TERİM EKLEYEREK VEYA ÇIKARARAK ÇARPANLARA AYIRMA
Etkinlik x4 + x2 + 1 ifadesi veriliyor. • Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırabilir misiniz? Neden?
• Bu ifade x4 + 2x2 + 1 – x2 şeklinde yazılabilir mi? Burada yapılan işlemi tartışınız.
• x4 + 2x2 + 1 – x2 ifadesi çarpanlarına ayrılabilir mi? Neden? FFBazı polinomları çarpanlarına ayırırken terim ekleme veya terim çıkarmanın sağladığı kolaylıkları tartışınız.
Örnek 1. x + 3x + 3x – 7 ifadesini çarpanlarına ayıralım. 3
2
ÇÖZÜM Daha önceki çalışmalarımızdan (x+1)3= x3 + 3x2 + 3x + 1 olduğunu hatırlayarak x3 + 3x2 + 3x – 7 ifadesine 1 ekleyip 1 çıkaralım. x3 + 3x2 + 3x +1 – 7 – 1 = (x+1)3 – 8 = (x+1)3 –23 = (x+1–2) ((x+1)2+2(x+1)+4) = (x–1) (x2+4x+7) olur. 4 2. x + 64 ifadesini çarpanlarına ayıralım. ÇÖZÜM x4 + 64 = (x2)2 + 16x2 + 82 – 16x2 (x2)2 (8)2 İstenen ifadeyi tam kare yapabilmek için yukarıdaki gibi 16x2 terimini ekleyip çıkarırız. (x2 + 8)2 – 16x2 = (x2+ 8)2 – (4x)2 eşitliğinde iki kare farkı özdeşliğinden (x2 + 8)2 – (4x)2 = (x2 + 8 – 4x) (x2 + 8 + 4x) olur. Bu durumda, x2 + 64 = (x2– 4x + 8) (x2+ 4x + 8) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Uygulamalar 1. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) a4 + a2b2 + b4
b) t4+5t2 + 9
c) x3 – 3x2 + 3x + 26
ç) 4m4 + 3m2 + 1
d) x4 + 4 e) x2 – y2 + 6x – 12y – 27 2. x2 + y2 + 6x + 8y + 25 = 0 eşitliğinde x, y ∈ R ise x.y kaçtır? 3. x2 + 2x – 8 ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
60