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Universidad Mariano Gálvez De Guatemala Facultad Ciencias de la Administración Licenciatura en Administración de Empresas Curso: Matemática I Licda. Genoveva Lucas Mazariegos
Libro Evaluación Final
Yaquelin Aracely Valle Valle Carné 4922 20 25711 Fecha 14/11/20
Nueva Concepción, Escuintla.
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INTRODUCCION Las matemรกticas constituyen un conjunto amplio de conocimientos, nacen de la necesidad de resolver problemas prรกcticos encontrando una estrategia de resoluciรณn incorporando nuevos conocimientos.
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Fracciones Algebraicas SUMA La suma o adicción es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumados) en una expresión algebraica (suma). La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. La regla general para sumar es: Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay. Ejemplo:
a, -b, 2c
= a – b +2c
Suma las fracciones algebraicas:
Tenemos que encontrar el común denominador, para ello tenemos que hallar el m.c.m. de los denominadores, notemos que
Por lo tanto
Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente
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Suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracciรณn algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. Ejemplo: Sumar las fracciones algebraicas:
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Multiplicación Una multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión en algebraica en otras palabras y este consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamados multiplicando y multiplicador. Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto. El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Regla: Se factorizan los elementos de las fracciones que van a multiplicarse, si es necesario. Se simplifican los términos que sean comunes en el numerador y el denominador de las fracciones. Se multiplican las fracciones simplificadas. Se simplifica la fracción resultante, hasta llegar a su mínima expresión. Ejemplo:
Cuando es multiplicación entre polinomios se usarán 3 leyes de la potenciación las cuales son: Multiplicación de potencias de bases iguales an⋅am = an+m Potencia de un producto 6
(ab)n=an⋅bn Potencia de potencia
(an)m=anm Ley de Signos Un punto que debemos de tener en cuenta es la ley de signos que usaremos en la multiplicación algebraica. Y esta ley es: La multiplicación de signos iguales es siempre positiva, la multiplicación de signos diferentes es siempre negativa. Leyes de la multiplicación Existen otras leyes que comúnmente son utilizadas que son la ley conmutativa, asociativa y distributiva. Ley conmutativa Esta ley nos indica que podemos intercambiar números de cualquier manera y aun así obtener la mima respuesta al sumarlos o cuando se multipliquen. Por ejemplo:
En la suma 3+5=8 y 5+3=8 , en la multiplicación 3x2=6 y 2x3=6
Ley asociativa Esta ley nos indica que no importa de que manera se agrupen los factores, esta no altera el producto. a(bc)=(ab)ca(bc)=(ab)c Ley Distributiva Esta ley nos dice que la multiplicación de un factor por una suma de dos o más términos es igual a la suma de cada termino multiplicado por el factor dado.
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número o una letra desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la x). Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia. Cuando se inicia un problema y debemos de resolverlo primero debemos de leer bien detenidamente para poder comprender y saber de qué se trata dicho problema y sabremos que nos está pidiendo, también es necesario simbolizar las incógnitas del problema. Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: 8
x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28. Elementos de una ecuación de primer grado Al observar la ilustración siguiente, nos daremos cuenta que en una ecuación intervienen varios elementos.
En este ejemplo podemos observar que una ecuación posee varios elementos: Términos Miembros Incógnitas Términos independientes Resolver una incógnita de primer grado es determinar el valor de la incógnita que satisfaga la igualdad. Los pasos son los siguientes:
Agrupan los términos semejantes. Es decir, proceder a pasar los términos que contengan variables al lado izquierdo de la expresión y las constantes al lado derecho de la expresión. Finalmente, se procede a despejar la incógnita. Ejemplo: 3 – 4x + 9 = 2x Aplicando el procedimiento señalado anteriormente, obtendremos el valor de la para la incógnita que satisface esta expresión formulada. Veámoslo paso a paso. Agrupando términos semejantes de la ecuación de primer grado, tendremos: 3 + 9= 2x + 4x Realizando las operaciones indicadas, tendremos: 12= 6x Finalmente se procede a despejar la incógnita. Así, nos arroja el resultado siguiente: x = 12/6 x=2 9
Ecuaciones simultaneas de dos incógnitas Este es un sistema de ecuaciones simultaneas con dos incógnitas donde cada una de esas involucra dos parámetros desconocidos, donde el valor que se le asigne a cada incógnita en una ecuación, es el mismo que se le deberá asignar en la otra ecuación. Este método consistirá en eliminar una de las variables buscando valores iguales, pero con signo contrario. La variable que queda es despejada para encontrar su valor. Este a su vez se sustituye en cualquier de las ecuaciones para encontrar el valor faltante. A continuación, se dan unos pasos a seguir de la ecuación: 1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iníciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Los métodos de eliminación son: Reducción o eliminación Este método consiste en eliminar una de las variables buscando valores iguales, pero con signo contrario. La variable que queda es despejada para encontrar su valor Método de Sustitución: En este método se despeja la misma variable de cada situación y se igualan ambos resultados realizando las operaciones necesarias. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. Igualdad En este método se despeja la misma variable de cada situación y se igualan ambos resultados realizando las operaciones necesarias. 10
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. Se resuelve la ecuación. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo:
{3x-4y=-6 {2x+4y=16 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación: 3x=-6+4y x= -6+4y/3 2x=16-4y x= 16-4y/2 Igualamos ambas expresiones: -6+4y/3=16+4/2 Resolvemos la ecuación: 2(-6+4y)=3(16-4y)-12+8y=48-12y 8x+12y=48+12 20y=60 y=3 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x: x=-6+4.3/3=-6+12/3 x=2 Solución: x=2,y=3
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Productos notables Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente. Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común. El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva: Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb. Ejemplo: 2x(3x + 4y) = 6x² = 8xy
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
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Un trinomio de la expresión siguiente: cuadrado perfecto.
se conoce como trinomio
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo. Ejemplo:
Simplificando:
Producto de dos binomios con un término común Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo:
Agrupando términos:
Luego:
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Factorización (factorizar un monomio, factor común polinomio y trinomio cuadrado perfecto) La factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
Factorizar un monomio Para factorizar un monomio por completo, escribimos el coeficiente como un producto de primos y desarrollamos la parte variable. Se denomina Factorización de un Monomio a la operación que consiste en separar un Monomio en otros cuya multiplicación da como resultado el mismo Monomio. Factorizar 2xy (2x)·(y) (2)·(xy) (2)·(x)·(y)
Factor común polinomio Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio. Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor. Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.
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Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad, son tres tÊrminos (tambiÊn llamado común) que resulta de elevar al cuadrado un binomio de un trinomio. • • • •
Se ordena el trinomio Se extrae la raĂz cuadrada del primer y tercer tĂŠrminos Se halla el doble producto de las raĂces obtenidas en el paso anterior Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo tĂŠrmino del trinomio y si el primero y tercer tĂŠrminos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal. Se escribe dentro de un parĂŠntesis las raĂces cuadradas del primero y tercer tĂŠrminos, separadas por el signo del segundo tĂŠrmino, y el parĂŠntesis elevado al cuadrado. • đ?‘Ľ 2 + 18đ?‘Ľ + 81 = (x + 9)2 R// RAIZ CUADRADA x 9 2*x*9 = 18x
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¿Qué aprendizaje me dejó el curso de Matemáticas 1 y como puedo como administrador de empresas, aplicar los temas vistos en este curso durante el semestre?
El curso de matemáticas me ha dejado una buena enseñanza ya que he descubrí y aprendí de muchas cosas y con las habilidades que puedo llegar a tener si tengo dedicación y esmero en lo que hago, todo lleva su tiempo hasta las matemáticas son un punto fuerte al cual debemos de tener la debida atención, el poder resolver problemas en matemáticas no es tan simple pero si buscamos herramientas o las debidas y correctas soluciones podremos resolverlo, y es así como pasa en nuestra vida debemos de aprender a ser sensatos con lo que decimos y hacemos ser prudentes y precavidos y así no caer en algo que nos pueda afectar, tener una buena disciplina y responsabilidad ante todo, cuando la Arquitecta nos decía que a las 9.30 empezaba una clase es porque debemos de estar pendientes e ingresar unos minutos antes si es posible porque es así como vamos teniendo responsabilidad con tan mínima que sea ya que en un trabajo si nos dicen a una hora siempre debemos llegar unos minutos antes todo va enlazado con nuestra vida con nuestro progreso, con nuestro futuro y debemos de seguir aprendiendo cada día más para ser mejores personas, ser mejor que ayer y triunfar en el mañana.
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Conclusiones generales Matemáticas es una materia que nos ayuda a desarrollar nuestras habilidades numéricas enriqueciéndonos de muchos temas de los cuales aprendemos día con día, es por ello que cada uno de estos temas vistos fue una pauta importante de nuestro aprendizaje el cual nos ayudara en nuestro progresar. Toda actividad desarrollada en clase fueron bastantes significativas para los que participamos en ella ya que así como nos ayuda en nuestras vida diaria también lo hará para nuestras vida futura como profesionales.
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Bibliografía Algebra A. Baldor Dr. Aurelio Baldor Vigésima segunda impresión 2004 Páginas 40,41 Multiplicación capitulo IV Página 63, 64,65 Productos notables capítulo VI Páginas 97,98, 99 Ecuaciones de primer grado con una incógnita Capitulo VIII Páginas 122, 123,124, 125, 126,127 Trinomio cuadrado perfecto Caso III Páginas 149, 150 Baldor Álgebra de Aurelio Baldor Matemáticas Ilustrador: D.G Terminel y José Luis Mendoza Monroy Edición 2007 Algebra de Baldor 1239 Unidad 2
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