Solutions Manual for Thomas Calculus 12th Edition by Thomas

S o l u t i o n s M a n u a l f o r T h o m a s C a l c u l u s 1 2 t F u l l Dh ot tw p n s l : o / a/ dd :o w n l o a d l i n k . o r g / p / s o l u t i o n s

CHAPTER 17 SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 17.1 SECOND-ORDER LINEAR EQUATIONS 1. yww yw 12y œ 0 Ê r2 r 12 œ 0 Ê r 4 r 3 œ 0 Ê r œ 4 or r œ 3 Ê y œ c1 e4x c2 e 3x 2. 3yww yw œ 0 Ê 3r2 r œ 0 Ê r 3r 1 œ 0 Ê r œ ! or r œ

1 3

Ê y œ c1 e0†x c2 e 3 x Ê y œ c" c2 e 3 x 1

1

3. yww 3yw 4y œ 0 Ê r2 3r 4 œ 0 Ê r 4 r 1 œ 0 Ê r œ 4 or r œ 1 Ê y œ c1 e 4x c2 ex 4. yww 9y œ 0 Ê r2 9 œ 0 Ê r 3 r 3 œ 0 Ê r œ 3 or r œ 3 Ê y œ c1 e3x c2 e 3x 5. yww 4y œ 0 Ê r2 4 œ 0 Ê r 2 r 2 œ 0 Ê r œ 2 or r œ 2 Ê y œ c1 e2x c2 e 2x 6. yww 64y œ 0 Ê r2 64 œ 0 Ê r 8 r 8 œ 0 Ê r œ 8 or r œ 8 Ê y œ c1 e8x c2 e 8x 7. 2yww yw 3y œ 0 Ê 2r2 r 3 œ 0 Ê 2r 3 r 1 œ 0 Ê r œ 8. 9yww y œ 0 Ê 9r2 1 œ 0 Ê 3r 1 3r 1 œ 0 Ê r œ

1 3

3 2

or r œ 1 Ê y œ c1 e 2 x c2 e x 3

or r œ 13 Ê y œ c1 e 3 x c2 e 3 x 1

9. 8yww 10yw 3y œ 0 Ê 8r2 10r 3 œ 0 Ê 4r 1 2r 3 œ 0 Ê r œ 14 or r œ 10. 3yww 20yw 12y œ 0 Ê 3r2 20r 12 œ 0 Ê 3r 2 r 6 œ 0 Ê r œ

2 3

1

3 2

Ê y œ c 1 e 4 x c2 e 2 x 1

3

2

or r œ ' Ê y œ c1 e 3 x c2 e6x

11. yww 9y œ 0 Ê r2 9 œ 0 Ê r œ ! „ 3i Ê y œ e0†x c1 cos 3x c2 sin 3x Ê y œ c1 cos 3x c2 sin 3x 12. yww 4yw 5y œ 0 Ê r2 4r 5 œ 0 Ê r œ

4„È42 4 1 5 2 1

œ 2 „ i Ê y œ e 2x c1 cos x c2 sin x

13. yww 25y œ 0 Ê r2 25 œ 0 Ê r œ ! „ 5i Ê y œ e0†x c1 cos 5x c2 sin 5x Ê y œ c1 cos 5x c2 sin 5x 14. yww y œ 0 Ê r2 1 œ 0 Ê r œ ! „ i Ê y œ e0†x c1 cos x c2 sin x Ê y œ c1 cos x c2 sin x 15. yww 2yw 5y œ 0 Ê r2 2r 5 œ 0 Ê r œ

2 „É 2 2 4 1 5 2 1

œ 1 „ 2i Ê y œ ex c1 cos 2x c2 sin 2x

16. yww 16y œ 0 Ê r2 16 œ 0 Ê r œ ! „ 4i Ê y œ e0†x c1 cos 4x c2 sin 4x Ê y œ c1 cos 4x c2 sin 4x 17. yww 2yw 4y œ 0 Ê r2 2r % œ 0 Ê r œ

2„È22 4 1 % 2 1

18. yww 2yw 3y œ 0 Ê r2 2r 3 œ 0 Ê r œ

2 „É 2 2 4 1 3 2 1

19. yww 4yw 9y œ 0 Ê r2 4r 9 œ 0 Ê r œ

4„È42 4 1 9 2 1

œ 1 „ È3 i Ê y œ e x Šc1 cos È3 x c2 sin È3 x‹

œ 1 „ È2 i Ê y œ ex Šc1 cos È2 x c2 sin È2 x‹

œ 2 „ È5 i Ê y œ e 2x Šc1 cos È5 x c2 sin È5 x‹

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F u l l

d o w n l o a d

a l l

c h a p t e r s

i n s t a n t l y

p l e a

1004 Chapter 17 Second-Order Differential Equations 20. 4yww 4yw 13y œ 0 Ê 4r2 4r 13 œ 0 Ê r œ

4 „É 4 2 4 4 13 2 4

œ

1 2

„ È3 i

Ê y œ e 2 x Šc1 cos È3 x c2 sin È3 x‹ 1

21. yww œ 0 Ê r2 œ 0 Ê r œ !, repeated twice Ê y œ c1 e0†x c2 x e0†x Ê y œ c1 c2 x 22. yww 8yw 16y œ 0 Ê r2 8r 16 œ 0 Ê r 4 2 œ 0 Ê r œ 4, repeated twice Ê y œ c1 e 4x c2 x e 4x 23.

d2 y dx2

dy 4 dx 4y œ 0 Ê r2 4r 4 œ 0 Ê r 2 2 œ 0 Ê r œ 2, repeated twice Ê y œ c1 e 2x c2 x e 2x

24.

d2 y dx2

dy 6 dx 9y œ 0 Ê r2 6r 9 œ 0 Ê r 3 2 œ 0 Ê r œ 3, repeated twice Ê y œ c1 e3x c2 x e3x

25.

d2 y dx2

dy 6 dx 9y œ 0 Ê r2 6r 9 œ 0 Ê r 3 2 œ 0 Ê r œ 3, repeated twice Ê y œ c1 e 3x c2 x e 3x

2

3

3

2 3 2 2x 2x 26. 4 ddxy2 12 dy dx 9y œ 0 Ê 4r 12r 9 œ 0 Ê 2r 3 œ 0 Ê r œ 2 , repeated twice Ê y œ c1 e c2 x e 2

dy 27. 4 ddxy2 4 dx y œ 0 Ê 4r2 4r 1 œ 0 Ê 2r 1 2 œ 0 Ê r œ 21 , repeated twice Ê y œ c1 e 2 x c2 x e 2 x 1

2

1

1

1

dy 28. 4 ddxy2 4 dx y œ 0 Ê 4r2 4r 1 œ 0 Ê 2r 1 2 œ 0 Ê r œ 21 , repeated twice Ê y œ c1 e 2 x c2 x e 2 x 2

dy 29. 9 ddxy2 6 dx y œ 0 Ê 9r2 6r 1 œ 0 Ê 3r 1 2 œ 0 Ê r œ 31 , repeated twice Ê y œ c1 e 3 x c2 x e 3 x 1

2

1

2

2

2 2 2 3x 3x 30. 9 ddxy2 12 dy dx 4y œ 0 Ê 9r 12r 4 œ 0 Ê 3r 2 œ 0 Ê r œ 3 , repeated twice Ê y œ c1 e c2 x e

31. yww 6yw 5y œ 0, y 0 œ 0, yw 0 œ 3 Ê r2 6r 5 œ 0 Ê r 5 r 1 œ 0 Ê r œ 5 or r œ 1 Ê y œ c1 e 5x c2 e x Ê yw œ 5c1 e 5x c2 e x ; y 0 œ 0 Ê c1 c2 œ 0, and yw 0 œ 3 Ê 5c1 c2 œ 3 Ê c1 œ 34 and c2 œ 34 Ê y œ 34 e 5x 34 e x 32. yww 16y œ 0, y 0 œ 2, yw 0 œ 2 Ê r2 16 œ 0 Ê r œ 0 „ 4i Ê y œ c1 cos 4x c2 sin 4x Ê yw œ 4c1 sin 4x 4c2 cos 4x; y 0 œ 2 Ê c1 œ 2, and yw 0 œ 2 Ê 4c2 œ 2 Ê c1 œ 2 and c2 œ 12 Ê y œ 2 cos 4x 12 sin 4x 33. yww 12y œ 0, y 0 œ 0, yw 0 œ 1 Ê r2 12 œ 0 Ê r œ 0 „ 2È3 i Ê y œ c1 cos 2È3 x c2 sin 2È3 x Ê yw œ 2È3 c1 sin 2È3 x 2È3 c2 cos 2È3 x; y 0 œ ! Ê c1 œ 0, and yw 0 œ 1 Ê 2È3 c2 œ 1 Ê c1 œ 0 and c2 œ

1 2È 3

Êyœ

1 sin 2È3 x 2È 3

34. 12yww 5yw 2y œ 0, y 0 œ 1, yw 0 œ 1 Ê 12r2 5r 2 œ 0 Ê 4r 1 $r # œ 0 Ê r œ

1 4

or r œ 23

Ê y œ c1 e 1Î4 x c2 e 2Î3 x Ê yw œ 14 c1 e 1Î4 x 23 c2 e 2Î3 x ; y 0 œ 1 Ê c1 c2 œ 1, and yw 0 œ 1 4 Ê 14 c1 23 c2 œ 1 Ê c1 œ 11 and c2 œ

15 11

4 1 Î4 x Ê y œ 11 e

15 2Î3 x 11 e

35. yww 8y œ 0, y 0 œ 1, yw 0 œ 2 Ê r2 8 œ 0 Ê r œ 0 „ 2È2 i Ê y œ c1 cos 2È2 x c2 sin 2È2 x Ê yw œ 2È2 c1 sin 2È2 x 2È2 c2 cos 2È2 x; y 0 œ 1 Ê c1 œ 1, and yw 0 œ 2 Ê 2È2 c2 œ 2 Ê c1 œ 1 and c2 œ

1 È2

Ê y œ cos 2È2 x

1 È2 sin

2È 2 x

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Section 17.1 Second-Order Linear Equations 1005 36. yww 4yw 4y œ 0, y 0 œ 0, yw 0 œ 1 Ê r2 4r 4 œ 0 Ê r 2 2 œ 0 Ê r œ 2 repeated twice Ê y œ c1 e 2x c2 x e 2x Ê yw œ 2c1 e 2x c2 e 2x 2c2 x e 2x ; y 0 œ 0 Ê c1 œ 0, and yw 0 œ 1 Ê 2c1 c2 œ 1 Ê c1 œ 0 and c2 œ 1 Ê y œ x e 2x 37. yww 4yw 4y œ 0, y 0 œ 1, yw 0 œ 0 Ê r2 4r 4 œ 0 Ê r 2 2 œ 0 Ê r œ 2 repeated twice Ê y œ c1 e2x c2 x e2x Ê yw œ 2c1 e2x c2 e2x 2c2 x e2x ; y 0 œ 1 Ê c1 œ 1, and yw 0 œ 0 Ê 2c1 c2 œ 0 Ê c1 œ 1 and c2 œ 2 Ê y œ e2x 2x e2x 38. 4yww 4yw y œ 0, y 0 œ 4, yw 0 œ 4 Ê 4r2 4r 1 œ 0 Ê 2r 1 2 œ 0 Ê r œ Ê y œ c1 e

1 2x

w

c2 x e

and y 0 œ 4 Ê

1 2x

w

Êy œ

1 2 c1 e

1 2x

c2 e

1 2x

1 2 c2 x e

1 2x

; y 0 œ 4 Ê c1 œ 4, 1

2

Ê y œ c1 e 2 x c2 x e 2 x Ê 3

Ê

3

c2 œ 1 Ê c1 œ 2

1

dy 2 dx 0 œ 1 Ê 4r 12r 9 œ 0 Ê 3 3 dy 3 32 x c2 e 2 x 32 c2 x e 2 x ; dx œ 2 c1 e 3 3 and c2 œ 4 Ê y œ 2e 2 x 4x e 2 x

2

40. 9 ddxy2 12 dy dx 4y œ 0, y 0 œ 1, Ê y œ c1 e Ê

2 3 c1

2 3x

repeated twice

c2 œ 4 Ê c1 œ 4 and c2 œ 2 Ê y œ 4e 2 x 2x e 2 x

1 2 c1

39. 4 ddxy2 12 dy dx 9y œ 0, y 0 œ 2, 32 c1

1 2

c2 x e

2 3x

Ê

dy dx

œ

dy 2 dx 0 œ 1 Ê 9r 12r 4 œ 0 2 2 2 2 2 3x 3x 3x 3 c1 e c2 e 3 c2 x e ; y 0 œ

c2 œ 1 Ê c1 œ 1 and c2 œ

5 3

Ê y œ e

2 3x

2r 3 2 œ 0 Ê r œ 32 repeated twice y 0 œ 2 Ê c1 œ 2, and

Ê $r # 2 œ 0 Ê r œ 1 Ê c1 œ 1, and

2 3

dy dx 0

œ1

repeated twice

dy dx 0

œ1

2 5 3x 3x e

41. yww 2yw 3y œ 0 Ê r2 2r 3 œ 0 Ê r 3 r 1 œ 0 Ê r œ 3 or r œ 1 Ê y œ c1 e3x c2 e x 42. 6yww yw y œ 0 Ê 6r2 r 1 œ 0 Ê 2r 1 3r 1 œ 0 Ê r œ

1 2

or r œ 13 Ê y œ c1 e 2 x c2 e 3 x 1

1

43. 4yww 4yw y œ 0 Ê 4r2 4r 1 œ 0 Ê 2r 1 2 œ 0 Ê r œ 12 repeated twice Ê y œ c1 e 2 x c2 x e 2 x 1

1

44. 9yww 12yw 4y œ 0 Ê 9r2 12r 4 œ 0 Ê 3r 2 2 œ 0 Ê r œ 23 repeated twice Ê y œ c1 e 3 x c2 x e 3 x 2

2

45. 4yww 20y œ 0 Ê 4r2 20 œ 0 Ê r œ ! „ 5i Ê y œ e0†x Šc1 cos È5 x c2 sin È5 x‹ Ê y œ c1 cos È5 x c2 sin È5 x

46. yww 2yw 2y œ 0 Ê r2 2r 2 œ 0 Ê r œ

2„É 2 2 4 1 2 2 1

œ 1 „ i Ê y œ e x c1 cos x c2 sin x

47. 25yww 10yw y œ 0 Ê 25r2 10r 1 œ 0 Ê 5r 1 2 œ 0 Ê r œ 15 repeated twice Ê y œ c1 e 5 x c2 x e 5 x 1

48. 6yww 13yw 5y œ 0 Ê 6r2 13r 5 œ 0 Ê 3r 1 2r 5 œ 0 Ê r œ 49. 4yww 4yw 5y œ 0 Ê 4r2 4r 5 œ 0 Ê r œ 50. yww 4yw 6y œ 0 Ê r2 4r 6 œ 0 Ê r œ

4„É 4 2 4 4 5 2 4

4„É 4 2 4 1 6 2 1

1 3

1

or r œ 52 Ê y œ c1 e 3 x c2 e 2 x 1

5

œ 21 „ i Ê y œ e 2 x c1 cos x c2 sin x 1

œ 2 „ È2 i Ê y œ e 2x Šc1 cos È2 x c2 sin È2 x‹

51. 16yww 24yw 9y œ 0 Ê 16r2 24r 9 œ 0 Ê 4r 3 2 œ 0 Ê r œ

3 4

3

3

repeated twice Ê y œ c1 e 4 x c2 x e 4 x

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1006 Chapter 17 Second-Order Differential Equations 52. 6yww 5yw 6y œ 0 Ê 6r2 5r 6 œ 0 Ê 2r 3 3r 2 œ 0 Ê r œ

3 2

or r œ 23 Ê y œ c1 e 2 x c2 e 3 x 3

2

53. 9yww 24yw 16y œ 0 Ê 9r2 24r 16 œ 0 Ê 3r 4 2 œ 0 Ê r œ 43 repeated twice Ê y œ c1 e 3 x c2 x e 3 x 4

16„É 16 2 4 4 52 2 4

54. 4yww 16yw 52y œ 0 Ê 4r2 16r 52 œ 0 Ê r œ

œ 2 „ 3i Ê y œ e 2x c1 cos 3x c2 sin 3x

55. 6yww 5yw 4y œ 0 Ê 6r2 5r 4 œ 0 Ê 3r 4 2r 1 œ 0 Ê r œ 56. yww 2yw 2y œ 0, y 0 œ 0, yw 0 œ 2 Ê r2 2r 2 œ 0 Ê r œ w

4

4 3

or r œ 12 Ê y œ c1 e 3 x c2 e 2 x 4

2 „É 2 2 4 1 2 2 1

1

œ1„i

Ê y œ e c1 cos x c2 sin x Ê y œ e c1 cos x c2 sin x e c1 sin x c2 cos x ; y 0 œ 0 Ê c1 œ 0, and yw 0 œ 2 Ê c1 c2 œ 2 Ê c1 œ 0 and c2 œ 2 Ê y œ 2ex sin x x

x

x

57. yww 2yw y œ 0, y 0 œ 1, yw 0 œ 1 Ê r2 2r 1 œ 0 Ê r 1 2 œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê y œ c1 e x c2 x e x Ê yw œ c1 e x c2 x e x c2 e x ; y 0 œ 1 Ê c1 œ 1, and yw 0 œ 1 Ê c1 c2 œ 1 Ê c1 œ 1 and c2 œ 2 Ê y œ e x 2x e x 58. 4yww 4yw y œ 0, y 0 œ 1, yw 0 œ 2 Ê 4r2 4r 1 œ 0 Ê #r 1 2 œ 0 Ê r œ 12 , repeated twice Ê y œ c1 e 2 x c2 x e 2 x Ê yw œ 12 c1 e 2 x 12 c2 x e 2 x c2 e 2 x ; y 0 œ 1 Ê c1 œ 1, and yw 0 œ 2 1

1

1

Ê 12 c1 c2 œ 2 Ê c1 œ 1 and c2 œ

1

5 2

1

1

1

Ê y œ e 2 x 52 x e 2 x

59. 3yww yw 14y œ 0, y 0 œ 2, yw 0 œ 1 Ê 3r2 r 14 œ 0 Ê 3r 7 r 2 œ 0 Ê r œ 73 or r œ 2 Ê y œ c1 e 3 x c2 e2x Ê yw œ 73 c1 e 3 x 2c2 e2x ; y 0 œ 2 Ê c1 c2 œ 2, and yw 0 œ 1 Ê 73 c1 2c2 œ 1 7

Ê c1 œ

15 13

7

and c2 œ

11 13

Êyœ

15 7Î3 x 13 e

11 2x 13 e

60. 4yww 4yw 5y œ 0, y 1 œ 1, yw 1 œ 0 Ê 4r2 4r 5 œ 0 Ê r œ

4„É 4 2 4 4 5 2 4

œ 21 „ i

Ê y œ e 2 x c1 cos x c2 sin x Ê yw œ 12 e 2 x c1 cos x c2 sin x e 2 x c1 sin x c2 cos x ; y 1 œ 1 1

1

1

1

1

1

1

1

Ê e 2 c1 œ 1, and yw 1 œ 0 Ê 12 e 2 c1 e 2 c2 œ 0 Ê c1 œ e 2 and c2 œ 12 e 2 1

1

Ê y œ e 2 x ˆ e 2 cos x 12 e 2 sin x‰ 1

61. Let r1 and r2 be real roots with r1 Á r2 . If er1 x and er2 x are linearly independent, then er1 x is not a constant multiple of er2 x r x (and vice versa). Assume that er1 x is a constant multiple of er2 x , then for some nonzero constant c, er1 x œ c er2 x Ê eer12x œ c Ê er1 x r2 x œ c Ê e r1 r2 x œ c. Since r1 Á r2 , c is not a constant, which is a contridiction. Thus er1 x and er2 x are linearly independent.

62. Let r be the only repeated real root. If er x and x er x are linearly independent, then er x is not a constant multiple of x er x (and vice versa). Assume that x er x is a constant multiple of er x , then for some nonzero constant c, x er x œ c er x Ê x er x c er x œ 0 Ê er x x c œ 0 Ê er x œ 0 or x c œ 0. Since er x Á 0 Ê x œ c, thus c is not a constant, which is a contridiction. Thus er x and x er x are linearly independent.

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Section 17.1 Second-Order Linear Equations 1007 63. Let r1 œ α i " and r2 œ α i " be complex roots. If eα x cos " x and eα x sin " x are linearly independent, then eα x cos " x is not a constant multiple of eα x sin " x (and vice versa). Assume that eα x cos " x is a constant multiple of eα x sin " x, then for some nonzero constant c, eα x cos " x œ c eα x sin " x Ê eα x cos " x c eα x sin " x œ 0 Ê eα x cos " x c sin " x œ 0 Ê eα x œ 0 or cos " x c sin " x œ 0. Since eα x Á 0 Ê c œ cot " x, thus c is not a constant, which is a contridiction.

Thus eα x cos " x and eα x sin " x are linearly independent.

64. Let y1 and y2 be linearly independent solutions of P x yww Q x yw R x y œ 0. Let y3 œ y1 y2 Ê y w3 œ y1w y2w Ê y ww3 œ y1ww y2ww . Then P x y ww3 Q x y w3 R x y3 œ P x y1ww y2ww Q x y1w y2w R x y1 y2 œ P x y1ww P x y2ww Q x y1w Q x y2w R x y1 R x y2 œ P x y1ww Q x y1w R x y1 P x y2ww Q x y2w R x y2 œ 0 0 œ 0. Let y4 œ y1 y2 Ê y w4 œ y1w y2w Ê y ww4 œ y1ww y2ww . Then P x y ww4 Q x y4w R x y4 œ P x y1ww y2ww Q x y1w y2w R x y1 y2 œ P x y1ww P x y2ww Q x y1w Q x y2w R x y1 R x y2 œ P x y1ww Q x y1w R x y1 cP x y2ww Q x y2w R x y2 d œ 0 0 œ 0. Thus y3 and y4 are both solutions.

Suppose that y3 is a constant multiple of y4 , then there is a nonzero constant c such that y3 œ c y4 . c Ê y1 y2 œ c y1 y2 . If we solve this equation for y1 we obtain y1 œ 11 c y2 Ê y" is a constant multiple of y2 , which is a contradiction since y1 and y2 are linearly independent Ê y1 y2 and y1 y2 are linearly independent.

65. (a) yww 4y œ 0, y 0 œ 0, y 1 œ 1 Ê r2 4 œ 0 Ê r œ ! „ 2i Ê y œ e0†x c1 cos 2x c2 sin 2x Ê y œ c1 cos 2x c2 sin 2x; y 0 œ 0 Ê c1 œ 0, and y 1 œ 1 Ê c1 œ 1 Ê no solution (b) yww 4y œ 0, y 0 œ 0, y 1 œ 0 Ê r2 4 œ 0 Ê r œ ! „ 2i Ê y œ e0†x c1 cos 2x c2 sin 2x Ê y œ c1 cos 2x c2 sin 2x; y 0 œ 0 Ê c1 œ 0, and y 1 œ 0 Ê c1 œ 0 Ê c1 œ 0, c2 can be any real number Ê y œ c2 sin 2x 66. Let a, b, and c be positive constants, then r œ Case I:

#

b„Èb# 4ac 2a

Èb# 4ac .

2a

There are three cases to consider.

Two distinct real solutions Ê b 4ac 0. Since a, b, and c are positive Ê 4ac 0 and b 0 Ê 4ac 0 and b 0 Ê 0 b# 4ac b# Ê 0 Èb# 4ac b Ê b Èb# 4ac ! and b Èb# 4ac !. Since 2a 0 Ê

Case II:

b œ 2a „

È # r2 œ b 2ab 4ac 0. The general solution lim c1 er1 x c2 er2 x œ 0 0 œ 0. xÄ∞ #

b„Èb# 4ac 2a

0. Thus r1 œ

b Èb# 4ac 2a

0 and

to the differential equation is y œ c1 er1 x c2 er2 x .

One repeated real solution Ê b 4ac œ 0. Since a, b, and c are positive Ê #a 0 and b 0 b Ê r œ 2a 0. The general solution to the differential equation is y œ c1 er x c2 x er x . Since r 0 Ê r 0. lim c1 er x c2 x er x œ lim ˆc1 er x ec2rxx ‰ œ lim c1 er x lim ˆ ec2rxx ‰ xÄ∞

xÄ∞

xÄ∞

xÄ∞

œ 0 lim ˆ rce2 r x ‰ œ 0, using L'hopital's rule to evaluate the limit of the second expression. xÄ∞

Case III: Two complex, nonreal solutions Ê b# 4ac 0 Ê 4ac b# 0. Since a, b, and c are positive Ê #a 0 and b b b 0 Ê 2a 0. The roots are r1 œ 2a

"œ

È4ac b# 2a

È4ac b# i 2a

b and r2 œ 2a

È4ac b# i, 2a

b thus α œ 2a 0 and

0. The general solution to the differential equation is y œ eαx c" cos " x c2 sin " x . Since

1 Ÿ sin " x Ÿ 1 and 1 Ÿ cos " x Ÿ 1 Ê kc# k Ÿ c# sin " x Ÿ kc# k and kc" k Ÿ c" cos " x Ÿ kc" k Ê kc" k kc# k Ÿ c" cos " x c# sin " x Ÿ kc" k kc# k Ê eαx kc" k kc# k Ÿ eαx c" cos " x c# sin " x Ÿ eαx kc" k kc# k lim ceαx kc" k kc# k d œ kc" k kc# k lim eαx œ 0 and lim ceαx kc" k kc# k d œ kc" k kc# k lim eαx œ 0 xÄ∞

xÄ∞

xÄ∞

thus by the Sandwich theorem, lim ceαx c" cos " x c# sin " x d œ 0. xÄ∞

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xÄ∞

1008 Chapter 17 Second-Order Differential Equations 17.2 NONHOMOGENEOUS LINEAR EQUATIONS 1. yww 3yw 10y œ 3 Ê r2 3r 10 œ 0 Ê r 5 r 2 œ 0 Ê r œ 5 or r œ 2 Ê yc œ c1 e5x c2 e 2x ; yp œ A Ê ypw œ 0 Ê ypww œ 0 Ê 0 3 0 10A œ 3 Ê A œ

3 10

Ê y œ c1 e5x c2 e 2x

3 10

2. yww 3yw 10y œ 2x 3 Ê r2 3r 10 œ 0 Ê r 5 r 2 œ 0 Ê r œ 5 or r œ 2 Ê yc œ c1 e5x c2 e 2x ; yp œ Ax B Ê ypw œ A Ê ypww œ 0 Ê 0 3A 10 Ax B œ 2x 3 Ê 10Ax 3A 10B œ 2x 3 Ê 10A œ 2, 3A 10B œ 3 Ê A œ 15 , B œ

9 25

Ê y œ c1 e5x c2 e 2x 15 x

9 25

3. yww yw œ sin x Ê r# r œ 0 Ê r r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1 e0†x c2 ex œ c1 c2 ex ; yp œ A sin x B cos x Ê ypw œ A cos x B sin x Ê ypww œ A sin x B cos x Ê A sin x B cos x A cos x B sin x œ sin x Ê A B sin x A B cos x œ sin x Ê A B œ 1, A B œ 0 Ê A œ 12 , B œ 12 Ê y œ c1 c2 ex 12 sin x 12 cos x 4. yww 2yw y œ x# Ê r2 2r 1 œ 0 Ê r 1 # œ 0 Ê r œ 1 repeated twice Ê yc œ c1 e x c2 x e x ; yp œ Ax# Bx C Ê ypw œ 2Ax B Ê ypww œ 2A Ê Ax# Bx C 2 2Ax B 2A œ x# Ê Ax# 4A B x 2A 2B C œ x# Ê A œ 1, 4A B œ 0, 2A 2B C œ 0 Ê A œ 1, B œ 4, C œ 6 Ê y œ c1 e x c2 x e x x# 4x 6 5. yww y œ cos 3x Ê r# 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ e0†x c1 cos x c2 sin x œ c1 cos x c2 sin x; yp œ A sin 3x B cos 3x Ê ypw œ 3A cos 3x 3B sin 3x Ê ypww œ 9A sin 3x 9B cos 3x Ê 9A sin 3x 9B cos 3x A sin 3x B cos 3x œ cos 3x Ê 8A sin x 8B cos x œ cos 3x Ê 8A œ 0, 8B œ 1 Ê A œ 0, B œ 18 Ê y œ c1 cos x c2 sin x 1) cos 3x 6. yww y œ e#x Ê r# 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ e0†x c1 cos x c2 sin x œ c1 cos x c2 sin x; yp œ A e#x Ê ypw œ 2A e#x Ê ypww œ 4A e#x Ê 4A e#x A e#x œ e#x Ê 5A e#x œ e#x Ê 5A œ 1 ÊAœ

1 5

Ê y œ c1 cos x c2 sin x 15 e#x

7. yww yw 2y œ 20cos x Ê r2 r 2 œ 0 Ê r 2 r 1 œ 0 Ê r œ 2 or r œ 1 Ê yc œ c1 e2x c2 e x ; yp œ A sin x B cos x Ê ypw œ A cos x B sin x Ê ypww œ A sin x B cos x Ê A sin x B cos x A cos x B sin x 2 A sin x B cos x œ 20cos x Ê 3A B sin x A 3B cos x œ 20cos x Ê 3A B œ 0, A 3B œ 20 Ê A œ 2, B œ ' Ê y œ c1 e2x c2 e x 2 sin x 6 cos x 8. yww y œ 2x 3ex Ê r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x; yp œ Ax B Cex Ê ypw œ A Cex Ê ypww œ Cex Ê Cex Ax B Cex œ 2x 3ex Ê Ax B 2Cex œ 2x 3ex Ê A œ 2, B œ 0, 2C œ 3 Ê A œ 2, B œ 0, C œ

3 2

Ê y œ c1 cos x c2 sin x 2x 32 ex

9. yww y œ ex x# Ê r2 1 œ 0 Ê r 1 r 1 œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1 Ê yc œ c1 ex c2 e x ; yp œ Axex Bx# Cx D Ê ypw œ Aex Axex 2Bx C Ê ypww œ 2Aex Axex 2B Ê 2Aex Axex 2B Axex Bx# Cx D œ ex x# Ê 2Aex Bx# Cx 2B D œ ex x# Ê 2A œ 1, B œ 1, C œ 0, 2B D œ 0 Ê A œ 12 , B œ 1, C œ 0, D œ 2 Ê y œ c1 ex c2 e x 12 xex x# 2

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Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1009 10. yww 2yw y œ 6sin 2x Ê r2 2r 1 œ 0 Ê r 1 # œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê yc œ c1 e x c2 xe x ; yp œ A sin 2x B cos 2x Ê ypw œ 2A cos 2x 2B sin 2x Ê ypww œ 4A sin 2x 4B cos 2x Ê 4A sin 2x 4B cos 2x 2 2A cos 2x 2B sin 2x A sin 2x B cos 2x œ 6sin 2x 18 Ê 3A 4B sin 2x 4A 3B cos 2x œ 6sin 2x Ê 3A 4B œ 6, 4A 3B œ 0 Ê A œ 24 25 , B œ 25 Ê y œ c1 e x c2 xe x

24 25

sin 2x

18 25

cos 2x

11. yww yw 6y œ e x 7cos x Ê r2 r 6 œ 0 Ê r 3 r 2 œ 0 Ê r œ 3 or r œ 2 Ê yc œ c1 e3x c2 e 2x ; yp œ Ae x B sin x C cos x Ê ypw œ Ae x B cos x C sin x Ê ypww œ Ae x B sin x C cos x Ê Ae x B sin x C cos x Ae x B cos x C sin x 6 Ae x B sin x C cos x œ e x 7cos x Ê 4Ae x 7B C sin x B 7C cos x œ e x 7cos x Ê 4A œ 1, 7B C œ 0, B 7C œ 7 7 7 3x 2x Ê A œ 14 , B œ 50 , C œ 49 14 e x 50 sin x 49 50 Ê y œ c1 e c2 e 50 cos x 12. yww 3yw 2y œ e x e 2x x Ê r2 3r 2 œ 0 Ê r 1 r 2 œ 0 Ê r œ 1 or r œ 2 Ê yc œ c1 e x c2 e 2x ; yp œ Ax e x Bx e 2x Cx D Ê ypw œ Ae x Ax e x B e 2x 2Bx e 2x C Ê ypww œ 2Ae x Ax e x 4Be 2x 4Bx e 2x Ê 2Ae x Ax e x 4Be 2x 4Bx e 2x 3 Ae x Ax e x B e 2x 2Bx e 2x C 2 Ax e x Bx e 2x Cx D œ e x e 2x x Ê Ax e x B e 2x 2Cx 3C 2D œ e x e 2x x Ê A œ 1, B œ 1, 2C œ 1, 3C 2D œ 0 Ê A œ 1, B œ 1, C œ 12 , D œ 14 Ê y œ c1 e x c2 e 2x x e x x e 2x 12 x 14 13.

d2 y dx2

dy 5 dx œ 15x# Ê r2 5r œ 0 Ê r r 5 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 5 Ê yc œ c1 e0†x c2 e 5x œ c1 c2 e 5x ;

yp œ Ax$ Bx# Cx Ê ypw œ 3Ax# 2Bx C Ê ypww œ 6Ax 2B Ê 6Ax 2B 5 3Ax# 2Bx C œ 15x# Ê 15Ax# 6A 10B x 2B 5C œ 15x# Ê 15A œ 15, 6A 10B œ 0, 2B 5C œ 0 Ê A œ 1, B œ 35 , C œ Ê y œ c1 c2 e 5x x$ 35 x# 14.

d2 y dx2

dy dx

6 25

6 25 x

œ 8x 3 Ê r2 r œ 0 Ê r r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1 e0†x c2 e1†x œ c1 c2 ex ;

yp œ Ax2 Bx Ê ypw œ 2Ax B Ê ypww œ 2Ax Ê 2A 2Ax B œ 8x 3 Ê 2Ax 2A B œ 8x 3 Ê 2A œ 8, 2A B œ 3 Ê A œ 4, B œ 5 Ê y œ c1 c2 ex 4x# 5x 15.

d2 y dx2

dy 3 dx œ e3x 12x Ê r2 3r œ 0 Ê r r 3 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 3 Ê yc œ c1 e0†x c2 e3x œ c1 c2 e3x ;

yp œ Ax e3x Bx# Cx Ê ypw œ Ae3x 3Ax e3x 2Bx C Ê ypww œ 6Ae3x 9Axe3x 2B Ê 6Ae3x 9Axe3x 2B 3 Ae3x 3Ax e3x 2Bx C œ e3x 12x Ê 3Ae3x 6Bx 2B 3C œ e3x 12x Ê 3A œ 1, 6B œ 12, 2B 3C œ 0 Ê A œ 13 , B œ 2, C œ 43 Ê y œ c1 c2 e3x 13 x e3x 2x# 43 x 16.

d2 y dx2

dy 7 dx œ 42x# 5x 1 Ê r2 7r œ 0 Ê r r 7 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 7 Ê yc œ c1 e0†x c2 e 7x œ c1 c2 e 7x ;

yp œ Ax$ Bx# Cx Ê ypw œ 3Ax# 2Bx C Ê ypww œ 6Ax 2B

Ê 6Ax 2B 7 3Ax# 2Bx C œ 42x# 5x 1 Ê 21Ax# 6A 14B x 2B 7C œ 42x# 5x 1 Ê 21A œ 42, 6A 14B œ 5, 2B 7C œ 1 Ê A œ 2, B œ 12 , C œ 27 Ê y œ c1 c2 e 7x 2x$ 11 x# 27 x 17. yww yw œ x, Ê r2 r œ 0 Ê r r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1 e0†x c2 e x œ c1 c2 e x Ê y1 œ 1, y2 œ e x Ê v1w œ

0 ºx 1 º0

e x e x º e x e x º

œ

x e x e x

œ x and v2w œ

1 º0 1 º0

0 xº e x e x º

œ

x e

x

œ x ex Ê v1 œ ' x dx œ 21 x# and

v2 œ ' x ex dx œ x ex ex Ê yp œ 12 x# 1 x ex ex e x œ 12 x# x 1 Ê y œ c1 c2 e x 12 x# x

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1010 Chapter 17 Second-Order Differential Equations 18. yww y œ tan x, 12 x Ê

v1w

œ

0 º tan x

sin x cos x º cos x sin x º sin x cos x º

Ê v1 œ '

sin# x cos x dx

œ

1 2

Ê r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x Ê y1 œ cos x, y2 œ sin x

sin x tan x 1

œ'

œ sin x †

cos# x 1 cos x dx

œ

sin x cos x

x œ ' cos cos x #

# x sin cos x

1 cos x

and

v2w

œ

cos x º sin x

0 tan x º sin x cos x º

cos x º sin x

œ

cos x tan x 1

œ cos x †

sin x cos x

œ sin x

dx œ ' cos x sec x dx œ sin x lnksec x tan xk and

v2 œ ' sin x dx œ cos x Ê yp œ sin x lnksec x tan xk cos x cos x sin x œ cos x lnksec x tan xk Ê y œ c1 cos x c2 sin x cos x lnksec x tan xk 19. yww y œ sin x Ê r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x Ê y1 œ cos x, y2 œ sin x Ê v1w œ

0 º sin x

sin x cos x º cos x sin x º sin x cos x º

œ

sin# x 1

œ sin# x and v2w œ

cos x º sin x

0 sin x º sin x cos x º

cos x º sin x

œ

sin x cos x 1

œ sin x cos x

" Ê v1 œ ' sin# x dx œ ' cos 2x dx œ 41 sin 2x 21 x, and v2 œ ' sin x cos x dx œ 21 sin# x 2 Ê yp œ ˆ 14 sin 2x 12 x‰ cos x ˆ 12 sin# x‰ sin x œ 12 sin x cos# x 12 x cos x 12 sin x 12 sin x cos# x

œ 12 x cos x 12 sin x Ê y œ c1 cos x c2 sin x 12 x cos x 20. yww 2yw y œ ex Ê r2 2r 1 œ 0 Ê r 1 # œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê yc œ c1 e x c2 x e x Ê y1 œ e x , y2 œ x e x Ê

v1w

œ

0 º ex

e

e x º e x

xe x xe x º xe x e x xe x º x

œ

x e #x

#x

œ x e

and

v2w

e x º e x

œ

0 ex º xe x e x xe

e x º e x

xº

œ

1 e #x

œ e#x Ê v1 œ ' x e#x dx œ 12 x e#x 14 e#x

and v2 œ ' e#x dx œ 12 e#x Ê yp œ ˆ 12 x e#x 14 e#x ‰ e x ˆ 12 e#x ‰ x e x œ 14 ex Ê y œ c1 e x c2 x e x 14 ex 21. yww 2yw y œ e x Ê r2 2r 1 œ 0 Ê r 1 # œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê yc œ c1 e x c2 x e x Ê y1 œ e x , y2 œ x e x Ê

v1w

œ

ºe

0 x

xe x xe x º xe x e x xe x º

e

e x º e x

x

œ

x e #x e #x

œ x and

v2w

œ

e x º e x

0 e xº xe x e x xe

e x º e x

x

º

œ

e #x e #x

œ 1 Ê v1 œ ' x dx œ 12 x#

and v2 œ ' 1dx œ x Ê yp œ ˆ 12 x# ‰ e x x x e x œ 12 x# e x Ê y œ c1 e x c2 x e x 12 x# e x 22. yww y œ x Ê r2 1 œ 0 Ê r 1 r 1 œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1 Ê yc œ c1 ex c2 e x Ê y1 œ ex , y2 œ e x Ê

v1w

œ

0 ºx ex º ex

e x e x º e x e x º

œ

x e 2

x

œ

1 x 2x e

and

v2w

œ

ex º ex ex º ex

0 xº e x e x º

œ

x ex 2

œ 12 x ex Ê v1 œ

1 2

' x e x dx œ 12 x e x 12 e x

and v2 œ 12 ' x ex dx œ 12 x ex 12 ex Ê yp œ ˆ 12 x e x 12 e x ‰ex ˆ 12 x ex 12 ex ‰e x œ x Ê y œ c1 ex c2 e x x 23. yww y œ ex Ê r2 1 œ 0 Ê r 1 r 1 œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1 Ê yc œ c1 ex c2 e x Ê y1 œ ex , y2 œ e x Ê v1w œ

0 º ex ex º ex

e x e x º e x e x º

œ

1 2

œ

1 2

and v2w œ

ex º ex ex º ex

0 ex º e x e x º

œ

e2x 2

œ 12 e2x Ê v1 œ '

1 2

dx œ 12 x and v2 œ 12 ' e2x dx œ 14 e2x

Ê yp œ ˆ 12 x‰ex ˆ 14 e2x ‰e x œ 12 x ex 14 ex Ê y œ c1 ex c2 e x 12 x ex

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Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1011 24. yww y œ sin x Ê r2 1 œ 0 Ê r 1 r 1 œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1 Ê yc œ c1 ex c2 e x Ê y1 œ ex , y2 œ e x Ê

v1w

œ

Ê v1 œ

0 º sin x ex º ex 1 2

e x e x º e x e x º

œ

e

x

sin x 2

1 x 2e

œ

sin x and

v2w

œ

ex º ex ex º ex

0 sin x º e x e x º

œ

ex sin x 2

œ 12 ex sin x

' e x sin x dx œ 14 e x cos x 14 e x sin x and v2 œ 12 ' ex sin x dx œ 14 ex cos x 14 ex sin x

Ê yp œ ˆ 14 e x cos x 14 e x sin x‰ex ˆ 14 ex cos x 14 ex sin x‰e x œ 12 sin x Ê y œ c1 ex c2 e x ex 12 sin x 25. yww 4yw 5y œ 10 Ê r2 4r 5 œ 0 Ê r œ 2x

Ê y1 œ e and v2w œ

2x

cos x, y2 œ e

sin x Ê

v1w

œ

4„È42 4 1 5 2 1

œ 2 „ i Ê y œ e 2x c1 cos x c2 sin x

0 e 2x sin x º 10 e 2x cos x 2e 2x sin x e 2x cos x e 2x sin x º e 2x sin x #e 2x cos x e 2x cos x 2e 2x sin x º º

e 2x cos x 0 º e 2x sin x #e 2x cos x 10 2x 2x e cos x e sin x º e 2x sin x #e 2x cos x e 2x cos x 2e 2x sin x º º

œ

2x

10e e

cos x

4x

œ

10e e

2x

sin x

4x

œ 10e2x sin x

œ 10e2x cos x

Ê v1 œ ' 10e2x sin x dx œ 2e#x cos x 4e#x sin x and v2 œ ' 10e2x cos x dx œ 2e#x sin x 4e#x cos x Ê yp œ 2e#x cos x 4e#x sin x e 2x cos x 2e#x sin x 4e#x cos x e 2x sin x œ 2 Ê y œ e 2x c1 cos x c2 sin x 2 26. yww yw œ 2x Ê r2 r œ 0 Ê r r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1 e0†x c2 ex œ c1 c2 ex Ê y1 œ 1, y2 œ ex Ê

v1w

œ

0 º 2x 1 º0

ex ex º ex ex º

œ

2 x e x ex

œ 2 and x

v2 œ ' ˆ 2e ‰ dx œ x

Ê y œ c1 27.

d2 y dx2

1 ˆ 2 ‰x Ê ln 2 1 e ln 2

1 c2 ex ln 2 ln 2 1 2x

y œ sec x, 12 x

Ê v1w œ œ '

0 º sec x

sin x cos x º cos x sin x º sin x cos x º

sin x cos x dx

œ

1 2

v2w

œ

1 º0

0 2x º 1 ex º 0 ex º

œ

2x ex

œ ˆ 2e ‰ Ê v1 œ ' 2x dx œ x

x yp œ ˆ ln12 2x ‰ 1 ˆ ln 21 1 ˆ 2e ‰ ‰ex œ ˆ ln12

1 x ln 2 2

1 ‰ x ln 2 1 2

œ

and

ln 2 1 x ln 2 ln 2 1 2

Ê r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x Ê y1 œ cos x, y2 œ sin x

sin x sec x 1

œ tan x and v2w œ

cos x º sin x cos x º sin x

0 sec x º sin x cos x º

œ

1 1

œ sin x Ê v1 œ ' tan x dx

œ lnkcos xk and v2 œ ' 1 dx œ x Ê yp œ lnkcos xk cos x x sin x œ cos x lnkcos xk x sin x

Ê y œ c1 cos x c2 sin x cos x lnkcos xk x sin x 28.

d2 y dx2

dy dx

œ ex cos x Ê r2 r œ 0 Ê r r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1 e0†x c2 ex œ c1 c2 ex

Ê y1 œ 1, y2 œ e Ê x

v1w

œ

0 º ex cos x 1 º0

ex ex º

ex ex º

œ

e2x cos x ex

œ ex cos x and v2w œ

1 º0

0 ex cos x º 1 ex º 0 ex º

œ

ex cos x ex

œ cos x

Ê v1 œ ' ex cos x dx œ 12 ex sin x 12 ex cos x and and v2 œ ' cos x dx œ sin x Ê yp œ ˆ 12 ex sin x 12 ex cos x‰ 1 sin x ex œ 12 ex sin x 12 ex cos x Ê y œ c1 c2 ex 12 ex sin x 12 ex cos x 29. yww 5yw œ x e5x , yp œ Ax# e5x Bx e5x Ê ywp œ 5Ax# e5x 2Ax e5x 5Bx e5x B e5x Ê ywwp œ 25Ax# e5x 20Ax e5x 2Ae5x 25Bx e5x 10B e5x Ê 25Ax# e5x 20Ax e5x 2Ae5x 25Bx e5x 10B e5x 5 5Ax# e5x 2Ax e5x 5Bx e5x B e5x œ x e5x 1 1 1 # 5x 1 Ê 10Ax e5x 2A 5B e5x œ x e5x Ê 10A œ 1, 2A 5B œ 0 Ê A œ 10 , B œ 25 Ê yp œ 10 x e 25 x e5x ; r2 5r œ 0 Ê r r 5 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 5 Ê yc œ c1 e0†x c2 e5x œ c1 c2 e5x 1 # 5x 1 Ê y œ c1 c2 e5x 10 x e 25 x e5x

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1012 Chapter 17 Second-Order Differential Equations 30. yww yw œ cos x sin x, yp œ A cos x B sin x Ê ypw œ A sin x B cos x Ê ypww œ A cos x B sin x Ê A cos x B sin x A sin x B cos x œ cos x sin x Ê A B sin x A B cos x œ cos x sin x Ê A B œ 1, A B œ 1 Ê A œ 0, B œ 1 Ê yp œ sin x; r2 r œ 0 Ê r r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1 e0†x c2 ex œ c1 c2 ex Ê y œ c1 c2 e5x sin x 31. yww y œ 2cos x sin x, yp œ Ax sin x Bx cos x Ê ypw œ Ax cos x A sin x Bx sin x B cos x Ê ypww œ Ax sin x 2A cos x Bx cos x 2B sin x Ê Ax sin x 2A cos x Bx cos x 2B sin x Ax sin x Bx cos x œ cos x sin x Ê 2B sin x 2A cos x œ #cos x sin x Ê 2B œ 1, 2A œ 2 Ê A œ 1, B œ 12 Ê yp œ x sin x 12 x cos x; r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x Ê y œ c1 cos x c2 sin x x sin x 12 x cos x 32. yww yw 2y œ x ex , yp œ Ax# ex Bx ex Ê ywp œ Ax# ex 2Ax ex Bx ex B ex Ê ywwp œ Ax# ex 4Ax ex 2Aex Bx ex 2B ex Ê Ax# ex 4Ax ex 2Aex Bx ex 2B ex Ax# ex 2Ax ex Bx ex B ex 2 Ax# ex Bx ex œ x ex Ê 6Ax ex 2A 3B ex œ x e5x Ê 6A œ 1, 2A 3B œ 0 Ê A œ 16 , B œ 19 Ê yp œ 16 x# ex 19 x ex ; r2 r 2 œ 0 Ê r 2 r 1 œ 0 Ê r œ 2 or r œ 1 Ê yc œ c1 e 2x c2 ex Ê y œ c1 e 2x c2 ex 16 x# ex 19 x ex 33.

d2 y dx2

dy dx

œ ex e x Ê r2 r œ 0 Ê r r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1 e0†x c2 ex œ c1 c2 ex

(a) y1 œ 1, y2 œ e Ê x

v1w

œ

0 º e x e

x

ex ex º

ex ex º

1 º0

œ

e2x 1 ex

œ ex e x and v2w œ

1 º0

0 e x e x º 1 ex º 0 ex º

œ

e x e ex

x

œ 1 e 2x

Ê v1 œ ' ex e x dx œ ex e x and v2 œ ' 1 e 2x dx œ x 12 e 2x Ê yp œ ex e x 1 ˆx 12 e 2x ‰ ex œ ex x ex 12 e x Ê y œ c1 c2 ex x ex 12 e x

(b) yp œ Ax ex B e x Ê ywp œ Ax ex A ex B e x Ê ywwp œ Ax ex 2A ex B e x

Ê Ax ex 2A ex B e x Ax ex A ex B e x œ ex e x Ê A ex 2B e x œ ex e x Ê A œ 1, 2B œ 1 Ê A œ 1, B œ 12 Ê y œ c1 c2 ex x ex 12 e x 34.

d2 y dx2

dy 4 dx 4y œ 2e2x Ê r2 4r 4 œ 0 Ê r 2 # œ 0 Ê r œ 2, repeated twice Ê yc œ c1 e2x c2 x e2x

(a) y1 œ e , y2 œ x e 2x

2x

Ê

v1w

œ

0 2e2x e2x º 2e2x º

x e2x º e2x 2x e2x x e2x e2x 2x e2x º

œ

2x e4x e4x

œ 2x and

v2w

œ

º

e2x 2e2x

e2x º 2e2x

0 º 2e2x x e2x e2x 2x e2x º

œ

2e4x e4x

œ2

Ê v1 œ ' 2x dx œ x# and v2 œ ' 2 dx œ 2x Ê yp œ x# e2x 2x x e2x œ x# ex Ê y œ c1 e2x c2 x e2x x# ex (b) yp œ Ax# e2x Ê ypw œ #Ax e2x #Ax# e2x Ê ywwp œ #A e2x 8Ax e2x 4Ax# e2x Ê #A e2x 8Ax e2x 4Ax# e2x 4 #Ax e2x #Ax# e2x 4Ax# e2x œ 2e2x Ê #A e2x œ 2e2x Ê 2A œ 2 Ê A œ 1 Ê y œ c1 e2x c2 x e2x x# ex 35.

d2 y dx2

dy 4 dx 5y œ ex 4 Ê r2 4r 5 œ 0 Ê r 5 r 1 œ 0 Ê r œ 5 or r œ 1 Ê yc œ c1 e5x c2 e x

(a) y1 œ e5x , y2 œ e x Ê v1w œ

0 º e x 4 e5x º 5e5x

e x e x º e x e x º

œ

1 %e 6e4x

x

œ

1 4x 6e

2 5x 3e

and v2w œ

e5x 5e5x e5x º 5e5x º

0 º e x 4 e x e x º

œ

e6x 4e5x 6e4x

œ 61 e2x 23 ex

1 4x 2 5x 1 2x Ê v1 œ ' ˆ 16 e 4x 23 e 5x ‰ dx œ 24 e 15 e and v2 œ ' ˆ 16 e2x 23 ex ‰ dx œ 12 e 23 ex 1 4x 2 5x ‰ 5x 1 2x Ê yp œ ˆ 24 e 15 e e 23 ex ‰ e x œ 18 ex 45 Ê y œ c1 e5x c2 e x 18 ex e ˆ 12

4 5 x

(b) yp œ Aex B Ê ypw œ Aex Ê ywwp œ Aex Ê Aex 4Aex 5 Aex B œ ex 4 Ê 8A ex 5B œ e 4 Ê 8A œ 1, 5B œ 4 Ê A œ 18 , B œ 45 Ê y œ c1 e5x c2 e x 18 ex

4 5

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Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1013 36.

d2 y dx2

dy 9 dx œ 9e9x Ê r2 9r œ 0 Ê r r 9 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 9 Ê yc œ c1 e0†x c2 e9x œ c1 c2 e9x

(a) y1 œ 1, y2 œ e

Ê

9x

v1w

œ

º

0 e9x º 9e9x 9e9x 1 e9x º 0 9e9x º

œ

9e18x 9e9x

œ e9x and v2w œ

1 º0 1 º0

0 9e9x º e9x 9e9x º

œ

9e9x 9e9x

œ1

Ê v1 œ ' e9x dx œ 19 e9x and v2 œ ' 1 dx œ x Ê yp œ ˆ 19 e9x ‰ 1 x e9x œ 19 e9x x e9x Ê y œ c1 c2 e9x x e9x (b) yp œ Ax e9x Ê ypw œ 9Ax e9x A e9x Ê ywwp œ 81Ax e9x 18A e9x Ê 81Ax e9x 18A e9x 9 9Ax e9x A e9x œ 9e9x Ê 9A e9x œ 9e9x Ê 9A œ 9 Ê A œ 1 Ê y œ c1 c2 e9x x e9x 37. yww y œ cot x, 0 x 1 Ê r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x Ê y1 œ cos x, y2 œ sin x Ê

v1w

œ

0 º cot x

sin x cos x º cos x sin x º sin x cos x º

œ

sin x cot x 1

œ sin x

Ê v1 œ ' cos x dx œ sin x and v2 œ '

cos x sin x

œ cos x and

cos# x sin x dx

œ'

v2w

1 sin# x sin x dx

œ

cos x º sin x cos x º sin x

0 cot x º sin x cos x º

œ ' sin1 x

œ

sin# x sin x

cos x cot x 1

œ cos x †

cos x sin x

œ

cos# x sin x

dx œ ' csc x sin x dx

œ lnkcsc x cot xk sin x Ê yp œ sin x cos x lnkcsc x cot xk sin x sin x œ sin x lnkcsc x cot xk Ê y œ c1 cos x c2 sin x sin x lnkcsc x cot xk 38. yww y œ csc x, 0 x 1 Ê r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x Ê y1 œ cos x, y2 œ sin x Ê v1w œ

0 º csc x

sin x cos x º cos x sin x º sin x cos x º

œ

sin x csc x 1

œ sin x sin1 x œ 1 and v2w œ

Ê v1 œ ' 1 dx œ x and v2 œ '

cos x sin x dx

cos x º sin x cos x º sin x

0 csc x º sin x cos x º

œ

cos x csc x 1

œ cos x †

1 sin x

œ

cos x sin x

œ ln ksin xk Ê yp œ x cos x ln ksin xk sin x

œ x cos x sin x ln ksin xk Ê y œ c1 cos x c2 sin x x cos x sin x ln ksin xk 39. yww 8yw œ e8x Ê r2 8r œ 0 Ê r r 8 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 8 Ê yc œ c1 e0†x c2 e8x œ c1 c2 e8x ; yp œ Ax e8x Ê ypw œ Ae8x 8Ax e8x Ê ypww œ 16Ae8x 64Ax ex Ê 16Ae8x 64Ax ex 8 Ae8x 8Ax e8x œ e8x Ê 8Ae8x œ e8x Ê 8A œ 1 Ê A œ

1 8

Ê y œ c1 c2 e8x 18 x e8x

40. yww 4y œ sin x Ê r# 4 œ 0 Ê r œ 0 „ 2i Ê yc œ e0†x c1 cos 2x c2 sin 2x œ c1 cos 2x c2 sin 2x; yp œ A sin x B cos x Ê ypw œ A cos x B sin x Ê ypww œ A sin x B cos x Ê A sin x B cos x 4 A sin x B cos x œ sin x Ê 3A sin x 3B cos x œ sin x Ê 3A œ 1, 3B œ 0 Ê A œ 13 , B œ 0 Ê y œ c1 cos 2x c2 sin 2x 13 sin x 41. yww yw œ x3 Ê r2 r œ 0 Ê r r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1 e0†x c2 ex œ c1 c2 ex ; yp œ Ax% Bx$ Cx# Dx Ê ypw œ 4Ax$ 3Bx# 2Cx D Ê ypww œ 12Ax# 6Bx 2C Ê 12Ax# 6Bx 2C 4Ax$ 3Bx# 2Cx D œ x3 Ê 4Ax$ 12A 3B x# 6B 2C x 2C D œ x3 Ê 4A œ 1, 12A 3B œ 0, 6B 2C œ 0, 2C D œ 0 Ê A œ 14 , B œ 1, C œ 3, D œ ' Ê y œ c1 c2 ex 14 x% x$ 3x# 6x 42. yww 4yw 5y œ x 2 Ê r2 4r 5 œ 0 Ê r œ

4„È42 4 1 5 2 1

œ 2 „ i Ê yc œ e 2x c1 cos x c2 sin x

yp œ Ax B Ê ypw œ A Ê ypww œ 0 Ê 0 4A 5 Ax B œ x 2 Ê 5Ax 4A 5B œ x 2 Ê 5A œ 1, 4A 5B œ 2 Ê A œ 15 , B œ

6 25

Ê y œ e 2x c1 cos x c2 sin x 15 x

6 25

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1014 Chapter 17 Second-Order Differential Equations 43. yww 2yw œ x# ex Ê r2 2r œ 0 Ê r r 2 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 2 Ê yc œ c1 e0†x c2 e 2x œ c1 c2 e 2x ; yp œ Ax$ Bx# Cx Dex Ê ypw œ 3Ax# 2Bx C Dex Ê ypww œ 6Ax 2B Dex Ê 6Ax 2B Dex 2 3Ax# 2Bx C Dex œ x# ex Ê 6Ax# 6A 4B x 2B 2C 3Dex œ x# ex Ê 6A œ 1, 6A 4B œ 0, 2B 2C œ 0, 3D œ 1 Ê A œ 16 , B œ 14 , C œ 18 , D œ 13 Ê y œ c1 c2 e 2x 16 x$ 14 x# 18 x 13 ex 44. yww 9y œ 9x cos x Ê r# 9 œ 0 Ê r œ 0 „ 3i Ê yc œ e0†x c1 cos 3x c2 sin 3x œ c1 cos 3x c2 sin 3x; yp œ Ax B C sin x D cos x Ê ypw œ A C cos x D sin x Ê ypww œ C sin x D cos x Ê C sin x D cos x 9 Ax B C sin x D cos x œ 9x cos x Ê 9Ax 9B 8C sin x 8D cos x œ 9x cos x Ê 9A œ 9, 9B œ 0, 8C œ 0, 8D œ 1 Ê A œ 1, B œ 0, C œ 0, D œ 18 Ê y œ c1 cos 3x c2 sin 3x x 18 cos x 45.

d2 y dx2

y œ sec x tan x, 12 x

Ê

v1w

œ

0 º sec x tan x cos x º sin x

sin x cos x º sin x cos x º

œ

1 2

Ê r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x Ê y1 œ cos x, y2 œ sin x

sin x sec x tan x 1

#

œ tan x and

v2w

œ

cos x º sin x

0 sec x tan x º cos x sin x º sin x cos x º

œ

Ê v1 œ ' tan# x dx œ ' 1 sec# x dx œ x tan x and v2 œ ' tan x dx œ '

cos x sec x tan x 1 sin x cos x dx

œ tan x

œ lnkcos x k

Ê yp œ x tan x cos x lnkcos x k sin x œ x cos x sin x sin x lnkcos x k Ê y œ c1 cos x c2 sin x x cos x sin x lnkcos x k 46. yww 3yw 2y œ ex 2e2x Ê r2 3r 2 œ 0 Ê r 1 r 2 œ 0 Ê r œ 1 or r œ 2 Ê yc œ c1 ex c2 e2x ; yp œ Ax e2x Bx ex Ê ypw œ 2Ax e2x A e2x Bx ex Bex Ê ypww œ 4Ax e2x 4A e2x Bx ex 2Bex Ê 4Ax e2x 4A e2x Bx ex 2Bex 3 2Ax e2x A e2x Bx ex Bex 2 Ax e2x Bx ex œ ex 2e2x Ê A e2x Bex œ ex 2e2x Ê A œ 2, B œ 1 Ê A œ 2, B œ 1 Ê y œ c1 ex c2 e2x 2x e2x x ex 47. yw 3y œ ex Ê r 3 œ 0 Ê r œ 3 Ê yc œ c1 e3x ; yp œ Aex Ê ypw œ Aex Ê Aex 3Aex œ ex Ê 2A ex œ ex Ê 2A œ 1 Ê A œ 12 Ê y œ c1 e3x 12 ex 48. yw 4y œ x Ê r 4 œ 0 Ê r œ 4 Ê yc œ c1 e 4x ; yp œ Ax B Ê ypw œ A Ê A 4 Ax B œ x 1 Ê 4Ax A 4B œ x Ê 4A œ 1, A 4B œ 0 Ê A œ 14 , B œ 16 Ê y œ c1 e 4x 14 x

1 16

49. yw 3y œ 5e3x Ê r 3 œ 0 Ê r œ 3 Ê yc œ c1 e3x ; yp œ Ax e3x Ê ypw œ 3Ax e3x A e3x Ê 3Ax e3x A e3x 3Ax e3x œ 5e3x Ê A e3x œ 5e3x Ê A œ 5 Ê y œ c1 e3x 5x e3x 50. yw y œ sin x Ê r 1 œ 0 Ê r œ 1 Ê yc œ c1 e x ; yp œ A sin x B cos x Ê ypw œ A cos x B sin x Ê A cos x B sin x A sin x B cos x œ sin x Ê A B sin x A B cos x œ sin x Ê A B œ 1, A B œ 0 Ê A œ 12 , B œ 12 Ê y œ c1 e x 12 sin x 12 cos x 51.

d2 y dx2

y œ sec# x, 12 x 12 ß y 0 œ yw 0 œ 1 Ê r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x

Ê y1 œ cos x, y2 œ sin x Ê

v1w

œ

0 º sec# x

sin x cos x º cos x sin x º sin x cos x º

œ

sin x sec# x 1

œ sec x tan x and

v2w

œ

cos x º sin x

0 sec# x º cos x sin x º sin x cos x º

œ

cos x sec# x 1

œ sec x

Ê v1 œ ' sec x tan x dx œ sec x and v2 œ ' sec x dx œ lnksec x tan xk Ê yp œ sec x cos x lnksec x tan xk sin x œ 1 sin x lnksec x tan xk Ê y œ c1 cos x c2 sin x 1 sin x lnksec x tan xk; y 0 œ 1 Ê 1 œ c1 1 Ê c1 œ 2; Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1015 dy dx

œ c1 sin x c2 cos x cos x lnksec x tan xk sin x sec x, yw 0 œ 1 Ê 1 œ c2

Ê y œ 2cos x sin x 1 sin x lnksec x tan xk 52.

d2 y dx2

y œ e2x , y 0 œ 0, yw 0 œ

2 2 5 Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x ww yp œ A e Ê œ 2A e Ê yp œ 4A e2x Ê 4A e2x A e2x œ e2x Ê 5A e2x œ e2x Ê 5A œ 1 Ê A œ 15 Ê y œ c1 cos x c2 sin x 15 e2x Ê yw œ c1 sin x c2 cos x 25 e2x ; y 0 œ 0 Ê c1 15 œ 0 Ê c1 œ 15 ; yw 0 œ 25 Ê c2 25 œ 25 Ê c2 œ 0 Ê y œ 15 cos x 15 e2x 2x

ypw

53. yww yw œ x, yp œ

2x

x# 2

x, y 0 œ 0, yw 0 œ 0; yp œ

x# 2

x Ê ywp œ x " Ê ywwp œ 1 Ê yww yw œ 1 x " œ x

Ê x œ x Ê yp satisfies the differential equation. yww yw œ 0 Ê r2 r œ 0 Ê r r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1 e0†x c2 e x œ c1 c2 e x Ê y œ c1 c2 e x

x# 2

x Ê yw œ c2 e x x 1;

y 0 œ 0 Ê 0 œ c1 c2 ß yw 0 œ 0 Ê c2 1 œ 0 Ê c1 œ 1, c2 œ 1 Ê y œ 1 e x

x# 2

x

54. yww y œ x, yp œ 2sin x x, y 0 œ 0, yw 0 œ 0; yp œ 2sin x x Ê ywp œ 2cos x 1 Ê ywwp œ 2sin x Ê yww y œ 2sin x 2sin x x œ x Ê x œ x Ê yp satisfies the differential equation. yww y œ 0 Ê r2 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1 cos x c2 sin x Ê y œ c1 cos x c2 sin x 2sin x x Ê yw œ c1 sin x c2 cos x 2cos x 1; y 0 œ 0 Ê 0 œ c1 ; yw 0 œ 0 Ê 0 œ c2 3 Ê c2 œ 3 Ê y œ 3sin x 2sin x x œ sin x x 55.

1 ww 2y

yw y œ 4ex cos x sin x , yp œ 2ex cos x , y 0 œ 0, yw 0 œ 1; yp œ 2ex cos x Ê ywp œ 2ex cos x 2ex sin x

Ê ywwp œ 4ex sin x Ê 12 yww yw y œ 12 4ex sin x 2ex cos x 2ex sin x 2ex cos x œ 4ex cos x 4ex sin x Ê 4ex cos x 4ex sin x œ 4ex cos x sin x Ê yp satisfies the differential equation. 12 yww yw y œ 0 Ê 12 r# r 1 œ 0 Êrœ

1„É12 4ˆ 12 ‰ 1 2ˆ 12 ‰ e x c1 cos x

œ 1 „ i Ê yc œ e x c1 cos x c2 sin x Ê y œ e x c1 cos x c2 sin x 2ex cos x

Ê yw œ c2 sin x e x c1 sin x c2 cos x 2ex cos x 2ex sin x; y 0 œ 0 Ê c1 2 œ 0 Ê c1 œ 2; w y 0 œ 1 Ê c1 c2 2 œ 1 Ê c2 œ 3 Ê y œ e x 2cos x 3sin x 2ex cos x œ 2 ex e x cos x 3e x sin x 56. yww yw 2y œ 1 2x, yp œ x 1, y 0 œ 0, yw 0 œ 1; yp œ x 1 Ê ywp œ 1 Ê ywwp œ 0 Ê yww yw 2y œ 0 1 2 x 1 œ 1 2x Ê 1 2x œ 1 2x Ê yp satisfies the differential equationÞ yww yw 2y œ 0 Ê r# r 2 œ 0 Ê r 2 r 1 œ 0 Ê r œ 2 or r œ 1 Ê yc œ c1 e#x c2 e x Ê y œ c1 e#x c2 e x x 1 Ê yw œ 2c1 e#x c2 e x 1; y 0 œ 0 Ê c1 c2 1 œ 0 Ê c1 c2 œ 1, yw 0 œ 1 Ê 2c1 c2 1 œ 1 Ê 2c1 c2 œ 0. Thus c1 c2 œ 1, 2c1 c2 œ 0 Ê c1 œ 13 , c2 œ 23 Ê y œ 13 e#x 23 e x x 1 57. yww 2yw y œ 2ex , yp œ x# ex , y 0 œ 1, yw 0 œ 0; yp œ x# ex Ê ywp œ x# ex 2x ex Ê ywwp œ x# ex 4x ex 2 ex Ê yww 2yw y œ x# ex 4x ex 2 ex 2 x# ex 2x ex x# ex œ x# ex Ê x# ex œ x# ex Ê yp satisfies the differential equationÞ yww 2yw y œ 0 Ê r# 2r 1 œ 0 Ê r 1 # œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê yc œ c1 ex c2 xex Ê y œ c1 ex c2 xex x# ex Ê yw œ c1 ex c2 xex c2 ex x# ex 2x ex ; y 0 œ 1 Ê c1 œ 1; yw 0 œ 0 Ê c1 c2 œ 0 Ê c2 œ 1 Ê y œ ex xex x# ex 58. yww 2yw y œ x 1 ex , x 0, yp œ x ex ln x, y 1 œ e, yw 1 œ 0; yp œ x ex ln x Ê ywp œ ex x ex ln x ex ln x Ê ywwp œ 2 ex x ex ln x ex ln x ex Ê yww 2yw y œ ˆ2 ex x ex ln x ex ln x x

ex ‰ x w

2 ex x ex ln x ex ln x x ex ln x œ

ex x

Ê

ex x

œ x 1 ex

Ê yp satisfies the differential equationÞ yww 2y y œ 0 Ê r# 2r 1 œ 0 Ê r 1 # œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê yc œ c1 ex c2 xex Ê y œ c1 ex c2 xex x ex ln x Ê yw œ c1 ex c2 xex c2 ex ex x ex ln x ex ln x;

Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

1016 Chapter 17 Second-Order Differential Equations y 1 œ e Ê c1 e c2 e œ e, yw 1 œ 0 Ê c1 e 2c2 e e œ 0 Ê c1 e 2c2 e œ e Ê c1 c2 œ 1, c1 2c2 œ 1 Ê c1 œ 3, c2 œ 2 Ê y œ 3ex 2xex x ex ln x 59. x# yww 2xyw 2y œ x# ß y1 œ x # , y2 œ x 0 » x#

Ê v1w œ

x 1»

x#

x #

º 2x

3

x 1º

x 3x #

œ

œ 13 x3 and v2w œ

x # » 2x 3

0

x# x#

x #

º 2x

»

x 1º

3

œ

x # 3x #

œ

1 3

1 4 1 4 ‰ # Ê v1 œ ' 13 x3 dx œ 12 x and v2 œ ' 13 dx œ 13 x Ê yp œ ˆ 12 x x ˆ 13 x‰ x œ 14 x2

60. x# yww xyw y œ xß y1 œ x 1 , y2 œ x Ê

v1w

º

0

x x# x 1

œ

º x

2

x 1º x 1º

œ

1 2x 1

œ

21 x

and

v2w

œ

x 1 » x 2 x 1 º x 2

0 x x#

»

x 1º

x # 2x 1

œ

œ 12 x 1

Ê v1 œ ' 12 x dx œ 14 x2 and v2 œ ' 12 x 1 dx œ 12 lnlxl Ê yp œ ˆ 14 x2 ‰ x 1 ˆ 12 lnlxl‰ x œ 14 x 12 x lnlxl 17.3 APPLICATIONS 1. mg œ 16 Ê m œ

16 32 ;

2. mg œ 8 lb Ê m œ w

k œ 1; $ œ 1 Ê

8 32 ;

16 d2 y 32 dt2

1 dy dt 1y œ ! Ê

8 œ k † 4 Ê k œ 2; $ œ 1.5 Ê

8 d2 y 32 dt2

1 d2 y 2 dt2

dy dt

y œ !, y ! œ 2, yw ! œ 2

1.5 dy dt 2y œ ! Ê

1 d2 y 4 dt2

3 dy 2 dt

2y œ !, y ! œ 2,

y ! œ 3 dy 25 d2 y 32 dt2 0 † dt 40y œ !. If w œ 25 lb, it stretches the 5 7 7 spring 25 œ 40x Ê x œ 58 ft Ê spring is now stretched 612 85 œ 24 ft below equilibrium Ê y 0 œ 24 ; initial 2 v! ft v! v! in 25 d y 7 w w is v! sec œ 12 sec Ê y ! œ 12 . Thus we have 32 dt2 40y œ !, y 0 œ 24 , y ! œ 12

3. 20 œ k †

1 2

Ê k œ 40; w œ 25 lb Ê m œ

4. w œ 10 lb Ê m œ Ê

2

10 d y 32 dt2

5 dy È2 dt

10 32 ;

25 32 ;

$œ0Ê

2 ‰ 10 œ k † ˆ 12 Ê k œ 60 lbft ; $ œ

20 Èg

œ

20 È32

Ê

10 d2 y 32 dt2

20 dy È32 dt

velocity

60y œ !

60y œ !, y ! œ 14 , yw ! œ 0 #

#

dq 1 d q d q dq di w 5. E t œ 20cos t; R dq dt œ 4 dt ; C q œ 10q; L dt œ 2 dt# Ê 2 dt# 4 dt 10q œ 20cos tß q 0 œ 2, q 0 œ 3 #

w E t œ 300 Ê 2 ddt#q 12 dq dt 16q œ 300ß q 0 œ 0, q 0 œ 0

6. L œ 2, R œ 12, C œ

1 16 ,

7. mg œ 16 Ê m œ

k œ 1; resistance œ velocity Ê $ œ 1 Ê

16 32 ;

Ê 12 r2 r 1 œ ! Ê r2 2r 2 œ 0 Ê r œ

2„È22 4 1 2 2 1

1 d2 y 2 dt2

w 1 dy dt 1y œ !, y ! œ 2, y ! œ 2

œ 1 „ i Ê y œ e t c1 cos t c2 sin t ,

Ê yw œ e t c1 sin t c2 cos t e t c1 cos t c2 sin t ; y ! œ 2 Ê c1 œ 2; yw ! œ 2 Ê c2 c1 œ 2 Ê c2 œ 4 Ê y t œ e t 2 cos t 4 sin t . At t œ 1, y œ e 1 2 cos 1 4sin 1 œ 2e 1 ¸ 0.0864 Ê 0.0864 ft above equilibrium.

8. w œ 8 Ê m œ

8 32 ;

8 œ k † 4 Ê k œ 2; resistance œ 1.5 v Ê $ œ 1.5 Ê

1 d2 y 4 dt2

w 1.5 dy dt 2y œ !, y ! œ 2, y ! œ 3

Ê 14 r2 1.5r 2 œ ! Ê r2 6r 8 œ 0 Ê r 4 r 2 Ê r œ 4 or r œ 2 Ê y œ c1 e 4t c2 e 2t Ê yw œ 4c1 e 4t 2c2 e 2t ; y ! œ 2 Ê c1 c2 œ 2; Ê yw ! œ 3 Ê 4c1 2c2 œ 3 Ê c1 œ 12 , c2 œ 52 Ê y t œ 12 e 4t 52 e 2t . At t œ 2, y œ 12 e 8 52 e 2 ¸ 0.0456 Ê 0.0456 ft above equilibrium.

Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

Section 17.3 Applications 1017 dy 25 d2 y 32 dt2 0 † dt 40y œ !. If w œ 25 lb, it stretches the spring 5 7 7 25 œ 40x Ê x œ 58 ft Ê spring is now stretched 612 85 œ 24 ft below equilibrium Ê y 0 œ 24 ; initial velocity is 2 d y v! ft v! v! in 25 7 25 # 256 w w # v! sec œ 12 sec Ê y ! œ 12 . Thus we have 32 dt2 40y œ !, y 0 œ 24 , y ! œ 12 Ê 32 r 40 œ ! Ê r 5 œ

9. 20 œ k †

Ê k œ 40; w œ 25 lb Ê m œ

1 2

Êrœ0„

16 È5 i

0 †t

Êyœe

25 32 ;

16 t‹ Šc1 cosŠ È 5

$œ0Ê

16 c2 sinŠ È t‹‹ 5

16 16 yw œ È c sinŠ È t‹ 5 1 5

Ê y t œ

7 16 24 cosŠ È5 t‹

10. m œ 1, k œ

25 4 ,

v!

16 16 w È5 c2 cosŠ È5 t‹, y ! œ 12 È 16 ! 5 v192 sinŠ È t‹ (in feet) or 5

$ œ3Ê1†

d2 y dt2

Ê 4r2 12r 25 œ 0 Ê r œ 32 t

Ê yw œ e

Ê

œ

16 c2 sinŠ È t‹, 5 È ! 5 c2 œ v192

16 c1 cosŠ È t‹ 5

œ

16 È5 c2

v!

12

Ê

16 y t œ 72 cosŠ È t‹ 5

v! È 5 16 16 sinŠ È5 t‹

25 2 w 4 y œ !, y 0 œ 1, y ! œ 3 Ê r 2 È 3 12„ 12 4 4 25 œ 32 „ 2i Ê y œ e 2 t c1 cos 2t 2 4

3 dy dt

3r

25 4

y 0 œ

7 24

Ê c1 œ

!

7 24 ;

(in inches) œ!

c2 sin 2t

ˆˆ 32 c1 2c2 ‰cos 2t ˆ 2c1 32 c2 ‰sin 2t‰; y 0 œ 1 Ê c1 œ 1, yw ! œ 3 Ê 32 c1 2c2 œ 3

Ê c1 œ 1, c2 œ 11. mg œ 10 Ê m œ

Ê y t œ e 2 t ˆ cos 2t 34 sin 2t‰ 3

3 4

10 œ k †

5 16 ;

1 6

Ê k œ 60; $ œ

40 È32

œ 5È 2 Ê

5 d2 y 16 dt2

1 w 5È2 dy dt 60y œ !, y 0 œ 4 , y ! œ 0 2

Ê

Ê y œ e 8 y 0 œ

16È2„ÊŠ16È2‹ 4 1 192

5È2 r 60 œ ! Ê r2 16È2r 192 œ 0 Ê r œ

5 2 16 r

1 4

È2 t

c1 cos 8t c2 sin 8t Ê yw œ e 8

È2 t

2 1

ŠŠ 8È2 c1 8c2 ‹cos 8t Š 8c1 8È2 c2 ‹sin 8t‹;

Ê c1 œ 14 , yw ! œ 0 Ê 8È2 c1 8c2 œ 0 Ê c1 œ 14 , c2 œ

Solve y t œ 0 Ê e 8 12. w œ mg; mg œ k †

1 2

È2 t

Š 14 cos 8t

È2 4 sin 8t‹

œ 8È2 „ 8i

œ 0 Ê 14 cos 8t 2

Ê k œ 2mg œ 64m; $ œ 0 Ê m ddt2y 0 †

dy dt

È2 4

È2 4 sin 8t

Ê y œ e 8

È2 t

Š 41 cos 8t

È2 4 sin 8t‹

œ 0 Ê tan 8t œ È12 Ê t ¸ 0.3157 sec

64m y œ !ß y 0 œ 16 , yw ! œ

1 6

Ê m r2 64m œ !,

Ê r2 64 œ 0 Ê r œ 0 „ 8i Ê y œ e0†t c1 cos 8t c2 sin 8t œ c1 cos 8t c2 sin 8t Ê yw œ 8c1 sin 8t 8c2 cos 8t 1 1 y 0 œ 16 Ê c1 œ 16 , yw ! œ 16 Ê 8c2 œ 16 Ê c1 œ 16 , c2 œ 48 Ê y t œ 16 cos 8t 48 sin 8t (a) Solve y t œ 0 Ê 16 cos 8t

1 48 sin 8t

œ 0 Ê tan 8t œ 8 Ê t ¸ 0.1808, first positive solution is t œ 0.1808

¸ 0.2119 sec (b) yw œ 43 sin 8t 16 cos 8t, solve yw t œ 0 Ê 43 sin 8t 16 cos 8t œ 0 Ê tan 8t œ

1 8

1 8

Ê t ¸ 0.4082 sec

Ê y 0.4082 ¸ 0.1680 ft 4 32 4 ww (c) yww œ 32 3 cos 8t 3 sin 8t, solve y t œ 0 Ê 3 cos 8t 3 sin 8t œ 0 Ê tan 8t œ 8 Ê t œ tan 1 8 8

solution where maximum occurs is at t œ œ 43 sin 8Š tan

8 8

1

14 ‹ 61 cos 8Š tan

8 8

1

1 4

Ê

1 yw Š tan 8 8

tan 1 8 , 8

first positive

14 ‹

14 ‹ œ 34 sin tan 1 8 21 61 cos tan 1 8 21

œ 43 csin tan 1 8 cos 21 cos tan 1 8 sin 21 d 16 ccos tan 1 8 cos 21 sin tan 1 8 sin 21 d œ 43 ’ È865 0“ 16 ’ È165 0“ œ

65 6È65

œ 16 È65

ft sec

in Ê 12Š 16 È65‹ œ 2È65 sec . Note that 2È2g 1 œ 2È65

when g œ 32.

13. First weight: w œ 10 lb Ê m œ Ê

5 2 16 r

œ

8È15 5 t

8È15 5 c2

c2 sin

8È15 5 t

dy 5 d2 y 16 dt2 0 † dt 12y œ È È e0†t Šc1 cos 8 515 t c2 sin 8 515 t‹

10 œ k † ˆ 56 ‰ Ê k œ 12 lbft ; $ œ 0 Ê

12 œ ! Ê 5r2 192 œ 0 Ê r œ 0 „

œ c1 cos Ê

5 16 ;

Ê yw œ

œ 13 Ê c1 œ 16 , c2 œ

8È15 5 i

Êyœ

È È 8 515 c1 sin 8 515 t È15 72

Ê y œ 16 cos 8

8È15 8È15 5 c2 cos 5 t;

È15 5 t

y 0 œ

È15 8È15 72 sin 5 t.

1 6

!, y 0 œ 16 , yw ! œ 13

Ê c1 œ 61 , yw ! œ 31 #

The amplitude is C œ ʈ 16 ‰ Š

È159 72 .

Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

È15 # 72 ‹

1018 Chapter 17 Second-Order Differential Equations È159 w 72 , x 0 È159 2 72 , c4 œ =

œ 2 Ê xw œ = c3 sin = t = c4 cos = t; x 0 œ

Second weight: x œ c3 cos = t c4 sin = t, x 0 œ Ê c3 œ

È159 72 ,

xw 0 œ 2 Ê = c4 œ 2 Ê c3 œ

spring œ 2C Ê 2Š

È159 72 ‹

œ ÊŠ

È159 # 72 ‹

#

ˆ =2 ‰ Ê = œ

È159 72 cos = t

Êxœ Ê

48 È53

48 È53

È159 72

=2 sin = t. Since amplitude of second

œ É mk œ É 12 m Ê mœ

53 192

53 ‰ Ê mg œ ˆ 192 32

œ 8.8333 lbs 14. First spring: m1 g œ k1 †

2

Ê k1 œ 128m1 ; $1 œ 0 Ê m1 ddt2y 0 †

1 4

dy dt

128m1 y œ !, y 0 œ

1 12 ,

yw ! œ 0

Ê m1 r2 128 m1 œ ! Ê r2 128 œ 0 Ê r œ 0 „ 8È2i Ê y œ e0†t Šc1 cos 8È2 t c2 sin 8È2 t‹ œ c1 cos 8È2 t c2 sin 8È2 t Ê yw œ 8È2 c1 sin 8È2 t 8È2 c2 cos 8È2 t; y 0 œ Ê 8È2 c2 œ ! Ê c1 œ 1 , c2 œ ! Ê y t œ 1 cos 8È2t 12 3 4

Second spring: m2 g œ k2 † Ê

d2 x dt2

128 3 x

œ ! Ê r2

Ê k1 œ

12 128 m ; $ 2 2 œ 3

2

0 Ê m2 ddt2x 0 †

dx dt

128 3 m2 x

1 12

œ !, x 0 œ

1 12 ,

1 12 ß

yw ! œ 0

xw ! œ 0

œ 0 Ê r œ 0 „ 8É 32 i Ê x œ e0†t Šc3 cos 8É 32 t c4 sin 8É 32 t‹

128 3

œ c3 cos 8É 23 t c4 sin 8É 23 t Ê yw œ 8É 23 c3 sin 8É 23 t 8É 23 c4 cos 8É 23 t; x 0 œ Ê 8É 23 c4 œ ! Ê c3 œ

Ê c1 œ

1 12 , c4

œ ! Ê x t œ

1 É 23 12 cos 8

1 12

Ê c3 œ

1 12 ß

xw ! œ 0

t

È

Equal velocities Ê yw œ xw Ê 2 3 2 sin 8È2t œ 23 É 32 sin 8É 32 t Ê t ¸ 0.2237 sec 15. mg œ 16 Ê m œ 12 ; 16 œ k † 4 Ê k œ 4; $ œ 0 Ê

1 d2 y 2 dt2

0†

dy dt

4y œ !, y 0 œ 5, yw ! œ 0 Ê 12 r2 4 œ !

Ê r2 8 œ 0 Ê r œ 0 „ 2È2i Ê y œ e0†t Šc1 cos 2È2 t c2 sin 2È2 t‹ œ c1 cos 2È2 t c2 sin 2È2 t Ê yw œ 2È2 c1 sin 2È2 t 2È2 c2 cos 2È2 t; y 0 œ 5 Ê c1 œ 5ß yw ! œ 0 Ê 2È2 c2 œ 0 Ê c1 œ 5, c2 œ 0 Ê y t œ 5 cos 2È2 t. The amplitude is C œ È5# 0# œ 5 y œ c3 cos 2È2 t c4 sin 2È2 t, y 0 œ 5, yw 0 œ v0 Ê yw œ 2È2 c3 sin 2È2 t 2È2 c4 cos 2È2 t; y 0 œ 5 Ê c3 œ 5 yw 0 œ v0 Ê 2È2 c4 œ v0 Ê c3 œ 5, c4 œ v0 Ê y t œ 5 cos 2È2 t v0 sin 2È2 t, and the new amplitude is 2 † 5 2È 2

2È 2

#

v0 Ê 10 œ Ê5# Š 2È ‹ Ê v0 œ 10È6 ¸ 24.4949 2

16. mg œ 8 Ê m œ 14 ; 8 œ k †

Ê k œ 32; $ œ 2 Ê

3 12

8„È82 4 1 128 2 1

Ê r2 8r 128 œ 0 Ê r œ

ft sec

1 d2 y 4 dt2

w 2 dy dt 32y œ !, y 0 œ 0, y ! œ

1 3

Ê 14 r2 2r 32 œ !

œ 4 „ 4È7 i Ê y œ e 4t Šc1 cos 4È7 t c2 sin 4È7 t‹

Ê yw œ e 4t ’Š 4c1 4È7c2 ‹cos 4È7 t Š 4È7c1 4c2 ‹sin 4È7 t“; y 0 œ 0 Ê c1 œ 0, yw ! œ Ê 4c1 4È7c2 œ

1 3

Ê c1 œ 0, c2 œ 1 4È 7

Ê sin 4È7 t œ 0 Ê t œ

1 12È7

Ê y t œ

1 e 4t sin 4È7 t.

12È7

kœ

1001# ln 10 # m 100

21 È=# b#

Ê4œ

41 # =# b #

1 10

#

#

#

1001 ln 10 Ê m ddt2y ˆ ln510 m‰ dy m‹y œ !. When y œ dt Š 100 2

#

#

d2 y dt2

œ

$ ln 10 ln 10 10 Ê 2b œ m Ê $ œ 5 m # 1001# ln 10 # ln 10 # Ê mk œ 1001 100 100

1 1 ‰ Ê b œ 10 lnˆ 10 œ

Ê =# œ 1# b# œ 1# ˆ ln1010 ‰ œ

ln 10 m ddt2y ˆ ln510 m‰ 2 Š 1001 100 m‹ˆ 41 ‰ œ ! Ê 2

1 e 4t sin 4È7 t 12È7

¸ 0.2969 sec

17. $ decreases by 90% in 10 sec Ê 10% remains Ê e 10b œ period œ 2 sec Ê 2 œ

Solve y t œ 0 Ê

1 3

2 ln 10 5

1 4

1001# ln 10 # 400

and yw œ 2, then ¸ 1.5596

ft sec#

Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

œ0

Section 17.3 Applications 1019 18. mg œ 10 Ê m œ

5 16 ;

10 œ k † 2 Ê k œ 5; $ œ

10 È32

œ

5È 2 4

Ê

5 d2 y 16 dt2

5È2 dy 4 dt

5y œ !, y 0 œ 12 , yw ! œ 0

2

Ê

5 2 16 r

5È 2 4 r

Ê y t œ e 2 Ê yw œ e 2

5 œ ! Ê r 4È2 r 16 œ 0 Ê r œ

È2t

È2t

2

4È2„ÊŠ4È2‹ 4 1 16 2 1

œ 2È 2 „ 2È 2 i

Šc1 cos 2È2 t c2 sin 2È2 t‹

’Š 2È2 c1 2È2 c2 ‹cos 2È2 t Š 2È2 c1 2È2 c2 ‹sin 2È2 t“; y 0 œ

yw ! œ 0 Ê 2È2 c1 2È2 c2 œ 0 Ê c1 œ 12 , c2 œ

Ê y œ e 2

1 2

È2t

To find maximum, solve yw t œ 0 Ê yw t œ 2È2 e 2 Ê sin 2È2 t œ 0 Ê t œ 0, 1 , 1 , and at t œ 1 , yŠ 2È 2

È2

19. L œ 15 , R œ 1, C œ 56 , E t œ 0 Ê

2È 2

1 d# q 5 dt#

1†

È2t

Ê c1 œ 12 ,

Š 12 cos 2È2 t 12 sin 2È2 t‹

È sin 2È2 t Ê 2È2 e 2 2t sin 2È2 t œ 0

1 ‹ 2È 2

¸ 0.02161 ft ¸ 0.2593 in (above equilibrium)

65 q œ 0ß q 0 œ 2, qw 0 œ 4 Ê 15 r# r

dq dt

1 2

#

20.

1 Cq

2t

œ0

Ê r 5r 6 œ 0 Ê r 3 r 2 œ 0 Ê r œ 3 or r œ 2 Ê q t œ c1 e c2 e Ê q œ 3c1 e 3t 2c2 e 2t q 0 œ 2 Ê c1 c2 œ 2; qw 0 œ 4 Ê 3c1 2c2 œ 4 Ê c1 œ 8, c2 œ 10 Ê q œ 8e 3t 10e 2t lim q œ lim 8e 3t 10e 2t œ 0

tÄ∞

3t

6 5

w

tÄ∞

#

#

dq d q d q dq di w # œ 10q; R dq dt œ 4 dt ; L dt œ 2 dt# , E t œ 0 Ê 2 dt# 4 dt 10q œ 0ß q 0 œ 2, q 0 œ 3 Ê 2r 4r 10 œ 0

Ê r# 2r 5 œ 0 Ê r œ

2„È22 4 1 5 2 1

œ 1 „ 2i Ê q t œ e t c1 cos 2t c2 sin 2t

Ê qw œ e t c1 2c2 cos 2t 2c1 c2 sin 2t ; q 0 œ 2 Ê c1 c2 œ 2; qw 0 œ 3 Ê c1 2c2 œ 3 Ê c1 œ 13 , c2 œ 53 Ê q t œ e t ˆ 13 cos 2t 53 sin 2t‰ 21. mg œ 16 Ê m œ

16 32 ;

16 œ k † 4 Ê k œ 4; $ œ 4.5; f t œ 4 e 2t Ê

1 d2 y 2 dt2

2t 4.5 dy , y ! œ 2, yw ! œ 4 dt 4y œ 4 e

Ê 12 r# 4.5r 4 œ 0 Ê r# 9r 8 œ 0 Ê r 8 r 1 œ 0 Ê r œ 8 or r œ 1 Ê yc œ c1 e 8t c2 e t ; yp œ A Be 2t Ê ypw œ 2Be 2t Ê ypww œ 4Be 2t Ê 12 4Be 2t 4.5 2Be 2t 4 A Be 2t œ 4 e 2t Ê 4A 3Be 2t œ 4 e 2t Ê 4A œ 4, 3B œ 1 Ê A œ 1, B œ 13 Ê y t œ c1 e 8t c2 e t 1 13 e 2t Ê yw œ 8c1 e 8t c2 e t 23 e 2t ; y ! œ 2 Ê c1 c2 Ê 8c1 c2 œ

10 3

Ê c1 œ

23 , c2

œ 2 Ê y t œ

23 e 8t

2 3

œ 2 Ê c1 c2 œ 43 , yw ! œ 4 Ê 8c1 c2 t

2e

1

2 3

œ4

1 2t 3e

2

w # 22. m œ 10; k œ 140; $ œ 90; f t œ 5sin t Ê 10 ddt2y 90 dy dt 140y œ 5sin t, y ! œ 0, y ! œ 1 Ê 10r 90r 140 œ 0

Ê r# 9r 14 œ 0 Ê r 2 r 7 œ 0 Ê r œ 2 or r œ 7 Ê yc œ c1 e 2t c2 e 7t ; yp œ Asin t Bcos t Ê ywp œ Acos t Bsin t Ê ywwp œ Asin t Bcos t Ê 10 Asin t Bcos t 90 Acos t Bsin t 140 Asin t Bcos t œ 5sin t 13 9 Ê 130A 90B sin t 90A 130B cos t œ 5sin t Ê A œ 500 , B œ 500 Ê y t œ c1 e 2t c2 e 7t y ! œ 0 Ê c1 c2 9 Ê c1 œ 50 , c2 œ

99 500

9 500

13 500 sin t w

9 500 cos t

Ê yw œ 2c1 e 2t 7c2 e 7t

œ 0, y ! œ 1 Ê 2c1 7c2

9 2t Ê y t œ 50 e

99 500

e 7t

13 500

13 500 sin t

13 500 cos t

œ 1 Ê c1 c2 œ

9 500 ,

9 500 sin t;

2c1 7c2 œ 513 500

9 500 cos t 2

23. m œ 2 Ê mg œ 2 9.8 œ 19.6; 19.6 œ k † 1.96 Ê k œ 10; $ œ 4; f t œ 20cos t Ê 2 ddt2y 4 dy dt 10y œ 20cos t, 4„È42 4 2 10 œ 1 2 2 ww yp œ Asin t Bcos t

y ! œ 2, yw ! œ 3 Ê 2r# 4r 10 œ 0 Ê r œ yp œ Asin t Bcos t Ê ypw œ Acos t Bsin t Ê

„ 2i Ê yc œ e t c1 cos 2t c2 sin 2t

Ê 2 Asin t Bcos t 4 Acos t Bsin t 10 Asin t Bcos t œ 20cos t Ê 8A 4B sin t 4A 8B cos t œ 20cos t Ê 8A 4B œ 0, 4A 8B œ 20 Ê A œ 1, B œ 2 Ê y t œ e t c1 cos 2t c2 sin 2t sin t 2cos t Ê yw œ e t c1 2c2 cos 2t 2c1 c2 sin 2t cos t 2sin t; Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

1020 Chapter 17 Second-Order Differential Equations y ! œ 2 Ê c1 2 œ 2, yw ! œ 3 Ê c1 2c2 1 œ 3 Ê c1 œ 0, c1 2c2 œ 2 Ê c1 œ 0, c2 œ 1 Ê y t œ e t sin 2t sin t 2cos t; y 1 œ 2 Ê 2 m above equilibrium 24. mg œ 8 Ê m œ

8 32 ;

8 œ k † 4 Ê k œ 2; $ œ 1.5; f t œ 6 e t Ê

1 d2 y 4 dt2

t w 1.5 dy dt 2y œ 6 e , y ! œ 2, y ! œ 3

Ê 14 r# 1.5r 2 œ 0 Ê r# 6r 8 œ 0 Ê r 2 r 4 œ 0 Ê r œ 2 or r œ 4 Ê yc œ c1 e 2t c2 e 4t ; yp œ A Be t Ê ypw œ Be t Ê ypww œ Be t Ê 14 Be t 1.5 Be t 2 A Be t œ 6 e t Ê 2A 34 Be t œ 6 e t Ê 2A œ 6, 34 B œ 1 Ê A œ 3, B œ Ê yw œ 2c1 e 2t 4c2 e 4t 43 e t ; y ! œ 2 Ê c1 c2

4 3 13 3

21 2 , c2

œ

Ê 2c1 4c2

4 3

œ 3 Ê 2c1 4c2 œ

13 3

Ê c1 œ

Ê y t œ c1 e 2t c2 e 4t 3 43 e t w œ 2 Ê c1 c2 œ 19 3 , y ! œ 3 25 6

2t Ê y t œ 21

2 e

25 6

e 4t 3 34 e t ;

y 2 ¸ 2.98953 Ê 2.99 ft below equilibrium 25. L œ 10, R œ 10, C œ

1 500 ,

#

w # E t œ 100 Ê 10 ddt#q 10 dq dt 500q œ 100ß q 0 œ 10, q 0 œ 0 Ê 10r 10r 500 œ 0

Ê r# r 50 œ 0 Ê r œ

1„È12 4 1 50 2 1

œ 12 „

È199 2 i

Ê qc œ e 2 t Šc1 cos 1

È199 2 t

c2 sin

qp œ A Ê qpw œ 0 Ê qwwp œ 0 Ê 10 0 10 0 500A œ 100 Ê 500A œ 100 Ê A œ Ê q t œ e 2 t Šc1 cos 1

q 0 œ 10 Ê c1

1 5

c2 sin

È199 2 t‹

1 5

Ê qw œ e 2 t ’Š 21 c1 1

49 1 w 5 , q 0 œ 0 Ê 2 c1 È199 49È199 1 995 sin 2 t‹ 5

œ 10 Ê c1 œ

Ê q t œ e 2 t Š 49 5 cos 1

È199 2 t

È199 2 t

#

È199 2 c2

1 5

È199 È199 2 c2 ‹cos 2 t

œ 0 Ê c1 œ

49 5 , c2

È199 2 t‹

œ

Š

È199 2 c1

21 c2 ‹sin

È199 2 t“

49È199 995

#

dq 1 d q d q dq di w # 26. R dq dt œ 4 dt ; C q œ 10q; L dt œ 2 dt# , E t œ 20cos t Ê 2 dt# 4 dt 10q œ 0ß q 0 œ 2, q 0 œ 3 Ê 2r 4r 10 œ 0 2„È22 4 1 5 œ 1 „ 2 1 ww Ê qp œ Asin t Bcos t

Ê r# 2r 5 œ 0 Ê r œ Ê qwp œ Acos t Bsin t

2i Ê qc œ e t c1 cos 2t c2 sin 2t ; qp œ Asin t Bcos t

Ê 2 Asin t Bcos t 4 Acos t Bsin t 10 Asin t Bcos t œ 20cos t Ê 8A 4B sin t 4A 8B cos t œ 20cos t Ê 8A 4B œ 0, 4A 8B œ 20 Ê A œ 1, B œ 2 Ê q t œ e t c1 cos 2t c2 sin 2t sin t 2cos t Ê qw œ e t c1 2c2 cos 2t 2c1 c2 sin 2t cos t 2sin t; q 0 œ 2 Ê c1 2 œ 2; qw 0 œ 3 Ê c1 2c2 1 œ 3 Ê c2 œ 1 Ê q t œ 2e t sin 2t sin t 2cos t; y 10 ¸ 2.222 Ê 2.222 ft above equilbrium 17.4 EULER EQUATIONS 1. x# yww 2x yw 2y œ 0 Ê r2 2 1 r 2 œ 0 Ê r2 r 2 œ 0 Ê r 1 r 2 œ 0 Ê r œ 1 or r œ 2 Ê y œ c1 ez c2 e 2z œ c1 eln x c2 e 2ln x Ê y œ c1 x xc2# 2. x# yww x yw 4y œ 0 Ê r2 1 1 r 4 œ 0 Ê r2 4 œ 0 Ê r 2 r 2 œ 0 Ê r œ 2 or r œ 2 Ê y œ c1 e2z c2 e 2z œ c1 e2ln x c2 e 2ln x Ê y œ c1 x# xc2# 3. x# yww 6y œ 0 Ê r2 0 1 r 6 œ 0 Ê r2 r 6 œ 0 Ê r 3 r 2 œ 0 Ê r œ 3 or r œ 2 Ê y œ c1 e3z c2 e 2z œ c1 e3ln x c2 e 2ln x Ê y œ c1 x3 xc2# 4. x# yww x yw y œ 0 Ê r2 1 1 r 1 œ 0 Ê r2 1 œ 0 Ê r 1 r 1 œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1 Ê y œ c1 ez c2 e z œ c1 eln x c2 e ln x Ê y œ c1 x cx2 5. x# yww 5x yw 8y œ 0 Ê r2 5 1 r 8 œ 0 Ê r2 6r 8 œ 0 Ê r 4 r 2 œ 0 Ê r œ 4 or r œ 2 Ê y œ c1 e4z c2 e2z œ c1 e4ln x c2 e2ln x Ê y œ c1 x% c2 x# Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

Section 17.4 Euler Equations 1021 6. 2x# yww 7x yw 2y œ 0 Ê 2r2 7 2 r 2 œ 0 Ê 2r2 5r 2 œ 0 Ê 2r 1 r 2 œ 0 Ê r œ 12 or r œ 2 "

"

Ê y œ c1 e # z c2 e 2z œ c1 e # ln x c2 e 2ln x Ê y œ

c1 Èx

c2 x#

7. 3x# yww 4x yw œ 0 Ê 3r2 4 3 r œ 0 Ê 3r2 r œ 0 Ê r 3r 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 13 Ê y œ c1 e0†z c2 e 3 z 1

œ c1 e0†ln x c2 e 3 ln x Ê y œ c1 1

c2 3 x È

8. x# yww 6x yw 4y œ 0 Ê r2 6 1 r 4 œ 0 Ê r2 5r 4 œ 0 Ê r 1 r 4 œ 0 Ê r œ 1 or r œ 4 Ê y œ c1 e z c2 e 4z œ c1 e ln x c2 e 4ln x Ê y œ cx1 xc24 9. x# yww x yw y œ 0 Ê r2 1 1 r 1 œ 0 Ê r2 2r 1 œ 0 Ê r 1 # œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê y œ c1 ez c2 z ez œ c1 eln x c2 ln x eln x Ê y œ c1 x c2 x ln x 10. x# yww x yw 2y œ 0 Ê r2 1 1 r 2 œ 0 Ê r2 2r 2 œ 0 Ê r œ Ê y œ e c1 cos z c2 sin z œ e z

ln x

2 „É 2 2 4 1 2 2 1

œ1„i

c1 cos ln x c2 sin ln x Ê y œ x c1 cos ln x c2 sin ln x

11. x# yww x yw 5y œ 0 Ê r2 1 1 r 5 œ 0 Ê r2 2r 5 œ 0 Ê r œ

2 „É 2 2 4 1 5 2 1

œ 1 „ 2i

Ê y œ ez c1 cos 2z c2 sin 2z œ eln x c1 cos 2 ln x c2 sin 2 ln x Ê y œ x c1 cos 2 ln x c2 sin 2 ln x 6„É 6 2 4 1 13 œ 3 „ 2i 2 1 œ x1$ c1 cos 2 ln x c2 sin 2 ln x

12. x# yww 7x yw 13y œ 0 Ê r2 7 1 r 13 œ 0 Ê r2 6r 13 œ 0 Ê r œ Ê y œ e 3z c1 cos 2z c2 sin 2z œ e 3ln x c1 cos 2 ln x c2 sin 2 ln x Ê y

13. x# yww 3x yw 10y œ 0 Ê r2 3 1 r 10 œ 0 Ê r2 2r 10 œ 0 Ê r œ Ê y œ e z c1 cos 3z c2 sin 3z œ e ln x c1 cos 3 ln x c2 sin 3 ln x Ê y œ

2„É 2 2 4 1 10 œ 1 „ 3i 2 1 1 x c1 cos 3 ln x c2 sin 3 ln x

14. x# yww 5x yw 10y œ 0 Ê r2 5 1 r 10 œ 0 Ê r2 6r 10 œ 0 Ê r œ

6 „É 6 2 4 1 10 2 1

œ3„i

Ê y œ e3z c1 cos z c2 sin z œ e3ln x c1 cos ln x c2 sin ln x Ê y œ x$ c1 cos ln x c2 sin ln x 4„É 4 2 4 4 5 2 4

15. 4x# yww 8x yw 5y œ 0 Ê r2 8 4 r 5 œ 0 Ê 4r2 4r 5 œ 0 Ê r œ "

"

Ê y œ e # z c1 cos z c2 sin z œ e # ln x c1 cos ln x c2 sin ln x Ê y œ

1 Èx

œ 21 „ i

c1 cos ln x c2 sin ln x 8 „É 8 2 4 4 5 œ 1 „ 21 i 2 4 œ xˆc1 cosˆ 12 ln x‰ c2 sinˆ 12 ln x‰‰

16. 4x# yww 4x yw 5y œ 0 Ê 4r2 4 4 r 5 œ 0 Ê 4r2 8r 5 œ 0 Ê r œ Ê y œ ez ˆc1 cos ˆ 12 z‰ c2 sin ˆ 12 z‰‰ œ eln x ˆc1 cosˆ 12 ln x‰ c2 sinˆ 12 ln x‰‰ Ê y

17. x# yww 3x yw y œ 0 Ê r2 3 1 r 1 œ 0 Ê r2 2r 1 œ 0 Ê r 1 # œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê y œ c1 e z c2 z e z œ c1 e ln x c2 ln x e ln x Ê y œ cx1 c2 xln x 18. x# yww 3x yw 9y œ 0 Ê r2 3 1 r 9 œ 0 Ê r2 4r 9 œ 0 Ê r œ

4 „É 4 2 4 1 9 2 1

Ê y œ e2z Šc1 cos ŠÈ5 z‹ c2 sin ŠÈ5 z‹‹ œ e2ln x Šc1 cosŠÈ5 ln x‹ c2 sinŠÈ5 ln x‹‹ Ê y œ x# Šc1 cosŠÈ5 ln x‹ c2 sinŠÈ5 ln x‹‹ Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

œ 2 „ È5 i

1022 Chapter 17 Second-Order Differential Equations 19. x# yww x yw œ 0 Ê r2 " 1 r œ 0 Ê r2 œ 0 Ê r œ 0, repeated twice Ê y œ c1 e0†z c2 z e0†z œ c1 e0†ln x c2 ln x e0†ln x Ê y œ c1 c2 ln x 20. 4x# yww y œ 0 Ê 4r2 0 4 r 1 œ 0 Ê 4r2 4r 1 œ 0 Ê 2r 1 # œ 0 Ê r œ 12 , repeated twice 1

1

1

1

Ê y œ c1 e 2 z c2 z e 2 z œ c1 e 2 ln x c2 ln x e 2 ln x Ê y œ c1 Èx c2 Èx ln x 21. 9x# yww 15x yw y œ 0 Ê 9r2 15 9 r 1 œ 0 Ê 9r2 6r 1 œ 0 Ê 3r 1 # œ 0 Ê r œ 13 , repeated twice Ê y œ c1 e 3 z c2 z e 3 z œ c1 e 3 ln x c2 ln x e 3 ln x Ê y œ 1

1

1

1

c1 3 x È

c2 ln x 3 x È

22. 16x# yww 8x yw 9y œ 0 Ê 16r2 8 16 r 9 œ 0 Ê 16r2 24r 9 œ 0 Ê 4r 3 # œ 0 Ê r œ 34 , repeated twice Ê y œ c1 e 4 z c2 z e 4 z œ c1 e 4 ln x c2 ln x e 4 ln x Ê y œ c1 x3Î4 c2 x3Î4 ln x 3

3

3

3

23. 16x# yww 56x yw 25y œ 0 Ê 16r2 56 16 r 25 œ 0 Ê 16r2 40r 25 œ 0 Ê 4r 5 # œ 0 Ê r œ 54 , repeated twice Ê y œ c1 e 4 z c2 z e 4 z œ c1 e 4 ln x c2 ln x e 4 ln x Ê y œ 5

5

5

5

c1 x5Î4

c2 ln x x5Î4

24. 4x# yww 16x yw 25y œ 0 Ê 4r2 16 4 r 25 œ 0 Ê 4r2 20r 25 œ 0 Ê 2r 5 # œ 0 Ê r œ 52 , repeated twice Ê y œ c1 e 2 z c2 z e 2 z œ c1 e 2 ln x c2 ln x e 2 ln x Ê y œ c1 x5Î2 c2 x5Î2 ln x 5

5

5

5

25. x# yww 3x yw 3y œ 0, y 1 œ 1, yw 1 œ 1 Ê r2 3 1 r 3 œ 0 Ê r2 2r 3 œ 0 Ê r 1 r 3 œ 0 2 Ê r œ 1 or r œ 3 Ê y œ c1 ez c2 e 3z œ c1 eln x c2 e 3ln x Ê y œ c1 x xc2$ Ê yw œ c1 3c x4 ; y 1 œ 1 Ê c1 c2 œ 1; yw 1 œ 1 Ê c1 3c2 œ 1 Ê c1 œ 12 , c2 œ

1 2

Ê y œ 12 x

1 2x$

26. 6x# yww 7x yw 2y œ 0, y 1 œ 0, yw 1 œ 1 Ê 6r2 7 6 r 2 œ 0 Ê 6r2 r 2 œ 0 Ê 2r 1 3r 2 œ 0 1 2 1 2 c1 Ê r œ 12 or r œ 23 Ê y œ c1 e 2 z c2 e 3 z œ c1 e 2 ln x c2 e 3 ln x Ê y œ c1 Èx c22Î3 Ê yw œ È 2c52Î3 ; x

2

y 1 œ 0 Ê c1 c2 œ 0; yw 1 œ 1 Ê 12 c1 23 c2 œ 1 Ê c1 œ 67 , c2 œ 67 Ê y œ 67 Èx

x

3x

6 7x2Î3

27. x# yww x yw y œ 0, y 1 œ 1, yw 1 œ 1 Ê r2 1 1 r 1 œ 0 Ê r2 2r 1 œ 0 Ê r 1 # œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê y œ c1 ez c2 z ez œ c1 eln x c2 ln x eln x Ê y œ c1 x c2 x ln x Ê yw œ c1 c2 ln x c2 ; y 1 œ 1 Ê c1 œ 1; yw 1 œ 1 Ê c1 c2 œ 1 Ê c1 œ 1, c2 œ 0 Ê y œ x 28. x# yww 7x yw 9y œ 0, y 1 œ 1, yw 1 œ 0 Ê r2 7 1 r 9 œ 0 Ê r2 6r 9 œ 0 Ê r 3 # œ 0 Ê r œ 3, 1 repeated twice Ê y œ c1 e 3z c2 z e 3z œ c1 e 3ln x c2 ln x e 3ln x Ê y œ xc1$ c2xln$ x Ê yw œ 3c c2 1 x3%ln x ; x% y 1 œ 1 Ê c1 œ 1; yw 1 œ 0 Ê 3c1 c2 œ 0 Ê c1 œ 1, c2 œ 3 Ê y œ

1 x$

3 ln x x$

29. x# yww x yw 2y œ 0, y 1 œ 1, yw 1 œ 1 Ê r2 1 1 r 2 œ 0 Ê r2 2r 2 œ 0 Ê r œ

2 „É 2 2 4 1 2 2 1

œ 1 „ i Ê y œ ez c1 cos z c2 sin z œ eln x c1 cos ln x c2 sin ln x Ê y œ x c1 cos ln x c2 sin ln x Ê yw œ c1 c2 cos ln x c2 c1 sin ln x ; y 1 œ 1 Ê c1 œ 1; yw 1 œ 1 Ê c1 c2 œ 1 Ê c1 œ 1, c2 œ 2 Ê y œ x cos ln x 2 sin ln x 30. x# yww 3x yw 5y œ 0, y 1 œ 1, yw 1 œ 0 Ê r2 3 1 r 5 œ 0 Ê r2 2r 5 œ 0 Ê r œ œ 1 „ 2i Ê y œ e z c1 cos 2z c2 sin 2z œ e ln x c1 cos 2 ln x c2 sin 2 ln x Ê y œ Ê yw œ c2 œ

1 2

1 x

2„É 2 2 4 1 5 2 1

c1 cos 2 ln x c2 sin 2 ln x

c1 2c2 cos 2 ln x 2c1 c2 sin 2 ln x ; y 1 œ 1 Ê c1 œ 1; yw 1 œ 0 Ê c1 2c2 œ 0 Ê c1 œ 1, Ê y œ 1x ˆcos 2 ln x 12 sin 2 ln x ‰ x1#

Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

Section 17.5 Power-Series Soutions 1023 17.5 POWER-SERIES SOLUTIONS ∞

∞

∞

∞

n œ2

n œ1

n œ2

n œ1

1. yww 2 yw œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 2 n cn xn 1 œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 2n cn xn 1 œ 0 coefficient equation 2 1 c2 2 1 c1 œ 0 3 2 c3 2 2 c2 œ 0 4 3 c4 2 3 c3 œ 0 5 4 c5 2 4 c4 œ 0 6 5 c6 2 5 c5 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 2 n 1 cn 1 œ 0

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ c1 œ 23 c2 œ 23 c1 œ 12 c3 œ 13 c1 2 œ 25 c4 œ 15 c1 1 2 œ 3 c5 œ 45 c1 ã Ê cn 2 œ n 2 2 cn 1

2 2 ‰ˆ or cn œ 2n cn 1 œ ˆ 2n ‰ˆ n " cn 2 ‰ œ ˆ 2n ‰ˆ n " n 2 2 cn 3 ‰ œ

y œ c0 c1 x c1 x 2

or y œ c0 y œ ˆc0 œ ˆc0

c1 2

c1 2

c1 ‰ 2

c1 2 Š1

c1 ‰ 2

c1 2x 2e

2 3 3 c1 x

c1 2 2x

2x

2 n nx

1

c1 , n 2. Thus 2 2 5 6 45 c1 x á œ c0 c1 ˆx x2 23 x3 13 x4 15 x 4 5 6 2x 2x 2x

c21 4x c21 5x c21 6x á ∞ n 2x 4 2x 5 2x 6 c1 ‰ c1 2x ˆ

á œ c

‹ 0 4x 5x 6x 2 2 nx n œ0 c0 c21 and b œ c21

1 2 4 5 3 c1 x 15 c1 x 2 3 c1 2x c1 2x 2 2x 2 3x 2x 2 2x

2x 3 3x

œ a be 2x , where a œ ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

2 6 45 x

á‰

2. yww 2 yw y œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 2 n cn xn 1 cn xn œ 0 ∞

n œ2

∞

∞

n œ1

n œ0

Ê n n 1 cn xn 2 2n cn xn 1 cn xn œ 0 n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

coefficient equation 2 1 c2 2 1 c1 c0 œ 0 3 2 c3 2 2 c2 c1 œ 0 4 3 c4 2 3 c3 c2 œ 0 5 4 c5 2 4 c4 c3 œ 0 6 5 c6 2 5 c5 c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 2 n 1 cn 1 cn œ 0

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ c1 12 c0 œ 23 c2 16 c1 œ 12 c1 13 c0 1 œ 12 c3 12 c2 œ 16 c1 18 c0 1 1 1 œ 25 c4 20 c3 œ 24 c1 30 c0 1 1 1 1 œ 3 c5 30 c4 œ 120 c1 144 c0 ã Ê cn 2 œ n 2 2 cn 1 n 2 1 n 1 cn

1 y œ c0 c1 x ˆ c1 12 c0 ‰x2 ˆ 12 c1 31 c0 ‰x3 ˆ 61 c1 81 c0 ‰x4 ˆ 24 c1

1 1 ‰ 5 ˆ 1 ‰ 6 30 c0 x 120 c1 144 c0 x á 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 œ c0 2 c0 x 3 c0 x 8 c0 x 30 c0 x 144 c0 x á c1 x c1 x 2 c1 x 6 c1 x 24 c1 x 120 c1 x 6 á 1 5 1 1 5 1 œ c0 ˆ1 12 x2 13 x3 18 x4 30 x 144 x 6 á ‰ c1 ˆx x2 12 x3 16 x4 24 x 120 x6 á ‰ 1 n 1 Note that in each coefficient equation, the coefficient of c1 can be given by n 1 x . To find the coefficient of c0 , note that: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 œ ˆ1 2 ‰ œ ˆ 1x 2x ‰, 3 œ 2 6 œ œ 2x 3x , 8 œ ˆ 6 24 ‰ œ ˆ 31x 41x ‰, 30 œ 24 120 œ 41x 51x 1 n 1 n 1 1 n 1 n 1 1 n 1 so the coefficient of c0 can be given by 1 n 1 ’ n 11 x n1x “ œ n 1 x nx . Thus cn œ ’ n 1 x nx “c0 n 1 x c1 ∞ n n n 1 1 n 1 Š 1 c0 1 c0 c1 ‹xn or cn œ n1x c0 n n 1 x 1 x c0 c1 for n 2. Thus y œ c0 c1 x nx n œ2 ∞ ∞ ∞ n n 1 n 1 1 1 1

n n n œ c0 c1 x c0 nx x c0 n 1 x x c1 n 1 x x n œ2 n œ2 n œ2 ∞ ∞ ∞ n n 1 n 1 1 n 1 xn œ c0 c0 x c0 n1x xn c0 x c0 n 1 x x c1 x c1 n 1 x n œ2 n œ2 n œ2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ n n 1 n 1 n 1 1 1 1 n 1 n 1

œ c0 nx xn c0 x n 1 x xn 1 c1 x n 1 x xn 1 œ c0 n1x xn c0 c1 x n 1 x x n œ0 n œ1 n œ1 n œ0 n œ1 ∞ ∞ n k œ c0 n1x xn c0 c1 x k1x xk œ c0 e x c0 c1 x e x œ a e x b x e x , where a œ c0 and b œ c0 c1 n œ0 k œ0

Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.

1024 Chapter 17 Second-Order Differential Equations ∞

∞

∞

∞

n œ2

n œ0

n œ2

n œ0

3. yww 4y œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 4 cn xn œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 4cn xn œ 0 power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

coefficient equation 2 1 c2 4c0 œ 0 3 2 c3 4c1 œ 0 4 3 c4 4c2 œ 0 5 4 c5 4c3 œ 0 6 5 c6 4c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 4cn œ 0

y œ c0 c1 x 2c0 x2 23 c1 x3 23 c0 x4 œ c0 2c0 x2 23 c0 x4 œ c0 Š1

2x 2x

œ c0 cos 2x

2

2x 4x

4

c1 2 sin 2x

4 6 45 c0 x 2x 6x

6

á

á‹

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 2c0 œ 23 c1 œ 13 c2 œ 23 c0 2 c1 œ 15 c3 œ 15 2 4 œ 15 c4 œ 45 c0 ã Ê cn 2 œ n 2 4 n 1 cn

2 4 5 6 15 c1 x 45 c0 x á 2 c1 x 23 c1 x3 15 c1 x5

c1 2 Š2x

2x 3x

3

2x 5x

5

á n

n œ0

œ a cos 2x b sin 2x, where a œ c0 and b œ ∞

∞

á ‹ œ c0 2n1 x 2x 2n

∞

∞

n œ1

n œ0

c1 2

∞

n œ0

1 n 2n 1 2n 1 x 2x

c1 2

4. yww 3 yw 2y œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 3 n cn xn 1 2 cn xn œ 0 ∞

n œ2

∞

∞

n œ1

n œ0

Ê n n 1 cn xn 2 3n cn xn 1 2cn xn œ 0 n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

coefficient equation 2 1 c2 3 1 c1 2c0 œ 0 3 2 c3 3 2 c2 2c1 œ 0 4 3 c4 3 3 c3 2c2 œ 0 5 4 c5 3 4 c4 2c3 œ 0 6 5 c6 3 5 c5 2c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 3 n 1 cn 1 2cn œ 0

y œ c0 c1 x ˆ 32 c1 c0 ‰x2 ˆ 67 c1 c0 ‰x3 ˆ 85 c1

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 32 c1 c0 œ c2 13 c1 œ 76 c1 c0 7 œ 34 c3 16 c2 œ 58 c1 12 c0 3 1 31 œ 5 c4 10 c3 œ 120 c1 14 c0 1 7 31 œ 12 c5 15 c4 œ 80 c1 360 c0 ã Ê cn 2 œ n 3 2 cn 1 n 2 2 n 1 cn

31 ‰ 6 360 c0 x á 7 31 31 7 œ c0 c0 x2 c0 x3 12 c0 x4 14 c0 x5 360 c0 x 6 á c1 x 32 c1 x2 76 c1 x3 58 c1 x4 120 c1 x5 80 c1 x 6 á 7 4 31 6 31 5 7 6 œ c0 ˆ1 x2 13 x3 12 x 14 x5 360 x á ‰ c1 ˆx 32 x2 76 x3 58 x4 120 x 80 x በ∞ n ∞ n Note that if we use the techniques of Section 17.2, our solution is y œ a ex b e2x œ a xnx b 2xnx . Thus n œ0 n œ0 3 7 5 7 31 2 3 4 ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ a b a 2b x á œ c0 c1 x 2 c1 c0 x 6 c1 c0 x 8 c1 12 c0 x 120 c1 14 c0 ‰x5 á 7 ‰ 4 12 c0 x

31 7 ˆ 120 c1 14 c0 ‰x5 ˆ 80 c1

If the series are equivalent, then take c0 œ a b and c1 œ a 2b and substitute in our first series for c0 and c1 to obtain 7 y œ a b a 2b x ˆ 32 a 2b a b ‰x2 ˆ 76 a 2b a b ‰x3 ˆ 58 a 2b 12 a b ‰x4 31 7 31 ˆ 120 a 2b 14 a b ‰x5 ˆ 80 a 2b 360 a b ‰x 6 á 1 1 œ a b a 2b x ˆ 12 a 2b‰x2 ˆ 16 a 43 b‰x3 ˆ 24 a 23 b‰x4 ˆ 120 a

œ a ax 12 ax2 16 ax3 œ œ

aˆ1 x 21x x2 31x x3 ∞ n ∞ n a xnx b 2xnx œ a ex n œ0 n œ0

4 ‰ 5 4 ‰ 6 ˆ 1 15 b x 720 a 45 b x á 1 1 1 4 2 4 4 4 5 6 2 3 4 5 6 24 ax 120 ax 720 ax á b 2bx 2bx 3 bx 3 bx 15 bx 45 bx 2 3 4 5 6 2x 2x 2x 2x 2x 1 4 1 5 1 6 ‰ 4x x 5x x 6x x á bŠ1 2x 2x 3x 4x 5x 6x á ‹

b e2x

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á

Section 17.5 Power-Series Soutions 1025 ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

5. x# yww 2xy w 2y œ 0 Ê x# n n 1 cn xn 2 2x n cn xn 1 2 cn xn œ 0 ∞

n œ2

∞

∞

Ê n n 1 cn xn 2n cn xn 2cn xn œ 0 n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

n œ1

n œ0

coefficient equation 2c0 œ 0 2 1 c1 2c1 œ 0 2 1 c2 2 2 c2 2c2 œ 0 3 2 c3 2 3 c3 2c3 œ 0 4 3 c4 2 4 c4 2c4 œ 0 ã n n 1 cn 2n cn 2cn œ 0

Ê c0 œ 0 Ê0œ0 Ê0œ0 Ê c3 œ 0 Ê c4 œ 0 ã Ê cn œ 0, n 3

y œ c1 x c2 x2 ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

6. yww xy w y œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 x n cn xn 1 cn xn œ 0 ∞

n œ2

n 2

Ê n n 1 cn x n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

∞

∞

n cn x cn x œ 0 n

n œ1

n

n œ0

coefficient equation 2 1 c2 c0 œ 0 3 2 c3 1 c1 c1 œ 0 4 3 c4 2 c2 c2 œ 0 5 4 c5 3 c3 c3 œ 0 6 5 c6 4 c4 c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 n cn cn œ 0

y œ c0 c1 x 12 c0 x2

1 4 24 c0 x

1 6 180 c0 x

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 12 c0 œ0 1 1 œ 12 c2 œ 24 c0 1 œ 10 c3 œ 0 2 1 œ 15 c4 œ 180 c0 ã 1 Ê cn 2 œ n n2 n 1 cn

á œ c0 ˆ1 12 x2

∞

1 4 24 x

1 6 180 x

á ‰ c1 x

∞

7. 1 x yww y œ 0 Ê 1 x n n 1 cn xn 2 cn xn œ 0 ∞

n 2

Ê n n 1 cn x n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

∞

n œ2

n 1

n n 1 cn x n œ2

∞

n œ0

cn xn œ 0 n œ0

coefficient equation 2 1 c2 c0 œ 0 3 2 c3 2 1 c2 c1 œ 0 4 3 c4 3 2 c3 c2 œ 0 5 4 c5 4 3 c4 c3 œ 0 6 5 c6 5 4 c5 c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 n n 1 cn 1 cn œ 0

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 12 c0 œ 13 c2 16 c1 œ 16 c1 16 c0 1 1 c2 œ 12 c1 18 c0 œ 12 c3 12 3 1 7 1 œ 5 c4 12 c3 œ 120 c1 12 c0 2 1 1 43 œ 3 c5 30 c4 œ 24 c1 720 c0 ã Ê cn 2 œ n n 2 cn 1 n 2 1 n 1 cn

1 7 1 1 43 y œ c0 c1 x 12 c0 x2 ˆ 16 c1 16 c0 ‰x3 ˆ 12 c1 18 c0 ‰x4 ˆ 120 c1 12 c0 ‰x5 ˆ 24 c1 720 c0 ‰x 6 á 1 5 43 6 1 4 7 5 1 6 œ c0 ˆ1 12 x2 16 x3 18 x4 12 x 720 x á ‰ c1 ˆx 16 x3 12 x 120 x 24 x á‰

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1026 Chapter 17 Second-Order Differential Equations ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

8. 1 x# yww 4xyw 6y œ 0 Ê 1 x# n n 1 cn xn 2 4x n cn xn 1 6 cn xn œ 0 ∞

∞

n œ2

n œ2

n œ2

∞

∞

n œ1

n œ0

Ê n n 1 cn xn 2 n n 1 cn xn 4n cn xn 6cn xn œ 0 power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

coefficient equation 2 1 c2 6c0 œ 0 3 2 c3 4 1 c1 6c1 œ 0 4 3 c4 2 1 c2 4 2 c2 6c2 œ 0 5 4 c5 3 2 c3 4 3 c3 6c3 œ 0 6 5 c6 4 3 c4 4 4 c4 6c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 n n 1 cn 4ncn 6cn œ 0

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 3c0 œ 13 c1 œ 13 c2 œ c0 œ 35 c3 œ 15 c1 11 œ 11 15 c4 œ 15 c0 ã # Ê cn 2 œ nn 2 3nn 61 cn

6 y œ c0 c1 x 3c0 x2 13 c1 x3 c0 x4 15 c1 x5 11 15 c0 x á 1 3 1 5 6 ‰ ˆ ‰ œ c0 ˆ1 3x2 x4 11 15 x á c1 x 3 x 5 x á ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

9. x# 1 yww 2xyw 2y œ 0 Ê x# 1 n n 1 cn xn 2 2x n cn xn 1 2 cn xn œ 0 n œ2

∞

∞

n œ2

n œ2

∞

∞

n œ1

n œ0

Ê n n 1 cn xn n n 1 cn xn 2 2n cn xn 2cn xn œ 0 power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

coefficient equation 2 1 c2 2c0 œ 0 3 2 c3 2 1 c1 2c1 œ 0 2 1 c2 4 3 c4 2 2 c2 2c2 œ 0 3 2 c3 5 4 c5 2 3 c3 2c3 œ 0 4 3 c4 6 5 c6 2 4 c4 2c4 œ 0 ã n n 1 cn n 2 n 1 cn 2 2ncn 2cn œ 0

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ c0 œ! œ 13 c2 œ 13 c0 œ 12 c3 œ ! œ 35 c4 œ 15 c0 ã 1 Ê cn 2 œ nn 1 cn

y œ c0 c1 x c0 x2 13 c0 x4 15 c0 x 6 á œ c0 ˆ1 x2 13 x4 15 x 6 á ‰ c1 x ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

10. yww yw x# y œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 n cn xn 1 x# cn xn œ 0 ∞

n œ2

∞

∞

n œ1

n œ0

Ê n n 1 cn xn 2 n cn xn 1 cn xn 2 œ 0 n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

coefficient equation 2 1 c2 1 c1 œ 0 3 2 c3 2 c2 œ 0 4 3 c4 3 c3 c0 œ 0 5 4 c5 4 c4 c1 œ 0 6 5 c6 5 c5 c2 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 n 1 cn 1 cn 2 œ 0

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 12 c1 œ 13 c2 œ 16 c1 1 1 1 c0 œ 14 c3 12 c0 œ 24 c1 12 1 1 1 1 œ 5 c4 20 c1 œ 120 c1 30 c0 1 13 1 œ 16 c5 30 c2 œ 720 c1 180 c0 ã Ê cn 2 œ n 1 2 cn 1 n 2 1 n 1 cn 2

1 1 1 1 13 1 y œ c0 c1 x 12 c0 x2 16 c1 x3 ˆ 24 c1 12 c0 ‰x4 ˆ 120 c1 30 c0 ‰x5 ˆ 720 c1 180 c0 ‰x 6 á 1 1 1 1 1 1 1 13 2 4 5 6 3 4 5 6 œ c0 ˆ1 2 x 12 x 30 x 180 x á ‰ c1 ˆx 6 x 24 x 120 x 720 x á ‰

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Section 17.5 Power-Series Soutions 1027 ∞

∞

11. x# 1 yww 6y œ 0 Ê x# 1 n n 1 cn xn 2 6 cn xn œ 0 n œ2

∞

∞

n œ2

n œ2

n œ0

∞

Ê n n 1 cn xn n n 1 cn xn 2 6cn xn œ 0 power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

n œ0

coefficient equation 2 1 c2 6c0 œ 0 3 2 c3 6c1 œ 0 2 1 c2 4 3 c4 'c2 œ 0 3 2 c3 5 4 c5 'c3 œ 0 4 3 c4 6 5 c6 'c4 œ 0 ã n n 1 cn n 2 n 1 cn 2 6cn œ 0

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 3c0 œ c1 œ 13 c2 œ c0 œ! œ 15 c4 œ 15 c0 ã 3 Ê cn 2 œ nn 1 cn

y œ c0 c1 x 3c0 x2 c1 x3 c0 x4 15 c0 x 6 á œ c0 ˆ1 3x2 x4 15 x 6 á ‰ c1 x x$ ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

12. xyww x 2 yw 2y œ 0 Ê x n n 1 cn xn 2 x 2 n cn xn 1 2 cn xn œ 0 ∞

n 1

Ê n n 1 cn x n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

∞

n œ2

∞

n 1

n cn x 2n cn x n œ1

n

n œ1

∞

2cn x œ 0 n

n œ0

coefficient equation 2 1 c1 2c0 œ 0 2 1 c2 1 c1 2 2 c2 2c1 œ 0 3 2 c3 2 c2 2 3 c3 2c2 œ 0 4 3 c4 3 c3 2 4 c4 2c3 œ 0 5 4 c5 4 c4 2 5 c5 2c4 œ 0 ã n 1 n cn 1 n cn 2 n 1 cn 1 2cn œ 0

y œ c0 c0 x 12 c0 x2 c3 x3 14 c3 x4

1 5 20 c3 x

Ê c1 œ c0 Ê c2 œ 12 c1 œ 12 c! Ê!œ! Ê c4 œ 14 c3 1 Ê c5 œ 15 c4 œ 20 c3 ã Ê cn 1 œ n 1 1 cn

á œ c0 ˆ1 x 12 x2 ‰ c3 ˆx$ 14 x4

∞

∞

∞

n œ1

n œ0

1 5 20 x

á‰

13. x# 1 yww 4xyw 2y œ 0 Ê x# 1 n n 1 cn xn 2 4x n cn xn 1 2 cn xn œ 0 ∞

∞

n œ2

n œ2

n œ2

∞

∞

n œ1

n œ0

Ê n n 1 cn xn n n 1 cn xn 2 4n cn xn 2cn xn œ 0 power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

coefficient equation 2 1 c2 2c0 œ 0 3 2 c3 4 1 c1 2c1 œ 0 2 1 c2 4 3 c4 4 2 c2 2c2 œ 0 3 2 c3 5 4 c5 4 3 c3 2c3 œ 0 4 3 c4 6 5 c6 4 4 c4 2c4 œ 0 ã n n 1 cn n 2 n 1 cn 2 4ncn 2cn œ 0

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ c0 œ c1 œ c2 œ c0 œ c3 œ c1 œ c4 œ c0 ã Ê cn 2 œ cn

y œ c0 c1 x c0 x2 c3 x3 c1 x4 c1 x 5 c0 x 6 á œ c0 1 x2 x4 x 6 á c1 x x3 x 5 á

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1028 Chapter 17 Second-Order Differential Equations ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

14. yww 2xy w 4y œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 2x n cn xn 1 4 cn xn œ 0 ∞

n œ2 ∞

∞

Ê n n 1 cn xn 2 2n cn xn 4cn xn œ 0 n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

n œ1

n œ0

coefficient equation 2 1 c2 4c0 œ 0 3 2 c3 2 1 c1 4c1 œ 0 4 3 c4 2 2 c2 4c2 œ 0 5 4 c5 2 3 c3 4c3 œ 0 6 5 c6 2 4 c4 4c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 2n cn 4cn œ 0

y œ c0 c1 x 2c0 x2 13 c1 x3

1 5 30 c1 x

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 2c0 œ 13 c1 œ0 1 1 œ 10 c3 œ 30 c1 2 œ 15 c4 œ 0 ã Ê cn 2 œ n 2 2n n1 1 cn

á œ c0 1 2x2 c1 ˆx 13 x3

∞

∞

∞

n œ1

n œ0

1 5 30 x

á‰

15. yww 2xy w 3y œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 2x n cn xn 1 3 cn xn œ 0 ∞

n œ2 ∞

∞

Ê n n 1 cn xn 2 2n cn xn 3cn xn œ 0 n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

n œ1

n œ0

coefficient equation 2 1 c2 3c0 œ 0 3 2 c3 2 1 c1 3c1 œ 0 4 3 c4 2 2 c2 3c2 œ 0 5 4 c5 2 3 c3 3c3 œ 0 6 5 c6 2 4 c4 3c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 2n cn 3cn œ 0

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 32 c0 œ 16 c1 1 c2 œ 18 c0 œ 12 3 1 œ 20 c3 œ 40 c1 1 1 œ 6 c4 œ 48 c0 ã 3 Ê cn 2 œ n 2n 2 n 1 cn

1 1 y œ c0 c1 x 32 c0 x2 16 c1 x3 18 c0 x4 40 c1 x 5 48 c0 x6 á 1 6 1 5 œ c0 ˆ1 32 x2 18 x4 48 x á ‰ c1 ˆx 61 x3 40 x በ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

16. 1 x# yww xyw 4y œ 0 Ê 1 x# n n 1 cn xn 2 x n cn xn 1 4 cn xn œ 0 ∞

∞

n œ2

n œ2

n œ2

∞

∞

n œ1

n œ0

Ê n n 1 cn xn 2 n n 1 cn xn n cn xn 4cn xn œ 0 power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

coefficient equation 2 1 c2 4c0 œ 0 3 2 c3 1 c1 4c1 œ 0 4 3 c4 2 1 c2 2 c2 4c2 œ 0 5 4 c5 3 2 c3 3 c3 4c3 œ 0 6 5 c6 4 3 c4 4 c4 4c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 n n 1 cn ncn 4cn œ 0

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 2c0 œ 12 c1 œ0 œ 14 c3 œ 18 c1 œ 25 c4 œ 0 ã 2 Ê cn 2 œ nn 1 cn

y œ c0 c1 x 2c0 x2 12 c1 x 18 c1 x5 á œ c0 1 x2 c1 ˆx 12 x3 18 x5 á ‰

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Solutions Manual for Thomas Calculus 12th Edition by Thomas F u l l D o w nh lt ot pa sd :: / / d o w n l o a d l i n k . o r g / p / s o l u t i o n s - m a n u a l - f o r - t h o m a s - c a l c u l u

Section 17.5 Power-Series Soutions 1029 ∞

∞

∞

n œ1

n œ0

17. yww xy w 3y œ 0 Ê n n 1 cn xn 2 x n cn xn 1 3 cn xn œ 0 n œ2

∞

∞

∞

n œ1

n œ0

Ê n n 1 cn xn 2 n cn xn 3cn xn œ 0 n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

coefficient equation 2 1 c2 3c0 œ 0 3 2 c3 1 c1 3c1 œ 0 4 3 c4 2 c2 3c2 œ 0 5 4 c5 3 c3 3c3 œ 0 6 5 c6 4 c4 3c4 œ 0 ã n 2 n 1 cn 2 n cn 3cn œ 0

y œ c0 c1 x 32 c0 x2 16 c1 x3 81 c0 x4

1 6 240 c0 x

Ê c2 Ê c3 Ê c4 Ê c5 Ê c6

œ 32 c0 œ 13 c1 1 c2 œ 18 c0 œ 12 œ0 1 1 œ 30 c4 œ 240 c0 ã 3 Ê cn 2 œ n n2 n 1 cn

á œ c0 ˆ1 32 x2 18 x4

∞

∞

∞

n œ1

n œ0

1 6 240 x

á ‰ c1 ˆx 13 x3 ‰

18. x# yww 4xy w 6y œ 0 Ê x# n n 1 cn xn 2 4x n cn xn 1 6 cn xn œ 0 ∞

∞

n œ2

∞

Ê n n 1 cn xn 4n cn xn 6cn xn œ 0 n œ2

power of x x0 x1 x2 x3 x4 ã xn

n œ1

n œ0

coefficient equation 6c0 œ 0 4 1 c1 6c1 œ 0 2 1 c2 4 2 c2 6c2 œ 0 3 2 c3 4 3 c3 6c3 œ 0 4 3 c4 4 4 c4 6c4 œ 0 ã n n 1 cn 4n cn 6cn œ 0

Ê c0 œ 0 Ê c1 œ 0 Ê0œ0 Ê0œ0 Ê c4 œ 0 ã Ê cn œ 0

y œ c2 x2 c3 x3

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