Matemáticas Discretas Capitulo I Introducción - Lógica proposicional y de predicados INTRODUCCION
Qué es Matemáticas Discretas ? Parte de la matemática que estudia los objetos Discretos (distintos o no conectados) Son usadas en donde los objetos son contados, cuando las relaciones entre conjuntos finitos son estudiados y cuando los procesos que involucran un numero finito de pasos son analizados
Las razones para estudiar Matemáticas Discretas 1. Desarrollar su madurez matemática (habilidad para entender y crear argumentos matemáticos) 2. Es el inicio de más cursos avanzados del plan de estudio (Flp, Fada, Criptografía, BD, SO, Detección y Corrección de errores, entre otros)
Matemáticas Discretas incluye :
Logica
Teoría de Conjuntos.
Combinatoria.
Teoría de Grafos.
Probabilidad
Matemáticas Discretas Capitulo I Introducción - Lógica proposicional y de predicados LÓGICA
Introducción La lógica ha adquirido un papel cada vez más importante en la infomática . La lógica tiene tres 3 distintas e importantes aplicaciones : 1. En programación para construir expresiones lógicas. 2. Para escribir pre y postcondiciones que describen el comportamiento de los programas. 3. Como fundamento para el diseño del computador. La Lógica es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamiento es correcto. Ejemplos: Todos los matemáticos utilizan sandalias Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista. Por lo tanto, todos los matemáticos son algebrista. La Lógica se centra en las relaciones entre los enunciados y no en el contenido de un enunciado en particular. El tipo de expresiones que interesan a la lógica son aquellas cuyo contenido puede ser evaluado como falso o verdadero. A este tipo de expresiones se le denomina proposición, sentencia o enunciado. Existen diversos tipos de lógica, pero en este curso en particular se explorarán las Lógica Proposicional y la Lógica de Predicados
Lógica proposicional Una Proposición es un enunciado, declaración, sentencia que puede tomar valores de verdadero o falso. Ejemplo de proposiciones : Bogota es la capital de Colombia.
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Madrid es la capital de España. 3 + 5 = 7. 2 + 1 = 3. La tierra es el único planeta en el universo que tiene vida. Los unicos enteros positivos que dividen a 7 son 1 y el propio 7. Otros ?.
Son proposiones ?. Qué hora es?. ¡Cierra la puerta!. x + 1 = 2. x + y = z. Ella es muy inteligente. compre dos boletos para el concierto de rock para el viernes Para representar las proposiciones se utilizan letras mayúsculas tales como P, Q, R, etc. Por ejemplo, sea: P: Hoy es martes. Q: Hay clase de matemáticas En cualquier lógica, las proposiciones se clasifican en simples o compuestas. Las proposiciones simples se identifican porque no contienen otras afirmaciones que la compongan (átomos) Las proposiciones compuestas se obtienen al combinar proposiciones simples para expresar afirmaciones más complejas
Conectivos lógicos La combinación de los átomos se efectúa a través de los conectivos lógicos: Conectiv Significado o
Proposición Compueta
Nombre en Lógica
Y
PQ
Conjunción
O
P Q
Disyunción
No
P
Negación
Si....Entonce s
PQ
Condicional
Si y Sólo Si
PQ
Bicondiconal
Matemáticas Discretas Capitulo I Introducción - Lógica proposicional y de predicados Las proposiciones tienen la siguiente jerarquia: asociativas por la izquierda
, , y
son
Por ejemplo:
P Q R Q R P La formula resultante sería:
((((P) Q))R) (Q (R P))) La lengua castellana ofrece una gran cantidad de formas para expresar la misma idea : El número n es un número primo menor que 100. 10 < x < 100. Juan gana más de 5.000 pero menos de 8.000. Henry era un buen estudiante, pero María una buena pintora. Aunque es mal futbolista, Juan terminó siendo el mejor jugador del partido. Además, Más aún, Algunos. Algunos han nacido para la grandeza, algunos alcanzan la grandeza y algunos soportan sobre sí la grandeza. (Simbolizar). Si las proposiciones P1,....Pn se combinan para formar la proposición compuesta P, se escribira entonces P = P (P1,....Pn)
Tablas de verdad (o de veracidad) Las Tablas de verdad son un instrumento empleado en la lógica proposicional, para indicar las diferentes interpretaciones de una fórmula y el resultado de las mismas. La tabla de verdad o veracidad de una proposición compuesta P = P (P1,....Pn) enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para P1,....Pn. Se denota por T (true) el valor verdadero y F (false) el falso. P V V F F
Q V F V F
P Q V F F F
P Q V V V F
P Q V F V V
P Q V F F V
P F V
Matemáticas Discretas Capitulo I Introducción - Lógica proposicional y de predicados Tabla 1. Tablas de verdad de las fórmulas conjunción, disyunción, condicional, bicondicional, y negación.
Nota: la formula disyunción (conector V) se utiliza en el sentido inclusivo (es verdad cuando P o Q o ambas lo son) El banco Bogota proporciona créditos a todo el que mantenga un saldo de 5000 pesos o que tenga un certificados de prestamo de 5000 pesos. Puedes ir a la piscina o a la pista de patinaje.
Proposiciones condicionales La figura lógica del condicional, responde a conectar dos proposiciones mediante el esquema "si..., entonces...". Para leer una proposición de la forma R S, se puede usar algunas de las siguientes expresiones: Si R entonces S. R es suficiente para S. S es necesario para R. S siempre que R. R sólo si S. A la fórmula R se le llama Antecedente, y a la fórmula S Consecuente. .
María será una buena estudiante si estudia mucho. Juan puede cursar cálculo sólo si está en segundo, tercer o cuarto año de estudio de licenciatura. Cuando cantas, me duelen los oídos. Una condición necesaria para que la selección Colombia ganen un campeonato mundial es que consiga un buen técnico. Una condición suficiente para que Diego visite Santa Marta es que vaya a Cartagena.
La figura lógica del bicondicional, responde a conectar dos proposiciones mediante el esquema "si y solo si". (observe que es verdadera solo en los casos en que P y Q sean verdaderas o cuando ambas proposiciones sean falsas) Ejemplo : T es un triangulo rectángulo si y solo si a2 + b2 = c2 P: T es un triangulo rectángulo Q: En un triangulo a2 + b2 = c2 PQ
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Tautologías y contradicciones Las tablas de verdad nos permiten clasificar las expresiones logicas en: Tautología: es una expresión logica que es verdadera para todas las asignaciones posibles Contradicción: es una expresión logica que es falsa para todas las asignaciones posibles Contingencia: es una expresión logica que no es ni tautología ni contradicción La fórmula P P es Tautología, vea por qué: P
P
P P
V
F
V
F
V
V
La fórmula (P Q) (P Q)es Contingencia: P
Q
PQ
P Q (P Q) (P Q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
La fórmula P P es una Contradicción, observe: P
P
P P
V
F
F
F
V
F
Implicación lógica Si P y Q son dos expresiones lógicas y si P Q es una tautológia, decimos que P implica lógicamente a Q, y escribimos P Q
Equivalencia lógica Si P y Q son dos expresiones lógicas y si PQ tienen siempre el mismo valor de verdad, entonces se dice que P y Q son lógicamente equivalentes, y escribimos PQ si y solo si PQ es una tautologia. Muestre que (P Q) P Q)
Matemáticas Discretas Capitulo I Introducción - Lógica proposicional y de predicados P Q
¬P
¬Q (P Q) P Q)
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
Ejemplos : ((p => q) p) => q) p (q r) => s (p q) p q) p q p q) Es posible generar leyes para la lógica proposicional que acorten el proceso de demostración significativamente. Las siguientes son Leyes de la Lógica proposicional:
Equivalencia Lógica P P
Doble negación
P P P
Idempotencia
P P P
Idempotencia
P (Q R) (P Q) R
Ley asociativa
P (Q R) (P Q) R
Ley asociativa
(P Q) (Q P)
Ley del contrarrecíproco
(P Q) (Q P)
Ley conmutativa
(P Q) (Q P)
Ley conmutativa
P (Q R) (P Q) (P R)
Ley distributiva
P (Q R) (P Q) (P R)
Ley distributiva
(P Q) P Q
Ley de De Morgan
(P Q) P Q
Ley de De Morgan
P F P
Ley de identidad
P V P
Ley de identidad
(P Q) P Q
Ley de implicación
P V V
Ley de dominación
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P F F
Ley de dominación
P (P Q) P
Ley de cobertura
P (P Q) P
Ley de cobertura
P P F
Ley de contradicción
P P V
Ley de contradicción
Ejercicios : Resolver usando leyes
(P Q) (P R)
((P Q)P) Q
((P Q) P) (P R)
(P (Q R)) ( P (Q S))
(P Q)(P Q)
Ejercicios Ejercicios 1.1 y 1.2 Matematicas discretas (Richard Johnsonbaugh)
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Logica de predicados Expresiones que involucran variables tales como: 1. “x > 3” 2. “x = y + 3” 3. “x +y = z” son encontradas frecuentemente en declaraciones matemáticas y programas de computador. Cuando los valores de las variables no son especificados, estas expresiones no son verdaderas o falsas. En esta sección discutiremos las formas en las cuales proposiciones pueden ser producidas de tales expresiones. Para 1 la expresión tiene 2 partes: 1. la variable x es el sujeto de la expresión 2. “es mayor que” es el predicado (propiedad que el sujeto de la expresión puede tener) Podemos denotar la expresión “x es mayor que 3” por P(x), donde P denota el predicado “es mayor que 3” y x es la variable. La expresión P(x) es será el valor de la función proposicional P en x Una vez un valor le es asignado a la variable x, la expresión P(x) se convierte en una proposición y tiene su valor de verdad. Ejercicios : Cuales son los valores de verdad de P(4) y P(2) ? Sea Q(x,y) la función proposicional para 2. Cuales son los valores de verdad de las proposiciones Q(3,2) y Q(5,2) ? Sea R(x,y,z) la función proposicional para 3. Cuales son los valores de verdad de las proposiciones R(1,2,3) y R(0,0,1) ? En general una expresión que involucra las n variables x1, x2, ..... xn puede ser denotado por P(x1, x2, ..... xn). Una expresión de la forma P(x1, x2, ..... xn) es el valor de la función proposicional P en la n-tupla (x1, x2, ..... xn) y P es también llamado un predicado.
Cuantificadores Cuando a todas las variables en una función proposicional le son asignados valores, la expresión resultante tiene un valor de verdad. A traves de la cuantificación tambien se pueden crear proposiciones desde una función proposicional.
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Cuantificación universal La cuantificación universal de P(x) es la proposición “P(x) es verdad para todos los valores de x en el universo de discurso”. La notación xP(x) denota la cuantificación universal de P(x). Aquí Es llamado el cuantificador universal. La expresión xP(x) es también expresada como: “para todo x P(x)” o “para cada x P(x)” Ejemplo1 Expresar la expresión: “cada estudiante en esta clase ha estudiado calculo” como una cuantificación universal. R// 1. Sea P(x) que denota la expresión “x ha estudiado calculo” entonces se puede expresar como: xP(x), donde el universo de discurso consiste de los estudiantes en esta clase. 2. También puede ser expresado como: x(S(x) P(x)) donde S(x) es la expresión “x esta en esta clase” y el universo de discurso es el conjunto de todos los estudiantes. Ejemplo2 Sea Q(x) la expresión “x<2” cual es el valor de verdad de la cuantificación xP(x), donde el universo de discurso es el conjunto de los numeros reales ? R// Q(x) no es verdadera para todos los numeros reales x.por ejemplo Q(3) es falsa. Así xQ(x) es falsa. Cuando todos los elementos del universo de discurso pueden ser listados- digamos x1, x2, ..... xn se sigue que la cuantificación universal xP(x) es la misma como la conjunción P(x1) P(x2) ..... P(xn) puesto que esta conjunción es verdad si y solo si son todas verdad. Ejemplo3 Cual es el valor de verdad de xP(x), donde P(x) es la expresión “x2 < 10” y el universo de discurso consiste de los enteros positivos que no sobrepasan al 4 ? R// La expresión xP(x) es la misma como la conjunción P(1) P(2) P(3) P(4) puesto que el universo de discurso consiste de los enteros 1, 2, 3 y 4. Puesto que P(4) es la expresión “42 < 10” es falsa, entonces se sigue que xP(x) es falsa.
Cuantificación existencial La cuantificación existencial de P(x) es la proposición “existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”. La notación xP(x) denota la cuantificación existencial de P(x). Aquí Es llamado el cuantificador existencial. La expresión xP(x) es también expresada como: “hay un x tal que P(x)” “hay al menos un x tal que P(x)” o “para algun x P(x)” Ejemplo1
Matemáticas Discretas Capitulo I Introducción - Lógica proposicional y de predicados Sea Q(x) que denota la expresión “x = x +1” Cual es el valor de verdad de xQ(x), donde el universo de discurso es el conjunto de los numeros reales ? R// Puesto que Q(x) es falso para cada numero real x, la cuantificación existencial de Q(x), la cual es xQ(x), es falsa. Cuando todos los elementos del universo de discurso pueden ser listados- digamos x1, x2, ..... xn la cuantificación existencial xP(x) es la misma como la disjunción P(x1) P(x2) ..... P(xn) puesto que esta disjunción es verdad si y solo si al menos una de P(x1), P(x2),..... P(xn) es verdad Ejemplo2 Cual es el valor de verdad de xP(x), donde P(x) es la expresión “x2 > 10” y el universo de discurso consiste de los enteros positivos que no sobrepasan al 4 ? R// La expresión xP(x) es la misma como la disjunción P(1) P(2) P(3) P(4). Ya que P(4) la cual es la expresión “42 > 10” es verdad, entonces se sigue que xP(x) es verdad. Ejemplo3 Transladar la expresión dada a continuación al español, donde C(x) es “x tiene un computador”, F(x,y) es “x y y son amigos” y el universo de discurso para ambas x y y es el conjunto de todos los estudiantes en su escuela x(C(x) y(C(y) F(x,y))) R// Cada estudiante en su escuela tiene un computador o tiene un amigo quien tiene un computador. Ejemplo4 Asumiendo al conjunto de todos los numeros reales como el universo de discurso. La expresión xy(x + y = 0) dice que para cada numero real x hay un numero real y tal que x+y = 0 (inverso aditivo)
Variables Ligadas Cuando un cuantificador es usado sobre la variable x o cuando nosotros asignamos un valor a esta variable, decimos que esta ocurrencia de la variable esta ligada. Una ocurrencia de una variable que no esta ligada por un cuantificador o igualada a un valor particular se dice que es libre. Todas las variables que ocurren en una función proposicional deben estar ligadas para tornarla en una proposición. Esto se puede realizar usando una combinación de cuantificadores universales, existenciales y asignación de valores. La parte de una expresión logica para la cual un cuantificador es aplicado es llamado el alcance de este cuantificador. Consecuentemente, una variable es libre si esta fuera del alcance de todos los cuantificadores en la formula que especifican esta variable. Ejemplo1
Matemáticas Discretas Capitulo I Introducción - Lógica proposicional y de predicados En la declaración xQ(x,y), la variable x esta ligada por la cuantificación existencial x, pero la variable y es libre por que no esta ligada por un cuantificador y ningun valor es asignado a esta variable. Ejemplo2 En la declaración x(P(x) Q(x)) xR(x), todas las variables estan ligadas. El alcance del primer cuantificador, x, es la expresión P(x) Q(x). El alcance del segundo cuantificador, x, es la expresión R(x). Es decir el alcance de los 2 cuantificadores no se sobrelapan.
Negaciones Usualmente deseamos considerar la negación de una expresión cuantificada. Por ejemplo, considere la negación de la declaración: “cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo” o xP(x). Donde P(x) es la declaración “x ha tomado un curso de calculo”. La negación de esta declaración es: “no es el caso que cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo” o “hay un estudiante en la clase quien no ha tomado un curso de calculo”. En esta ultima declaración se ve que es simplemente la cuantificación existencial de la negación de la función proposicional original. Es decir xP(x). Considere la negación de la declaración: “hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo” o x P(x). Donde P(x) es la declaración “x ha tomado un curso de calculo”. La negación de esta declaración es: “no es el caso que hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo” “cada estudiante en la clase no ha tomado un curso de calculo”. En esta ultima declaración se ve que es simplemente la cuantificación universal de la negación de la función proposicional. Es decir xP(x). Ejemplo1 Cuales son las negaciones de las declaraciones: “Hay un politico honesto” R// Sea H(x) que denota “x es honesto” donde el universo de discurso son todos los políticos. Estonces la declaración se puede simbolizar como: xH(x). Luego la negación es xH(x), la cual es equivalente a xH(x) la cual corresponde a “Cada político es honesto” Todos los americanos comen hamburguesas R// Sea C(x) que denota “x come hamburguesas” donde el universo de discurso son todos los americanos. Estonces la declaración se puede simbolizar como: xC(x). Luego la negación es xC(x), la cual es equivalente a xC(x) la cual corresponde a “Hay un americano quien no come hamburguesas”
Matemáticas Discretas Capitulo I Introducción - Lógica proposicional y de predicados Ejemplo2 Cuales son las negaciones de: x(x2>x) R// x(x2>x) la cual es equivalente a x(x2>x). Lo cual puede ser reescrito como x (x2x) x(x2 = 2) R// x(x2=2) la cual es equivalente a x(x2=2). Lo cual puede ser reescrito como x (x22) Ejercicios: sección 1.3 de Rosen.