la terna de números racionales
suman dichas fracciones equivalentes.
que se sumen, y recibe el nombre de propiedad
PROPIEDADES DE LA ADICION EN Q
asociativa de la adición.
Adicion: es la operación matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para
c.-) Elemento Neutro: Cualquier número racional a/b
obtener una cantidad final o total.
sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se llama
Clasificación de la Adición:
elemento neutro de la adición.
Heterogéneas
Homogéneas
d.- Elemento simétrico: en general si a/b es un número
De un mixto y una fracción
racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número
De un mixto con un entero
racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición.
a.-) Propiedad Conmutativa: "El orden de los sumandos no altera la suma" esta propiedad se cumple para
Ejemplos:
cualquiera que sena los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de
4 + 5 = 9 operación : Adición
la adición.
operador : + sumandos : 4 y 5 suma : 9
12 + 8 = 20 operación: Adición
Sumar los términos positivos.
operador : +
Sumar los términos negativos.
sumandos : 12 y 8
Ejemplo:
suma : 20
SUMA ALGEBRAICA Concepto de suma algebraica
Supresión de paréntesis, corchetes y llaves
Cuando el paréntesis, corchete o llave está
“Es la combinación de suma y resta de números
precedido por el signo más, se suprime, quedando
naturales”. Se llaman términos, a los números de la suma
los
algebraica separados por signos más (términos positivos)
correspondientes signos.
o menos (términos negativos). Si el primer término no
términos
que
encierra
con
sus
precedido por el signo menos, se suprime,
tiene escrito signo, se sobreentiende que tiene signo
cambiando los signos de los términos que
más.
encierra.
Forma práctica de resolver la suma algebraica
Dada una expresión, observar primero
orden, para suprimir, primero los paréntesis, en si un
segundo pasó los corchetes, y, por último las
mismo número figura dos veces el mismo
En la suma algebraica se da un seguimiento y un
llaves.
miembro pero con distinto signo y suprimir.
Se resuelve la suma algebraica
Sumar los términos positivos y restar la suma de
Precediendo del signo, no cambian los signos de
los términos negativos.
los términos que encierra el paréntesis.
Cambia los signos de los términos que encierra.
MULTIPLICACION DE LOS NUEMROS RACIONALES
El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene: Pasaje de términos Para que no se altere la igualdad, se deben seguir los siguientes pasos.
El signo igual separa la igualdad en primero y
Obtenemos el numerador por el producto de los numeradores.
Obtenemos el denominador por el producto de los denominadores.
Ejemplo:
segundo miembro
Cada término pasa de un miembro a otro con la operación contraria; es decir, si está sumando pasa restando y viceversa.
Ejemplo: Si en una igualdad dada se quiere pasar del primer miembro al segundo el número 5, como en el primer miembro está restando, pasa sumando y la igualdad se mantiene. 7+3=4+1+5 10=10
Propiedades
de
la
multiplicación
de
números
racionales Pulsa en las siguientes pestañas para analizar cada una de las propiedades de la multiplicación: 1. Interna 2. Asociativa 3. Conmutativa 4. Elemento neutro 5. Elemento opuesto 6. Distributiva
7. Sacar el factor común
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES La multiplicación entre fracciones es sencilla si se sabe
Interna: El resultado de multiplicar dos números
cómo hacer. En primer lugar, se multiplican los
racionales es otro número racional.
numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo
DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera:
La
división
de
dos números
racionales es
43×56×12=4×5×13×6×2=2036=1018=59
otro número racional que tiene:
En este caso el resultado pudo ser simplificado,
Por numerador el producto de los extremos.
dividiendo el numerador y el denominador para el mismo
Por denominador el producto de los medios.
número hasta obtener el mínimo número entero en los dos cocientes. En la multiplicación también existe un elemento inverso
También podemos definir la división de dos números
que da como resultado una unidad, tomando en cuenta
racionales como producto del primero por el inverso
que
del segundo.
racionales si se los expresa como fracción, para
los
números
enteros
también
son
números
explicarlo mejor, se ofrece algunos ejemplos: 13×3=13×31=33=1 Aunque entre fraccionarios no enteros, también sucede el mismo fenómeno:
57×75=3535=1 El producto entre dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador y denominador son los
ejemplo:
productos de los numeradores y denominadores de cada uno de los factores. Veamos un ejemplo:
Para operar más sencillamente conviene simplificar. En
luego:
la multiplicación entre fracciones se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador. c.-) Elemento neutro: el (1) es el elemento neutro de la PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION EN Q
multiplicación de números racionales. Es decir a/b · 1 =
a.-) Conmutativa: en la multiplicación de números
a/b · 1/1 = a/b
racionales del orden de los factores no altera el producto.
ejemplo:
Es decir:
ejemplo:
d.-) Elemento simétrico: cada número racional, distinto de cero, tiene un simétrico o inverso respecto la
b.-) Asociativa: en la multiplicación de los números
multiplicación. Es decir:
racionales la forma de agrupar los factores no altera el
ejemplo:
producto. Es decir:
Para calcular el cociente de un número racional a/b
c/
d basta con multiplicar el dividendo a/b por el inverso del e.-) Distributividad: al multiplicar un número racional por una suma indicada se obtiene el mismo resultado que si
divisor c/d es decir:
multiplicamos este número por cada sumando, luego
Ejemplo:
sumamos. Es decir: ejemplo: dividendo - divisor - cociente
POTENCIACION EN Q Potenciación de los números racionales: =
= Es una multiplicación de factores iguales. En los números
=
iguales
=
enteros vimos que la potencia de b elevado a la n, es decir bn, se obtiene multiplicando la base b por si misma tantas veces como lo indica el exponente n, es decir:
DIVISION EN Q División de Números Racionales:
ejemplo: 24 = 2·2·2·2 = 16 Operaciones de las potencias:
Multiplicación de potencias de igual base: es decir: ejemplo:
ejemplo:
Potencia de una potencia, es decir
Potencia de un producto, es decir: ejemplo:
ejemplo: Teoremas del conjunto de números racionales: 1.
División de potencias de igual base:, es decir: 2.
10. 3. 11. bn = b路b路b路 . . . 路 b n veces 4. 12. 5. 13. 6.
7.
8.
9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
R
A
C
I
O
N
A
L
E
S
2
E
C
U
A
C
I
O N
E
S
3
S
4
T
D
S
5
A
I
U
V
M
I
A
O L
G
E
B
6
A
D
7 8
R
O
R
P
O
T
E
T
U
E
N
C
Q
I
9 10 L
L
A
V
E
11
F
R
A
C
N C
O C
I
O
N
HORIZONTALES 1. Son los números que indican el cociente entre dos números. 2. Igualdad entre dos expresiones algebraicas 5. Ciencia que permite el desarrollo de operaciones matemáticas empleando signos más y/o menos, es decir, términos positivos y negativos.
7. Se obtiene de multiplicar la base tantas veces como lo indique el exponente. 8. Propiedad que consiste en sumar cualquier numero racional con el numero 0 (palabra invertida). 10. Elemento que se usa para resolver sumas o restas con diferentes signos u operaciones combinadas. 11. Operación matemática por la cual se obtiene un numero al dividir un numero entero en partes iguales. VERTICALES 1. Resultado de sustraer una cantidad dada a otro número. 6. Termino con que se conoce el orden entre un conjunto de números, por el cual se establece que unos son mayores que otros. 9. Operación matemática que permite obtener un resultado entre un dividendo y un divisor. 10. Consiste en adicionar un número a otro.
BIBLIOGRAFÍAS
CALCULADORAS NO-REPROVAX
https://definicion.de/numeros-racionales/
http://www.monografias.com/trabajos42/numerosracionales/numeros-racionales2.shtml
https://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curs o/los_numeros/clases_de_numeros/1.do
https://www.portaleducativo.net/primeromedio/25/adicion-sustraccion-numeros-racionales
USALAS DIARIAMENTE Y TERMINARAS FELIZMENTE BACHILLERATO.
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