Matemática Financiera
Introducción Es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las operaciones financieras, en donde se intercambian flujos de dinero que pueden sufrir variaciones cuantitativas en el tiempo. Esto se debe a que el capital, gracias al tiempo que pasa depósitado genera intereses
Yenifer Alejandra Hernández de la Cruz 0226- 19-14986
06/06/2022
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1 Matemática financiera
Es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las operaciones financieras, en donde se intercambian flujos de dinero que pueden sufrir variaciones cuantitativas en el tiempo. Esto se debe a que el capital, gracias al tiempo que pasa depósitado genera intereses. Su objetivo es analizar y resolver los innumerables problemas relacionados con las operaciones financieras y crediticias, desde el punto de vista matemático.
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Adquiere mayor importancia para los cálculos mercantiles, ante la multiplicación y el desarrollo de las instituciones financieras y el impacto de la desvalorización monetaria en las inversiones de corto y largo plazo, como consecuencia de la inflación, que hacen más patente la necesidad de adquirir sólidos y actualizados conocimientos en esta área.
Conceptos básicos
Tasa, tanto por ciento o tipo de interés(i): Es el Interés (I): es el precio o número de unidades pagadas rédito que se conviene pagar por cada Q 100.00 presado en por el uso de un dinero un año, como 6.0% anual, tomando en préstamo. significa que al final del año se pagarán Q 6.00 de interés por Factores de interés: El cada Q 100.00 prestados. interés que se paga por un Mientras no se indique lo préstamo, depende de las contario, la tasa de interés se condiciones que se hayan da por año. En el caso de convenido y varía en razón inversiones, se espera directa de la suma de dinero prestado (Capital), del tiempo recuperar una suma mayor que la invertida, por lo que de y de la tasa de interés. esa operación surge el Por consiguiente, en los concepto de TASA DE cálculos de interés intervienen RETORNO, que es las siguientes variables: equivalente a la TASA DE INTERES. • •
Principal (P) o Capital (c): es la suma que se da en préstamo Tiempo (t): es la duración o plazo de operación, como un año, cuatro meses, sesenta días, etc.
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1 Clases de interés
C
Primer mes
I
Segundo mes
I
Tercer mes
I
Solo el capital gana intereses
Interés simple e Interés compuesto Interés simple: se aplica en operaciones a corto plazo (máximo un año) y el interés se calcula sobre el importe que se debe, o sea el capital primitivo que permanece constante. De allí que el interés obtenido es cada intervalo unitario del tiempo es siempre el mismo
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1 Interes compuesto se utiliza en convenio financieros de largo plazo (más de un año ), y no obstante
C
Primer año
Segundo año
I
I
Capital + interés ganan intereses
que se calcula con una tasa fija de interés durante el plazo de una deuda, el
interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo no es siempre el mismo. Esto porque el capital al final de cada período de tiempo se va incrementando por los intereses ganados en el período anterior. Ello equivale a decir que los intereses se CAPITALIZAN, o sea que se convierten a su vez en capital, para producir mayor interés, junto con el capital del período anterior.
Cobro del Interés En el interés SIMPLE, el prestamista puede cobrar el interés en dos formas: Agregando el interés al capital prestado y recibiendo ese TOTAL al final del período; se llama entonces interés añadido Deduciendo el interés de la suma a liquidar al final del plazo y entregándole al prestatario la diferencia, conocido como interés descontado por anticipado
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¿ Cuál es el interés simple sobre Q 500.00, al 8% anual, durante 1 año ? El interés a pagar por el préstamo de Q500.00 será de Q 40.00
I C i t
Variables ? Q 500.00 8% / 100 = 0.08 anual 1 año
I=Cxixt
1
Interes simple
El interés simple es aquel interés que se produce al invertir o prestar una cantidad de dinero durante un periodo de tiempo. En las operaciones de interés simple, el capital inicial permanece constante durante todo el tiempo que dura la inversión o préstamo. Por lo que, al contrario que pasa con el interés compuesto, dicho interés no se acumula al capital inicial, siendo el interés que se genera o paga en todos los periodos iguales, mientras que la tasa de interés y el plazo no varíen. Este tipo de interés se aplica generalmente a los préstamos a corto plazo (un año o menos), que son administrados por las empresas financieras. Se aplica de la misma forma para el dinero invertido en un corto período de tiempo. El interés simple se utiliza en la capitalización simple para calcular el capital en un momento posterior al de la inversión.
Interés simple completo para un año .
I = Q 500.00 x 0.08 x 1 =Q 40.00 C =Q 500.00
I =?
SI
I = es el interés C = capital t = el tiempo, i = la tasa de interés
i = 0.08
El título de la imagen puede escribirse aquí.
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t= 1 año
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Otra formulas
• Para Interés I = Cti
• Para capital C =I/ti • Para tasa de interés i=I/Ct • Para tiempo t = I/Ci
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• ¿ Cuál es el capital prestado a una tasa de interés del 8% anual durante un año que generó un interés simple de Q 40.00? C =I/ti C = 40 / (1)(0.08) C = Q 500.00 El capital prestado fue de Q 500.00
Variables I Q 40.00 C ? i 8% = 0.08 anual t 1 año
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1 Regularmente las operaciones de interés simple se dan en períodos cortos (meses o días). Por lo tanto los factores (t) e (i), se deben expresar en términos de año o sea homogeneizados refiriéndose a la misma unidad de tiempo.
Para año de 360 días (comercial) : No. de días / 360 Para año de 365 días (*366 par año bisiesto): No. de días / 365*
Interés simple en fracción de año
Interés simple ordinario y exacto El interés ordinario (Io) toma como
Ie = Io – 1/73 (Io) De interés EXACTO a ORDINARIO Io = Ie + 1/72 (Ie)
base 360 días para el año; el exacto (Ie), 365 días. En el interés ordinario cada día es igual a 1/360 de año En cambio, en el exacto un día es igual
a 1/365 de año
De interés ORDINARIO a EXACTO
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1
Conversión del interés ordinario a exacto y viceversa
“
Sobre un préstamo se han cobrado Q 0.75 de interés exacto. ¿Cuánto se debería haber pagado con interés ordinario? Ie= Io - (1/73)Io Ie = Q 0.75 - (0.01369863)(Q 0.75)
“
Ie = Q 0.75 - (0.0102..) Ie = Q 0.74
Para realizar esta aplicación se aplican las siguientes fórmulas que establecen las relaciones entre (Io) e (Ie) De Io a Ie
De Ie a Io 05/06/2022
Ie = Io - _1_ Io 73 Io = Ie + _1_ Ie 72
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Alternativas para computar el tiempo en fracciones de año
t el 29,
El número EFECTIVO de días, o sea los que marca calendario en cada mes del año, que pueden ser 28, 30 ó 31 días. Tiempo real.
“
¿ Calcular el interés simple sobre Q 4,000.00, al 8% anual, para un préstamo suscrito el 15 de enero, que vencerá el 20 de junio del mismo año 2020? 20/4 = 5 es un año bisiesto (febrero tiene 29 días)
“
Cuando se tiene que computar el tiempo entre dos fechas establecidas, se puede tomar:
h El número de días SUPONIENDO QUE TODOS LOS MESES DEL AÑO TIENEN 30 días cada uno. Tiempo aproximado.
I = Ci I = Ci I = Cit
I = Ci I = Ci
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_h _ 360 _t _ 360
_h _ 365 _t _ 365
C= 4,000.00 i= 0.08
I=? 15 enero 20 junio (suscripción) (vencimiento)
t= 156 días h= 155 días
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Interés para un año completo más una fracción de año.
“
Cit Ci(t/365)
año
días
“
Con interés EXACTO, año de 365 días
En algunas ocasiones se debe calcular el interés simple para un año completo, más una fracción de año. Por ejemplo, para 1 año y 20 días.
Variación en la tasa de interés
A veces se registra un cambio en las tasas de interés sobre las inversiones, por ejemplo, 7% en 10 días y 8% en 30 días Ci(t/360) I =Cit + Ci
_t´ _ 360
Ci(t´/360)
año
días
Con interés EXACTO, año de 365 días
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Si un deuda no se cancela en la fecha de vencimiento, entra a devengar intereses por mora, que se calculan sobre el valor nominal por el tiempo que se retrasa el pago, a una tasa de interés convenida al suscribirse el documento. Los intereses por mora se calculan por las fórmulas del intéres consignadas anteriormente.
Intereses por mora
Calcular los intereses por mora que habría que cancelar sobre un pagaré
I =Ci(t/360) I = 2,000 (0.12)(40/360) I = Q 26.67
con valor nominal de Q 2,000.00, que debería haberse pagado a 60 días plazo de fecha de suscripción, pero que fue cancelado 40 días después de esa fecha, si la tasa de interés por mora fue convenida en el 12% anual. Usar año comercial.
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Variables C 2,000.00 t 40/360= 0.11 año i 12% = 0.12 I ?
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“
Fraccionamiento de la tasa de interés.
“
Para los cálculos de interés simple, se hace indispensable expresar “t” e “i”, en las mismas unidades de tiempo (homogeneización de datos). Una tasa de interés simple anual es posible fraccionarla para
45/2 = 22.5 % = 0.225 semestral
períodos menores. La tasa del 45% anual podría ser modificada así:
45/4 = 11.25 % = 0.1125 trimestral
45/12 = 3.75 % = 0.0375 mensual 06/06/2022
Para el interés simple es correcto dividir la tasa de interés anual para convertirla a su equivalente en períodos menores, lo cual no es posible en el interés compuesto, en donde deben aplicarse fórmulas para tasas equivalentes.
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Un abarrotero obtuvo un crédito de Q 30,000.00 para un año plazo, a la tasa de interés del 3% BIMESTRAL ¿
Cuánto deberá pagar por intereses al final del año?
“
Aplicación
“
Variables C 30,000.00 t 1 año = 6 bimestres i 3% = 0.03 bimestral t i
I =Cit I = 30,000(0.03)(6) I = Q 5,400.00 I= 30,000 (0.18)(1) I = Q 5,400.00
1 año 3% = 0.03 bimestral (6)= 0.18 anual
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El planteamiento de los
PRESENTE HACIA EL
problemas económicos-financieros
FUTURO.
se desarrolla con base en los
“
Capitalización y actualización
conceptos de CAPITALIZACIÓN
“
Y ACTUALIZACIÓN La CAPITALIZACIÓN implica calcular en fecha futura, en qué suma se convertirá un capital colocado a interés, en una fecha
anterior. Equivale a trasladar y valorizar capitales del
C= Q 500.00
i = 0.06 I = Q 30.00
M = Q 530.00
CAPITAL
MONTO (Capital + interés) VALOR FUTURO OPERACIÓN DE CAPITALIZACIÓN Q 530.00 es el valor acumulado de Q 500.00, colocados a interés simple, al 6% anual en un año
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Aplicación • Se han prestado Q 800.00, al 8% anual de interés simple, durante 300 días, ¿ Cuánto recibirá en TOTAL el acreedor al final del plazo? (usar año comercial ) Variables C Q 800.00 i 8% = 0.08 anual t 300 días = 0.8333.. año M ?Q 853.33
MONTO O VALOR ACTUAL SIMPLE M = C ( 1 +it) M = 800 ( 1+(0.08x0.833…) M= Q 853.33 El total que recibirá el acreedor por el préstamo de Q 800.00 al 8% anual de interés en 300 días será de Q 853.33
Calculo del monto El MONTO se puede considerar como la parte de arriba de una torre, vista desde abajo.
EL VALOR ACTUAL O PRESENTE, es la parte de debajo de la torre, pero vista desde arriba MONTO (M), es la suma del capital (C) más el interés (I) M= C + I I = Cit M = C + (Cit) Sacando factor común
C = Q 800.00
i = 8%
Q 853.33 I = Q 53.33
M=?
M = C ( 1 + it) M = C + Cit
t = 300 días AGREGAR UN PIE DE PÁGINA
¿Qué es la inflación ?
aplicación Un préstamo de Q 1.00 fue suscrito cuando el índice era precios era 110.0, pagándose en un período en que había subido al 120.0. Estimar la pérdida de valor, expresada como por ciento del valor de la moneda en la fecha cuando se otorgó el préstamo.
El crecimiento sostenido y generalizado de los precios de los bienes y servicios que muestra cómo el valor de a moneda va disminuyendo constantemente, cercenando el poder de compra de la población
Índice de precios El grado de inflación se mide mediante los ÍNDICES DE PRECIOS
Vn =
Variables Io 110 In 120 Vn ?
Vn =
Io x 1 In 110 x 1 120
que son cifras porcentuales o relativas que reflejan el nivel medio de los precios de lo bienes y servicios de una economía, con respecto a otro período que se toma como base o nivel de comparación.
Estimación del poder de compra monetario
Vn = 0.92
La relación del nuevo valor de una unidad monetaria (como Q 1.00) con respecto al período BASE, indica la disminución de su poder adquisitivo y se calcula mediante la siguiente fórmula para conversión
Vn = La perdida de valor Pv = 1.00 – 0.92 Pv = Q 0.08 (absoluto) La perdida relativa es: 100-92 =8%
Io x 1 In
Io = IPC del período base In = IPC del período “n” o en curso o actual 1 = La unidad monetaria (principal o capital) Vn = Valor de la moneda en el período “n” AGREGAR UN PIE DE PÁGINA
Sin inflación
Con inflación M=
M=
1.08
1.30
C=1
C=1 i = 0.08
Esta es la razón por la que en países con desvalorización monetaria continuada, las tasas ACTIVAS de interés son altas, porque incluyen no sólo el propio interés por el precio del dinero prestado, sino también un SEUDO-INERÉS para la corrección del valor monetario.
i = 0.296 Aplicación
t =1 Io = 100 =120
t =1 In
Io = 100 120
In =
Con relación a la última aplicación, cual deberá ser la tasa de interés AJUSTADA que deberá pactarse para que, en el valor monetario constante, se mantenga el rendimiento del 8.0% anual, al preverse que el índice de precios durante un año aumentará el 100 al 120.
M Io In i t
Variables 1.08 100 120 0.08 anual 1 año
M = C (1 + it) M = 1.08
i´ = _1.08 1 100 120
i´ = _M_ - 1 Io In i´ = _1.08 - 1 0.833..
i´ = 1.296 -1 i´ = 0.296
i´ = 0.296 i´ = 29.6 %
i´ AGREGAR UN PIE DE PÁGINA
Valuación de obligaciones con interés simple
Diagrama de Tiempo-Valor Cuando en una línea horizontal que representa el tiempo, se sitúan los valores dados en un problema, se obtiene un DIAGRAMA DE TIEMPO-VALOR, que es de utilidad para plantear gráficamente las condiciones para ciertos cálculos financieros
A. VALOR ACUMULADO EN CUALQUIER ÉPOCA Se trata de encontrar un valor futuro mediante la siguiente fórmula: t = h/360 M = C ( 1 + ti ) t = h/365 M = C ( 1 + h/360 x i )
CAPITALIZACIÓN (Valor futuro)
M = C ( 1 + h/365 x i ) TIEMPO Fecha Inicial Fecha Final ACTUALIZACIÓN (Valor actual o presente)
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Se elaborará un diagrama tiempo-valor para un capital inicial de Q 1,000.00, al 12% anual de interés en 30, 60 y 90 días después de la presente fecha, calculando los valores correspondientes. Aplicar año comercial HOY C= Q1,000
Variables C Q 1,000.00 30 días t 60 días 90 días i 0.12 anual M30 ? Q 1,010 M60 ? Q 1,020 M90 ? Q 1,030
M30=? Q1,010
30 días
0
M60 =? Q1020
30 días
30
M 90=? Q1,030
30 días
60
90 días
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M = C ( 1 + ti )
• M30 = 1000 (1+ 30/360 x 0.12) • M30 = Q 1,010.00
• M60 = 1000 (1+ 60/360 x 0.12) • M60 = Q 1,020.00 • M90 = 1000 (1+ 90/360 x 0.12) • M90 = Q 1,030.00
B. VALOR ACTUAL EN CUALQUIER ÉPOCA Se traba de encontrar un valor futuro mediante la siguiente fórmula: C= C=
__M__ ( 1 + ti ) __M__ ( 1 + h/360 x i )
C=
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__M__ ( 1 + h/365 x i )
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Elaborar el diagrama de tiempo-valor considerando un monto de Q 1,030.00, a recibir dentro de 90 días plazo, al 12% anual, y encontrar los valores equivalentes a 30, 60 y 90 días, antes de la fecha de vencimiento. Usar año comercial. M
t
i C30 C60 C90
Variables 1,030 30 días =0.08 año 60 días =0.17 año 90 días =0.25 año 0.12 anual ? ? ?
C90= ? 1,000 Co=1,030
C60=? 1,010
30 días
30 días
90 0 días
60
C30 =? 1,020
30 días 30
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ETAPA I. Valuación de las deudas en la fecha de vencimiento. M=C+I Implica cálculo de monto (M) DEUDA a. No devenga intereses M=Q 1,000.00
M = C ( 1 + ti )
DEUDA b. C = Q 2,000.00 M = Q 2,000.00 ( 1 + (180/360) x 0.08 M = Q 2,080.00
DEUDA c. C = Q 3,000.00 M = Q 3,000.00 ( 1 +1 x 0.10) M = Q 3,300.00
ETAPA II. Valor de la deudas en la fecha focal (hoy). C= __M__ ( 1 + ti ) Se deben calcular valores actuales Nueva tasa de interés o tipo de rendimiento convenido, 4% anual DEUDA a. DEUDA b. DEUDA c. Coincide C = Q 2,080.00 / (1 C = Q 3,300.00 / con la fecha + 0.5 x 0.04) (1 + 1 x 0.04) focal C=Q C = Q 2,039.22 C = Q 3,173.08 1,000.00
ETAPA III. Valor de la deuda en la fecha focal
(X = ?).
X = suma de las deudas X = Q 1,000.00 + Q 2,039.22 + Q 3,173.08 = Q 6,212.30 Q 6,212.30 esta sería la suma a cancelar hoy, por las tres deudas contraídas, bajo la base que en la renegociación el acreedor obtendría un rendimiento del 4% sobre la inversión
a. M= Q 12,000.00+I
30 Fecha inicial (HOY)
30
30
30
30
30
c. Q 4,000.00
c. Para establecer equivalencia TODOS LOS VALORES deben trasladarse a la FECHA FOCAL
Condiciones Originales
b. M = Q10,000.00 + I
a.
Nuevas condiciones Tasa de interés del mercado i = 0.09
b.
d. X =? Pago único Fecha FOCAL
Conclusión La Matemática Financiera es una asignatura muy popularizada, que ha venido a enriquecer el currículo académico de las carreras que ofrece el Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas